2019_2020学年高二数学12月月考试题
2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1679)
天柱县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知函数f （x ）=x 2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a 的取值范围（ ） A ．[1，+∞） B ．[0.2} C ．[1，2] D ．（﹣∞，2]2． 已知双曲线的渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．（，+∞） B ．（1，）C ．（2．+∞）D ．（1，2）3． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．∁I M ∪∁I ND ．∁I M ∩∁I N4． 若向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥，则实数m 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．2D ．65． f （）=，则f （2）=（ ）A ．3B ．1C ．2D ．6． 复数z=（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ）A ．（4，1，1）B ．（﹣1，0，5）C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）8． 若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1]B ．[0，1]C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]9． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 10．设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的取值范围是（）A．3,12e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．33,24e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C．33,24e⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．3,12e⎡⎫⎪⎢⎣⎭1111]11．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。
2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(371)
永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ）A ．50x -<<或5x >B ．5x <-或5x >C ．55x -<<D ．5x <-或05x <<2． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．33． 已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8B ．1C ．5D ．﹣14． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假5． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜06． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件7． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=18． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对9． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．210．已知函数，函数，其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣iD ．﹣1+i12．已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，则关于x 的不等式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，2）C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D ．（﹣，2）二、填空题13．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）．①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．14．对于集合M ，定义函数对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）fB （x ）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．15．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．16．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 18．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B为 .三、解答题19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女总计（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．附：K2=P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.63520．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中.k R ∈ （1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域； （2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.22．如图，M 、N 是焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上两个不同的点，且线段MN 中点A 的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p=2，直线MN 与x 轴交于点B 点，求点B 横坐标的取值范围．23．（本小题满分12分）已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.24．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.12． 【答案】A【解析】解：由，得3x 2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y ﹣8=0与抛物线y=﹣x 2无交点．设与直线4x+3y ﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x 2﹣4x ﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m ）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y ﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x 2相切的直线方程为4x+3y ﹣=0．所以抛物线y=﹣x 2上的一点到直线4x+3y ﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A ．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．3． 【答案】B【解析】解：∵函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，令3x+2=2，解得x=0，∴a=2×0+1=1．故选：B．4．【答案】B【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．6．【答案】A【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，故选：A7．【答案】C【解析】解：如图，++（）．故选C．8．【答案】A【解析】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．9．【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．故选；D．10．【答案】D【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h （x ）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x+x 2=（x+）2+≥，当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x ﹣）2+≥，故当=时，h （x ）=，有两个交点，当=2时，h （x ）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，即h （x ）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b ∈（，4），故选：D ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．11．【答案】A【解析】解：∵z （1+i ）=2，∴z===1﹣i ．故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：∵α，β为锐角△ABC 的两个内角，可得α+β＞90°，cos β=sin （90°﹣β）＜sin α，同理cos α＜sin β，∴f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；故选：B．二、填空题13．【答案】②③．【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③．故答案为：②③．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．14．【答案】{1，6，10，12}．【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．15．【答案】3．【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．点（4，）化为． ∴点到直线l 的距离d=5﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．16．【答案】1 【解析】试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是212121c c b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.117．【答案】2 【解析】18．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．∵3.030＜3.841，∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j （j=1，2）表示女性．设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．∴P（A）=．【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…（其他方法亦可）21．【答案】（1）[]1,21;（2）2k ≥.【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：3k = 时，()32691f x x x x =-++则()()()23129313f x x x x x =-+=--' 令0f x '=得121,3x x ==列表由上表知函数()f x 的值域为[]1,21（2）方法一：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增 所以()()()min 31113132f x f k k ==-+++= 即53k =（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增所以()()()322min 313132f x f k k k k k ==-+++= 化简得：32340k k -+= 即()()2120k k +-=所以1k =-或2k =（舍）注：也可令()3234g k k k =-+则()()23632g k k k k k =='-- 对()()1,2,0k g k ∀∈'≤()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减所以()02g k <<不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥方法二：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分 ②当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()min 23f x f <=不符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 22．【答案】【解析】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=8﹣p ，|MF|=x 1+，|NF|=x 2+， ∴|MF|+|NF|=x 1+x 2+p=8；（2）p=2时，y 2=4x ，若直线MN 斜率不存在，则B （3，0）；若直线MN 斜率存在，设A （3，t ）（t ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则代入利用点差法，可得y 12﹣y 22=4（x 1﹣x 2）∴k MN =，∴直线MN 的方程为y ﹣t=（x ﹣3），∴B 的横坐标为x=3﹣，直线MN 代入y 2=4x ，可得y 2﹣2ty+2t 2﹣12=0△＞0可得0＜t 2＜12，∴x=3﹣∈（﹣3，3），∴点B 横坐标的取值范围是（﹣3，3）． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．【答案】（1）2或2）(1,0)(0,3)-．【解析】试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围．试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-， 当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=， 当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2230x x -++>，13x -<<，又因为0x =时，//a b ， 所以的取值范围是(1,0)(0,3)-.考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b a b⋅>且,a b 不同向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b a b⋅<且,a b 不反向．24．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。
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2019-2020年高二数学12月月考试题数学说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P的轨迹是（ ）.A. 椭圆B. 线段C. 不存在D.椭圆或线段或不存在 2、抛物线21y x m=的焦点坐标为 （ ） .A ．1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭４B ． 10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． ,04m ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为 （ ）.A ．14-B ．4-C ．4D ．144、给出以下四个命题：①“若x ＋y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1-≤q ，则02=++q x x 有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题． 其中真命题是 ( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④5、已知椭圆方程192522=+y x ，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点1F 的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是 （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）8（D ）236、设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF（ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 97．已知p 是q 的必要条件，r 是q 的充分条件，p 是r 的充分条件，那么q 是r 的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件8．由下列各组命题构成“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，非“p ”为真的是（ ）A ．=0:p Φ,∈0:q ΦB ．p ：等腰三角形一定是锐角三角形，q ：正三角形都相似C ．{}a p : ≠⊂{}b a , ，{}b a a q ,:∈D ．:,35:q p >12是质数 9、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）.A.B. C. 2 D. 110．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1B.2C. 3D.411、命题甲：“双曲线C 的方程为12222=-by a x ”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y bax =±”，那么甲是乙的-------------------------------（ ）(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件12、已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ）A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、命题“若ab =0，则a ，b 中至少有一个为零”的逆否命题是 ．14、 如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a －c =3, 那么椭圆的方程是 。
韶山市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
韶山市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，满足f（x）+f（y）=f（x+y），且f（3）=4，则f（0）+f（﹣3）的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．42．设为虚数单位，则（）A． B． C． D．3．设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当+取得最小值时，实数a的值是（）A．B． C．或D．34．设集合M={x|x＞1}，P={x|x2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（）A．M=P B．P⊊M C．M⊊P D．M∪P=R5．把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则φ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．6．下面各组函数中为相同函数的是（）A．f（x）=，g（x）=x﹣1 B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=ln e x与g（x）=e lnx D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=7．记,那么ABCD8．已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（2﹣x）的图象为（）A．B．C．D．9．已知集合，，则满足条件的集合的个数为A、B、C、D、10．若函数则函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（）A．B．C．7 D．14【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前项和，意在考查运算求解能力. 12．下列命题中正确的是（）（A）若为真命题，则为真命题（B ）“，”是“”的充分必要条件（C）命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”（D）命题，使得，则，使得二、填空题13．已知直线l过点P（﹣2，﹣2），且与以A（﹣1，1），B（3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l的斜率的取值范围是．14．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是_______．【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．15．在（1+x）（x2+）6的展开式中，x3的系数是．16．若与共线，则y=．17．设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说法正确的是；①直线l的倾斜角为α；②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值；③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交；④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2；⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．18．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M 点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．20．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（Ⅱ）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．21．已知，其中e是自然常数，a∈R（Ⅰ）讨论a=1时，函数f（x）的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．23．已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．24．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，a∈R（1）当a=1，求f（x）的单调区间；（4分）（2）a＞1时，求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（5分）（3）g（x）=（1﹣a）x，若使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围.韶山市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：因为f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0+0）=f（0），所以，f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，所以，f（﹣x）=﹣f（x），所以，函数f（x）为奇函数．又f（3）=4，所以，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣4，所以，f（0）+f（﹣3）=﹣4．故选：B．【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f（x）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．2．【答案】C 【解析】【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】故答案为：C3．【答案】C【解析】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．①当0＜a＜3时，+==+=f（a），f′（a）=+=，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=时，+取得最小值．②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），f′（a）=﹣=﹣，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=﹣时，+取得最小值．