高一数学期末专题复习——集合及其运算

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高一数学集合知识点总结5篇

高一数学集合知识点总结5篇第1篇示例：高一数学集合知识点总结数学中的集合理论是一门基础重要的数学分支，它在高中数学教学中占有重要位置。

在我们高一的数学学习中，集合知识点也是必须掌握的内容之一。

下面就让我们来总结一下高一数学中的集合知识点吧。

一、集合的概念集合是由若干个元素构成的整体。

一般用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素。

集合中的元素是无序排列的，并且一个集合中的元素都是不同的。

二、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合中的所有元素列出来，用大括号{}括起来。

例如：A={1,2,3,4,5}2. 描述法：通过一个条件来描述集合中的元素的特点。

例如：B={x|x是正整数，且x<6}三、集合之间的关系1. 交集：集合A和集合B的交集，记作A∩B，表示A和B共同拥有的元素组成的集合。

2. 并集：集合A和集合B的并集，记作A∪B，表示A和B所有的元素组成的集合。

3. 差集：集合A减去集合B，记作A-B，表示只属于A而不属于B的元素组成的集合。

4. 补集：集合A对于全集U的补集，记作A’或者A^c，表示不属于A的元素组成的集合。

四、集合运算规律1. 交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A2. 结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3. 分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)4. 吸收律：A∩(A∪B)=A，A∪(A∩B)=A5. 其他运算规律：A∪(A’∩B)=A∪B，A∩(A’∪B)=A∩B五、集合的应用1. 数学中的集合是研究对象的统一表达形式，常用于描述集合之间的关系。

2. 集合论在概率论、代数学、数论等多个数学分支中都有广泛的应用。

3. 集合的知识也经常会在真实生活中的问题中得到应用，比如排列组合问题、概率统计问题等。

通过对高一数学集合知识点的总结，我们对集合的概念、表示方法、集合之间的关系、集合运算规律以及集合的应用有了更清晰的认识。

高一数学集合的基本运算知识点

高一数学集合的基本运算知识点当一个小小的心念变成成为行为时，便能成了习惯;从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。

成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。

小编高一频道为莘莘学子整理了《高一年级数学《集合》知识点总结》，希望对你有所帮助!高一数学集合的基本运算知识点一.知识归纳：1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB);2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且)3)交集：A∩B={∈A且x∈B}4)并集：A∪B={∈A或x∈B}5)补集：CUA={A但x∈U}注意：①?A，若A≠?，则?A;②若，，则;③若且，则A=B(等集)3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

4.有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

高一数学集合的基本运算

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末考试差不多，还不留作业……”慕容凌娢趴在桌子上自顾自的碎碎念。“把背过的古文给默上了？”“不是，但是我把在学校里被过的古诗文赏析给挪用了一大堆。其实八股文跟我们老师要求的五段式作文也没多大差别……只要写改卷人喜欢的内容，段数不错，语言好，字好，也就能得分了。”“那真的要好好感谢你们的老师了，别看只让默写考试范围内的古诗文和赏析，但到了这个年代，比十年寒窗都有用。”茉莉还保留着爱晒太阳的习惯，懒洋洋的坐在窗台的，看着楼下的那匹不明真相的吃草黑马。真不知道慕容凌娢为什么要叫它‘离漠’，难道是单纯的懒得想名字吗？“你……你怎么对我们老师这么了解！”慕容凌娢猛地抬头。“难道你也会算卦？”“呵。”茉莉轻只是笑一声，“是谁当年整天一回家就碎碎念自己语文老师从不讲课文只默写古诗词，大多数时间只检查作业却不讲题，背熟的好词好句不让用，不是五段式作文就零分，作文课上列表格，语文课上背赏析……”“别说啦……好久之前的事了……”慕容凌娢尴尬癌都快犯了，没想到那时候的吐槽茉莉居然还记得。“你说我们语文老师是不是从古代穿越过去的？”慕容凌娢话风一转，“不然她的教学方法在21世纪把我们班从第三带到了倒数第一再也没翻身，结果到了这个年代，好用到爆。”“说不定。”“要是我在这里碰到她，一定好好开导她……”慕容凌娢想起了一些不好的回忆……那些年，早读和其他时间读书背书时都是站着的。英语老师的理由是坐着不利于发音，声音小。语文老师的理由更扯，坐着读书容易缺氧……善良的化学老师是新来的，就像童话故事里尊老爱幼的小白兔，对经验丰富的老教师言听计从，自然不敢澄清氧气比空气重的事实。结果有一次慕容凌娢站起来的慢了点，被语文老师敲了一教鞭。校服质量好，不算疼，但是莫名的尴尬。教鞭质量也太好了吧！被它敲过的一届届学生都咀咒它赶快断掉，可它实在太给国产货长脸了……不管怎么说，她和它送走了无数抗击打能力爆表的栋梁之才……她长的吓人，它长的吓人。而坐在第二排的慕容凌娢只被敲过一次，就连考过年级第一的秦萌曦都因走神被敲过两次……想到这儿，慕容凌娢觉得也没什么尴尬的了……之后的殿试在皇宫中举行，慕容凌娢属于二甲，所以是第二波被召见的。按照自古的套路，皇帝喜欢出一些实践性题。慕容凌娢觉得根据她在历史课上背过的格式，应该没有问题。殿试结束后，下午成绩就公布出来了。慕容凌娢好不容易挤到了布告的近处，快速浏览着许多陌生的名字，认真的寻找自己的姓名。由于是倒着往前数的，她看了一会儿才找到自己的名字。正着数了一下，第五名，安于现状的慕容凌娢十分满意。临走之前，她又

集合数学知识点高一公式

集合数学知识点高一公式高一数学公式集合一、集合的基本概念在数学中，集合是指由若干个元素组成的事物的总体。

集合中的元素可以是具体的数、点、线，也可以是抽象的概念、命题等。

以下是一些高一数学常见的集合相关的基本概念和符号：1.1 集合的表示方式一般来说，集合可以通过列举元素、描述特性或使用图形等方式进行表示。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示集合A中包含元素1, 2, 3, 4。

1.2 集合的关系运算集合之间常见的关系运算有并集、交集、差集和补集。

假设集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则它们的关系运算如下所示：- 并集：A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}- 交集：A∩B={3, 4}- 差集：A-B={1, 2}- 补集：A'={(所有不属于A的元素)}1.3 集合的基数与空集以集合A为例，A中元素的个数称为集合A的基数，用符号|A|表示。

若集合A中没有任何元素，则称集合A为空集，用符号Ø表示。

例如，集合A={1, 2, 3}的基数为3，而空集的基数为0。

二、集合的运算法则在集合论中，有一些常见的运算法则，包括交换律、结合律、分配律等。

2.1 交换律对于并集和交集运算来说，交换律成立。

也就是说，对于任意的集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

2.2 结合律对于并集和交集运算来说，结合律成立。

也就是说，对于任意的集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

2.3 分配律对于并集和交集运算来说，分配律成立。

也就是说，对于任意的集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

三、常用的集合相关公式除了集合的基本概念和运算法则外，高一数学中还有一些常用的集合相关公式，包括排列组合公式、二项式定理等。

3.1 排列公式排列是从n个不同的元素中取出m个元素按照一定的顺序排列的方法数。

高一数学总复习--《集合》

高一数学总复习--《集合》数学的内参高中数学总复习－－《集合》一、内容提要1、集合的概念：由一些事物组成的整体。

可用大写字母A、B、C表示。

1）元素：集合中的每一个事物。

可记作a、b、c。

2）集合与元素的关系。

aA或bA。

3）常用集合N、N、Z、Q、R、R、R、、U4）表示方法：列举法、描述法。

2、集合与集合的关系1）子集：如果集合B的每一个元素都是A的元素，那么B叫做A的一个子集，记作BA(或AB)，（A的子集包括、A本身）。

2）真子集：B是A的子集且A中至少有一个元素不属于B，则称B是A的一个真子集记作BA。

3）相等：A、B的元素完全一样，称A=B。

若AB 且BAAB。

3、集合的运算1）交集：AB{某|某A且某B}2）并集：AB{某|某A或某B}3）补集；CUA{某|某U且某A}4、充要条件：pq称p是q的充分条件,q是p的必要条件.pq称p、q 的互为充要条件。

