课改教材复习函数单调性

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高中必修一函数单调性知识点+例题全面

学科教师辅导教案―函数单调性教学内容1、概念：单调增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A.如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1) < f(x 2)，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调增函数，I 称为y=f(x)的单调增区间.单调减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A.如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1) > f(x 2)，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调减函数，I 称为y=f(x)的单调减区间.2、函数单调性的几何意义：函数的单调性在图像上的反映是：若f(x)在区间I 上是单调增函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是上升的；若f(x)在区间I 上是单调减函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是下降的；3、单调区间：如果函数y=f(x)在区间I 上是单调增函数或者单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.【注意点】1、在函数的单调性定义中，x 1,x 2有三个特征：一是任意：即区间内任意取两个值x 1,x 2；二是有大小：一般设x 1< x 2；三是同属于一个单调区间：任意x 1,x 2∈I.2、理解函数单调区间应注意的问题：①函数的单调区间是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须先求函数的定义域；②单调区间可以是开区间，也可以是闭区间.但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点，要用开区间；③一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”，而应用“，”或“和”连接；如xy 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上为减函数，而不能说在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数； ④函数的单调性是一个局部性质，介绍函数单调性时，一定要指出在哪一个区间上，而不能笼统说函数是单调的；⑤单调性与单调函数的区别：单调性是指在函数定义域的子区间上具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性，如xy 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上分别具有单调性，但是它不是单调函数；函数y=3x+1在整个定义域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.知识模块1函数单调性的概念y 2y 1 x y =x 2 x 2 0 x 2 x 1 x y y =x 2 0 y 1 x y y 2x 1[例1]根据下图说出函数在每个单调区间上是增函数还是减函数？[巩固1]下图是定义在（-5，5）上的函数y=f(x)的图像，根据图像说出函数y=f(x)的单调区间以及在每一个区间上y=f(x)是单调增函数还是单调减函数.[例2] 说出下列函数的单调区间及在各个单调区间上的单调性.（1）xy1=（2）11-=xy（3）32+=xy（4）322-+=xxy[巩固2]下列说法不正确的是____________①若x1,x2∈I，当x1<x2时，f(x1) < f(x2)，则y=f(x)在I上是单调增函数②函数y=x2在R上是单调增函数③函数xy1-=在定义域上是单调增函数④函数xy1=的单调减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）思考：一次函数、二次函数、反比例函数的单调性是怎样的？1、定义法：（1）取值：在区间内任取x1，x2，且x1< x2；（2）比较大小：比较f(x1) 和f(x2)的大小（作差或作商），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）根据定义，得出结论.当符号不确定时，可以进行分类讨论，在确定差的符号.[例1] 证明函数322-+=xxy在（-1，+∞）上的单调性.知识模块2函数单调性的判定与证明精典例题透析。

函数单调性高三复习知识点

函数单调性高三复习知识点函数单调性是高中数学中的重要知识点之一，它在数学分析、代数学等学科中有着广泛的应用。

本文将就函数单调性的定义、性质、证明方法等方面进行高中复习知识点的总结。

一、函数单调性的定义与性质在数学中，函数单调性是指函数对于定义域内的任意两个不同的自变量取值，其函数值的变化关系。

具体而言，若函数在定义域D上满足对于任意的x_1,x_2∈D，且x_1 < x_2，都有f(x_1) < f(x_2)，则称该函数在D上为递增函数；若对于任意的x_1,x_2∈D，且x_1 < x_2，都有f(x_1) > f(x_2)，则称该函数在D 上为递减函数。

函数的单调性可以用图像直观地表示出来。

对于递增函数，其图像从左往右呈上升趋势；对于递减函数，其图像从左往右呈下降趋势。

而对于函数的单调性来说，如果一个函数既是递增函数又是递减函数，那么它在整个定义域上是无单调性的。

二、函数单调性的证明方法1. 利用导数的符号进行证明函数的单调性与函数的导数有着密切的关系。

对于给定的函数，如果在定义域内的某个区间上导数的取值恒为正值，则函数在该区间上为递增函数；如果导数的取值恒为负值，则函数在该区间上为递减函数。

证明函数单调性的关键是分析函数的导数符号。

可以通过导数的定义及相关的数学推理，找出导数在某个区间上的符号，从而得出函数在该区间上的单调性。

2. 利用函数的增减性进行证明对于函数f(x)，若在定义域内的任意两个不同的自变量取值x_1和x_2，若有f(x_1) < f(x_2)，则函数在x_1和x_2之间取任意值时均满足f(x_1) < f(x) < f(x_2)，则称函数在x_1和x_2之间是递增的。

反之，如果有f(x_1) > f(x_2)，则称函数在x_1和x_2之间是递减的。

基于这个性质，可以通过选择不同的x_1和x_2来判断函数的单调性。

如果对于所有的x_1 < x_2，都有f(x_1) < f(x_2)，则函数为递增函数；如果对于所有的x_1 < x_2，都有f(x_1) > f(x_2)，则函数为递减函数。

《函数单调性教案》

《函数单调性教案》一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。

2. 学会利用单调性判断函数的性质，如极值、最值等。

3. 能够运用单调性解决实际问题，如求函数的极值、最值等。

二、教学内容：1. 函数单调性的概念及单调增、单调减的定义。

2. 单调性的判断方法及应用。

3. 实际问题中的单调性应用。

三、教学重点与难点：1. 函数单调性的概念及判断方法。

2. 单调性在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解函数单调性的概念、判断方法及应用。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。

3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的思考。

五、教学过程：1. 导入：复习函数的概念，引导学生思考函数的性质。

2. 讲解：讲解函数单调性的概念，引导学生理解单调增、单调减的定义。

3. 举例：分析具体函数的单调性，让学生学会判断。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固单调性的判断方法。

5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。

6. 总结：回顾本节课的内容，强调单调性的重要性。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。

2. 练习题：收集学生练习题的答案，评估学生对单调性判断方法的掌握。

3. 案例分析：评估学生在实际问题中运用单调性的能力。

七、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性在实际生活中的应用，如经济学中的需求曲线、供给曲线等。

