八年级数学下谈谈分式方程题型例析知识点分析人教版

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新人教版初中数学——分式方程-知识点归纳及典型题解析

新人教版初中数学——分式方程知识点归纳及典型题解析1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答．考向一解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．典例1 解分式方程：312242x x x -=--．【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．典例2 方程33122x x x-+=--的解为_______________．【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解．故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．1．解分式方程13211x x-=--，去分母得 A ．12(1)3x --=-B ．12(1)3x --=C ．1223x --=-D ．1223x -+=2．方程24222x x x x =-+--的解为 A ．2B ．2或4C ．4D ．无解考向二分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解. （3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.典例3 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6B ．0C ．1D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -，由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4，解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9，故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．典例4 若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________．【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠．3．若关于x 的方程21111a x x -=++有增根，则a 的值为 A ．－12B ．12C ．2D ．2-4．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，则a =A ．1B ．3C ．-1D ．-3考向三分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．典例5 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+B ．2010154x x -=+C ．201015x x+=D ．201015x x-= 【答案】A【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+．故选A ．典例6 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400元，所以300400260120)%(x x+=+，解得 2.5x =元．故选B ．5．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为A ．10801080615x x =+- B ．10801080615x x =-- C ．10801080615x x=-+D ．10801080615x x=++6．在“双十一”购物节中，某儿童品牌玩具淘宝专卖店购进了A 、B 两种玩具，其中A 类玩具的进价比B 玩具的进价每个多3元，经调查发现：用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同（1）求A 、B 的进价分别是每个多少元？（2）该玩具店共购进了A 、B 两类玩具共100个，若玩具店将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A 类玩具多少个？1．下列关于x 的方程： ①153x -=，②121x x =-，③()111x x x -+=，④31x a b =-中，是分式方程的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个2．方程2131x x 的解为 A ．3x B ．4x C ．5xD ．5x3．解分式方程11222x x x-+=-- A ．2x =是方程的解 B ．3x =是方程的解 C ．4x =是方程的解 D ．无解 4．若关于x 的方程223ax a x =-的解为x =1，则a 等于 A ．0.5B ．-0.5C ．2D ．-25．若代数式12x -和321x +的值相等，则x 的值为 A ．x =-7B ．x =7C ．x =-5D ．x =36．若关于x 的方程3111k x x=---有增根，则k 的值为 A ．3 B ．1 C ．0D ．1-7．若分式方程3211x m x x =+++无解，则m = A ．1- B ．3- C ．0D ．2-8．关于x 的方程2211x a ax x++=--的解不小于0，则a 的取值范围是 A ．2a ≤且1a ≠ B ．2a ≥且3a ≠ C ．2a ≤D ．2a ≥9．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x 千米/时，则可列出的方程为A ．906022x x =+-B ．906022x x =-+ C ．90602x x += D ．60902x x+=10．若分式方程22111x m x x x x x++-=++有增根，则m 的值是A ．-1或1B ．-1或2C ．1或2D ．1或-211．已知关于x 的分式方程212x ax +=--的解为非负数，则a 的取值范围是 A ．a ≤2B ．a <2C ．a ≤2且a ≠-4D ．a <2且a ≠-412．一项工程，甲队单独做需20天完成，甲、乙合作需12天完成，则乙队单独做需多少天完成？若设乙单独做需x 天完成，则可得方程A ．1112012x += B ．2012x x +=1 C ．111220+=xD ．1112012x +=13．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程得A ．1501503012x x -=． B ．1501503012x x +=． C ．1501150212x x-=．D ．1501150212x x+=． 14．整数a 满足下列两个条件，使不等式-2≤352x +<12a +1恰好只有3个整数解，使得分式方程13522ax x x x-----=1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为 A ．2B ．3C ．5D ．615．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时对“……”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程300030001510x x-=-．根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为 A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成16．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是 A ．20元B ．18元C ．15元D ．10元17．分式方程xx 412=+的解为_______________． 18．若关于x 的分式方程33x ax x+--=2a 无解，则a 的值为__________． 19．关于x 的方程123(2)(3)x x x ax x x x ++-=-+-+的解为非正数，则a 的取值范围为__________． 20．分式72x -与2x x-的和为4，则x 的值为_______________． 21．已知x =3是方程211kx k x x---=2的解，那么k 的值为__________． 22．某物流仓储公司用A ，B 两种型号的机器人搬运物品，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20 kg ，A 型机器人搬运1000 kg 所用时间与B 型机器人搬运800 kg 所用时间相等，设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，列出关于x 的方程为_______________．23．解下列方程：（1）1233x x x=+--；（2）2316111x x x +=+--；（3 （4）241111x x x +=---．24．“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用1500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用2700元购进第二批，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元，求第二批玩具每套的进价是多少元？25．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？26．某商店计划购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价是甲种商品进价的九折，用3600元购买乙种商品要比购买甲种商品多买10件．（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？（2）该商店计划购进甲、乙两种商品共80件，且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的3倍．甲种商品的售价定为每件80元，乙种商品的售价定为每件70元，若甲、乙两种商品都能卖完，求该商店能获得的最大利润．A ．x =1B ．x =-1C ．x =2D ．x =-2A ．x =-1B ．x =1C ．x =2D ．x =-23．解分式方程21x x -+212x-=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（） A ．x +2=3B ．x -2=3C ．x -2=3（2x -1）D ．x +2=3（2x -1）A ．m ≤3B ．m <3C ．m >-3D ．m ≥-35．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（）A ．1201508x x =- B ．1201508x x =+ C ．120150= D ．120150=7．方程1x -+21x -=1的解是__________．8．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行120 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相同，则江水的流速为__________km /h ．9．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A -B -C 横穿双向行驶车道，其中AB =BC =6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：__________．10．解分式方程：21x-=251x-．12．端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？13．列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．14．