数字图像处理冈萨雷斯第三版第四章
数字图像处理课件(冈萨雷斯)N04
Original Bacteria image
after thresholding
Which pixels belong to the same object (region labeling)?
How large is each object (region counting)?
Pixel Operations no. 4
Digital Image Pຫໍສະໝຸດ ocessing（信息学院 陈辉）
Pixel Operations no. 3
Arithmetic Operations
Arithmetic Operations of two pixels: Addition: p+q; Subtraction p –q; Multiplication p×q; Division p÷q. (used for averaging to reduce noise, remove static scene, correct shading,etc.)
Digital Image Processing（信息学院 陈辉）
Pixel Operations no. 7
Region counting algorithm
Measures the size of each region Initialize counter(label)=0 for all label Loop through all pixels f(x,y), left to right, top to bottom • If f(x,y)=0, do nothing. • If f(x,y)=1, increment counter(label(x,y))
Region labeling algorithm (4-neighborhood)
冈萨雷斯数字图像处理第3版第4章习题4.164.43备课讲稿
4.16 证明连续和离散二维傅里叶变换都是平移和旋转不变的。
首先列出平移和旋转性质：002(//)00(,)(,)j u x M v y N f x y e F u u v v π+⇔-- (4.6-3) 002(//)00(,)(,)j x r M y v N f x x y y F u v e π-+--⇔ (4.6-4)旋转性质：cos ,sin ,cos ,sin x r y r u v θθωϕωϕ====00(,)(,)f r F θθωϕϕ+⇔+ (4.6-5) 证明：由式(4.5-15)得：由式(4.5-16)得：依次类推证明其它项。
4.17 由习题4.3可以推出1(,)u v δ⇔和(,)1t z δ⇔。
使用前一个性质和表4.3中的平移性质证明连续函数00(,)cos(22)f t z A u t v z ππ=+的傅里叶变换是0000(,)[(,)(,)]2AF u v u u v v u u v v δδ=+++-- 证明：000000002()2()002()2()2()2()2()2()2((,)(,)cos(22)[]222j ut vz j ut vz j u t v z j u t v z j ut vz j u t v z j u t v z j ut vz j u F u v f t z e dtdzA u t v z e dtdzA e e e dtdzA A e e dtdz e e πππππππππππ∞∞-+-∞-∞∞∞-+-∞-∞∞∞+-+-+-∞-∞∞∞+-+-+--∞-∞==+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)00000000(,)(,)22[(,)(,)]2t vz dtdz A Au u v v u u v v Au u v v u u v v δδδδ∞∞+-∞-∞=--+++=--+++⎰⎰ 4.18 证明离散函数(,)1f x y =的DFT 是1,0{1}(,)0,u v u v δ==⎧ℑ==⎨⎩其它证明：离散傅里叶变换112(//)00(,)(,)M N j ux M vy N x y F u v f x y e π---+===∑∑112(//)00112(//)00{1}M N j ux M vy N x y M N j ux M vy N x y e e ππ---+==---+==ℑ==∑∑∑∑如果0u v ==，{1}1ℑ=，否则：1100{1}{cos[2(//)]sin[2(//)]}M N x y ux M vy N j ux M vy N ππ--==ℑ=+-+∑∑考虑实部，1100{1}cos[2(//)]M N x y ux M vy N π--==ℑ=+∑∑，cos[2(//)]ux M vy N π+的值介于[-1, 1]，可以想象，1100{1}cos[2(//)]0M N x y ux M vy N π--==ℑ=+=∑∑，虚部相同，所以1,0{1}(,)0,u v u v δ==⎧ℑ==⎨⎩其它4.19 证明离散函数00cos(22)u x v y ππ+的DFT 