2.1.1 指数幂及运算
2.1.1指数与指数幂的运算 指数幂及其运算性质
【例 3】
1
已知 a 2
+
1
a2
=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1; (2)a2+a-2;
解:(1)将
1
a2
+
1
a2
=3
两边平方,
得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49, 所以a2+a-2=47.
3
3
(3) a2 a 2 .
1
1
知识探究
n am
1
m
an 0
没有意义
探究
1:整数指数幂表示的是相同因式的连乘积,那么分数指数幂
m
an
能否理解为
m
n
个 a 相乘(a>0,m,n∈N*,且 n>1),该式有何规定?
m
答案:不能.分数指数幂是根式的另一种写法,规定 a n = n am .
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s
(4)常用的变换方法有: ①把小数化为分数,把根式化为分数指数幂; ②若指数是负数,则对调底数的分子和分母并将负指数化为正指数; ③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体,借助有理式中的乘法公式及因式 分解进行变形. (5)注意灵活运用分式化简的方法和技巧.例如,①把分子、分母分解因式,可 约分的先约分;②利用分式的基本性质化繁分式为简分式,化异分母为同分母; ③把适当的几个分式先化简,各个击破;④适当利用换元法.
题型四
1
易错辨析——忽略 a n有意义出错
11
【例 4】 化简:(1-a)[(a-1)-2(-a )2 ]2 .
课件7：2.1.1 指数与指数幂的运算
符号__±_n__a___表示，其中 n a叫__根__式____，这里的 n 叫做 _根__指__数___，a 叫做_被__开__方__数_．
(2)当 n 为奇数时，n an＝___a___；当 n 为偶数时，n an＝ |__a__|＝a－，aa，≥a0<，0.
2．分数指数幂
(1)
我
们
规
定
正
题型三 分数指数幂的运算 【例 3】 计算下列各式：
思路点拨：利用分数指数幂及运算法则进行根式的化简与 求值．
3．计算下列各式：
(3)14－2＋
3＋ 3－
22－(1.03)0·－ 263.
误区解密 因忽略 n 的奇偶导致n an化简出错
【例 4】 计算3 1＋ 23＋4 1－ 24. 错解：3 1＋ 23＋4 1－ 24＝(1＋ 2)＋(1－ 2)＝2. 错 因 分 析 ： 因 为 4 1－ 24 >0 ， 而 1 － 2 <0 ， 所 以 4 1－ 24≠1－ 2.
要点阐释
1．关于根式(n a)n 与n an的理解
(1)(n a)n＝a(n>1，n∈N*，当 n 为奇数时，a∈R; 当 n 为偶数时，a≥0)．
若 a<0，n 为偶数，则n a没有意义．如( －2)2≠－2.
(2)n an＝a|a，|，nn为为奇偶数数， (n>1，n∈N*)． 当 n 为奇数时，∵an＝an， ∴a 是 an 的 n 次方根，即 a＝n an； 当 n 为偶数时，(|a|)n＝an≥0， ∴|a|是 an 的 n 次方根， 即n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．
3．关于分数指数幂的运算常采用的思路： ①指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的，无括 号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除后加减．负指数 幂化为正指数幂的倒数，底数是负数，先确定符号，底数是小 数，先要化成分数，底数是带分数的，先要化成假分数，若是 根式，应化为分数指数幂，然后要尽可能用幂的形式表示，便 于用指数运算性质． ②关于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母， 有时需要对字母进行讨论． ③除式的运算，用分母的“－1”次幂化为乘法运算.
课件8：2.1.1 指数与指数幂的运算
4 (2)
－32；
4 (3)
π－42；
(4) a－b2.
