用一次函数图象解二元一次方程组

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一次函数与二元一次方程(组)

一次函数的图像和性质
图像
一次函数的图像是一条直线，可以通过斜率和截距来确定。
斜率
斜率表示了函数的增长速率，可以通过两点坐标计算得出。
截距
截距表示了函数与y轴的交点，可以通过x=0来求解。
一元一次方程的定义和解法
1 定义
一元一次方程是一个只包含一个变量的一次方程，形如ax + b = 0，其中a和b为常数，且a ≠ 0。
2 解法
通过移项和化简，可以逐步求解未知数x的值，得到方程的解。
二元一次方程组的定义和解法
1 定义
二元一次方程组是一个包含两个变量的一次方程组，形如 ax + by = c dx + ey = f 其中a、b、c、d、e、f是已知的常数，且a、b、d、e不全为0。
2 解法
通过比较系数、消元和代入法，可以求解方程组的未知数x和y的值，得到方程组的解。
一次函数与一元一次方程的关系
1
函数转方程
可以通过将函数转化为方程的形式，找到函数的解。
2
方程转函数
可以通过将方程转化为函数的形式，得到函数的解析式。
3
二者的等价性
在某些情况下，函数与方程是等价的，它们可以互相转化而不改变问题的解。
一次函数与二元一次方程组的关系
线性表示
一次函数可以用于表示二元一次方程组的每个方程，其中x为自变量，y为因变量。
解析式
二元一次方程组的解可以转化为一次函数的解析式。
图像
一次函数的图像可以在坐标平面上表示二元一次方程组的解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题和练习
通过一些设计精巧的例题和练习题，巩固对一次函数与二元一次方程(组)的理解和应用。

怎样用图象法解方程组呢

1、一次函数 y=5-x与y=2x-1图象的交点坐标为（2，
x2 y 5 x 3），则方程组的解为 _________. y3 y 2x 1 x2 2、若方程组 2 x y 1的解为，则一次函数 y 5 3x y 1
x（分）
(2)30分钟时水箱有多少升水？
当x=30时，y=2.5 × 30+25 = 100 答： 30分钟时水箱有100升水。
新年快要到了，和平小学准备到水果批发市场购买水果，慰问敬老院的爷爷奶奶们市场对购买量在300千克以上（含300千克）有两种销售方案：方案一，每千克9元，由市场送货上门；方案二，每千克8元，由学校自己租车运回，已知租车运输费为 500元。（1）分别写出两种购买方案的付款y（元）与购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式。（2）选择哪种购买方案付款最少呢？
y=2x-4
y 2x 4
y=-2
解得
解得
用图象可以解决方程问题
说一说，怎样用图象法解方程组呢？
1、把两个方程都化成一次函数的形式。 2、画出两个函数的图象。 3、观察交点坐标，交点坐标的值即为方程组的解。
二元一次方程组的解法
• 1、代入消元法
• 2、加减消元法
• 3、图像法
x 2 y 2 解方程组 2 x y 2
y
5 4 3 2 1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5
x
y=2-x y=5-x
你能从中“悟”出些什么吗？
噢！用函数图像可以解决方程的问题 O(∩_∩)O哈哈~。
那么用方程的方法可以解决函数的问题吗？
课堂小结：
二元一次方程和一次函数图象的关系以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上. 一次函数图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程.

一次函数与二元一次方程组的关系

y
3 0 x
y
2 y 0 y 2 0
x
-4
x
x
-3
1.已知一次函数y=kx+b的图象经过点（-2，1），且k<0，当x<-2时，y的取值范围是 y＞1 ，当y<1时，x的取值范围是_________ 。 x>-2
y
2. 如图,直线 l1:y=k1x+b1与直线 l2:y2=k2x+b2相交于点P(-2,3) ,当 y1＞y2时，x的取值范是 x＜-2 .
P l1 0 x
l2
探究新知
探究一次函数与二元一次方程的关系
(1)对于方程3x+5y =8如何用x表示y? 3 8 y = 5 x 5 . (2)是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？
2x - y =0
y = 2x
结论：任意一个二元一次方程都可以转化
为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是对应一条直线。
x/分
小结
从数的角度看
解二元一次方程组
当自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值。
从形的角度看
解二元一次方程组
确定两条直线交点的坐标
数形结合思想。
x 2 y 0 x y 3
1 3 y x 转化为 2 2 一变 y 3 x 5 在同一坐标系分别画二画 y 出 y=0.5x+1.5 1 3
x 2 y 3 利用函数图象解二元一次方程组 3x y 5
探究一次函数与二元一次方程组的关系
把这个方程组的每一个方程转化成y=kx+b的形式。
3x 5 y 8 2 x y 1

