最新-2018届高三数学一轮复习课时作业(18)同角三角函数的基本关系式与诱导公式 江苏专版 精品
2018年高三数学(文)一轮复习课件 同角三角函数的基本关系及诱导公式
4.2
同角三角函数的基本关系及诱导公式
知识梳理 核心考点
-12-
∵α 是三角形内角, ∴
4 sin������ = 5 , ∴tan 3 cos������ = - 5 ,
α=- .
tan2 ������+1 . 1-tan2 ������
4 3
1 (2) 2 cos ������-sin2 ������
思考同角三角函数基本关系式有哪些用途?
解 (1)联立方程
1 sin������ + cos������ = , 5
sin2 ������ + cos2 ������ = 1.② 由①得 cos α=5-sin α,将其代入②, 整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
1
①
第四章
考点1 考点2 考点3
=
2 4 tan2 ������+1 -3 +1 25 = =- 7 . 1-tan2 ������ 4 2 1- -3
4
5
5.(教材习题改编P22T3)已知tan θ=2,则sin θcos θ=
.
关闭
sin 2 θcos θ=
5
sin������· cos������ sin2 ������+cos2 ������
=
tan������ tan2 ������+1
=
2 22 +1
= .
解析
2 5
关闭
答案
第四章
知识梳理 双基自测 自测点评
第四章
考点1 考点2 考点3
4.2
同角三角函数的基本关系及诱导公式
知识梳理 核心考点
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高考数学科学复习创新方案：同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式[课程标准]1.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式±π2，α±π理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：02sin αcos α＝tan α．2．六组诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；sin α＝tan αcos ≠π2＋k π，k ∈sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝≠π2＋k π，k ∈cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝≠π2＋k π，k ∈1．(人教B 必修第三册7.2.3练习A T 1(2)改编)若cos α＝13，α－π2，tan α＝()A ．－24B.24C ．－22D ．22答案C解析由已知得sin α＝－1－cos 2α＝－1－19＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝－22.故选C.2．已知cos31°＝a ，则sin239°tan149°的值为()A.1－a 2a B.1－a 2C.a 2－1a D ．－1－a 2答案B解析sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.3．(人教B 必修第三册第七章复习题A 组T 6改编)已知tan θ＝2，则3sin α＋2cos α4sin α－3cos α＝________．答案85解析∵tan θ＝2，∴原式＝3tan α＋24tan α－3＝3×2＋24×2－3＝85.4．(人教A 必修第一册习题5.2T 12改编)已知αtan α＝2，则cos α＝________．答案55解析∵α∴sin α＞0，cos α＞0，∵tan α＝2＝sin αcos α，sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝55.5．(人教A 必修第一册5.3例4改编)α－π)cos(2π－α)的结果为________．答案－sin 2α解析原式＝sin αcos α(－sin α)cos α＝－sin 2α.角度常规问题例1(1)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝()A.12B ．－12C.32D ．－32答案A解析由三角函数定义，得tan α＝32sin α，所以sin αcos α＝32sin α，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2023·全国乙卷)若θtanθ＝12，则sinθ－cosθ＝________．答案－55解析因为θsinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝sinθcosθ＝12，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sinθ＝－5 5(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－55.利用同角三角函数的基本关系式求值的三个基本题型1.(2023·长郡十八校联盟联考)已知第二象限角α的终边上有两点A(－1，a)，B(b，2)，且cosα＋3sinα＝0，则b－3a＝()A．－7B．－5C．5D．7答案A解析因为cosα＋3sinα＝0，所以3sinα＝－cosα，所以tanα＝－13，又因为tanα＝a－1＝2b，所以a＝13，b＝－6，所以b－3a＝－7.故选A.2．(2024·东莞模拟)已知2sin2θ－3sinθ－2＝0，θ－π2，cosθ的值为()A.3 3B.32C.22D.12答案B解析因为θ－π2，sin θ∈(－1，1)，cos θ>0，因为2sin 2θ－3sin θ－2＝(2sin θ＋1)·(sin θ－2)＝0，则sin θ＝－12，因此cos θ＝1－sin 2θ＝32.故选B.角度“1”的变换例2(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝()A ．－65B ．－25C.25D.65答案C解析解法一：因为tan θ＝－2，所以sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin θ＋cos θ）2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.故选C.解法二：sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝cos 2θ(tan 2θ＋tan θ)．由tan θ＝sin θcos θ＝－2，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得cos 2θ＝15.所以sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝cos 2θ(tan 2θ＋tan θ)＝15×(4－2)＝25.故选C.对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值问题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．(2023·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2)，则sin 2α1－3sin αcos α＝________．答案－4解析因为角α的终边上有一点P (1，2)，所以tan α＝2.所以sin 2α1－3sin αcos α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α－3sin αcos α＝tan 2αtan 2α＋1－3tan α＝2222＋1－3×2＝－4.角度sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例3(2023·济南模拟)已知α－π2，sin α＋cos α＝55，则tan α的值为________．答案－12解析∵sin α＋cos α＝55，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝15，∴sin αcos α＝－25＜0，∴sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝95＝(sin α－cos α)2，又α－π2，∴sin α＜0，cos α＞0，∴cos α－sin α＝355，∴sin α＝－55，cos α＝255，∴tan α＝－12.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．(2024·青岛调研)若sin θ＋cos θ＝233，则sin 4θ＋cos 4θ＝()A.56B.1718C.89D.23答案B解析由sin θ＋cos θ＝233，平方得1＋2sin θcos θ＝43，∴sin θcos θ＝16，∴sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－＝1718.故选B.例4(1)(2023·北京市八一中学模拟)若角α的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是()A ．sin(π＋α)B ．cos(π－α)C ．D ．答案D解析因为角α的终边在第三象限，所以sin α<0，cos α<0.对于A ，sin(π＋α)＝－sin α>0；对于B ，cos(π－α)＝－cos α>0；对于C ，sin α>0；对于D ，cos α<0.故选D.(2)化简：tan （π＋α）cos （2π＋α）2cos （－α－3π）sin （－3π－α）＝________．答案－1解析cos （3π＋α）[－sin （3π＋α）]tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(3)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，sin(75°＋α)＝－1－cos 2（75°＋α）＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－513－1213＝－1713.利用诱导公式化简求值的基本步骤提醒：用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等．1.(2024·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且13，则cos ()A.223 B.23C.26D.526答案A解析∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴223，∴－π2＝＝223.故选A.2．(2023·咸阳模拟)已知角α终边上一点P (sin1180°，cos1180°)，那么cos(3α＋60°)＝()A．0 B.12C．1 D.32答案D解析∵|OP|＝sin21180°＋cos21180°＝1，∴sinα＝cos1180°＝cos(100°＋3×360°)＝cos100°＝－sin10°＝sin(－10°)，cosα＝sin1180°＝sin(100°＋3×360°)＝sin100°＝cos10°＝cos(－10°)，∴α＝－10°＋k·360°(k∈Z)，cos(3α＋60°)＝cos(－30°＋3k·360°＋60°)＝cos30°＝32.故选D.例5(1)(2023·南京二模)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．如表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留两位有效数字)()α10°20°30°40°sinα0.17360.34200.50000.6428α50°60°70°80°sinα0.76600.86600.93970.9848A.－0.42B．－0.36C．0.36D．0.42答案B解析tan1600°＝tan(4×360°＋160°)＝tan160°＝－tan20°＝－sin20°cos20°＝－sin20°sin70°＝－0.34200.9397≈－0.36.故选B.(2)(2023·聊城模拟)已知角α为锐角，且2tan(π－α)－5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα＝()A.355B.377C.31010D.13答案C解析β－2tan α＋5＝0，α－6sin β－1＝0，消去sin β，得tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，因为α为锐角，所以sin α＝31010.(1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．1.(2023·吉安模拟)已知＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)的值为()A.45B ．－45C ．±45 D.35答案B解析∵＝－35，∴sin α＝－35.∵α是第四象限角，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.故选B.2．(2023·黄山模拟)已知＝1cos x ，则sin x ＝()A.3－12B.5－12C.1－52D.－1±52答案B解析由1cos x ，可得cos x sin x ＝1cos x，即cos 2x －sin x ＝0，即sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x故选B.课时作业一、单项选择题1．(2024·衡阳月考)若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为()A ．3B ．－3C ．1D ．－1答案B解析因为角α的终边在第三象限，所以sin α<0，cos α<0，所以原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.2．设sin25°＝a ，则sin65°cos115°tan205°＝()A.a 21－a 2B ．－a 21－a 2C ．－a 2D ．a 2答案C解析因为sin65°＝cos25°，cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°，tan205°＝tan(180°＋25°)＝tan25°＝sin25°cos25°，所以sin65°cos115°tan205°＝－sin 225°＝－a 2.3．(2023·湖北四校联考)已知角α是第二象限角，且满足3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝()A.3B ．－3C ．－33D ．