届高考数学一轮复习配餐作业23函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用含解析理

合集下载

高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

/目录
01
目录
⁠
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）
（A＞0，ω＞0）
振幅
周期
频率
A
2
T＝
ω
1
ω
f＝＝
T 2
相位
初相
ωx＋φ
φ
⁠
目录
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找
区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
目录
⁠
1.如图，函数y＝ 3tan 2 +
△DEF的面积为
（
π
A.
4
π
B.
2
C.π
D.2π
π
6
的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则
）
解析：A 在y＝ 3tan 2 +
π
6
中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝
π
π
0，解得x＝－（k∈Z），故E
,0
6
2
12
12
D. −
5π
,0
12
.
A.8π
π
−
2 6
1
图象上所有点的横坐标缩小到原来的，则所得函数的最
2
）
B.4π
C.2π
解析：C 所得函数解析式为y＝sin
π
−
6
D.π
，周期为2π.
目录
1
3
4.函数y＝ sin
3
2
1
答案：

高三数学一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》

[第20讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2013·天津质检] 给定性质：a ：最小正周期为π；b ：图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________．①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6； ③y ＝sin|x |；④y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 2．[2013·长春检测] 若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为________．3．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．能力提升5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．96．[2013·唐山一模] 函数y ＝sin3x 的图象可以由函数y ＝cos3x 的图象( )A ．向左平移π2个单位得到B ．向右平移π2个单位得到C ．向左平移π3个单位得到D ．向右平移π3个单位得到7．[2013·保定联考] 如果函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π28．[2013·课程标准卷] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0，2]9．[2013·黄冈高三期末] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的部分图象如图K20－1所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度10．[2013·郑州模拟] 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图K20－2所示，则φ＝________.11．[2013·全国卷] 当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________．12．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________． 13．[2013·云南检测] 若π4<x <π2，则函数y ＝tan2x tan 3x 的最大值为________．14．(10分)如图K20－3是某简谐运动的一段图象，它的函数模型是f (x )＝A sin(ωx＋φ)(x ≥0)，其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2.(1)根据图象求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的最大值和最小值．15．(13分)[2013·沈阳检测] 设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x ，1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为4，求m 的值．难点突破16．(12分)[2013·东北模拟] 如图K20－4是某简谐运动的一段图象，其函数模型是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ≥0)，其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2.(1)根据图象求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，实数α满足0<α<π，且⎠⎛απg(x)d x ＝3，求α的值．图20－4课时作业(二十)【基础热身】1．④ [解析] ④中，∵T ＝2π2＝π，又2×π3－π6＝π2，所以x ＝π3为其对称轴． 2.34 [解析] 由题意，得43π≤T 2，即43π≤πω，∴0<ω≤34，则ω的最大值为34. 3．5 [解析] 函数y ＝sin π2x 的周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现两个波峰，则t ≥54T ＝5.4.33 [解析] ∵x ＝π12是对称轴，∴f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，即cos0＝a sin π3＋cos π3，∴a ＝33. 【能力提升】5．B [解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)向右平移23π个单位长度得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －2πω3＋π3，所以－2πω3＝2k π，ωmin ＝3.选B. 6．A [解析] 本题主要考查三角函数图象的变换．属于基础知识、基本运算的考查．y ＝sin3x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋3x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，故函数y ＝cos3x 的图象向左平移π2个单位得到y ＝sin3x .7．A [解析] 由对称中心可知4π3×2＋φ＝π2＋k π，即φ＝π2＋k π－8π3＝(k －2)π－π6，显然当k ＝2时，|φ|min ＝π6，选A.8．A [解析] 因为当ω＝1时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是单调递减的，故排除B ，C 项；当ω＝2时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上不是单调递减的，故排除D 项．故选A.9．A [解析] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只要将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，故选A.10.9π10 [解析] 由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为2⎝⎛⎭⎪⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，因此45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )．∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.11.5π6[解析] 本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．函数可化为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，由x ∈[0，2π)得x －π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，5π3，∴x －π3＝π2时，即x ＝5π6时，函数有最大值2，故填5π6.12.74[解析] 依题意，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所对应的函数是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图象与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝74－6k (k ∈Z )．因为ω>0，所以ωmin ＝74.13．－8 [解析] π4<x <π2，tan x >1，令tan 2x －1＝t >0，则y ＝tan2x tan 3x ＝2tan 4x 1－tan 2x＝2（t ＋1）2－t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2≤－8，当且仅当t ＝1t ，即t ＝1，即tan x ＝2时取等号，故填－8.14．解：(1)由函数图象及函数模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)知A ＝2；由2πω＝T ＝13π3－π3＝4π，得ω＝12，由最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫43π，2得，12×4π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π6.∴所求函数解析式为y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6(x ≥0)．(2)方法一：将y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到y ＝g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，∵π2≤x ≤π，∴π3≤x －π6≤5π6，当x －π6＝π2，即x ＝2π3时，g (x )有最大值2；当x －π6＝5π6，即x ＝π时，g (x )有最小值1.方法二：将y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到y ＝g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，令t ＝x －π6，∵函数y ＝2sin t 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，则A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3，∴函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上单调递增，同理可得，函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π上单调递减．又∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2，g (π)＝1， ∴函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的最大值为2，最小值为1. 15．解：(1)∵f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .因此f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，∵f (x )单调递增，∴当x ＝π6时，f (x )取得最大值为m ＋3，即m＋3＝4，解之得m ＝1，∴m 的值为1.【难点突破】16．解：(1)由函数图象及函数模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，知A ＝2；由12T ＝7π6－π6＝π，得T ＝2π， ∴ω＝2πT＝1，即f (x )＝2sin(x ＋φ)，把(0，－1)代入上式，得sin φ＝－12，∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π6，∴所求函数的解析式为y ＝f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.(2)由(1)知g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin x ，∵⎠⎛απg(x)d x ＝3，∴⎠⎛απ2sin x d x ＝－2cos x⎪⎪⎪ )πα＝－2cos π－(－2cos α)＝3，解得cos α＝12，又实数α满足0<α<π，则所求α的值为π3.。

高考一轮复习理数课件第四章第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

(2)由题图可知 A＝ 2，
法一：T4＝71π2－π3＝π4，所以 T＝π，故 ω＝2，因此 f(x)＝
2sin(2x＋φ)，又π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此
2×π3＋φ＝π，所以 φ＝π3，故 f(x)＝ 2sin2x＋π3.
法二：以π3，0为第二个“零点”，71π2，－
2为最小值点，
根据 tan A＝tan π6＝ 33＝CADD＝M3 ，得 M＝ 3，
∴f(x)＝
3sin
π 6x.
(2)将函数 f(x)＝
3sin
π 6x
的图象向左平移
1
个单位，纵坐标不
变，可得 y＝ 3sinπ6x＋1＝ 3sinπ6x＋π6的图象；再把横坐标伸长
为原来的π3倍，得到函数 g(x)＝ 3sinπ3·π6x＋π6＝ 3sin12x＋π6的图象．
(3)把 y＝sin x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到 y＝sinx－π6的图象，再把 y＝sinx－π6的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x－π6的图象，最后把 y＝sin2x－π6上所有点的纵坐标伸长到原来的 5 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝5sin2x－π6的图象．
4.[考点二、三](2017·银川二模)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞ 0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象与 x 轴的一个交点－1π2，0到其相邻的一条对称轴的距离为π4，若 f1π2＝32，则函数 f(x)在0，π2上的最小值为________．
解析：由题意得，函数 f(x)的最小正周期 T＝4×π4＝π＝2ωπ，解得 ω
[方法技巧]
三角函数图象变换的两个要点
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意

