【名校推荐】上海市延安中学沪教版高二数学下册教学案11.1直线的方程

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沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程(3)教案

11.1直线的方程（3）教学目标：1、进一步巩固点方向式方程、点法向式方程运用的条件，熟练求解方程；灵活应用两种方程解决具体问题。

2、体会数形结合、转化等数学思想；感受向量工具在“数”与“形”中的桥梁作用。

3、培养探究与合作的精神。

教学重点：点方向式方程与点法向式方程的熟练运用。

教学难点：点方向式方程与点法向式方程的灵活运用。

教学媒体：PowerPoint、Geogebra教学环节教师活动学生活动设计意图概念梳理1、直线确定直线的条件？能够刻画直线方向的量有哪些？2、直线方程直线方程的两种形式？3、基础训练思考问题并回答同伴合作演示思考问题并回答回顾基本概念，为熟练求解直线方程打基础；感受形与数的紧密联系例题讲解1、分析并讲解例题，根据需要突出的重点难点作变式。

2、引导学生分析问题，问题转化，数形结合解决问题。

例题(1)已知三点(1,2)A、(4,1)B、(3,6)C，点M为AC的中点，求直线BM的方程.（变式）(2)已知ABC∆的三个顶点为(1,2)A、(4,1)B、(3,6)C，求AC的中垂线l的方程.(3)在ABC∆中，点(4,2)B、(2,8)C，oBAC∠=90向量3,2d=u r（）且du r与边AC平行，求ABC∆的两条直角边所在的直线方程.（变式）1、与老师合作，完成例题2、独立完成变式训练3、应用两种方程解决具体问题掌握点方向式方程、点法向式方程运用的条件熟练求解灵活应用课堂小结一个目标，两个方案，三个关系明确目标，熟练方法，感受细节理清思路，强调重点合作实践素材：正方形ABCD对角线AC与BD交于点E，(4,4)A、(10,2)B、（8,6）E同伴合作提出关于求直线方程的问题、求解问题展示分享培养学生合作探究的精神作业布置练习册11.1（B）课后复习、完成练习、小结巩固xyxyxy例题：(1)已知三点(1,2)A 、(4,1)B 、(3,6)C ，点M 为AC 的中点，求直线BM 的方程. （变式）(2)已知ABC ∆的三个顶点为(1,2)A 、(4,1)B 、(3,6)C ，求AC 的中垂线l 的方程.(3)在ABC ∆中，点(4,2)B 、(2,8)C ，oBAC ∠=90向量3,2d =u r（）且d u r 与边AC 平行，求ABC ∆的两条直角边所在的直线方程.（变式）实践：素材：正方形ABCD ，对角线AC 与BD 交于点E ，(4,4)A 、(10,2)B 、（8,6）E 问题：解答：。

沪教版高中数学高二第二学期11.1直线与方程复习课件

沪教版高中数学高二第二学期11.1直线与方程复习课件【精品】
练习5 证明A（1，3），B（5，7），C（10，12）三点共线。
证明：
K AB
73 5 1
4 4
1
12 3 K AC 10 1 1
K AB K AC
A，B，C三点共线
沪教版高中数学高二第二学期11.1直线与方程复习课件【精品】
y y
c1 c2
D a1 a2
b1 b2
Dx
c1 c2
b1 b2
Dy
a1 a2
c1 c2
相交 D≠0时,方程组有唯一解
平行
X=Dx/D y=Dy/D D=0,Dx≠0或Dy≠0时方程组无解
重合 D=0,Dx=Dy=0时方程组有无数解
2、直线的平行
l1 : a1x b1 y c1 0 l2 : a2 x b2 y c2 0
3、任何一条直线都有倾斜角直线的倾斜角决
定直线的方向。
4、已知倾斜角α，如何求直线斜率κ
k
tan ,
2
不存在， ,
2
5、已知直线斜率κ，如何求倾斜角α
arctank,k 0 arctan| k |,k 0
6、函数 k tan, [0, )的图象
k
(0, )时k 0 2
y y0 k(x x0 )
6、直线的截距式方程
x y 1 ab
二、直线的倾斜角、斜率
1、定义：①当直线l与x轴相交与M，我们将x轴绕着交点M按逆时针方向旋转到与l重合时所旋转的最小正角α叫做直线的倾斜角。
②当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角 α=0
2、范围： 0≤α＜π。

