高考数学导数题型归纳
高中数学导数题型
高中数学导数题型
以下是几种高中数学导数的题型：
1. 求函数的导数：给出一个函数的表达式，要求它的导数。例如，求f(x) = x3的导数。
2. 求函数的导数公式：给出几个常见函数的导数公式，要求学生能够熟练应用。例如，求f(x) = x2的导数，f(x) = sin(x) 的导数，f(x) = ln(x) 的导数等。
3. 求函数的极值：给出一个函数的表达式，要求学生能够求出它的极值点，并求出极值。例如，求f(x) = x2- 4x + 4 的极值。
4. 求函数的单调性：给出一个函数的表达式，要求学生能够求出它的单调区间。例如，求f(x) = x2- 2x + 1 的单调区间。
5. 求曲线的切线：给出一个函数的表达式和一个切点的坐标，要求学生能够求出切线的斜率和方程。例如，求f(x) = x2- 2x + 1 在点(1, 2)处的切线方程。
以上仅是一些常见的高中数学导数题型，实际上导数在高中数学中的应用非常广泛，需要学生具备扎实的基础知识和较强的解题能力。
(完整版)高中数学导数题型总结,推荐文档
3
32 A. 3
16 B. 3
C．12
D．9
9. 函数 y x3 3x 的极大值为 m ，极小值为 n ，则 m n 为 （ A ）
A．0
B．1
C．2
D．4
10. 三次函数 f x ax3 x 在 x ,内是增函数，则 （ A ）
6 （2） f (x) 2x3 12x 。 f '(x) 6x2 12 6(x 2)(x 2) ，列表如下：
x
(, 2) 2
f '(x)
0
( 2, 2)
2 ( 2, )
0
f (x)
增函数
极大
减函数
极小
增函数
所以函数 f (x) 的单调增区间是(, 2) 和( 2, ) ，∵ f (1) 10 ， f ( 2) 8 2 ， f (3) 18 ，∴ f (x) 在[1,3] 上的最大值是 f (3) 18 ，最小值是 f ( 2) 8 2 。 答案：（1） a 2 ， b 12 ， c 0 ；（2）最大值是 f (3) 18 ，最小值是
A． f (x) (x 1)2 3(x 1)
B． f (x) 2(x 1)
C． f (x) 2(x 1)2 D． f (x) x 1
5. 函数 f (x) x3 ax 2 3x 9 ，已知 f (x) 在 x 3 时取得极值，则 a =（ D ）
导数八大题型汇总
导数八大题型汇总
以下是导数的八大题型汇总：
1. 基本函数的导数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数。
2. 和、差、积的导数：给定两个或多个函数，求其和、差、积的导数。
3. 商的导数：给定两个函数，求其商的导数。
4. 复合函数的导数：给定一个函数和另一个函数的复合，求复合函数的导数。
5. 反函数的导数：给定一个函数和其反函数，求反函数的导数。
6. 参数方程的导数：给定一个参数方程，求其对应的函数的导数。
7. 隐函数的导数：给定一个隐函数关系式，求导数。
8. 极限的导数：给定一个函数的极限，求其导数。
这些题型涵盖了导数的常见应用场景，掌握这些题型可以更好地理解和运用导数的概念和计算方法。
高三数学导数题型专题总结
导数题型专题总结
一、讨论参变量求单调区间,极值
1.已知函数2()(2ln )f x x a x x =-
+-,讨论函数()f x 的单调性.
2.已知函数2
2()(1)x b f x x -=-,确定该函数的单调区间.
3.设函数3()3f x x ax b =--
(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切,求实数,a b 的值;
(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点.
4.设函数321()3
f x x ax bx =
++,且'(1)0f -=. (Ⅰ)试用a 的代数式表示b ;
(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间(用a 表示).
5.已知函数22()(23)x f x x ax a a e =+-+,求函数()f x 的单调递增区间与极值.
二、已知区间的单调性,求参变量的取值范围
1.设函数()(0)kx f x xe k =≠.
(Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程;
(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅲ)若函数()f x 在区间(1,1)-上是单调递增函数,求实数k 的取值范围.
2.已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若函数()f x 在区间21(,)33--内单调递减,求实数a 的取值范围.
3.已知函数32()()3
m f x x x x m R =+-∈存在单调递增区间D 使得(2,)D ⊆+∞,求实数m 的取值范围.