2. 介绍函数单调性在数学其他领域的应用，如微分、积分等。

八、教学资源：1. 教材：提供相关教材，为学生提供系统性的学习材料。

2. 课件：制作课件，辅助教学，提高课堂效果。

3. 练习题：准备练习题，巩固所学内容。

4. 实际问题案例：收集实际问题案例，用于教学实践。

九、教学建议：1. 注重概念的理解：在教学过程中，要强调函数单调性概念的理解，让学生明白单调性是什么。

2020年高考数学一轮复习(新课改)第1课时系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性

第二节函数的性质第1课时系统知识一一函数的单调性与最值、奇偶性、周期性若函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y= f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y= f(x)的单调区间.［点拨］(1)函数单调性定义中的X i , X2具有以下三个特征：一是任意性，即任意两数X i, D ”，任意”两字决不能丢；二是有大小，即X i VX2(或X1>X2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可.⑵若函数在区间D上单调递增(或递减),则对D内任意的两个不等自变量X1, X2的值, 都有fXL二竺或fXk 4竺<。

.X1 —X2 X1—X2 /(3)函数f(X)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质.［谨记常用结论］(1) 函数f(X)与f(x)+ c(c为常数)具有相同的单调性.(2) k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反.1⑶若f(x)恒为正值或恒为负值，贝y f(x)与具有相反的单调性.⑷若f(x), g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x) •(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x) g(x)是减(增)函数.(5)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减.［小题练通］1. ［人教A版教材P39B组T1］函数f(x)= x2—2x的单调递增区间是______ .答案：［1 ,+^ )2. ［教材改编题］如果二次函数f(x)= x2—(a—1)x + 5在区间2, 1上是增函数，则实数a的取值范围为_________ .解析：T函数f(x) = x2—(a —1)x+ 5的对称轴为x =旦^1且在区间2，1上是增函数，a —1答案：(—R, 2］3. ［教材改编题］函数f(x)= log1 (x2—4)的单调递增区间为________ .2解析：由x2—4>0得x<—2或x>2.又u = x2—4在(一a,—2)上为减函数，在(2, + a)上为增函数，y= log 1 u为减函数，2故f(x)的单调递增区间为(一a,—2).答案：(一a,—2)4. ［易错题］设定义在［—1,7］上的函数y= f(x)的图象如图所示，则函数y= f(x)的增区间为________ .答案：［—1,1］, ［5,7］2x + k5.若函数y= 与y= log3(x—2)在(3, +a )上具有相同的单调性，贝U实数k的取值x—2范围是_________ .解析：由于y= lOg3(x—2)的定义域为(2 , + a ), 且为增函数，故函数y=空土^ = 2x —2+ 4+ k= 2 + 也在(3, + a)上也是增函数，则有4+ k v 0, x —2 x —2 x —2得k v — 4.f(X)Vf —的实数x的取值范答案：(—a, —4)6•已知函数f(x)为定义在区间［—1,1］上的增函数，则满足围为________ .—1W x W1,解析：由题设得1x<2解得—1W x<1.答案：—1,—前提设函数f(x)的定义域为1，如果存在实数M满足条件对于任意x€ I，都有f(x)W M ;存在X o€ I，使得f(X o)= M对于任意x € I，都有f(x)》M ;存在x°€ I，使得f(x^)= M结论M为最大值M为最小值1.函数的最值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值•当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.［点拨］(1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；(2) 对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；(3) 一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法•注意以下关系：f(x)> a恒成立？f(x)min> a ；f(x) W a恒成立？f(x)max <乱解题时，要务必注意“=”的取舍.［小题练通］21. __________________________________________________________ ［人教A版教材P31例4］函数f(x)=二二在［2,6］上的最大值是___________________________ •答案：22. ［教材改编题］设函数f(x)= 2~在区间［3,4］上的最大值和最小值分别为M ,m,则晋=x—2 M 解析：易知f(x)= x—2 = 2+七，所以f(x)在区间［3,4］上单调递减,4所以M = f(3) = 2 + ---- =6,3 —2 所以m!_ 16_ 8M —6 —3.答案:3.［教材改编题喏函数f(x)=—；+ b(a>0)在；，2上的值域为••• f(X )min = f 2 = 2 , f(x)max = f(2) = 2.1—2a 十 b = 1, 即 -1+b = 2,答案：1 54.［易错题］函数y =~22 i解析：由 y = X ^ ，可得 x 2 = —-^.由 x 2>0,知—0，解得—1 w y<1,x 十 1 1 — y 1 — y故所求函数的值域为［—1,1). 答案：［—1,1) 5.函数f(x) = x ，x> 1，的最大值为x 2 + 2, x<11解析：当x > 1时，函数f(x)= -为减函数，所以f(x)在x = 1处取得最大值，为 f(1) = 1；当x<1时，易知函数f(x) = — x 2+ 2在x = 0处取得最大值，为 f(0) = 2.故函数f(x)的最大值为2.答案：26.已知函数 f(x)=— x 2 + 4x 十a , x € ［0,1］，若f(x)有最小值一2,贝V f(x)的最大值为解析：函数 f(x)=— x 2 + 4x 十 a =— (x — 2)2+ 4+ a , x € [0,1]，且函数 f(x)有最小值—2. 故当x = 0时，函数f(x)有最小值，当 x = 1时，函数f(x)有最大值•当 x = 0时，f(0) = a =—2,.・. f(x)=— x 2+ 4x — 2, •当 x = 1 时,f(x)max = f(1)=—十十 4X 1 — 2 = 1.答案：1［谨记常用结论］1. 函数奇偶性的几个重要结论-1解析：•/ f(x)=-三+ b(a>0)在 1，2 是增函数,a = 1, 解得 5b = 5.⑴如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0) = 0.⑵如果函数f(x)是偶函数，那么f(x) = f(|x|).(3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)= 0, x€ D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(4) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.2. 有关对称性的结论(1) 若函数y= f(x + a)为偶函数，则函数y= f(x)关于x = a对称.若函数y= f(x+ a)为奇函数，则函数y= f(x)关于点(a,0)对称.(2) 若f(x)= f(2a—x),则函数f(x)关于x = a 对称；若f(x) + f(2a—x) = 2b,则函数f(x) 关于点(a, b)对称.［小题练通］1. ________________ ［人教A版教材P39A组T6］已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x(1 + x),贝U f( —1) = .答案：—22. ［教材改编题］设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = x1 2 3+ 1,则f( —2)+ f(0)解析：由题意知f( —2) =—f(2) = —(22+ 1) =—5, f(0) = 0,••• f(—2) + f(0) = — 5.答案：—53. ［教材改编题］已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)= x + 1,则当x>0时，f(x)=解析：当x>0 时，一xv0,「. f(—x)=—x + 1,又f(x)为偶函数，• f(x)=—x+ 1.答案：—x+ 14. ［易错题］已知f(x) = ax2+ bx是定义在［a —1,2 a］上的偶函数，那么 a + b的值是2 1解析：T f(x)= ax2+ bx是定义在［a —1,2 a］上的偶函数，• a—1 + 2a = 0,二a=；. 31又f( —x)= f(x) ,• b= 0,二a+ b= 3.3答案:5.在函数y= xcosx, y= e x+ x2, y= lg . x2—2, y= xsin x 中，偶函数的个数是___________ 解析：y= xcos x是奇函数，y= lg x2—2和y= xsin x是偶函数，y= e x+ x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是 2.答案：26.已知函数 f(x)= asin x + bln*^ +1，若 f 1 + f — 2 =6，则实数 t=________________ ，解析：令g(x)= asin x + bln 齐，则易知g(x)为奇函数，所以gg g J — 2戶0,则由 f(x)= g(x)+1,得 f 1 + f —1 = g 1 + g —1 + 2t = 2t = 6,解得 t = 3.答案：31. 周期函数对于函数y = f(x)，如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x + T) = f(x)，那么就称函数 y = f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期.2. 最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.［谨记常用结论］定义式f(x + T)= f(x)对定义域内的x 是恒成立的.(1)若 f(x + a) = f(x + b),则函数 f(x)的周期为 T = |a — b|; 1 1f(x + a) = — f(x), f(x + a)=，f(x + a)=—匚何>0),则 f(x)为周期函数，且T = 2a 为它的一个周期.［小题练通］1.［教材改编题］设f(x)是定义在 R 上的周期为 2的函数，当 x € (— 1,1)时，f(x)= 「4x + 2,—1<x <0，则虑 L __________________ .x , 0< x<1, 2答案：12.［教材改编题］若f(x)是R 上周期为2的函数，且满足 f(1) = 1, f(2) = 2,贝U f(3) — f(4)解析：由 f(x)是 R 上周期为 2 的函数知，f(3) = f(1) = 1, f(4) = f(2) = 2,••• f(3) — f(4) =— 1.答案：—1=x ,贝y f(2 019) = __________(2)若在定义域内满足3.［教材改编题］已知f(x)是定义在R 上的函数，并且 1f(x + 2)= f x ,f(x)1 1解析：由已知，可得f(x + 4) = f[(x + 2) + 2]= —— =-—=f(x),故函数f(x)的周期为f (X + 2)4.A f(2 019) = f(4X 504+ 3) = f(3)= 3.答案：34. [易错题]函数f(x)的周期为4,且x€ (-2,2], f(x) = 2x- x2,则f(2 018) + f(2 019) + f(2 020)的值为________ .解析：由f(x)= 2x-x2, x€ (-2,2],知f(- 1)=- 3, f(0)= 0, f(2) = 0，又f(x)的周期为4,所以f(2 018) + f(2 019) + f(2 020) = f(2) + f( - 1)+ f(0) = 0 - 3+ 0=- 3.答案：—35. 已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x€ R都有f(x+ 6)= f(x) + f(3)成立，则f(2 019)解析：•/ f(x)是R上的奇函数，••• f(0) = 0,又对任意x€ R都有f(x + 6) = f(x) + f(3),二当x=- 3 时，有f(3) = f( - 3) + f(3) = 0, • f( - 3) = 0 , f(3) = 0 , • f(x+ 6) = f(x)，周期为6. 故f(2 019) = f(3) = 0.答案：06.偶函数y= f(x)的图象关于直线x= 2对称，f(3) = 3,则f( - 1) = __________ .解析：因为f(x)的图象关于直线x= 2对称，所以f(x) = f(4- x) , f( - x) = f(4 + x),又f(- x) = f(x),所以f(x) = f(4 + x),则f( - 1) = f(4 - 1) = f(3) = 3.答案：3。