二、例题讲解：某例1、写出集合{a,b,c}的所有子集和真子集。

例2、已知A{某|1某5}，B{某|3某8}，求CUA、CUB、AB、AB。

例3、用符号填空{a}{b}NCRQ{a,b}{}三、练习：（一）、选择题１、已知集合Ａ＝｛１，３，７｝，Ｂ＝｛３，７，８｝则ＡＢ＝（）Ａ）、｛１，３，７，８｝Ｂ）、｛３，７｝Ｃ）、｛１，３，３，７，７，８｝Ｄ）、21数学的内参２、设Ａ＝｛１，２，３，４，５｝，Ｂ＝｛１，３，４｝，Ｃ＝｛２，４，５｝，则CABCAC＝Ａ）、｛１，２，３，５｝Ｂ）、｛Ｕ｝Ｃ）、ＡＤ）、３、已知Ｍ＝｛某|1某3｝，Ｎ＝｛某|1某2｝，则ＭＮ＝（）Ａ）、｛某|1某3｝Ｂ）、｛某|1某2｝Ｃ）、｛某|1某2｝Ｄ）、（二）、填空题１、用符号表示：３｛１，２，３，４｝｛４｝｛１，２，３，４｝１｛１｝２、写出“大于－３且小于等于３的正整数集”的列举法描述法３、｛１，３，７｝｛２，３，｝＝｛１，２，３，８，｝４、｛１，４，５｝｛１，３，｝＝｛５，｝５、Ａ＝｛某|3某0｝，Ｂ＝｛某|某10｝，则ＡＢ＝，ＡＢ＝，CRA＝7、写出{2,6,9}的所有子集和真子集8.集合A{n|nm1Z}，B{m|Z}，则AB__________2259.集合A{某|4某2}，B{某|1某3}，C{某|某0，或某2那么ABC_______________,ABC_____________;10.已知某={某|某2+p某+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且某A,某B某，试求p、q；11.集合A={某|某2+p某-2=0},B={某|某2-某+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q；12.A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB={3，7}，求B数学的内参集合练习题一．单项选择(1)设集合M=某|某2,又a=.那幺()(A)aM(B)aM(C)aM(D)aM(2)设全集Ua,b,c,d,Ma,c,d,Nb,d,Pb,则()(A)PMN(B)PMN(C)PM(CuN)(D)P(CUM)N所组成的集合所含元素的个数为（）（3）对于任意某,y∈R，且某y≠0，则某y某y某y某y（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个(4)全集Ｕ＝Ｒ，Ａ＝{某||某|1}，Ｂ＝{某|某-2某-3>0}，则（ＣＵＡ）Ｕ（ＣＵＢ）＝（）2(A){某|某<１或某３}(B)｛某|-1某3｝(C){某|-1<某<1}(D){某|-1<某1}(5)集合a,b,c的子集总共有()(A)7个(B)8个(C)6个(D)5个(6)设a为给定的实数，则集合某|某3某a20,某R的子集的个数是（）(A)1(B)2(C)4(D)不确定(7)集合P,Q满足PQa,b.试求集合P,Q.问此题的解答共有()(A)9种;(B)4种;(C)7种;(D)16种(8)若A={1,3,某},B={某2,1},且A∪B＝{1,3,某}.则这样的某的不同值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个22，则p应满足的条件是（）(9)已知M＝{某|某≤1}，N＝{某|某>p}，要使M∩N≠（A）p>1（B）p≥1（C）p<1（D）p≤1(10)已知集合A是全集S的任一子集，下列关系中正确的是（）(A)φCSA(B)CSA(C)（A∩CSA）=φ(D)（A∪CSA）(11)若有非空集合A、B且B，全集U＝R，下列集合中为空集的是（）（A）CUA∩B（B）A∩CUB（C）CU(AB)（D）CU(AB)y3M某,y|1某2，（12）设全集U某,y|某,yR，集合T某,y|y3某2，那么(CUM)T等于（）数学的内参（A）Φ(B)2,3(C)2,3(D)某,y|y3某2二．填空题（13）已知集合A={y|y=2某＋1,某＞0}，B={y|y=－某2＋9,某∈R},则A∩B=________.（14）设集合A＝{某|某=6k,k∈Z}，B＝{某|某=3k,k∈Z}，两个集合的关系可表示为AB.（15）设集合P某|某2,某R，集合Q某|某某20,某N，则集合PQ等于2（16）设U＝R，集合A＝{某|某＋p某＋12=0,某∈N}，集合B＝{某|某－5某＋q=0,某∈N}，且22CUAB={2},CUBA={4}，则p＋q的值等于.（17）设A={(某,y)|y=1-3某},B={(某,y)|y=(1-2k2)某+5},若A∩B=φ,则k的取值是____________.（18）用集合表示图中阴影部分____________.三．解答题（19）写出所有适合{a,b}A的集合A.（20）某班有学生55人，其中有音乐爱好者34人，有体育爱好者43人，还有4人既不爱好音乐又不爱好体育，该班既爱好音乐又爱好体育的有多少人？（21）若a<0<b<｜a｜,A={某｜a≤某≤b},B={某｜－b≤某≤－a},试求A∪B,A∩B.（22）P=｛a,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a+1｝,P∩Q=｛-3｝,求a．22（23）已知A＝{某|某－a某＋a－19=0},B={某|某－5某＋8=2},C={某|某＋2某－8=0},若2222∩B，且A∩C，求a的值.＝（24）设集合Ａ＝{某|某+(p+2)某+1=0}，且A{某|某>0}=ф，求实数p的取值范围．2数学的内参函数的解析式的求法求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.一．换元法题1．已知f(3某+1)=4某+3,求f(某)的解析式.1某练习1．若f(),求f(某).某1某二．配变量法11题2．已知f(某)某22,求f(某)的解析式.某某练习2．若f(某1)某2某,求f(某).三．待定系数法题3．设f(某)是一元二次函数,g(某)2某f(某),且g(某1)g(某)2某1某2,求f(某)与g(某).练习3．设二次函数f(某)满足f(某2)f(某2),且图象在y轴上截距为1,在某轴上截得的线段长为22,求f(某)的表达式.数学的内参四．解方程组法题4．设函数f(某)是定义(－∞,0)∪(0,+∞)在上的函数,且满足关系式3f(某)2f()4某,某求f(某)的解析式.练习4．若f(某)f(五．特殊值代入法题5．若f(某y)f(某)f(y),且f(1)2，求值练习5．设f(某)是定义在N上的函数,且f(1)2,f(某1)六．利用给定的特性求解析式.题6．设f(某)是偶函数,当某＞0时,f(某)e某2e某,求当某＜0时，f(某)的表达式.练习6．对某∈R,f(某)满足f(某)f(某1),且当某∈[－1,0]时,f(某)某22某求当某∈[9,10]时f(某)的表达式.某1)1某,求f(某).某f(2)f(3)f(4)f(2005).f(1)f(2)f(3)f(2004)f(某)1，求f(某)的解析式.2数学的内参七．归纳递推法某1题7．设f(某),记fn(某)ff[f(某)],求f2004(某).某1八．相关点法题8．已知函数f(某)2某1,当点P(某,y)在y=f(某)的图象上运动时,点Q(图象上,求函数g(某).九．构造函数法题9．若f(某)表示某的n次多项式,且当k=0,1,2,,n时,f(k)k，求f(某).k1y某,)在y=g(某)的23课堂小结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解3---集合的基本运算

