具混合变时滞和脉冲效应的中立型神经网络全局指数稳定性

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时滞脉冲周期细胞神经网络指数稳定性的平均准则

时滞脉冲周期细胞神经网络指数稳定性的平均准则宋学力;赵盼;王小伟【摘要】本文致力于研究具有周期系数的脉冲时滞非自治细胞神经网络的全局指数稳定性。

具体地，利用非线性测度方法和周期Halanay微分不等式，我们获得了该类神经网络的积分平均意义下的稳定性准则。

我们的方法不要求激活函数的有界性和单调性，这意味着我们的稳定性准则和现有的某些结果相比受到的约束限制少，可以被应用到更一般的实际问题。

此外，我们获得的稳定性准则是现有某些研究结果的推广和改进。

最后，文中的例子说明了我们的方法是有效的，获得的结果是正确的。

%This paper investigates the global exponential stability of non-autonomous impul-sive and delayed cellular neural networks with periodic coeﬃcients. Particularly, by means of the nonlinear measure method and periodic Halanay differential inequal-ity, we obtain an integral average criterion for global exponential stability of this class of neural networks. Our method does not require assumptions on bounded-ness and monotonicity of activation functions, which demonstrates that our derived cri-terion is less restrictive than some existing ones and can be applied to more gen-eral practical problems. Moreover, our stability criterion is the generalization and improvement of some existing ones. Finally, an example illustrates the effectiveness of our method and the correctness of our results.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】15页(P608-622)【关键词】全局指数稳定性;细胞神经网络;周期Halanay微分不等式;非线性测度【作者】宋学力;赵盼;王小伟【作者单位】长安大学理学院，西安 710064;长安大学理学院，西安 710064;长安大学理学院，西安 710064【正文语种】中文【中图分类】O175.131 IntroductionIn the viewpoint of mathematics,cellular neural networks(CNNs)introduced by Chua and Yang[1,2]can be characterized by an array of locally interconnected identical nonlinear dynamical systems(calledcells)[3].During the last nearly three decades,the dynamic behaviors of CNNs have been intensively investigated because they are important and in fact,necessary for applications of CNNs.As we all know,in electronic implementation of neural networks,time delays are inevitable due to axonal conduction times and f i nite switching speeds of amplif i ers[4]and the abrupt changes in the voltagesproduced by faulty circuit elements are exemplary of impulse phenomena,which can af f ect the dynamic behaviors of the networks[5].Consequently,a great deal of attention has been devoted to stability analysis of autonomous CNNs with time delays and/or impulses[4-17].Although the stability is one of the major problems encountered in design and applications of neural networks,periodic oscillation is an important dynamical behavior for non-autonomous neural networks[18]because one has found that some networks(such as human brain)are often periodic oscillatory[19]and periodic oscillatory solutions can represent various storage or memory patterns.Moreover,an equilibrium point can be deemed as a special periodic solution with arbitrary period.Therefore,the dynamic study of periodic oscillatory solutions of non-autonomous neural networks is more general and practical than that of the equilibrium points.Accordingly,the properties of periodic oscillatory solutions of non-autonomous CNNs are recently of great interest and there come forth many excellent results[19-27].In order to characterize the exponential stability of periodic oscillatory solutions of the non-autonomous CNNs,in fact,most of existing methods have to verify the Halanay dif f erential inequalitywhere V(t)is a positive function,a(t)and b(t)are related to the coefficients of the non-autonomous CNNs in question.The paper[28]has provided an integral average criterion such that the Halanay dif f erential inequality holds.It has been illustrated that this criterion is less conservative and ef f ective for describing global exponential stability of delayed CNNs with periodic coefficients in[20].Motivated by this,we employ this integral average criterion and nonlinear measure method introduced in[29]to invastigate global exponential stability of periodic solution of delayed andimpulsive CNNs with periodic coefficients.In fact,our stability criterion will be the generalization and improvement of Theorem 3.1 and Theorem 3.4 presented in[20].The remainder of this article is organized as follows.In section 2,we provide a description and related assumptions of the non-autonomous delayed and impulsive CNNs with periodic coefficients.Section 3 is devoted to preliminaries,where we introduce periodic Halanay dif f erential inequality and prove an integral average criterion for global exponential stability of a non-autonomous impulsive functional dif f erential equation with periodic coefficient operators.In section 4,an integral average criterion is obtained for global exponential stability of periodic solutions of the non-autonomous delayed and impulsive CNNs with periodic coefficients by the results derived in section 3.Moreover,an example is presented to illustrate that our method is valid and that our derived results are new and correct.Conclusions are given in section 5.2 Model descriptionIn this paper,we plan to discuss the model of delayed and impulsive CNNs with periodic coefficients described by the following delayed and impulsive dif f erential equationswhere n denotes the number of the cells and i=1,2,···,n;τ>0 is the time delayed constant;xi(t)corresponds to the state of the ith cell;fjand gjdenote the activation functions of the jth cell;ai(t)is a positive continuous T-periodic function and represents the rate with which the ith cell will resetits potential to the resting state in isolation when disconnected from the network and external input at time t;coefficients bij(t),cij(t)and Ii(t)are continuous and T-periodic functions;is the impulse at the moment tk;0=t1<t2< ···is a strictly increasing sequence such thatand there exists q∈such thatϕibelongs to the space of all continuous functions from[−τ,0]to,i.e.,.In order to investigate the global exponential stability of periodic solutions of the model(1),we only suppose:(H1): The time delayed constant τ is a multiple of the period T of the coefficients functions;(H2): Activation functions fjand gjare globally Lipschitz continuous forj=1,2,···,n;(H3): for all i=1,2,···,n and k=1,2,···,q.3 PreliminariesLet n-dimensional real vector spacebe endowed with 1-norm def i ned bywhere the superscript “T” denotes the transpose.Let 〈·,·〉denote the inner product inand sign(x)=(sign(x1),sign(x2),···,sign(xn))Tthe sign vector of x ∈,where sign()represents the sign function of ∈.Obviously,the relationshold for all x,y∈.In order to discuss the global exponential stability of periodic solutions of the neural networks(1),we f i rstly consider one of the following non-autonomous impulsive functional dif f erential equationwhere τ>0 is time delayed constant;C([−τ,0],)denotes the space of all continuous functions from[−τ,0]into;the coefficients F(t),G(t):are nonlinear globally Lipschitz continuous and T-periodic;0=t1<t2< ···is a strictly increasing sequence such that=+∞ and there exists q∈Nsuch thatDefinition 1[30] For any t≥0,a nonlinear operator T(t):n→nis called be globally Lipschitz continuous if there exists a nonnegative constant Mtdepending on t such thatwhere Mtis called the Lipschitz constant of T(t).The constantis called the minimal Lipschitz constant of T(t).Definition 2[29]Assume that F(t)is a nonlinear operator fromintofor t≥0.The constant related to tis called the nonlinear measure of F(t).Definition 3 The dif f erential equation(3)is globally exponentially stable if there exist two positive constants σ and M such that the followinginequalityholds for t≥0,where y(t)and x(t)are the periodic oscillatory solutions of the dif f erential equation(3)initiated from the function ϕ,ψ ∈c([−τ,0],),respectively.To characterize the exponential stability of the dif f erentialequation(3),one has to verify the Halanay dif f erential inequalitywhere V(t)is a positive function,a(t)and b(t)are continuous and T-periodic functions and b(t)≥0.If some assumptions are imposed to the coefficients of the model(3)such that the inequalityholds for all t∈[0,T],then from the Halanay dif f erential inequality(4)one can conclude the fundamental estimatewith constants M ≥ 1 and σ >0.Obvious ly,the inequality(5)seems to be too restrictive.Fortunately,the paper[20,28]handles the periodic Halanay inequality under the hypotheses weaker than(5),that is,by means of the integral averages conditionrather than the known pointwise criterion(5),whereDenote by λ0(t)the periodic functionwhere is the unique positive solution of the transcendental equationObviously,we enjoyLemma 1[20]Let V(t)be a positive solution of the periodic Halanay inequality(4)with the initial condition V(s)= ϕ(s)≥ 0,s∈ [−τ,0].Assume that the time delay constant τ is a multiple of the period T.There exists M1,M ≥ 1 such that one hasTheorem 1 Assume that the time delay constant τ is a multiple of the period T of coefficients of the dif f erential equation(3)and|1+ γk|≤ 1 fo r k ∈ {1,2,···,q}.If there exists some positive diagonal matrixD=diag(d1,d2,···,dn)such that the inequalityholds,the dif f erential equation(3)is globally exponentially stable,whereT is the period of coefficient operators F(t)and G(t).Particularly,the periodic oscillatory solutions (t)and y(t)of the dif f erential equation(3)initiated from ϕ,ψ ∈c([−τ,0],)satisfy the following relationwhere M ≥ 1 is a constant and σ is the unique positive solution of the transcendental equationProof Let x(t)=(t)−y(t)for all t≥0.From the relations(2),we derive thatholds for all s>0.consequently,the function t 7→ ∥x(t)∥1is absolutely continuous in(0,+∞),which implies that derivatives of∥x(t)∥1exist almost everywhere in(0,+∞).Furthermore,from the equation(3),we can conclude that derivativesof∥x(t)∥1satisfyfor t≥ 0 and t≠=tk.The combination of the condition(10),Lemma 1and(9)implies that there exists a constant M≥1 such thatholds for all t≥ 0 and t≠=tk,where σ is the unique positive solution of the transcendental equationFor t=tk,we enjoyFrom the assumption of|1+ γk|≤ 1 for k ∈ {1,2,···,q},we deriveFinally,we conclude that the inequality(11)holds for all t≥0.Remark 1 Theorem 1 provides a new integral average criterion for global exponential stability of the non-autonomous impulsive functional dif f erential equation with periodic coefficients(3).The equation(3)is essentially dif f erent from the nonautonomous impulsive functional dif f erential equation(15)in[16]because coefficients of the equation(15)in[16]only depend on the exponential function etin the nonautonomoussense.Moreover,Theorem 8 in[16]has only provided a stability criterion for the equilibrium point rather than the generalsolutions.consequently,Theorem 1 is dif f erent from Theorem 8 in[16].4 Global exponential stability of cNNs(1)In this section,we study global exponential stability of cNNs(1).For this,we respectively def i neTheorem 2 Suppose that the assumptions(H1)–(H3)hold and the inequalitieshold for some positive real numbers di(i=1,2,···,n),where T is the period of the functions ai(t),bij(t),cij(t)and Ii(t),i,j=1,2,···,n.Then the model(1)is globally exponentially stable,i.e.,the solutions y(t)and x(t)of the model(1)initiated from ϕ,ψ ∈ c([−τ,0],n)enjoy the following relationwhere M ≥ 1 is a constant and σ is the unique positive solution of the transcendental equationwithProofLet D=diag(d1,d2,···,dn)and c=diag,whereThe inequalities(16)imply that ci>0,i=1,2,···,n.For all x,y ∈ ,And then,we havewhich impliesMoreover,we haveFrom the above inequality,we deriveconsequently,we haveWithout loss of generalization,we assume that the above maximum value is derived at i0,that isFrom the inequalities of(16),(19)and(20),we can deriveAccording to Theorem 1,the solutionsandof the following functional dif f erential equationsatisf i eswhere σ is the unique positive solution of the equation(18).It is obvious that=C−1Dy(t)and=C−1Dx(t)are the solutions of the dif f erential equation(21)if y(t)and x(t)are solutions of the model(1).consequently,the model(1)is globally exponentially stable and the periodic solutions of themodel(1)enjoy the relation(17).Remark 2 Dif f erent stability criteria of non-autonomous cNNs have been provided in these papers[19,21,23,24,27].Except global Lipschitz continuity assumption,these activation functions are assumed to be bounded,and monotonic increasing and bounded in[19,21,24,27],respectively.One of the assumptions of activation functions is stronger than global Lipschitz continuity in[23].However,our model only assume the activation functions to be globally Lipschitz continuous.consequently,our results are new compared with ones in these papers.Remark 3 The papers[16,17]have discussed the stability of the equilibrium point.However,the cNN models in[16,17]are dif f erent from the model(1)in this paper because the coefficients in the former are constants and the ones in the latter are pared with them,our model and results are new.Remark 4 If the assumption of ai(t)>0 is abandoned and the inequalities(16)are accordingly changed intoit is easily proved that the condition(22)guarantees the global exponential stability of the model(1)without the assumption of ai(t)>0 from the proof of Theorem 2.In additional,the paper[20]has dealt with the global exponential stability of generalized delayed and periodic cellular neural networks without the assumption of ai(t)>0.On the one hand,our model additionally consider the ef f ect of impulsive perturbations compared with the paper[20].In the sense of model,our model is the generalization of onein[20].On the other hand,the condition(16)is weaker than the one(3.7)of Theorem 3.1 and 3.2 in[20]even if we do not consider impulsive ef f ect,which means that our result is improvement of Theorem 3.1 and 3.2 in[20].The following example is presented to illustrate that our result is generalization and improvement of Theorem 3.1 and 3.2 in the paper[20]. Example 1 consider the following delayed and impulsive cNNs with periodiccoefficientswhere i=1,2,fj(x)=tanhx,andIn the model(23),the coefficients ai(t),bij(t)and cij(t)areperiodic for i,j=1,2 and τ=2.L(fj)=1 and L(gj)=for j=1,2.It is obvious that the assumptionsof(H1)–(H3)are satis fi ed.Furthermore,taking d1=2 and d2=5,we enjoyeven if there exists t0such thatThis means that the inequalities(16)hold.Henceperiodic solution of the model(23)is globally exponentially stable.Figure 1 is the simulation of the model(23).Figure 1:The simulation for the solutions to delayed impulsive cNNs(23) If we do not consider the impulsive ef f ect of the model(23),we takeThis implies that A(t)<B(t)for any t≥0.It is obvious that the conditionm[A(t)]>m[B(t)]impossibly holds.consequently,Theorem 3.1 and 3.2 in the paper[20]are not valid to this example.5 conclusionThis paper has discussed global exponential stability of non-autonomous impulsive and delayed cNNs with periodic coefficients.The new integral average criteria for global exponential stability of periodic solutions of this cNNs model and a general nonautonomous periodic impulsive functional dif f erential equation have been obtained by means of nonlinear measure method and periodic Halanay dif f erential inequality.Our method does not require the assumptions on boundedness and monotonicity of activation functions,which demonstrates that our derived criteria are less restrictive than some existing ones and can be applied to more general practical problems.Moreover,the stability criterion of this cNNs is the generalization and improvements of some existing ones.The example and its simulation have illustrated that the ef f ectiveness of the proposed method and the correctness of our results.References:[1]chua L O,Yang L.cellular neural networks:theory[J].IEEE Transactions on circuits and Systems,1988,35(10):1257-1272[2]chua L O,Yang L.cellular neural networks:applications[J].IEEE Transactions on circuits and 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变时滞细胞神经网络模型的全局指数稳定性

