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2019年江苏省高考数学试卷

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2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

2019年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1A DE F1B1C213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

2019年江苏高考数学试卷及答案

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2019年江苏高考数学试卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =▲.2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数y =的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是▲.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲.12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则ABAC的值是▲.13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin(2B π+的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<= ，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c + 成立，求m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；数学试卷参考答案1.{1,6}2.23.54.[1,7]- 5.536.7107.y =8.169.1010.411.(e, 1)13.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭15.解：（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB ∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC1⊥BE.因为C1C ⊂平面A1ACC1，AC ⊂平面A1ACC1，C1C ∩AC=C 所以BE ⊥平面A1ACC1.因为C1E ⊂平面A1ACC1，所以BE ⊥C1E.17.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x 轴，所以32==，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a=2，因为AF2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F2(1，0)，所以直线BF2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.18.（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B=15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP>90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.19．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a ba b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得1211,33b b b b b b x x ++==．列表如下：x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =．()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．20．解：（1）设等比数列{an}的公比为q ，所以a1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n ∈N .②由①知，bk=k ，*k ∈N .因为数列{cn}为“M –数列”，设公比为q ，所以c1=1，q>0.因为ck ≤bk ≤ck+1，所以1k k q k q -≤≤，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q ≥1；当k=2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x=e.列表如下：x(1,e)e (e ，+∞)()f 'x +–f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k=1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O.在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB==.（2）因为直线l 的方程为sin(34ρθπ+=，则直线l 过点2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x<0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x<–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>12时，原不等式可化为x+2x –1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．23．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。

2019年江苏高考数学真题及答案

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求证：（1）A B ∥平面 DEC ；
11
1
（2）BE⊥C E． 1
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的焦点为 F （–1、0）， 1
F （1，0）．过 F 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F : (x 1)2 y2 4a2 交于点 A，与椭圆 C
111 1
1
10．在平面直角坐标系 xOy
中，P
是曲线
y
x
4 x
(x
0)
上的一个动点，则点 P
到直线
x+y=0
的距离的最
小值是▲.
11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自
然对数的底数），则点 A 的坐标是▲.
uuur uuur uuur uuur 12．如图，在△ABC 中， D是 BC 的中点， E在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点O.若 AB AC 6AO EC ，
满分 14 分.
解：（1）因为a 3c, b
2,cos B 2 ， 3
由余弦定理 cos B
a2 c2 b2 2ac
2 (3c)2 c2 ( ，得 3 2 3c c
2) 2
，即 c2
1
.
3
所以 c
3
.
3
（2）因为
sin a
A
cos B 2b
，
由正弦定理
a sin A
b sin B
15 .
5
因此道路 PB 的长为 15（百米）.

2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word版)