高一数学复习考点知识与题型专题讲解1.3集合的基本运算【考点梳理】考点一：并集考点二：交集考点三：全集与补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的自然语言集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言【题型归纳】【题型归纳】题型一：根据交集求集合或者参数问题1．集合{2,2,4,6}A =-，{}2120B x x x =+-<，则A B =（）A ．}{2,2,4-B ．{2}-C ．{2,4}D ．{2,2}-2．已知集合{}1A x x =≤，{}0B x x a =-≤，且A B ⋂≠∅，那么实数a 的取值范围是（）． A ．1a ≤-B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≥ 3．已知集合302x A x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}|32,B x x x =-≤≤∈Z ，则A B 中元素的个数为（） A ．4B ．5C ．6D ．无数个题型二：根据并集求集合或者参数问题4．集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4,16A B ⋃=，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．若集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}516B x x =≤≤，则能使A B B ⋃=成立的所有a 组成的集合为（）A ．{}27a a ≤≤B ．{}67a a ≤≤C ．{}7a a ≤D ．∅6．已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，则使A B A ⋃=的实数m 的取值范围可是（）A ．{}36m m -≤≤B ．{}4m m ≤C ．{}24m m <<D ．{}6m m <题型三：根据补集运算求集合或者参数问题7．已知全集{}22,4,U a =，集合{}4,3A a =+，{}1U A =ð，则a 的所有可能值形成的集合为（）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅ 8．设集合,集合,若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．已知全集{}1,3,5,7,9U =，集合{}5,7A =，，则a 的值为A ．3B ．3-C ．±3D ．9±题型四：集合的交并补集合或参数问题10．若全集{}12345678U =，，，，，，，，集合{}2356A =，，，，集合{}13467B =，，，，，则集合()U A C B ⋂等于（）A ．{}23568，，，，B ．{}25，C ．{}36，D ．{}256，， 11．设集合U =R ，{}13A x x =<<，{}2B x x =<，则图中阴影部分表示的集合（）A ．{}1x x ≥B ．{}3x x ≤C ．{}12x x <≤D ．{}23x x ≤<12．集合()11,13M x y y x x ⎧⎫==-⎨⎬--⎩⎭，()(){}2,2,N x y y a x a R ==-∈，若M N ⋂=∅，则实数a的取值范围是（）A ．[)0,2B ．[)0,4C ．[)0,8D ．()0,16【双基达标】一、单选题13．已知集合,A B 满足A B A =，那么下列各式中一定成立的是（） A ．A B B ．B A C ．A B B ⋃=D ．A B A ⋃=14．设M ，N 是非空集合，且M N U ⊆⊆（U 为全集），则下列集合表示空集的是（） A ．()UMN ðB ．()UM N ðIC ．()()U UM N 痧D ．M N ⋂15．已知集合2{|43}A y y x x x R ==-+∈，，2{|22}B y y x x x R ==--+∈，则A B ⋂等于（）A ．ΦB ．RC ．{}13-，D ．[]13，-16．已知集合{}2340A x x x =+-=，集合(){}2120B x x a x a =++--=，且A B A ⋃=，则实数a 的取值集合为（）A ．{}3,2-B ．{}3,0,2-C ．{}3a a ≥-D ．{}32a a a <-=或17．已知集合{3A x x =<或}7x ≥，{}B x x a =<，若()U A B ≠∅ð，则a 的取值范围为（） A ．3a >B ．3a ≥C ．7a ≥D ．7a >18．设数集3|4M x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，1|3N x n x n ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，且M ，N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集．如果把b a -叫做{|}x a x b ≤≤的长度，那么集合M N ⋂的长度的最小值是（） A ．13B ．1C ．112D ．3419．已知集合()13A =，，集合{|21}.B x m x m =<<-若A B =∅，则实数m 的取值范围是（）A ．3123m <…B ．0m …C ．32m …D ．3123m << 20．已知集合{}|0A x x a =-=，{}|10B x ax =-=，且A B B =，则实数a 等于（） A ．1B ．1-或1C ．1或0D ．1或1-或021．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（） A ．20％B ．10％C ．15％D ．12％22．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩(∁I S )D ．(M ∩P )∪(∁I S )【高分突破】一：单选题23．设全集{|}2U x x ∈≤Z ＝，{|10,}A x x x U =+≤∈，{}2,0,2B =-，则()U A B =ð（） A ．{}1B ．{}0,2C ．{2,0,1,2}-D ．(1,2]{2}-⋃-24．已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（） A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈ C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅25．设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（） A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<26．集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，那么A B =（） A ．{}23x x -<<B ．{}12x x -≤<C ．{}21x x -<<D ．{}23x x << 27．已知集合{}|5S x N x =∈≤，{}22|T x R xa =∈=，且{}1S T ⋂=，则S T ⋃=（） A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3} 28．已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T ?（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z29．设()x x P f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩，，，其中P Q ，为实数集R 的两个非空子集，定义：()(){}f P y y f x x P ==∈，，()(){}f Q y y f x x Q ==∈，．给出以下四个判断：①若,P Q φ⋂=则()()f P f Q φ⋂=；②若,P Q φ⋂=则()()f P f Q φ⋂≠； ③若,P Q R ⋃=则()()f P f Q R ⋃=；④若,P Q R ⋃≠()()f P f Q R ⋃≠．其中正确的判断个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多选题30．设集合{|11A x a x a =-<<+，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，则下列选项中，满足A B =∅的实数a 的取值范围可以是（）A ．{|06}a a 剟B ．{|2a a …或4}a …C ．{|0}a a …D ．{|8}a a … 31．已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =ð，则下列关系一定正确的是（）A ．AB =∅B ．A B B =C ．A B U ⋃=D ．()U B A A =ð32．给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a b M +?，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（） A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合 B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合 33．图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A ．()ABC ⋂⋃ B ．()A B CC ．()U A B C ⋂⋂ðD ．()()A B A C ⋂⋃⋂34．设集合{|11A x a x a =-<<+，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，则下列选项中，满足A B ⋂≠∅的实数a 的取值范围可以是（）A ．{|06}a a 剟B ．{|2a a …或4}a …C ．{|0}a a …D ．{|8}a a …35．（多选）已知集合{}{}|27,|121A x x B x m x m =-≤≤=+<<-，则使A B A ⋃=的实数m 的取值范围可以是（） A ．{}|34m m -≤≤B ．{}|2m m > C ．{}|24m m <<D ．{}|4m m ≤36．已知U 为全集，则下列说法正确的是（）A ．若AB =∅，则()()U U A B U =痧B ．若A B =∅，则A =∅或B =∅C ．若A B =∅，则()()U U A B U =痧D ．若A B =∅，则A B ==∅三、填空题37．若集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，P M N =⋂，则集合P 的子集个数为______． 38．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.39．已知集合{|01}A x x =<<，集合{|11}B x x =-<<，集合{}0C x x m =+>∣，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是_____________．40．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋2x ＋b }，且(－1，2)∈A ∩B ，则a＋b ＝________．41．已知方程x 2＋mx ＋2＝0与x 2＋x ＋n ＝0的解集分别为A 和B ，且A ∩B ＝{1}，则m ＋n ＝________．42．设2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，其中x ∈R ，如果A B B =，则实数a 的取值范围__.四、解答题43．已知集合{}2|20A x x x =--=，{}2|230B x x ax a =++-=．（1）若0a =，求A B ；（2）若A B B =，求a 的取值集合． 44．若集合{|A x =240}xx ->，2{|3(1)(21)0}B x x mx m m =-++-<．（1）若A B B ≠I ，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围. 45．在①{}=1A B ⋂，②A B =，③BA 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数a 的值；若问题中的集合不存在，说明理由．问题：是否存在集合,A B ，满足集合{}2|320A x x x =-+=，集合{}22|6+60B x x ax a a =+-=，使得__________成立？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．) 46．已知集合{}1A x x =<，集合{2B x x =<-或}3x >．（1）求A B ，()RAB ð；（2）若{}12C x m x m =-+<<，且C ≠∅，()RC A B ⊆ð，求实数m 的取值范围．47．回答下列问题：（1）已知{}{}25,12|,|1A x x B x m x m A B B =-≤≤=+≤≤-⋂=，求m 的取值范围；（2）设U =R ，集合{}(){}223|20,1|0A x x x B x x m x m =++==+++=，若()U A B φ⋂=ð，求m的值.48．已知全集U =R ，集合{}{}27205A x x B x x x =<<=--≤≤-，（1）求()(),U U A B A B ⋂⋃痧；（2）若集合{}()2,U C x a x a C B R =≤≤-⋃=ð，求实数a 的取值范围．【答案详解】1．D【详解】由题得{}(4)(3)0(4,3)B x x x =+-<=-，所以A B ={2,2}-.故选：D2．C【详解】解：由1x ≤，得11x -≤≤，所以{}11A x x =-≤≤，由0x a -≤，得x a ≤，所以{}B x x a =≤，因为A B ⋂≠∅，所以1a ≥-，故选：C3．A【详解】由{}30232x A x x x -⎧⎫=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭，{}|32,B x x x =-≤≤∈Z ，所以{}1,0,1,2A B ⋂=-，所以A B 中元素的个数为4.故选：A4．D【详解】因集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，且{}0,1,2,4,16A B ⋃=，于是得4a =，此时216a =，满足条件，即4a =，若16a =，此时2256a =，不满足条件，舍去，所以a 的值为4.故选：D5．C【分析】A B B A B ⋃=⇔⊆,考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案. 【详解】A B B A B ⋃=⇔⊆当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤；综上所述：7a ≤.故选：C.6．B【详解】由题意，集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，因为A B A ⋃=，可得B A ⊆，当B φ=时，可得121m m +>-，解得2m <；当B φ≠时，可得12217121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩，解得24m ≤≤，综上可得，实数m 的取值范围{}4m m ≤.故选：B.7．A【详解】由U A U ⊆ð，即{}1{}22,4,a ⊆，则21a =，解得1a =±，若1a =，则34a +=，而{}4,3A a =+，不符合集合中元素的互异性，舍去；若1a =-，则{}2,4,1U =，{}4,2A =，{}1U A =ð，符合题意.所以a 的所有可能值形成的集合为{}1-.故选：A.8．B【详解】试题分析：{}|24()2R R C A x x C A B a ∴=≤≤⋂≠∅∴> 9．C【详解】试题分析：由()23{39U a C A A U a a =⋃=∴∴=±=10．B【详解】若全集{}12345678U =，，，，，，，，集合{}2356A =，，，，集合{}13467B =，，，，，∴U B ð{}2,5,8=, 则集合()U A B ⋂=ð{}25，，11．D【详解】解：图中阴影部分表示的集合为()U A B ∩ð， ∵{}2B x x =<，∴{}2U B x x =≥ð{}13A x x =<<，∴(){}23U A B x x ⋂=≤<ð，故选：D.12．C 令1113x x ---2=(2)a x -即22(2)(1)(3)a x x x -=--- 若0a =，则上式无解，满足M N ⋂=∅，符合题意.