北师大版八年级上册数学《二元一次方程与一次函数》二元一次方程组PPT课件

平均数众数中位数
课堂小测
1.如下图所示的是某市5月份某一周的最高气温统计图，则这组数据(最高气温)的众数与中位数分别是( A )
A.28 ℃,29 ℃ C.28 ℃,30 ℃
B.28 ℃,29.5 ℃ D.29 ℃,29 ℃
天数
最高气温/℃
课堂小测
2．如图是某射击选手5次射击成绩的折线图，根据图示信息，这5
八年级数学北师版·上册
第六章数据的分析
从统计图分析数据的集中趋势
新课引入
如何确定一组数据的平均数？
平均数
x
1 n
( x1 x 2 ... x n )
新知探究
如何确定中位数？
确定中位数，应先把这组数据按大小顺序排列，最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数即为中位数.
新知探究
什么时候中位数取最中间位置的一个数据,什么时候取最
课堂小测
(3)在(2)的条件下，把每个学生的捐款数额(以元为单位)一一记录下来，则在这组数据中，众数是多少？
(3)因为初中生最多，所以众数为10元．
新知探究
(3)在上面的问题中，如果不知道调查的总人数，你还能求平均数吗？如果把算式中的小括号去掉，你有什么发现？
约去20后可以写成 100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%，其中的百分比就是扇形统计图中各项对应的百分比.事实上，这些百分比就是“权”，所以平均数也可以直接这样算： 100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%=57(元).
(1)变函数：把方程组 k1 x y b1
k2 x y b2

用一次函数图象解二元一次方程组

用一次函数图象解二元一次方程组山东于秀坤一次函数的表达式就是一个二元一次方程，任何一个二元一次方程都可以化为一次函数表达式的形式.如y=2x+3是一函数表达式，也是二元一次方程；而2x-y=-3是一个二元一次方程，不是函数表达式.但可以将其化为y=2x+3，就是一个函数不表达式.一般来说，一个二元一次方程有无数多个解.以这些解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象.如以方程2x-y=-3的解为坐标所有的点组成的图形就是y=2x+3的图象.一个一次函数图象上的任意一点，它的坐标一定能适合相应的二元一次方程.如一次函数y=21x-1图象上的一点(2,0),它适合方程x-2y=2,即⎩⎨⎧==0,2y x 是方程x-2y=2的一个解. 由于二元一次方程可以转化为一次函数,在平面直角坐标系中可以画出函数的图象,所以将方程组中的两个方程都化为一次函数,在同一平面直角坐标系中就可以画出两个函数的图象(即两条直线),这两条直线的相交于一点,交点的坐标既是满足第一个方程,又满足第二个方程,所以交点的坐标就是方程组的解.这种将二元一次方程组转化为一次函数,通过画函数的图象确定交点坐标解二元一次方程组的方法,我们称为二元一次方程组的图象解法.用一次函数的图象解二元一次方程组，一般分为以下几个步骤：（1）将方程组中的每个方程分别转化一次函数表达式；（2）在同一坐标系内分别画出转化后的两个一次函数的图象；（3）根据两个函数图象交点的坐标写出方程组的解.例1 利用图象法解方程组⎩⎨⎧=+=-3,5y x y x 解：方程x-y=5，变形为y=x-5，过两点(0,-5)和(5,0)画函数y=x-5的图象;方程x+y=3变形为y=-x+3,过两点(03,)和(3,0)画函数y=-x+3的图象,这两个函数图象的交点坐标是(4,-1)(如图1).所以方程组的解为⎩⎨⎧-==.1,4y x 评注:由于一次函数的图象是一条直线,所以只要取两个适当的点,画直线即可.利用图象法求出的解与利用代入法或加减法解得到的解是相同的,但画图象时,难免有一些误差,所作图象要准确. 图1例2 利用函数图象解方程组⎩⎨⎧-=+=-.5,22y x y x 解：方程2x-y=2变形为y=2x-2，方程x+y=5变形为y=-x-5，画出直线y=2x-2与直线y=-x-5，可以看出它们交点的横坐标为-1，交点的纵坐标为-4（如图2），于是方程组⎩⎨⎧-=+=-.5,22y x y x 的解为⎩⎨⎧-=-=.4,1y x图2练一练;利用图象法解方程组:(1)⎩⎨⎧=-=-.1483,3y x y x (2)⎩⎨⎧=-=+.23,532y x y x。