列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．15．为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.16．列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．1．【答案】A【解析】方程两边同乘以1x -得到12(1)3x --=-，故选A ． 2．【答案】C【解析】去分母得：2x =（x -2）2+4，分解因式得：（x -2）[2-（x -2）]=0，解得：x =2或x =4，经检验x =2是增根，分式方程的解为x =4，故选C ． 3．【答案】B【解析】方程21111a x x -=++两边同时乘以(1)x +，可得211a x -=+，因为方程21111a x x -=++有增根，所以最简公分母10x +=，即增根是1x =-，把1x =-代入整式方程，可得12a =．故选B ． 4．【答案】D【解析】把x =1代入原方程得：23314a a +=-，去分母得，8a +12=3a -3，解得a =-3，故选D ． 5．【答案】C【解析】设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书(15)x +本，根据单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个，列方程得10801080615x x=-+，故选C ．6．【解析】（1）设B 类玩具的进价为x 元，则A 类玩具的进价是(3)x +元，由题意得：9007503x x=+，解得：15x =，经检验：15x =是原方程的解．所以15+3=18（元）．答：A 类玩具的进价是18元，B 类玩具的进价是15元．（2）设购进A 类玩具a 个，则购进B 类玩具(100)a -个，由题意得：1210(100)1080a a +-≥，解得：40a ≥，答：该淘宝专卖店至少购进A 类玩具40个．1．【答案】C【解析】关于x 的方程①153x -=，该方程分母中不含未知数，不是分式方程．关于x 的方程②121x x =-，该方程分母中含有未知数，是分式方程．关于x 的方程③()111x x x -+=，该方程分母中含有未知数，是分式方程．关于x 的方程④31x a b =-中，该方程分母中不含未知数，不是分式方程．综上，是分式方程的有②、③，共2个．故选C ． 2．【答案】C【解析】方程两边同乘()(31)x x +-，可得()213x x -=+，即223x x -=+，即5x =，检验：当5x =时，1)03()(x x -≠+，所以5x =是原方程的根，故选C ． 3．【答案】D【解析】方程两边分别乘以x -2得：1-x +2（x -2）=-1，去括号整理得：x =2，经检验x =2是方程的增根，故原方程无解．故选D ． 4．【答案】B【解析】把x =1代入方程223ax a x =-得：2213a a =-，解得：a =-0.5，经检验a =-0.5是原方程的解，故选B ． 5．【答案】B【解析】根据题意得：13221x x =-+，去分母得：3x -6=2x +1，解得：x =7，经检验x =7是分式方程的解．故选B ． 6．【答案】A【解析】将方程的两边同时乘以(1)x -，可得31x k =-+，解得4x k =-，根据方程有增根可得1x =，即41k -=，所以3k =．故选A ． 7．【答案】B【解析】去分母，可得32(1)x m x =++，解得2x m =+，因为分式方程3211x mx x =+++无解，所以12130x m m +=++=+=，解得3m =-，故选B ． 8．【答案】A 【解析】2211x a ax x++=-- 方程两边同时乘以（x -1）得：x +a -2a =2（x -1），解得：x =2-a ，∵方程的解不小于0，∴2-a ≥0，解得：a ≤2， ∵分式方程分母不为0，∴2-a ≠1，解得：a ≠1，即a 的取值范围是：a ≤2且a ≠1，故选A ． 9．【答案】A【解析】因为船在静水中的速度为x 千米/时，所以由题意可得906022x x =+-，故选A ． 10．【答案】D【解析】方程两边都乘x （x +1），得2x 2-（m +1）=（x +1）2， ∵最简公分母x （x +1）=0， ∴x =0或x =-1．当x =0时，m =-2；当x =-1时，m =1．故选D ． 11．【答案】C 【解析】212x ax +=--，去分母可得：22x a x +=-+，移项可得：22x x a +=- ，合并同类项可得：32x a =-，系数化为1可得：23ax -=，根据分式方程的解为非负数和分式有解可得：203a -≥，且223a-≠，解得：a ≤2且a ≠-4，故选C ． 12．【答案】D【解析】设乙单独做需x 天完成，由题意得：1112012x +=，故选D ． 13．【答案】C【解析】设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时，根据题意可得：1501150212x x-=．．故选C ． 14．【答案】C【解析】由不等式组-2≤352x +<12a +1，可知-3≤x <33a -， ∵x 有且只有3个整数解，∴-1<33a -≤0，∴0<a ≤3，由分式方程可知：x =-64a -，将x =-64a -代入x -2≠0，∴a ≠1，∵关于x 的分式方程有整数解，∴6能被a -4整除， ∵a 是整数，∴a =2、3、5、6、7、10、-2； ∵0<a ≤3，∴a =2或3，∴所有满足条件的整数a 之和为5，故选C ．【解析】题中方程表示原计划每天铺设管道(10)x -米，即实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成，故选C ． 16．【答案】A【解析】设文学类图书平均价格为x 元/本，则科普类图书平均价格为1.2x 元/本，依题意得：12000120001001.2x x-=，解得：x =20，经检验，x =20是原方程的解，且符合题意．故选A ． 17．【答案】2x =【解析】方程x x 412=+两边都乘以x ，可得24x +=，解得2x =，检验：当2x =时，0x ≠，即2x =是原方程的解，故答案为：2x =． 18．【答案】1或12【解析】去分母得：x -a =2a （x -3），整理得：（1-2a ）x =-5a ，当1-2a =0时，方程无解，故a =12；当1-2a ≠0时，x =521aa -=3时，分式方程无解，则a =3，则a 的值为：1或12；故答案为：1或12．19．【答案】a ≤3且a ≠-12【解析】去分母，得：（x +1）（x +3）-x （x -2）=x +a ，解得x =35a -，由题意知35a -≤0且35a -≠-3，解得：a ≤3且a ≠-12，故答案为：a ≤3且a ≠-12．【解析】首先根据分式72x -与2xx-的和为4，可得7422x x x +=--，去分母，可得748x x -=-，解得3x =，经检验3x =是原方程的解，故x 的值为3．故答案为：3．21．【答案】2【解析】当x =3时，有321223k k --=，去分母得：9k -4k +2=12，5k =10，解得：k =2，故答案为：2． 22．【答案】100080020x x=+ 【解析】设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，则A 型机器人每小时搬运（x +20）kg 物品，根据题意可得100080020x x =+，故答案为：100080020x x=+．23．【解析】（1）去分母，可得126x x =--，解得7x =，经检验7x =是分式方程的解，所以方程1233x x x=+--的解为7x =．（2）去分母，可得3316x x -++=，解得2x =，经检验2x =是分式方程的解，所以方程2316+=的解为2x =．（3 即5（4）2111x x =---，去分母得2241(1)x x =-++，化简得321x =+，解得1x =，经检验1x =为方程的增根，所以方程无解．24．【解析】设第一批玩具每套的进价是x 元，则1500x×1.5=270010x +，解得：x =50．经检验：x =50是原方程的解，则第二批玩具每套的进价是x +10=60（元）．答：第二批玩具每套的进价为60元．25．【解析】（1）设乙种款型T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进1.5x 件，根据题意：78006400301.5x x+=，解得40x =，经检验，40x =是原方程的解，且符合题意，1.560x =．答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件．（2）6400160x=，16030130-=（元）， 13060%6016060%(402)160[1(160%)0.5](402)⨯⨯+⨯⨯÷-⨯-+⨯⨯÷468019206405960=+-=（元）答：售完这批T 恤衫商店共获利5960元．26．【解析】（1）设甲种商品的进价为x 元/件，则乙种商品的进价为0.9x 元/件，36003600100.9x x+=，解得，x =40，经检验，x =40是原分式方程的解， ∴0.9x =36，答：甲、乙两种商品的进价各是40元/件、36元/件．（2）设甲种商品购进m 件，则乙种商品购进（80-m ）件，总利润为w 元， w =（80-40）m +（70-36）（80-m ）=6m +2720， ∵80-m ≥3m ， ∴m ≤20，∴当m =20时，w 取得最大值，此时w =2840，答：该商店获得的最大利润是2840元．经检验x=-1是原方程的根；故选B．2．【答案】A【解析】方程两边同时乘以x（x-1）得，x（x-5）+2（x-1）=x（x-1），解得x=-1，把x=-1代入原方程的分母均不为0，故x=-1是原方程的解．故选A．3．【答案】C【解析】方程两边都乘以（2x-1），得x-2=3（2x-1），故选C．7．【答案】x=-2【解析】2121 1(1)(1)xx x x--=-+-，去分母，得（2x-1）（x+1）-2=（x+1）（x-1），去括号，得2x2+x-3=x2-1，移项并整理，得x2+x-2=0，所以（x+2）（x-1）=0，解得x=-2或x=1，经检验，x=-2是原方程的解．故答案为：x=-2．8．【答案】10【解析】设江水的流速为x km/h，根据题意可得：12030x+=6030x-，解得：x=10，10．【解析】两边都乘以（x+1）（x-1），得：2（x+1）=5，解得：x=32，检验：当x=32时，（x+1）（x-1）=54≠0，∴原分式方程的解为x=32．11．【答案】x=2【解析】方程两边都乘以（x+1）（x-1），去分母得x（x+1）-（x2-1）=3，即x2+x-x2+1=3，解得x=2．检验：当x=2时，（x+1）（x-1）=（2+1）（2-1）=3≠0，∴x=2是原方程的解，故原分式方程的解是x=2．12．【解析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，依题意，得：96x+720.6x=27，解得：x=8，经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是8元/个．经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．14．【解析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均15．【解析】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x km/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x km/h．根据题意得24027011.5x x-=，解得x=60，经检验，x=60是原分式方程的解，1.5x=90．答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60 km/h和90 km/h．16．【解析】设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：1200x-4=30003x，解得：x=50，经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．。