综上可得：当a=或时，+取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4．【答案】B【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x＞1}；∴P⊊M．故选B．5．【答案】B【解析】解：把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）=cos[2（x+）+φ]=cos（2x+φ+）的图象关于直线x=对称，则2×+φ+=kπ，求得φ=kπ﹣，k∈Z，故φ=﹣，故选：B．6．【答案】D【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数；故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．7．【答案】B【解析】【解析1】,所以【解析2】，8．【答案】A【解析】解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（x）=当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）=2﹣x当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）=1∴y=f（2﹣x）=，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项A正确故选A．9．【答案】D【解析】，．∵，∴可以为，，，．10．【答案】D【解析】考点：函数的零点．【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在上是连续的曲线，且.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.11．【答案】C.【解析】根据等差数列的性质，，化简得，∴，故选C.12．【答案】D【解析】对选项A，因为为真命题，所以中至少有一个真命题，若一真一假，则为假命题，故选项A错误；对于选项B，的充分必要条件是同号，故选项B错误；命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，故选项C错误；故选D．二、填空题13．【答案】[，3]．【解析】解：直线AP的斜率K==3，直线BP的斜率K′==由图象可知，则直线l的斜率的取值范围是[，3]，故答案为：[，3]，【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．14．【答案】15．【答案】20．【解析】解：（1+x）（x2+）6的展开式中，x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；又（x2+）6的展开式中，通项公式为T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；令12﹣3r=2，解得r=，不合题意，舍去；所以展开式中x3的系数是=20．故答案为：20．16．【答案】﹣6．【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0解得y=﹣6故答案为：﹣6【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．17．【答案】②③④【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误；对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），可以认为是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的切线系，故②正确；对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，如圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=100，故③正确；对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确；对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误．故答案为：②③④．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．18．【答案】150【解析】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，，因此AM=100m．在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由得MN=100×=150m．故答案为：150．三、解答题19．【答案】【解析】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．所以AB∥EG…因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG所以AB∥平面EFG…（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD所以AB⊥CD…又BC⊥CD且AB∩BC=B所以CD⊥平面ABC…又E，F分别是AC，AD，的中点所以CD∥EF所以EF⊥平面ABC…又EF⊂平面EFG，所以平面平面EFG⊥平面ABC．…【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1，根据曲线C2的参数方程为（θ为参数），可得它的普通方程为+y2=1．（Ⅱ）把曲线C1与C2是联立方程组，化简可得5x2﹣8x=0，显然△=64＞0，故曲线C1与C2是相交于两个点．解方程组求得，或，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣）．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．21．【答案】【解析】解：（1）a=1时，因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．当1＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又g′（x）=，所以当0＜x＜e时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）=，所以f（x）min﹣g（x）max＞，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．22．【答案】【解析】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．23．【答案】【解析】解：∵直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点∴≤1⇒a2≥1，即a≥1或a≤﹣1，命题p为真命题时，a≥1或a≤﹣1；∵点（a，1）在椭圆内部，∴，命题q为真命题时，﹣2＜a＜2，由复合命题真值表知：若命题“p且¬q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题即p真q假，则⇒a≥2或a≤﹣2．故所求a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．24．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），∴…（2分），解得x=1或x=，x∈，（1，+∞），f′（x）＞0，f （x）是增函数，x∈（，1），函数是减函数．…（4分）（2）∴，∴，当1＜a＜e时，∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，∴综上…（9分）（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间上有解即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，∵当时，lnx≤0＜x，当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，∴在区间上有解．令…（10分）∵，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，x∈（1，e]，h（x）是增函数，∴，∴时，，∴∴a的取值范围为…（14分）。
2020-2021学年人教版高二上册数学月考数学试卷(12月份)带答案
2020-2021学年高二（上）月考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)1. 过点P(−2, m)和Q(m, 4)的直线的斜率等于1，则m 的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.42. 向量a →=(2, 1, x)，b →=(2, y, −1)，若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为( ) A.−1 B.1C.4D.−43. 在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7=a 8+5，则S 11的值是（ ） A.55 B.11C.50D.604. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为ℎ，跨径为a ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ5. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于（ ） A.n B.n +1 C.2n −1 D.2n +16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1C.x 23−y 2=1D.x 2−y 23=17. 点P是直线x+y−3＝0上的动点，由点P向圆O:x2+y2＝4作切线，则切线长的最小值为（）A.2√2B.32√2 C.√22D.128. 已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A.e12+e22＝2B.e12+e22＝4C.1e12+1e22=2 D.1e12+1e22=4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9. 下列说法正确的是（）A.过点(x1, y1)，(x2, y2)两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1B.点(0, 2)关于直线y＝x+1的对称点是(1, 1)C.直线x−y−2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D.经过点(1, 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2＝010. 在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A.q＝1B.数列{S n+2}是等比数列C.S8＝510D.数列{lg a n}是公差为2的等差数列11. 如图，设E，F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）A.三棱锥D1−B1EF的体积为定值B.异面直线D1B1与EF所成的角为60∘C.D1B1⊥平面B1EFD.直线D1B1与平面B1EF所成的角为30∘12. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F1(−1, 0)和F2(1, 0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A.曲线C过坐标原点B.曲线C关于坐标原点对称C.曲线C关于坐标轴对称a2D.若点在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 在等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则数列{a n}的前9项之和S9等于________．14. 已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+16＝0为d2，则d1+d2的最小值为________．15. 数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，则数列{a n}的通项公式为________．16. 已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x−y+10＝0上．若动圆C过点(−5, 0)，求圆C的方程________，使得动圆C中满足与圆O:x2+y2＝r2相外切的圆有且仅有一个．三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知直线l1:ax+2y+1＝0，直线l2:x−y+a＝0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1 // l2，求a的值及直线l1与l2的距离．18. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)上的点M(1, m)到其焦点F的距离为2．（1）求C的方程；并求其焦点坐标；（2）过点(2, 0)且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求弦AB的长．19. 已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=loga n，求数列{b n}的前n项和．220. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14．（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB // CD ，AB ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，E 为BP 的中点，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1．（1）证明：EC // 平面PAD ；（2）求二面角E −AC −P 的正弦值．22. 已知O 为坐标原点，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过F 1，F 2的圆与直线x =−√2相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于M ，N 两点；(ⅰ)若直线l 的斜率等于1，求△OMN 面积的最大值；(ⅱ)若OM →⋅ON →=−1，点D 在l 上，OD ⊥l ．证明：存在定点W ，使得|DW|为定值．参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1.【答案】 A【解析】利用直线的斜率公式求解． 2. 【答案】 D 【解析】根据|a →|=√5求出x 的值，再根据a →⊥b →得出a →⋅b →=0，列方程求出y 的值，即可计算x +y 的值． 3.【答案】 A【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出． 4. 【答案】 A【解析】本题根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，再将已知点(a2,−ℎ)代入抛物线方程解出p 的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p ． 5.【答案】 B【解析】根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式． 6.【答案】 D【解析】 此题暂无解析 7.【答案】 C【解析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P 到圆的距离最小，求出圆心到直线x +y −3＝0的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．8.【答案】C【解析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.【答案】B,C【解析】分类求出点(x1, y1)，(x2, y2)两点的直线方程判断A；由对称性判断B；求出直线x−y−2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积判断C；求出经过点(1, 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程判断D．10.【答案】B,C【解析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，则即可得到等比数列{a n}的通项公式和前n项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项．11.【答案】A,B,D【解析】根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥D1−B1EF的体积为定值，可判断选项A；求得异面直线D1B1与EF所成的角为45∘可判断B；判断D1B1与平面B1EF不垂直可判断C；直线D1B1与平面B1EF所成的角是为30∘可判断D．12.【答案】B,C,D【解析】设动点坐标为(x, y)，根据题意可得曲线C的方程为[(x+1)2+y2]•[(x−1)2+y2]＝a4，对各个选项逐一验证，即可得出结论．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.【答案】99【解析】由等差数列的性质可求得a4，＝13，a6＝9，从而有a4+a6＝22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．14.【答案】4【解析】利用抛物线的定义，将d 1+d 2的最小值转化为焦点到直线4x −3y +16＝0的距离即可求得． 15. 【答案】a n ={2(n =1)2n −1(n ≥2)【解析】a 1＝S 1＝1+1＝2，a n ＝S n −S n−1＝(n 2+1)−[(n −1)2+1]＝2n −1．当n ＝1时，2n −1＝1≠a 1，由此能求出数列{a n }的通项公式． 16. 【答案】(x +10)2+y 2＝25或(x +5)2+(y −5)2＝25，存在正实数r ＝5√2−5 【解析】由已知先设原的标准方程，再由已知条件建立方程组即可求出圆的圆心，进而可以求解；然后再求出圆O 的圆心到直线l 的距离，利用直线与圆外切的圆只有一个可求出此时圆O 的半径，进而可以求解．三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】∵ 直线l 1:ax +2y +1＝0，直线l 2:x −y +a ＝0， 当直线l 1⊥l 2时，a ×1+2×(−1)＝0， 解得a ＝2，∴ l 1:2x +2y +1＝0，直线l 2:x −y +2＝0， 联立解得{x =−54y =34∴ a 的值为2，垂足P 的坐标为(−54, 34)； 当直线l 1 // l 2时，a1=2−1≠1a ，解得a ＝−2，∴ l 1:−2x +2y +1＝0，直线l 2:−2x +2y +4＝0， 由平行线间的距离公式可得d =√(−2)2+22=3√24∴ a 的值为−2，直线l 1与l 2的距离为3√24【解析】（1）由垂直可得a ×1+2×(−1)＝0，解得a 值可得直线的方程，联立方程可解交点坐标；（2）当直线l 1 // l 2时，a1=2−1≠1a ，解得a 值可得直线的方程，由平行线间的距离公式可得答案． 18. 【答案】由抛物线的方程可得其准线方程为x =−p2，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以1−(−p2)＝2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ，焦点F(1, 0)．由题意可得直线l 的方程为：y ＝x −2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{y 2=4x y =x −2，整理可得：x 2−8x +4＝0，x 1+x 2＝8，x 1x 2＝4， 所以弦长|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+1⋅√82−4×4=4√6， 所以弦AB 的长为4√6．【解析】（1）由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，起床p 的值，进而求出抛物线的方程及焦点坐标；（2）由题意可得直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由弦长公式可得弦AB 的值． 19.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q ，由a 1=2，a 3=2a 2+16，得2q 2=4q +16， 即q 2−2q −8=0，解得q =−2（舍）或q =4． ∴ a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1； (2)b n =log 2a n =log 222n−1=2n −1，∵ b 1=1，b n+1−b n =2(n +1)−1−2n +1=2， ∴ 数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和T n =n ×1+n(n−1)×22=n 2．【解析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n }的通项公式代入b n ＝log 2a n ，得到b n ，说明数列{b n }是等差数列，再由等差数列的前n 项和公式求解． 20. 【答案】第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1−15)万元，第n 年投入为800×(1−15)n−1万元．所以，n 年内的总投入为a n ＝800+800×(1−15)+...+800×(1−15)n−1=∑ n k=1800×(1−15)k−1＝4000×[1−(45)n ]；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元， 第n 年旅游业收入为400×(1+14)n−1万元． 所以，n 年内的旅游业总收入为b n ＝400+400×(1+14)+...+400×(1+14)n−1=∑ n k=1400×(54)k−1＝1600×[(54)n −1]．设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 b n −a n >0，即1600×[(54)n −1]−4000×[1−(45)n ]>0． 化简得5×(45)n +2×(54)n −7>0， 设x ＝(45)n ，代入上式得5x 2−7x +2>0，解此不等式，得x <25，x >1（舍去）．即(45)n <25，由此得n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．【解析】（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n 年投入量，从而求出n 年内的总投入量a n ，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元，归纳出第n 年旅游业收入为400×(1+14)n−1万元．从而得出n 年内的旅游业总收入b n ． （2）先设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n −a n >0，解得n 的取值范围即可． 21.【答案】证明：如图，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ∵ BE ＝PE ，PF ＝AF ，∴ EF ∥=12AB ，∵ 直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1， ∴ CD ∥=12AB ，∴ CD ∥=EF ，∴ 四边形EFDC 是平行四边形，∴ EC // FD ，∵ DF ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，∴ EC // 平面PAD ．如图，∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴ AP 、AB 、AD 两两垂直， 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系 A(0, 0, 0)，P(0, 0, 1)，C(1, 1, 0)，B(2, 0, 0)，E(1, 0, 12)， AP →=(0, 0, 1)，AC →=(1, 1, 0)，AC →=(1, 1, 0)，AE →=(1, 0, 12)， 设平面APC 的法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AP →=z =0m →⋅AC →=x +y =0，取x ＝1，得m →=(1, −1, 0)， 设平面EAC 的法向量n →=(a, b, c)，则{n →⋅AC →=a +b =0n →⋅AE →=a +12c =0 ，取a ＝1，得n →=(1, −1, −2)， 设二面角E −AC −P 的平面角为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√2×√6=√33， sin θ=√1−(√33)2=√63． ∴ 二面角E −AC −P 的正弦值为√63．【解析】（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，推导出四边形EFDC 是平行四边形，从而EC // FD ，由此能证明EC // 平面PAD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC −P 的正弦值． 22.【答案】由题意知：F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，由椭圆定义知，所以2a =|PF 1|+|PF 2|=2√2，设椭圆的半焦距为c ，所以b 2+c 2＝a 2，所以a =√2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1． (ⅰ)设直线l 的方程为：y ＝kx +t试卷第11页，总11页 将y ＝kx +t ，代入x 22+y 2=1得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−2＝0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，所以x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2t 2−21+2t 2，又因为k ＝1，得|AB|=√2|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3−t 23， 点O 到直线l 的距离d =√1+k 2=√2， 所以S △AOB =12⋅√24√3−t 23=√23×√t 2(3−t 2)≤√23×(t 2+3−t 22)=√22， 等号当仅当t 2＝3−t 2时取，即当t =±√62时，△OMN 的面积取最大值为√22．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，由(ⅰ)知：x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2−21+2k 2，所以y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=t 2−2k 21+2k 2， 所以OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=3t 2−2−2k 21+2k 2=−1， 解得t 2=13，t =±√33，直线y ＝kx ±√33过定点Z(0, √33)或(0,−√33) 所以D 在以OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为W(0, √36)或(0, −√36)，半径等于√36， 所以存在定点W(0, √36)或(0, −√36)，使得|DW|为定值． 【解析】（1）利用椭圆的焦距求出c ，利用椭圆的定义求解a ，推出b ，即可得到椭圆方程．(2)(ⅰ)设直线l 的方程为：y ＝kx +t 将y ＝kx +t ，代入x 22+y 2=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，利用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用基本不等式推出结果．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，求出向量的数量积，推出直线系方程得到定点，然后推出结果．。