若0a ≠，得22(2)(1)(3)x x x a-=---令222()(2)(1)(3)(2)(43)g x x x x x x x =---=--+则22()2(2)(43)(2)(24)g x x x x x x =---'++-()22(2)287x x x =--+ 令()0g x '=得123222,2,222x x x =-==+ 易得()g x 得最小值为()()1314g x g x ==-，无最大值. 要使22(2)(1)(3)x x x a -=---无解，必须214a -<-，即08a <<又0a =符合题意，所以实数a 的取值范围是[)0,8.故选：C.13．CA B A A B ⋂=⇔⊆选项A. 当A B =时，满足题意，但不满足A B ，故选项A 不正确.选项B. 由题意A B ⊆，故选项B 不正确.选项C. 由题意A B ⊆，则A B B ⋃=，选项C 正确.选项D. 由题意A B ⊆，则A B B ⋃=，故选项D 不正确.故选：C14．A【详解】集合M 是非空集合，对集合M 中任一元素x ，∵M N U ⊆⊆，∴x ∈N ，∴U x N ∉ð，又若U y N ∈ð，则y N ∉，∵M N ⊆，∴y M ∉，∴()U M N ⋂=∅ð.故选：A.15．D【详解】集合2{|43}A y y x x x R ==-+∈，，化简得{|1}A y y =≥-2{|22}B y y x x x R ==--+∈，，化简得{}|3B y y =≤[]13A B ∴⋂=-，，选项ABC 错误，选项D 正确.故选:D ．16．A【详解】由题意知集合{}{}2340=4,1A x x x =+-=-，对于方程()()2120x a x a ++-+=，解得12x a =--，21x =.因为A B A ⋃=，则B A ⊆.①当21a --=时，即3a =-时，B A ⊆成立；②当21a --≠时，即当3a ≠-时，因为B A ⊆，则24a --=-，解得2a =.综上所述，a 的取值集合为{}3,2-.故选：A.17．A【详解】依题意得{}37U A x x =≤<ð，若()U A B ≠∅ð，则3a >，故选：A ．18．C【详解】解：根据新定义可知集合M 的长度为34，集合N 的长度为13，当集合M N ⋂的长度最小时，M 与N 应分别在区间[]01，上的左右两端，故M N ⋂的长度的最小值是31114312+-=．故选：C ．19．B【详解】解：由A B =∅，得： ①若21m m ?，即13m ≥时，B =∅，符合题意；②若21m m <-，即13m <时，因为A B =∅，则1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩，解得103m ≤<，综上所述：0m ≥，∴实数m 的取值范围为：0m ≥．故选：B ．20．D【详解】由A B B =可得B A ⊆，且{}A a =，当0a =时，B =∅，满足A B B =符合题意，当0a ≠时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，则1a a =，解得：1a =或1a =-，综上所述：实数a 等于1或1-或0，故选：D.21．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家．那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，故选：A ．22．C【详解】解：依题意，由图知，阴影部分对应的元素a 具有性质a ∈M ，a ∈P ，I a S ∈ð，所以阴影部分所表示的集合是()()I M P S ⋂⋂ð，故选：C.23．C【详解】因为{}{|}2,1,0,21,2U x x =--∈≤Z ＝，{}{|10,}2,1A x x x U =+≤∈=--，所以{}0,1,2U A =ð，所以(){}2,0,1,2U A B -=ð.故选：C.24．C【详解】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立，所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.25．C【详解】由题意，集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，根据补集的运算，可得R {|1}A x x =<ð，所以(){}R 11A B x x ⋂=-<<ð. 故选：C.26．A【详解】因为{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，所以{}23A B x x ⋃=-<<，故选：A.27．C【详解】{}{}|50,1,2S x N x =∈≤=，而{}1S T ⋂=，所以1T ∈，则21a =，所以{}{}22|1,1T x R x a =∈==-，则{}1,0,1,2S T ⋃=-故选：C.28．C【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T =.故选：C.29．A【详解】解：若{}1P =，{}1Q =-，则(){}1f P =，(){}1f Q =，则()()f P f Q φ⋂≠，故①错；若{}1P =，{}0Q =，则(){}1f P =，(){}0f Q =，则()()f P f Q φ⋂=，故②错；若{P =非负实数}，{Q =负实数}，则()()f P f Q R ⋃≠，故③错，若{P =非负实数}，{Q =正实数}，则()()f P f Q R ⋃=，故④错，故选：A ．30．CD【详解】解：集合{|11A x a x a =-<<+，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，满足A B =∅， 15a ∴-…或11a +…，解得6a …或0a …．对照四个选项，∴实数a 的取值范围可以是{|0}a a …或{|8}a a …．故选：CD ．31．CD【详解】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =ð，但A B ⋂≠∅，A B B ≠I ，故A ，B 均不正确；由()U A B B =ð，知U A B ⊆ð，∴()()U U A A A B =⊆ð，∴A B U ⋃=，由U A B ⊆ð，知U B A ⊆ð，∴()U B A A =ð，故C ，D 均正确.故选：CD.32．ABD【详解】选项A ：当集合{}4,2,0,2,4M =--时，2,4M ∈，而246M +=∉，所以集合M 不为闭集合，A 选项错误；选项B ：设,a b 是任意的两个正整数，则a b M +?，当a b <时，-a b 是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误；选项C ：当{}3,M n n k k Z ==∈时，设12123,3,,a k b k k k Z ==∈，则()()12123,3a b k k M a b k k M +=+∈-=-∈，所以集合M 是闭集合，C 选项正确；选项D ：设{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==∈==∈，，，，由C 可知，集合12,A A 为闭集合，()122,3A A ∈⋃，而()()1223A A +∉⋃，故12A A ⋃不为闭集合，D 选项错误．故选：ABD ．33．AD【详解】解：由图可知，阴影部分是集合B 与集合C 的并集，再由集合A 求交集，或是集A 与B 的交集并上集合A 与C 的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为()A B C ⋂⋃或()()A B A C ⋂⋃⋂，故选：AD34．CD【详解】集合{|11A x a x a =-<<+，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，满足A B ⋂≠∅，15a ∴-…或11a +…，解得6a …或0a …，∴实数a 的取值范围可以是{|0a a …或6}a …，结合选项可得CD 符合. 故选：CD.35．ACD【详解】,A B A B A ⋃=⊆∴，①若B 不为空集，则121m m +<-，解得2m >，{}{}|27,|121A x x B x m x m =-≤≤=+<<-12m ∴+≥-，且217m -≤，解得34m -≤≤，此时24m <≤；②若B 为空集，则121m m +≥-，解得2m ≤，符合题意，综上实数m 满足4m ≤即可，故选：ACD.36．ACD【详解】A ，因为()()()U U U C A CBC A B ⋃=⋂，A B =∅，所以()()()U U U C A C B C A B U ⋃=⋂=，A 说法正确；B ，若A B =∅，则集合,A B 不一定为空集，只需两个集合中无公共元素即可，B 说法错误，；C ，因为()()()U U U C A C B C A B =⋃，A B =∅，所以()()()U U U C A C B C A B U ⋂=⋃=，说法正确；D ，A B =∅，即集合,A B 中均无任何元素，可得A B ==∅，D 说法正确. 故选：ACD37．4【详解】解：∵集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，P M N =⋂，∴{}1,3P =，∴集合P 的子集个数为：224=．故答案为：4．38．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C =，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-=，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1239．[)1+∞，【详解】解：集合{|01}A x x =<<，集合{|11}B x x =-<<，{|11}A B x x ∴⋃=-<<，集合{}{}0C x x m x x m =+>=>-∣∣，又A B C ⋃⊆，1m ∴--…，解得1m …．∴实数m 的取值范围是[)1+∞，．故答案为：[)1+∞，． 40．5【详解】∵(－1，2)∈A ∩B ，∴()()()22212112a b⎧=-⎪⎨=-+-⨯+⎪⎩，，解得：a ＝2，b ＝3． ∴a ＋b ＝5．故答案为：541．－5【详解】∵A ∩B ＝{1}，∴1既是方程x 2＋mx ＋2＝0的根，又是方程x 2＋x ＋n ＝0的根．∴120110m n ++=⎧⎨++=⎩解得：32m n =-⎧⎨=-⎩经检验，当32m n =-⎧⎨=-⎩时，适合题意．∴m ＋n ＝－5．故答案为：5-42．1a ≤-或1a =由A 中方程变形得：(4)0x x +=，解得：0x =或4x =-，即{4A =-，0}，由22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，其中x ∈R ，且A B B =，分两种情况考虑：若B =∅时，224(1)4(1)880a a a ∆=+--=+<，即1a <-，满足题意；若B ≠∅时，224(1)4(1)880a a a ∆=+--=+≥，即1a ≥-，当1a =-时，{}{}222{|2(1)10}|00B x x a x a x x =+++-====，符合题意；当1a >-时，{}4,0B =-,所以2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩，解得1a =，符合题意；综上，a 的范围为1a ≤-或1a =.故答案为：1a ≤-或1a =43．（1）{}3,1,3,2--；（2）[)26，．【详解】解：{}{}2|201,2A x x x =--==-，（1）当0a =时，{}{}2303,3B x x =-==-，{}3,1,3,2A B ∴=-- （2）A B B =B A ∴⊆，当B ≠∅时，{}1B ∴=-或{}2B =或{}1,2B =-当1B -∈时，130a +-=，解得：2a =，{}{}22101B x x x ∴=++==-，满足题意，当2B ∈时，4430a +-=，解得：14a =-，2770,2424x B x x ⎧⎫⎧⎫∴=--==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，不满足题意，若{}1,2B =-，则121232a a -=-+=⎧⎨-=-⎩，无解，所以，当B ≠∅时，2a =，当B =∅时，()()()224238+12260a a a a a a ∆=--=-=--<，解得26a <<，a ∴的取值集合为[)26，.44．（1）23m <<或-12m <<；（2）1522m ≤≤.解：由240x x ->，即()40x x ->，解得0x <或4x >，所以{|0A x x =<或4}x >；方程23(1)(21)0x mx m m -++-=的根是121+,21x m x m ==-. （1）若A B B ≠I ，则B 不是A 的子集，且B ≠∅.当121m m +<-即2m >时，{|121}B x m x m =+<<-，满足210142m m m ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得23m <<；当121m m +>-即2m <时，{|211}B x m x m =-<<+，满足214102m m m -<⎧⎪+>⎨⎪<⎩，解得12m -<<；当2m =时，B =∅，不符合题意.综上，实数m 的取值范围是23m <<或12m -<<.（2）当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，所以A B =∅. 若2m =时，B =∅，符合条件；当121m m +<-即2m >时，{|121}B x m x m =+<<-，满足214102m m m -≤⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得522m <≤；当121m m +>-即2m <时，{|211}B x m x m =-<<+，满足210142m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得122m ≤<. 综上，实数m 的取值范围是1522m ≤≤.45由条件可得{}1,2A =解：选编号①，要使得{}=1A B ⋂，则1,2B B ∈∉所以26+60a a a +-=且264+620a a a ⨯⨯+-≠解得2a =-选编号②，由{}1,2A B ==，即226+60x ax a a +-=的两根为1,2 由韦达定理可得261+2=6126a a a -⎧⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩解得3a =-选编号③由B A 则B =∅或{}1B =或{}2B =当B =∅时，即()223624020a a a a ∆=--<⇒-<<当{}1B =时，261+1=62116a a a a -⎧⎪⎪⇒=-⎨-⎪⨯=⎪⎩，当{}2B =时，2262+2=46240226a a a a a a a-⎧⎪=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨--=-⎩⎪⨯=⎪⎩无解，综上可得20a -≤<46．【详解】（1）因为集合{}1A x x =<，集合{2B x x =<-或}3x >，所以{1A B x x ⋃=<或}3x >， {}23R B x x =-≤≤ð，故(){}21R A B x x ⋂=-≤<ð；（2）因为C ≠∅，()R C A B ⊆ð，所以121221m m m m -+<⎧⎪-+≥-⎨⎪≤⎩，解得112m -<≤，故实数m 的取值范围为11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦. 47．【详解】（1）∵A B B =，即B A ⊆，当B φ=时，121m m +>-，解得2m <；当B φ≠时，121m m +>-，解得2m <；∴12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，即23m ≤≤，综上：m 的取值范围是3m ≤．（2）∵{}{}2320|1,2A x x x =++==--，又(){}2|10B x x m x m =+++=，若1m ≠时{1,}B m =--；若1m =时{1}B =-．由()U A B φ⋂=ð，得B A ⊆，即1m -=-或2m -=-， ∴1m =或2．48．（1）{}{}{}2720525A x x B x x x x x =<<=--≤≤-=-≤≤，， {2U A x x ∴=≤ð或}7x ≥，{2U B x x =<-ð或}5x >， (){}(){57,5U U A B x x A B x x ∴⋂=<<⋃=≤痧或}7x ≥. （2）{2U B x x =<-ð或}5x >，()U C B R ⋃=ð，225a a ≤-⎧∴⎨-≥⎩，解得3a ≤-.。

