2011年全国各地中考数学真题分类汇编：第10章平面直角坐标系与坐标
2011全国各省市中考数学试题分类汇编-—函数与一次函数
2011全国各省市中考数学试题分类汇编－—函数与一次函数（解答题及答案）三.解答题1.（2011安徽中考）18、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.(1)填写下列各点的坐标：A 1（____，____），A 3（____，____），A 12（___，___）； （2)写出点A n 的坐标(n 是正整数)；(3)指出蚂蚁从点A 100到A 101的移动方向.2.（2011安徽中考）21. 如图函数11y k x b =+的图象与函数2k y x=（x ＞0）的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点.已知A 点的坐标为(2，1)，C 点坐标为(0，3). （1）求函数1y 的表达式和B 点坐标； 【解】（2）观察图象，比较当x ＞0时，1y 和2y 的大小.3.（2011广州中考）14．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1．（1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）4.（2011甘肃兰州）24.（本小题满分7分）如图，一次函数3y kx =+的图像与反比例函数my x=（x ＞0）的图像交与点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B.一次函数的图像分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且DBP S ∆=27，OC CA =12. (1)求点D 的坐标；第18题图第21题（2）求一次函数与反比例函数的表达式；（3）根据图像写出当x5.（2011广东茂名）某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．（1）分别写出甲、乙两厂的收费甲y (元) 、乙y (元)与印制数量x (本)之间的关系式；(4分)（2）问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由． (4分) 解：6.（2011广州中考）21.(12分)某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠。
2011年中考数学复习精品课件：第11讲平面直角坐标系
值．
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，
求出α的值；若不能，请说明理由.
【解析】(1)A′(3 ,33 ),B′(6,0). (2)∵y=3,∴3= 6 ,3
x
∴x=2 ,3∴a= 5. 3 (3)① ∵α=30°,∴相应B点的坐标是(－3
∴k=9 3 .
,－33 ),
②能.理由是：当α=60°时，相应A,B点的坐标分别是
(0，3 3 ).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO， OB，BA上运动的速度分别为1， 3 ，2 (长度单位/秒).一直尺 的上边缘l从x轴的位置开始以 3 (长度单位/秒)的速度向上
3
平行移动(即移动过程中保持l∥x轴)，且分别与OB，AB交于 E，F两点.设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当 点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动.
【解析】(1)s= 1 t(t≥0)(2)M→D→A→N 10
2
(3)当3≤s＜5，即P从A到B时，y=4-s；
当5≤s＜7，即P从B到C时，y=-1；
当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s-8．图象略．
12.(12分)(2010·金华中考)如图，把含有30°角的三角板
ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为(3，0)和
三、解答题(共46分) 10.(10分)(2010·常州中考)小明在研究苏教版《有趣的坐标 系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，自己设计了一个 坐标系如图，该坐标系以O为原点，直线OA为x轴，直线OE为y 轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长.坐标系中的任意 一点P用一有序实数对(a,b)来表示，我们称这个有序实数对 (a,b)为点P的坐标.坐标系中点的坐标的确定方法如下：
2018年中考数学真题分类汇编(第二期)专题10平面直角坐标系与点的坐标试题(含解析)
平面直角坐标系与点的坐标一.选择题1.（2018•山东东营市•3分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m 的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，∴，解得﹣1＜m＜2．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2.（2018•山东聊城市•3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC 边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，）D．（﹣，）【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC1=，故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．故选：A．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键．3. （2018•乌鲁木齐•4分）在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）【分析】根据题意可知点N旋转以后横纵坐标都互为相反数，从而可以解答本题．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（1，2），故选：A．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解答本题的关键是明确题意，利用旋转的知识解答．4.（2018•金华、丽水•3分）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x 轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（）A. （5，30）B. （8，10） C. （9，10） D. （10，10）【解析】【解答】解：因为点P在第一象限，点P到x轴的距离为：40-30=10，即纵坐标为10；点P到y轴的距离为，即横坐标为9，∴点P（9,10），故答案为：C。
2011中考数学试题分类汇编(150套) 数量和位置变化 平面直角坐标系专题
2011中考数学试题分类汇编（150套）数量和位置变化，平面直角坐标系专题一、选择题1．（2011某某某某市）如图，在平面直角坐标系中，以O （0，0），A （1，1），B （3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能．．作为平行四边形顶点坐标的是（ ）A ．（－3，1）B ．（4，1）C ．（－2，1）D ．（2，－1） 【答案】A2．（2011某某某某）如图，是X 老师出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示X 老师家的位置，则X 老师散步行走的路线可能是【答案】D3．（2011某某威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为O ABCDA 1B 1C 1A 2C 2B 2 x yyxO .AB.第7题图••••ABCDyxO（第7题）A ．2009235⎪⎭⎫ ⎝⎛B ．2010495⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．2008495⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．4018235⎪⎭⎫ ⎝⎛【答案】D4．（2011某某某某）如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （4，6）、B （5，2）、C （2，1），如果将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90°，得到△''A B C ，那么点A 的对应点'A 的坐标是（ ）．A ．（－3，3）B ．（3，－3）C ．（－2，4）D ．（1，4）【答案】A5．（2011某某日照）在平面直角坐标系内，把点P （－2，1）向右平移一个单位，则得到的对应点P ′的坐标是（A ） （－2，2）（B ）（－1，1） （C ）（－3，1） （D ）（－2，0） 【答案】B6．（2011 某某莱芜）在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y （千米） 随时间x （分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下 列结论不正确．．．的是第7题图A ．甲先到达终点B ．前30分钟，甲在乙的前面C ．第48分钟时，两人第一次相遇D ．这次比赛的全程是28千米 【答案】D7．（2011某某凉山）在函数y =x 的取值X 围是 A ．1x -≥B ．1x >-且12x ≠C ．1x >-且12x ≠D ．1x -≥【答案】C8．（2011某某凉山）如图，因水桶中的水有图①的位置下降到图②的位置的过程中，如果水减少的体积是y ，水位下降的高度是x ，那么能够表示y 与x 之间函数关系的图像是【答案】C9．（2011某某眉山）某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量y （升）与时间x （分）之间的函数关系对应的图象大致为O 96 86 6630 x /分（第12题图）DCB① ②Aword【答案】D10．（2011某某）坐标半面上，在第二象限内有一点P ，且P 点到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是5，则P点坐标为何？ (A) (-5，4) (B) (-4，5) (C) (4，5) (D) (5，-4) 。