高考数学一轮复习课时作业二十二函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用作业课件苏教版

对 B，y＝2sin 23x＋π3 的对称中心：23 x＋π3 ＝kπ⇒x＝32 kπ－2π .故该函数的对称
中心为32kπ－2π，0 ，k∈Z，故 B 错误．
对 C，单调递增区间为 2kπ－2π
2 ≤3
x＋π3
≤2kπ＋2π
，解得 x∈3kπ－54π，3kπ＋4π
，
k∈Z，故 C 正确．
对 D，把函数 y＝2sin x＋3π 的图象上所有点的横坐标变为原来的32 ，纵坐标不变，可得到 y＝2sin 23x＋π3 ，故 D 正确．
【解析】选 D.函数 y＝2sin 2x＋π6 的周期为 π，所以将函数 y＝2sin 2x＋π6 的图象向右平移4π 个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为 y＝2sin 2x－π4＋π6 ＝2sin 2x－3π .
2．函数 f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为2π
所以 T＝π，所以2ωπ ＝π，所以 ω＝2.
又因为
π f8
＝1，
所以 sin 2×π8＋φ ＝1，
所以 φ＋π4 ＝2kπ＋π2 ，k∈Z，
所以 φ＝2kπ＋π4 ，k∈Z，因为|φ|<2π ，所以 φ＝4π . 所以 f(x)＝sin 2x＋π4 ，
将 f(x)的图象沿 x 轴向右移 b 个长度单位得函数 y＝sin 2(x－b)＋4π ＝
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．(2021·扬州模拟)函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2 的沿
x
轴向右平移
π b0<b<2
个单位后，得到一个
偶函数的图象，则 b＝________．

高考数学总复习检测(二十三)函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

( )π
ππ
长度后，得到函数 g(x)＝2sin 2x－2φ－的图象，因为 g(x)为偶函数，所以 2φ＋＝＋
6
62
3
( ) π kπ
π
π
kπ，k∈Z，所以 φ＝＋，k∈Z，又因为 φ∈ 0，，所以 φ＝ .
62
2
6
( )π
4．函数
f(x)＝ sin(ωx＋ φ)(x∈ R)
ω＞0，|φ|＜ 2
4
4
18 44
( ) ( ) 3π 5π
π 5π
区间，上单调递减，不满足 f(x)在区间，上单调；
44 36
18 36
( ) ( ) π
π
π 5π
若 ω＝9，则 φ＝，此时 f(x)＝sin 9x＋，满足 f(x)在区间，上单调递减，故选 B.
4
4
18 36
( ) ( ) π
π
2．已知函数
2
x－ 3
＋φ
＝ sin
2x－＋φ 的图 3
象，
又 g(x)的图象关于原点对称，
2π ∴－＋φ＝kπ，k∈Z，
3
2π ∴φ＝＋kπ，k∈Z，
3
π
π
又|φ|＜，∴φ＝－，
2
3
( )π
∴f(x)＝sin 2x－ . 3
π
ππ
当 x＝时，2x－＝－，∴A，C 错误；
12
36
5π
ππ
当 x＝时，2x－＝，∴B 正确，D 错误．
π ④将 y＝2sin 2x 的图象向右平移个单位长度可以得到函数 f(x)的图象．
6

高考数学一轮复习第4章第5节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 (2)

函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考试要求]1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2示：x －φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0 π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ) 0 A 0 －A0提醒：用“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T 4.3．由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象提醒：(1)两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．[常用结论]1．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将y＝3sin 2x的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y＝3sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x＋π4.()(2)把y ＝sin x 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin x2.( )(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材习题衍生1．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3C [由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.]2．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度A [y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6.]3．为了得到y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π8的图象，只需把y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π8图象上的所有点的( )A ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C ．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变 D ．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变D [因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13，即可得到函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8的图象，故选D.]考点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及图象变换(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．[典例1] (1)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，为了得到函数g (x )＝sin 2x 的图象，则只需将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度(2)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.①求a 的值及f (x )的最小正周期； ②画出f (x )在[0，π]上的图象．(1)A [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3，为了得到函数g (x )＝sin 2x 的图象，则只需将f (x )的图象向右平移π6个单位长度即可．故选A.](2)[解] ①f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2，所以a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.②由①知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，列表：x 0 π65π122π3 11π12π 2x ＋π6π6π2 π 3π2 2π13π6f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π61 2 0 －20 1画图如下：点评：三角函数图象变换中的三个注意点(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y ＝A sin x 到y ＝A sin(x ＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y ＝A sin ωx 到y ＝A sin(ωx ＋φ)时，变换量是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位．[跟进训练]1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x －π4的图象，只需将函数y ＝cos 5x 的图象( )A ．向左平移3π20个单位B ．向右平移3π20个单位C ．向左平移3π4个单位D ．向右平移3π4个单位B [函数y ＝cos 5x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x ＋π2＝sin 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π10，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x －π4＝sin 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π20，设平移|φ|个单位，则π10＋φ＝－π20，解得φ＝－3π20，故把函数y ＝cos 5x 的图象向右平移3π20个单位，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5x －π4的图象．]2．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －16π的图象，则f (x )＝( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32x ＋16πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6x －16πC ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32x ＋13πD ．sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫6x ＋13πB [由题设知，先将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －16π的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得图象向右平移π3个单位长度即得函数f (x )的图象，故f (x )＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3－16π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6x －16π.故选B.]考点二由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．[典例2] (1)(多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图是函数y ＝sin (ωx ＋φ)的部分图象，则sin (ωx ＋φ)＝( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2xC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6D ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－2x(2)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为________．(1)BC (2)y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] [(1)由题图可知，函数的最小正周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－π6＝π，∴2π|ω|＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y ＝sin(2x＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0代入得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×π6＋φ＝0，∴2×π6＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋2π3，k ∈Z ，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2π3.由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ，故选项B 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，选项C正确；对于选项A ，当x ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π3＝1≠0，错误；对于选项D ，当x ＝π6＋2π32＝5π12时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－2×5π12＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y ＝sin(－2x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2×π6＋φ＝0，结合函数图象，知－2×π6＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，得φ＝4π3＋2k π，k ∈Z ，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2x ＋4π3，但当x ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2x ＋4π3＝－32<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.(2)从题图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8. 又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．]点评：(1)当题目中已知最值点时，最好代入最值点求φ. (2)若φ未指定范围，一般取|φ|最小的． [跟进训练]1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f (x )的最小正周期为( )A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2C [由题图知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4π9＝0，∴－4π9ω＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得ω＝－3＋9k 4(k ∈Z )．设f (x )的最小正周期为T ，易知T <2π<2T ，∴2π|ω|<2π<4π|ω|，∴1<|ω|<2，当且仅当k ＝－1时，符合题意，此时ω＝32，∴T ＝2πω＝4π3.故选C.]2.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π3＋2C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －π6＋2D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋2D [根据图象知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝4，b －A ＝0，解得A ＝2，b ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12－π6＝π，∴ω＝2ππ＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋2.又函数图象的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，4，将其坐标代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×π6＋φ＝1.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋2.]考点三三角函数图象与性质的综合应用解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．[典例3] 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b ＞0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．[解] (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx－π3.由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z )．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.[跟进训练](2019·天津高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－2C ．2D ．2C [∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数， ∴φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f (x )＝A sin ωx ，则g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω2x .由g (x )的最小正周期T ＝2π，得ω2＝2πT ＝1，∴ω＝2.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，∴A ＝2，∴f (x )＝2sin 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝2，故选C.]考点四三角函数模型的应用三角函数的应用体现两个方面(1)已知函数模型求解数学问题．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． [典例4] (2020·开封模拟)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．(1)经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H (t )＝A sin(ωt ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2，求摩天轮转动一周的解析式H (t )；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．[解] (1)H 关于t 的函数关系式为H (t )＝A sin(ωt ＋φ)＋B ，由⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝145，B －A ＝21，解得A ＝62，B ＝83，又函数周期为30，所以ω＝2π30＝π15，可得H (t )＝62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π15t ＋φ＋83，又H (0)＝62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π15×0＋φ＋83＝21，|φ|≤π2，所以sin φ＝－1，φ＝－π2，所以摩天轮转动一周的解析式为：H (t )＝62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π15t －π2＋83,0≤t ≤30，(2)H (t )＝62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π15t －π2＋83＝－62cos π15t ＋83，所以－62cos π15t ＋83＝52，cos π15t ＝12，所以t ＝5.(3)由题意知，经过t 分钟后游客甲距离地面高度解析式为H 甲＝－62cos π15t ＋83，乙与甲间隔的时间为3036×6＝5分钟，所以乙距离地面高度解析式为H 乙＝－62cosπ15(t －5)＋83,5≤t ≤30，所以两人离地面的高度差h ＝|H 甲－H 乙|＝错误!＝62错误!，5≤t ≤30，当π15t －π6＝π2，或3π2时，即t ＝10或25分钟时，h 取最大值为62米． [跟进训练]1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π30t －π3C [由题意，函数的周期为T ＝60，∴ω＝2π60＝π30，设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π30t ＋φ(因为秒针是顺时针走动)，∵初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，∴t ＝0时，y ＝12.∴sin φ＝12，∴φ可取π6，∴函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π30t ＋π6，故选C.]2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．6 000 [作出函数简图如图所示，三角函数模型为：y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000， T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f(7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．]。

