两种随机存贮管理模型的建立和求解
两阶段随机优化模型求解方法
两阶段随机优化模型求解方法
两阶段随机优化模型求解方法主要包括以下步骤：
1. 定义问题：首先，需要明确问题的目标函数、约束条件和随机变量的分布。
2. 建立模型：根据问题的特点，建立两阶段随机优化模型。
第一阶段为确定性优化，第二阶段为随机规划。
3. 求解第一阶段：在给定的第一阶段决策的基础上，求解第二阶段的随机规划问题。
这一步可以使用各种求解随机规划的方法，如蒙特卡洛模拟、期望值模型、机会约束规划等。
4. 反馈学习：根据第二阶段的解，对第一阶段的决策进行反馈和调整。
这一步可以通过不断迭代来实现，直到找到最优解或者满足一定的收敛条件。
在具体应用中，需要结合问题的特点选择合适的求解方法。
例如，对于大规模问题，可以采用分布式计算、并行化等技术来提高求解效率。
同时，还需要注意数据隐私、计算精度等方面的问题。
数学建模存贮论部分
最佳生产时间：
* t1
R * t P
2 RC3 C1P( P R)
2C 3R( P R) C1P
2C1C 3R( P R) P
最大存贮量： 最小费用：
* A* ( P R)t1
C C (t )
* *
例 某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存 贮费用为5元/月· 件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分 别为每月20件和每月40件两种情况下的经济批量和最小费用 用“不允许缺货，生产（补充）需一段时间”的模型求解 已知：C1=5元/月· 件，C3=100元，R=8件/月， P1=20件/月，P2=40件/月 。 由经济生产批量计算公式，可得
确定型存贮模型Ⅱ 不允许缺货、补充时间较长 模型假设：
1. 需求是连续均匀的，即需求速度为常数R 。 2. 存贮的补充是由企业的生产来满足，但生产需 要一定的时间。设生产是连续均匀的，即生产 速度为常数P，同时设P>R。 3. 不允许缺货，即缺货惩罚费（单位缺货费）为 C2，取无穷大。 4. 每次订货量不变，订购费（或生产准备费）为
模型求解
dC (t ) C3 1 R2 2 C1( R ) dt 2 P t
令 dC (t ) 0 , 解得 t * dt 2PC3 C1( P R )
------ 最佳订货周期（最佳存贮周期）
最佳生产批量：
Q
*
* P t1
R * P t P
2PRC3 C1( P R)
从 [ t1 , t 2 ] 看，最大缺货量在 [ t1 , t 2 ] 时间内得到了补 充，因此有 B ( P R )( t2 t1 ) ，于是有
PR R t1 ( P R )( t2 t1 ) t1 t2 P
数学建模论文 两种随机存贮管理模型的建立和求解
两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。
采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。
模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。
针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。
通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（m 种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。
类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。
讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。
最后指出了模型的优缺点。
0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。
无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。
存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。
因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。
问题1 某商场销售的某种商品。
市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ；每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为2c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为3c ，且32c c ≤；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为4c ；每次订货，设货物在X 天后到达，交货时间X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ，每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止，且Q Q <0；在销售过程中每当存贮量q 降到L 时即开始订货。
