2021高考文科数学一轮复习第3章导数及其应用第1节变化率与导数、导数的计算课时跟踪检测

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高考数学一轮复习第3章导数及其应用1第1讲变化率与导数导数的计算教案理

第1讲变化率与导数、导数的计算了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数会利用导数解决某些实际问题.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概了解微积分基本定理的含义.1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×(教材习题改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B .y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .(2018·开封市第一次模拟)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1，3)，则n ＝( ) A ．－2 B ．1 C ．3D ．4解析：选C .对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，所以k ＝3＋m ，又k ＋1＝3，1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：因为f ′(x )＝a (l ＋ln x )，所以f ′(1)＝a ＝3. 答案：3(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为__________．解析：因为y ＝x 2＋1x ，所以y ′＝2x －1x2，所以y ′|x ＝1＝2－1＝1，所以所求切线方程为y－2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0导数的计算[典例引领]求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝sin x2(1－2cos 2x4)；(3)y ＝3x e x－2x ＋e ； (4)y ＝ln x x 2＋1； (5)y ＝ln 2x －12x ＋1.【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)因为y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，所以y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x（x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.(5)y ′＝(ln 2x －12x ＋1)′＝[ln(2x －1)－ln(2x ＋1)]′＝[ln(2x －1)]′－[ln(2x ＋1)]′＝12x －1·(2x －1)′－12x ＋1·(2x ＋1)′＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1.[通关练习]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝30－24＝6. 2．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x . (3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．[典例引领]角度一求切线方程(1)(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．(2)曲线f (x )＝x 3－2x 2＋2(12≤x ≤52)，过点P (2，0)的切线方程为________．【解析】 (1)因为f ′(x )＝a －1x，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1，即直线l 在y 轴上的截距为1.(2)因为f (2)＝23－2×22＋2＝2≠0，所以点P (2，0)不在曲线f (x )＝x 3－2x 2＋2上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则12≤x 0≤52.且⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30－2x 20＋2，0－y 02－x 0＝f ′（x 0），所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30－2x 20＋2，－y 02－x 0＝3x 20－4x 0，消去y ，整理得(x 0－1)(x 20－3x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝3＋52(舍去)或x 0＝3－52(舍去)，所以y 0＝1，f ′(x 0)＝－1，所以所求的切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.【答案】 (1)1 (2)y ＝－x ＋2角度二已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，所以切线的斜率为k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)．【答案】 (e ，e)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，由题意，得ln x 0＋1＝1，所以ln x 0＝0，x 0＝1，即点P (1，0)，所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0角度三已知切线方程求参数值(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线 y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】求得(ln x ＋2)′＝1x ， [ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)，则 k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. 【答案】 1－ln 2(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线f (x )，g (x )的公切线l 的方程的步骤①设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x 0，f (x 0))，(x 1，g (x 1))，并分别求出两曲线的切线方程；②建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y 轴上的截距都分别相等，得到关于参数x 0，x 1的方程组，解方程组，求出参数x 0，x 1的值； ③求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可． (3)求曲线的切线方程需注意三点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解；③应正确区分“求在曲线点P 处的切线方程”和“求过曲线点P 处的切线方程”．[通关练习]1．(2018·云南省第一次统一检测)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4. 答案：42．(2018·沈阳市教学质量检测(一))设函数f (x )＝g (x2)＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得 g ′(1)＝－9，g (1)＝－8，又f ′(x )＝12 g ′(x 2)＋2x ，所以f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，所以所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x＋2y ＋6＝0.答案：x ＋2y ＋6＝03．若直线l 与曲线y ＝e x及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．解析：设直线l 与曲线y ＝e x的切点为(x 0，e x0)，直线l 与曲线y ＝－14x 2的切点为(x 1，－x 214)，因为y ＝e x 在点(x 0，e x 0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝e x0，y ＝－x 24在点(x 1，－x 214)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 1＝(－x 2)|x ＝x 1＝－x 12，则直线l 的方程可表示为y ＝e x 0x －x 0e x0＋e x 0或y＝－12x 1x ＋14x 21，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x＝－x 12，－x 0e x 0＋e x＝x214，所以e x0＝1－x 0，解得x 0＝0，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 答案：y ＝x ＋1导数的几何意义与其他知识交汇[典例引领]抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【解析】由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z ma x ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12(1)本题以y ＝x 2在x ＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x ＋2y 的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇． (2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用． (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．[通关练习]1．曲线f (x )＝－x 3＋3x 2在点(1，f (1))处的切线截圆x 2＋(y ＋1)2＝4所得的弦长为( ) A ．4 B ．2 2 C ．2D. 2解析：选A.因为f ′(x )＝－3x 2＋6x ，则在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝6－3＝3，又f (1)＝2，故切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0. 因为圆心C (0，－1)到直线3x －y －1＝0的距离d ＝0，所以直线3x －y －1＝0截圆x 2＋(y ＋1)2＝4所得的弦长就是该圆的直径4，故选A . 2．对正整数n ，设曲线y ＝(2－x )x n 在x ＝3处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a nn ＋2}的前n 项和等于________．解析：因为y ′＝2nxn －1－(n ＋1)x n.所以曲线y ＝(2－x )x n 在x ＝3处的切线的斜率为(－13n －1)3n .所以切线方程为y ＝(－13n －1)3n (x －3)－3n.令x ＝0，得a n ＝(n ＋2)·3n，所以a nn ＋2＝3n. 所以数列{a nn ＋2}的前n 项和为31＋32＋33＋ (3)＝3（1－3n）1－3＝3n ＋1－32.答案：3n ＋1－32导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．易误防范(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n)′＝nxn －1与指数函数的求导公式(a x )′＝a xln a 混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．1．(2018·四川成都模拟)曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是( ) A ．y ＝－πx ＋π2B ．y ＝πx ＋π2C ．y ＝－πx －π2D ．y ＝πx －π2解析：选A.因为y ＝f (x )＝x sin x ，所以f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，在点P (π，0)处的切线斜率为k ＝sin π＋πcos π＝－π，所以曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是y ＝－π(x －π)＝－πx ＋π2.故选A.2．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B .f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3. 函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D.12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11，从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5，解之得b ＝52.故选B.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．3D ．4解析：选B.由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.5．(2018·广州市综合测试(一))设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(1，－1)C ．(－1，1)D ．(1，－1)或(－1，1)解析：选D.由题易知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为f ′(x 0)＝3x 2＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得a ＝±2，x 0＝－a2.所以当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1a ＝－2时，点P的坐标为(1，－1)；当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1a ＝2时，点P 的坐标为(－1，1)，故选D.6．若f (x )＝(x 2＋2x －1)e2－x，则f ′(x )＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋2x －1)′e 2－x＋(x 2＋2x －1)(e2－x)′＝(2x ＋2)e 2－x＋(x 2＋2x －1)·(－e 2－x)＝(3－x 2)e2－x.答案：(3－x 2)e2－x7．(2018·昆明市教学质量检测)若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π4)的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－3x ＋1，则ω＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝－2ωsin(ωx ＋π4)，所以f ′(0)＝－2ωsin π4＝－ω＝－3，所以ω＝3. 答案：38．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a＝－13x 3(x ＞0)，故a ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0) 9．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x ＋cos xx ＋sin x；(3)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln （2x ＋3）x 2＋1.解：(1)法一：因为y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，所以y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2＝24x 3＋9x 2－16x －4.(2)y ′＝（x ＋cos x ）′（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（x ＋sin x ）′（x ＋sin x ）2＝（1－sin x ）（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（1＋cos x ）（x ＋sin x ）2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1（x ＋sin x ）2. (3)因为y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ，所以y ′＝－12sin 4x －12x ·4·cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(4)y ′＝[ln （2x ＋3）]′（x 2＋1）－（x 2＋1）′ln （2x ＋3）（x 2＋1）2＝（2x ＋3）′2x ＋3·（x 2＋1）－2x ln （2x ＋3）（x 2＋1）2＝2（x 2＋1）－2x （2x ＋3）ln （2x ＋3）（2x ＋3）（x 2＋1）2. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2018·成都市第二次诊断性检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－12，＋∞)B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x ＞0)，根据题意有f ′(x )≥0(x ＞0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x ＞0)恒成立，即2a ≥－1x2(x ＞0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞）.2．过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条D ．0条解析：选A.由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2，1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令z ＝2x 30－6x 20＋7，则z ′＝6x 20－12x 0.由z ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，z ＝7＞0；x 0＝2时，z ＝－1＜0.所以方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条．3．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )．则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝04．(2018·山东青岛自主诊断)函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定K (A ，B )＝|k A －k B ||AB |(|AB |为线段AB 的长度)叫作曲线y ＝f (x )在点A 与点B 之间的“近似曲率”．设曲线y ＝1x上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，a (a ＞0且a ≠1)，若m ·K (A ，B )＞1恒成立，则实数m 的取值范围是______．解析：因为y ′＝－1x2，所以k A ＝－1a2，k B ＝－a 2.又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a －a ，所以K (A ，B )＝|k A －k B ||AB |＝|a 2－1a 2|2|1a－a |＝1a ＋a 2，因为a ＞0且a ≠1，所以a ＋1a ＞2a ·1a ＝2，即1K （A ，B ）＜22.由m ·K (A ，B )＞1恒成立得，m ＞1K （A ，B ），即m ≥22.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 5．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．所以(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ， ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.6．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②①代入②得，x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.因为P 为切点，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.因为P 在第一象限，所以所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节变化率与导数导数的计算课件文新人教A版

