卵形曲线参数计算1
卡西尼卵形线二级结论
卡西尼卵形线二级结论概述卡西尼卵形线是指由卡西尼椭圆函数描述的一个曲线，其形状类似于椭圆，却有一端延伸得更加细长，如同一个鸟巢的形状。
该曲线的特殊性质引起了科学家的极大兴趣，并且在多个研究领域中发现了相关的二级结论。
本文将对卡西尼卵形线的二级结论进行全面、详细、完整的探讨。
卡西尼椭圆曲线的定义卡西尼椭圆曲线的数学表达式为：(x^2 + y^2)^2 = a^2 * (x^2 - y^2)其中，(x, y)为曲线上任意一点的坐标，a为常数。
卡西尼椭圆曲线具有一个特殊的性质，即曲线上任意一点到两个焦点的距离的乘积等于常数的平方：PF1 * PF2 = a^2卡西尼卵形线的性质卡西尼卵形线具有以下几个重要性质：1.中点切线平行于传方向曲线：卡西尼卵形线的中点切线与焦线的夹角等于传方向曲线与焦线的夹角。
2.对角线交点处切线垂直于传方向曲线：卡西尼卵形线的对角线交点处的切线与传方向曲线垂直。
3.曲线外端点处切线过焦点：卡西尼卵形线的曲线外端点处的切线经过焦点，即焦点是曲线上所有切线的一个公共点。
卡西尼卵形线的二级结论二级结论一：焦点与极限在卡西尼卵形线上，焦点有以下重要性质：1.焦点是曲线的对称中心：任意取曲线上一点P和其对称点P’，则P和P’到焦点的距离之积相等。
2.焦点与曲线的对称轴上有垂直关系：曲线的对称轴与曲线上任意一点到焦点的距离的乘积为常数。
3.曲线上离焦点越远的点，其到焦点的距离趋近于曲线的半径：即当P到焦点的距离无限增大时，这个距离与曲线的半径趋于相等。
二级结论二：卡西尼卵形线与力学在力学领域中，卡西尼卵形线也有一些相关的二级结论：1.卡西尼卵形线的轨迹：如果一个质点被两个力限制在卡西尼卵形线上，那么该质点的轨迹将是卡西尼卵形线。
2.卡西尼卵形线的稳定性：在某些力学系统中，卡西尼卵形线是一个稳定的平衡位置，当质点偏离卡西尼卵形线时，力将会将其拉回。
3.卡西尼卵形线与天体运动的关系：天体的运动轨迹中存在一类特殊情况，即当天体被两个引力中心所限制时，其运动轨迹将形成卡西尼卵形线。
卵形曲线计算原理
卵形曲线计算原理一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
缓和曲线计算方法
几种特殊缓和曲线计算方法X=L－L5÷［40（RL S）2］＋L9÷［3456（RL S）4］－L13÷［599040（RL S）6］＋L17÷［175472640（RL S）8］－L21÷［7.80337152×1010（RL S）10］Y=L3÷［6（RL S）］－L7÷［336（RL S）3］＋L11÷［42240（RL S）5］－L15÷［9676800（RL S）7］＋L19÷［3530096640（RL S）9］－L23÷［1.8802409472×1012（RL S）11］一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅攀高速公路A合同段立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：已知相关数据如下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1= √（70×50）=59.161卵形曲线参数:A2=(HY2－YH1) ×R1×R2÷(R2－R1)= (271.881－223.715) ×50×75÷(75－50)=7224.900A2=√（7224.900）=84.999A3=√（60×75）=67.0822、卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度L F由已知条件知：L F=HY2－YH1=271.881－223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ｀点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）L M=L S（YH1至HZ｀的弧长）=A2÷R1=7224.9÷50=144.498∴HZ｀桩号=YH1+L M=223.715+144.498=368.213L E=HY2至HZ｀的弧长=A2÷R2=7224.9÷75=96.332或L E=L M－L F=144.498－48.166=96.332卵形曲线长度L F=L M－L E=144.498－96.332=48.166（校核）HY2=HZ｀－L E=368.213－96.332=271.881（校核）以上说明计算正确3．