常用概率分布
几种常见的概率分布率
nk
x------在n次抽样中某一种类型的个体数.
μ= N
n k (N-K)(N-n)
S2 = N2(N-1) ^ nk N= x
N------^群体大小的估计. K------加有标记的个体数.
n------第二次抽样抽中的个体数.
x------在含有为n的样本中加有标记的个体数.
例:某野外实习队用网捕捉到金丝燕100只,做好标记后仍放回大自然,一月后
同样:把样本看作一个整体, 则: ∑f (x) =1
故: 式中任一项出现的概率为:
μx
μ----平均数
P (x) = e-μ x!
x ----第x项为自然数 :1,2,3,…
e ----常数 =2.718281…
3.Poisson分布的特征:
1).小概率事件.P ≦ 0.1.
2).n
∞,越大越好,但事实上不可能,因此,所得的分布是个近似分布.
3).μ = n p 大小适中,恰好为e-μ.即:与自然数e的负指数为宜.
4).样本平均数就是总体平均数.X = μ.
5).平均数等于方差.X = δ2
6).偏斜度: γ1 = 1/√ n
7).峭度: γ2 = 1/μ
4.Poisson 分布的应用:
例:麦田内杂草的分布:调查已知每10平方米有一株杂草.
∑
N=2608 10086 几种常见的概率分1布.0率000
常用概率分布
1
至少有20名感染钩虫的概率为
PX
20
150
P(X)
150
150!
0.13 X (1 0.13)150X
X 20
X 20 X !(150 X )!
19
1 P(X) X 0
19
1
150!
0.13 X (1 0.13)150X
X 0 X !(150 X )!
例4-6 例4-5中某地钩虫感染率为13%，随机 抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的 概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多 大？至少有20名感染钩虫的的概率有多大？
至多有2名感染钩虫的概率为
PX2 2 P(X) 2 n! X(1 )nX
X0
X0X!(nX)!
0.25 0.24 0.23
0.20
0.20
0.10
0.10
n=3, π=0.5
n=10, π=0.5
π=0.5时，不同n值对应的二项分布
0.00
0.00 0
0.46 0.40
0.30
0.20
0.10
01 23 n=3, π=0.3
0.00 0
P 0.34 0.30
0.20
0.10
0 0.00 1 2 3 4 5 0 n=6, π=0.3
6个常见分布的分布律或密度函数
1.均匀分布（Uniform Distribution）: 这种分布的密度函数是一条平行于坐标轴的直线，表示所有取值的概率相同。
2.正态分布（Normal Distribution）: 这种分布又称高斯分布，是一种对称的分布，其概率密度函数是一个钟形曲线。
3.指数分布（Exponential Distribution）: 这种分布的密度函数是一条指数形的曲线，常用来描述随机事件的发生时间间隔。
4.卡方分布（Chi-square Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线。
5.t分布（t Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线，但比卡方分布的峰值低。
6.F分布（F Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条双峰曲线。
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布
常见的几种概率分布
概率论是研究随机现象的数学理论，其中涉及到许多常见的概率分布。概率分布描述了随机变量在不同取值上的概率分布情况。本文将介绍几种常见的概率分布，包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
一、均匀分布
均匀分布是最简单的概率分布之一，也被称为矩形分布。在均匀分布中，随机变量在一定的取值范围内的概率是相等的。例如，抛一枚公正的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。均匀分布通常用于模拟随机数发生器的输出，或者在一定范围内随机选择一个数值。
二、正态分布
正态分布是最重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。在正态分布中，随机变量在取值范围内的概率密度函数呈钟形曲线状。正态分布具有许多重要的性质，例如均值、标准差等。正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如身高、体重、考试成绩等都符合正态分布。