高考一轮复习练习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

一、填空题1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，若f (π6)＝f (π2)，且f (x )在区间(π6，π2)上有最大值，无最小值，则ω＝________.解析：由题意f (π3)＝1，即ω·π3＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以ω＝12＋6k ，k ∈Z. 又π3<2πω，所以0<ω<6，故ω＝12. 答案：122．函数y ＝sin(π2＋x )cos(π6－x )的最大值为________．解析：y ＝sin(π2＋x )cos(π6－x ) ＝cos x ·cos(π6－x )＝cos x (cos π6·cos x ＋sin π6·sin x )＝cos x (32cos x ＋12sin x )＝32cos 2x ＋12sin x ·cos x ＝32·1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＝34＋34cos 2x ＋14sin 2x ＝34＋12(12sin 2x ＋32cos 2x ) ＝34＋12sin(2x ＋π3)，∴当sin(2x ＋π3)＝1时，y max ＝2＋34. 答案：2＋343．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图象可知，32T ＝π，从而T ＝2πω＝2π3，ω＝3，得f (x )＝2sin(3x ＋φ)，又由f (π4)＝0可取φ＝－3π4，于是f (x )＝2sin(3x －3π4)，则f (7π12)＝2sin(7π4－3π4)＝0. 答案：04．若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是________．解析：将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y ＝2sin[3(x －π4)＋φ]＝2sin(3x －3π4＋φ)的图象．因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，故有π4＋φ＝k π(k ∈Z)，解得φ＝k π－π4(k ∈Z)．当k ＝0时，|φ|取得最小值π4. 答案：π45．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是________．解析：由∀x ∈R ，有f (x )≤|f (π6)|知，当 x ＝π6时f (x )取最值，∴f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z)．又∵f (π2)＞f (π)，∴sin(π＋φ)＞s in(2π＋φ)，∴－sin φ＞sin φ，∴sin φ＜0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z)．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin(2x －5π6)．令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z)， ∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z)， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)．∴f (x )的单调递增区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z)．答案：[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)6．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin(x ＋π3)＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．解析：令y 1＝2sin(x ＋π3)，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示，若2sin(x ＋π3)＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2. 答案：(3，2)7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，则函数解析式为________．解析：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时， sin (43π＋φ)＝±1，故φ＝π6. 所求解析式为y ＝2sin (4x ＋π6)＋2. 答案：y ＝2sin (4x ＋π6)＋28．在矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y ＝a sin ax (a ∈R ，a ≠0)的一个完整周期图象，则当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为________．解析：根据题意，设矩形ABCD 的周长为c ，则c ＝2(AB ＋AD )＝4|a |＋4π|a |≥8π，当且仅当a ＝±π时取等号．答案：8π9．关于函数f (x )＝sin(2x －π4)，有下列命题： ①其表达式可写成f (x )＝cos(2x ＋π4)； ②直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴；③f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到； ④存在α∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立．则其中真命题的序号为________．解析：对于①，f (x )＝sin(2x －π4)＝cos[π2－(2x －π4)] ＝cos(2x －34π)，故①错；对于②，当x ＝－π8时，f (－π8)＝sin[2×(－π8)－π4] ＝sin(－π2)＝－1，故②正确；对于③，g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到的图象解析式为y ＝sin 2(x －π4)＝sin(2x －π2)，故③错；对于④，因为f (x )的周期为π，故当α＝π2时，f (x ＋α)＝f (x ＋3α)，所以④正确．答案：②④ 二、解答题10．已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，求f (x )的值域．解析：(1)f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x ) ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)．由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z)． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π3∈[π3，5π6]．则sin(2x ＋π2)∈[12，1]，∴f (x )的值域为[1,2]．11．已知函数f (x )＝sin 2x sin φ－2cos 2x cos(π－φ)－sin(π2＋φ)(0<φ<π)在x ＝π6时取得最大值． (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (α)＝13，求sin α的值．解析：(1)因为f (x )＝sin 2x sin φ－2cos 2x cos(π－φ)－sin(π2＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝sin 2x sin φ＋2cos 2x cos φ－cos φ ＝sin 2x sin φ＋(1＋cos 2x )cos φ－cos φ ＝sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ＝cos(2x －φ)，又函数y ＝f (x )在x ＝π6时取得最大值，所以cos(2·π6－φ)＝cos(π3－φ)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π3. (2)由(1)知f (x )＝cos(2x －π3)，所以g (x )＝f (12x )＝cos(x －π3)，于是有g (α)＝cos(α－π3)＝13，所以sin(α－π3)＝±223. 所以sin α＝sin[(α－π3)＋π3]＝sin(α－π3)·cos π3＋cos(α－π3)·sin π3 ＝3±226. 12．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下面是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00至20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解析：(1)由表中数据，知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5；① 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，② ∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12，∴y＝12cos π6t＋1(0≤t≤24)．(2)由题知，当y≥1时才可对冲浪者开放，∴12cos π6t＋1≥1，∴cos π6t≥0，∴2kπ－π2≤π6t≤2kπ＋π2，k∈Z，即12k－3≤t≤12k＋3，k∈Z，③∵0≤t≤24，故可令③中的k分别为0,1,2，得0≤t≤3，或9≤t≤15，或21≤t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.。

