热流问题数值计算Chapter 5(1)

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传热与流体流动的数值计算-

当然,要在一本中等篇幅的书中完成这一雄心勃当然, 勃的任务而不摒弃许多重要的内容, 勃的任务而不摒弃许多重要的内容,这是不可能的. 因此本书只能简单地讨论控制所述过程的方程的因此本书只能简单地讨论控制所述过程的方程的数学形式.读者若需要了解有关方程的完整推导, 数学形式.读者若需要了解有关方程的完整推导, 就必须去查阅有关这一论题的许多标准教科对于紊流, 书.对于紊流,燃烧以及辐射这样一类复杂过程数学模型, 的数学模型,我们这里假设读者已经知道或是可以查得的. 以查得的. 对于数值解的题目本身,我们也不打算在此评述对于数值解的题目本身数值解的题目本身, 现有的所有方法并讨论它们的优点与缺点相反, 优点与缺点. 现有的所有方法并讨论它们的优点与缺点.相反, 我们将把注意力集中在作者已经使用, 我们将把注意力集中在作者已经使用,发展或有过贡献的一套特定的方法. 过贡献的一套特定的方法.
数值方法概念: 数值方法概念:设想我们希望求得图中所示域内的温度场. 求得图中所示域内的温度场.可以认为只要知道域内各离散点上的温度值就足够了. 的温度值就足够了. 一个可能的方法是想象一个充满该域的网格, 满该域的网格,并寻求在网格点上的温度值. 上的温度值. 于是我们就要构成并求解关于这些未知温度值的代数方程这些未知温度值的代数方程代数方程代替微分方程所组.用代数方程代替微分方程所固有的简化使得数值方法强有力并得以广泛应用. 并得以广泛应用.
具有模拟真实条件的能力可以很容易地模拟真实条件. 可以很容易地模拟真实条件.不用要采用缩小的模型,就一个计算机的程序而言, 模型,就一个计算机的程序而言,无论是具有很大或很小尺寸的物体,不论是处理很低或很高的温度, 或很小尺寸的物体,不论是处理很低或很高的温度, 也不论是控制有毒或易燃的物质, 也不论是控制有毒或易燃的物质,还是跟踪很快或很慢的过程,都几乎不会有任何困难. 很慢的过程,都几乎不会有任何困难. 具有模拟理想条件的能力人们有时用预测的方法来研究一种基本的物理现象,而不是一个复杂的工程问题. 现象,而不是一个复杂的工程问题.在研究某种现象的时候,人们希望把注意力集中在几个基本的参象的时候,人们希望把注意力集中在几个基本的参而要设法消除所有无关的因素数上而要设法消除所有无关的因素. 数上而要设法消除所有无关的因素.因此人们希望实现若干理想化的条件例如:二维状态, 若干理想化的条件, 实现若干理想化的条件,例如:二维状态,常密度一个绝热的表面或是无限的反应速率等.在计算中, 一个绝热的表面或是无限的反应速率等.在计算中, 人们很容易而又准确地约定这样的一些条件.相反, 人们很容易而又准确地约定这样的一些条件.相反, 即便是很小心地安排的实验也很难近似做到这种理想化的条件. 想化的条件.

热流问题的数值计算

整理，得
a PTP a E TE aW TW a N TN a S TS b
其中
rP r aE (x) e / e
rP r aW (x) w / w
0 P
rn x aN (y ) n / n
rs x aS (y ) s / s
( c) P V a t
0 0 0 a P a E aW a N a S a P S P V b S C V a P TP
aE , aW , aS , aN 都是相邻两节点间导热热阻的倒
0 a 数，具有热惯性意义， P热惯性越大，上一
时层的温度对下一时层的影响越大。
4.3 源项及边界条件的处理
离散方程为：
a PTP a E TE aW TW a N TN a S TS b
其中
r aE re ( ) e / e
r aW rw ( ) w / w
0 P
rn aN (r ) n / n
rs aS (r ) s / s
( c) P V a V 0.5(rn rs )r t
经整理，得
dT dT e Ae ( ) e w Aw ( ) w ( S C S p TP ) AP(3) x 0 dx dx
令
Ae e aE (x) e
Aw w aW (x) w
b S C AP x 则式（3）变为：
a P a E aW S P AP x
因为离散方程都可表示为
a PTP anbTnb b
aP anb S P V
线性代数方程迭代求解收敛的一个充分必要条件是对角占优，即：