高三函数单调性知识点归纳

高三函数单调性知识点归纳函数是高中数学中的重要概念之一，而了解函数的单调性则是学好高中数学的基础。

函数的单调性描述了函数在定义域上值的增减情况，它对于研究函数图像的走势、解函数方程等问题具有重要作用。

本文将对高三函数单调性的知识点进行归纳总结。

一、单调递增与单调递减函数的单调性分为单调递增和单调递减。

如果在函数的定义域上，对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为单调递增函数；如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)为单调递减函数。

二、导数与函数单调性的关系函数的导数与函数的单调性之间有密切的联系。

对于可导函数f(x)，以下两个定理对于函数的单调性给出了重要的结果：1. 定理1：若在[a,b]上，函数f(x)的导数f'(x)≥0（或f'(x)≤0），则f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减）。

2. 定理2：若在(a,b)上，函数f(x)的导数f'(x)>0（或f'(x)<0），则f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）。

这两个定理可以帮助我们通过导数的正负来推测函数的单调性。

三、函数图像与单调性通过观察函数的图像，我们也可以判断函数的单调性。

对于函数f(x)，以下两个规律可以帮助我们了解函数图像与单调性之间的关系：1. 规律1：若函数f(x)在[a,b]上的增量f(x2)-f(x1)>0（或<0），则f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减）。

2. 规律2：若函数f(x)在(a,b)上的增量f(x2)-f(x1)>0（或<0），则f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）。

通过观察函数图像上的增量的正负，我们可以推测函数的单调性。

四、函数零点与单调性函数的零点（也叫根）与函数的单调性也有一定的联系。

对于函数f(x)，以下定理给出了函数的零点与单调性之间的关系：定理3：若函数f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减），且[a,b]上有一个零点c，则c是f(x)在[a,b]上的唯一零点。

函数的单调性及单调区间

函数的单调性及单调区间1．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．若函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么①f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．。

