(云南专用)2019中考数学 第一轮 考点系统复习 第4章 三角形 第6节 锐角三角函数及其应用作业
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(六) 解直角三角形应用之三大模型
∴∠PBD＝60°， ∴∠CBD＝60°－45°＝15°，90°－15°＝75°. 即海监船由 B 处开始沿南偏东至多 75°的方向航行能安全通过这一海域．
3．(2020·泰州)泰州市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮 在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 15 m 的 A 处测 得在 C 处的龙舟俯角为 23°；他登高 6 m 到正上方的 B 处测得驶至 D 处 的龙舟俯角为 50°，两次观测期间龙舟前进了多少？ (结 果精确到 1 m，参考数据： tan 23°≈0.42，tan 40° ≈0.84，tan 50°≈1.19，tan 67°≈2.36)
1．如图，某校数学兴趣小组的小明同学为了测量位于玉溪大河畔的云铜 矿业大厦 AB 的高度，小明在他家所在的公寓楼顶 C 处测得大厦顶部 A 处 的仰角为 45°，底部 B 处的俯角为 30°.已知公寓 高为 40 m，请你帮助小明计算公寓楼与矿业大厦间 的水平距离 BD 的长度及矿业大厦 AB 的高度．(结果 保留根号)
解：楼房底端设为 E 点，由题意得 CE＝AE·tan 67°＝15×2.36＝35.4(m)， BE＝BA＋AE＝6＋15＝21(m)，
DE＝BE·tan 40°＝21×0.84≈17.6(m)． ∴CD＝CE－DE＝35.4－17.6≈18(m)． 答：两1·荆门)某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为 10(3＋ 3) 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60°的方向上，当海监船行驶 20 海里后到达 B 处，此时观测 小岛 P 位于 B 处北偏东 45°方向上． (1)求 A，P 之间的距离 AP； (2)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危 险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安 全通过这一海域？
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(四) 全等三角形之六大模型
得对应边相等
2．(2021·泸州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求
证：BD＝CE. 证明：在△ABE与△ACD中，
∠A＝∠A，
AB＝AM，
在△ABN 和△AMC 中，∠BAN＝∠MAC， AN＝AC，
∴△ABN≌△AMC(SAS)，∴BN＝MC.
6．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE 与 BD 交于点 F.
(1)求证：AE＝BD； 证明：∵AC⊥BC， DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中， AC＝BC，
证明：∵ BF＝EC，
∴EF＝ BC，
在△BCA与△EFD中，
AB＝DE，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∴△BCA≌△FED（SAS）， ∴∠A＝∠D，
模型二：轴对称型 【模型归纳】
有公 模型 共边 展示 有公共
顶点Leabharlann 模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线 特点 折叠，两个三角形能完全重合
5．如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等边三角形 ABM 与等边 三角形 ACN，连接 MC，BN.求证：BN＝MC.
证明：∵△ABM 和△ACN 是等边三角形， ∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠NAC＝60°， 又∵∠BAN＝∠BAC＋∠NAC， ∠CAM＝∠BAC＋∠BAM， ∴∠BAN＝∠MAC，
＝ 43BD2
解题 常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形，或旋转一定的角
(学习指导)第4章第6节正弦定理、余弦定理含解析
正弦定理、余弦定理[考试要求]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos_A；b2＝c2＋a2－2ca cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝2Rcos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时，使用余弦定理比使用正弦定理简洁．2．三角形常用面积公式(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．[常用结论]1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A＋B2＝cos C2；(4)cosA＋B2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B. 4．三角形中的大角对大边在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.()(3)在△ABC中，asin A＝a＋b－csin A＋sin B－sin C.()(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．() [答案](1)×(2)√(3)√(4)×二、教材习题衍生1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1C．3D． 2D[由asin A＝bsin B得b＝a sin Bsin A＝sinπ4sinπ6＝22×2＝ 2.]2．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6C [由题意知，a ＝BC ＝7，b ＝AC ＝3，c ＝AB ＝5， 由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12. 又因为∠BAC 是△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝2π3，故选C.]3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．(2020·湖北宜昌夷陵中学检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，c ＝6，C ＝2A ，则cos A ＝________，b ＝________.344或5 [在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝c sin 2A ＝c 2sin A cos A ，∴4＝62cos A ，∴cos A ＝34.在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋36－2b ×6×34，b 2－9b ＋20＝0，解得b ＝4或b ＝5.]考点一 利用正、余弦定理解三角形解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及asin A＝bsin B＝csin C，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理asin A＝bsin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由asin A＝csin C可求出c，而通过asin A＝bsin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．[典例1](2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sin C.[解](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋24.点评：在△ABC 中，若A ＝m ，则B ＋C ＝π－m .从而B ＝π－m －C 或C ＝π－m －B ，由此可消去B 或C .[跟进训练]1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3A [∵a sin A －b sinB ＝4c sinC ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc ＝6. 故选A.]2．[结构不良试题](2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________？[解] 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3.由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c .由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．