－1答案B解析由3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－12，∵角α是第二象限角，∴sin α＝32，∴tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－3.4．(2024·泰安质检)已知＝13，则cos ()A.13B.223C ．－13D ．－223答案A解析－π12＋＝13.5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (3)＝3，则f (2024)的值为()A ．－1B ．1C ．3D ．－3答案D解析∵函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，∴f (3)＝a sin(3π＋α)＋b cos(3π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝3，∴a sin α＋b cos β＝－3.∴f (2024)＝a sin(2024π＋α)＋b cos(2024π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－3.故选D.6．(2023·辽宁校考一模)已知角αsin4π5，α的最小正值为()A.π5B.3π10C.4π5D.17π10答案D解析因为4π5＝π2－所以sin 4π5＝sin π2－而cos4π5＝cos π2－＝sin，所以角α终边上的点的坐标可写为α＝－3π10＋2k π，k ∈Z ，因此α的最小正值为－3π10＋2π＝17π10.故选D.7．(2023·益阳模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝()A.110B.310C.910D ．－32答案C 解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12tan α＝－3，∴sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝sin 2α－sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－3tan 2α＋1＝910.故选C.8．(2024·青岛模拟)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a ＝cos θ，b ＝sin θ＋cos θ，c ＝cos θ－sin θ，对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局2tan θsin θ若0<θ<π4，则我方必胜的排序是()A ．a ，b ，cB ．b ，c ，aC ．c ，a ，bD ．c ，b ，a答案D解析因为当0<θ<π4时，sin θ>0，cos θ>0，tan θ>0，sin θ－tan θ＝sinθ（cosθ－1）cosθ<0，所以sinθ<tanθ<2，cosθ－sinθ<cosθ<sinθ＋cosθ，即c<a<b.又b2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ>1，所以b＝sinθ＋cosθ>1>tanθ，a＝cosθ>sinθ，c＝cosθ－sinθ<2，故类比“田忌赛马”，我方必胜的排序是c，b，a.故选D.二、多项选择题9．在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sin C B．sin B＋C2＝cos A2C．tan(A＋B)＝－tanD．cos(A＋B)＝cos C答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C；sin B＋C2＝cos A2；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tancos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C.10．(2024·淄博调研)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A．θB．cosθ＝－35C．tanθ＝－34D．sinθ－cosθ＝75答案ABD解析因为sinθ＋cosθ＝15，所以1＋2sinθcosθ＝125，所以2sinθcosθ＝－2425<0，又θ∈(0，π)，所以θA正确；进而可得sinθ>cosθ，因为(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，所以sinθ－cosθ＝75，D正确；θ＋cosθ＝15，θ－cosθ＝75，解得sinθ＝45，cos θ＝－35，进而得tan θ＝－43，故B 正确，C 错误．故选ABD.11．(2023·宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案AC解析∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，∴sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，∴sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题12．(2023·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2640°)＋tan1665°＝________．答案1解析原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2640°＋2880°)＋tan(1665°－1620°)＝sin150°＋cos240°＋tan45°＝sin30°－cos60°＋1＝12－12＋1＝1.13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin138°，cos138°)，则tan(α＋18°)＝________．答案－33解析因为cos138°<0，sin138°>0，所以点P 在第四象限，即α为第四象限角，由三角函数定义得tanα＝cos138°sin138°＝cos（90°＋48°）sin（90°＋48°）＝－sin48°cos48°＝sin（－48°）cos（－48°）＝tan(－48°)，所以α＝－48°＋k·360°，k∈Z，所以tan(α＋18°)＝tan(－48°＋k·360°＋18°)＝tan(－30°)＝－33.14．(2023·浙江名校协作体检测)已知π2－－7π2＋＝1225，且0<α<π4，则sinα＝________，cosα＝________．答案354 5解析－π2－－7π2＋cosα(－sinα)＝sinαcosα＝1225.∵0<α<π4，∴0<sinα<cosα.αcosα＝1225，2α＋cos2α＝1，得sinα＝35，cosα＝45.四、解答题15．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解由已知得tanα＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＋12＋1＋2＝13 5 .16．(2023·郴州质检)已知－π2<α<0，且函数f (α)＝sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．解(1)∵－π2<α<0，∴sin α<0，∴f (α)＝sin α－sin α·（1＋cos α）21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)解法一：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，即2sin αcos α＝－2425，∴sin αcos α＝－1225.又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝－75.α＋cos α＝15，2α＋cos 2α＝1，α＝－35，α＝45α＝45，α＝－35.∵－π2<α<0，α＝－35，α＝45，∴sin αcos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.17．是否存在α－π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos 3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解存在．由sin(3π－α)＝2cos sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α－π2，∴cos α＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sin β＝12，由②知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sin β＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．。
2018届高三数学一轮复习课时作业18同角三角函数的基本
课时作业(十八) [第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．cos(－2040°)＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝( )A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.5123.1－π＋π＋等于( ) A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±(sin2－cos2) D ．sin2＋cos24．[2018·泰安期末] 已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( )A.53 B ．－134 C.135 D.134 能力提升5．已知sin θ－cos θ＝13，则sin2θ的值为( )A ．－23 B.23 C ．－89 D.896.⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin xC ．cos x D.1tan x7．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.238．[2018·福建六校联考] 已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－139．[2018·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是________．11．[2018·苏州五市三区期中] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝________.12．(13分)已知f (α)＝π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值．难点突破 13．(6分)(1)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2x cos 2x －sin2x＝( ) A.195 B ．－195 C.113 D ．－113(6分)(2)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( ) A ．30° B．150°C ．30°或150° D．60°或120°课时作业(十八)【基础热身】1．B [解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12.2．A [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213.3．A [解析] 1－2sin(π＋2)cos(π＋2)＝sin 22＋cos 22－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2，又∵sin2－cos2>0，故选A.4．D [解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝32tan α＋12tan α＝3＋14＝134，选择D. 【能力提升】5．D [解析] 将sin θ－cos θ＝13两边平方得：1－2sin θcos θ＝19，sin2θ＝2sin θcos θ＝89.6．D [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.7．B [解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ－－cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.8．C [解析] 因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，平方可得sin θcos θ＝a 2－12<0，因为－π2<θ<π2，故－π2<θ<0，且cos θ>－sin θ，∴|cos θ|>|sin θ|，∴|tan θ|<1，－1<tan θ<0，满足题意的值为－13.9．－55[解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1， ∴cos x sin x －1＝12. 11.13 [解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝13.12．[解答] (1)f (α)＝sin αcos α－sin αsin α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝－sin α＝15，∴sin α＝－15. 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－313π＝－6×2π＋53π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋53π ＝－cos 53π＝－cos π3＝－12.【难点突破】13．(1)B (2)A [解析] (1)f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195.故选B. (2)两式平方再相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12，∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°，故选A.。
下学期高三数学课时作业18：同角三角函数的基本关系式与诱导公式(附答案)