是00001(,)[(,)(,)]2F u v u Mu v Nv u Mu v Nv δδ=+++--证明：000000112(//)00112(//)0000112()2()2(//)00112()2(//)00(,)(,)cos(22)1[]21{2M N j ux M vy N x y M N j ux M vy N x y M N j u x v y j u x v y j ux M vy N x y M N j u x v y j ux M vy N x y F u v f x y e u x v y e e e e e e πππππππππ---+==---+==--+-+-+==--+-+====+=+=∑∑∑∑∑∑∑∑000000112()2(//)0011112(//)2(//)2(//)2(//)00000000}1{}21[(,)(,)]2M N j u x v y j ux M vy N x y M N M N j Mu x M Nv y N j Mu x M Nv y N j ux M vy N j ux M vy N x y x y e e e e e e u Mu v Nv u Mu v Nv ππππππδδ---+-+==----+-+-+-+====+=+=+++--∑∑∑∑∑∑4.20 下列问题与表4.1中的性质有关。
数字图像处理课件(冈萨雷斯第三版)_图文
图像数据文件主要是用光栅形式,即图像是一些图像点 的集合，比较适合变化复杂的图像。它的主要缺点是缺少 对象和像素点之间的联系,且在伸缩图像的过程中图像会 改变。例如，常见的图象文件类型有bmp,jpg等等。图象 处理的程序必须考虑图象文件的格式，否则无法正确地打 开和保存图象文件。
pgm格式
美国的许多大学用pgm格式，避免使用压缩文件格式，对 初学者来说是很方便的。下面是一幅该格式的图象。
补充：图象和视觉基础
2.1 概论和综述 2.2 人眼与亮度视觉 2.3 颜色视觉 2.4 光度学和成象模型 2.5 成象变换 2.6 采样和量化 2.7 象素间联系 2.8 算术和逻辑运算 2.9 坐标变换
第2章 图象和视觉基础
2.1 概论和综述
该基础包括视觉基础、成像基础和图像基础三部分 ：
0x36 0x34 0x30 0x20 0x34
0x38 0x30 0x0A 表示640(SP)480(LF);
0x32 0x35 0x35 0x0A ………………………………… 表示255(LF) ………………………………… 0x27 0x27 …
表示23, 23,…(像素灰度值)
这幅图象文件的解码:
下面是一个Matlab程序
% 打开蝴蝶图象,进行Fourier变换 h=imread('butterfly.jpg'); % open an image figure; imshow(h); % 因为图像的格式uint8不能做加减法, % 所以需要把格式uint8变成格式double h=double(h); [m,n,p]=size(h); hf=fftshift(fft2(h)); % 2D Fourier变换, 得到2D复数值图像 hfa=log(abs(hf)); % 模的图像,用log来调整灰度的对比度 % 求出模的灰度最大值，从而把其灰度的值域变为[0，255] m=max(max(max(hfa))); hfa=hfa*255/m; figure; imshow(uint8(hfa)); Imwrite(uint8(hfa),’butterfly_fft.jpg’,’jpg’);
数字图像处理(冈萨雷斯)-4_fourier变换和频域介绍(dip3e)经典案例幻灯片PPT
F (u,v)
F *(u, v)
f ( x ,y ) ☆ h ( x ,y ) i f f t c o n j F ( u , v ) H ( u , v )
h(x,y):CD 周期延拓
PAC1
h:
PQ
QBD1
DFT
H (u,v)
F*(u,v)H(u,v)
IDFT
R(x,y):PQ
✓ 使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系 数就是f与该基函数的内积
图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
图像变换通常是一种二维正交变换。
一般要求： 1. 正交变换必须是可逆的； 2. 正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率 成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理
4.11 二维DFT的实现
沿着f(x,y)的一行所进 行的傅里叶变换。
F (u ,v ) F ( u , v ) (4 .6 1 9 )
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相 反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.