考点二 利用正、余弦定理解决三角形面积问题1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [典例2] (1)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则a ＋b ＝________.(2)(2020·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°. ①若a ＝3c ，b ＝27，求△ABC 的面积； ②若sin A ＋3sin C ＝22，求C .(1)33 [由(3b －a )cos C ＝c cos A ，得3sin B cos C －sin A cos C ＝sin C cos A ，即3sin B cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos C ＝13，得sin C ＝223.由S △ABC ＝12ab sin C ＝32，得12ab ×223＝32，得ab ＝9.又c 是a ，b 的等比中项，所以c 2＝ab .由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得ab ＝a 2＋b 2－23ab .∴a 2＋b 2＝53ab ＝53×9＝15，即a 2＋b 2＝15，则(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝15＋18＝33，即a ＋b ＝33.](2)[解] ①由题设及余弦定理， 得28＝3c 2＋c 2－2×3c 2×cos 150°， 解得c ＝－2(舍去)或c ＝2，从而a ＝2 3. 因此△ABC 的面积为 12×23×2×sin 150°＝ 3. ②在△ABC 中，A ＝180°－B －C ＝30°－C ，所以sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C ＝sin(30°＋C )， 故sin(30°＋C )＝22.而0°<C <30°，所以30°＜30°＋C ＜60°， 所以30°＋C ＝45°，故C ＝15°.[跟进训练]1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝3ab，且ac sin B＝23sin C，则△ABC的面积为________．32[因为a2＋b2－c2＝3ab，所以由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝3ab2ab＝32，又0＜C＜π，所以C＝π6.因为ac sin B＝23sin C，所以结合正弦定理可得abc＝23c，所以ab＝2 3.故S△ABC ＝12ab sin C＝12×23sinπ6＝32.]2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cos B.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B，故2sin A cos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B，于是sin B＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝a24，得12ab sin C＝a24，故有sin B sin C＝12sin A＝12sin 2B＝sin B cos B，由sin B≠0，得sin C＝cos B.又B，C∈(0，π)．所以C＝π2±B.当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4.考点三 判断三角形的形状1.判定三角形形状的两种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[典例3] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，已知a －b ＝c cos B －c cos A . ①判断△ABC 的形状； ②若C ＝120°，a ＝2，求c .(1)B [由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0， ∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．](2)[解] ①由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及a －b ＝c cos B －c cos A ， 可得：sin A －sin B ＝sin C cos B －sin C cos A ，可得：sin(B ＋C )－sin(A ＋C )＝sin C cos B －sin C cos A ，可得：sin B cos C ＋cos B sin C －sin A cos C －cos A sin C ＝sin C cos B －sin C cos A ，可得：sin B cos C －sin A cos C ＝0， 则cos C (sin B －sin A )＝0， 则cos C ＝0或sin B －sin A ＝0， 所以C ＝90°或A ＝B ，所以△ABC 为直角三角形或等腰三角形．②因为C ＝120°，则△ABC 为等腰三角形，从而a ＝b ＝2，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝4＋4－2×2×2×cos 120°， 所以c ＝2 3. [跟进训练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形C [因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac .所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.所以△ABC 是等边三角形．]2．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 的形状是( )- 11 - A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 B [∵sin B sin C ＝cos 2A 2＝cos A ＋12， ∴2sin B sin C ＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＋1， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝cos(B －C )＝1， ∵－π＜B －C ＜π，∴B －C ＝0，B ＝C ，∴三角形为等腰三角形，故选B.]。
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
中考数学考点系统复习 第四章 三角形 第六节 锐角三角函数与解直角三角形的实际应用
是点 E，点 F.由题意得，∠CDE＝37°.
CE
DE
在 Rt△CDE 中，sin 37°＝CD，cos 37°＝CD，
CD＝200，
∴CE＝200·sin 37°≈120，DE＝200·cos 37°≈160.
∵AB⊥BC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠B＝∠DEB＝∠DFB＝90°.
∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE＝DF，BF＝DE＝160， ∴AF＝AB－BF＝300－160＝140.
DF 在 Rt△ADF 中，tan 65°＝AF， ∴DF＝AF·tan 65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420. 答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420 米．
2．(2021·丹东)如图，一架无人机在空中 A 处观测到山顶 B 的仰角为 36.87°，山顶 B 在水中的倒影 C 的俯角为 63.44°，此时无 人机距水面的距离 AD＝50 米，求点 B 到水面距离 BM 的高 度．(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80， tan 36.87°≈0.75，sin 63.44°≈0.89，cos 63.44°≈0.45， tan 63.44°≈2.00)
1．(2020·安徽第 8 题 4 分)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC
上，∠DBC＝∠A.若 AC＝4，cos A＝45，则 BD 的长度为
( C)
A.94
B.152
C.145
D．4
命题点 2：解直角三角形的实际应用(必考) 2．(2021·安徽第 17 题 8 分)学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零 件的截面如图阴影部分所示，已知四边形 AEFD 为矩形，点 B， C 分别在 EF，DF 上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10 cm， BC＝6 cm.求零件的截面面积．(参考数据：sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60)
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 M 为 BC 的中点，MN⊥AC 于点 N，则 MN 的长是__22..44__.