高一数学系列总复习之《集合》

高一数学复习——第一节会合一、内容提示：1.会合中元素的表示和性质：（1）元素与会合：“∈”或“” .（2）会合与会合之间的关系：包括关系、相等关系 .2.会合间的运算关系：（1）交集：由全部属于会合 A 且属于会合 B 的元素所构成的会合，叫做会合 A与 B 的交集，记为 A∩B，即 A∩ B={x|x ∈A 且 x∈ B}.（2）并集：由全部属于会合 A 或属于会合 B 的元素所构成的会合，叫做会合 A 与会合 B 的并集，记为 A∪ B，即 A∪B={x|x ∈ A或 x∈B}.（3）补集：一般地，设 S 是一个会合， A 是 S 的一个子集（即 A S），由 S 中全部不属于 A 的元素构成的会合，叫做子集 A 在全集 S 中的补集（或余集），记为S A，即S A={x|x∈S且x A}.二、例题分析：【例 1】设会合 P={m|－ 1＜ m≤ 0} ，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0 对随意实数 x 恒成立 } ，则以下关系中建立的是（）A.P QB.Q PC.P=Q32【例 2】已知 A={x|x ＋3x ＋2x＞0} ，B={x|xD.P∩ Q=Q2＜x≤ 2} ，A∪B＝｛ x｜x＞－ 2｝，求 a、b 的值 .三、典题精练：1. 会合A={（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x－ y=2} ，则A∩B 是（）A. （1，－ 1）B.x1C.{（1，－ 1）}D.{1 ，－ 1} y12. 设 A、B、I 均为非空会合，且知足A B I ，则以下各式中错误的是．．（）A. （I A）∪B=I B.（I A）∪（I B）=I C.A∩（I B）= D.（I A）∩（I B）=I B3. 已知集合 M={x|x 2＜ 4} ， N={x|x 2－ 2x － 3 ＜ 0} ，则会合 M∩ N 等于（）A. {x|x＜－2}B. {x|x＞ 3}C. {x|－ 1＜ x＜ 2}D. {x|2 ＜x＜3}4. 已知会合A={x∈R|x ＜5－ 2 }，B={1，2，3，4}，则（R A）∩B等于A. {1，2，3，4}B. {2，3，4}C. {3，4}5. 设 M、N 是两个非空会合，定义M与 N 的差集为 M－N={x|x－（M－N）（）D. {4}∈M且 x N}，则 M等于A. NB. M∩NC. M∪ND. M6. 设集合 A={5 ， log 2（ a+3 ） } ，会合 B={a ， b}. 若 A∩ B={2} ，则 A∪B=______________.7.已知会合 A＝｛ 0，1｝，B＝｛ x｜x∈A，x∈Ｎ*｝， C＝｛ x｜x A｝，则 A、B、C之间的关系是8. 设A={x|1___________________.＜ x ＜ 2} ， B={x|x ＞a}，若A B ，则a的取值范围是___________________.9. 已知会合A={x ∈ R|ax 2+2x+1=0，a ∈R}只有一个元素，则 a 的值为__________________.10. 记函数 f （x）=log2（2x－3）的定义域为会合M，函数 g（x）=(x3)(x1) 的定义域为会合 N. 求：（1）会合 M、N；（2）会合 M∩N、M∪N.11. 已知 A={x∈R|x 2+2x+p=0}且 A∩{x ∈R|x ＞0}=，务实数p的取值范围.12. 若 B={x|x 2－ 3x+2＜0} ，能否存在实数 a，使 A={x|x 2－（ a+a2）x+a3＜0} 且A ∩ B=A？请说明你的原因 .四、方法反应：1.对于会合问题，要第一确立属于哪种会合（数集、点集或某类图形），而后确定办理此类问题的方法 .2.对于会合的运算，一般应把各参加运算的会合化到最简，再进行运算.3.含参数的会合问题，多依据会合元素的互异性来办理 .4.会合问题多与函数、方程、不等式相关，要注意各种知识的举一反三 . 解决问题经常用数形联合、分类议论等数学思想 .5.加强数形联合、分类议论的数学思想 .标准答案例题分析【例 1】分析： Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0 对随意实数 x 恒建立 } ，对 m分类：① m=0时，－ 4＜0 恒建立；2②m＜0 时，需=（4m）－ 4× m×（－ 4）＜ 0，解得 -1 ＜ m＜ 0.答案： C评论：此题简单忽视对m=0的议论，应惹起大家足够的重视.【例 2】解： A={x| －2＜x＜－ 1 或 x＞0} ，设 B=［x1， x2］，由 A∩B=（0，2］知 x2＝2，且－ 1≤x1≤ 0，①由 A∪ B=（－ 2， +∞）知－ 2≤ x1≤－ 1.②由①②知 x1＝－ 1，x2＝ 2，∴ a＝－（ x1＋x2）＝－ 1，b＝x1x2＝－ 2.评论：会合的交与并的涵义，娴熟掌握在数轴上表示区间（会合）的交与并的方法 .典题精练1. 分析：xy0x1,答案： C x y2y 1.2.分析一：∵ A、B、I 知足 A B I ，先画出文氏图，依据文氏图可判断出 A、C、D都是正确的 .IBA分析二：设非空会合 A、B、I 分别为 A={1} ，B={1，2} ，I={1 ，2，3} 且知足 A B I.依据设出的三个特别的会合A、B、I 可判断出 A、 C、 D 都是正确的 .答案：B 3.分析：M={x|x 2＜4}={x| －2＜x＜2} ，N={x|x 2－2x－ 3＜ 0}={x| －1＜x＜3} ，联合数轴，-2-10123 x∴M∩N={x| －1＜ x＜ 2}.答案： C4. 分析：R A={x∈R|x ≥5－2}，而5－ 2 ∈（3，4），∴（R A）∩B={4}.答案： D5.分析： M－ N={x|x ∈ M且 x N}是指图（ 1）中的暗影部分 .M N M N(1)(2)相同 M －（ M －N ）是指图（ 2）中的暗影部分 . 答案： B6. 分析：∵ A ∩B={2} ，∴ log 2（a+3） =2. ∴a=1. ∴b=2. ∴ A={5， 2} ，B={1，2}. ∴ A ∪ B={1， 2， 5}. 答案： {1 ，2，5}7. 分析：用列举法表示出 B ＝｛1｝，C ＝｛，｛1｝，｛ 0｝，A ｝，易见其关系 . 这里A 、B 、C 是不一样层次的会合， C 以 A 的子集为元素，同一层次的会合可有包括关系，不一样层次的会合之间只好是附属关系 . 答案： B A ，A ∈C ，B ∈C 8. 分析： A B 说明 A 是 B 的真子集，利用数轴（以以下图）可知 a ≤1.a 12答案： a ≤19. 分析：若 a=0，则 x=－ 12. 若 a ≠0， =4－ 4a=0，得 a=1.答案： a=0 或 a=110. 解：（ 1） M={x|2x －3＞0}={x|x ＞ 3}；2N={x| （ x － 3）（x －1）≥ 0}={x|x ≥3 或 x ≤1}. （2）M ∩N={x|x ≥3} ； M ∪N={x|x ≤1 或 x ＞3}.211. 解：∵ A ∩{x ∈R|x ＞0}=， ∴（ 1）若 A= ，则 =4－4p ＜0，得 p ＞ 1；（ 2）若 A ≠ ，则 A={x|x ≤ 0} ，即方程 x 2+2x+p=0的根都小于或等于 0. 设两根为 x 1 、x 2，则4 4 p 0, x 1 x 22 0,∴0≤p ≤1.x 1 x 2 p 0.综上所述， p ≥0.12. 解：∵ B={x|1 ＜x ＜2} ，若存在实数 a ，使 A ∩B=A ，则 A={x| （ x －a ）（x －a 2）＜ 0}.（1）若 a=a 2，即 a=0 或 a=1 时，此时 A={x| （x －a ）2＜ 0}= ，知足 A ∩B=A ，∴ a=0 或 a=1.（2）若 a 2＞a ，即 a ＞1 或 a ＜0 时，A={x|0 ＜x ＜a 2} ，要使 A ∩B=A ，则a11a22≤a ≤ 2 ，∴ 1＜a ≤ 2 .（3）若 a 2＜a ，即 0＜a ＜1 时，A={x|a ＜ x ＜ a 2} ，要使 A ∩B=A ，则a221a1≤ a ≤ 2，∴ a ∈ .综上所述，当 1≤a ≤2 或 a=0 时知足 A ∩B=A ，即存在实数 a ，使 A={x|x 2－（a+a 2）x+a3＜ 0} 且 A∩ B=A建立 .。