三、泊松分布
泊松分布描述了单位时间或空间内事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布的特点是，事件之间相互独立且平均发生率恒定。泊松分布通常用于描述稀有事件的发生情况，例如单位时间内的电话呼叫次数、单位面积内的交通事故次数等。
四、指数分布
指数分布描述了连续随机变量首次达到某一值的时间间隔的概率分布情况。指数分布的特点是，事件之间相互独立且事件发生的概率与时间间隔成反比。指数分布通常用于模拟随机事件的发生时间间隔，例如单位时间内的电话呼叫间隔、单位距离内的交通事故间隔等。
除了上述几种常见的概率分布外，还有许多其他概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。每种概率分布都有其特定的应用场景和数学性质，对于不同的问题可以选择适合的概率分布进行建模和分析。
常用概率分布
（2）已知x1＝165cm，x2=175cm A、计算u值 Z1=(165-172.90)/4.09=-1.93
Z2=(175-172.90)/4.09=0.51
B、查附表：
（－1.93）＝0.0268，即－ ∞ ～ －1.93的面积为0.0268
（－0.51）＝0.3050，即－ ∞～－0.51的面积为0.3050 则0.51～＋∞的面积为0.3050
▪ P(正面朝上）＝0.50; ▪ 一般地，一个随机变量含两个要素： ▪ 1.它是一个变量； ▪ 2.这个变量可能值的出现各具有一定的
概率。
概 念与定理：
▪ 组合(combination):从几个元素中抽取 x个元素组成一组（不考虑其顺序） 的组合方式个数，记Cnx
▪ 几个相互独立事件同时发生的概率 等于各独立事件的概率之积。
1. 摸球模型
▪ 一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球， 我们进行摸球游戏，每次摸1球，然后放回再摸。 先后摸100次，摸到零次黄球的概率？
(1)第1次摸到白球的概率：0.6 (2)第2次摸到白球的概率：0.6 …… (100)第100次摸到白球的概率：0.6 100次都摸到白球的概率：0.6×0.6× …×0.6=0.6100
＝…＝P(6朝上)＝1/6
第一节 二项分布
➢二项分布是一种重要的离散型随 机变量的分布，又叫伯努利分布
常用概率分布
n! X (1 ) n X X !(n X )!
显然，P(X k)+ P(X k)=1+ P(k)。
例4-6
例4-5中某地钩虫感染率为13%，随机
观察当地150人，其中至多有2人感染钩虫的概率有
多大？至少有2人感染钩虫的概率有多大？至少有20
人感染钩虫的概率有多大？
至多有2人感染钩虫的概率为：
X的总体标准差：
n 1
样本率的均数和标准差
若以率 p=X/n 为随机变量，则样本率 p 的总体均数为
p
p 的总体方差为 p 的总体标准差为
p2 (1 )
n
p
(1 )
n
样本率的标准差也称为率的标准误， 可用来描述样本率的抽样误 差，率的标准误越小，则率的抽样误差就越小。一般情形下，总体率 π 往往并不知道，若用样本率 p=X/n 作为π 的估计值，则 p 的估 计为
第四章
常用概率分布
随机变量
连续型 取值无限不可列（通常为区间）
离散型 取值有限个
概率分布：连续型分布和离散型分布。 连续型分布：正态分布、t 分布和F 分布等。 离散型分布：二项分布、Poisson分布和负 二项分布。
常用概率分布
二项分布(Binomial Distribution) 泊松分布(Poisson Distribution) 正态分布(Normal Distribution)
概率论几种重要的分布
概率论几种重要的分布
概率论中有许多重要的分布，包括以下几种：
1. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是最常见的分布之一。它具有钟形曲线，对称，以及均值和方差完全定义。在许多实际应用中，自然界中许多现象都遵循正态分布。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：描述了在固定次数的独立重复试验中成功次数的概率分布。每个试验有两个可能的结果，成功和失败，并且每次试验的成功概率保持不变。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：用于描述稀有事件在固定时间或空间上的发生次数的概率分布。它假设事件发生的概率相等，且事件之间是相互独立的。