八年级数学《分式方程》知识点

八年级数学《分式方程》知识点八年级数学：分式方程一、理解定义分式方程是指含有分式且分母中含有未知数的方程。

解分式方程的思路是：首先在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，将其化为整式方程，然后解这个整式方程。

接着，将整式方程的根带入最简公分母，看结果是否为零，如果是，则该根为原方程的增根，必须舍去。

最后，写出原方程的根。

这一思路可以概括为“一化二解三检验四总结”。

增根是指分式方程的增加的根，必须满足两个条件：一是最简公分母为零，二是增根是分式方程化成的整式方程的根。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为零，这样就会产生增根，因此分式方程一定要验根。

分式方程的验根方法是将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

分式方程可以应用于实际问题的解决。

解决实际问题的步骤是：审题，设未知数，列方程，解方程，检验，写出答案。

在检验时，要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。

应用题的基本类型有：二、例题讲析例1：解方程x+14)/2-(1/(x-1)(x-1))=11）增根是使最简公分母值为零的未知数的值。

2）增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。

例2：解关于x的方程2ax^3+2)/(x-2)(x-4)(x+2)=2有增根，则常数a的值。

解：化整式方程的(a-1)x=-10.由题意知增根x=2或x=-2是整式方程的根，把x=2代入得2a-2=-10，解得a=-4.把x=-2代入得-2a+2=-10，解得a=6.所以a=-4或a=6时，原方程产生增根。

例3：解关于x的方程2ax^3+2)/(x-2)(x-4)(x+2)=无解则常数a的值。

解：化整式方程的(a-1)x=-10.当a-1=0时，整式方程无解。

解得a=1.当a-1≠0时，整式方程有解。

当它的解为增根时，原分式方程无解。

把增根x=2或x=-2代入整式方程解得a=-4或a=6.综上所述，当a=1或a=-4或a=6时，原分式方程无解。

八年级数学《分式方程》知识点

分式方程是中学数学的重要内容，它是求解方程的一类特殊方法。

因此，分式方程的知识点有以下几方面：
一、分式方程的概念
分式方程是指用一个分式的方式表示方程的一种方法，它是一种由分式组成的等式，它的左右两端都是分式，从而把求根的问题转换成分式的比较，并设法确定方程的根。

二、求解分式方程的步骤
1.将分式方程中的项相同的分式化简，并且把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。

2.将分式方程中间，求解未知数的方法就是将分式的左右两端乘以分母，使之成为整式，然后使整式等于0，再解出未知数。

3.有时会出现分式方程中的未知数不能解出的情况，此时可以将此分式方程化为一元一次不等式来求解。

三、分式方程的应用
分式方程在解决一些实际问题时有着重要作用，如求解收益、组成比例、比较等。

由此可见，掌握分式方程的方法对解决实际问题有着重要意义。

四、注意事项
1.求解分式方程时需要注意把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。

2.使用分式方程时，要注意看清题干的字眼，要分清求解的是方程还是不等式，然后采取不同的方法
3.求解分式方程时还要注意确保所求解的方程或不等式有解。

4.分式方程的解可以使用数学软件得出。

分式方程篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训

知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。

3.解分式方程。

具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。

把分式方程化成整式方程。

②解整式方程。

③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。

若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。

若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。

1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。

八年级分式方程数学知识点

八年级分式方程数学知识点一、基本概念分式方程是指未知量中包含分数表达式的方程，可用一组数值解求出未知量的值。

如：\frac{x+1}{2}=3，其中x为未知量。

二、分式方程的解法1. 化简分式，使其成为整式方程。

如：\frac{x+1}{2}=3化简为x+1=6。

2. 通分，消去分母。

如：\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x+1}通分后为3(x+1)=x-2。

3. 变形化简后求解。

如：\frac{2}{2x+3}-\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x^2-x-3}变形化简后得到x=-1或x=\frac{5}{2}。

