二次函数的应用一(最值问题)
第二十二章 第12课 二次函数的应用(1)——最值问题
解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3， 当运动 x 秒时，则 AQ＝x，BP＝x， ∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x， ∴S△ADQ＝21AD·AQ＝12×4x＝2x， S△BPQ＝12BQ·BP＝12(3－x)x＝23x－12x2，S△PCD＝12PC·CD＝12·(4－ x)·3＝6－32x，
又 S 矩形 ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，∴S＝S 矩形 ABCD－S△ADQ－ S△BPQ－S△PCD ＝12－2x－32x－12x2－6－32x＝12x2－2x＋6＝12(x－2)2＋4， 即 S＝12(x－2)2＋4，∴S 为开口向上的二次函数，且对称轴为 x ＝2，
2．如图，小明用铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自行车 场地 ABCD，在 AB 和 BC 边各有一个 2 米宽的小门(不用铁栅 栏)，小明共用铁栅栏 40 米，设矩形 ABCD 的边 AD 长为 x 米， 矩形的面积为 S 平方米．
(1)写出 S 与 x 的函数关系式； (2)如果要围成 192 平方米的场地，AD 的长是___6____. (3)当 x 取何值时，S 有最大值？ 并求出最大值．
1．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是 40 元．根据市场 调查，在一段时间内，销售单价是 60 元时，销售量是 100 件， 而销售单价每降低 1 元，就会多售出 10 件． (1)写出销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的函数解析式． (2)写出销售该品牌童装获得的利润 w(元)与销售单价 x(元)之 间的函数解析式．
则当 AC＝__5____时，ABCD 的最大面积为__2_______.
4．在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，动点 Q 从点 A 出发，以每 秒 1 个单位的速度，沿 AB 向点 B 移动；同时点 P 从点 B 出发， 仍以每秒 1 个单位的速度，沿 BC 向点 C 移动，连接 QP，QD， PD.若两个点同时运动的时间为 x 秒(0＜x≤3)，设△QPD 的面 积为 S，用含 x 的函数关系式表示 S；当 x 为何值时，S 有最小 值？ 并求出最小值．
二次函数的最值问题与问题解决技巧
二次函数的最值问题与问题解决技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。
解决这类问题需要一定的技巧和方法。
本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。
一、二次函数的最值问题最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。
对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。
1. 二次函数的开口方向对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。
通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。
当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。
2. 顶点的横坐标和纵坐标二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。
对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。
3. 最值问题的解答根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。
当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。
二、解决二次函数最值问题的技巧解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。
1. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。
根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。
2. 配方法当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。
例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。
3. 导数法通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。
导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。
下册第二章第10课二次函数的应用——最值问题-北师大版九年级数学全一册课件
当31≤x≤50时，W＝ x2+160x+1 850
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）求当x为多少时，y有最小值，
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使
销售这种土特产每日的利润最大，每袋的销售
价应定为多少元？最大利润是多少元？
（2）依题意，设利润为W元， 得W＝（x-10）（-x+40）＝-x2+50x-400， 整理，得W＝-（x-25）2+225. 当x＝25时，W取得最大值，最大值为225. 故要使销售这种土特产每日的利润最大，每袋的 销售价应定为25元，最大利润是225元.
三级检测练
5 一级基础巩固练 8. 如图，用一段长为40 m的篱笆围成一边靠墙的草坪，
墙长16 m，当矩形的长BC为多少时，草坪面积最大？ 最大面积为多少？
解：设AB=x m，则BC=（40-2x）m（12≤x＜20）， 面积为S m2. 根据题意得，S＝x（40-2x）＝-2x2+40x ＝-2（x-10）2+200， 因此当x=12，即AB=12 m，BC=16 m时，矩形草坪的 面积最大，最大面积为16×12＝192（m2）.
（2）依题意，得W＝（y-18）·m.
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的 （1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
由题意列得，a+2b=80，2a+3b=135.