０引言
１８年，．０ｈａ等Ｈ提出了如下细胞神９８Ｌ．Ｃｕ
经网络
ｃ
虑其时滞是更一般的时间变量的函数的情况下，在
非线性神经元激励函数满足较弱的Ｌｐｃｉ条件ｉｓｈｚｔ
下，到了其平衡点是全局指数稳定的条件．虑得考含有变时滞的细胞神经网络模型如下
维普资讯
２００７年７月
四川师范大学学报（自然科学版）
ＪｕａｏＳｃｕｎＮｒａＵｉｅｉ（ａｒｌｃｎｅｏｒｌｆｉａｏｍｌｎｖｒｔＮｔａＳｉｃ）ｎｈｓｙｕｅ
Ｉ・
≥ ０是常数．对此模型，有广泛的研究（文已见［－］．２５）本文将借助于文［］的方法研究方程（）考６３，
收稿日期：０５— １０２０１ —１基金项目：川省教育厅自然科学重点基金资助项目四
Ｌｐｃｉ常数，，＝１２ … ，）ｉｓｈｔｚ（，，ｎ；
（）勺一２（＋６）ｎ（ｘｎ＋ｍａ
型
１预备知识
设
（）ＥＣ［下０，，ｉ，，凡・（一，］Ｒ）＝１２ …，，
… 耋）㈤＋）＋
∑ｂ，ｊ一），ｉ，，凡（）Ｅ（（）＋：１ …，，２ｘｔ，２
其中凡≥２是神经网络中神经元的个数，ｔ代表（）第ｉ神经元在ｔ个时刻的状态，，ｂ及，是常数，ｃａ，ｌ

