江岸区八十一中2013-2014学年上学期九年级数学期中考试压轴题详解

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江岸区九年级

江岸区九年级（上）数学期中试题(命题人：汪金龙考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(共12小题，每题3分，共36分) 1的值为（）A 、3B 、-3C 、3或-3D 、6 2、已知x = -1是方程x 2 + mx – 1 = 0解，则m 的值为（） A 、-1 B 、0 C 、2 D 、-2 34中自变量x 的取值范围是（）A 、x ≥5B 、x ≤5C 、x ＞5D 、x ＜-55、在平面直角坐标系中，点P （2，—3）关于原点对称的点的坐标是（） A 、（2，3） B 、（-2，3） C 、（-2，-3） D 、（-3，2）6、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，且∠A=45°，则下列结论中正确的是（） A 、BC =12AB B 、 BC =ACC 、 BC ＜ACD 、 BC ＞AC 7、不解方程，判别方程x 2– 4x + 4 = 0的解的情况（）A 、两个不相等的实数根B 、两个相等的实数根C 、无实数根D 、一个实数根8、武汉市2009年中考数学数与代数、空间与图形、统计与概率三个领域在试题中所占的比重分别为45%、40%、15%，小明同学绘制成扇形统计图如图所示，其中空间与图形部分在扇形统计图中所占的圆心角为（） A 、40° B 、54° C 、120° D 、144°9、下列图形给我们很多圆的形象，其中两圆没有的位置关系是（）A 、外离B 、内含C 、外切D 、内切 10、“国庆”期间，小李和同学一起到中山公园游玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m ，匀速转动一周需要12min ，小李乘座最底部的车厢（离地面1m ），经过2min 后到达Q 点（如图所示），则此时他离地面的高度是（）A 、10mB 、11mC 、D 、（10）mAB OC45°ＡＢＣＤ11、2008年奥运会游泳馆又叫“水立方”，是奥运会标致性场馆之一，其府视图是一个边长为170m 的正方形ABCD ，正中间是一个矩形泳池，其面积占正方形ABCD 面积的15/289（如图），泳池到AB 、CD 的距离都是x m ，到AD 、BC 的距离都是（x +10）m.求得x 应为（）A 、50mB 、60mC 、70mD 、100或60m12、如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，CE 、DF 交于G ，连结AG 、HG .下列结论：①CE ⊥DF ；②AG =AD ；③∠CHG =∠DAG ；④12H G AD=.其中正确的有（） A 、①②B 、①②④C 、①③④D 、①②③④第10题图第11题图第12题图二、填空题(共4小题，每题3分，共12分)。

2013-2014学年人教版九年级上期中测试数学试题(含答案)

湖北省宜城市2013-2014学年第一学期期中测试一、选择题 (本大题有12个小题，每小题3分，共36分.）1.下列二次根式中，的取值范围是3x≥的是（）B. C.2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. C.3. 下列各式计算正确的是（）A.63238=- B. 5102535=+C. 222224=÷ D. 682234=⨯4. 下列方程中，一元二次方程共有（）．①432=-xx②04322=+-xyx③412=-xx④42=x⑤0332=+-xxA． 2个 B．3个 C．4个 D． 5个5. 关于关于x的一元二次方程1352+=-xxx的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法判断6. 某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（）A．19% B．10% C．9.5% D．20%7.下列命题中是真命题的是( )A.经过两点不一定能作一个圆B.经过三点不一定能作一个圆C.经过四点一定不能作一个圆D.一个三角形有无数个外接圆8.四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO=BO=CO=DO，则这个四边形（）Ａ.仅是轴对称图形Ｂ.仅是中心对称图形Ｃ.既是轴对称图形又是中心对称图形Ｄ.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 9.如图所示，在正方形ABCD 中，AB=4，点O 在AB 上，且OB=1，点P 是BC 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°得到线段OQ.要使点Q 恰好落在AD 上,则BP 的长是( )A ．3B ．2C ．1D ．无法确定10. 如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（）A.CE=DEB.弧BC=弧BDC.∠BAC=∠BADD.AC ﹥AD11.下列四个命题:①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中正确的有（） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个12. 已知⊙O 的半径为5cm ，点P 到⊙O 的最近距离是2，那么点P 到⊙O 的最远距离是（） A.7cm B.8cm C. 7cm 或12cm D.8cm 或12cm二、填空题 (本大题有5个小题，每小题3分，共15分.）13.计算(236)(236)+-=14. 已知方程x 2－x －1=0有一根为m ，则m 2－m ＋2013的值为____.15.如图，已知正方形ABCD 的边长为3,E 为CD 边上一点，DE=1．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABF ，连接EF ，则EF 的长等于．16. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为弧BC 上一点，若∠CEA=28o，则∠ABD=°.ABCDE O · 第10题图A第16题图 17.已知等腰△的三个顶点都在半径为5cm 的⊙上，如果底边的长为8cm ，则边上的高为 .三、解答题（本大题共9个小题，计69分.）18.（本题满分5分）计算：4832426-÷+⨯.19.（本题满分7分）先化简，再求值：（a －1＋12+a ）÷（212+a ），其中a =2－1．20.（本题满分6分）已知方程2(1)140x m x m +-+-=的一个根是3，求m 的值及方程的另一个根．21.（本题满分7分）已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值。

武汉市江岸区九年级上期中数学试题及答案(扫描版).doc

江岸区2015~2016学年度第一学期期中考试九年级数学试卷参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A CD B C D C B D D 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．3、－2、－1 12．(1，－2) 13．－214．2217 15．x ＜－1或x ＞3 16．416．提示：根据共顶点等腰三角形的旋转模型 △AEC ≌△ADB （SAS ）∴∠ADB ＝∠AEC ＝150°∴∠BDE ＝150°－60°＝90°连接CD∵∠CED ＝360°－150°－60°＝150°∴∠CED ＝∠CEA∴△AEC ≌△DEC （SAS ）∴CA ＝CD∴CE 为AD 的垂直平分线延长CE 交AD 于F ，则∠AEF ＝30°∴AF ＝3，EF ＝3在△ACF 中，522=-=AF AC CF∴CE ＝BD ＝5－3＝2在Rt △BED 中，422=+=BD DE BE三、解答题（共8题，共72分）17．解：2131±-=x18．解：(1) y ＝x 2－2x －3；(2) x ＜－1或x ＞319．证明：易证：△AOF ≌△COE∴CE ＝AF由垂径定理得：CE ＝21CD ，AF ＝21AD∴AD ＝CD20．解：(3) 145+π21．解：设横彩条宽为2x cm ，则竖彩条宽为3x cm ，由题意得(20－4x )(30－6x )＝2516×600，解得x 1＝1，x 2＝9当x ＝9时，宽为18∵18×2＞20（舍去）∴x ＝1答：使横彩条宽为7 cm ，竖彩条宽为3 cm22．解：(1) 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥=+12401500202012121x x x x x ，解得10≤x 1≤13即共有四种进货方案(2) 设利润为W ，则W ＝[1760－(－20x 1＋1500)]x 1＋[1700－(－10x 2＋1300)]x 2＝30x 12－540x 1＋12000 ＝30(x 1－9)2＋9570当x 1＝13时，W 有最大值为10050即采购高级羽绒服13件时，总利润最大为10050件23．解：(1) AF ＝BM ＋MF(2) 过点A 作AG ⊥CM 于G ，反向延长GA 交EN 于H ∴四边形GMNH 为矩形∴AH ⊥EN根据三垂直得：△CMB ≌△AGC ，△AEH ≌△EDN ∴CM ＝AG ，EN ＝AH∴MN ＝GH ＝GA ＋AH ＝CM ＋EN(3) 中线倍长CP ，则△BCP ≌△DGP∴BC ＝DG ，BC ∥DG可证：△CAE ≌△GDE∴CE ＝EG ，CE ⊥EG∴△CPE 为等腰直角三角形∴CP ＝PE ，CP ⊥PE24．解：(1) D (2，－3)(2) 作D 关于AB 对称的点D ′必在AE 上A (－m ，0)、B (3m ，0)，C (0，－3am 2)，D (2m ，－3am 2) ∴D ′(2m ，3am 2)∵抛物线过点C∴－3am 2＝－3，am 2＝1∴直线AD ′的解析式为11+=x my 联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=)32(1122m mx x a y x m y ，整理得x 2－3mx －4m 2＝0解得x 1＝4m ，x 2＝－m （舍去）∴E (4m ，5)∴E 在y ＝5上运动(3) F (m ，－4)、E (4m ，5)、A (－m ，0)、D (2m ，－3) 设P (b ，0)∴PF 2＝(m －b )2＋16，AD 2＝9m 2＋9，AE 2＝25m 2＋25∴(m－b)2＋16＋9m2＋9＝25m2＋25，解得b1＝－3m，b2＝5m ∴P(－3m，0)或(5m，0)。