函数关系式为y＝-x+40. 根据题意得，S＝x（40-2x）＝-2x2+40x
∵
＜0，∴当x＝32时，W取最大值，
（1）确定k，b的值；
解：设AB=CD=x m，则AD=BC= （12-2x） m（0＜x＜6）. 这个花园的面积是S＝x（12-2x） ＝-2x2+12x＝-2（x-3）2+18. 当x ＝3时，S取得最大值， 此时S＝18. 即这个花园的最大面积为18 m2.
二次函数的应用最值问题
二次函数的应用最值问题二次函数是一个在数学中广泛应用的函数模型。
在实际问题和生产生活中，二次函数的最值问题也经常出现。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括实际问题中的二次函数最值、生产生活中的二次函数最值、利用配方法求二次函数的最值、利用导数求解二次函数的最值、利用作图法求解二次函数的最值、利用公式法求解二次函数的最值和利用对称轴求解二次函数的最值等方面。
一、实际问题中的二次函数最值在实际问题中，二次函数最值通常出现在诸如最大利润、最小成本、最高产量等问题中。
例如，一个工厂生产一种产品，该产品的成本包括固定成本和可变成本。
固定成本是不随产量变化的成本，而可变成本是随产量变化的成本。
因此，总成本函数是一个开口向下的二次函数。
为了使总成本最低，需要找到自变量的取值，使得总成本函数的导数为零，并判断导数是否为零，从而确定最值是否存在。
二、生产生活中的二次函数最值在生产生活中，二次函数最值也经常出现。
例如，一个公司投资一个项目，该项目的收益随投资额变化，且收益函数是一个开口向下的二次函数。
为了使收益最大，需要找到投资额的最优解。
最优解可以通过求解收益函数的导数并令其为零得到。
三、利用配方法求二次函数的最值配方法是求二次函数最值的一种常用方法。
该方法的基本思想是将二次函数转化为一个完全平方项和一个常数项之和的形式，然后利用平方的非负性求出最值。
具体步骤如下：（1）将二次函数配方为一个完全平方项和一个常数项之和的形式；（2）根据平方的非负性，求出这个完全平方项的取值；（3）将这个完全平方项的取值代入配方后的二次函数中，求出最值。
四、利用导数求解二次函数的最值利用导数求解二次函数的最值是一种比较简单的方法。
该方法的基本思想是先求出二次函数的导数，然后令导数为零，解出此时的自变量取值，最后比较所有自变量取值对应的函数值，找出最大（或最小）的一个即可。
五、利用作图法求解二次函数的最值作图法是一种直观地求解二次函数最值的方法。
二次函数的最值与最值问题的应用
二次函数的最值与最值问题的应用二次函数是数学中常见的一类函数，具有很多重要的性质和应用。
其中最值与最值问题是二次函数的重要内容之一。
本文将详细介绍二次函数的最值性质，以及如何利用最值问题解决实际应用中的相关问题。
一、二次函数的基本性质二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负性。
在讨论二次函数的最值之前，我们先了解一些与最值相关的基本性质。
1. 首先，二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值出现在顶点上。
2. 其次，二次函数的顶点即为函数的最值点。
顶点坐标为（h, k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为函数的最值（最小值或最大值）。
3. 再次，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相同。
对称轴的方程为x = h。
二、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是指求解函数的最小值或最大值的问题。
在实际应用中，最值问题经常出现，例如求解投掷问题中的飞行距离最大值或者盈利问题中的最大利润等。
1. 求解二次函数的最值为了求解二次函数的最值，我们可以利用二次函数图像的特点，即找出抛物线的顶点坐标。
通过完成平方项的平方，将二次函数转换为顶点形式，可以轻松地求解最值问题。
例如，对于函数y = x² - 4x + 3，我们可以完成平方项的平方，将其转换为顶点形式：y = (x - 2)² - 1从中可以看出，顶点坐标为（2, -1），函数的最小值为-1。
因此，原二次函数的最小值为-1。
2. 应用最值问题最值问题在实际应用中非常常见，下面以一个具体的应用为例进行解析。
例题：某商品的价格为p（元），销量为x（件），已知该商品的价格和销量满足二次函数关系p = 0.5x² - 2x + 8，求该商品的最佳销量以及最佳价格。
二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用