高一数学复习考点题型专题讲解3 集合的基本运算

高一数学复习考点题型专题讲解第3讲集合的基本运算一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，则A B ⋃=（） A ．{}1,0,1,3-B ．{}1,1-C ．{}1,0,3-D ．{}1【答案】A【解析】【分析】直接由并集的概念求解即可.A B ⋃={}1,0,1,3-.故选：A.2．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,4A =，则U A =ð（）A ．{}2,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】C【解析】【分析】根据补集的概念即可求得答案.由题意得全集{}1,2,3,4U =，若{}1,4A =，则{2,3}U A =ð，故选:C3．设集合{}1,2A =，{}1,2,3B =，{}2,3,4C =，则()A B C =I U （）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】【分析】利用交集和补集的定义可求得结果.由已知可得{}1,2A B =，(){}1,2,3,4A B C =.故选：D.4．如图，已知全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，{}(1)(2)0B x x x =+-≤，则图中阴影部分表示的集合的子集．．个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】先求得图中阴影部分表示的集合，再利用该集合中元素个数即可该集合的子集．．个数 {}{}(1)(2)012B x x x x x =+-≤=-≤≤，则{U R 1B B x x ==<-痧或}2x >图中阴影部分表示的集合为{}U ()1,2,3,4,5A B ⋂=⋂ð{1x x <-或}{}23,4,5x >=集合{}3,4,5的子集有328=（个）则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8故选：D5．已知集合{}{03},14A x x B x x =<<=≤≤，则A B =（）A ．{13}x x ≤<B ．{04}x x <≤C ．{04}x x <<D ．{13}x x <<【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可得答案.因为{}|03A x x =<<，{}|14B x x =≤≤所以{}|13A B x x ⋂=≤<故选：A.6．下列命题：①若A B U ⋂=，则A B U ==；②若A B =∅，则A B ==∅；③若A B =∅，则A B U =；④若A B =∅，则A B ==∅；⑤若A B U ⋃=，则A B =∅；⑥若A B U ⋃=，则A B U ==.其中不正确的命题为（）A ．没有B ．④和⑥C．②和⑤D．①和③【答案】B【解析】根据集合间运算的定义直接判断即可.根据集合间的运算结果可直接判断①②③⑤正确；④A B =∅，则集合A 与B 是两集合无公共元素，不一定为空集，故错误；⑥A B U ⋃=，集合A 与B 不一定都为U ，故错误；故选：B.7．已知U 为全集，集合M ，N 是U 的子集．若M ∩N ＝N ，则（） A ．( ðUM )⊇( ðUN )B ．M ⊆( ðUN )C ．( ðUM )⊆( ðUN )D ．M ⊇( ðUN )【答案】C【解析】【分析】由M ∩N ＝N ，可得N ⊆M ，从而可进行判断∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ，∴(ðUM )⊆( ðUN )．故选：C8．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U M P S ⋂⋂ðD ．()U M P S ⋂⋃ð【答案】C【分析】利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合．解：由图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中，故阴影部分所表示的集合是()U M P S ⋂⋂ð.故选：C.9．若集合{}1,3,A x =，{}21,B x =，且{}1,3,A B x =，则满足条件的实数x 的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据并运算结果，可得23x =或2x x =，结合集合的性质，即可求得x ，从而进行选择.因为集合{}1,3,A x =，{}21,B x =，且{}1,3,A B x =，故可得23x =或2x x =，解得x =0x =或1x =，当1x =时，集合,A B 不满足互异性，故舍去；当x =0x =时，满足题意.故满足条件的x 的个数有3个.故选：C.10．设{1S x x =<-或}5x >，{}8T x a x a =<<+，若S T R ⋃=，则实数a 应满足（）A ．31a -<<-B ．31a -≤≤-C ．3a ≤-或1a >-D ．3a <-或1a >-【答案】A【解析】【分析】利用集合的并运算结果，借助数轴列不等式组即可求解.如图，由数轴可得185a a <-⎧⎨+>⎩，解得31a -<<-.故选：A.11．已知(){},1A x y y x ==+，(){}2,B x y y x ==，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】根据集合A 和B 表示的含义,联立方程化简,判断出交点个数,即为A B 的子集个数. (){},1A x y y x ==+，A 表示函数1y x =+图象上的点集， (){}2,B x y y x ==，B 表示函数2y x =图象上的点集， A B 中的元素为1y x =+和2y x =图象的交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩得到210x x --=，1450∆=+=>，所以有2个交点，所以A B 的元素个数为2，其子集个数为224=个，故选:C.【点睛】本题考查集合的运算以及集合的子集个数问题,考查描述法的应用,考查逻辑推理能力,属于中档题.12．设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =-，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.二、多选题13．已知集合A ，B 均为R 的子集，若A B =∅，则（）A ．R AB ⊆ðB ．R A B ⊆ðC ．A B R =D ．()()R R A B R ⋃=痧【答案】AD【解析】【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案如图所示根据图像可得R A B ⊆ð,故A 正确；由于R B A ⊆ð ，故B 错误；A B R ⊆ ,故C 错误()()()R R R A B A B R ⋃=⋂=痧?故选：AD14．集合{}{}2|10,|320A x ax B x x x =-==-+=，且A B B ⋃=，实数a 的值为（） A ．0B ．1C ．12D ．2【答案】ABC【解析】【分析】由题设{1,2}B =且A B ⊆，讨论A 是否为空集求对应的参数值即可. 由题设{1,2}B =，又A B B ⋃=，故A B ⊆，当A =∅时，0a =；当A ≠∅时，1或2为10ax -=的解，则1a =或12a =.综上，0a =或1a =或12a =.故选：ABC15．已知{}1|3M x x =-<<，{}24|N x x =<<，则下列正确的是（）A ．{}|23M N x x =<<B ．{}|14M N x x ⋃=-<<C ．{R |1M x x =<-ð或x >3}D ．{R |1M x x =≤-ð或}3x ≥【答案】ABD【解析】【分析】利用交集、并集及补集的定义运算即得.∵{}1|3M x x =-<<，{}24|N x x =<<，∴{}{}{R |23,|14,|1M N x x M N x x M x x ⋂=<<⋃=-<<=≤-ð或}3x ≥，故选：ABD.16．如图所示的阴影部分表示的集合是（）A ．()M N P ⋂⋂B ．()C ()U M N P ⋂⋂C ．[]C ()U P M N ⋂⋃D ．()()C C U U P M N ⋂⋂【答案】CD【解析】【分析】把ABCD 四个选项一一进行分析判断A 选项表示的是图1的部分，不合题意，B 选项表示的是图2的部分，不合题意CD 选项表示的是题干中的阴影部分故选：CD17．已知全集R I =，集合{}220A x x x a =++=≠∅，{}0B =≤，则A B 中所有元素的和可以是（）A ．2-B ．2C ．2020D ．2019【答案】ACD【解析】【分析】求得{}2021B =，再分别讨论A 中有两个相等的实数根，A 中有两个不相等的实数根且B A ⊆，A 中有两个不相等的实数根12,x x ，且B 不是A 的子集，三种情况即可求解.由题意可知0≤0≥0=，可得：2021x =，即{}2021B =，（1）若A 中有两个相等的实数根，则440a ∆=-=，可得1a =，此时{}{}22101A x x x =++==-，可得{}1,2021A B ⋃=-，所有元素之和为2020；（2）若A 中有两个不相等的实数根，且{}2021B A =⊆，则{}2023,2021A =-，则{}2023,2021A B A ==-，由韦达定理可知，所有元素之和为2-；（3）若A 中有两个不相等的实数根12,x x ，且B 不是A 的子集，则由韦达定理可知122x x +=-，所以{}12,,2021A B x x =，所有元素之和为2019.所以A B 中所有元素的和可以是：2020或2019或2-.故选：ACD.18．已知M 为给定的非空集合，集合12{,,,}n T T T T =，其中i T ≠∅，i T ⊆M ，且12n T T T M =，则称集合T 是集合M 的覆盖；如果除以上条件外，另有i j T T =∅，其中1,2,3,,i =n ，1,2,3,,j n =，且i j ≠，则称集合T 是集合M 的划分.对于集合{,,}A a b c =，下列命题错误的是（）A ．集合{{,},{,}}S a b b c =是集合A 的覆盖B ．集合{{}{,},{,}}Q a a b a c =,是集合A 的划分 C ．集合{{},{},{}}E a b c =不是集合A 的划分D ．集合{{},{,}}F a a c =既不是集合A 的覆盖，也不是集合A 的划分【答案】BC【解析】【分析】根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.对于A ，集合{{,},{,}}S a b b c =满足{,}a b ⊆A ，{,}b c ⊆A ，且{,}a b {,}b c =A ，故集合S 是集合A 的覆盖，选项A 正确；对于B ，集合{{}{,},{,}}Q a a b a c =,中，{,}a b ∩{,}a c ≠∅，不满足题目定义中“i j T T =∅”，故集合{{}{,},{,}}Q a a b a c =,不是集合A 的划分，选项B 错误；对于C ，集合{{},{},{}}E a b c =是集合A 的划分，因为{}a ⊆A ，{}b ⊆A ，{}c ⊆A ，且{}a {}b {}c =A ，{}a ∩{}b =∅，{}b ∩{}c =∅，{}a ∩{}c =∅，满足定义中的所有要求，选项C 错误；对于D ，集合{{},{,}}F a a c =中，{}{,}a a c A ≠，{}{,}a a c ≠∅，故集合{{},{,}}F a a c =既不是集合A 的覆盖，也不是集合A 的划分，选项D 正确. 故选：BC.三、填空题19．集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1≤x ≤3}，且()A B =R R U ð，则实数a 的取值范围为 _______．【答案】（3，+∞）【解析】【分析】根据并集，补集的定义和运算法则进行计算．解：∵集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1≤x ≤3}，∴R B ð＝{x |x ＜1或x ＞3}，因为()A B =R R U ð，所以a ＞3，故答案为：（3，+∞）．20．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．【答案】172【解析】【分析】画出韦恩图求解即可.687561(17129)6++-+++204386=-+，172=（人)．故答案为：17221．设集合{23},{}A x x B x x a =-<<=>，若R A B ⋂=∅ð，则实数a 的取值范围为____．【答案】2a ≤-【解析】【分析】先求出R B ð，则R A B ⋂=∅ð，{23}A x x =-<<，由分析即可求出a 的取值范围. R B ð{}x x a =≤，又因为R A B ⋂=∅ð，{23}A x x =-<<，所以2a ≤-．故答案为：2a ≤-.22．设整数集{}1234,,,A a a a a =，{}222124,,B a a a =，且1234a a a a <<<，若{}23,A B a a ⋂=，满足130a a +=，A B 的所有元素之和为90，求34a a +=________；【答案】10【解析】【分析】根据130a a +=可得2213a a =，结合已知条件可得20a ≥，然后分情况讨论，20a >和20a =时，利用集合元素的互异性和确定性即可求解.由130a a +=可得13a a =-，所以2213a a =，因为{}23,A B a a ⋂=，所以20a ≥，若20a >，因为2a Z ∈，所以21a ≥，所以222a a ≤，233a a <，244a a <，故{}2423,a a a ∉所以{}{}221223,,a a a a =，若212223a a a a ⎧=⎨=⎩则()424432133a a a a a ===-=，可得30a =或31a = 与321a a >≥矛盾，所以此时不成立，若20a =，则4320a a a >>=，所以244a a >，所以{}2423,a a a ∉，所以{}{}221223,,a a a a =即{}{}213,00,a a =显然23231a a a ==，可得30a =或31a =，因为30a =与32a a >矛盾，所以31a =，11a =-，此时{}41,0,1,A a =-，{}241,0,B a =，所以{}4241,0,,1,A B a a ⋃=-，由题意知：44290a a +=，即()()441090a a +-=，解得49a =或410a =-（舍）综上所述：31a =，49a =，所以3410a a +=，故答案为：10.四、解答题23．已知集合{1,0,1},{0,2},{1,0,1,2,3}A B U =-==-．(1)求A B ；(2)求()U A B ⋂ð．【答案】(1){1,0,1,2}A B =-(2)(){1,1,2,3}U A B =-ð【解析】【分析】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据交集、补集的定义计算可得；(1)解：因为{1,0,1}A =-，{0,2}B =，所以{1,0,1,2}A B =-．(2)解：因为{}1,0,1,2,3U =-，{1,0,1}A =-，{0,2}B =，所以{0}A B =，所以(){1,1,2,3}U A B =-ð．24．设集合{}4U x x =≤，{}12A x x =-<≤，{}13B x x =≤≤.求：(1)A B ；(2)()U A B ð；(3)()()U U A B ⋂痧.【答案】(1){}12x x ≤≤； (2){1x x ≤-或}14x ≤≤； (3){1x x ≤-或}34x <≤.【解析】【分析】(1)(2)(3)根据集合交并补计算方法计算即可. (1){}12A B x x ⋂=≤≤；(2)U A =ð{x |1x ≤-或24x <≤}，()U A B ∴⋃=ð{x |1x ≤-或14x ≤≤}；(3)U A =ð{x |1x ≤-或24x <≤}，U B =ð{x |x ＜1或3＜x ≤4}，()()U U A B ∴I 痧={x |1x ≤-或34x <≤}.25．已知集合{}|114A x x =≤-<，{}|23B x x =-<≤，{}|2121C x a x a =-<<+.(1)若C A ⊆，求实数a 的取值范围；(2)若()A B C Í，求实数a 的取值范围.【答案】(1)3,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ (2)31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据子集之间的关系列出不等式即可求解.（2）将()AB C ⊆转化成子集关系即可求解.(1)因为{}|114A x x =≤-<，所以{}|25A x x =≤<.因为C A ⊆，且C ≠∅ 所以2,215,3212,2a a a a ≤⎧+≤⎧⎪⇒⎨⎨-≥≥⎩⎪⎩ 解得322a ≤≤. 3,22a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦； (2)因为{}|23A B x x =≤≤，()AB C ⊆，所以212,213,a a -<⎧⎨+>⎩ 解得312a <<.故a 的取值范围为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.26．已知全集U R =，集合{|A x =213x -<，123}3x x -≤-，{|13}B x x =-≤≤.(1)求A ，A B ⋃，U B ð(2)如图①，阴影部分表示集合M ，求M .(3)如图②，阴影部分表示集合N ，求N .【答案】(1)3{|2}2A x x =≤<，{|13}A B x x ⋃=-≤≤，U B ð{|1x x =<-或3}x >； (2)3{|12M x x =-≤<或23}x ≤≤；(3){|1M x x =<-或3}x >.【解析】【分析】（1）求解不等式组解得集合A ，再根据集合的并运算和补运算即可求得结果；（2）根据阴影部分可知M =()B A B ⋂ð，根据已知集合求解即可；（3）根据阴影部分可知M =()U A B ð，根据已知集合求解即可.(1){|A x =213x -<，1323}{|2}32x x x x -≤-=≤<， {|13}A B x x ⋃=-≤≤，U B ð{|1x x =<-或3}x >. (2) 因为3{|2}2A B x x ⋂=≤<根据题意可得M =()B A B ⋂ð3{|12x x =-≤<或23}x ≤≤.(3)因为{|13}A B x x ⋃=-≤≤，根据题意可得M =()U A B ð{|1x x =<-或3}x >.27．已知集合11{|}A x a x a =-≤≤+，5|03x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭． (1)若3a =-，求A B ； (2)在①A B =∅，②()R B A R ⋃=ð，③A B B ⋃=，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1){|45}A B x x ⋃=-≤≤(2)答案见解析【解析】【分析】（1）分别求出集合A 和集合B ，求并集即可；（2）选①，根据集合A 和集合B 的位置在数轴上确定端点的关系，列出不等式组即可求解，选②，先求出R A ð，再根据条件在数轴确定端点位置关系列出不等式组即可求解，选③，得到A B ⊆，根据数轴端点位置关系列出不等式组即可求解.(1)因为3a =-，所以{|42}A x x =-≤≤-，又因为{|35}B x x =-<≤，所以{|45}A B x x ⋃=-≤≤．(2)若选①A B =∅：则满足15a ->或13a +≤-，所以a 的取值范围为{|4a a ≤-或6}a >．若选②()R B A R ⋃=ð：所以{|1R A x x a =<-ð或1}x a >+，则满足1315a a ->-⎧⎨+≤⎩，所以a 的取值范围为{|24}a a -<≤．若选③A B B ⋃=：由题意得A B ⊆，则满足1315a a ->-⎧⎨+≤⎩所以a 的取值范围为{|24}a a -<≤28．设22{|190}A x x ax a =-+-=，2{|560}B x x x =-+=，2{|280}C x x x =+-=.（1）若A B A B ⋂=⋃，求实数a 的值；（2）若∅()A B ⋂且A C ⋂=∅，求实数a 的值；（3）若A B A C ⋂=⋂≠∅，实数a 的值.【答案】（1）5a =；（2）2a =-；（3）3a =-.【解析】试题分析：（1）从A B A B ⋂=⋃，得A B =，从而知2,3是方程22190x ax a -+-=的两个根，由根与系数的关系得实数a 的值；（2）从∅()A B ⋂且A C ⋂=∅，得3A ∈，进而得实数a 的值，但需检验；（3）从A B A C ⋂=⋂≠∅，确定2A ∈，进而得实数a 的值，但也需检验.试题解析：由题可得{}{}2,3,4,2B C ==-（1）A B A B A B ⋂=⋃⇒= ∴2,3是方程22190x ax a -+-=的两个根即223{52319aa a +=⇒=⨯=-.（2）∅()A B ⋂且A C ⋂=∅，∴3A ∈，即293?190a a -+-=23100a a ⇒--=5a ⇒=或2a =-，此时还需检验当5a =时，有{}2,3A =，则{}2A C ⋂=≠∅，5a ∴=（舍去）当2a =-时，有{}5,3A =-，则∅{}()3A B ⋂=且A C ⋂=∅,2a ∴=-符合题意，即2a =-.（3）A B A C ⋂=⋂≠∅，2A ∴∈，即2242?190?2150?5a a a a a -+-=⇒--=⇒=或3a =-，当5a =时，有{}2,3A =，则{}{}2,32A B A C ⋂=≠⋂=，5a ∴=（舍去），当3a =-时，有{}2,5A =-，则{}2A B A C ⋂==⋂，3a ∴=-符合题意，3a ∴=-. 考点：一元二次方程的解法及其集合的运算和之间的关系.29．已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈（1）若集合{}1,3A =，直接写出集合S ，T .（2）若集合{}1234,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+（3）若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S ，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】（1）{}2,4,6S =，{}0,2T =；（2）证明见解析；（3）1347.【解析】（1）根据题目定义，直接计算集合S 及T ；（2）根据两集合相等即可找到1x ，2x ，3x ，4x 的关系；（3）通过假设A 集合{m ，1m +，2m +，⋯，2020}，2020m …，m N ∈，求出相应的S 及T ，通过S T ⋂=∅建立不等关系求出相应的值．（1）根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =；（2）由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；（3）设{}12,,k A a a a =⋅⋅⋅满足题意，其中12k a a a <<⋅⋅⋅<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋅⋅⋅<+<+<+<⋅⋅⋅<+<，21S k ∴≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋅⋅⋅<-，T k ∴≥，S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-，S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，21k S T a ∴⋃≤+，()*31214041k k a k N ∴-≤+≤∈，1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意，证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++⋅⋅⋅，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++⋅⋅⋅，{}0,1,2,,2020T m =⋅⋅⋅-，依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347.【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