湖北省武汉市十一滨江初级中学2014届九年级数学上学期期中试题(含答案)

湖北省武汉市十一滨江初级中学2014届九年级上学期期中考试数学试题新人教版一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）姓名： 1．式子3+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）Ａ．3-≥x Ｂ．x>－3 Ｃ．3≥x Ｄ．x>3２．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图①，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（） A ．45° B ．60° C ．72° D ．90° 4．下列计算①1553=⨯； ②1031003=；③322723=；④16＝4．其中错误的是（） A ．① B ．② C ．③ D ．④5．若x 1，x 2是方程x 2－3x －4=0的两根，则x 1·x 2的值是（） A ．－4 B ．4 C ．3 D ．－3 6．用配方法解方程01102=--x x ，正确的变形是（）A ．26)5(2=-xB ．26)5(2=+xC ．1)5(2=-x D ．24)5(2=-x7．如图②所示，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于点Q ，若△DQE 的面积为9，则△AQB 的面积为( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．458．如图③，AB是⊙O 的直径，C 是半圆弧AB 的中点，D 是⋂BC 上（异于B 、C ）的任意一点，则∠CDB 等于（）A ．100°B ．120°C ．150°D ．135°9．下面每个正方形中的四个数之间都具有某种相同的规律，由此可推断x 的值应是（）．589573275314531A ．90B ．92C ．94D ．9610．如图④, ⊙P 过O 、()6,0A 、()0,2C ，半径PB ⊥PA ，双曲线(0)ky x x=< 恰好经过B 点，则k 的值是（）． A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算：62⋅=_________；12．在平面直角坐标系中有三个点A(1，2)，B(－1，2)和C(1，－2)，其中关于原点O 的对称两点为点________与点________；13．某班x 名学生，同学们两两互相赠送贺卡，共送贺卡1560张，则可列方程：； 14．如图⑤，A(2，3)是双曲线(0)ky x x=>上的一点，P 为x 轴正半轴上一点，将A 点绕 P 点顺时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B ，则P 点的坐标为； 15．△ABC 在直角坐标系中的位置如图⑥所示，点P 为边AC 上一点，且P( a ，b )，现将△ABC 绕点(－1 ，0 )逆时针旋转180°，那么点P 的对应点P ′的坐标为；16．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD= ，平行四边形CDEB 为菱形。

2013-2014学年度九年级第一学期期中测试数学试卷分析

2013-2014学年度第一学期九年级数学期末考试试卷分析
栽麻中学
一、考试概况
试卷满分为150分．全卷共三个大题，共25小题．其中选择题10小题，填空题8小题，解答题6小题。

二、存在问题
1、我校学生基础差，在选择题中丢分太多。

2、选择题出题较好。

3、11题书写不规范，不注意书写未知数。

4、12题我校学生理解能力差，导致丢分较多。

5、15题学生答案不全。

6、19题学生总是出现一步到位，导致步骤分丢掉。

7、20题的第二小题学生书写不规范。

8、概率题学生都能理解，得分比较多。

9、22题漏写坐标。

10、23,24,25题丢分较多。

三、补救措拖
1、加强基础知识的教学，重视双基，平时的教学面向全体学生。

2、关注学生的计算，严抓计算，在课堂教学中多展示计算过程，少一带而过，另外加强板书解题步骤的示范作用，以提高学生的计算能力。

3、加强综合题的训练，提高学生综合应用能力。

4、培养学生良好的书写习惯，引导学生规范答题；
5、讲解选择题的正确填涂方式，并说明其原因。

6、重视课堂教学中的板书，分析解答题解答的关键步骤与评分标准，让学生明白解答题的关键步骤，让学生学会正确的作答的方法；
7、分析讲评正确的看题习惯，要求学生要认真审题，在弄清题意后方可着手解答，减少过失性的失分；
8、加强对学生思想教育端正学生的学习态度，对一些基础比较好，但是较为散漫的男生要多督促，多开导，改变散漫的状态，积极起；
9、要多鼓励学生，激发他们学习的信心，让她们从思想上认同数学学习。

2013、2014武汉中考数学试卷分析

2013武汉中考数学试卷分析熊明军一、试卷考点分析项目题类试卷2013年武汉中考试卷考点难度★识记理解★★基础运用★★★综合运用题号考查内容涉及考点选择题1 有理数比较大小★2 二次根式有意义条件★3 不等式组解不等式组★4 概率概念★5 一元二次方程根与系数关系★6 角度计算等腰三角形★7 三视图三视图★8 找规律图形规律★9 统计条形统计图、扇形统计图★★10 圆圆的内容★★填空题11 三角函数值特殊值记忆★12 统计众数★13 有理数科学记数法★14 一次函数应用一次函数与行程问题★15 函数与几何综合反比例函数与平行四边形★★16 四边形三角形全等、最值★★★解答题17 分式解分式方程★18 一次函数及其不等式解析式与解不等式★19 全等全等证明★20 概率求概率的方法★+★21 作图操作变换、最短路径★+★★22 圆证明与计算★+★★★23 二次函数应用★+★★+★★24 几何证明相似★+★★+★★25 二次函数综合运用★+★★★+★★★二、试卷分析：2013年武汉中考数学试题考点完全按照考纲要求，没有出现超出考试范围的题目。

本套试卷整体难度偏大，计算要求偏高，体现在16题，22题第二问和25题第二问，对学生知识的综合运用能力要求很高。

1-9题和四调、五调考点和顺序完全一致，难度也没有任何变化，主要考察学生相应知识点的识记与简单应用。

第10题和四调、五调考察的几何最值问题有所不同，改为用字母表示弧长的题目。

而将最值问题移到填空题第16题，取代了之前调考中的多解几何题。

对于字母运算与表示结果与高中要求接轨，是今后数学学习的一个方向。

填空题11-15题也和调考中的考察顺序一致，11-13考察学生对特殊三角函数值的识记，12题考察数据的收集与整理中众数的概念，13题考察比较基础的科学记数法。

14题考察学生对于一次函数的理解与应用，看懂题目加以分析，对大部分学生来讲都不是难题。

15题依旧考察反比例函数与四边形的综合题目，利用设未知点坐标来求解是这道题目的关键。

初三九年级上册数学压轴解答题中考真题汇编[解析版]