2011全国中考数学真题解析120考点汇编 平面内点的坐标的性质
故选B．
点评：本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
5.（2011某某某某某某，7，2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）．B（1，﹣1）．C（﹣1，﹣1）．D（﹣1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作P5关于点B的对称点P6┅，按如此操作下去，则点P2011的坐标为（ ）
考点：点的坐标。
专题：规律型。
分析：由题目中所给的质点运动的特点找出规律，即可解答．
解答：解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依次类推，到（5，0）用35秒．
A、AB、BC、CD、D
考点：正多边形和圆；坐标与图形性质。
专题：规律型。
分析：根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．
解答：解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．
∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），
考点：点的坐标。
专题：计算题。
分析：满足点在第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标也是正数，结合选项进行判断即可．
解答：解：因为第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标也是正数，而各选项中符合纵坐标为正，横坐标也正的只有A（1，2）．
2011-2012全国各地中考数学试题分考点解析汇编新定义和跨学科问题
2011-2012全国各地中考数学试题分考点解析汇编新定义和跨学科问题一、选择题1.（2011广东台山3分）如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U变化的图像是【答案】D。
【考点】正比例函数的图象。
【分析】根据电流电压电阻三者关系：VIR，其中R为定值，电流I随它的两端电压U变化是正比例函数的关系，所以它的图象为过原点的直线。
故选C。
2.（2011山西省2分）如图所示，∠AOB的两边．OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是A．35°B．70°C．110°D．120°【答案】B。
【考点】平行线的性质，入射角与反射角的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质。
【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F，则DF是法线，根据入射角等于反射角的关系，得∠1=∠3，∵CD∥OB，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）。
∴∠2=∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，∴∠2=55°；∴在△DEF中，∠DEB=180°－2∠2=70°。
故选B。
4.（2011湖南岳阳3分）下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是A、上海自来水来自海上B、有志者事竞成C、清水池里池水清D、蜜蜂酿蜂蜜【答案】B。
【考点】生活中的对称现象。
【分析】根据四个选项的特点，分析出与其它三个不同的即为正确选项：A、上海自来水来自海上，可将“水”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误；B、有志者事竞成，五字均不相同，所以不对称，故本选项正确；C、清水池里池水清，可将“里”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误；D、蜜蜂酿蜂蜜，可将“酿”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误。
2011全国各省市中考数学试题分类汇编-—函数与一次函数(选择题及答案)
2011全国各省市中考数学试题分类汇编－—函数与一次函数（选择题及答案）一.选择题1.（2011台湾中考）1.坐标平面上，若点(3, b )在方程式923-=x y 的图形上，则b 值为何？（ ）(A)－1 (B) 2 (C) 3 (D) 92.（2011台湾中考）15.图(三)的坐标平面上有一正五边形ABCDE ，其中C 、D 两点坐标分别为(1,0)、(2,0) 。
若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着 x 轴向右滚动，则滚动过程中，下列何者会 经过点(75 , 0)？（ ）(A) A (B) B (C) C (D) D3.（2011台湾中考）16.已知数在线A 、B 两点坐标分别为－3、－6，若在数在线找一点C ，使得A 与C 的距离为4；找一点D ，使得B 与D 的距离为1，则下列何者不可能为C 与D 的距离？（ ） (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 64.（2011台湾中考）29.已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（ ）(A) 100 (B) 180 (C) 220 (D) 2605.（2011台北中考）9.图(三)的坐标平面上，有一条通过点(－3,－2)的直线L 。
若四点(－2 , a )、(0 , b )、(c , 0)、(d ,－1)在L 上，则下列数值的判断，何者正确？（ ）(A) a ＝3 (B) b ＞－2(C) c ＜－3 (D) d ＝26.（2011台北中考）17.如图(七)，坐标平面上有两直线L 、M ，其方程式分别为y ＝9、y ＝－6。
若L 上有一点P ，M 上有一点Q ，PQ 与y 轴平行，且PQ 上有一点R ，PR ：RQ ＝1：2，则R 点与x 轴的距离为何？（ ）(A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 107.（2011台北中考）21.坐标平面上有一个线对称图形，)25,3(－A 、)211,3(－B 两点在此图形上且互为对称点。
【9月最新修订版】2011全国各地中考数学试题分类汇编考点13B 平面直角坐标系
平面直角坐标系一、选择1. （2011某某某某，10，3分）若点P （a ，a -2）在第四象限，则a 的取值X 围是（ ）．A ．-2＜a ＜0B ．0＜a ＜2C ．a ＞2D ．a ＜0 【答案】B2. （2011某某，6，3分）如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O 旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A 在丙位置中的对应点A′的坐标为 【 】（A ）（3，1） （B ）（1，3） （C ）（3，－1） （D ）（1，1）【答案】C3. (2011某某某某,7,2分)在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点坐标分别为A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1),y 轴上有一点P(0,2).作点P 关于点A 的对称点1P ,作点1P 关于点B 的对称点2P ,作点2P 关于点C 的对称点3P ,作点3P 关于点D 的对称点4P ,作点4P 关于点A 的对称点5P ,作点5P 关于点B 的对称点6P …,按此操作下去,则点2011P 的坐标为( )A.(0,2)B. (2,0)C. (0,-2)D.(-2,0)4. （2011某某某某，2,3分）在平面直角坐标系中，点P （－3，2）所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B5. （2011某某，2，2分）点（－2，1）所在的象限是（ ）A ．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B6. （2010某某某某，4，3分）如图，在平面直角坐标系中，点P （-1,2）向右平移3个单位长度后的坐标是（ ）A.（2，2）B.（-4，2）C.（-1，5）D.（-1，-1） 【答案】A8. （2011某某某某，6，3分）点M （－2，1）关于x 轴对称的点的坐标是 A ． (－2，－1） B ． (2，1） C ．（2，－1）D ． (1，－2）【答案】A9. （2011某某某某，10，3分）若点P （a ，a -2）在第四象限，则a 的取值X 围是（ ）．A ．-2＜a ＜0B ．0＜a ＜2C ．a ＞2D ．a ＜0· P O 12 3 1 2 3-1 -2 -2-1 （第4题）xy10．（2011某某某某，2，3分）在平面直角坐标系中，下面的点在第一象限的是 （A ）（1，2） （B ）（－2，3） （C ）（0，0） （D ）（－3，－2） 【答案】A11. （2011某某某某，7,3分）如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()3,2．点D 、E 分别在AB 、BC 边上，BD=BE=1．沿直线DE 将△BDE 翻折，点B 落在B ′处．则点B ′的坐标为（Ａ）()1,2． （B ）()2,1．（C ）()2,2．（D ）()3,1．【答案】（B ）12. （2011某某某某，10,2分）平面直角坐标系中，已知点O （0,0）、A （0,2）、B （1,0.），点P 是反比例函数1y=x-图象上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q ，若以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似，则相应的点P 共有（ ）【答案】D13. （2011某某枣庄，4，3分）在平面直角坐标系中，点P(－2，2x ＋1)所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B14. （2011某某枣庄，12，3分）如图，点A 的坐标是(22)，，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是（ ）A ．（2，0）B ．（4，0）C ．