【答案】 (1)－3 (2) 3 (3) 4－π (4)|a－b|
探究1 当n为奇数时，n an＝a； 当n为偶数时，n an＝|a|＝a－，a，aa≥ <00. ， 不注意n的奇偶性对式子 n an 的影响，是导致错误的主要原 因，所以一定要在理解的基础上，记准、记熟并且能够灵活应 用．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1.1 指数与指数幂的运算(第1课时)
要点1 根式的概念 (1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个 正 数，负数的 奇次方根是一个 负 数；正数的偶次方根是两个绝对值相等且 符号相反 的数，负数的偶次 方根没有意义；0的任何次方根 为0. (2)开偶次方根在去掉根式时一定要先加绝对值．
A．a≥2
B．a≥2且a≠4
C．a≠2
D．a≠4
答案 B
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思考题1 求下列各式的值．
3 (1)
－27；
4 (2)
－92.
【答案】 (1)－3 (2)3
例2 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数a的 取值范围．
【答案】 ∵3a－ ＋a3≥ ≥00， ， ∴aa≤ ≥3－，3， ∴－3≤a≤3.
思考题2 求x，y∈R，下列等式恒成立的是( )
2. 51， 54， 72，3 16中，最简根式的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
3．在① 4 －42n ，② 4 －42n＋1 ，③ 5 a4 ，④ 4 a5 (a∈R)中
各式中有意义的是( )
A．①②答案 B
课件11：2.1.1 指数与指数幂的运算
1
＝x＋yx－－2yxy 2 ，①
又∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x<y，∴x－y＝－6 3.③
将②、③代入①式得
1
1
1
x x
2
1 2
－y ＋y
2
1 2
＝12－－26×39
2
＝－
3 3.
【跟踪训练3】
已知a
1 2
－
＋a
1 2
＝3，求下列各式的值．
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指 数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
3.对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示．
[走出误区]
易错点⊳因忽略幂指数的范围而导致错误
11
[典例] 化简(1－a)[(a－1)－2(－a) 2 ] 2 ＝________.
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 指数幂及运算
[问题提出]
1.有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质是否相同？ 2.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质是否相同？
[基础自学]
1．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
[解]
(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
∴8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
学案7： 2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.1 指数及指数幂的运算学习目标1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．分数指数幂的意义思考：(1)分数指数幂a mn能否理解为m n个a 相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式a m n ＝na m 中，为什么必须规定a >0? 2．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[基础自测]1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.( ) (2)523＝53.( )(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a 2＝a 12.( ) 2．425等于( )A ．25B.516C.415D.543．已知a >0，则a －23等于( ) A.a 3B ．13a 2C.1a 3D ．－3a 24．(m 12)4＋(－1)0＝________.[合 作 探 究·攻 重 难]将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x5x 22；(3)⎝⎛⎭⎪⎫4b－23－23(b >0).[跟踪训练]1．将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a 3·3a 2；(2)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．利用分数指数幂的运算性质化简求解[跟踪训练]2．(1)计算：0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12； (2)化简：3a 92a －3)÷3a －7·3a 13(a >0)．指数幂运算中的条件求值 [探究问题]1.⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2和⎝⎛⎭⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？2．已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a－2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2 C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 62．把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．(－a ) 32B ．－(－a ) 32C ．－a 32D ．a 324．若10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 所以103m －n ＝103m 10n ＝83.]【参考答案】 [自 主 预 习·探 新 知]1．na m 1n am 没有意义思考：[提示] (1)不能．a mn不可以理解为m n 个a 相乘，事实上，它是根式的一种新写法．(2)①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即n a m ＝a mn＝0，无研究价值． ②若a <0，a m n ＝n a m 不一定成立，如(－2)32＝2－23无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.2．(2) a rs (3) a r b r 3．实数[基础自测]1． (1)× (2)× (3)× 2．B【解析】425＝542＝516，故选B. 3．B【解析】a －23＝1a 23＝13a 2.4．m 2＋1【解析】(m 12)4＋(－1)0＝m 2＋1.[合 作 探 究·攻 重 难][跟踪训练]1．例2[跟踪训练][探究问题]1. 提示：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＋4. 2．提示：设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2. 解 (1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝1[当 堂 达 标·固 双 基]1． A【解析】 [a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1，故选A. 2． D【解析】由题意可知a ≥0，故排除A 、B 、C 选项，选D. 3. 234．83 5.。
学案6：2.1.1 指数与指数幂的运算
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
所以原式＝
例2(1) (2)a (3)①a3· ＝a3·a ＝a ＝a .