4.6
二维离散傅里叶变换的性质
其他性质：
✓尺度变换〔缩放〕及线性性
a f( x ,y ) a F ( u ,v ) f( a x ,b y ) 1 F ( u a ,v b ) |a b |
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
数字图像处理第三版( Rafael C.Gonzalez著)第4章答案
4.1 重复例4.1，但是用函数()2(/4/4)f t A W W =-≤和()0f t =，对于其他所有的t 值。
对你的结果和例子中的结果之间的任何不同，解释原因。
解：()()()()224442422222sin 22sin 2sin 22j tWj tW Wj tW j Wj W j W j Wj j F f t e dtA edtA ej A ee j A e ej ee jAW F W A WWπμπμπμπμπμπμπμθθμπμπμπμθπμμπμπμπμ∞--∞-------===-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦-=⎛⎫∴=⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰傅立叶变换的幅值是不变的；由于周期不同，4.2 证明式（4.4-2）()()()()()()~~2222j tj tn j tn j n Ttn n F f t edtf t t n T edt f t t n T edt f eπμπμπμπμμδδ∞--∞∞∞--∞=-∞∞∞--∞=-∞∞-∆=-∞==-∆=-∆=⎰∑⎰∑⎰∑中的()~F μ在两个方向上是无限周期的，周期为1/T ∆证明：(1) 要证明两个方向上是无限周期1/T ∆，只需证明根据如下式子：可得：其中上式第三行，由于k, n 是整数，且和的极限是关于原点对称。
(2) 同样的需要证明根据如下式子：()()()()()()~~2222j tj tn j tn j n Ttn n F f t edtf t t n T edt f t t n T edt f eπμπμπμπμμδδ∞--∞∞∞--∞=-∞∞∞--∞=-∞∞-∆=-∞==-∆=-∆=⎰∑⎰∑⎰∑可得：其中第三行由于k, n 都为整数，所以21j kneπ-=。
4.3 可以证明（Brancewell[2000]）1()1()t t δδ⇔⇔和。
使用前一个性质和表4.3中的平移性质，证明连续函数()cos(2)f t nt π=的傅立叶变换是()()()()1/2F n n μδμδμ=++-⎡⎤⎣⎦，其中是一个实数。
冈萨雷斯数字图像处理4讲解
一、背景知识
频域滤波，就是对图像做傅里叶变换后进行的处理 频域滤波在图像增强、图像复原、图像数据压缩等
过程中都起着重要作用 频域滤波包括低通滤波、高通滤波和高频强调滤波
一、二维离散傅里叶变换
令f(x,y)表示一幅大小为MXN的图像，其中 x=0,1,2, …,M-1, y=0, 1, 2, …, N-1
二、 Matlab中的二维DFT
显示频谱: FC = fftshift(F) imshow(abs(FC), [])
对数变换可以拓展显示范围 S2 = log(1 + abs(FC)) imshow(S2, [])
二、 Matlab中的二维DFT
傅里叶逆变换： f=ifft2(F)
图像处理中，逆变换结果一般只取实部: f = real(ifft2(F))
三、频域滤波
P = 2^nextpow2(2*m); PQ = [P, P]; elseif nargin == 3 m = max([AB CD]); P = 2^nextpow2(2*m); PQ = [P, P]; else error('Wrong number of inputs.') end
f (x, y)
1
M 1 N 1
F (u, v)e j 2 (ux / M vy/ N )
MN u0 v0
其中x=0,1,2, …,M-1和y=0, 1, 2, …, N-1 F(u,v)在这里称为傅里叶系数 Matlab中F(1,1)=F(0,0)
一、二维离散傅里叶变换
在原点处的频率值F(0,0)称为直流分量 傅里叶变换的频谱定义为
M 1 N 1
F(u, v)
f (x, y)e j2 (ux/ M vy/ N )
冈萨雷斯数字图像处理4
五、低通频域滤波器
理想低通滤波器(ILP)具有传递函数：
1 H (u, v) 0
若D(u, v) D0 若D(u, v) D0
n阶巴特沃兹低通滤波器(BLPF)，截止频率
为D0
H
(u,
v)
1ຫໍສະໝຸດ [1 D(u, v)
/
D0
]2n
高斯低通滤波器(GLPF)的传递函数为：