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线的点方向式方程教案

直线的点法向式方程教学目标：1、掌握直线的点法向式方程2、通过直线点法向式方程的推导，体会向量知识的应用和坐标法的含义.初步认识曲线与方程的关系，并体会解析几何的基本思想3、培养学生的自主探索研究能力.教学重点：直线的点法向式方程教学难点：选择恰当的形式求解直线方程教学方法：教师启发引导，学生主动探索教学过程：一、复习引入上节课我们学习了直线方程及直线的点方向式方程，首先我们一起回顾一下：（1）若给出方程y ＝x －1 问：①点（2,1），（3,2）是否在直线l 上？②如何判断点P 是否在直线l 上？（①l 上任意点的坐标满足方程y ＝x －1②以方程y ＝x －1的任意解为坐标的点都在直线l 上）我们就称方程y ＝x －1是直线l 的方程，直线l 是方程y ＝x －1的图形（2）复习点方向式方程直线的方向，与直线平行的向量有无数个，所以方向向量不唯一，则直线的点方向式方程显然也不唯一问：若过已知点与某一非零向量垂直的直线是否唯一确定呢？今天我们就来学习根据上述条件求出直线l 的方程。

（写出课题）二、概念形成设P 00(,)x y ，非零向量(,)n a b =r ，Q (,)x y 为直线l 上任意一点则=PQ ),(O O y y x x -- ∵PQ n ⊥u u u r r ∴0=⋅ 即00()()0a x x b y y -+-=①∴直线l 上的任一点都满足方程①反之，若11(,)x y 为方程①的解，即1010()()0a x x b y y -+-=，则1Q 11(,)x y 符合1PQ n ⊥u u u u r r ，即1Q 在直线l 上.根据直线方程的定义知，方程①是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线.定义：与直线l 垂直的非零向量n r 叫做直线l 的法向量.向量(,)n a b =是直线l 的一个法向量三、概念辨析例1：求过点P(3，－5)，且垂直于)2,1(=的直线l 的点法向式方程。

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-直线的点方向式方程学案

直线的点方向式方程学习目标1. 理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式、点法向式方程的推导及相应形式；2. 培养学生分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力；3. 培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。

课前导学【材料阅读】1、观看微视频_________________，网址：__________________2、阅读课本第5页（11.1直线的方程）开始到例1之前；第7页开始到例3之前；【自我感知】 1、设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，则//a b ⇔r r _____________；a b ⊥⇔r r ____________。

2、在平面直角坐标系中，过一个定点P ，作一条直线，这样的直线是否唯一？能否在此基础上如何才能确定一条直线，并且是唯一存在的（添加条件）（1）过定点P ，并且平行于某条直线（与一个已知非零向量(,)d u v =u r 平行）；（2）过定点P ，再过一点Q （过两点）；（3）过定点P ，并且垂直于某条直线（与一个已知非零向量(,)n a b =r 垂直）。

课堂交流【承旧启新】我们知道，如果在平面上作一条直线l ，使它通过某个已知点P ，且与已知的非零向量d u r 平行，那么这样的直线l 是唯一确定的。

在直角坐标平面上，已知非零向量(,)d u v =u r ，设点P 的坐标为00(,)x y ，经过点P 且与向量d u r 平行的直线为l ，因为直线l 平行于向量d u r ，所以对直线l 上任意点Q ，都有//PQ d u u u r u r 。

设点(,)Q x y 为直线l 上任意一点，易得向量00(,)PQ x x y y --→=--，由//PQ d u u u r u r 的充要条件得到：→→--d PQ //⇔00()()v x x u y y -=- ① 思考：直线l 上所有点的坐标(,)x y 是否都满足方程①？反之，如果11(,)x y 是方程①的任何一组解，即1010()()v x x u y y -=-，那么把00(,)P x y 作为起点，把坐标为11(,)x y 的点1Q 作为终点的向量1PQ u u u u r 与d u r 平行，即点1Q 在直线l 上。

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线的点方向式方程教案

点方向式方程 P(xO,yO), 方向向量 d = (u, v) (uv≠0)
x − xO = y − yO
u
v
(uv≠0)
d = (u,v) ( 0 )
点法向式方程 P(xO,yO), 法向量 n = (a, b)
a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 n = (a,b) ( 0 )
合 PQ1 ⊥ n ，即 Q1 在直线 l 上. 根据直线方程的定义知，方程①是直线 l 的方程，直线 l 是方程①的直线.
1/3
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
定义：与直线 l 垂直的非零向量 n 叫做直线 l 的法向量. 方程 a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 叫做直线 l 的点法向式方程，
②能否根据已知法向量找出直线的一个方向向量？
一般的，若 n = (a,b) ，则 d = (b,−a) ③请写出以上直线的点方向式方程小结：（1）求点方向式与点法向式方程必须满足两个条件：已知点与方向
（2）方向（法）向量不唯一，则直线的方程不唯一（3）适用范围
已知条件
直线 l 的方程
方向(法)向量
四、概念运用和深化例 2：已知点 A（1,6）、B（－1，－2）和点 C（6,3）是三角形的三个顶点，求：（1） BC 边所在直线的方程（2） BC 边上的高 AD 所在直线的方程（3） BC 边的垂直平分线的点法向式方程小结：灵活使用方程的不同形式
练习：已知在△ABC 中，∠BAC＝90°，点 B、C 的坐标为(4.2), (2,8)，d = (3,2)
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向量 n = (a,b) 是直线 l 的一个法向量三、概念辨析