2017-2018学年北师大版八年级数学上册教师用书(pdf版)：5.6二元一次方程与一次函数

{
{
ｘ＝２
ｙ＝－ｘ＋１
的解是
ｙ＝－１
.
探求二元一次方程组与一次函数的对应 ʌ 例２ɔ 已知一次函数ｙ＝ａｘ＋２与ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图像如图所示ꎬ 且方程组关系
{
７
ｙ＝ａｘ＋２ｘ＝２的解为 ꎬ 点Ｂ的坐标ｙ＝ｋｘ＋ｂｙ＝１为(０ꎬ －１) ꎬ你能确定这两个一次函
( 第１题)
一. 选择题
Ａ组㊀夯实基础
１. 下面四条直线ꎬ其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程ｘ－２ｙ＝２的解的是 ( ㊀Ｃ㊀ )
２. 小亮用作图像的方法解二元一次方程组时ꎬ 在同一直如图所示ꎬ他解的这个方程组是ｙ＝－２ｘ＋２ｙ＝－２ｘ＋２Ａ. Ｂ. １＝－ｙｘ１ｙ＝－ｘ２ｙ＝３ｘ－８ｙ＝－２ｘ＋２Ｃ. ( ㊀Ｄ㊀ )
ʑ ４ｋ－６＝０ꎬ即ｋ＝３ ꎻ ２
三. 解答题
若这一交点坐标适合方程ａｘ＋ｙ＝６ꎬ则ａ＝㊀－２３㊀ .
( 第２题) ( －２ꎬ４) ㊀ .
二. 填空题
３. 如图ꎬ已知函数ｙ＝ａｘ＋ｂ和ｙ＝ｃｘ＋ｄ的图像交于点Ｍ ꎬ 则根据图像可知ꎬ 关于ｘꎬ ｙ的二元一次方程组ｙ＝ａｘ＋ｂｘ＝－２的解为㊀㊀ . ｙ＝３ｙ＝ｃｘ＋ｄ４ｘ＋ｙ＝７ｘ＝２４. 二元一次方程组的解是 ꎬ则一次函数ｙｘ＋ｙ＝１ｙ＝－１＝１－ｘ和ｙ＝７－４ｘ的图像的交点为㊀ ( ２ꎬ－１) ㊀ .

人教版八年级数学下《一次函数与二元一次方程(组)》知识全解

《一次函数与二元一次方程（组）》知识全解课标要求理解一次函数与二元一次方程组的联系，用一次函数的观点认识二元一次方程组，会应用它们解决实际的问题。

知识结构一次函数与二元一次方程的关系任何一个关于x,y的二元一次方程ax+by=c，都可以化为一个一次函数一般形式y=kx+m 的形式。

我们也可以理解为二元一次方程就是一个一次函数，只不过不是一次函数的一般形式。

既然每个二元一次方程都对应着一个一次函数，那么也就对应着一条直线，直线上每个点地横、纵坐标都是方程的一组解。

一次函数与二元一次方程组的关系明白了一次函数与二元一次方程的关系，我们很容易知道，二元一次方程组中的两个方程对应着两条直线，这两条直线的交点既在第一条直线上，又在第二条直线上，那么点的坐标应该满足两个解析式都成立，即为方程组的解。

内容解析一次函数和二元一次方程式互相统一的，二者的关系较之一次函数与一元一次方程及一元一次不等式更为密切。

每一个二元一次方程都是一个一次函数，所以每一个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这个值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

用函数观点看方程（组）与不等式是数形结合思想的又一体现，它教给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合思想的重要性。

重点难点本节的重点是：用一次函数的观点重新认识二元一次方程（组），将二者统一运用到解决有关问题中。

难点是：能把它们统一起来．解决有关问题时，又能根据具体情况灵活地应用这些方法。

教法引导通过举例，让学生体会一次函数与二元一次方程（组）的统一关系。

通过让学生动手画函数图象，掌握用图象来解决二元一次方程（组）的方法。

学法建议学习时要积极动手动脑，通过自己动手画图象，总结体会怎样用一次函数的图象来解决二元一次方程（组）的问题；加强小组间的交流，在不断交流、探讨中发现问题、解决问题。

