【最新】2018-2019学年度人教B版高中数学-选修4-5教学案-第一章绝对值的三角不等式 (可直接打印)

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高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1.3绝对值不等式的解法学案新人教B版选修4-5

－ 2x ＋ 6， x≤2， f ( x) ＋| x－ 4| ＝ 2， 2<x<4 ，
2x－ 6， x≥4.
当 x≤２时，由 f ( x) ≥4－ | x－ 4| ，得－ 2x＋6≥4，解得 x≤1；当 2<x<4 时， f ( x) ≥4－ | x－ 4| 无解；当 x≥４时，由 f ( x) ≥4－ | x－ 4| ，得 2x－6≥4，解得 x≥5. 所以 f ( x) ≥4－ | x－ 4| 的解集为 { x| x≤１或 x≥5} ． (2) 记 h( x) ＝ f (2 x＋ a) －2f ( x) ，
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由此可得 x≥２或 x≤1. 故不等式 f ( x) ≥５x＋ 1 的解集为 { x| x≤１或 x≥2} ．
(2) 由 f ( x) ≤０得 |2 x － a| ＋ 5x≤0，此不等式可化为不等式组
a
x≥ 2，
或
2x－ a＋5x≤０
a x<2，－ 2x－ a ＋5x≤0，
a x≥2，即
－ 2x＋ a＋ 1，
x≤a，
若 a＜1， f ( x) ＝ 1－ a， a ＜ x＜ 1，
2x－ a＋ 1 ， x≥1，
f ( x) 的最小值为 1－ a.
a 进行分类讨论，求出
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－ 2x＋ a＋ 1， x≤1，若 a＞1， f ( x) ＝ a－ 1， 1 ＜ x＜ a，
2x－ a＋ 1 ， x≥a，
提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．
[ 对应学生用书 P10]
含一个绝对值不等式的解法
[ 例 1] 解下列不等式：
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(1)1 ＜| x－2| ≤3；

高中数学人教B版选修4-5教学案第一章 1.5 1.5.3 反证法和放缩法

．反证法和放缩法[读教材·填要点]．反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此假设说明的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法．．放缩法(或缩小放大在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当简)使它由化繁，达到证明目的，这种方法称为放缩法．[小问题·大思维]．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：()必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．()反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．()推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．[例]设，，，都是小于的正数，求证：(－)，(－)，(－)，(－)这四个数不可能都大于.[思路点拨]本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．[精解详析]假设(－)＞(－)＞(－)＞，(－)＞，则有(－)＞，(－)＞，(－)＞，(－)＞.∴＞，＞，＞，＞.又∵≤，≤，≤，≤，∴＞，＞，＞，＞.将上面各式相加得＞，矛盾．∴(－)，(－)，(－)，(－)这四个数不可能都大于.()当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．()用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．．已知数列{}的前项和为，且满足＋＝.()求数列{}的通项公式；()求证数列{}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解：()当＝时，＋＝＝，则＝.又＋＝，所以＋＋＋＝，两式相减得＋＝，所以{}是首项为，公比为的等比数列，所以＝.()反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为＋，＋，＋(<<，且，，∈＋)，则·＝＋，所以·－＝－＋.①又因为<<，所以－，－∈＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.[例]若，，均为实数，且＝－＋，＝－＋，＝－＋，求证：，，中至少有一个大于.[思路点拨]由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．[精解详析]假设，，都不大于，即≤，≤，≤，则＋＋≤，。