课时作业18同角三角函数的基本关系式与诱导公式时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知cos α＝45，α∈(－π4，0)，则sin α＝( )A ．－35B.35C ．±35D ．以上都不对解析：∵cos α＝45，α∈(－π4，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－452＝－35.答案：A 2.1－＋＋等于( )A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±(sin2－cos2)D ．sin2＋cos2解析：原式＝1－2－sin2－cos2 ＝1－2sin2cos2＝|sin2－cos2|， ∵sin2>0，cos2<0，∴原式＝sin2－cos2. 答案：A3．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2解析：由cos(－80°)＝k ，得cos80°＝k ， ∴sin80°＝1－k 2，∴tan100°＝tan(180°－80°)＝－tan80°＝－1－k 2k .答案：B4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：由⎩⎨⎧ cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1，①②将①代入②得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－55.∴tan α＝2. 答案：B5．(2013·东莞模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.答案：D6．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (2 011)＝3，则f (2 012)的值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．1 解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝3. ∴a sin α＋b cos β＝－3，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－3. 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(tan x ＋1tan x )cos 2x 化简的结果是__________．解析：(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos xsin x )cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.答案：1tan x8．(2013·德州模拟)已知角α终边上一点P (－4,3)，则π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值为__________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.答案：－349．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为__________．解析：sin(3π4－α)＝sin(π4＋α)＝32.答案：32三、解答题(共55分) 10．(15分)已知sin(3π＋θ)＝13，求＋θcos θ－θ－1]＋θ－θ－3π2θ－－3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝ －cos θcos θ－cos θ－＋－θ－3π2－θ－θ＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ ＝21－cos 2θ＝2sin 2＝2－132＝18.11．(20分)已知：sin α＋cos α＝13.(1)求sin2α的值．(2)求sin 4α＋cos 4α的值． 解：(1)sin α＋cos α＝13，两边平方得：1＋sin2α＝19，sin2α＝－89.(2)sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－3281＝4981.12．(20分)(2013·常州模拟)已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两根． (1)求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2＋θ)的值；(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．解：由已知，原方程判别式Δ≥0， 即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2－2a －1＝0，∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2＋θ)＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2. (2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－(tan θ＋1tan θ)＝－(sin θcos θ＋cos θsin θ)＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.。
高考数学大一轮复习课时作业18同角三角函数的基本关系式与诱导公式理95
课时作业(十八) 第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式时间 / 45分钟 分值 / 100分 基础热身1.sin 585°的值为 ( ) A .√22B .-√22C .√32 D .-√322.已知sin (π3-α)=13,则cos (5π6-α)= ( )A .13B .-13C .2√23D .-√233.[2018·湖北八校联考] 已知sin(π+α)=-13,则tan (π2-α)的值为 ( ) A .2√2 B .-2√2 C .√24D .±2√24.[2018·重庆一中月考] 已知2sin α-cos α=0,则sin 2α-2sin αcos α的值为( )A .-35 B .-125 C .35D .1255.已知θ∈(-π2,0),若cos θ=√32,则sin θ= .能力提升6.在△ABC 中,若sin(A+B-C )=sin(A-B+C ),则△ABC 必是 ( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形7.[2018·湖北七市联考] 已知α∈(0,π),且cos α=-513,则sin (π2-α)·tan α=( )A .-1213B .-513C .1213 D .5138.[2018·柳州联考] 已知tan θ=4,则sin α+cos α17sin α+sin 2α4的值为 ( )A .1468 B .2168 C .6814 D .68219.[2019·安阳一模] 若1+cos αsin α=3,则cos α-2sin α= ( )A .-1B .1C .-25D .-1或-2510.[2018·合肥质检] 在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P (sin 5π3,cos5π3),则sin(π+α)=( ) A .-√32B .-12C .12D .√3211.[2018·贵州凯里一中月考] 若sin θ-cos θ=43,且θ∈(34π,π),则sin(π-θ)-cos(π-θ)= ( )A .-√23B .√23C .-43 D .4312.[2019·咸宁联考] 已知cos(π-α)=15,则sin (α+π2)= . 13.已知α∈(0,π2),tan α=3,则sin 2α+2sin αcos α= .14.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .15.(10分)已知-π<x<0,sin(π+x )-cos x=-15.(1)求sin x-cos x 的值; (2)求sin2α+2sin 2α1−tan α的值.16.(10分)已知关于x 的方程2x 2-(√3+1)x+m=0的不相同的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π).(1)求sin 2αsin α-cos α+cos α1−tan α的值; (2)求m 的值;(3)求方程的两根及此时θ的值. 难点突破17.(5分)[2018·浙江名校协作体模拟] 已知sin -π2-αcos (-7π2+α)=1225,且0<α<π4,则sinα= ,cos α= .18.(5分)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x+π)=f (x )+sin x ,当0≤x<π时,f (x )=0,则f (23π6)= .课时作业(十八)1.B [解析] sin 585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=-sin 45°=-√22,故选B . 2.B [解析] 由题意知cos (5π6-α)=cos [π2+(π3-α)]=-sin (π3-α)=-13.故选B .3.D [解析] ∵sin(π+α)=-13,∴sin α=13,∴cos α=±2√23,∴tan (π2-α)=cos αsin α=±2√2,故选D .4.A [解析] 由2sin α-cos α=0,得tan α=12,所以sin 2α-2sin αcosα=sin 2α-2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α-2tan αtan 2α+1=(12)2-2×12(12)2+1=-35.故选A .5.-12[解析] 因为sin 2θ+cos 2θ=1,所以sin 2θ=1-cos 2θ=1-34=14.因为θ∈(-π2,0),所以sin θ=-12.6.C [解析] ∵A+B=π-C ,A+C=π-B ,∴sin(A+B-C )=sin(π-2C )=sin 2C ,sin(A-B+C )=sin(π-2B )=sin 2B ,则sin 2B=sin 2C ,∴B=C 或2B=π-2C ,即B=C 或B+C=π2,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选C .7.C [解析] 由α∈(0,π),且cos α=-513,可得sin α=1213,α∈(π2,π),故sin (π2-α)·tanα=cos α·sin αcos α=sin α=1213.8.B [解析]sin α+cos α17sin α+sin 2α4=tan α+117tan α+sin 2α4(sin 2α+cos 2α)=tan α+117tan α+tan 2α4(tan 2α+1)=4+168+1668=2168,故选B .9.C [解析] 由已知得3sin α=1+cos α>0,∴cos α=3sin α-1,两边平方得cos 2α=1-sin 2α=(3sin α-1)2,解得sin α=35,∴cos α-2sin α=3sin α-1-2sin α=sin α-1=-25,故选C .10.B [解析] 因为sin5π3=sin (2π−π3)=-sin π3=-√32,cos5π3=cos (2π−π3)=cos π3=12,所以P (-√32,12),所以sin α=12√(-√32)2+(12)2=12,则sin(π+α)=-sin α=-12.11.A [解析] 由sin θ-cos θ=43,得1-2sin θcos θ=169,所以2sin θcos θ=-79<0. 因为θ∈(34π,π),所以sin(π-θ)-cos(π-θ)=sin θ+cos θ=-√(sin α+cos α)2=-√1+2sin αcos α=-√23.故选A .12.-15 [解析] ∵cos(π-α)=15,∴cos α=-15,∴sin (α+π2)=cos α=-15.13.32 [解析] sin 2α+2sin αcos α=sin 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tan αtan 2α+1=9+69+1=32.14.0 [解析] 原式=cos α√sin 2α+cos 2αcos 2α+sin α√sin 2α+cos 2αsin 2α=cos α|cos α|+sin α|sin α|,因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α|cos α|+sin α|sin α|=-1+1=0. 15.解:(1)由已知得sin x+cos x=15,两边同时平方得sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125,整理得2sin x cos x=-2425,∴(sin x-cos x )2=1-2sin x cos x=4925.由-π<x<0知sin x<0, 又sin x+cos x>0,∴cos x>0,∴sin x-cos x<0,故sin x-cos x=-75. (2)sin2α+2sin 2α1−tan α=2sin α(cos α+sin α)1−sin αcos α=2sin αcos α(cos α+sin α)cos α-sin α=-2425×1575=-24175.16.解:(1)由题意知,sin θ≠cos θ, 且sin θ+cos θ=√3+12, 所以原式=sin 2αsin α-cos α+cos α1−sin αcos α=sin 2αsin α-cos α+cos 2αcos α-sin α=sin 2α-cos 2αsin α-cos α=sin θ+cos θ=√3+12. (2)由题意知,sin θ+cos θ=√3+12,sin θ·cos θ=α2.因为sin 2θ+2sin θcos θ+cos 2θ=1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2, 所以1+m=(√3+12)2, 解得m=√32.(3)由{sin α+cos α=√3+12,sin α·cos α=√34,得{sin α=√32,cos α=12或{sin α=12,cos α=√32.又θ∈(0,2π),所以θ=π3或θ=π6.17.35 45 [解析] 易知sin (-π2-α)cos (-7π2+α)=-cos α·(-sin α)=sin αcos α=1225.因为0<α<π4,所以0<sin α<cos α,故由{sin αcos α=1225,sin 2α+cos 2α=1,可得{sin α=35,cos α=45. 18.12 [解析] 由f (x+π)=f (x )+sin x ,得f (x+2π)=f (x+π)+sin(x+π)=f (x )+sin x-sinx=f (x ),所以f (23π6)=f (11π6+2π)=f (11π6)=f (π+5π6)=f (5π6)+sin5π6.因为当0≤x<π时,f (x )=0,所以f (23π6)=0+12=12.。
高三一轮复习精题组同角三角函数基本关系与诱导公式(有详细的答案解析)..