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YN 输出n 开始1a 2n ←←，1n n ←+32a a ←+20a <结束 （第5题）2019年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：()2234,34=5Z i Z =-=+-3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4x ±4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：328=（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲解析：经过了两次循环，n 值变为36.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025n i i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ . 解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =A BC1ADEF 1B1C9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ .解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析：易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞U12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ . 解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-= 所以有26b bcc a= 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -= 两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即33e =13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 解析： 由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=10a = ， 10a =-（舍去） 综上1a =-或10a =14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：2252552667123123115521155223 (1),.222222011521312913236002292212n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴->-+∴<<=>∴==Q QQ n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷试题数：25.满分：2001.（填空题.5分）已知集合A={-1.0.1.6}.B={x|x＞0.x∈R}.则A∩B=___ ．2.（填空题.5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0.其中i为虚数单位.则实数a的值是___ ．3.（填空题.5分）如图是一个算法流程图.则输出的S的值是___ ．4.（填空题.5分）函数y= $\sqrt{7+6x-{x}^{2}}$ 的定义域是___ ．5.（填空题.5分）已知一组数据6.7.8.8.9.10.则该组数据的方差是___ ．6.（填空题.5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务.则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是___ ．7.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线x2- $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（b＞0）经过点（3.4）.则该双曲线的渐近线方程是___ ．8.（填空题.5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列.S n是其前n项和．若a2a5+a8=0.S9=27.则S8的值是___ ．9.（填空题.5分）如图.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120.E为CC1的中点.则三棱锥E-BCD的体积是 ___ ．10.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.P是曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）上的一个动点.则点P到直线x+y=0的距离的最小值是___ ．11.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.点A在曲线y=lnx上.且该曲线在点A处的切线经过点（-e.-1）（e为自然对数的底数）.则点A的坐标是___ ．12.（填空题.5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E在边AB上.BE=2EA.AD与CE交于点O．若 $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ =6 $\overrightarrow{AO}$ •$\overrightarrow{EC}$ .则 $\frac{AB}{AC}$ 的值是 ___ ．13.（填空题.5分）已知 $\frac{tanα}{tan(α+\frac{π}{4})}$ =- $\frac{2}{3}$ .则sin（2α+ $\frac{π}{4}$）的值是___ ．14.（填空题.5分）设f（x）.g（x）是定义在R上的两个周期函数.f（x）的周期为4.g（x）的周期为2.且f（x）是奇函数．当x∈（0.2]时.f（x）= $\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ .g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{k(x+2).}&{0＜x≤1.}\\{-\frac{1}{2}.}&{1＜x≤2.}\end{array}\right.$ 其中k＞0．若在区间（0.9]上.关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则k的取值范围是___ ．15.（问答题.14分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．（1）若a=3c.b= $\sqrt{2}$ .cosB= $\frac{2}{3}$ .求c的值；（2）若 $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .求sin（B+ $\frac{π}{2}$）的值．16.（问答题.14分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D.E分别为BC.AC的中点.AB=BC．求证：（1）A1B1 || 平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.（问答题.14分）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ + $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1.0）.F2（1.0）．过F2作x轴的垂线l.在x轴的上方.l与圆F2：（x-1）2+y2=4a2交于点A.与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B.连结BF2交椭圆C于点E.连结DF1．已知DF1= $\frac{5}{2}$ ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.（问答题.16分）如图.一个湖的边界是圆心为O的圆.湖的一侧有一条直线型公路l.湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P.Q.并修建两段直线型道路PB.QA.规划要求：线段PB.QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A.B到直线l的距离分别为AC和BD（C.D为垂足）.测得AB=10.AC=6.BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直.求道路PB的长；（2）在规划要求下.P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下.若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时.P、Q两点间的距离．19.（问答题.16分）设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）.a.b.c∈R.f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a=b=c.f（4）=8.求a的值；（2）若a≠b.b=c.且f（x）和f′（x）的零点均在集合{-3.1.3}中.求f（x）的极小值；（3）若a=0.0＜b≤1.c=1.且f（x）的极大值为M.求证：M≤ $\frac{4}{27}$ ．20.（问答题.16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0.求证：数列{a n}为“M-数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1=1. $\frac{1}{{S}_{n}}$ = $\frac{2}{{b}_{n}}$ -$\frac{2}{{b}_{n+1}}$ .其中S n为数列{b n}的前n项和．① 求数列{b n}的通项公式；② 设m为正整数.若存在“M-数列”{c n}（n∈N*）.对任意正整数k.当k≤m时.都有c k≤b k≤c k+1成立.求m的最大值．21.（问答题.10分）已知矩阵A= $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$ ．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．22.（问答题.10分）在极坐标系中.已知两点A（3. $\frac{π}{4}$）.B（ $\sqrt{2}$ .$\frac{π}{2}$）.直线l的方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$）=3．（1）求A.B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．23.（问答题.10分）设x∈R.解不等式|x|+|2x-1|＞2．24.（问答题.10分）设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n.n≥4.n∈N*．已知a32=2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+ $\sqrt{3}$ ）n=a+b $\sqrt{3}$ .其中a.b∈N*.求a2-3b2的值．25.（问答题.10分）在平面直角坐标系xOy中.设点集A n={（0.0）.（1.0）.（2.0）.….（n.0）}.B n={（0.1）.（n.1）}.C n={（0.2）.（1.2）.（2.2）.…….（n.2）}.n∈N*．令M n=A n∪B n∪C n．从集合M n中任取两个不同的点.用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n=1时.求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3）.求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析试题数：25.满分：2001.（填空题.5分）已知集合A={-1.0.1.6}.B={x|x＞0.x∈R}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1.6}【解析】：直接利用交集运算得答案．【解答】：解：∵A={-1.0.1.6}.B={x|x＞0.x∈R}.∴A∩B={-1.0.1.6}∩{x|x＞0.x∈R}={1.6}．故答案为：{1.6}．【点评】：本题考查交集及其运算.是基础题．2.（填空题.5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0.其中i为虚数单位.则实数a的值是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简.再由实部为0求的a值．【解答】：解：∵（a+2i）（1+i）=（a-2）+（a+2）i的实部为0.∴a-2=0.即a=2．故答案为：2．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．3.（填空题.5分）如图是一个算法流程图.则输出的S的值是___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值.模拟程序的运行过程.分析循环中各变量值的变化情况.可得答案．【解答】：解：模拟程序的运行.可得x=1.S=0S=0.5不满足条件x≥4.执行循环体.x=2.S=1.5不满足条件x≥4.执行循环体.x=3.S=3不满足条件x≥4.执行循环体.x=4.S=5此时.满足条件x≥4.退出循环.输出S的值为5．故答案为：5．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题.解题时应模拟程序框图的运行过程.以便得出正确的结论.是基础题．4.（填空题.5分）函数y= $\sqrt{7+6x-{x}^{2}}$ 的定义域是___ ．【正确答案】：[1][-1.7]【解析】：由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】：解：由7+6x-x2≥0.得x2-6x-7≤0.解得：-1≤x≤7．∴函数y= $\sqrt{7+6x-{x}^{2}}$ 的定义域是[-1.7]．故答案为：[-1.7]．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法.考查一元二次不等式的解法.是基础题．5.（填空题.5分）已知一组数据6.7.8.8.9.10.则该组数据的方差是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{5}{3}$【解析】：先求出一组数据6.7.8.8.9.10的平均数.由此能求出该组数据的方差．【解答】：解：一组数据6.7.8.8.9.10的平均数为：$\overline{x}$ = $\frac{1}{6}$ （6+7+8+8+9+10）=8.∴该组数据的方差为：S2= $\frac{1}{6}$ [（6-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（10-8）2]=$\frac{5}{3}$ ．故答案为： $\frac{5}{3}$ ．【点评】：本题考查一组数据的方差的求法.考查平均数、方差等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（填空题.5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务.则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{7}{10}$【解析】：基本事件总数n= ${C}_{5}^{2}$ =10.选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m= ${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$ + ${C}_{2}^{2}$ =7.由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】：解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务.基本事件总数n= ${C}_{5}^{2}$ =10.选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m= ${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$ + ${C}_{2}^{2}$ =7.∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p= $\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$ ．故答案为： $\frac{7}{10}$ ．【点评】：本题考查概率的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是基础题．7.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线x2- $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（b＞0）经过点（3.4）.则该双曲线的渐近线方程是___ ．【正确答案】：[1]y= $±\sqrt{2}x$【解析】：把已知点的坐标代入双曲线方程.求得b.则双曲线的渐近线方程可求．【解答】：解：∵双曲线x2- $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（b＞0）经过点（3.4）.∴ ${3}^{2}-\frac{16}{{b}^{2}}=1$ .解得b2=2.即b= $\sqrt{2}$ ．又a=1.∴该双曲线的渐近线方程是y= $±\sqrt{2}x$ ．故答案为：y= $±\sqrt{2}x$ ．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.考查双曲线的简单性质.是基础题．8.（填空题.5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列.S n是其前n项和．若a2a5+a8=0.S9=27.则S8的值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：设等差数列{a n}的首项为a1.公差为d.由已知列关于首项与公差的方程组.求解首项与公差.再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】：解：设等差数列{a n}的首项为a1.公差为d.则$\left\{\begin{array}{l}{({a}_{1}+d)({a}_{1}+4d)+{a}_{1}+7d=0}\\{9{a}_{1}+\frac{9×8}{2}d =27}\end{array}\right.$ .解得 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-5}\\{d=2}\end{array}\right.$ ．∴ ${S}_{8}=8{a}_{1}+\frac{8×7d}{2}$ =8×（-5）+56=16．故答案为：16．【点评】：本题考查等差数列的通项公式.考查等差数列的前n项和.是基础题．9.（填空题.5分）如图.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120.E为CC1的中点.则三棱锥E-BCD的体积是 ___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：推导出 ${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$ =AB×BC×DD1=120.三棱锥E-BCD的体积：V E-BCD= $\frac{1}{3}×{S}_{△ BCD}×CE$ =$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×DC×CE$ = $\frac{1}{12}$ ×AB×BC×DD1.由此能求出结果．【解答】：解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120.E为CC1的中点.∴ ${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$ =AB×BC×DD1=120.∴三棱锥E-BCD的体积：V E-BCD= $\frac{1}{3}×{S}_{△ BCD}×CE$= $\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×DC×CE$= $\frac{1}{12}$ ×AB×BC×DD1=10．故答案为：10．【点评】：本题考查三棱锥的体积的求法.考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题．10.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.P是曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）上的一个动点.则点P到直线x+y=0的距离的最小值是___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）的切点.再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y=0的距离的最小值．【解答】：解：由y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）.得y′=1- $\frac{4}{{x}^{2}}$ .设斜率为-1的直线与曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）切于（x0.${x}_{0}+\frac{4}{{x}_{0}}$ ）.由 $1-\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}=-1$ .解得 ${x}_{0}=\sqrt{2}$ （x0＞0）．∴曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）上.点P（ $\sqrt{2}.3\sqrt{2}$ ）到直线x+y=0的距离最小.最小值为 $\frac{|\sqrt{2}+3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=4$ ．故答案为：4．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.考查点到直线距离公式的应用.是中档题．11.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.点A在曲线y=lnx上.且该曲线在点A处的切线经过点（-e.-1）（e为自然对数的底数）.则点A的坐标是___ ．【正确答案】：[1]（e.1）【解析】：设A（x0.lnx0）.利用导数求得曲线在A处的切线方程.代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】：解：设A（x0.lnx0）.由y=lnx.得y′= $\frac{1}{x}$ .∴ $y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}$ .则该曲线在点A处的切线方程为y-lnx0=$\frac{1}{{x}_{0}}(x-{x}_{0})$ .∵切线经过点（-e.-1）.∴ $-1-ln{x}_{0}=-\frac{e}{{x}_{0}}-1$ .即 $ln{x}_{0}=\frac{e}{{x}_{0}}$ .则x0=e．∴A点坐标为（e.1）．故答案为：（e.1）．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.区分过点处与在点处的不同.是中档题．12.（填空题.5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E在边AB上.BE=2EA.AD与CE交于点O．若 $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ =6 $\overrightarrow{AO}$ •$\overrightarrow{EC}$ .则 $\frac{AB}{AC}$ 的值是 ___ ．【正确答案】：[1] $\sqrt{3}$【解析】：首先算出 $\overrightarrow{AO}$ = $\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{AD}$ .然后用$\overrightarrow{AB}$ 、 $\overrightarrow{AC}$ 表示出 $\overrightarrow{AO}$ 、$\overrightarrow{EC}$ .结合 $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ =6$\overrightarrow{AO}$ • $\overrightarrow{EC}$ 得$\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ = $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .进一步可得结果．【解答】：解：设 $\overrightarrow{AO}$ =λ $\overrightarrow{AD}$ =$\frac{λ}{2}$（ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ）.$\overrightarrow{AO}$ = $\overrightarrow{AE}$ + $\overrightarrow{EO}$ =$\overrightarrow{AE}$ +μ $\overrightarrow{EC}$ = $\overrightarrow{AE}$ +μ（ $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}$ ）=（1-μ） $\overrightarrow{AE}$ +μ $\overrightarrow{AC}$ = $\frac{1-μ}{3}$ $\overrightarrow{AB}$ +μ $\overrightarrow{AC}$∴ $\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}=\frac{1-μ}{3}}\\{\frac{λ}{2}=μ}\end{array}\right.$ .∴ $\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}}\\{μ=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$ .∴ $\overrightarrow{AO}$ = $\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{AD}$ =$\frac{1}{4}$ （ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ）.$\overrightarrow{EC}$ = $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}$ =-$\frac{1}{3}$ $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ .6 $\overrightarrow{AO}$ • $\overrightarrow{EC}$ =6×$\frac{1}{4}$ （ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ）•（-$\frac{1}{3}$ $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ ）= $\frac{3}{2}$ （ $-\frac{1}{3}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ +$\frac{2}{3}$ $\overrightarrow{AB}\bullet \overrightarrow{AC}$ +${\overrightarrow{AC}}^{2}$ ）= $-\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ + $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}$ + $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .∵ $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ = $-\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ + $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}$ + $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .∴ $\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ = $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .∴ $\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{{\overrightarrow{AC}}^{2}}$ =3.∴ $\frac{AB}{AC}$ = $\sqrt{3}$ ．故答案为： $\sqrt{3}$【点评】：本题考查向量的数量积的应用.考查向量的表示以及计算.考查计算能力．13.（填空题.5分）已知 $\frac{tanα}{tan(α+\frac{π}{4})}$ =- $\frac{2}{3}$ .则sin（2α+ $\frac{π}{4}$）的值是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{\sqrt{2}}{10}$【解析】：由已知求得tanα.分类利用万能公式求得sin2α.cos2α的值.展开两角和的正弦求sin （2α+ $\frac{π}{4}$）的值．【解答】：解：由 $\frac{tanα}{tan(α+\frac{π}{4})}$ =- $\frac{2}{3}$ .得$\frac{tanα}{\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanαtan\frac{π}{4}}}=-\frac{2}{3}$ .∴ $\frac{tanα(1-tanα)}{1+tanα}=-\frac{2}{3}$ .解得tanα=2或tan $α=-\frac{1}{3}$ ．当tanα=2时.sin2α= $\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{4}{5}$ .cos2α= $\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=-\frac{3}{5}$ .∴sin（2α+ $\frac{π}{4}$）= $sin2αcos\frac{π}{4}+cos2αsin\frac{π}{4}$ =$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ；当tanα= $-\frac{1}{3}$ 时.sin2α= $\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$ = $-\frac{3}{5}$ .cos2α= $\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{4}{5}$ .∴sin（2α+ $\frac{π}{4}$）= $sin2αcos\frac{π}{4}+cos2αsin\frac{π}{4}$ = $-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ．综上.sin（2α+ $\frac{π}{4}$）的值是 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ ．故答案为： $\frac{\sqrt{2}}{10}$ ．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值.考查两角和的三角函数及万能公式的应用.是中档题．14.（填空题.5分）设f（x）.g（x）是定义在R上的两个周期函数.f（x）的周期为4.g（x）的周期为2.且f（x）是奇函数．当x∈（0.2]时.f（x）= $\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ .g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{k(x+2).}&{0＜x≤1.}\\{-\frac{1}{2}.}&{1＜x≤2.}\end{array}\right.$ 其中k＞0．若在区间（0.9]上.关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则k的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][ $\frac{1}{3}$ . $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ）【解析】：由已知函数解析式结合周期性作出图象.数形结合得答案．【解答】：解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图.由图可知.函数f（x）与g（x）=- $\frac{1}{2}$ （1＜x≤2.3＜x≤4.5＜x≤6.7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则f（x）= $\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ .x∈（0.2]与g（x）=k（x+2）.x∈（0.1]的图象有2个不同交点.由（1.0）到直线kx-y+2k=0的距离为1.得 $\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$ .解得k= $\frac{\sqrt{2}}{4}$ （k＞0）.∵两点（-2.0）.（1.1）连线的斜率k= $\frac{1}{3}$ .∴ $\frac{1}{3}$ ≤k＜ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ．即k的取值范围为[ $\frac{1}{3}$ . $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ）．故答案为：[ $\frac{1}{3}$ . $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ）．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查分段函数的应用.体现了数形结合的解题思想方法.是中档题．15.（问答题.14分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．（1）若a=3c.b= $\sqrt{2}$ .cosB= $\frac{2}{3}$ .求c的值；（2）若 $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .求sin（B+ $\frac{π}{2}$）的值．