4.已知函数32()(5)1f x x kx k x =++++在区间(0,3)上不是单调函数,求实数k 的取值范
导数常见高考题型
导数常见高考题型典例剖析
例1 ：已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝1
3x3－
1
2
a+
x2＋ax．
(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；
(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，求证：g(x)的极大值小于等于10．
(Ⅰ)解：当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
列表如下：
所以，f (x)的极小值为f (2)＝2 3．…………………………………6分
(Ⅱ) 解：f ′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．
由于a＞1，
所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．而g ′ (x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，
所以
2
2
b
a
+
=-
，
即b＝－2(a＋1)．
又因为1＜a≤2，
所以 g(x)极大值＝g(1)
＝4＋3b－6(b＋2)
＝－3b－8
＝6a－2
≤10．
故g(x)的极大值小于等于10
例2、已知函数
)0
(3
ln
)
(≠
∈
-
-
=a
R
a
ax
x
a
x
f且
．
（Ⅰ）求函数
)
(x
f的单调区间；
（Ⅱ）若函数
)
(x
f
y=的图像在点))
2(
,2(f处的切线的倾斜角为︒
45，问：m在什么范围
取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值？ （Ⅲ）当2=a 时，设函数32)2()(-+-
-=x e p x p x h ，若在区间[]e ,1上至少存在一个0x ，
使得
高中导数题型总结
高中导数题型总结
高中导数题型总结
题型一：求函数的导数(1)y5x4(2)y
(5)y2x33x5(6)yexcosx(7)y2x3lnx4(8)yxex
x23xlnxx2(9)yxlnx(10)y(11)ye(x1)(12)y
x1x1(3)yxx(4)y2sinx
题型二：求函数在某点处的导数
(1)求f(x)exx2在x0处的导数；(2)求y2lnx
(3)已知f(x)f(1)x2x3，则f(1)_________；(4)已知f(x)2f(3)lnxx，则f(3)_________.
题型三：导数的物理意义的应用
2已知物体的运动方程为s3t2（t是时间，s是位移），则物体在时刻t2时的速度为．
t题型四：导数与切线方程（导数的几何意义的应用）
1.曲线yx3x2在点A(2,8)处的切线的斜率为______,切线方程是．
2.若B(1,m)是yx3x2上的点，则曲线在点B处的切线方程是_________．
3.若yx3x2在P处的切线平行于直线y7x1，则点P的坐标是_____．x2
4.若y3lnx的一条切线垂直于直线2xym0，则切点坐标为______．41在x1处的导数；x
5.已知曲线yx1在(3,2)处的切线与axym0垂直，则a．x1
6.已知直线yxm与曲线yx3x21相切，则切点P的坐标为
___________,m的值为_________．7.若曲线yh(x)在点（a,h(a)）处切线方程为2xy10，那么（）A．h(a)0B.h(a)0C.h(a)0D.h(a)的符号不定
8.曲线yx33x26x4的全部切线中,斜率最小的切线的方程是
高三导数压轴题题型归纳
导数压轴题题型
1. 高考命题回顾
例1已知函数fx ＝e x
－lnx ＋m ．2013全国新课标Ⅱ卷
1设x ＝0是fx 的极值点,求m,并讨论fx 的单调性； 2当m≤2时,证明fx>0.
1解 fx ＝e x －ln x ＋mf ′x ＝e x －错误!f ′0＝e 0
－错误!＝0m ＝1,
定义域为{x |x >－1},f ′x ＝e x －错误!＝错误!,
显然fx 在－1,0上单调递减,在0,＋∞上单调递增． 2证明 gx ＝e x －ln x ＋2,则g ′x ＝e x －错误!x >－2． hx ＝g ′x ＝e x －错误!x >－2h ′x ＝e x ＋错误!>0, 所以hx 是增函数,hx ＝0至多只有一个实数根,
又g ′－错误!＝错误!－错误!<0,g ′0＝1－错误!>0, 所以hx ＝g ′x ＝0的唯一实根在区间错误!内,
设g ′x ＝0的根为t ,则有g ′t ＝e t －错误!＝0错误!, 所以,e t ＝错误!t ＋2＝e －t ,
当x ∈－2,t 时,g ′x <g ′t ＝0,gx 单调递减； 当x ∈t ,＋∞时,g ′x >g ′t ＝0,gx 单调递增； 所以gx min ＝gt ＝e t －ln t ＋2＝错误!＋t ＝错误!>0, 当m ≤2时,有ln x ＋m ≤ln x ＋2,
所以fx ＝e x －ln x ＋m ≥e x －ln x ＋2＝gx ≥gx min >0.