5．(2020 届陕西省百校联盟模拟)若 f(x)＝x3＋a 是定义在 R 上的奇函数，则曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝3x－3
B．y＝3x－2
C．y＝－3x－3
D．y＝－3x－2
解析：选 B 依题意得 f(0)＝0，即 0＋a＝0，则 a＝0，所以 f(x)＝x3，则 f′(x)＝3x2，所以 f′(1)＝3，因此曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是 y＝3x－2，故选 B.
解析：∵y′＝（x＋2 2）2，∴y′|x＝－1＝2. 故所求切线方程为 2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0
三、易错自纠 4．如图所示为函数 y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么 y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，
基本初等函数 f(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1) f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
导函数 f′(x)＝ 8 ___e_x_____ f′(x)＝ 9 ___a_xl_n_a___
1 f′(x)＝ 10 _x________
1 f′(x)＝ 11 __x_l_n_a____
‖基础自测‖ 一、疑误辨析 1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)是函数 y＝f(x)在 x＝x0 附近的平均变化率．( ) (2)函数 f(x)＝sin(－x)的导数 f′(x)＝cos x．( ) (3)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)，再求 f′(x0)．( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )

新高考数学一轮总复习课件第三章第一节变化率与导数、导数的计算

________．
【解析】(1)选 B.因为 f(x)＝x4－2x3，所以 f′(x)＝4x3－6x2，所以 f(1)＝
－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为 y＋1＝－2(x－1)，即 y＝－2x
＋1.
(2)选 A.对 y＝ex 求导得 y′＝ex，令 x＝0，得曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线
【解析】选 C.因为函数关系式是 h(t)＝10－4.9t2＋8t，所以 h′(t)＝－9.8t＋8，所以在 t＝0.5 秒的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝ 3.1(米/秒).
3．函数 y＝cos (3x－2)的导数是__________．
【解析】设 y＝cos u，u＝3x－2. 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′(3x－2)′＝－3sin u＝－3sin (3x－2). 答案：y′＝－3sin (3x－2)
1 C．－cos2x
1 D．－sin2x
(3)函数 f(x)＝ 2x＋1 的导函数 f′(x)＝( )
A．2 2x＋1
B．
2 2x＋1
C．2
1 2x＋1
D．
1 2x＋1
【解析】(1)选 C.由导数公式易得 A，B，D 错误，注意 A 选项中的α为常数，
所以(sinα)′＝0.
cos x (2)选 D.因为 f(x)＝sin x ，
5．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_y_′__u·__u_′__x_．
【基本技能小测】
1．若函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，
Δy 则Δx 等于( )
A．4