2021高考数学一轮复习课后限时集训23函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用文北师大版

课后限时集训23函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用建议用时：45分钟一、选择题1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A [令x ＝0,得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32,排除B 、D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0,排除C,故选A.]2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图像的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3 B.33C ．1D. 3D [由题意可知该函数的周期为π2,∴πω＝π2,ω＝2,f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.] 3．(2019·潍坊模拟)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图像向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后,得到函数g (x )的图像,若函数g (x )为偶函数,则φ的值为( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3B [由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6,其图像向右平移φ个单位长度后,得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ－π6的图像,因为g (x )为偶函数,所以2φ＋π6＝π2＋k π,k ∈Z ,所以φ＝π6＋k π2,k ∈Z ,又因为φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以φ＝π6.]4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示,则φ的值为( )A ．－π3B.π3 C ．－π6D.π6B [由题意,得T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2,所以T ＝π,由T ＝2πω,得ω＝2,由图可知A ＝1,所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0,－π2＜φ＜π2,所以φ＝π3.]5．(2019·武汉调研)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图所示,给出以下结论： ①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图像的一条对称轴为直线x ＝－12；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34,k ∈Z 上是减函数； ④f (x )的最大值为A . 则正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [由题图可知,函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2,故①正确；因为函数f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0,所以函数f (x )图像的对称轴为直线x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z ),故直线x ＝－12不是函数f (x )图像的对称轴,故②不正确；由图可知,当14－T 4＋kT ≤x ≤14＋T4＋kT (k ∈Z ),即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z )时,f (x )是减函数,故③正确；若A ＞0,则最大值是A ,若A ＜0,则最大值是－A ,故④不正确．综上知正确结论的个数为2.]二、填空题6．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为f (x )＝________.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 [函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π,将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度,所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.]7.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示,则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z[根据所给图像,周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π,故π＝2πω,∴ω＝2,因此f (x )＝sin(2x ＋φ),另外图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，0,代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z ),再由|φ|＜π2,得φ＝－π6,∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z ),即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时,y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．]8．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值,无最大值,则ω＝________.14 3[依题意,x＝π6＋π32＝π4时,y有最小值,∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1,∴π4ω＋π3＝2kπ＋3π2(k∈Z)．∴ω＝8k＋143(k∈Z),因为f(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值,无最大值,所以π3－π4≤πω,即ω≤12,令k＝0,得ω＝143.]三、解答题9．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π,且f⎝⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图像．[解](1)因为T＝2πω＝π,所以ω＝2,又因为f⎝⎛⎭⎪⎫π4＝cos⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32且－π2＜φ＜0,所以φ＝－π3.(2)由(1)知f(x)＝cos⎝⎛⎭⎪⎫2x－π3.列表：2x－π3－π3π2π3π25π3x 0π65π122π311π12πf(x)1210－1012描点10.(2019·北京市东城区二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[0,m ],f (x )≥1恒成立,求m 的最大值． [解](1)由图像可知,A ＝2.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪512π－π6＝T 4(T 为最小正周期),所以T ＝π.由π＝2πω,解得ω＝2.又函数f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2,所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2,解得φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|＜π2,所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)法一：因为x ∈[0,m ],所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2m ＋π6.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2,即x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时,f (x )单调递增；所以此时f (x )≥f (0)＝1,符合题意；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6,即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时,f (x )单调递减,所以f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1,符合题意；当2x ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，3π2时,即x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2π3时,f (x )单调递减,所以f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1,不符合题意．综上,若对于任意的x ∈[0,m ],f (x )≥1恒成立,则必有0＜m ≤π3,所以m 的最大值是π3.法二：画出函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像,如图所示,由图可知,函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6上单调递增,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递减,且f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1,所以0＜m ≤π3.所以m 的最大值为π3.1．将函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜ω＜10)的图像向右平移π6个单位长度后与函数f (x )的图像重合,则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8B [函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图像向右平移π6个单位长度后所得图像对应的函数解析式为y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π3,∵平移后的图像与函数f (x )的图像重合,∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π,k ∈Z , 解得ω＝－6k ,k ∈Z .又∵0＜ω＜10,∴ω＝6.]2.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点A (33,－3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒．经过t 秒后,水斗旋转到P 点,设P 的坐标为(x ,y ),其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫t ≥0，ω＞0，|φ|＜π2.则下列叙述错误的是( )A ．R ＝6,ω＝π30,φ＝－π6B ．当t ∈[35,55]时,点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时,函数y ＝f (t )递减D ．当t ＝20时,|PA |＝6 3C [由题意,R ＝27＋9＝6,T ＝60＝2πω,所以ω＝π30, t ＝0时,点A (33,－3)代入可得－3＝6sin φ,因为|φ|＜π2,所以φ＝－π6,故A 正确；f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6,当t ∈[35,55]时,π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，53π,所以点P 到x 轴的距离的最大值为6,B 正确；当t ∈[10,25]时,π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16π，2π3,函数y ＝f (t )先增后减,C 不正确；当t ＝20时,π30t －π6＝π2,P 的纵坐标为6,|PA |＝27＋81＝63,D 正确．故选C.]3．(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0),x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω,ω)内单调递增,且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称,则ω的值为________．π2 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4,因为f (x )在区间(－ω,ω)内单调递增,且函数图像关于直线x ＝ω对称,所以f (ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2,k ∈Z ,所以ω2＝π4＋2k π,k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2,则ω2≤π2,即ω2＝π4, 所以ω＝π2.] 4．(2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图像先向左平移π4个单位长度,再将图像上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),所得到的图像对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．[解](1)∵T 2＝11π12－5π12＝π2,∴T ＝π,ω＝2πT＝2,又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝1,|φ|＜π2, ∴φ＝－π3,f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3,将函数f (x )的图像向左平移π4个单位长度得 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.∴g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,∴4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6, 当4x ＋π6＝π2时,x ＝π12,∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4上为减函数,所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1,又因为g (0)＝12,g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－12,所以g (x )min ＝－12,故函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式,并写出其图像的对称中心；(2)若方程f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＝a 有实数解,求a 的取值范围．[解](1)由图可得A ＝2,T 2＝2π3－π6＝π2,所以T ＝π,所以ω＝2.当x ＝π6时,f (x )＝2,可得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2,因为|φ|＜π2,所以φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6＝k π(k ∈Z ),得x ＝k π2－π12(k ∈Z ),所以函数f (x )图像的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z )．(2)设g (x )＝f (x )＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3, 则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,令t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,t ∈[－1,1], 记h (t )＝－4t 2＋2t ＋2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋94,因为t ∈[－1,1],所以h (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，94, 即g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，94,故a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，94.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，94.。

高考数学一轮复习配餐作业23函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用

配餐作业(二十三) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用(时间：40分钟)一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，令2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B 。

答案 B2．(2017·渭南模拟)由y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6的图象，则f (x )为( ) A ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π6C ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π3 D ．2sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋π3 解析 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x －π6y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π6。

故选B 。

答案 B3．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4解析由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1。

高三数学一轮复习课时作业三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用A理新人教B版

课时作业(二十一)A[第21讲三角函数y ＝A sin ωx ＋φ的图象与性质及三角函数模型的简单应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π63．[2011·北京海淀区二模] 若函数y ＝sin x ＋π3的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 4．如图K21－1，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (cm)和时间t (s)的函数关系是S ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，t ∈[0，＋∞)，则摆球往复摆动一次所需要的时间是________s. 能力提升5．[2010·陕西卷] 对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为26．[2011·珠海二模] 函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2是( )A ．最小正周期是π的偶函数B ．最小正周期是π的奇函数C ．最小正周期是2π的偶函数D ．最小正周期是2π的奇函数7．[2011·昆明质检] 用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π2，则x 2＋x 4等于( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 8．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图K21－2所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π49．[2011·福州质检] 函数y ＝sin x －cos x 的图象可由y ＝sin x ＋cos x 的图象向右平移( )A.3π2个单位长度得到 B ．π个单位长度得到 C.π4个单位长度得到 D.π2个单位长度得到 10．[2011·淄博模拟] 将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，π2<φ<π的图象，向右最少平移4π3个单位长度，或向左最少平移2π3个单位长度，所得到的函数图象均关于原点中心对称，则ω＝________.11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为________．12．给出下面的3个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期是π2； ②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2上单调递增；③x ＝5π4是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的一条对称轴．其中正确命题的序号是________．13．一个物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间x (s)之间的一组对应值如下表所示：x 之间的关系，则其函数解析式为________________．14．(10分)已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图象，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．15．(13分)已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω>0)的图象的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合．难点突破16．(12分)已知复数z 1＝sin x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos x )i(λ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0，且0<x <π，求x 的值；(2)设f (x )＝λcos x ，求f (x )的最小正周期和单调递增区间．课时作业(二十一)A【基础热身】1．A [解析] 由已知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，故选A. 2．A [解析] 由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，故选A.3．B [解析] 把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即周期变为原来的2倍，则ω变为原来的12，故选B.4．2 [解析] 摆球往复摆动一次所需的时间即为函数的周期，又函数S 的周期为T ＝2ππ＝2，故摆球往复摆动一次所需要的时间是2 s. 【能力提升】5．B [解析] f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递减的，A 错；f (x )的最小正周期为π，最大值为1，C 、D 错，故选B.6．A [解析] y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin 2x ＝1－cos2x 2，则最小正周期是T ＝2π2＝π，且是偶函数，故选A.7．C [解析] 根据“五点法”的规则知，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5依次成等差数列，所以x 2＋x 4＝x 1＋x 5＝3π2，故选C.8．C [解析] 由图象可知函数的最小正周期是8，根据最小正周期T ＝2πω可得ω＝π4，排除A 、B ，再根据0≤φ≤2π且当x ＝1时y ＝1，可知φ＝π4，故选C. 9．D [解析] 把函数解析式化为y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4，故选D.10.12[解析] 因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半，则有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，故T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.11．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 [解析] 由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋φ＝±1，则φ＝π6， ∴所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2. 12．①② [解析] 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为π，则函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期是π2；因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2＝cos x ，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2上单调递增；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos2x ，由2x ＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2，k ∈Z ，则x ＝5π4不是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的一条对称轴，故正确的命题是①②. 13．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2x －π2(答案不唯一) [解析] 由散点图选用函数模型y ＝A sin(ωx＋φ)，则A ＝4，T ＝0.8，∴ω＝2πT ＝5π2，即y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2x ＋φ，把最高点坐标(0.4,4)代入解析式，得4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2×0.4＋φ，即sin(π＋φ)＝1， ∴π＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，由五点作图法，可知π＋φ＝π2，即φ＝－π2，∴描述该物体的位移y 和时间x 之间的函数解析式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2x －π2.14．[解答] (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图象，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1.(2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 15．[解答] (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，由题意可知函数的最小正周期T ＝2π2ω＝π(ω>0)，所以ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，其中k ∈Z ，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得x ＝k π＋π12，k ∈Z ，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z .【难点突破】16．[解答] (1)当λ＝0时，由z 1＝z 2，得m ＝sin x 且m －3cos x ＝0， ∴sin x －3cos x ＝0，∴tan x ＝3，∵0<x <π，∴x ＝π3.(2)由z 1＝z 2得⎩⎨⎧m ＝sin x ，λ＝m －3cos x ，∴λ＝sin x －3cos x ，f (x )＝λcos x ＝(sin x －3cos x )cos x ＝sin x cos x －3cos x cos x ＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，∴f (x )的最小正周期T ＝π；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .。