4. 均匀分布（Uniform Distribution）：也称为矩形分布，是一种概率分布，其中所有可能的结果的概率是相等的。在定义了一个范围之后，均匀分布将这个范围内的概率均匀地分布。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：用于描述独立事件发生间隔的概率分布。它假设事件是以恒定速率独立地发生的，即它具有无记忆性。
6. t分布（Student t-Distribution）：用于小样本情况下的统计推断，当样本量较小时，t分布的尾部更加重，与正态分布相比，更容易出现极端值。
以上只是一些重要的分布，概率论还有很多其他的分布，根据实际应用的不同，可以选择合适的分布模型。
常见概率分布的期望和方差
常见概率分布的期望和方差
概率分布是统计学中极为重要的概念，它给出了随机变量在不同值上出现的概率。期望和
方差是衡量概率分布形状和程度的重要指标，常见的概率分布的期望和方差也是学习统计
学的重要内容。
首先我们来看看正态分布。正态分布又称高斯分布，是最常见和最重要的概率分布之一，
它形状像两个钟形，其期望等于均值μ，方差等于μ的平方，常见的概率分布期望和方差
如下：正态分布期望μ=E(X)= μ，方差σ2=V(X)=σ2；指数分布期望μ=E(X)=1/ λ，方差
σ2=V(X)= 1/ λ2 ；γ分布期望μ=E(X)=α/β，方差σ2=V(X)=α/β2；beta分布期望
μ=E(X)=α/ (α+β)，方差σ2=V(X)=αβ/ ( (α+β)2 (α+β+1) )。
比较期望和方差的计算式可以发现，期望是分布的一般性参数，它反映了随机变量的中心倾向，而方差则是分布的程度型参数，它反映了随机变量的离散程度。借助于期望和方差，我们可以粗略地描述随机变量的分布情况。
在实际应用中，我们可以利用期望和方差对庞大的数据进行归纳和总结，预测数据的分布趋势，给出适宜的分析结论。期望和方差是统计概率分布的两个重要参数，它们可以反映概率分布的形状和程度。读者可以根据不同概率分布的计算式来计算其概率分布的期望和
方差。
常见概率分布
常见概率分布
概率分布是概率论的一个重要概念，用于描述一个随机变量可能取
得的所有值及其对应的概率分布情况。常见的概率分布包括均匀分布、二项分布、泊松分布、正态分布等。本文将对这些常见的概率分布进
行介绍和讨论。
一、均匀分布
均匀分布是最简单且最常见的概率分布之一。在一个有限区间内，
每个取值的概率都是相等的。均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1 / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b
其中 a 和 b 分别表示区间的起始值和终止值。均匀分布通常用于在
一个确定的范围内随机选择一个值的情况，例如随机抽奖或随机选取
一个数。
二、二项分布
二项分布是描述多次独立重复试验中成功次数的分布。每次试验只
有两个可能结果，通常分别表示为成功（记为 S）和失败（记为 F）两
种情况。二项分布的概率函数可以表示为：
P(x) = C(n, x) * p^x * (1-p)^(n-x)
其中 n 表示试验次数，x 表示成功的次数，p 表示每次试验成功的
概率。
三、泊松分布
泊松分布适用于描述单位时间或单位面积内某事件发生的次数的概
率分布。泊松分布的概率函数可以表示为：
P(x) = (e^(-λ) * λ^x) / x!
其中λ 表示单位时间或单位面积内事件的平均发生率，x 表示事件
发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件的发生情况，例如单位时间内交通事
故的发生次数、单位面积内电子元件的故障数等。
四、正态分布
正态分布，又称高斯分布，是自然界中最常见的分布之一。正态分
布具有钟形曲线，均值和标准差决定了分布的位置和形态。正态分布
常用概率分布
常用概率分布
常用概率分布是数学中一个非常重要的概念，它描述了每种特定事件发生的可能性，并帮助我们更好地理解随机事件的性质。在统计学、工程学、物理学、生物学和金融学等领域，常用概率分布被广泛应用于数据分析和模拟等方面。接下来，我将介绍一些最常见的概率分布。
1. 二项分布
二项分布是一种离散的概率分布，它描述了两种可能结果中每一种结果的概率。比如说，抛硬币的结果只有正面和反面两种可能性。当每次实验仅有两种可能结果，并且这两种结果的概率相等时，可以使用二项分布来计算任意试验中某个结果被观察到的概率。一般地，二项分布可以用来计算n次独立实验中恰好有k次成功的概率。
2. 正态分布
正态分布是一种连续概率分布，也称为高斯分布。它是自然界中最常见的概率分布之一，用于描述一些连续型变量（例如长度、质量和时间等）的分布情况。具有正态分布的数据通常呈现出钟形曲线的形状，且均值、中位数和众数相等。正态分布是许多模型和算法的基础，例如线性回归和神经网络等。