一类具有时滞和脉冲的中立型神经网络的全局p-指数同步

一类具有时滞和脉冲的中立型神经网络的全局p-指数同步秦发金【摘要】研究了一类具有时滞和脉冲的中立型神经网络指数同步问题。

通过利用一个奇异时滞微分不等式和M-锥理论，获得了保证其误差系统全局p-指数同步的充分条件，同时也给出了同步指数收敛速率的估计。

%This paper researches a global p-exponential synchronization for a kind of neural networks with time-varying delays and impulses. By using a singular impulsive delay differential inequality and M-cone theory,this paper obtains a set of sufficient conditions to guarantee the global p-exponential synchronization for the error system,and puts for ward the estimation of the synchronization exponen⁃tial convergence rate as well.【期刊名称】《柳州师专学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】8页(P102-109)【关键词】时滞;脉冲;中立型神经网络;全局p-指数同步;M-锥理论【作者】秦发金【作者单位】柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系，广西柳州 546100【正文语种】中文【中图分类】O175.13秦发金（柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系，广西柳州546100）近年来，对中立型神经网络的研究引起学者们的广泛关注，并取得了许多好的结果［1-4］.同时关于指数同步也引起了学者们的重视，并取得了一些有意义的结果［5-8］.然而，对中立型系统的指数同步问题，却很少有人研究，因此，本文讨论下面一类具有时滞和脉冲的中立型神经网络的指数同步问题，这里i∈N={1，2，…，n}，k=1，2，…，是常数，aij（t），bij（t），cij（t），τij（t），rij（t），fij（t），gij（t），hij（t），Ii（t）∈C ［R，R］，i，j∈N.系统（1）的初始条件为初始函数，脉冲函数Pk=（p1k，…，pnk）T∈C［Rn,Rn］，Qk=（q1k，…，qnk）T∈C［Rn，Rn］，并且固定的脉冲时刻tk满足，易知在方程（1）中x′（t）=（x′（t）1，…，x′（t）n）T在固定的脉冲时刻tk 有第一类间断点；而且x′（t）在某些时刻（tk，tk+1），k=1，2，…有第一类间断点.为了方便起见，我们假设设E为n维单位矩阵，对于或意味着A与B的对应的每一对元素满足不等式“”.特别地，如果A≥0，则称A为非负矩阵，并且如果z>0，则z称为正向量.记C［X，Y］为从拓扑空间X到拓扑空间Y的连续映射全体.特殊地，记C=C ［［-τ，0］，Rn］，其中τ>0.PC［J，Rn］={ψ：J→Rnఙψ（s）除了在有限个点s∈J以外连续，并且在这些点s∈J，ψ（s+）以及ψ（s-）存在，ψ（s）=ψ（s+）}，其中J⊂R是有界区间，记ψ（s+）和ψ（s-）分别为ψ（s）的右极限和左极限.特别地，令PC=PC［［-τ，0］，Rn］.PC1［J，Rn］={ψ：J→Rnఙψ（s）除了在可数个点s∈J以外连续可微，并且在这些点s∈J，ψ（s+），ψ（s-）ψ′（s+）以及ψ′（s-）存在，ψ（s）=ψ（s+），ψ′（s）=ψ′（s+）}，其中记ψ′（s）为ψ（s）的导数.特别地，令对于，定义对于φ（t）∈C［J，Rn］或φ（t）∈PC［J，Rn］，定义［φ（t）］τ=（［φ1（t）］τ，…，［φn（t）］τ）T，［φ（t）］τ+p=［［φ（t）］+p］τ，［φi （t）］τ，并且记D+φ（t）为φ（t）在时间t的右上导数.对于φ∈C或φ∈PC，定义范数‖φ‖τ=.对于，定义范数.假设驱动系统为（1），其响应系统为其初始条件为为了使系统（1）和系统（2）达到同步状态，我们选取如下时滞状态反馈控制器定义同步误差为，这里，于是由（1）-（3）可得如下同步误差系统这里令，则系统（4）转换成以下2n -维奇异脉冲时滞微分系统并满足初始条件注1：显然，系统（1）和系统（2）达到指数同步，等价于系统（4）的指数稳定性，并且系统（4）在中的指数稳定性等价于系统（5）在PC中的指数稳定性.定义1 系统（2）和系统（3）在中是全局p-指数同步的，如果存在常数和使得满足初始条件任一解满足这里为正整数.定义2 系统（2）和系统（3）在PC中是全局p-指数同步的，如果存在常数和使得满足初始条件的任一解满足定义3 令矩阵以及，则D称为M-矩阵，如果下列条件中的其中之一成立：（i）D的所有前主子式都为正的；（ii）存在一个正向量z使得Dz＞0；（iii）D是逆正矩阵，即D-1存在并且D-1≥0.对一个M-矩阵D，我们定义由定义3的（ii），可得下面的引理：引理1如果D是一个M-矩阵，则非空，并且对任意的有所以是一个没有底面的锥，我们称之为“M-锥”.对非负矩阵，以表示其谱半径，相应的其特征空间表示为由文［13］知只要非负矩阵A至少有一个正特征向量，则就包含了A的所有正特征向量.引理2［9］假设如下条件(C1)和(C2)成立：（C1）令r-维对角矩阵满足（C2）令是一个M-矩阵，其中以及满足令是如下满足初始条件的奇异时滞微分不等式其中，并且；而.则只要初始条件满足其中，正数满足引理3［10］对常数及正整数p，下面不等式成立为了得到本文主要结果，我们给出如下几个假设：(A1)存在非负常数和，使得连续函数和满足是一个M-矩阵，其中(A3)存在非负矩阵，使得这里（u1，…，un），（v1，…，vn）∈Rn.(A4)=是非空的，这里(A5)设存在正常数满足这里常数满足其中，定理1假设条件（A1）-（A5）成立，则系统（1）和系统（2）在PC中是全局p-指数同步的，且同步指数收敛速率为λ-η.证明首先，计算系统（5）解的右上导数D+［e（t）］+p.由系统（5）的第一个方程和条件（A1）可得结合不等式可得由于，所以可得如下等式因此，由条件(A2)，（13），（14）以及另外，由系统（5）的第二个式子及条件(A1)，并结合引理3可得，可得利用上式，以及条件(A2)和，可得记则由（12），（15），（17），（18）和（A2）可得其中t∈（tk-1，tk），k=1，2，….由于是一个M-矩阵，所以由引理1，可选择一个向量z*=（z1，…，z2n）T∈ΩM（）满足z*≥（1，…，1）T或者.由连续性知，存在正数λ满足不等式（11）.记z*e=（z1，…，zn）T，z*v=（zn+1，…，z2n）T，则由系统（5）的初始条件，其中ψ=φ-ϕ∈PC1，t0∈R（不失一般性，我们假设t0<t1），可得再由（19）和（20）可得令N*={1，2，…，2n}，S={1，2，…，n}以及S*={n+1，n+2，…，2n}=N*-S，则有于是结合引理2可得假设对所有m=1，2，…，l，有不等式成立，这里σ0=1.由（22），（A3）和引理3可得这意味着另一方面，又由（5）及条件（A1），并结合引理3，类似（16）式的推理可得结合（23）式可得即由（A2）和（A5）可得从而有再由（24）和（25）可得结合（23）式可得故对所有都有由引理1知，从而有由数学归纳法，我们可得到如下结论由（10）式可得结合（29）我们有从而有这意味着系统（1）和系统（2）在PC中是全局p-指数同步的，且同步指数收敛速率为λ-η.由注1和定理1，立即可得：定理2假设条件（A1）-（A5）成立，则系统（1）和系统（2）在PC1中是全局p-指数同步的，且同步指数收敛速率为λ-η.A Global p-exponential Synchronization for a Kind of Neural Networks with Time-varying Delays and Impulses【相关文献】［1］罗日才，许弘雷.一类中立型时滞神经网络的全局指数稳定性［J］.计算机工程与应用，2012，48（6）：30-32.［2］何汉林，付袆.时滞中立型神经网络的全局指数稳定性［J］.武汉理工大学学报，2010，32（6）：136-139.［3］Li Yongkun，Zhao Lu，Chen Xuerong. Existence of periodic solutions for neutraltype cellular neural networks with delays［J］. Applied Mathematical Modelling，，2012，36（3）：1173-1183.［4］Xiao Bing. Existence and uniqueness of almost periodic solutions for a class ofHopfield neural networks with neutral delays［J］.Applied Mathematics Letters，2009，22（4）：528-533.［5］耿立杰，赵丙辰，苏广.具有脉冲影响的模糊反应扩散细胞神经网络指数同步［J］.西南大学学报：自然科学版，2013，35（11）：74-80.［6］汤干文，秦发金.具有脉冲和变时滞的离散Cohen-Grossberg神经网络的全局指数同步［J］.西南师范大学学报：自然科学版，2013，38（12）：43-49.［7］俞芳，由守科，秦丽华，杨红梅.带有反应扩散项的脉冲模糊细胞神经网络的全局指数同步［J］.伊犁师范学院学报：自然科学版，2012（3）：1-7.［8］邢志伟，彭济根.具有时变时滞的模糊细胞神经网络的指数同步［J］.工程数学学报，2013，30（1）：112-122.。

具有时滞的细胞神经网络模型的全局指数稳定性

具有时滞的细胞神经网络模型的全局指数稳定性
宋乾坤
【期刊名称】《生物数学学报》
【年(卷),期】2003(18)4
【摘要】利用拓扑度理论、推广的Halanaly矩阵时滞微分不等式、Lyapunov原理以及Dini导数,研究了具有时滞的细胞神经网络模型的全局指数稳定性.去掉了有关文献中要求输出函数f_j在实数集R上有界、可微的条件,给出了更弱的判定平衡点的存在唯一性以及全局指数稳定性的判据,推广和改进了前人的相关结论,最后的数值例子说明本文结果不仅保守性小,而且计算简单.
【总页数】6页(P433-438)
【关键词】细胞神经网络;时滞;平衡点;全局指数稳定;拓扑度;Dini导数
【作者】宋乾坤
【作者单位】湖州师范学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】TP183;O175.12
【相关文献】
1.一类带有时滞的模糊双向联想记忆神经网络模型周期解的全局指数稳定性 [J], 贾秀玲
2.一类具时滞双阈值二元离散神经网络模型的全局指数渐近稳定性 [J], 张弘强
3.具有时滞的BAM细胞神经网络模型的全局指数稳定性 [J], 黎克麟
4.一类具脉冲干扰的Cohen-Grossberg时滞神经网络模型的全局指数稳定性 [J], 汪海洋
5.一类带有时滞的模糊双向联想记忆神经网络模型周期解的全局指数稳定性 [J], 贾秀玲
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具时滞脉冲细胞神经网络的全局指数稳定性

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第４卷第ｌ期
２０年３月０６
动力学与控制学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＳＡＮＤＯＮＴＲＯＬＣＣ
Ｖｒ．．ｏ４Ｎｏ１ＩＭａ．２０ｒ０６
具时滞脉冲细胞神经网络的全局指数稳定性粜
ｔ１ ≥ ，＞１ｒ＞０ｋ＝１２ … ．始条件为一，，，，初
ｚ（）＝（）ｔ一ｒｔｔ，Ｃ＝ｄａＣ，ｔ，０ ≤ ≤ ｏ记ｉｇ（ｌ
…
本文引入一种新的神经网络模型——具时滞
和脉冲的细胞神经网络模型，在新的脉冲条件下，
Ｘｉ
（）一ｃ＋∑口（）￡＝（）＋
，＝１
必要研究脉冲神经网络系统．
另一方面，神经网络的硬件实施中，在由于幅值等的转换速度是有限的，因此导致了时间滞后的产生．时间滞后会导致神经网络系统产生振荡，严重的甚至导致神经网络系统不稳定，而在动态图象
我们研究其平衡点的存在性、唯一性及全局指数稳
定性．本文主要结构如下：在第２，节给出了新的具
时变时滞的脉冲细胞神经网络模型及其基本假设
，
Ｃ）Ａ＝（） × Ｂ＝（，ｘ）＝２，口，，６）× ｆ（ｉ
条件；在第３，究了该系统模型平衡点的存在节研
１系统描述与基本条件
，
对于脉冲的引入，文献［４及文献［５都是通１］１］
时，ＮｓＣＮ的一些基本性质，如稳定性、振荡性及收