请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L （最优订货点）的数学模型。
问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。
2012全国数学建模b题参考答案
太阳能设计的小屋方案摘要太阳能电池板方阵安装角度怎样计算由于太阳能发电系统的成本还是较高的，从我国现阶段的太阳能发电成本来看，其花费在太阳电池组件的费用大约为60～70％，因此，为了更加充分有效地利用太阳能，如何选取太阳电池方阵的方位角与倾斜角是一个十分重要的问题。
1.方位角太阳电池方阵的方位角是方阵的垂直面与正南方向的夹角（向东偏设定为负角度，向西偏设定为正角度）。
一般情况下，方阵朝向正南（即方阵垂直面与正南的夹角为0°）时，太阳电池在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。
不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。
因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
为了躲避太阳阴影时的方位角，以及布置规划、发电效率、设计规划、建设目的等许多因素都有关系。
如果要将方位角调整到在一天中负荷的峰值时刻与发电峰值时刻一致时，请参考下述的公式。
至于并网发电的场合，希望综合考虑以上各方面的情况来选定方位角。
方位角＝（一天中负荷的峰值时刻（24小时制）－12）×15＋（经度－116） 10月9日北京的太阳电池方阵处于不同方位角时，日射量与时间推移的关系曲线。
在不同的季节，各个方位的日射量峰值产生时刻是不一样的。
2.倾斜角倾斜角是太阳电池方阵平面与水平地面的夹角，并希望此夹角是方阵一年中发电量为最大时的最佳倾斜角度。
一年中的最佳倾斜角与当地的地理纬度有关，当纬度较高时，相应的倾斜角也大。
但是，和方位角一样，在设计中也要考虑到屋顶的倾斜角及积雪滑落的倾斜角（斜率大于50％-60％）等方面的限制条件。
(s,S)策略随机存贮模型
(s,S)策略随机存贮模型在国民经济各个部门和生产过程的各个环节中都有大量的库存现象。
在工厂中为了使得生产过程能连续地、均衡地进行下去,并保证按时交货,必须贮备一定数量的原料、辅助材料、燃料、劳动工具等,必须储备一定数量的在制品,半成品,也必须储备一定的成品。
商业部门为了保证满足社会需要,也要贮存一定数量的商品。
在商店里若存贮商品数量不足就可能发生缺货现象,从而失去销售机会,导致利润减少;如果存贮数量过多,一时售不出去,会造成商品积压,占用流动资金过多而使流动资金周转不开,这样也会给国家造成经济损失。
银行里每天随时都可能有人来提取现款。
人们来不来提款,提多少款,虽有一定规律,但都不是确定的,因此,银行也应保持一定数量的现金。
诸如此类还有如水电站雨季到来之前,水库应蓄水多少?等等。
当前我国物资管理中存在不少问题,其中最突出的就是库存储备过大,占用资金过多,资金利用和周转率不高,根据发达国家的经验,随着市场竞争的加剧,在原材料、设备和劳动力成本压缩的空间趋于饱和后,对成本的控制将转为物流领域。
而在物流领域中,库存管理占有很重要的地位。
因此,我们有必要对库存问题进行研究。
本论文利用概率论和运筹学知识来研究需求是连续型随1/ 14机存贮问题,因为随机存贮问题在现实生活中比确定型存贮问题更为普遍。
本论文先讨论如何得到这些概率分布的统计方法,再利用所获得的概率分布来讨论随机存贮问题。
1数理统计在概率论的许多问题中,概率分布通常总是已知的,或者假设为已知,而一切计算与推理就是在这已知的基础上得出来的。
但在实际中,情况往往并非如此。
一个随机现象所服从的分布是什么概型可能不知道,或者由于现象的某些事实而知道其概型,但不知其分布函数中所含的参数。
如我们考察某工厂生产的电灯泡的质量,在正常生产的情况下,电灯泡的质量是具有统计规律性的,它可以表现为电灯泡的平均寿命是一定的,电灯泡的寿命这个用来检查产品质量的指标,由于生产过程中的种种随机因素的影响,各个电灯泡的寿命是不相同的,由于测定电灯泡是一一进行测试,而只能从整批电灯泡中取出一小部分来测试,然后根据所得到的这一部分电灯泡的寿命的数据来推断整批电灯泡的平均寿命。
数学建模——存储模型
数学建模——存储模型存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
存储模型
时补充存贮，补充量Q＝S-x（即将存贮补充到S）。
3.（t，s，S）混合策略每隔t时间检查存贮量x，当
x＞s时不补充；当x≤s时，补充存贮量使之达到S。
（四）费用
1.订货费它包括两部分，一部分是订购一次货物
所需的订购费用（如手续费、出差费等），它是仅
与订货次数有关的一种固定费用。另一部分是货物 的成本费 kx（x 为订货数量， k 为单价），成本费随 订货数量变化而变化。 2.保管费包括货物的库存费和货物的损坏变质等
假设每隔 T 时间补充一次，则订货量必须满足 T
时间内的需求 rT ，即订货量 Q rT ，每次订货费 为 c1 ，货物单价为 k ，则订货费为 c1 krT T 时间内的存贮 量（如图）为