高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式课件新人教B版选修4_5

求下列函数的值域. (1)y＝x22＋x1；(2)y＝x22＋x1.
【精彩点拨】
把函数转化为y＝ax＋
b x
或y＝
1 ax＋bx
的形式，再利用基本不
等式求解.
【自主解答】
(1)y＝x22 ＋ x 1＝1 2 x＋1 x ，当x＞0时，
x＋
1 x
≥2，∴y≥1；当x＜0时，－x＞0，－x＋
1 －x
元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为
年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不
包括促销费用).
(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利
润是多少万元？
【精彩点拨】 (1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值.
阶1.2 基本不等式
阶1.2 基本不等式
段
段
一
三
阶1.2 基本不等式
段二
学业分1.2 基本不等式
层测
评
1.理解两个正数的基本不等式. 2.了解三个正数和一般形式的基本不等式. 3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.
2.定理 2
如果 a，b 为数，则a＋ 2 b
ab，当且仅当 a b 时，等号成立.这个不等式
≥2
x－1·x－ 9 1＋2＝8，
当且仅当x－1＝x－ 9 1，
即x＝4时，等号成立. 所以当x＝4时，ymin＝8.
[构建·体系]
【解析】
原式变形为y＝x－ 1 3＋x－3＋3.

2018年秋人教B版数学选修4-5课件：本章整合1

1 3��+8-3�� 当且仅当 3x=8-3x,即 x= 时等号成立, 3 4 16 ∴当 x= 3 时,y=x(8-3x)有最大值 3 .
16 , 3
(2)∵x>1,
��2 -2��+2 (��-1) +1 1 1 ∴y= 2��-2 = 2(��-1) = 2 (��-1) + ��-1 1 1 ≥ × 2 (��-1)· = 1 . 2 ��-1 1 当且仅当 x-1 = , 即 x=2 时等号成立 , ��-1 ��2 -2��+2 所以当 x=2 时 ,y= 有最小值1. 2��-2
2
2
=
64 ��2 + 2 ≥16, ��
7 x<− , 此时原不等式无解. 3
综上所述 ,原不等式的解集为 �� <
|
3 5
.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 2 若 f1(x) = 3|��- ��1 |,f2(x)=2· 3|�� - ��2 |,x∈R,p1,p2 为常数,且 f(x ) = �� 1 (��), �� 1 (��) ≤ �� 2 (��), ��2 (��),�� 1 (��) > �� 2 (��).
故原不等式的解集为{x|x>-3}. 解法二:∵|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2, ∴原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4, 解得x>-3. 故原不等式的解集为{x|x>-3}.

人教版选修4-5教案

选修4_5 不等式选讲课题：第01课时不等式的根本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的根本数学关系。

"列子•汤问"中脍炙人口的“两小儿辩日〞：“远者小而近者大〞、“近者热而远者凉〞，就从侧面说明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢"〞、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？〞、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？〞等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式〔含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等〕和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状构造，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这说明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等那么是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢"转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，假设再加m(m>0)克糖，那么糖水更甜了，为什么" 分析：起初的糖水浓度为a b ，参加m 克糖后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢"二、不等式的根本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比拟两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的根本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1.5 1.5.1 比较法