三、分式方程的注意事项1. 化简前应检查分母是否有值为0的情况。

如：\frac{x}{x^2-4x+4}=1化简前需考虑x^2-4x+4=0的情况，即x=2。

2. 通分时应注意分母因式分解。

如：\frac{x}{2x-4}-\frac{2}{x+1}=\frac{3x}{x^2-3x+2}通分前需分解(x-1)(x-2)。

3. 将解代回原分式方程检验。

如：\frac{4}{x+3}-\frac{5}{x-1}=\frac{1}{x-2}解得x=5/2，代入原式验证是否成立。

四、分式方程的应用例题1. 甲、乙两地的距离为480km，两地之间有一辆车和一辆自行车相向而行，行至中途时，车停下了，自行车继续前进，最后到达乙地时，车和自行车的距离为40km。

已知车行驶的速度比自行车快20km/h，求车和自行车的速度各是多少。

设自行车的速度为x km/h，车的速度为x+20 km/h，时间为t，车行驶的距离为(x+20)×t，自行车行驶的距离为x×(t+2)。

由题意可得(x+20)t+x(t+2)=480及(x+20)t-x(t+2)=40，解得x=20，车速为40km/h，自行车速度为20km/h。

2. 一条河流的宽度为200m，在河岸的A、B两处浅滩的位置分别离河口12km、18km处。

人教版八年级下册15.3 分式方程

15.3 分式方程1. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

2. 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

3. 解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根例1．方程2053x x -=-的解是（） A ．x=3 B ．x=-2 C ．x=2 D ．x=5 例2．分式方程1123-=x x 的解为（） A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4例3．解方程：33122x x x-+=--．例4．解分式方程：21124x x x -=--．分式方程的增根问题：（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所得整式方程的根。

（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

例1：分式方程313-=+-x m x x 有增根，则m= 例2：当k 的值等于时，关于x 的方程3423--=+-x x x k 不会产生增根；例3：若解关于x 的分式方程234222+=-+-x x m x 会产生增根，求m 的值。

例4：m 取时，方程323-=--x m x x 会产生增根；分式方程的无解问题：分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．例1：解方程2344222+=---x x x x例2：若方程223--=--x m x x 无解，则m=．例3：当a 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x ax x 无解？分式的应用题：（1）列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：a. 行程问题：基本公式：路程=速度×时间，而行程问题中又分相遇问题、追及问题．b. 数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．c. 工程问题：基本公式：工作量=工时×工效．d. 顺水逆水问题: v 顺水=v 静水+v 水． v 逆水=v 静水-v 水工程问题：例1：一项工程，甲需x 小时完成，乙需y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要______ 小时。

(完整版)初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义（一）分式的概念：形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件：1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。

初二数学下册的分式知识点分析

初二数学下册的分式知识点分析部分分式是初二数学竞赛的重要内容，在初二数学竞赛中常有应用，而且在今后学习微积分时还要经常用到。

部分分式中体现出来的把整体分解成部分来处理问题的方法也是一种重要的思想方法，这种方法对我们解决问题有指导意义。

下面一起来看看以下八年级下册分式有关知识点分析以及总结，希望能帮到大家!（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=a+ba-ba2+2ab+b2=a+b2a2-2ab+b2=a-b2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1.平方差公式1式子：a2-b2=a+ba-b2语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式1把乘法公式a+b2=a2+2ab+b2和a-b2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2=a+b2a2-2ab+b2=a-b2这就是说，两个数的平方和，加上或者减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和或者差的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

2完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

3当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

4完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

5分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组am+an和bm+bn，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

(word完整版)新人教版八年级数学下册第十六章分式知识点总结,文档

一、分式的定义：若是 A 、 B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式。

B例 1. 以下各式 a ，1， 1x+y ，a 2b 2 ，-3x 2，0?中，是分式的有〔〕个。

x 15ab二、分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

【B ≠0 且 A=0 即子零母不零】例 2. 以下分式，当 x 取何值时有意义。

〔 1〕2x1 ；〔 2〕 3 x2。

3x 22x 3例 3. 以下各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是〔〕。

A ．1 B ． xC ．3x 1D ．x 212x 12x 1x 22x 2例 4．当 x______时，分式2x1没心义。

当 x_______时，分式x 21 的值为零。

3x 4x 2x 2例 5. 1 - 1 =3，求5x3xy 5 y的值。

x y x2xyy三、分式的根本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变。

〔 CA A C A A C0 〕B C B B CB四、分式的通分和约分：要点先是分解因式。

1 x 1 y例 6. 不改变分式的值，使分式510的各项系数化为整数，分子、分母应乘以〔 ? 〕。

1 x 1 y3 9例 7. 不改变分式2 3x 2 x 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，那么是〔 ?〕。

5x 3 2x 3分式 4 y 3x ， x2 1 ， x2xy y 2， a22ab2中是最简分式的有〔例 8. 4x 〕。

4ax1 y ab 2b例 9. 约分：〔1〕x 26x9 ；〔2〕 m 23m 2x29m2m例 10. 通分：〔 1〕x ，y；〔2〕a 1，66ab 29a 2bc22a 2a 1 a 1例 11. x 2 +3x+1=0，求 x 2+12 的值． x例 12. x+ 1=3，求x 4x 2 2 的值． xx 1五、分式的运算：分式乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