高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算课件文

＋2)x＋1 相切，则 a＝________．
12/11/2021
【解析】 (1)f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′ ＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex ＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex，故 f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1. 因为 f(x)在(0，f(0))处的切线与直线 x＋y－1＝0 垂直，故 f′(0) ＝1，即 a－1＝1，解得 a＝2.
【解析】 (1)f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，
所以 a＝130.
(2)f′(x)＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′
＝exln x＋exx
＝exln
x＋1x.
12/11/2021
(3)y′＝coesx
x′＝（cos
x）′ex－cos （ex）2
x（ex）′
＝－sin
12/11/2021
(2)法一：因为 y＝x＋ln x，所以 y′＝1＋x1，y′|x＝1＝2. 所以曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1. 因为 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，所以 a≠0(当 a＝0 时曲线变为 y＝2x＋1 与已知直线平行)．由yy＝＝2axx－2＋1（，a＋2）x＋1，消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0.
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由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8. 法二：同法一得切线方程为 y＝2x－1. 设 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切于点(x0，ax20＋(a ＋2)x0＋1)．因为 y′＝2ax＋a＋2，所以 y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2. 由2aaxx20＋0＋（a＋a＋2＝2）2，x0＋1＝2x0－1，解得xa＝0＝8－. 21，【答案】 (1)C (2)8

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算课件文

3.函数f(x)的导函数
称函数f
'(x)=
l
i
x
m
0
f (xx)f (x)
为f(x)的x 导函数,导函数有时也记作y'.
12/11/2021
4.基本初等函数的导数公式
12/11/2021
5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
2
sin
x 2
cos
x 2
=cos x sinx -coxs2
22
2
= 1 sin x1- (1+cos x)
2
2
= 1 (sin x-cos x)1- ,
2
2
∴y'= 1
2
(cos x+sin x)= 2
2
sin x
.
4
(2)y'=ex·ln x+ex·1
x
=e xln
x
.
1 x
12/11/2021
12/11/2021
1-1 已知f(x)= 1 x2+2xf '(2 016)+2 016ln x,则f '(2 016)= -2 017 .
2
答案 -2 017 解析由题意得f '(x)=x+2f '(2 016)+ 2 0,1 6
x
所以 f '(2 016)=2 016+2f '(2 016)+ 2 0,1即6 f '(2 016)=-(2 016+1)=-2 017.