HZ｀点坐标计算（见图2）㈠用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距通式：Xn=［（－1）n+1×L4n－3］÷［（2n-2）！×22n－2×（4n－3）×（RL S）2n－2］Yn=［（－1）n+1×L4n－1］÷［（2n-1）！×22n－1×（4n－1）×（RL S）2n－1］公式中符号含义：N——项数序号（1、2、3、……n）！——阶乘R——圆曲线半径LS——缓和曲线长度㈡现取公式前6项计算（项数越多精度越高，可根据工程精度需求取项数），带入公式后计算如下：X=L－L5÷［40（RL S）2］＋L9÷［3456（RL S）4］－L13÷［599040（RL S）6］＋L17÷［175472640（RL S）8］－L21÷［7.80337152×1010（RL S）10］Y=L3÷［6（RL S）］－L7÷［336（RL S）3］＋L11÷［42240（RL S）5］－L15÷［9676800（RL S）7］＋L19÷［3530096640（RL S）9］－L23÷［1.8802409472×1012（RL S）11］公式中L为计算点至ZH ｀或HZ｀的弧长HZ｀：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ｀－YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS带入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2＋Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°5′0.2″偏角计算用反正切公式，不要用其他公式。
卵形曲线的坐标计算
表１（ 续）
８ ９ １ ０
ｌ ｌ
Ｈ ；第 一 阶扭 转 振 动 频 率 为 １ ９ Ｈ ；第 一 阶扭 弯 ｚ ．５ｚ ８
拱 梁 （ 称 ） 弯 对 竖 拱 梁 （ 对 称 ） 弯 反 竖 拱 梁 （ 对 称 ） 弯 反 侧
摘 要 ： 卵形 曲 线是 路 线 设 计 中几 种 复 杂 的 曲线 之 一 ，但 与其 相 关 内容 的 介 绍很 少 ， 因此 根 据 卵 形 曲 线 的 定义 及 设 计 参数 给 出其 坐标 的 计 算过 程 很 有 实际 意 义 关 键 词 ： 卵形 曲 线 ； 坐标 ；计 算 中图 分 类号 ：Ｕ １、 ４２３ 文献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ — ７ ６ ２ ０ ）２０ — １９ ０ ０ ２ ４ ８ （０ ７ ０ 、３ ０ ２ — ２
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、
件和 有关标 准 规范要 求 ，也是评 定桥 梁运 营荷 载等
＼Ｌ／
ｊ ，
级最 直接 和有 效 的手 段 。动载试 验通 过测 试桥 梁在
动 载作用 下 的响应 ，分 析桥梁 的频 率 、阻尼 和振型
Ｄｒｃ ｙＵ ｄ ｒＣ ｉｅｅＰ ｏ ｌ ＳＡ ｍ ｄ Ｐ ｌｅ Ｆ ｒｅ ｅ ｉ ０ ０ ９ ｈｎ ） ｉ ｔ ｎ ｅ ｈｎｓ ｅｐｅ ｒ ｅ ｏ ｃ ｏｃ ，Ｂ ｉｎ １０ ２ ，Ｃ ｉａ ｅｌ ｉ ｊｇ
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笛卡尔卵形线 求参数
笛卡尔卵形线求参数笛卡尔卵形线（Cartesian oval）是一种在笛卡尔坐标系中的二维曲线，由法国数学家笛卡尔于17世纪提出。
它的数学表达式为：（x²/a²） + （y²/b²） = 1其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
笛卡尔卵形线是一种非常有特殊形状的曲线，它既有椭圆的特点，又有双曲线的特点。
从数学上来说，它是一个椭圆和一个双曲线的交点，因此也被称为交点曲线。
这种曲线在几何学和物理学中有着广泛的应用。
笛卡尔卵形线在几何学中有着重要的地位。
它的形状独特，可以用来描述一些特殊的几何问题。
例如，在光学中，当光线从一个焦点射入椭圆，经过反射后又汇聚到另一个焦点上，这个路径就可以用笛卡尔卵形线来描述。
另外，在天文学中，行星的轨道和彗星的轨道也可以用笛卡尔卵形线来近似描述。
笛卡尔卵形线在物理学中也有着重要的应用。
例如，在电磁学中，当一个带电粒子在两个电荷之间运动时，其路径也可以用笛卡尔卵形线来描述。
另外，在力学中，当一个质点在一个中心力场中运动时，其轨迹也可以是笛卡尔卵形线。
这些应用都是基于笛卡尔卵形线的数学性质和几何形状的特点。