H (u, v) eD2 (u,v)/ 2D02
五、在频率域直接生成滤波器
其中函数meshgrid用来生成网格数组，语 法：
[C, R] = meshgrid(c,r);
c和r是输入的行向量，C和R是输出的矩阵 C和R的维数为length(c)*length(r) 其中C的行是c的副本，R的列是r的副本 如c=[0,1]; r=[0, 1, 2]; 则C=[0 1 R=[0 0
M 1 N 1
F(u, v)
f (x, y)e j2 (ux/ M vy/ N )
x0 y0
其中u=0,1,2, …,M-1和v=0, 1, 2, …, N-1
频域系统是由F(u,v)所构成的坐标系统，其中u和 v是频率变量
利用欧拉公式可以手工计算傅里叶变换
一、二维离散傅里叶变换
自定义函数paddedsize()用来计算P、Q的最小偶 数值，以满足快速傅里叶变换FFT的计算需要
三、频域滤波
为避免折叠误差的干扰，在做频域滤波前要对输入 的图像和滤波器进行扩充补零的操作
设f(x,y)的大小为AXB， h(x,y)的大小为CXD， 则扩充后的函数大小为PXQ，其中： P>=A+C-1 Q>=B+D-1
冈萨雷斯_数字图像处理第3版第4章习题
首先列出平移和旋转性质：002(//)00(,)(,)j u x M v y N f x y e F u u v v π+⇔-- 002(//)00(,)(,)j x r M y v N f x x y y F u v e π-+--⇔旋转性质：cos ,sin ,cos ,sin x r y r u v θθωϕωϕ====00(,)(,)f r F θθωϕϕ+⇔+ 证明：由式得： 由式得：依次类推证明其它项。
由习题可以推出1(,)u v δ⇔和(,)1t z δ⇔。
使用前一个性质和表中的平移性质证明连续函数00(,)cos(22)f t z A u t v z ππ=+的傅里叶变换是0000(,)[(,)(,)]2AF u v u u v v u u v v δδ=+++-- 证明：000000002()2()002()2()2()2()2()2()2((,)(,)cos(22)[]222j ut vz j ut vz j u t v z j u t v z j ut vz j u t v z j u t v z j ut vz j u F u v f t z e dtdzA u t v z e dtdzA e e e dtdz A A e e dtdz e e πππππππππππ∞∞-+-∞-∞∞∞-+-∞-∞∞∞+-+-+-∞-∞∞∞+-+-+--∞-∞==+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)00000000(,)(,)22[(,)(,)]2t vz dtdzA Au u v v u u v v Au u v v u u v v δδδδ∞∞+-∞-∞=--+++=--+++⎰⎰ 证明离散函数(,)1f x y =的DFT 是1,0{1}(,)0,u v u v δ==⎧ℑ==⎨⎩其它证明：离散傅里叶变换112(//)00(,)(,)M N j ux M vy N x y F u v f x y e π---+===∑∑112(//)00112(//)00{1}M N j ux M vy N x y M N j ux M vy N x y e e ππ---+==---+==ℑ==∑∑∑∑如果0u v ==，{1}1ℑ=，否则：1100{1}{cos[2(//)]sin[2(//)]}M N x y ux M vy N j ux M vy N ππ--==ℑ=+-+∑∑考虑实部，1100{1}cos[2(//)]M N x y ux M vy N π--==ℑ=+∑∑，cos[2(//)]ux M vy N π+的值介于[-1, 1]，可以想象，1100{1}cos[2(//)]0M N x y ux M vy N π--==ℑ=+=∑∑，虚部相同，所以1,0{1}(,)0,u v u v δ==⎧ℑ==⎨⎩其它证明离散函数00cos(22)u x v y ππ+的DFT 是00001(,)[(,)(,)]2F u v u Mu v Nv u Mu v Nv δδ=+++--证明：000000112(//)00112(//)0000112()2()2(//)00112()2(//)00(,)(,)cos(22)1[]21{2M N j ux M vy N x y M N j ux M vy N x y M N j u x v y j u x v y j ux M vy N x y M N j u x v y j ux M vy N x y F u v f x y e