T
1 2 (rT rt )dt rT 0 2
1 2 则T时间内的存贮费为 rT c2 2 1 2 故T时间内的总费用 c1 krT rT c2 2 为确定订货周期 T 及每次订货量 Q，考虑 T 时间内
例2
某厂每月需某产品100件，生产每件产品存贮费
为 0.4 元，求最优生产周期、生产时间和生产批 量。
解 已 知 c1 5，p＝500／30，r＝100／30， c2 ＝
0.4／30，则
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产
批量为56件。
四、模型三
支出的费用。
3.缺货费由于供不应求造成缺货带来的损失费用， 如停工停产造成的损失和罚款等。
（五）目标函数
为了衡量存贮策略的好坏，必须建立一个衡
量指标，这个指标称为目标函数。通常把目标函
数取为该策略的平均费用或平均利润。
二、模型一
模型一——不允许缺货，生产时间很短 为了使模型简单，易于理解，便于计算，可作以
数学中的数学模型与仿真
数学中的数学模型与仿真数学是一门抽象而深奥的学科，其应用领域广泛，包括自然科学、工程技术、经济管理等各个领域。
在实际应用中，数学模型和仿真技术成为解决问题和预测结果的重要工具。
本文将探讨数学模型与仿真在数学领域中的应用。
一、数学模型的概念与分类数学模型是对现实问题进行抽象和数学化处理的工具。
它通过数学语言和符号来描述实际问题，并建立相应的数学方程或系统，以便进行分析和求解。
数学模型可以分为确定性模型和随机模型两类。
确定性模型是在已知条件下，通过数学关系建立的模型。
例如，物体自由落体运动可以用确定性模型进行描述，运用物理学中的公式v=gt 和 h= 1/2gt^2 ，即可求解出物体的速度和高度。
随机模型是在概率论的基础上建立的模型。
由于部分因素的不确定性，问题的解无法以确定的数值表示。
例如，投掷一枚硬币的正反面朝上是一个随机事件，可以用概率分布函数来描述硬币求解概率。
二、数学模型的建立与求解过程数学模型的建立通常包括以下几个步骤：问题的抽象、模型的假设、建立数学方程和参数的确定。
首先，需要对实际问题进行抽象，确定问题的关键因素和变量，排除次要因素的影响。
其次，通过对问题的理解和分析，建立合适的假设，以便简化问题并降低计算难度。
然后，根据问题的特点和所需的精度，选择合适的数学方法和方程。
这可能涉及到微分方程、代数方程、概率统计等不同数学工具。
最后，根据问题的实际情况确定参数的取值范围，并进行数值计算或解析求解，得出问题的答案。
三、数学仿真的意义与方法数学仿真是通过计算机模拟实验来模拟和分析实际问题的方法。
与传统实验相比，数学仿真有着成本低、效率高、灵活度高等优势，可以模拟和分析实际无法进行的大规模、长周期或危险的实验。
数学仿真可以通过编写计算机程序来实现，根据数学模型和初始条件，模拟问题的演化过程，并得到各种变量的数值结果。
常见的数学仿真方法包括蒙特卡洛方法、有限元方法、数值求解等。
蒙特卡洛方法通过随机抽样和统计分析来模拟问题，适用于概率性较高的情况。
仓库容量有限条件下多商品的随机存贮策略
的仓库 ， 存贮费用较低 ； 另外一个是租用的仓库 ， 存
贮 费用 较 高 。最近 的一篇 论 文 里 ， ｈｕＹ ｎ－ Ｚ ｏ ｏｇ Ｗｕ
１ 模型的建立和求解
为使研究模型简便 ， 本文作如下假设 。 设有 ｍ种商品需要订货 ， 它们每次一同从一个
讨论了有多个仓库 ， 每个仓库都是有限的情况。 对 于 一些 连 锁 店 ，当分 店 发生 缺 货 情 况 时 ， 它
提 供充 足 的货量 ， 虽然 每次 到货 时 间不 固定 ， 每次 但
用不 同的方法来研究库存问题。或从多种货物 的情 况 ］或从 变 化 的销 售 率 情 况 ， 从 存 贮 的 随 机 弹 ， 或 性来发展 了这个问题。早期 的研究一般是建立两个 假设上的： 一是只有一个仓库 ， 且存贮量无限 ； 二是 瞬时补 充 。这两 个 假 设 跟 实 际情 况 并 不 符 合 ， 一般 公司都不只是拥有一个仓库 ， 而且订货之后到货的
用 自己的仓库和租借的仓库时 ， 单位体积 （ 立方米 ）
商 品每天 的存贮 费分别 记成 ｃ 和 ｃ （ 。 ｉ＝ １２ ． ，… ， ｍ）， 位 体 积商 品 每天 的缺货 损 失记 成 ｃ （ 单 ｉ＝ １ ， ２… ， ， ｍ）， 自己 的仓 库 用 于 存 贮 这 ｍ 种 商 品 的 总 体积 容 量 为 Ｑ 每 次 到 货 后 这 ｍ 种 商 品 的存 贮 量 。， 总体 积 补充 到 固定体 积容 量 Ｑ为止 ， Ｑ 且 。≤ Ｑ ≤
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第 ７卷 第 ９期 ２０ ０ ７年 ５月 １７ —８９ ２ ０ ）９２０ －５ ６ １１ １ （ ０７ ０ －０ ３０
科
学 技
术
与 工
程
＠
Ｖｏ ． Ｎ ． Ｍａ ０ ７ １７ ｏ９ ｙ２ ０
存贮模型
• 经济批量订货公式（EOQ公式） 经济批量订货公式（ 公式） 公式
用于订货、供应、 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， ， 每天每件贮存费 T天订货一次 周期 每次订货 件，当贮存量降到 天订货一次(周期 每次订货Q件 天订货一次 周期), 零时， 件立即到货 件立即到货。 零时，Q件立即到货。