上海市延安中学沪教版高二下册复习教学案第11章坐标平面上的直线

第十一章坐标平面上的直线复习学习要点：一、直线的方程1．假如直线l 经过点00(,)P x y ，方向向量为(,)d u v =且0,0u v ≠≠，那么直线l 的点方向式方程为00x x y y u v--=．特殊地，当0u =时的直线方程为00x x -=；当0v =时直线的方程为00y y -=．假如直线l 经过点00(,)P x y ，法向量为(,)n a b =，那么直线l 的点法向式方程为00()()0a x x b y y -+-=．直线的一般式方程为0ax by c ++=，其中(,)n a b =可以是直线的一个法向量，而向量(,)b a -可以是直线的一个方向向量．2．设α为直线l 的倾斜角，当2πα≠时，tan k α=是直线的斜率；当2πα=时，直线l 的斜率不存在．若直线l 的方向向量为(,)d u v =，当0u ≠时，vk u=；当0u =时，k 不存在．若直线l 的斜率为k ，则它的一个方向向量可以为(1,)d k =．若直线l 的倾斜角为α，则它的一个方向向量可以是(cos ,sin )d αα=．若直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的点斜式方程为00()y y k x x -=-．二、两条直线的位置关系1．设直线1l 的方程为1110a x b y c ++=，直线2l 的方程为2220a x b y c ++=，1122a b D a b =， 1122x c b D c b -=-，1122y a c D a c -=-．若0D ≠，则直线1l 与2l 的交点坐标为(,)y x DD D D；若0D =且x D 和y D 至少有一个不为零，则直线1l 与2l 平行；若0x y D D D ===，则直线1l 与2l 重合．2．设直线1l 的方程为110a x b y c ++=，直线2l 的方程为2220a x b y c ++=，且两条直线的夹角为α，则cos α=特殊地，两条直线1l ，2l 垂直的充要条件是12120a a b b +=．三、点到直线距离1．直线l ：0ax by c ++=外一点00(,)P x y 到直线l距离为d =．例题选讲：1．若直线l 过点(0,2)P ，它的一个方向向量为(1,1)，则直线l 的方程是． 2．若直线l 过点(3,1)，且l 的法向量(1,3)n =，则直线l 的方程是． 3．假如直线cos 20()x y θθ+-=∈R 的倾斜角为α，那么α的取值范围是．4．若直线1l ：1120a x b y ++=（实数11,a b 不同时为0）与直线2l ：2220a x b y ++=（实数22,a b 不同时为0）的交点为(1,2)，则经过11(,)P a b 、22(,)Q a b 两点的直线的方程为．5．已知直线40x ay --=与直线24y x =-+的夹角θ=，求实数a 的值．6．已知直线直线l 经过点(5,10)，且它与原点的距离为5，求直线l 的方程．7．已知直线0(0)x ay a -=≥，求这条直线l 的倾斜角．8．是否存在实数m ，使直线1:(3)553l m x y m ++=-与直线2:2(6)8l x m y ++= 分别相交、平行、重合、垂直？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．9．已知ABC 的AB 、AC 边上的高所在直线的方程分别为2310x y -+=和0x y +=，点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．10．已知直线l 垂直于直线3490x y +-=，且点(2,3)A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．11．已知直线21:10l x a y ++=的方向向量与直线22:(1)30l a x by +-+=的法向量平行，且0a b ⋅≠，求ab 的最小值．12．求证：三条互不平行的直线1111:0l a x b y c ++=，直线2222:0l a x b y c ++=，直线3333:0l a x b y c ++=共点的充要条件是1112223330a b c a b c a b c =．13．求直线1:3260l x y --=关于直线:2310l x y -+=对称的直线2l 的方程．14．已知两条平行直线分别过点(2,2)P --、(1,3)Q ，当这两条直线之间的距离最大时，求它们的方程．。

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-点方向式教案

直线的方程——点方向式教学目标：理解直线的方向向量d u r的概念，知道(,0)d R λλλ∈≠u r 也是直线的方向向量；能根据直线上的一个点和它的一个方向向量，或两个不同的点求出直线的点方向式方程；理解直线方程的解的集合与直线上点的集合之间的关系；通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量来推导过程，并明确向量的几何意义。