热流密度的计算公式

热流密度的计算公式
热流密度，又称热通量密度，是指单位面积内通过的热量，通常用符号q表示，单位为瓦特/平方米（W/m²）。

热流密度的计算公式有多种形式，其中一种是：
q = ΔT × L × 1000 / S
其中，ΔT表示两端温度差，L表示导热长度，S表示传热面积。

这个公式适用于通过传导方式传递热量的情况。

另一种常见的热流密度计算公式是：
q = Φ / A
其中，Φ表示热流量，A表示传热面积。

这个公式适用于通过热对流或热辐射方式传递热量的情况。

另外，根据傅里叶定律，热流密度也可以表示为：
q = -λ × (dT / dx)
其中，λ表示导热系数，dT/dx表示温度在x方向上的梯度。

这个公式描述了热流密度与温度梯度之间的关系，适用于一维导热情况。

需要注意的是，热流密度的计算公式可能因不同的传热方式和条件而有所不同。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的公式进行计算。

丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案（源程序很详细,且运行无误）

丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案（源程序都是自己写的，很详细，且保证运行无误）我做的五章数值实验作业题目如下：第二章：1、2、3、4题第三章：1、2题第四章：1、2题第六章：2、3题第八章：1、2题第二章1：(1) 对A进行列主元素三角分解：function [l u]=myfun(A) n=size(A); for k=1:n for i=k:n sum=0; m=k; for j=1:(k-1) sum=sum+A(i,j)*A(j,k); end s(i)=A(i,k)-sum; if abs(s(m))<abs(s(i)) m=i; end end for j=1:n c=A(m,j); A(m,j)=A(k,j); A(k,j)=c; end for j=k:n sum=0; for r=1:(k-1) sum=sum+A(k,r)*A(r,j); end u(k,j)=A(k,j)-sum; A(k,j)=u(k,j); end for i=1:n l(i,i)=1; end for i=(k+1):n sum=0; for r=1:(k-1) sum=sum+A(i,r)*u(r,k); end l(i,k)=(A(i,k)-sum)/u(k,k); A(i,k)=l(i,k); end end 的列主元素三角分解：求A的列主元素三角分解：>>A=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;1 3 6 10 15;1 4 10 20 35;1 5 15 35 70]; >>[L,U]=myfun(A) 结果：L = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0.5000 1.0000 0 0 1.0000 0.7500 0.7500 1.0000 0 1.0000 0.2500 0.7500 -1.0000 1.0000 U = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 4.0000 14.0000 34.0000 69.0000 0 0 -2.0000 -8.0000 -20.5000 0 0 0 -0.5000 -2.3750 0 0 0 0 -0.2500 (2) 求矩阵的逆矩阵A -1: inv(A) 结果为：ans = 5 -10 10 -5 1 -10 30 -35 19 -4 10 -35 46 -27 6 -5 19 -27 17 -4 1 -4 6 -4 1 （3）检验结果：E=diag([1 1 1 1 1]) A\E ans = 5 -10 10 -5 1 -10 30 -35 19 -4 10 -35 46 -27 6 -5 19 -27 17 -4 1 -4 6 -4 1 2: 程序：程序：function d=myfun(a,b,c,d,n) for i=2:n l(i)=a(i)/b(i-1); a(i)=l(i); u(i)=b(i)-c(i-1)*a(i); b(i)=u(i); y(i)=d(i)-a(i)*d(i-1); d(i)=y(i); end x(n)=d(n)/b(n); d(n)=x(n); for i=(n-1):-1:1 x(i)=(d(i)-c(i)*d(i+1))/b(i); d(i)=x(i); end 求各段电流量程序：求各段电流量程序：for i=2:8 a(i)=-2; end b=[2 5 5 5 5 5 5 5]; c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; V=220; R=27; d=[V/R 0 0 0 0 0 0 0]; n=8; I=myfun(a,b,c,d,n) 运行程序得：运行程序得：I = 8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.0477 3：程序：（1）求矩阵A和向量b的matlab程序：function [A b]=myfun(n) for i=1:n X(i)=1+0.1*i; end for i=1:n for j=1:n A(i,j)=X(i)^(j-1); end end for i=1:n b(i)=sum(A(i,:)); end 