笛卡尔卵形线还在工程学和计算机图形学中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，通过控制椭圆的长轴和短轴的长度，我们可以绘制出各种各样的卵形线，从而实现复杂的图形效果。
另外，在工程学中，通过研究笛卡尔卵形线的性质，可以设计出一些具有特殊功能的曲线，用于解决一些实际问题。
笛卡尔卵形线是一种具有特殊形状和重要应用的曲线。
它在几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
通过研究笛卡尔卵形线的性质和应用，我们可以深入理解这个曲线的数学本质，同时也可以将它应用于解决实际问题。
希望通过本文的介绍，读者对笛卡尔卵形线有更加深入的了解。
卵形曲线要素及其上任意点坐标的严密算法
求得 卵形 曲线要 素（ 切线 角 、 切线 增量 ｑ 、 圆 曲线 内
移值 、 切 线长 Ｔ等 ） 。
１ ． １ 卵形 曲线要素 推证 完整缓 和 曲线计 算公 式为 ：
标为 （ Ｘ ， Ｙ ） ，交 点 ２ 高 斯 坐 标 为 （ ｘ ： ，
Ｙ ： ） 。 设Ｉ Ｐ２ 处 圆曲线 ＨＹ ２ － Ｙ Ｈ２圆心 位置 为 Ａ， 过
Ａ 点作垂 线 Ａ — Ｖ 垂 直线 段 ２ 一 ＨＺ 于 、 ／ ｒ ， 作 垂线 Ａ ． Ｖ。 垂 直线 段 Ｉ Ｐ１ 一 Ｉ Ｐ２于 Ｖ。 ； 连 接 Ａ与 Ｉ Ｐ２ 点， 由
２ ０ ／ ３ ５ ６ ７ — ６ ຫໍສະໝຸດ ． ． ．。 ． — —
—
．
．．
．
．．
—
—
ＣＮ ２ ２ ＿ １ ３ Ｚ ３ ／ Ｎ
卵形 曲线要 素及其上任意点坐标 的严密算法
任 克 林
（ 四川 省冶 金地质 勘查 局测 绘工程 大 队 ， 成都 ６ １ ０ ２ １ ２ ）
摘 要 ： 针对公 路 中线（ 平 曲线） 卵形 曲线测设 与计算 ， 将 卵形 曲线补全 为 完整 缓和 曲线， 并 利用 其 几何 性质
图 １中以 Ｒ ＞ Ｒ： 右 转路线为例 ， 设 卵 形 线 Ｙ ＨＩ － ＨＹ２ 缓 和 曲线 切 线 角 （ 以 下 简称 切 线 角 ）为 ２处后 缓 和曲线切 线角 为 ， 弦Ｙ Ｈ１ － ＨＹ２与
，
Ｙ Ｈ２ 一 ＨＺ为 Ｉ Ｐ２处后缓 和 曲线 ， 长度 为 Ｌ ， 卵 形线 （ Ｉ Ｐ２处前缓 和 曲线 ） ｙ Ｈ１ ＿ ＨＹ ２曲线 长 度 为 Ｌ ＾ ， 起
卵形曲线计算(1)
2、卵形曲线计算本设计由于12~JD JD 之间的距离偏小，又都为右偏，直线长度很难满足要求，同时也为适应地形条件的变化，所以此处敷设卵形曲线。
卵形曲线设计计算如下：运用纬地软件设计卵形曲线，系将卵形曲线看做是两个同向基本型平曲线的组合对接，首先给定小圆半径以及小圆的前缓和曲线长度：1700R =，1100S L =，这个前缓和曲线的起点半径为无穷大，而后缓和曲线长度为0。
然后切换到交点2，给定前缓和曲线长100F L =，后缓和曲线长2100S L =，由于中间过渡段曲线的半径变化是从12~R R ，所以第二段曲线的前缓和曲线F L 起点给定半径为小圆半径700，终点半径即大圆曲线半径2R 采用纬地软件的“T1+Rc+S2”或“T1+S1+Rc ”反算模式，计算结果为1451.22。
卵形曲线设计参数宜满足如下三个条件： ①112F R A R ≤≤ ②120.20.8R R ≤≤ ③10.0030.03D R ≤≤已知：1212700,1451.22,100S S F R R L L L ===== 计算：（如图2.1）图2.1 卵形曲线示意图[11]122112122212121212120.27001451.220.480.8,,,242422F F F F F F F F R R D R R O O O O L L L L P P q q R R ≤==≤=--=====2212122211221221212112212112111,()1001451.22700135227.231451.22700350367.737002135227.23135227.23193.18,93.187001451.2224F F F F F F F F F F F F F F F F F F A A L L R R A R R L L L R R L R R A R R A R A R A A L L R R L P R ==-=-==-⨯⨯==-=≤=≤========反推：22222121212211293.18193.182.22,0.252470024241451.22193.1893.1896.59,46.592222749.011451.22700F F F F F F L P R L L q q O O D R R O O =====⨯⨯==========--=-1749.01 2.210.003 2.217000.00310.03D R -=≤==≤综上计算，本设计卵形曲线设计满足《公路路线设计规范》要求。