【正确答案】：【解析】：（1）由余弦定理得：cosB= $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$ =$\frac{10{c}^{2}-2}{6{c}^{2}}$ = $\frac{2}{3}$ .由此能求出c的值．（2）由 $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .利用正弦定理得2sinB=cosB.再由sin2B+cos2B=1.能求出sinB= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .cosB= $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .由此利用诱导公式能求出sin（B+ $\frac{π}{2}$）的值．【解答】：解：（1）∵在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．a=3c.b= $\sqrt{2}$ .cosB= $\frac{2}{3}$ .∴由余弦定理得：cosB= $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$ = $\frac{10{c}^{2}-2}{6{c}^{2}}$ =$\frac{2}{3}$ .解得c= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．（2）∵ $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .∴由正弦定理得： $\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{cosB}{2b}$ .∴2sinB=cosB.∵sin2B+cos2B=1.∴sinB= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .cosB= $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .∴sin（B+ $\frac{π}{2}$）=cosB= $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ．【点评】：本题考查三角形边长、三角函数值的求法.考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识.考查推理能力与计算能力.属于中档题．16.（问答题.14分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D.E分别为BC.AC的中点.AB=BC．求证：（1）A1B1 || 平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【正确答案】：【解析】：（1）推导出DE || AB.AB || A1B1.从而DE || A1B1.由此能证明A1B1 || 平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1.BE⊥AC.从而BE⊥平面ACC1A1.由此能证明BE⊥C1E．【解答】：证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D.E分别为BC.AC的中点.∴DE || AB.AB || A1B1.∴DE || A1B1.∵DE⊂平面DEC1.A1B1⊄平面DEC1.∴A1B1 || 平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中.E是AC的中点.AB=BC．∴BE⊥AC.∵直三棱柱ABC-A1B1C1中.AA1⊥平面ABC.BE⊂平面ABC.∴BE⊥AA1.又AA1∩AC=A.∴BE⊥平面ACC1A1.∵C1E⊂平面ACC1A1.∴BE⊥C1E．【点评】：本题考查线面平行、线线垂直的证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题．17.（问答题.14分）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ + $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1.0）.F2（1.0）．过F2作x轴的垂线l.在x轴的上方.l与圆F2：（x-1）2+y2=4a2交于点A.与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B.连结BF2交椭圆C于点E.连结DF1．已知DF1= $\frac{5}{2}$ ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由题意得到F1D || BF2.然后求AD.再由AD=DF1= $\frac{5}{2}$ 求得a.则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标.得到 ${k}_{B{F}_{2}}={k}_{D{F}_{1}}$ =$\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$ .写出BF2的方程.与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】：解：（1）如图.∵F2A=F2B.∴∠F2AB=∠F2BA.∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D.∴AD=F1D.则∠DAF1=∠DF1A.∴∠DF1A=∠F2BA.则F1D || BF2.∵c=1.∴b2=a2-1.则椭圆方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$ .取x=1.得 ${y}_{D}=\frac{{a}^{2}-1}{a}$ .则AD=2a- $\frac{{a}^{2}-1}{a}$ =$\frac{{a}^{2}+1}{a}$ ．又DF1= $\frac{5}{2}$ .∴ $\frac{{a}^{2}+1}{a}=\frac{5}{2}$ .解得a=2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$ ；（2）由（1）知.D（1. $\frac{3}{2}$ ）.F1（-1.0）.∴ ${k}_{B{F}_{2}}={k}_{D{F}_{1}}$ = $\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$ .则BF2：y=$\frac{3}{4}(x-1)$ .联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$ .得21x2-18x-39=0．解得x1=-1或 ${x}_{2}=\frac{13}{7}$ （舍）．∴ ${y}_{1}=-\frac{3}{2}$ ．即点E的坐标为（-1.- $\frac{3}{2}$ ）．【点评】：本题考查直线与圆.圆与椭圆位置关系的应用.考查计算能力.证明DF1 || BF2是解答该题的关键.是中档题．18.（问答题.16分）如图.一个湖的边界是圆心为O的圆.湖的一侧有一条直线型公路l.湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P.Q.并修建两段直线型道路PB.QA.规划要求：线段PB.QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A.B到直线l的距离分别为AC和BD（C.D为垂足）.测得AB=10.AC=6.BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直.求道路PB的长；（2）在规划要求下.P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下.若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时.P、Q两点间的距离．【正确答案】：【解析】：（1）设BD与圆O交于M.连接AM.以C为坐标原点.l为x轴.建立直角坐标系.则A （0.-6）.B（-8.-12）.D（-8.0）设点P（x1.0）.PB⊥AB.运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1.求得P的坐标.可得所求值；（2）当QA⊥AB时.QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径.设此时Q（x2.0）.运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1.求得Q的坐标.即可得到结论；（3）设P（a.0）.Q（b.0）.则a≤-17.b≥- $\frac{9}{2}$ .结合条件.可得b的最小值.由两点的距离公式.计算可得PQ．【解答】：解：设BD与圆O交于M.连接AM.AB为圆O的直径.可得AM⊥BM.即有DM=AC=6.BM=6.AM=8.以C为坐标原点.l为x轴.建立直角坐标系.则A（0.-6）.B（-8.-12）.D（-8.0）（1）设点P（x1.0）.PB⊥AB.则k BP•k AB=-1.即 $\frac{0-(-12)}{{x}_{1}-(-8)}$ • $\frac{-6-(-12)}{0-(-8)}$ =-1.解得x1=-17.所以P（-17.0）.PB= $\sqrt{(-17+8)^{2}+(0+12)^{2}}$ =15；（2）当QA⊥AB时.QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径.设此时Q（x2.0）.则k QA•k AB=-1.即 $\frac{0-(-6)}{{x}_{2}-0}$ • $\frac{-6-(-12)}{0-(-8)}$ =-1.解得x2=-$\frac{9}{2}$ .Q（- $\frac{9}{2}$ .0）.由-17＜-8＜- $\frac{9}{2}$ .在此范围内.不能满足PB.QA上所有点到O的距离不小于圆的半径. 所以P.Q中不能有点选在D点；（3）设P（a.0）.Q（b.0）.由（1）（2）可得a≤-17.b≥- $\frac{9}{2}$ .由两点的距离公式可得PB2=（a+8）2+144≥225.当且仅当a=-17时.d=|PB|取得最小值15.又QA2=b2+36≥225.则b≥3 $\sqrt{21}$ .当d最小时.a=-17.b=3 $\sqrt{21}$ .PQ=17+3$\sqrt{21}$ ．【点评】：本题考查直线和圆的位置关系.考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为-1.以及两点的距离公式.分析问题和解决问题的能力.考查运算能力.属于中档题．19.（问答题.16分）设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）.a.b.c∈R.f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a=b=c.f（4）=8.求a的值；（2）若a≠b.b=c.且f（x）和f′（x）的零点均在集合{-3.1.3}中.求f（x）的极小值；（3）若a=0.0＜b≤1.c=1.且f（x）的极大值为M.求证：M≤ $\frac{4}{27}$ ．【正确答案】：【解析】：（1）由a=b=c.可得f（x）=（x-a）3.根据f（4）=8.可得（4-a）3=8.解得a．（2）a≠b.b=c.设f（x）=（x-a）（x-b）2．令f（x）=（x-a）（x-b）2=0.解得x=a.或x=b．f′（x）=（x-b）（3x-b-2a）．令f′（x）=0.解得x=b.或x= $\frac{2a+b}{3}$ ．根据f （x）和f′（x）的零点均在集合A={-3.1.3}中.通过分类讨论可得：只有a=3.b=-3.可得$\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{6-3}{3}$ =1∈A.可得：f（x）=（x-3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x=1时.函数f（x）取得极小值．（3）a=0.0＜b≤1.c=1.f（x）=x（x-b）（x-1）．f′（x）=3x2-（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）=3x2-（2b+2）x+b=0．解得：x1= $\frac{b+1-\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ ∈$(0.\frac{1}{3}]$ .x2= $\frac{b+1+\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ ．x1＜x2.可得x=x1时.f（x）取得极大值为M.f′（x1）= $3{x}_{1}^{2}$ -（2b+2）x1+b=0.令x1=t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ .可得：b= $\frac{3{t}^{2}-2t}{2t-1}$ ．M=f（x1）=x1（x1-b）（x1-1）=t（t-b）（t-1）= $\frac{-{t}^{4}+2{t}^{3}-{t}^{2}}{2t-1}$ .利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】：解：（1）∵a=b=c.∴f（x）=（x-a）3.∵f（4）=8.∴（4-a）3=8.∴4-a=2.解得a=2．（2）a≠b.b=c.设f（x）=（x-a）（x-b）2．令f（x）=（x-a）（x-b）2=0.解得x=a.或x=b．f′（x）=（x-b）2+2（x-a）（x-b）=（x-b）（3x-b-2a）．令f′（x）=0.解得x=b.或x= $\frac{2a+b}{3}$ ．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A={-3.1.3}中.若：a=-3.b=1.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{-6+1}{3}$ =- $\frac{5}{3}$ ∉A.舍去．a=1.b=-3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{2-3}{3}$ =- $\frac{1}{3}$ ∉A.舍去．a=-3.b=3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{-6+3}{3}$ =-1∉A.舍去．．a=3.b=1.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{6+1}{3}$ = $\frac{7}{3}$ ∉A.舍去．a=1.b=3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{5}{3}$ ∉A.舍去．a=3.b=-3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{6-3}{3}$ =1∈A.因此a=3.b=-3. $\frac{2a+b}{3}$ =1∈A.可得：f（x）=（x-3）（x+3）2．f′（x）=3[x-（-3）]（x-1）．可得x=1时.函数f（x）取得极小值.f（1）=-2×42=-32．（3）证明：a=0.0＜b≤1.c=1.f（x）=x（x-b）（x-1）．f′（x）=（x-b）（x-1）+x（x-1）+x（x-b）=3x2-（2b+2）x+b．△=4（b+1）2-12b=4b2-4b+4=4 $(b-\frac{1}{2})^{2}$ +3≥3．令f′（x）=3x2-（2b+2）x+b=0．解得：x1= $\frac{b+1-\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ ∈ $(0.\frac{1}{3}]$ .x2=$\frac{b+1+\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ ．x1＜x2.x1+x2= $\frac{2b+2}{3}$ .x1x2= $\frac{b}{3}$ .可得x=x1时.f（x）取得极大值为M.∵f′（x1）= $3{x}_{1}^{2}$ -（2b+2）x1+b=0.令x1=t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ .可得：b= $\frac{3{t}^{2}-2t}{2t-1}$ ．∴M=f（x1）=x1（x1-b）（x1-1）=t（t-b）（t-1）= $\frac{-{t}^{4}+2{t}^{3}-{t}^{2}}{2t-1}$ . M′= $\frac{-6{t}^{4}+12{t}^{3}-8{t}^{2}+2t}{(2t-1)^{2}}$ ．令g（t）=-6t3+12t2-8t+2.g′（t）=-18t2+24t-8=-2（3t-2）2＜0.∴函数g（t）在t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ 上单调递减. $g(\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{9}$ ＞0．∴t•g（t）＞0．∴M′＞0．∴函数M（t）在t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ 上单调递增.∴M（t）≤ $M(\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{27}$ ．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法.考查了推理能力与计算能力.属于难题．20.（问答题.16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0.求证：数列{a n}为“M-数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1=1. $\frac{1}{{S}_{n}}$ = $\frac{2}{{b}_{n}}$ -$\frac{2}{{b}_{n+1}}$ .其中S n为数列{b n}的前n项和．① 求数列{b n}的通项公式；② 设m为正整数.若存在“M-数列”{c n}（n∈N*）.对任意正整数k.当k≤m时.都有c k≤b k≤c k+1成立.求m的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）设等比数列{a n}的公比为q.然后根据a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0列方程求解.在根据新定义判断即可；（2）求出b2.b3.b4猜想b n.然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q.将问题转化为 $[\frac{lnk}{k}]_{max}≤[\frac{lnk}{k-1}]_{min}$ .然后构造函数f（x）= $\frac{lnx}{x}(x≥3)$ .g（x）= $\frac{lnx}{x-1}(x≤3)$ .分别求解其最大值和最小值.最后解不等式 $\frac{ln3}{3}≤\frac{lnm}{m-1}$ .即可．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q.则由a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0.得$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{4}={a}_{1}{q}^{4}}\\{{a}_{1}{q}^{2}-4{a}_{1}q+4{a}_{1}=0}\end{array}\right.$ ∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$ .∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M-数列”；（2）① ∵b1=1. $\frac{1}{{S}_{n}}$ = $\frac{2}{{b}_{n}}$ - $\frac{2}{{b}_{n+1}}$ .∴当n=1时. $\frac{1}{S_1}=\frac{1}{b_1}=\frac{2}{b_1}-\frac{2}{b_2}$ .∴b2=2.当n=2时. $\frac{1}{S_2}=\frac{1}{b_1+b_2}=\frac{2}{b_2}-\frac{2}{b_3}$ .∴b3=3.当n=3时. $\frac{1}{S_3}=\frac{1}{b_1+b_2+b_3}=\frac{2}{b_3}-\frac{2}{b_4}$ .∴b4=4.猜想b n=n.下面用数学归纳法证明；（i）当n=1时.b1=1.满足b n=n.（ii）假设n=k时.结论成立.即b k=k.则n=k+1时.由 $\frac{1}{S_{k}}=\frac{2}{b_{k}}-\frac{2}{b_{k+1}}$ .得$b_{k+1}=\frac{2b_kS_k}{2S_k-b_k}$ = $\frac{2k\bullet \frac{k(k+1)}{2}}{2\bullet\frac{k(k+1)}{2}-k}$ =k+1.故n=k+1时结论成立.根据（i）（ii）可知.b n=n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n=n；② 设{c n}的公比为q.存在“M-数列”{c n}（n∈N*）.对任意正整数k.当k≤m时.都有c k≤b k≤c k+1成立.即q k-1≤k≤q k对k≤m恒成立.当k=1时.q≥1.当k=2时. $\sqrt{2}≤q≤2$ .当k≥3.两边取对数可得. $\frac{lnk}{k}≤lnq≤\frac{lnk}{k-1}$ 对k≤m有解.即$[\frac{lnk}{k}]_{max}≤lnq≤[\frac{lnk}{k-1}]_{min}$ .令f（x）= $\frac{lnx}{x}(x≥3)$ .则 $f'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$ .当x≥3时.f'（x）＜0.此时f（x）递减.∴当k≥3时. $[\frac{lnk}{k}]_{max}=\frac{ln3}{3}$ .令g（x）= $\frac{lnx}{x-1}(x≤3)$ .则 $g'(x)=\frac{1-\frac{1}{x}-lnx}{x^2}$ .令 $ϕ(x)=1-\frac{1}{x}-lnx$ .则 $ϕ'(x)=\frac{1-x}{x^2}$ .当x≥3时.ϕ'（x）＜0.即g'（x）＜0.∴g（x）在[3.+∞）上单调递减.即k≥3时. $[\frac{lnk}{k-1}]_{min}=\frac{lnm}{m-1}$ .则 $\frac{ln3}{3}≤\frac{lnm}{m-1}$ .下面求解不等式 $\frac{ln3}{3}≤\frac{lnm}{m-1}$ .化简.得3lnm-（m-1）ln3≥0.令h（m）=3lnm-（m-1）ln3.则h'（m）= $\frac{3}{m}$ -ln3.由k≥3得m≥3.h'（m）＜0.∴h（m）在[3.+∞）上单调递减.又由于h（5）=3ln5-4ln3=ln125-ln81＞0.h（6）=3ln6-5ln3=ln216-ln243＜0.∴存在m0∈（5.6）使得h（m0）=0.∴m的最大值为5.此时q∈ $[3^{\frac{1}{3}}$ . $5^{\frac{1}{4}}]$ ．【点评】：本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立.考查了数学归纳法和构造法.是数列、函数和不等式的综合性问题.属难题．21.（问答题.10分）已知矩阵A= $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$ ．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．【正确答案】：【解析】：（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）= $\left|\b egin{array}{l}{λ-3}&{-1}\\{-2}&{λ-2}\end{array}\right|$ =λ2-5λ+4.解方程f（λ）=0即可．【解答】：解：（1）∵A= $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$∴A2=$\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{ 2}&{2}\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{l}{11}&{5}\\{10}&{6}\end{array}\right]$（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）= $\left|\begin{array}{l}{λ-3}&{-1}\\{-2}&{λ-2}\end{array}\right|$ =λ2-5λ+4.令f（λ）=0.则由方程λ2-5λ+4=0.得λ=1或λ=4.∴矩阵A的特征值为1或4．【点评】：本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识.考查运算与求解能力.属基础题．22.（问答题.10分）在极坐标系中.已知两点A（3. $\frac{π}{4}$）.B（ $\sqrt{2}$ .$\frac{π}{2}$）.直线l的方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$）=3．（1）求A.B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．【正确答案】：【解析】：（1）设极点为O.则由余弦定理可得 $AB^2=OA^2+OB^2-2OA\bulletOBcos\angleAOB$ .解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】：解：（1）设极点为O.则在△OAB中.由余弦定理.得AB2=OA2+OB2-2OA $\bulletOBcos\angleAOB$ .∴AB= $\sqrt{{3}^{2}+(\sqrt{2})^{2}-2×3×\sqrt{2}×cos(\frac{π}{2}-\frac{π}{4})}$ =$\sqrt{5}$ ；（2）由直线l的方程ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$）=3.知直线l过（3 $\sqrt{2}$ . $\frac{π}{2}$）.倾斜角为 $\frac{3π}{4}$ .又B（ $\sqrt{2}$ . $\frac{π}{2}$）.∴点B到直线l的距离为 $(3\sqrt{2}-\sqrt{2})\bulletsin(\frac{3π}{4}-\frac{π}{2})=2$．【点评】：本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离.属基础题．23.（问答题.10分）设x∈R.解不等式|x|+|2x-1|＞2．【正确答案】：【解析】：对|x|+|2x-1|去绝对值.然后分别解不等式即可．【解答】：解：|x|+|2x-1|= $\left\{\begin{array}{l}{3x-1.x＞\frac{1}{2}}\\{-x+1.0≤x≤\frac{1}{2}}\\{-3x+1.x＜0}\end{array}\right.$ .∵|x|+|2x-1|＞2.∴ $\left\{\begin{array}{l}{3x-1＞2}\\{x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{-x+1＞2}\\{0≤x≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1＞2}\\{x＜0}\end{array}\right.$ .∴x＞1或x∈∅或x＜- $\frac{1}{3}$ .∴不等式的解集为{x|x＜- $\frac{1}{3}$ 或x＞1}．【点评】：本题考查了绝对值不等式的解法.属基础题．24.（问答题.10分）设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n.n≥4.n∈N*．已知a32=2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+ $\sqrt{3}$ ）n=a+b $\sqrt{3}$ .其中a.b∈N*.求a2-3b2的值．【正确答案】：【解析】：（1）运用二项式定理.分别求得a2.a3.a4.结合组合数公式.解方程可得n的值；（2）方法一、运用二项式定理.结合组合数公式求得a.b.计算可得所求值；方法二、由于a.b∈N*.求得（1- $\sqrt{3}$ ）5=a-b $\sqrt{3}$ .再由平方差公式.计算可得所求值．【解答】：解：（1）由（1+x）n=C ${}_{n}^{0}$ +C ${}_{n}^{1}$ x+C ${}_{n}^{2}$ x2+…+C ${}_{n}^{n}$ x n.n≥4.可得a2=C ${}_{n}^{2}$ = $\frac{n(n-1)}{2}$ .a3=C ${}_{n}^{3}$ = $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ .a4=C ${}_{n}^{4}$ = $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ .a32=2a2a4.可得（ $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ ）2=2• $\frac{n(n-1)}{2}$ • $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ .解得n=5；（2）方法一、（1+ $\sqrt{3}$ ）5=C ${}_{5}^{0}$ +C ${}_{5}^{1}$ $\sqrt{3}$ +C${}_{5}^{2}$ （ $\sqrt{3}$ ）2+C ${}_{5}^{3}$ （ $\sqrt{3}$ ）3+C ${}_{5}^{4}$ （ $\sqrt{3}$ ）4+C ${}_{5}^{5}$ （ $\sqrt{3}$ ）5=a+b $\sqrt{3}$ .由于a.b∈N*.可得a=C ${}_{5}^{0}$ +3C ${}_{5}^{2}$ +9C ${}_{5}^{4}$ =1+30+45=76.b=C ${}_{5}^{1}$ +3C ${}_{5}^{3}$ +9C ${}_{5}^{5}$ =44.可得a2-3b2=762-3×442=-32；方法二、（1+ $\sqrt{3}$ ）5=C ${}_{5}^{0}$ +C ${}_{5}^{1}$ $\sqrt{3}$ +C${}_{5}^{2}$ （ $\sqrt{3}$ ）2+C ${}_{5}^{3}$ （ $\sqrt{3}$ ）3+C ${}_{5}^{4}$ （ $\sqrt{3}$ ）4+C ${}_{5}^{5}$ （ $\sqrt{3}$ ）5=a+b $\sqrt{3}$ .（1- $\sqrt{3}$ ）5=C ${}_{5}^{0}$ +C ${}_{5}^{1}$ （- $\sqrt{3}$ ）+C ${}_{5}^{2}$ （-$\sqrt{3}$ ）2+C ${}_{5}^{3}$ （- $\sqrt{3}$ ）3+C ${}_{5}^{4}$ （- $\sqrt{3}$ ）4+C${}_{5}^{5}$ （- $\sqrt{3}$ ）5=C ${}_{5}^{0}$ -C ${}_{5}^{1}$ $\sqrt{3}$ +C ${}_{5}^{2}$ （ $\sqrt{3}$ ）2-C${}_{5}^{3}$ （ $\sqrt{3}$ ）3+C ${}_{5}^{4}$ （ $\sqrt{3}$ ）4-C ${}_{5}^{5}$ （ $\sqrt{3}$ ）5.由于a.b∈N*.可得（1- $\sqrt{3}$ ）5=a-b $\sqrt{3}$ .可得a2-3b2=（1+ $\sqrt{3}$ ）5•（1- $\sqrt{3}$ ）5=（1-3）5=-32．【点评】：本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用.考查运算能力和分析问题能力.属于中档题．25.（问答题.10分）在平面直角坐标系xOy中.设点集A n={（0.0）.（1.0）.（2.0）.….（n.0）}.B n={（0.1）.（n.1）}.C n={（0.2）.（1.2）.（2.2）.…….（n.2）}.n∈N*．令M n=A n∪B n∪C n．从集合M n中任取两个不同的点.用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n=1时.求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3）.求概率P（X≤n）（用n表示）．【正确答案】：【解析】：（1）当n=1时.X的所有可能取值为1. $\sqrt{2}$ .2. $\sqrt{5}$ .由古典概率的公式.结合组合数可得所求值；（2）设A（a.b）和B（c.d）是从M n中取出的两个点.因为P（X≤n）=1-P（X＞n）.所以只需考虑X＞n的情况.分别讨论b.d的取值.结合古典概率的计算公式和对立事件的概率.即可得到所求值．【解答】：解：（1）当n=1时.X的所有可能取值为1. $\sqrt{2}$ .2. $\sqrt{5}$ .X的概率分布为P（X=1）= $\frac{7}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{7}{15}$ ；P（X= $\sqrt{2}$ ）= $\frac{4}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{4}{15}$ ；P（X=2）= $\frac{2}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{2}{15}$ ；P（X= $\sqrt{5}$ ）=$\frac{2}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{2}{15}$ ；（2）设A（a.b）和B（c.d）是从M n中取出的两个点.因为P（X≤n）=1-P（X＞n）.所以只需考虑X＞n的情况.① 若b=d.则AB≤n.不存在X＞n的取法；② 若b=0.d=1.则AB= $\sqrt{(a-c)^{2}+1}$ ≤ $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .所以X＞n当且仅当AB= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .此时a=0．c=n或a=n.c=0.有两种情况；③ 若b=0.d=2.则AB= $\sqrt{(a-c)^{2}+4}$ ≤ $\sqrt{{n}^{2}+4}$ .所以X＞n当且仅当AB= $\sqrt{{n}^{2}+4}$ .此时a=0．c=n或a=n.c=0.有两种情况；④ 若b=1.d=2.则AB= $\sqrt{(a-c)^{2}+1}$ ≤ $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .所以X＞n当且仅当AB= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .此时a=0．c=n或a=n.c=0.有两种情况；综上可得当X＞n.X的所有值是 $\sqrt{{n}^{2}+1}$ 或 $\sqrt{{n}^{2}+4}$ .且P（X= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ ）= $\frac{4}{{C}_{2n+4}^{2}}$ .P（X= $\sqrt{{n}^{2}+4}$ ）= $\frac{2}{{C}_{2n+4}^{2}}$ .可得P（X≤n）=1-P（X= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ ）-P（X= $\sqrt{{n}^{2}+4}$ ）=1-$\frac{6}{{C}_{2n+4}^{2}}$ ．【点评】：本题考查随机变量的概率的分布.以及古典概率公式的运用.考查分类讨论思想方法.以及化简运算能力.属于难题．。