3. 泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布，它描述了在一定时间内某个事件发生的次数。该分布适用于低概率事件的发生频率较高的情况，例如在一定时间内接收到的电子邮件数量以及某种疾病的发病率等。此外，泊松分布还可以用于描述自然生态系统中的物种数量变化、军事战斗中的伤亡人数等。
4. 指数分布
指数分布是一种连续概率分布，用于描述一些事件所需的时间间隔。比如说，等车的时间、电话呼叫之间的间隔时间等都可以用指数分布来描述。该分布的特点是概率随着时间间隔的增加而逐渐减小，且具有单峰趋势。
概率论八大分布公式
概率论八大分布公式
概率论中的八大分布公式是指常见的概率分布函数，它们在统计学和概率分析中有着广泛的应用。这些分布包括：二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布和卡方分布。下面将对这八个分布公式进行简要介绍。
1. 二项分布
二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果的事件，如投掷硬币的结果。它的概率分布函数可以用来计算在n次独立重复试验中，成功事件发生k次的概率。
2. 泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述单位时间或空间内事件发生的次数。它的概率分布函数可以用来计算在一个固定时间或空间单位内，事件发生k次的概率。
3. 均匀分布
均匀分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数在一个区间内的取值相等。例如，投掷一个均匀骰子的结果就符合均匀分布。
4. 正态分布
正态分布是一种连续概率分布，也被称为高斯分布。它的概率密度函数呈钟形曲线，对称分布在均值附近。许多自然界的现象都可以用正态分布来描述，如身高、体重等。
5. 指数分布
指数分布是一种连续概率分布，用于描述事件发生的间隔时间。它的概率密度函数呈指数下降的形式，适用于模拟一些随机事件的发生。
6. 伽玛分布
伽玛分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数呈正偏态分布。伽玛分布常用于描述一些随机变量的持续时间，如寿命、等待时间等。
7. 贝塔分布
贝塔分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数呈S形曲线。贝塔分布常用于描述概率或比率的分布，如投掷硬币的概率、产品的可靠性等。
8. 卡方分布
卡方分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数呈非对称形状。卡方分布常用于统计推断中的假设检验和置信区间估计，如样本方差的分布。
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布
常见的概率论分布有：均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
1. 均匀分布
均匀分布是指在一段区间内，各个取值的概率是相等的。比如在一个骰子的例子中，每个面出现的概率是相等的，为1/6。均匀分布在实际应用中常用于随机数生成、样本抽取等场景。
2. 正态分布
正态分布又被称为高斯分布，是最常见的概率分布之一。正态分布的特点是呈钟形曲线，数据集中在均值周围，并且具有对称性。正态分布在自然界中广泛存在，比如人的身高、体重等都近似服从正态分布。在统计学和数据分析中，正态分布的应用非常广泛，例如在建模、假设检验和置信区间估计等方面。
3. 泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一段时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布。泊松分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的平均速率是恒定的。泊松分布在实际应用中常用于描述稀有事件的发生概率，比如电话呼叫中心的接听次数、交通事故的发生次数等。
4. 指数分布
指数分布是描述连续随机变量的概率分布，用于描述时间间隔的概
率分布。指数分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的速率是恒定的。指数分布在实际应用中常用于描述如等待时间、寿命等连续性事件的概率分布。
这四种分布在概率论和统计学中都有广泛的应用。它们分别适用于不同的场景和问题，能够帮助人们理解和分析数据。在实际应用中，我们常常需要通过对数据进行建模和分析来确定数据的分布类型，从而更好地理解数据的特征和规律。