u x v y e e e e e e πππππππππ---+==---+==--+-+-+==--+-+====+=+=∑∑∑∑∑∑∑∑000000112()2(//)0011112(//)2(//)2(//)2(//)00000000}1{}21[(,)(,)]2M N j u x v y j ux M vy N x y M N M N j Mu x M Nv y N j Mu x M Nv y N j ux M vy N j ux M vy N x y x y e e e e e e u Mu v Nv u Mu v Nv ππππππδδ---+-+==----+-+-+-+====+=+=+++--∑∑∑∑∑∑ 下列问题与表中的性质有关。
数字图像处理第四章部分答案(全手打来自文库)
6，7→7
8
求变换后的匹配直方图
p(j)
0.14 0.22 0.25 0.33 0.06
4.5
解：已知通过图像平均法可以将噪声均方差降低到原来的 1/ m ,m 为用于平均的图像个数，
所以 g=1/10 n= 1/ m n
所以 M=100，T=3.33 秒
4.8 解：对提示表达式进行傅里叶变换得
4.2
解：1、[0,15]=3/2[0,10]; 2、[15,25]=15+[10,20]-10; 3、[25,30]=25+1/2([20,30]-20);
4.4
直方图均衡化
步
计算方法或公式
骤
1 列出图像灰度级（i 或 j）
2 计算原始直方图:p(i)=ni∕n
计算结果
0
1
2
3
4
5
6
7
0.14 0.22 0.25 0.17 0.10 0.06 0.03 0.03
4
计算原始累积直方图 pi 0.14 0.36 0.61 0.78 0.88 0.94 0.97 1.00
5
计算规定累积直方图 pj 0
0
0
0.19 0.44 0.65 0.89 1.00
6
按照 pi→ pj 找到对应的 3
4
5
6
6
6
7
7
i和j
7
确定变换关系 i→j
0→3 1→4 2→5 3，4，5→6
0.14
（j）=nj∕n
直方图规定化
0.22 0.25 0.17 0.10 0.12步 Nhomakorabea 计算方式
计算结果
1
列出图像灰度级 i，j 0
数字图像处理第三版中文答案解析冈萨雷斯
数字图像处理第三版中文答案解析引言《数字图像处理》是一本经典的图像处理教材，目前已经出版了第三版。
本文是对该书答案解析的总结，将分析和解释书中的问题和答案。
目录•第一章：绪论•第二章：数字图像基础•第三章：灰度变换•第四章：空间滤波•第五章：频域滤波•第六章：图像复原•第七章：几何校正•第八章：彩色图像处理•第九章：小波与多分辨率处理第一章：绪论本章主要介绍了数字图像处理的概念和基本步骤。
答案解析中包括对一些基本概念和术语的解释，以及相关的数学公式和图像处理方法的应用。
第二章：数字图像基础本章介绍了数字图像的表示和存储方法，以及图像的采样和量化过程。
答案解析中详细解释了图像的像素值和灰度级之间的关系，以及采样频率和量化步长对图像质量的影响。
第三章：灰度变换本章讲述了图像的灰度变换方法，包括线性和非线性变换。
答案解析中对不同灰度变换函数的作用和效果进行了解释，并给出了一些实例和应用。
第四章：空间滤波本章介绍了图像的空间滤波方法，包括平滑和锐化滤波。
答案解析中解释了不同滤波器的原理和效果，并给出了滤波器设计的步骤和实例。
第五章：频域滤波本章讲述了图像的频域滤波方法，包括傅里叶变换和滤波器设计。
答案解析中详细解释了傅里叶变换的原理和应用，以及频域滤波器的设计方法和实例。
第六章：图像复原本章介绍了图像的复原方法，包括退化模型和复原滤波。
答案解析中详细解释了退化模型的建立和复原滤波器的设计方法，以及如何根据退化模型进行图像复原的实例。
第七章：几何校正本章讲述了图像的几何校正方法，包括图像的旋转、缩放和平移等操作。
答案解析中给出了不同几何变换的矩阵表示和变换规则，以及几何校正的应用实例。
第八章：彩色图像处理本章介绍了彩色图像的表示和处理方法，包括RGB和HSV 等颜色模型的转换和处理。
答案解析中详细解释了不同颜色模型的表示和转换方法，以及彩色图像处理的实例和应用。
第九章：小波与多分辨率处理本章讲述了小波和多分辨率处理的方法和应用。
数字图像处理冈萨雷斯第三版第四章讲解学习
1 其它
设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为零)，而保留其 它傅里叶变换的频率成分不变
由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低， 因此几乎没有平滑的灰度级细节
低通滤波器：
使低频通过，高频衰减的滤波器
