江西省上饶市 高一数学下学期期中试卷9 17班含解析

2016-2017学年江西省上饶市9-17班高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．在等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=8，则a5=（）A．16 B．16或﹣16 C．32 D．32或﹣322．已知，则sin2x的值等于（）A． B． C．D．﹣3．已知正项数列{a n}中，a1=l，a2=2，（n≥2），则a6=（）A．16 B．4 C．2 D．454．如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．5．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A．尺 B．尺C．尺D．尺6．已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设=﹣2，（λ∈R），则λ等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣27．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则其前6项之和是（）A．16 B．20 C．33 D．1208．已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且，，==，则点O、N、P依次为△ABC的（）A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心9．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=410．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30° B．60° C．120°D．150°11．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于（）A．99 B．101 C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若cosα=，的值为．14．在数列{a n}中，若，则数列{a n}的通项公式a n= ．15．如图给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a53等于，a mn= （m≥3）．16．已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则= ．三、解答题（共70分）17．已知||=1，||=2．（1）若与的夹角为60°，求|2﹣|；（2）若向量k+与k﹣互相垂直，求k的值．18．已知函数f（x）=x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，点均在函数y=f （x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，b，a，c成等差数列，且•=9，求a的值．20．如图，某公司要在A，B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长为80米，设A，B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）若α=30°，β=15°，求AD的长．（2）设计中CD是铅垂方向（CD垂直于AB），若要求α≥2β，问CD的长至多为多少？21．已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，a3=7，其前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=2，且b2S2=32．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）若++…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．22．数列{a n}的各项均为正数，a1=1，对任意n∈N*，a n+12﹣1=4a n（a n+1），数列{b n}满足b1=，b n+1=．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记T n为数列{b n}的前n项和，S n为数列{log2（a n+1）}的前n项和．f（n）=，试问f（n）是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．2016-2017学年江西省上饶市玉山一中9-17班高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．在等比数列{a n }中，已知a 1=1，a 4=8，则a 5=（ ） A ．16 B ．16或﹣16 C ．32 D ．32或﹣32 【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】先由通项公式求得公比，再用通项公式求解．【解答】解：∴q=2 ∴a 5=a 1•q 4=16 故选A2．已知，则sin2x 的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．﹣【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数；GG ：同角三角函数间的基本关系．【分析】解法1：将已知条件利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简得到2sinxcosx 的值，所求的式子sin2x 利用二倍角的三角函数公式化简后等于2sinxcosx ，可得出sin2x 的值；解法2：利用诱导公式cos （+2x ）=﹣sin2x 得到sin2x=﹣cos2（x+），然后利用二倍角的余弦函数公式化简为关于sin （x+）的关系式，将已知条件代入即可求出值．【解答】解：法1：∵sin （x+）=（sinx+cosx ）=﹣，∴两边平方得（1+2sinxcosx ）=，解得：2sinxcosx=﹣，则sin2x=2sinxcosx=﹣；法2：∵，∴sin2x=﹣cos2（x+）=﹣[1﹣2sin2（x+）]=﹣．故选D3．已知正项数列{a n}中，a1=l，a2=2，（n≥2），则a6=（）A．16 B．4 C．2 D．45【考点】8H：数列递推式．【分析】由题设知a n+12﹣a n2=a n2﹣a n﹣12，且数列{a n2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，故a n2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此能求出a6．【解答】解：∵正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，2a n2=a n+12+a n﹣12（n≥2），∴a n+12﹣a n2=a n2﹣a n﹣12，∴数列{a n2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，∴a n2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴a n=∴a6==4，故选：B4．如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的减法法则，结合题中等式得=3（），化简可得=+，得到本题答案．【解答】解：∵ =，∴由已知，得=3（）化简=+故选：C5．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A．尺 B．尺C．尺D．尺【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式能求出结果．【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，解得d=．故该女子织布每天增加尺．故选：B．6．已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设=﹣2，（λ∈R），则λ等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据已知条件可以求出C点坐标C（），再根据∠AOC=120°，便有tan120°==，所以解得λ=1．【解答】解：；即，又∠AOC=120°所以：，解得λ=1．故选C．7．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则其前6项之和是（）A．16 B．20 C．33 D．120【考点】8E：数列的求和．【分析】根据a1=1，a n+1=分别求出前6项，然后求和即可求出所求．【解答】解：∵a1=1，a n+1=，∴a2=2a1=2，a3=a2+1=2+1=3，a4=2a3=6，a5=a4+1=7，a6=2a5=14∴其前6项之和是1+2+3+6+7+14=33故选C．8．已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且，，==，则点O、N、P依次为△ABC的（）A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心【考点】L%：三角形五心；9V：向量在几何中的应用．【分析】根据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．【解答】证明：∵，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，∵==，∴，∴，∴，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到P是三角形的垂心，故选C．9．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】先利用正弦定理化简得 c=2b，再由可得a2=7b2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由及正弦定理可得 c=2b，再由可得 a2=7b2 ．再由余弦定理可得 cosA===，故A=30°，故选A．11．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）A．B．C．D．【考点】F3：类比推理．【分析】由已知得a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，求出S n后，利用当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可求得通项a n，最后利用裂项法，即可求和．