例2已知函数)(x f 满足212
导数中的公切线问题--2024年新高考数学一轮复习题型归纳与方法总结 解析版
导数中的公切线问题
知识点梳理
一、公切线问题一般思路
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
考法1：求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=
f x 1 -
g x 2
x 1-x 2
.
考法2：由公切线求参数的值或范围问题
由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．
题型精讲精练
1若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则k =______．
【解析】设y =kx +b 与y =e x 和y =ln x +2 ，分别切于点x 1,e x 1
，x 2,ln x 2+2 ，由导数的几何意义可得：k =e x 1
=
1x 2+2，即x 2+2=1
e
x 1
，①则切线方程为y -e x 1
=e x 1
x -x 1 ，即y =e x 1x -e x 1x 1+e x 1
，或y -ln x 2+2 =
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高考压轴题：导数题型及解题方法
（自己总结供参考）
一．切线问题
题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。
方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。
题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。
方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。
例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．
（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）
（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--）
练习 1. 已知曲线x x y 33
-=
（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ）
（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。
2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）
题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。
方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；
高考数学导数题型归纳
导数题型归纳
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以与“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值X 围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令0)('
=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的X 围就把谁作为主元）；
例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，
()0g x
3()1262
x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值X 围；
（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32
()332x mx f x x '=-- 2
高中数学导数最全类型题
导数及其应用
1、 导数的几何意义 已知点P 在曲线y=
1
4
+x e 上，α为曲线在点P 处的切线倾斜角，则α的取值范围是多少？
2、 若曲线y=2x 2的一条切线l 与直线x+4y-8=0垂直，则切线l 的方程为
3、 若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+
94
15
-x 都相切 ，则a 的值为多少
4、 曲线y=e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为多少？
5、 已知函数f （x ）的定义域为[)∝+-,3，且f(6)=2,)(,
x f 为f(x)的导函数，图像如图所示，若正数a ，b 满足f （2a+b ）
＜2，则
2
3
-+a b 的取值范围。
6、 曲边梯形由曲线y=x 2+1，y=0，x=1，x=2所围成，过曲线y=x 2+1，x ∈[1，2 ]上一点P 作切线，使得次切线从
23、
函数)(x f 的定义域为开区间（a ，b ），导函数)`(x f 在区间（a ，b ）内的图像如图所示，则函数)(x f 在
区间（a ，b ）内的极小值点有几个？
24、
设函数2
1)(ax e x f x
+=，其中a 为正实数。
（1） 当a=
4
3
时，求)(x f 的极值点； （2） 若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围
利用导数求解函数的最值 25、
设函数)(x f =x x e 122+，x e
x
e x g 2)(=，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式1)()(21+≤k x
f k x
g 恒成立，则
正数k 的取值范围为多少？
导数解决实际应用问题 31、 某市政府为了打造宜居城市，计划在公园内新建一个如图所示的矩形ABCD 的休闲区，内部是景观区
高中数学导数题型总结
导数
经典例题剖析
考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3
1()213
f x x x =
++的导函数.则(1)f '-的值是 。
考点二：导数的几何意义。
例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1
22
y x =
+.则(1)(1)f f '+= 。
例3.曲线3
2
242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。
例 4.已知曲线C ：x x x y 232
3
+-=.直线kx y l =:.且直线l 与曲线C 相切于点
()00,y x 00≠x .求直线l 的方程及切点坐标。
考点四：函数的单调性。
例5.已知()132
3
+-+=x x ax x f 在R 上是减函数.求a 的取值范围。
例6. 设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的[03]x ∈，.都有2
()f x c <成立.求c 的取值范围。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出.得出单调区间.由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数.()()
()a x x x f --=42
。求导数()x f '；（2）若()01'=-f .求()
x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。
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导数
经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3
1()213
f x x x =
++的导函数，则(1)f '-的值是 。
考点二：导数的几何意义。
例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1
22
y x =
+，则(1)(1)f f '+= 。
例3.曲线3
2
242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C ：x x x y 232
3
+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点
()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
考点四：函数的单调性。
例5.已知()132
3
+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。
例6. 设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的[03]x ∈，
，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()()