卵型曲线计算方法
3）卵型曲线计算方法
M
(R 1p 1)ta 2 1 n(R 2p2)ta 2 2 nAB
（1）中间缓和曲线计算
回旋线参数：A424DR3 4 24PFR13R23
(R1R2)3
必须检查参数A是否在规定范围：R2/2<A<R2。
中间缓和曲线段长度LF ：
LFR A 2 2A R 1 2R R 11 R R 22A2
M点坐标： x M x Y1H x /co cso M s 1( 8)0 y M y Y1H x /co ss iM n 1 ( 8)0
式中：x,y——中间缓和曲线R1处切线支距值；
δ——中间缓和曲线R1处弦角，
arctan
y x
l1 —— 曲率半径为R1处的缓和曲线长度，
法粗定出沿线应穿应避的一系列中间控制点，拟定路线轮廓 方案。 （二）放坡，定导向线
现场放均坡线。仪器：坡度仪或手水准仪、花杆。
第四节 直接定线
一、直接定线的工作步骤
（一）分段安排路线 在选线布局定下的主要控制点之间，沿拟定方向用试坡方
法粗定出沿线应穿应避的一系列中间控制点，拟定路线轮廓 方案。 （二）放坡，定导向线
2．虚交点
▪ ①切基线法：
▪ ②离、割基线法：
③曲线起终点法：
R A1 A2 2 sin 2
3．回头曲线
▪ 大头回头曲线布设：主曲线
▪
两条辅助曲线
▪ 半径确定同虚交点法。
3．回头曲线
▪ 大头回头曲线布设：主曲线
▪
两条辅助曲线横断面检查。
谢谢大家
（3）中间缓和曲线起点M坐标计算 ：
②当R1<R2时：回旋线起点M位于HY2点前方 。 由YH1坐标推算M坐标：
浅谈道路线形设计中卵型平曲线的计算方法
浅谈道路线形设计中卵型平曲线的计算方法摘要:在当今社会发展中,人们对交通运输的要求越来越高,且道路建设水平在国民经济建设中占有重要地位,因此合理的线形设计至关重要。
卵型曲线作为道路线形设计中的一种,其设计复杂,计算繁琐,参数较多,在实际工作中对其进行研究。
关键词:公路工程线形设计卵型平曲线道路线形设计在道路整体设计中占有重要地位,设计合理的线形可以提高道路行车安全保障,同时对道路连续性和美观都起到重要作用。
道路线形设计中一般包括6种线形,即:基本型、S型、卵型、凸型、复合型和C型。
其中,基本型是现代道路线形设计中最基本、最常用、计算最简单的线形之一,但在设计中往往由于地形或其它因素的影响不能采用基本型设计,而采用其他5种线形中的一种,其中卵型是计算最为复杂的线形。
卵型平曲线是指用一个回旋线连接两个同向圆曲线的组合形式。
卵型组合的前提条件:(1)大圆必须把小圆完全包含在内,但不是同心圆。
(2)延长两相邻圆曲线的圆弧不能相互交叉。
(3)连接的回旋线不是由回旋线的原点开始,而是曲率为的部分。
下面我将结合自己的实践经验对道路线形设计中的卵型平曲线进行案例分析。
本案例中,和构成卵形平曲线,并且两交点的坐标分别为(76816.62,45314.107),(76615.557,45541.151),两交点的偏角分别为30°30’07″和23°21’06″,初拟的半径R1=400,缓和曲线。
本案例采用切线长度控制曲线半径法(直线型定线)进行计算,按两同向曲线(未设缓和曲线时)在公切点处直接相接在的思想进行设计(公切线即为两交点的连线)两曲线应满足:参考文献[1] 赵永平,唐勇.道路勘测设计[M].北京:高等教育出版社,2004(8).[2] 中华人民共和国行业标准.公路路线设计规范JTGD20-2006[S].北京:人民交通出版社,2006(10).[3] 许娅娅.测量学[M].北京:人民交通出版社,2004(5).。
卵形曲线辅助点计算(即完整缓和曲线起点的支距)解算步骤
50卵形曲线辅助点计算（即完整缓和曲线起点的支距）解算步骤卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线，计算前只需要把不完整的缓和曲线（也就是卵型曲线）补充完整即可。
在计算小半径的缓和曲线或卵形曲线坐标时,由于切线支距公式取项少而造成计算精度低,现有书中一般介绍也就只有2~4项,为提高计算精度就需要将支距公式多展开几项。
以下计算卵型曲线的完整缓和曲线长支距模型：重在学习掌握解算流程，现在空间里有更好的计算程序。
曲线参数A2=LS×R1×R2÷(R2-R1)=卵形曲线长×小半径×大半径÷（大半径-小半径）在同一段回旋线内,它的参数永远是不变的。