求 T ,Q 使
C (T , Q ) → Min
Q = rT
0
T
t
2
Q rT 一周期贮存费为 一周期 ~ C = c1 + c2 T = c1 + c2 T 2 2 c q (t ) dt = c A 总费用
2 0
∫
2
每天总费用平均 目标函数） 值（目标函数）
~ C c1 c 2 rT C (T ) = = + T T 2
模型求解
dC =0 dT
T =
2 c1 rc 2
2c1r Q = rT = c2
不允许缺货的存贮模型 •问：建模时作了 生产能力无限大”的假设 如果 问 建模时作了”生产能力无限大 的假设,如果 生产能力无限大” 生产能力有限,是大于需求量的常数 如何建模？ 是大于需求量的常数,如何建模 生产能力有限 是大于需求量的常数 如何建模？
每天总费用 C c1 c2 Q 2 c3 (rT − Q ) 2 C (T , Q ) = = + + 平均值 T T 2rT 2rT 目标函数） （目标函数） 求 T ,Q 使 C (T , Q ) → Min
∂C ∂C = 0, =0 ∂T ∂Q
为与不允许缺货的存贮模型 为与不允许缺货的存贮模型 相比， 记作 记作T 记作Q 相比，T记作 ’, Q记作 ’ 记作
(数学建模课件)2.3存贮模型
Q
Ar
t
0
T
2T一个订货周期总费用订货费 C1贮存费 C 2
T 0
q(t)dt
1 2
C2QT
1 2
C 2 rT
2
即
C（T）
C1
1 2
C2 rT
2
一个订货周期平均每天的费用 C(T ) 应为
C(T )
C(T ) T
C1 T
1 2
C2
rT
问题归结为求T 使 C(T ) 最小。
模型求解：
令
dC dT
0
，不难求得
T 2C1 rC 2
从而
Q 2C1r C2
（经济订货批量公式，简称 EOQ公式）
模型分析： 若记每吨货物的价格为 k ，则一周期的总费用C
中应添加 kQ，由于 Q rT ，故 C 中添加一常数项 kr，求 解结果没有影响，说明货物本身的价格可不考虑。
从结果看，C1越高，需求量 r 越大，Q 应越大；C2
模型一、不允许缺货的存贮模型 模型假设： 1、每次订货费为 C1，每天每吨货物贮存费 C2 为已知； 2、每天的货物需求量 r 吨为已知； 3、订货周期为T 天，每次订货 Q 吨，当贮存量降到零 时订货立即到达。
模型建立：
订货周期T ，订货量 Q 与每天需求量 r 之间满足
Q rT 订货后贮存量 q(t) 由 Q 均匀地下降，即 q(t) Q rt 。
模型建立：
缺货时贮存量 q 视作负值，q(t) 的图形如下，货物
在 t T1时售完，于是 Q rT1 。
.
.q
Q
r
A
0
T1 B T
t
一个订货周期内总费用如下
数学建模 生产与存贮问题的探讨
生产与存贮问题的探讨摘 要在一定时期内,生产的成本费与库存费一直是厂家最关心的优化指标。
本文根据题中的条件针对如何在成本费与库存费之和最优的情况下，使总工时最小的问题，利用了多目标动态规划的方法，建立了生产与存储的优化模型。
我们知道增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。
故可以找到一个生产计划使得生产的生产费与存贮费之和达到一个最小值,并且使他们所花的工时也最少。
我们根据实际生活中生产的部件的性质可以将生产模式分成两种情况：允许有缺货的情况和不允许有缺货的情况。
在模型一中,我们假设这种部件是不允许缺货的，于是目标函数为：∑∑==+++=6161)(7.03.0min k k k k k k c h p akx g在模型二中,我们假设这种部件是可以缺货的，但是我们要求上个月所缺的部件必须要在本月补回来。
如果中间某个月或者是某几个月出现缺货的现象,就会因为有损失费,面对这样的情况时,如果损失费比生产费少的话,对于这种方案公司还是可以考虑,根据这种情况我们可以得到目标函数为：∑∑==++++=6161)(7.03.0min k k k k k k k q p h c akx g我们建立的模型一和模型二都是以动态规划为主要解题思路，在模型中我们将生产费与库存费之和赋予0.7的权重值，总耗费工时数赋予0.3的权重值，假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，每件产品每月的缺货损失费为5元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S ，若生产量为X ，则成本费为S/X 元，设反比系数S 为840。
我们利用Lingo 软件求解，在没有缺货存在的条件下得到的最小成本费为5158元，总耗费工时数最少为382小时，一到六月的逐月分配方案为：7 4 5 4 3 4；在有缺货存在的条件下得到的最小成本费为4960元，总耗费工时数最少为363小时，一到六月的逐月分配方案为：6 3 4 3 3 8，每月的缺货量为：0 2 1 0 4 0。
存储论模型
存贮模型摘要：在需求量稳定的情况下讨论两个简单的存贮模型：不允许缺货模型和允许缺货模型。