（－22，0）D ．（3，0） 【答案】D15. （2011某某某某，4，4分）点P （－2，1）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（－2，－1）B ．（ 2，－1）C ．（ 2，1）D ．（1，－2） 【答案】A16. （2011某某某某，7，3分）如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()3,2．点D 、E 分别在AB 、BC 边上，BD=BE=1．沿直线DE 将△BDE 翻折，点B 落在B′处．则点B′的坐标为（Ａ）()1,2． （B ）()2,1．（C ）()2,2．（D ）()3,1．【答案】（B ）17. (2011某某某某6，3分)点P 关于x 轴对称点为)4,3(1P ，则点P 的坐标为（ ）A )4,3(-B )4,3(--C )3,4(--D )4,3(- 【答案】 A18. （2011某某某某，6，3分）如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标不1 2 3 4-1 1 2 xy A变，纵坐标分别变为原来的12，则点A 的对应点的坐标是（ ）. A.（﹣4,3） B.（4,3） C.（﹣2,6） D.（﹣2,3）【答案】A19. （2011某某某某,9,3分）在平面直角坐标系中，将点A （-2,1）向左平移2个单位到点Q ，则点Q 的坐标为A.(-2,3)B.(0,1)C.(-4,1)D.(-4，-1) 【答案】C20．（2011某某黔南，3,4分）在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为p ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用[p, α]表示点P 的极坐标；显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应的关系。
2011年中考数学试题分类汇总--坐标单选
1. （2011山东日照，7，3分） 以平行四边形ABCD 的顶点A 为原点，直线AD 为x 轴建立直角坐标系，已知B 、D 点的坐标分别为（1,3），（4,0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C 点平移后相应的点的坐标是（ ）（A ）（3，3） （B ）（5,3） （C ）（3,5） （D ）（5,5）【答案】D**********2. （2011山东泰安，12 ，3分）若点A 的坐标为（6，3），O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转900得到OA ＇，则点A ＇的坐标为（ ）A.(3,-6)B.(-3,6)C.(-3,-6)D.(3,6)【答案】A**********3. （2011宁波市，5，3分）平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是A ． （－3，2）B ． （3，－2）C ． （－2，3）D ． （2，3）【答案】C*********4. （2011湖南常德，12，3分）在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2）则顶点D 的坐标为（ ）A ．（7，2） B. （5，4） C.（1，2） D. （2，1）【答案】C*********5. （2011江苏宿迁,2,3分）在平面直角坐标中，点M(－2，3)在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B**********6. （2011广东肇庆，6，3分）点M （2-，1）关于x 轴对称的点的坐标是A ． (2-，1-）B ． (2，1）C ．（2，1-）D ． (1，2-）【答案】A**********7． （2011湖南永州，16，3分）对点（x ，y ）的一次操作变换记为P1（x ，y ），定义其变换法则如下：P1（x ，y ）=（y x +，y x -）；且规定)),((),(11y x P P y x P n n -=（n 为大于1的整数）．如P1（1，2 ）=（3，1-），P2（1，2 ）= P1（P1（1，2 ））= P1（3，1-）=（2，4），P3（1，2 ）= P1（P2（1，2 ））= P1（2，4）=（6，2-）．则P2011（1，1-）=（ ）A ．（0,21005 ）B ．（0,-21005 ）C ．（0,-21006）D ．（0,21006）【答案】D**********8．(20011江苏镇江,7,2分)在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点坐标分别为A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1),y 轴上有一点P(0,2).作点P 关于点A 的对称点1P ,作点1P 关于点B 的对称点2P ,作点2P 关于点C 的对称点3P ,作点3P 关于点D 的对称点4P ,作点4P 关于点A 的对称点5P ,作点5P 关于点B 的对称点6P …,按此操作下去,则点2011P 的坐标为( )A.(0,2)B. (2,0)C. (0,-2)D.(-2,0)【答案】D**********9. （2011内蒙古乌兰察布，8，3分）在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是A( 4 ,-1).B(1,1) 将线段AB 平移后得到线段A 'B'，若点A'的坐标为 (-2 , 2 ) ，则点 B'的坐标为（） A . ( -5 , 4 )B . ( 4 , 3 ) C. ( -1 , -2 ) D .(-2,-1) 【答案】A**********。
2011年中考数学模拟试题分类汇编--平面直角坐标系
平面直角坐标系一、选择题1.（2010年 中考模拟）在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()()41A B --，，1，1，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ）A ．()43，B ．()34，C ．()12--，D ．()21--，答案：B2.（2010年 中考模拟2）有以下三个说法：①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的；②除了平面直角坐标系，我们也可以用方向和距离来确定物体的位置；③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限 .其中错误的是（ ）A.只有①B.只有②C.只有③D.①②③答案：C3.（2010年 中考模拟2）已知点P （x ，y ）在函数x x y -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B4.(2010年三亚市月考)函数y ＝5x -中，自变量x 的取值范围（ ）A. x ＞0B. x ≠5C. x ≤5D. x ≥5答案D5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M →A →B →M 的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M 的距离y 与时间x 之间关系的函数图像是（）答案C6.（2010年广州市中考七模）在直角坐标系中，点M （1，2）关于y 轴对称的点的坐标为（ ）Ａ.（1，－2） Ｂ.（2，－1） Ｃ.（－1，－2） Ｄ.（－1，2）答案：D7.（2010年湖南模拟）在平面直角坐标系中,属于第二象限的点是 ( )A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3) 答案：C8.（2010年济宁师专附中一模）某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示.已知某天0点到6点,进行机组试运行,试机时至少打开一个水口,且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示:给出以下3个判断:①0点到3点只进水不出水；②3点到4点,不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则上述判断中一定正确的是 （ ）A ．①B ．②C ．②③D ．①②③丙乙 甲 56 4 3 6 5 2 1 Ｏ Ｏ 1 13()V 万米 Ｏ 3()V 万米 3()V 万米 ()x 小时 ()x 小时 ()x 小时答案：A9.（2010年河南中考模拟题2）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t(min)的函数图像大致为（）答案：B10．（2010年吉林中考模拟题）如图，点A是y关于x的函数图象上一点．当点A沿图象运动，横坐标增加5时，相应的纵坐标（） A．减少1． B．减少3． C．增加1． D．增加3．答案：A二、填空题1.（2010年江西南昌一模）如图,在直角坐标系中，右边的蝴蝶是由左边的蝴蝶飞过去以后得到的,左图案中左右翅尖的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图案中左翅尖的坐标是(3，4)，则右图案中右翅尖的坐标是 .答案：(5,4)2.（2010年河南模拟）已知点P（－2，3），则点P关于x轴对称的点8题第1题xOy坐标是答案：(-2,-3)3.（2010年重庆市綦江中学模拟1）．如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的。
中考总复习数学10-第一部分 第10讲 平面直角坐标系与函数
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返回栏目导航ຫໍສະໝຸດ 3.(2022·石家庄国际学校模拟)如图,直线a⊥b,若以平行于a的直线为x轴,以
平行于b的直线为y轴,建立平面直角坐标系,若A(-3,2),B(2,-3),则坐标系的
原点最有可能是( B )
A.O1
B.O2
C.O3
D.O4
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第10讲
平面直角坐标系与函数— 题型突破
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和分类讨论思想是解答本题的关键.尤其是实际背景下的
函数问题,如果涉及分段函数,需要根据自变量的不同取值
范围分类进行求解,还需要关注函数与方程(不等式)的联系.