八年级数学下册《分式》考点例析.doc

八年级数学下册《分式》考点例析《分式》是中学数学中数与式的一个重要组成部分，也是各类考试包括全国各实验区学业考试的一个热点.从近两年各实验区的中考数学试卷来看，涉及分式的考题以填空、选择、计算的形式出现较多，属中低档试题，难度不大，分值在3~6分.这部分考题主要涉及分式的意义，分式的性质，分式的运算、化简与求值，分式方程的解法及其应用等知识点.要求大家了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分、通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，能构建分式方程求解简单的应用问题.下面结合近两年各实验区考试试题，对相关考点给予讲析，供大家复习时参考.考点一、分式的概念问题例1 当X _________ 时，式子史一有意义.2x — 1讲析：分式有意义的条件为分母不为零，分式无意义就等价于分式的分母为零.由此可知：2x —1。

0即尤。

上时，式子有意义.2x + 3练习1:当X 时，分式己三无意义.-------- 1x1-2考点二、分式的基本性质利用分式的基本性质可以对分式进行通分、约分.通分的关键是找各分式分母的最简公分母，约分的关键是找齐分式分子、分母的所有公因式.例2 (1)下列等式从左到右的变形一定正确的是( )a A. 一ba + m a ac= ------ B. 一 =—b + m b beC.ak~bk'a~~ba aD.—=—b b(2)、.,工初2一6秫+ 9当秫=1时，求的值.m2-9讲析这是一组考查分式基本性质的试题.(1)选项A、D显然是错误的；选项B缺少“ c不等于零”的条件也不对；选项C是正确的(已隐含了*不等于零的条件).(2)首先进行分式化简然后再代入求值，将原式分子、分母因式分解可得(m -3? m-3—1 — 3' 刀—，约分后可化为生^；把,… = -1代入得，原式= _L^ = _2.(m-3)(m + 3) m + 3-1 + 3r2 -3X练习2： (1)化简土号=9-x2(2)下列分式中是最简分式的是( )2x4x-11-xA Dx2+l2x x2-l x-1考点二、分式的运算代入得，原式= -V3.算题.因为3 =工+工x + 2 2-x (x-2)_(x +2)X2-4-4x--4D.Y2 4 L例3 (1)先化简，再求值：一♦ + ——；其中x = V3-2.2 —x x— 24 1 1（2）已知两个分式：A = ——, B=—— + ——，其中x^±2.下面有三个结x-4 x+22-x论：①A = B；②A,方互为倒数；③A 3互为相反数.请问哪个正确？为什么？r2 4 %2讲析：这是一组分式的加减运算题・（1）将—— + ——变形为-------- + ——进一步2 —x x— 2 x— 2 x— 2、一“_ ZQ rzr—IX —(尤 + 2)(] — 2)-正算可得原式=———-——-=—(尤+ 2)；x — 2（2）该例要求大家比较两分式的关系，并说理.事实上这只不过是一例分式的加减运所以结论③正确.Y 练习3： (1)计算一厂2 2 2x -y x -y1 4（2）计算一^―+T—的结果是（）m+2 m -4A. m + 2B. m — 2C.—-—m + 2例4 （1）先化简，再求值：1 ]、------------ 1------------ + 2*' 2，其中x - ^3-V2 , y = V2 . x-y x+y) x -y（2）先化简，再选择使原式有意义而你喜欢的数代入求值.2%+6 x-21子—4x + 4 + 3x x - 2讲析：这是一组分式的乘除法计算题.（1）这一题型是教科书中分式运算的拓展，在原来化简计算的基础上，再代入相应数值即可得解.化简可得原式=-；将y = 41代入得原式= 41.y（2）该例很有新意，选择喜欢的数代入求值.看似条件是开放的，其实是有附加条件的一那就是必须使得分式有意义.化简可得原式=-上；只要取0, 2, -3之外的值代入,X即可求出分式的值，请大家自己给出答案吧！练习4 （1）化简］--------- 业的结果为= __________________ .\ X— 2 X + 2 y 2 —X（2）先将三二^ ［1 +上］化简，然后请你自选一个合理的x值，求原式的值. x + l kX）考点四、负指数与科学记数法一般地，当〃为正整数时，。

人教版八年级数学下册第十六章分式知识点总结

一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。

例1.下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（）个。

答：本题考查学生对分式的概念的理解，从题目中我们知道11x + 和22a b a b--是分式，所以本题的答案是2个。

二、分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。

（1）2132x x ++；（2）2323x x +-。

答：本题考查学生对分式的分母不为0的掌握，因为分母为0分式无意义。

所以，（1）中我们知道3x+2≠0，得到x ≠- 2/3，（2）中我们知道2x-3≠0，得到x ≠ 3/2. 例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）。

A ．121x +B ．21x x +C ．231x x +D ．2221x x +答：本题考察学生对分母不为0的掌握，A 、B 选项当x=-1/2的时候分母为0，故排除，C 选项当X=0时分母为0 。

所以此题只能选D 。

例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。

当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。

答：当X= 4/3时分母为0，分式无意义。

有题目得，x ²-1=0且x ²+x-2≠0，解得x=-1.所以此空填-1.例5.已知1x -1y =3，求5352x xy yx xy y+---的值。

答：由已知得y-x=3xy,原式=-12xy/-5xy=12/5.三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。

C B C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷=例6.不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（•90 ）。

八年级分式知识点人教版

八年级分式知识点人教版分式是初中数学中的重要概念之一，也是常常出现在高中数学的知识点。

在八年级数学学习中，学生需要掌握关于分式的基本概念、化简与运算、应用等知识点。

本文将结合人教版教材，对八年级分式的学习内容进行介绍和分析。

一、基本概念分式的本质是一个比值，由分子和分母两部分组成，其中分母不能为零。

分式可以用来表示两个数之间的比例大小或者表示一个数在某个整体中的比例大小。

在八年级人教版教材中，关于分式最基本的概念就是分子、分母和约分。

分子是分式中上面的那个数，分母是下面的那个数。

在分式的计算中，我们需要注意分母不能为零，否则就成了无意义的表达式。

而约分则是指将分式的分子和分母同时除以一个相同的数，得到一个新的分式，但是比值并没有改变。

例如，$\frac{6}{8}$就可以约分成$\frac{3}{4}$，分子和分母都除以2。

二、化简与运算在学习分式时，化简是一个非常重要的概念。

化简是指将分式中的分子和分母同时除以一个相同的数，从而得到能够约分的形式，使分式的形式更加简单明了。

化简也可以通过将同类项合并、分解质因数等方法来实现。

八年级还学习了分式的加减乘除四种运算法则。

在加减法中，我们需要先将两个分式的分母通分，然后将分子合并成一个新的分式；在乘法中，我们需要将两个分式的分子和分母分别相乘，然后得到一个新的分式；在除法中，则是将除数取倒数，然后将除法转化为乘法。