()a x x x f --=42
。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()
x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。
高中数学高考导数题型
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导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一：利用导数几何意义求切线方程
1．曲线3
4y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =-
2．若曲线
x x x f -=4)(在
P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为
（1，0）
3．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123
++=x x y 在
P(-1,1)处的切线； （2）曲线2
x y =过点P(3,5)的切
线；
解：（1）02 11=+-+=-y x x y 即，（2）2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，
或 题型二：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
1．已知函数
))1(,1()(,)(2
3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1
（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
解：（1）
.542)(23+-+=x x x x f （2）在[－3，1]上最大值是13。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
高中数学导数知识点及高考题型总结，高分必备！
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高考数学中有关导数的分值能达到20分以上，导数的得分率高才有可能突破135，学好导数非常重要，下面学长给大家分享一些导数的有关知识点及高考题型攻略！
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(完整版)高考导数题型归纳
1 求曲线)(xfy在xx处的切线方程。 )(xf为在0xx处的切线的斜率。 2 过点),(ba的直线与曲线)(xfy的相切问题。 )(xfy的切点))(,(0xfx，由bxfxfax)()()(000求出0x，进而解 已知函数f（x）=x3﹣3x． 1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：0169yx） 2）若过点A)2)(,1(mmA可作曲线)(xfy的三条切线，求实数m的取值范围、 )(xfy上的切点（)(,0xfx）；建立)(,00xfx的等式关系。将问题转化为关mx,的方程有三个不同实数根问题。（答案：m的范围是2,3） 1. 已知曲线xxy33 1）求过点（1，-3）与曲线xxy33相切的直线方程。答案：（03yx或027415yx） 2）证明：过点（-2,5）与曲线xxy33相切的直线有三条。 若直线0122eyxe与曲线xaey1相切，求a的值. （答案：1） 3 求两个曲线)(xfy、)(xgy的公切线。 )(xfy、)(xgy的切点分别为（)(,1xfx）。（)(,22xfx）； 1,xx的等式关系，12112)()(yyxfxx，12212)()(yyxfxx；求出21,xx， 求曲线2xy与曲线xeyln2的公切线方程。（答案02eyxe） 1.求曲线2xy与曲线2)1(xy的公切线方程。（答案012yx或0y） ．设函数,ln2)1()(xxpxf2)(xxg，直线l与函数)(),(xgxf的图象都相切，且与函数(xf1,0），求实数p的值。（答案1p或3） 1 求函数的单调区间。 （1）在求极值点的过程中，未知0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准 已知函数xaxxaxf)1(1ln)(2 1）求函数)(xf的单调区间。（利用极值点的大小关系分类） 2）若ex,2，求函数)(xf的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类） 已知函数11)1()(2kxxekxexfxx，若2,1x,求函数)(xf的单调区间。（利 2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。 1：研究导函数讨论。 2：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立问题， 3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增 “函数)(xf在nm,上是减函数”与“函数)(xf的单调减区间是ba,”的区别是前者是 已知函数2()lnfxxax+2在,1上是单调函数，求实数a的取值范围． （答案,0） 已知函数23)1(31)(xkxxf，且)(xf在区间),2(上为增函数．求实数k的取值范围。31k） 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。 1：正难则反，研究在某区间的不单调 2:研究导函数是零点问题，再检验。 3:直接研究不单调，分情况讨论。 设函数1)(23xaxxxf，Ra
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导数题型归纳
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令0)('
=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，
()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432
3()1262
x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32
()332
x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，
则 2
()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法：
∵ 当0x =时, 2
()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2
()30g x x mx =--<恒成立
等价于233
x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3
()h x x x
=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==
(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”
则等价于当2m ≤时2
()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法
再等价于2
()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
2
2
(2)0230
11(2)0230
F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 例2),10(32
R b a b x a ∈<<+-
],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---
令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）
令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）
∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4
33
b a +-
当x=3a 时，)(x f 极大值=b.
（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2
2
43a x ax a a -≤-+≤恒成立①
则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a
≤⎧⎨
≥-⎩ 22
()43g x x ax a =-+的对称轴2x a = 01,a <<
12a a a a +>+=（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.
max min ()(2)2 1.()(1)4 4.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
∴