最新中考数学专题复习--与轴对称有关的最短路径问题及解析

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中考专题复习——最短路径问题(有答案)

B CD AL 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。

请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为。

四、练习题（巩固提高）张村李庄ABCD 图(2)EBDACP图(3)D OP（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN的最小值为。

第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为。

轴对称最短路径问题7种类型

轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题，其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。

根据不同的条件和限制，轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型：
1. 简单轴对称最短路径问题：给定一个轴对称图形，起点和终点分别位于对称轴的两侧，求最短路径。

2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中存在一些障碍物，起点和终点在障碍物两侧，求最短路径。

3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题：给定多个起点和终点，每个起点和终点都在对称轴的两侧，求所有起点到所有终点的最短路径。

4. 带有权值的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中，不同的点或边具有不同的权值，求起点到终点的最短路径。

5. 动态规划解决轴对称最短路径问题：使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题，将问题分解为子问题，逐步求解。

6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题：使用A*搜索算法，通过估价函数指导搜索方向，加速求解速度。

7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题：从起点和终点同时进行搜索，通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。

以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类，每种类型都有其特定的解决方法，需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

初中数学专题复习(轴对称-最短距离问题)

初中数学专题复习（轴对称-最短距离问题）一．轴对称-最短路线问题1．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD＝+，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P ′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．2．（2020•贵港）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）A．﹣1B．+1C．D．+1解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，∵点E与点E'关于DC对称，∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．故选：A．3．（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）A．5B．6C．7D．8解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF＝DF，∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE＝，∴△BFE的周长＝5+1＝6，故选：B．4．（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A．B．C．1D．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO∴∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，∴＝，即＝，解得，PO＝故选：B．5．（2020•西宁）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC 的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为18．解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，∵EF垂直平分线段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，∴DH＝CH﹣CD＝5，∴AD＝＝＝13，∴DM+MC的最小值为13，∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，故答案为18．6．（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．7．（2020•毕节市）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP＝CP，∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，∴CE＝＝，∴AP+PE的最小值是，故答案为：．8．（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，连接ED∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝．故答案为：．9．（2020•日照）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．如图，连接DN，∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，∴AN＝DN．如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，由于点P、N分别是AC和BE上的动点，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．10．（2019•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B 两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．2B．2C．3D．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故选：A．11．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．12．（2019•黑龙江）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为4．解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△P AB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．13．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，延长PN′交BC于M，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．（2019•德阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：∵点E是AD的中点，∴AE＝AD．∵BC＝AD，∴AE＝BC．∵BC∥AD，即BC∥AE．∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD，点E是AD的中点，∴CE＝AE＝DE，∴四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4．∵AF＝EF，CF⊥AE∴CF＝＝2△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．。

轴对称与最短路径问题

ND E
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
B
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、 B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D ，则点D为建抽水站的位置。
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为：
A·
MC
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
根据：两点之间线段最短.
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
如图所示，从A地到B地有三条路可供选
择，你会选走哪条路最近？你的理由是
什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

初中数学轴对称最短路径问题

原理理
在直线 l1 、 l2 上分别求点 M 、N ，使四边形 PQMN 的周⻓长最小小。
分别作点 Q 、P 关于直线 l1 、l2 的对称点 Q＇和 P＇连 Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N．
两点之间线段最短四边形 PQMN 周⻓长的最小小值为线段 Q＇P＇的⻓长。
【问题 5】“造桥选址” 作法
使 AM+MN+NB 的值最
小小．
【问题 9】
作法
作图
连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 在直线 l 上求一一点 P，使的交点即为 P．
的值最小小 .
【问题 10】
作法
作图
2
两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小小值为 A＇B+MN．
原理理
两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小小值为 A＇＇B+MN．
4．如图，在锐⻆角△ABC 中，AB＝4 ，∠ BAC＝45°，∠ BAC＝45°，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小小值是__________。
5．如图，Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，AB＝6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不不与点 B、C 重合），且 ED＝AE，则线段 AE 的取值范围是__________。 6．如图，∠ AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小小值是_________．（注“勾股定理理”：直⻆角三⻆角形中两直⻆角边的平方方和等于斜边的平方方，即 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2） 7．如图，三⻆角形△ABC 中，∠ OAB＝∠ AOB＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6 ， 0)．OC 平分∠ AOB,点 M 在 OC 的延⻓长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA＋MN 的最小小值__________。 8．已知 A（2，4）、B（4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周⻓长最小小值为__________。

初中数学_中考专题复习——最短路径问题教学设计学情分析教材分析课后反思

中考专题复习教学目标知识与技能1.建立数学模型，能利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径。

2.借助特殊四边形、一次函数、反比例函数以及二次函数的图像等这些基本图形，运用对称变换的方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。

3．在探索最短路径的过程中，体会轴对称、“桥梁”作用，感悟转化思想，一题多解，一题多变的思想。

过程与方法经历探索最短路径过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，培养学生的解题技能技巧。

情感态度与价值观体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会异侧直接连，同侧找对称点，提高学生的学习兴趣。

重点利用轴对称数学知识，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题，增强解决实际问题的能力。

掌握解决问题的方法和技巧。

难点综合运用轴对称数学知识，将同侧的两定点通过轴对称变换转化到已侧，从而借助两点之间线段最短解决线段和（周长）最小值问题。

活动一：旧知回顾师生行为设计意图问题1 A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站C。

使两个小区到车站的路程最短，该公共汽车站应建在什么地方？问题2相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？师生集体宣誓师：提出问题。