【解析】(1)a ＝ ＝
(2)(a2· )÷( · )＝(a2·a )÷(a ·a )＝a ÷a ＝a ＝a
(4)2 ÷4 ·3 .
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
当堂检测
[基础巩固]
一、选择题
1．B
【解析】 ＝(－2 ) ＝(－2×2 ) ＝(－2 ) ＝－2 .
2．D
【解析】要使原式有意义，只需 ，
∴a≥0且a≠2.
3．A
【解析】依题意知x<0，所以 ＝－ ＝－ .
4.D
【解析】原式＝ ＝a ＝a .
5．C
【解析】( )4·( )4
＝( ) ·( )
＝(a ) ·(a ) ＝a ·a ＝a4.
3．化简 的结果是()
A．－ B.
C．－ D.
4. (a>0)的值是()
A．1B．a
C．a D．a
5．化简( )4·( )4的结果是()
A．a16B．a8
C．a4D．a2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6. －2＋(1－ )0－ －160.75＝________.
课件12：2.1.1 指数与指数幂的运算
对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个 问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一 长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来 表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 2 的诞 生．小小 2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风 暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号 2， 憾动了学派的基石而被扔进大海.
跟踪训练 1. 计算下列各值： (1)27 的立方根是________； (2)256 的四次算术方根是________； (3)32 的五次方根是________．
[答案] (1)3 (2)4 (3)2 [解析] (1)∵33＝27，∴27的立方根是3. (2)∵(±4)4＝256，∴256的四次算术方根为4. (3)∵25＝32，∴32的五次方根为2.
∴ x2－2x＋1－ x2＋6x＋9
＝－－24x－2
－3<x<1 1≤x<3 .
命题方向4.根式的运算技巧
例 4.计算 5－2 6＋ 5＋2 6.
[分析] 注意 a＋2 b的配方或整体考虑运用方程思想． [解析] 解法一：原式＝ 2－ 32＋ 2＋ 32＝ 3－ 2＋ 3＋ 2＝2 3. 解法二：设 x＝ 5－2 6＋ 5＋2 6，则 x>0. 平方得 x2＝(5－2 6)＋(5＋2 6)＋ 2 5＋2 65－2 6 即 x2＝12，∵x>0，∴x＝2 3.∴原式＝2 3.
新知导学
1.n次方根
一般地，如果 xn＝a，那么__x__叫做 a 的_n_次__方__根__， 定义＞0 奇数 a＜0 x＜0
x 仅有一个值，记为n a
个数 n 是 a＞0 x 有两个值，且互为相反数，记为±n a
2.1.1指数与指数运算(分式)
回顾：运算性质
am an amn(m,n Z) (a m )n a mn (m, n Z ) (ab)n an bn(n Z )
推广：正数指数幂推广到有理数指数幂。原有整 数指数幂的运算性质对有理数指数幂仍然适用。
2 1 11 1 5
2 (6) (3)(a3 a2 a6 )(b2 b3 b6 )
2
(m
1 4
3
n8
)8
(m
1 4
)8
3
(n 8
)8
211 115
2 (6) (3) a3 2 6b2 3 6
4ab0 方法：将系数和同底
4a
(23)3 2 3
22 4
1
25 2
(52
1
)2Βιβλιοθήκη 2*(1 )5 2 51
1
5
( 1 )5 (21)5 25 32
2
3
3
4
(16) (2)
4( )
4 ( 2)3 ( 3)3 27
81 3
3
2
8
P82A1
例3、用分数指数幂的形式表示下列根式：
例： 当a 0, n N*, n 1时，n an a，
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
12
(1)3 a12 _3_(a_4_)3 __a_4 _ _a__3_
被开方数的 指数/ 根指数
2 3
a2
3
2
(a 3 )3
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
2.1.1指数与指数幂的运算(人教版)说课讲解
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
方根只有一个，记为 x n ．a
得出结论
22 4 32 9
24 16
2 4 3 9
24 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n 为偶数时，正数的 n次方根有两
个，它们互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a
表示；负的n次方根用符号 n a 表示，正数）
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25 - 125 ) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
一般地，无理数指数幂 a ( >0,是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
(ar)Sars(a0,r,s Q )
(a b )r a rb r(a 0 ,b 0 ,r Q )
例2、求值
2
83 ;
1
2 52 ;
1 5; 1 6 4 3
2 8 1
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n an a(a0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
anaaaa,a01 (a0) , 00无 意 义
高中数学必修一：2.1.1指数与指数幂的运算
知识探究（二）：方根性质和根式概念
问题1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次
方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立 方根分别是什么数？怎样表示？
问题2:设a为实常数，则关于x的方程x3=a，
x5=a分别有解吗？有几个解？
问题3:一般地，当n为奇数时，实数a的n次
方根存在吗？有几个？
问题4:设a为实常数，则关于x的方程x4=a，
若a=0，则a的n次方根为0； 若a<0，则a的n次方根不存在.