三、应用在生活和实际问题中，我们也可以用分式来进行计算和表示。

例如，“甲乙丙三人平均分某门功课为$\frac{7}{10}$，如果甲的成绩提高了$\frac{1}{5}$，乙的成绩降低了$\frac{1}{4}$，丙的成绩不变，这门功课的平均分变为多少？”这个问题就需要用到分式的平均数求解方法。

我们可以设甲乙丙三个人的原始成绩分别为$a,b,c$，则有$\frac{a+b+c}{3}=\frac{7}{10}$，代入变化后的甲乙成绩，得到新的平均分$\frac{7}{10}+\frac{1}{15}-\frac{1}{10}=\frac{3}{4}$。

分式方程题型重难点最新总结

分式方程重难点题型一、知识梳理一：分式方程的基本解法1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：解分式方程一定要验根．二：分式方程的增根和无解1．分式方程的增根（1）产生增根的原因增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．（2）分式方程增根的应用如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值．2．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（1）原方程去分母后的整式方程无解；（2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．3．分式方程无解与增根的区别：分式方程无解时，不一定有增根；分式方程有增根时，不一定无解．二、例题分析题型一分式方程的概念与基本解法【例1】下列方程中哪些是分式方程？（1）3(1)0x x -+= （2）11(1)923x x +-=（3）1371x x-=+（4）22133x x +=（5）2973x x +=-（6）3731y y -+（7）13x x += （8）31=3x x- （9）2927=01x xa a-++（a 为字母系数）（10）2133a a x x ++=-（a 为字母系数）【解析】思路与技巧：分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数．其中分式方程有（3）、（5）、（7）、（8）、（10）【例2】解下列分式方程：（1）324x --2x x -1=2（2）2242111x x x x x -+=-+ （3）311(1)(2)x x x x -=++- 【解析】（1）53x =；（2）12x =-；（3）两边同时乘以(1)(2)x x +-，得(2)(1)(2)3x x x x --+-=．解这个方程，得1x =-．，检验：1x =-时(1)(2)0x x +-=，1x ∴=-不是原分式方程的解，原分式方程无解．【变1】解下列分式方程：（1）21622=422x x x x x -++-+- （2）22252571061268x x x x x x x x x --+=+----+ 【解析】（1）原方程化为1622=(2)(2)22x x x x x x -+++-+- 方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，约去分母，得2216(2)=(2)x x -+-+，整理得22412=44x x x x --++，解这个整式方程，得=2x -，检验：把=2x -代入(2)(2)x x +-，得(22)(22)0-+--= 所以=2x -是原方程的增根，原分式方程无解．（2）原方程可变形为：525710(2)(3)(3)(4)(2)(4)x x x x x x x x x --+=-++---方程两边都乘以(2)(3)(4)x x x -+-，得5(4)(25)(2)(710)(3)x x x x x x -+--=-+，整理，得4040x -=-，∴1x =，检验，当1x =时，(2)(3)(4)0x x x -+-≠∴原方程的解是1x =．【变2】设实数k 满足01k <<，解关于x 的分式方程：221211k k x x x x+-=--．【解析】由题意得，21(21)(1)kx k x -=+-，即21(21)21kx k x k -=+--，解得2x k =， I ．如果12k =，即1x =，则2x k =为原方程的增根； II ．如果01k <<且12k ≠，则2x k =为原方程的根. 题型二分式方程的增根、无解及解范围问题【例3】（1）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是___________．（2）若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a =___________．（3）若关于x 的方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值．【解析】（1）1或2；（2）1或2-；原方程化为(2)3a x +=，1x =、0x =、20a +=时，原方程均无解．（3）原方程化为(2)3a x +=-，①∵原方程无解，∴20a +=或10x -=，20x +=，得1x =，2x =-分别代入①，得5a =-，12a =-，综上知2a =-，5-或12-．【例4】（1）若关于x 的方程2102x mx ++=-的根为正数，则m 取值范围为________．（2）若关于x 的分式方程32122x a x x =---的解是非负数，则a 取值范围是________．（3）若关于x 的方程1101ax x +-=-的解为正数，则a 取值范围为_______．【解析】（1）去分母，得：2(2)0x m x ++-=，化简可得：23mx -=，由题意得：0x >且2x ≠，即：203m ->且223m-≠，解得：2m <且4m ≠-. （2）43a ≥-且23a ≠．（3）1a <且1a ≠-．【例5】（1）若关于x 的分式方程26111mx x -=--有增根，则增根是________．（2）如果分式方程8877x kx x--=--出现了增根，那么k 的值为________．（3）若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值为________．（4）如果解方程2251224m x x x x +-=-+-时出现增根，则m 的取值为________．【解析】（1）1x =；去分母，得：26(1)1m x x -+=-，移项，得：27(1)m x x -+=，当1x =-时，原方程无解，（分母为0的两种情况讨论），当1x =时为原方程的增根．（2）1；（3）2-或1；（4）12m =±．【变3】 ⑴若分式方程：11222kx x x-+=--有增根，则k 的值为__________ ⑵若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为_________ ⑶若分式方程212x ax +=--的解是正数，求a 的取值范围. ⑷解关于x 的方程()0x a cc d b x d-=+≠- 【解析】 ⑴解分式方程得：22x k =-，由于有增根，则2x =，∴222k =-，∴1k = ⑵解分式方程得：621x m =-+，由于方程无解，则0x =或3 当0x =时，m 无解，当3x =时，32m =-⑶解分式方程得：203ax -=>且2x ≠，∴2a <且4a ≠- ⑷∵0c d +≠∴ad bcx c d+=+ 题型三 8大技巧解分式方程对于某些特殊类型的分式方程，如果采用常规方法来解，往往会带来繁琐的运算。