生：讨论交流，板书作图过程师：提出问题导入课题。

师：请思考问题1和问题2的相同点是解决的那类问题？不同点是什么？解决问题的方法和技巧是什么？1、活跃课堂气氛，使学生在轻松愉快的环境中学习。

2、复习两点之间线段最短，从而引出课题3、渗透转化思想，了解解题方法和解题技巧。

4、建立数学模型：将军饮马问题5、探究解题方法：异侧直接连，同侧找对称点6、发现解题技巧活动二：典题赏析类型一：四边形中的最短路径问题培养学生善于思考、善于观察的良好习惯例1 生：一生读题一生解答师：配合学生完成审题过程师：提出新问题若本题其它条件不变。

2023年中考数学重难点复习：轴对称之最短路径(附答案解析)

第1页共7页2023年中考数学重难点复习：《轴对称之最短路径》破解策略
用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题．常见的题型有：
1．已知：在直线l 同恻有A．B 两点，在l 上找一点P ，使得AP ＋PB 最小．
作法：如图．作点A 关于直线l 的对称点A ’，连结A 'B ，与直线，的交点就是点P
2．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ，使得|AP －PB |最小作法：如图，连结AB ，作线段AB 的垂甫平分线．与直线l 的交点就是点P
3．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ．使得|AP －PB |最大
作法：如图，连结BA 并延长，与直线，的交点就是点P
A B
l
B A
P
l
A '
A
B
l A B
l P
A B
l
l A B
P。

轴对称解决实际问题(最短路程)(超经典、超全)

轴对称解决实际问题（最短路程问题）（1）利用轴对称解决几何极值问题仅仅是轴对称应用的一个方面，比较典型的是平面镜成像、光的反射等问题也经常用到轴对称。

（2）解决实际问题的关键是把这个实际问题抽象或转化为一个数学模型，然后通过对这个数学模型的研究来解决这个实际问题。

（3）在证明最大、最小这类问题时，常常采用任意另选一个，通过与要求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。

问题1（分析1）如何用数学的方法解决这个问题？把这条河抽象为一条直线，而把将军的出发地（山脚）和宿营地分别看作直线同侧的两个点，建立几何模型，（如图①）把实际问题转换成“在已知直线上找一点，使它到直线同侧的两点的距离之和最小”的数学问题。

（分析2）连结AB ，作AB 的垂直平分线交直线a 于P 点，根据线段的垂直平分线的性质定理有PA ＝PB ，此时PA ＋PB 是否最短？（如图②） (用几何画板的度量及计算功能否定这种作法)(分析3)作A 点关于直线a 的对称点A ′连结P A ′,由轴对称的性质知PA ＝PA ′,那么PA ＋PB ＝PA ′＋PB ，P 点在何处PA ′＋PB 最短？（如图③）由一名学生上讲台拖动P 点，显然当B 、P 、A ′三点共线时PA ′＋PB 最短。

探索得出作法：（如图④）（1）作A 点关于直线a 的对称点A ′. （2）连结BA ′，交直线a 于P 点. P 点即为所求。

如何证明？ (分析4)在直线a 上另取一点P ′，连结PA 、A P ′、B P ′、 P ′A ′，（如图⑤）要证PA ＋PB 最小，由任意性，只要证：PA ＋PB ＜A P ′＋B P ′，由对称性可知：PA ＝PA ′, P ′A ＝P ′A ′只要证：PA ′＋PB ＜P ′A ′＋B P ′只要证： A ′B ＜P ′A ′＋B P ′而△BA ′P ′中，有三角形两边之和大于第三边，问题得证。

a · · B A 图① a · · B A 图② P a · · B A 图③ A ′ · · P a · · B A 图④ A ′ · P a · ·B A 图⑤A ′ · P P ′问题2、如图，已知牧马营地在P 处，牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线。

中考数学轴对称及路径最短问题

轴对称及最短路径问题一、知识讲解1．轴对称、轴对称图形（1）轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线称为对称轴。

对称轴一定为直线。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。

两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫对称点。

2．轴对称图像的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。

轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

新旧图像具有对称性。

（2）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。

3．等腰三角形（1）性质：①两底角相等。

②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（2）判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

4．等边三角形（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。

（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

5．特殊直角三角形（补充）（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：2；（2）等腰直角三角形各边长比为1：1。

二、要点补充轴对称是关于某一直线对称的图形，要注意图形中隐藏的条件，要将分散的条件集中起来达到解题的目的。

本讲的学习要特别注意分类讨论思想及转化思想的运用。

要点1在平面直角坐标系中，若已知A、B两点的坐标（或位置）要求第三个点C，使得A、B、C三点构成等腰三角形的方法如下：①连接AB，以点A（或点B）为圆心，线段AB的长度为半径作圆，圆周上除点B（或点A）的所有的点，都可以与点A、点B构成等腰三角形。

②连接AB，作线段AB的垂直平分线l，该垂直平分线l上除该线与线段AB交点外的所有的点都能与点A、点B构成等腰三角形。

(完整版)利用轴对称求最短距离

利用轴对称求最短距离一、问题引入：1、以以下列图，在直线异侧各有点 A、 B, 在直线上找一点 p，使PA+PB最小。

2、以以下列图，在直线同侧各有点 A、 B, 在直线上找一点 p，使PA+PB最小。

解析：依照“两点之间线段最短〞，可知：连接 AB，与直线的交点即为 P 点 . 此根本种类为：一线〔直线〕两定点〔点 A、 B〕。

解析：作点 A 关于直线的对称点 A′，连接 AA′，那么直线就是线段 AA′的垂直均分线，依照“垂直均分线上一点到线段两端点的距离相等〞可得，直线上任一点到点 A 的距离都等于到点A′的距离。