被低通滤波的图像比原始图像少了尖锐的细节部分 而突出了平滑过渡部分
高通滤波器：
使高频通过，低频衰减的滤波器
x0 y0
②当从变换的原点移开时，对低频对应着图像的慢变化分量， 如图像的平滑部分
③进一步离开原点时，较高的频率对应图像中变化越来越 快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分
F(u, v) F(u, v) ei(u,v)
从幅度谱中我们可以看出明亮线和原始图像中对应的轮廓 线是垂直的。如果原始图像中有圆形区域那么幅度谱中也 呈圆形分布。
性滤波 g(x, y) w(s,t) f (x s, y t) (3.4 1)
sa tb
(4.6-23)和(3.4-1)本质上是相似的；相差之处只在于：常数、 负号及求和的上、下限； 在实践中，我们宁愿使用(3.4-1)和较小的滤波器模板来实现滤波 处理； 滤波在频率域中更为直观，可以在频率域指定滤波器，做反变换， 然后在空间域使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的 指导；
傅里叶频谱显示了±450的强边缘，在垂直轴偏左的部分有垂 直成分（对应两个氧化物突起）。
频率域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
后处理
f (x , y)
g (x , y)
思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换， 然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像
数字图像处理(冈萨雷斯)-4 频域平滑及锐化滤波PPT文档共40页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
数字图像处理(冈萨雷斯)-4 频域平滑 及锐化滤波
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
数字图像处理(冈萨雷斯)课件4图像变换
1
M 1 N 1
f x, y
MN x0 y0
傅里叶变换
7. 平均值 所以
f
x,
y
F
0,0
上式说明：如果f(x,y)是一幅图像，在 原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度 级
傅里叶变换
8. 卷积理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散
卷积
f x, yhx, y
傅里叶变换的频率谱是对称的
Fu,v Fu,v
傅里叶变换
傅里叶变换 傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质 快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换 二维傅里叶变换的性质
1. 平移性质 2. 分配律 3. 尺度变换（缩放） 4. 旋转性 5. 周期性和共轭对称性 6. 平均值 7. 可分性 8. 卷积 9. 相关性
上述公式表明
尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需 根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v)得到 f(x,y)
只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全 确定
同样的结论对f(x,y)在空域也成立
傅里叶变换
5. 周期性和共轭对称性
如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有 共轭对称性
数字图像处理（4）
任何问题？
傅里叶变换
傅里叶变换 傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质 快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
为什么要在频率域研究图像增强
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一 些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通
滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的 某些性质
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目的：尽可能模糊细节，而保留大的可识别特征