除了这四种常见的分布外，还有其他许多概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。每种分布都有其独特的特点和应用领域。在实际应用中，选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据，做出准确的推断和预测。
一些重要的概率分布
样本均值
第16页/共49页
理论依据：
若X1，X2，X3，…，Xn是来自于均值为， 方差为²的正态总体的一随机样本。则样本 均值 也服从正态分布，其均值为，方差 为²/n，即：
_
X ~ N (, 2 n)
也就是说，样本均值 的抽样（或概率） 分布，同样服从正态分布。
W=2X+2Y 根据上述公式，得：
E(W)=2E(X)+2E(Y)=500
Var(W)=4Var(X)+4Var(Y)=580 因此，W服从均值为500，方差为580的正态分布，即
W~N(500,580)
第7页/共49页
1.3 标准正态分布
• 由于期望和方差的不同，正态分布之间会存在一 定的区别（见下图），如何将其简单化，从而引 入标准正态分布。
从同一个概率密度（Xi有相同的概率密度函数）中独立抽取得到的，称Xs为独立同分布随
机变量。
第13页/共49页
2.1 样本均值的概率密度
• 例：已知正态分布的均值为10，方差为4，即 N(10,4)。现在从这个正态总体中抽取20个随机 样本，每个样本包括20个观察值，对抽取的每一 个样本，得到其样本均值，因此，共有20个样本 均值。
第25页/共49页
可以证明： 样本方差与总体方差的比值 与自由度(n-1)的积服从自由度为(n-1)的 ²分布。公式表示为：
概率总结归纳
概率总结归纳
概率是数学中研究随机事件的理论。它描述了事件发生的可能性，
是统计学的基础。在生活和科学研究中，概率的概念和方法经常被应
用到各个领域。本文将对概率的基本概念、性质以及常见的计算方法
进行总结归纳。
一、基本概念
1. 随机试验与随机事件：随机试验是指具备以下三个特征的试验：（1）可以在相同条件下重复进行；（2）试验结果不确定；（3）试验
结果有一系列可能的观测值。随机事件是指随机试验中可能发生的结果。
2. 样本空间与样本点：样本空间是指随机试验所有可能结果的总体，通常用S表示。样本空间中的每个元素称为样本点，用ω表示。
3. 事件与事件的概率：事件是样本空间的子集，表示满足某种条件
的样本点组成的集合。事件的概率是该事件发生的可能性大小，用
P(A)表示。
二、概率的性质
1. 非负性：对于任意事件A，总有P(A) ≥ 0。
2. 规范性：对于样本空间S，有P(S) = 1。
3. 可列可加性：对于互不相容的事件A1, A2, ... ，有P(A1∪A2∪...) = P(A1) + P(A2) + ... 。
三、概率计算方法
1. 频率法：通过大量重复试验，统计事件A发生的次数n(A)，估计事件A的概率P(A) ≈ n(A)/n，其中n为试验次数。
2. 古典概型法：当样本空间S中的每个样本点发生的概率相等时，即P(ω) = 1/n，其中n为样本点个数，事件A的概率可以计算为P(A) = n(A)/n。
3. 几何概型法：通过几何图形的面积或长度来计算概率。例如在正方形中随机投点，落入事件A的面积与正方形面积之比即为事件A的概率。
常用概率分布汇总及用处简述
正态分布 (高斯分布)
分布中叫标准正态变量，在后面的推断性 统计中非常重要，叫 Z 分数 若 ， 则 Y 服从该分布。 以下来自百度百科：如果一个变量可以看 作是许多很小独立因子的乘积，则这个变 量可以看作是对数正态分布。一个典型的 例子是股票投资的长期收益率，它可以看 作是每天收益率的乘积。 高斯分布描述的是在布朗运动中某一固定 时刻的距离分布，而逆高斯分布描述的是 到达固定距离所需时间的分布。 由它的来由可以看出，它一般应用于与时 间有关的正态分布，比如某段时间的水流 量，某段时间的还债情况，某段时间的寿 命这些属于正态分布，就可以使用逆高斯 分布来反过来求出达到某个水流量要多 久，还债率达到多少要多久，寿命是多少 的要多久等。 首先简单认识一下伽玛函数： ，它是 阶乘的延拓 ，伽玛分布的 一个重要应用就是作为共轭分布出现在很 多机器学习算法中 为伽玛分布的特殊形式， 即当 时的伽 玛分布，指数函数的一个重要特征是无记 忆性（Memoryless Property，又称遗失记 忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数 分布，当 s,t>0 时有 P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。 即，如果 T 是某一元件的寿命，已知元件 使用了 t 小时， 它总共使用至少 s+t 小时的 条件概率，与从开始使用时算起它使用至 少 s 小时的概率相等 若 n 个相互独立的随机变量 X₁、 X₂、 ……、 Xn ，均服从标准正态分布，则这 n 个服 从标准正态分布的随机变量的平方和构成 一新的随机变量，其分布规律称为卡方分 布，卡方分布主要用来进行单总体方差检 验，优度拟合检验、独立性检验（可以看 作优度拟合的反向使用） 即若变量 Xn 服从 从 分布，其中 正态分布， 则 服 其它 当 X 服从指数分布时， 韦布尔分布 分布，当 瑞利分布。 服从韦布尔 时为