事实上，这个问题就可以转变为：在直线异侧各有点A′、 B, 在直线上找一点 p，使 PA′ +PB 最小。

即：一线两定点的问题。

由〔 1〕得，连接 BA′，与直线的交点即为点P。

解析：由题意知：第一找二、典型例题：点 B 也许点 M关于 AC所〔1〕、以菱形为媒介的最短距离问题：在直线的对称点。

由菱形以以下列图，菱形 ABCD中，∠ BAD=60°， AB=4，点 M是 AB中点，的轴对称性不难发现：点P 是对角线 AC上的一个动点，那么 PM+PB的最小值是多少？D即是点 B 关于直线 AC的对称点，那么连接DM 与线段 AC 的交点即为P 点。

那么 PM+PB的最小值实质上就是线段 DM的长度解析：由题意知：第一找〔2〕、以正方形为媒介的最短距离问题：点 D 也许点 E 关于 AC 所以以下列图，正方形 ABCD 边长为 2，△ ABE为等边三角形，且点 E 在直线的对称点。

由正方在正方形ABCD内部，在对角线 AC上找一点 P，使 PD+PE最小，形的轴对称性不难发现：那么这个最小值为多少？点 B 即是点 D关于直线 AC的对称点，那么连接BE 与线段 AC的交点即为P 点。

那么 PD+PE的最小值实质上就是线段BE 的长度，BE=2。

〔3〕、以圆为媒介的最短距离问题：以以下列图，⊙ O的半径为2，点 A、 B、 C 在⊙ O上，OA⊥ OB，∠AOB=60°， P 是 OB上一动点，求PA+PC的最小值解析：由题意知：第一找点 A也许点 C关于 OB所在直线的对称点。

轴对称--最短路径

轴对称--最短路径问题
解题思路：（1）作两点任意一点的对称点
（2）将对称点与另一点进行连线，连线与原直线的交点为动点的位置
（3）对称点与另一点连线的线段长度是所求线段之和的最小值（依据是“两点间线段最短”和“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”）
一、两点在直线同侧模型
例题1..如图，A为马棚，B为帐篷，牧马人某一天要从马棚牵出马，到河边给马喝水，然后回到帐篷请你帮助他确定这一天的最短路线。

变式1.（2008•深圳）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是．
变式2..如图，在正方形ABCD中，AD=8，DM=2，N是AC上一动点，求DN+MN的最小值
变式3.如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为．
变式4.（2009•陕西）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．。

考点13 轴对称-最短路径问题(解析版)