1．5不等式证明的基本方法1．5.1 比较法[对应学生用书P16][读教材·填要点]1．定义要证a >b ，只需要证a －b >0；要证a <b ，只需证a －b <0，这种证明不等式的方法，称为比较法．2．用比较法证明不等式的步骤 (1)求差．(2)变形：可用因式分解、配方、乘法公式等，把差变形为乘积式平方和的形式． (3)作出判断．[小问题·大思维]作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.[对应学生用书P16][例1] 求证：(1)当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2； (2)当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b≥(ab )2a b.[思路点拨] (1)利用作差比较法，注意变形分解； (2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小． [精解详析] (1)法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0， ∴1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0， ∴1＋2x 4≥2x 3＋x 2. (2)2a b a ba b ab +()＝a2a b -b2b a -＝⎝⎛⎭⎫a b 2a b-，当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b 2a b-＝1；当a >b >0时，a b >1，a －b 2>0，则⎝⎛⎭⎫a b 2a b->1；当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b 2a b->1.综上可知，当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b≥(ab )2a b +成立．(1)比较法证明不等式的过程中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．已知x >－1，求证：1＋x ≤1＋x2.证明：∵x ＞－1， ∴1＋x >0，1＋x >0.∵1＋x －(1＋x2)＝1＋x －x ＋1＋12＝x ＋1－x ＋12－12＝－12[(x ＋1)－2x ＋1＋1]＝－12(x ＋1－1)2≤0，∴1＋x ≤1＋x2.[例2] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨] 本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s ，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t 1、t 2，然后利用作差法比较t 1，t 2的大小即可．[精解详析] 设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1、t 2，依题意有：t 12m ＋t 12n ＝s ， s 2m ＋s2n＝t 2. ∴t 1＝2sm ＋n，t 2＝s (m ＋n )2mn .∴t 1－t 2＝2sm ＋n －s (m ＋n )2mn ＝s [4mn －(m ＋n )2]2mn (m ＋n )＝－s (m －n )22mn (m ＋n ).其中s ，m ，n 都是正数，且m ≠n ， ∴t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2.从而知甲比乙先到达指定地点．应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．解答不等式问题，一般可分为如下步骤：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论．2．某人乘出租车从A 地到B 地，有两种方案．第一种方案：乘起步价为10元，超过规定里程后每千米1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，超过规定里程后每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？解：设A 地到B 地的距离为m 千米．起步价内行驶的路程为a 千米．显然当m ≤a 时，选起步价为8元的出租车比较合适．当m >a 时，设m ＝a ＋x (x >0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P (x )元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q (x )元，则P (x )＝10＋1.2x ，Q (x )＝8＋1.4x . ∵P (x )－Q (x )＝2－0.2x ＝0.2(10－x )∴当x >10时，P (x )<Q (x )，此时选择起步价为10元的出租车较为合适．当x <10时，P (x )>Q (x )，此时选择起步价为8元的出租车较为合适．当x ＝10时，P (x )＝Q (x )，两种出租车任选，费用相同．[对应学生用书P18]一、选择题1．下列关系中对任意a ＜b ＜0的实数都成立的是( ) A ．a 2＜b 2 B ．lg b 2<lg a 2 C ．ba>1D ．⎝⎛⎭⎫12a 2＞⎝⎛⎭⎫12b 2解析：∵a ＜b ＜0，∴－a >－b >0. (－a )2>(－b )2>0. 即a 2>b 2>0. ∴b 2a2＜1.又lg b 2－lg a 2＝lg b 2a2＜lg 1＝0.∴lg b 2＜lg a 2. 答案：B2．已知P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，那么P 、Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≥QD ．P ≤Q解析：P －Q ＝1－(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)a 2＋a ＋1＝－(a 4＋a 2)a 2＋a ＋1， ∵a 2＋a ＋1＞0恒成立且a 4＋a 2≥0， ∴P －Q ≤0.即Q ≥P . 答案：D3．已知a ＞0，b ＞0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小顺序是( )A ．m ≥n >pB ．m >n ≥pC ．n >m >pD ．n ≥m >p解析：由已知，知m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，得a ＝b ＞0时m ＝n ，可否定B 、C.比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92，n ＝2＋1＝3，∴m ＞n .可排除D. 答案：A4．若a ，b 为不等的正数，则(ab k ＋a k b )－(a k ＋1＋b k ＋1)(k ∈N ＋)的符号( )A ．恒正B ．恒负C ．与k 的奇偶性有关D ．与a ，b 大小无关解析：(ab k ＋a k b )－a k ＋1－b k ＋1 ＝b k (a －b )＋a k (b －a )＝(a －b )(b k －a k )． ∵a >0，b >0，若a >b ，则a k >b k ，∴(a －b )(b k －a k )<0；若a <b ，则a k <b k ，∴(a －b )(b k －a k )<0. 答案：B 二、填空题5．若x ＜y ＜0，M ＝(x 2＋y 2)(x －y )，N ＝(x 2－y 2)(x ＋y )，则M ，N 的大小关系为________．解析：M －N ＝(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )． ∵x <y <0，∴xy ＞0，x －y <0.∴－2xy (x －y )>0，∴M －N >0.即M >N . 答案：M >N6．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是________．解析：由a 2＝2x ，b 2＝1＋x 2＋2x >a 2，a >0，b >0，得b >a .又c －b ＝11－x －(1＋x )＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0，得c >b ，知c 最大．答案：c7．如果a >0，b >0，则下列两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．(填不等关系符号)解析：∵(1＋a )(b ＋1)＝1＋a ＋b ＋ab ， ∴12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )] ＝lg1＋a ＋b ＋ab .∵(1＋ab )2－(1＋a ＋b ＋ab )2＝2ab －(a ＋b )，又a ＋b ≥2ab ，∴2ab －(a ＋b )≤0. ∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≤8．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a 元．月初售出的利润为L 1＝100＋(a ＋100)×2.5%，月末售出的利润为L 2＝120－2%a ，则L 1－L 2＝100＋0.025a ＋2.5－120＋0.02a ＝0.045⎝⎛⎭⎫a －3 5009， ∵a <3 5009，∴L 1<L 2，月末出售好．答案：月末三、解答题9．已知a ≥1，求证a ＋1－a <a －a －1，证明：∵(a ＋1－a )－(a －a －1)＝1a ＋1＋a－1a ＋a －1＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a )(a ＋a －1)＜0，∴a ＋1－a <a －a －1. 10．设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．证明：由a ，b 是非负实数，作差得 a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )[(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )[(a )5－(b )5]≥0；当a 0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． 11．设m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，比较f (a )与f (b )的大小．解：f (a )－f (b )＝ma a －1－mbb －1＝m ·(b －a )(a －1)·(b －1).∵a >b >1，∴b －a <0，a －1>0，b －1>0， ∴b －a(a －1)·(b －1)<0.当m >0时，m ·(b －a )(a －1)·(b －1)<0，f (a )<f (b )；当m <0时，m ·(b －a )(a －1)·(b －1)>0，f (a )>f (b )；当m ＝0时，m ·(b －a )(a －1)·(b －1)＝0，f (a )＝f (b )．。