2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第三章导数及其应用第1节变化率与导数导数的计算

第1节变化率与导数、导数的计算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.知识梳理1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，称它为f (x )的导函数(简称导数)，y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__xf (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__af (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x(a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. [常用结论与微点提醒]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(老教材选修2－2P19B2改编)已知函数f (x )＝xx ＋2，则函数在x ＝－1处的切线方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝0解析由f (x )＝xx ＋2，得f ′(x )＝2（x ＋2）2，又f (－1)＝－1，f ′(－1)＝2.因此函数在x ＝－1处的切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0. 答案 A3.(老教材选修2－2P3问题2改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2. 解析 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案－9.8t ＋6.5 －9.84.(2019·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A.x －y －π－1＝0 B.2x －y －2π－1＝0 C.2x ＋y －2π＋1＝0D.x ＋y －π＋1＝0解析设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ， ∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k ＝f ′(π)＝－2，故切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0. 答案 C5.(2019·新乡模拟)设f (x )＝ln(3－2x )＋cos 2x ，则f ′(0)＝________. 解析 f ′(x )＝－23－2x －2sin 2x ，所以f ′(0)＝－23.答案－236.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0，0)处的切线方程为________. 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x . 答案 y ＝3x考点一导数的运算多维探究角度1 根据求导法则求函数的导数【例1－1】求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋xex；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 解 (1)f ′(x )＝（2x ＋1）e x－（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x2e x. (2)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x3. (3)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x .角度2 抽象函数的导数【例1－2】已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________.解析因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x.令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94.∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234. 答案－234规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【训练1】 (1)(角度1)已知f (x )＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x )＝________.(2)(角度2)(2020·雅礼中学月考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝( )A.－eB.2C.－2D.e(3)(角度1)(2020·天津重点学校联考)已知函数f (x )＝(x 2－a )ln x ，f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(1)＝－2，则a ＝________.解析 (1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x －1）′（2x ＋1）－（2x －1）（2x ＋1）′（2x ＋1）2＝44x 2－1. (2)由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.(3)由f (x )＝(x 2－a )ln x ，得f ′(x )＝2x ln x ＋x 2－a x.∴f ′(1)＝1－a ＝－2，解得a ＝3. 答案 (1)44x 2－1 (2)B (3)3考点二导数的几何意义【例2】 (1)(2020·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln xx在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A.x ＋y －2＝0 B.2x ＋y －3＝0 C.3x ＋y ＋2＝0D.3x ＋y －4＝0(2)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. 解析 (1)因为f (x )＝1－2ln x x ，所以f ′(x )＝－3＋2ln xx2. 又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3.故所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.(2)设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m ).又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e).再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1). 答案 (1)D (2)(e ，1)规律方法 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.【训练2】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A.y ＝－2xB.y ＝－xC.y ＝2xD.y ＝x(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x .∴f ′(x )＝3x 2＋1，则f ′(0)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x，∴曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x(x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x(x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1).答案 (1)D (2)(1，1) 考点三导数几何意义的应用【例3】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A.a ＝e ，b ＝－1 B.a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－1(2)(2019·泉州质检)若曲线y ＝x 2与y ＝a ln x (a ≠0)存在公共切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，2e]B.(0，e]C.(－∞，0)∪(0，2e]D.(－∞，0)∪(0，e]解析 (1)∵y ′＝a e x＋ln x ＋1，∴k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又已知切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1. (2)设切线在曲线y ＝x 2上的切点坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，切线在y ＝a ln x 上的切点为(x 1，a ln x 1)，该切线方程为y ＝ax 1x －a ＋a ln x 1 由于两曲线有相同的公切线，因此a x 1＝2x 0，－x 20＝a ln x 1－a ，消去x 0，得a ＝4x 21－4x 21ln x 1，设g (x )＝4x 2－4x 2ln x ，g ′(x )＝4x －8x ln x ，得到g (x )在(0，e 12)递增，在(e 12，＋∞)递减，故g (x )最大值为2e. 又x →＋∞时，g (x )→－∞；当x →0时，g (x )→0. 所以a 的取值范围为(－∞，0)∪(0，2e]. 答案 (1)D (2)C规律方法 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上. 2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.【训练3】 (1)(2020·重庆调研)已知直线y ＝1m是曲线y ＝x e x的一条切线，则实数m 的值为( ) A.－1eB.－eC.1eD.e(2)(2020·淄博联考)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－6] B.(－∞，－6]∪[2，＋∞) C.[2，＋∞)D.(－∞，－6)∪(2，＋∞)解析 (1)设切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫n ，1m ，由y ＝x e x，得y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x. 若直线y ＝1m是曲线y ＝x e x的一条切线，y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，因此1m ＝n e n＝－1e ，故m ＝－e.(2)直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x－2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2. 答案 (1)B (2)CA 级基础巩固一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x)′＝3xln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x解析因为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误.答案 C2.(2020·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6B.－2C.－6D.－8解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2. ∴f ′(2)＝－2. 答案 B3.函数y ＝e x ＋x ＋1在点(0，2)处的切线方程是( ) A.y ＝－2x ＋2 B.y ＝2x ＋2 C.y ＝－x ＋2D.y ＝x ＋2解析函数y ＝e x＋x ＋1的导数为y ′＝e x＋1，可得在点(0，2)处的切线的斜率为k ＝2，所求切线方程为y ＝2x ＋2. 答案 B4.(2020·哈尔滨调研)若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(1)x ＋3，则( ) A.f (0)<f (4) B.f (0)＝f (4) C.f (0)>f (4)D.以上都不对解析函数f (x )的导数f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，故f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以f (0)＝f (4)＝3. 答案 B5.(2020·安徽江南十校联考)若曲线y ＝a ln x ＋x 2(a >0)的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，则a ＝( )A.124B.38C.34D.32解析因为y ＝a ln x ＋x 2(a >0，x >0)，所以y ′＝a x ＋2x ≥22a ，当且仅当x ＝2a2时取等号. 因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，则斜率k ≥3，因此3＝22a ，所以a ＝38.答案 B6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a解析由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).答案 B7.(2020·东莞检测)已知直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝ln x 相切，则k ＝( ) A.1e2 B.1eC.eD.e 2解析由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＝kx 0＋1，k ＝1x 0，解得x 0＝e 2，则k ＝1x 0＝1e 2.答案 A8.(2020·西安调研)已知函数f (x )＝e x＋ax －1的图象与x 轴相切，则a ＝( )A.－1B.0C.12D.1解析设切点坐标为T (m ，0)，由f ′(x )＝e x ＋a ，得f ′(m )＝e m ＋a ＝0，则a ＝－e m ，又f (m )＝e m ＋am －1＝0，∴e m －e m ·m －1＝0，则e m ＝11－m，从而可得m ＝0，∴a ＝－e m ＝－1.答案 A二、填空题9.(2019·天津卷)曲线y ＝cos x －x 2在点(0，1)处的切线方程为________. 解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12. 所以切线方程为y －1＝－12x ，即x ＋2y －2＝0. 答案 x ＋2y －2＝010.(2020·珠海六校联考)已知f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 解析因为f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －2π3，所以f ′(x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2π3，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2 3. 答案 2 311.(2019·江西八校联考)已知曲线y ＝1x ＋ln x a在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________.解析 y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a.由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，解得a ＝25. 答案 2512.已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________.解析由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7，∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0. 答案 6x －y －5＝0B 级能力提升13.(2020·兰州检测)若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A.－1B.1C.2D.e 解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1).又y ′＝1x ，则1m＝1，解得m ＝1.所以切点坐标为(1，2)，则2＝b ＋ln 1，得b ＝2.答案 C14.给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数.若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.已知函数f (x )＝5x ＋4sin x －cos x 的“拐点”是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A.在直线y ＝－5x 上B.在直线y ＝5x 上C.在直线y ＝－4x 上D.在直线y ＝4x 上解析由题意，知f ′(x )＝5＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由f ″(x 0)＝0，知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝5x 0，故点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝5x 上.答案 B15.(2020·衡水中学调研)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x (2x －2)＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，则f (x )＝________.解析由f ′(x )＝e x (2x －2)＋f (x ).得f ′（x ）－f （x ）e x ＝2x －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）e x ′＝2x －2. ∴f （x ）e x ＝x 2－2x ＋c (c 为常数)，所以f (x )＝(x 2－2x ＋c )e x.又f (0)＝c ＝1，故f (x )＝e x (x －1)2.答案 e x (x －1)216.(2020·山东实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是________.解析设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x |x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1. ∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2. 答案 2C 级创新猜想17.(多填题)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，F (x )＝f ′（x ）e x ，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则b ＝________，函数f (x )的最小值是________.解析 ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴F (x )＝2x ＋b ex ， ∴F ′(x )＝2－2x －b ex . 又F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧F ′（0）＝2－b e 0＝－2，F （0）＝b ＝c ，解之得b ＝c ＝4.故f (x )＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0，则f (x )min ＝0.答案 4 0 莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1节变化率与导数导数的计算课件理

(1)y′＝f ′(x)在点 x＝x0 处的函数值就是函数 y＝f(x)在点 x
＝x0 处的导数值.(
)
(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(
)
(3) 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切
线.(
)
(4)[f(ax＋b)]′＝f ′(ax＋b).(
)
C.有 1 条，其方程为 x＝0
D.有 2 条，它们的方程分别为 y＝0，x＝0 [解析] ∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，∴曲线 y＝x3 在原点处的切线方程为 y＝0.
[答案] B
6.气球中充入空气，气球中空气的体积 V(单位：L)从 1 L 到 2 L 时，气球半径 r(单位：dm)的平均变化率约为 (气球近似看作球体).
2.导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的__斜_率___，过点 P 的切线方程为 _y_－ __y_0_＝__f _′(_x_0)_(_x－ __x_0_)_.
3.基本初等函数的导数公式原函数 f(x)＝c
f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx
第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算
1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y ＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数.
导函数 __f__′(_x_)＝ __0___ __f _′(_x_)＝ __n_x_n_－_1 _f_′_(_x)_＝ __c_o_s_x_ _f_′_(x_)_＝__－__si_n_x

(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第三章导数及其应用1第1讲变化率与导数、导数的计算课件