前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失的情况，后者适用于像商店购货之类的情形，造成缺货的损失可以允许和估计。
本文主要写了存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。
并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样。
关键词：不允许缺货允许缺货订货周期订货批量Storage ModelAbstract：In discussing the demand for the stability of the two simple memory model: model and allow the stock out of stock are not allowed models. The former applies to the event of a shortage would cause significant losses, which applies to store purchases and the like, as the case, resulting in the loss of stock can be allowed and estimates. In this paper, wrote a total cost of the memory model to increase the cost of purchase of the goods themselves, re-determine the optimal order cycle and order quantity. And prove out the model and allow the stock does not allow the model results are the same as the original.Key words: Not allowed out of stock Allowed out of stock Order cycle Order Quantity1 问题的重述《数学模型》（第三版）在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。
存储论模型及应用
库存管理的主要形式
协作分包式
零部件 主企业 劳务 各级分销商
无需建立一级库 存（即零部件） 只需建立产品库 存
无ห้องสมุดไป่ตู้建立产品库 存
库存管理的主要形式
3、轮动方式（协调各个生产步骤的停滞） 、轮动方式（协调各个生产步骤的停滞） 轮动方式也称同步方式，是在对系统进行周密设计前提下，使各个环节 速率完全协调，从而根本取消甚至是工位之间暂时停滞的一种零库存、零储 备形式。这种方式是在传送带式生产基础上，进行更大规模延伸形成的一种 使生产与材料供应同步进行，通过传送系统供应从而实现零库存的形式。
库存控制方法
3、CVA（critical value analysis 关键因素分析法 ）库存管理方法 概念：由于ABC分类法有不足之处，通常表现为C类货物得不到应有的重视， C类货物往往也会导致整个装配线的停工。因此引入关键因素分析法。 CVA管理法的基本思想是把存货按照关键性分成3-4类，如下表所示：
4、EOQ（经济订货批量）库存控制模型 概念：假定每次订货的订货量相同，订货提前期固定，需求率固定不变， 他通过计算某项库存的年费用达到最小来确定相应的订货批量。 库存的年度总费用可表示如下： 库存项目的年度总费用=购买费用+订货费用+库存保管费用
TC = RP + RC / Q + QH / 2
式中：R~某库存项目的年需求量（件/年）； P~单位购买费用（元/件）； C~单位订货费用（元/次） Q~每次订货批量（件）； H~单位库存平均年库存保管费用（元/件*年）；
库存控制方法
JIT是一种生产方式，但其核心是消减库存，直至实现零库存，同时 又能使生产过程顺利进行。当然了这也是一种理想化的状况。在多品 种、小批量、多批次、短周期的消费需求的压力下，生产者、供应商 即仓储中心、零售商要调整自己的生产、供应、流通流程，按下游的 需求时间、数量、结构及其他要求组织好均衡生产、供应和流通，在 这些作业内部采用看板管理中的一系列手段来消减库存，合理规划物 流作业。 在此过程中，无论是生产者、供应商还是仓储中心或零售商，均应对 各自的下游客户的消费需求做精确的预测，否则就用不好JIT,因为JIT 的作业基础是假定下游需求是固定的，即使实际上是变化的，但通过 准确的统计预测，也能把握下游需求的变化。
108-基于MATLAB的随机库存系统仿真与统计建模
参考文献： 1. 刘 振 兴 . 嵌 入 式 技 术 实 践 教 程 [M]. 北 京 , 北 京 航 空 航 天 大 学 出 版 社 .2005. 20-30 2.黄 加 红,郑 灵 翔,曾 楠,陈 辉 煌.嵌 入 式 Linux 图 形 用 户 界 面 实 现[J].厦 门 大学学报(自然科学版) .2005,(01). 3.李栋,扬帆,李正为.基于 32 位低端嵌入式系统的图像采集模块[J].电子 设 计 应 用 .2007,(01). 4.刘玥,李韶远. ARM 嵌入式系统 GUI 开发研究[J].微计算机信息.2007, (14).