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第10讲
平面直角坐标系与函数— 题型突破
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3.(2022·石家庄新华区模拟)用max , 表示a,b两数中较大的数,如
标公式为
x +x y1+y2
,
(如图③).
第10讲
平面直角坐标系与函数— 考点梳理
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考点 2 函数及其自变量取值范围
1.函数的相关概念
(1)变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量.
(2)常量:在某一变化过程中保持相同数值的量.
(3)函数:一般地,在一个变化过程中如果有两个变量x和y,并且对于x的每一
值范围,根据函数关系式的特点来确定正确的函数图象.
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第10讲
平面直角坐标系与函数— 题型突破
拔高追问
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当x等于何值时,函数值y最大?
2011年全国各地中考数学真题分类汇编
） .
D．x ≤ －2．
【答案】C 30. （2011 湖北黄石，10，3 分）已知梯形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（－1，0），B （5，0），C（2，2），D（0，2），直线 y=kx+2 将梯形分成面积相等的两部分，则 k 的值为 A. －
2 3
B. －
2 9
C. －
4 7
D. －
2 7
【答案】B 3. （2011 广东广州市，9，3 分）当实数 x 的取值使得 x－2有意义时，函数 y=4x+1 中 y 的取值范围是（ ）． A．y≥－7 B．y≥9 C．y＞9 D．y≤9 【答案】B 4. （2011 山东滨州，6，3 分）关于一次函数 y=－x+1 的图像，下列所画正确的是( )
【答案】A 25. （2011 四川乐山 3，3 分）下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x＜1 的是 A． y 【答案】 D 26. （2011 四川乐山 8，3 分）已知一次函数 y ax b 的图象过第一、二、四象限，且与 x 轴交于点（2，0），则关于 x 的不等式 a( x 1) b 0 的解集为 A．x<－1 【答案】A B．x> -1 C． x>1 D．x<1
x 中自变量x的取值范围是（ x 1
)
33. （2011贵州安顺，7，3分）函数x≠l C．x<0 D．x≥0且 x≠l 【答案】D 34. （2011 河北，5，2 分）一次函数 y=6x+1 的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 35.. （2011 浙江绍兴，9，4 分）小敏从 A 地出发向 B 地行走，同时小聪从 B 地出发向 A 地行走， 如图所示， 相交于点 P 的两条线段 l1、l2 分别表示小敏、 小聪离 B 地的距离 y (km)
2011年全国各地中考数学真题分类汇编(第33章-第40章,共8章)-2
第33章直线与圆的位置关系一、选择题1. （2011宁波市，11，3分）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB与P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现A．3次B．5次C．6次D．7次【答案】B2. （2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（）A.13B.5C. 3D.2【答案】B3. （2011浙江温州，10，4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上．现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O 相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是( )D．22A．3 B．4 C．22【答案】C4. （2011浙江丽水，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）x y110B C AA ．点(0，3)B ．点(2，3)C ．点(5，1)D ．点(6，1)【答案】C5. （2011浙江金华，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） x y110B C AA ．点（0，3）B ．点（2，3）C ．点（5，1）D ．点(6，1)【答案】C6. （2011山东日照，11，4分）已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O的半径为ba ab 的是（ ）【答案】C7. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．67.5°【答案】D8. (2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CD A O PB第13题图CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ：DE 的值是A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】C9. （2011台湾全区，33）如图(十五)，AB 为圆O 的直径，在圆O 上取异于A 、B 的一点C ，并连接BC 、AC ．若想在AB 上取一点P ，使得P 与直线BC 的距离等于AP 长，判断下列四个作法何者正确？A ．作AC 的中垂线，交AB 于P 点B ．作∠ACB 的角平分线，交AB 于P 点C ．作∠ABC 的角平分线，交AC 于D 点，过D 作直线BC 的并行线，交AB 于P 点D ．过A 作圆O 的切线，交直线BC 于D 点，作∠ADC 的角平分线，交AB 于P 点【答案】Ｄ10．（2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则∠D 等于A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C 11. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O 的面积为29cm π，若点0到直线l 的距离为cm π，则直线l 与⊙O 的位置关系是C(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定【答案】CAB D O C12. (2011重庆綦江，7，4分) 如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，已知∠P ＝60°，OA ＝3，那么∠AOB 所对弧的长度为（ ）A ．6лB ．5лC ．3лD ．2л【答案】：D13. （2011湖北黄冈，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．67.5°【答案】D 14. （2011山东东营，12，3分）如图，直线333y x =+与x 轴、y 分别相交与A 、B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切与点O 。
全国2011年中考数学试题分类解析汇编 专题14数量和位置变化、平面直角坐标
全国2011年中考数学试题分类解析汇编(181套）专题14：数量和位置变化、平面直角坐标一、选择题1.（某某４分）为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．X村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系的大致图象是【答案】D。
【考点】函数的图象。
【分析】根据y随x的增大而减小，即可判断选项A错误；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项B错误；根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大减小得比开始的快，即可判断选项D正确。
故选D。
2.（某某綦江4分）小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家1千米的学校上课，在下列图象中，能反映这一过程的大致图象是【答案】B。
【考点】函数的图象。
【分析】分析题目条件，小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐，即有一刻钟的时间离家的距离不变，据此可以判断A和D错误；然后小明原路返回到离家1千米的学校上课，即学校在家和早餐店之间，据此可以判断C错误。
故选B。
3.（某某某某3分）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1，v2，v3，v1＜v2＜v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图象可能是【答案】C。
【考点】函数的图象。