重点难点：重点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。

难点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。

教学过程：引入：初中平面几何里，我们定性地研究了直线的平行、垂直或直线相交所成角是否相等。

现在，我们将进一步用定量的方法来研究直线。

一次函数y kx b =+可以写成0kx y b -+=，我们将看到直线与一般的二元一次方程的对应关系。

由于方程的解是可以计算的，所以，我们能用定量的方法来研究直线了。

新课：一、直线的方程的推导已知平面上一条直线l ，过已知点P ，且与已知的非零向量d u r （0d ≠u r r）平行。

易知，这样的直线l 是唯一确定的。

问题：直线l 上的点的坐标之间有什么关系。

★直线与非零向量平行（垂直）是指直线与非零向量所在的直线平行或重合（垂直）。

直线l 平行于向量d u r ，所以，对直线上的任意点Q ，都有//PQ d u u u r u r 。

在直角坐标系中，设00(,)P x y ， (,)d u v =u r，()Q x y ，，可得：00()PQ x x y y =--u u u r，//PQ d ∴u u u r u r⇔00()()v x x u y y -=-……①（000x x y y u v--⇔=）反之，如果111()Q x y ，是方程①的任意一组解，即1010()()v x x u y y -=-，那么以00()P x y ，为起点，111()Q x y ，为终点的向量1PQ u u u u r与向量d u r 平行，即点1Q 在直线l 上。

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线方程的其它形式(2)教案

直线方程的其它形式（2）教学目标1．理解点斜式、截距式和一般式的基本含义，并进一步掌握它们的具体意义联系与区别；2．会用待定系数法求直线方程，学会直线的方程综合运用。

教学过程一、复习与引入1．复习：默写直线的斜截式方程、点斜式方程、截距式方程、两点式方程、法线式方程；2．引入：请你说出以上的直线方程是关于y x ,的几次方程？揭示：关于y x ,的一次方程一定表示直线吗？直线的方程一定是关于y x ,的一次方程吗？说明：关于y x ,的一次方程一定表示直线（见教材14页，略）；直线的方程一定是一次方程；（略）二、新课设计1．直线的一般式方程：0=++C By Ax （B A ,不全为零）说明：（1）分类讨论；（2）为什么B A ,不全为零；（3）强调一般式的规范写法（最简）。

2．应用举例例1：已知原点到直线l 的距离为r ，且直线l 两坐标轴在第一象限交成的三角形的面积为3322r ，求直线l 的一般式方程。

说明：（1）两解023=-+r y x 或023=-+r y x ；（2）注意截距式、法线式的应用；（3）最后化为一般式。

例2：求被两直线0103=+-y x 及082=-+y x 所截得的线段平分于点)1,0(P 的直线方程。

说明：（1）044=-+y x ；（2）设所求直线为1+=kx y 时要注意讨论直线0=x ；（3）分析两交点的表达式；（4）利用平行四边形亦可例3：直线l 过点)2,1(P ，且与x 轴、y 轴正方向于A 、B 两点，若OB OA +最小，求出直线l 的方程。

解法1：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b a ，12-=a a b ，那么 =+b a 322212+≥+-+a a ,当且仅当21+=a 时最小。

此时22+=b 直线的方程为12221=+++y x 解法2：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+ba ， 223221)21)((+≥⋅+++=++=+ba ab b a b a b a ，（下略）；解法3：设所求的直线方程为)1(2-=-x k y （0<k ），令0=y 得，kx 21-=，令0=x 得，k y -=2，于是223)2(3+≥--+=+kk y x ，（下略）；解法4：设所求的直线的倾斜角为α，于是)(1απ-+=tg OA ，)(2απ-+=ctg OB ， 223)()(3+≥-+-+=+απαπctg tg OB OA ，（下略）解法5：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b a ，设θ2sin 1=a ，θ2cos 2=b，那么θθθθθθ22222223sec 2csc cos 2sin 1ctg tg b a ++=+=+=+（下略）解法6；设所求的直线方程为1=+b y a x ，121=+ba ，于是2)2)(1(=--b a 那么223)2)(1(23)2()1(3+=--+≥-+-+=+b a b a b a （下略）说明：（1）直线l 满足两个条件，一是过点)2,1(N ，二是OB OA +最小；（2）以上的六种解法，都是在确定OB OA +何时最小上的不同技巧；直线的方程设为截距式、点斜式，也可以设为斜截式等；（3）问题探索：若将OB OA +最小改为||||PB PA ⋅最小，其它条件不变，求直线l 的方程；（4）问题探索：若将OB OA +最小改为||||OB OA ⋅最小，其它条件不变，求直线l 的方程。