初三九年级上册数学压轴解答题中考真题汇编[解析版]一、压轴题1．如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．2．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ．（1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值；（2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．3．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合．4．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．（1）求证△AEF ∽△BCE ；（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．5．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为(5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；()1求点C 的坐标；()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一时刻，使EMF 90∠=？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．6．（2015秋•惠山区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心与坐标原点O重合，线段BC的端点分别在x轴与y轴上，点B的坐标为（6，0），且sin∠OCB=．（1）若点Q是线段BC上一点，且点Q的横坐标为m．①求点Q的纵坐标；（用含m的代数式表示）②若点P是⊙A上一动点，求PQ的最小值；（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿折线OBC运动，到点C运动停止，⊙A 随着点A的运动而移动．①点A从O→B的运动的过程中，若⊙A与直线BC相切，求t的值；②在⊙A整个运动过程中，当⊙A与线段BC有两个公共点时，直接写出t满足的条件．7．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．（1）若ED＝BE，求∠F的度数：（2）设线段OC＝a，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．8．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O 交BD 于E ．（1）如图1，当PB ＝3时，求PA 的长以及⊙O 的半径；（2）如图2，当∠APB ＝2∠PBE 时，求证：AE 平分∠PAD ；（3）当AE 与△ABD 的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O 的半径．9．如图，函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程x 2-2x -3=0的两个实数根，且m ＜n ．（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；（2）设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ，顶点为点D ，连结BD 、BC 、CD ，求△BDC 面积；（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ， ①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值．10．如图，抛物线2()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COFCDFSS=：:时，求点D 的坐标．(3)如图2，点E 的坐标为(03)2-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A，B，∠BAO = 30°．抛物线y = ax2 + bx + 1（a < 0）经过点A，B，过抛物线上一点C（点C在直线l上方）作CD∥BO交直线l于点D，四边形OBCD是菱形．动点M在x轴上从点E（ -3，0）向终点A匀速运动，同时，动点N在直线l上从某一点G向终点D匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点D的坐标和抛物线的函数表达式．（2）当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合．①过点E作x轴的垂线交直线l于点F，当点N在线段FD上时，设EM = m，FN = n，求n 关于m的函数表达式．②求△NEM面积S关于m的函数表达式以及S的最大值．12．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）．（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为；（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4 【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=12∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解；（3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解. 【详解】（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ∴BE EF =，80BEF ∠= ∴180502BEFEBF BFE -∠∠=∠== ，即50BFD ∠=∵AB=AC=4，D 是BC 的中点 ∴BD DC =,AD BC ⊥∴BF CF =，ABD ACD △≌△ ∴FBD FCD △≌△，1005022BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠= ∴50CFD BAD ∠=∠= ∴//CF AB（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF由（1）可知：EB=EF=EC∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心 ∴∠BCF=12∠BEF=40°∵50BAD ∠=，AD BC ⊥ ∴9040ABC BAD ∠=-∠= ∴ABC BCF ∠=∠∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立（3）由（1）和（2）知，//CF AB ∴点F 的运动路径在CF 上如图，作AM ⊥CF 于点M∵8090BEF ∠=<∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置 ∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小此时AF 1=AB=AC=4，即AF 的最小值为4．【点睛】本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解．2．（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析【解析】【分析】（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题；（2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；【详解】解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =， 2.5t =．当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，由③④可得0.5a =，2t =．综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等；②AP BD ⊥， 90BEP ∴∠=︒，90APB CBD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90APB BAP ∴∠+∠=︒， BAP CBD ∴∠=∠，在ABP △和BCD 中，BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，BP CD ∴=，即54t -=， 1t ∴=；（2）当38a =，83t =时，1DN at ==，而4CD =，DN CD ∴<，∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=︒， 180ABC BCD ∴∠+∠=︒， //AB BC ∴，AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠，在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOM COD ASA ∴≅△△，OA OC ∴=，ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=，ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-， ADF CDF S S ∆∆∴=．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．【解析】【分析】（1）根据AD BD ⊥得到AB 是直径，连接OC 、OD ，发现等边三角形，再根据圆周角定理求得30EBD ∠=︒，再进一步求得E ∠的度数；（2）分别画出三种图形，图2中，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可以求得；图3中，根据三角形的外角的性质和圆周角定理可以求得；图4中，根据切线的性质发现直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得．【详解】解：（1）连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥ ∴AB 是直径 ∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形 ∴60COD ∠=︒ ∴30DBE ∠=︒ ∴60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒ 证明：连接OD 、OC 、AC ，如图：∵1OD OC CD === ∴OCD 为等边三角形 ∴60COD ∠=︒ ∴30DAC ∠=︒ ∴30EBD ∠=︒ ∵90ADB ∠=︒ ∴903060E ∠=︒-︒=︒②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒ 证明：连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥ ∴AB 是直径 ∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形 ∴60COD ∠=︒ ∴30DBE ∠=︒∴903060BED ∠=︒-︒=︒③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒ 证明：如图：∵当点B 与点C 重合时，则直线BE 与O 只有一个公共点 ∴EB 恰为O 的切线∴90ABE ∠=︒∵90ADB ∠=︒，1CD =，2AD =∴30A ∠=︒∴60E ∠=︒．故答案是：（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、圆内接四边形的性质．此题主要是能够根据圆周角定理的推论发现AB 是直径，进一步发现等边COD △，从而根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解．4．（1）详见解析；（2）21y 2x =-,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】【分析】（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得AF AEBE BC =，y x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，60AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，∴∠AEF +∠AFE =90°，∵EF ⊥CE ，∴∠AEF +∠BEC =90°，∴∠AFE =∠BEC ，∴△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BEC 得AF AE BE BC =，y x =，∴212y x =-+，∵2132y x x =-+=213(3)22x --+，当3x =时，y 有最大值为32， ∴302AF ≤≤；（3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点， ∴∠EHF =90°，∴ME =MF =MH ，在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，∴MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；如图2，连接AH ，∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，360AH sin AB =︒=， ∵AB =23∴AH =3，所以点H 移动的距离为3．【点睛】此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．5．（1）(C 8,43；（2）t=18s ；（3）t 1513=【解析】【分析】（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．解直角三角形求出CH ，OH 即可．（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．求出OH 的长即可解决问题．（3）设M（﹣5+t，33），EF12=AB=8，由∠EMF=90°，可得EM2+MF2=EF2，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵A（20，0），AB=16，∴OA=20，OB=4．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=16，∠CAB=30°，∴BC12=AB=8，CH=BC•sin60°=43，BH=BC•cos60°=4，∴OH=8，∴C（8，43）．（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．∵MN=MH=33，MN⊥BC，MH⊥BA，∴∠MBH=∠MBN=30°，∴BH3=MH=9，∴点M的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，t的值为18s．（3）∵C（8，43），B（4，0），A（20，0）．∵CE=EB，CF=FA，∴E（6，23），F（14，23），设M（﹣5+t，33），EF12=AB=8．∵∠EMF=90°，∴EM2+MF2=EF2，∴（6+5﹣t）2+（3）2+（14+5﹣t）2+（3）2=82，整理得：t2﹣30t+212=0，解得：t=15±13．【点睛】本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（1）①﹣m+8；②PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；（2）①t=时，⊙A与直线BC相切；②＜t≤5或7≤t≤15时，⊙A与线段BC有两个公共点．【解析】试题分析：（1）①根据正切的概念求出BC=10，OC=8，运用待定系数法求出直线BC的解析式，根据函数图象上点的坐标特征解得即可；②作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，根据三角形面积公式计算即可；（2）①根据切线的性质和相似三角形的性质计算即可；②结合图形、运用直线与圆的位置关系定理解答．解：（1）①∵点B的坐标为（6，0），tan∠OCB=，∴BC=10，OC=8，设直线BC的解析式为y=kx+b，，解得，∵点Q的横坐标为m，∴点Q的纵坐标为﹣m+8；②如图1，作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，×AB×OQ=×BO×CO，解得，OQ=4.8，∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；（2）①如图2，⊙A与直线BC相切于H，则AH⊥BC，又∠BOC=90°，∴△BHA∽△BOC，∴=，即=，解得，BA=，则OA=6﹣=，∴t=时，⊙A与直线BC相切；②由（2）①得，t=时，⊙A与直线BC相切，当t=5时，⊙A经过点B，当t=7时，⊙A经过点B，当t=15时，⊙A经过点C，故＜t≤5或7≤t≤15时，⊙A与线段BC有两个公共点．考点：圆的综合题．7．（1）30°；（2）EF=；（3）CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；（2）首先证明△HBO≌△COD（AAS），进而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的长；（3）分别利用①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，③当BE=BP，求出即可．