复习函数的单调性课件教案

复习函数的单调性义马市第一高级中学授课人：黄海鹏✧ 教学目标：1、掌握函数单调性的定义2、了解并识记常用函数的单调性3、掌握复合函数的单调性原则4、掌握证明判断函数单调性的方法5、会求函数的单调区间✧ 教学重点：常用函数的单调性及判断函数单调性的方法✧ 教学难点：复合函数的单调性原则及求单调区间✧ 教学方法：归纳、总结一. 函数单调性的定义一般地，设函数)(x f 的定义域为I ：（１）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <,那么就说)(x f 在这个区间上是增函数．（１）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >,那么就说)(x f 在这个区间上是减函数．二、常用函数的单调性（１）一次函数图像的函数解析式是)0(≠+=k b kx y ,当0>k 时，此函数是增函数，函数的单调区间为),(+∞-∞，当0<k 时此函数为减函数，函数的单调区间为),(+∞-∞. （２）反比例函数图像的函数解析式是)0(≠=k xk y ，当0>k 时，函数在),0(+∞上为减函数，在)0,(-∞上也为减函数；当0<k 时，函数在),0(+∞上为增函数，在)0,(-∞上也为增函数。

（３）二次函数图像的函数解析式是)0(2≠++=a c bx ax y 当0>a 时，函数在]2,(a b --∞上为减函数，在),2[+∞-a b 上为增函数；当0<a 时，函数在]2,(a b --∞上为增函数，在),2[+∞-a b 上为减函数．（４）指数函数图像的函数解析式是0(>=a a y x 且)1≠a ，当1>a 时，函数在),(+∞-∞上为增函数，当10<<a 时，函数在),(+∞-∞上为减函数．（5）对数函数图像的函数解析式是0(log >=a x y a 且)1≠a ，当1>a 时，函数在),0(+∞上为增函数，当10<<a 时，函数在),0(+∞上为减函数．三、复合函数单调性对于复合函数)]([x g f y =的单调性，必须考虑外函数与内函数的单调性即)(u f y =与)(x g u =的单调性，从而得出)]([x g f y = 的单调性．注意：在研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域内的某个区间。

3.2函数的基本性质(单调性、最值、奇偶性)(新课改2019新版人教A版高中数学必修第一册)

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3.2函数的基本性质
• 2.单调性
• (3)判断单调性：借助图形；定义.
• (4)证明单调性：定义法.
(5)步骤：
若若① ② ③fff计(((xxxx算1111,)))xf2(xfff1((()Dxxx,222
且)f与(xx012比)，较x2将；：其分解为若干可以直接确定符号的式子； ) 0，则f (x)在D上单调递增； ) 0，则f (x)在D上单调递减.
当k 0时, f ( 所以函数y
x1 ) kx
bf在(xR2 )上单0即调f递(x1增) ，f即(x函2 ).数y
kx
b是增函数.
当k 0时, f ( 所以函数y
x1 ) kx
bf在(xR2 )上单0即调f递(x1减) ，f即(x函2 ).数y
kx
b是减函数.
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3.2函数的基本性质
• 2.单调性
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3.2函数的基本性质
函数的最值与单调性密切相联.
• 3.最值
• (1)定义一般地，设函数y f (x)的定义域为I，
若存在实数M 满足：则①称xM是I，y 都有f (fx)(的x)最 M大；值②. x0 I，使得f (x) M .
y
y=x²
O
x
若存在实数M 满足：
y
①x I，都有f (x) M；②x0 I，使得f (x) M . 则称M 是y f (x)的最小值. 函数y f (x)在闭区间[a,b]上单调递增或递减，
x
2取1 得最大值，在x
6处取得最小值.
O
由f (2) 2 2, f (6) 2 0.4. 所以该函2数1的最大值为26，最1 小值为0.4.
x

高中新教材数学必修件时函数的单调性

图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果函数的图像在某区间内呈现上升趋势，则函数在该区间内是增函数；如果函数的图像在某区间内呈现下降趋势，则函数在该区间内是减函数。
03
常见函数的单调性
一次函数的单调性
01
一次函数 $y = kx + b$ （$k neq 0$）的单调性取决于斜率 $k$
指数函数和对数函数的单调性
指数函数 $y = a^x$（$a > 1$）和对数函数 $y = log_a x$（$a > 1$）在其定义域内具有相同的单调性
当 $0 < a < 1$ 时，指数函数和对数函数在其定义域内都是单调递减的。
当 $a > 1$ 时，指数函数和对数函数在其定义域内都是单调递增的。
利用单调性证明不等式
构造函数
根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的单调函数。
利用单调性证明
利用构造的单调函数的性质，证明不等式成立。
举例验证
通过举例验证不等式的正确性，增强结论的说服力。
05
函数单调性的拓展与深化
复合函数的单调性
复合函数单调性的判断方法
通过内外层函数的单调性来判断复合函数的单调性，即“同增异减”原则。
02
函数单调性的基本概念
单调性的定义
增函数
对于任意两个自变量的值x1、x2 （x1<x2），如果函数值 f(x1)≤f(x2)，则称函数在该区间内是增函数。
减函数
对于任意两个自变量的值x1、x2 （x1<x2），如果函数值 f(x1)≥f(x2)，则称函数在该区间内是减函数。
单调性的性质
局部性质
利用单调性解方程或不等式

函数的单调性知识点

函数的单调性知识点在数学的广阔领域中，函数的单调性是一个非常重要的概念。

它就像是函数世界里的指南针，帮助我们理解函数的行为和变化规律。

首先，咱们来聊聊什么是函数的单调性。

简单说，单调性指的是函数在某个区间内的变化趋势。

如果函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也一直增大，那这个函数在这个区间就是单调递增的；反过来，如果随着自变量的增大，函数值一直减小，那就是单调递减的。

比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，当 x 越来越大时，y 也会越来越大，这就是单调递增。

再看反比例函数 y ＝ 1/x，在 x ＞ 0 这个区间，x 越大，y 越小，所以它在这个区间是单调递减的。

那怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要一些方法和技巧了。

一种常见的方法是利用定义。

假设函数 f(x) 在区间（a, b) 上有定义，如果对于任意的 x1、x2 属于（a, b)，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜f(x2)，那函数 f(x) 在区间（a, b) 上就是单调递增的；如果都有 f(x1) ＞f(x2)，那就是单调递减的。