沪教版高二数学 11.1 直线的点方向式方程教案

高二数学第一学期学案学案11.1（1）直线的点方向式方程学习目标：理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强数形结合等数学思想；重点与难点：理解直线方程以及点方向式方程的推导. 讲授新课直线方程定义：对于坐标平面内的一条直线l ，如果存在一个方程(,)0f x y =，满足（1）_________________________；（2）_____________________那么我们把方程(,)0f x y =叫做直线l 的方程. 点方向式方程1、概念引入在几何上，要确定一条直线需要两个条件，如________________.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.2、概念形成⏹ 直线的点方向式方程的定义． ⏹ 直线的点方向式方程的推导建立平面直角坐标系，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)d u v =表示.当00u v ≠≠且时，方程①可化为__________________________________②. 当0u =时0v ≠，方程①可化为________________③表示______________的直线；当0v =时0u ≠，方程①可化为_______________④，表示过__________的直线.我们把方程_____________叫做直线l 的点方向式方程，非零向量d 叫做直线l 的______________.3、概念深化从上面的推导看，方向向量d 是不唯一的，与直线平行的非零向量都可以作为方向向量. 由点方向式易得，过不同的两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线的方程是______________.4、例题解析例1 观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量.①4533+=-y x ; ② ()()6744-=--y x ; ③1=x ; ④2-=y .例 2 已知点()()1364--，，，B A 和()54-，C ，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程？变式1 求经过点B 、C 两点的直线l 的点方向式方程.变式2 在ABC ∆中，求平行于BC 边的中位线MN 所在直线的点方向式方程.例3 若已知直线l:3x+2y-10=0求l 的一个方向向量练习：过P(2,-1)求与l 平行的直线的点方向式方程.过P(2,-1)求与l 垂直的直线的点方向式方程.例4直线l 过（1,2）与M(2,3),N(4,-5)的距离相等，直线l 的点方向式方程。

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-直线的点方向式方程教案

11．1直线的点方向式方程【教学目标】（1）理解直线方程、直线的方向向量的概念；（2）掌握直线的点方向式方程；（3）加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；【教学重点及难点】直线的方程的概念、直线的点方向式方程；理解直线方程以及点方向式方程的推导.【教学过程】一、知识准备1、在初中学过画直线，如在平面直角坐标系中，画出直线 1-=x y2、理解直线方程的概念：（直线上点的坐标和二元一次方程的解的对应关系）定义：对于坐标平面内的一条直线l ，如果存在一个方程(,)0f x y =，满足（1）直线l 上的点的坐标(,)x y 都满足方程(,)0f x y =；（2）以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在直线l 上.那么我们把方程(,)0f x y =叫做直线l 的方程.从上述定义可见，满足（1）、（2），直线l 上的点的集合与方程(,)0f x y =的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系.二、点方向式方程探究1、概念引入在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.2、概念形成⏹ 直线的点方向式方程的定义在平面上过一已知点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的，我们在直角坐标平面中求该直线的方程．⏹ 直线的点方向式方程的推导建立平面直角坐标系，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)d u v =r 表示.设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线平行于非零向量d r ，故//PQ d u u u r r .根据//PQ d u u u r r 的充要条件，得00()()v x x u y y -=-①；反之，若11(,)x y 为方程①的任意一解，即1010()()v x x u y y -=-，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1//PQ d u u u u r r ，即1Q 在直线l 上.综上，根据直线方程的定义知，方程①是直线l 的方程.当00u v ≠≠且时，方程①可化为00x x y y u v--=②. 值得注意的是：方程②不能表示过00(,)P x y 且与坐标轴垂直的直线．事实上当0u =时0v ≠，方程①可化为00x x -=③，表示过00(,)P x y 且与x 轴垂直的直线；当0v =时0u ≠，方程①可化为00y y -=④，表示过00(,)P x y 且与y 轴垂直的直线. 我们把方程00x x y y u v --=叫做直线l 的点方向式方程，非零向量d r 叫做直线l 的方向向量.3、巩固训练观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量. ①4533+=-y x ; ② ()()6744-=--y x ; ③032=+-y x ; ④2-=y ; ⑤1=x解 ①经过点()5,3-，它的一个方向向量是()4,3=→d ； ②化简得到：4674--=-y x ，从中可见该直线经过点()6,4，一个方向向量是()4,7-=→d ； ③变形得到：2111-=+y x ，从中可见该直线经过点()1,1- 一个方向向量是()2,1=→d ；④经过点()2,1-，它的一个方向向量是()1,0d →=．⑤经过点()0,1，它的一个方向向量是()1,0=→d ；以上问题的解答是唯一的吗？[说明]通过直线的点方向式方程，可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量.（但答案不唯一）4、例题解析例已知点()()1364--，，，B A 和()54-，C ，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程？解：()4,7-=→--BC ，所以过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程是4674--=-y x ．变式1 求经过点B 、C 两点的直线l 的点方向式方程.解： ()4,7-=→--BC ，4173-+=+y x ．思考：有没有别的表达方式？4574-+=-y x 是否一样呢？不妨化简，得到的都是：01974=++y x 变式2 在ABC ∆中，求平行于BC 边的中位线MN 所在直线的点方向方程.解： AB 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛25,21M ，AC 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4N ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→---2,27MN ，所以MN 所在直线的点方向方程是2252721--=-y x ．解法二：()4,7-=→--BC ，也是MN 所在直线的方向向量直线的点方向方程是也可写为425721--=-y x [说明]这些题目的解法关键在于找点和方向向量！5、概念深化从上面的推导看，方向向量d r 是不唯一的，与直线平行的非零向量都可以作为方向向量.由点方向式易得，过不同的两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线的方程是0))(())((112112=-----y y x x x x y y .三、巩固练习练习11.1（1）四、课堂小结（1）直线l 的点方向式方程形式；（2）直线的方向向量唯一吗?如果不唯一,它们之间有何关系?（3）直线l 的点方向式方程是否能表示平面直角坐标系中任意一条直线?若不能，应该如何讨论?（4）直线l 的点方向式方程的推导过程体现了数学中什么样的思想方法?五、课后作业习题11.1 A 组1，2，3，4 ；B 组1，2。