【真题】2019年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)

【真题】2019年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)

15．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．
（1）若 a=3c，b=
2
，cosB=
2
，求
c
的值；（2）若
sin
A
cos
B
，求
sin(B
)
的值．
3
a 2b
2
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16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E．
置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式：
样本数据 x1, x2 ,…, xn 的方差 s2
5．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ . 6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学
的概率是 ▲ .
7．在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
x2
y2 b2
1(b
0)
经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是
绝密★考试结束前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。

2019年江苏省高考数学试卷(含参考答案)

2019年江苏省高考数学试卷(含参考答案)

2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝{1，6}．解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是2．解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是5．解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．4．（5分）函数y＝的定义域是[﹣1，7]．解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是y＝．解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是16．解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是10．解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD 1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是4．解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是（e，1）．解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是[，）．解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x ＜﹣，∴不等式的解集为{x|x ＜﹣或x＞1}．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C ＝，a3＝C ＝，a4＝C ＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C （﹣）+C （﹣）2+C （﹣）3+C （﹣）4+C （﹣）5＝C﹣C+C （）2﹣C （）3+C （）4﹣C （）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，第21页（共22页）可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X ＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X ＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X 的所有值是或，且P（X ＝）＝，P（X ＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X ＝）﹣P（X ＝）＝1﹣．第22页（共22页）。

2019年江苏省高考数学试卷(解析版)

2019年江苏省高考数学试卷(解析版)