变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性

第50卷第6期2023年北京化工大学学报(自然科学版)Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science)Vol.50,No.62023引用格式:刘琪,兰光强.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性[J].北京化工大学学报(自然科学版),2023,50(6):105-111.LIU Qi,LAN GuangQiang.Exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations with time⁃depend⁃ent delay feedback control[J].Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science),2023,50(6):105-111.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性刘　琪　兰光强*(北京化工大学数理学院,北京　100029)摘　要:研究了变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs)的指数稳定性㊂采用函数方法设置合适的变时滞反馈控制函数,得到了该系统的指数稳定性㊂对比已有的研究成果,本文的主要贡献是在变时滞反馈控制下对HNSDDEs 的指数稳定性作了进一步研究㊂最后,给出一个例子证明了结论的有效性㊂关键词:变时滞;混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs);反馈控制;指数稳定性中图分类号:O211.6 DOI :10.13543/j.bhxbzr.2023.06.013收稿日期:2022-09-05基金项目:北京市自然科学基金(1192013)第一作者:女,1998年生,硕士生*通信联系人E⁃mail:langq@引　言带有变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs)常被用于系统未来的建模,目前已经被广泛应用于种群生态㊁神经网络以及激光器动力学等领域㊂对于随机系统突然性的结构变化,常采用连续时间马氏链来描述,带有马氏链的随机延迟微分方程即为混合随机延迟微分方程㊂文献[1]具体研究了混合随机延迟微分方程,文献[2-4]则进一步考虑了其稳定性及有界性,文献[5-7]又扩展到了带中立项的混合随机延迟微分方程的稳定性研究㊂然而并非所有系统都是稳定的,因此设计一个合适的反馈控制使不稳定的系统变得稳定很有意义㊂相应地,文献[8-11]研究了系统稳定化问题㊂其中文献[8]研究了常时滞反馈控制的高阶非线性混合随机时滞微分方程的指数稳定性,文献[9]是在文献[10]的基础上进一步研究了变时滞反馈控制的HNSDDEs 的L p 渐进稳定性和H ∞稳定性㊂本文采用Lyapunov 函数方法,进一步研究了变时滞反馈控制下的HNSDDEs 的指数稳定性㊂文献[8]研究了常时滞反馈控制下的混合随机微分延迟方程的指数稳定性,其所涉及的时滞均为常量,本文进一步将常时滞推广到了函数时滞,并且将受控方程推广到了带有中立项的混合随机延迟微分方程,其难点在于找到时滞δ(t )的上界和利用引理2处理中立项㊂文献[9]研究了变时滞反馈控制的具有时变延迟的高度非线性HNSDDEs 的L p 渐近稳定性和H ∞稳定性,但缺少指数稳定性,本文则是通过进一步找到更合适的反馈函数确定了方程的收敛速度,即指数稳定性㊂1　基本假设与模型描述设(Ω,F ,{F t }t ≥0,P )是一个带有σ流(满足通常条件)的完备概率空间,{B (t )}t ≥0是定义在其上的m 维布朗运动,{r (t )}t ≥0是右连马氏链且独立于{B (t )}t ≥0,S ={1,2, ,N }是其状态空间,Γ=(γij )N ×N 是其生成算子㊂考虑变时滞反馈控制HNSDDEd ^x(t )=f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d t +g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d B (t ),t ≥0(1)其中^x(t )=x (t )-N (x (t -τ(t )),t ,r (t )),且初值满足{x(θ):-τ≤θ≤0}=φ∈C([-τ,0];n)r(0)=r0∈S(2)其中f,g,N均为Borel可测函数,并且满足f:n×n×+×S→ng:n×n×+×S→n×mN:n×+×S→n加上反馈控制函数u之后系统变为d^x(t)=[f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))+u(x(t-δ(t)),t,r(t))]d t+g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))㊃d B(t),t≥0(3)其中0≤δ(t)≤δ≤τ,0≤τ(t)≤τ㊂假设f(0,0,t,i)=N(0,t,i)≡0,g(0,0,t,i)≡0V(x,t,i)∈C2,1(n×+×S;+)为方便起见,简记^x=x-N(y,t,i)㊂对V(x,t,i)∈C2,1(n×+×S;+)定义如下算子LL V(x,y,t,i)=V t(^x,t,i)+V T x(^x,t,i)f(x,y,t, i)+12trace[g T(x,y,t,i)V xx(^x,t,i)g(x,y,t,i)]+∑j∈sγij V(^x,t,j)(4)为得到本文主要结论,提出以下假设㊂假设1　对任意l>0,存在K l>0,使得对任意i∈S,t∈+,且|x|∨|x|∨|y|∨|y|≤l,满足|f(x,y,t,i)-f(x,y,t,i)|∨|g(x,y,t,i)-g(x,y,t,i)|≤Kl(|x-x|+|y-y|)(5)假设2　存在K>0,m1>1,m2≥1,使得对∀x, y∈n,i∈S,t∈+,有|f(x,y,t,i)|≤K(|x|m1+|y|m1+1)|g(x,y,t,i)|≤K(|x|m2+|y|m2+1)(6)假设3　系统(3)中的时滞函数τ:+→[0,τ]满足τ′(t)=dτ(t)d t≤τ<1,t≥0(7)系统(3)反馈控制函数中的δ:+→[0,δ]满足δ′(t)=dδ(t)d t≤δ<1,t≥0(8)假设4　存在κ∈(0,1)使得对∀x,y∈n,i∈S,t∈+,有|N(x,t,i)-N(y,t,i)|≤κ(1-τ)|x-y|(9)并且N(0,t,i)≡0㊂假设5　存在常数c1,c2,c3,c4>0,c2>c3+c4和函数V∈C2,1(n×+×S;+),U1,U2∈C(×[-τ,+∞];+),使得对∀x,y∈n,i∈S,t∈+,有U1(x,t)≤V(x,t,i)≤U2(x,t)L V(x,y,t,i)+V x(x-N(y),t,i)u(z,t,i)≤c1-c2U2(x,t)+c3(1-τ)U2(y,t-τ(t))+c4(1-δ)U2(z,t-δ(t))(10)由文献[7]可得如下引理㊂引理1　设假设1~4成立,且假设5对于U1(x,t)=|x|w成立,那么系统(3)有唯一的全局解,并且满足sup-τ≤t<∞E|x(t)|w<∞,w≥2(m1∨m2)由文献[5]中引理2.2以及式(9)可得引理2　若p≥1,则[1-κ(1-τ)]p-1[|x|p-κ(1-τ)|y|p]≤|x-N(y,t,i)|p≤[1+κ(1-τ)]p-1[|x|p+κ(1-τ)|y|p](11) 2　主要结论与证明定义片段过程x(t)={x(t+s):-2τ≤s≤0,0≤t≤2τ}同理定义r(t),且令r(s)=r(0),s∈[-2τ,0)x(s)=φ(-τ),s∈[-2τ,-τ{)令U∈C2,1(n×+×S;+)且满足lim|x|→∞inf(t,i)∈+×SU(x,t,i[])=∞对于t∈+,定义V(x(t),t,r(t))=U(^x(t),t,r(t))+ρ∫0-δ∫t t+s J(v)㊃d v d s(12)其中ρ>0,且J(t):=δ|u(x(t-δ(t)),t,r(t))+f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))|2+|g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))|2对于x,y∈n,i∈S,s∈[-2τ,0),设f(x,y,s,i)≡f(x,y,0,i)g(x,y,s,i)≡g(x,y,0,i)u(z,s,i)≡u(z,0,i)由伊藤公式可得d U(^x(t),t,r(t))=[U t(^x(t),t,r(t))+ U T x(^x(t),t,r(t))(f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))+ u(x(t-δ(t)),t,r(t)))+∑j∈Sγj,r(t)U(^x(t),t,j)+ 12trace[g T(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))U xx(^x(t),t,㊃601㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年r(t))g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))]d t+d B(t)(13)其中,B(t)是局部鞅,并且B(0)=0㊂整理式(13)得d U(^x(t),t,r(t))=l U(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))d t+U T x(^x(t),t,r(t))[u(x(t-δ(t)),t, r(t))-u(x(t),t,r(t))]d t+d B(t)其中,l U(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))=Ut(^x(t),t, r(t))+U T x(^x(t),t,r(t))[f(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))+u(x(t),t,r(t))]+∑j∈Sγj,r(t)U(^x(t),t,j)+ 12trace[g T(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))U xx(^x(t),t, r(t))g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))]进而易得以下结论㊂引理3　V(x(t),t,r(t)),t≥0是伊藤过程,且有d V(x(t),t,r(t))=d B(t)+L V(x(t),t,r(t))㊃d t其中,L V(x(t),t,r(t))=l U(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))+ρδJ(t)-ρ∫t t-δJ(v)d v+U T x(^x(t),t,r(t))㊃[u(x(t-δ(t)),t,r(t))-u(x(t),t,r(t))](14)假设6　对于函数u:n×S×+→n,存在实数a i,a i,正数d i,d i和非负数b i,b i,e i,e i(i∈S),对于任意q1>1,p>2有x T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+12|g(x,y,t,i)|2≤a i|x|2+b i|y|2-d i|x|p+e i|y|px T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+q12|g(x,y,t,i)|2≤a i|x|2+b i|y|2-d i|x|p+e i|y|p且A1:=-2diag(a1,a2, ,a N)-ΓA2:=-(q1+1)diag(a1,a2, ,a N)-Γ是非奇异M矩阵(具体定义可参考文献[1]中的2.6部分),并有1>γ1,γ2>γ3,1>γ4,γ5>γ6(θ1,θ2, ,θN)T=A-11(1, ,1)T(θ1,θ2, ,θN)T=A-12(1, ,1)Tγ1=max i∈S2θi b i,γ2=min i∈S2θi d iγ3=max i∈S2θi e i,γ4=max i∈S(q1+1)θi b iγ5=min i∈S(q1+1)θi d i,γ6=max i∈S(q1+1)θi e i其中θi和θi是正数㊂需要注意的是,关于控制函数u的选取,考虑如下特殊情况x T f(x,y,t,i)+q-12|g(x,y,t,i)|2≤a(|x|2+ |y|2)-b|x|p+c|y|p其中a>0,b>c>0㊂由于|x|2,|y|2的系数均为正数,因此只能得到原方程的矩有界性,而得不到稳定性㊂此时可选取u(x,t,i)=Ax,其中矩阵A为实对称正定矩阵,且满足λmax(A)<-2a,从而x T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+q-12㊃|g(x,y,t,i)|2≤(λmax(A)+a)|x|2+a|y|2-b|x|p+c|y|p故加上控制项之后的系统指数稳定㊂假设7　存在U∈C2,1(n×+×S;+),H∈C(n;+),及常数0<α<1,0<β<λ,0<λ1,λ2,λ3,ρ1,ρ2,使得对任意的x,y∈n,i∈S,t∈+有l U(x,y,t,i)+λ1|U x(^x,t,i)|2+λ2㊃|f(x,y,t,i)|2+λ3|g(x,y,t,i)|2≤-λ|x|2+(1-τ)β|y|2-H(x)+(1-τ)αH(y)(15)其中,ρ1|x|p+q1-1≤H(x)≤ρ2(1+|x|p+q1-1)㊂假设8　存在λ4>0满足|u(x,t,i)-u(y,t,i)|≤λ4|x-y|(16)并且有u(0,t,i)=0㊂故有∀x∈n,u(x,t,i)≤λ4㊃|x|㊂定理1　令q∈[2,w),w≥2(m1∨m2)㊂若假设1~8成立,且常数满足κ(1-τ)<12δ≤λ1λ2(1-κ)(1-κ(1-τ))λ4∧2λ1λ3(1-κ)(1-κ(1-τ))λ24∧(λ-β)(1-δ)λ1(1-κ)(1-κ(1-τ))λ24则对任意初值,存在ε>0使得系统(3)的解满足lim t→∞sup1t ln(E|x(t)|q)≤-εw-q w-2(17)其中ε=ε1∧ε2∧ε3∧ε4,ε1,ε2,ε3,ε4分别是以下4个方程的根㊃701㊃第6期刘　琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性εδ+2(1-κ)(1-κ(1-τ))=1[εh 3ρ-11(1+κ(1-τ))p +q 1-2](κe ετ+1)+e ετα=1ε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))(1+e ετκ)+βe ετ+2ρδ2λ24eεδ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ετ(1-τ-δ+e εδ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)=λ2e ετκ2(1-τ)2=1特别地,当q =2时有lim t →∞sup 1tln (E |x (t )|2)≤-ε(18)即满足均方指数稳定㊂证明:证明分为两步㊂1)第一步取k 0>0足够大使得‖φ‖:=sup -τ≤s ≤0φ(s )<k 0㊂定义σk =inf {t ≥0:|x (t )≥k |}(k ≥k 0),且inf ϕ=∞㊂由引理1和文献[7],当k →∞,则σk →∞,a.s.根据假设6再定义U (^x,i )=θi |^x |2+θi |^x |q 1+1(19)由伊藤公式有e εtEV (x (t ),t ,r (t ))=V (x (0),0,r (0))+∫te εs (εV (x (s ),s ,r (s ))+L V (x (s ),s ,r (s )))d s取h 1=min i ∈Sθi ,h 2=max i ∈S θi ,h 3=max i ∈Sθi ,结合式(12)可得h 1eε(t ∧σk )E |^x(t ∧σk )|2≤V (x (0),0,r (0))+∫t ∧σk0e εs E (L V (x (s ),s ,r (s )))d s +ερJ 1(t ∧σk )+∫t ∧σke εs (εh 2E |^x(s )|2+εh 3E |^x (s )|q 1+1)d s (20)其中,J 1(t ∧σk )=E ∫t ∧σke ε(s∫0-δ∫ss +uJ (v )d v d )u ㊃d s ㊂对于式(20)中的E |^x(t ∧σk )|2结合基本不等式可得到E |x (t ∧σk )|2≤2E |^x(t ∧σk )|2+2κ2(1-τ)2E |x (t ∧σk -τ(t ∧σk ))|2(21)对于式(20)中的L V (x (t ),t ,r (t ))结合式(14)和假设7有L V (x (t ),t ,r (t ))≤-λ|x (t )|2+(1-τ)β㊃|x (t -τ(t ))|2-H (x (t ))+(1-τ)αH (x (t -τ(t )))-λ1|U x (^x(t ),t ,r (t ))|2-λ2|f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))|2-λ3|g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))|2+ρδJ (t )-ρ∫tt-δJ (v )d v +U T x (^x (t ),t ,r (t ))㊃[u (x (t -δ(t )),t ,r (t ))-u (x (t ),t ,r (t ))]由假设8运用均值不等式可以得到U T x (^x (t ),t ,r (t ))[u (x (t -δ(t )),t ,r (t ))-u (x (t ),t ,r (t ))]≤λ1|U x (^x(t ),t ,r (t ))|2+λ244λ1㊃|x (t -δ(t ))-x (t )|2定义ρ=λ242λ1(1-κ)(1-κ(1-τ)),由定理1中δ满足的不等式知2ρδ2≤λ2,ρδ≤λ3㊂再由Hölder 不等式有E |x (t -δ(t ))-x (t )|2≤2E |^x(t )-^x (t -δ(t ))|2+2E |N (x (t -τ(t )),t ,r (t ))-N (x (t -τ(t )-δ(t ),t ,r (t ))|2≤4E∫tt-δ[δ|u (x (v -δ(v )),v ,r (v ))+f (x (v ),x (v -τ(v )),v ,r (v ))|2+|g (x (v ),x (v -τ(v )),v ,r (v ))|2]d v +2κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))-x (t -τ(t )-δ(t ))|2所以有E L V (x (t ),t ,r (t ))≤-λE |x (t )|2+(1-τ)㊃βE |x (t -τ(t ))|2-EH (x (t ))+(1-τ)αEH (x (t -τ(t )))+2ρδ2λ24E |x (t -δ(t ))|2(+λ24λ1-)ρ㊃E∫t t -δJ (v )d v +λ4κ2(1-τ)22λ1E |x (t -τ(t ))-x (t -τ(t )-δ(t ))|2(22)对于式(20)中的E |^x(t )|q 1+1有以下关系式E |^x(t )|q 1+1≤E |^x (t )|2+E |^x (t )|p +q 1-1(23)又由假设7有|x (t )|p +q 1-1≤ρ-11H (x (t ))(24)所以结合式(20)~(23)有12h 1e ε(t ∧σk )E |x (t ∧σk )|2≤Π1+Π2+Π3+∫t ∧σke εs (εh 2E |^x(s )|2+εh 3E |^x (s )|2+εh 3㊃E |^x(s )|p +q 1-1)d s +∫t ∧σke εs E [-λ|x (s )|2+(1-τ)㊃β|x (s -τ(s ))|2-H (x (s ))+(1-τ)αH (x (s -τ(s )))+2ρδ2λ24|x (s -δ(s ))|2+λ4κ2(1-τ)22λ1㊃|x (s -τ(s ))-x (s -τ(s )-δ(s ))|2]d s(25)其中,Π1=h 1e ε(t ∧σk )κ2(1-τ)2E |x (t ∧σk -τ(t ∧σk ))|2Π2=V (x (0),0,r (0))㊃801㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年Π3=ερJ 1(t ∧σk )(+λ24λ1-)ρJ 2(t ∧σk )J 2(t ∧σk )=E∫t ∧σke ε[s∫ss -δJ (v )d ]v d s易得J 1(t ∧σk )≤δJ 2(t ∧σk )㊂取ε1为ε1ρδ+λ24λ1-ρ=0的唯一解,则由ρ的定义知,对任意0<ε≤ε1,有Π3≤0㊂结合式(11),令k →∞,结合式(24),式(25)化为12h 1e εt E |x (t )|2≤Π1+Π2+Π4+Π5(26)其中,Π1=h 1e εt κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2Π4=∫teεs{εh 3ρ-11[1+κ(1-τ)]p +q 1-2㊃[EH (x (s ))+κ(1-τ)EH (x (s -τ(s )))]-EH (x (s ))+(1-τ)αEH (x (s -τ(s )))}d sΠ5=∫te εs {ε(h 2+h 3)[1+κ(1-τ)]㊃[E |x (s )|2+κ(1-τ)E |x (s -τ(s ))|2]}d s +∫teε[s-λE |x (s )|2+(1-τ)βE |x (s -τ(s ))|2+2ρδ2λ24E |x (s -δ(s ))|2+λ4κ2(1-τ)22λ1E |x (s -τ(s ))-x (s -τ(s )-δ(s ))|]2d s对于Π2,由初值条件㊁假设2㊁假设8㊁引理2和式(12)得V (x (0),0,r (0))<∞,并且记为C 0,C 0为常数㊂对于Π4,根据假设3化简有Π4≤{[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11](κe ετ+1)+e ετα-1}∫te εs E [H (x (s ))]d s +e ετ[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11κ+α]∫-τe εs E [H (x (s ))]d s取ε2为[ε2h 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11](κe ε2τ+1)+e ε2τα-1=0的唯一解,则对任意0<ε≤ε2以及0<α<1即可满足Π4≤e ετ[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11κ+α]㊃∫0-τe εs E [H (x (s ))]d s <∞(27)对于Π5,令ε3为ε3(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))(1+e ε3τκ)+βe ε3τ+2ρδ2λ24eε3 δ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ε3τ(1-τ-δ+e ε3δ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)=λ的唯一解,对任意0<ε≤ε3,有Π5≤e [ετε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))κ+β+λ4κ2(1-τ)λ]1∫0-τe εs E |x (s )|2d s +2ρδ2λ24eεδ1-δ∫0-δe εs㊃E |x (s )|2d s +λ4κ2(1-τ)2e ε(τ+δ)λ1(1-δ-τ)∫-δ-τe εs E |x (s )|2d s [+ε(h 2+h 3)(1+κ-κτ)(1+e ετκ)+βe ετ+2ρδ2λ24eεδ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ετ(1-τ-δ+e εδ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)-]λ∫te εs E |x (s )|2d s ≤e [ετε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))κ+β+λ4κ2(1-τ)λ]1∫0-τe εs E |x (s )|2d s +2ρδ2λ24e εδ1-δ∫-δe εsE |x (s )|2d s +λ4κ2(1-τ)2e ε(τ+δ)λ1(1-δ-τ)㊃∫-δ-τe εs E |x (s )|2d s <∞(28)综上对任意0<ε≤ε1∧ε2∧ε3,可得12h 1e εt E |x (t )|2≤h 1e εt κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2+C 1(29)其中C 1是一个常数㊂2)第二步式(29)经过整理可以得到e εt E |x (t )|2≤2e ετe ε(t -τ(t ))κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2+2C 1h 1,故有sup 0≤s ≤t e εs E |x (s )|2≤2C 1h 1+2e ετκ2(1-τ)2sup 0≤s ≤t e εs ㊃E |x (s )|2+2κ2(1-τ)2e ετsup -τ≤s ≤0‖ϕ‖2由κ(1-τ)<12,令ε4为1-2e ε4τκ2(1-τ)2=0的唯一解,则对任意0<ε≤ε1∧ε2∧ε3∧ε4,有sup 0≤s ≤t e εs E |x (s )|2≤2C 1h 1+2κ2(1-τ)2e ετsup -τ≤s ≤0‖φ‖21-2κ2(1-τ)2e ετ:=C 2即当t ∈[0,∞)时,e εt E |x (t )|2≤C 2,即E |x (t )|2≤C 2e -εt ㊂对于任意的q ∈[2,w ),由Hölder 不等式得到㊃901㊃第6期刘　琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性E |x (t )|q≤(E |x (t )|2)w -　qw -2(E |x (t )|w)q -2w -2㊂由引理1知C 3:=E |x (t )|w <∞,故E |x (t )|q ≤C q -2w -23(C 2e -εt )w - qw -2≤C 4e -εt w - qw -2所以式(17)成立㊂特别地,当q =2时,有式(18)成立㊂3　例子考虑一维HNSDDEd[x (t )-N (x (t -τ(t )),t ,r (t ))]=f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d t +g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d B (t ),t ≥0(30)其中f (x ,y ,t ,1)=0.5x +y 3-6x 3f (x ,y ,t ,2)=x +y 3-4x3g (x ,y ,t ,1)=g (x ,y ,t ,2)=0.5y 2τ(t )=0.1(1-cos t ),N (y )=0.1y显然f ,g 不满足线性增长条件㊂令r (t )为一个连续的马氏链,状态空间S ={1,2},算子Γ=-22æèçöø÷1-1,B (t )为标准布朗运动且独立于r (t )㊂定义初值x (u )=0.2+cos u ,u ∈[-0.2,0],r (0)=2㊂由文献[10]可知系统(30)不稳定,以下将通过引入一个反馈控制函数使系统稳定㊂增加控制函数u (x ,t ,1)=-x ,u (x ,t ,2)=-2x ,增加控制函数后系统(3)的具体形式为 d[x (t )-0.1x (t -τ(t ))](=12x (t )+(x (t -τ(t )))3-6x (t )3-x (t - δ(t )))d t +12(x (t -τ(t )))2d B (t ),i (=1x (t )+(x (t -τ(t )))3-4x (t )3-2x (t - δ(t )))d t +12(x (t -τ(t )))2d B (t ),i ìîíïïïïïïïïïüþýïïïïïïïïï=2其中δ(t )=τ(t )㊂以下验证假设1~8㊂假设1显然成立㊂令m 1=3,m 2=2,可知假设2成立㊂令λ4=2,可知假设8成立㊂假设3对如下常数成立:δ=τ=0.2,δ=τ=0.1,且假设4对κ=19成立㊂取U 1(x ,t )=V (x ,i ,t )=|x |6,U 2(x ,t )=2.2x 6+x 8,由Young 不等式可得L V (x ,y ,t ,i )+V x (x -N (y ),t ,i )u (z ,t ,i )≤sup x ∈(43x 6-0.229x 8)-8×U 2(x ,t )+589×(1-τ)×U 2(y ,t -τ(t ))+109×(1-δ)×U 2(z ,t -δ(t ))故假设5对c 1=sup x ∈(43x 6-0.229x 8)<∞,c 2=8,c 3=589,c 4=109成立㊂取p =4,q 1=3,可知假设6成立㊂取U (x ,t ,i )=2x 2+x 4,i =1x 2+x 4,i ={2,再由Young 不等式,令λ1=0.05,λ2=0.1,λ3=4可得l U (x ,y ,t ,i )+λ1|U x (^x(t ),t ,i )|2+λ2㊃|f (x ,y ,t ,i )|2+λ3|g (x ,y ,t ,i )|2≤-1.845|x |2+0.369(1-τ)|y |2-6(x 4+x 6)+0.955×(1-τ)×6(y 4+y 6)若令H (x )=6(x 4+x 6),λ=1.845,β=0.369,α=0.955,则假设7成立㊂根据定理1条件发现κ,τ取值合理,进而可以得到δ≤0.0576时,定理1所有条件成立,故对∀w ≥6,∀q ∈[2,w ),存在ε>0使得lim t →∞sup1t ln (E |x (t )|q )≤-εw -qw -2特别地,q =2时有lim t →∞sup1tln (E |x (t )|2)≤-ε㊂4　结论本文采用函数方法,受文献[5]的启发在多项式增长的条件下讨论了变时滞反馈控制下的HNS⁃DDEs 的指数稳定性㊂最后,用一个例子证明了结论的有效性㊂参考文献:[1]　MAO X R,YUAN C G.Stochastic differential equations with Markovian switching[M].London:Imperial CollegePress,2006.[2]　FEI W Y,HU L J,MAO X R,et al.Delay dependentstability of highly nonlinear hybrid stochastic systems[J].Automatica,2017,82:165-170.[3]　FEI C,SHEN M X,FEI W Y,et al.Stability of highlynonlinear hybrid stochastic integro⁃differential delay equa⁃tions[J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2019,31:180-199.㊃011㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年[4]　HU L J,MAO X R,SHEN Y.Stability and boundednessof nonlinear hybrid stochastic differential delay equations [J].Systems &Control Letters,2013,62:178-187.[5]　WU A Q,YOU S R,MAO W,et al.On exponential sta⁃bility of hybrid neutral stochastic differential delay equa⁃tions with different structures [J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2021,39:100971.[6]　SHEN M X,FEI W Y,MAO X R,et al.Stability ofhighly nonlinear neutral stochastic differential delay equa⁃tions[J].Systems &Control Letters,2018,115:1-8.[7]　SHEN M X,FEI C,FEI W Y,et al.Boundedness andstability of highly nonlinear hybrid neutral stochastic sys⁃tems with multiple delays[J].Science China Information Sciences,2019,62:202205.[8]　LI X Y,MAO X R.Stabilisation of highly nonlinear hy⁃brid stochastic differential delay equations by delay feed⁃back control[J].Automatica,2020,112:108657.[9]　周之薇,宋瑞丽.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的稳定性[J].井冈山大学学报(自然科学版),2022,43(3):6-14.ZHOU Z W,SONG R L.Stabilization of the hybrid neu⁃tral stochastic differential equations controlled by thetime⁃varying delay feedback [J].Journal of Jinggangshan University (Natural Science),2022,43(3):6-14.(in Chinese)[10]SHEN M X,FEI C,FEI W Y,et al.Stabilisation by de⁃lay feedback control for highly nonlinear neutral stochasticdifferential equations [J ].Systems &Control Letters,2020,137:104645.[11]CHEN W M,XU S Y,ZOU Y.Stabilization of hybridneutral stochastic differential delay equations by delayfeedback control[J].Systems &Control Letters,2016,88:1-13.Exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations with time⁃dependent delay feedback controlLIU Qi　LAN GuangQiang *(College of Mathematics and Physics,Beijing University of Chemical Technology,Beijing 100029,China)Abstract :The exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations (HNSDDEs)with time⁃dependent delay feedback control has been ing the Lyapunov function method,the exponential sta⁃bility of the system can be obtained by setting an appropriate feedback control function with a variable ⁃pared with the existing research results,the results of this work increase our understanding of the exponential stabil⁃ity of HNSDDEs under the influence of variable delay feedback.Finally,an example is given to prove the validity of the conclusions.Key words :time⁃dependent delay;hybrid neutral stochastic differential delay equations (HNSDDEs);feedbackcontrol;exponential stability(责任编辑:吴万玲)㊃111㊃第6期刘　琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性。