让我们认识一下这个式子:
a 根指数
n
根式
被开方数
探究:
表示nana的n n次方根,等式一定成立吗n ?an a 如果不一定成立,那么等n 于an什么?
a, (当n为奇数)
n
an
|
a
|
a, a a,
a
五、知识总结
整数指数幂
根式
两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)aras ars (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r arbr (a 0,b 0, r R)
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规 律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时
间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内
碳14含量Ｐ与死亡年数t之间的关系：
P
(
1
)
t 5730
.
（*）
当生物死亡了52730 ，2 5730 ，3 5730 ，...年后，
它体内碳14的含量P分别是 1 ，(1 )2 ，(1 )3，... 22 2
2.1.1指数与指数幂的运算(二)(用)
1. 整数指数幂的运算性质：
(m, n Z ) n n n (ab) a b (n Z ).
(a ) a
m n mn
a a a
m n
m n
(m, n Z ),
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时， n
当n为偶数时， n
a ( a 0) a | a | a(a 0). ② 当n为任意正整数时，( n a ) n a .
a a
n
m n
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
规定：
(1)
a
m n
1 a
m n
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
(2) 0的正分数指数幂等于0；
(3) 0的负分数指数幂无意义．
阅读P52页 无理数指数幂
有理指数幂的运算性质:
(a ) a
m n
n n
a a a
n
a a;
n
问题2 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的 规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这 个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物 体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
1 P( ) 2
提问：
t 5730
.
100000 5730
1 ( ) 2
6000 5730
m n
m n
mn
n
(ab) a b
R (m, n Q), Z R ((m,,n Q), m, n Z )
nZ R (n Q).
例1 求值：
(1) 8 ,
2 3
2 3
(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
课件14：2.1.1指数与指数幂的运算
学习目标
1．理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行
简单的求n次方根的运算．(重点、难点)
2．理解整数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与
分数指数幂之间的相互转化．(重点、易混点)
3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．(重点)
4．通过具体实例了解实数指数幂的意义．
基础知识
3．0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂没有
意义．
练一练2
把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式：
5
3
(1) 3 ＝________；(2) 2 ＝________；(3)
3
1
2
3
－
(4)32＝________；(5)m 5＝________.
5
23
＝________；
练一练2
基础知识
知识点1
根式
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根的定义
xn＝a
如果 _______，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且
n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
(3)根式
2．根式的性质(n＞1，且n∈N*)
(1)n为奇数时， ＝ a.
(2)n为偶数时，
(3)
a
______(
≥ 0)
2
(4) x2－2x＋1－ x2＋6x＋9(－3<x<3)．
精彩点拨：根指数是奇数的，直接开出结果，
根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，
如不能唯一确定，可分类表示．
5
解：(1) (－2)5＝－2.
4 3－π π－3
2.1.1指数与指数幂的运算
C.