高一数学集合的基本运算(201911整理)

定义
如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个就称这个集合为全集
新疆王新敞
奎屯
（universe set）
全集常用U表示.
定义
对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集 U的补集(complemeCUnA= tary set)，简称为集合，A即的补集，记作
1.1.3 集合的基本运算（2）
一、全集与补集
在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。
如方程(x-2)(x2-3)=0的解集
在有理数范围内只有一个解，即 A={x∈Q|(x-2)(x2-3)=0}={2},
在实数范围内有三个解 2, 即 :B={x∈R|(x2)(x2-3)=0}={2, 3, 3 }。
例4.学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名学生参赛,两次运动会都参赛的有3人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛?
探索:
对有限集A,B,C你能发现card(A∪B∪C), card(A), card(B), card(C), card(A∩B), card(A∩C), card(C∩B), card(A∩B∩C)之间的关系吗?
二、集合中元素的个数
用card来表示有限集A中的元素个数. 如:A={a,b,c} 则card(A)=3
问题：
学校小卖部进了两次货,第一次进的货是圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水共6 种,第二次进的货是圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面共4种,两次一共进了几种货物?
公式：
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)

高中数学集合的基本运算

高中数学集合的基本运算
x
一、集合的基本定义
1、集合：一个集合是一组有序的对象的总称，称其中的对象为元素。

2、子集：若A集合中的全部元素都在B集合中，则称A集合是B集合的子集，记作AB。

3、空集：如果一个集合没有元素，则称此集合为空集，记作。

4、统一集：如果集合A和B中所有的元素都是同时共同存在于A和B的，即A∩B，则称A和B是统一的，记作A∩B = A = B。

二、集合的基本操作
1、并集：记为A∪B，表示A和B所有元素的集合，其中A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}。

2、交集：记为A∩B，表示A和B的公共元素的集合，其中A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}。

3、补集：记为A’，表示A中不存在的元素的集合，其中A’ = {x | xA}。

4、相反集：记为A-B，表示A中存在，而B中不存在的元素的集合，其中A-B = {x | x∈A 且 xB}。

5、对称差：记为A猫B，表示A与B的公共元素以外的元素的集合，其中AΔB = {x | x∈A 且 xB 和 xA 且 x∈B}。

- 1 -。

高一数学知识讲学专题01 集合集合间的关系集合的运算(word档含答案解析)

专题一集合、集合与集合的关系、集合的运算知识精讲一知识结构图二.学法指导1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.6.求集合交集的方法为：(1).定义法，(2)数形结合法．（2）．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三.知识点贯通知识点1 元素与集合相关概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．例1.考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④知识点二元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见的数集及表示符号例题2：已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．知识点三集合间的关系1.判断集合关系的方法.1观察法：一一列举观察.2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法：利用数轴或Venn图.2.集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．3.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例题3 .已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.知识点四集合的运算1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B 的交集，记作A∩B。

人教版高中数学必修一专题复习及参考答案

人教版高中数学必修一专题复习及参考答案知识架构第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；①两个集合的交集:= ;A B {}x x A x B ∈∈且②两个集合的并集: =;A B {}x x A x B ∈∈或③设全集是U,集合,则A U ⊆U C A ={}x x U x A ∈∉且{|B x x ={|B x x =★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：{})(x f y x ={})(x f y y ={})(),(x f y y x =问题：已知集合（） 221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N= A. ；B.；C. ；D. Φ{})2,0(),0,3([]3,3-{}3,2[错解]误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B M 14922=+y x N 123=+y x [正解] C ；显然，，故{}33≤≤-=x x M R N =]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ（2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若，，则B A ⊆C B ⊆C A ⊆4．集合的运算性质（1）交集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = φφ= A A B A ⊆ B B A ⊆ B A A B A ⊆⇔=（2）并集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = A A =φ A B A ⊇ B B A ⊇ A B A B A ⊆⇔=（3）交、并、补集的关系①；φ=A C A U U A C A U =②；)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：．设{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==，则集合的所有元素之和为（）A B *A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素A B *x A y B xy A B *[解析]：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D A B *A B *{}4,2,0【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

高考数学——集合考点复习

{ } 2．已知集合 A = {−1, 0, a} ， B = 0, a .若 B ⊆ A ,则实数 a 的值为__________．
考向三集合的基本运算
有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有：（1）有限集（数集）间集合的运算求解时，可以用定义法和 Venn 图法，在应用 Venn 图时，注意全集内的元素要不重不漏. （2）无限集间集合的运算常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围. （3）用德·摩根公式法求解集合间的运算
，集合 M= {y | y= 1 , 0 < x < 1} ， x
，则下图中阴影部分所表示的
A． C． 7．已知集合 A．2 个
B．
D．
，
，则满足条件的集合的个数有
B．3 个
C．4 个
D．5 个
8．设集合
，
，则下列关系正确的是
A．
B．
C．痧R A ⊆ R B
D． ðR B ⊆ A
9．已知集合 P = {4,5, 6} ， Q = {1, 2,3} ，定义 P ⊕ Q ={x x = p − q, } p ∈ P, q ∈Q ，则集合 P ⊕ Q 的所
A． A= B {x | x < 0}
B． A B = R
C． A= B {x | x > 1}
D． A B = ∅
{ } 6．（2017 新课标全国Ⅱ理科）设集合 A = {1, 2, 4} ， B= x x2 − 4x + m= 0 ．若 A 1 B = {1} ，则 B =
A．{1, −3}
{ } 2．已知单元素集合=A x | x2 − (a + 2) x= +1 0 ，则 a =

高一数学集合的基本运算

定义
如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个就称这个集合为全集（universe set）
王新敞
奎屯
新疆
全集常用U表示.
定义
对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集 U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作 CU A
利用Venn图: card(A∪B∪C)=card(A)+ card(B)+ card(C) - card(A∩B)- card(A∩C)- card(C∩B)+ card(A∩B∩C)
B
A
A∩B A∩B∩C A∩C C 来自∩C作业布置1.教材P12 9,10 B组 4 2 补．某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,班级中既爱好体育又爱好音乐的有多少人?
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一击，希望冥大人今晚可以穿着这件长袍出席。”看着木兮女皇眼里的祈求，夜北冥非常无奈的点了点头，这女皇也是个心大的，把龙袍都给自己做出来了，不知道的还以为女皇要退位让自己来做这皇位呢！不过木兮的心意，夜北冥也是记在了心里。得到了夜北冥的一个人情，木兮以后的日子可谓是一片光明。梦瑶等人也穿着各自的衣服，朝凰大陆的衣服当然是未央大陆所比不上的，款式新颖让木兮这个见惯了大场面的女皇都忍不住看直了眼，直到夜北冥穿着黑色镶金龙袍出现。夜北冥穿着龙袍的时候，整个人的气势瞬间就变了，浑身透露着上位者的威压，带着王者气势，因为带着面具，所以看不见全部的面貌，可是就是那露出来的小巧的下巴和轻抿的樱桃嘴唇，就已经很迷人了，还有面具下露出的那双黑曜石似的眼睛。当那双眼睛盯着你的时候，你会感觉你的秘密都被她看透了，不敢与之对视。（鱼唇的人类，你们不知道盯着你们的其实是冥大大的精神力吧，这世上有什么是精神力看不透的呢？嘎嘎嘎~）宴会时间到了，所有的臣民都带着自己的家属坐在专属于自己的位置上，桌子前摆放着各种各样的瓜果美食，可是却没有任何人去吃，因为女皇还没来，所以所有人即使再饿也不敢动手直接吃。“女皇驾到~”大殿门口的太监用她那尖细的嗓音，说出了在场所有人最想听的一句话，众人纷纷抬起头朝门口看去。只见穿着一身黄色镶金龙袍的女皇对她身边同样穿着黑色龙袍的脸戴银色面具的神秘女子有说有笑的走进了大殿，梦瑶等人待在夜北冥的行宫里没有跟来，所以陪同进来的都是太监宫男们。“吾皇万岁万岁万万岁！”大殿里所有人跪在地上低着头对木兮表示问安。 “平身！”然后与夜北冥走到大殿最上方坐在黄金龙椅上，而夜北冥则坐在龙椅旁边木兮早就叫人准备好的另一张黑玉石椅上，靠着椅背，一只手倚在椅子的扶手上，摸着自己的下巴，眼神好笑的看着下面呆滞的人。此刻呆滞中的群臣们心里在想，什么时候见过自家不苟言笑的女皇笑的这么开怀了，还有女皇身边那威武霸气带着王者气息的戴银色面具女子就是女皇的义妹吗？心思活络的一些大臣还想着什么时候让自己长相出众的儿子去勾引女皇义妹，成就一番好姻缘~“想必众位爱卿也很好奇朕今天设宴接待的义妹是哪位，朕身边这位就是朕在外学成归来的义妹——冥！”木兮看了一眼旁边悠闲的夜北冥一眼，宠溺的说道：“朕这义妹从小跟着自己的师傅在秘—境修炼，所以不怎么跟外界接触，这次有机会来到外界体验生活，朕就想给她最好的。”说完，严肃的看着下面正在思考的众臣说道：“花总管上来宣读圣旨！”站在一旁侍奉的花总管走到台前将手中一直捧着的圣旨打开，语气充满了喜悦的大声宣读道：“奉