(2)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的方程为________．【解析】 (1)因为 y′＝2x－x12，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为 y′|x＝1＝2×1－112＝ 1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 y＝x＋1.
原函数 f(x)＝ax (a>0 且 a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax (x>0，a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x(x>0)
导函数
f′(x)＝axln a
f′(x)＝_e_x__
1 f′(x)＝__x_l_n_a____
1 f′(x)＝_x___
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_____f_′_(x_)_±__g_′_(x_)______； (2)[f(x)·g(x)]′＝___f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f_(x_)_g_′_(x_)____； (3)gf（（xx））′＝_f_′（__x_）__g_（__x[_g）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′_（__x_）_ (g(x)≠0)．
第三章导数及其应用
第1讲变化率与导数、导数的计算
数学
01
基础知识自主回顾
02
核心考点深度剖析
03
高效演练分层突破
知识点
最新考纲
了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．变化率与导数、
会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并导数的计算
能求简单的复合函数的导数(限于形如 f(ax＋b)的导数).
1
1．(2020·杭州七校联考)曲线 y＝e2x 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

高考数学一轮复习第三篇导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算课件理

求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在．
单击此处进入活页限时训练
即 y＝3x20x－2x30，由yy＝＝x33x，20x－2x30，得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得 x＝x0，x＝－2x0. 若 x0≠0，则交点坐标为(x0，x30)，(－2x0，－8x30)；若 x0＝0，则交点坐标为(0,0)．
利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量 Δy； (2)求平均变化率ΔΔyx；(3)求极限
5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标
分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝______；li
Δxm→0
f1＋ΔΔxx－f1＝________(用数字作答)．
答案 2 －2
考向一导数的定义【例1】►利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处切线与曲线f(x)＝x3的交点． [审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键．
【示例】►(本题满分12分)(2010·山东)已知函数f(x)＝ln x－ax＋ 1－x a－1(a∈R)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当a≤12时，讨论f(x)的单调性．
(1)求出在点(2，f(2))处的斜率及f(2)，由点斜式写出切线方程； (2)求f′(x)，再对a分类讨论．
规范解答6——如何求曲线上某一点的切线方程
【问题研究】利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误. 【解决方案】解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.

2021高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节变化率与导数导数的计算教学案文

第3章导数及其应用全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小”. 2.考查内容(1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中. (2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题.3.备考策略(1)熟练掌握导数的运算公式，重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极(最)值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题.(2)加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用.[最新考纲] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(对应学生用书第39页)1．导数与导函数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，用f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y ＝c (c 是常数) y ′＝0 y ＝sin x y ′＝cos_x y ＝x α(α是实数) y ′＝αx α－1 y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝a x (a ＞0，a ≠1)y ′＝a x ln_a 特别地(e x)′＝e xy ＝tan xy ′＝1cos 2xy ＝log a x (a ＞0，a ≠1)y ′＝1x ln a特别地(ln x )′＝1xy ＝cot x y ′＝－1sin 2x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)． [常用结论]1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( )(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．函数y＝x cos x－sin x的导数为( )A．x sin x B．－x sin xC．x cos x D．－x cos xB[y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x．] 2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3 C．9 D．15C[因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.故选C.]3．函数y＝f(x)的图像如图，则导函数f′(x)的大致图像为( )A B C DB[由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.]4．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2.－9.8t＋6.5 －9.8 [v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.](对应学生用书第40页)⊙考点1 导数的计算(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误．已知函数解析式求函数的导数求下列各函数的导数：(1)y ＝x 2x ；(2)y ＝tan x ； (3)y ＝2sin 2x2－1.[解](1)先变形：y ＝2x 32，再求导：y ′＝(2x 32)′＝322x 12.(2)先变形：y ＝sin xcos x，再求导：y ′＝sin x cos x ′＝sin x ′·cos x －sin x ·cos x ′cos 2x ＝1cos 2x. (3)先变形：y ＝－cos x ，再求导：y ′＝－(cos x )′＝－(－sin x )＝sin x . [逆向问题]已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝________. 1 [因为f (x )＝x (2 017＋ln x )，所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.]求导之前先对函数进行化简减小运算量．如本例(1)(3)．抽象函数求导已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.－4 [∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4.]赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f ′(x )，最后分别令x ＝1，x ＝0代入f ′(x )求解即可．1.已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________．e [由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x·1x，则f ′(1)＝e.]2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________.－94 [因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.]3．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln x x 2＋1. [解](1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x . (2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝ln x ′x 2＋1－ln x x 2＋1′x 2＋12＝1xx 2＋1－2x ln xx 2＋12＝x 21－2ln x ＋1x x 2＋12.⊙考点2 导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可．求切线方程(1)(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．(1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 [(1)∵y ′＝3(x 2＋3x ＋1)e x，∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y ＝3x .(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.](1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别．如本例(1)是“在点(0,0)”，本例(2)是“过点(0，－1)”，要注意二者的区别．求切点坐标(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(e,1) [设A (x 0，y 0)，由y ′＝1x ，得k ＝1x 0，所以在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线经过点(－e ，－1)，所以－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)．所以ln x 0＝ex 0，令g (x )＝ln x －ex(x ＞0)，则g ′(x )＝1x ＋ex2，则g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数．又g (e)＝0，∴ln x ＝ex有唯一解x ＝e.∴x 0＝e.∴点A 的坐标为(e,1)．]f ′(x )＝k (k 为切线斜率)的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键．求参数的值(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m ＝________.(1)D (2)－2 [(1)∵y ′＝a e x＋ln x ＋1，∴y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴2＝a e ＋1，∴a ＝e －1.∴切点为(1,1)，将(1,1)代入y ＝2x ＋b ，得1＝2＋b ， ∴b ＝－1，故选D.(2)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，∴m ＝－2.]已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围．导数与函数图像(1)已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是( )(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.(1)B (2)0 [(1)由y ＝f ′(x )的图像是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图像的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.] 函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图像升降的快慢．1.曲线f (x )＝exx －1在x ＝0处的切线方程为________．2x ＋y ＋1＝0 [根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f ′(x )＝x －1ex′－e xx －1′x －12＝x －2e xx －12，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝0－2e0－12＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)，即2x ＋y ＋1＝0.]2．(2019·大同模拟)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是________．y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 [设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， ∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)，即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.]3．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b ＝________. 1 [由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.]。