二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用二次函数的最值与应用二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，在学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用之前，我们首先需要了解二次函数的基本形式和性质。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0，x、y为变量。
在此基础上，我们将深入探讨二次函数的最值及其在实际问题中的应用。
一、二次函数的最值性质二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
对于一个二次函数而言，其最值即为函数的最大值和最小值。
1. 最值存在性对于二次函数y=ax^2+bx+c，当抛物线开口向上时，函数存在最小值；当抛物线开口向下时，函数存在最大值。
即最值存在性与a的正负相关。
2. 最值点的横坐标对于二次函数y=ax^2+bx+c，最值点的横坐标可以通过计算二次函数的自变量x的取值来确定。
最值点的横坐标为二次函数的顶点，顶点的横坐标为-x轴的对称轴，即x=-b/2a。
3. 最值点的纵坐标最值点的纵坐标可通过将最值点的横坐标代入二次函数中求得。
将x=-b/2a代入二次函数y=ax^2+bx+c中，可以求出最值点的纵坐标。
二、二次函数最值的应用二次函数的最值性质在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍二次函数最值的几个常见应用场景。
1. 最值问题通过研究二次函数的最值性质，可以解决许多涉及最值问题的实际情况。
例如，我们要抛掷一个物体，求出其最高点的高度以及达到最高点时的时间。
可以建立一个关于时间的二次函数模型，然后通过最值性质计算出最高点的高度和达到最高点的时间。
2. 优化问题在实际生活中，许多问题可以通过优化函数来解决。
例如，我们要制造一个容积为V的长方体包装盒，为了节省材料成本，我们想使包装盒的表面积最小。
可以建立一个关于长方体各边长的二次函数模型，然后通过最值性质求解出使表面积最小的边长。
二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题
二次函数的实际应用——最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当abx 2-=，a b ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小1.二次函数c 中，2b ac =，且0x =时4y =-，则（ ） A.4y =-最大 B.4y =-最小 C.3y =-最大 D.3y =-最小2..已知二次函数22)3()1(-+-=x x y ，当x ＝_________时，函数达到最小值。
3..若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）A.最大值B..最大值C.最小值D.有最小值4.若二次函数2()y a x h k =-+的值恒为正值, 则 _____. A. 0,0a k <> B. 0,0a h >> C. 0,0a k >> D. 0,0a k << 5.函数92+-=x y 。
当-2<X<4时函数的最大值为6.若函数322-+=x x y ，当24-≤≤-x 函数值有最 值为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分） （2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分）（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？类型二1.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
二次函数的最值
二次函数的最值二次函数是一种非常常见和重要的数学函数形式，具有许多应用和特点。
其中一个重要的特点就是它的最值。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括如何求解最值以及最值的应用。
一、最值的概念在数学中，最值是指一个函数在给定定义域上取得的最大值或最小值。
二次函数的最值是指二次函数在定义域内取得的最大值或最小值。
二、最值的求解求解二次函数的最值可以通过求导数或者求二次函数对称轴来实现。
1. 求导数法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过求导数来找到最值。
首先，对二次函数求一阶导数，然后令导数等于0，即求解方程ax^2 + bx + c = 0。
这样可以找到二次函数的驻点，将驻点代入二次函数，得到最值。
2. 对称轴法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过求其对称轴来找到最值。