求n=5时A1，b1及A1的2-条件数程序运行结果如下：条件数程序运行结果如下： n=5；[A1,b1]=myfun(n) A1 = 1.0000 1.1000 1.2100 1.3310 1.4641 1.0000 1.2000 1.4400 1.7280 2.0736 1.0000 1.3000 1.6900 2.1970 2.8561 1.0000 1.4000 1.9600 2.7440 3.8416 1.0000 1.5000 2.2500 3.3750 5.0625 b1 = 6.1051 7.4416 9.0431 10.9456 13.1875 cond2=cond(A1,2)cond2 = 5.3615e+005 条件数程序运行结果如下：求n=10时A2，b2及A2的2-条件数程序运行结果如下：n=10; [A2,b2]=myfun(n) A2 = 1.0000 1.1000 1.2100 1.3310 1.4641 1.6105 1.7716 1.9487 2.1436 2.3579 1.0000 1.2000 1.4400 1.7280 2.0736 2.4883 2.9860 3.5832 4.2998 5.1598 1.0000 1.3000 1.6900 2.1970 2.8561 3.7129 4.8268 6.2749 8.1573 10.6045 1.0000 1.4000 1.9600 2.7440 3.8416 5.3782 7.5295 10.5414 14.7579 20.6610 1.0000 1.5000 2.2500 3.3750 5.0625 7.5938 11.3906 17.0859 25.6289 38.4434 1.0000 1.6000 2.5600 4.0960 6.5536 10.4858 16.7772 26.8435 42.9497 68.7195 1.0000 1.7000 2.8900 4.9130 8.3521 14.1986 24.1376 41.0339 69.7576 118.5879 1.0000 1.8000 3.2400 5.8320 10.4976 18.8957 34.0122 61.2220 110.1996 198.3593 1.0000 1.9000 3.6100 6.8590 13.0321 24.7610 47.0459 89.3872 169.8356 322.6877 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 16.0000 32.0000 64.0000 128.0000 256.0000 512.0000 b2 = 1.0e+003 * 0.0159 0.0260 0.0426 0.0698 0.1133 0.1816 0.2866 0.4451 0.6801 1.0230 cond2=cond(A2,2) cond2 = 8.6823e+011 条件数程序运行结果如下：求n=20时A3，b3及A3的2-条件数程序运行结果如下：n=20; [A3,b3]=myfun(n) A3 = 1.0e+009 * Columns 1 through 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 11 through 20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0006 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0007 0.0015 0.0032 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0006 0.0014 0.0032 0.0075 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0005 0.0012 0.0029 0.0070 0.0167 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0004 0.0009 0.0023 0.0058 0.0146 0.0364 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0006 0.0017 0.0044 0.0113 0.0295 0.0766 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0011 0.0030 0.0080 0.0215 0.0581 0.1570 0.0000 0.0001 0.0002 0.0007 0.0018 0.0051 0.0143 0.0400 0.1119 0.3133 0.0000 0.0001 0.0004 0.0010 0.0030 0.0086 0.0250 0.0726 0.2105 0.6103 0.0001 0.0002 0.0005 0.0016 0.0048 0.0143 0.0430 0.1291 0.3874 1.1623 b3 = 1.0e+009 * Columns 1 through 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0010Columns 11 through 20 0.0025 0.0059 0.0132 0.0287 0.0606 0.1246 0.2494 0.4874 0.9316 1.7434 cond2=cond(A3,2) cond2 =3.2395e+022 由上述运行结果可知：它们是病态的，而且随着n的增大，矩阵的病态变得严重。