4
a
4
4
1 32
b
4
a b D. 10 ( a b ) 10 a b
1 16
9、化简 (1 2
)(1 2
)(1 2 )(1 2 )(1 2 )的结果 ( A)
1 8
1 4
1 2
1 A. (1 2 2
C.1 2
1 32
1 32
)
一、根式
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根. 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做 被开方数
a
归纳:
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
探究
n
a a
n
一定成立吗？
(a 0) a (a 0)
n n n a a 1、当 是奇数时， a n n 2、当 n 是偶数时， a | a |
探究: (
n
a)
n
a
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
(1) (8)
3 4
3 4
(2) (10)
2 2
(3) (3 )
1、已知 x
3
1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值
2、计算下列各式
(1)
a b
1 2
1 2 1 2
a b
2
1 2
a b
1 2
课件10：2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式与指数幂
[问题提出]
1.根式的概念是什么？根式有什么性质？ 2.分数指数幂是如何定义的？它与根式如何进行转化？
[基础自学]
1．根式的定义
(1)a的n次方根的定义 如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
例1 求下列各式的值：
3 (1)
－53；(2)
－102；
4 (3)
3－π4；(4)
1
＋
1
.
3 2＋ 53 3 2－ 53
[典例示法]
要分母有理化？
根式中n的奇偶对结果有怎样的影响？a的符号对结果有怎样的影响？题目(4)的结果需
提示：当n是奇数时，a的n次方根＝ n a .当n是偶数时，a的n次方根＝±n a ，当a≥0时，a的n次方根 n a ≥0，当a<0时，a只能开奇数方根且n a<0.题目(4)的化简结果必须分母有理化．
2 6
＝|y|
1 3
＝－y
1 3
，D不正确．
[规律小结]
n 1.
an与(n
a)n
两式子的含义
n (1)
an是实数
an
的
n
次方根，是一个恒有意义的式子，不受
n
的奇偶限制，a∈R，但此式的值受
n
的
奇偶限制：当 n 为大于 1 的奇数时，n an＝a；当 n 为大于 1 的偶数时，n an＝|a|.
(2)(n a)n 是实数n a的 n 次幂，当 n 为大于 1 的奇数时，(n a)n＝a，a∈R；当 n 为大于 1 的偶数时，(n a)n
2.1.1指数与指数幂的运算
3 1 3 16 4 例1、求值： 8 、 100 、 ( ) 、 ( 81) 4
2 3
1 2
例2、用分数指数幂表示下列各式:（式中a>0）
(1)a a
2
(2)a a
3 3
2
(3) a a
例3：计算下列各式（式中字母都是正数）
(1) (2a b )(6a b ) (3a b )
(1)当n为奇数时,记作 x
n
a
( a) a
n n
n
a a
n
n
(2)当n为偶数时，记作 x n a , (a 0)
( a ) a, (a 0)
n n
负数没有偶次方根； n
a, a 0 a | a | a, a 0
n
0 0.
分数指数幂
我们规定:
2
5 5 3、 (7) = - 7
4、4 (3 ) 4 = - 3
5、若a<b，则 ( a b) 2 = b - a
结论：
1、当n为奇数时， n
n 2、当n为偶数时，
a =a
n
a
n
= |a| =
a， a 0 - a， a < 0
复 习
1、根式：一般地，如果 xn=a，那么 x 叫 做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n N*
5 5
5 6
5 12
5 4
a a
6
5
a a
5.计算： (0.0081 )
1 4
7 0 1 3 0.25 [3 ( ) ] [81 (3 ) ] 8 8
1 3
课件13：2.1.1 指数与指数幂的运算
命题方向1.根式与分数指数幂的互化 例 1.用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：
(1)3 a2· a3；(2) a a a； (3)(3 a)2· ab3；(4) 1 .
4 a3＋b32
[思路分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式
化为分数指数幂的形式．
(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
1
[错因分析] 忽略了题中有(－a)2 ，即相当于告知－a≥0，
1
故 a≤0，这样，[(a－1)－2]2 ≠(a－1)－1.实际上在解答本类题时
除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的
条件．
1
[正解] 由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
7
a－3
13 +3
＝3 a3÷
a2＝1.