LS=卵型曲线长. （已知）完整缓和曲线长L= A2÷R1=曲线参数÷小半径当L=LS时：代入完整缓和曲线切线支距公式：(式中R均为小半径R1)E=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10]F=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] -L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] -L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11]完整缓和曲线切线角（即两切线交角）p2=90L2÷(A2)L所对应玄长C=√（E2+F2）大半径处偏角P1=tan- 1(F2÷E2)小半径处偏角P3=180- P1-(180- p2)O=小半径处切线方位角（已知）小半径处至完整缓和曲线起点方位角Q=O±P3 (右向取+号；左向取-号)完整缓和曲线（起点）坐标：X=A+CcosQY=B=CsihQ完整缓和曲线（起点）处切线方位角：O=Q+180±p2 (右向取+号；左向取-号)以起点为基点用回旋线编程计算卵型曲线上任意桩号的中边桩点位坐标。
卵形曲线的坐标计算
，
２ 多形 曲线 的坐标 计算
卵形曲线两端是直线一缓和曲线一 圆曲线 ， 各点坐标按切 其
线 支距法容易求得 计算公式为 『 ］ 『 ］ ， Ｘ ｌ ｊ ｌ ｊ ｘ ＋
卵 形 曲 线 的 坐 标 计 算
张 生 成
摘 要 ： 由于路线的转向及 大小 圆曲线位置先后不同， 出卵形曲线 中间段 回旋线起 点 Ｍ 的切线方位角和 坐标 计算情 指
况， 具体介绍 了路线右转且 大圆曲线在先小圆 曲线在后 的计算公 式及计算过程。
关键 词４２ 文献标识码 ： Ａ
由 Ａ 点的坐标 （ 曲线 主点坐标 ） ｌ 的长度 ， 及 １ 可反算缓 和曲
线起点 Ｍ 坐标。
ｌ～Ｒ ，
田 儿 术 ‘。 山 。 Ｉ 寸
现定 义回旋线 的参数 方程 ： ＝ｒ， ｆ ｌ 并令 Ａ Ａ＝ｚ ， ／ Ｌ Ｉ ＭＢ＝ ￡， ２
Ａ ＝ １ Ｂ ２ ｌ Ｆ ＝ 。
所示， 的方位角 ＝ ｕ ， ｊ 一 其中，Ａ 为丽 的方位角， ａＵ 由
须指出的是 ， 中间段缓和曲线长度 ｌ ｌ Ｒｌ“ ， ， ） Ｆ由 『 ， Ｒ２ 决定 ： 已知条件可求得。 ’ （
‘ ／ Ｒ （ 何件 出 一堕 由 条得 ） ＾ 二 几 。
Ｆ：
２ ２ Ｍ 点 的坐标 计算 ．
音。 在儿何理论上， 若两圆曲线相交、 相切或相离时， 只用一条叫
旋线不能将两个 圆曲线连接 ， 以卵彤 曲线 必须要求大 圆曲线能 所 完全包住小圆曲线 （ 文中假定 Ｒｌ 本 ＞Ｒ２ 。并 且， 了避 免 中间 ） 为
Ｄ
带卵形曲线的组合曲线的坐标计算
带卵形曲线的组合曲线的坐标计算作者：柴进全来源：《城市建设理论研究》2013年第34期摘要:以攀枝花至田房高速公路E8合同段线路组合曲线为例，介绍带卵形曲线的组合曲线坐标计算的公式和方法）关键词:卵形曲线;组合曲线;坐标计算中图分类号：U213.2+3文献标识码： A1、前言随着我国公路主骨架的初步形成，今后几年乃至十几年，我国公路建设的重点将转移到市县一级的交通网络上，地形复杂、展线较困难的山区将是公路建设的主战场，在线路的平面设计上，将越来越多的采用卵形曲线设计；同时高速公路的连接线和匝道的线路平面设计也经常采用卵形曲线过渡，而带卵形曲线的组合曲线的坐标计算是现阶段工程技术人员面临的一个难题。
2、工程概述攀枝花至田房高速公路是交通部规划建设的八条西部大通道之一—兰州～成都～昆明～磨憨公路四川境内的末端，在E8合同段与E9合同段的交接地段，由于地形限制和展线的需要，在K209+129.417～K210+875.768段为一两同向圆曲线以一回旋曲线相连的卵形曲线，曲线要素及主点里程坐标见图1：图1 组合曲线资料3、组合曲线结构分析卵形曲线是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大或无穷小方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
本例中的K209+800.477～K209+957.884段，就是经复原后的曲线组合图2中的缓和曲线ZH‘～HY中的一段。
图2 还原的曲线图所以该组合曲线的结构为：缓和曲线+圆曲线+卵形曲线+圆曲线+缓和曲线的组合。
4、缓和曲线及圆曲线任意点的坐标计算根据对组合曲线的结构分析可知，卵形曲线两端的圆曲线、缓和曲线，实际就是两个标准的缓和曲线+圆曲线的曲线组合一端去掉一个缓和曲线，所以计算这两个组合曲线上的任意点坐标的思路就是：将组合曲线拆分为两个已知圆曲线和缓和曲线长度的标准组合曲线，如图3、图4，分别计算其坐标。