传热学：第四章导热问题数值解法

t m,n
1 t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m ,n 1 4
•二维导热问题；网格线；
沿x、y方向的间距为x、 y；网格单元。
每个节点温度就代表了它所在网格单元的温度。 p(m,n)
•此方法求得的温度场
在空间上不连续。
•网格越细密、节点越多，结果越接近分析解 •网格越细密，计算所花时间越长
2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的
场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解
按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而
获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；
3) 实验法就是在传热学基本理论的指导下，采用实
验对所研究对象的传热过程进行测量的方法。 3 三种方法的特点 1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；
t m,n 1 2t m,n t m,n 1 2t 同理： 2 y y 2 m,n
将以上两式代入导热微分方程得到节点（m,n）的温度离散方程： t tm,n1 2tm,n tm,n1 m 1, n 2t m , n t m 1, n 0 2 2 x y
x y 上式可简化
第三类边界条件： y x
qw h(t f tm,n )
2hx 2hx x 2 tm1,n tm,n1 2 tf 0 tm,n 2
(3) 内部角点
y t m 1,n t m ,n y y qw 2 x x 2 t m ,n 1 t m ,n x x t m ,n 1 t m ,n x qw 2 y 2 y 3xy 0 4

流体流动与传热的数值计算

①在本书学习的基础上自学，钻研、编制有关的程序； ②今后办相关学习、研讨班，同学可参加； ③建立工作上的联系。
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14
§2、预测有关物理现象的方法
❖ 1．实验研究
❖ 最可靠的数据资料往往来源于实验，如化工过程设备的气动性能，塔、反应器、流化床，…的操作性能、流体力学性能等的实验研究；核爆实验等…。采用实物实验研究可抓住特征、重点的试验，直观、明确的观察→对于掌握有关外部现象与基本性能之间的本质关系有重要意义。
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§3 本课程基本内容与安排
第一部分基本理论
预计课时
❖ 第一章绪论
2
❖ 第二章数学描述
3
❖ 第三章离散化方法
4
❖ 第四章热传导与扩散
4
❖ 第五章对流传热与扩散
4
❖ 第六章流场计算
4
❖ 第七章求解方法、方法修饰 2
❖ 第八章专题
2
❖ 第九章应用实例
1
实际 2 3 4 6 6 6 2 2 1
20.8.16
20
优缺点 4) 缺点：一分为二的观点，缺点难免存在。 a. 数学模型的适用限度是关键因素，对于一些数学模型尚不清楚的过程（如复杂紊流、某些非牛顿流、多相流、相变过程、流变化等等）。有待于进一步的模型研究如紊流模型、非牛顿流体模型、二相气液流等；需要提出模型，计算分析→较正模型，深化完善模型。需要的是弄清楚模型：伴有传质过程、复杂化学反应、动力学等等。30多年来模型研究在不断发展完善更接近于真实。
& Profile ) 4) 求各传递系数 ( Heat Transfer Coefficient, Mass Transfer

传热学第5章1

Φ = ∫ qx dA = ∫ hx ( tw − tf ) x dA = ( tw − tf ) ∫ hx dA A A A
1 h( 对照式 Φ = A h( tw－tf ) 可得 h = ∫A hx dA A
如何确定表面传热系数的大小是对流换热计算的核心问题，也是本章讨论的主要内容。核心问题，也是本章讨论的主要内容。
3）能量微分方程（能量守恒）能量微分方程（能量守恒）
y
单位时间由导热进入微元体 Φλ , x+dx 的净热量和由对流进入微元体的 dy Φλ , x Φh , x Φh , x+dx 净热量之和等于微元体热力学能 Φλ , y Φh , y 的增加，的增加， dU 0 x Φλ + Φh = dx dτ 单位时间由导热进入微元体的净热量
流体导热系数
Department of Power Engineering, North China Electric Power University (Beijing 102206) 杨立军知识产权与使用权归华北电力大学能源与动力工程学院所有
NCEPU
按照牛顿冷却公式 ∂t qx = hx ( tw − t∞ ) x = −λ ∂y λ ∂t hx = − ( tw − t∞ ) x ∂ y y =0, x
qx = hx ( tw − tf ) x
杨立军知识产权与使用权归华北电力大学能源与动力工程学院所有
Department of Power Engineering, North China Electric Power University (Beijing 102206)
NCEPU
等壁温，等壁温，( tw − tf ) x = tw − tf = 常数

热流问题的数值计算

热流问题经常表现出非线性特性，如热传导、热对流和热辐射等。这些非线性效应使得数值求解变得更加复杂和困难。
迭代方法
为了求解非线性热流问题，需要采用迭代方法，如 Newton-Raphson方法、Gauss-Seidel方法和SOR 方法等。这些方法需要在每一步迭代中进行线性化和求解线性方程组，因此需要高效的算法和数值方法。
04
数值计算的应用
工程传热问题
热传导
在机械、航空航天、能源等领域中，热传导是常见的传热方式，数值计算可以模拟热流在固体中的传递过程，优化热设计。
热对流
流体与固体之间的热量交换，如流体加热器、核反应堆等，数值计算可以模拟对流换热过程，优化热工性能。
生物医学中的热流问题
生物传热
生物体内的热量传递对生理功能和疾病诊断具有重要意义，数值计算可以模拟生物体内的热量分布和变化，为医学诊断和治疗提供依据。
06
结论
研究成果总结
01
数值计算方法在热流问题中得到了广泛应用，为解决实际问题提供了有效的工具。
02
数值计算方法能够模拟复杂的热流现象，为实验研究和理论分析提供有力支持。
03
数值计算方法在解决实际工程问题中取得了显著成果，如传热、流体动力学和燃烧等领域的模拟。
04
数值计算方法在热流问题中仍存在一些挑战，如高精度算法、复杂边界条件和多物理场耦合等。
热流的物理特性
01
热流是热量传递的速率，其大小取决于温度梯度、材料属性以及热流方向。
02
在稳态条件下，热流与温度梯度成正比，即
$பைடு நூலகம் = -k frac{partial u}{partial n}$
03