考点13 轴对称——最短路径问题一．选择题（共12小题）1．（2020·四川成都）如图，30AOB ∠=︒，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（）A ．60βα-=︒B ．210βα+=︒C ．230βα-=︒D ．2240βα+=︒【答案】B【解析】如图，作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ，交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．易知'∠=∠=∠OPM OPM NPQ ，'∠=∠=∠OQP AQN AQN ．∵18030∠=︒-︒-∠OQN ONQ ，30∠=∠=︒+∠OPM NPQ OQP30∠=∠=︒+∠OQP AQN ONQ ，∵303018030210+=︒+︒+∠+︒-︒-∠=︒ONQ ONQ αβ．故选：B.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．（2020·银川）如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m 上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】作点M 关于直线m 的对称点M '，连接NM '交直线m 于P ，则P 处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”可排除A 、B 、C 选项，可知D 选项管道最短．故选：D ．3．（2020·河北武安期末）如图，∵ABC 中，AB=AC=10，BC=16，AD 是BC 边上的中线且AD=6，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF EF +的最小值是（）.A ．485B ．16C ．6D ．10【答案】A【解析】解：如下图所示，作BG∵AM 于M ，交AD 于F ，∵∵ABC 中，AB=AC=10，AD 是BC 边上的中线，∵∵ABC 是等腰三角形，AD BC ⊥，BD=DC ，∵ AD 是BC 的垂直平分线，∵ BF=CF ．则BF EF +有最小值时，CF EF +有相同的最小值．根据垂线段最短可得出CF EF +=BF EF +≥=BF FM BM +，则CF EF +取最小值时，=CF EF BM +．根据三角形的面积公式，可得：11==22ABC S AD BC AC BM ⨯⨯△，解得：48=5BM ，即CF EF +的最小值为485．故答案选：A ．4．（2020·河南永城）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，14AD =，点P 是边BC 上一动点，当PD PE +的值最小时，15AE =，则BE 为（）A ．30B ．29C ．28D ．27【答案】B【解析】如图，延长AC 至点M ，使CM CD =，过点M 作ME AB ⊥于点E ，交BC 于点P ，则此时PD PE +的值最小.在Rt ABC △中，30B ∠=︒，60A ∴∠=︒.ME AB ⊥，90AEM ∴∠=︒，90A M ∴∠+∠=︒，90M ∴∠=︒.15AE =，230AM AE ∴==.AM AD DM =+，14AD =，16DM ∴=.CM CD =，8CD CM ∴==，22AC AD CD ∴=+=.在Rt ABC △中，30B ∠=︒，244AB AC ∴==.AB AE BE =+，15AE =，29BE ∴=.故选B.5．（2020·山西孝义）如图，等腰ABC ∆中,=⊥AB AC AD BC ，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，点G 是线段EF 上的一动点，若ABC ∆的面积是26cm ，6BC cm =，则ADG ∆的周长最小值是（）A ．4.5cmB ．5cmC ．5.5cmD ．6cm【答案】B【解析】解：如图，连接BG ．∵AB=AC ，AD∵BC ，6BC cm∵BD=DC=3cm ，∵S ∵ABC =12•BC•AD=6， ∵AD=2，∵EF 垂直平分AB ，∵BG=AG ，∵AG+DG=BG+GD ，∵BG+GD≥BD ，，∵GA+GD≥3，∵GA+GD 的最小值为3，∵∵ADG 的最小值为2+3=5，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2020·安徽利辛月考）已知点M(-4，2)，若点N 是y 轴上一动点，则M ，N 两点之间的距离最小值为（）A ．-4B ．2C ．4D ．-2【答案】C【解析】解：过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短∵点N在y轴上的纵坐标为2，此时二者之间的距离最小值为0-（-4）=4故选C7．（2020·安徽安庆期末）如图，∵MON=45°，P为∵MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当PAB的周长取最小值时，∵APB的度数为( )A．80°B．90°C．110°D．120°【答案】B【解析】作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称∵A′P∵OM，B′P∵ON，A′A=AP，B′B=BP∵∵A′=∵APA′，∵B′=∵BPB′∵A′P∵OM，B′P∵ON，∵∵MON+∵A′P B′=180°∵∵A′P B′=180°-45°=135°在∵A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∵A′+∵B′=180°-135°=45°∵∵A′PA+∵BP B′=45°∵∵APB=135°-45°=90°故答案选择：B=，AD、BE分别是底边BC和8．（2020·山西文水期末）如图，在∵ABC中，AB AC+的最小值等于（）腰AC上的中线，点P为AD上一动点，则PE PCA．线段AB的长B．线段BC的长C．线段AD的长D．线段BE的长【答案】D【解析】解：如图，连接BP，则PE+PC=PE+BP，所以BE就是PE+PC的最小值，故选D.9．（2020·辽宁连山期中）如图，等腰∵ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则∵CDM周长的最小值为（）A．6B．10C．15D．16【答案】C【解析】如图：连接AD交EF于点M，∵等腰∵ABC的底边BC长为6，点D为BC边的中点，∵AD∵BC，BD=CD=3，∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM，∵AM=CM，此时∵CDM的周长为：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD CD的长为3固定，∵根据两点之间线段最短，∵CDM的周长最小．∵S∵ABC=12 BC•AD，∵12×6•AD=36，∵AD=12，∵AD+CD=12+3=15．故选：C．10．（2020·山西平遥月考）如图，等腰ABC∆的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM CM+的最小值为（）A．12B．9C．6D．3【答案】C【解析】∵∵ABC是等腰三角形，点D是BC的中点∵AD∵BC∵AD=6∵EF是线段AC的垂直平分线∵点C关于直线EF的对称点为A∵AD的长为CM+MD的最小值∵CM+MD的最小值为6故答案选择：C.11．（2020·山东武城期中）如图，∵AOB=30°，∵AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若∵PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30【答案】A【解析】设∵POA=θ，则∵POB=30°﹣θ，作PM∵OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN∵OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则∵PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∵EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∵FR=RP，∵∵PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=10，且∵EOF=∵EOP+∵POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∵∵EOF是正三角形，∵EF=10，即在保持OP=10的条件下∵PQR的最小周长为10．故选A．12．（2020·广东期中）如图，在∵ABC中，AB=AC，BC=4，∵ABC的面积是16，AC边的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则∵CDM周长的最小值为（）A．4B．5C．10D．8【答案】C【解析】连接AD，AM．∵∵ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∵AD∵BC，∵S∵ABC=12BC•AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∵点C关于直线EF的对称点为点A，∵MA=MC，∵AD≤AM+MD，∵AD的长为CM+MD的最小值，∵∵CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10．故选C．二．填空题（共6小题）13．（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，已知∵MON＝40°，P为∵MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当∵P AB的周长取最小值时，∵APB的度数是_____°．【答案】100【解析】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接P A、PB，此时∵P AB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∵P′OA＝∵POA，∵P″OB＝∵POB，∵∵P′OP″＝2∵MON＝2×40°＝80°，∵∵OP′P″＝∵OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∵BPO＝∵OP″B＝50°，∵APO＝∵AP′O＝50°，∵∵APB＝∵APO+∵BPO＝100°．故答案为100．14．（2020·江苏省靖江市月考）如图，∵ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线且AD＝4，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为_____．【答案】24 5【解析】解：作BM∵AC于M，交AD于F，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，∵BD＝DC＝3，AD∵BC，AD平分∵BAC，∵B、C关于AD对称，∵BF＝CF，根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，即CF+EF≥BM，∵S∵ABC＝12×BC×AD＝12×AC×BM，∵BM＝BC ADAC⨯＝645⨯＝245，即CF+EF的最小值是245，故答案为：245．15．（2020·南通市月考）如图，在∵ABC中，AD平分∵BAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，当S∵ABC＝12，AC＝8时，BM+MN的最小值等于_____．