试题解析：（1）如图1，连接EO，∵∴∠BOE=∠EOD，∵DO∥BF，∴∠DOE=∠BEO，∵BO=EO，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°，∴∠F=30°；（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，∵在△HBO和△COD中，∴△HBO≌△COD（AAS），∴CO=BH=a，∴BE=2a，∵DO∥BF，∴△COD∽△CBF，∴∴，∴EF=；（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，∴∠COD=∠DOE，∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，若△PEB为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，由（2）得：BE=2x，①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，③当BE=BP，作BM⊥EO，垂足为M，∴EM=PE=，∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，∴△BEM∽△DOC，∴，∴，整理得：x2+x-4=0，解得：x=（负数舍去），综上所述：当CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．考点：圆的综合题．8．（1）PA13O的半径为393；（2）见解析；（3）⊙O的半径为2或477【解析】【分析】（1）过点A作BP的垂线，作直径AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的长，再在Rt△AHP中用勾股定理求出AP的长，在Rt△AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值；（2）证∠APB＝∠PAD＝2∠PAE，即可推出结论；（3）分三种情况：当AE⊥BD时，AB是⊙O的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，通过证△BFE∽△DAE，求出BE的长，再证△OBE是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB时，过点D作BC的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出PE，AE的长，再利用勾股定理求出直径BE的长，即可得到半径的值．【详解】（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝12AB＝2，AH＝AB•sin60°＝3∴HP＝BP﹣BH＝1，∴在Rt△AHP中，AP22AH HP+13∵AB是直径，∴∠APM＝90°，在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，∴AM＝APsin60︒133239，∴⊙O的半径为3，即PA⊙O（2）当∠APB＝2∠PBE时，∵∠PBE＝∠PAE，∴∠APB＝2∠PAE，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠APB＝∠PAD，∴∠PAD＝2∠PAE，∴∠PAE＝∠DAE，∴AE平分∠PAD；（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴r＝12AB＝2；②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，∴BFAD ＝EFAE，在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，∴AF＝AB•sin60°＝BF＝12AB＝2，∴28，∴EF，在Rt△BFE中，BE5，∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴r；③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，∴AE为⊙O的直径，∴∠BPE＝90°，如图3﹣3，过点D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点N ，延开PE 交AD 于点Q ，在Rt △DCN 中，∠DCN ＝60°，DC ＝4，∴DN ＝DC •sin60°＝23，CN ＝12CD ＝2， ∴PQ ＝DN ＝23，设QE ＝x ，则PE ＝23﹣x ，在Rt △AEQ 中，∠QAE ＝∠BAD ﹣BAE ＝30°，∴AE ＝2QE ＝2x ，∵PE ∥DN ，∴△BPE ∽△BND ，∴PE DN ＝BP BN ， ∴2323x -＝BP 10， ∴BP ＝10﹣533x ，在Rt △ABE 与Rt △BPE 中，AB 2+AE 2＝BP 2+PE 2，∴16+4x 2＝（10﹣533x ）2+（23﹣x ）2，解得，x 1＝63（舍），x 2＝3，∴AE ＝23，∴BE ＝22AB AE +＝224(23)+＝27，∴r ＝7，∴⊙O 的半径为2或47或7．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.9．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2【解析】【分析】（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ∆三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=︒，据此求出 △BDC 面积；（3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．【详解】解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <，用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，11x ∴=-，23x =，1m ∴=-，3n =，(1,0)A ∴-，(0,3)B ，把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．（2）令2230y x x =-++=，即2230x x --=，解得11x =-，23x =，∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，1OA ∴=，3OC =，∴对称轴为1312x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，∴BC = BD ==DC ==222CD DB CB =+，BCD ∴∆是直角三角形，且90DBC ∠=︒，∴112322S BCD BD BC ==⨯⨯=；（3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4），①在0≤x ≤3范围内，当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值 223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，令22(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时4p =，令24(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，21t = )；或者24[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值 223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，令2223[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．综上，1t =-或2t =．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．10．（1）2y x 2x 3=-++；（2）点D 的坐标为(14)，或(2)3，；（3）点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或．【解析】【分析】（1）由3OB OC ==及图像可得B 、C 两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；（2）由题意易得35COF COD S S =，进而得到点D 、F 横坐标之间的关系为53D F x x =，设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ，则有直线BC 的解析式为3y x =-+，然后可直接求解；（3）分∠PBE 或∠PEB 等于2∠OBE 两种情况分别进行求解即可．【详解】解：(1)3OB OC ==，则：()()3003B C ，，，，把B C 、坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：2y x 2x 3=-++①；(2)∵32COF CDF S S =△△：：， ∴35COF COD S S =，即：53D F x x =，设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ，点F 在直线BC 上，而BC 所在的直线表达式为：3y x =-+，则33(3)F t t -，，则直线OF 所在的直线表达式为：3313t t y x x t t--==，则点55(5)D t t -，，把D 点坐标代入抛物线解析式，解得：15t =或2 5，则点D 的坐标为(14)，或(2)3，；(3)①当2PBE OBE ∠=∠时，当BP 在x 轴上方时，如图2，设1BP 交y 轴于点E '， ∴12PBE OBE ∠=∠ ， ∴E BO EBO ∠'=∠ ，又60E OB EBO BO BO ∠'=∠=︒=，，∴()E BO EBO AAS '≌ ，∴32EO EO ==， ∴点3(20)E '，，直线1BP 过点BE '、，则其直线方程为：1322y x =-+②，联立①②并解得：12x =- ，故点P 1的坐标为17()24-，；当BP 在x 轴下方时，如图2，过点E 作//EF BE '交2BP 于点F ，则FEB EBE ∠=∠'，∴222E BE OBE EBP OBE ∠'=∠∠=∠，，∴FEB EBF ∠=∠ ，∴FE BF = ，直线EF 可以看成直线BE '平移而得，其k 值为12-，则其直线表达式为：1322y x =-- ，设点13()22F m m --，，过点F 作FH y ⊥轴交于点H ，作BK HF ⊥于点K ，则点13()202H m --，，13()232K m --，， ∵EF BF =，则22FE BF =，即：()2222331313()()22222m m m m +-++=-++，解得：52m =，则点511()24F -，，则直线BF 表达式为：113322y x =-…③，联立①③并解得：132x =-或3(舍去3)，则点213209()24P --，； ②当2PEB OBE ∠=∠时，当EP 在BE 上方时，如图3，点E '为图2所求，设BE '交3EP 于点F ，∵2EBE OBE ∠'=∠，∴3EBE P EB ∠'=∠ ，∴FE BF = ，由①知，直线BE '的表达式为：1322y x =-+，设点13()22F n n -+，，13()232K n -+，，由FE BF =，同理可得：12n =，故点15()24F ，，则直线EF 的表达式为：11322y x =-④，联立①④并解得：1n =或92- (舍去负值)， ∴34(1)P ，；当EP 在BE 下方时，同理可得：x =舍去负值)，故点458(417P +-+，．故点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或(54178+-+，．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解．11．（1）点D 的坐标为(2，12)，抛物线的解析式为24 ?1?3y x =-+；（2）①1n =+；②234S m =+，S 【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，得到OB=1，根据菱形的性质结合含30度的直角三角形的性质点A 、D 、C 的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）①在Rt △FEA 中，FB=12FA=2，FD=FB+BD=3，根据题意设此一次函数解析式为：n km b =+，求得m =2n FB ==，m =3n FD ==，代入n km b =+，即可求解；②求得NA 3m =，过N 作NQ ⊥EA ，得到NQ=12NA=32，利用面积公式得到S 关于m 的函数表达式，再利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）∵抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，∴OB=1，∵∠BAO=30︒，∠BOA=90︒，∴AB=2OB=2，=ABO=60︒，∴点A 的坐标为0)，又∵四边形OBCD 是菱形，且∠ABO=60︒，∴OD=CD=OB=1，∴△DOB为等边三角形，∴∠BOD=60︒，∠DOA=30︒，BD=BO=OD=DA=1，延长CD交OA于H，则CH⊥OA，∴DH=12OD=12，3CH=CD+DH=32，∴点D的坐标为312)，点C的坐标为332)，将A30) ， C的坐标为(32，32)代入抛物线的解析式y = ax2 + bx + 1，得：3310333142a ba⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：433ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为243?1?3y x x=-+；（2）①在Rt△FEA中，∠FAE=30︒，3FA=2AB=4，∴FB=12FA=2，FD=FB+BD=3，∵动点M、N同时作匀速直线运动，∴n关于m成一次函数，故设此一次函数解析式为：n km b=+，当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合，∴3m=2n FB==，当点M运动到点A时，点N恰好与点D重合，∴23m=3n FD==，代入n km b =+，得：23b b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：31k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴此一次函数解析式为：1n =+； ②NA=FA-FN=4- 33n m =-，过N 作NQ ⊥EA ，则NQ=12NA=32，∴2133224S m m ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∵0<，当3m ==⎝⎭0m ≤≤范围内，∴1322S ⎛=-= ⎝⎭最大【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、函数图象的交点等．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大．12．（1）4﹣2）32；（3）4【解析】【分析】（1）在Rt △DCG 中，利用勾股定理求出DG 即可解决问题；（2）首先证明AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝m ，则DH ＝AD ﹣HD ＝4﹣m ，在Rt △DHC 中，根据CH 2＝CD 2+DH 2，构建方程求出m 即可解决问题；（3）如图，当点G 在对角线AC 上时，△OGE 的面积最小，当点G 在AC 的延长线上时，△OE′G′的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝CG＝4，∠D＝90°，∵AB＝CD＝2，∴DG＝22CDCG-＝2242-＝23，∴AG＝AB﹣BG＝4﹣23，故答案为:4﹣23．（2）如图2中，由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，∵点G在线段AE上，∴∠AGC＝90°，∵CA＝CA，CB＝CG，∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．∴∠ACB＝∠ACG，∵AB∥CD∴∠ACG＝∠DAC，∴∠ACH＝∠HAC，∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，∴m2＝22+（4﹣m）2，∴m＝52，∴AH＝52，GH22AH AG-22522⎛⎫-⎪⎝⎭32．（3）在Rt△ABC中，2225AC AB BC=+=,152OC AC，由题可知，G点在以C点为圆心，BC为半径的圆上运动，且GE与该圆相切，因为GE=AB 不变，所以O到直线GE的距离即为△OGE的高，当点G在对角线AC上时，OG最短，即△OGE的面积最小，最小值＝12×OG×EG＝12×2×（4﹣5）＝4﹣5．当点G在AC的延长线上时，OG最长，即△OE′G′的面积最大．最大值＝12×E′G′×OG′＝12×2×（4+5）＝4+5.综上所述，455【点睛】本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.（1）比较简单，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键；（2）能表示Rt△DHC三边，借助方程思想是解决此问的关键；（2）理解线段GE的运动轨迹，得出面积最小（大）时G点的位置是解决此问的关键.。