流体流动与传热的数值计算

24.3.19
23
§3 本课程基本内容与安排
第一部分基本理论
预计课时
❖ 第一章绪论
2
❖ 第二章数学描述
3
❖ 第三章离散化方法
4
❖ 第四章热传导与扩散
4
❖ 第五章对流传热与扩散
4
❖ 第六章流场计算
4
❖ 第七章求解方法、方法修 2
❖ 第八章专题
2
❖ 第九章应用实例
1
实际 2 3 4 6 6 6 2 2 1
24.3.19
12
三、本课程的目的
❖ 数值求解有关过程的方法很多，但本课程不打算介绍所有现成的方法，这样只会把同学们搞糊涂，感到茫然、不知所措。
❖ 本课程主要介绍由Patankar教授与Spalding教授所开创的（通用）数值计算方法。学习和掌握这一套方法后即可用以计算分析在科研工作中可能遇到的实际问题，并可在此基础上学习、掌握其他数值计算方法。
8. 陶文铨，数值传热学, 9. 陈义良，湍流计算模型
10. 粘性流体力学，
11. E.R.G. Eckert，对流传热传质（中译本）
24.3.19
4
目录
❖ 第一章 ❖ 第二章 ❖ 第三章 ❖ 第四章 ❖ 第五章
❖ 第六章 ❖ 第七章 ❖ 第八章 ❖ 第九章
24.3.19
5
第一章序言（论）
§1 本课程范围 ❖ 一、课程范围 ❖ 1. 工程设备、自然环境及生物机体中出现的
❖ 但试验的代价→昂贵，某些时候甚至不可能实现，尤其是在大型工业化装置上进行实验更为困难。
❖ →只能针对已有的现象或装置做→很难用于开发。1： 1，逐渐放大→大大影响了我国化学工业的发展。

第五章对流-扩散方程的离散格式

令 F u ，D （扩导）则上式可变为： x
aP P aE E aW W
aE 1 1 De Fe aW Dw Fw 2 2
式⑴
a p aE aW
在数值计算中，若连续性方程始终得到满足，aP仍为相邻各系数的和。aE, aW包括了扩散与对流作用的影响。
对于坐标系I，C位于界面之后，而D位于界面之前，于是： J * B( P )C A( P ) D 对于坐标系II，D位于界面之后，而C 位于界面之前，于是：
J B( P ) D A( P )C
*

由于
J J
*
*'
C [ B( P ) A( P )] D [ A( P ) B( P )]
动量方程的压力梯度项处理涉及到压力与速度的耦合问题。
5.1.1 对流项离散格式的重要性对流项离散格式是否合适将会影响： ⑴ 数值解的准确性（假扩散误差）； ⑵ 数值解的稳定性； ⑶ 数值解的经济性。
5.1.2 构造对流项离散格式的两种方式
1、Taylor展开方式对于节点上的一阶导数给出其相应的离散方式，如表5-1。
aW (i 1) a E (i) 1 1 (1 P ) (1 P ) P D D 2 2
迎风差分(FUD)：
aW Dw Fw ,0 Dw 1 Pw ,0
aE De Fe ,0 De 1 Pe ,0
exp( Pe ) 1
Fe ；
Fw exp( Pw ) aW exp( Pw ) 1
aP aE aW ( Fe Fw )
5.3.4 乘方格式(Power-law scheme)