卵形曲线计算方法
一．概述近年来随着我国公路建设的发展，全封闭、全立交的高等级公路已经成为我国公路网中的重要组成部分，组成立交的基本单元是匝道，匝道的平面线形组合相对比较复杂，计算烦琐，特别是卵形曲线的计算更加抽象难懂。
卵形曲线的计算方法主要有曲直法、解析法、拟合法、积木法、综合法、弦切法等。
由于其他方法理论抽象、计算烦琐。
因此一般工程放样中主要以弦切法为主。
本文重点介绍弦切法在立交匝道卵形曲线敷设计算中的应用。
二、弦切法的基本原理及计算思路对于路线平面线形而言，无论是绵延不断的公路，还是局部线形组合复杂的立交匝道，其基本构成单元不外是圆曲线、缓和曲线、直线。
一段圆曲线的终点，可以认为是其弦长（弧长所对应的）在相应方向上的延伸所构成的；一段缓和曲线的终点，也可以认为是由一方向和距离所构成的。
因此，在一段路线的起终点坐标和切线方位角固定的情况下，便能容易的求出坐标增量，方位增量的计算式，进而求得各曲线参数。
对于任何一种线形单元，只要知道起点坐标（X0，Y0）和切线方位角ɑ（可以假设为任意值），即可根据弦长S和相关参数确定其线形。
以下图2-1所示卵形曲线为例，若给定R1、R2和回旋曲线参数A，即、终可求得该缓和曲线长、交点坐标（XM，YM）、切线长T1、T2、偏角ɑJ点坐标（XZ，YZ）和终点切线方位角。
这样求得的终点坐标，曲率半径和切线方位角又可以作为下一线形单元起点的相应资料。
交点J的坐标：Xm=T1×COS（ɑ）+X0Ym=T1×SIN（ɑ）+Y0终点坐标：Xz=Xm+T2×COS（a+aj)Yz=Ym+T2×SIN(a+aj)根据卵形曲线的特点，可以计算出如下参数：L1=A2/R1，L2= A2/R2，L=L2-L1（R1>R2),或L=L1-L2 （R1<R2)根据回旋曲线上任意点的相对坐标计算公式：X=L S-L S5/40/A4+L S9/3456/A8，Y=L S3/6/A2-L S7/336/A6+L S11/42240/A10即可计算出卵形曲线起终点在相对坐标系中的坐标(X1,Y1) 和（X2，Y2）。
卵形曲线的计算方法
一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度L F由已知条件知：L F=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）L M=L S（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+L M=223.715+144.498=368.213L E=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或L E= L M-L F=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度L F=L M-L E=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-L E=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RL S）2]+L9÷[3456（RL S）4]–L13÷[599040（RL S）6]+L17÷[175472640（RL S）8]- L21÷[7.80337152×1010（RL S）10] （公式1）Y=L3÷[6（RL S）] - L7÷[336（RL S）3]+L11÷[42240（RL S）5] - L15÷[9676800（RL S）7]+L19÷[3530096640（RL S）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RL S）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=L S=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=L S代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
卡西尼卵形线二级结论
卡西尼卵形线二级结论卡西尼卵形线二级结论，指的是卡西尼卵形线上每一点处的切线与该点到两个焦点的连线垂直。
这个结论的发现和证明，对于理解卡西尼卵形线的性质和应用具有重要的意义。
我们可以通过几何推导来理解卡西尼卵形线二级结论。
假设卡西尼卵形线的方程为(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)，其中a为常数。