2021年高考数学一轮复习第三章第1讲变化率与导数、导数的运算文(含解析)

2021年高考数学一轮复习第三章第1讲变化率与导数、导数的运算文（含解析）一、选择题1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5解析因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B. 答案 B2．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x )＋f (x )<0，则对任意正数a ，b ，若a >b ，则必有( )．A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (a )<f (b )D ．bf (b )<f (a )解析构造函数F (x )＝f x x (x >0)，F ′(x )＝xf ′x －f xx 2，由条件知F ′(x )<0，∴函数F (x )＝f x x在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴f aa<f b b，即bf (a )<af (b )．答案 B3．已知函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋1ax (a >0)，则f (2)的最小值为( )．A ．1232B ．12＋8a ＋1aC ．8＋8a ＋2aD ．16解析f(2)＝8＋8a＋2a，令g(a)＝8＋8a＋2a，则g′(a)＝8－2a2，由g′(a)>0得a>12，由g′(a)<0得0<a<12，∴a＝12时f(2)有最小值．f(2)的最小值为8＋8×12＋212＝16.故选D.答案 D4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )．A．－e B．－1 C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1x ，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B5．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )．A．26 B．29 C．212 D．215解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.答案 C6．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则 ( )．A．h(1)<h(0)<h(－1)B．h(1)<h(－1)<h(0)C．h(0)<h(－1)<h(1)D．h(0)<h(1)<h(－1)解析由图象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，则f(x)＝12x2＋m，其中m为常数，g(x)＝13x3＋n，其中n为常数，则h(x)＝12x2－13x3＋m－n，得h(0)<h(1)<h(－1)．答案 D二、填空题7．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析 ∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案 y ＝4x －38．若过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析 y ′＝e x，设切点的坐标为(x 0，y 0)则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案 (1，e) e9．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8， ∴f (1)＝1，即点(1,1)，在曲线y ＝f (x )上．又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，∴f ′(1)＝2. 答案 210．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元)与时间t (单位：月)的函数关系为：y ＝2＋t 220－t (1≤t ≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．解析 ∵y ＝2＋t 220－t(1≤t ≤12)，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 220－t ′＝2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 220－t ′＝t 2′20－t －t 220－t ′20－t 2＝40t －t 220－t2.由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y ′|t ＝10＝40×10－10220－102＝3.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月．答案 3 三、解答题11．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n，(n ∈N *)； (2)y ＝ln (x ＋1＋x 2)；(3)y ＝e x＋1e x －1； (4)y ＝2x sin(2x ＋5)．解 (1)y ′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y ′＝1x ＋1＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 21＋x 2＝11＋x 2. (3)∵y ＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2exe x－12.(4)y ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)．12．设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5；切线l 的方程为：x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x ，依题意得：方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相等的根0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0⇒m >－14；又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，即0<－m ⇒m <0，由韦达定理知：x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0；又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0，于是当m <0时对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上：m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，013．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20·(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.14．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b ，为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9x x ＋6. (1)解由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1＋a x ＝0＝32＋a ，得a ＝0.(2)证明当x >0时，2x ＋1·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x 2＋1.记h (x )＝f (x )－9xx ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54x ＋62＝2＋x ＋12x ＋1－54x ＋62<x ＋64x ＋1－54x ＋62＝x ＋63－216x ＋14x ＋1x ＋62. 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.于是当0<x<2时，f(x)<9xx＋6.5w!L=UxJ%33163 818B 膋JH35395 8A43 詃25295 62CF 拏u。

2021高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1讲变化率与导数导数的运算分层演练文2021091016

企业管理中的中小企业发展策略中小企业作为国家经济发展的重要组成部分，对于促进经济增长、增加就业岗位、推动创新具有重要作用。

然而，中小企业面临着许多挑战，如资源匮乏、市场竞争激烈等。

因此，制定一套适合中小企业的发展策略是至关重要的。

一、市场定位和差异化经营中小企业在竞争激烈的市场中生存，首先需要明确自己的市场定位。

对于刚起步的中小企业来说，可以选择专注于某个特定的细分市场，通过差异化经营来立足市场。

例如，一个家居装饰中小企业可以专注于高端用户，提供个性化定制服务，通过产品的独特性和高品质吸引目标客户。

二、建立良好的创新机制创新是中小企业发展的关键。

为了提高创新能力，中小企业需要建立起良好的创新机制。

首先，企业应该注重人才引进和培养，吸纳高素质的员工，并为他们提供持续学习和发展的机会。

其次，中小企业可以与高等院校、科研机构等建立合作关系，共同进行研发和技术创新。

最后，鼓励员工提出自己的创新想法，激励他们参与到新产品或新服务的开发中来。

三、加强供应链管理供应链管理对于中小企业的发展至关重要。

中小企业应该与供应商建立长期稳定的合作关系，确保原材料的供应和质量稳定。

同时，中小企业还应该优化采购和库存管理，控制好成本，并确保产品的及时交付。

此外，中小企业还可以考虑建立合适的物流系统，提高产品的运输效率。

四、加强品牌建设品牌建设是提高企业竞争力的关键。

中小企业应该注重产品品质和服务质量，通过优质的产品和良好的售后服务来树立良好的品牌形象。

同时，中小企业还可以通过市场营销活动来提高品牌知名度，如举办新品发布会、参加行业展览等。

此外，中小企业还可以考虑与其他企业进行合作，在品牌推广方面互相支持。

五、发展互联网+模式随着互联网的普及和发展，中小企业可以通过互联网+模式来拓展市场，提高运营效率。

中小企业可以建立自己的电子商务平台，将线上线下进行整合，并提供便捷的购物体验。

此外，中小企业还可以利用互联网进行市场调研，了解客户需求，及时调整产品或服务。

高考文数一轮复习经典教案(带详解)第三章第1节：变化率与导数、导数的计算

第三章导数及其应用第1节变化率与导数、导数的计算【最新考纲】 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【高考会这样考】 1.考查导数的四则计算；2.利用导数的几何意义求切线方程。