第一学期武汉市八十一中学初三10月抽考数学试卷

第一学期武汉市八十一中学初三10月抽考数学试卷九年级数学试题一、选择题（每题3分，共30分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A.x ²－4＝0B.x ²＋x －1＝0C.x ²＋xy －y ²＝0D.x ²12.方程x （x －3）＝0的解是（）A.x ＝3B.x1＝0，x2＝3C.x1＝1，x2＝3D.x1＝0，x2＝－33.用配方法解方程x ²－2x －3＝0则方程能够变形为（）A.（x －1）²＝3B.（x －2）²＝4C.（x －1）²＝1D.（x －1）²＝44.不解方程，判定方程x ²＋3x －1＝0的根的情形是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根5.某校九年级学生毕业时，每个同学将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送1980张相片，假如全班有x 名学生，依照题意，列出方程为（）A.x （x －1）＝1980B.x （x ＋1）＝1980C.2x （x ＋1）＝1980D. ()119802x x -= 6.由二次函数y ＝2（x －3）²＋1，可知（） A.其图像的开口向下B.其图像的对称轴为直线x ＝－3C.其最小值为1D.当x ＜3时，y 随写的增大而增大. 7.抛物线21252y x x =-+-与坐标轴的交点个数是（）A.0B.1C.2D.38.把抛物线y ＝x ²先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得抛物线为（）A.y ＝（x －2）²－3B. y ＝（x ＋2）²－3C. y ＝（x ＋2）²＋3D. y ＝（x －2）²＋39.已知点（－1，y1）、（－312，y2）、（12，y3）在函数y ＝3x ²＋6x ＋12的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A.y1＞y3＞y2B.y2＞y1＞y3C.y2＞y3＞y1D.y3＞y1＞y210.已知：二次函数y ＝ax ²＋c ，当x ＝1时，－4≤y ≤－2，当x ＝2时，－1≤y ≤2，则当x ＝3时，y 的取值范畴为（） A.2123y ≤≤ B.2103y ≤≤ C.493y ≤≤ D.19y ≤≤二、填空题（每题3分，共18分）11.一元二次方程x2－4＝0的根为______________12.若点（2，－5）、（6，－5）在抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是________________13.已知关于x 的一元二次方程x ²－4x －k ＝0的一个根为3,则另一根是____________.14.如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管的长为_______________15.已知，三次函数y ＝－x ²＋8x －3，当－2≤x ≤5时，y 的取值范畴是_______________16.直线y ＝kx ＋2与抛物线y ＝2x ²＋（b －2）x －4交于A ，B 两点，抛物线y ＝2x ²＋（b －2）x －4交y 轴于C 点，则S △ABC ＝_______________三、解答下列各题（共计72分）17.（本题10分）解方程①x ²－2x ＝0 ②x ²－2x －1＝018.（本题10分）已知抛物线的顶点为（1,4），与x 轴交于点（－1,0），求抛物线的解析式.19.（本题10分）若x1、x2是一元二次方程x²－3x－5＝0的两个根.①直截了当填空：x1＋x2＝____________，x x ＝_______________12②求（x1－3）（x2－3）的值.20.（本题10分）如图，一名男生推铅球，铅球行进的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是二次函数的关系，铅球行进起米，行进到水平距离为4米时达到最高处，最大高度为3米.点的高度为35（1）求二次函数的解析式；（2）求铅球推出的距离.21.（本题10分）如图，抛物线y＝ax2＋2ax－3交x轴于A（－3，0）、B两点，直线y＝kx交抛物线于C、D两点（1）直截了当写出：a＝___________，B点的坐标为______________；死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