举个例子，证明函数 f(x) ＝ x^2 在区间 0, ＋∞）上是单调递增的。

我们任取 x1、x2 属于 0, ＋∞），且 x1 ＜ x2。

那么 f(x1) ＝ x1^2 ，f(x2) ＝ x2^2 。

f(x2) f(x1) ＝ x2^2 x1^2 ＝（x2 x1)（x2 ＋ x1) 。

因为x1 ＜ x2 ，所以 x2 x1 ＞ 0 ，又因为 x1、x2 都大于等于 0 ，所以 x2 ＋x1 ＞ 0 。

所以 f(x2) f(x1) ＞ 0 ，即 f(x1) ＜ f(x2) ，所以函数 f(x) ＝x^2 在区间 0, ＋∞）上是单调递增的。

除了定义法，还有求导法。

如果函数 f(x) 在某个区间内的导数大于0 ，那么函数在这个区间单调递增；如果导数小于 0 ，则单调递减。

比如函数 f(x) ＝ 3x^3 4x ，对它求导得到 f'（x) ＝ 9x^2 4 。

《函数的单调性、奇偶性》复习教案高品质版

(1)由函数的单调性的定义知：
已知数y=f（x）在定义域的某个区间为增函数，若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），
反之，若f（x1）＜f（x2）时，则x1＜x2。
(2)当y=f（x）在定义域某个区间上为减函数时，若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），
反之，若f（x1）＞f（x2）则有x1＜x2。
奇偶性与单调性的综合运用
1、已知奇函数在定义域[2,2]上递减，求满域[2,2]上递减 ,解得 .
2．已知函数是R上的偶函数，且在（-∞，上是减函数，若，则实数a的取值范围是（）
知识分析：若是偶函数，利用为偶函数的特性： = = ,
2.对于两个函数而言：
/
增函数+增函数=增函数增函数-减函数=增函数
减函数-增函数=减函数减函数+减函数=减函数
四、证明函数f(x)在区间M上具有单调性的方法：利用定义
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
比较、、的大小。
5．若为偶函数，定义域为R，它在（-∞，0）上是增函数，那么下列式子正确的是（）
（A）＞（B）＜
（C） ≥ （C） ≤
6.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
?
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
五、单调性应用
类型一函数的最值问题
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上是单调函数，则函数y=f（x）在[a，b]上一定有最大、小值。
①若y=f（x）在[a，b]上是单调递增函数，则y=f（x）的最大值是f（b），最小值是f（a）；

高中数学函数的单调性(解析版)

1．增函数、减函数的定高中数学函数的单调性(解析版)义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．2．常用结论结论1：增函数与减函数形式的等价变形y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2>0；y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2<0．结论2：单调性的运算性质(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与()ny f x=和y(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝1f(x)单调性相反．(5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数．结论3：复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”．结论4：奇函数与偶函数的单调性奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．结论5：对勾函数与飘带函数的单调性对勾函数：f(x)＝ax＋bx(ab＞0)(1)当a ＞0，b ＞0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是增函数，在[－b a ，0)，(0b a ]上是减函数；(2)当a ＜0，b ＜0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是减函数，在[－b a ，0)，(0b a]上是增函数；飘带函数：f (x )＝ax ＋bx(ab ＜0)(1)当a ＞0，b ＜0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；(2)当a ＜0，b ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；考点一确定函数的单调性或单调区间【方法总结】确定函数的单调性或单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区间．【例题选讲】[例1](1)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x答案A解析对于选项A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x 在(0，＋∞)内是减函数，故选A ．(2)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是()A ．32，＋B ．1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和32，2D ∞，32和[2，＋∞)答案B解析y ＝|x 2－3x ＋2|2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，x 2－3x ＋2），1<x <2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．(4)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案[2，＋∞)(－∞，－3]解析令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2．易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．(5)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案(－∞，1)(2，＋∞)解析令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数是y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2．所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【对点训练】1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1．其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④1．答案B解析①y ＝x 12在(0，1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0，1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0，1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0，1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0，1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0，1)上递增．故在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③．2．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是()A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |2．答案C解析当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当xf (x )＝x 2－3x 为减函数，当x时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．答案C解析根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D ．4．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是()A ．[1，2]B ．[－1，0]C ．[0，2]D ．[2，＋∞)4．答案A解析由于f (x )＝|x －2|x2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．5．设函数f (x )，x >0，，x ＝0，1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．[1，＋∞)D ．[－1，0]5．答案B解析由题知，g (x )2，x >1，，x ＝1，x 2，x <1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0，1)．故选B ．6．函数y ＝22311(3x x -+的单调递增区间为()A ．(1，＋∞)B ∞，34CD ．34，＋6．答案B 解析令u ＝2x 2－3x＋1＝－18．因为u ＝－18在∞，34上单调递减，函数y在R 上单调递减．所以yx 2－3x ＋1∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为∞，34．7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为()A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)7．答案B 解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3．所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．8．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)8．答案D解析由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2．因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．又函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．考点二比较函数值或自变量的大小【方法总结】比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．【例题选讲】[例2](1)设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是()A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)答案A 解析因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b答案C解析由f (x )是奇函数可得a ＝－f f (log 25)．因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a ．(3)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案B解析因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0．故选B ．(4)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0．设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案C解析由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．(5)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有()A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案B解析设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，又f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0．【对点训练】9．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c9．答案D解析由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c ．10．已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )10．答案D解析因为a ＝33.1＞30＝1，0＜b ＝1，c ＝ln 13＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，故选D ．考点三解函数不等式【方法总结】含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f x 的取值范围是()A B ．13，C D ．12，答案D解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23．(2)已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R )()A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案D解析由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．(3)定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．答案[0，1)解析因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以函数在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a －2<a 2－a ≤2，解得0≤a <1．(4)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案B解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)>0，－8>0，(x－8)≤9，解得8<x≤9．(5)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()AB∞(1，＋∞)C－13，D∞答案A解析∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋(－x)2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－11＋x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔13<x<1．故选A．【对点训练】11．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且0，则满足f log19x>0的x的集合为________．11．答案(1，3)解析由题意，y＝f(x)为奇函数且0，所以0，又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，于是x>0，x>或x<0，x>x>0，x>12x<0，x>－12，解得0<x<13或1<x<3．12．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．12．答案(3，＋∞)解析因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，2－a>a＋3，2－a>0，＋3>0，解得－3<a<－1或a>3．又a>0，所以a>3．13．设函数f(x)x，x<2，2，x≥2.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(B)A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．[2，6]D．[2，＋∞)13．答案B解析易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2．故实数a的取值范围是(－∞，2]．14．设函数f(x)－x，x≤0，，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)14．答案D解析因为f (x )－x ，x ≤0，，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x ，此时x ≤－1；当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )，此时－1＜x ＜0．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D ．15．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．答案(－∞，－2)解析作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2．考点四求参数的取值范围【方法总结】求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．【例题选讲】[例4](1)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么a 的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2．(2)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1．∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－2－a x 2＋(x 1－x 2．∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1．∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．(3)若函数f (x )＝a |b －x |＋2的单调递增区间是[0，＋∞)，则实数a ，b 的取值范围分别为__________．答案(0，＋∞)，0解析因为|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下：因为f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)，所以b ＝0，a >0．(4)已知函数f (x )ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．14，12B ．14，12C ．0，12D ．12，1答案B解析由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1．又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 0<<1，12a ≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈14，12．(5)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案－12，2解析令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 12t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，－－a 2≤1，g 1>0，a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2．【对点训练】16．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()A －14，＋∞B ．－14，＋∞C ．－14，0D ．－14，016．答案D解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0．综上所述，得－14≤a ≤0．故选D ．17．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．17．答案(－∞，3)解析f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3．18．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是(D)A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]18．答案D解析函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0．综上可得，m 的取值范围是(0，1]．19．已知f (x )－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．19．答案32，解析由已知条件得f (x )为增函数，－a >0，>1，2－a×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是32，20．已知函数f (x )x 2－ax －5，x ≤1，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是()A ．[－3，0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)20．答案C解析若f (x )是R －a2≥1，<0，12－a ×1－5≤a1，解得－3≤a ≤－2．21．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)21．答案D解析作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D ．22．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．22．解析(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2．任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)．因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a)．因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1．所以0＜a≤1．所以a的取值范围为(0，1]．23．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．23．解析(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。