要点梳理1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)函数f (x )的导函数函数f ′(x )＝0limx ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 为f (x )的导函数.2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0).[友情提示]1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率，(1)错.(2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2B.eC.ln 22D.ln 2解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案 B3.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.解析因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案 34.曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________.解析设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2，所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)，即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 0题型分类考点突破考点一导数的计算【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝cos x e x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x . (2)因为y ＝x 3＋1＋1x2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋⎝⎛⎭⎫1x 2′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝1－12cos x . (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2 ＝－sin x ＋cos xe x.规律方法 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.2.如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.【变式练习1】 (1)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. (2)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________.解析 (1)因为f (x )＝x 2f ′⎝⎛⎭⎫π3＋sin x ，所以f ′(x )＝2xf ′⎝⎛⎭⎫π3＋cos x .所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2×π3×f ′⎝⎛⎭⎫π3＋cos π3.所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝36－4π.(2)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 (1)36－4π(2)3 考点二导数的几何意义(多维探究) 命题角度1 求切线方程【例2－1】 (1)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( ) A.1B.－1C.2D.－2(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.解析 (1)由f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，知f (x )＝2x －1x ＝2－1x . ∴f ′(x )＝1x 2，且f ′(1)＝1.由导数的几何意义，所求切线的斜率k ＝1. (2)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 0＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案 (1)A (2)2x －y ＝0命题角度2 求参数的值或取值范围【例2－2】 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝______.(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)解析 (1)y ′＝（2－cos x ）′sin x －（2－cos x ）（sin x ）′sin 2x ＝1－2cos xsin 2x，则曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，2处的切线的斜率为k 1＝1.因为直线x ＋ay ＋1＝0的斜率k 2＝－1a，又该切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，所以k 1k 2＝－1，解得a ＝1.(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解.∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).答案 (1)1 (2)B命题角度3 公切线问题【例2－3】 (一题多解)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1). ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案 8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【变式练习2】 (1)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0解析 (1)由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，则f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1). ∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. (2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 (1)1 (2)B错误!课后练习A 组 (时间：40分钟)一、选择题1.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1D.e解析由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B2.曲线y ＝sin xx 在x ＝π2处的切线方程为( )A.y ＝0B.y ＝2πC.y ＝－4π2x ＋4πD.y ＝4π2x解析 ∵y ′＝x cos x －sin x x 2，∴y ′|x＝π2＝－4π2，当x ＝π2时，y ＝2π，∴切线方程为y －2π＝－4π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，即y ＝－4π2x ＋4π.答案 C3.已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( ) A.0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) B.0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2) C.0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) D.0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析 f ′(2)，f ′(3)表示曲线y ＝f (x )在点A ，B 处切线的斜率，又f (3)－f (2)＝f （3）－f （2）3－2表示直线AB 的斜率.所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2). 答案 C4.已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1，1)处的切线互相垂直，则ab 的值为( ) A.13B.23C.－23D.－13解析由题意，y ′＝3x 2，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3.所以a b ×3＝－1，即a b ＝－13. 答案 D5.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A.eB.－eC.1e D.－1e解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案 C二、填空题6.已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________.解析∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2，9).答案(－2，9)7.已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y 轴上的截距为________.解析f(1)＝a，切点为(1，a).f′(x)＝a－1x，则切线的斜率为f′(1)＝a－1，切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故l在y轴上的截距为1. 答案 18.若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0).∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号).答案[2，＋∞) 三、解答题9.已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10.已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0).若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线. 解根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－ax . 曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a ，所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1). 所以y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)，所以y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.B 组 (时间：20分钟)11.若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln x C.y ＝e xD.y ＝x 3解析若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案 A12.设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.解析y′＝e x，曲线y＝e x在点(0，1) 处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝1x(x＞0)的导数为y′＝－1x2(x＞0)，曲线y＝1x(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)13.已知函数f(x)＝e x－x2＋2ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)∵f′(x)＝e x－2x＋2，∴f′(1)＝e，又f(1)＝e＋1，∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即e x－y＋1＝0.(2)f′(x)＝e x－2x＋2a，∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴a≥x－e x2在R上恒成立，令g(x)＝x－e x2，则g′(x)＝1－e x2，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，在(－∞，ln 2)上，g′(x)>0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算课件理

(1)y=ex·cos x;
xx
(3)y=x-sin 2 cos2
(2)y=x
x2
;
1 x
1 x3
; (4)y=ln1 .x 2
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解析 (1)y'=(ex)'cos x+ex(cos x)'=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x).
(2)∵y=x3+1+ 1 ,∴y'=3x2- 2 .
4
当x变化时,F'(x)与F(x)的变化情况如下表所示:
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x
1 2
,1
1
F'(x)
+
0
(1,+∞) -
F(x)
↗
极大值
↘
所以当x=1时,F(x)取得最大值,为F(1)=0, 所以方程⑤有且仅有一个解s=1. 于是t=ln s=0,因此切点P的坐标为(1,0).
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f(x)=ln x
导数 f '(x)=⑥ 0 f '(x)=⑦ αxα-1 f '(x)=⑧ cos x f '(x)=⑨ -sin x f '(x)=⑩ axln a f '(x)= ex
1 f '(x)= x l n a
1 f '(x)= x
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3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
12/11/2021