2014~2015学年度第一学期期中考试九年级数学试题解析

江汉区2014~2015学年度第一学期期中考试九年级数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）2．一元二次方程x(x－1)＝0的根是（）A．1B．0C．0或1D．0或－13．下列右边的四个图形中，不能由图形M在同一平面内经过旋转得到的是（）A．①B．②C．③D．④4．如图，是一石拱桥的桥拱截面示意图，已知拱桥是一段优弧，桥拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为（）A．8 m B．4 m C．6 m D．3 m5．对于函数y＝－(x＋1)2＋2，下列说法正确的是（）A．函数的最小值为2B．其图像与y轴的交点为(0，2)C．其图像顶点坐标为(1，2)D．其图像对称轴是直线x＝－16．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝15°，则∠OBC等于（）A．30°B．60°C．65°D．75°7．某款手机经过连续两次降价后，售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．1185x2＝580B．1185(1－x)2＝580C．1185(1－x2)＝580D．580(1＋x)2＝1185 8．方程2x2－2x－1＝0的根的情况为（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个正实数根D．有一个正实数根和一个负实数根9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，弦CE⊥BD于G，交AB于点F，下列结论不正确的是（）A．CH＝DH B．AH＝FH C．CD＝CE D．CF＝DE10．如图是函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象与x轴正半轴交于点(3，0)，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①b2＞4ac；②当－1＜x＜3时，ax2＋bx＋c＞0；③无论m为何实数，a＋b≥m(ma＋b)；④若t为方程ax2＋bx＋c＋1＝0的一个根，则－1＜t＜3，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．点(1，－2)关于原点对称的点的坐标是_________12．若一元二次方程(m－1)x2＋m2x－m＝0有一根为1，则m＝_________13．若抛物线y＝x2＋3x－2与x轴两交点的坐标分别为(x1，0)、(x2，0)，则x1＋x2＝_________ 14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有_________人患有流感15．△ABC内接于⊙O中，OD⊥BC于D，若∠OBD＝15°，则∠A＝_________16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，AD是BC上的高，另有一Rt△DEF（其直角顶点在D点）绕D点旋转，在旋转过程中，DE、DF分别与边AB、AC交于M、N点，则线段MN的最小值为_________三、解答题（共9小题，共72分）17．（本题6分）解方程：x2－2x－1＝018．（本题6分）已知二次函数的图象经过点(1，2)和(0，－1)且对称轴为x＝2，求这个二次函数的解析式19．（本题6分）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB的中点，求证：CD＝CE20．（本题7分）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形花园ABCD（院墙MN长25米）．现有50米长的篱笆，请你设计一种围法（篱笆必须用完），使矩形花园的面积为300米221．（本题7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为A(2，2)、B(1，0)、C(3，1)(1) 将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，画出图形并写出点C1的坐标为_________(2) 将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，画出图形并写出点C2的坐标为______(3) 若△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，则对称中心的坐标为_________22．（本题8分）如图，已知AE为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于H交⊙O于D(1) 求证：∠BAD＝∠CAE(2) 若∠ACB＝30°，CD＝3，求⊙O的半径23．（本题10分）某商家试销一种成本为50元/件的T恤，经试销发现：每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数关系，试销数据如下表：(1) 求y与x的函数关系式(2) 若该商场前期投资2000元装修门面，则第一周扣除投资和成本后是盈利还是亏损，并求出最多盈利（或最少亏损）多少元？(3) 若在第一周里，按盈利最大（或最少亏损）的销售单价进行销售后，在第二周物价部门进行了干预，规定试销期间单价不低于成本单价，获利又不得高于60%．则该商家经过这两周的营销，要在全部收回投资的基础上使利润达到975元，那么第二周应该确定销售单价为多少元？24．（本题10分）如图1，正方形ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，FE 的延长线与BC 的延长线交于点G ，连AG (1) 求证：AG 平分∠FAB(2) 如图2，CB 的延长线交FA 的延长线交于点H ，试探究线段DE 、AH 、BH 三者之间的数量关系 (3) 在(2)的条件下填空：∠GAE ＝_________度；若DC ＝2DE ，则CGBH＝_________25．（本题12分）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋(k －1)x －k 与直线y ＝kx ＋1交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧(1) 如图1，当k ＝1时，直接写出A 、B 两点的坐标(2) 在(1)的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标(3) 如图2，抛物线y ＝x 2＋(k －1)x －k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，得到如图2所示的图形，若直线y ＝kx ＋1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k 的取值范围江汉区2014~2015学年度第一学期期中考试九年级数学试题参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．(1，－2) 12．－1 13．－3 14．448 15．75°或105° 16．4.8 16．提示：取MN 的中点，OA ＝OD ＝21MN ，又OA ＋OD ≥AD 三、解答题（本大题共72分） 17．解：x 1＝1＋2，x 2＝1－218．解：设二次函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋k 将(1，2)和(0，－1)代入到解析式中 ⎩⎨⎧-=+=+142k a k a ，解得⎩⎨⎧=-=31k a∴y ＝－(x －2)2＋3＝－x 2＋4x －119．证明：连接CA 、CB 、OC ∵点C 是优弧ACB 的中点 ∴弧CA ＝弧CB ∴CA ＝CB在△AOC 和△BOC 中⎪⎩⎪⎨⎧===BC AC OC OC OB OA∴△AOC ≌△BOC （SSS ） ∴∠A ＝∠B∵D 、E 分别是OA 、OB 的中点 ∴AD ＝BE在△ADC 和△BEC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC AC B A BE AD∴△ADC ≌△BEC （SAS ）∴CD ＝CE 方法二：连接OC∵D 、E 分别是OA 、OB 的中点∴AD ＝BE∵点C 是优弧ACB 的中点 ∴弧CA ＝弧CB∴∠AOC ＝∠BOC 在△DOC 和△EOC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OC OC EOC DOC OE OD ∴△DOC ≌△EOC （SAS ） ∴CD ＝CE20．解：设矩形花园的宽为x x (50－2x )＝300，解得x 1＝10，x 2＝15 又50－2x ≤25，x ≥12.5 ∴x ＝15答：矩形的宽为15米时，花园面积为300米2 21．解：(1) C 1(3，－1)；(2) C 2(1，3)；(21，21) 22．证明：(1) 连接BE ∵AE 为⊙O 的直径 ∴∠ABE ＝90°∵∠EBC ＋∠ABC ＝90°，∠BAD ＋∠ABC ＝90° ∴∠EBC ＝∠BAD 在⊙O 中，∠EBC ＝∠CAE ∴∠BAD ＝∠CAE (2) ∵∠BAD ＝∠CAE ∴∠BAE ＝∠CAD ∴BE ＝CD ＝3在Rt △ABE 中，∠AEB ＝∠ACB ＝30° 设AE ＝2r ，AB ＝r ， ∴r 2＋32＝(2r )2，解得r ＝3方法二：过点O 作OM ⊥CD ，连接OD 可证：∠ODC ＝30°23．解：(1) 设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b 将(55，75)、(60，70)代入y ＝kx ＋b 中⎩⎨⎧=+=+70607555b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=1301b k∴y ＝－x ＋130(2) 设商场第一周的利润为WW ＝xy －50x －2000＝－x 2＋80x －2000＝－(x －40)2－400＜0 当x ＝40时，亏损最小，最小值为400元 (3) 50(1＋60%)＝80设第二周销售单价为a 元，则50＜a ＜80(－a ＋130)(a －50)－400＝975，解得a 1＝75，a 2＝105（舍去）答：第二周应该确定销售单价为75元24．解：(1) 由翻折可知：AF ＝AD ＝AB ，∠AFG ＝∠ABG ＝90°∴AG 平分∠BGE 在△AFG 和△ABG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AG AG AGB AGF ABG AFG∴△AFG ≌△ABG （AAS ） ∴∠FAG ＝∠BAG 即AG 平分∠FAB(2) DE ＋BG ＝AH ，理由如下：在BC 上截取BM ＝DE ，连接AM 易证：△ABM ≌△ADE （SAS ）设∠FAE ＝∠DAE ＝∠BAM ＝α ∴∠AMH ＝90°－α，∠MAD ＝90°－α ∠∠HAM ＝180°－α－α－(90°－α)＝90°－α ∴∠AMH ＝∠HAM∴HA ＝HM ＝HB ＋BM ＝HB ＋DE(3) 45°；61 25．解：(1) 当k ＝1时抛物线的解析式为y ＝x 2－1 直线的解析式为y ＝x ＋1联立⎪⎩⎪⎨⎧+=-=112x y x y ，解得⎩⎨⎧=-=0111y x 或⎩⎨⎧==3222y x由图可知：A (－1，0)、B (2，3)(2) 当过P 点的直线与直线AB 平行且与抛物线相切时，S △PBA 最大设直线的解析式为y ＝x ＋b联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=12x y bx y ，得x 2－x －1－b ＝0 ∴△＝1－4(－1－b )＝0，b ＝45- ∴45-=x y 联立⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1452x y x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4321y x ∴P (21，43-) 则直线BP 的解析式为225-=x y∴ 直线BP 与x 轴的焦点为(54，0) 此时S △APB ＝827)433(5421=+⨯⨯(3) ∵y ＝x 2＋(k －1)x －k ＝(x ＋k )(x －1) ∴C (－k ，0)、D (1，0)当直线y ＝kx ＋1（k ＞0）经过点C (－k ，0) ∴－k 2＋1＝0，解得k 1＝1，k 2＝－1（舍去）此时k ＞1时，满足条件当－k ＜x ＜1时，抛物线的解析式为y ＝－x 2－(k －1)x ＋k 当直线y ＝kx ＋1（k ＞0）与抛物线相切时⎪⎩⎪⎨⎧+---=+=kx k x y kx y )1(12，化简得x 2＋(2k －1)x －k ＋1＝0 ∴△＝(2k －1)2－4(－k ＋1)＝0，解得k 1＝23，k 2＝23-（舍去）此时0＜k ＜23时，满足条件综上所述：k 的取值范围是0＜k ＜23或k ＞1。