4.9、频率域锐化
图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊是由于高 频成分比较弱产生的。频率域锐化就是为了消除模糊，突出边 缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过，使低频成分削弱， 再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像 频率域锐化滤波器主要有： 理想高通滤波器 布特沃思高通滤波器 高斯高通滤波器 频率域的拉普拉斯算子 钝化模板、高频提升滤波和高频加强滤波
H (u) Ae
u2 /2 2
(4.7 5)
(4.7 6)
对应空间域高斯低通滤波器为 h( x)
2 Ae
2 2 2 x2
频率域高斯高通滤波器函数
H (u) Ae
2 u2 /21
Be
2 u2 /2 2
(4.7 7) A
B ,
2
1
对应空间域高斯高通滤波器为
(4.8 2)
理想低通滤波器
说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤 波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉
理想低通滤波器
总图像功率值PT 其中:
PT P ( u, v ) (4.8 3)
u 0 v 0
2 2 2
P 1 Q 1
P ( u, v ) F ( u, v ) R ( u, v ) I ( u, v )
第 4章
频率域滤波基础
4.7.1、频率域的其他特性：
F ( u, v )
M 1 N 1 x 0 y 0
f ( x , y )e
i 2 (
ux vy ) M N
①变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级
F (0 , 0 )
M 1 N 1 x 0 y 0
2n
(4.9 3)
1
2n
1 D( u, v ) / D0 1
2n
1 D0 / D( u, v )
二阶巴特沃思高通滤波示例：
D0=30 D0=60 D0=160
结论：BHPF的结果比IHPF的结果平滑得多
4.9.3、高斯高通滤波器
原始图
D0=10的ILPF滤波 损失能量为8%
D0=30的ILPF滤波 损失能量为5.4%
D0=60的ILPF滤波 损失能量为3.6%
D0=160的ILPF滤波 损失能量为2%
D0=460的ILPF滤波 损失能量为0.5%
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
a ) 半径为10的 频域ILPF
b ) 半径为10空 域ILPF
f ( m , n)h( x m , y n )
(4.6 23)
对比空间域滤波：在 M× N的图像f上，用m×n的滤波器进行线 a b 性滤波 g ( x, y ) w( s, t ) f ( x s, y t ) ( 3.4 1)
s a t b
图4.36
4.7.4 、 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的频率域滤波表示为： H (u, v ) F (u, v ) 由卷积定理，该运算对应的空间域运算为：
f ( x , y )★ h( x , y )
M 1 N 1 m 0 n 0
h( x ) 2 1 Ae
2 2 2 2 1 x
2 2 Be
2 2 2 2 2 x
(4.7 8)
频域高斯低通滤 波器
频域高斯高通滤 波器
空域高斯低通滤波器及模板
空域高斯高通滤波器及模板
图4.37
例4.15
f ( x, y ) : 600 600
F (u, v ) : 600 600
图4.38
h33 ( x, y)
H (u, v ) : 602 602
g( x, y) 1 H (u, v)F (u, v) h33 ( x, y)☆ f602602 ( x, y)
H 33 (u, v )
图4.39
空域线性滤 波的结果
4.8.1、理想低通滤波器
截断傅里叶变换中的所有处于指定距离D0之外的高频成分
结论：图a和b的振铃问题十分明显
4.9.2 、巴特沃思高通滤波器
n阶巴特沃思高通滤波器(BHPF)定义如下
1 H BHPF ( u, v ) 2n 1 [ D0 D( u, v )]
H hp ( u, v ) 1 H lp ( u, v ) 1 D( u, v ) / D0 1 D ( u , v ) / D 0
IDFT
前处x , y)
思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换， 然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像