二次函数的对称轴公式为x = -b / (2a)。
将对称轴的x值代入二次函数，即可得到最值。
三、最值的应用最值问题在实际应用中有着广泛的应用，尤其是二次函数的最值。
1. 经济学应用在经济学中，二次函数的最值问题常用于研究成本、利润或者效益等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助经济学家做出更合理的决策。
2. 物理学应用在物理学中，二次函数的最值问题常用于研究物体的运动轨迹、能量等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助物理学家预测和解释实验现象。
3. 工程学应用在工程学中，二次函数的最值问题常用于研究设计优化、材料选取等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助工程师在设计和实施工程项目时作出最佳决策。
四、例题演示假设有一个二次函数y = -x^2 + 2x + 3，我们来求解它的最值。
1. 求导数法首先，对二次函数求导数，得到y' = -2x + 2。
令导数等于0，即-2x + 2 = 0，解得x = 1。
将x = 1代入二次函数，得到y = 4。
所以，二次函数y = -x^2 + 2x + 3的最值为y = 4。
二次函数的应用 最值问题
——最值问题
例1：已知二次函数y=x2+bx+c的图象过 点A（-3，0）和点B（1，0）， 且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横 坐标是-2． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点Q使得 QA+QD的值最小，求出QA+QD的最小值．
例2：如图，直线y=x-3与x轴、 y轴分别交于B、C两点，抛 物 线 y=x2+bx+c同 时 经 过 B、 C两点，点A是抛物线与x轴 的另一交点
（1）求抛物线解析式 （ 2 ） 若 点 p 在 直 线 BC 上 ， 且
S△ABP=4，求P点坐标
例2变式： 1.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物 线y=x2+bx+c同时经过B、C两 点，点A是抛物线与x轴的另 一交点，若点p在抛物线上， 且S△ABP=4求P点坐标。
线y=x2+bx+c同时经过B、C两
点，点A是抛物线与x轴的另
一交点，
若点P是直线BC下方抛物线上
一点，△PBC的面积是否存在
P
最大面积？最大面积是多少？
例2变式：
4.如图，直线y=x-3与x轴、y
轴分别交于B、C两点，抛物
线y=x2+bx+c同时经过B、C两
点，点A是抛物线与x轴的另
一交点，
若点P是直线BC下方抛物线上
一点，四边形ABPC的面积是
P
否存在最大面积？最大面积是
多少？
练习1.
如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点， 抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点， 并与x轴交于另一点C（点C点A的右 侧），点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）若点P在第二象限内，过点P作 PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运 动到什么位置时，线段PE最长？ 此时PE等于多少？ （3）△PAB的面积是否存在最大面积？ 最大面积是多少？
(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案)
二次函数应用题1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.x(第13题)3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时，244ac b y a -=最大(小)值)4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）． 34 5.83135 5.91637 6.08338 6.164）5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．6、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
二次函数的最值与应用
二次函数的最值与应用二次函数在数学中是一种重要的函数类型，其形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
本文将讨论二次函数的最值以及其在实际应用中的具体运用。
一、二次函数的最值二次函数的图像是一个抛物线，其顶点是函数的最值点。