山东省招远一中2020学年高二数学12月月考试题(无答案)
山东省招远一中2020学年高二数学12月月考试题（无答案） 一选择题（每题4分）1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ． aB ． bC ． cD ． a ＋b2．在空间直角坐标系中，已知P(－1,0,3)，Q(2,4,3)，则线段PQ 的长度为A ．B ． 5C ．D ．3．已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b ,则λ与μ的值可以是( )A ． 2,B ． -C ． -3,2D ． 2,24．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， ，则线段的长为A ．B ． 1C ． 2D ．5．已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则等于（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA PB xPC DB =-+u u u v u u u v u u u v u u u v ，则实数x 的值为（ ）A ．13 B ． 13- C ． 12 D ． 12-7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于A ． 2B ． 3C ． 6D ． 108．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．B ．C ．D ． 9．已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 810．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A ．B ．C ． 2D ．11（多选）设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F,点M 在y 轴上，若线段FM 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为423，则点M 的坐标为（ ） A （0，-4） B （0,2） C （0，-2） D （0,4）12．（多选）如图，三棱柱A 1B 1C 1 - ABC 中，侧棱AA 1丄底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是A ． CC 1与B 1E 是异面直线B ． AC 丄平面ABB 1A 1C ． A 1C 1∥平面AB 1ED ．AE 与B 1C 1为异面直线，且AE 丄B 1C 113．（多选）是空间不共面的四点，满足，则不可能是（ ）A ． 钝角三角形B ． 锐角三角形C ． 直角三角形D ． 等腰直角三角形二填空题（每题4分）14．已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC 的单位法向量是___或__15．已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当取最小值时，点P 的坐标为__________．最小值为__________．16．设1F ，2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则1PM PF -的最小值为______．1PF PM +的最大值为______________17．已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__________．一选择1—5_____________， 6—10______________， 11—13______________ 二填空14 _______，_______15_______，_______16_______，_______ 17______ 三解答题18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，是PC 的中点，设．（1）试用表示出向量； （2）求的长．19．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线A E和平面OBC的所成角.20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若，试判断棱上是否存在与点，不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．22．已知椭圆的左右焦点分别为，长轴长为4，的面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线交椭圆于两点,且,求的面积.23．如图，在四棱锥中，⊥底面，，，，，点为棱的中点．(1)（一二级部做）证明：；（三四级部做）证明：；(2)（一二级部做）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．（三四级部做）求点到平面的距离.。
2020-2021学年高二数学12月月考试题 (II)
S ←9i ←1While S ≥0 S ←S -ii ←i +1End While Print i（第4题）2020-2021学年高二数学12月月考试题 (II)一、填空题（每小题5分共70分）1．命题“,x R ∀∈20x >”的否定是 ▲ . 2．若点（1,1）到直线cos sin 2x y αα+=的距离为d ，则d 的最大值是 ▲ ．3. 右图是xx 年“隆力奇”杯第13届CCTV 青年歌手电视大奖赛上,某一位选手的部分得分的 茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为 ▲ .4．右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ． 5.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按 000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 ▲ . （下面摘取了一随机数表的第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 1206 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 6258 7973 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 0279 54 6．函数21()2ln 2f x x x x =-+的极值点是____▲_______. 7.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线)0(22>=p px y 上横坐标为1的点到焦点的距离 为4，则该抛物线的准线方程为 ▲ .8．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，标准差为2，则xy 的值是 ▲ __. 9. 已知条件a x p >:，条件021:>+-x xq . 若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范 围是 ▲ .10.若函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则(2)=f ' ▲ .7 88 4 4 4 6 7 9 2 4 7 第3题图11．已知直线2y x =-与x 轴交于P 点，与双曲线C :2213y x -=交于A 、B 两点，则||||PA PB += ▲ .12．已知函数1()sin cos f x x x =+，函数1()n f x +是函数()n f x 的导函数，即'''*21321()=(),()=(),,()=(),n n f x f x f x f x f x f x n N +∈，则122019()()()=222f f f πππ+++▲ .13．设F 是椭圆C ：221(0)x y m n m n+=>>的右焦点，C 的一个动点到F 的最大距离为d ,若C 的右准线上存在点P ,使得PF d =，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ . 14．若函数()xf x e =，g()ln x a x =的图像关于直线y x =对称. 则在区间),21(+∞上不等式2)()1(x x g x f <+-的解集为 ▲ ．二、解答题（共90分）15．（14分）从扬州中学参加xx 全国高中数学联赛预赛的500名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ．（2）补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图； （3）若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？分组频数频率 [70，80） 0.08 [80，90） 0.10 [90，100）③ [100，110） 16①[110，120）0.08 [120，130） ② 0.04[130，140]0.02 合计 50分数708090100110120130140组距频率040.0036.0032.0028.0024.0020.0016.0012.0008.0004.016. （14分）已知0,1c c >≠且，设p ：函数xy c =在R 上单调递减；q ：函数2()21f x x cx =-+在1(,)2+∞上为增函数.（1）若p 为真，q ⌝为假，求实数c 的取值范围；（2）若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围.17．（14分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b ．（1）求直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2=1相切的概率；（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．18. （16分）某小区为解决居民停车难的问题，经业主委员会协调，现决定将某闲置区域改建为停车场. 如图，已知该闲置区域是一边靠道路且边界近似于抛物线)11(12≤≤--=x x y 的区域，现规划改建为一个三角形形状的停车场，要求三角形的一边为原有道路，另外两条边均与抛物线相切.（1）设AC AB ，分别与抛物线相切于点),(),,(2211y x Q y x P ，试用Q P ,的横坐标表示停车场的面积；（2）请问如何设计，既能充分利用该闲置区域，又对周边绿化影响最小？19．（16分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，右准线:2l x =，设O 为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），直线AP 交l 于M （点M 在x 轴下方）． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于,C D 两点，若6CD =，求圆H 的方程；（3）若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．20．（16分）已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈. （1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x ；（3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的 最大值.MlxyFOAPQ（第19题图）高二数学参考答案1．,x R ∃∈使得20x ≤ 2.2＋ 2 3. 170 4． 5 5. 719，050，717 6. 1 7．3x =- 8. 60 9. 2a ≤- 10. 2 11．62 12．-1 13. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.()1,+∞15. 解：（1）0.32；2；0.36 （2）如图．（3）在随机抽取的50名同学中有7名 出线,75007050⨯=． 答：在参加的500名中大概有70名同学出线． 16.解：函数xy c =在R 上单调递减，01c ∴<<即:01p c <<2分函数2()21f x x cx =-+在1(,)2+∞上为增函数，12c ∴≤即21:≤c q 4分（1）p 为真，q ⌝为假由0110122c c c <<⎧⎪⇒<≤⎨≤⎪⎩ 所以实数c 的取值范围是1{|0}2c c <≤ （2）又“p 或q ”为假，“p 且q ”为真，∴p 真q 假或p 假q 真所以由112c c >⎧⎪⎨≤⎪⎩或0112c c <<⎧⎪⎨>⎪⎩解得112c <<, 所以实数c 的取值范围是1{|1}2c c <<17．解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．∵直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2＋y 2=1相切的充要条件是2251a b =+即：a 2＋b 2=25，由于a,b ∈｛1，2，3，4，5，6｝∴满足条件的情况只有a =3,b =4,c =5；或a =4,b =3,c =5两种情况．∴直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2＋y 2=1相切的概率是213618= （2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．∵三角形的一边长为5 ∴当a =1时，b =5，（1，5，5） 1种 当a =2时，b =5，（2，5，5） 1种 当a =3时，b =3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种当a =4时，b =4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种 当a =5时，b =1，2，3，4，5，6， （5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种当a =6时，b =5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 故满足条件的不同情况共有14种 答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1873614=．18解（1）因AC AB ，为分别与抛物线)11(12≤≤--=x x y 相切于),(),,(2211y x Q y x P不妨设11x ≤-<0<12≤x则直线AB ：12121++-=x x x y 直线AC ：12222++-=x x x y可得)0,21(),0,21(),1,2(2221122121x x C x x B x x x x A ++-+所以停车场的面积ABC S ∆=22221121212211211(1)()11()(1)2224x x x x x x x x x x x x ++--=--=其中[)(]1,0,0,121∈-∈x x（2）ABC S ∆=[][]21221122122121)(1)(41)1)((41x x x x x x x x x x x x --+-+⋅=--⋅ []21221)(121x x x x --+⋅≥，当且仅当021=+x x 时等号成立 令t x x =-21，则tt t t t t f 12)1()(322++=+=（01t <≤）， 22123)(t t t f -+='，令33,0)(=='t t f 得当0<t <33时，)(t f '<0,)(t f 单调递减； 当1>t >33时，)(t f '>0,)(t f 单调递增 所以938),9316)33()(min mi ===∆ABC n S f t f 故（，所以当AC AB ，分别与闲置区的抛物线的边界相切于点)3233(),3233(，，Q P -时，既能充分利用该闲置区域，又对周边绿化影响最小19．解（1）由222212b aca b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1a b ==．所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）设(2,)M m ，由CD OM ⊥得12CD OMk k m=-=-， 则CD 方程为2(1)y x m=--，即220x my +-=． 因为圆心(1,)2m H ，则圆心H 到直线CD 的距离为2222|22|2424m m d m m+-==++． 圆半径为2422OM m r +==，且622CD =，由222()2CD d r +=，代入得2m =±． 因为点M 在x 轴下方，所以2m =-，此时圆H 方程为22(1)(1)2x y -++=． （3）设PQ 方程为：(1)y kx b b =+≠-，(0,1)A -，令1122(,),(,)P x y Q x y ， 由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得1212112y y x x +++=， 由1122,y kx b y kx b =+=+得1212(1)()22b x x k x x +++=，①联立方程2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kbx b +++-=， 所以122412kbx x k -+=+，21222212b x x k -=+代入①得，(1)(1)0b b k ++-=，由1b ≠-得10b k +-=，即1b k =-，所以PQ 方程为1(1)1y kx k k x =+-=-+，所以直线PQ 过定点，定点为(1,1)． 20解（1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个不同的根，令32()393g x x x x t =--++，则2()3693(1)(3)g x x x x x '=--=+-， 从而函数()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，在(1,3)-上递减. ∵()g x 有3个零点，∴(1)0(3)0g g ->⎧⎨<⎩，∴824t -<<.（2）,,a b c 是()f x 的三个极值点∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分∴23932a b c ab ac bc t abc a c b ++=⎧⎪++=-⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩，∴1b =或32-（舍∵(1,3)b ∈-）∴12311238a b c t ⎧=-⎪=⎪⎨=+⎪⎪=⎩，所以，32()(638)x f x x x x e =-++.（3）不等式()f x x ≤，等价于32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-. 转化为存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立. 即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. 即不等式2063x e x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. 设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+. 设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-.因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 所以()r x 在区间[1,]m 上是减函数. 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，()3330r -=-<， 故存在()02,3x ∈，使得00()()0r x x ϕ'==.当01x x ≤<时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<. 从而()y x ϕ=在区间0[1,]x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减. 又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<.所以，当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<.故使命题成立的正整数m的最大值为5.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。
安顺市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
安顺市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a3．i是虚数单位，计算i+i2+i3=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）D．（0，1）6．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C．D．7．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x的图象是（）A．①B．②C．③D．④8．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．29．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．1210．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（）A．720 B．270 C．390 D．30011．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题。
高二12月月考(数学)试题含答案
高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。
上思县第三中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