数值传热学绪论热流问题的数值计算课件01

注意
1.4数值传热学及常用的数值方法
1.4.1数值传热学求解问题的基本思想:
把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场，用一系列有限个离散点（称为节点）上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关系的代数方程（称为离散方程），求解的建立起来的代数方程以获得所求解变量的近似值。如图1-7所表示（见下页）。
1.3控制方程的数学分类及基对数值解的影响
1.3.1偏微分方程的3种类型
双曲型(hyperbolic)；抛物型（parabolic）；椭圆型（elliptic）.
1.3.2椭圆型方程
描写物理学中一类稳态问题，这种物理问题的变量与时间无关而需要在空间的一个闭区域内来求解。如图1-4所示。各节点上的代数方程必须联立求解，而不能先解得区域中某一部分上的值后再去确定其余地区上的值。
u-动量方程:
v-动量方程:
w-动量方程:
流体的第2 分子黏度
流体的动力粘度
矢量形式为：
其中
为3个动量方程的广义
源项，其表达式为：
对粘性为常数的不可压缩流体
于是式（1-6）简化成为：
1.1.3能量守恒方程
对图1-1所示的微元体应用能量守恒定律：
[微元体内热力学能的增加率]=[进入微元体的净热流量]+[体积力与表面力对微元体做的功]
再引入导热Fourier定律，可得出用流体比焓h及温度T表示的能量方程：
导热系数
耗散函数
流体的内热源
为由于粘性作用机械能转换为热能的部分，其计算式如下：
对不可压流体有：
1.1.4控制方程的通用形式
1.1.5几点说明:
1. 式（1-4）是三维非稳态Navier-Stokes方程，无论对层流或湍流都是适用的。

数值传热第五章课件2陶文铨

主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER2010年10月18日, 西安数值传热学第五章对流扩散方程的离散格式(2)对流项离散格式的重要性及两种离散方式5.5.1假扩散的含义与成因5.5.2一阶截差格式引起严重假扩散举例1.本来的含义2.扩充的含义3.Taylor 展开法的分析5.5关于假扩散的讨论5.5.3网格倾斜交叉引起的计算误差5.5.4 非常数源项引起的假扩散5.5.5 两个名例以一维非稳态纯对流过程为例俩分析，其中有两n nφφ2(,O x φΔΔ其中关于时间的二阶导数项可做如下变化：时才没有这部分的计算误差。

2. 扩充的含义现有文献中常常将较大的计算误差都称为假扩散，大致有以下几项原因：(1) 一阶导数的一阶截差格式；(2) 流动方向与网格线呈倾斜交叉；(3) 离散格式未计及非常数源项的影响。

5.5.2一阶截差格式引起严重假扩散举例1.一维稳态对流扩散问题对流项用FUD，扩散项用CD，当Pe较大时，数值计算结果严重偏离精确解。

Physically plausible solution纯对流传递纯对流传递由离散方程：1n−1此时只有对流，没有扩散！时则有严重假扩散！0.8C =0.8C =当时，产生了严重的扩散作此种误差称为流向假扩散Γ≠Γ气流01. 设UE对P 控制容积，有2. 设控制容积，此时：计算误差纯对流传递三个对流问题的归纳这就是假扩散纯对流传递3)网格倾斜交叉引起的计算误差E冷热流体之间产生了温度均匀化的过程，即交叉5.5.5 已知流场计算温度场232(1),2(1)u y x v x y =−=−−参考解xT严重假扩散2) Leonard细高方腔中的自然对流换热5.6.1采用高阶格式克服流向假扩散5.6可以克服或减轻假扩散的格式与方法5.2.2 克服、减轻交叉假扩散的方法1. 采用二阶迎风2.采用三阶迎风3. 采用QUICK 格式1. 采用有效扩散系数2.采用自适应网格4. 采用SGSD 格式可以克服或减轻假扩散的格式与方法相当于界面上的中心差分)W WWxφ+Δ如型线上凹，则(2) FVM向上游取两点定义界面插值2.采用三阶迎风展开定义－一阶导数的三阶偏差分格式3. 采用定义－界面的插值在中心差分基础上考虑曲中心差分插值率修正？需要满足两个条件：插值的正确修正：相邻(2)0W PE φφφ−+<型线下凹8Cur −对e-界面u e 小于零时，取,,W P φφφu e 大于零时，取怎样相邻的三点?QUICK(2)e φφ=1/2w i φφ−=有：4. 采用CD条件稳定，但没有二阶假扩散；二阶迎风绝对稳定，组合起来，但是：如何确定值，特别是如何由计算结果来5. 高阶格式实施中的问题f u f计算边界：固o2) 代数方程的求解：等时，5.6.2用减小扩散系采用自适应网格（以减轻流5.7 对流-扩散方程离散形式稳定性分析5.7.1 数值计算中常见的三种不稳定性5.7.2 分析对流项格式不稳定性的“符号不变原则”5.7.3 稳定性分析结果讨论5.7.4 对流项格式问题讨论小结2.“符号不变”原则的基本思想3. “符号不变”原则的实施步骤4. “符号不变”原则的实施例子1. 研究背景扩散方程离散形式稳定性分析也会产生振荡的解，称为对流项离散格式的不稳态定性，研究目的是，找出产生振荡的临界Peclet 数。