具可变时滞的细胞神经网络的平衡点、周期解、概周期解的存在性和全局指数稳定性

具可变时滞的细胞神经网络的平衡点、周期解、概周期解的存在
性和全局指数稳定性
本文巧妙地引入可调实参数d_i＞0(i=1，2，…，n)，借助常数变易法、变量替换、不动点定理和一些分析技巧，对具可变时滞的神经网络的平衡点、周期解、概周期解的存在性和全局指数稳定性建立了一些新的充分条件。

我们所得的结果推广和改进了文献[21-25]的相关结果，并且这些条件能判断一些文献[26]无法判断的问题。

这些条件可用于设计全局指数稳定的和周期振荡的具可变时滞的神经网络，大大扩展了神经网络设计的范围，这在理论上和应用中都有着重要意义。

本文共分六个部分，第一部分为引言，给出近年来许多学者研究的神经网络模型及本文要研究的神经网络模型。

第二部分为预备知识，给出一些要用的引理和基本知识。

第三部分为周期解的存在唯一性及全局指数稳定性。

第四部分为平衡点的存在唯一性及全局指数稳定性。

第五部分为概周期解的存在唯一性及全局指数稳定性。

第六部分为一些应用例子。

具有混合时滞的脉冲模糊Cohen-Grossberg神经网络p-指数稳定性

：）＝（（）６（）（一Ｉ（。）一∑０（￡）。）ｌ￡（）
一
。（（一）一Ｊ（一）（（）（）一ｓ毋））
Ｖ卢毋（（一（））一Ｖ）
，
：
（）３
一
第２６卷第１期
２１年２月０１
柳
州
师
专
学
报
Ｖｏ．６Ｎ．１２ｏ１
Ｆ．Ｏ１ｂ２１
ＪｕｎｌｏｉｚｏｅｃｅｓＣｌｇｏｒａｆＬｕｈｕＴａｈｒｏｌｅｅ
具有混合时滞的脉冲模糊Ｃｈｎ—Ｇｏｓｅｇ神经网络ｏｅｒｓｒｂＰ一指数稳定性
代表放大器函数；。ｔ）是运行函数；代表神经元之间相互联络的权；，）（）是神经元激励函数；ｂ（（）ｃｇ（・・核
函数ｄ（）和时滞函数（）连续，且满足０￡，。ｔ并ｒ（）≤ 是一个正常数；冲时刻ｔ满足ｔ＜ｆ脉。￡＜… ＜Ｉｔ＜… ，ｉ＝ｍｔ；（－Ｈａ）是脉冲函数．
零解的Ｐ一指数稳定性，里ｉ＝１２，，ｋ＝１２，．中（）代表第ｉ个神经元在时刻ｉ的膜电位；这， … ，， … 其ｔ口（（）￡）代表放大器函数；（）６（￡）是运行函数；表示反馈模板元素，￣ｔ别表示模糊反馈最小模板的元０ｃｏｉ分