【解答】解：由已知得，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1，∴，∴∴=+（）+…+（）=1﹣=．故选C．12．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于（）A．99 B．101 C．D．【考点】8G：等比数列的性质；4E：指数函数综合题．【分析】根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，所以lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，由题知f（x）+f（﹣x）=1，得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）里有49个1和f（lna50），而f（lna50）=代入其中得到即可．【解答】解：由可知f（x）+f（﹣x）=1，因为正项等比数列{a n}满足a50=1，根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，所以lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，lna50=ln1=0且f（lna50）=f（ln1）=f（0）=根据f（x）+f（﹣x）=1得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）=[f（lna1）+f（lna99）]+[f（lna2）+f（lna98）]+…+[f（lna49）+f（lna51）]+f（lna50）=+=故选C二、填空题（每小题5分，共20分）13．若cosα=，的值为．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】利用诱导公式化简再求值．【解答】解：原式==cosα=故答案为：14．在数列{a n}中，若，则数列{a n}的通项公式a n= n×2n﹣1．【考点】8H：数列递推式．【分析】，可得﹣=．利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵，∴﹣=．∴数列是等差数列，首项与公差都为．∴==，可得a n=n•2n﹣1．故答案为：n•2n﹣1．15．如图给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a53等于，a mn= （m≥3）．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】①利用已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，即可求出a53；②由①可得：利用等差数列的通项公式求出每一行的第一个数，从第三行起每一行的公比，再利用等比数列的通项公式即可求出a mn．【解答】解：①第k行的所含的数的个数为k，∴前n行所含的数的总数=1+2+…+n=．a53表示的是第5行的第三个数，由每一列数成等差数列，且第一列是首项为，公差d==的等差数列，∴第一列的第5 个数==；又从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q==，∴第5行是以为首项，为公比的等比数列，∴a53=×=．②a mn表示的是第m行的第n个数，由①可知：第一列的第m 个数==，∴a mn==．故答案分别为，．16．已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则= ﹣．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】根据，将向量的数量积转化为：=，如图，再根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：由于，∴==如图，根据向量数量积的几何意义得：=﹣3|AE|+2|AF|=﹣×3+2×1=﹣故答案为：﹣．三、解答题（共70分）17．已知||=1，||=2．（1）若与的夹角为60°，求|2﹣|；（2）若向量k+与k﹣互相垂直，求k的值．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）由|2﹣|=，结合已知条件利用向量的数量积公式能求出结果．（2）由向量互相垂直的性质得（k+）•（k﹣）=0，由此能求出k的值．【解答】解：（1）∵||=1，||=2，与的夹角为60°，∴|2﹣|====2．（2）∵||=1，||=2，向量k+与k﹣互相垂直，∴（k+）•（k﹣）=﹣=k2﹣4=0，解得k=±2．18．已知函数f（x）=x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，点均在函数y=f （x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据a n=S n﹣S n﹣1计算a n，再验证n=1时是否成立即可；（2）利用错位相减法求和．【解答】解：（1）∵点（n，s n）在f（x）的图象上，，当n=1时，a1=S1=4，当n≥2时， =2n+2，显然n=1时，上式也成立，∴a n=2n+2，（2），∵，∴，∴=2+﹣（n+1）•=3﹣，∴T n=6﹣．19．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，b，a，c成等差数列，且•=9，求a的值．【考点】H5：正弦函数的单调性；8N：数列与三角函数的综合；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，得到sin（2x+），由2kπ﹣≤（2x+）≤2kπ+，解出x的范围，即得f（x）的单调递增区间．（II）在△ABC中，由，求得A的值；根据b，a，c成等差数列以及=9，利用余弦定理求得a值．【解答】解：（I）f（x）==sin2x+cos2x=sin（2x+）．令 2kπ﹣≤（2x+）≤2kπ+，可得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z．即f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（II）在△ABC中，由，可得sin（2A+）=，∵＜2A+＜2π+，∴2A+=或，∴A=（或A=0 舍去）．∵b，a，c成等差数列可得 2a=b+c，∵ =9，∴bccosA=9，即bc=18．由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣3bc=4a2﹣54，求得a2=18，∴a=3．20．如图，某公司要在A，B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长为80米，设A，B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）若α=30°，β=15°，求AD的长．（2）设计中CD是铅垂方向（CD垂直于AB），若要求α≥2β，问CD的长至多为多少？【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）先求出∠AD B=135°，由此利用正弦定理能求出AD．（2）由，得到tanα≥tan2β，由此能求出CD的长．【解答】解：（1）∵α=30°，β=15°，∴∠ADB=135°∵∴=（2）∵∴解得，∴CD的长至多约为米．21．已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，a3=7，其前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=2，且b2S2=32．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）若++…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）直接由已知求得等差数列的公差，代入等差数列的通项公式求解，再由b2S2=32求得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求；（2）求出等差数列的前n项和，然后由裂项相消法求得++…+＜，问题等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于，由此列式求得a的取值范围．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，由2d=a3﹣a1=7﹣3=4，d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1设{b n}的公比为q，则b2=2q，又S2=a1+a2=3+5=8，代入b2S2=32，得16q=32，即q=2．∴；（2），∴++…+====，++…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于，即，即a2≤1，解得﹣1≤a≤1．22．数列{a n}的各项均为正数，a1=1，对任意n∈N*，a n+12﹣1=4a n（a n+1），数列{b n}满足b1=，b n+1=．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记T n为数列{b n}的前n项和，S n为数列{log2（a n+1）}的前n项和．f（n）=，试问f（n）是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由，得（a n+1+2a n+1）（a n+1﹣2a n﹣1）=0，a n＞0，可得a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．由题意知，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）得，利用错位相减法即可得出T n，利用单调性即可得出．【解答】解：（1）由，得（a n+1+2a n+1）（a n+1﹣2a n﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n+1+2a n+1＞0，∴a n+1=2a n+1．∴a n+1+1=2（a n+1），又a1+1=2≠0，∴，即，由题意知，∴，∴．（2）由（1）得，∴，∴，又∵，∴，f（n+1）﹣f（n）=﹣=．当n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，当n＜3时，f（n+1）﹣f（n）≥0．又∵f（1）=1，f（2）==f（3），∴f（n）存在最大值为．。