第四章_导热问题的数值方法

5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。

首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT k e w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。

如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。

式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。

进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。

为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。

常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。

1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeE e e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6）2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。

控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。

导热问题的数值解法

(m-1,n)
(m, n)
(m+1,n)
y
(m,n-1)
y o
x
x
16
x
第四章导热问题的数值解法
以二维、稳态、以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时：此时：
Φ +Φ +Φ左＋右 +Φv = 0 Φ 下上
dt dt Φ 左 = λ A = λ y dx dx
可见：当温度场还没有求出来之前，可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 d t d x 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们假定温度呈分段线性分布，假定温度呈分段线性分布，如图所示
x x 2
λ
x 2
Φ=0 Φ
4tm ,n = tm1,n + tm+1,n + tm ,n+1 + tm ,n1 +
λ
第四章导热问题的数值解法
19
无内热源时：无内热源时：
4 t m , n = t m 1 , n + t m + 1 , n + t m , n + 1 + t m , n 1 +
第四章导热问题的数值解法 21
1.边界节点离散方程的建立： 1.边界节点离散方程的建立：边界节点离散方程的建立
qw
(1) 平直边界上的节点
tm1,n tm ,n + yqw λy x x tm ,n+1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n +λ +λ 2 y 2 y x m ,n y = 0 +Φ 2
第四章导热问题的数值解法

热流问题的数值计算方法研究

热流问题的数值计算方法研究热流问题是自然科学中一个重要的研究方向，尤其在工程领域中，涉及到众多的热传导、辐射和对流等问题。

因此，掌握热流问题的数值计算方法具有非常重要的实际意义。

热流问题的数值计算方法主要包括有限差分法、有限体积法、有限元法等。

这些方法都基于数学模型，通过数值计算方法求解热流问题的数值解。

在这些方法中，常用的有限差分法具有较高的实用性和易实现性。

有限差分法的基本思想是将物体空间离散化为若干个网格点，通过差分近似求解偏微分方程。

最简单的情况是一维的热传导问题，其数学模型为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u$ 是物体的温度分布，$\alpha$ 是热扩散系数。

我们可以将空间和时间都进行离散化，得到如下的差分格式：$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=\alpha \frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}$$其中，$u_i^n$ 表示在空间位置 $x_i$ 和时间 $t_n$ 的温度值，$\Delta x$ 和$\Delta t$ 分别是空间和时间的步长。

利用以上差分格式，我们可以得到相应的求解方法，例如Crank-Nicolson方法、ADI方法等。

这些方法在工程领域中广泛应用，例如在建筑物、汽车及机械设备等的热力学设计中。

除有限差分法外，还有有限体积法和有限元法等数值计算方法也同样适用于热流问题的解析。

有限体积法与有限差分法类似，但是它将空间体积离散为若干个体积，用具体的物理现象描述一定体积内的物理量变化。

由此我们便可以推导出描绘体积内物理量变化的数学公式，这些公式可以通过数值方程化来计算。

有限体积法具有局部性和坐标独立性，因此尤其适用于非结构网格和不规则网格的情况下。

有限元法也是一种常用的数值计算方法，与有限体积法和差分方法不同，有限元法通过对偏微分方程进行变分推导，将被求解的问题转换成求解一组代数方程的问题。

传热学第四章热传导问题的数值解法

控制容积：节点代表的区域
n
y
y x
x
m
2018年11月14日6时52分杨祥花
M
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下： • 首先划分各节点的类型； • 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时，有：
y *1(tm1,n tm,n )
y *1(tm1,n tm ,n ) x x x *1(tm,n1 tm,n ) x *1(tm,n1 tm,n ) 0 y y
在稳态下，流向任何节点的热量总和必定为0
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
2018年11月14日6时52分杨祥花
二、控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。
对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量守恒的表
达式。流入控制体的总热流量+控制体内热源生成热=流出控制体的总热流+控制体内能的增量如图所示，从节点 (m-1,n) 通过界面 w 传导到节点 (m,n) 的热流量：（垂直纸面方向 tm1,n tm,n 取单位长度） w y x 同理：通过界面 e,n,s 传导给节点（ m,n ）的热流量也可求得（省略）
杨祥花
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
2018年11月14日6时52分
tm 1,n
tm 1,n
t x 2 2t tm ,n x x m,n 2 x 2
t x 2 2t tm,n x x m ,n 2 x 2
x 3 3t 3 6 x m,n