高一数学集合知识点

高一数学集合知识点一、集合的定义与表示方法集合是由确定的对象组成的整体。

在数学中，我们可以使用不同的表示方法来表示集合：•列举法：将集合中的元素一一列举出来，并用大括号{}括起来。

例如，集合A={1, 2, 3}。

•描述法：用一个或多个条件来描述集合中的元素。

例如，集合B={x | x是正整数且x<5}。

二、集合的基本运算1. 并集两个集合A和B的并集，表示为A∪B，包含了A和B中的所有元素。

并集的求法可以通过将两个集合的元素合并在一起，并去除重复的部分。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

2. 交集两个集合A和B的交集，表示为A∩B，包含了A和B中共有的元素。

交集的求法可以通过找出两个集合中相同的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

3. 差集两个集合A和B的差集，表示为A-B，包含了属于集合A但不属于集合B的元素。

差集的求法可以通过从A中移除与B相同的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。

4. 互斥事件与空集如果两个集合A和B的交集为空集，即A∩B={}，则称A和B为互斥事件。

空集是不含任何元素的集合，用符号∅表示。

三、集合的性质与定理1. 子集与真子集如果集合A的所有元素都属于集合B，即A中的元素在B中都存在，我们可以说A是B的子集，记作A⊆B。

如果集合A是集合B的子集且A与B不相等，则A是B的真子集，记作A⊂B。

例如，集合A={2, 3}，集合B={1, 2, 3, 4}，则A⊂B。

2. 幂集集合A的幂集，表示为P(A)，是包含A的所有子集的集合。

幂集的元素个数是2的A的元素个数次方。

例如，集合A={1, 2}，则P(A)={{}, {1}, {2}, {1, 2}}。

3. 全集和空集全集是包含讨论范围内所有元素的集合。

数学高一集合知识点总结

数学高一集合知识点总结高一数学集合知识点总结在高一的数学学习中，集合是一个重要的知识点。

通过学习集合的概念、运算和性质，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

本文将对高一数学中的集合知识点进行总结和归纳。

一、集合的基本概念集合是数学中最基本的概念之一。

在集合理论中，我们把一些具有共同特征的对象放在一起，形成一个集合。

例如，我们可以将所有的奇数放在一起，形成一个奇数集合。

集合的表示方法有两种常用的方式：枚举法和描述法。

枚举法是列举集合中的元素，用大括号{}括起来。

例如，我们可以用{1，2，3}表示一个由数字1、2、3组成的集合。

描述法则是根据元素的特征或性质给出一个条件式，用大括号{}括起来。

例如，我们可以用{x| x是正整数且小于10}表示一个由小于10的正整数组成的集合。

二、集合运算集合运算包括并集、交集、差集和补集。

并集是指两个或两个以上的集合中所有元素的合并。

交集是指两个或两个以上的集合中共有的元素。

差集是指从一个集合中减去另一个集合的元素。

补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素。

在集合运算中，我们常常使用一些特殊符号来表示。

并集使用符号∪表示，交集使用符号∩表示，差集使用符号-表示，补集使用符号'表示。

三、集合的性质1.恒等式：集合的交换律、结合律和分配律。

2.包含关系：一个集合是否包含于另一个集合。

3.互不相交：两个集合没有共同的元素。

4.空集和全集：空集是不包含任何元素的集合，全集是包含所有元素的集合。

四、集合的应用集合不仅在数学学科中有应用，还广泛应用于其他学科和实际生活中。

在概率论中，集合的概念被用来描述事件的可能性。

通过集合的运算，我们可以计算事件之间的关系和概率。

在统计学中，集合的概念被用来进行数据的分类和分组。

通过集合的运算，我们可以对数据进行归类和分析。

在计算机科学中，集合的概念被用来描述数据对象的集合和关联关系。

通过集合的运算，我们可以进行数据的查询和处理。

在实际生活中，集合的概念被用来描述现象和事物的属性。

高一数学第二章知识点归纳

高一数学第二章知识点归纳本文将对高一数学第二章的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地复习和掌握这一章的内容。

一、集合及其运算1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，其中每个对象称为集合的元素。

2. 集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。

3. 集合的关系运算：并集、交集、差集和补集。

4. 集合的性质：幂集、空集以及集合的相等和不相等。

二、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将集合A中的每个元素都对应唯一的集合B中的元素。

2. 函数的表示方法：映射法、列表法、公式法和图示法。

3. 函数的性质：定义域、值域、对应关系、单射、满射、双射等。

4. 函数的运算：函数的加减乘除、函数的复合运算等。

三、二次函数与一次函数1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。

2. 二次函数的图像特征：顶点、对称轴、开口方向、零点等。

3. 一次函数的定义：y=kx+b（k≠0）。

4. 一次函数的图像特征：斜率、截距、直线方程的推导等。

四、指数与对数1. 指数的定义和性质：指数的运算法则、指数函数的图像、指数方程与指数不等式等。

2. 对数的定义和性质：对数的运算法则、对数函数的图像、对数方程与对数不等式等。

3. 指数与对数的换底公式和性质：e的性质、10的性质、常用对数与自然对数的换算等。

五、三角函数1. 三角函数的定义和性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等。

2. 三角函数的图像和周期性：三角函数图像的基本性质、周期性及其应用。

3. 三角函数的基本关系：同角三角函数的互相表示、和差化积等三角函数间的基本关系。

六、平面向量1. 平面向量的定义和表示：向量的表示方法、向量的加减及数乘等运算。

2. 平面向量的性质和定理：平行向量、垂直向量、向量的模、方向角及平面向量共线、共面的判定定理等。

3. 平面向量的应用：向量的几何应用、平面向量解几何问题等。

本文对高一数学第二章的知识点进行了简要归纳，帮助同学们复习和掌握了这一章的内容。

高一数学必修一集合的基本运算

高一数学必修一集合的基本运算1. 什么是集合？1.1 集合的概念哎，说到集合，你可能会想，它到底是什么呢？其实啊，集合就是把一堆有共同特点的东西，像一个大箱子，装在一起。

比如说，你把所有的苹果放在一个篮子里，这个篮子就是一个集合，里面的苹果就是这个集合的元素。

简简单单，但它可是数学中最基础的概念之一呢！1.2 集合的表示方法集合的表示方法也很简单，我们可以用花括号来表示集合。

比如，集合A={1, 2, 3}，这就表示集合A里有1、2、3这几个元素。

还有一种表示方式叫做描述法，比如“所有小于5的自然数”，这也是一个集合。

是不是很直观呢？2. 集合的基本运算2.1 并集好了，我们来聊聊集合的运算。

首先是“并集”。

假如你有两个集合，一个是A={1, 2, 3}，另一个是B={3, 4, 5}。

把这两个集合合起来，去掉重复的元素，就得到了它们的并集。

也就是说，A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

想象一下，像你把两个不同的书架上的书，搬到一个新的书架上，这样你就能看到所有的书了，这就是并集的意思。

2.2 交集接下来是“交集”。

交集就是找出两个集合里都出现的元素。

以刚刚的集合A和B为例，它们的交集是A∩B={3}。

就像你和朋友都喜欢吃巧克力饼干，那这个巧克力饼干就是你们的“交集”，两个人都喜欢。

2.3 补集然后是“补集”。

补集有点意思，它就是原集合的“反面”。

比如，集合A是{1, 2, 3}，在全集U（假设全集是{1, 2, 3, 4, 5}）中，A的补集就是那些不在A中的元素。

也就是说，A的补集是{4, 5}。

就像你从整个果篮里挑出没有苹果的部分，那就是补集。

3. 集合的关系3.1 包含关系集合之间还有“包含关系”。

一个集合A包含在集合B里，意思是A里的所有元素都在B里面。

比如，A={1, 2}，B={1, 2, 3}，那么A就包含在B里，写作A⊆B。

就像你是一个大家庭的成员，你肯定也属于家庭的每个小分组。

高一数学集合知识点总结

高一数学集合知识点总结# 高一数学集合知识点总结集合是数学中最基本的概念之一，它描述了一组具有某种特定性质的元素的全体。

在高中数学中，集合的概念和运算是学习其他数学知识的基础。

以下是高一数学中关于集合的一些重要知识点。

## 1. 集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的元素所组成的整体。

用大写字母表示集合，元素用小写字母表示，属于关系用符号∈ 表示。

## 2. 集合的表示方法- 列举法：直接列举出集合中的所有元素，如集合A={1, 2, 3}。

- 描述法：用文字描述集合中的元素，如集合B={x | x是小于10的正整数}。

## 3. 集合的分类- 有限集：元素数量有限的集合。

- 无限集：元素数量无限的集合。

- 空集：不含任何元素的集合，记作∅。

## 4. 子集与真子集- 子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A ⊆ B。

- 真子集：如果A是B的子集，且A不等于B，则称A是B的真子集，记作A ⊂ B。

## 5. 集合的运算- 并集：两个集合所有元素的集合，记作A ∪ B。

- 交集：两个集合共有的元素的集合，记作A ∩ B。

- 差集：属于集合A但不属于集合B的元素的集合，记作A - B。

- 补集：属于全集U但不属于集合A的元素的集合，记作∁_U A。

## 6. 集合的包含关系- 相等：如果A的每个元素都属于B，且B的每个元素都属于A，则称A等于B，记作A = B。

- 子集关系：如果A的所有元素都属于B，则A是B的子集。

## 7. 集合的幂集幂集是指一个集合的所有子集的集合，包括空集和该集合本身。

## 8. 集合的笛卡尔积两个集合A和B的笛卡尔积是所有可能的有序对(a, b)的集合，其中a 属于A，b属于B，记作A × B。

## 9. 特殊集合- 自然数集：表示为N。

- 整数集：表示为Z。

- 有理数集：表示为Q。

- 实数集：表示为R。

## 10. 集合的运算律集合运算满足交换律、结合律和分配律。

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高一数学集合知识点总结5篇

高一数学集合的基本运算知识点

高一数学集合的基本运算

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高一数学总复习--《集合》

高一数学复习考点知识与题型专题讲解3---集合的基本运算

高一数学系列总复习之《集合》

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