2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算教案文新人教A版

第1讲变化率与导数、导数的计算一、知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．[提醒] f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x(x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x(x >0)f ′(x )＝1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．[提醒] 求导常见易错点：①公式(x n)′＝nx n －1与(a x )′＝a xln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．二、习题改编1．(选修11P85A 组T5改编)已知函数f (x )＝2xf ′(1)＋x ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．e B ．1 C ．－1 D ．－e答案：C2．(选修11P85A 组T6改编)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D.因为函数f (x )是奇函数，所以a －1＝0，得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)x ，即y ＝x .故选D.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( ) 答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区(1)混淆平均变化率与导数的区别；(2)导数的运算法则运用不正确．1．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为，在x＝2处的导数为．解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.答案：3 42．函数y＝ln xe x的导函数为．解析：y′＝1xe x－e x ln x（e x）2＝1－x ln xx e x.答案：y′＝1－x ln xx e x导数的运算(多维探究)角度一求已知函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋1x.【解】(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.(2)y′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x＋1x′＝(lnx)′＋⎝⎛⎭⎪⎫1x′＝1x－1x2.[注意] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二求抽象函数的导数值已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝．【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.【答案】－94对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝xB ．(x 2e x )′＝2x ＋e xC ．(x cos x )′＝－sin xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x2解析：选D.对于A ：⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2 x ，对于B ：(x 2e x)′＝(x 2＋2x )e x，对于C ：(x cos x )′＝cos x －x sin x ，对于D ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x2.2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝( ) A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C.由已知得，f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝30－24＝6. 3．求下列函数的导数： (1)y ＝x (ln x ＋cos x )； (2)y ＝sin x ＋x x；(3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝ln x ＋cos x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－sin x ＝ln x ＋cos x －x sin x ＋1.(2)y ′＝（cos x ＋1）x －（sin x ＋x ）x 2＝x cos x －sin x x2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x.导数的几何意义(多维探究) 角度一求切线方程(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f (x )＝e x＋x 2，则曲线在(0，f (0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为．【解析】由题意，得f ′(x )＝e x＋2x ，所以f ′(0)＝1.又f (0)＝1，所以曲线在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0，所以该切线与x ，y 轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为12×1×1＝12.【答案】 12求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．(2)由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[注意] “过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．角度二求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是．【解析】设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)．【答案】 (e ，e)【迁移探究】 (变条件)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1，所以ln x 0＝0，x 0＝1，即点P (1，0)，所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三已知切线方程(或斜率)求参数值(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1【解析】因为y ′＝a e x＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，与切线方程y ＝2x ＋b对照，可得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 【答案】 D处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0解析：选C.依题意得y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝(2cos x－sin x)|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.2．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是；f(2)＋f′(2)的值为．解析：由图象可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，则直线l的斜率为k＝4－30－2＝－12，可得直线l的方程为y＝－12x＋4，即为x＋2y－8＝0；由导数的几何意义可得f′(2)＝－12，则f(2)＋f′(2)＝3－12＝52.答案：x＋2y－8＝0523．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y ＋1＝0相切，则实数a的值为．解析：设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝1x－a，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x0－y0＋1＝0f′（x0）＝1x0－a＝1f（x0）＝ln x0－ax0＝y0，解得a＝1e2－1.答案：1e2－1核心素养系列7 数学运算——求曲线的切线方程数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．已知曲线y＝13x3上一点P⎝⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P的切线方程为．【解析】 (1)当P 为切点时，由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝2＝4，即过点P 的切线方程的斜率为4. 则所求的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0；(2)当P 点不是切点时，设切点为Q (x 0，y 0)，则切线方程为y －13x 30＝x 20(x －x 0)，因为切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，把P 点的坐标代入切线方程，求得x 0＝－1或x 0＝2(即点P ，舍去)，所以切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，即所求切线方程为3x －3y ＋2＝0.综上所述，过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0. 【答案】 12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率． (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．1．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是．解析：设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1)．答案：(e ，1)2．(2020·安徽安庆期末改编)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1－x ）－2f （x ）＝x 2－1，f （x ）－2f （1－x ）＝（1－x ）2－1，解得f (x )＝－x 2＋23x ＋23.所以f (－1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝83，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y ＋1＝83(x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0.答案：－1 8x －3y ＋5＝0[基础题组练]1．下列求导数的运算中错误的是( ) A ．(3x )′＝3xln 3 B ．(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D ．(sin x ·cos x )′＝cos 2x 解析：选C.因为⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误．2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx等于( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导，所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝f ′(2)．4．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D ．12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11，从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5，解得b ＝52.故选B.5．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝e －x；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.对于①，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f (x )＝e －x，则f ′(x )＝－e －x，即e －x＝－e －x，此方程无解，②不符合要求；对于③，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，③符合要求；对于④，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可sin 2x ＝2，无解，④不符合要求．故选B.6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (lnx )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝，切线方程为．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为．解析：由题意知，f (2)＝2×2－1＝3，所以g (2)＝4＋3＝7，因为g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，所以g ′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.答案：6x －y －5＝0 9．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝sin x2(1－2cos 2x4)；(3)y ＝ln x x 2＋1. 解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)因为y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，所以y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.10．(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[综合题组练]1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．3D ．4解析：选B.由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 4．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②将①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.因为P 为切点，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.因为P 在第一象限，所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。

新高考数学一轮复习第三章导数及其应用1第1讲变化率与导数导数的计算教学案

第三章导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f (ax ＋b )的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f′(x)＝0f (x )＝x n (n ∈Q *)f ′(x )＝nx n －1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x(a >0且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x(x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sinx .2．(选修2－2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3t2，所以s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：134[易错纠偏](1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________．解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 2导数的计算求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ；(4)y ＝ln(2x －5)．【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋e ′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′ ＝3x e xln 3＋3x e x－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5.[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )，所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e x ln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x . (3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值．角度一求切线方程(1)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1. 【答案】 (1)y ＝x ＋1 (2)y ＝x －1 角度二已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝e－x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x，所以y ′＝－e －x，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2，所以y 0＝eln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．【答案】 (－ln 2，2)角度三已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2020·宁波调研)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2(2)(2020·绍兴调研)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．【解析】 (1)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.【答案】 (1)C (2)2e －12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2020·杭州七校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D.因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.2．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.答案：23．(2020·台州高三月考)已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017的值为________．解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以x 1·x 2·…·x 2 017＝12×23×34×…×2 0162 017×2 0172 018＝12 018.则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 01812 018＝－1.答案：－1两条曲线的公切线若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.【答案】 1－ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.1．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为( ) A ．三条 B ．二条 C ．一条D ．0条解析：选A.设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x－4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g （n ）－f （m ）n －m ，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数f (x )＝8x 3－8x 2＋1，f ′(x )＝8x (3x －2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增，极大值f (0)＞0，极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜0，故函数和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.2．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )．则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝0[基础题组练]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1D ．1解析：选B.因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2020·衢州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.3．(2020·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ，所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)，因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.4．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.5.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.7．已知f (x )＝ln xx 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2， g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2. 答案：29．(2020·金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)10．如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________．解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.由题图可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)，故k 1＝5－34－0＝12.由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316. 答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋bx ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[综合题组练]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2020·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B.12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D.2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝cos (πx )＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝－πsin (πx )＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ，又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2；所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝05．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。