传热与流体流动数值计算(1~3章)-PPT精选文档

• 可以代表无因次的变量 • 热、质传递，流体流动，紊流以及有关的一些现象的所有有关微分方程都可以看成通用方程的一个特殊情况；可以只编写一个求解通用方程的程序，对不同意义的重复使用这个程序； • 对不同的需要对相应的和S分别赋以各自合适的表达式，同时给出合适的初始条件和边界条件。
坐标的合适选择
恰当明智地选择坐标系统有时可以减少所需要的自变量数。并非只能使用直角坐标系，任何一种描述空间位置的方式都是可以采用的。例子： –1. 在一个静止的坐标系上看以恒定速度飞行的飞机周围的流体流动是非稳态的；但是相对于固定在飞机上的移动坐标系而言，流动是稳态的。 –2. 在一圆管内的轴对称流动于直角坐标系内是三维的，但在r，θ，z的圆柱极坐标系内则是二维的。 –3. 坐标变换可能用来进一步减少自变量数量。 –4. 改变因变量可能导致自变量数目的减少。
恰好在第三项之后截断级数，两方程相加相减得到：
3 1 d 2x dx 2
d 2 1 3 2 2 dx 2 ( x )2 2 代入微分方程就推出有限差分方程。
假设：φ的变化多少有点像x的一个多项式，从而高阶导数项不那么重要。
传热与流体流动的数值计算
[美] S.V. 帕坦卡著同济大学机械工程学院朱彤
本课程学习内容
• • • • • • • 物理现象的数学描述离散化方法扩散项处理对流与扩散流场的计算湍流数学模型 Fluent基础知识介绍
参考书目
• 传热与流体流动的数值计算——[美] S.V. 帕坦卡 • 湍流——是勋刚 • 湍流计算模型——陈义良 • 数值传热学——陶文铨
其中h是比焓，k是导热系数，T是温度，Sh是容积发热率

对流换热---讲义

在y方向上导入的净热量：
在x方向上流入的净热量
2t 2 dxdy y
u t ucptdy c p u dx t dx dy x x u t u t ucp tdy c p dy ut tdx udx dxdx x x x x u t u t c p t dxdy c p u dxdy c p dxdxdy x x x x
略去高次项后得
t u c p t u dxdy x x
同理得Y方向上的净热量
v t c p t v dxdy y y 单位时间内的微元控制体内的焓增 dxdyc p t
代入热力学第一定理得
t 2t 2t dxdycp 2 dxdy 2 dxdy x y u t v t c p t u t v dxdy x x y y
对流换热
§5-1 对流换热概述
对流换热:流体流过固体壁面情况下所发生的热量交换. 对流换热以牛顿冷却公式为其基本计算式,即
q ht
或对于面积为A的接触面
hAtm
其中t 为换热面积A上的平均温差.约定q 及总是取正值,因此t及tm也要求取正值.
一.对流换热的分类
1.按动力分
二、对流传热的基本公式 ( h 的确定方式)
q 滑移边界条件
W
t A y
y 0
令上两式相等则有
t Ah t A y
则
y 0
t h t y
y 0
§5-2
一、假设条件
对流换热问题的数学描述
为简化分析,对于影响常见对流换热问题的主要因素,做如下假设: (1) 流动是二维的; (2) 流体为不可压缩的牛顿流体; (3) 流体物性为常数,无内热源; (4) 流速不高,忽略粘性耗散(摩擦损失) ; (5) 流体为连续性介质

热流问题数值计算Chapter 5(1)

传热与流体流动的数值计算-

热流问题的数值计算

热流密度的计算公式

丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案（源程序很详细,且运行无误）

传热学：第四章 导热问题数值解法

流体流动与传热的数值计算

传热学第5章1

热流问题的数值计算

流体流动与传热的数值计算

第五章 对流-扩散方程的离散格式

数值传热学绪论热流问题的数值计算课件01

数值传热第五章课件2陶文铨

第四章_导热问题的数值方法

导热问题的数值解法

热流问题的数值计算方法研究

传热学第四章 热传导问题的数值解法

传热与流体流动数值计算(1~3章)-PPT精选文档

对流换热---讲义

传热学：第四章导热问题数值解法

第五章对流-扩散方程的离散格式

传热学第四章热传导问题的数值解法