接下来我们将深入探讨如何求得二次函数的最值。
我们首先需要了解二次函数的开口方向。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
在这里我们以a > 0为例进行讨论。
一个二次函数的最值可以通过求解其顶点来得到。
顶点的横坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 来求解，而纵坐标则是将横坐标带入原函数中得到的。
这样，我们就可以得到该二次函数的最值点。
在某些情况下，我们还需要考虑二次函数在给定区间上的最大值或最小值。
我们可以通过求解导数为0的点来得到二次函数在该区间上的极值点，然后通过函数值和端点值的比较来确定最值。
这在实际问题中常常用于优化或约束条件的求解。
二、二次函数的应用除了理论层面的讨论，二次函数在实际应用中也有广泛的运用。
接下来我们将介绍一些常见的应用场景。
1. 高空抛物运动在物理学中，我们可以利用二次函数来描述高空抛物运动的轨迹。
例如，当我们把一个物体从高空抛下时，它的运动轨迹可以用二次函数模拟。
通过分析物体的速度和角度，我们可以确定它的最大高度以及在地面上的着陆位置。
2. 制造业中的成本优化在制造业领域，我们常常需要优化生产成本，而二次函数可以帮助我们实现这一目标。
通过建立成本函数模型，我们可以找到最小值点对应的生产规模和成本。
这样就能够在满足需求的前提下，以最低的成本生产出产品。
3. 计算机图形学在计算机图形学领域，二次函数被广泛用于绘制图形和渲染。
通过对二次函数的参数进行调整，我们可以生成各种各样的图形效果，如曲线、渐变、反射等。
4. 金融领域的投资分析在金融领域，二次函数可以帮助我们分析和预测投资的风险和收益。
二次函数的应用最值与问题求解
二次函数的应用最值与问题求解在数学中，二次函数是一种形式为f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于0。
二次函数的图像是一个开口方向朝上或者朝下的抛物线。
本文将探讨二次函数在实际问题中的应用，特别是与最值与问题求解相关的应用。
1. 最值与问题求解的概念最值指的是函数在某个特定区间内取得的最大值或最小值。
对于二次函数，最值通常出现在抛物线的顶点处。
问题求解是指通过建立二次函数的数学模型，解决与实际问题相关的数学问题。
最值与问题求解是二次函数的重要应用之一。
2. 最值与问题求解的例子例子1：弧线问题某地的一座桥由一段抛物线形状的钢筋弯曲而成。
假设桥的弧线方程为f(x)=3x^2-4x+10，其中x表示距桥起始位置的距离。
求整个桥的最高点的高度及到达最高点的距离。
解析：由于方程f(x)为二次函数，可以通过求导数得到最高点的横坐标。
对f(x)求导得到f'(x)=6x-4。
令f'(x)=0，解方程可得x=2/3。
将x=2/3代入f(x)中，可得到最高点的高度为f(2/3)=10/3。
因此，整个桥的最高点的高度为10/3，到达最高点的距离为2/3。
例子2：火箭运动问题某火箭从地面垂直起飞，并以速度v1向上运动。
假设空气阻力不考虑，火箭的运动可以用二次函数表示。
已知火箭的高度h与时间t的关系由函数h(t)=-5t^2+v1t表达。
求火箭达到最大高度的时间和最大高度。
解析：由于方程h(t)为二次函数，最大高度对应于抛物线的顶点。
顶点的横坐标可以通过求导数得到。
对h(t)求导得到h'(t)=-10t+v1。
令h'(t)=0，解方程可得t=v1/10。
将t=v1/10代入h(t)中，可得到最大高度为h(v1/10)=-v1^2/20。
3. 最值与问题求解的应用领域最值与问题求解的二次函数应用广泛，包括但不限于以下领域：- 物理学：例如物体的抛射运动、自由落体运动等- 经济学：例如生产成本、利润最大化等- 工程学：例如设计建筑物弧线、汽车行驶的最佳路径等4. 最值与问题求解的解决方法在实际问题中，求解最值与问题求解的方法通常包括以下步骤：1) 建立二次函数的数学模型，根据问题的特点确定函数的系数a、b、c。
二次函数应用题--最值
1.一位运动员在距离篮下4m处起跳投篮，秋运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确进入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05m（1）建立如图所示的坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员的身高为1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？2.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。