常用概率分布
标准正态分布的密度函数：
f Z
1
Z2
e2
2
-∞＜Z＜+∞
f Z 为标准正态分布的密度函数，即纵坐标的高度。
2021/4/6
7
正态分布的特征
1. 关于x 对称。即正态分布以均数为中
心，左右对称。
2. 在 x 处取得概率密度函数的最大值， 在 x 处有拐点，表现为 钟形曲线。即正
态曲线在横轴上方均数处最高。
医学统计学
流行病与卫生统计学系
2021/4/6
1
• 随机事件的观察结果称之为随机变量
概率密度 函数
连续型随机变量 某区间概率
• 随机变量
概率分布
离散型随机变量 某取值概率
2021/4/6
2
常用概率分布
第一节 正态分布 一、正态分布的概念和特征
正态分布是自然界最常见的一种分布，若指标 X的频率密度曲线对应于数学上的正态分布曲线， 则称该指标服从正态分布。
2021/4/6
3
概率 密度
2021/4/6
4
2021/4/6
5
正态分布的密度函数，即正态曲线的方程为
f X
1
1X2
e 2 ,
2
-∞＜X＜+∞
2021/4/6
6
均数为0，标准差为1的正态分布，这种正态分布 称为标准正态分布。
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分布的总体均数与总体方 差相等，均为。 Poisson 分布的观察结果有可加性。 如水样的细菌培养。
2、
Poisson 分布的应用
一、概率估计 见例4-7 二、单侧累计概率计算
1 稀有事件发生次数至多 为k次的概率为： P（X k )
P( X ) e
▲
X P ( X ) Cn X
(1 ) n X
其中： C
X n
n! X ! ( n X )!
（三）二项分布的特征
1、二项分布的图形特征
由此可见：
1、二项分布的图形取决于两个参数与
n ，高峰在= n 处。 2、当接近0.5时，图形是对称的； 离0.5愈远，对称性愈差。 3、当n 时，只要不太靠近0或1， 特别是nP和n(1-P)都大于5时，二项分 布则近似于正态分布。
x n
x
nx
三个特点： ①二分类：每次摸球只有二种可能的结果， 或黄球或白球； ②独立：各次摸球是彼此独立的； ③重复：每次摸到黄球（或摸到白球）的概 率是固定的。 具备以上三点的概率分布就是二项分布。
例如：
口袋内黑球80%，白球20%，摸球放
回，摸5次，黑球出现总次数X的概 率函数。
б
为率的标准差，反映率的抽样误差 大小，也称率的标准误，反应了样本 率相对于总体率分布的离散程度。
四、二项分布的应用
一、概率估计
P( X ) C
X n X
(1 )
n X
其中： C
X n
n! X ! ( n X )!
X为出现阳性的次数，例子见P51
二、单侧累计概率计算
常用概率分布
内容
二项分布
分布的概念
分布的条件
Poisson分布 正态分布
分布的特征
分布的应用
概率的意义及相关的一些概念
考虑：
确定n之后，阳性数目的概率分布（随机
变量X=阳性数目） 掷一枚均匀钱币：P(正面朝上)＝0.5， P(正面朝下)＝0.5 掷一枚均匀骰子：P(1朝上)＝P(2朝上) ＝…＝P(6朝上)＝1/6
2、二项分布的均数与方差、标准差
(1)以阳性数计算：
已知二项分布的π
，n，则阳性事件的 均数 µ＝ nπ 方差 б 2 ＝ nπ (1-π ) 标准差 б ＝ n (1 )
(2)以率计算
则平均阳性率 µ＝π （即样本率的均数为总体率π ） 方差б 2＝π (1-π )/n 标准差б ＝ (1 ) / n
1.258~ 1.26 ~
25
37 25
14.29
21.14 14.29
1.270~
1.276~ 1.282~
16
4 1
9.14
2.29 0.57
1.258~
合计
37
175
21.14
100.00
2、图 形
联系：
对象 样本数 据 随机变 量 分布 概况 分布特征数 频数分布表 频数分布图 描述指标 ( ) ( p)
1、二项分布出现阳性次 数至多为k次的概率为： n! P( X k ) P( X ) X (1 ) n X X 0 X 0 X !( n X )!
k k
2、二项分布出现阳性次 数至少为k次的概率为： n! P( X k ) P( X ) X (1 ) n X X k X k X !( n X )!