高中数学函数单调性复习七新人教A版必修1

高中数学函数单调性复习七新人教A 版必修1一．复习目标：1.理解函数单调性的概念；2.能利用函数单调性的定义：（1）判断或证明函数的单调性；（2）确定函数的单调区间；3.掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数的单调性，并能运用它们解决问题。

二。

内容提要：1.增函数、减函数的定义，单调区间。

2.证明函数单调性的基本步骤：（1）在指定的区间内设12x x <；（2）作差、变形 ()()12f x f x -=（变形至便于判定符号的形式：积、商、配方等）；（3）判定符号；（4）下完整的结论。

3.复合函数的单调性规律：同增异减。

函数的性质、反函数·函数的单调性·例题例1 下列函数中，属于增函数的是 [ ]解 D例2 若一次函数y=kx+b(k ≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k ，b)在直角坐标平面的 [ ]A ．上半平面 B ．下半平面C ．左半平面 D ．右半平面解 C 因为k ＜0，b ∈R ．例3 函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是 [ ]A ．a ≥3 B ．a ≤-3C．a≤5D．a=-3解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a≥4，即a≤-3．例4已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)[ ]A．在区间(-1，0)内是减函数B．在区间(0，1)内是减函数C．在区间(-2，0)内是增函数D．在区间(0，2)内是增函数解 A g(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0)上是减函数．+bx在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)．解 [-2，1]已知函数的定义域是-5≤x≤1．设u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9可知当x∈[-5，-2]时，随x增大时，u也增大但y值减小；当x∈[-2，1]时，随x增大时，u减小，但y值增大，此时y是x的单调增函数，即注在求函数单调区间时，应先求函数的定义域．例7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同函数；y=[f(x)]2是单调______函数．解递减；递减；递增．例8 (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞，0)上是减函数；解 (1)任取x1＜x2＜0，则所以 f(x1)＞f(x2)．故f(x)在(-∞，0)上递减．(2)任取0＜x1＜x2，则当x2＞x1＞1时，f(x2)＞f(x1)；当1＞x2＞x1＞0时，f(x2)＜f(x1)．所以函数在(0，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．例9已知f(x)=-x3-x+1(x∈R)，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个．解设x1，x2∈R，且x1＜x2，则所以f(x1)＞f(x2)．所以y=f(x)是R上的减函数．假设使f(x)=0成立的x的值有两个，设为x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)=f(x2)=0但因f(x)为R上的减数，故有f(x1)＞f(x2)．矛盾．所以使f(x)=0成立的x的值至多有一个．例10定义域为R的函数y=f(x)，对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数．又知x∈(a，+∞)时，该函数为减函数，判断当x∈(-∞，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．解当x∈(-∞，a)时，函数是增函数．设x1＜x2＜a，则2a-x1＞2a-x2＞a．因为函数y=f(x)在(a，+∞)上是减函数，所以f(2a-x1)＜f(2a-x2)注意到对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数a-x1，也有f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即f(2a-x1)=f(x1)．同理f(2a-x2)=f(x2)．所以f(x1)＜f(x2)，所以函数y=f(x)在(-∞，a)上是增函数．例11设f(x)是定义在R+上的递增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)(2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围．(2)因为f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是由题设有三.基础训练1.函数2y x =-的递增区间是_____ ________，递减区间是______ _______.2.设函数()f x 的递增区间是()2,3-，则()5y f x =+的递增区间是（）()()3,8A ()()7,2B -- ()()2,3C - ()()0,5D3.设()3f x x x =--，若120x x +>，则（）()A ()()120f x f x +> ()B ()()120f x f x +< ()C ()()120f x f x += (),,D A B C 都有可能4.函数()228f x x x =--+的单调递减区间是______ _______.5.奇函数()f x 是定义域为[]3,3-的减函数，求满足不等式()()2130f a f a -+->的a 的取值范围。

3.2 函数的单调性-(必修第一册) (教师版)