针对这种水果的销售情况，请解答一下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？3.某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。
调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？4.某大型酒店有包房100间,在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出,若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去(1)设每间包房收费提高x元，则每间包房的收入为y1元，但会减少y2间包房租出，请分别写出y1,y2之间的函数关系式；(2)为了投资少而利润大，每间包房提高x元后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y元，请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。
二次函数的应用(1)——最值问题
零障碍导教导学案
第 １２课 二次函数的应用（１）———最值问题
一、知识储备
１．二次函数 ｙ＝ －２（ｘ－１０）２ ＋２００，当 ｘ＝
时，ｙ取得最
值＝
．
２．二次函数 ｙ＝（ｘ－２）２ ＋５０，当 ｘ＝
得最
值＝
．
时，ｙ取
二、新课学习
点 Ｐ从点 Ａ开始，沿 ＡＢ边向点 Ｂ以每秒 １ｃｍ的速 ｘ（元）与产品的日销售量 ｙ（件）之间的关系如下表：
度移动；点 Ｑ从点 Ｂ开始，沿着 ＢＣ边向点 Ｃ以每秒 （１）求出日销售量 ｙ（件）与销售价 ｘ（元）的函数关
２ｃｍ的速度移动．如果 Ｐ，Ｑ同时出发，问经过几秒 系式（ｙ是 ｘ的一次函数）；
天可售出 ２０双，每双盈利 ４０元，如果每 双 降 价 １ 销售单价是 ２５元时，每天的销售量为 ２５０件，销售
元，那么每天可多售出 ２双．
单价每上涨 １元，每天的销售量就减少 １０件．
（１）要想平均每天销售盈利 １２００元，那么每双运动 （１）写出每天所得的销售利润 ｙ（元）与涨价 ｘ（元）
钟△ＰＢＱ的面积最大？最大面积是多少？
（２）要使每 日 的 销 售 利 润 最 大，每 件 产 品 的 销 售 价
应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
ｘ／元 １５ ２０ ３０ …
ｙ／件 ２５ ２０ １０ …
第３关
鞋应降价多少元？
之间的函数关系式；
上册第二十二章 二次函数的应用(一)—最值问题人教版九级数学全一册课件
三级检测练
一级基础巩固练
6. 已知 x 人结伴去旅游共需支出 y 元，若 x，y 满足关系 式 y=2x2-20x+950，则当总支出最少时，人数为 5 .
7. 某单位商品的利润 y 与变化的单价数 x 之间的关系为 y=-5x2+10x，当 0.5≤x≤2 时，最大利润是 5 .
上册第二十二章 二次函数的应用（一）—最值问题 人教版 九级数 学全一 册课件
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4. 某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售 价不低于成本，且不高于 60 元，经市场调查，每天的销售量
y（单位：千克）与每千克售价 x（单位：元）满足一次函数
3. （例 2）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 40 件，每件盈利 40 元. 为了扩大销售，增加盈利，尽 快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查 发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多 售出 4 件.
（1）若商场平均每天要盈利 2 400 元，每件衬衫应降 价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少 元？盈利最大是多少元？
上册第二十二章 二次函数的应用（一）—最值问题 人教版 九级数 学全一 册课件
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（3）若该公司按每销售一千克提取 1 元用于捐资助学，且保 证每天的销售利润不低于 3 600 元，问该羊肚菌销售价 格该如何确定. 解：①当12≤x≤20时， W=（x-12-1）y=（x-13）（-200x+4 400） =-200（x-17.5）2+4 050. ∴-200（x-17.5）2+4 050=3 600. 解得x1=16，x2=19. 定价为16≤x≤19. ②当20＜x≤24时，W=400（x-12-1）=400x-5 200≥3 600.解得22≤x≤24. 综上，销售价格确定为16≤x≤19或22≤x≤24.