2018-2019学年同步指导高中数学(人教B版)选修4-5导学案：1.1.1 不等式的基本性质Word版含答案

1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的基本性质1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.自学导引1.对于任何两个实数a，b，a>b⇔a－b>0；a<b⇔a－b<0；a＝b⇔a－b＝0.2.不等式有如下8条性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)加(减)：a>b⇒a＋c>b＋c；(4)乘(除)：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(5)乘方：a>b>0⇒a n>b n，n∈N*且n≥2；(6)开方：a>b>0n∈N*且n≥2；(7)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(8)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.基础自测1.如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( )A.a 2>a >－a 2>－aB.－a >a 2>－a 2>aC.－a >a 2>a >－a 2D.a 2>－a >a >－a 2解析由a 2＋a <0知a ≠0，故有a <－a 2<0，0<a 2<－a .故选B.答案 B2.若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a d >b cB.a d b dD.a c －d >0，所以1－d >1－c>0. 又a >b >0，所以a －d >b －c，所以a d <b c ，故选B. 答案 B3.设x ∈R ，则x 21＋x 4与12的大小关系是________. 解析当x ＝0时，x 21＋x 4＝0<12，当x ≠0时，x 21＋x 4＝11x 2＋x 2，∴1x 2＋x 2≥2，∴x 21＋x 4≤12(当x ＝±1时取等号)，综上所述x 21＋x 4≤12. 答案 x 21＋x 4≤12知识点1 不等式的性质及应用【例1】判断下列各题的对错(1)c a <c b 且c >0⇒a >b ( )(2)a >b 且c >d ⇒ac >bd ( )(3)a >b >0且c >d >0⇒a d >bc ( ) (4)a c 2>b c 2⇒a >b ( )解析 (1) ⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，当a <0，b >0时，此式成立，推不出a >b ，∴(1)错.(2)当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立.∴(2)错.(3) ⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >b c >0⇒a d >bc 成立.∴(3)对.(4)显然c 2>0，∴两边同乘以c 2得a >b .∴(4)对.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√●反思感悟：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.1.有以下四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.其中能使1a <1b 成立的有________个条件.解析 ①b >0>a ，∴1a <0<1b ，结论成立；②0>a >b ，∴1a <1b ，结论成立；③a >0>b ，∴1a >1b ，结论不成立；④a >b >0，∴1a <1b ，结论成立.答案 3知识点2 实数大小的比较【例2】实数x ，y ，z 满足x 2－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小.解 x 2－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2≥0⇒z ≥y ；x ＋y 2＋1＝0⇒y －x ＝y 2＋y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋34>0⇒y >x ，故z ≥y >x . ●反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：(1)作差.(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法.(3)定号，即确定差的符号.(4)下结论.2.已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，试比较A ，B ，C ，D 的大小.。