D
X1 X2
1 2
e
( X )2
2
dX
但求该积分相当困难，可通过以下变换：
z
X
标准正态分布
则Z服从均数为0，标准差为1的标准正
态分布。 它将均数作为坐标原点，并使新坐标的 横轴尺度以 为单位。
f ( z)
1 2
e
2 z 2
, z
通过该变换，对于非标准正态 分布，可求得曲线下任意（X1， X2）范围内的面积。
又称Gauss分布，正态分布曲线是
一条高峰位于中央（均数所在处）， 两侧完全对称，两端永远不与横轴 相交的钟型曲线。
表5-4 （体模）骨密度测量值的频率分布表 组段 1.228~ 频数 2 频率(%) 1.14
1.234~
1.240~ 1.246~
2
7 17
1.14
4.00 9.71
1.25 ~
（- z）：其大小相当于z值左侧标准
正态曲线下面积。 见书P431,统计用表。
当z值一定时，曲线下： 左侧面积： （- z） 右侧面积： 1－ （- z） 中间面积：1－2 （- z）
常用：x取值在区间
1.96 上的概率为 0.95 2.58 上的概率为 0.99
x, s
, ) () 概率分布表 概率分布图 总体参数 (
正态分布的函数式为：
f (X ) 1
( X )2
2
e
2 2
— ‹X ‹+ 为总体均数，为总体标准差 。
3、正态分布的特点
1、关于
x= 对称。 2、在x= 处，该概率密度函数为最大值， 在 X= ± 处有拐点，表现为钟型曲线。 3、曲线下面积为1。 4、 决定曲线在横轴上的位置。 5、 决定曲线的形状。
-2
-1
0
μ3
1
2
3
4
5
6
1 2 3
σ1
σ3
-3
-2
1 2 3
-1 0 1
2
3
4、正态分布曲线下面积的分布规律
面积的分布规律由两个参数决定；
横轴上、曲线下的面积为1；曲线下的面
积就是概率。 曲线下,横轴上对称于0的面积相等。
正态曲线下面积分布可用公式求得：
（2）已知x1＝165cm，x2=175cm A、计算u值 Z1=(165-172.90)/4.09=-1.93 Z2=(175-172.90)/4.09=0.51
（－1.93）＝0.0268，即－
B、查附表：
∞ ～ －1.93的面积为0.0268 （－0.51）＝0.3050，即－ ∞～－0.51的面积为0.3050
摸到3次黄球的概率有多大？ 黄黄黄白白白白…白 概率=0.430.697 黄黄白黄白白白…白 概率=0.430.697 黄黄白白黄白白…白 概率=0.430.697 …
3 一共有C100 次摸到黄球 3 100次摸到3次黄球的概率 C100 0.430.697
n次实验中摸到x次黄球的概率：C 0.4 0.6
则0.51～＋∞的面积为0.3050 区间（－1.93，1.51）的面积: p＝1－0.0268－0.3050＝0.6682 身高在165～175cm者占该地20岁男大学生的66.82%。
（3）求80%的男大学生身高集中在哪个范围？
正态分布：有两个参数
1、位置参数
:描述正态分布的集中趋
势位置。 2、形态参数 ：描述正态分布的离散 程度。 越小，分布越集中，曲线越 “瘦高”； 越大，分布越离散，曲线 越“肥胖”。 记为N（ ， 2），表示均数为，标 准差为的正态分布 见图4-5。
-6
μ1
-5
-4
-3
概 念与定理：
组合(combination):从几个元素中抽取
x 个元素组成一组（不考虑其顺序） 的组合方式个数，记Cnx
几个相互独立事件同时发生的概率
等于各独立事件的概率之积。
1. 摸球模型
一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球， 我们进行摸球游戏，每次摸1球，然后放回再摸。 先后摸100次，摸到零次黄球的概率？ (1)第1次摸到白球的概率：0.6 (2)第2次摸到白球的概率：0.6 …… (100)第100次摸到白球的概率：0.6 100次都摸到白球的概率：0.6×0.6× …×0.6=0.6100
同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白；
实验中的随机误差等。
因此，通过正态曲线下面积的分布规律：
概括地估计变量值的频数分布； 用于了解某个体值在其所属群体中占据 何种位置。