2014-2015年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷和答案

2014-2015学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程x2=x的根为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣12．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C． D．3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣34．（3分）下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形5．（3分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB，∠BAC=20°，则∠AOC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．（3分）抛物线y=﹣x2+2x+6在直线y=﹣2上截得的线段长度为（）A．2 B．3 C．4 D．67．（3分）下列抛物线中，与x轴无公共点的是（）A．y=x2﹣2 B．y=x2+4x+4 C．y=﹣x2+3x+2 D．y=x2﹣x+28．（3分）将二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象沿x轴翻折，所得图象的函数表达式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x+1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+39．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=4时，y＞0D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间10．（3分）如图，等边△ABC的边长为1，D、E两点分别在边AB、AC上，CE=DE，则线段CE的最小值为（）A．2﹣B．2﹣3 C．D．二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点（﹣2，7）关于原点的对称点为．12．（3分）关于x的一元二次方程mx2+4x+2=0有实数根，则m的取值范围是．13．（3分）在半径为4的圆中，40°的圆周角所对的弧长为．14．（3分）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是．15．（3分）如图，∠AOB=30°，P点在∠AOB内部，M点在射线OA上，将线段PM绕P点逆时针旋转90°，M点恰好落在OB上的N点（OM＞ON），若PM=，ON=8，则OM=．16．（3分）二次函数y=的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A2015在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B2015在二次函数位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A2014B2015A2015都为等边三角形，则△A2014B2015A2015的边长为．三、解答题（9小题，共72分）17．（6分）解方程：x2﹣4x﹣7=0．18．（6分）李师傅去年开了一家商店，将每个月的盈亏情况都作了记录．今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份盈利恰好2880元，若每月盈利的平均增长率都相同，试求这个平均增长率．19．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B=∠BEC．20．（7分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给平面直角坐标系中解答下列问题：（1）将△ABC绕A点逆时针旋转90°至△AB1C1，画出旋转后的△AB1C1；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2；（3）过A、C、C1三点作⊙P，请直接写出点A2与⊙P的位置关系．21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0（k为常数）．（1）求证：无论k取何实数，该方程总有实数根；（2）若该方程的两根互为倒数，求该方程的两根．22．（8分）△ABC中，AB=AC，（1）如图1，以AC为直径的⊙M交BC，作DE⊥AB于E，求证：DE是⊙M的切线．（2）如图2，⊙O为△ABC的外接圆，若E是AB的中点，连OE，OE=，BC=4，求⊙O的半径．23．（10分）某商店销售一种商品，通过记录，发现该商品从开始销售至销售的第x天结束时（x为整数）的总销量y（件）满足二次函数关系，销量情况记录如下表：（1）求y与x之间的函数关系式（不需要写自变量的取值范围）；（2）求：销售到第几天结束时，该商品全部售完？（3）若第m天的销量为22件，求m的值．24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，动点P从A点出发，以每秒个单位的速度沿AB向B点匀速运动，同时Q点从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BC向C点匀速运动，设运动时间为t秒，0＜t＜4．（1）将线段PQ绕P点逆时针旋转90°至PF，作QG∥AB交AC于G．①如图1，当t=1时，求证：GQ=AP+GF；②如图2，当2＜t＜4时，则线段：GQ、AP、GF之间有怎样的数量关系，证明你的结论；（2）若以PQ为直径的圆与AC相切，直接写出t的值为．25．（12分）已知抛物线y=x2﹣2ax+a2﹣2的顶点为A，P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．（1）求A、P点的坐标（用含a的代数式表示）；（2）点Q在抛物线上，求线段PQ的最小值；（3）若直线y=x+a﹣2与该抛物线交于B、C两点，M点是线段BC的中点．当a 的值在某范围内变化时，M点的运动轨迹是一条直线的一部分，请求出该直线的解析式，并写出自变量的取值范围．2014-2015学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程x2=x的根为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【解答】解：x2=x，x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，∴x=0或x=1，故选：C．2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的一次项系数是a=1，二次项系数b=2，∴由韦达定理，得故选：A．4．（3分）下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形【解答】解：A、正方形的最小旋转角度为90°，故本选项错误；B、正五边形的最小旋转角度为=72°，故本选项正确；C、正六边形的最小旋转角度为=60°，故本选项错误；D、正八边形的最小旋转角度为=45°，故本选项错误；故选：B．5．（3分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB，∠BAC=20°，则∠AOC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵半径OC⊥弦AB，∴=，∴∠AOC=2∠BAC=2×20°=40°．故选：B．6．（3分）抛物线y=﹣x2+2x+6在直线y=﹣2上截得的线段长度为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由题意得：，解得：x=﹣2或x=4，故在直线y=﹣2上截得的线段的长为4﹣（﹣2）=4+2=6，7．（3分）下列抛物线中，与x轴无公共点的是（）A．y=x2﹣2 B．y=x2+4x+4 C．y=﹣x2+3x+2 D．y=x2﹣x+2【解答】解：A、△=0+8=8＞0，该抛物线与x轴有2个交点，故本选项错误；B、△=16﹣4×1×4=0，该抛物线与x轴有1个交点，故本选项错误；C、△=9+8=17＞0，该抛物线与x轴有2个交点，故本选项错误；D、△=1﹣8=﹣7＜0，该抛物线与x轴没有交点，故本选项正确；故选：D．8．（3分）将二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象沿x轴翻折，所得图象的函数表达式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x+1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象沿x轴翻折，所得图象的函数表达式为﹣y=（x﹣1）2﹣3，即y=﹣（x﹣1）2+3．故选：A．9．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=4时，y＞0D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间【解答】解：由题意可得，解得，故二次函数的解析式为y=﹣x2+3x+1．因为a=﹣1＜0，故抛物线开口向下；又∵c=1＞0，∴抛物线与y轴交于正半轴；当x=4时，y=﹣16+12+1=﹣3＜0；故A，B，C错误；方程ax2+bx+c=0可化为﹣x2+3x+1=0，△=32﹣4×（﹣1）×1=13，故方程的根为x===±，故其正根为+≈1.5+1.8=3.3，3＜3.3＜4，故选：D．10．（3分）如图，等边△ABC的边长为1，D、E两点分别在边AB、AC上，CE=DE，则线段CE的最小值为（）A．2﹣B．2﹣3 C．D．【解答】解：如图所示：当ED⊥AB此时DE=EC最短，设EC=DE=x，则AE=1﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，则sin60°===，解得：x=2﹣3．故选：B．二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点（﹣2，7）关于原点的对称点为（2，﹣7）．【解答】解：点（﹣2，7）关于原点的对称点为（2，﹣7）．故答案为：（2，﹣7）．12．（3分）关于x的一元二次方程mx2+4x+2=0有实数根，则m的取值范围是m ≤2且m≠0．【解答】解：根据题意得m≠0且△=（﹣4）2﹣4m•2≥0，解得m≤2且m≠0．故答案为m≤2且m≠0．13．（3分）在半径为4的圆中，40°的圆周角所对的弧长为．【解答】解：40°的圆周角所对的弧长为：=．故答案为：．14．（3分）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是y=﹣．