高考数学一轮总复习 3.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件

4.将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到
函数y＝sinx－6π的图象，则φ等于(
)
π
11π
A.6
B. 6
7π
5π
C. 6
D. 6
a
16
解析依题意得y＝sin x－6π ＝sin x－π6＋2π ＝sin x＋116π ，
故将y＝sinx图象向左平移
11π 6
个单位后得到y＝sin
a
26
【思维启迪】 (1)由振幅、周期、初相的定义即可解决． (2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点． (3)只要看清由谁变换得到谁即可．
a
27
听课记录
(1)y＝2sin
2x＋3π
的振幅A＝2，周期T＝
2π 2
＝
π，初相φ＝π3.
(2)令X＝2x＋3π，则y＝2sin2x＋3π＝2sinX.
(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋ωφ 来确定平移单位．
a
32
变式思考 1 (1)(2014·浙江卷)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x
的图象，可以将函数y＝ 2cos3x的图象( )
A．向右平移4π个单位
B．向左平移4π个单位
C．向右平移1π2个单位
答案 π6，0 23π，1 76π，0 53π，－1 163π，0
a
13
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝ __________.
a
14
解析由题意设函数周期为T，则T4＝23π－π3＝3π，故T＝43π. ∴ω＝2Tπ＝32.

高考数学一轮总复习课时规范练23函数y=Asinωx φ的图象及三角函数的应用北师大版

A.g =1
B.g(x)在区间 - 上单调递增
C.x=- 是g(x)图象的一条对称轴
D. ，0 是g(x)图象的一个对称中心
8.(2021甘肃高三开学考试)设函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0，|φ|< 在一个周期内的图象经过A - ，0 ，B - ，-1 ，C ，0 ，D ，1 这四个点中的三个点，则φ=.
8.- 解析:因为- - - = - - = ，所以f(x)在一个周期内的图象不可能经过点C，则T= ×4= ，解得ω=3.因为f =1，所以 ×3+φ= +2kπ(k∈Z)，φ=- +2kπ(k∈Z).又|φ|< ，所以φ=- .
9. 解析:根据点A的坐标(1，- )可得圆周的半径R= =2.又旋转一周用时6秒，即周期T=6，从而得ω= ，∴f(t)=2sin t+φ .又当t=0时，在函数图象上y=- ，∴f(0)=2sin ×0+φ =- ，即sinφ=- .
10.(2021辽宁沈阳高三月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0，ω>0，|φ|< 的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x)在区间[0，m]上不单调，求m的取值范围.
课时规范练23 函数
基础巩固组
1.(2021北京东城高三月考)函数y=2cos 2x+ 的部分图象大致是()
2.(2021山东省实验中学高三月考)已知函数f(x)=3sinωx(ω>0)的周期是π，将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()

高考数学(理科)第一轮复习课件和练习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

课时提升作业(二十)一、选择题1.要得到函数y=sinx的图像,只需将函数y=cos(x-)的图像( )(A)向右平移个单位(B)向右平移个单位(C)向左平移个单位(D)向左平移个单位2.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像( )(A)关于直线x=对称(B)关于点(,0)对称(C)关于直线x=-对称(D)关于点(,0)对称3.(2018·上饶模拟)已知函数f(x)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式可能为( )(A)f(x)=2cos(-)(B)f(x)=cos(4x+)(C)f(x)=2sin(-)(D)f(x)=2sin(4x+)4.(2018·新余模拟)已知函数f(x)=sin(2x+),其中x∈R,则下列结论中正确的是( )(A)f(x)是最小正周期为π的偶函数(B)f(x)的一条对称轴是x=(C)f(x)的最大值为2(D)将函数y=sin2x的图像左移个单位得到函数f(x)的图像5.(2018·咸阳模拟)设函数f(x)=sin(ωx+φ+)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )(A)y=f(x)在(0,)是减少的(B)y=f(x)在(,)是减少的(C)y=f(x)在(0,)是增加的(D)y=f(x)在(,)是增加的二、填空题6.在函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期内,当x=时,有最大值,当x=时,有最小值-,若φ∈(0,),则函数解析式f(x)= .7.(2018·宜春模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示,则ω·φ= .8.(能力挑战题)设函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(-,))的最小正周期为π,且其图像关于直线x=对称,则在下面四个结论中:①图像关于点(,0)对称;②图像关于点(,0)对称;③在[0,]上是增加的;④在[-,0]上是增加的.正确结论的编号为.三、解答题9.(2018·安庆模拟)已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b为常数)的一段图像(如图所示).(1)求函数的解析式.(2)求这个函数的单调区间.10.(能力挑战题)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为2,且当x=时,f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式.(2)在闭区间[,]上是否存在f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不存在,请说明理由.答案解析1. 【解析】选A.y=sinx=cos(-x)=cos(x-)=cos(x--),故只需将y=cos(x-)的图像向右平移个单位即得.2.【解析】选B.由T=π,∴=π,得ω=2.故f(x)=sin(2x+).当x=时,2×+=π,此时sinπ=0,故f(x)=sin(2x+)的图像关于点(,0)对称.【变式备选】(2018·赣州模拟)为得到函数y=cos(2x+)的图像,只需将函数y=sin2x的图像( )(A)向左平移个长度单位(B)向右平移个长度单位(C)向左平移个长度单位(D)向右平移个长度单位【思路点拨】先将两函数化为同名函数,再判断平移方向及平移的长度单位.【解析】选A.y=cos(2x+)=sin[+(2x+)]=sin(2x+)=sin2(x+)故将函数y=sin2x的图像向左平移个单位可得函数y=cos(2x+)的图像.3.【思路点拨】将图中特殊点的坐标代入解析式中验证即可.【解析】选A.对于选项C,D,点B(0,1)的坐标不满足;对于选项B,点A(,2)的坐标不满足;对于选项A,点A,B,C的坐标都满足,故选A.4.【解析】选D.f(x)=sin(2x+)=sin 2(x+),故A错,不是偶函数;B错,x=不是对称轴;C错,最大值为.D正确.5.【思路点拨】先确定y=f(x)的解析式,再判断.【解析】选A.由周期为π知ω==2;又f(-x)=f(x),故函数为偶函数,所以φ+=kπ+(k∈Z).又|φ|<,所以φ=.从而f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x)在(0,)是减少的.6.【解析】由最大值,最小值得A=,且T=-=,故T=,∴ω=3.由sin(3×+φ)=得,sin(+φ)=1,又∵0<φ<,故φ=,所以f(x)=sin(3x+).答案:sin(3x+)7.【解析】由图形知=-=,∴T=π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).方法一:由五点作图法知,2×+φ=,∴φ=-,∴ω·φ=2×(-)=-.方法二:把点(,1)的坐标代入f(x)=sin(2x+φ)得, sin(+φ)=1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=-,∴ω·φ=2×(-)=-.答案:-8.【解析】∵y=sin(ωx+φ)最小正周期为π,∴ω==2.又其图像关于直线x=对称,∴2×+φ=kπ+(k∈Z).∴φ=kπ+,k∈Z.由φ∈(-,),得φ=,∴y=sin(2x+).令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z).∴y=sin(2x+)关于点(,0)对称,故②正确.令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数y=sin(2x+)的递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).∵[-,0][kπ-,kπ+](k∈Z),∴④正确.答案:②④9.【解析】(1)由条件知解得A=b=,又==-(-)=,∴ω=.∴y=sin(x+φ)+,将点(,0)坐标代入上式,得sin(+φ)=-1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<π,∴φ=π,∴y=sin(x+)+.(2)由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-≤x≤-(k∈Z).由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-≤x≤+(k∈Z).∴所求递增区间为[-,-](k∈Z),递减区间为[-,+](k∈Z).【方法技巧】由图像求解析式和性质的方法和技巧(1)给出图像求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的难点在于ω,φ的确定,本质为待定系数,基本方法是①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图像变换法,即考察已知图像可由哪个函数的图像经过变换得到,通常可由平衡点或最值点确定周期T,进而确定ω.(2)由图像求性质的时候,首先确定解析式,再根据解析式求其性质,要紧扣基本三角函数的性质.例如,单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点.【变式备选】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式.(2)设g(x)=f(x)-cos2x,求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. 【解析】(1)由图可得A=1,=-=,所以T=π,所以ω=2.当x=时,f(x)=1,可得sin(2×+φ)=1,因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).(2)g(x)=f(x)-cos2x=sin(2x+)-cos2x=sin2xcos+cos2xsin-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).因为0≤x≤,所以-≤2x-≤.当2x-=,即x=时,g(x)取最大值为1;当2x-=-,即x=0时,g(x)取最小值为-.10.【解析】(1)由T=2知=2得ω=π.又因为当x=时f(x)的最大值为2,所以A=2.且π+φ=2kπ+(k∈Z),故φ=2kπ+(k∈Z).∴f(x)=2sin(πx+2kπ+)=2sin(πx+),k∈Z,故f(x)=2sin(πx+).(2)令πx+=kπ+(k∈Z),得x=k+(k∈Z).由≤k+≤.得≤k≤,又k∈=5.故在[,]上存在f(x)的对称轴, 其方程为x=.。