沪教版高中数学高二下册 - 11.1直线方程(1)-点方向式方程教案

11.1直线方程（1）-点方向式方程一、教学目标：1、理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系；2、理解直线的方向向量的概念；3、能根据已知条件求出直线的点方向式方程；4、通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推导过程且有明确的几何意义。

二、教学重点：1、理解直线的方向向量的概念；2、能根据已知条件求出直线的点方向式方程。

教学难点：理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系。

三、教学过程：1、引入新课：确定直线的条件⏹ 两点确定一条直线⏹ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

⏹ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

问：已知直线l 过定点，且与向量平行，这样的直线是否唯一？引例：在直角坐标系中，点，非零向量，直线l 经过点P 且与平行，求直线l 的方程。

解：设Q （x,y ）是直线上任意一点，则直线l 上的所有的点的坐标（x,y ）都满足方程（1）反之，如果是方程（1）的任意一个解，即那么把坐标为的点作为终点，把P 作为起点，可知向量，即点在直线l 上。

以方程的所有解（x,y ）作为坐标的点都在直线l 上方程（1）叫做直线l 的方程,直线l 是方程（1）的图形，叫做直线l 的一个方向向量。

(注：方向向量有无数个)2、提出概念：1、当u 、v 都不为零时，（1）化为我们把（2）叫做直线l 的点方向式方程。

2、当时，（1）化为表示经过点P ，且平行于y 轴的直线。

3、当时，（1）化为表示经过点P ，且平行于x 轴的直线。

00(,)PQ x x y y =--u u u r ||,||l d PQ d u r u u u r u r Q 即00()()(1)x x v y y u ∴-=-P 1010()()x x v y y u ∴-=-00()()(1)x x v y y u -=-00()()(2)x x y y u v --=00(,)P x y (,)d u v =u r 00(,)P x y d u r 11(,)x y 11(,)x y 1||PQ d u u u u r u r 1Q 1Q (,)d u v =u r 0,0u v =≠0,0u v ≠=00x x -=00y y -=3、例题分析例1：已知A （4，6）、B （-3，-1）、C （4、-5）三点，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程。

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-直线方程的应用教案设计

课题：直线方程的应用一、教学目标1．认知目标⑴掌握直线方程的各种形式及其相关的知识点。

⑵综合运用直线方程解决有关的实际问题。

2．智能目标⑴通过多样化的题型，培养学生思维的灵活性。

⑵通过运用多个知识点和多种技能（如：在教学中渗透对称，建模等多种数学思想），使学生分析、综合的思维能力得到提高。

3．情感目标通过教师对课堂教学情境的创设和积极引导，提高学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学意识，形成严谨求学，敢于创新的治学精神，提高学生的数学素养。

二、教学重点、难点1．重点：直线方程的应用2．难点：综合运用直线方程解决实际问题三、教学手段1．对教材作切合学生实际的处理，以设计有思考价值、有助于培养学生思维灵活的问题为先导。