分式方程知识点归纳总结

分式方程知识点归纳总结分式方程（fractional equations）是含有一个或多个分式的方程。

解分式方程的方法与解普通方程的方法相似，但在处理分式时需要额外注意。

以下是分式方程的一些常用知识点的归纳总结。

1.分式方程的定义：分式方程是含有一个或多个分式的方程，其中分式可以是单个分式，也可以是多个分式的组合。

2.分式方程的定义域：在求解分式方程之前，首先需要确定方程的定义域。

分式方程中的分母不能为0，因此需要排除使得分母为0的数值。

3.清除分母的方法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以分母的公倍数来清除分母。

要注意在清除分母后所得到的方程仍然保持等价关系。

4.分式方程的乘除法原则：分式方程中的分式可以通过乘除法原则进行运算。

即可以通过乘以一个数或除以一个数来改变方程两边的比例关系。

5.分式方程的加减法原则：分式方程中的分式可以通过加减法原则进行运算。

即可以通过加上一个数或减去一个数来改变方程两边的比例关系。

6.分式方程的倒数原理：分式方程中的分式的倒数可以用来求解方程。

当一个分式与它的倒数相加时，结果为17.分式方程的转化：有时候，可以通过将分式方程转化为普通方程来求解。

这可以通过清除分母或将分式转化为分数来实现。

8.分式方程的校验：在解分式方程时，需要对所得到的解进行校验，以确定是否满足原始方程。

9.解分式方程的常见步骤：解分式方程的一般步骤是先对方程进行整理，然后通过乘法、除法、加法、减法等原则对方程进行运算，最后校验所得到的解是否满足原始方程。

10.特殊类型的分式方程：-线性分式方程：分子和分母都是一次函数的分式方程。

-二次分式方程：分子或分母含有二次函数的分式方程。

-变比分式方程：分子和分母是由未知数构成的变比或常数的乘积的分式方程。

总结：分式方程是含有一个或多个分式的方程，解分式方程的方法包括清除分母、乘除法原则、加减法原则、倒数原理、转化为普通方程、校验等。

解分式方程的一般步骤是整理方程、运用原则对方程进行运算，最后校验解答是否正确。

八年级数学《分式方程》知识点

一、基本概念
1.分式：分子和分母都是多项式的数叫做分式。

2.分式方程：含有一个或多个未知数的分式等式叫做分式方程。

二、分式方程的解
1.分式方程的解：使得方程两边分式等价的数叫做分式方程的解。

2.适合分式方程的解：使得分式方程的任意代入都可以使分式方程成立的解叫做适合分式方程的解。

三、分式方程的解的判定
1.分式方程的解的判定方法：将找到的解代入方程，若等式两边可以变成同一个数，则该解为分式方程的解。

2.分式方程的解的验证方法：将方程两边合并，并对两边进行化简，最后验证等式是否成立。

四、分式方程的解的性质
1.分式方程的根的性质：若一个数是分式方程的根，则这个数的相反数也是该方程的根。

2.分式方程的根的性质的应用：利用分式方程的根的性质，可以通过已知根推出其他根。

五、分式方程的解的求解
1.解分式方程的一般步骤：先合并同类项，再化简，最后通过代数运算求解未知数。

2.解分式方程的具体方法：可以通过交叉相乘、通分和消分的方法来解决不同类型的分式方程。

六、分式方程的应用
1.代入法解分式方程：利用推导和分项代入法，将问题转化为分式方程，然后再用分式方程的解来解决问题。

2.混合运算解分式方程：先利用等式性质将分子展开，再通过合并同类项化简，最后求解分式方程得到解。

总结：。

八年级数学下册专题第10讲解分式方程重点、考点知识总结及练习

第10讲解分式方程知识点1分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程（2）解这个整式方程（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母：如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；如果最简公分母的值为0，则整式方程的解是原方程的增根，即不是原方程的解.【典例】1.解分式方程223124x x x --=+- 【解析】解：223124x x x --=+- ()()231222x x x x --=+-+ 方程两边同乘()()22x x +-，得：()22243x x +=--，整理得：224443x x x ++=--，解得：54x =，检验：当54x =时，()()22x x +-≠0，所以原方程的解为54x =. 【方法总结】1、分式方程分母是多项式的要先进行因式分解，再确定最简公分母；不含分母的项也要乘以最简公分母；2、求出整式方程的根后，要注意验根，将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则整式方程的根是原分式方程的增根.2.解分式方程：21421242x x x x x x +-=---+ 【解析】解：方程两边乘以()()22x x +-得：()()()()()2142222x x x x x x x ++=+----去括号：222214244x x x x x x +=+----，解得：185x = 检验：当185x =时，最简公分母()()181********x x ⎛⎫⎛⎫+=+-≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-，所以，185x =是原方程的解. 【方法总结】1、去分母时，每一项都要乘以()()22x x +-，“-1”项不要漏乘。