具变时滞和分布时滞的细胞神经网络的全局指数稳定性

，＝１
、
＝１
ｒ∞
＋ｃＯ（（（— ｆ一）ｌＩ＞，ｆｓ（ｓｃ＋ｉ０）））ｓ，
』１
（）＝（）ｔ（。０￡， ∈ 一。，］
（）１
其中凡表示网络中神经元的个数；ｉｔ表示在时刻￡个神经元的状态；・，（）（）ｘ（）第（）・，．分别表示在时刻ｔ时刻￡（）ｔ、一￡、 —ｒ（）， ∈ ［，。第个神经元的激励函数；为外部输入；￡为时变时滞￡一ｓｓ０＋ｏ］，Ｔ（）
１引言
近十几年来，具常时滞或变时滞的细胞神经网络［］２的全局渐近稳定性与全局指数稳定性获得了较大的研究进展［，， —１］本文研究下列具变时滞和分布时滞的细胞神经网络的全局指数稳定性１３４０．
戈￡＝ｄｆ＋∑ ａｆ＋∑ ６（ｒ））一（（）（（））衙（ — （）
．
２准备工作
记Ｄ＝ｄａ（ｌｄ，，）Ａ＝（，＝（０），：（Ｉｉｇｄ，２ … ，０）Ａ１ＩＢＩｂ）
，
Ｃ：（），＋：Ｃ
（ＩＩ．）我们假设［，一０ｏ）且存在正常数使得
』＝１
０ｉ，，ｎ（），＝１ …，；ｊ存在正常数ｒ＞０２ｖｊ使得∑ ａｒ＞０ｉ，，ｎ．ｊｊ，：１ …，．ｉ２
定义２１假设／）ｎ— Ｒ１］１（：连续可微，Ｐｆａ和Ｊ（￣≠ ０Ｖ ∈广ｐ则，ｇ／，）＝若（ｏ）ｓｘ，（）ｌ（，ｐｅ

含时滞的双向联想记忆神经网络的全局吸引性和全局指数稳定性

＋
ＩＩ
０
●ｆ
拓扑的有关知识，易证定理２［１．．１定理２１如果系统（满足下列条件：．３）
１ｊ）ｆｌ／一，）ｇＩＩ一，，１，，ｆ１… ））（－ｊ）ＪＪｇ一，）Ｉ ∈ ，，＝，ｌ（ ≤ ｆＩ（（＝２；２ … ，
维普资讯
第４期
董彪等：含时滞的双向联想记忆神经网络的全局吸引性和全局指数稳定性
７１５
＝
ｄａ（．，一，∈Ｒ，ｉｇｒ－，，）
Ｆ一＝（一，（。，一，（一）＝ｏ（（ … ｇ … ［Ｉ）１，卜）（），），是）））））），
一
（＋）（＋）ｍｎ × ｍｎ矩阵，其中：（），Ｖ：（ … Ｖ）
ａ（ｕｔ）
— —
则（）１可改写为：
母
，Ｌ，
、，
＿
一
：
一
（）Ｅ（ｆ）＋Ｊ，ｆｆ＋Ｗ（— ）ｏ ≥０．
＋
（）３
ａｔ
∑
，
２预备知识
含时滞的双向联想记忆神经网络的全局吸引性和全局指数稳定性
董彪，蒋自国，吴文权
（阿坝师范高等专科学校数学系，四川汶川６３０２００）摘要：本文研究了具有时滞的双向联想记忆神经网络模型，在非线性神经元激励函数是Ｌｐｃｉｉｓｈｚ连续的条件下，通过ｔ
●ｌ
ＩＩ
２
２Ｃ＝Ａ—Ｗ）
是Ｍ一矩阵，

变时滞细胞神经网络的全局指数稳定性(1)

在不要求激励函数全局lipschitz条件下利lyaptmov函数方法和m矩阵的特性结合young不等式和halanay时滞微分不等式得到了细胞神经网络模型在一定条件下全局指数稳定的一些充分条件
第 42 卷第4期 2007 年 4 月山东大学学报 ( 理学版) Apr. 2007 Vol. 42 No. 4 JOURNAL OF SHANDONG UNIVERSITY
f i ( x) =
1 ( | x + 1| - | x - 1| ) 2
都满足 ( H1 ) . 另外 ,在 ( H2 ) 中我们仅要求 τ ij ( t ) ( i , j = 1 ,2 , …n ) 是非负有界的 , 而无需可微 . 但在 [ 6 ] 和 [ 8 ] 中 ,皆要求 τ ij ( t ) Φ1 ,这显然限制了其应用范围 . 假设系统 ( 1) 的初始条件为
59
神经元的激励函数 . 在本文中 ,假设神经元的激励函数 f j 和时滞τ ij ( t ) 满足以下条件 :
( H1 ) f j 有界且存在常数 pj > 0 ,使
pj = sup
x ≠y
f j ( x) - f j ( y) x- y
,
对任意的 x , y ∈R , x ≠y 成立 ,其中 j = 1 ,2 , …n . ( H2 ) τ τ τ. ij ( t ) ( i , j = 1 ,2 , …n ) 非负有界 ,即存在 τ> 0 ,使 0 Φ ij ( t ) Φ 显然 ,神经网络中通常使用的 Sigmoid 型激励函数和分段线性函数 ( PWL ) :
[4 ]
s ∈[ - τ,0 ]
3
-λ t
, t Ε0
sup

具有离散和分布时滞的中立型细胞神经网络的全局渐近稳定性

（．１四川理工学院计算机学院，四川自贡６３０２电子科技大学应用数学学院，都６０５）４００；．成１０４

摘
要：文章研究了一类具有离散和分布时滞的中立型细胞神经网络的全局渐近稳定性问题，首先
利用拓扑度原理等相关知识，明了系统的平衡点的存在唯一性，证然后通过构造Ｌａｕｏ —Ｋａｏｓｉ泛ｙｐｎｖｒｖｋｓｉ
函，出了具有离散和分布时滞的中立型神经网络系统的平凡解的全局指数稳定性的判别条件。得
关键词：时滞；经网络；神全局渐近稳定性；扑度原理拓中图分类号：２１Ｏ３文献标识码：Ａ
引言
作为一门活跃的边缘性交叉学科，细胞神经网络的
＾
神经网络系统的平衡点是存在且唯一的。从解的存在
唯一性条件可以看出，文只要求用一个Ｍ一矩阵去控本
∞
Ｊ（ｄ＝（＝，…ｎ０ｓｓ１＿１，，）Ｊ２）
，
制系统的条件，减弱了已有一些文献要求用谱半径所需
要的条件。同时本文进一步研究了多时滞细胞神经网络的稳定性问题，过构造Ｌａｕｏ通ｙｐｎｖ—Ｋａｏｓｉ泛函，ｒｖｋｓｉ
１４６
下面给出条件（）为：
四川理工学院学报（自然科学版）
２１４月００年
≥（１＋Ａｄ一１）ｌＧ（ｌ，ｌ（）Ｉ —Ａｌ） —Ａｌ ≥［１＋Ａｄ一１］ｌ（）

混合变时滞神经网指数稳定性分析的开题报告

混合变时滞神经网指数稳定性分析的开题报告一、研究背景和意义时滞控制问题一直是控制理论中的重要研究课题，在各类控制系统中都起着十分重要的作用。

神经网络控制是近年来出现的一种新型控制方法，通过神经网络的非线性特性，可以很好地解决一些传统控制方法难以解决的问题，并在各个领域得到了广泛应用。

然而，由于神经网络的非线性特性，控制系统中的时滞往往会对反馈控制产生严重影响，使得控制系统的性能不能够得到有效地保证，而且系统的稳定性也会受到影响。

因此，在神经网络控制中研究时滞系统模型的稳定性和使其达到预期性能是当前控制理论和应用中的重要问题。

二、研究内容本文拟研究混合变时滞神经网络的指数稳定性分析问题。

具体研究内容包括以下几个方面：1. 混合变时滞神经网络模型的建立。

通过对混合变时滞神经网络的分析，建立其数学模型，为后续的研究奠定基础。

2. 指数稳定性分析理论的研究。

对指数稳定性分析理论进行深入研究，掌握其核心思想和应用方法。

3. 混合变时滞神经网络的指数稳定性分析方法的研究。

在掌握指数稳定性分析理论的基础上，研究混合变时滞神经网络指数稳定性分析方法，提出有效的方法和理论支持。

4. 数值仿真和实验验证。

通过数值仿真和实验验证，验证所提出的混合变时滞神经网络的指数稳定性分析方法的有效性和可行性。

三、研究目标本文旨在研究混合变时滞神经网络的指数稳定性分析问题，目标包括：1. 建立混合变时滞神经网络模型，掌握其基本特性和演化规律。

2. 掌握指数稳定性分析的基本理论，提出针对混合变时滞神经网络的指数稳定性分析方法。

3. 通过数值仿真和实验验证，验证所提出的方法的有效性和可行性。

四、研究方法本文将采取以下研究方法：1. 文献资料法。

对有关混合变时滞神经网络指数稳定性分析方面的文献进行调研和分析。

2. 理论探讨法。

对混合变时滞神经网络指数稳定性分析理论进行理论推导和分析。

3. 数值仿真法。

利用相关工具进行混合变时滞神经网络模型的数值仿真和结果分析。

关于脉冲滞神经网络的全局稳定性

关于脉冲滞神经网络的全局稳定性
赵军;胡军浩;黄文玲
【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(023)003
【摘要】本文扩展双向联想记忆神经网络(BAMNN)的研究范围,在时滞型BAMNN的基础上,提出脉冲型时滞BAMNN的概念,并对其全局一致渐近稳定性进行了讨论.便于从新的途径实现BAMNN分析和综合利用.
【总页数】4页(P1-4)
【作者】赵军;胡军浩;黄文玲
【作者单位】海军工程大学,兵器工程系,湖北,武汉,430033;中南民族大学,计算机学院,湖北,武汉,430074;海军工程大学,兵器工程系,湖北,武汉,430033
【正文语种】中文
【中图分类】TP183
【相关文献】
1.脉冲多比例时滞细胞神经网络全局指数稳定性准则 [J], 王小伟;胡霁芳;肖玉柱;宋学力
2.具分布时滞和脉冲的BAM神经网络的全局指数稳定性 [J], 陈超
3.一类具脉冲的非自治高阶BAM神经网络周期解的全局指数稳定性 [J], 贾秀玲;王继禹;李耀堂
4.一类具比例时滞脉冲递归神经网络的全局多项式稳定性 [J], 周立群;宋协慧
5.具有脉冲的混合时滞Hopfield神经网络的全局渐近稳定性 [J], 张雪莹;陈展衡
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具有变时滞的细胞神经网络的全局指数稳定性