4.7.2、频率域滤波基础： DFT
F (u , v) 滤波器 H (u , v)
IDFT
H (u , v) F (u , v) 后处理
前处理
f (x , y)
1 D( u, v ) D0 H ILPF ( u, v ) 0 D( u, v ) D0
频率域的中心在 离如下
P Q ( , ) 2 2
, D0 0 (4.8 1)
，从点(u,v)到中心（原点）的距
1 2
P 2 Q 2 D( u, v ) ( u ) ( v ) 2 2
几种高通滤波器图示：
IHPF
BHPF
GHPF
几种高通滤波器空域图示：
IHPF BHPF GHPF
4.9.1、理想高通滤波器（IHPF）
截断傅里叶变换中所有处于指定距离D0之内的低频成分
0 D( u, v ) D0 H IHPF ( u, v ) 1 D( u, v ) D0
从幅度谱中我们可以看出明亮线和原始图像中对应的轮廓
线是垂直的。如果原始图像中有圆形区域那么幅度谱中也
呈圆形分布。
傅里叶频谱显示了±450的强边缘，在垂直轴偏左的部分有垂 直成分（对应两个氧化物突起）。
频率域滤波的基本步骤 DFT
F (u , v) 滤波器 H (u , v) H (u , v) F (u , v)
低通滤波器：
使低频通过，高频衰减的滤波器
被低通滤波的图像比原始图像少了尖锐的细节部分
而突出了平滑过渡部分
高通滤波器：
使高频通过，低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少了灰度级的平滑 过渡而突出了边缘等细节部分
陷波滤波结果
高通滤波结果
高通滤波改进结果
陷波滤波器将原 点设置为0，平 均灰度为0，负 灰度置为0。
该高通滤波器原 点为0，因此几乎 没有平滑的灰度 级细节，且图像 较暗。
在高通滤波器中 加入常量，以使 F(0,0)不被完全 消除。（防止直 流项消除，保持 色调）
错误的填充图像会导致错误的结果
4.7.3、频率域的滤波步骤：
1、对要滤波的图像 f M N ( x, y) 进行填充得到 f PQ ( x, y) ，典 型地：P=2M,Q=2N x y ( 1) 2、填充图像，用 乘以输入图像进行中心变换
原点在频率域的中心，半径为D0的圆包含
其中
100 u
%的功率
P ( u, v ) / PT (4.8 4) v
理想低通滤波器举例
①87%以上的功率(能量)集中在半径小于10的圆周内;
②随滤波器半径的增加,越来越少的功率被滤出掉,使模糊 减弱;
理想低通滤波器举例
fP Q ( x , y) ( 1) x y F (u
x y F ( u , v ) f ( x , y )( 1) 3、变换到频域 P Q
P Q ,v ) 2 2
P Q H ( u , v ) ( 4、生成一个实的、中心对称的滤波器 PQ ，中心在 2 , 2 )
1 2
(4.8 2)
4.8.2、布特沃思低通滤波器
它的特性是连续性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变化，
即明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的 同时，图像边缘的模糊程度大大减小，没有振铃效应产生
布特沃斯低通滤波器举例
原始图
D0=10的BLPF滤波
D0=30的BLPF滤波
D0=60的BLPF滤波
, D0 0 (4.9 2)
频率域的中心在 ( P , Q ) ，从点(u,v)到中心（原点）的 2 2 距离如下
P 2 Q 2 D( u, v ) ( u ) ( v ) 2 2
1 2
(4.8 2)
理想高通滤波示例：
D0=30 D0=60 D0=160
频域滤波: G(u, v) F (u, v) H (u, v)
5、变换到空间域: gPQ ( x, y)
1
6、取实部: real g P Q ( x , y ) x y g ( x , y ) real g ( x , y ) ( 1) 7、取消输入图像的乘数: p P Q 8、提取M N 区域: gM N ( x , y ) gPQ ( x , y )的对应部分
c ) 图像b）的水平 扫描线灰度变化
4.8.2 、布特沃思低通滤波器
n阶布特沃思低通滤波器(BLPF)定义如下
1 H BLPF ( u, v ) 1 [ D( u, v ) D0 ]2 n
(4.5 8)
D0为截至频率距原点的距离，D(u,v)是点(u,v)距原点的距离。
P 2 Q 2 D( u, v ) ( u ) ( v ) 2 2
D0=160的BLPF滤波
D0=460的BLPF滤波
布特沃斯低通滤波器举例——振铃现象