二次函数的应用一(最值问题)
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元 （3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
解： 设每个商品涨价x元， 那么 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000
=-10[ （x-20）2 -900]
=- 10（x-20）2 +9000
(0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
创新学习
某果园有100棵橙子树,每一棵树平 均结600个橙子.现准备多种一些橙子树 以提高产量,但是如果多种树,那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳光就会 减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均 每棵树就会少结5个橙子.若每个橙子市 场售价约2元，问增种多少棵橙子树， 果园的总产值最高，果园的总产值最高 约为多少？
检验
“二次函数应用” 的思路
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
例 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教 师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初 步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状 态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学 生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系（04黄冈）
例1、如图，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长 的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边 AB=x m，面积为S㎡。 （1）写出S与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？
中考数学专题复习二次函数的应用题与最值问题
二次函数的应用题与最值问题二次函数最值问题（一）开口向上：1.当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；2.当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值．（二）开口向下：1．当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；2．当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值．1. 求解析式综合题型：例1．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝CD ．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x ，都有4x ﹣12≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣8x +6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.二次函数的应用题例1．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W（元）最大，最大利润是多少元？1．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．某商家在构进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z = x + 15.（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天，该商家出售该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？．3．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；如果每台设备提价5万元时，则年销售量就减少50台．设该设备的年销售量为y（单位：台），销售单价为x（单位：万元/台）．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，则应把这种设备的销售单价定为多少万元时，该公司所获得的年利润最大？最大的年利润是多少？4．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．例2．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？1．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？2．如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．3．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？例3．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．2．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．3．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（）A．m B．2m C．2m D．2m4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t ﹣1.5t 2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（ ）A ．600mB ．400mC ．300mD ．200m5．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()341212+--=x y ，由此可知铅球达到的最大高度是 m ，推出的距离是 m .6．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）直接具有的关系为h ＝24t ﹣4t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s ．7.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为6米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是 米．例4．当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．1．当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．2．已知二次函数y ＝x 2+2bx +c（1）若b ＝c ，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1？请说明理由；（2）若b ＝c ﹣2，y 在﹣2≤x ≤2上的最小值是﹣3，求b 的值．3．当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．4．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是m ．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．。
二次函数的应用最值问题
二次函数的应用最值问题二次函数是一种常见的数学函数类型，它的应用十分广泛。
在实际问题中，我们经常会遇到需要求解二次函数的最值问题。
本文将通过几个具体的例子，来介绍二次函数的应用最值问题，并给出相应的解决方法。
一、抛物线问题首先，我们来考虑一个经典的抛物线问题。
假设有一只蚂蚁，它位于一个坐标轴上，初始位置为原点O(0,0)。
现在，蚂蚁开始向右移动，并以匀速行进。
在移动过程中，它经过了坐标点 P(a, a^2)，其中 a>0。
问题一：蚂蚁行进的轨迹是一条抛物线，那么蚂蚁到达最高点时，它的纵坐标是多少？解析：对于抛物线的最高点，我们可以通过求解二次函数的最值来得到。
设抛物线的方程为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数。
由于抛物线经过点 P(a, a^2)，我们可以将其代入方程得到一个方程组。
根据方程组的解，我们可以求得 a 的值。
然后，将 a 代入原方程，即可计算出最高点的纵坐标。
问题二：蚂蚁离开原点 O 后，它到达最远的位置时，离原点的距离是多少？解析：要求解蚂蚁到达最远位置时离原点的距离，我们可以借助二次函数的顶点公式。
设抛物线的方程为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数。
根据顶点公式，最远位置对应的横坐标是 x=-\frac{b}{2a}。
将 x 代入方程，即可计算出最远位置的纵坐标。
最后，根据勾股定理，计算距离即可。
二、面积最大问题接下来，我们考虑一个面积最大问题。
假设有一条固定长度的绳子，我们需要用它围成一个矩形。
问：如何确定矩形的长和宽，才能使得矩形的面积最大？解析：设矩形的长为 x，宽为 y。
根据题目的要求，我们有以下条件：1. 矩形的周长为固定长度，即 2x+2y=L，其中 L 是已知的常数；2. 矩形的面积为 x*y。
由于矩形的周长已知，我们可以将其中一个变量表示为另一个变量的函数。
例如，将 x 表示为 y 的函数：x=\frac{L}{2}-y。
将这个表达式代入矩形面积的函数中，即可得到一个只与 y 相关的公式，表示矩形面积 S 与 y 的关系。