表一 提前期概率分布表
（3）如发生缺货 ，则顾客转向其他供应商购 买 ，由 此 给 商 店 带来的销售损失为 50 元/辆。
另外，根据订货规则，两次订货时间不发生交叉，即当所订 货物没有送到之前，不会再次订货。
试研究最优的库存方案。 3、计算机仿真 3.1 计算机仿真模型及流程
在对随机存贮系统进行评价时， 一般采用期望损失值最小 或期望利润值最大最为准则。 本文采用期望损失最小作为优化 的目标函数，以一天为一个费用计算时段进行仿真，并假设到货 时间都是早上，存贮费按当天晚上的库存量计算。 变量说明如下：
本文针对一类随机型库存问题， 在一定的假设下， 利用 MATLAB 编制程序进行计算机仿真，并根据多次仿真的结果，以 订货点、订货量为自变量，总费用为因变量，利用统计方法建立 了二次响应曲面回归模型，可供库存决策时参考。 2、实际问题
某自行车商店的仓库管理人员采取一种简单的订货策略， 当库存量降低到 P 量自行车时就向厂家订货， 每次订货 Q 量。 已知每次的订货费为 75 元，每辆自行车的存贮费为 0.75 元/天， 当前库存量为 115 辆，并且当前没有订货[1]。
存贮模型
解 根据（4－28）～（4－31）可得 2 2040 (170 500) t 0.176 170 1040 500
2 500 2040 1040 S 137 170 (170 500)
Q 1040 0.176 183 2 170 500 2040 1040 C (t , S ) 23202 170 500 那么，每年订货次数应为 1 1 5.68
C (t , S ) 23235
同样可得
1 1040 t ,Q Q 5 5
500 1040 S 155 170 500 5
C (t , S ) 23394
所以每年应订货6次，每次订货批量为 1040/6吨，每的的总存贮费用为23 235元。 二、随机性存贮模型 前面我们讨论的模型 其数据都是确定的，这类 存贮模型 叫确定性存贮模型。以下我们讨论含 有随机数据存贮模型 。为此，我们先通过一个 例题介绍一直建立这种模型的基本思想。
2040 1 C (t ) 170 1040 0.152 22858 0.152 2 于是每年的订货次数应为
1 1 6.58 t 0.152
由于订货的次数应为正整数，故可以比较订货 次数分别为6次和7次的费用。若订货次数为 1 6，可得每的总费用为 C ( ) 22973 。若订货 6 次数为7，可得每 年的总费用为 C ( 1 ) 22908 。
t
0.176
同样，由于订货次数应为正整数，故可分别比 较订货次数为5次和6次的费用。若每年订货6 次，则订货周期批量分别为
1 1040 t ,Q 6 6
相应的
C2 500 1040 S Q 129 ，从而 C1 C2 170 500 6
物流管理优化模型
2012年三峡杯重庆三峡学院数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则•我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A ________ 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：_________________________ 所属学校（请填写完整的全名）：____________ 重庆三峡学院__________________ 参赛队员（打印并签名）：1. ____________ 齐财华_________________________2. __________ 侯景耀_________________________3. __________ 廖友芳_________________________指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：________________日期：2012 年9 月_日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012三峡杯重庆三峡学院数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号物流管理问题的优化模型摘要本文主要对物流管理过程中的优化问题进行了研究。
制定订货策略是商业公司生产销售过程中的重要环节，因此对物流管理过程中的优化问题进行研究有助于提高公司的物流管理水平，使公司获得最优的运作效果，从而获得最佳的社会效益和经济效益。
存储论四个模型公式
存储论四个模型公式存贮论（或称为库存论）是定量方法和技术最早的领域之一，是研究存贮系统的性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科，是运筹学的重要分支。
存贮论的数学模型一般分成两类：一类是确定性模型，它不包含任何随机因素，另一类是带有随机因素的随机存贮模型。
1 存贮模型中的基本概念所谓存贮实质上是将供应与需求两个环节以存贮中心联结起来，起到协调与缓和供需之间矛盾的作用。
存贮模型的基本形式如图 1 所示。
1．存贮问题的基本要素（1）需求率：单位时间内对某种物品的需求量，用 D 表示。
（2）订货批量：一次订货中，包含某种货物的数量，用Q 表示。
（3）订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，用T 表示。
2．存贮模型的基本费用（1）订货费：每组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与定购数量无关，记为。
（2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。
单位存贮费记为。
（3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为。
3．存贮策略所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。
下面是一些比较常见的存贮策略。
（1）t 循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间t ，补充一个固定的存贮量Q 。
（2）(t,S) 策略：每隔一个固定的时间t 补充一次，补充数量以补足一个固定的最大存贮量S 为准。
因此，每次补充的数量是不固定的，要视实际存贮量而定。