【分析】根据题意可对每个选项逐一分析判断图象得正误：A，从图象上看小亮的路程走平路不变是不正确的，选项错误；B，从图象上看小亮走的路程随时间有一段更少了，不正确，选项错误；C，小亮走的路程应随时间的增大而增大，两次平路在一条直线上，此图象符合，选项正确；D，因为平路和上坡路及下坡路的速度不一样，所以不应是直线，不正确，选项错误。
2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第10章平面直角坐标系与坐标
2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第10章平面直角坐标系与坐标一、选择题 1.（2011山东日照，7, 3分） 以平行四边形 ABC 啲顶点A 为原点，直线 AD 为x 轴建立 直角坐标系，已知 B D 点的坐标分别为（1,3），（ 4,0 ），把平行四边形向上平移 2个单位，那么 C 点平移后相应的点的坐标是（ ）（A ）（ 3，3）（ B ）（ 5,3）（ C ）（ 3,5）（ D ）（ 5,5）【答案】D 2.（ 2011山东泰安，12，3分）若点A 的坐标为（6，3），O 为坐标原点，将 OA 绕点O 按顺时针方向旋转 90°得到OA ，则点A 的坐标为（ ）A.（3,-6）B.（-3,6）C.（-3,-6）D.（3,6）【答案】A 3.（2011宁波市，5, 3分）平面直角坐标系中，与点（2,- 3）关于原点中心对称的点是 A. （- 3，2）B .（3，- 2） C .（- 2，3） D .（2，3）【答案】C4.（2011浙江绍兴，10，4分）李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从 0到3的队员线段 AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1 ；将AB折成正三角形，使点 A B 重合于点P ，如图2;建立平面直角坐标系，平移此三角新，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0,2 ），PM 与x 轴交于点N （n,0），如图3•当m =$3 时，求n 的值.你解答这个题目得到的 n 值为（ ）【答案】A 5.（2011台湾台北，17）如图（七），坐标平面上有两直线 L 、M 其方程式分别为 y = 9、y=—6。
若 I 有一一点P, M 上有一点Q PQ 与y 轴平行，且PQ 上有一点R PR : RQ = 1： 2，贝U R 点与x轴的距离为何?A. 4-2、、3B.2、3-42,32.30 M 3第10题图1C. D.A 1B . 4C . 5D . 10 【答案】B6. （2011台湾全区，15）图（三）的坐标平面上有一正五边形 ABCD ,其中C D 两点坐标分别为（1,0）、（2,0） •若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x 轴向右滚动，则滚动过程中，下列何者会经过点【答案】B7. （2011台湾全区，使得A与C 的距离为4;找一点A. 0 B 【答案】C &（2011甘肃兰州，16）已知数在线A 、B 两点坐标分别为—3、— 6,若在数在线找一点 C, D,使得B 与D 的距离为1,则下列何者不可能为 C 与 D 的距离?24分) 点 M (— sin60,cos60）关于x 轴对称的点的坐标是A(75,0)A. A B B C C D9. （2011湖南常德,12 ,3分) 在平面直角坐标系中,□ ABCD勺顶点A、B C的坐标分别(0, 0)、( 3, 0)、(4, 2）则顶点D的坐标为.(7, 2) B.(5, 4) C. (1 , 2) D. (2, 1)【答案】C10. （2011江苏宿迁,2,3分）在平面直角坐标中，点M —2, 3）在（▲）A.(",2B. C.【答案】B ,3) 2A .第一象限B •第二象限C •第三象限D •第四象限【答案】B11.（2011山东滨州，8, 3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 勺顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,以AB 为弦的O M 与x 轴相切.若点A 的坐标为（0,8）,则圆心M 的坐标为（）A.（-4,5）B.（-5,4）C.（5,-4）D.（4,-5）【答案】A12. （2011山东济宁，10, 3分）在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 点出发，要到距离A 点1000 m 的C 地去，先沿北偏东70方向到达B 地，然后再沿北偏西20方向 走了 500m 到达目的地C ,此时小霞在营地 A 的（ ） A.北偏东20方向上 B. 北偏东30方向上C.北偏东40方向上 D. 北偏西30方向上0 < A <180 ）后的行动结果为：在原地顺时针旋转 A 后，再向正前方沿直线行走 :-. 若机器人的位置在原点，正前方为 y 轴的负半轴，则它完成一次指令 12,60 ］后位置的13.（2011四川广安, 8, 3分）在直角坐标平面内的机器人接受指令 I.：S , Al ”（：》0,坐标为（）A . （）B . （）C -1 ）D ）【答案】C14. （2011四川内江，12, 3分）如图，在直角坐标系中，矩形ABCO勺边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B的坐标为（1, 3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E,那么点D的坐标为3分）在直角坐标系 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做 整点•且规定，正方形的内部不包含边界上的点•观察如图所示的中心在原点、一边平于x 轴的正方形：边长为 1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点， 边长为3的正方形内部有9个整点，…则边长为 8的正方形内部的整点的个数为C. 36.D. 25.【答案】A18. (2011广东肇庆，6, 3分)点M (一 2 , 1)关于x 轴对称的点的坐标是A ( -2, -1) B. (2 , 1)C.( 2, -1)D. (1 , 一 2)【答案】A 19.(2011湖南永州，16，3分)对点(x ，y )的一次操作变换记为 R (x ，y )，定义其 变换法则如下：A.( _4512) 5B.(13) 5C.13) 515. （2011湖南怀化，8, 3分） （-1 , -2 ），“馬”位于点（ A. （ -1,1 ）B.2, 如图 -2 ) 4,若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点，则“兵”位于点 （-2 , -1） C. （-3,1）D.(1,-2 )17. （2011湖南衡阳，8, 3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNP （的顶点P 坐标是 (3, 4),则顶点MM 5 , 0) , N8 , 4) M 5 , 0) , N7, 4)N 的坐标分别是（B . M 4 , D. M 4 , 0), 0), )N8 , 4) N7, 4)12)16. （2011湖北武汉市，9 ,P1( x，y ) =( x+y，x—y );且规定P n(x, y) = P (P n」(x, y)) ( n为大于1 的整数).女口P1( 1，2 ) =(3，-1 )，P2( 1，2 ) = P1( P1( 1，2 )) = P1(3，-1 )= (2，4)，P s (1，2 ) = P1 (P2 (1，2 )) = P1 ( 2, 4) = (6，_2 ).则P2011 (1，_1 )= ( )1005 1005 1006 1006、A.( 0,2 ) B . ( 0,-2 ) C . ( 0,-2 ) D . (0,2 )【答案】D.20 . (20011江苏镇江,7,2 分)在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1),y 轴上有一点P(0,2).作点P 关于点A 的对称点R,作点P关于点B的对称点F2,作点P，关于点C的对称点P,作点F3关于点D的对称点巳，作点P关于点A的对称点P5,作点P s关于点B的对称点F6…,按此操作下去，则点P>011的坐标为()A.(0,2)B. (2,0)C. (0,-2)D.(-2,0)答案【D】21. (2011内蒙古乌兰察布，8，3分)在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A( 4 ,-1).B(1,1) 将线段AB平移后得到线段 A 'B'，若点A的坐标为(-2,2 ) ，则点B'的坐标为( )A . ( -5,4 )B . ( 4,3 ) C. ( -1 , -2 ) D .(-2,-1)【答案】A22. (2011湖北鄂州，14，3分)如图，把Rt △ ABC放在直角坐标系内，其中/ CAB=90，BC=5点A、B的坐标分别为(1，0)、( 4，0)，将厶ABC沿x轴向右平移，当点C 落在直线y=2x —6上时，线段BC扫过的面积为( )A. 4B. 8C. 16D. 8 223. （2011贵州安顺，10, 3分）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动［即（0，0）T（0,1）T（1 , 1）T （1, 0）T...］，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A . （4 , O） B.