2018_2019学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法本章复习课课件新人教B版选修4_

c|＋|x－b|≤m，|x－c|＋|x－b|≥m. 5.会用平均值不等式求一些特定函数的最值. 6.理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、等式.
知识结构
知识梳理 1.实数的运算性质与大小顺序的关系：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a －b＝0，a<b⇔a－b<0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可. 2.不等式的 6 个基本性质是不等式的基础. 3.一元一次、一元二次不等式的解法是解不等式的基础，各类不等式的求解都转化为一元一次不等式、一元二次不等式，一元二次不等式都可化为两种类型，ax2＋bx＋c≥0 (a>0)或 ax2＋bx＋c≤0 (a>0)，ax2＋bx＋c≥0 (a>0)的解集实质上是函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0)的函数值 f(x)≥0 对应的自变量 x 的取值范围，方程 ax2＋bx ＋c＝0 (a>0)的根实质上是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，方程的根也是方程对应的一元二次不等式解集的端点值.
5.绝对值不等式的解法：解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式.去绝对值符号常见的方法有：
(1)根据绝对值的定义；(2)平方法；(3)分区间讨论. 6.绝对值三角不等式： (1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离. (2)|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，ab≥0 时等号成立). (3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c| (a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0 等号成立). (4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，左边“＝”成立的条件是 ab≤0，右边“＝”成立的条件是 ab≥0). (5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，左边“＝”成立的条件是 ab≥0，右边“＝”成立的条件是 ab≤0).