函数的单调性1 函数单调性的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:如果∀x1 ,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递增(图①).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果∀x1 ,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递减(图②).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.Eg：y=1在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数，x特别注意它的减区间是(0,+∞),(−∞,0)，不是(0,+∞)∪(−∞,0).2 单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x1，则f(x2)>f(x1).比如：y=f(x)递增，则f(a2 )≥f(0).②若y=f(x)递增，f(x2)≥f(x1)，则x2≥x1.比如：y=f(x)递增 ,f(1−m)≥f(n) , 则1−m≥n.y=f(x)递减，有类似结论！3 判断函数单调性的方法①定义法解题步骤(1) 任取x1 ,x2∈D，且x1<x2；(2) 作差f(x1)－f(x2)；(3) 变形(通常是因式分解和配方)；(4) 定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②数形结合③性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.④复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M) ,u=g(x)(x∈A) , 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；比如：F(x)=1x2+x (f(u)=1u和g(x)=x2+x的复合函数)；F(x)=√1−2x (f(u)=√u和g(x)= 1−2x的复合函数)；F(x)=21x(f(u)=2u和g(x)=1x的复合函数).(2) 同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M) ,若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递增；若y=f(u) ,u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.4 函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) ∀x∈I，都有f(x)≤M；(2) ∃x0∈I，使得f(x0)=M；那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.【题型一】对函数单调性的理解【典题1】函数y=f(x)在R是增函数，若a+b≤ 0，则有( )A.f(a)+f(b)≤−f(a)−f(b)B. f(a)+f(b)≥−f(a)−f(b)C.f(a)+f(b)≤ f(−a)+f(−b)D. f(a)+f(b)>f(−a)+f(−b)【解析】∵a＋b≤0 ,∴a≤−b ,b≤−a又∵函数f(x)在R上是增函数，∴f(a)≤f(−b) ,f(b)≤f(−a)．∴f(a)＋f(b)≤f(−a)＋f(－b)．故选C.【典题2】已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f(f(x)−2x)=3，则f(3)的值等于 .【解析】∵ 函数f(x)在R 上是单调函数∴可设f (x )−2x =t (t 是个常数)，则f(x)=2x +t ； ∴f (t )=2t +t =3；∵f(t)在R 上单调递增，∴只有t =1时对应的函数值是3，即f(1)=3； ∴f(x)=2x +1；∴f(3)=9．【点拨】函数若是单调函数，即函数是“一一对应”的关系，一个x 对应一个y ，所以题目中“f(x)－2x ”只能是个常数. 巩固练习1(★★) 设a ∈R ，函数f(x)在区间(0 ,+∞)上是增函数，则( ) A ．f(a 2+a +2)>f(74) B ．f(a 2+a +2)<f(74) C ．f(a 2+a +2)≥f(74) D ．f(a 2+a +2)≤f(74)【答案】 C【解析】根据题意，a 2+a +2=(a +12)2+74≥74，又由函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，则有f(a 2+a +2)≥f(74)；故选：C ．2(★★) 已知f(x)是定义在[0 ,+∞)上单调递增的函数，则满足f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是 . 【答案】[12 ,23)【解析】∵f(x)是定义在[0，+∞)上单调递增的函数，∴不等式f(2x −1)<f(13)等价为0≤2x －1<13，即12≤x <23，即不等式的解集为[12，23)，【题型二】判断函数单调性的方法方法1 定义法【典题1】判断f(x)=x +4x 在(0 ,2) ,(2 ,+∞)的单调性.【解析】设0<x1<x2 ,则y1−y2=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)+(4x1−4x2)=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2)(因式分解方便判断差y1−y2的正负)(1) 假如0<x1<x2<2 , 则0<x1 x2<4 ⇒4x1x2>1⇒1−4x1x2<0 ,又 x1−x2<0 , 所以y1−y2>0 ⇒y1>y2 , 故函数单调递减；(2) 假如2<x1<x2 , 则x1 x2>4⇒4x1x2<1 ⇒1−4x1x2>0 ,又x1−x2<0 , 所以y1−y2<0⇒y1<y2 , 故函数单调递增；所以函数在(0 ,2)内单调递减，在(2 ,＋∞)内单调递增．【点拨】利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.方法2 数形结合【典题2】函数f(x)=x1−x的单调增区间是()A.(−∞ ,1)B.(−∞ ,1)∪(1 ,+∞)C .(−∞ ,1) ,(1 ,+∞)D .(−∞ ,−1) ,(−1 ,+∞)【解析】f(x)=−(1−x)+11−x =−1+11−x=−1x−1−1;(分离常数法)∴f(x)的图象是由y=−1x的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移1个单位得到, 如下图∴f(x)的单调增区间是(－∞ ,1) ,(1 ,＋∞)．故选C．(切勿选B)【点拨】①本题先利用分离常数法，再利用函数的平移变换得到函数的图像从而得到函数单调性.②利用数形结合的方法，平时需要多注意函数图像的变换，包括平移变换、对称变换、翻转变换等. 方法3 复合函数的单调性【典题3】函数f(x)=√x2+4 x−12 的单调减区间为.【解析】函数f(x)=√x2+4 x−12是由函数f(u)=√u和u(x)=x2+4 x−12组成的复合函数，∵x2+4 x−12≥0 , ∴函数y=f(x)的定义域是x≤−6或x≥2(优先考虑定义域，否则容易选B)由二次函数图像易得u(x)=x2+4 x−12在(−∞ ,−6]单调递减，在[2 ,＋∞)单调递增，而f(u)=√u在u≥0是单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减区间(−∞,−6]．【点拨】①研究函数的基本性质，优先考虑定义域；②研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.巩固练习1(★)下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为()A．f(x)=x2+4B．f(x)=1−2xC．f(x)=−x2−x+1D．f(x)=2−3x【答案】D【解析】对于A：f(x)＝x2+4，二次函数，开口向上，对称轴为y轴，在(－∞，0)是减函数，故A不对．对于B：f(x)＝1－2x，一次函数，k<0，在(－∞，0)是减函数，故B不对．对于C：f(x)＝－x2－x+1，二次函数，开口向下，对称轴为x=12，在(－∞，12)是增函数，故C不对．对于D：f(x)＝2−3x，反比例类型，k<0，在(－∞，0)是增函数，故D对．故选：D．2(★)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是() A．y=1f(x)在R上为减函数B．y=|f(x)|在R上为增函数C．y=−1f(x)在R上为增函数 D．y=−f(x)在R上为减函数【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，若f(x)＝x，则y=1f(x)=1x，在R上不是减函数，A错误；对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，B错误；对于C ，若f(x)＝x ，则y =−1f(x)=−1x，在R 上不是增函数，C 错误；对于D ，函数f(x)在R 上为增函数，则对于任意的x 1、x 2∈R ，设x 1<x 2，必有f(x 1)<f(x 2)，对于y ＝－f(x)，则有y 1－y 2＝[－f(x 1)]－[－f(x 2)]＝f(x 2)－f(x 1)>0，则y ＝－f(x)在R 上为减函数，D 正确；故选：D ．3(★) 函数f(x)=x|x −2|的递减区间为．【答案】(1 ,2)【解析】当x ≥2时，f(x)＝x(x －2)＝x 2－2x ，对称轴为x ＝1，此时f(x)为增函数，当x <2时，f(x)＝－x(x －2)＝－x 2+2x ，对称轴为x ＝1，抛物线开口向下，当1<x <2时，f(x)为减函数，即函数f(x)的单调递减区间为(1，2)，故选：C ．4(★) 函数y =√x 2+3x 的单调递减区间为．【答案】 (−∞ ,−3]【解析】由题意，x 2+3x ≥0，可得x ≥0或x ≤－3，函数的定义域为(－∞，－3]∪[0，+∞)，令t ＝x 2+3x ，则y =√t 在[0，+∞)上单调递增，∵t ＝x 2+3x ，在(－∞，－3]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增， ∴函数y =√x 2+3x 的单调递减区间为(－∞，－3]，5(★★) 函数f(x)=|(12)x−2|的单调递增区间为．【答案】 [−1,+∞)【解析】作出函数f(x)＝|(12)x－2|的图象如图，由图可知，函数f(x)的增区间为[－1，+∞)． 6(★★★) 已知函数f (x )=x −ax 在定义域[1,20]上单调递增 (1)求a 的取值范围；(2)若方程f (x )=10存在整数解，求满足条件a 的个数. 【答案】 (1)a ≥−1 (2)11个【解析】(1)任取∈21,x x []20,1，且21x x < 则)1)(())(()()()()(2121212*********x x ax x x x x x a x x x a x x a x x f x f +-=-+-=---=- 21x x <，则021<-x x ，因为函数在定义域上单调递增所以0)()(21<-x f x f ，在[]20,1上恒成立，所以0121>+x x a，在[]20,1上恒成立，21x x a ->，21x x -1-<，所以1a ≥-。