上思县第三中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． “”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的（ ）A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件2． 设a=lge ，b=（lge ）2，c=lg ，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a3． 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（ ） A ．90种 B ．180种C ．270种D ．540种4． 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 6． 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．988． 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．09． 已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．10．已知函数211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t=有两个不等的实根12,x x（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）A ．3[,1)4 B ．13[,)86 C ．31[,)162 D ．3[,3)811．下列说法中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．两条直线确定一个平面C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内 12．把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的图象关于直线x=对称，则φ的值为（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．二、填空题13．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .14．已知α为钝角，sin （+α）=，则sin （﹣α）= ．15．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答） 16．△ABC 中，，BC=3，，则∠C=．17．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为 ． 18．已知复数，则1+z 50+z 100= ．三、解答题19．已知函数f （x ）=|x ﹣m|，关于x 的不等式f （x ）≤3的解集为[﹣1，5]． （1）求实数m 的值；（2）已知a ，b ，c ∈R ，且a ﹣2b+2c=m ，求a 2+b 2+c 2的最小值．20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：BC1∥平面ACD1．（2）当时，求三棱锥E﹣ACD1的体积．21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC．（I）求C的值；（Ⅱ）若c=2a，b=2，求△ABC的面积．22．若已知，求sinx 的值．23．（1）已知f （x ）的定义域为[﹣2，1]，求函数f （3x ﹣1）的定义域； （2）已知f （2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f （x ）的定义域．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f ．（I ）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：313b a+≥.上思县第三中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：由x2+x+m=0知，⇔．（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴．），反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有，未必有，因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．故选A．【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．2．【答案】C【解析】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．3．【答案】D【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．故选D．4．【答案】B【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，故恰有两个球同色的概率为P==，故选：B．【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．5． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 6． 【答案】 D【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，故目标被击中的概率为1﹣=，故选：D ．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．7． 【答案】A【解析】解：因为f （x+4）=f （x ），故函数的周期是4 所以f （7）=f （3）=f （﹣1）， 又f （x ）在R 上是奇函数，所以f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2×12=﹣2，故选A ．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．8． 【答案】B【解析】排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P ，底面四边形的个顶点为A 、B 、C 、D ．分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，（PA 、DC ；PB 、AD ；PC 、AB ；PD 、BC ）或（PA 、BC ；PD 、AB ；PC 、AD ；PB 、DC ）那么安全存放的不同方法种数为2A 44=48．故选B ．【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖． 9． 【答案】D【解析】{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5AB ∴=，故选D.10．【答案】C【解析】试题分析：由图可知存在常数，使得方程()f x t =有两上不等的实根，则314t <<，由1324x +=，可得14x =，由213x =，可得3x =（负舍），即有12111,4223x x ≤<≤≤，即221143x ≤≤，则()212123133,162x f x x x ⎡⎫=⋅∈⎪⎢⎣⎭.故本题答案选C.考点：数形结合．【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.11．【答案】D【解析】解：对A ，当三点共线时，平面不确定，故A 错误； 对B ，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B 错误；对C ，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C 错误； 对D ，由C 可知D 正确． 故选：D ．12．【答案】B【解析】解：把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）=cos[2（x+）+φ]=cos （2x+φ+）的图象关于直线x=对称，则2×+φ+=k π，求得φ=k π﹣，k ∈Z ，故φ=﹣，故选：B ．二、填空题13．【答案】 6,12,2,n n a n n n n *=⎧⎪=+⎨≥∈⎪⎩N【解析】【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11:6n a ==；()()()123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅故22:n n n a n+≥=14．【答案】﹣ ．【解析】解：∵sin（+α）=， ∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=，∵α为钝角，即＜α＜π，∴＜﹣，∴sin（﹣α）＜0，∴sin（﹣α）=﹣=﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．15．【答案】24【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，故答案为：24．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．16．【答案】【解析】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．17．【答案】（x﹣1）2+（y+1）2=5．【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，∴a+b=0，①且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，根据垂径定理得：r2﹣d2=，即r2﹣（）2=③；由方程①②③组成方程组，解得；∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．18．【答案】i．【解析】解：复数，所以z2=i，又i2=﹣1，所以1+z50+z100=1+i25+i50=1+i﹣1=i；故答案为：i．【点评】本题考查了虚数单位i的性质运用；注意i2=﹣1．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3，由题意得，解得m=2；（2）由（1）可得a﹣2b+2c=2，由柯西不等式可得（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+22]≥（a﹣2b+2c）2=4，∴a2+b2+c2≥当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，∴a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．20．【答案】【解析】（1）证明：∵AB∥C1D1，AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，又∵AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，∴BC1∥平面ACD1．（2）解：S△ACE=AEAD==．∴V=V===．【点评】本题考查了线面平行的判定，长方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC，∴sinCsinA=sinAcosC，∴sinCsinA﹣sinAcosC=0，∴sinC=cosC，∴tanC==，由三角形内角的范围可得C=；（Ⅱ）∵c=2a，b=2，C=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4a2=a2+12﹣4a•，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）∴△ABC的面积S=absinC==22．【答案】【解析】解：∵，∴＜＜2π，∴sin（）=﹣=﹣．∴sinx=sin[（x+）﹣]=sin（）cos﹣cos（）sin=﹣﹣=﹣．【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．23．【答案】【解析】解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为[﹣2，1]，由﹣2≤3x﹣1≤1得：x∈[﹣，]，故函数y=f（3x﹣1）的定义域为[﹣，]；’（2）∵函数f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，∴x∈[﹣1，4]，∴2x+5∈[3，13]，故函数f（x）的定义域为：[3，13]．24．【答案】【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．。
【2019-2020】高二数学12月联考试题 理
教学资料参考范本【2019-2020】高二数学12月联考试题理撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线x+y ﹣3=0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2 方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）222=+ky xA ．B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）),0(+∞3．设l 、m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若m∥l，m∥α，则l∥αB ．若m⊥α，l⊥m ，则l∥αC ．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD ．若m ⊂α，m∥β，l ⊂β，l∥α，则α∥βA ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6. 已知椭圆,是椭圆长轴的一个端点,是椭圆短轴的一个端点,为椭圆的一个焦点. 若,则该椭圆的离心率为（ ）AA ．B ．C ．D ．结论是（ ）A ．平面ABC 必不垂直于αB ．平面ABC 必平行于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内9. 若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（ ）122=+ny mx 01=-+y x B A ,AB22mnA ．B ．C ．D ．222239210．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（ ） A ．4 B ．4C ．4D ．811．曲线y﹣1=（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（）A．（，] B．（，+∞）C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）12．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C 三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．8π B．6π C．11π D．5π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，则a= ．14．命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是________．15. 过点作一直线与椭圆相交于A、B两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为．16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．18．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．19．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M是OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求点M到平面OCD的距离．20. 已知椭圆C：的上顶点坐标为，离心率为.（1）求椭圆方程；（2）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的右焦点，求的取值范围.21.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.(Ⅰ) 求证：BC⊥平面ACFE；(Ⅱ) 若点M在线段EF上移动，试问是否存在点，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.22. 已知椭圆经过点其离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于A 、B 两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，为坐标原点.求到直线距离的最小值.高二四校联考数学答案一、选择题1-12 DDCBAB CDBBAB13． a=﹣2 ． 14．若b ∉B ，则a∈A 15. 16． [﹣2，2] ．13-94=+y x17：（1）由圆C 与x 轴交于A （﹣5，0），B （1，0），可得圆心C 在AB 的中垂线上，即C 在直线x=﹣2上，与x ﹣2y+4=0联立，可得C （﹣2，1），半径r==，则圆C 的方程为（x+2）2+（y ﹣1）2=10，圆心到直线x ﹣y+1=0的距离d==，则|EF|=2=2=4；（2）设M （x ，y ），M 为PQ 的中点， 且Q （2，1），可得P （2x ﹣2，2y ﹣1），由P 在圆C 上运动，将其坐标代入圆C 的方程可得， （2x ﹣2+2）2+（2y ﹣1﹣1）2=10，即为x2+（y ﹣1）2=．则线段PQ 中点M 的轨迹方程为x2+（y ﹣1）2=．18：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a2＜0，即a ＞或a ＜－1.乙命题为真时，2a2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集， ∴a 的取值范围是.(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时，＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a ＜－， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13＜a≤1或－1≤a＜－1219.证明：（1）取OB 中点E ，连结ME 、NE ， ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD ， 又ME ⊄平面OCD ，CD ⊂平面OCD ， ∴ME ∥平面OCD ，∵OB 中点E ，N 为BC 的中点，∴EN ∥OC ， ∵EN ⊄平面OCD ，OC ⊂平面OCD ， ∴EN ∥平面OCD ，∵EN ∩EM=E ，EN ，EM ⊂平面EMN ， ∴平面EMN ∥平面OCD ，∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD ．解：（2）∵M 是OA 的中点，∴M 到平面OCD 的距离是点A 到平面OCD距离的，取CD 的中点为P ，连结OP ，过点A 作AQ ⊥OP 于点Q ，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长是点A到平面OCD的距离，∵OP===，AP=，∴AQ===．∴点A到平面OCD的距离为，∴点M到平面OCD的距离为．20解：（1）依题意得：，椭圆方程为（2）解：设，，则---（*）点满足，代入（*）式，得：根据二次函数的单调性可得：的取值范围为21（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，∴，则，∴，∴，又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC、BC、CF两两垂直，以C为原点，AC、BC、CF所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图），则，，设，则，，设是平面AMB的法向量，则取x=1，得，显然是平面FCB的一个法向量，于是，化简得，此方程无实数解，∴线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45o.22.（1）由已知，所以, ① 又点在椭圆上，所以，②由①②解之得,故椭圆的方程为（2）当直线有斜率时，设时，则由消去得，，③设则，由于点在椭圆上，所以，从而，化简得，经检验满足③式，又点到直线的距离为：，并且仅当时等号成立；当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点为，直线为，所以点到直线的距离为1，所以点到直线的距离最小值为.2017年下半年高二四校联考数学答题卷二、填空题（5分×4=20分）13、 14、15、 16、三、解答题（70分）17、（10分）18、（12分）19、（12分）20、（12分）21、（12分）22.（12分）。
2019-2020年高二数学12月月考试题
2019-2020年高二数学12月月考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ分90分，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效； 3．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点关于坐标平面的对称点B 的坐标是A ．B ．C ．D ． 2．圆与圆01421422=+--+y x y x 的位置关系是A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离 3．已知向量，则A ．B ．C ．D ． 4．在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是 x y O x y O x y O xyOA ．B ．C ．D ．5．若、、是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是 A ． B ．C ．D ．6.设实数x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，，则异面直线与所成的角的大小为A ．B ．C ．D ．8．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．或B ．或C ．或D ．或EDCBAP9．若圆222(5)(1)(0)x y r r -+-=>上有且仅有两点到直线的距离等于，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ． 10．已知点A 和B 在直线的两侧，则直线倾斜角的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9 12．已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示，4343AB CD4334DCBA给出下列结论：①四面体体积的最大值为；②四面体外接球的表面积恒为定值； ③若分别为棱的中点，则恒有且；④当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为； ⑤当二面角的大小为时，棱的长为． 其中正确的结论的个数有A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13．直线，若直线过点且，则直线的方程为___________．14．直线被圆所截得的弦长为，则___________． 15．某四面体的三视图如右图所示，则该四面体的表面积是___________．16．中，斜边为6，以的中点为圆心，作半径为2的圆，分别交于、两点，则___________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知.（Ⅰ）求过A ，B 的中点且与直线平行的直线方程；（Ⅱ）设过C 且与AB 所在的直线垂直的直线为，求与两坐标轴围成的三角形的面积．1A18．（本小题满分12分）在正方体中，是底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的余弦值．19.（本题满分12分）如图所示，等腰梯形的底边在轴上，顶点与顶点关于对称，且底边和的长分别为和，高为．（Ⅰ）求等腰梯形的外接圆的方程；（Ⅱ）若点的坐标为，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并指出其轨迹．20．（本小题满分12分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下（Ⅰ）请用数学关系式表示上述的限制条件；(设开设初中班个，高中班个)（Ⅱ）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？21．（本小题满分12分）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱上，且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.OED CBAyxPSDCBA22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点O且圆心在曲线上.（Ⅰ）若圆M分别与轴、轴交于点、（不同于原点O），求证：的面积为定值；（Ⅱ）设直线与圆M交于不同的两点C，D，且，求圆M的方程；（Ⅲ）设直线与（Ⅱ）中所求圆M交于点、，为直线上的动点，直线，与圆M的另一个交点分别为，，求证：直线过定点.数学参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．A； 2．B； 3．C；4．C；5．D；6．A；7．A；8．D；9．B；10．C；11．B；12．C．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．； 14．； 15．； 16..三、解答题：（本大题共6小题,共70分）17．解: （Ⅰ）∵的中点坐标为，………………………………1分直线的斜率，………………………………………3分所以满足条件的直线方程为，即为所求.…5分（Ⅱ）∵，∴与AB所在直线垂直的直线的斜率为，……6分所以满足条件的直线的方程为，即.………………8分因为直线在轴上的截距分别为4和，所以与两坐标轴围成的三角形的面积为.…………10分18．解：（Ⅰ）∵为正方体，∴在平行四边形中，又平面,平面∴平面，………………………………3分易知平面且，∴平面平面…………………………5分（Ⅱ）如图，连接,由平面，又平面,∴，又∵四边形为正方形，∴,又，∴平面.∴为在平面内的射影∴为直线与平面所成的角. ·········· 8分在中，∵，∴，……………………10分又∵，∴,∴直线与平面所成的角为. ···········12分1 Az yxP OA BCDS19．解：（Ⅰ）设，由已知可得：(3,0),(3,0),(6,3),(6,3)A B C D --，··· 2分由得：2222(30)(0)(60)(3)1b b b -+-=+-⇒=， ···· 4分∴圆的圆心为，半径为， ∴圆的方程为：. ················· 6分 （Ⅱ）设， ··················· 7分∵为线段的中点，∴000052522222x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩， ············· 9分 代入点所在圆的方程得：2222535(25)(23)10()()222x y x y -+-=⇒-+-=， ··········· 11分∴点的轨迹方程为. ························· 12分 20．解：（Ⅰ）设开设初中班x 个，高中班y 个，根据题意，线性约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≤⨯+⨯++≤+≤**,0,01200232254263020N y y N x x y x y x y x ……………3分 即20302400,0,x y x y x x N y y N **≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩…………………………………5分 （Ⅱ）设年利润为z 万元，则目标函数为……………6分 由（Ⅰ）作出可行域如图。