【答案】3【解析】解：如图，作点B关于AD的对称点B′∵AD是∵BAC的平分线，∵点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N∵AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，过点B作BE∵AC于E，∵AC＝8，S∵ABC＝20，∵12×8•BE＝12，解得BE＝3，∵AD是∵BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∵AB＝AB′，∵∵ABB′是等腰三角形，∵B′N＝BE＝3，即BM+MN的最小值是3．故答案为：3．16．（2020·江苏省锡山高级中学）如图，已知∵AOB的大小为α，P是∵AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若∵PEF周长的最小值等于4，则α＝_____．【答案】30°【解析】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F．此时，∵PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∵OA垂直平分PC，∵∵COA＝∵AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∵DOB＝∵BOP，PF＝DF，OD＝OP．∵∵COA+∵DOB＝∵AOP+∵BOP＝∵AOB＝α，OC＝OD＝4，∵∵COD＝2α．又∵∵PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝4，∵OC＝OD＝CD＝4，∵∵COD是等边三角形，∵2α＝60°，∵α＝30°．故答案为30°17．（2020·广东肇庆期中）如图，四边形ABCD中，∵BAD=130°，∵B=∵D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使∵AMN周长最小时，则∵AMN+∵ANM的度数为．【答案】100°【解析】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为∵AMN 的周长最小值．作DA延长线AH,∵∵DAB=120°，∵∵HAA′=60°，∵∵AA′M+∵A″=∵HAA′=60°，∵∵MA′A=∵MAA′，∵NAD=∵A″，且∵MA′A+∵MAA′=∵AMN，∵NAD+∵A″=∵ANM，∵∵AMN+∵ANM=∵MA′A+∵MAA′+∵NAD+∵A''=2(∵AA′M+∵A'')=2×60°=120°．故答案为120°.18．（2020·广西青秀期中）如图，等腰∵ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，∵ABD是等边三角形，点P是∵BAC的角平分线上一动点，连PC、PD，则PD+PC的最小值为_____．【答案】4【解析】如图，连接BP，∵点P是∵BAC的角平分线上一动点，AB＝AC，∵AP垂直平分BC，∵CP＝BP，∵PD+PC＝PD+PB，∵当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，又∵∵ABD是等边三角形，AB＝BD＝4，∵PD+PC的最小值为4，故答案为4．三．解析题（共6小题）19．（2020·江苏东台月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与∵ABC关于直线l成轴对称的∵A′B′C′；（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．【解析】解：（1）如图所示：∵A′B′C′，即为所求；（2）如图所示：点P即为所求．20．（2020·华东师范大学青岛实验中学期中）如图，在∵ABC中，AB＝10，BC＝12，BC 边上的中线AD＝8．（1）证明：∵ABC为等腰三角形；（2）点H在线段AC上，试求AH＋BH＋CH的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)19.6【解析】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，∵BD=DC=6，∵AB=10，BD=6，AD=8，∵BD 2+AD 2=62+82=102，∵∵ABD 是直角三角形，∵AD∵BC ，∵AD∵BC ，BD=DC ，∵AB=AC ，∵∵ABC 是等腰三角形．(2)解：∵AH+BH+CH=BH+AC=BH+10，∵当BH 最小时，AH+BH+HC 有最小值，由垂线段的性质可知：当BH∵AC 时，BH 有最小值， ∵1122BH AC BC AD ⨯⨯=⨯⨯， ∵111012822BH ⨯⨯=⨯⨯， ∵BH=9.6，∵AH+BH+HC 的最小值为：10+9.6=19.6．21．（2020·山东高唐期中）如图，在锐角ABC 中，7AC cm =，221ABC S cm =，AD 平分BAC ∠，M N 、分别是AD 和AB 上的动点，求BM MN +的最小值并说明理由.【答案】6cm【解析】解：如图，作N 关于AD 对称点为R ，作AC 边上的高BE （E 在AC 上）， AD 平分CAB ∠，ABC 为锐角三角形，R ∴必在AC 上， N 关于AD 的对称点为R ，MR MN ∴=，BM MN BM MR ∴+=+，即BM MN BR BE +=≥（垂线段最短）， ABC 的面积是221cm ，7AC =，17212BE ∴⨯⨯=， 6BE ∴=，即BM MN +的最小值为6cm .22．（2020·辽宁连山期中）如图，四边形ABCD 中，∵BAD ＝110°，∵B ＝∵D ＝90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使∵AMN 周长最小，请在图中画出∵AMN ，写出画图过程并直接写出∵MAN 的度数．【答案】作图见解析，∵MAN的度数为40°．【解析】解：如图所示：作点A关于BC和DC的对称点E和F，连接EF，与BC和DC相交于点M和N，连接AM和AN，根据对称性得：AM＝EM，AN＝FN，AM+AN+MN＝EM+FN+MN＝EF，根据两点之间线段最短，此时∵AMN的周长最小，∵∵BAD＝110°，∵∵E+∵F＝180°﹣110°＝70°，∵∵EAM+∵F AN＝70°，∵∵MAN＝∵EAF-（∵EAM+∵F AN）＝40°．答：∵MAN的度数为40°．23．（2020·浙江萧山月考）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作∵ACD和∵BCE，且CA=CD，CB=CE，∵ACD=∵BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∵ACD=60°，则∵AFB=；如图2，若∵ACD=90°，则∵AFB=；如图3，若∵ACD=120°，则∵AFB=；（2）如图4，若∵ACD=α，则∵AFB=（用含α的式子表示）；（3）将图4中的∵ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∵ACD=α，则∵AFB与α的有何数量关系？并给予证明．【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∵AFB=180°﹣α,证明详见解析.【解析】解：（1）如图1，CA=CD，∵ACD=60°，所以∵ACD是等边三角形．∵CB=CE，∵ACD=∵BCE=60°，所以∵ECB是等边三角形．∵AC=DC，∵ACE=∵ACD+∵DCE，∵BCD=∵BCE+∵DCE，又∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACE=∵BCD．∵AC=DC，CE=BC，∵∵ACE∵∵DCB．∵∵EAC=∵BDC．∵AFB是∵ADF的外角．∵∵AFB=∵ADF+∵FAD=∵ADC+∵CDB+∵FAD=∵ADC+∵EAC+∵FAD=∵ADC+∵DAC=120°．如图2，∵AC=CD，∵ACE=∵DCB=90°，EC=CB，∵∵ACE∵∵DCB．∵∵AEC=∵DBC，又∵∵FDE=∵CDB，∵DCB=90°，∵∵EFD=90°．∵∵AFB=90°．如图3，∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD﹣∵DCE=∵BCE﹣∵DCE．∵∵ACE=∵DCB．又∵CA=CD，CE=CB，∵∵ACE∵∵DCB．∵∵EAC=∵BDC．∵∵BDC+∵FBA=180°﹣∵DCB=180°﹣（180﹣∵ACD）=120°，∵∵FAB+∵FBA=120°．∵∵AFB=60°．故填120°，90°，60°．（2）∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD+∵DCE=∵BCE+∵DCE．∵∵ACE=∵DCB．∵∵CAE=∵CDB．∵∵DFA=∵ACD．∵∵AFB=180°﹣∵DFA=180°﹣∵ACD=180°﹣α．（3）∵AFB=180°﹣α；证明：∵∵ACD=∵BCE=α，则∵ACD+∵DCE=∵BCE+∵DCE，即∵ACE=∵DCB．在∵ACE和∵DCB中，则∵ACE∵∵DCB（SAS）．则∵CBD=∵CEA，由三角形内角和知∵EFB=∵ECB=α．∵AFB=180°﹣∵EFB=180°﹣α．24．（2020·上海同济大学附属实验中学月考）已知：在ABC中，AB=AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰DBE，取CE的中点为G，连接AG、DG．（1）如图1，若BE=AE，∵BDE=120°，∵BAC=60°，求证：AG∵DG；（2）如图2，若BE≠AE ，∵BDE ＋∵BAC=180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）（1）中结论AG DG ⊥仍然成立，理由见解析．【解析】解：（1）如图，延长DG 至H ，使,DG GH = 连接,,AD AH G 为CE 的中点，,EG CG ∴=,EGD CGH ∠=∠,EGD CGH ∴≌,,ED CH DEG GCH ∴=∠=∠等腰DBE ，BE 为底边，120,BDE ∠=︒,BD DE ∴= 30,DBE DEB ∠=∠=︒ BD CH ∴=，,60,AB AC BAC =∠=︒ABC ∴为等边三角形，,BE AE =,30,CE AB ACE BCE ∴⊥∠=∠=︒ 60,DEG HCG ∴∠=∠=︒30,ACH ∴∠=︒在ABD △与ACH 中，,30AB AC ABD ACH BD CH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,ABD ACH ∴≌,AD AH ∴=,DG GH =.AG DG ∴⊥（2）（1）中结论AG DG ⊥成立，理由如下：如图，延长DG 至H ，使,DG GH = 连接,,AD AH G 为CE 的中点，,EG CG ∴=,EGD CGH ∠=∠,EGD CGH ∴≌,,ED CH DEG GCH ∴=∠=∠等腰DBE ，BE 为底边，设,BDE α∠=1,90,2BD DE DBE DEB α∴=∠=∠=︒- 180,BDE BAC ∠+=︒180,BAC α∴∠=︒-,AB AC =1,2ABC ACB α∴∠=∠=119090,22DBC ααα⎛⎫∴∠=-︒-=-︒ ⎪⎝⎭ 180,BEC EBC C ∠+∠+∠=︒ 1190180,22DEG BCE αα∴+︒-+∠+∠=︒ 90,DEG BCE ∴∠+∠=︒90,HCG BCE ∴∠+∠=︒190,2ACH ABD α∴∠=︒-=∠ 同（1）可得：,ABD ACH ≌ ,AD AH ∴=,DG GH =.AG DG ∴⊥。