2、求出的整式方程的解，不一定是原分式方程的解，所以最后需要验根【随堂练习】1．（2017秋•浠水县期末）解分式方程：﹣=【解答】解：﹣=，去分母，得（2x+2）（x ﹣2）﹣x （x+2）=x 2﹣2，去括号，得﹣4x=2，解得x=﹣，经检验，x=﹣是原分式方程的解．2．（2018春•静安区期末）解方程：﹣1=【解答】解：原方程化为﹣1=，方程两边都乘以（x+3）（x ﹣1）得：x ﹣1﹣（x+3）（x ﹣1）=﹣2x ，x 2﹣x ﹣2=0，解得：x=2或﹣1，检验：当x=2时，（x+3）（x ﹣1）≠0，所以x=2是原方程的解，当x=﹣1时，（x+3）（x ﹣1）≠0，所以x=﹣1是原方程的解，所以原方程的解为：x 1=2，x 2=﹣1．知识点2 分式方程的解1、类型：给出分式方程的解的限制条件，求分式方程的字母系数，例如：“关于x 的分式方程()()51212x k x x x -=-+-+的解为非负数，求k 的取值范围．” 2、此类问题的步骤（1）解方程：用含字母系数的式子表示分式方程的解；（2）根据“解的限制条件”和“最简公分母不为0”，来列所求系数的关系式；（3）解（2）中的关系式，取公共部分，即为系数的取值范围.【典例】1.关于x 的分式方程()()51212x k x x x -=-+-+的解为非负数，求k 的取值范围．【解析】解：方程两边同时乘以()()12x x +-得：()()()()5112x x k x x =-+---，去括号，得：22652x x k x x =+----，移项，得：22625x x x x k +++=+-+，合并同类项，得：7x=7+k ，系数化为1，得：77k x +=，根据题意得：707k +≥且727k +≠-，717k +≠ 解得k≥-7且k≠-21，k≠0所以k 的取值范围是k≥-7且k≠0.【方法总结】1、“非负数”是大于等于0的数.2、不要漏掉727k +≠-，717k +≠这两个限制条件. 【随堂练习】1．（2018•渝中区校级一模）如果关于x 的不等式组的解集为x ＜2，且关于x 的分式方程：有非负数解．则所有符合条件的整数m 的值之和是（）A ．3B ．2C ．﹣1D ．0【解答】解：解不等式≤1，得：x≤m+5，解不等式x ﹣2＞3（x ﹣2），得：x ＜2，∵不等式组的解为x ＜2，∴m+5≥2，解得：m≥﹣3，解分式方程：得x=，∵分式方程有非负整数解，∴≥0，且≠1，解得m ＜5且m≠1，则﹣3≤m ＜5且m≠1，所以所有符合条件的整数m 的值之和为﹣3﹣2﹣1+0+2+3+4=3，故选：A ．2．（2017春•金堂县期末）若关于x 的方程﹣1=的解为负数，则k 的取值范围是______．【解答】解：去分母得：（x+k ）（x ﹣1）﹣（x+1）（x ﹣1）=k （x+1），整理得：x 2+kx ﹣x ﹣k ﹣x 2+1=kx+k ，解得：x=﹣2k+1，由分式方程的解为负数，得到﹣2k+1＜0且﹣2k+1≠﹣1，解得：k ＞且k≠1，故答案为：k ＞且k≠1知识点3分式方程的增根概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根【典例】1.若关于x 的方程2151111k k x x x --+=-+-有增根，则k =________.【答案】3或113【解析】解：2151111k k x x x --+=-+- 方程两边都乘()()11x x +-，得()()1511x k x k ++=---，∵分式方程有增根，∴最简公分母()()11x x +-=0，所以增根是1x =或1x =-把1x =代入()()1511x k x k ++=---，整理得3k =把1x =-代入()()1511x k x k ++=---，整理得113k =所以k 的值为3或113 故答案为：3或113．【方法总结】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①去分母，化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0，从而确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2.若方程()()6=1111m x x x -+--有增根，则它的增根是（） A. x=0 B. x=1C. x=﹣1D. x=1和﹣1 【答案】B.【解析】解：()()6=1111m x x x -+--方程两边都乘()()11x x +-，得()()()6111m x x x +=+--，由最简公分母()()110x x +=-，可知增根可能是1x =或﹣1．把1x =带入()()()6111m x x x +=+--，整理得m=3，把1x =-带入()()()6111m x x x +=+--，整理得6=0，整式方程无解，所以原方程的增根只能是x=1．故选：B【方法总结】此题考查了分式方程的增根的知识，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定可能的增根；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的根，是原方程的增根；整式方程不成立，则不是原方程的增根.注意：使最简公分母为0的x 值，不一定是分式方程的增根.【随堂练习】1．（2018春•蓝田县期末）如果关于x 的方程=+1有增根，那么k 的值为 ___ 【解答】解：去分母得：1=k ﹣3+x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：k=4，故答案为：42．（2018春•遂宁期末）若分式方程﹣5=有增根，则a 的值为____．【解答】解：分式方程去分母得：x ﹣5（x ﹣3）=a ，由分式方程有增根，得到x ﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：a=3，故答案为：33．（2018春•姜堰区期末）若关于x 的方程+2=有增根，则增根为____．【解答】解：分式方程的最简公分母为x ﹣4，由分式方程有增根，得到x ﹣4=0，解得：x=4，则增根为x=4，故答案为：x=4知识点4分式方程无解分式方程无解的情况：（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解.（2）解出的整式方程的根是增根.【典例】1.解分式方程：24163242x x x -=---+ 【解析】解：24163242x x x -=---+ 方程两边同乘()()22x x +-得：()()421632x x +=---，去括号，得：4x+8﹣16=﹣3x+6，移项、合并同类项，得：7x=14，系数化为1，得：x=2，检验：当x=2时，最简公分母()()22x x +-=0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解.【方法总结】1、当解出的整式方程的根是增根时，分式方程无解2、注意增根的检验：检验：当x=2时，()()22x x +-=0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解。

八年级数学下册分式要点精讲人教新课标版

分式知识要点及难点：1 理解分式定义及基本性质。

2 理解分式有意义与值为0的条件。

（难点）3 会化简和通分。

（难点）4 能进行分式加减乘除运算，关键是通分和因式分解。

5. 有理式。

6. 能熟练解出分式方程。

一、分式的定义（概念）及基本性质1、定义：设A 、B 表示两个整式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式，（B ≠0）。

2、意义：整式的另一种表示法。

3、有意义的条件：B ≠0；无意义的条件：B=0；值为零的条件：B ≠0且A=0。

必须在有意义的条件下，才能谈分式的值。

4、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。

否则约分化简。

5、基本性质：同乘同除一个不为零的整式，值不变B A =，M M ⨯⨯B A B A =，MM ÷÷B A （M 为不等于零的整式）。

二、分式的四则运算规则运算规则与整式类似1、加减：bdbcad d c b a ±=± 2、乘除：bd ac d c b a =⨯，bcadb dc a cd b a d b c a d c b a =⨯=⨯=÷÷=÷。

三、有理式的概念有理式包括整式和分式。

整式和分式统称有理式。

四、有关分式加减运算的技巧 1、通分（1）加减的实质：分式加减运算就是通分。

（2）通分的依据：分式的基本性质（注意同乘的因式不能为零）。

（3）通分的关键：确定最简公分母（不是最简也可运算，但结果要化简）。

（4）最简公分母：各分母所有因式（包括因数）的最高次幂的积叫最简公分母。

多项式应先分解因式。

如何求？系数取最小公倍数；凡出现的以字母为底的幂的因式都要取；相同字母的幂的因式取最高次幂；这些因式的积就是最简公分母。

（5）通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备。

2、分式通分的方法：注意观察，如果不加思考地一味寻找公分母，有时会让计算变得更加复杂化。

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