2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(466)
张北县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R|x ≥3}，图中阴影部分所表示的集合为 （ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2}2． 已知，，那么夹角的余弦值（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．﹣3． 函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．RB ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[2，+∞）4． 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A 、()f x =x 与()f x =2x xB 、()1f x x =- 与()f x =C 、()f x x =与()f x = D 、()f x x =与2()f x =5． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则异面直线EF 和BC 1所成的角是（ ）A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°6． 如图甲所示， 三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与的变化关系，其中正确的是（ ）A．B． C. D．1111]7．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．9．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P（K2≥6.635）≈0.01表示的意义是（）A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99%C．变量X与变量Y有关系的概率为99%D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%10．sin3sin1.5cos8.5，，的大小关系为（）A．sin1.5sin3cos8.5<<<<B．cos8.5sin3sin1.5C.sin1.5cos8.5sin3<<D．cos8.5sin1.5sin3<<11．用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2，当x=﹣2时，v1的值为（）A．1 B．7 C．﹣7 D．﹣512．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π二、填空题13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数()()2220f x x ax =+>和()()3220g x x a x =+>均相切（其中a 为常数），切点分别为()11,A x y 和()22,B x y ，则12x x +的值为__________．14．已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan （θ﹣）= ．15．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=4，AA 1=3，沿该长方体对角面ABC 1D 1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．16．（若集合A ⊊{2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．17．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．18．在直角梯形,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为,AB AC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是___________．三、解答题19．设圆C 满足三个条件①过原点；②圆心在y=x 上；③截y 轴所得的弦长为4，求圆C 的方程．20．已知（+）n 展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中所有项的系数之和．21．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．22．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）23．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）（1）求C1与C2交点的坐标；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，，E，F分别是A1C1，AB的中点．（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1；（II）求证：EF∥平面B1BCC1；（III）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．张北县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B）∩A，又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，∵C U B={x|x＜3}，∴（C U B）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2．【答案】A【解析】解：∵，，∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，∴cos＜＞===﹣，故选：A．【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．3．【答案】C【解析】解：由于f（x）=x2﹣2ax的对称轴是直线x=a，图象开口向上，故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，又由函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则a≤1．故答案为：C4．【答案】C【解析】试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。
2019-2020年高二12月月考数学试题 含答案
2019-2020年高二12月月考数学试题含答案xx.12一. 填空题1.2. △顶点、、，则该三角形面积为3. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是4. 若关于的二元一次方程组无解，则5. 已知点是抛物线的焦点，、是该抛物线上两点，，则中点的横坐标为6. 过原点的直线与双曲线的左右两支分别相交于、两点，是双曲线的左焦点，若，，则双曲线的方程是7. 点到抛物线的准线的距离是，则8. △外接圆半径为1，圆心为，，则9. 已知圆，直线，为直线上一点，若圆上存在两点、，使得，则点横坐标取值范围是10. 已知、分别是椭圆的两焦点，点是该椭圆上一动点，则的取值范围是11. 若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是12. 已知、分别为椭圆左右焦点，点在椭圆上，，则13. 已知，当取得最小值时，曲线上的点到直线的距离的取值范围是14. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，、是圆上相异两点，且，若，则的取值范围是二. 选择题15. 若，，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.16. 已知过定点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当△的面积取到最大值时，直线的倾斜角为（）A. B. C. D. 不存在17. 已知双曲线的左右焦点分别为、，点为双曲线的中心，点在双曲线右支上，△内切圆的圆心为，圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则下列结论中成立的是（ ）A. B.C. D. 、大小关系不确定18. 若椭圆和椭圆的焦点相同，且，给出如下四个结论：① 椭圆和椭圆一定没有公共点；② ；③ ；④ ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①③B. ①③④C. ①②④D. ②③④三. 解答题19. 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，求最小值；20. 已知△的三边长，，，动点满足，且；（1）求；（2）求最小值；21. 双曲线；（1）点、，动点在上，作，，求点的轨迹方程；（2）点、为上定点，点为上动点，作，，求的轨迹方程；22. 两圆221111:0C x y D x E y F ++++=（圆心，半径），与（圆心，半径）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线121212:()()0l D D x E E y F F -+-+-=叫做圆与圆的根轴；（1）求证：当与相交于两点时，所在直线为根轴；（2）对根轴上任意点，求证：；（3）设根轴与交于点，，求证：分的比；23. 已知椭圆上动点、，为原点；（1）若，求证：为定值；（2）点，若，求证：直线过定点；（3）若，求证：直线为定圆的切线；参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 或 8. 9. 10.11. 12. 13. 14.二. 选择题15. C 16. A 17. C 18. B三. 解答题19. ； 20.（1）；（2）；21.（1）；（2）2222222200a x b y a x b y -=-； 22. 略； 23. 略；2019-2020年高二12月月考数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∃，使”的否定是（ ）A. ∃，使＞0B. 不存在，使＞0C. ∀，使D. ∀，使＞02、若设，则一定有（ ）A. B. C. D.3、在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.326、设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数的取值范围是（ ）A ． B. C ． D.8、若不等式 x+px+q ＜0的解集为（-）则不等式qx+px+1＞0的解集为（ ）A ．（-3,2）B ．（-2,3）C ．（-）D ．R9、 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a bx a y C 的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．10、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4二、填空题（每小题5分，共20分）13、△ABC的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹为_____________。
专题16 数列(解答题)(12月)(人教A版2019)(解析版)
专题16 数 列（解答题）1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10n n a a +->，23a =，且1a ，3a ，712a +成等比数列．（1）求n a 和n S ； （2）设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<． 【试题来源】广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试题【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）证明见解析．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ， 由10n n a a +->，得0d >，则223173,(12),a a a a =⎧⎨=+⎩所以121113,(2)(126).a d a d a a d +=⎧⎨+=++⎩ 解得11a =，2d =，所以21n a n =- ，()21212n n n S n +-==．（2）因为111(1)1n b n n n n ===-++． 所以1111111111112233411n T n n n =-+-+-++-=-<++． 因为111nT n =-+单调递增．所以112n T T ≥=，综上，112T ≤<．【名师点睛】数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列：或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如a n =(−1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．2．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71a =，432S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）【答案】（1）213n a n =-；（2）212n n S n =-，6n =时，n S 的最小值为36-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由71a =，432S =-，即1161434322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1112a d =-⎧⎨=⎩， 所以()11213n a a n d n =+-=-． （2）()221111122n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-， ()2212636n S n n n =-=--，所以当6n =时，n S 的最小值为36-． 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，且10n n S a +-=（*n N ∈）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()21log nn b n a =-+⋅，数列()*N 1n n b ⎧⎫⎬⎭∈⎨⎩的前n 项和为n S ，求证：112n S ≤<．【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文） 【答案】（1）12n na =；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为10n n S a +-=①，所以()11102n n S a n --+-=≥②，①-②得112n n a a -=，2n ≥； 所以数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列，于是1111222n n n a -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，*n N ∈．（2）由（1）得()()21log 1n n b n a n n =-+⋅=+，所以()111111n b n n n n ==-++， 所以12111111*********11n n S b b b n n n =+++=-+-++-=-++． 又易知函数()111f x x =-+在[)1,+∞上是增函数，且()1f x <，而112S =， 所以112n S ≤<． 【名师点睛】裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型111111n n n n a a da a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列； （2=（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-． 4．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足()2*n S n n N =∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文） 【答案】（1）21n a n =-；（2）n 21nT n =+． 【解析】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()22121n S n n n =-=-+，121n n n a S S n -=-=-， 当1n =时上式也符合．所以21n a n =-． （2）由题意知，可设111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n 12111111(1)()()23352121n T b b b n n ⎡⎤=+++=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦则n 11122121n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 5．从①前n 项和()2n S n p p R =+∈②611a =且122n n n a a a ++=+这两个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，________，其中n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1a ，n a ，m a 成等比数列，其中m ，n *∈N ，且1m n >>，求m 的最小值． （注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）【试题来源】广东省深圳、汕头、潮州、揭阳名校2021届高三上学期联考 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】选择①：（1）当1n =时，由111S a ==，得0p =．当2n ≥时，由题意，得()211n S n -=-，所以()1212n n n a S S n n -=-=-≥．经检验，11a =符合上式，所以()*21n a n n =-∈N ．（2）由1a ，n a ，m a 成等比数列，得21nm a a a =， 由（1）得()*21n a n n =-∈N，即()()221121n m -=⨯-．化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 选择②：（1）由122n n n a a a ++=+，得121 n n n n a a a a +++-=-， 所以数列{}n a 是等差数列．设数列{}n a 的公差为d ． 因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =． 所以()()*1121n a a n d n n =+-=-∈N ．（2）因为1a ，n a ，m a 成等比数列，所以21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．【名师点睛】()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，检验11a =是否符合通项是解题的关键． 6．在数列{}n a 中，12a =，1541n n a a n +=-+，*n N ∈． （1）证明：数列{}n a n -是等比数列； （2）求{}n a 的前n 项和n S ．【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理） 【答案】（1）证明见解析；（2）()1(1)5142n n n +-+． 【解析】（1）1541n n a a n +=-+，*n N ∈，1(1)5()n n a n a n +∴-+=-．因为111a -=， ∴数列{}n a n -是首项为1，公比为5的等比数列，（2）由（1）可得15n n a n --=，15n n a n -∴=+，{}n a ∴的前n 项和211555(12)n n S n -=+++⋯⋯++++⋯⋯+()115(1)51(1)1(1)(51)15251242nnn n n n n n n ⨯-+-++=+=+=-+-- 7．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知410a =-，864S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）【答案】（1）426n a n =-；（2）2224n S n n =-，6n =时，n S 的最小值为72-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410a =-，864S =-得11310878642a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩， 解得1224a d =-⎧⎨=⎩，所以{}n a 的通项公式为()2241426n a n n =-+-=-；（2）由（1）得()()1244822422n n n a a n n S n n +-===-， 又222242(6)72n S n n n -=--=，所以当6n =时，n S 取得最小值，最小值为72-．8．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22S a +是12a 和4a 的等差中项，12a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【试题来源】天津市滨海新区大港一中2021届高三（上）第一次月考【答案】（1）2nn a =；（2）12443n n n +-++．【解析】（1）正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22S a +是12a 和4a 的等差中项， 设公比为q ，则22142()2S a a a +=+，整理得12142(2)2a a a a +=+，由于12a =，即32(24)42q q +=+，即34q q =，因为0q >，所以解得2q ，所以2nn a =．（2）由于222log 24nn n b a a n =+=+，所以12324446424n n T n =++++++++12(2462)(444)n n =++++++++4(41)(1)41n n n -=++-12443n n n +-=++．9．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，92a =-，且满足3a ，13a ，8a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n n b a a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得n S 最小的n 的值． 【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（文） 【答案】（1）329n a n =-；（2）7【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ()0d ≠，因为92a =-，3a ，13a ，8a 成等比数列，所以21338a a a =，即()()()224262d d d -+=----，整理得230d d -=， 解得3d =或0d =（舍去）．故()99329n a a n d n =+-=-． （2）当19n ≤≤时，0n a <，当10n ≥时，0n a >，因为12n n n n b a a a ++=，当17n ≤≤时，0n b <，当10n ≥时，0n b >， 而且()()8891052110b a a a ==-⨯-⨯=，9910112148b a a a =-⨯⨯==-， 因此97S S >，所以使得n S 最小的n 为7．10．已知各项均为正数的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，且236a a ⋅=，238b b a ⋅=（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）若2221log n n n c a b +=⋅，求12n c c c +++…．【试题来源】黑龙江宾县第一中学2020-2021学年高三第一学期第二次月考（理） 【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）()21nn +．【解析】（1）因为{}n a 为等差数列，且11a =，所以可设公差为d ， 则()11n a n d =+-，所以21a d =+，312a d =+． 