当存贮（余额）为I 时，补充数量为Q = S −I 。
（3）(s,S) 策略：当存贮（余额）为I ，若I > s ，则不对存贮进行补充；若I ≤s ，则对存贮进行补充，补充数量Q = S −I 。
补充后达到最大存贮量S 。
s 称为订货点（或保险存贮量、安全存贮量、警戒点等）。
在很多情况下，实际存贮量需要通过盘点才能得知。
若每隔一个固定的时间t 盘点一次，得知当时存贮I ，然后根据I 是否超过订货点s ，决定是否订货、订货多少，这样的策略称为(t,s,S)策略。
数学建模——存储模型
存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
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∫
0
L r
M 1 ( x ) ・f ( x ) d x +
M 2 ( x ) ・f ( x ) d x ∫
L r
∞
( 2. 4)
2. Q ≥ L > Q0 ,订货点大于自己仓库的最大容量
如图 2. 1 ( b) 所示 ,此时还要分三种情况考虑 : I : L - rx ≥ Q0 ,送货到达时租借仓库内仍然存有商品 ,无缺货 ;
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7期
宁晓燕 ,等 : 两种随机存贮管理模型的建立和求解
155
M2 ( x ) =
L c2 ( rx - L ) 2 c4 + ・ 2r 2 r
0 ～ t1 时段 ,自己仓库的库存不变 ,其单位时间内的损失费用不变 ,为 Q0 c2 ; 而租借仓库
内的商品以速率 r 减少 ,其库存费用的减少速率为 r ・c3 ,在左下图中即表现为 AB 段的斜率 为 r ・c3 . 在 A 即周期起点处 ,总库存为 Q ,其中 Q0 部分存在自己仓库内 , Q - Q0 部分存在 租借仓库内 , NA = Q0 c2 + ( Q - Q0 ) c3 . 在 t1 ～ t3 时段 ,库存只剩下自己仓库里的 ,日库存 费用 N 从 N B = Q0 c2 以速率 r ・c2 减少 ,至 t2 时刻库存降为 N C = Lc2 . 而 t3 点为该周期的 终点 ,此时送货到达 ,而 N D = ( L - rx ) c2 . 很直观地 ,0 ～ t1 段的累积损失费为梯形 A 0 Bt1 的面积 S 1 , t1 ～ t2 段累积损失费用为梯形 Bt 1 t2 C 的面积 S 2 , t2 ～ t3 段的累积损失费用为梯 形 Ct 2 t3 D 的面积 S 3 . 计算如下 :
Q0 .
11 0 ≤ L ≤ Q0 ,订货点大于自己仓库的最大容量
这又可以分为两种情况 ,分别如图 211 中左 、 右所示 .
I : L ≥ rx ,即不会发生缺货现象 ,在送货到达时商品还有剩余或恰好售完 .
如图 211 ( a) 中左边部分所示 . 看左上图 ,以每个周期开始时刻为 0 点 ,此时总的库存量 为 Q ,它以不变的销售速率 r 均匀减少 . 到 t1 时刻降为 Q0 ,也即租借仓库内的商品销售完 全 . t2 时刻库存降至 L ,此时发出订货单 . 在 t 3 时刻 ,商品仍有库存或恰好售完 ,而补充货物 送到 ,将其补充至 Q ,故 t3 也即下一周期的起点 . t 2 ～ t3 段长度即为滞后时间 x . 定义日损失费 N ,指单位时间 ( 天) 内除订货费外其他损失费之和 . N 是时间的函数 ,在 周期 T 内对 N 进行积分 ,可得到一周期内存贮和缺货损失费之和 .
2
( 2. 2)
I 和 II 情况下表达式有共同项 ,经整理得到 : FT ( X ) = M = c1 + M1 ( x ) =
( 213) 2r ( Q - Q0 ) 2 ;
2r
2 ( 2 QQ0 - Q2 0 - L ) +
2 Lc2 - rxc2 ・x ; 2
FT = c1 + F0 +
∞
L- Q 0 r L r
∫
0
F1 ( x ) ・f ( x ) d x +
∫ F ( x) ・f ( x) d x
L- Q 0 r
2
2
+
F ( x ) ・f ( x ) d x ∫
L r
3
( 2. 5)
其中 , F0 = S1 =
F2 = F3 =
( Q + L ) c3 + 2 Q0 c2 - 2 Q0 c3 Q - L (L - Q0 ) c3 + Q0 c2 + L - rx ・ , F1 = ・x , 2 r 2
关键词 : 随机存贮模型 ; 优化问题 ; 仓库容量
1 问题假设
11 不考虑商品销售率的变化 ; 21 当订购货物到达时可无限量瞬时补充至 Q ,即不考虑供给方的供给能力限制 ; 31 时间是连续变化的 ; 41 不考虑从仓库到超市的时间延迟和运输费用 ,即认为仓库和超市是一体的 ; 51 在多品种存贮问题中不考虑仓库之间的动态调配 ;
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7期
宁晓燕 ,等 : 两种随机存贮管理模型的建立和求解
153
212 单品种存贮问题分析
问题 1 、 2 属于运筹学中存贮论一支 ,是一个仓库容量有限 、 单品种随机存贮的最优化问 题 . 可以通过建立起目标规划模型进行求解. 它以总损失费用最低作为目标 , 订货点为要 求的变量 . 总损失费用由三个方面组成 : 订货费用 、 仓库贮存费 、 缺货费 . 存贮费用包括两个方面 : 自己仓库的存贮费 c2 和租借仓库的存贮费 c3 . 而 c2 ≤ c3 ,故销售时应先售出外仓库存贮部 分 ,再售出自己仓库存贮部分 . 当存贮量降到订货点 L 时要发出订货单 . 题中订货是需要一定时间 x 才能送到的 , 存 贮论中将这段时间称为滞后期 . 滞后期的取值是随机的 . 有可能出现订货未到时商品已全 部售出 ,发生商品短缺的现象 . 因为每次订 、 送货情况不一样 ,且交货时间是随机的 , 使得唯一的订货点不能保证每次 的损失都是最低的 ,故采用一个概率平均值来描述损失费用 . 在概率平均的情况下 ,以连续 两次收到补充订货的时间间隔作为一个时间周期 T . 取 损失费 = 一个周期内的总损失费期望值 ,即用单位时间 ( 题中取天) 内的平均损失费用 周期长度期望值
II :0 ≤ L - rx < Q0 ,送货到达时租借仓库内已无存贮商品 ,而自己仓库内还存有部分
商品 ,无缺货 ;
III : L - rx < 0 ,送货到达时租借仓库和自己仓库内均空 ,有缺货现象 .