§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式1． 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2． 下列各角的终边与角α的终边的关系3.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( × )(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π2，π]，则m <－5或m ≥3.( × )(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－33.( × )(6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是－13.( √ )2． 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.3． 若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.4． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 5． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －15，x >2 000，则f [f (2 015)]＝________.答案 －1解析 ∵f [f (2 015)]＝f (2 015－15)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 23π＝－1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.(2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54C ．－34D.45思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x ，可得tan x ； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求． 答案 (1)43(2)D解析 (1)∵cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－35.又x ∈(π，2π)， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan x ＝sin x cos x ＝43. (2)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.(1)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案 (1)A (2)25解析 (1)由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos xsin x －1＝12.(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25.题型二 诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.思维升华 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． (2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.答案 (1)－13 (2)－916解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. (2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.题型三 三角函数式的求值与化简例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪 三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式． 解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23.(2)原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·(－sin (π＋α)) ＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.思维升华 在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．(1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0， 则sin (2π－α)·sin (π＋α)·cos (π＋α)sin (3π－α)·cos (π－α)＝________.答案 (1)D (2)－255解析 (1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角．故选D.(2)原式＝－sin α·(－sin α)·(－cos α)sin α·(－cos α)＝sin α，∵tan α＝2>0，∴α为第一象限角或第三象限角． 又sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角， 由tan α＝sin αcos α＝2， 得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝－255.方程思想在三角函数求值中的应用典例：(5分)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.思维启迪 利用同角三角函数基本关系，寻求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的关系． 规范解答解析 方法一 因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.方法二 同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169.弦化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0. 所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.方法三 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713sin 2θ＋cos 2θ＝1得，⎩⎨⎧sin θ＝1213cos θ＝－513或⎩⎨⎧sin θ＝－513cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.答案 －125温馨提醒 三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用．利用已知条件sin θ＋cos θ＝713和公式sin 2θ＋cos 2θ＝1可列方程组解得sin θcos θ，sin θ－cos θ，也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件θ∈(0，π)的运用，谨防产生增解.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1． 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2． 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sinθcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1． 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．2． 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3． 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15C.513D ．－513答案 D解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1.又sin α<0，∴sin α＝－513.2． 已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.3． 已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于( )A.25B ．－25C.25或－25D ．－15答案 B解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B. 4． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.5． 已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 ( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α＝2； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋π＋α)sin α＋cos (2n π＋π＋α)cos α＝－2. 故A 的值构成的集合为{－2,2}．二、填空题6． 化简：sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________. 答案 －1解析 原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1. 7． 如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π2)＝________. 答案 265 解析 ∵cos α＝15，α为第一象限角， ∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－(15)2＝265， ∴cos(α＋3π2)＝sin α＝265. 8． 化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝________.答案 1解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 三、解答题9． 已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值． 解 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值．解 由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝asin θcos θ＝a，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1． 已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是 ( ) A.229B ．－229C ．－19 D.19 答案 B解析 ∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229. 2． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是 ( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 当0<x <π4时，0<tan x <1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x， 设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥1[t ＋(1－t )2]2＝4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立． 3． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 4． 已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f (π2 014)＋f (503π1 007)的值． 解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π2 014)＋f (503π1 007) ＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014 ＝sin 2π2 014＋sin 2(π2－π2 014) ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 5． 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75.② ∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， ∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.。
2018高三数学(理)一轮复习课时作业(十九) 同角三角函数的基本关系及诱导公式
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sinα＋cosα＝①
将①两边平方得1＋2sinα·cosα＝，
故2sinαcosα＝－.
∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－＝，
又∵<α<π，∴sinα>0，cosα<0.
∴sinα－cosα＝.
答案：
9．(2017·福建漳州二模)已知θ是三角形的一个内角，且sinθ、cosθ是关于x的方程4x2＋px－2＝0的两根，则θ等于________．
课时作业
[授课提示：对应学生用书第221页]
一、选择题
1．若α∈，sinα＝－，则cos(－α)＝()
A．－B.
C.D．－
解析：因为α∈，sinα＝－，所以cosα＝，即cos(－α)＝.
答案：B
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于()
A．－B．－
C.D.
解析：∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
＝＝＝.
答案：D
5．(2017·江西赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为()
A.B．－
C．2D．－
解析：由题意可得tanα＝2，所以cos＝－sin2α＝＝＝－.故选B.
答案：B
6．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2 016)＝5，则f(2 017)的值是()
∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.∵|θ|<，∴θ＝.