因为236a a ⋅=，所以()()1126d d ++=，解得1d =或52d =-． 又等差数列{}n a 各项均为正数，所以52d =-不合题意，舍去，所以n a n =． 因为{}n b 为等比数列，且11b =，所以可设公比为(0)q q ≠，则1n n b q -=．因为2388b b a ⋅==，所以128q q ⋅=，解得2q，满足各项均为正数，所以12n n b -=．（2）由（1）知1,2n n n a n b -==，所以2221log n n n c a b +=⋅()121n n =+111=21n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭．所以12n c c c +++111111122231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭11121n ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭()21n n =+．11．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =． （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）在等差数列{}n b 中，若15b a =，82b a =，求数列{}n b 前n 项和n S ． 【试题来源】甘肃省临夏州临夏中学2019-2020学年高二（上）第二次月考（文） 【答案】（1）12n na ；（2）217n S n n =-．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设知3418a q a ==， 2q ∴=，因此12n na ；（2）由（1）可得415216b a ===，822b a ==，∴公差81281b b d -==--，2(1)16(2)172n n n S n n n -∴=+⨯-=-． 12．已知数列{}n a 满足12a =，()121n n n a a n++=．设nn a b n=． （1）求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和为n S ．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文） 【答案】（1）证明见解析；（2）()1122n n S n +=-+．【解析】（1）由()121n n n a a n++=，可得121n n a an n+=⋅+，即12n n b b += 则数列{}n b 是以1121a b ==为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可得，2nn n a b n ==，2n n a n ∴=⋅，23122232...2n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯，则有()23412122232 (122)nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式作差得()231111212222 (22222212)n n n n n n nS n n n ++++--=++++-⨯=-⨯=--⨯-()1122n n S n +∴=-+．13．在数列{}n a 中，11a =，24a =，2134n n n a a a ++=-． （1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S m m ≥-对任意正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．【试题来源】河南省商丘市虞城高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（理）【答案】（1）证明见详解；（2）1⎡⎣．【解析】（1）由2134n n n a a a ++=-，得214133n n n a a a ++=-． 则()1112111141113333n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++----===---，所以数列{}1n n a a +-是以213a a -=为首项，13为公比的等比数列． （2）由（1）得11211333n n n n a a -+-⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭．当2n ≥时，()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-01231111133333n -=+++++⋅⋅⋅+2111119134122313n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=-⨯ ⎪⎝⎭-．当1n =时，11a =适合11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．所以11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，所以1111927111273122432413nnn S n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=⨯+-⎪⎝⎭-． 因为11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭是关于n 的递增数列，且110a =>，所以n S 也关于n 单调递增，从而n S 的最小值为11S =．因为22n S m m ≥-恒成立．所以212m m ≥-，解得11m ≤≤．即实数m的取值范围是1⎡+⎣．【名师点睛】根据数列不等式恒成立求参数时，一般通过分离参数，得到参数大于某个式子或小于某个式子恒成立的问题，再根据分离后的式子，由函数（或数列）的性质求出最值，即可求解参数范围．14．已知等差数列{}n a 满足323a a -=，2414a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n S 是公比为正数的等比数列{}n b 的前n 项和，若22b a =，46b a =，求7S ． 【试题来源】湖北省荆州市滩桥高级中学2019-2020学年高二下学期期末（文） 【答案】（1）32n a n =-；（2）254． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为32243,14-=+=a a a a ．所以3d =，12414a d +=，解得11a =， 所以()1132n a a n d n =+-=-； （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则2124b b q a ===，341616b b q a ===，解得122b q =⎧⎨=⎩或122b q =-⎧⎨=-⎩， 因为公比为正数，所以122b q =⎧⎨=⎩，所以()7721225412S ⨯-==-． 15．已知数列{}n a 为正项等比数列，12a =，数列{}n b 满足25b =，且11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若11{}n n b b +的前n 项和n T ，求n T 的取值范围． 【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题【答案】（1）2nn a =，21n b n =+；（2）[11,)156． 【解析】（1）令1n =，则2112(21)26a b =+-=，所以13b =，令2n =，则112226a b a b +=，所以2220a b =，因为25b =，所以24a =， 设数列{}n a 的公比为q ，则212a q a ==，所以2n n a =． 因为11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-，①当2n ≥时，112233112(23)2nn n a b a b a b a b n --+++⋅⋅⋅+=+-，② 由①-②得1[2(21)2][2(23)2](21)2n n nn n a b n n n +=+--+-=+，所以21n b n =+，当1n =时也成立，所以21n b n =+，（2）由（1）可知111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++， 所以1111111[()()()]235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()2323n =-+， 因为n T 随着n 的增大而增大，当1n =时，1115T =，当n →+∞时，16n T →， 所以n T 的取值范围是11[,)156． 【名师点睛】数列求和的方法常用的有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法．要根据数列通项的特征，灵活选择方法求和． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-*()n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理）【答案】（1）123n n a -=⋅；（2）134n n b -=+．【解析】（1）当n =1时，11312a a =-， 所以 a 1=2． 当2n ≥时，因为312n n S a =- ①，1131(2)2n n S a n --=-≥ ②，①-②得133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=所以 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，所以123n n a -=⋅．（2）因为1n n n b b a +=+，所以当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅ ，……，13223b b =+⋅，2123b b =+⋅，相加得 12111132(333)523413n n n n b b ----=+⋅+++=+⋅=+-．当n =1时，111345b -+==，所以 134n n b -=+．【名师点睛】递推数列求数列通项公式，对于形如a (n+1)=a n +f (n )或者a (n+1)-a n =f (n )的关系式，其中f (n )可以为常数(此时为等差数列)、也可以是关于n 的函数如一次函数、分式函数、二次函数和指数函数等，此时求解通项公式时均可使用累加法．17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b的前n 项和n T ．【试题来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）【答案】（1）n a n =；（2）()1114213n n T n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦．【解析】（1）由211n n n a S S ++=+，又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥，因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥，又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=，因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1， 所以()11n a a n d n =+-=； （2）()()1121213n n n b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以 ()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦． 【名师点睛】常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭； （31=-（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----． 18．已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+． （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()312nn n n nb a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围． 【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】（1）证明见解析，231n na =-；（2）23λ-<<． 【解析】（1）由13n n n a a a +=+得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32是为首项，3为公比的等比数列． 所以111333222n n n a -+=⨯=，即231n n a =-． （2）()12231nnnn n b an n --⋅==， 所以0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯， 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯． 两式相减得121011111222222222n n n n T n n -+=+++⋯+-⨯=-，所以1242n n n T -+=-，所以12(1)42nn λ--<-． 令()()*1242n f n n -=-∈N ，易知()f n 单调递增，若n 为偶数，则()21242f n λ-<-≤，所以3λ<； 若n 为奇数，则()11242f n λ--<-≤，所以2λ-<，所以2λ>-． 综上所述23λ-<<．【名师点睛】利用构造等比数列可求解形如递推关系1n n a pa q -=+的通项公式；根据数列的单调性求数列的最值，可求得参数的取值范围．19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，满足410S =，55a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，满足()4413nn T =-，*n ∈N ． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设211log n n n n c b a a +=+，若数列{}n c 的前n 项和100n C <，求n 的最大值． 【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】（1）*n a n n N =∈，，4n nb ，*n N ∈；（2）9．【解析】（1）{}n a 为等差数列，因为410S =，55a =，所以14610a d +=，145a d +=，解得11a =，1d =，所以*n a n n N =∈，．因为()4413n n T =-，所以当2n ≥时，()()11444141433n n n n n n b T T --=-=---=； 当1n =时，114b T ==．综上，4n n b ，*n N ∈．（2）()2111log 4211nn c n n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以()12111111212312231n n C c c c n n n ⎛⎫=+++=+++++-+-++- ⎪+⎝⎭()()111111n n n n n n n ⎛⎫=++-=++ ⎪++⎝⎭，所以()11nn C n n n =+++， 因为()11001n nC n n n =++<+， 当1n ≥时，()1111n C n n n =++-+为关于n 的递增数列，8999010010C C <=+<，101011010011C =+>，所以n 的最大值为9． 【名师点睛】已知数列的通项和前n 项和的递推关系，常采用多递推一项再相减的思想；通过研究数列的单调性，进而研究数列项的最值或解不等式，是常用的方法．20．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③a n +1＝a n +n -8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的S n 存在最大值，则求出最大值；若问题中的S n 不存在最大值，请说明理由．问题：设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，_________，求{a n }的通项公式，并判断S n 是否存在最大值．【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】选①因为112n n a a +=-，a 1＝4，所以{a n }是首项为4，公比为12-的等比数列，所以13114()()22n n n a --=⨯-=-．当n 为奇数时，14[1()]812(1)13212n n nS --==++，因为81(1)32n +随着n 的增加而减少，所以此时S n 的最大值为S 1＝4．当n 为偶数时，81(1)32n n S =-，且818(1)4323n n S =-<<．综上，S n 存在最大值，且最大值为4．选②因为116n n a a +-=-，a 1＝4，所以{a n }是首项为4，公差为16-的等差数列，所以11254(1)()666n a n n =+--=-+．由125066n -+≥，得n ≤25，所以S n 存在最大值，且最大值为S 25（或S 24），因为2525241254()5026S ⨯=⨯+⨯-=，所以S n 的最大值为50．选③因为a n +1＝a n +n -8，所以a n +1-a n ＝n -8，所以a 2-a 1＝-7，a 3-a 2＝-6，…，a n -a n -1＝n -9，则12132n a a a a a a -=-+-+…21(79)(1)171622n n n n n n a a --+---++-==，又a 1＝4，所以217242n n n a -+=．当n ≥16时，a n ＞0，故S n 不存在最大值．21．已知数列{}n a 中，11a =，1(1)(2)1n n n a n a ++-+=*()n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n项和．数列{}n b 满足*1()n nb n N S =∈．（1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ．问是否存在正整数,(3)p q p q <<，使得3,,p q T T T 成等差数列？若存在，求出,p q 的值；若不存在，请说明理由．【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】（1）证明见解析，n a n =；（2）存在，11,5q p ==或27,6q p == 【解析】（1）1(1)(2)1n n n a n a ++-+=，则()()1111211212n n a a n n n n n n +-==-++++++， 设1n n a c n =+，则112c =，11112n n c c n n +-=-++，1122111111111123211n n n n n nc c c c c c c c n n n n ---=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+⋅⋅⋅+-+=-=+++，故11n n a nc n n ==++，n a n =，11n n a a --=，故数列{}n a 为等差数列．（2）()12n n n S +=，()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n nb S n n n n ， 故1111122122311n n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪++⎝⎭． 3,,p q T T T 成等差数列，则32p q T T T =+，即423112p q p q =+++， 化简整理得到：5730pq p q +--=，即()()7532p q -+=-，3p q <<，故58q +>，且*,p q N ∈，故516q +=或532q +=，故11,5q p ==或27,6q p ==．22．在①123,1,a a a +成等差数列；②430S =；③12364a a a =三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和．若12()n n S a a n N *=-∈，10a ≠，且满足（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11b =，*1()n n n b b a n N +-=∈，求数列{}n b 的通项公式． 【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）2nn a =；（2）21n n b =-．【解析】（1）因为12n n S a a =-，所以1112n n S a a ++=-，所以()1111122n n n n n a S S a a a a +++--==--，化简得12n n a a +=，若选择①：因为123,1,a a a +成等差数列，所以()21321a a a +=+即()1112214a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =；若选择②：因为2413411530a a a a S a =+++==，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =； 若选择③：因为31231864a a a a ==，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =； （3）由（1）得2nn a =，则12n n n b b +-=，所以当2n ≥时，()()()()2311213243112222n n n n b b b b b b b b b b --+-+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+= ()1122112n n ⋅-==--，当1n =时，11b =满足上式，所以21nn b =-．23．阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 【试题来源】江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】答案见解析【解析】设等比数列{}n b 的公比为q ．因为对任意的*n ∈N ，都有2123n n n b b b ++=+，所以223q q =+，解得1q =-或32． 因为对任意的*n ∈N ，都有0n b >，所以0q >，从而32q =． 又11b =，所以132n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭．显然，对任意的*n ∈N ，0n b >．所以，存在*n ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤，即n kn ka ab b ≤． 记nn na cb =，*n ∈N ．下面分别就选择①②③作为条件进行研究． ①因为对任意的*n ∈N ，都有1112n n a a +=+，即()11222n n a a +-=-．又11a =，即1210a -=-≠，所以20n a -≠，从而12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是等比数列，公比为12，得1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以1123n n n n n a c b --==，从而()1112321n n n nc c ++-=-． 由()1121122132n nn n +--≤⇔≥⇔≥，得12c c =，当1n ≥时，1n n c c +<， 所以，当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n ∈N ，都有2121n n a a a b b b ≤=，即11n n a b a b ≤，22n n a b a b ≤， 所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤． ②因为对任意的*n ∈N ，都有12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为2．又11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-．所以12(21)03n n n n a c n b -⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，从而12(21)3(21)n n c n c n ++=-． 由2(21)51253(21)2n n n n +≤⇔≥⇔≥-，得当2n ≤时，1n n c c +>；当3n ≥时，1n n c c +<，所以，当3n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n ∈N ，都有33n n a a b b ≤，即33n n a b a b ≤． 所以存在3k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤． ③因为对任意的*N n ∈，都有21n n S a =-，所以1121n n S a ++=-， 从而()1111212122n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即12n n a a +=．又110a =>，所以0n a >，且12n na a +=， 从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12n na ．