中考专题复习——最短路径问题(有答案)

--B CD AL 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题;二、原理：两点之间,线段最短;垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例１、①如右图是一个棱长为４的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点Ａ沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处,它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图,直线L 同侧有两点A 、Ｂ，已知A 、B 到直线Ｌ的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为３，要在直线L 上找一个点P ，使P Ａ+ＰB 的和最小。

请在图中找出点Ｐ的位置，并计算PA+PB 的最小值。

③要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为１Km 和3Km,张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为。

张村李庄ABCD 图(2)ED ACP图(3)D OP四、练习题(巩固提高）(一）1、如图是一个长方体木块,已知AB=5,B Ｃ＝3,CD=4，假设一只蚂蚁在点Ａ处,它要沿着木块侧面爬到点D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为６cm,底面圆周长为１6cm ，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点Ｂ处吃到食物，知圆柱体的高为5 c ｍ,底面圆的周长为２4c ｍ,则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形AB ＣD 的边长为8，M 在D Ｃ上,且DM=2，Ｎ是AC 上的一动点，D Ｎ＋ＭN 的最小值为。

第4题第5题第6题第７题 5、在菱形A ＢCD 中，ＡB=2， ∠BAD=60°，点E 是ＡB 的中点，P 是对角线ＡC 上的一个动点，则PE+ＰB 的最小值为。

中考数学高频考点突破——轴对称的应用——最短距离问题

中考数学高频考点突破——轴对称的应用——最短距离问题一、综合题1．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c 的图象经过点A （2，0），B （5，0），过点D （0， 54）作y 轴的垂线DP 交图象于E 、F ．（1）求b 、c 的值和抛物线的顶点M 的坐标；（2）求证：四边形OAFE 是平行四边形；（3）将抛物线向左平移的过程中，抛物线的顶点记为M′，直线DP 与抛物线的左交点为E′，连接OM′，OE′，当OE′+OM′的值最小时求直线OE′的解析式． 2．（1）问题提出：如图①在 ABC 中， AD 是 ABC 边 BC 的高，点E 是 BC 上任意一点，若 3,AD = 则 AE 的最小值为_ ；（2）如图②，在等腰 ABC 中， ,120,AB AC BAC DE =∠=︒ 是 AC 的垂直平分线，分别交 BC AC 、于点 D E 、， 1DE cm = ，求 ABD 的周长；（3）问题解决：如图③，某公园管理员拟在园内规划一个 ABC 区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路 AB BC 、和 AC ，满足 90,BAC ∠=︒ 点 A 到 BC 的距离为 2km .为了节约成本，要使得 ,,AB BC AC 之和最短，试求AB BC AC ++ 的最小值(路宽忽略不计).3．（1）【问题提出】如图1，在矩形ABCD 中， 10AD = ， 12AB = ，点E 为AD 的中点，点P 为矩形ABCD 内以BC 为直径的半圆上一点，则PE 的最小值为；（2）【问题探究】如图2，在ABC 中，AD 为BC 边上的高，且 4AD BC == ，点P 为 ABC 内一点，当 12PBC ABC S S = 时，求 PB PC + 的最小值；（3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园ABC ，如图3， 2003BC = 米，90C ∠=︒ ， 60ABC ∠=︒ ，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P ，使得120APB ∠=︒ ，并在 ABP 内种植当季蔬菜，边BC 的中点D 为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在AC 边上取点E ，并沿PE 、DE 修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度（ PE DE + ）尽可能小，问 PE DE + 的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.4．如图1，已知直线l 的同侧有两个点A ，B ，在直线l 上找一点P ，使P 点到A ，B 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l 的对称点，对称点与另一点的连线与直线l 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(5，4)，动点P 在x 轴上，求PA+PB 的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为（3）如图4，∠AOB=30°，OC=4，OD=10，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，则CF+EF+DE 的最小值为。