2019年江苏省高考数学试卷（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题（共14小题）1.已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2.已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4.函数y＝的定义域是﹣．5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8.已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13.已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14.设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题（共11小题）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．21.已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．22.在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．23.设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．24.设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学试卷（解析版）参考答案一、填空题（共14小题）1.【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【知识点】交集及其运算2.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【知识点】程序框图4.【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【知识点】函数的定义域及其求法5.【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【知识点】极差、方差与标准差6.【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【知识点】古典概型及其概率计算公式7.【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【知识点】双曲线的标准方程8.【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝8×（﹣5）+56＝16．故答案为：16．【知识点】等差数列的前n项和9.【分析】推导出＝AB×BC×DD 1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积10.【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程11.【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程12.【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律13.【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值14.【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【知识点】分段函数的应用二、解答题（共11小题）15.【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B＝，cos B＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【知识点】余弦定理、三角函数的恒等变换及化简求值16.【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【知识点】直线与平面平行的判定、棱柱的结构特征17.【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【知识点】椭圆的简单性质18.【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【知识点】直线和圆的方程的应用19.【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．【知识点】利用导数研究函数的极值20.【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤q k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递减，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≥0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【知识点】数列与不等式的综合21.【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．【知识点】二阶矩阵、特征值与特征向量的计算22.【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．【知识点】极坐标刻画点的位置23.【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【知识点】绝对值不等式的解法24.【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【知识点】二项式定理25.【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【知识点】古典概型及其概率计算公式。

2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷一、填空题1. 已知集合A={−1,0,1,6},B={x|x>0，x∈R}，则A∩B=________.2. 已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.3. 右图是一个算法流程图，则输出的S的值是_______.4. 函数y=√7+6x−x2的定义域是________.5. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.6. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.7. 在平面直角坐标系中，若双曲线x2−y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 .8. 已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8=0，S9=27，则S8的值是 . 9. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E−BCD的体积是________.10. 在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.11. 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(−e,−1)（e为自然对数的底数），则点A的坐标是________.12. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB→⋅AC→=6AO→⋅EC→，则ABAC的值是________.13. 已知tanαtan(α+π4)=−23，则sin(2α+π4)的值是________.14. 设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)=√1−(x−1)2，g(x)={k(x+2),0<x≤1−12,1<x≤2，其中k>0.若在区间(0,9]上，关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.二、解答题15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a =3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值；(2)若sin A a=cos B 2b，求sin (B +π2)的值.16. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D, E 分别为BC, AC 的中点，AB =BC .求证：(1)A 1B 1//平面DEC 1；(2)BE ⊥C 1E .17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:x2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点为点F 1(−1,0)，F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:(x −1)2+y 2=4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标.18. 如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型的公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P ，Q 并修建两段直线型道路PB ，QA ，规划要求：线段PB ，QA ，上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB =10,AC =6，BD =12(单位：百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d (单位：百米)， 求当d 最小时，P ，Q 两点间的距离.19. 设函数f(x)=(x −a)(x −b)(x −c),a,b,c ∈R,f ′(x)为f(x)的导函数. (1)若a =b =c ，f(4)=8，求a 的值.(2)若a ≠b ，b =c ，且f(x)和f ′(x)的零点均在集合{−3，1，3}中，求f(x)的极小值.(3)若a =0，0<b ≤1，c =1，且f(x)的极大值为M ，求证：M ≤427.20. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M −数列”.(1)已知等比数列{a n }(n ∈N ∗)满足：a 2a 4=a 5,a 3−4a 2+4a 1=0，求证：数列{a n }为“M −数列”.(2)已知数列{b n }满足：b 1=1，1S n=2b n−2bn+1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M −数列”{c n }(n ∈N ∗)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k+1成立，求m 的最大值. 三、附加题21. 已知矩阵A =[3122].(1)求A 2；(2)求矩阵A 的特征值.22. 在极坐标系中，已知两点A (3,π4),B (√2,π2)，直线l 的方程为ρsin (θ+π4)=3. (1)求A,B 两点间的距离；(2)求点B 到直线l 的距离.23. 设x ∈R ，解不等式|x|+|2x −1|>2.24. 设(1+x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ,n ≥4，n ∈N ∗.已知a 32=2a 2a 4.(1)求n 的值；(2)设(1+√3)n =a +b √3，其中a,b ∈N ∗，求a 2−3b 2的值.25. 在平面直角坐标系xOy 中，设点集A n ={(0, 0)，(1, 0)，(2, 0)，⋯，(n, 0)}，B n ={(0, 1)，(n, 1)}，C n ={(0, 2)，(1, 2)，(2, 2)，⋯，(n, 2)}，n ∈N ∗，令M n =A n ∪B n ∪C n ，从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. (1)当n =1时，求X 的概率分布；(2)对给定的正整数n(n ≥3)，求概率P(X ≤n)（用n 表示）.参考答案与试题解析2019年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵A={−1,0,1,6},B={x|x>0，x∈R}，∴A∩B={1,6}.故答案为：{1,6}.2.【答案】2【考点】复数的运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：(a+2i)(1+i)=a−2+(a+2)i，∵实部为0，即a−2=0，∴a=2.故答案为：2.3.【答案】5【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：S=0+12+22+32+42=5.故答案为：5.4.【答案】[−1,7]【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由7+6x−x2≥0，解得：−1≤x≤7,∴函数y=√7+6x−x2[−1,7].故答案为：[−1,7].5.【答案】53【考点】极差、方差与标准差【解析】此题暂无解析【解答】解：计算可知该组数据平均数为.则方差为s2=(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2×2+(9−8)2+(10−8)26=4+1+1+46=53.故答案为：53.6.【答案】710【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：事件"选出的2名同学中至少有1名女同学"的概率可以表示为"选出的2名同学中有1名女同学或2名女同学"的概率，则C31C21+C22C52=710.故答案为：710.7.【答案】y=±√2x【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：将点(3,4)代入双曲线x2−y2b2=1中，化简得b2=2，已知a2=1，所以该双曲线的渐近线方程是y=±bax=±√2x. 故答案为：y=±√2x.8.【答案】16【考点】等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：∵S9=27，∴S9=27=9a5，即a5=3=a1+4d，①∴a2a5+a8=3a2+a8=4a1+10d=0，②联立①②可得，d=2.S8=8a1+28d=8d=8×2=16.故答案为：16.9.【答案】10【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由图得，V ABCD−A1B1C1D1=S ABCD×C1C=120，V E−BCD=13×S△BCD×CE,因为E为CC1的中点，BD为长方形ABCD的对角线，所以CE=12CC1 S△BCD=12S ABCD，故V E−BCD=13×12S ABCD×12C1C=112×V ABCD−A1B1C1D1=1×120=10.故答案为：10.10.【答案】4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：令f(x)=x+4x(x>0)，则f′(x)=1−4x2，使曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点到直线x+y=0的距离最小，则该点是斜率为−1的直线与函数f(x)的切点，即f′(x)=1−4x2=−1，解得x=±√2，因为x>0，所以x=√2，y=√22=3√2，所以点P到直线x+y=0的距离最小时，其坐标为(√2,3√2)，由点到直线的距离公式可得，d=√2+3√2|√1+1=4.故答案为：4.11.【答案】(e,1) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设A(m,n)，切线方程为y =kx +b . y ′=1x ,y x=m ′=1m，∴ k =1m，又切线过点(−e,−1), ∴ {n =ln m,n =1m⋅m +b,−1=−e 1m +b解得m =e,n =1,b =0，即A(e,1). 故答案为：(e,1). 12. 【答案】√3【考点】向量的三角形法则 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：取BE 中点F ，易知FD 为△BCE 的中位线，所以EO 是△AFD 的中位线，所以O 是AD 中点， 则AO →=14(AB →+AC →)，EC →=AC →−13AB →， 由AB →⋅AC →=6AO →⋅EC →，得AB →2=3AC →2，所以AB AC=√3.故答案为：√3.13. 【答案】 √210【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为tan αtan (α+π4)=tan αtan α+11−tan α=−23，所以2(tan α+1)1−tan α=−3tan α，转化得3tan 2α−5tan α−2=0，即(3tan α+1)(tan α−2)=0， 解得tan α=−13或tan α=2， 又因为sin (2α+π4)=√22(sin 2α+cos 2α)=√22(2sin αcos α+cos 2α−sin 2α) =√22(2sin αcos α+cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α) =√22(2tan α+1−tan 2α1+tan 2α)， 当tan α=2时，原式=√22×4+1−41+4=√210， 当tan α=−13时，原式=√22×−23+1−191+19=√210， 综上，sin (2α+π4)=√210. 故答案为：√210. 14. 【答案】[13,√24) 【考点】函数的零点与方程根的关系 函数的零点【解析】 此题暂无解析 【解答】解：作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图可知，函数f(x)与g(x)−12(1<x ≤2,3<x ≤4,5<x ≤6,7<x ≤8)仅有2个实数根； 要使关于x 的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，由图象知在区间(1, 2)和(5, 6)之间必定没交点， 则f(x)=√1−(x −1)2,x ∈(0,2]与g(x)=k(x +2),x ∈(0,1] 的图象有2个不同交点， 由圆心(1,0)到直线kx −y +2k =0的距离为1， 得√k 2+1=1，解得k =√24(k >0)，此时临界状态，k 最大值，且只有一个交点；令保证直线l 与圆弧的两交点在区间(0, 1)上，可找到临界状态，直线恒过(−2, 0)，(1, 1)，此时临界状态，k最小值，∵ 两点(−2,0),(1,1)连线的斜率k =13， ∴ 13≤k <√24， 即k 的取值范围为[13,√24). 故答案为：[13,√24). 二、解答题 15.【答案】 解：(1)∵ cos B =a 2+c 2−b 22ac，将a =3c,b =√2代入可得：cos B =9c 2+c 2−22⋅3c⋅c=23，∴ 6c 2=2 ∴ c =√33或c =−√33(舍)， ∴ c =√33. (2)由正弦定理asin A =bsin B =csin C ，原式可化为sin Asin A =cos B2sin B ， 即2sin B =cos B ，sin (B +π2)=sin B cos π2+cos B sin π2=cos B ， ∵ 2sin B =cos B ，且sin 2B +cos 2B =1， ∴ cos B =2√55或cos B =−2√55(舍)，综上，sin (B +π2)=2√55. 【考点】 余弦定理 正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)∵ cos B =a 2+c 2−b 22ac，将a =3c,b =√2代入可得：cos B =9c 2+c 2−22⋅3c⋅c=23，∴ 6c 2=2 ∴ c =√33或c =−√33(舍) ∴ c =√33. (2)由正弦定理asin A =bsin B =csin C ，原式可化为sin A sin A =cos B2sin B ， 即2sin B =cos B ，sin (B +π2)=sin B cos π2+cos B sin π2=cos B ，∵ 2sin B =cos B ，且sin 2B +cos 2B =1，∴ cos B =2√55或cos B =−2√55(舍)，综上，sin (B +π2)=2√55. 16.【答案】证明：(1)∵D, E分别是BC, AC的中点，∴ED//AB，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB//A1B1，∴A1B1//ED，又∵ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1//平面DEC1.(2)∵AB=BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，∵三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，∴C1C⊥BE，∵C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，∴BE⊥平面A1ACC1，∵C1E⊂平面A1ACC1，∴BE⊥C1E.【考点】两条直线垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)∵D, E分别是BC, AC的中点，∴ED//AB，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB//A1B1，∴A1B1//ED，又∵ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1//平面DEC1.(2)∵AB=BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，∵三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，∴C1C⊥BE，∵C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，∴BE⊥平面A1ACC1，∵C1E⊂平面A1ACC1，∴BE⊥C1E.17.【答案】解：(1)设椭圆C的焦距为2c.∵F1(−1,0),F2(1,0)，∴F1F2=2，c=1. 又∵DF1=52，AF2⊥x轴，∴DF2=√DF12−F1F22=√(52)2−22=32. 因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2−c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)由(1)知，椭圆C:x24+y23=1,a=2.∵AF2⊥x轴，∴点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x−1)2+y2=16，解得y=±4.∵点A在x轴上方，∴A(1,4).又F1(−1,0)，∴直线AF1:y=2x+2.由{y=2x+2,(x−1)2+y2=16,得5x2+6x−11=0，解得x=1或x=−115.将x=−115代入y=2x+2，得y=−125.因此，B(−115,−125).又F2(1,0)，∴直线BF2:y=34(x−1).由{y=34(x−1),x24+y23=1得7x2−6x−13=0，解得x=−1或x=137.由∵E是线段BF2与椭圆的交点，∴x=−1.将x=−1代入y=34(x−1)，得y=−32.因此E(−1,−32).【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设椭圆C 的焦距为2c . ∵ F 1(−1,0),F 2(1,0)， ∴ F 1F 2=2，c =1. 又∵ DF 1=52，AF 2⊥x 轴，∴ DF 2=√DF 12−F 1F 22=√(52)2−22=32.因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3. 因此，椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知，椭圆C:x 24+y 23=1,a =2.∵ AF 2⊥x 轴， ∴ 点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x −1)2+y 2=16， 解得y =±4. ∵ 点A 在x 轴上方， ∴ A(1,4).又F 1(−1,0)，∴ 直线AF 1:y =2x +2. 由{y =2x +2,(x −1)2+y 2=16,得5x 2+6x −11=0， 解得x =1或x =−115.将x =−115代入y =2x +2，得y =−125. 因此，B(−115,−125).又F 2(1,0)，∴ 直线BF 2:y =34(x −1).由{y =34(x −1),x 24+y 23=1得7x 2−6x −13=0，解得x =−1或x =137.由∵ E 是线段BF 2与椭圆的交点，∴ x =−1. 将x =−1代入y =34(x −1)，得y =−32. 因此E(−1,−32). 18.【答案】解：(1)过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，由已知条件得，四边形ACDE 为矩形， DE =BE =AC =6,AE =CD =8， 因为PB ⊥AB ，所以cos ∠PBD =sin ∠ABE =810=45，所以PB =BD cos ∠PBD=1245=15.(2)①若P 在D 处，由(1)可得E 在圆上，则线段BE 上的点(除B ，E )到点O 的距离均小于圆O 的半径， 所以P 选在D 处不满足规划要求， ②若Q 在D 处，连结AD ，由(1)知AD =√AE2+ED 2=10， 从而cos ∠BAD =AD 2+AB 2−BD 22AD⋅AB=725>0，所以∠BAD 为锐角，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能在D处.(3)先讨论点P的位置，当∠OBP<90∘时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90∘时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离不小于圆O的半径，点P符合规划要求，设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知P1B=15，此时P1D=P1B sin∠P1BD=P1B cos∠EBA=15×35=9；当∠OBP>90∘时，在△PP1B中，PB>P1B=15，由上可知，d≥15，再讨论Q的位置，由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求，当QA=15时，CQ=√QA2−AC2=√152−62=3√21，此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=3√21时，d最小，此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+ CQ=17+3√21，因此，d最小时，P,Q两点间的距离为17+3√21(百米)【考点】余弦定理圆的综合应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)过A作AE⊥BD，垂足为E，由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8，因为PB⊥AB，所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=45，所以PB=BDcos∠PBD=1245=15(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求，②若Q在D处，连结AD，由(1)知AD=√AE2+ED2=10，从而cos∠BAD=AD2+AB2−BD22AD⋅AB=725>0，所以∠BAD为锐角，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能在D处.(3)先讨论点P的位置，当∠OBP<90∘时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90∘时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离不小于圆O的半径，点P符合规划要求，设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知P1B=15，此时P1D=P1B sin∠P1BD=P1B cos∠EBA=15×35=9；当∠OBP>90∘时，在△PP1B中，PB>P1B=15，由上可知，d≥15，再讨论Q的位置，由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求，当QA=15时，CQ=√QA2−AC2=√152−62=3√21，此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=3√21时，d最小，此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3√21，因此，d最小时，P,Q两点间的距离为17+3√21(百米)19.【答案】解：(1)因为a=b=c，所以f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)=(x−a)3，因为f(4)=8，所以(4−a)3=8，解得a=2.(2)因为b=c，所以f(x)=(x−a)(x−b)2=x3−(a+2b)x2+b(2a+b)x−ab2，从而f′(x)=3(x−b)(x−2a+b3)，令f′(x)=0，得x=b或x=2a+b3.因为a,b,2a+b3都在集合{−3，1，3}中，且a≠b，所以2a+b3=1，a=3，b=−3.此时，f(x)=(x−3)(x+3)2,f′(x)=3(x+3)(x−1)，令f′(x)=0，x=−3或x=1，列表如下：(3)因为a=0，c=1，所以f(x)=x(x−b)(x−1)=x3−(b+1)x2+bx，f′(x)=3x2−2(b+1)x+b，因为0<b≤1，所以Δ=4(b+1)2−12b=(2b−1)2+3>0则f′(x)有2个不同的零点，设为x1,x2(x1<x2).由f′(x)=0，得x1=b+1−√b2−b+13，x2=b+1+√b2−b+13.列表如下：所以f(x)的极大值M=f(x1M=f(x1)=x13−(b+1)x12+bx1=(3x12−2(b+1)x1+b)(x13−b+19)−2(b2−b+1)9x1+b(b+1)9=−2(b2−b+1)(b+1)27+b(b+1)9+227(√b2−b+1)3=b(b+1)27−2(b−1)2(b+1)27+227(√b(b−1)+1)3≤b(b+1)27+227≤427.因此M≤427.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题函数恒成立问题利用导数研究函数的极值基本不等式在最值问题中的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为a=b=c，所以f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)=(x−a)3，因为f(4)=8，所以(4−a)3=8，解得a=2.(2)因为b=c，所以f(x)=(x−a)(x−b)2=x3−(a+2b)x2+b(2a+b)x−ab2，从而f′(x)=3(x−b)(x−2a+b3)，令f′(x)=0，得x=b或x=2a+b3.因为a,b,2a+b3都在集合{−3，1，3}中，且a≠b，所以2a+b3=1，a=3，b=−3.此时，f(x)=(x−3)(x+3)2,f′(x)=3(x+3)(x−1)，令f′(x)=0，x=−3或x=1，列表如下：(3)因为a=0，c=1，所以f(x)=x(x−b)(x−1)=x3−(b+1)x2+bx，f′(x)=3x2−2(b+1)x+b，因为0<b ≤1，所以Δ=4(b +1)2−12b =(2b −1)2+3>0则f ′(x)有2个不同的零点，设为x 1,x 2(x 1<x 2). 由f ′(x)=0，得x 1=b+1−√b 2−b+13，x 2=b+1+√b 2−b+13.列表如下：所以f(x)的极大值M =f(x 1M =f (x 1)=x 13−(b +1)x 12+bx 1=(3x 12−2(b +1)x 1+b )(x 13−b +19)− 2(b 2−b +1)9x 1+b(b +1)9=−2(b 2−b +1)(b +1)27+b(b +1)9+227(√b 2−b +1)3 =b(b +1)27−2(b −1)2(b +1)27+227(√b(b −1)+1)3≤b(b+1)27+227≤427.因此M ≤427. 20. 【答案】(1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0， q ≠0. 由{a 2a 4=a 5a 3−4a 2+4a 1=0，得{a 12q 4=a 1q 4a 1q 2−4a 1q +4a 1=0， 解得{a 1=1q =2.因此数列{a n }为“M −数列”.(2)解：①∵ 1S n=2b n−2b n+1，∴ {b n }≠0.由b 1=1，S 1=b 1，得11=21−2b 2，则b 2=2.由1S n=2b n−2bn+1，得S n =b n b n+12(b n+1−b n ).当n ≥2时，由b n =S n −S n−1， 得b n =b nb n+12(b n+1−b n)−b n−1bn2(b n−bn−1). 整理得b n+1+b n−1=2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此数列{b n }的通项公式为b n =n (n ∈N ∗). ②由①知，b k =k ，k ∈N ∗.∵ 数列{c n }为“M −数列”，设公比为q ， ∴ c 1=1，q >0. ∵ c k ≤bk ≤c k+1，∴ q k−1≤k ≤q k ，其中k =1，2，3，…，m . 当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln k k≤ln q ≤ln kk−1.设f(x)=ln x x(x >1)，则f ′(x)=1−ln x x .令f ′(x)=0，得x =e .列表如下：∵ln 22=ln 86<ln 96=ln 33，∴ f(k)max =f(3)=ln 33.取q =√33，当k =1，2，3，4，5时，ln k k≤ln q ，即k ≤q k.经检验知q k−1≤k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k =3,6，得3≤q 3，且q 5≤6， 从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5. 【考点】利用导数研究函数的最值 数列递推式 等比数列的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0， q ≠0. 由{a 2a 4=a 5a 3−4a 2+4a 1=0，得{a 12q 4=a 1q 4a 1q 2−4a 1q +4a 1=0， 解得{a 1=1q =2.因此数列{a n }为“M −数列”. (2)解：①∵ 1S n=2b n−2b n+1，∴ {b n }≠0.由b 1=1，S 1=b 1，得11=21−2b 2，则b 2=2.由1S n=2b n−2b n+1，得S n =b nb n+12b n+1−b n. 当n ≥2时，由b n =S n −S n−1， 得b n =b nb n+12(b n+1−b n)−b n−1bn2(b n−bn−1). 整理得b n+1+b n−1=2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此数列{b n }的通项公式为b n =n (n ∈N ∗). ②由①知，b k =k ，k ∈N ∗.∵ 数列{c n }为“M −数列”，设公比为q ， ∴ c 1=1，q >0. ∵ c k ≤b k ≤c k+1，∴ q k−1≤k ≤q k ，其中k =1，2，3，…，m . 当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln k k≤ln q ≤ln kk−1.设f(x)=ln x x(x >1)，则f ′(x)=1−ln x x 2.令f ′(x)=0，得x =e .列表如下：∵ln 22=ln 86<ln 96=ln 33，∴ f(k)max =f(3)=ln 33.取q =√33，当k =1，2，3，4，5时，ln k k≤ln q ，即k ≤q k .经检验知q k−1≤k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k =3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5. 三、附加题 21.【答案】解：(1)因为A =[3122]，所以A 2=[3122][3122]=[3×3+1×22×3+2×2 3×1+1×22×1+2×2]=[115106] (2)矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−3−1−2λ−2|=λ2−5λ+4.令f(λ)=0，解得A 的特征值λ1=1,λ2=4. 【考点】特征值与特征向量的计算 复合变换与二阶矩阵的乘法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为A =[3122]，所以A 2=[3122][3122]=[3×3+1×22×3+2×2 3×1+1×22×1+2×2]=[115106] (2)矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−3−1−2λ−2|=λ2−5λ+4.令f(λ)=0，解得A 的特征值λ1=1,λ2=4. 22. 【答案】解：(1)设极点为O ，在△OAB 中，A (3,π4),B (√2,π2)， 由余弦定理，得AB =√32+(√2)2−2×3×√2×cos (π2−π4)=√5.(2)因为直线l 的方程为ρsin (θ+π4)=3， 则直线l 过点(3√2,π2)，倾斜角为3π4， 又B (√2,π2)，所以点B 到直线l 的距离为 (3√2−√2)×sin (3π4−π2)=2.【考点】直线的极坐标方程 余弦定理的应用 点到直线的距离公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设极点为O ，在△OAB 中，A (3,π4),B (√2,π2)，由余弦定理，得AB =√32+(√2)2−2×3×√2×cos (π2−π4)=√5. (2)因为直线l 的方程为ρsin (θ+π4)=3，则直线l 过点(3√2,π2)，倾斜角为3π4， 又B (√2,π2)，所以点B 到直线l 的距离为 (3√2−√2)×sin (3π4−π2)=2. 23.【答案】解：当x <0时，原不等式可化为−x +1−2x >2， 解得x <−13，当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1−2x >2， 即x <−1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x −1>2，解得x >1，综上，原不等式得解集为{x|x <−13或 x >1}. 【考点】 绝对值不等式 【解析】此题暂无解析 【解答】解：当x <0时，原不等式可化为−x +1−2x >2， 解得x <−13，当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1−2x >2，即x <−1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x −1>2， 解得x >1，综上，原不等式得解集为{x|x <−13或 x >1}. 24. 【答案】解：(1)∵ (1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n x n,n ≥4， ∴ a 2=C n 2=n(n−1)2，a 3=C n 3=n(n−1)(n−2)6，a 4=C n4=n(n−1)(n−2)(n−3)24.∵ a 32=2a 2a 4，∴ (n(n−1)(n−2)6)2=2×n(n−1)2×n(n−1)(n−2)(n−3)24.解得n =5. (2)由(1)知，n =5, (1+√3)n=(1+√3)5=C 50+C 51√3+C 52(√3)2+C 53(√3)3+C 54(√3)4+C 55(√3)5 =a +b √3. ∵ a,b ∈N ∗，∴ a =C 50+3C 52+9C 54=76, b =C 51+3C 53+9C 55=44,从而a 2−3b 2=762−3×442=−32. 【考点】二项式定理的应用 等比数列的性质 【解析】此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ (1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n x n,n ≥4， ∴ a 2=C n 2=n(n−1)2，a 3=C n 3=n(n−1)(n−2)6，a 4=C n 4=n(n−1)(n−2)(n−3)24.∵ a 32=2a 2a 4，∴ (n(n−1)(n−2)6)2=2×n(n−1)2×n(n−1)(n−2)(n−3)24.解得n =5. (2)由(1)知，n =5, (1+√3)n =(1+√3)5=C 50+C 51√3+C 52(√3)2+C 53(√3)3+C 54(√3)4+C 55(√3)5 =a +b √3. ∵ a,b ∈N ∗，∴ a =C 50+3C 52+9C 54=76, b =C 51+3C 53+9C 55=44,从而a 2−3b 2=762−3×442=−32.25. 【答案】解：(1)当n =1时，X 的所有可能取值是1，√2，2，√5.X 的概率分布为P(X =1)=7C 62=715，P(X =√2)=4C 62=415，P(X =2)=2C 62=215，P(X =√5)=2C 62=215.(2)设A(a, b)和B(c, d)是从M n 中取出的两个点，∵ P(X ≤n)=1−P(X >n)，仅需考虑X >n 的情况. ①若b =d ，则AB ≤n ，不存在X >n 的取法；②若b =0，d =1，则AB =√(a −c)2+1≤√n 2+1， ∴ X >n 当且仅当AB =√n 2+1，此时a =0，c =n 或a =n ，c =0，有2种取法； ③若b =0，d =2，则AB =√(a −c)2+4≤√n 2+4， ∵ 当n ≥3时，√(n −1)2+4≤n ，∴ X >n ，当且仅当AB =√n 2+4，此时a =0，c =n 或a =n ，c =0，有2种取法； ④若b =1，d =2，则AB =√(a −c)2+1≤√n 2+1， ∴ X >n 当且仅当AB =√n 2+1，此时a =0，c =n 或a =n ，c =0，有2种取法.综上，当X >n 时，X 的所有可能的取值是√n 2+1和√n 2+4，且P(X =√n 2+1)=4C 2n+42，P(X =√n 2+4)=2C 2n+42.因此P(X ≤n)=1−P(X =√n 2+1)− P(X =√n 2+4)=1−6C 2n+42.【考点】连续型随机变量离散型随机变量及其分布列 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当n =1时，X 的所有可能取值是1，√2，2，√5. X 的概率分布为P(X =1)=7C 62=715，P(X =√2)=4C 62=415，P(X =2)=2C 62=215，P(X =√5)=2C 62=215.(2)设A(a, b)和B(c, d)是从M n 中取出的两个点，∵ P(X ≤n)=1−P(X >n)，仅需考虑X >n 的情况. ①若b =d ，则AB ≤n ，不存在X >n 的取法；②若b =0，d =1，则AB =√(a −c)2+1≤√n 2+1， ∴ X >n 当且仅当AB =√n 2+1，此时a =0，c =n 或a =n ，c =0，有2种取法； ③若b =0，d =2，则AB =√(a −c)2+4≤√n 2+4， ∵ 当n ≥3时，√(n −1)2+4≤n ， ∴ X >n ，当且仅当AB =√n 2+4，此时a =0，c =n 或a =n ，c =0，有2种取法； ④若b =1，d =2，则AB =√(a −c)2+1≤√n 2+1， ∴ X >n 当且仅当AB =√n 2+1，此时a =0，c =n 或a =n ，c =0，有2种取法.综上，当X >n 时，X 的所有可能的取值是√n 2+1和√n 2+4，且P(X =√n 2+1)=4C 2n+42，P(X =√n 2+4)=2C 2n+42.因此P(X ≤n)=1−P(X =√n 2+1)−P(X =√n 2+4)=1−6C 2n+42.。