高考理科数学一轮复习(教学指导)函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第5讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、知识梳理1．函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ0π2π3π22πx －φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 03.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法常用结论1．两种图象变换的区别由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度．②先周期变换(伸缩变换)，再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．即图象的左右平移变换是针对x 而言的，应是x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少．2．周期与对称性之间的关系(1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期；(2)正切曲线相邻的两对称中心之间的距离是12周期．3．对称轴(对称中心)与函数值的关系在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.二、教材衍化1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2，4π，－π3解析：选C.由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为____________________．解析：从图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8. 又π8×10＋φ＝2π＋2k ，k ∈Z ，取φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[]6，14. 答案：y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[]6，14一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右平移π2个单位得到的．( )(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)搞错图象平移的单位长度； (2)搞错横坐标伸缩与ω的关系； (3)搞不清f (x )在x ＝π2处取最值；(4)确定不了解析式中φ的值．1．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选D.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D.2．函数y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．解析：根据函数图象变换法则可得．答案：y ＝sin 12x3．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上是增加的，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上是减少的，则ω＝________．解析：由题意知当x ＝π3时，函数取得最大值，所以有sin ωπ3＝1，所以ωπ3＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以ω＝32＋6k (k ∈Z )，又0<ω<2，所以ω＝32.答案：324．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.答案：π6函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换(师生共研)已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解】 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin X .列表如下：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2描点画出图象，如图所示：(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．法二：将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．1．函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A.将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin 2x 的图象，再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A.2．将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝cos 2x ＋sin 2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D.将函数y ＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos(x ＋π4－φ)的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y＝2cos(1a x ＋π4－φ)的图象，又y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)＝cos 2x ＋sin 2x ＝2cos(2x －π4)，所以1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2k π(k ∈Z )，所以a ＝12，又φ>0，所以φ＝π2＋2k π(k ∈N )，结合选项知选D. 3．(2020·福州模拟)若ω>0，函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos(ωx －ωπ3＋π3)的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52. 答案：52求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(师生共研)(1)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，|φ|<π2)的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x －π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin(2x －π6)(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f (－π3)＝________.【解析】 (1)由题意知，A ＝2，函数f (x )的图象过点(0，3)，所以f (0)＝2sin φ＝3，由|φ|<π2，得φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．故选B.(2)由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (－π3)＝－62.【答案】 (1)B (2)－62确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.1．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )解析：选A.由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C.故选A. 2．(2020·安徽黄山毕业班第二次质量检测)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫5π6，－1 B ．⎝⎛⎭⎫π12，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，－1 D ．⎝⎛⎭⎫5π6，0解析：选A.由题图得⎝⎛⎭⎫π3，－1为f (x )图象的一个对称中心，T 4＝π3－π12，所以T ＝π，从而f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3＋k π2，－1(k ∈Z )，当k ＝1时，为⎝⎛⎭⎫5π6，－1，选A.三角函数图象与性质的综合应用(多维探究) 角度一三角函数图象与性质的综合问题(2020·河南郑州三测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，要使f (a ＋x )－f (a －x )＝0成立，则a 的最小正值为( )A.π12B ．π6 C.π4D ．π3【解析】由函数图象可得，函数的最大值为2，即A ＝2.因为函数图象过点(0，1)，即f (0)＝1，所以sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫11π12，0，所以f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫ω×11π12＋π6＝0，又x ＝11π12在函数f (x )的增区间内，所以令11π12ω＋π6＝2k π(k ∈Z )，解得ω＝24k －211(k ∈Z )．由函数图象可得最小正周期T >11π12，即2πω>11π12，解得ω<2411.又ω>0，故k ＝1，从而ω＝2211＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由f (a ＋x )－f (a －x )＝0，得f (a ＋x )＝f (a －x )，所以该函数图象的对称轴为直线x ＝a . 令2a ＋π6＝n π＋π2(n ∈Z )，解得a ＝n 2π＋π6(n ∈Z )．要求a 的最小正值，只需n ＝0，得a ＝π6，故选B.【答案】 B求解该题的难点是ω的确定，需要根据函数的周期与函数的零点所在位置列出条件，x ＝11π12在函数的增区间内，如果忽视这个隐含条件，就会得到11π12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，从而产生增解，无法得到正确的选项．故根据函数图象确定函数解析式时，要准确定位函数图象的特征性质．角度二函数零点(方程根)问题(2020·湖南株洲二模)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8恰有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫5π4，11π8 B ．⎣⎡⎭⎫9π4，7π2 C.⎝⎛⎦⎤5π4，11π8D ．⎝⎛⎦⎤9π4，7π2 【解析】由题意得方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8有三个不同的实数根．画出函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8的大致图象，如图所示．由图象得，当22≤a <1时，方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a 恰好有三个不同的实数根．令2x －π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π8.不妨设x 1<x 2<x 3，由题意得点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝π8对称，所以x 1＋x 2＝π4.又结合图象可得π≤x 3<9π8，所以5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8.故x 1＋x 2＋x 3的取值范围为⎣⎡⎭⎫5π4，11π8.故选A.【答案】 A巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键．1．(2020·山东烟台3月模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12，则当ω取最小值时，函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6 解析：选C.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象向右平移π6个单位长度后，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋φ的图象．因为所得函数图象关于y 轴对称，所以－ωπ6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝－6k －3＋6φπ，k ∈Z .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω＝－12＝sin ()π＋φ＝－sin φ，即sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.所以ω＝－6k －2，又ω>0，所以取k ＝－1，可得ωmin ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.故选C. 2．(2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 在区间(]0，π上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，2)B ．[0，2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋1)解析：选A.关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 可化为sin 2x ＋cos 2x ＝m －1，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12.易知sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12在区间(0，π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4.令2x ＋π4＝t ，即sin t ＝m －12在区间⎝⎛⎦⎤π4，9π4上有两个不同的实数根t 1，t 2. 作出y ＝sin t ⎝⎛⎭⎫π4<t ≤9π4的图象，如图所示，由|x 1－x 2|≥π4得|t 1－t 2|≥π2，所以－22≤m －12<22，故0≤m <2，故选A.三角函数实际问题中的核心素养已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5根据以上数据，(1)求函数f (t )的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．【解】 (1)由表格得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，b ＝1，又因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝f (t )＝12cos π6t ＋1.(2)由题意，令12cos π6t ＋1>1.25.即cos π6t >12，又因为t ∈[0，24]，所以π6t ∈[0，4π]，故0≤π6t <π3或5π3<π6t ≤2π或2π<π6t <2π＋π3或2π＋5π3<π6t ≤2π＋2π，即0≤t <2或10<t ≤12或12<t <14或22<t ≤24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．【解】连接MP (图略)．依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3，所以M (4，3)．又P (8，0)，所以|MP |＝（－4）2＋32＝5.即M ，P 两点相距5 km.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．[基础题组练]1．