（5 , 0） C. （0 , 5） D. （5 , 5）31 ------------------------------------2*——F -1 213第10题图【答案】B24. （2011山东枣庄，4, 3分）在平面直角坐标系中，点R —2, x2+ 1）所在的象限是（）A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限【答案】B25. （2011山东枣庄，12, 3分）如图，点A的坐标是（2,2）,若点P在X轴上，且厶APO 是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）I2/A1ll/i i i X-1 01 2 3 4A.(2, 0)B.(4, 0)C.(—2.2 , 0)D.(3, 0)【答D案】26. （2010湖北孝感，11, 3分）如图，菱形OABC勺一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA'B'C'的位置.若OB=2・3 , / C=120°,则点B'的坐标为（）27.（2011湖南湘潭市，6, 3分）在平面直角坐标系中，点则点B 的坐标为(-2, - 3) C. (- 2,3 ) D.(2, — 3)【答案】D 28.（2011湖北宜昌，13, 3分）如图，矩形 OABC 勺顶点0为坐标原点，点 A 在X 轴上, 点B 的坐标为（2 , 1）.如果将矩形OABC 绕点0旋转180°,旋转后的图形为矩形 OABG , 那么点B 1的坐标为（）.O Ci（第13题图）【答案】C 二、填空题 1.（2011山东德州9,4分）点P （1,2 ）关于原点的对称点 P'的坐标为 ________________ .【答案】（—1,— 2）2.（2011山东威海，14, 3分）正方形ABC ［在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A 点的坐标（0, 4）, B 点的坐标（一3, 0），贝U C 点的坐标是、、6, 一 6 D. ,6,-、、6A （2,3 ）与点B 关于x 轴对称,A.( 3,2)B.A. (2 , 1)B.(-2,l)C.(-2,-l)D.(2,-1)【答案】D【答案】（—1, 3）3. （2011浙江台州，15,5分）若点P （x,y ）的坐标满足x+y=xy，则称点P为“和谐点”。
2011年全国各地中考数学题分类汇编 压轴题(含答案)
2011年全国各地数学中考题汇编——压轴题整理人：徐金勇（仪征市大仪中学）2011.7.6（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．⑴求b 的值． ⑵求x 1•x 2的值⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．答案：24．解：⑴b =1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得12x x =－4 ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1•F 1N 1=－x 1•x 2=4，而FF 1=2，所以F 1M 1•F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F =∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形．⑷存在，该直线为y =－1．理由如下： 直线y =－1即为直线M 1N 1． 如图，设N 点横坐标为m ，则第22题图第22题解答用图（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。
2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编——第12章《反比例函数》
2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编第12章反比例函数一、选择题1. （2011广东汕头，6，4分）已知反比例函数kyx=的图象经过（1，－2）．则k=．【答案】－22．（2011湖南邵阳，5，3分）已知点（1,1）在反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图像上，则这个反比例函数的大致图像是（）【答案】C提示：反比例函数过第一象限（也可由点（1,1）求得k=1），故选C。
3.（2011江苏连云港，4，3分）关于反比例函数4yx=的图象，下列说法正确的是（）A．必经过点（1，1）B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称D．两个分支关于原点成中心对称【答案】D4. （2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数221k kyx++=的图象上。
若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为A．1 B．－3 C．4 D．1或－3【答案】D5. （2011湖南怀化，5，3分）函数2y x =与函数1y x-=在同一坐标系中的大致图像是【答案】D6. （2011江苏淮安，8，3分）如图，反比例函数ky x=的图象经过点A (-1,-2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ）A.y ＞1B.0＜y ＜1C. y ＞2D.0＜ y ＜2【答案】D7. （2011四川乐山10，3分）如图（6），直线 6y x =- 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P是反比例函数4(0)y x x=>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F 。
则AF BE ⋅=A ．8B ．6C ．4D ． 【答案】A8. （2011湖北黄石，3，3分）若双曲线y=x k 12-的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是 A.k ＞21 B. k ＜21 C. k =21D. 不存在 【答案】B9. （2011湖南邵阳，5，3分）已知点（1,1）在反比例函数ky x=（k 为常数，k ≠0）的图像上，则这个反比例函数的大致图像是（ ）【答案】C10. （2011贵州贵阳，10，3分）如图，反比例函数y 1=k 1x和正比例函数y 2=k 2x 的图象交于A （-1，-3）、B （1，3）两点，若k 1x＞k 2x ，则x 的取值范围是（第10题图）（A ）-1＜x ＜0 （B ）-1＜x ＜1（C ）x ＜-1或0＜x ＜1 （D ）-1＜x ＜0或x ＞1 【答案】C11. （2011广东茂名，6，3分）若函数xm y 2+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是 A ．2->m B ．2-<mC ．2>mD ．2<m【答案】B12．（2011江苏盐城，6，3分）对于反比例函数y = 1x，下列说法正确的是A ．图象经过点（1，-1）B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 【答案】C13. （2011山东东营，10，3分）如图,直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E,连接OA 、OB 、OP,设△AOC 面积是S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则（ ）A. S 1＜S 2＜S 3B. S 1>S 2>S 3C. S 1=S 2>S 3D. S 1=S 2<S 3 【答案】D14. （2011福建福州，4，4分）图1是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是 （ ） A ．2y x =B ．4y x=C ．3y x=-D ．12y x =【答案】 B15. （2011江苏扬州，6,3分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）A. （-3,2）B. （3,2）C. （2，3）D. （6,1） 【答案】A16. （2011山东威海，5，3分）下列各点中，在函数6y x=-图象上的是（ ） A ．（－2，－4） B ．（2，3） C ．（－1，6）D ．1(,3)2-【答案】C17. （2011四川南充市，7，3分） 小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y (km/h)和行车时间x (h)之间的函数图像是（ ）【答案】B.18. （2011浙江杭州，6，3）如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于点M (2，m )，N (-1，n )，若12y y >，则x 的取值范围是（ ）A ．102x x <-<<或B ．12x x <->或C ．1002x x -<<<<或D ．