与 0 ≤ L ≤ Q0 时相同 ,可以分别推导出这三种情况下总损失费用表达式. 观察三种情 况下的总费用的表达式 ,发现它们有共同的项 ,经整理对总费用求其期望值得到如下 :
建立了仓库容量有限条件下单品种 、 多品种允许缺货的随机存贮模型 . 摘要 : 采用连续的时间变量更合理地描述了问题 ,简化了模型的建立 . 模型的求解是一个以分段的平均损失 费用函数作为目标的带约束最优化问题 . 针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了 估计 ,解出了单品种 、 多品种条件下最优订货点的值和存贮方案 . 通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种 ( m 种) 存贮模型 ,论证了目标函数的独立变量为 2 m 求解方便 . 类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理 , 给 1 个 ,使模型更加清晰 、 出了证明 ,指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用 . 讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型 ,实际当中调整修正订货点的方法 ,以及仓库最大存贮量的一 种预测办法 . 最后指出了模型的优缺点 .
2
・( t3 - t 2 ) =
2 Lc2 - rXc2 ・x 2
则无缺货情况下 ,一周期内总损失费用是面积 S 1 、 S2 、 S 3 之和加上 订货费 ,即 :
FT = c1 + S1 + S2 + S3 = c1 + II : L < rx ,要发生缺货的情况 . c2 c3 rc2
2r
2 (2 QQ0 - Q2 0 - L ) +
2r
( Q - Q0 ) 2 + Lc2 x -
2
x
2
( 211)
同上可计算得出 : FT = c1 + S1 + S2 + S3 + S4 = c1 +
c2 c3 L c2 ( rx - L ) 2 c4 2 (2 QQ0 - Q2 ( Q - Q0 ) 2 + + ・ 0 - L ) + 2r 2r 2r 2 r M + M1 ( x ) , M + M2 ( x ) , c2 L ≥ rx L < rx c3
(L - Q0 ) c3 + 2Q0 c2 L - Q0 Q0 c2 + (L - rx) c2 Q0 - L + rx ・ + ・ , 2 r 2 r (L - Q0 ) c3 + 2Q0 c2 L - Q0 Q2 ( rx - L ) 2 c4 0 c2 ・ + + ・ 2 r 2r 2 r
要对总损失进行评价 ,应取单位时间内平均总损失费用 F = FT / T . 而周期 T 取的是概 率平均值 T = 珋 x + ( Q - L ) / r ,此处 珋 x 表示送货时间 x 的数值期望 . 根据订货点 L 的取值 ,得到目标函数 :
213 单品种存贮模型的建立
在建立模型的时候 ,将时间看作是连续的 ,采用连续的方法来进行分析建模 ,将库存量 、 缺货量 、 库存费用 、 缺货费用 、 滞后期分布函数等在时间上进行连续化. 一方面较符合实际 情况 ,另一方面亦可简化模型的分析和求解. 由于自己仓库容量的限制 ,需要租借仓库来进行存贮 ,这比只存在自己仓库存储的模型 复杂性有所增加 . 经分析 ,根据订货点 L 的取值将问题分为两种情况 :0 ≤L ≤Q0 ; Q ≥L >
0 ～ t1 : S 1 =
t1 ～ t2 : S 2
2 Q0 c2 + ( Q - Q0 ) c3 Q - Q0 ・ 2 r ( Q0 + L ) c2 Q0 - L NB + N C = ・( t2 - t1 ) = ・ 2 2 r