(2020·安徽蚌埠第二次数学质量检查)将函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将函数的图象向左平移π3个单位后，得到的函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 B ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋11π12 C ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12 解析：选B.f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象――→纵坐标不变横坐标缩小为原来的12y ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象――→向左平移π3个单位g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋1112π.故选B. 2．(2020·江西吉安期末教学质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为( )A.π2 B ．π4C.π6D ．π12解析：选B.将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为y ＝sin[3(x ＋φ)＋π4]，因为其图象经过原点，所以sin ⎝⎛⎭⎫3φ＋π4＝0，所以3φ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π3－π12，k ∈Z ，又φ>0，所以φ的最小值为π3－π12＝π4，故选B.3．(2020·湖南衡阳高中毕业联考(二))将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则( )A ．函数f (x )的最小正周期为23π，最大值为2B ．函数f (x )的最小正周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0中心对称 C ．函数f (x )的最小正周期为23π，图象关于直线x ＝π6对称D ．函数f (x )的最小正周期为π，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上是减少的解析：选D.对于g (x )，由题图可知，A ＝2，T ＝4⎝⎛⎭⎫2π9－π18＝2π3，所以ω＝2πT ＝3，则g (x )＝2sin ()3x ＋φ，又由g ⎝⎛⎭⎫2π9＝2可得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，所以φ＝－π6. 所以g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π，选项A ，C 错误．对于选项B ，令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2－π12，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )，所以选项B 是错误的；当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，5π6，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π3上是减函数，所以选项D 正确．故选D.4．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移π3个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝2π3B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝1，φ＝－π3D ．ω＝1，φ＝2π3解析：选A.函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移π3个单位后可得y ＝sin(ωx ＋πω3＋φ)．由函数的图象可知，T 2＝π3－(－π6)＝π2，所以T ＝π.根据周期公式可得ω＝2，所以y ＝sin(2x ＋φ＋2π3)．由图知当y ＝－1时，x ＝12×(π3－π6)＝π12，所以函数的图象过(π12，－1)，所以sin(5π6＋φ)＝－1.因为－π<φ<π，所以φ＝2π3.故选A.5．(2020·河南名校联盟联合调研)将函数g (x )＝2sin x ＋1的图象向左平移π3个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到函数f (x )的图象，若f (x 1)＝f (x 2)＝3，且－π≤x 2<x 1≤π，则x 1－2x 2的值为( )A ．πB ．π2C.5π6D ．23π12解析：选D.易求得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，因为f (x 1)＝f (x 2)＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，所以2x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以x ＝π12＋k π(k ∈Z )，由－π≤x 2<x 1≤π，得x 2＝－11π12，x 1＝π12，则x 1－2x 2＝π12－2×⎝⎛⎭⎫－11π12＝23π12. 6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知x 1，x 2∈(π2，π)，x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.解析：由题意可得A ＝2，34T ＝34×2πω＝11π12－π6＝34π，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝2，则ωx ＋φ＝2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，据此可得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，因为0<φ<π，令k ＝0可得φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)．当x ∈(π2，π)时，7π6<2x ＋π6<13π6，所以f (x )在此区间上的对称轴方程为x ＝2π3.由x 1，x 2∈(π2，π)，x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，可得x 1＋x 2＝4π3，则f (4π3)＝2sin(2×4π3＋π6)＝2sin 17π6＝2×12＝1.答案：17．函数y ＝cos(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象重合，则φ＝________．解析：把函数y ＝cos (2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，得到y ＝cos (2x －π＋φ)的图象，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象重合，则cos (2x －π＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以－π2＋φ＝－π3，则φ＝π6，答案：π68.(2020·武汉调研)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12；③f (x )在(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z 上是减函数；④f (x )的最大值为A .则正确的结论为________．(填序号)解析：由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×(54－14)＝2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点(14，0)和(54，0)，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12(14＋54)＋kT 2＝34＋k (k ∈Z )，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当14－T 4＋kT ≤x ≤14＋T4＋kT (k ∈Z )，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故④不正确．答案：①③9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的增区间．解：(1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，所以ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π12，0)，所以5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．10．(2020·济南模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1.(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0，3]，求函数f (x )的增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈[0，7π12]时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1 ＝32sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2＋b ＋1＝sin(2ωx ＋π6)＋32＋b . 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，所以2ω·π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，且ω∈[0，3]，所以ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32＋b .因为x ∈[0，7π12]，所以2x ＋π6∈[π6，4π3]．当2x ＋π6∈[π6，π2]，即x ∈[0，π6]时，函数f (x )是增加的；当2x ＋π6∈[π2，4π3]，即x ∈[π6，7π12]时，函数f (x )是减少的．又f (0)＝f (π3)，所以当f (π3)>0≥f (7π12)或f (π6)＝0时，函数f (x )有且只有一个零点，即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，所以b ∈(－2，3－32]∪{－52}．[综合题组练]1．(2020·河北衡水中学一调考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，其中M (m ，0)，N (n ，2)，P (π，0)，且mn <0，则f (x )在下列区间中具有单调性的是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B ．⎝⎛⎭⎫π4，2π3 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D ．⎝⎛⎭⎫2π3，π解析：选B.因为mn <0，所以m 、n 异号，根据题意可得m <0，n >0，又P (π，0)，所以T >π且3T 4<π，即π<T <4π3；①当周期无限接近π时，图中的最低点自左向右无限接近3π4，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫2π3，π上先减少后增加，不单调，故D 错；②当周期无限接近4π3又小于4π3时，图中最高点N 的横坐标大于0小于π4，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π4上先增加后减少，不单调，故A 错误；图中最低点的横坐标大于π2小于3π4，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π4上先减少后增加，不单调，故C 错．因此选B.2．(2020·江西南昌外国语学校高考适应性测试)将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π4ω个单位得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的图象关于直线x ＝ω对称且在区间()－ω，ω内是增加的，则ω的值为( )A.π2B ．3π2C.π4D ．3π2解析：选A.由题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4ω＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数g (x )的图象关于直线x ＝ω对称且在区间(－ω，ω)内是增加的，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，－π2＋2m π≤－ω2＋π4，m ∈Z ，ω2＋π4≤π2＋2m π，m ∈Z ，因此k ≥0，k π≤π2－2m π，k π≤2m π，k ，m ∈Z ，从而0≤π2－2m π，0≤2m π，m ∈Z ，即0≤m ≤π4，m ∈Z ，所以m ＝0，k ＝0，ω＝π2，选A.3．如图，将绘有函数f (x )＝3sin(ωx ＋5π6)(ω>0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若A ，B 之间的空间距离为10，则f (－1)＝________．解析：由题设并结合图形可知， AB ＝（3）2＋[（3）2＋（T2）2]＝6＋T 42＝6＋π2ω2＝10，得π2ω2＝4，则ω＝π2，所以f (－1)＝3sin(－π2＋5π6)＝3sin π3＝32.答案：324．若在区间(n ，m )上，函数f (x )＝2cos 2x 的图象总在函数g (x )＝－7－43sin x 的图象的上方，则m －n 的最大值为________．解析：根据题意，函数f (x )＝2cos 2x 的图象总在函数g (x )＝－7－43sin x 的图象的上方可以转化为2cos 2x >－7－43sin x 恒成立，即2cos 2x ＋7＋43sin x >0.根据二倍角公式化简为4sin 2x －43sin x －9<0⇒－32<sin x <332.因为sin x ∈[－1，1]，所以sin x ∈(－32，1]．在一个周期[－π2，3π2]上画出图象可得x ∈(－π3，4π3)，所以(m －n )max ＝5π3. 答案：5π3 5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＝a 有实数解，求a 的取值范围．解：(1)由图可得A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝2，可得2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12()k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )．(2)设g (x )＝f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，t ∈[－1，1]，记h (t )＝－4t 2＋2t ＋2＝－4⎝⎛⎭⎫t －142＋94，因为t ∈[－1，1]，所以h (t )∈⎣⎡⎦⎤－4，94，即g (x )∈⎣⎡⎦⎤－4，94，故a ∈⎣⎡⎦⎤－4，94.故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－4，94.6．已知函数f (x )＝3sin(2ωx ＋π3)(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点(－π3，0)，求当m 取得最小值时，g (x )在[－π6，7π12]上的增区间．解： (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin(2x ＋π3)． (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )＝3sin[2(x ＋m )＋π3]＝3sin(2x ＋2m ＋π3)的图象，根据g (x )的图象恰好经过点(－π3，0)，可得3sin(－2π3＋2m ＋π3)＝0，即sin(2m －π3)＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin(2x ＋2π3)．因为x ∈[－π6，7π12]，所以2x ＋2π3∈[π3，11π6]．当2x ＋2π3∈[π3，π2]，即x ∈[－π6，－π12]时，g (x )是增加的，当2x ＋2π3∈[3π2，11π6]，即x ∈[5π12，7π12]时，g (x )是增加的．综上，g (x )在区间[－π6，7π12]上的增区间是 [－π6，－π12]和[5π12，7π12]．。