2．以列举生活中的现象，创造让学生提问、思辨和解决问题的情境。

3．利用计算机进行辅助教学。

由于计算机的动态模拟可以把形与数有机地结合起来，把运动和变化有机地结合起来，因此，教学设计中采用多媒体教学手段，使学生对抽象、概括的数学公式原理从感性的角度去加深理解。

四、教学方法课堂教学过程中，减少传统的传授和操练法，教师以探索、尝试的情境创设体现引导作用，从而达到师生共同探求问题、解决问题的效果。

[教学过程]直线方程有多种形式，在解决各类问题时，应通过分析，根据不同的条件，确定解决问题的步骤，将一个较复杂的问题，逐步转化为若干个较简单的问题。

例1 当a 为何值时，三条直线l l ：x-3y=0；l 2：4x+3y-5=0；l 3：ax-3y-1=0不能构成三角形。

学生分析：三条直线如果两两相交于三个不同的交点，则能构成三角形。

因此，如果三条直线不能构成三角形，则三条直线没有三个不同的交点，即三条直线只有一个交点或三条直线中至少有两条平行或重合。

学生演算得出结论：当三条直线交于一点时，a=2；当l 1与l 3或l 2与l 3平行时， a=1或a=-4。

选例说明：本例是寻找直线满足某种几何特征条件的问题，实质是由“形”求 “数”，除了必须要用到数形结合的数学思想外，解题过程中还运用了等价转换的数学思想。

沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线方程的其它形式教案

直线方程的其它形式教学目标1．掌握直线方程的点斜式、截距式和一般式，研究介绍两点式、法线式，会进行方程的不同形式之间的转化，渗透直线系的思想；2．能根据给出的条件，选择适当的形式熟练地求直线的方程。

教学过程一、复习与引入1．复习：从直线的斜截式方程b kx y +=可以看到以下几点:(1)当k 为常数，b 变化时，直线b kx y +=表示一组斜率为k 的平行直线；（2）当b 为常数，k 变化时，直线b kx y +=表示一组过定点),0(b 直线（不包括直线与x 轴垂直的一条）；（3）一次方程与直线；（4）确定直线需两个独立条件。

2．引入：在求直线的方程时，不一定直接给出k 与b ，那就是利用所给的条件去确定k 与b ，从而求出直线的方程，为了方便起见，我们研究直线方程的其它形式。

如（1）点斜式：经过已知点（11,y x ）并且斜率为已知数k 的直线方程如何？（2）截距式：经过已知点（0,a ）与（b ,0）的直线方程如何？（3）两点式：经过已知点（11,y x ）与（22,y x ）的直线方程如何？（4）法线式：二、新课设计1．直线的点斜式、截距式方程的推导1.求经过已知点（11,y x ）并且斜率为已知数k 的直线l 的方程。

提问1：教材中直线l 的点斜式方程是如何推导的？（学生做详细的讲解）提问2：能否利用斜率公式来推导直线l 的点斜式方程？能。

提问3：在利用斜率公式来推导直线l 的点斜式方程时，为什么叫方程)(11x x k y y −=−为点斜式，而不叫k x x y y =−−11为点斜式？ 2.求经过已知点（0,a ）与（b ,0）的直线l 的方程。

说明：（1）利用斜截式、点斜式都可以推得截距式1=+by a x ；（2）何时利用截距式求直线的方程。

2．求直线方程的举例例1：求经过已知点A ),(11y x 与B ),(22y x 的直线l 的方程。

说明：（1）当21x x ≠时，可选用点斜式或斜截式；（2）当21x x ≠，21y y ≠且1221y x y x ≠时，也可选用截距式；（3）不与坐标轴平行的直线的两点式方程121121x x x x y y y y −−=−−；（4）直线的两点式方程01112211=y x y x yx例2：已知点)sin ,cos (ααr r A ，其中)2,0[πα∈，0>r ，直线l 经过点A ，且与OA 垂直，O 为坐标原点，求直线l 的方程。