答案：D
3．已知sin＝，则cos＝()
A.B．－
C.D．－
解析：∵cos＝sin
高三江苏专版数学一轮复习课时作业(18)同角三角函数的基本关系式与诱导公式.pdf
速度（第1课时） 班级 姓名 【学习目标】 1．知道比较物体运动快慢的基本方法。
通过比较物体运动快慢不同，理解速度概念。
2．能从速度的意义出发，理解速度公式的构建过程，并能利用公式进行简单的计算。
3．知道速度单位的建立过程，能进行速度单位的换算。
4.会利用刻度尺和秒表测物体的速度； 【课前准备】 请你通过阅读课本，看看能否回答： 1．物理上的速度与你以前所学的速度相同吗？（从“定义”、“公式的写法”、“单位”等方面说说看） 2．物理上与速度有关的计算与你以前所学的相同吗？（从写法上找找看） 【课堂学习】 问题1 怎样比较物体的运动快慢？ 活动5.5 比较纸片下落的快慢(课本P110~) 方法一： 相同,比 , 运动的快; 方法二： 相同,比 , 运动的快; 例1．在日常生活中，我们常用两种方法来比较物体运动的快慢。
下面是在校运动会上，某同学观察百米赛跑，借助于这两个图来说明这两种方法。
甲图表明：_________________________； 乙图表明：_________________________。
如果路程、时间都不同，怎样比较运动的快慢？ 问题2 物理学中是用什么来表示(描述)物体运动快慢的? 读课文，做填空： (1)物理学中用 描述物体运动的快慢; (2)速度(大小)定义:速度大小等于物体 ; (3)速度的公式: (v表示 ; s表示 ; t表示 ) (4)速度的单位: (主要) ; 、 (常用) 换算:1m/s=km/h.1cm/s= m/s， 例2． 甲物体的速度是18 km/h.，乙物体的速度是6m/s，哪个物体运动得快？ 读课文，“一些速度”： 思考： （1）小汽车正常行驶的速度是多大？怎样知道行驶中汽车的速度？（2）人正常步行的速度是多少？怎样测量人正常步行的速度？ 例4．如图3所示是公路旁常见的路牌标志牌，“60”表示： ； “68km”表示： 。
问题3 怎样测量物体的速度？ 一般原理是： 测量的物理量是： 测量工具是： 活动5.6 测量纸片下落的速度(课本P110~) 问题4 怎样用速度公式计算简单问题？ 例 5．课本例题（P110） 例6．连云港市东海县毛北村的科学钻井工程被誉为“亚洲第一井”。
高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析 原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析 由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152， 即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一 诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析 由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析 由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案 －33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二 同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2， 故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析 由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23， 则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1， 整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0， 解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级 基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析 由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析 原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案 －43解析 由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5， 又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级 能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析 因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案 －74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59， 所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23， 即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。
2018届高三理科数学一轮复习课时作业20 同角三角函数的基本关系与诱导公式 解析版
课时作业（二十） 同角三角函数的基本关系与诱导公式[练基础小题——强化运算能力]1．若α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( ) A ．－45B.45C.35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，则cos(－α)＝cos α＝45. 2．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. 4．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________.解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．sin(－600°)的值为( ) A.32B.22 C ．1D.33解析：选A sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝32. 2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34得tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，可得，sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.4．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：选B 因为2tan α·sin α＝3，所以2sin 2αcos α＝3，所以2sin 2α＝3cos α，即2－2cos 2α＝3cos α，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，又－π2<α<0，所以sin α＝－32.5．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin θ·cos θ＝3716，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.34解析：选D ∵sin θ·cos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.6．(2017·长沙模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知，sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcosθ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.二、填空题7．化简：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝________. 解析：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α. 答案：－cos 2α8．若f (α)＝sin[(k ＋1)π＋α]·cos[(k ＋1)π－α]sin (k π－α)·cos (k π＋α)(k ∈Z)，则f (2 017)＝________.解析：①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z)，原式＝sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋π－α)sin (2n π－α)·cos (2n π＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；②当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z)， 原式＝sin[(2n ＋2)π＋α]·cos[(2n ＋2)π－α]sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上所述，当k ∈Z 时，f (α)＝－1，故f (2 017)＝－1. 答案：－19．若角θ满足2cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin (π＋θ)－3cos (π－θ)＝3，则tan θ的值为________． 解析：由2cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin (π＋θ)－3cos (π－θ)＝3，得2sin θ＋cos θ－2sin θ＋3cos θ＝3，等式左边分子分母同时除以cos θ，得2tan θ＋1－2tan θ＋3＝3，解得tan θ＝1.答案：110．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为________．解析：∵sin A ＋cos A ＝15 ①，①式两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，则(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，∵角A 为△ABC 的内角，∴sin A >0， 又sin A cos A ＝－1225<0，∴cos A <0， ∴sin A －cos A >0， 则sin A －cos A ＝75②.由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.答案：－43三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2， 又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.。
高考数学第一轮考点复习课件 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：
考 纲
sin2x＋cos2x＝1，csoinsxx＝tanx.
要 求
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
热 点 提 示
同角三角函数的基本关系式和诱导公式是三角函 数部分的重要基础知识，对三角函数的考查都会 涉及到这部分知识，在高考中除了和其他知识一 起综合考查外，有时也直接考查，直接考查时常 以小题形式出现.
sinx＋cosx＝15 ① ， sin2x＋cos2x＝1 ② 由①得 sinx＝15－cosx，将其代入②，整理得 25cos2x－5cosx－12＝0.
∵－π2<x<0，∴scionsxx＝＝－45 35
，
所以 sinx－cosx＝－75.
解法二：∵sinx＋cosx＝15，
∴(sinx＋cosx)2＝(15)2，
解：(1)f(α)＝sinα·ctaonsααs·(i－nαtanα)＝－cosα. (2)∵cos(α－32π)＝－sinα， ∴sinα＝－15，cosα＝－ 525－12＝－25 6， ∴f(α)＝25 6.
【例 1】 已知 sin(3π＋α)＝2sin(32π＋α)，求下列 各式的值．
(1)5ssiinnαα－＋42ccoossαα；(2)sin2α＋sin2α.
▪ 1．由一个角的一个三角函数值求其他三 角函数值时，要注意讨论角的范围．
▪ 2.注意公式的变形使用，弦切互化、三角 代换、消元是三角代换的重要方法，要尽 量减少开方运算，慎重确定符号．
▪
▪ 3.注意“1”的灵活代换，如1＝sin2α＋ cos2α.