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1
＝(a－1)4
＝4
a－1.
当堂检测
3
1．若(1－2x)－4 有意义，则 x 的取值范围是 ( )
A．x∈R
B．x∈R 且 x≠12
C．x>12
D．x<12
[答案] [解析]
D
3
(1－2x)－4
＝ 4
1
，∴1－2x>0，得
1 x<2.
1－2x3
2
5
2．计算(2a－3b－3 )·(－3a－1b)÷(4a－4b－3 )得 ( )
正是由于牛顿的这一发现，才使得正整数指数幂推广到了任意
实数指数幂．本节我们就一起来探究一下指数幂的扩充过程.
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第2课时指数幂及运算
1．分数指数幂的意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m
n＝
n
a m中，为什么必须规定a>0?
[提示]①若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即n
a m＝a
m
n＝0，无研究价
值．
②若a<0，a m
n＝
n
a m不一定成立，如(－2)
3
2＝
2
（－2）3无意义，故为了避免
上述情况规定了a>0.
2．有理数指数幂的运算性质
(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．下列运算结果中，正确的是()
A ．
a 2
a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2 C ．(a －1)0＝1
D ．(－a 2)3＝a 6
A [a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1，故选A.]
2．425
等于( )
4．(m 1
2)4＋(－1)0＝________． m 2＋1 [(m 1
2)4＋(－1)0＝m 2＋1.]
根式与分数指数幂的互化
(1)a a(a>0)；(2)
1
3
x（
5
x2）2
；(3)
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
4
b
－
2
3
－
2
3(b>0)．[解](1)原式＝a·a
1
2
＝a
3
2
)＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪⎫
a
3
2
1
2＝a
3
4.
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，
被开方数(式)的指数分数指数的分
子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
1.将下列根式与分数指数幂进行互化： (1)a 3·3
a 2；(2)a －4
b 23
ab 2(a >0，b >0)．
[解]
利用分数指数幂的运算性质化简求解
(1)0.027
1
3－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
6
1
4
1
2＋256
3
4＋(22)
2
3－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2
3
a÷4
6
ab×3b3.
[解]
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
2．(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫23
50＋2－2
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫214－1
2－(0.01)0.5；
(2)化简：
3
a 7
2a －3÷
3
a －8·3
a 15÷
3a －3·a －1(a >0)．
[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
110012＝1＋16－110＝1615.
指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
1．⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？ 提示：⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.
2．已知a ＋
1a
的值，如何求a ＋1
a 的值？反之呢？ 提示：设a ＋
1a
＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1
a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋
1
a
＝n ＋2. 【例3】 已知＝4，求下列各式的值：
(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2. 思路点拨：＝4――――→两边平方得a ＋a －1
的值――――→两边平方
得a 2＋a －2的值 [解] (1)将
＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.
(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.
1．在本例条件不变的条件下，求a －a －1的值． [解] 令a －a －1＝t ，则两边平方得a 2＋a －2＝t 2＋2， ∴t 2＋2＝194，即t 2＝192，∴t ＝±83，即a －a －1＝±8 3.
解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．
2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．
1.思考辨析
(1)0的任何指数幂都等于0. ()
(2)52
3＝53. ()
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4
a2＝a
1
2. ()
(4)a m
n可以理解为m
n个a. ()
[-=答案=-] (1)× (2)×
(3)× (4)× 2．把根式
a a 化成分数指数幂是( ) A ．(－a )3
2 B ．－(－a ) 3
2 C ．－a 3
2
D ．a 32
D [由题意可知a ≥0，故排除A 、B 、C 选项，选D.] 3．已知x 12＋x －1
2
＝5，则x 2＋1x 的值为( ) A ．5 B ．23 C ．25
D ．27
B [∵x 12＋x －1
2＝5，∴x ＋x －1
＝23，即x 2＋1x ＝23.] 4．求下列各式的值：
[解]。