2019年江苏省高考数学试卷(原卷版)

2019年江苏省高考数学试卷(原卷版)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋯的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑． 柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I _____.2.已知复数(2i)(1i)a ++实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.4.函数276y x x =+-的定义域是_____.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.9.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.12.如图，在ABC V 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则AB AC的值是_____.13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈，()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.22.在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.23.设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.25.在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈L 令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.。

2019年江苏省高考数学试卷(解析版)

2019年江苏省高考数学试卷(解析版)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差2211n i i sx x n ，其中11n i i x x n ．柱体的体积VSh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,6}A，{|0,}B x x x R ，则A B _____.【答案】{1,6}.【解析】【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 【详解】由题知，{1,6}A B .【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.2.已知复数(2i)(1i)a 的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.【答案】 2.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值.【详解】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ，令20a 得2a .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.【答案】 5.【解析】【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】执行第一次，1,1422x S S x 不成立，继续循环，12x x ；执行第二次，3,2422x S S x 不成立，继续循环，13x x ；执行第三次，3,342xS S x 不成立，继续循环，14x x ；执行第四次，5,442xS S x 成立，输出 5.S。

江苏省2019年高考[数学]考试真题与答案解析

江苏省2019年高考[数学]考试真题与答案解析

4．函数的定义域是276y x x =+-5．已知一组数据6，7，8，8，6．从3名男同学和2名女同学中任选1名女同学的概率是.7．在平面直角坐标系中，若双曲线xOy 线方程是 .8．已知数列是等差数列，*{}()n a n ∈N 是.10．在平面直角坐标系中，P 是曲线xOy 的距离的最小值是 .13．已知，则的值是tan 2α=-πsin 2α⎛⎫+19．设函数、()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R (f '（1）若a=b=c ，f （4）=8，求a 的值；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有*()n ∈N 成立，求m 的最大值．1k k k c b c +……答案解析一、填空题1、2、23、54、5、6、 7、{1,6}[1,7]-537102y x=±8、169、10 10、4 11、 12、13、14、(e, 1)321012,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.解：（1）因为，23,2,cos 3a cb B ===由余弦定理，得，即。

所以.222cos 2a c b B ac +-=2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯213c =33c =（2）因为，sin cos 2A B a b=由正弦定理，得，所以.sin sin a b A B =cos sin 2B Bb b=cos 2sin B B =从而，即，故.22cos (2sin )B B =()22cos 41cos B B =-24cos 5B =因为，所以，从而，因此.sin 0B >cos 2sin 0B B =>25cos 5B =π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭16.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.⊄（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE.因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC=C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E.17.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c=1.又因为DF 1=，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=，52222211253()222DF F F -=-=因此2a=DF 1+DF 2=4，从而a=2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3。