一次函数与二元一次方程组

2x－y＋3=0 x－2y－3=0
的解有关系吗?
如果有关系，请说明有怎样的关系？如果没有关系。请说明理由？
一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的一个解。
一次函数与二元一次方程可以相互转化，从形式到内容它们都是统一的。
二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应。
解：由①得: y x 1 由②得: y 2x 1
作出图象：观察图象得：交点(0,-1) ∴方程组的解为 x=0
y=-1
y
y=x+1
O
x
y=-2x+4
巩固练习
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数
_y_=_2_x_-1_的图像上。
2、方程组
x-y=4 3x-y=16
的解是
yx==2，6 由此可知一
解：由①得: y 2x 4
由②得: y 2 x 4 3
o
作出图象：
观察图象得：交点为(3,-2)
∴方程组的解为 x=3 y=-2
y=2/3x - 4 y
y=-2x+4
你能说一说用图像解二元一次方程组的一般步骤吗？
写函数，作图象，找交点，下结论
练习：利用图象法解方程组：
x-y=-1 ① 2x+y=1 ②
什么？
1 (0,1)
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
x+y=1
y=-x+1
-x+y=1 y=x+1
1 2 3 4 5x (0,1)
参与讨论
两个一次函数关系式可以写成两个二元一次方程的形式.一次函数y=2x＋3和y=1/2x－3/2 的图象,与相应的二元一次方程组

二元一次方程与一次函数课件

一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
想一想
在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图
象有怎样的位置关系？
方程组 ቊ − = −1 ，
解的情况如何？
− =2
你发现了什么？
1.对于两不重合的直线
当l1平行于l2时，k1=k2；反之也成立.
2.对于方程组
，当
方程组无解；反之也成立.
2
为（2,2）.
3. 如图，已知数 y=ax+b和y=kx 的图象交于点 P，则
根据图象可得,关于x,y的二元一次方程组 ቊ = + ，
=
= −4 ，
的解是 ቊ = −2 .
3.根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解
是什么?
y
y 2x 1
1
1
O
x
1
3
8
分0.05元的价格按上网时间计费，那么上网多久两种计费方式所
收费用相等?
解：用一次函数表示方式A，B的收费费用y与时间x的关系，
方式A：y=0.1x, 方式B: y=0.05x+20.
当方式A和B的所收费用相同时，0.1x=0.05x+20,
解得x=400.
故上网400分，两种计费方式所收费用相等.
且c1≠c2时，
随堂练习
1.一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
=2，
+ =5，
则方程组 ቊ
的解为 ቊ = 3 .
2 − = 1
2.若二元一次方程组ቊ − 2 = −2 ，
的解为ቊ = 2，
= 2，
2 − = 2
1

一次函数与二元一次方程组的关系

＿
，
ｎ２
是教师按原价付款，学生按原价的７％付款；８第二种方案是师生都按原价的８％付款．校有５教师Ｏ该名参加这次活动，试根据参加夏令营学生人数，择购选票付款的最佳方案．分析：购票付款的多少与参加夏令营活动的人数
和选择哪种优惠方案有关，可设参加夏令营活动的学生为人，别建立两种优惠方案的函数模型，后分然再进行比较。
时，线ｙ＋ｂ和直线ｙ２＋ｂ平行，时直＝ｋｚ＝ｋｚ２此
方程组』ｌ＋，ｍｘｎ３
．
’ 无解
．
１２ｆ２，（・ｍｘ－－ｎｊ一７２
（）ｋ一是，ｂ＝ｂ，ｍ３当１２且１２即＿Ａ—ｍ２ｇｃ－ｔ－－Ｌ＝鱼－－１
时，直线ｙ＋ｂ和直线＝是ｚ２合，时＝ｋＸ１２＋６重此
方程组』ｌ￣ｎｙｌ有无数个解ｍｘｌ＝ｃ’
．
．
二、用一次函数的图象解二元一次方程组由于二元一次方程组对应两条直线，二元一次方程组的解就是两直线的交点坐标，以可以用画图象所的方法解二元一次方程组，解题步骤是：第一步写出与二元一次方程组相对应的两个一次函数；二步在第同一直角坐标系内画出这两条直线；步确定两直第三线的交点坐标；四步写出二元一次方程组的解．第
望
５。
ｊ＝ｚ，一ｆ一＋ｍｖ令
．
一是，一ｂ，盟＝是，１１一２
ＩＩ２１－２十ｃｍｚｙ＝

一次函数图形与二元一次方程组的结合

一次函数与二元一次程组、不等式结合专题第一节基础篇一、知识点回顾1、求两直线的交点坐标方法是：联立两直线的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的纵横坐标。

当两直线平行时，K相等，且方程组无解。

2、解关于x的不等式kx+b>mx+n从图象上看：（1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．或（2）当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）二、典型例题例1：如图，观察图象，判断下列说法错误的是（）分析：根据函数图象，利用函数与方程，不等式的关系即可求解．解答：A、两个函数图像的交点坐标是（1，1），所以他们解析式组成的方程组的解释x=1，y=1，正确。