▪ 4.应用诱导公式时，重点是“函数名称” 与“正负号”的正确判断，一般常用“奇 变偶不变，符号看象限”的口诀．
高考数学总复习 课时作业18 同角三角函数的基本关系及
课时作业(十八) 同角三角函数的基本关系及诱导公式A 级1．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 4π3＋3sin 2π3等于( ) A ．1 B.13 C ．0D ．－12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33B.33C ．－ 3 D. 33．若cos(2π－α)＝223，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin ()π＋α＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.234．“tan α＝34”是“sin α＝－35”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－26．已知3sin π＋α＋cos －α4sin －α－cos 9π＋α＝2，则tan α＝________.7．已知α∈()π，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝－35，则sin(3π＋α)的值为________． 8．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若f (2 012)＝－1，则f (2 013)等于________．9．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________.10．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π·tan α－πcos 3π－α的值．11．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根． (1)求角A .(2)若1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，求tan B.B 级1．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)； ④sin 7π10cos πtan17π9.其中符号为负的有( ) A ．① B ．② C ．③D ．④2．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin 2xcos 2x＝________. 3．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋2n ＋1π]＋sin[α－2n ＋1π]sin α＋2n πcos α－2n π(n ∈Z )．详解答案课时作业(十八)A 级1．C 原式＝－sin π3－2sin π3＋3sin π3＝0.2．D cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.3．C 由已知得cos α＝223，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－13；sin(π＋α)＝－sin α＝13.4．D 因为tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±35，当sin α＝－35时，tan α＝±34，所以“tan α＝34”是“si n α＝－35”的既不充分也不必要条件． 5．A 由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12. 6．解析： 由已知得－3sin α＋cos α－4sin α＋cos α＝2，则5sin α＝cos α，所以tan α＝15.答案： 157．解析： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35， 即cos α＝－35，又α∈(π，2π)，∴sin α＝－45.∴sin(3π＋α)＝s in(π＋α)＝－sin α＝45.答案： 458．解析： 由诱导公式知f (2 012)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 013)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)， ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案： 19．解析： 由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：31010．解析： (1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上． 由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·co s α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为5411．解析： (1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0， 得sin A ＝0(舍去)，sin A ＝32， ∴A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝23π时不成立，∴A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3， 得sin 2B －sin B c os B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.B 级1．C sin(－ 1000°)＝sin 80°>0； cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0； tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴sin 7π10cos πtan17π9>0.2．解析： ∵f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －sin x ，∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )， 即3sin x ＝cos x ， 得ta n x ＝13，于是sin 2x －sin 2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos x cos 2x ＝tan 2x －2tan x ＝19－23＝－59. 答案： －593．解析： ∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32； (2)sin[α＋2n ＋1π]＋sin[α－2n ＋1π]sin α＋2n π·cos α－2n π＝sin2n π＋π＋α＋sin －2n π－π＋αsin 2n π＋α·c os －2n π＋α＝sin π＋α＋sin －π＋αsin α·cos α＝－sin α－sin π－αsin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.。
高考数学一轮复习 课时作业18 同角三角函数的基本关系及诱导公式 理-人教版高三全册数学试题
课时作业18 同角三角函数的基本关系及诱导公式A ．－2B ．－ 2C ．－24 D ．－28解析：通解 由sin θ＝13且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知cos θ＝－223，∴tan θ＝－13223＝－24，故选C.优解 如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝1，AB ＝22，易知sin A ＝13，则tan A ＝122＝24，又sin θ＝13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝π－A ，故tan θ＝－24. 答案：C5．[2019·某某测试]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－35，选D.答案：D6．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：B7．[2019·某某联考]已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．－33D ．－1 解析：解法一 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－12，∵角α是第二象限角，∴sin α＝32，∴tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－3，故选B.解法二 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－12，∵角α是第二象限角，∴可取α＝2π3，∴tan(π＋α)＝tan 2π3＝－3，故选B.答案：B8．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝( ) A ．－25 B.25C.25或－25 D ．－15解析：∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2－22＋1＝－25. 答案：A 9．已知A ＝sink π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. 答案：C10．[2019·某某七校联考]已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2解析：依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 答案：A 二、填空题11．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于________．解析：在△ABC 中，由tan A ＝－512<0，可知∠A 为钝角，所以cos A <0,1＋tan 2A ＝sin 2A ＋cos 2A cos 2A ＝1cos 2A ＝169144，所以cos A ＝－1213. 答案：－121312．[2019·某某调研]已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________. 解析：解法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，联立，得⎩⎨⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得5sin 2α＝1，故sin α＝－55. 解法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－5513.sin 2π－α·cos π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝________.解析：原式＝sin －α·－cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin αcos α－sin αcos α＝－1.答案：－114．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：912[能力挑战]15．[2019·某某测试]若α，β为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋β，则( ) A ．α＋β＝π3 B ．α＋β＝π6C ．α－β＝π3D ．α－β＝π6解析：因为α，β为锐角，所以0<α<π2，0<β<π2，则－π3<π6－α<π6，2π3<2π3＋β<7π6，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α>0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋β>0，即2π3<2π3＋β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋β，又π3<π3＋α<5π6，所以π3＋α＝2π3＋β，即α－β＝π3，选C.答案：C16．在三角形ABC 中，若sin A ＋cos A ＝15，则tan A ＝( )A.34 B ．－43 C ．－34 D ．±43解析：解法一 因为sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，所以1＋2sin A cos A ＝125，所以sin A cos A ＝－1225.又A ∈(0，π)，所以sin A >0，cos A <0.因为sin A ＋cos A ＝15，sin A cos A ＝－1225，所以sin A ，cos A 是一元二次方程x 2－15x －1225＝0的两个根，解方程得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.解法二 由法一，得sin A >0，cos A <0，又sin A ＋cos A ＝15>0所以|sin A |>|cos A |，所以π2<A <3π4，所以tan A <－1，故选B. 答案：B17．设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析：∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α1＋2sin αsin α1＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6。
2018届高三数学一轮复习课时作业18同角三角函数的基本
课时作业(十八) [第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．cos(－2040°)＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝( )A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.5123.1－π＋π＋等于( ) A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±(sin2－cos2) D ．sin2＋cos24．[2018·泰安期末] 已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( )A.53 B ．－134 C.135 D.134 能力提升5．已知sin θ－cos θ＝13，则sin2θ的值为( )A ．－23 B.23 C ．－89 D.896.⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin xC ．cos x D.1tan x7．[2018·永州模拟] 若tan x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则sin x ＝( )A.－1±52B.3＋12 C.5－12 D.3－128．[2018·福建六校联考] 已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－139．[2018·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是________．11．[2018·长沙雅礼中学月考] 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32πcos(π－α)tan(π＋α)＝________.12．(13分)已知f (α)＝π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值．难点突破 13．(6分)(1)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2x cos 2x －sin2x＝( ) A.195 B ．－195 C.113 D ．－113(6分)(2)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( ) A ．30° B．150°C ．30°或150° D．60°或120°课时作业(十八)【基础热身】1．B [解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12.2．A [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213.3．A [解析] 1－2sin(π＋2)cos(π＋2)＝sin 22＋cos 22－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2，又∵sin2－cos2>0，故选A.4．D [解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝32tan α＋12tan α＝3＋14＝134，选择D. 【能力提升】5．D [解析] 将sin θ－cos θ＝13两边平方得：1－2sin θcos θ＝19，sin2θ＝2sin θcos θ＝89.6．D [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.7．C [解析] ∵tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，∴tan x ＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52.∵－1≤sin x ≤1，∴sin x＝5－12.故选 C.8．C [解析] 因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，平方可得sin θcos θ＝a 2－12<0，因为－π2<θ<π2，故－π2<θ<0，且cos θ>－sin θ，∴|cos θ|>|sin θ|，∴|tan θ|<1，－1<tan θ<0，满足题意的值为－13.9．－55[解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1， ∴cos x sin x －1＝12. 11．－1225 [解析] 因为sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，所以sin α＝－35.因为α是第三象限角，所以cos α＝－45，tan α＝34.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－32πcos(π－α)tan(π＋α)， ＝cos α·(－cos α)·tan α＝－cos α·sin α＝－1225.12．[解答] (1)f (α)＝sin αcos α－sin αsin α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝－sin α＝15，∴sin α＝－15. 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－313π＝－6×2π＋53π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋53π ＝－cos 53π＝－cos π3＝－12.【难点突破】13．(1)B (2)A [解析] (1)f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )， ∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195.故选B. (2)两式平方再相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12，∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°，故选A.。