2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷

《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置 上.1 ．已知集合A{1，0，1，6}，B{x|x0，xR}，则AB．2 ．已知复数(a2i)(1i)的实部为 0，其中i 为虚数单位，则实数 a 的值是． 3 ．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是．4 ．函数y 7 6x x 2的定义域是 ．5 ．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．6 ．从3名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务， 则选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率是 ．7 ．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 y 2x b21(b0)经过点(3,4) ，则该双曲线的渐近线方程是 ． 8 ．已知数列{an}(n N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5a 8 0，S 927 ，则S 8的 值是．9 ．如图，长方体ABCDA 1B 1C 1D 1的体积是 120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E BCD 的体积是．10．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线y 4 上的一个动点，则点 P 到直线x(x0)xx y0的距离的最小值是 ．11 ．在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e ， 1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是．12 ．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE2EA ，AD 与CE 交于点O ．若第1页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！ABAC 6AOEC，则AB的值是．AC13．已知tan 2，则sin(2 )的值是．tan( ) 3 4414．设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且k(x2), 0 ,1,1(x1)2xf(x)是奇函数．当x (0，2]时，f(x) ，g(x)11 x, 其中k 0．若, 2,2在区间(0，9]上，关于x的方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a 3c，b 2，cosB 2，求c的值；3（2）若sinA cosB，求sin(B )的值．a 2b 216．（14分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB BC．求证：（1）A1B1//平面DEC1；（2）BE C1E ．2 217．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y21(a b 0)的焦点为a bF1(1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2:(x 1)2y24a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2 交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF15 ．2（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．第2页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足），测得AB10 ，AC6，BD 12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f(x) (x a)(xb)(x c)，a，b，cR，f (x)为f(x)的导函数．（1）若a bc，f（4）8，求a的值；（2）若a b，b c，且f(x)和f(x)的零点均在集合{ 3，1，3}中，求f(x)的极小值；（3）若a 0，0 b,1，c1，且f(x)的极大值为M，求证：M, 4．2720．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M 数列”．（1）已知等比数列{an}(n*)2a4 5 3 2 1 nN 满足：a a ，a4a 4a 0，求证：数列{a}为“M数列”；（2）已知数列{b n}(nN*)满足：b11， 1 2 2 ，其中Sn为数列{b n}的前n项和．S n b n bn1①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M 数列”{c n}(n N*)，对任意正整数k，当k,m时，都有剟成立，求m的最大值．ckbkck1【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A 3 12 ．2第3页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！ （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10 分）22 ．（10分）在极坐标系中，已知两点A(3, )，B(2 ，)，直线1的方程为 sin( ) 3． 4 2 4 （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分 10分）23 ．设xR ，解不等式|x||2x1| 2．【必做题】第24 题、第 25题，每题 10分，共计20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24 ．（10分）设 (1 n a 02 n 2 2a 2a 4．x) a 1xa 2x a n x ，n ⋯4，nN*．已知a 3 （1）求n 的值；（2）设(1 3)na b 3，其中a ，b N*，求a 23b 2的值． 25 ．（10分）在平面直角坐标系 xOy 中，设点集A n {(0,0) ，(1,0)，(2,0)， ，(n,0)} ，B n {(0,1)，(n,1)}，C n {(0,2)，(1,2)，(2,2) ，，(n,2)} ，n N*．令M n A n B n C n ．从 集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量 X 表示它们之间的距离．（1）当n1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n(n ⋯3)，求概率P(X,n)（用n 表示）．第4页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合A{1，0，1，6}，B {x|x 0，x R}，则A B{1，6} ．【思路分析】直接利用交集运算得答案．【解析】：A{1，0，1，6}，B {x|x 0 ，x R}，AB{ 1，0，1，6}{x|x0，xR} {1，6}．故答案为：{1，6}．【归纳与总结】本题考查交集及其运算，是基础题．2．已知复数(a2i)(1i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是 2 ．【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0 求的a值．【解析】：(a2i)(1i)(a2)(a 2)i的实部为0，a20，即a2．故答案为：2．【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是 5 ．【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解析】：模拟程序的运行，可得x 1，S0S 0.5不满足条件x⋯4 ，执行循环体，x 2 ，S 1.5不满足条件x⋯4 ，执行循环体，x 3 ，S 3不满足条件x⋯4 ，执行循环体，x 4 ，S 5此时，满足条件 x⋯4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．第5页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！4．函数y 7 6x x 2的定义域是 [1 ，7] ．【思路分析】由根式内部的代数式大于等于 0求解一元二次不等式得答案．【解析】：由 7 6x x 2⋯0 ，得x 2 6x7, 0，解得： 1剟x 7．函数y 7 6x x 2的定义域是[ 1，7]．故答案为：[1，7]．【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是2 ． 【思路分析】先求出一组数据 6，7，8，9，10 的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解析】：一组数据6，7，8，9，10的平均数为： x 1 7 8 9 10) 8 ， (6 5该组数据的方差为：S 2 1 [(6 8)2 (7 8)2 (8 8)2 (9 8)2 (10 8)2]2． 5故答案为：2．【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法， 考查平均数、方差等基础知识， 考查运算 求解能力，是基础题．6．从3名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务， 则选出的2名同学中至少 有1 名女同学的概率是 7．102【思路分析】基本事件总数 n 10，选出的 2名同学中至少有 1名女同学包含的基本C5 事件个数 1 1 2 7，由此能求出选出的 2名同学中至少有 1名女同学的概率．mC3C2 C2【解析】：从3 名男同学和 2名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务， 基本事件总数nC 5210， 选出的2 名同学中至少有 1名女同学包含的基本事件个数：m 1 1 2 7， C3C2 C2选出的 2名同学中至少有 1 名女同学的概率是 m 7．p 10 n故答案为： 7．10【归纳与总结】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．27．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2y21(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近b 线方程是y2x ．【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b ，则双曲线的渐近线方程可求．2【解析】：双曲线x2y21(b0)经过点(3,4) ，16 b321，解得b 22，即b 2．b2又a 1，该双曲线的渐近线方程是y2x．故答案为： y 2x．【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．第6页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！8．已知数列{an}(nN*)是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5a80，S927，则S8的值是16．【思路分析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解析】：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，(a1d)(a14d)a17d0a1 5则98d27 ，解得．9a12d 2S88 7d16．8a16(5)1522故答案为：16．【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是120，E为CC1 的中点，则三棱锥EBCD的体积是10 ．【思路分析】推导出VABCD ABCD ABBC DD1120，三棱锥EBCD的体积：11111SBCD CE 1 1BC DCCE1VEBCD3 2 ABBCDD1，由此能求出结果．3 12【解析】：长方体ABCD A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，V ABCDA1B1C1D1AB BC DD1120，三棱锥E BCD的体积：1VEBCD SBCD CE31 13BCDCCE 21ABBCDD1 1210．故答案为：10．【归纳与总结】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．410．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y x (x 0)上的一个动点，则点P到直线x第7页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！xy0的距离的最小值是4 ．【思路分析】利用导数求平行于xy0的直线与曲线 4 (x 0)的切点，再由点到直 yxx 线的距离公式求点 P 到直线x y 0的距离的最小值．【解析】：由y x 4 (x 0)，得y 1 42，xx 4 设斜率为 1的直线与曲线 y x 40)切于(x 0，x 0 (x)， x x 0由1 4 1，解得x0 2(x 0 0)． 2x0曲线y 4(x 0)上，点P( 2,3 2) 到直线x y 0的距离最小， x x最小值为| 2 32| 4．2故答案为：4．【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程， 考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点( e ， 1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 (e,1) ． 【思路分析】设 A(x 0，lnx 0)，利用导数求得曲线在 A 处的切线方程，代入已知点的坐标求 解x0即可．【解析】：设A(x 0，lnx 0)，由y lnx ，得y 1，1 x1y|xx 0 A 处的切线方程为 y lnx 0 x 0)， ，则该曲线在点 (x x 0x 0 切线经过点( e, 1)， 1 lnx 0 e 1，x 0 即lnx 0 e ，则x 0 e ．x 0 A 点坐标为(e,1)．故答案为：(e,1)．【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的 不同，是中档题．12．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE2EA ，AD 与CE 交于点O ．若 ABAC AOEC6 ，则AB的值是 3 ．AC【思路分析】首先算出AO 1 ，然后用AB、AC表示出AO、EC，结合2AD第8页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！ABAC 6AOEC 得1 23AC 2 AB ，进一步可得结果．2 2【解析】：设AO AD2 (ABAC)，AO AE EO AE ECAE(AC AE)(1 )AE AC 1AB AC3 1123 ， 2，124 AO 1 AD 1 AC)， 2 (AB 4EC AC AE 1 AB AC ，36AOEC 1 (AB AC) ( 1AC) 6 AB 4 33 1 2 2ABAC 2 ( AB3 AC) 2 31 2 ABAC 3 2 2 AB 2 AC ，ABAC 1 2 ABAC 3 2AB AC ， 2 2 2 2 2 AB 3 1AB 3AC ，2 ， 2 2 AC AB3 ． AC故答案为： 3【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．已知 tan 2 )的值是 2，则sin(2 ．tan( ) 3 4 10 4 【思路分析】由已知求得tan ，分类利用万能公式求得sin2 ，cos2 的值，展开两角和 的正弦求sin(2 4 )的值．【解析】：由 tan 2tan 2， ，得tan( ) 3 tan tan 3 441tan tan4tan (1 tan ) 2，解得tan 2或tan 1．1tan 3 3当tan 2时，sin22tan 4，cos21 tan2 3，1tan2 5 125tansin(2 ) sin2cos cos2 sin 4 2 322；4 4 45 2 52101 2tan 3，cos2 1 tan2 4当tan 3时，sin2 1 tan2 5 1 tan25，第9页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！sin(2 )sin2coscos2sin4 3 2 4 22．445 2 5 2 10 综上，sin(2)的值是2．4 10故答案为：2． 10【归纳与总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公 式的应用，是基础题．14．设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为 2，且1)2k(x2), 0 x,1,f(x)是奇函数．当x(0，2]时，f(x) 1 (x ，g(x)1 1 , 其中k 0．若, x 2,21在区间(0，9]上，关于x 的方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是[， 1 3)．2 2【思路分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案． 【解析】：作出函数 f(x)与g(x)的图象如图，1由图可知，函数f(x)与g(x)(1x,2，3x,4，5x,6，7x,8)仅有2个实数根；2要使关于x 的方程 f(x) g(x)有8个不同的实数根，则f(x)1 (x 1)2，x (0，2]与g(x)k(x2)，x (0，1]的图象有 2个不同交点，由(1,0)到直线kx y 2k 0的距离为 1，得 |3k| 1，解得k1 (k 0)，k 21 2 2 两点(2,0) ，(1,1)连线的斜率k 1 ，1,k 1 32 ．3 2即k 的取值范围为[ 1，1)． 3 2 2故答案为：[1， 1)．3 22【归纳与总结】本题考查函数零点的判定， 考查分段函数的应用， 体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．第10页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在 ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a 3c ，b2，cosB2，求c 的值； （2）若sinAcosB，求sin(B 3)的值．a 2b 2a 2 c 2b 2 10c 22【思路分析】（1）由余弦定理得：cosB 22，由此能求出c 的值． （2）由sinA cosB，利用正弦定理得 2ac 6c 32sinB cosB ，再由sin 2 Bcos 2 B 1，能求出 a 2bsinB 5，cosB 25 ，由此利用诱导公式能求出sin(B )的值． 5 5 2 【解析】：（1） 在 ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．a3c ，b 2 ，cosB 2， 3 由余弦定理得：cosB a 2c 2b 210c 2222， 2ac 6c 3 解得c 3．3（2） sinA cosB ，a 2b 由正弦定理得：sinA sinB cosB ， a b 2b2sinBcosB ， sin 2B cos 2B 1， sinB 5，cosB2 5， 55sin(B) cosB 25．2 5 【归纳与总结】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导 公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，ABBC ． 求证：（1）A 1B 1 //平面DEC 1 ；（2）BE 1 ． CE第11页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！【思路分析】（1）推导出DE//AB ，AB//A 1B 1，从而DE//A 1B 1 ，由此能证明 A 1B 1//平面 DEC1．（2）推导出BEAA1，BEAC ，从而BE 平面ACC1A1，由此能证明BEC1E ．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点， DE//AB ，AB//A 1B 1， DE//A1B1，DE平面DEC1 ，A1B1平面DEC1， A1B1//平面DEC1．解：（2）在直三棱柱ABC A1B1C1中，E 是AC 的中点，AB BC ． BE AA 1，BE AC ，又AA1ACA ，BE 平面ACC1A1，C 1E平面ACC 1A 1，BEC 1E ．【归纳与总结】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．xOy 中，椭圆C:x2 y 217．（14 分）如图，在平面直角坐标系2 2 1(a b 0)的焦点为 a b 1)2 y 2 4a 2交于1 ，2 ．过2作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方，1 与圆F :(x F(1,0) F(1,0) F 2点A ，与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆 F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连 结 DF 1．已知DF 15．2（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【思路分析】（1）由题意得到 F 1D//BF 2，然后求 AD ，再由AD DF 15求得a ，则椭圆 2方程可求；第12页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！3 3 （2）求出D 的坐标，得到k BF2 k DF 1 22 ，写出BF 2的方程，与椭圆方程联立即可求得4 点E 的坐标．【解析】：（1）如图， F 2A F 2B ， F 2 ABF 2BA ，F 2A2a F 2D DAF 2DF 1D ， ADF 1D ，则DAF 1DF 1A ，DF 1A F 2BA ，则F 1D//BF 2，c 1 2 2 x 2 y 21 ，， ba 1，则椭圆方程为 a 2 a 21 取x 1，得y D a 21，则AD2a a 21a 21． a a a又DF 1 5 ， a 215 2 a ，解得a2(a0)． 2椭圆C 的标准方程为 x 2y 21；4 3（2）由（1）知，D(1,3)，F 1(1,0)，23 3 3kBF 2 kDF 1 2 1)，2 ，则BF2:y (x 4 4y 3(x1)联立242 39 0． 2 ，得21x18x x y 14 3解得x 1 1或x 2 13（舍)．3 7 y 1 ． 2 3 即点E 的坐标为(1, )． 2【归纳与总结】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF 1//BF 2是解答该题的关键，是中档题．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥AB(AB是圆O的直径），规划在公路 l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求：线段 PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足），测得AB 10，AC 6，BD 12（单位：第13页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【思路分析】（1）设BD 与圆 O 交于M ，连接AM ，以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角 坐标系，则A(0, 6)，B(8, 12)，D( 8,0)设点P(x 1 ，0)，PBAB ，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 1，求得P 的坐标，可得 所求值；（2）当QA AB 时，QA 上的所有点到原点 O 的距离不小于圆的半径，设此时 Q(x2，0)，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 1，求得Q 的坐标，即可得到结论； （3）设P(a,0)，Q(b,0) ，则a, 17，b ⋯ 9，结合条件，可得b 的最小值，由两点的距2 离公式，计算可得PQ ． 【解析】：设BD 与圆O 交于M ，连接AM ， AB 为圆O 的直径，可得AM BM ，即有DMAC 6，BM6，AM8，以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则 A(0, 6)，B( 8,12)，D(8,0) （1）设点P(x 1，0)，PB AB ， 则kBPkAB1，即0(12) 6 ( 12) 1，x 1 ( 8) 0 ( 8)解得x 117，所以P(17,0) ，PB (17 8)2(0 12)215；（2）当QA AB 时，QA 上的所有点到原点 O 的距离不小于圆的半径，设此时 Q(x 2，0)， 则k QA kAB1，即0(6) 6 ( 12) 1，解得x 29，Q(9，0)，x 2 0 0 ( 8)22由178 9，在此范围内，不能满足 PB ，QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径，2 所以P ，Q 中不能有点选在D 点；（3）设P(a,0) ，Q(b,0)，则a, 17，b ⋯9，PB 2 2 144⋯225，(a 8)2QA 2b 236⋯225，则b ⋯321，当d 最小时，PQ173 21 ．第14页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！【归纳与总结】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．（16分）设函数f(x) (xa)(xb)(xc)，a，b，cR，f (x)为f(x)的导函数．（1）若a b c，f（4）8，求a的值；（2）若a b，b c，且f(x)和f(x)的零点均在集合{3，1，3}中，求f(x)的极小值；（3）若a 0，0b,1，c1，且f(x)的极大值为M，求证：M, 4 ．27【思路分析】（1）由a b c，可得f(x) (xa)3，根据f（4）8，可得(4 a)38，解得a．（2）a b，b c，设f(x)(xa)(x b)2．令f(x) (xa)(x b)20，解得xa，或xb．f (x) (x b)(3x b 2a)．令f(x) 0，解得x b，或x 2a b．根据f(x)和f(x)3的零点均在集合A{ 3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有 a 3，b 3，可得2ab 6 3 1 A，可得：f(x)(x3)(x3)2．利用导数研究其单调性可得x 1时，函3 3数f(x)取得极小值．（3）a0，0 b,1，c 1，f(x) x(x b)(x1)．f (x)3x2(2b 2)x b．△0 ．令f (x)2(2b 2)x b0 ．解得：b1 b2b113x x13( ，,]3 21．x1x2 b 1 b b x2，可得x x1时，f(x)取得极大值为M，通过计算化简即可3证明结论．【解析】：（1）a b c，f(x) (x a)3，f（4）8，(438，a)4a 2，解得a 2 ．（2）a b，b c，设f(x) (x a)(xb)2．令f(x) (x a)(xb)20 ，解得x a，或x b．f (x) (x22(x a)(x b)(xb)(3x b 2a)．b)令f(x) 0，解得x b，或x2a b3．f(x)和f (x)的零点均在集合 A { 3，1，3}中，若：a 3 ，b 1，则2a b 6 1 5 A，舍去．3 3 3第15页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！a 1，b 3，则2ab 2 3 1 A ，舍去． 3 3 3 a 3 ，b 3 ，则2ab 6 3 1A ，舍去．． 33a 3 ，b 1 ，则2a b 6 1 7 A ，舍去．3 3 3 a 1 ，b 3 ，则2ab 5 A ，舍去．3 3a3，b 3，则2ab63 1A ，． 3 3 因此a 3，b 3，2ab 1A ，3可得：f(x) (x 3)(x3)2．f (x) 3[x ( 3)](x 1)．可得x 1时，函数f (x)取得极小值， f （1） 2 4232． （3）证明：a 0， 0 b,1，c 1，f(x) x(x b)(x 1)．f (x) (x b)(x 1) x(x 1) x(x b)3x 2(2b2)xb ．△4(b1)2 12b 4b 2 4b 4 4(b 1)2 3⋯3．2令f(x) 3x 2(2b 2)x b 0．b1 21 b12 解得：x1bb1 bb1 x 1 x2， 3 (0,]，x2 3 ．3x x 2b 2，xx 2 b ， 1 2 3 1 3 可得x x 1时，f(x)取得极大值为 M ，f(x1) 3x12(2b 2)x1 b 0，可得：x 2 1 [(2b 2)x b]， 1 3 1 M f(x 1) x 1(x 1 b)(x 1 1)(x 1 2 x1) (x1 (2b2)x 1 b 1 2 2 2 b)(x1 b)( 3 x1) [(2b 1)x1 2bx1 b] 1 (2b2)x 1 b 1 3 1) 2b2 x 1 2 ] 2b 2 2b 2)x 1 b 2 b]， [(2b3 b [( 3 1 3 92b 2 2b 2 2(b )20， 1 2 2M 在x 1 (0，]上单调递减，12b 2 3 b 25b22 b) 5b24． M 剟 ( 3b 27 27 94M, ．【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M 数列”．（1）已知等比数列{an}(n N*)满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数列{a n}为“M第16页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！数列”；（2）已知数列{b n }(nN *)满足：b 1 1，12 2 ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．S n b n b n 1 ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M数列”{c n }(n N *)，对任意正整数 k ，当k,m 时，都有 剟 ck1 成立，求m 的最大值．c k b k 【思路分析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，然后根据a 2a 4a 5，a 34a 24a 10列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b 2，b 3，b 4猜想b n ，然后用数学归纳法证明； （3）设{c n }的公比为q ，将问题转化为 g(x)lnx(x,3)，x 1分别求解其最大值和最小值，最后解不等式[lnk ] max , [lnk ] m i n ，然后构造函数f x ) lnx x ⋯，k k 1 ( ( 3) xln3, lnm ，即可． 3 m 1【解析】：（1）设等比数列 {a n }的公比为q ，则由a 2a 4 a 5，a 34a 2 4a 1 0，得a 2q 4 aq 4a 11 1 1 ， a 1q 24a 1q4a 1 0 q2数列{a n }首项为1 且公比为正数 即数列{a n }为“M 数列”； （2）①b 11，122，S n b n bn1当n 1时，11 22，b2 2，S1 b1 b1 b2当n 2时，11 2 2，b 33，S 2 b 1 b 2 b 2b 3当n 3时，1b 1 1b 3 22，b 4 4， S 3 b 2 b 3 b 4 猜想b n n ，下面用数学归纳法证明；(i)当n 1时，b 11，满足b n n ，(ii)假设n k 时，结论成立，即 b k k ，则n k1时， 由12 2 ，得S k b k b k 1 2bkSk 2k k(k1)bk1 2 k1， 2S k b k k(k 1) 2 2 k故n k 1 时结论成立，根据(i)(ii)可知，b n n对任意的n N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n n；②设{c n}的公比为q，第17页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！存在“M数列”{cn}(n * ) ，对任意正整数 剟N k ，当k,m 时，都有c k b k即q k1剟k k对k,m 恒成立，当k1时，q ⋯1，当k2时，2剟2，当k ⋯3，两边取对数可得， lnk 剟 lnk 对k,m 有解，k k1即[lnk]max ,[ lnk ]min ， k k 1令f(x) lnx (x ⋯，则 f(x) 1 lnx ， x 3) x 2当 x ⋯3时，f(x)0，此时f(x)递增， 当k ⋯3时，[lnk]maxln3，k 3 1 1lnx ln x，则 x 令g(x) x (x 3) g(x)x 21 ,， 令(x) 1 1 lnx ，则 (x) 1 x 2 x ， x当x ⋯3 时， (x) 0 ，即g(x) 0 ， g(x)在[3， )上单调递减，即 k ⋯3 时， lnk]m in lnm ，则 [k 1 m 1 ln3, lnm ，3 m1 ln3 lnm下面求解不等式, ，3 m 1化简，得3lnm (m 1)ln3, 0，令h(m)3lnm (m 3 ln3，1)ln3，则h(m) m 由k ⋯3得m ⋯3，h(m) 0， h(m)在[3， )上单调递减， 又由于h （5） 3ln5 4ln3ln125ln81 0 ，h （6）3ln65ln3ln216存在m 0 (5,6) 使得h(m 0) 0， 1 1 m 的最大值为 5，此时q [33， 54]．【归纳与总结】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立， 归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．c k1成立，ln243 0，考查了数学【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 .若多做，则按作答的前两小题评分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . A.[选修4-2：矩阵与变换 ]（本小题满分 10分）3 121．（10分）已知矩阵 A ．2 2（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．【思路分析】（1）根据矩阵 A直接求解A2即可；3 1 254，解方程f() 0即可．（2）矩阵A的特征多项式为f()22第18页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！3 1【解析】：（1） A2 2A23 1 3 12 2 2 211 510 6（2）矩阵A的特征多项式为：f()3 1 25 4，2 2令f( ) 0，则由方程24 0，得51 或4，矩阵A的特征值为1 或4．【归纳与总结】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点 A 2，)，直线1的方程为sin( )3．(3,)，B(4 2 4（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．【思路分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得AB2OA2OB22OA?OBcosAOB，解出AB；（2）根据直线l 的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解析】：（1）设极点为O，则在OAB中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OA?OBcosAOB，AB 32( 2)2 2 3 2 cos( ) 5；2 4（2）由直线1 的方程sin( ) 3，知4直线l过(3 2，)，倾斜角为3，又B( 2，)，2 4 2点B到直线l的距离为(3 23) 2．2)?sin(4 2【归纳与总结】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）23．设x R，解不等式|x| |2x 1|2 ．【思路分析】对|x||2x1|去绝对值，然后分别解不等式即可．3x1,x12【解析】：|x| |2x 1| x剟1，1,0x23x 1,x 0|x| |2x 1| 2，第19页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！3x 1 2 x1 2 3x 1 21 1x 或 0剟x 或 ， 2 2 x0 x1 或x 或x1 ，3不等式的解集为{x|x1或x 1} ． 3【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第 24题、第25题，每题 10分，共计 20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设(1 x)na0 a1x a2x 2anx n，n ⋯4，n N*．已知a322a2a4．（1）求n 的值；（2）设(1 n a b3 ，其中a ，b 2 3b 2 的值．3) N*，求a【思路分析】（1）运用二项式定理，分别求得 a2，a3 ，a4 ，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a ，b ，计算可得所求值；方法二、由于a ，bN*，求得(13)5ab3 ，再由平方差公式，计算可得所求值．【解析】：（1）由(1 x)nC n 0C n 1x C n 2x 2C n n x n，n ⋯4，可得a 2 2 n(n 1) ，a 3 3 n(n 1)(n 2) ，a 4 4 n(n1)(n2)(n3)，C n2 C n 6 C n 24 2 2a2a4，可得( n(n 1)(n 2) ) 2 2 n(n 1)n(n 1)(n 2)(n 3) a3 6 2 24 ，解得n 5；（2）方法一、(1 3)5C 50C 513 C 52( 3)2C 53( 3)3C 54( 3)4C 55( 3)5a b3， 由于a ，bN*，可得aC 503C 529C 541 30 4576，bC 513C 539C 5544，可得a 23b 27623 44232； 方法二、(1 3)5 C 50 C 51 3C 52( 3)2 C 53( 3)3 C 54( 3)4 C 55( 3)5a b 3 ， (1 3)5 C 50 C 51(3)C 52(3)2C 53(3)3 C 54(3)4C 55(3)5C 50C 513C 52(3)2C 53(3)3C 54(3)4C 55(3)5，由于a ，bN*，可得 (13)5a b3 ， 可得a 23b 2(1 3)5(1 3)5(1 3)532．【归纳与总结】本题主要考查二项式定理、 组合数公式的运用， 考查运算能力和分析问题能 力，属于中档题．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集A n {(0,0)，(1,0)，(2,0)，，(n,0)}，B n {(0,1)，(n,1)}，Cn {(0,2)，(1,2)，(2,2)， ，(n,2)}，n N*．令Mn An Bn Cn ．从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离．（1）当n1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n(n⋯3)，求概率P(X,n)（用n表示）．【思路分析】（1）当n 1时，X的所有可能取值为1，2，2，5，由古典概率的公式，第20页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！结合组合数可得所求值；（2）设A(a,b)和B(c,d)是从Mn中取出的两个点，因为P(X, n)1P(Xn)，所以只需考虑X n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解析】：（1）当n 1时，X的所有可能取值为1，2，2，5，X的概率分布为P(X1) 7 7；P(X2)4 4 C215 C215；6 6P(X2) 2 2；P(X 5) 2 2；C6215 C6215（2）设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点，因为P(X,n) 1 P(X n)，所以只需考虑X n的情况，①若b d，则AB,n，不存在X n的取法；②若b 0，d 1 ，则AB (a c)21,n21，所以X n当且仅当AB n21，此时a 0．c n或a n，c 0，有两种情况；③若b 0，d 2，则AB (a c)24, n24，所以X n当且仅当AB n 24，此时a 0．c n或a n，c 0，有两种情况；④若b 1 ，d 2 ，则AB (a c)21,n21，所以X n当且仅当AB n21，此时a 0．c n或a n，c 0，有两种情况；综上可得当X n，X 的所有值是n2 1 或n2 4 ，且P(X n21) 4 ，P(X n24) 2 ，C22n4 C22n4可得P(X,n) 1 P(X n 21) P(X n24) 16．2C2n4【归纳与总结】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》简介：目前有6个群，共2000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名第21页（共22页）《高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————第22页（共22页）。