102x x -<<>或图1【答案】D19. （2011浙江台州，9,4分）如图，反比例函数xmy =的图象与一次函数b kx y -=的图象交于点M ，N ，已点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程xm=b kx -的解为（ ） A. －3,1 B. －3,3 C. －1,1 D.3，-1【答案】A20. （2011浙江温州，4，4分）已知点P (-l ，4)在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则k 的值是( )A ．14- B ．14C ．4D ．－4【答案】D21. （2011甘肃兰州，2，4分）如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为A ．2y x=B ．2y x=-C ．12y x=D ．12y x=-【答案】B22. （2011广东湛江12,3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y x =与反比例函数2y x=的图像大致是A B C D【答案】B23. （2011河北，12，3分）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P,Q ，连接OP,OQ.则以下结论 ①x ＜0时，x2y =， ②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ④MQ=2PM⑤∠POQ 可以等于90°图5—2图5—1PQM其中正确的结论是（ ）A ．①②④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤【答案】B24. （2011山东枣庄，8，3分）已知反比例函数xy 1=，下列结论中不正确的是（ ） A.图象经过点（－1，－1） B.图象在第一、三象限C.当1>x 时，10<<yD.当0<x 时，y 随着x 的增大而增大 【答案】D25. （ 2011重庆江津， 6，4分）已知如图,A 是反比例函数xky =的图像上的一点,AB ⊥x 轴于点B,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6·【答案】C ·第6题图26. （2011湖北宜昌，15，3分）如图，直线y=x +2与双曲线y=xm 3-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ）（第15题图） 【答案】B 二、填空题1. （2011浙江金华，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOC ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = kx，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是.（2）设P （t ，0）当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .【答案】（1）（4，0）；（2）4≤t ≤25或－25≤t ≤－4 2. （2011广东东莞，6，4分）已知反比例函数ky x=的图象经过（1，－2）．则k = ． 【答案】－23. （2011山东滨州，18，4分）若点A(m ，－2)在反比例函数4y x=的图像上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的取值范围是___________. 【答案】x ≤-2或x>04. （2011四川南充市，14，3分）过反比例函数y=xk(k≠0)图象上一点A ，分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B,C ，如果⊿ABC 的面积为3.则k 的值为 .【答案】6或﹣6.5. （2011宁波市，18，3分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图象上，顶点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为【答案】（3＋1，3－1）6. （2011浙江衢州,5,4分）在直角坐标系中，有如图所示的t ,R ABO AB x ∆⊥轴于点B ，(0)kx x=>的图像经过AO 的中点C ，且与【答案】382（，）7. (2011浙江绍兴，13，5分) 若点12(1,),(2,)A y B y 是双曲线3y x=上的点，则 1y 2y （填“>”,“<”“=”）. 【答案】>8. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B (2，0)，∠AOC ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P (t ，0)当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是.【答案】（1）(4，0)；（2）4≤t ≤25或－25≤t ≤－49. （2011湖南常德，5，3分）如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A 在此曲线上，则该反比例函数的解析式为_______________. 【答案】3y x10．（2011江苏苏州，18,3分）如图，已知点A 的坐标为（3，3），AB ⊥x 轴，垂足为B ，连接OA ，反比例函数y=xk（k>0）的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D.若AB=3BD ，以点C 为圆心，CA 的45倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是___________（填“相离”、“相切”或“相交”）【答案】相交11. （2011山东济宁，11，3分）反比例函数1m y x-=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是 ． 【答案】x ＞112. （2011四川成都，25,4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数2(0)ky k x=≠满足：当0x <时，y 随x 的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y x =-都经过点P ，且OP =k=_________. 【答案】37. 13. （2011安徽芜湖，15，5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数ky x=经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为（4-ABC ，则k 的值为 ．【答案】414. （2011广东省，6，4分）已知反比例函数ky x=的图象经过（1，－2）．则k = ． 【答案】－215. (2011江苏南京，15，2分)设函数2y x=与1y x =-的图象的交战坐标为（a ，b ），则11a b-的值为__________． 【答案】12-16. （2011上海，11，4分）如果反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这个函数的解析式是__________．【答案】2y x=-17. （2011湖北武汉市，16，3分）如图，□ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （－1，0），B （0，－2），顶点C ，D 在双曲线y=x k 上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE面积的5倍，则k =_____．【答案】1218. （2011湖北黄冈，4，3分）如图：点A 在双曲线ky x=上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k=______．【答案】－419. （2011湖北黄石，15，3分）若一次函数y=kx +1的图象与反比例函数y =x1的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是 。
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第10章 平面直角坐标系与坐标一、选择题1. （2011山东日照，7，3分） 以平行四边形ABCD 的顶点A 为原点，直线AD 为x 轴建立直角坐标系，已知B 、D 点的坐标分别为（1,3），（4,0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C 点平移后相应的点的坐标是（ ）（A ）（3，3） （B ）（5,3） （C ）（3,5） （D ）（5,5） 【答案】D2. （2011山东泰安，12 ，3分）若点A 的坐标为（6，3），O 为坐标原点，将OA 绕点O按顺时针方向旋转900得到OA ＇，则点A ＇的坐标为（ ）A.(3,-6)B.(-3,6)C.(-3,-6)D.(3,6) 【答案】A3. （2011宁波市，5，3分）平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是 A ． （－3，2） B ． （3，－2） C ． （－2，3） D ． （2，3） 【答案】C4. （2011浙江绍兴，10，4分）李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目： 在数轴上截取从0到3的队员线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A B 、重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角新，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0,2），PM 与x 轴交于点(,0)N n ，如图3.当m =时，求n 的值.你解答这个题目得到的n 值为（ ）A.4-4C.Ax【答案】A5. （2011台湾台北，17）如图(七)，坐标平面上有两直线L 、M ，其方程式分别为y ＝9、y＝－6。