高三数学一轮复习课时作业18同角三角函数的基本关系式与诱导公式专试题
课时作业(十八) [第18讲 同角三角函数的根本关系式与诱导公式]本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
[时间是：45分钟 分值：100分]根底热身1．化简：cos αtan α＝________.2．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－353π的值是________． 3．假设tan α＝2，那么sin α－3cos αsin α＋cos α的值是________． 4．计算：sin315°sin(－1260°)＋cos570°sin(－840°)＝________.才能提升5．计算：cos(－2040°)＝________.6．cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，那么sin(－2π＋α)＝________. 7．sin θ－cos θ＝13，那么sin2θ的值是________． 8．假设tan α＝3，那么4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值等于________． 9．[2021·全国卷] α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，那么cos α＝________. 10．f (cos x )＝cos3x ，那么f (sin30°)的值是________．11．1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是________． 12．当k ∈Z 时，sin k π－αcos k π＋αsin[k ＋1π＋α]cos[k ＋1π－α]＝________. 13．(8分)(1)sin α＝45，且α是第二象限的角，求cos α，tan α的值； (2)tan α＝512，求sin α，cos α的值．14．(8分)化简：(1)－sin 180°＋α＋sin －α－tan 360°＋αtan α＋180°＋cos －α＋cos 180°－α；(2)sin120°·cos330°＋sin(－690°)·cos(－660°)＋tan675°＋1tan765°.15．(12分)sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)(k ∈Z )．求：(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ；(2)14sin 2θ＋25cos 2θ.16．(12分)sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.求以下各式的值： (1)sin α－cos α； (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α.课时作业(十八)【根底热身】1．sin α [解析] 由商数关系tan α＝sin αcos α易得． 2.12 [解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－353π＝cos 35π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos π3＝12. 3．－13 [解析] 原式分子与分母同除以cos α得：tan α－3tan α＋1＝2－32＋1＝－13. 4.34[解析] sin315°sin(－1260°)＋cos570°sin(－840°)＝(－sin45°)(－sin180°)＋(－cos30°)(－sin60°)＝34. 【才能提升】5．－12[解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12. 6．－1213 [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513，而α为第四象限角， ∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 7.89 [解析] 将sin θ－cos θ两边平方得：1－2sin θcos θ＝19，sin2θ＝2sin θcos θ＝89. 8.57 [解析] 4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－23tan α＋5＝57. 9．－55 [解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10．－1 [解析] f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos180°＝－1. 11.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1.∴cos x sin x －1＝12. 12．－1 [解析] 假设k 为偶数，那么 原式＝sin －αcos αsin π＋αcos π－α＝－sin αcos α－sin α－cos α＝－1； 假设k 为奇数，那么原式＝sin π－αcos π＋αsin αcos －α＝sin α－cos αsin αcos α＝－1. 13．[解答] (1)因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝925. 又α是二象限角，因此cos α＜0，故cos α＝－35，tan α＝sin αcos α＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－43. (2)由sin αcos α＝tan α＝512，可得sin α＝512cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫5122cos 2α＋cos 2α＝1. 解得cos 2α＝144169. 又tan α＞0，所以α是第一或者第三象限角．假设α是第一象限角，那么cos α＝1213，sin α＝513； 假设α是第三象限角，那么cos α＝－1213，sin α＝－513. 14．[解答] (1)原式＝sin α－sin α－tan αtan α＋cos α－cos α＝－tan αtan α＝－1. (2)原式＝sin(180°－60°)·cos(360°－30°)＋sin(720°－690°)·cos(720°－660°)＋tan(720°－45°)＋1tan720°＋45°＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＋tan(－45°)＋1＝1.15．[解答] 由得cos(θ＋k π)≠0(k ∈Z )，∴tan(θ＋k π)＝－2(k ∈Z )，即tan θ＝－2.(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－25＋3tan θ＝10. (2)14sin 2θ＋25cos 2θ＝14sin 2θ＋25cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝ 14tan 2θ＋25tan 2θ＋1＝725. 16．[解答] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23.① 将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29， 故2sin α·cos α＝－79， 又π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＞0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169， ∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－718＝－2227.本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
课时作业18：§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式课时精练1．sin 1 050°等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32答案 B解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－12. 2．已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( ) A.1517 B ．－1517 C.817 D ．－817答案 D解析 因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815， 所以cos α＝－158sin α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289， 又α是第四象限角，所以sin α＝－817. 3．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值为( ) A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 2答案 B解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.4．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于( ) A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12答案 A解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin B ＋C 2＝cos A 2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确．tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2，C 正确．cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．故选ABC.6．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有() A ．tan α＝43B ．cos α＝35C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15答案 AB解析 ∵sin α＝45，且α为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，故B 正确，∴tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，∴sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误， ∴sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误． 7．(2020·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝ .答案 55°解析 由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，∴α＝55°.8．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是 ． 答案 －334解析 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334. 9．(2020·上饶模拟)sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝ . 答案 13解析 由sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13， 得cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13. 10．若3sin α＋cos α＝0，则cos 2α＋2sin αcos α的值为 ．答案 310解析 3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13， 所以cos 2α＋2sin αcos α1＝cos 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋2tan α1＋tan 2α＝1－231＋⎝⎛⎭⎫－132＝310.11．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (α＋π)tan (－α－π)sin (－α－π). (1)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，α是第三象限角，求f (α)的值； (2)若α＝－31π3，求f (α)的值． 解 f (α)＝sin α·cos α·tan α(－tan α)·sin α＝－cos α. (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15. ∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. f (α)＝－cos α＝265. (2)f (α)＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝－12. 12．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin α·1＋cos α1－cos α－1. (1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值． 解 (1)f (α)＝sin α－sin α·(1＋cos α)21－cos 2α－1 ＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α. (2)方法一 由f (α)＝sin α＋cos α＝15， 平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125， 即2sin α·cos α＝－2425. ∴sin α·cos α＝－1225. 又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0， ∴sin α－cos α<0，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，∴sin α－cos α＝－75. 方法二 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧ sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎨⎧ sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎨⎧ sin α＝－35，cos α＝45，∴sin αcos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.13．(2020·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)等于( )A.35 B.53 C.45 D.54答案 B解析 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.14．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ .答案 －43解析 因为θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， 则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－4535＝－43.15.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2θ－cos 2θ的值是 ．答案 －725解析 由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ， 小正方形的边长为cos θ－sin θ，∵小正方形的面积是125， ∴(cos θ－sin θ)2＝125， ∵θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ>sin θ，∴cos θ－sin θ＝15， 又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝125， ∴2sin θcos θ＝2425， ∴1＋2sin θcos θ＝4925，即(cos θ＋sin θ)2＝4925， ∴cos θ＋sin θ＝75， ∴sin 2θ－cos 2θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－725. 16．已知sin α＝1－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β，求sin 2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋1的取值范围． 解 因为sin α＝1－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝1－cos β，所以cos β＝1－sin α.因为－1≤cos β≤1，所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]．所以sin 2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋1＝sin 2α＋cos β＋1＝sin 2α－sin α＋2＝⎝⎛⎭⎫sin α－122＋74.(*) 又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝12时，(*)式取得最小值74；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求取值范围为⎣⎡⎦⎤74，2.。
高考数学一轮复习同角三角函数的基本关系与诱导公式
2
－cos α）2＝1－2sin αcos α＝ ，∴sin α－cos α＝ .