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5教学案：第一章

1．1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．1.1 不等式的基本性质[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系设a ，b ∈R ，则 ①a ＞b ⇔a －b ＞0； ②a ＝b ⇔a －b ＝0； ③a ＜b ⇔a －b ＜0. 2．不等式的基本性质[小问题·大思维]1．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤ay ＞bx这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？提示：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，则∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④恒成立．即恒成立的不等式有②④. 2．若a 1b吗？提示：不一定．如a ＝－1，b ＝2.事实上，当ab >0时，若a 1b ；当ab <0时，若a <b ，则有1a <1b；当ab ＝0时，若a <b ，则1a 与1b 中有一个式子无意义．[对应学生用书P2][例1] x ∈R ，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[思路点拨] 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小．解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x 3－1与2x 2－2x 的大小．[精解详析] (x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34＞0， ∴当x ＞1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＞0. 即x 3－1＞2x 2－2x ；当x ＝1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＝0，即x 3－1＝2x 2－2x .当x ＜1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＜0，即x 3－1＜2x 2－2x .(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的程序进行，即：作差→变形→定号→结论，其中变形是关键，定号是目的．(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论．1．当a ≠0时，比较(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)与(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)的大小．解：两式作差得(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)－(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1) ＝[(a 2＋1)2－(2a )2]－[(a 2＋1)2－a 2]＝－a 2. ∵a ≠0，∴－a 2<0.∴(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)<(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1).[例2] 下列命题中正确的是( ) (1)若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c ； (2)若a ＞b ，则lg ab ＞0；(3)若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； (4)若a ＞b ＞0，则1a <1b ；(5)若a c ＞bd，则ad ＞bc ；(6)若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c . A ．(1)(2) B ．(4)(6) C ．(3)(6)D ．(3)(4)(5)[思路点拨] 本题考查对不等式的性质的理解，解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断．[精解详析] (1)错误．因为当取a ＝4，b ＝2，c ＝6时，有a ＞b ，c ＞b 成立，但a ＞c 不成立．(2)错误．因为a 、b 符号不确定，所以无法确定a b ＞1是否成立，从而无法确定lg ab ＞0是否成立．(3)错误．此命题当a 、b 、c 、d 均为正数时才正确．(4)正确．因为a ＞b ，且a 、b 同号，所以ab ＞0，两边同乘以1ab ，得1a ＜1b .(5)错误．只有当cd ＞0时，结论才成立．(6)正确．因为c ＞d ，所以－d ＞－c ，又a ＞b ，所以a －d ＞b －c . 综上可知(4)(6)正确． [答案] B运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．2．若m ，n ∈R ，则1m >1n 成立的一个充要条件是( )A ．m >0>nB ．n >m >0C ．m <n <0D ．mn (m －n )<0解析：1m >1n ⇔1m －1n >0⇔n －m mn >0⇔mn (n －m )>0⇔mn (m －n )<0.答案：D[例3] 已知π<α＋β<4π3，－π<α－β<－π3，求2α－β的取值范围．[思路点拨] 解答本题时，将α＋β，α－β看作整体，再求出2α－β的取值范围． [精解详析] 设2α－β＝A (α＋β)＋B (α－β)，则2α－β＝(A ＋B )α＋(A －B )β.比较两边系数得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝2，A －B ＝－1⇒⎩⎨⎧A ＝12，B ＝32.∴2α－β＝12(α＋β)＋32(α－β)．∵π2<12(α＋β)<23π，－3π2<32(α－β)<－π2， ∴－π<2α－β<π6.故2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π，π6.(1)若已知某两个代数式的取值范围，求另一个代数式的取值范围时，应利用待定系数法把所求代数式用已知的两代数式表示，进而利用同向不等式的可加性求其范围，否则可能导致所求代数式范围变大．(2)同一问题中应用同向不等式相加性质时，不能多次使用，否则可能导致范围扩大．3．若已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (－2)的范围．解：法一：∵f (x )过原点，∴可设f (x )＝ax 2＋bx .∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b . ∴⎩⎨⎧a ＝12[f (1)＋f (－1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4. ∴6≤f (－2)≤10. 法二：设f (x )＝ax 2＋bx ，则f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b .令m (a ＋b )＋n (a －b )＝f (－2)＝4a －2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4， ∴6≤f (－2)≤10.[对应学生用书P3]一、选择题1．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a －c >b －d ，c >d ⇒a >b ；而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要而不充分条件．答案：B2．已知a ，b ，c ∈R ，且ab ＞0，则下面推理中正确的是( ) A ．a ＞b ⇒am 2＞bm 2 B ．a c ＞bc ⇒a ＞bC ．a 3＞b 3⇒1a ＜1bD ．a 2＞b 2⇒a ＞b解析：对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c ＜0，则不成立；对于C ，a 3－b 3＞0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＞0，∵a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b 2)2＋34b 2＞0恒成立，∴a －b ＞0.∴a ＞b .又∵ab ＞0，∴1a ＜1b .∴C 成立．对于D ，a 2＞b 2⇒(a －b )(a ＋b )＞0，不能说a ＞b . 答案：C3．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0解析：∵a －|b |>0，∴a >|b |>0.∴不论b 取任何实数不等式a ＋b >0都成立．答案：D4．如果a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞a ＞－a 2＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 2＞a C ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2解析：∵a 2＋a ＜0，即a (a ＋1)＜0，可得，－1＜a ＜0， ∴－a ＞a 2＞0，∴0＞－a 2＞a . 综上有－a ＞a 2＞－a 2＞a . 答案：B 二、填空题5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x )．解析：f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1＞0，∴f (x )＞g (x )．答案：＞6．已知12<a <60,15<b <36，则a －b 的取值范围分别是________．解析：∵12<a <60，－36<－b <－15， ∴－24<a －b <45. 答案：(－24,45)7．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中能推出log b 1b ＜log a1b ＜log a b 成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)解析：∵log b 1b ＝－1，若1＜a ＜b ，则1b ＜1a＜1＜b ，∴log a 1b ＜log a 1a ＝－1，故条件①不可以；若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a .∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b ，故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b ＜1，∴log a 1b＞0，log a b ＜0，条件③不可以．故应填②. 答案：②8．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 满足的条件是________________．解析：∵x >y ，∴a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝a 2＋4a ＋4＋a 2b 2－2ab ＋1 ＝(a ＋2)2＋(ab －1)2>0. ∴ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－2. 三、解答题9．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的范围．解：∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4. 因而两式相加得－π2＜α＋β2<π2.又∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.∴－π2≤α－β2<π2.又∵α＜β，∴α－β2＜0.∴－π2≤α－β2＜0.即α＋β2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，α－β2∈⎣⎡⎭⎫－π2，0. 10．已知a ，b ∈{正实数}且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．解：∵⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)(a －b )ab ，＝(a －b )2(a ＋b )ab ，又∵a >0，b >0，且a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0， ∴a 2b ＋b 2a>a ＋b . 11．已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝λ(α＋β)＋u (α＋2β) ＝(λ＋u )α＋(λ＋2u )β.比较α，β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋u ＝1，λ＋2u ＝3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，u ＝2.由题意得－1≤－α－β≤1,2≤2α＋4β≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. 故α＋3β的取值范围是[1,7]．。