高三数学一轮复习第3章第5课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用文

.
考点突破考点一 y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)(y＝
题型透析
Acos(ωx＋φ))的变换
先将 y＝sin x 按照题目中相反的方向变换可得函数 f(x)的表达式，再求 fπ6 的值．将 y＝sin x 的图象向左平移6π个单位长度可得 y＝sinx＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍可得 y＝sin12x＋π6的图象，故 f(x)＝sin12x＋π6. 所以 fπ6＝sin21×6π＋π6＝sin π4＝ 22.
)
A
.
教材梳理基础自测
二、图象变换
[自测 6] (课本精选)要得到函数 y＝3sin2x＋π4的图象，只需将函数 y＝
3sin 2x 的图象向________平移______个单位．
左
π 8
.
考点突破考点一 y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)(y＝
题型透析
Acos(ωx＋φ))的变换
{突破点1} y＝sin x 与 y＝Asin(ωx＋φ)间的平移方向当 ω>0 时，由 y＝sin x→y＝sin(x＋φ)＋h 利用“左加右减”，“上加下减”；由 y＝sin(x＋φ)→y＝sin x 时要逆向平移．
一、五点法作图
1．用五点法画 y＝Asin (ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点，
如下表所示.
ωx＋φ
0
π 2
π
32π
2π
x
0－φ π2－φ π－φ 32π－φ 2π－φ
ωωω
ω
ω
y＝Asin (ωx＋φ) 0
A
0
－A 0
.
教材梳理基础自测
一、五点法作图

高三数学一轮复习专题复习：《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 (45分钟　100分) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(2014·杭州模拟)要得到函数y=sin(3x-2)的图象,只要将函数y=sin3x的图象( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选D.因为y=sin(3x-2)=sin3,所以只需将函数y=sin3x的图象向右平移个单位,即可得到y=sin(3x-2)的图象. 2.(2014·九江模拟)把函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|1,所以 T0)个单位长度后得到函数g的图象,若f,g的图象都经过点P,则φ的值可以是( ) A. B. C. D. 【解析】选B.f(x)的图象向右平移φ个单位,g=sin, 由题解得θ=.将选项代入检验,φ=π. 5.(2014·衢州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+θ)的最小正周期是π,若将其图象向右平移个单位后得到的曲线关于原点对称,则函数f(x)的图象( )A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称【解析】选D.由题意知,将原点向左平移个单位即为函数y=f(x)的一个对称中心.又函数f(x)的相邻对称中心与对称轴相差=,故f(x)的一条对称轴为x=-+=-,又相邻对称轴相差=,故x=-+=是函数的一条对称轴. 6.(2014·金华模拟)函数f(x)=2x-tanx在上的图象大致为( ) 【解析】选C.函数f(x)=2x-tanx为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,B.当x→时,y0,0<φ0,ω>0)的图象.根据以上数据,你认为一日(持续24小时)内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )A.10小时B.8小时C.6小时D.4小时【思路点拨】根据表格数据求出函数解析式,再由y>1.25求解. 【解析】选B.依题意得解得A=0.5,b=1,ω=,则y=0.5cost+1. 令y=0.5cost+1>1.25(t∈[0,24])得cost>.又t∈[0,24],t∈[0,4π], 因此0≤t<或<t≤2π或2π≤t<2π+或2π+<t≤2π+2π,即0≤t<2或10<t≤12或12≤t<14或220)的部分图象如图所示,则f=. 【解析】由图象知函数f(x)的最小正周期T===,故ω=3, 又x=时,f(x)=0, 即2sin=0,可得φ=-+2kπ,k∈Z, 所以f=2sin=0. 答案:0 10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,-≤φ≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2,则ω=. 【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为2,而f(x)max-f(x)min=2,由勾股定理可得==2,所以T=4,所以ω==. 答案: 11.函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数,则φ=. 【解析】因为=π, 所以ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ), 其图象向左平移个单位后得到的函数为 f=sin=sin,由f为奇函数得φ+=kπ(k∈Z),因为|φ|0,-<φ<0)的最小正周期为π,且f=. (1)求ω和φ的值. (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象. 【解析】(1)因为函数f(x)的最小正周期T==π, 所以ω=2. 因为f=cos=cos=-sinφ=, 且-<φ<0,所以φ=-. (2)由(1)知f(x)=cos,列表如下: 2x- - 0 πππx 0 ππππf(x) 1 0 -1 0 图象如图: 14.(2014·温州模拟)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位后,得到的图象与函数g(x)=sin2x的图象重合. (1)写出函数y=f(x)的图象的一条对称轴方程. (2)若A为三角形的内角,且f(A)=,求g的值. 【解析】(1)由题意可知将函数g(x)=sin2x的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,即可得到f(x)的图象. 所以f(x)=sin. 由x-=kπ+,得x=kπ+(k∈Z). 故函数f(x)的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).(只要写出一个对称轴方程即可) (2)由f(A)=,得sin=. 因为0。