第十三章轴对称知识课题学习最短路径问题

的和最小.(画出图形，不写作法，保留作图痕迹)
图13-4-4
图13-4-3
解：如图13-4-4，以直线 l1 为对称轴作点A的对称点M，以直线 l 2 为对称轴作点A的对称点N，连接MN，分别
A2 即为所求. 交 l1 , l 2 于点 A1 , A2 ,则 A1 ，
过两条直线内侧一点，分别作关于两条直线的对称点，即可得三点所组成的三角形的周长最小.
例1 如图13-4-1，A，B两村合伙在河MN建一座扬水站，要
使所用管道最少，请你帮助他们确定扬水站的位置.(画出图
形，不写作法，保留作图痕迹)
图13-4-1 解：如图13-4-2,点O即为所求.
图13-4-2
例2 如图13-4-3，点A是总邮局，想在公路 l1 上建一分局 A1 ，在公路 l 2 上建一分局 A2 ，使 AA1 A1 A2 AA2
△PMN的分别交 l 和 l 2 1 周长最小于点M，N，点M，N即为所求
P′P″，依据是两点
之间，线段最短
问题
类别
问题
作法
图例
思路与依据
在直线
l1 和
分别作点P，
Q关于 l1 和
l 2 上分别找
两线
间两点点 M， N，使四边形 PQNM的周长最小
通过轴对称把周长最小问题转化为两点间
A.BM垂直于a
B.AM与BN不平行
C.AN垂直于b
D.AM平行于BN
解析：图13-4-5根据垂线段最短，得出MN是河的宽时最短，
即MN⊥直线a(或直线b)，只要AM+BN最短即可.如图13-4-5，过点A作河的垂线AH，垂足为H，在AH所在直线上取点I，使AI等于河宽，连接IB交河的b岸于点N，作MN垂直于河岸, 交a岸于点M，连接AM，所得MN即为所求.故选D.

初中数学最短路径问题

初中数学最短路径问题在初中数学中，最短路径问题是经常出现的一类问题，它涉及到轴对称、坐标轴、一次函数、三角函数以及两点之间的距离公式等多个方面。

下面将分别对这些问题进行介绍和解析。

1.轴对称与最短路径轴对称是最基本的一种对称形式，是指在平面内，将一个图形沿一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合。

在最短路径问题中，轴对称可以用来寻找两点之间的最短路径。

例如，在一条直线上有两个点A和B，要求找到A到B的最短路径，可以通过作A关于直线对称的点A'，然后连接A'和B，得到的线段A'B就是最短路径。

2.坐标轴上的最短路径在坐标轴上，最短路径问题通常涉及到两点之间的距离。

在x轴和y轴上分别有点A(x1,0)和B(0,y1)，那么A到B的最短路径就是在x轴和y轴上分别截取两个点C(x2,0)和D(0,y2)，使得AC=BD，那么线段AB就是最短路径。

3.一次函数与最短路径在一次函数中，最短路径问题通常涉及到函数的单调性和最值。

例如，在一条直线上有点A(x1,y1)，有点B(x2,y2)，要求找到A到B的最短路径，可以通过作A关于直线对称的点A'，然后连接A'和B，得到的线段A'B就是最短路径。

在这个过程中，可以运用一次函数的单调性和最值来计算最短路径的长度。

4.三角函数与最短路径在三角函数中，最短路径问题通常涉及到角度和长度之间的关系。

例如，在一张三角形ABC中，有点A(x1,y1)，有点C(x2,y2)，要求找到A到C的最短路径，可以通过作AB边上的一点D，使得AD=CD，那么线段AD就是最短路径。

在这个过程中，可以运用三角函数的性质和定理来计算最短路径的长度。

5.两点之间距离公式在解决最短路径问题时，常常需要使用两点之间距离公式。

这个公式可以用来计算两点之间的直线距离，也可以用来计算两点之间的曲线距离。

例如，在一张三角形ABC中，有点A(x1,y1)，有点C(x2,y2)，要求找到A到C的最短路径，可以先运用两点之间距离公式计算出AC的距离，然后根据三角函数的性质和定理来计算出最短路径的长度。