若L 上有一点P ，M 上有一点Q ，PQ 与y 轴平行，且PQ 上有一点R ，PR ：RQ ＝1：2，则R 点与x轴的距离为何？A ．1B ．4C ．5D ．10【答案】B6. （2011台湾全区，15）图(三)的坐标平面上有一正五边形ABCDE ，其中C 、D 两点坐标分别为(1,0)、(2,0) ．若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x 轴向右滚动，则滚动过程中，下列何者会经过点(75 , 0)？A ． AB ． BC ． CD ． D【答案】Ｂ7. （2011台湾全区，16）已知数在线A 、B 两点坐标分别为－3、－6，若在数在线找一点C ，使得A与C 的距离为4；找一点D ，使得B 与D 的距离为1，则下列何者不可能为C 与D 的距离？A ． 0B ． 2C ． 4D 6 【答案】Ｃ8．（2011甘肃兰州，8，4分）点M （－sin60°，cos60°）关于x 轴对称的点的坐标是A ．（2，12） B ．（2-，12-）C ．（2-，12）D ．（12-，2- 【答案】B9. （2011湖南常德，12，3分）在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2）则顶点D 的坐标为（ ）A ．（7，2） B. （5，4） C.（1，2） D. （2，1） 【答案】C10. （2011江苏宿迁,2,3分）在平面直角坐标中，点M (－2，3)在（▲）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B11. （2011山东滨州，8，3分）如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切.若点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为( ) A.(-4,5) B.(-5,4) C.(5,-4) D.(4,-5)【答案】A12. （2011山东济宁，10，3分）在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 点出发，要到距离A 点1000m 的C 地去，先沿北偏东70︒方向到达B 地，然后再沿北偏西20︒方向走了500m 到达目的地C ,此时小霞在营地A 的（ ） A. 北偏东20︒方向上 B.北偏东30︒方向上 C. 北偏东40︒方向上 D. 北偏西30︒方向上【答案】C13. （2011四川广安，8，3分）在直角坐标平面内的机器人接受指令“[],A α”(α≥0，0︒<A <180︒)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[]2,60︒后位置的坐标为（ ）A．（1- B．（1,- C．（1-） D．（）【答案】C14. （2011四川内江，12，3分）如图，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，那么点D 的坐标为（第8题图）A ．（45-，125） B ．（25-，135） C ．（12-，135） D ．（35-，125）【答案】A15. （2011湖南怀化，8，3分）如图4，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点（-1，-2），“馬”位于点（2，-2），则“兵”位于点A.（-1,1）B.（-2，-1）C.（-3,1）D.（1，-2）【答案】C16. （2011湖北武汉市，9，3分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x 轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…则边长为8的正方形内部的整点的个数为 A ．64． B ．49． C ．36． D ．25．【答案】B17. （2011湖南衡阳，8，3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A ．M (5，0)，N (8，4) B ．M (4，0)，N (8，4) C ．M (5，0)，N (7，4) D ．M (4，0)，N (7，4)【答案】A18. （2011广东肇庆，6，3分）点M （2-，1）关于x 轴对称的点的坐标是A ． (2-，1-）B ． (2，1）C ．（2，1-）D ． (1，2-）【答案】A19. （2011湖南永州，16，3分）对点（x ，y ）的一次操作变换记为P 1（x ，y ），定义其变换法则如下：P 1（x ，y ）=（y x +，y x -）；且规定)),((),(11y x P P y x P n n -=（n 为大于1的整数）．如P 1（1，2 ）=（3，1-），P 2（1，2 ）= P 1（P 1（1，2 ））= P 1（3，1-）=（2，4），P 3（1，2 ）= P 1（P 2（1，2 ））= P 1（2，4）=（6，2-）．则P 2011（1，1-）=（ ）A ．（0,21005 ）B ．（0,-21005 ）C ．（0,-21006）D ．（0,21006） 【答案】D ．20．(20011江苏镇江,7,2分)在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点坐标分别为A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1),y 轴上有一点P(0,2).作点P 关于点A 的对称点1P ,作点1P 关于点B 的对称点2P ,作点2P 关于点C 的对称点3P ,作点3P 关于点D 的对称点4P ,作点4P 关于点A 的对称点5P ,作点5P 关于点B 的对称点6P …,按此操作下去,则点2011P 的坐标为( )A.(0,2)B. (2,0)C. (0,-2)D.(-2,0) 答案【D 】21. （2011内蒙古乌兰察布，8，3分）在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是A( 4 ,-1).B(1,1) 将线段AB 平移后得到线段A 'B'，若点A'的坐标为 (-2 , 2 ) ，则点 B'的坐标为（ ）A . ( -5 , 4 )B . ( 4 , 3 ) C. ( -1 , -2 ) D .(-2,-1) 【答案】A22. （2011湖北鄂州，14，3分）如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x －6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．【答案】C23. （2011贵州安顺，10，3分）一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ） A ．(4，O) B.(5，0) C ．(0，5) D ．(5，5)【答案】B24. （2011山东枣庄，4，3分）在平面直角坐标系中，点P (－2，2x ＋1)所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B25. （2011山东枣庄，12，3分）如图，点A 的坐标是(22)，，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是（ ）A ．（2，0）B ．（4，0） C．（－0） D ．（3，0） 【答案】D26. （2010湖北孝感，11，3分）如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA ’B ’C ’的位置.若OB=∠C=120°，则点B ’的坐标为（ ）第10题图A. (B. (3,C.D.【答案】D27.（2011湖南湘潭市，6，3分）在平面直角坐标系中，点A（2,3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为A.（3,2）B.（－2，－3）C.（－2,3）D.(2,－3)【答案】D28.（2011湖北宜昌，13，3分）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为(2，1).如果将矩形OABC 绕点0 旋转180°，旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为( ).A. (2，1)B.(-2,l)C.(-2,-l)D.(2，-1)（第13题图）【答案】C二、填空题1.（2011山东德州9,4分）点P（1,2）关于原点的对称点P′的坐标为___________．【答案】（－1，－2）2. （2011山东威海，14，3分）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点的坐标（0，4），B点的坐标（－3，0），则C点的坐标是 .【答案】（－1，3）3. （2011浙江台州，15,5分）若点P（x,y）的坐标满足x+y=xy，则称点P为“和谐点”。