所以1304n n n n a c b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，从而1314n n c c +=<，所以1n n c c +<， 所以，当1n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*N n ∈，都有11n n a a b b ≤，即11n n a b a b ≤． 所以存在1k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤． 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21(*)n n S a n N =-∈ （1）求1a 和2a 的值；（2）证明数列{}n a 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（3）设13log n n b a =，n n n c a b =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【试题来源】广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）113a =；219a =；（2）证明见解析，13n n a =；（3）n T =332443nn +-⨯． 【解析】（1）1121S a =-，得113a =，当2n =时，2221S a =-，所以1222()1a a a +=-，解得219a =．（2）由21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥， 两式相减得11(2)3n n a a n -=≥，即11(2)3n n a n a -=≥， 所以数列{}n a 是以首项为13，公比为13的等比数列，得13n n a =． （3）13log n n b a n ==，3n n nnn c a b ==， 则12n n T c c c =+++=21111112(1)3333n n n n -⨯+⨯++-⨯+⨯，得3×n T =21231333n-n++++，上两式相减得 2×n T =1+211113333n n n -+++-=311)233n n n--（， 得n T =13133244323443n n nn n-+--=-⨯⨯⨯． 【名师点睛】已知条件是n S 和n a 的关系的，可用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求通项公式．如果一个数列的结构是等差数列乘以等比数列，则数列求和采用错位相减求和法． 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S n a +=-．（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中，12b =，12n n b b +=-，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ． 【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（文）【答案】（1）证明见解析；121n n a +=-；（2）n T 2224n n +=+-．【解析】（1）证明：当1n =时，13a =，当2n ≥时，22n n S n a +=- ①，11(1)22n n S n a --∴+-=- ②， 由①－②得121n n a a -+=， 1221n n a a -∴+=+，即1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是以2为公比，首项为114a +=的等比数列，112n n a +∴+=，得121n n a +=-．（2）由题得12nnb b ，故{}n b 是以2为公差，2为首项的等差数列，2n b n ∴=．()231(242)222n n T n n +∴=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-()412(1)22212n n n n n --=+⨯+--2224n n +=+-．【名师点睛】本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法： （1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法； （3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法； （4）等差⨯等比数列：错位相减法．26．已知数列{}n a 满足12a =，1(1)2(2)n n n a n a ++=+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：2nn S a <．【试题来源】浙江省温州市2020-2021学年高三上学期11月高考适应性测试（一模） 【答案】（1）1(1)2n n a n -=+⋅；（2）证明见解析．【解析】（1）因为1(1)2(2)n n n a n a ++=+，所以12(2)(1)n n a n a n ++=+，则 1123411123134512(1)2(2)234n n n n n a a a a n a a a n n a a a a n ---+⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⨯⨯⨯=+⋅≥ ⎪⎝⎭当1n =时，12a =满足上式，所以1(1)2n n a n -=+⋅．（2）0121223242(1)2n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅①，123122232422(1)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅②，①-②得123122222(1)2n n n S n --=+++++-+⋅，化简得()12122(1)2212---=+-+⋅=-⋅-n nn nS n n ，所以2nn S n =⋅，又2(1)2220nnnn n a S n n -=+⋅-⋅=>，所以2n n S a <．【名师点睛】本题考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查错位相减法求和，难度一般．（1）当数列{}n a 满足()1n na f n a +=时，可采用累乘法求通项公式； （2）当数列n n n c ab =⋅，其中{}n a 和{}n b 分别为等差数列与等比数列时，采用错位相减法求和．27．已知数列{}n a 满足122nn n a a a +=+，且12a =，数列{}n b 满足1n n n n b b a b +-=，且12b =，(n *∈N )． （1）求证：数列1na 是等差数列，并求通项n a ； （2）解关于n 的不等式：22n a nb <．【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】（1）证明见解析，2n a n=；（2）{}2,3,4n ∈． 【解析】（1）由122nn n a a a +=+，且12a =知，0n a >， 故有11112n n a a +-=得，所以数列1na 是等差数列， 由于1111,22d a ==，所以12n n a =，即2n a n=； （2）由1n n n n b b a b +-=得，121n n n b n a b n++=+=，由累乘法得，(1)n b n n =+ 则不等式22na nb <可化为2(1)nn n <+，即(1)12nn n +>， 令(1),2n nn n c n N *+=∈，则1n c >． 当1n =时，11c =，不符合；当2n =时，2312c =>，符合；当3n =时，3312c =>，符合；当4n =时，4514c =>，符合； 当5n =时，515116c =<，不符合；而当5,n n N *≥∈时，()()1111(2)1(2)(1)0222n n n nn n n n n n n c c ++++++-+-=-=<故当5,n n N *≥∈不符合；综上所述，{}2,3,4n ∈．28．已知数列1n n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n ，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +-=，*n N ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足22nnn a c b =，*n N ∈，求满足126316n c c c +++≤的最大整数n ． 【试题来源】浙江省杭州地区重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】（1）1n a n =+()n N ∈，(1)2n n nb +=()n N ∈；（2）证明见解析 【解析】（1）因为1212111n nn a a a +++=---①， 2n ≥时，1211211111n n n a a a --+++=----②，由-①②得11n na =-，所以1(2)n a n n =+≥， 当1n =时，1111a =-，12a =符合1n a n =+，所以1n a n =+()n N ∈，因为11n n n b b a n +-==+，所以()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-1121n b a a a -=++++(1)122n nn +=+++=， 当1n =时，11b =也符合，(1)2n n nb +=． （2）因为22224(21)(1)n n n a n c b n n +==+，22224(21)114()(1)(1)n n c n n n n +==-++， 所以，12216341(1)16n c c c n ⎛⎫+++=-≤ ⎪+⎝⎭，21631(1)64n -≤+，211(1)64n ≥+，2(1)64n +≤，所以()18n +≤即7n ≤． 所以满足126316n c c c +++≤的最大整数n 为7． 29．已知数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝a ，a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意n ∈N *都成立，数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若{a n }是等差数列，求k 的值； （2）若a ＝1，k ＝－12，求S n ． 【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （文）【答案】（1）12k =；（2）()2,21,,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ． 【解析】（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，121n n n n a a a a +++-=-， 即122n n n a a a ++=+，所以()1212n n n a a a ++=+，故12k =. （2）当12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--． 所以()211n n n n a a a a ++++=-+，故()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+， 所以，当n 是偶数时，()()()1234112341n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++()122na a n =+=， 当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-，()()()12341123451n n n n n S a a a a a a a a a a a a a --=++++++=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=- 综上，()2,21,,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ．30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，918a =，10110S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （文） 【答案】（1）2n a n =；（2）1n nT n =+． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由911018181045110a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12a d ==，所以，()112n a a n d n =+-=，故数列{}n a 的通项公式2n a n =； （2）由（1）可得()()2212n n n S n n +==+， 所以()111111n n b S n n n n ===-++， 所以111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【名师点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法．31．已知等比数列{}()n a n N*∈满足234a aa =，13223a a a +=．（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”，证明：数列{}n a 是“M -数列”；（2）记等差数列{}n b 的前n 项和记为n S ，已知59b =，864S =，求数列{}21n n b a -的前n 项的和n T ．【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三质量普查调研考试（理） 【答案】（1）证明见解析；（2）()4727nn T n =-+．【解析】（1）由题意可设公比为q ，则23311a q a q =，得11a =，211123a a q a q +=得1q =或2q，所以数列{}n a 是“M -数列”．（2）设数列{}n b 的公差为d ，易得()458464b b S +==得47b =， 所以542d b b =-=，得21n b n =-，由（1）知若1q =，则2143n n b a n -=-，所以()214322n n n T n n +-==-，若2q，则12n na ，所以()121432n n nb a n --=-⋅，所以()()0221125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-①， 所以()()2312125292472432n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-②，①-②得()()231125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以()()1812143212n n nT n ---=+---，所以()4727nn T n =-+．32．在①535S =，②13310a a +=，③113n a n a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，________，且1a ，412a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()1nn n b a =-，求1ni i b =∑．【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）32n a n =-；（2）13,213,2n i i nn b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数 【解析】{}n a 是各项均为正数的等差数列，1a ，412a ，9a 成等比数列． 所以241914a a a =⋅，即()()2111348a d a a d +=⋅+，整理可得221132690a a d d +-=，若选①：535S =，则1545352a d ⨯+=，即127a d +=， 由127a d +=可得172a d =-代入221132690a a d d +-=可得2230d d --=，解得3d =或1d =-（舍），所以11a =， 所以()11332n a n n =+-⨯=-，若选②：13310a a +=，即152d a =-，代入221132690a a d d +-=得2111762450a a -+=，即 ()()11117450a a --=解得113a d =⎧⎨=⎩或145175017a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩不符合题意；若选③：113n a n a +=+，则419a a =+，9124a a =+， 代入241914a a a =⋅可得21126270a a +-= 解得113a d =⎧⎨=⎩或1273a d =-⎧⎨=⎩不符合题意；综上所述：113a d =⎧⎨=⎩，32n a n =-，（2）()()132nn b n =--，()()()()()12311231111111nn nin n i b a a a a a --==-+-+-+-+-∑()()()()114710135132n nn n -=-+-++--+--当n 为偶数时，13322ni i n n b ==⨯=∑，当n 为奇数时，()11131322ni i n nb =--=-+-⨯=∑，所以13,213,2ni i nn b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数．【名师点睛】本题得关键点是分别由条件①②③结合1a ，412a ，9a 成等比数列计算出1a 和d 的值，由{}n a 是各项均为正数的等差数列，所以10a >，0d >，第二问中()1nn nb a =-正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分n 为奇数和偶数讨论．33．已知函数f (x )=x a ( a 为常数，a >0且a ≠1 )（1）在下列条件中选择一个条件___ (仅填序号)，使得依次条件可以推出数列{a n }为等差数列，并说明理由；①数列{f (n a )}是首项为4，公比为2的等比数列； ②数列{f (n a )}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f (n a )}是首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若a =2，b =12n⎛⎫ ⎪⎝⎭(n ∈*N )，求数列{n a ．n b }的前n 项和n S ， 【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期期中 【答案】（1） 选①，理由见解析（2）332n n +-【解析】（1）②③不能推出数列{a n }为等差数列，①能推出数列{a n }为等差数列． 若选①，数列{f (n a )}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以f (n a )1+1422n a n n a -==⨯=， 解得1log 2(1)log 2n n a a a n +==+，故数列{a n }为等差数列，若选②，数列{f (n a )}是首项为4，公差为2的等差数列， 所以()42(1)22n f a n n =+-=+，即22na a n =+，解得log 22)a n a n =+（，故数列{a n }不为等差数列，若选③，数列{f (n a )}是首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列，因为首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和为4(12)4(21)12n n n S -==--，所以()4(21)na n n f a a==-，解得log 4(21)n n a a =-，显然数列{a n }不为等差数列．（2）由（1）及a =2可得1n a n =+，所以11(1)22nn n n n a b n +⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭， 234345n+112222n n S =+++++，345111345n+1222222n n S +∴=+++++， 两式相减可得23451111111112222222n n n n S ++∴=++++++-。
2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1690)
铁门关市第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+，则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33． 函数f （x ）=ax 2+bx 与f （x ）=log x （ab ≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 下列命题正确的是（ ）A ．很小的实数可以构成集合.B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.C ．自然数集 N 中最小的数是.D ．空集是任何集合的子集.5． 若实数x ，y 满足不等式组则2x+4y 的最小值是（ ）A ．6B ．﹣6C ．4D ．26． 已知函数1)1(')(2++=x x f x f ，则=⎰dx x f 1)(（ ）A ．67-B ．67C ．65D ．65- 【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.7． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的面积的最大值为4，则此时△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形8． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）A ．k360°+463°B ．k360°+103°C ．k360°+257°D ．k360°﹣257°9． 已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ） A ．2017 B ．﹣8 C ．D ．10．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）A ．80B ．40C ．60D ．2011．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱台D ．三棱柱12．设函数F （x ）=是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x ∈R 恒成立，则（ ） A ．f （2）＞e 2f （0），f B ．f （2）＜e 2f （0），f C ．f （2）＞e 2f （0），fD ．f （2）＜e 2f （0），f二、填空题13．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ．14．-23311+log 6-log 42（）= . 15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．16．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为 ．17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx －mx（m ∈R ）在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．18．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．3C ．2D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．三、解答题19．已知f （x ）=|﹣x|﹣|+x|（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2﹣3a 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若f （m ）+f （n ）=4，且m ＜n ，求m+n 的取值范围．20．2015年第7届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种纪念品，每件纪念品的成本为4元，并且每件纪念品需向总店交3元的管理费，预计当每件纪念品的售价为x元（7≤x≤9）时，一年的销售量为（x﹣10）2万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件纪念品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．21．设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；（Ⅲ）当时，g（x）≤t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．22．已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域；（2）判断并证明f（x）的奇偶性；（3）求证：f（）=﹣f（x）．23．已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x）（1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明．（2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．24．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．铁门关市第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：设数列{a n }的公差为d ，则由a 1+a 5=10，a 4=7，可得2a 1+4d=10，a 1+3d=7，解得d=2， 故选B ．2． 