答案 D
目录
｜解题技法｜
“sin α±cos α，sin α·cos α”之间关系的应用
sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即（sin α±cos α）2＝
(sin+cos)2 −1
3cos−sin
3−tan
）
1
2
α＝2，故cos α＋ sin
2
2α＝
cos2 +sincos
1+tan
3
＝
＝ ，故选A.
cos2 +sin2
1+tan2 5
答案 A
目录
｜解题技法｜
利用“齐次化切”求齐次式值的方法
（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与
π
2
（4）sin α＝tan αcos α ≠ + π,∈ .
2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksin α（k∈Z）；
（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcos α（k∈Z）.
目录
1.已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为
5
A.
6
5
B.－
6
4
3
2 2
，所以tan
3
二象限角，所以cos α＝－
2 2
α＝± ，又α为第
3
sin
2
＝－ .故选D.
cos
4
α＝
目录
3.已知sin
π
−
2
2018届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时作业19 同角三角函数的基本关系式与诱导
课时作业19同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．tan(－1 410°)的值为( ) A.33B ．－33C. 3 D ．－ 3解析：tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan30°＝33. 答案：A2．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝( ) A.12135C ．－513．－1213知，为钝角，所以cos A <0.又1＋tan 2A ＝sin 2A ＋cos 2A cos 2A ＝－35，则cos(－α)的值为( )B.45 D ．－35解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，所以cos(－α)＝45. 答案：B 4．已知f (α)＝π－απ－α－π－απ－α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( ) A.12B.13C.32D.22解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos α－tan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 答案：A5．(2017·福建模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝m (|m |<1)，π2<α<π，那么tan(π＋α)＝( )A.m1－m2C ．±m1－m2解析：由题意，知sin α＝m >0所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－答案：B6．(2017·广东惠州一调)已知B ．－23D ．－13⎭⎪⎫θ<π4，两边平方可得1＋2sin θ·cos θ＝169，即)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29.又因为0<θ<π4，所以sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B. 答案：B 二、填空题7．已知sin(3π＋θ)＝14，则π＋θcos θπ＋θ－1]＋θ－2πθ＋2ππ＋θ＋－θ＝________.解析：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ， ∴sin θ＝－14，则原式＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θcos θ－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝32. 答案：328．已知角α终边上一点P (－4,3)，则π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值为________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.答案：－349．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________.解析：因为sin15°＝cos75°，所以f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32. 答案：－3210．已知cos(75°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝________.解析：由－180°<α<－90°，得－105°<75°＋α<－15°，又cos(75°＋α)>0可知75°＋α是第四象限角，所以cos(15°－α)＝sin(75°＋α) ＝－1－cos2＋α＝－223.答案：－223三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知－π2<α<0，且函数f (α 1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α·cos1＋1－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－11sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝1225，∵(sin α－cos α)2＝1－，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.方法2：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.1．(2017·福建龙岩质检)若sin2θ＝23，则tan θ＋1tan θ＝( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝2sin2θ＝3.故选D.答案：D2．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.答案：D3．(2017·福建漳州一模)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ、cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ等于________．解析：由题意知sin θ·cos θ＝－12，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ·cos θ＝－12，得sin θ＝±22，又θ为三角形的一个内角，∴sin θ＝22，则cos θ＝－22，∴θ＝3π4. 答案：3π44．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝________. 解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ′(x )＝2f (x )，所以cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )， 所以tan x ＝3，所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－答案：－195。
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课时作业(十八) [第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱
导公式]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．化简：cos αtan α＝________.
2．cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－353π的值是________． 3．若tan α＝2，则sin α－3cos αsin α＋cos α
的值是________． 4．计算：sin315°sin(－1260°)＋cos570°sin(－840°)＝________. 能力提升
5．计算：cos(－2180°)＝________.
6．已知cos(α－π)＝－513
，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________. 7．已知sin θ－cos θ＝13
，则sin2θ的值为________． 8．若tan α＝3，则4sin α－2cos α5cos α＋3sin α
的值等于________． 9．[2018·全国卷] 已知α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 10．已知f (cos x )＝cos3x ，则f (sin30°)的值为________．
11．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1
的值是________．
12．当k ∈Z 时，k π－αk π＋αk ＋π＋αk ＋π－α]
＝________. 13．(8分)(1)已知sin α＝45
，且α是第二象限的角，求cos α，tan α的值； (2)已知tan α＝512
，求sin α，cos α的值．
14．(8分)化简：
(1)－＋α＋－α－＋αα＋＋－α＋－α
；
(2)sin120°·cos330°＋sin(－690°)·cos(－660°)＋tan675°＋1tan765°
.
15．(12分)已知sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)(k ∈Z )．
求：(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ
；
(2)14sin 2θ＋25
cos 2θ.
16．(12分)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2<α<π.求下列各式的值： (1)sin α－cos α；
(2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α.
课时作业(十八)
【基础热身】
1．sin α [解析] 由商数关系tan α＝sin αcos α
易得． 2.12 [解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－353π＝cos 35π3＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝cos π3＝12. 3．－13 [解析] 原式分子与分母同除以cos α得：tan α－3tan α＋1＝2－32＋1＝－13
. 4.34
[解析] sin315°sin(－1260°)＋cos570°sin(－840°)＝(－sin45°)(－sin180°)＋(－cos30°)(－sin60°)＝34
. 【能力提升】
5．－12
[解析] cos(－2180°)＝cos2180°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12
. 6．－1213 [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513
，而α为第四象限角， ∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213
. 7.89 [解析] 将sin θ－cos θ两边平方得：1－2sin θcos θ＝19
，sin2θ＝2sin θcos θ＝89
. 8.57 [解析] 4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－23tan α＋5＝57
. 9．－
55
[解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10．－1 [解析] f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos180°＝－1. 11.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x
＝－1. ∴cos x sin x －1＝12
. 12．－1 [解析] 若k 为偶数，则 原式＝－ααπ＋απ－α＝－sin αcos α－sin α－cos α
＝－1； 若k 为奇数，则
原式＝π－απ＋α
sin α－α＝sin α－cos αsin αcos α
＝－1. 13．[解答] (1)因为sin 2α＋cos 2α＝1，
所以cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝925
. 又α是二象限角，因此cos α＜0，
故cos α＝－35，tan α＝sin αcos α＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－43.
(2)由sin αcos α＝tan α＝512，可得sin α＝512
cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫5122cos 2α＋cos 2α＝1. 解得cos 2α＝144169
. 又tan α＞0，所以α是第一或第三象限角．
若α是第一象限角，
则cos α＝1213，sin α＝513
； 若α是第三象限角，
则cos α＝－1213，sin α＝－513
. 14．[解答] (1)原式＝sin α－sin α－tan αtan α＋cos α－cos α＝－tan αtan α
＝－1. (2)原式＝sin(180°－60°)·cos(360°－30°)＋sin(720°－690°)·cos(720°－
660°)＋tan(720°－45°)＋1
＋
＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＋tan(－45°)＋1＝1.
15．[解答] 由已知得cos(θ＋k π)≠0(k ∈Z )，
∴tan(θ＋k π)＝－2(k ∈Z )，即tan θ＝－2.
(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－25＋3tan θ
＝10. (2)14sin 2θ＋25cos 2θ＝14sin 2θ＋25cos 2θsin 2θ＋cos 2θ
＝ 14tan 2θ＋25tan 2θ＋1＝725
. 16．[解答] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝
23
， 得sin α＋cos α＝23.① 将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29
， 故2sin α·cos α＝－79
， 又π2
＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＞0.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169
， ∴sin α－cos α＝43
. (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－718＝－2227.。