函数的单调性复习教案人教版

2.函数单调性基础知识讲解（10分钟）
目标：让学生了解函数单调性的基本概念和判断方法。
过程：
讲解函数单调性的定义，包括其主要判断方法和条件。
详细介绍函数单调性的判断方法，使用图表或示意图帮助学生理解。
3.函数单调性案例分析（20分钟）
目标：通过具体案例，让学生深入了解函数单调性的特性和重要性。
过程：
③设计有趣的比喻或例子，如将函数单调性比作“爬山”和“下山”，让学生更容易理解和记忆。
3.板书设计简洁明了：
①使用简洁明了的语言，避免冗长的解释，如“增函数”可以用箭头向上表示，“减函数”可以用箭头向下表示。
②合理安排板书的布局，使得知识点的呈现有序且不拥挤，便于学生跟随和记忆。
教学反思与总结
1.教学反思：
2.教学总结：
本节课的教学效果总体上是积极的，学生对函数单调性的概念和应用有了更深入的理解和掌握。在知识方面，学生能够准确描述函数单调性的定义，掌握判断函数单调性增减的方法，并能够运用到具体函数中。在技能方面，学生能够将函数单调性的知识应用到实际问题中，通过分析函数的单调性来解决优化问题和不等式问题。在情感态度方面，学生对函数单调性产生了浓厚的兴趣，对数学学习更加积极和主动。
（1）复习函数单调性的基本概念和判断方法，要求学生能够准确描述函数单调性的定义，掌握判断函数单调性增减的方法，并能够运用到具体函数中。
（2）应用函数单调性解决实际问题，要求学生能够将函数单调性的知识应用到实际问题中，通过分析函数的单调性来解决优化问题和不等式问题。
（3）强化函数单调性的综合应用，要求学生能够综合运用函数单调性的知识，解决复杂的数学问题，提高他们的数学思维和问题解决能力。
然而，本节课的教学中也存在一些问题和不足。首先，学生在理解和运用函数单调性的判断方法上还存在一定的困难，需要进一步加强指导和练习。其次，小组讨论的组织和管理需要改进，以提高学生的参与度和讨论的有序进行。针对这些问题，我将在今后的教学中采取相应的改进措施和建议。例如，在讲解函数单调性的判断方法时，可以设置具体的例题和练习题，让学生多次接触和练习，加深对概念的理解。同时，制定明确的小组讨论规则，对小组讨论进行有效的引导和监督，确保每个学生都能够积极参与并充分表达自己学生的学习效果，为今后的教学提供参考和借鉴。

函数的单调性

函数的单调性一．学情分析：1.学生已经掌握了函数的概念,并且在初中学习了一次、二次函数的图象2.对于函数单调性,学生的认知困难主要在两个方面: (1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的;(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的；3.学生数形结合的思想方法学生理解的还不够透彻。

因此,应该重视学生的亲身体验、重视学生的发现过程、重视课堂问题的设计,引导学生解决问题。

课标明确指出:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,要注重提高学生的思维能力,学生在学习数学运用数学解决问题时,要经过直观感知、观察发现、类比归纳、空间想象、符号表示、数据处理等思维过程。

二．教材分析：“函数的单调性”系人教版高中数学必修一第一章第3节的内容,该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。

在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高,函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识，是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性:同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

三．教学目标【知识与技能】探索函数的单调性,会利用图像判断函数的单调性以及函数的单调区间。

【过程与方法】通过观察、分析、概括等数学活动,掌握用图像研究单调性的方法,同时渗透数形结合思想、转化思想。

【情感态度与价值观】1.激发学生的求知欲，培养学生良好的数学思维习惯以及勤于动脑的学习习惯。

2.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心。

高三一轮复习函数的单调性ppt课件.ppt

高三总复习数学 (大纲版)
[分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用函数单调性的定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x) 的单调性来求解．
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[例 1] 判断函数 f(x)＝x2a－x 1(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．
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[解] 解法 1：任取－1<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝ a((xx121x－2＋11)()x(22x－2－1x) 1).因为(x(1xx122－＋11))((xx222－－1x)1)>0，所以 a>0 时，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；a<0 时，函数 f(x)在(－1,1) 上单调递增．
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2．若 f(x)＝－x2＋2ax 与 g(x)＝x＋a 1在区间[1,2]上都是减
函数，则 a 的取值范围是
()
A．(－1,0)∪(0,1) C．(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1]
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解析：由 f(x)＝－x2＋2ax 得对称轴为 x＝a，且在[1,2] 上是减函数，所以 a≤1.
解析：函数y＝ax－1和y＝logax在公共定义域内具有相同的单调性，在[1,2]区间上的最值对应着函数的最值，故 (a1－1＋loga1)＋(a2－1＋loga2)＝1＋a＋loga2＝a，可得loga2 ＝－1，求得
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4．如果二次函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 在区间(12，1) 上是增函数，求 f(2)的取值范围．