细胞神经网络（ｅｕａｕａＮｔｒ，ＣｌｌＮｅｒｅｗｏｋ简称ｌｒｌＣＮＮ）是大规模、拟、态非线性电路．１８模动自９８年蔡少棠和杨林ｌ２出其结构以来，１Ｊ－提在理论研究和实际应用上均取得极为迅速的发展．胞神经细网络的结构类似于细胞自动机．即细胞神经网络的每个胞元只与它的邻近胞元相莲，邻胞元之间存相在有直接通信．由于神经网络连续时间动力学的传播效应．近邻胞元之间不直接相连细胞神经网非络可实现实时信号处理．别擅长于静态图像处特理，动态图像的处理却需引人具有时滞的细而胞神经网络＿．３可以预计细胞神经网络能迅速地＿用于图像的并行处理等需要快速运算的领域。别特是在对于实领域，将有极为广阔的应用前景近年来。有常时具滞的细胞神经网络
则显然具有（１和（Ｈ）的性质．Ｈ）２
络．究较少．而。际神经网络，变时滞更为研然实可
普遍很多情况下，延滞量只知道它的界，不具体知
设ｚ＝
＝（，，：Ｔ …，）为式（）２的
道它的确切值在一个动态变化过程中。对的常绝时滞很少，只不过是变时滞的一种理想化的近似，
具有变时滞的细胞神经网络的全局指数稳定性 ’
周冬明
（云南大学电子工程系．云南昆明６０９）５０１

一类时滞模糊BAM神经网络周期解的全局指数稳定性的新准则

・
１１３・
第ｉ个和第个神经兀的外部输入。【ｆＪ和【ｆＪ是传输时滞。【ｆＪ，ｇｉ（ｔＪ是激活函数。
系统（１）的初始条件为：
ｆ ‘ （）＝丸（），仨卜，０】，ｆ＝１，２，．．Ｉ（）＝（）， ∈ 卜ｏ】，ｊ＝１ … ２ … ｍ
（ｆ） ≤ ｏ；ｏ ≤ （ｆ）盯，（ｆ）墨ｏ．
（２）存在正数厶，满足
ｌ（）一（Ｊ，）｛ ≤ ，ｌ — ＹＩ；｝岛（）一岛（ｊ，）ｌ ≤ Ｌ，Ｉｘ－ｙｌ。
（Ｈ３）函数ｑ（ｆ）＞ｏ，（ｆ）＞ｏ，（ｆ），（ｆ），（
收稿日期：２０１６－１０－２０
基金项目：河南省基础与前沿技术项目“ 条件代理重加密方案及其应用的研究” ，项目编号：１４２３００４１０３８４；河南省教育厅重点科研项目“ 具脉冲和时滞的人工神经网络动力学行为研究 ” ，项目编号：１５Ａ１１００２７；贵州省科学技术厅科学技术联合基金项目“ Ｋｉｒｃｈｈｏｆ方程解的存在性和多解性 ” ，项目编号：黔科合ＬＨ字［２０１５１７５９５；贵州省科学技术厅科学技术联合基金项目“ 极值理论及风险模型的大偏差” ，项目编号：黔科合ＬＨ字［２０１６３７０５４。作者简介：王继禹（１９８１一），男，河南南阳人，郑州工商学院公共基础部讲师。研究方向：泛函微分方程定性理论。

时滞中立型Hopfield神经网络的全局渐进稳定性研究

ＡｂｔａｔＴｈｌｂａｓｍｐｔｔｔｂｌｔｓｄｓｕｓｄｆｒｔｅｎｕｒｌ— ｔｐｐｉｌｅｒｌｎｔｒｓｗｉｓｒｃ：ｅｇｏｌａｙｏｉｓａｉｙｗａｉｃｓｅｏｈｅｔａｃｉｙｅＨｏｆｅｄｎｕａｅｗｏｋｔｈｈｂｉｉ —ｖｒｉｇｄｌｙ．Ｂａｅｎｈｙｐｕｏ — ＫｒｓｖｋｉｆｃｉｎｌｓａｉｔｎｌｓｓａｄｔｅｌｎａｙｒｄｔｍｅａｙｎｅａｓｓｄｏｔｅＬａｎｖａｏｓｉｕｎｔｏａｔｂｌｙａａｙｉｎｈｉｅｒｉ
ｐｏｅｎｘｅｄｄｔｅｒｓｌｓｏｕｒｎｉｅａｕｅａｄｈｓｌｓｏｓｒａｉｅｒｖｄａｄｅｔｎｅｈｅｕｔｆｃｒｅｔｌｔｒｔｒｎａｅｓｃｎｅｖｔｖ．Ｋｅｙｗｏｒｓ：ｄｌｙ；ｎｕｒｌｔｐｐｅｄｎｕａｅｗｏｋｄｅａｓｅｔａ — ｙｅＨｏｆｌｅｒｌｎｔｒｓ；ｌａｕｏｕｃｉｎｌＬＭＩｉｙｐｎｖｆｎｔｏａ；；
中图分类号：Ｔ８Ｐ１３
Ｇｌｂｌａｙｔｔｔｂｌｙｆｒｎｕｒｌ — ｙｅＨｏｆｅｄｏａｓｍｐｏｉｓａｉｉｏｅｔａ — ｔｐｐｌｃｔｉ
ｎｕａｅｗｏｋｔｉｅｒｌｎｔｒｓｗｉｔｈｍｅ— ｖｒｉｇｄｌｙ — ａｙｎｅａｓ
Ｏｔ２０ｃ・０９
时滞中立型Ｈｐｅｏｆｌ经网络的ｉｄ神全局渐进稳定性研究

带有常时滞循环耦合神经网络的全局指数稳定性

带有常时滞循环耦合神经网络的全局指数稳定性石仁祥【期刊名称】《大连理工大学学报》【年(卷),期】2017(057)005【摘要】The global exponential stability of cycle associative neural network with constant delays is discussed.During the discussion, by constructing homeomorphism mapping,it is demonstrated that there exists an equilibrium point which is unique for this system,then the global exponential stability of the unique equilibrium point is testified by constructing proper Lyapunov function.Similar to previous work about neural network stability,under the assumption that the activation function about neuron satisfies Lipschitz condition and the matrix constructed by correlation coefficient satisfies given condition,the dynamics of global exponential stability for n-layer neural network with constant delays are obtained.The results contain that when the passive rate of neuron is sufficiently large, the neural network is global exponential stable.%讨论了带有常时滞循环耦合神经网络的全局指数稳定性,在讨论过程中通过构造同胚映射论证了该系统平衡点的存在性与唯一性,再通过构造合适的Lyapunov函数论证唯一平衡点是全局指数稳定的.类似于已有的神经网络稳定性方面工作,在神经元的激励函数满足Lipschitz条件且相关系数构成矩阵也满足给定条件下,得到n层带有常时滞的神经网络全局指数稳定的动力学性质.所得结果同时也蕴含当神经元的衰减速率足够大时,神经网络是全局指数稳定的.【总页数】8页(P537-544)【作者】石仁祥【作者单位】上海交通大学数学科学学院,上海 200240【正文语种】中文【中图分类】O175.13;TP183【相关文献】1.一类带有时滞的模糊双向联想记忆神经网络模型周期解的全局指数稳定性 [J], 贾秀玲2.一类带有时滞的模糊双向联想记忆神经网络模型周期解的全局指数稳定性 [J], 贾秀玲3.具有常时滞和时变时滞的Hopfield神经网络的全局指数稳定性 [J], 张雪莹;陈展衡4.带有比例时滞的复值神经网络全局指数稳定性 [J], 张磊;宋乾坤5.带有时滞的Clifford值神经网络的全局指数稳定性 [J], 舒含奇;宋乾坤因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

带有变时滞的细胞神经网络模型概周期解的存在性和全局指数稳定性

第２２卷第源自期２１００年６月
！
六盘水师范高等专科学校学报
ｐｎｈｉＴａｈｒｏｌｅａｓｕｅｃｅｓｌｇＣｅ
Ｖｏ．２ＮＯ．１２３
Ｊｎ．００ｕｅ２１
带有变时滞的细胞神经网络模型概周期解的存在性和全局指数稳定性
ＥｘｓｅｃｎｏａｐｎｎｉｌｔｂｌｙｏＡｌｓｒｏｉｉｔｎｅａｄＧｌｂｌＥｘｏｅｔａａｉｔｆｍｏｔＳｉＰｅｉｄｃＳｌｔｏｆｌｌｒＮｅｒｌｔｒｓｗｉｈＶａｉｂｅＤｅａｓｏｕｉｎｏｌａｕａｗｏｋｔｒａｌｌｙＣｅｕＮｅＳＨＥＬａ－ｉｇｉｎｂｎ
（＝ｌ２月）．ｈｄｌｓ０ａ）ｒｉ，，ｎａｂｕｄｄｆｃｏｓｉ， …，Ｔｅｅａｒｔ（＝ｌ …，）ｒｏｎｅｕｔｎ．ｙ２ｅｎｉ
，
ＫｅｒｓＧｌｂｌｘｏｅｔｌｔｂｌ：Ｄｅａｅｅｌｌｍｅａｅｏｋ；Ａｌｓｐｒｄｃｓｌｔｎｙｗｏｄ：ｏａｌｅｐｎｎｉａｉｔｙａｓｉｙｌｙｄｃｌａｕｌｔｒｓｕｒｎｗｍｏｔｅｏｉｏｕｉｉｏ
ｃｎｅｔｎｍａｆｎｔｎ，，）ｆ１（，（）ｉｏｎｃｉｏｒｘｕｃｏｓｉ（＝（（，２），）ｔ …，ｆｓｃｎｉｏｓａｍｏｔｐｒｄｃｆｎｔｎ，）ｏｔｕｕｌｎｙｌｓｅｉｉｏｕｃｏｓｉ