B、-3/5 x+8/5 ≤ 2x-1说明前面一个函数的图像在后面一个函数的图像下方，观察图像可以得知，当x≥1时才能满足，正确；C、不等式-3/5 x+8/5 ＞2x-1的解集是：x＜1．∴不等式-3/5 x+8/5 ＞2x-1的解集是x＞1的说法错误D、方程-3/5 x+8/5 = 2x-1表示的是两个函数的函数值相等，我们知道，当两个函数图像交点时函数值相等，正确。

故选C例2：下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是（）分析：根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．解答：∵x-2y=2，∴y=1/2 x-1，∴当x=0，y=-1，当y=0，x=2，∴一次函数y=1/2 x-1，与y轴交于点（0，-1），与x轴交于点（2，0），即可得出C符合要求，故选：C．例3：如图，过点Q（0，）的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）A．3x-2y+=0 B．=0 C．3x-2y+7=0 D．3x+2y-7=0分析：如果设这个一次函数的解析式为y=kx+b，那么根据这条直线经过点P（1，2）和点Q（0，），用待定系数法即可得出此一次函数的解析式．解答：设这个一次函数的解析式为y=kx+b．∵这条直线经过点P（1，2）和点Q（0，），∴{ k+b=2 ①{ b= ②解得{ k={ b=故这个一次函数的解析式为y=+，即：3x+2y-7=0．故选D．例4：如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是（）分析：两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．解答：直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：x-y=-1 2x-y=1 ．故选C．例5：已知函数y=-2x+6与函数y=3x-4．（1）在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象；（2）求这两个函数图象的交点坐标；（3）根据图象回答，当x在什么范围内取值时，函数y=-2x+6的图象在函数y=3x-4的图象的上方分析：（1）可用两点法来画函数y=-2x+6与函数y=3x-4的图象；（2）两函数相交，那么交点的坐标就是方程组{ y=-2x+6，{ y=3x-4 的解；（3）函数y=-2x+6的图象在函数y=3x-4的图象的上方，即-2x+6＞3x-4，解得x＜2．解答：（1）函数y=-2x+6与坐标轴的交点为（0，6），（3，0）函数y=3x-4与坐标轴的交点为（0，-4），（4 3 ，0）作图为：（2）解：根据题意得方程组{ y=-2x+6 ① { y=3x-4 ② 解得 x=2 y=2 即交点的坐标是（2，2）∴两个函数图象的交点坐标为（2，2）（3）由图象知，当x ＜2时，函数y=-2x+6的图象在函数y=3x-4的图象上方．例6、若一次函数y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的图像没有交点,则方程组⎩⎨⎧=+=0b y -x K -b y -x k 2211的解的情况是 ( ) .A. 有无数组解B. 有两组解C. 只有一组解D. 没有解例7、若方程组⎩⎨⎧=+=+32y 2x 2y x 没有解,由此一次函数y=2-x 与y=23-x 的图像必定 ( ).A. 重合B. 平行C. 相交D. 无法判断三、解题经验理解两个函数图像交点处的各种意义，一般情况下，交点处表示两个函数的函数值相等。

一次函数与二元一次方程组

巩固练习
1、根据下列图象，你能说出它表示哪个方程组的解？这个解是什么？
y
y=2x-1
方程组
2x–y= –1 3x+y=4
1
o
x
1
x=1 y=1
y=-3x+4
2:用图象法解方程组： 2x+y=4
2x-3y=12
① ② y=2/3 - 4 o y x
解：由①得: y 2 x 4
在同一坐标系中作出它们的图象：（如图所示）
(1,-1)
从图中可知两直线的交点坐标为(1,-1)
显然：两个一次函数图象的交点坐标就是它们所对应的二元一次方程组的解。
0
-2
x
y=-2x+1
归纳总结:
一次函数与二元一次方程组
从数的角度看：
求二元一次方程组的解 x为何值时，两个函数的值相等
从形的角度看：
求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标
问题：1、通话多少分钟两种卡花费一样？通话100分钟 2、通话多少分钟便民卡优惠？通话时间大于100分钟 3、通话多少分钟如意卡优惠？通话时间小于100分钟（元） y 50 40 30 20 10
y=0.5x
如意卡便民卡
y=30+0.2x
o
20 40 60 80 100 120
x（分）
x-y=2
2x+y=1 x-y=2 对应的两一次函数是怎样的？ 2x+y=1 y=x-2, y=-2x+1
y=x-2 1
1/ 2
x=1 y=-1
(3)在同一直角坐标系中画出 y=x-2和y=-2x+1的图象。 y