例
如：
已知某地120名20岁男大学生身高均数
＝172.90cm，标准差s=4.09cm。
（1）身高在182cm以上者占该地20岁男
当资料是样本资料，且样本含量较大
时，总体均数 可用样本均数 x 代替； 总体标准差 可用样本标准差s代替； 正态分布曲线下的面积分布规律，可 以写成 ±s ； ±1.96s； ±2.58s 。
x
x
x
正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律
正 态 分 ~ 布 标准正态分布 -1 ~ +1 面 积 (或概率) 68.27% 95.00%
-1
+ 1
-1.96 ~ + 1.96 - 2.58 ~ + 2.58
-1.96~+1.96
-2.58~+2.58
99.00%
正 态 分 布 的 面 积 分布规律
标准正态分布的面积分布规律
许多医学指标服从正态分布或近似正态分布
如：同性别、同年龄儿童的身高；
大学生总数的百分数？ （2）身高在165－175cm者占该地20岁男 大学生总数的百分数？ （3）该地80%的男大学生身高集中在 哪个范围？
（1）已知身高
X ＝172.9cm
A、先做标准正态变换：
Z
X
182 .00 172 .00 2.22 4.09
B、查附表 (标准正态曲线下的面积） 左侧找到Z=-2.22，即－∞~－2.22的面积为0.0132 故 2.22~＋∞的面积也为1.32 %， 即身高在182cm以上者占该地20岁男大学生的1.32 %
X! 式中P(x)为出现阳性事件例数为x的理论概率，e 为自然对数的底， x是为观察单位内某稀有事件的发生次数， =n为总体平均数，在实际应用中可以用样本 均数作为总体均数的估计。
P( X ) e
X
Poisson 分布在λ≥20时，近似于正态分布。
Poisson分布的特点：
X 0 X 0
k
k
X
X!
;
2 稀有事件发生次数至少 为k次的概率为： P（X k ) 1 P（X k 1)
见例4-9
正态分布及其运用
1、概 念 2、图 形 3、特 征 4、面 积 5、正态分布的运用
1、正 态 分 布 的 概 念
正态分布
(normal distribution):
第一节 二项分布
二项分布是一种重要的离散型随机
变量的分布，又叫伯努利分布 （Bernoulli)。
二项分布的总体：由非此即彼事件
构成的总体。
百度文库 离散型随机变量的概率
掷一枚均匀钱币，其结局可视为一个变
量，这个变量的“值”或为“正面朝 上”，或为“正面朝下”，而且，不同 的值各有一个出现的概率。 P(正面朝上）＝0.50; 一般地，一个随机变量含两个要素： 1.它是一个变量； 2.这个变量可能值的出现各具有一定的 概率。
n n
第二节 Poisson 分布 一、概念 Poisson 分布是一种离散型分布，用以 描述罕见事件发生次数的概率分布。 Poisson 分布可看作是发生的概率 （或未发生的概率1- ）很小，而观 察例数很大时的二项分布。 Poisson 分布一般记作（）
医学领域中Poisson分布的实例
出现与否不影响其他事件的发生概 率。 各事件相互排斥：即二项试验的两 种对立的结果不可能同时发生，二 者必居其一，而且只有其一。 每次试验的条件不变，各事件发生 的概率不变。
二项概率分布
▲ 二项概率分布：如果一个事件A，在n次独立
试验中，每次试验都具有概率π ，那么这一事 件A将在n次试验中出现k次的概率为：
单位容积（水、牛奶）中细菌的分布；
患病率很小的非传染病在人群中的分布
野外旷野中单位面积上昆虫（钉螺）的
分布 计数器中单位格中的细胞数的分布。
Poisson 分布的特征
泊松分布的数学表达式为：
在n个取样单位内，出现x＝0，1，2…,n个阳性
事件的理论概率分别为下列公式的展开式：
例5-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效 就是无效，每一例有效的概率为π。某医生用 此方法治疗头痛患者3例，2例有效的概率是 多少？
二项分布
一、概率函数
(概率分布表) 二项分布名词解释： 观察结果二项； 概率等于二项展开式。
二项分布的三个条件
各事件相互独立：即任何一件事的