我们可以求得卡西尼卵形线上任一点处的切线方程为yy' = (x^2 - a^2)y - ax^2。
根据二级结论，切线与该点到两个焦点的连线垂直，即切线的斜率与该点到两个焦点连线的斜率的乘积为-1。
通过求解切线方程的斜率，我们可以得到该结论的表达式。
卡西尼卵形线二级结论也可以通过微积分的方法进行证明。
我们可以利用曲线的参数方程来推导卡西尼卵形线上任一点处的切线和该点到两个焦点连线的斜率之间的关系。
通过对参数方程进行求导，并考虑到卡西尼卵形线的特殊性质，我们可以得到该结论的证明。
卡西尼卵形线二级结论的应用非常广泛。
在物理学中，卡西尼卵形线的形状与天体的运动轨迹有关，通过研究卡西尼卵形线的性质，我们可以推导出天体的运动规律。
在工程学中，卡西尼卵形线的形状可以用于设计曲线形道路，提高交通的安全性和流畅性。
在数学的研究领域，卡西尼卵形线是一种非常有趣的曲线，通过研究其性质，可以拓展数学的深度和广度。
总结起来，卡西尼卵形线二级结论是对卡西尼卵形线性质的一个重要结论。
通过几何推导和微积分的方法，我们可以理解和证明该结论。
卡西尼卵形线二级结论的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学和数学等领域。
研究和应用卡西尼卵形线二级结论，对于推动科学的发展和应用的创新具有重要的意义。
卵型曲线计算方法
以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：
（图一）
已知相关设计数据见下表：
主点
桩号
坐标（m）
X
Y
切线方位角（θ）
°’ ”
ZH
AK0+090
9987.403
10059.378
92 17 26.2
HY1
AK0+160
9968.981
1卵型曲线坐标计算。
HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，
L=LS=HZ'-YH1
=368.213-223.715=144.498
将L=LS代入公式（1）、（2）得：
X=117.1072 Y=59.8839
L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301
偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”
卵型曲线计算方法
【摘要】在高速公路立交平面线型中，现越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到，这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度，为解决此难道，我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识，总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧。
【关键词】卵形曲线坐标计算
=10100.902
②与设计值比较:
rX=X计算值-X设计值=9880.442-9880.438
=+0.004
rY=Y计算值-Y设计值=10100.902-10100.904
=-0.002 mm
同理依次可计算出卵型曲线上其它任意点的坐标。由此可见，采用此方法计算求得的坐标与
卡西尼卵形线的证明
卡西尼卵形线的证明卡西尼卵形线，也称为卡西尼椭圆，是由法国天文学家吉安·多梅尼科·卡西尼在17世纪提出的一种椭圆曲线。
卡西尼卵形线的定义是一个动点沿着一对焦点之间距离之积保持不变的轨迹。
下面是对卡西尼卵形线的证明：假设卡西尼卵形线的焦点为F1和F2，距离为2a，点P为动点，距离F1和F2的距离分别为d1和d2，且d1 * d2 = a²。
我们可以使用坐标来证明卡西尼卵形线。
假设焦点为F1(-c, 0)和F2(c, 0)，其中c为焦距的一半。
点P的坐标为(x, y)。
首先，根据焦半径定义，我们可以得到：PF1² = (x + c)² + y² (1)PF2² = (x - c)² + y² (2)根据卡西尼椭圆的定义，有：PF1 * PF2 = a²将PF1和PF2的平方代入上式，我们得到：[(x + c)² + y²] * [(x - c)² + y²] = a²展开后化简，我们可以得到：(x² + y² + c²) * (x² + y² - c²) = a²再次进行展开化简，可以得到：x^4 + y^4 + (2c² - 2x² - 2y²)x² = 0这是一个四次方程，可以通过进一步的代数运算化简为标准的椭圆方程形式。
因此，我们证明了卡西尼卵形线满足上述方程，即为一椭圆曲线。