8.3 轴对称之最短路径问题

8.3 轴对称之最短路径问题破解策略最短路径问题通常会转化为“两点之间，线段最短”来解决，而轴对称是实现这一转化的有效方法之一．常见的题型如下．1．两点在一条直线异侧如图，点A ，B 在直线l 的两侧．(1)在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．作法：如图，连接AB ，与直线l 的交点即为所求点P ．(2)在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．作法：如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线，与直线l 的交点即为所求点P ．2．两点在一条直线同侧如图，点A ，B 在直线l 的同侧．(1)在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．作法：如图，作点B 关于直线l 的对称点B ，连接AB 1，与直线l 的交点即为所求点P ．(2)在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．作法：如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线，与直线l 的交点即为所求点P ．llll(3)在直线l 上找一点P ，使得PA PB 最大．作法：如图，作：直线AB ，与直线l 的交点即为所求点P ．(4)在直线l 上找两点P 、Q (PQ 的长度等于已知线段a 的长度)，使得AP ＋PQ ＋QB 是最小．作法：如图，先将点B 向若平移a 个单位长度到点B 1，再作B 1关于直线l 的对称点B 2，连接AB 2，与直线l 的交点即为所求点P ，然后将点P 向右平移a 个单位长度，所得点即为点Q ．3．一点在角的内部如图，点P 在∠AOB 的内部．(1)分别在边OA ，OB 上确定点M ，N 使得PM ＋MN ＋NP 最小．作法，如图，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2，与OA ，OB 的交点即为所求的点M 、N ．(2)分别在边OA ，OB 上确定点M ，N ，使得PM ＋MN 最小．作法：如图，作点P 关于OA 的对称点P 1，过点P 1作OB 的垂线，与OA ，OB 的交点即为所求的点M ，N ．ll P al例题讲解例1 如图，A ，B 两点在直线MN 的同侧，AC ∠MN 于点C ，BD ∠MN 于点D ，点P 在直线MN 上运动，若AC ＝16，BD ＝10，CD ＝8，则PA PB -的最大值等于＿＿＿＿．分析显然PA PB -的最大值即为线段AB 的长，只需过点B 作AC 的垂线，构成直角三角形求AB 的长即可．解答例2 如图，等边∠ABC 的面积为P 、Q 、R 分别为边AB ，BC ，AC 上的动点，则PR ＋QR 的最小值是＿＿＿＿．分析点R 在AC 上，而点P 、Q 在AC 的同侧，故作点P 关于AC 的对称点P '，当点P '，R ，Q 三点共线且P Q '⊥BC 时，PR ＋QR 取最小值．解答例3 如图，AB ∠BD 于点B ，DE ⊥BD 于点D ，C 为线段BD 上一动点，连接AC ，CE ，已知AB ＝5，DE ＝2，BD ＝12，设CD ＝x ．(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)求AC ＋CE 的最小值；ABP C D M NAB CPRQ(3)解答例4 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC ，CD 上各找一点，分别为点M ，N ，使得∠AMN 的周长最小，则此时∠AMN ＋∠ANM 的度数为＿＿＿＿．分析点A 在∠BCD 内部，作点A 关于∠BCD 两边的对称点A 1，A 2，连接A 1A 2，则A 1A 2即为∠AMN 周长的最小值．解答例5 如图，长为1的线段AB 在x 轴上移动，点C (0，1)，D (0，2)在y 轴上，则AC ＋BD 的最小值是＿＿＿＿．分析 AB 为x 轴上的定线段，点C ，D 在x 轴同侧，故作点C 关于x 轴的对称点C '，将点D 沿x 轴负方向平移AB 长至点D '，则C D ''的长即为AC ＋BD 的最小值．解答：例6 如图，∠MON ＝30°，点A ，D 分别在OM ，ON 上，且OA ＝2，OD ＝4，C ，B 分别为OM ，ON 上任意一点，则折线AB －BC －CD 的最短长度为＿＿＿＿．分析线段和差的最值问题通常都转化为“两点之间线段最短”的问题，可利用轴对称将分散的线段变成两定点间的折线，然后再化“折”为“直”即可．解答例7 如图,在△ABC 中,AC ⊥BC ,∠B ＝30°,E ,F 是线段AB 的三等分点,P ,Q 分别是线段BC ,AC 上的动点,若AC ＝3,则四边形EPQF 周长的最小值是解答例8 如图,在边长为1的正方形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 上的点,且3AE ＝ EB ,有一只蚂蚁从点E 出发,经过点F ,G ,H ,最后回到点E ,则蚂蚁所走的最短路程是解答进阶训练1.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ＝4,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,在CD 上找一点P ,使P A ＋PE 最小，则这个最小值是2.如图2,P 为∠AOB 内部的一点,且OP ＝2,E ,F 分别是OA ,OB 上的动点,若△PEF 周长的最小值等于2,则∠AOB ＝3.已知y =y 的最小值是4.如图3,在平面直角坐标系中有四个点A (－6,3),B (－2,5),C (0,m ),D (n ,0),当四边形ABCD 的周长最短时,m ＋n ＝5.如图4,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,∠BAC的平分线交BC于点D,若P,Q分别是AC,AD 上的动点,求CQ＋PQ的最小值.6.已知三点A(a,1),B(3,1),C(6,0),且点A在正比例函数12y x的图象上,P为x轴上的动点，当△OAP与△CBP周长之和取最小值时,求点P的坐标.7.如图5,等边△ABC的边长为2,D是边AB的中点,P,Q分别是边BC,AC上的动点,当P,Q的位置在何处时,才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值.8.如图6,正方形ABCD的边长为4,E为边CD的中点,点F在边BC上,且满足BF＝3CF,M,N均为对角线BD上的动点,且MN求四边形EMNF周长的最小值.9.如图7,在矩形ABCD中,点E在对角线AC上,满足CE＝3AE,P,Q分别为AB,AC上任意的点,若AC＝2,BC＝1,求折线EP＋PQ＋QB长的最小值.10.如图8,在平面直角坐标系xOy中,分别以点A(2,3),B(3,4)为圆心，以1,3为半径作⊙A,⊙B ,M,N分别是⊙A,⊙B上的动点,P为x轴上的动点,求PM＋PN的最小值.。

最新中考数学专题复习--与轴对称有关的最短路径问题及解析

中考专题复习——最短路径问题(有答案)