沪教版高二学案——11.1(2)直线的方程——点法向式方程

11.1（2）直线的方程——点法向式方程一．填空1.直线的方程为()()23340x y -+-=，写出直线的一个法向量=_________n →2.直线的方程为34y 0x -=则直线的一个法向量=_________n →3.过点()2,1P -且与向量()13d →=，垂直的直线l 的点法向式方程是 4.已知直线l 过点(1,1),(2,2)P Q --，则该直线的一个法向量=_________n →5.已知直线的方程为20x -=，写出直线的一个法向量=_________n →6.直线l 的一个方向向量()21d →=，，写出直线的一个法向量=_________n →7.已知直线l 的法向量()11n →=-，，且经过直线20x y +-=与直线210x y --=的交点P ，则直线l 的点法向式方程是8.已知直线2132x y -+=的一个法向量()=2n a a →-，，则实数=_________a 二．选择9.经过点()00,P x y ，且与向量(),d u v →=平行的直线方程是 ( )A ．00x x y y u v--=B ．00x x u y y v -=- C ．00x x y y v u--= D ．()()00x x v u y y -=- 10.若直线l 的一个法向量是n →，一个方向向量是d →，则n →与d →（）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．都有可能三．解答 11.求过点P 且与向量n →垂直的直线l 的点法向式方程：（1）(0,0),(1,3)P n →=（2）(1,2),(2,1)P n →-=（3）(2,0),(2,1)P n →=-（4）(1,2),(0,2)P n →=12.已知ABC 的三个顶点分别为()()()1,6,1,2,6,3A B C --，求：（1）求AB 边上高CF 所在的直线方程（2）求AC 边上的中线BH 的方程（3）求AC 边上的垂直平分线的方程13.已知ABC 的两个顶点分别为()()2,2,3,0A B ，此三角形的重心坐标为()3,1，求AC 边上的高BH 所在直线的方程14.已知原点O 在直线l 上的射影坐标为()2,1H =-，求直线l 的方程。

高二数学下 11.1《直线的点斜式、斜截式》教案沪教版

直线的方程一、素质教育目标1、知识教学点⑴直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，它们之间的内在联系⑵直线与二元一次方程之间的关系⑶由已知条件写出直线的方程⑷根据直线方程求出直线的斜率、倾斜角、截距，能画方程表示的直线2、能力训练点（1）通过对直线方程的点斜式的研究，培养学生由特殊到一般的研究方法（2）通过对二元一次方程与直线的对应关系的认识和理解，培养学生的数、形转化能力（3）通过运用直线方程的知识解答相关问题的训练，培养学生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力。

二、学法指导本节主要学习直线方程的五种形式，应理解并记忆公式的内容，特别要搞清各个公式的适用X围：点斜式和斜截式需要斜率存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示过原点及与坐标轴垂直的直线。

一般式虽然可表示任意直线但它所含的变量多，故在运用时要灵活选择公式，不丢解不漏解。

三、教学重点、难点1、重点：直线的点斜式和一般式的推导，由已知条件求直线的方程2、难点：直线的点斜式和一般式的推导，如何选择方程的形式，如何简化运算过程。

四、课时安排本课题安排3课时五、教与学过程设计第一课时直线的方程－点斜式、斜截式●教学目标1.理解直线方程点斜式的形式特点和适用X围.2.了解求直线方程的一般思路.3.了解直线方程斜截式的形式特点.●教学重点直线方程的点斜式●教学难点点斜式推导过程的理解.●教学方法学导式●教具准备幻灯片●教学过程1、创设情境已知直线l过点（1,2），斜率为2，则直线l上的任一点应满足什么条件？分析：设Q(x,y)为直线l上的任一点，则k PQ= 1,即(y―1)/(x―1)= 2(x≠1),整理得y―2=2（x―1）又点（1,2）符合上述方程，故直线l 上的任一点应满足条件y ―2=2（x ―1）回顾解题用到的知识点：过两点的斜率的公式：经过两点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的直线的斜率公式是：)(211212x x x x y y k ≠--= 2、提出问题问：直线l 过点（1,2），斜率为2，则直线l 的方程是y ―2=2（x ―1）吗？回想一下直线的方程与方程的直线的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

沪教版(上海)高二数学第二学期-11.1 直线方程-教案

直线方程【教学目标】理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心。

【教学重难点】重点1．理解直线的方向向量概念。

2．能根据已知条件求出直线的点方向式方程。

3．理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系。

4．通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推到过程且有明确的几何意义。

难点理解直线方程的定义。

通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义。

通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想。

从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。

【教学过程】一、回顾在初中平面几何里，我们定性的研究直线的平行，垂直或直线相交所成角是否相等。

在函数教学中，直线是一次函数的图像。

在本章中，我们进一步用定量的方法来研究直线。

二、讲授新课（一）直线方程定义：对于坐标平面内的一条直线，如果存在一个方程，满足（1）直线上的点的坐标都满足方程；（2）以方程的解为坐标的点都在直线上。

那么我们把方程叫做直线的方程。

从上述定义可见，满足（1）、（2），直线上的点的集合与方程的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系。

l (,)0f x y =l (,)x y (,)0f x y =(,)0f x y =(,)x y l (,)0f x y =l l (,)0f x y =（二）点方向式方程1．概念引入在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等。

我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程。

若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程。

2．概念形成⏹ 直线的点方向式方程的定义在平面上过一已知点，且与某一方向平行的直线是惟一确定的，我们在直角坐标平面中求该直线的方程。

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