高考数学导数题型归纳
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导数题型归纳
请同学们高度重视:
首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在
其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。
最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:令0)('
=x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种:
第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);
例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,
()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432
3()1262
x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围;
(2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值.
解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32
()332
x mx f x x '=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,
则 2
()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < 解法二:分离变量法:
∵ 当0x =时, 2
()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2
()30g x x mx =--<恒成立
等价于233
x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3
()h x x x
=-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h ==
(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”
则等价于当2m ≤时2
()30g x x mx =--< 恒成立 解法三:变更主元法
再等价于2
()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题)
2
2
(2)0230
11(2)0230
F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 例2),10(32
R b a b x a ∈<<+-
],2不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围.
(二次函数区间最值的例子)
解:(Ⅰ)()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---
令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为(a ,3a )
令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为(-∞,a )和(3a ,+∞)
∴当x=a 时,)(x f 极小值=;4
33
b a +-
当x=3a 时,)(x f 极大值=b.
(Ⅱ)由|)(x f '|≤a ,得:对任意的],2,1[++∈a a x 2
2
43a x ax a a -≤-+≤恒成立①
则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a
≤⎧⎨
≥-⎩ 22
()43g x x ax a =-+的对称轴2x a = 01,a <<
12a a a a +>+=(放缩法)
即定义域在对称轴的右边,()g x 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。
22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.
max min ()(2)2 1.()(1)4 4.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
∴