【答案】D 【解析】试题分析：由题知(1)CB BM CM CB xCA y =-=+-，BA CA CB =-；设BM k B A =，则,1x k y k =-=-，可得1x y +=，当14x y+取最小值时，()141445x yx y x y x y y x⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，最小值在4y x x y =时取到，此时21,33y x ==，将()1,CN 2CM xCA yCB CA CB =+=+代入，则()22111233322233x y CM CN xCA yCB CA CB x y +⎛⎫⋅=++⋅=+=+= ⎪⎝⎭.故本题答案选D.考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 3． 【答案】 D【解析】解：A 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，A 不正确；B 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，B 不正确；C 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f （x ）=log x在定义域上是增函数，C 不正确；D 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f（x ）=logx 在定义域上是减函数，D 正确．【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．4． 【答案】D 【解析】试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.考点：集合的概念；子集的概念.5．【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C时，直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（3，﹣3），此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．6．【答案】B7．【答案】A【解析】解：∵（acosB+bcosA）=2csinC，∴（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，∴sinC=2sin2C，且sinC＞0，∴sinC=，∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤=4，∴a=b=4，则此时△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．8．【答案】C【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z）即：k360°+257°，（k∈Z）故选C【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．9．【答案】D【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，∴f（1）=f（﹣1）=，∴a2017=f（1）=，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．10．【答案】B【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．11．【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰为1，棱柱的侧棱长为1，故选A.考点：三视图【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹.12．【答案】B【解析】解：∵F（x）=，∴函数的导数F′（x）==，∵f′（x）＜f（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）是减函数，则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜e2f（0），f，故选：B二、填空题13．【答案】x=﹣3．【解析】解：经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为：x=﹣3．故答案为：x=﹣3．14．【答案】33 2【解析】试题分析：原式=233331334log log16log16log1622+=+=+=+=。
2019-2020学年度高二数学12月月考试题理
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高二数学12月月考试题理______年______月______日____________________部门一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分，每小题只有一个正确答案）1、已知中，已知，则等于 （ ）ABC ∆008, 60, 75a B C ===bA ．B ．C ．D ．2434643322、等差数列的前项和为，且,,则公差等于 （ ）{}n a n n S 639S =14a =dA ．B ．C ．D ．15332-3、设 ，且，则 ( ),,a b c R ∈a b >A ．B ．C ．D ．11a b <22a b >a c b c ->-ac bc >4、若命题“”与命题“”都是真命题，则 （ ）p ⌝p q ∨A ．命题p 与命题q 的真假性相同B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 不一定是真命题5、椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在处，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，小球经过的路程是 （ ）221259x y +=A B A A A A ．20 B ．18 C ．2 D ．以上均有可能6、已知，曲线上一点到的距离为11，是的中点，为坐标原点，则的值为 （ ）(,,1),(,,1)552626x y x ya b ==--0a b ⋅=M (7,0)F N MF O ||ONA ．B ．C ．D ．或11221212212127、抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（ ）24y x =M M A ． B ． C ． D ．017161516788、已知实数4，，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）m 122=+y m xA ．B ．C ．或D ．7或63076307659、设双曲线的两渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为，为区域内的动点，则目标函数的最大值为 （ ）221x y -=22x =A ．B ．C ．0D ．2-22-32210、已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于,两点，若恰好将线段三等分，则（ ）22122:1(0)x y C a b a b+=>>222:14y C x -=2C 1CA B 1C AB A ． B ． C ． D ．2132=a 132=a 212=b 22=b二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11、已知命题，则命题为 ．:,sin 1p x R x ∀∈≤p ⌝ 12、中，，且满足条件，则动点的轨迹方程为 ．ABC∆(2,0),(2,0)B C -1sin sin sin 2C B A-=A13、已知等差数列的公差，且成等比数列，则 ．{}n a 0d ≠139,,a a a 1392410a a a a a a ++=++14、在四棱柱中，底面为正方形，侧棱与底面垂直，且，则直线1111ABCD A B C D -ABCD 12AA AB =CD与平面所成角的正弦值等于 ．1BDC15、如图分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，是面积为 的正三角形，则的值是 ．12F F ,22221(0)x y a b a b +=>>P2POF∆32b 三、解答题（本大题共6小题，共75分，请写出详细解答过程）16、命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”；命题：对任意实数都有恒成立．若是假命题，是真命题，求实数的取值范围． 17、在中，角、、所对的边分别是、、，若，ABC ∆ 且，求的面积．18、已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式；{}n a（2）若数列满足，，求证：.{}n b 11b a =1()n n n b b a n N *+=+∈32n b <19、已知直线与椭圆相交于、两点，且，求椭圆的离心率．:10l x y +-=20、如图，在长方体中，、分别是棱，上的点，，．1111ABCD A B C D -E F BC 1CC 22CF AB CE ===1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21、已知椭圆：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒1111FE C B D CADB A数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．C 222210x y (a b )a b +=>>20l :x y -+=C （1）求椭圆的方程；C（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点(，)．M M MA MBA B 1k 2k 124k k +=AB12-1-高二上学期月考试题参考答案理科数学 20xx-12-29 一、选择题C A C BD B B C D C 二、填空题11、 12、 13、 14、 15、23 三、解答题16、解：命题：∵方程表示焦点在轴上的椭圆，∴．………………2分p 221y x m +=y 1m > 命题：∵恒成立，q 210mx mx ++>当时，符合题意；…………………………………………………………………………4分0m =当时，，解得， ∴．………………………6分0m ≠2040m m m >⎧⎨∆=-<⎩04m <<04m ≤<∵是假命题，是真命题，∴一真一假．……………………………………7分p q ∧p q ∨,p q（1）当为真，为假时，，∴；…………………………………9分p q 140m m m >⎧⎨≥<⎩或4m ≥（2）当为假，为真时，，∴． (11)分p q 104m m ≤⎧⎨≤<⎩01m ≤≤ 综上所述，的取值范围为或．……………………………………………12分m 01m ≤≤4m ≥17、解：∵，C B A C B sin sin sin sin sin 222+=+∴，即，…………………………………………………4分222b c a bc +=+222a b c bc =+-∴，即，……………………………………………………6分2221cos 22b c a A bc +-==60A =︒又，∴， (8)分||||cos 4AC AB AC AB A ⋅=⋅=||||8AC AB ⋅=1||||sin 232ABC S AC AB A ∆=⋅=．…………………………………………………………12分18、解：（1）由 ①1n n a S +=111n n a S --+= ②①-②得：，……………………………………………………………………………………2分112n n a a -=又，∴，111a S +=112a =∴数列是以为首项，为公比的等比数列，{}n a 1212∴………………………………………………………………………………………………6分1()2nn a = （2）由，得，1n n n b b a +=+1n n n b b a +-= ∴211b b a -= …………以上各式累加得：1121n n b b a a a --=+++2111111()()1()2222n n --=+++=-……………………………………10分又1112b a ==∴．………………………………………………………………………………12分n b =1313()222n --<19、解：设，),(),,(2211y x B y x A∵42(,)33OA OB +=∴ (2)分121242,33x x y y +=+=由.，得……………………………………4分2222101x y x y a b +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩2222222()20a b x a x a a b +-+-=由韦达定理，得…………………………………………………………6分2122224.3a x x a b +==+…………………………………………………………………………………………8分222b a =∴，22222222,c a a c a b -=∴-=………………………………………………………………………12分22,222==∴=∴a c e c a20、解：如图所示，建立空间直角坐标系， 由题意，12,4,8AB AD AA ===所以，，，，………………………………………………2分(2,3,0)E (2,4,2)F 1(0,0,8)A (0,4,0)D（1），，(0,1,2)EF =1(0,4,8)A D =-于是， (4)分1113cos ,5EF A D EF A D EF A D==-所以异面直线与所成角的余弦值为；……………………………………………………6分EF 1A D 35（2），，1(0,4,8)A D =-1(2,3,8)A E =- 设平面的法向量为，1A DE 1(,,)n x y z =则，即，即，11n A D n A E ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩1100n A D n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4802380y z x y z -=⎧⎨+-=⎩令，则，，1z =2y =1x = 所以，1(1,2,1)n =又平面的法向量为，………………………………………………………10分ABCD 2(0,0,1)n =126cos ,6n n <>=，………………………………………………………………………………12分所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………………………………13分1A DE ABCD 6621、解：（1）∵等轴双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率为，222yxz 1111F E C B D CBDA A∴，∴，……………………………………………………………2分22222212c a b e a a -===222a b = 又直线与相切，∴…………………………………4分20x y -+= 得，∴，∴椭圆的方程为．………………………………………………………………………6分C 2212x y +=（2）①当直线的斜率不存在时，设方程为，则，，AB 0x x =00(,)A x y 00(,)B x y -由已知，得，0000114y y x x ---+=012x =- 此时直线的方程为，显然过点(，)．……………………………………………8分AB12x =- ②当直线的斜率存在时，设方程为，由，得，…………………………………………10分2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(21)4220k x kmx m +++-=设，，11(,)A x y 22(,)B x y则，122421km x x k +=-+21222221m x x k -=+ ∵，∴，124k k +=1212114y y x x --+=即，即，1212114kx m kx m x x +-+-+=12122(1)4x x k m x x ++-=所以，………………………………………………………………………………………12分12k m =-直线的方程为，AB11()122k y kx k x =+-=+- 所以直线过定点(，)，AB12-1- 综上所述，直线过定点(，)．……………………………………………………………14分AB 12-1-。
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2019-2020学年高二数学12月月考试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间150分钟。
注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、代码、准考证号填写清楚。
请认真核准准考证号、姓名和科目、姓名代码。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.下列选项中，使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是（ ） A ． (－1,0) B ．(－∞,－1) C. (0,1) D ．(1,+∞) 3.两个正数1、9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．与4.直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若|AB |=4，则弦AB 的中点到直线102x += 的距离等于（ ） A ．74 B ．94C ．4D ．25.若正数x ，y 满足35x y xy +=，当34x y +取得最小值时，2x y +的值为（ ）A.245B.2C.285D.56.在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 20182018b a =，则()220172019log b b ⋅的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．87.已知F 1，F 2是双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点，点P 在双曲线上，且12||||PF PF λ=，则下 列结论正确的是( )A ．若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为101,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.如图，正方体中，是棱的中点，是棱上的点，且，则直线与所成的角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.若110b a <<，则下列不等式成立的是( ) A.11a b a>- B.a b < C.a b > D.22a b > 10.由公差为d 的等差数列,...,,321a a a 则对重新组成的数列...,,635241a a a a a a +++ 描述正确的是（ ）A 一定是等差数列B ．公差为2d 的等差数列 C.可能是等比数列 D ．可能既非等差数列又非等比数列11. 已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A.数列{a n }的前n 项和为1S 4n n=B. 数列{a n }的通项公式为14(1)n a n n =+C.数列{a n }为递增数列D. 数列1{}nS 为递增数列12. 已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于，则双曲线的标准方程是____________________________14.已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线l ：54x =-，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，直线AF 的倾斜角为3π，则|MF |= ． 15. 不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．16.数列()11n a n n =+的前n 项和为nS ，若1S ，mS ，nS 成等比数列()1m >，则正整数n 值为 ______.四、解答题：本题共6小题，共70分。
17题10分其余题目12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17（10分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点， 设,,AB a AD b AP c ===． （1）试用,,a b c 表示出向量BM ； （2）求BM 的长．18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n S a n n N=-+∈.（1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}1n a -的前n 项和n T . 19.（12分）设函数.（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）当时，对任意的都有成立，求实数的取值范围.20. (12分)已知等差数列的公差大于0，且，分别是等比数列的前三项. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和，若，求的取值范围.21.（12分） 设F 1，F 2分别是椭圆C ： (a>b>0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b.22.（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，圆Q ：()(222=2x y -+的圆心Q在椭圆C 上，点P （0）到椭圆C ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，且l 1交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，且M 为CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．数学答案CBDBBCCD BCD ABC AD ABD5 [－8,4] 817.（1）∵M 是PC 的中点， ∴()()1122BM BC BP AD AP AB ⎡⎤=+=+-⎣⎦()11112222b c a a b c ⎡⎤=+-=-++⎣⎦........................4分 （2）1,2,1,2AB AD PA a b c ===∴===由于00,60,0,21cos601AB AD PAB PAD a b a c b c ⊥∠=∠=∴⋅=⋅=⋅=⋅⋅=由于()1,2BM a b c =-++由于 ()()()222222221113211220114442BM a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎤⎡∴=-++=+++-⋅-⋅+⋅=+++-+=⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦6BM BM ∴=∴分 18. （Ⅰ）2n n S a n =-+， 当2n ≥时，1121n n S a n --=-+-， 两式相减，得121n n n a a a -=-++，即11133n n a a -=+. ∴1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列。
..........................................5分（Ⅱ）由1121S a =-+，得113a =.由（Ⅰ）知，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，13为公比的等比数列。
所以11111126323n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴111232nn a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴1111232nn a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴111631111243213nn n n n T ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-....................................................12分 19、（1）因为不等式的解集是，所以是方程的解.……2分由韦达定理得：，故不等式为.………………4分解不等式得其解集为.……………………6分（2）据题意，恒成立，则可转化为 (8)分设，则，关于递减，…………10分所以，∴.……………………12分20.解：（I ）设等差数列的公差为（）,由，得，又∵，，是等比数列的前三项，∴，即，化简得，联立解得，.∴. ...........................................6分 （II ）∵，，是等比数列的前三项，∴等比数列的公比为3，首项为3.∴等比数列的前项和.由，得，化简得，解得，...................................................12分21.(1)根据及题设知，直线MN的斜率为, 所以即将代入得解得，因为故C的离心率为..............................5分（2）由题意，知原点O为的中点，轴，所以直线轴的交点是线段的中点，故，即，① 由设，由题意知则代入C的方程，②将①及代入②得解得，故.....................................12分22、（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；..................................................................... ......4分（2）当直线l2：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞4=综上可得，△MAB的面积的取值范围是（，4]．.............................................................12分。