请注意，以上是一种简要的证明，可能并不涵盖所有细节。
在更详细的证明中，可能会见到更多的代数推导和几何推理。
卵形曲线的计算方法
一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度L F由已知条件知：L F=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）L M=L S（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+L M=223.715+144.498=368.213L E=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或L E= L M-L F=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度L F=L M-L E=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-L E=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RL S）2]+L9÷[3456（RL S）4]–L13÷[599040（RL S）6]+L17÷[175472640（RL S）8]- L21÷[7.80337152×1010（RL S）10] （公式1）Y=L3÷[6（RL S）] - L7÷[336（RL S）3]+L11÷[42240（RL S）5] - L15÷[9676800（RL S）7]+L19÷[3530096640（RL S）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RL S）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=L S=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=L S代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
卵形曲线的相关总结
目录一、定义 (1)二、卵形曲线的应用 (1)三、计算卵形曲线上点坐标的方法 (1)1、一般坐标计算 (1)辛甫生公式 (2)四、案例计算 (3)1、使用一半坐标计算方法 (3)2、使用辛甫生公式计算 (4)卵形曲线一、定义卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线的应用西直门立交桥是北京市二环路西北的一座立交桥，位于北京市老城墙西北角，原北京内城西直门原址上。
从1994年开始，北京市政工程设计研究院用了整整4年的时间，做出了新立交桥的设计。
1999年，投资2个亿的崭新的西直门立交桥拔地而起……仅仅过了两年，这里成了北京最堵车的地方之一。
三、计算卵形曲线上点坐标的方法1、一般坐标计算首先补全缓和曲线。
在缓和曲线中R1L1= R2(L1+L2) ,使用此公式求的所补缓和曲线的长度。
利用缓和曲线的切线角公式求得YH点切线与x轴夹角β，而δ=1β/3。
α1为YH 点的切线方位角，则ox 的方位角α＝α1- β。
o-YH 的坐标方位角α =α+δ+180°。
使用缓和曲线的参数方程求得YH 点在自定义坐标系下的坐标，进一步求得o-YH 的距离，o 点的坐标可由几何关系求得为（ x 0 ，y 0 ）。
缓和段上任一点可利用缓和曲线参数方程计算出在自定义坐标系下的坐标，再利用坐标转换求得各点在施工坐标系下的坐标。
缓和曲线参数方程：坐标转换公式：辛甫生公式[]i A Ai A i n DK DK x x αααααcos cos cos 4cos 2cos 6434121+⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛++-+=[]i A Ai A i n DK DK y y αααααsin sin sin 4sin 2sin 6434121+⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛++-+=ZHZHy y x Y x y x X +∆+∆-=+∆+∆=ααααcos sin sin cos 旧旧新旧旧新四、案例计算1、使用一半坐标计算方法AB 段以A （ZH ）点为原点切线方向为X 轴，垂直于切线方向为Y 轴，使用缓和曲线参BC 段与AB 段在同一个自定义坐标系中，使用公式CD 段缓和曲线是不全的缓和曲线，需要将其补全后再使用缓和曲线参数方程计算。