2019新版人教B版高中数学-选修4-5教学案-第一章章末小结知识整合与阶段检测

2019新版人教B版高中数学-选修4-5教学案-第一章章末小结知识整合与阶段检测[对应学生用书P24][对应学生用书P24]绝对值不等式的解法的值或取值范围问题，是高考中对绝对值不等式考查的一个重要考向，每年高考均有重要体现，以填空题、解答题为主，属中档题，解绝对值不等式的基本思想，是转化、化归，不等式的性质是实现“转化”的基本依据，通过利用绝对值的几何意义、平方法、零点分区间讨论法等将绝对值不等式转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解．[例1] 不等式|x＋1|＋|x|<2.[解] 法一：利用分类讨论的思想方法．当x≤－1时，－x－1－x<2，解得－<x≤－1；当－1<x<0时，x＋1－x<2，解得－1<x<0；当x≥0时，x＋1＋x<2，解得0≤x<.因此，原不等式的解集为.法二：利用方程和函数的思想方法．令f(x)＝|x＋1|＋|x|－2＝错误!作函数f(x)的图象(如图)，知当f(x)<0时，－<x<.故原不等式的解集为.法三：利用数形结合的思想方法．由绝对值的几何意义知，|x＋1|表示数轴上点P(x)到点A(－1)的距离，|x|表示数轴上点P(x)到点O(0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为.法四：利用等价转化的思想方法．原不等式⇔0≤|x＋1|<2－|x|，∴(x＋1)2<(2－|x|)2，且|x|<2，即0≤4|x|<3－2x，且|x|<2.∴16x2<(3－2x)2，且－2<x<2.解得－<x<.故原不等式的解集为.[例2] 已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．[解] (1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a>0时，－≤x≤，得a＝2.(2)法一：记h(x)＝f(x)－2f()，。

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来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；
不等式证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、
数学归纳法，应用柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解。
代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。这些技巧是极为重要的，但对大多数学生来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，对
选修 4--5 不等式选讲
一、课程目标解读
选修系列 4-5 专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、
不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。
通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系
和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了
a， b 都是实数，而
后者要求 a， b 都是正数 .
3）“当且仅当”的含义是充要条件 . 4）几何意义 . 二、例题讲解：例 1 已知 x， y 都是正数，求证：
（ 1）如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝ y 时，和 x＋ y 有最小值 2 P ；（ 2）如果和 x＋ y 是定值 S，那么当 x＝ y 时，积 xy 有最大值 1 S2
2 ≥ ab
a ＋b 显然，当且仅当 a＝ b 时， 2 ＝ ab
说明：
1）我们称
a ＋b 2
为
a，b 的算术平均数，称
ab 为 a，b 的几何平均数，因而，此
定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
.
2） a 2＋ b 2≥ 2ab
a ＋b 和2
≥
ab 成立的条件是不同的：前者只要求

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第一章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1 不等
式的基本性质和一元二次不等人教版高三式数学的选解修法4－5(B版)电子
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第一章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1 1.3 绝对值不等式的解法 1.5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯 2.3 平均值不等式（选学）本章小结第三章数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳本章小结数学归纳法简史