2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M ﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n ∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B ＝，cos B＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2] ＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．。

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2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈，则A B = ．2．已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ． 3．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．4．函数276y x x =+-的定义域是 ．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．8．已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 ．9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ．12．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC =，则ABAC的值是 ．13．已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 ． 14．设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数．当(0x ∈，2]时，2()1(1)f x x =--，(2),01,()1,12,2k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⎪⎩其中0k >．若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，2b =，2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =． 求证：（1）11//A B 平面1DEC ； （2）1BE C E ⊥．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（16分）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M ．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”． （1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和．①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求2A ；（2）求矩阵A 的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点(3,)4A π，B ，)2π，直线1的方程为sin()34πρθ+=．（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）23．设x R ∈，解不等式|||21|2x x +->．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n ，*n N ∈．已知23242a a a =． （1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值． 25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0)n A =，(1,0)，(2,0)，⋯，(,0)}n ，{(0,1)n B =，(,1)}n ，{(0,2)n C =，(1,2)，(2,2)，⋯⋯，(,2)}n ，*n N ∈．令n nn n M A B C =．从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离． （1）当1n =时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n ，求概率()P X n （用n 表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈，则A B = {1，6} ．【思路分析】直接利用交集运算得答案． 【解析】：{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈， {1AB ∴=-，0，1，6}{|0x x >，}{1x R ∈=，6}．故答案为：{1，6}．【归纳与总结】本题考查交集及其运算，是基础题．2．已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 2 ． 【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a 值． 【解析】：(2)(1)(2)(2)a i i a a i ++=-++的实部为0， 20a ∴-=，即2a =．故答案为：2．【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 5 ．【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解析】：模拟程序的运行，可得 1x =，0S = 0.5S =不满足条件4x ，执行循环体，2x =， 1.5S = 不满足条件4x ，执行循环体，3x =，3S = 不满足条件4x ，执行循环体，4x =，5S =此时，满足条件4x ，退出循环，输出S 的值为5． 故答案为：5．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．函数276y x x =+-的定义域是 [1-，7] ．【思路分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案． 【解析】：由2760x x +-，得2670x x --，解得：17x -．∴函数276y x x =+-[1-，7]．故答案为：[1-，7]．【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 2 ．【思路分析】先求出一组数据6，7，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解析】：一组数据6，7，8，9，10的平均数为：1(678910)85x =++++=，∴该组数据的方差为：2222221[(68)(78)(88)(98)(108)]25S =-+-+-+-+-=．故答案为：2．【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 710．【思路分析】基本事件总数2510n C ==，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数1123227m C C C =+=，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率． 【解析】：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务， 基本事件总数2510n C ==，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：1123227m C C C =+=，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710m p n ==．故答案为：710．【归纳与总结】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是y = ．【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b ，则双曲线的渐近线方程可求．【解析】：双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，∴221631b-=，解得22b =，即b又1a =，∴该双曲线的渐近线方程是y =．故答案为：y =．【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题． 8．已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 16 ．【思路分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n 项和求得8S 的值．【解析】：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩． ∴818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=．【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础题． 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 10 ．【思路分析】推导出11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，三棱锥E BCD -的体积：1111133212E BCD BCD V S CE BC DC CE AB BC DD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，由此能求出结果．【解析】：长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，∴11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=， ∴三棱锥E BCD -的体积：13E BCD BCD V S CE -∆=⨯⨯1132BC DC CE =⨯⨯⨯⨯ 1112AB BC DD =⨯⨯⨯ 10=．故答案为：10．【归纳与总结】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 4 ．【思路分析】利用导数求平行于0x y +=的直线与曲线4(0)y x x x=+>的切点，再由点到直线的距离公式求点P 到直线0x y +=的距离的最小值．【解析】：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0(x ，004)x x +，由20411x -=-，解得002(0)x x =>． ∴曲线4(0)y x x =+>上，点(2,32)P 到直线0x y +=的距离最小， |232|42+=．【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是 (,1)e ．【思路分析】设0(A x ，0)lnx ，利用导数求得曲线在A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解0x 即可．【解析】：设0(A x ，0)lnx ，由y lnx =，得1y x'=，∴001|x x y x ='=，则该曲线在点A 处的切线方程为0001()y lnx x x x -=-，切线经过点(,1)e --，∴0011elnx x --=--， 即00elnx x =，则0x e =． A ∴点坐标为(,1)e ． 故答案为：(,1)e ．【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC =，则ABAC的值是 3 ．【思路分析】首先算出12AO AD =，然后用AB 、AC 表示出AO 、EC ，结合6AB AC AO EC =得221322AB AC =，进一步可得结果． 【解析】：设()2AO AD AB AC λλ==+，()AO AE EO AE EC AE AC AE μμ=+=+=+-1(1)3AE AC AB AC μμμμ-=-+=+∴1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11()24AO AD AB AC ==+，13EC AC AE AB AC =-=-+，1166()()43AO EC AB AC AB AC =⨯+⨯-+22312()233AB AB AC AC =-++221322AB AB AC AC =-++，221322AB AC AB AB AC AC =-++，∴221322AB AC =，∴223AB AC =，∴AB AC【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 10 ． 【思路分析】由已知求得tan α，分类利用万能公式求得sin 2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin(2)4πα+的值．【解析】：由tan 23tan()4απα=-+，得tan 23tan tan 41tan tan4απαπα=-+-， ∴tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin 215tan ααα==+，2213cos2tan αα-==-+， 43sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=-=； 当1tan 3α=-时，22tan 3sin 215tan ααα==-+，2214cos21tan αα-==+， 34sin(2)sin 2cos cos2sin 4455πππααα∴+=+=- 综上，sin(2)4πα+．．【归纳与总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数．当(0x ∈，2]时，()f x =，(2),01,()1,12,2k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⎪⎩其中0k >．若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ． 【思路分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案． 【解析】：作出函数()f x 与()g x 的图象如图，由图可知，函数()f x 与1()(122g x x =-<，34x <，56x <，78)x <仅有2个实数根；要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1)f x x =--，(0x ∈，2]与()(2)g x k x =+，(0x ∈，1]的图象有2个不同交点， 由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1211k =+，解得0)22k k =>，两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k =，∴1322k <． 即k 的取值范围为1[3)22．故答案为：1[3)22．【归纳与总结】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，2b =，2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 【思路分析】（1）由余弦定理得：222221022cos 263a cbc B ac c +--===，由此能求出c 的值．（2）由sin cos A Ba =，利用正弦定理得2sin cos B B =，再由22sin cos 1B B +=，能求出5sin B =，25cos B =，由此利用诱导公式能求出sin()2B π+的值． 【解析】：（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．3a c =，2b =，2cos 3B =，∴由余弦定理得：222221022cos 263a cbc B ac c +--===，解得3c =． （2）sin cos 2A Ba b=， ∴由正弦定理得：sin sin cos 2A B Ba b b==， 2sin cos B B ∴=， 22sin cos 1B B +=，5sin B ∴=，25cos B =， 25sin()cos 2B B π∴+==． 【归纳与总结】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =． 求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ⊥．【思路分析】（1）推导出//DE AB ，11//AB A B ，从而11//DE A B ，由此能证明11//A B 平面1DEC ．（2）推导出1BE AA ⊥，BE AC ⊥，从而BE ⊥平面11ACC A ，由此能证明1BE C E ⊥． 【解答】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点， //DE AB ∴，11//AB A B ，11//DE A B ∴， DE ⊂平面1DEC ，11A B ⊂/平面1DEC ， 11//A B ∴平面1DEC ． 解：（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 的中点，AB BC =． 1BE AA ∴⊥，BE AC ⊥，又1AA AC A =，BE ∴⊥平面11ACC A ，1C E ⊂平面11ACC A ，1BE C E ∴⊥．【归纳与总结】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦点为1(1,0)F-，2(1,0)F．过2F作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a-+=交于点A ，与椭圆C交于点D．连结1AF并延长交圆2F于点B，连结2BF交椭圆C于点E，连结1DF．已知152DF=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【思路分析】（1）由题意得到12//F D BF，然后求AD，再由152AD DF==求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到2133224BF DFk k===，写出2BF的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解析】：（1）如图，22F A F B=，22F AB F BA∴∠=∠，22212F A a F D DA F D F D==+=+，1AD F D∴=，则11DAF DF A∠=∠，12DF A F BA∴∠=∠，则12//F D BF，1c=，221b a∴=-，则椭圆方程为222211x ya a+=-，取1x=，得21Daya-=，则22112a aAD aa a-+=-=．又152DF=，∴2152aa+=，解得2(0)a a=>．∴椭圆C的标准方程为22143x y+=；（2）由（1）知，3(1,)2D，1(1,0)F-，∴2133224BF DFk k===，则23:(1)4BF y x=-，联立223(1)4143y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22118390x x--=．解得11x=-或2137x=（舍)．∴132y =-．即点E 的坐标为3(1,)2--．【归纳与总结】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明12//DF BF 是解答该题的关键，是中档题．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【思路分析】（1）设BD 与圆O 交于M ，连接AM ，以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则(0,6)A -，(8,12)B --，(8,0)D -设点1(P x ，0)，PB AB ⊥，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求得P 的坐标，可得所求值；（2）当QA AB ⊥时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时2(Q x ，0)，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求得Q 的坐标，即可得到结论；（3）设(,0)P a ，(,0)Q b ，则17a -，92b -，结合条件，可得b 的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ ．【解析】：设BD 与圆O 交于M ，连接AM ， AB 为圆O 的直径，可得AM BM ⊥， 即有6DM AC ==，6BM =，8AM =，以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则(0,6)A -，(8,12)B --，(8,0)D - （1）设点1(P x ，0)，PB AB ⊥， 则1BP AB k k =-， 即10(12)6(12)1(8)0(8)x -----=-----，解得117x=-，所以(17,0)P -，22(178)(012)15PB =-+++=；（2）当QA AB ⊥时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时2(Q x ，0)，则1QA AB k k =-，即20(6)6(12)100(8)x -----=----，解得292x =-，9(2Q -，0)，由91782-<-<-，在此范围内，不能满足PB ，QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径，所以P ，Q 中不能有点选在D 点；（3）设(,0)P a ，(,0)Q b ，则17a -，92b -，22(8)144225PB a =++，2236225QA b =+，则321b ，当d 最小时，17321PQ =+．【归纳与总结】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．（16分）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M ．【思路分析】（1）由a b c ==，可得3()()f x x a =-，根据f （4）8=，可得3(4)8a -=，解得a ．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--．令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．()()(32)f x x b x b a '=---．令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=．根据()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，通过分类讨论可得：只有3a =，3b =-，可得263133a b A +-==∈，可得：2()(3)(3)f x x x =-+．利用导数研究其单调性可得1x =时，函数()f x 取得极小值．（3）0a =，01b <，1c =，()()(1)f x x x b x =--．2()3(22)f x x b x b '=-++．△0>．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：21111(0,]3b b b x +--+，2211b b b x ++-+．12x x <，可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，通过计算化简即可证明结论．【解析】：（1）a b c ==，3()()f x x a ∴=-，f （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--． 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---．令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=．()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，若：3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去．1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去．3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去．． 3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去．1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去．3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈，． 因此3a =，3b =-，213a bA +=∈，可得：2()(3)(3)f x x x =-+． ()3[(3)](1)f x x x '=---．可得1x =时，函数()f x 取得极小值，f （1）22432=-⨯=-． （3）证明：0a =，01b <，1c =， ()()(1)f x x x b x =--．2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++．△22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：11(0,]3x =，2x =．12x x <，12223b x x ++=，123b x x =， 可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，2111()3(22)0f x x b x b '=-++=，可得：2111[(22)]3x b x b =+-，1111()()(1)M f x x x b x ==--222211111111(22)1()()()()[(21)2]33b x b x b x x x b x b x b x b +-=--=--=--+2222111(22)11[(21)2][(222)]339b x b b b x b b b x b b +-=--+=-+-++， 22132222()022b b b -+-=---<，M ∴在1(0x ∈，1]3上单调递减，2221252524()932727b b b b M b b -+-+-∴++=．427M∴． 【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”． （1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和．①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．【思路分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据245a a a =，321440a a a -+=列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出2b ，3b ，4b 猜想n b ，然后用数学归纳法证明；（3）设{}n c 的公比为q ，将问题转化为[][]1max min lnk lnkk k -，然后构造函数()(3)lnx f x x x =，()(3)1lnx g x x x =-，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式331ln lnmm -，即可．【解析】：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则 由245a a a =，321440a a a -+=，得244112111440a q a qa q a q a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩∴112a q =⎧⎨=⎩， ∴数列{}n a 首项为1且公比为正数即数列{}n a 为“M -数列”；（2）①11b =，1122n n n S b b +=-，∴当1n =时，11121122S b b b ==-，22b ∴=， 当2n =时，212231122S b b b b ==-+，33b ∴=，当3n =时，3123341122S b b b b b ==-++，44b ∴=， 猜想n b n =，下面用数学归纳法证明； ()i 当1n =时，11b =，满足n b n =，()ii 假设n k =时，结论成立，即k b k =，则1n k =+时， 由1122k k k S b b +=-，得 1(1)2221(1)222k k k k k k k kb S b k k k S b k++===++--， 故1n k =+时结论成立，根据()()i ii 可知，n b n =对任意的*n N ∈都成立． 故数列{}n b 的通项公式为n b n =； ②设{}n c 的公比为q ，存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立， 即1k kq k-对k m 恒成立，当1k =时，1q ，当2k =2，当3k ，两边取对数可得，1lnk lnkk k -对k m 有解，即[][]1max min lnk lnk k k -，令()(3)lnx f x x x =，则21()lnxf x x -'=， 当3x 时，()0f x '<，此时()f x 递增，∴当3k 时，3[]3max lnk ln k =， 令()(3)1lnx g x x x =-，则211()lnxx g x x --'=， 令1()1x lnx x φ=--，则21()xx xφ-'=，当3x 时，()0x φ'<，即()0g x '<， ()g x ∴在[3，)+∞上单调递减，即3k 时，[]11min lnk lnmk m =--，则 331ln lnmm -，下面求解不等式331ln lnmm -，化简，得3(1)30lnm m ln --，令()3(1)3h m lnm m ln =--，则3()3h m ln m'=-，由3k 得3m ，()0h m '<，()h m ∴在[3，)+∞上单调递减，又由于h （5）3543125810ln ln ln ln =-=->，h （6）36532162430ln ln ln ln =-=-<， ∴存在0(5,6)m ∈使得0()0h m =， m ∴的最大值为5，此时13[3q ∈，145]．【归纳与总结】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求2A ；（2）求矩阵A 的特征值． 【思路分析】（1）根据矩阵A 直接求解2A 即可；（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--，解方程()0f λ=即可．【解析】：（1）3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦231312222A ⎡⎤⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 115106⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）矩阵A 的特征多项式为：231()5422f λλλλλ--==-+--，令()0f λ=，则由方程2540λλ-+=，得1λ=或4λ=，∴矩阵A 的特征值为1或4．【归纳与总结】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点(3,)4A π，B ，)2π，直线1的方程为sin()34πρθ+=．（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．【思路分析】（1）设极点为O ，则由余弦定理可得2222?cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，解出AB ；（2）根据直线l 的方程和点B 的坐标可直接计算B 到直线l 的距离． 【解析】：（1）设极点为O ，则在OAB ∆中，由余弦定理，得 2222?cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，AB ∴=（2）由直线1的方程sin()34πρθ+=，知直线l过)2π，倾斜角为34π，又B )2π，∴点B 到直线l的距离为3?()242sin ππ-=．【归纳与总结】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）23．设x R ∈，解不等式|||21|2x x +->．【思路分析】对|||21|x x +-去绝对值，然后分别解不等式即可．【解析】：131,21|||21|1,0231,0x x x x x x x x ⎧->⎪⎪⎪+-=-+⎨⎪-+<⎪⎪⎩，|||21|2x x +->，∴31212x x ->⎧⎪⎨>⎪⎩或12102x x -+>⎧⎪⎨⎪⎩或3120x x -+>⎧⎨<⎩， 1x ∴>或x ∈∅或13x <-，∴不等式的解集为1{|3x x <-或1}x >．【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n ，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．【思路分析】（1）运用二项式定理，分别求得2a ，3a ，4a ，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a ，b ，计算可得所求值；方法二、由于a ，*bN ∈，求得5(1a -=-，再由平方差公式，计算可得所求值．【解析】：（1）由0122(1)n n nnn n n x C C x C x C x +=+++⋯+，4n ， 可得22(1)2n n n a C -==，33(1)(2)6n n n n a C --==，44(1)(2)(3)24n n n n n a C ---==， 23242a a a =，可得2(1)(2)(1)(1)(2)(3)()26224n n n n n nn n n ------=，解得5n =；（2）方法一、502233445555555(1C C C C C C a +=++++=+由于a ，*b N ∈，可得024555391304576a C C C =++=++=，1355553944b C C C =++=， 可得222237634432a b-=-⨯=-；方法二、502233445555555(1C C C CC C a +=++++=+50122334455555555(1(((((C C C CC C -=+++++02233445555555C C CC C C =--+-，由于a ，*b N∈，可得5(1a =-可得225553(1(13)(13)32a b -=+-=-=-．【归纳与总结】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0)n A =，(1,0)，(2,0)，⋯，(,0)}n ，{(0,1)n B =，(,1)}n ，{(0,2)n C =，(1,2)，(2,2)，⋯⋯，(,2)}n ，*n N ∈．令n nn n M A B C =．从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离． （1）当1n =时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n，求概率()P X n （用n表示）．【思路分析】（1）当1n =时，X 的所有可能取值为1，2，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设(,)A a b 和(,)B c d 是从n M 中取出的两个点，因为()1()P X n P X n =->，所以只需考虑X n >的情况，分别讨论b ，d 的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解析】：（1）当1n =时，X 的所有可能取值为1，2，2，5，X 的概率分布为2677(1)15P X C ===；2644(2)15P X C ===；2622(2)15P X C ===；2622(5)15P X C ===； （2）设(,)A a b 和(,)B c d 是从n M 中取出的两个点，因为()1()P X n P X n =->，所以只需考虑X n >的情况， ①若b d =，则AB n ，不存在X n >的取法；②若0b =，1d =，则22()11AB a c n =-++，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；③若0b =，2d =，则22()44AB a c n =-++，所以X n >当且仅当24AB n =+，此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；④若1b =，2d =，则22()11AB a c n =-++，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况； 综上可得当X n >，X 的所有值是21n +或24n +，且22244(1)n P X n C +=+=，22242(4)n P X n C +=+=，可得222246()1(1)(4)1n P X n P X n P X n C+=-=+-=+=-．【归纳与总结】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》简介：目前有6个群，共2000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————。

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