【思路点拨】连接 AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到 AM⊥BC，根 据勾股定理求得 AM 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得 MN 的长．
3．如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为 E，EF ∥BD，交 BC 于点 F，若 BD＝10，则 EF 的长为__5__.
【思路点拨】延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG.证明△BDF≌△CDG，得 BF＝CG，再证明 CA＝CG 便可得解．
证明：如解图，延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG. ∵AD 是 BC 边的中线，∴BD＝CD. 在△BDF 和△CDG 中， BD＝ CD，
∠BDF＝∠CDG， DF＝ DG， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G. ∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD， ∴∠G＝∠CAG，∴AC＝CG，∴BF＝AC.
模型六：遇到圆中含弦(弧)的中点，考虑垂径定理 【模型展示】
(图①：点 E 是弦 AB 的中点)
︵ (图②：点 C 是AB的中点)
如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠DCF＝20°，则∠EOD 等于 ( C)
A．10° B．20° C．40° D．80°
【思路点拨】连接 OF，由圆周角定理易求得∠DOF 的度数，再由 G 为 EF 中点，易得∠EOD＝∠DOF.
作 BF⊥AD，垂足为 F，则∠EBF 的度数为
( B)
A．19° B．33° C．34° D．43°
模型三：等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质 【模型展示】
人教A版高考总复习文科数学精品课件 第4章 三角函数、解三角形 第6节 余弦定理、正弦定理及应用举例
π
A=3 .由余弦定理可得
a2=b2+c2-bc.因为
sin B,sin A,sin C 成等比数列,所以 sin2A=sin Bsin C,即 a2=bc,所以(b-c)2=0,
所以 b=c.所以△ABC 为等边三角形.
方案三:选条件③.由 4S= 3(b2+c2-a2),可得 2bcsin A=2 3bccos A,所以
+
+
sin 2 =cos2 ;cos 2 =sin2 .
研考点 精准突破
考点一
利用正弦、余弦定理解三角形
例 1(2022 新高考Ⅱ,18)记△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,以
a,b,c 为边长的三个正三角形的面积分别为 S1,S2,S3,且
(1)求△ABC 的面积;
tan A= 3.又因为 0<A<π,所以
π
A=3 .因为
2bcos C=2a- 3c,所以 2sin Bcos C
=2sin A- 3sin C,即 2sin Bcos C=2sin(B+C)- 3sin C,可得 cos
π
B= 6 ,所以
π
C=2 .所以△ABC
为直角三角形.
3
B= ,所以
2
规律方法 1.判定三角形形状的两种常用途径
为a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且cos B·cos C+cos A=sin2A,则△ABC的形状是
.
答案:等边三角形
解析:cos
2 + 2 - 2
A=
2
中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形第6节解直角三角形及其应用 第2课时方向角与实物型问题
能力提升
-3-
第2课时 方向角与实物型问题
3.将一根橡皮筋两端固定在点A,B处,拉展成线段AB,拉动橡
皮筋上的一点P,直到△APB是顶角为120°的等腰三角形.若
AB＝6 cm,则橡皮筋被拉长了( C )
A.2 cm
B.4 cm
C.(4 －6)cm
D.(4－2 )cm
第3题图
基础过关
基础过关
能力提升
刻运动员头部G到斜坡AB的高度h.(结果精确到0.1 m,参考数
据:sin 62°≈0.88,
cos 62°≈0.47,
tan 62°≈1.88)
图1
图2
基础过关
能力提升
能力提升
-12-
第2课时 方向角与实物型问题
解:连接GE.
∵ED⊥AB,EF∥AB,
∴∠GEF＝∠EDM＝90°.
在Rt△GEF中,∠GFE＝62°,EF＝0.4 m,
∴GE＝EF·tan 62°≈0.4×1.88＝0.752(m).
在Rt△DEM中,∠EMD＝30°,EM＝1 m,
∴ED＝ EM＝0.5
m,
∴h＝GE+ED＝0.752+0.5≈1.3(m).
答:此刻运动员头部G到斜坡AB的高度h约为1.3 m.
基础过关
能力提升
能力提升
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D.
米
°
基础过关
基础过关
能力提升
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第2课时 方向角与实物型问题
2.(2021·浙江金华)如图是一架人字梯,已知AB＝AC＝2米,AC
与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为( A )
A.4cos α米