【解答】解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，故﹣2=4a，a=﹣，故y=﹣．15．（3分）如图，∠AOB=30°，P点在∠AOB内部，M点在射线OA上，将线段PM绕P点逆时针旋转90°，M点恰好落在OB上的N点（OM＞ON），若PM=，ON=8，则OM=4+2．【解答】解：连结MN，作NH⊥OA于H，如图，∵线段PM绕P点逆时针旋转90°，M点恰好落在OB上的N点，∴∠MPN=90°，PN=PM=，∴△PMN为等腰直角三角形，∴MN=PM=2，在Rt△OHN中，∵∠NOH=30°，ON=8，∴NH=ON=4，OH=NH=4，在Rt△MNH中，∵NH=4，MN=2，∴MH==2，∴OM=OH+HM=4+2．故答案为4+2．16．（3分）二次函数y=的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A2015在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B2015在二次函数位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A2014B2015A2015都为等边三角形，则△A2014B2015A2015的边长为2015．【解答】解：∵△A0B1A1是等边三角形，∴∠A1A0B1=60°，∴A0B1的解析式为y=x，联立，解得，（为原点，舍去），∴点B1（，），∴等边△A0B1A1的边长为×2=1，同理，A1B2的解析式为y=x+1，联立，解得，（在第二象限，舍去），∴B2（，2），∴等边△A1B2A2的边长A1A2=2×（2﹣1）=2，同理可求出B3（，），所以，等边△A2B3A3的边长A2A3=2×（﹣1﹣2）=3，…，以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，△A2014B2015A2015的边长A2014A2015=2015．故答案为：2015．三、解答题（9小题，共72分）17．（6分）解方程：x2﹣4x﹣7=0．【解答】解：移项得：x2﹣4x=7，配方得：x2﹣4x+4=7+4，即（x﹣2）2=11，开方得：x﹣2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．18．（6分）李师傅去年开了一家商店，将每个月的盈亏情况都作了记录．今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份盈利恰好2880元，若每月盈利的平均增长率都相同，试求这个平均增长率．【解答】解：设这个平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2=2880，解得：x1=20%，x2=﹣2.2（舍去）．答：这个平均增长率为20%．19．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B=∠BEC．【解答】证明：∵B是弧CD的中点，∴=，∴∠BCE=∠BAC，∵∠BEC=180°﹣∠B﹣∠BCE，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，∴∠BEC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠BEC．20．（7分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给平面直角坐标系中解答下列问题：（1）将△ABC绕A点逆时针旋转90°至△AB1C1，画出旋转后的△AB1C1；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2；（3）过A、C、C1三点作⊙P，请直接写出点A2与⊙P的位置关系．【解答】解：（1）（2）（3）如图所示：点A2在⊙上．21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0（k为常数）．（1）求证：无论k取何实数，该方程总有实数根；（2）若该方程的两根互为倒数，求该方程的两根．【解答】（1）证明：∵△=（k+2）2﹣4×2k=k2﹣4k+4=（k﹣2）2≥0，∴无论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：根据题意得2k=1，解得k=，原方程变形为x2﹣x+1=0，整理得2x2﹣5x+2=0，（2x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=，x2=2．22．（8分）△ABC中，AB=AC，（1）如图1，以AC为直径的⊙M交BC，作DE⊥AB于E，求证：DE是⊙M的切线．（2）如图2，⊙O为△ABC的外接圆，若E是AB的中点，连OE，OE=，BC=4，求⊙O的半径．【解答】证明：（1）连接DM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵MD=MC，∴∠MDC=∠C，∴∠B=∠MDC，∴DM∥AB，∠MDE=∠BED，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠MDE=90°，即DE⊥DM，∴DE是⊙O的切线；（2）连接OB、OC，OA，AO的延长线交BC于点D；∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，同理：由OB=OC知，点O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD=CD=；∵，，∴，∵AB=2AE，BD=2，OE=，∴AE=；由题意知：OE⊥AB，根据勾股定：AO2=AE2+OE2，即，解得：R=，即⊙O的半径为．23．（10分）某商店销售一种商品，通过记录，发现该商品从开始销售至销售的第x天结束时（x为整数）的总销量y（件）满足二次函数关系，销量情况记录如下表：（1）求y与x之间的函数关系式（不需要写自变量的取值范围）；（2）求：销售到第几天结束时，该商品全部售完？（3）若第m天的销量为22件，求m的值．【解答】解：（1）依题意，设y=ax2+bx（a≠0），则，解得：．故y与x之间的函数关系式为y=﹣2x2+60x．（2）y=﹣2（x﹣15）2+450，当x=15，y max=450．答：销售到第15天结束，全部售完．（3）当[﹣2（m﹣15）2+450]﹣[﹣2（m﹣16）2+450]=22时，化简得：（m﹣16）2﹣（m﹣15）2=11，解得：m=10．24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，动点P从A点出发，以每秒个单位的速度沿AB向B点匀速运动，同时Q点从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BC向C点匀速运动，设运动时间为t秒，0＜t＜4．（1）将线段PQ绕P点逆时针旋转90°至PF，作QG∥AB交AC于G．①如图1，当t=1时，求证：GQ=AP+GF；②如图2，当2＜t＜4时，则线段：GQ、AP、GF之间有怎样的数量关系，证明你的结论；（2）若以PQ为直径的圆与AC相切，直接写出t的值为．【解答】解：（1）①如图1，连接PG，过点P作PH⊥PG交QG于点H，当t=1时，BQ=1，AP=，则BP=3，CQ=CG=3，∴BP=QG=3，∴四边形PBQG为平行四边形，同理可知四边形APHG也是平行四边形，又由旋转可知PQ=PF，在△PQH和△PFG中，，∴△PQH≌△PFG（SAS），∴QH=FG，∴GQ=HG+QH=AP+GF；②如图2，连接PG，过点P作PH⊥PG交QG于点H，同①可证明四边形PBQG和四边形APHG都是平行四边形，同理可证△PQH≌△PFG（SAS），∴QH=FG，∴AP=HG=HQ+QG=GF+GQ；（2）如图3，设圆心为M，与AC相切于点I，交BC于另一点为J，连接MI、PJ、BG、PG，则可知PQ=2MI=BC=4，在Rt△PQJ中，PJ=4﹣t，QJ=4﹣2t，则（4﹣t）2+（4﹣2t）2=42，解得t=或4，又∵0＜t＜4，∴t=，故答案为：．25．（12分）已知抛物线y=x2﹣2ax+a2﹣2的顶点为A，P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．（1）求A、P点的坐标（用含a的代数式表示）；（2）点Q在抛物线上，求线段PQ的最小值；（3）若直线y=x+a﹣2与该抛物线交于B、C两点，M点是线段BC的中点．当a 的值在某范围内变化时，M点的运动轨迹是一条直线的一部分，请求出该直线的解析式，并写出自变量的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣2ax+a2﹣2，∴y=（x﹣a）2﹣2，∴A（a，﹣2），∵P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．∴P（a，1）；（2）∵点Q在抛物线y=x2﹣2ax+a2﹣2上，∴设Q（m，（m﹣a）2﹣2），则PQ2=（m﹣a）2+[（m﹣a2）﹣3]2令（m﹣a）2=n，则PQ2=n+（n﹣3）2=（n﹣）2+，当n=时，PQ2最小，即PQ最小∴PQ的最小值==；（3）由得x2﹣（2a+1）x+a2﹣a=0∴x1+x2=2a+1∴y1+y2=x1+x2+2a﹣4=4a﹣3，∴M（，），设M（x0，y0）∴x0=，y0=，∴y0=2x0﹣，∴点M在直线y=2x﹣上又∵△=（2a+1）2﹣4（a2﹣a）＞0，则a＞﹣，∴x0＞∴直线为y=2x﹣（x＞）．。

2013年中考数学压轴题及解析分类汇编(优选.)

2013年中考数学压轴题及解析分类汇编2013年中考数学压轴题及解析分类汇编2013中考数学压轴：相似三角形问题2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(一)2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)2013中考数学压轴：等腰三角形问题2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(三)2013中考数学压轴：直角三角形问题2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(二)2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)2013中考数学压轴：平行四边形问题2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(二)2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)2013中考数学压轴：梯形问题2013中考数学压轴题函数梯形问题(一)2013中考数学压轴题函数梯形问题(二)2013中考数学压轴题函数梯形问题(三)2013中考数学压轴：面积问题2013中考数学压轴题函数面积问题(一)2013中考数学压轴题函数面积问题(二)2013中考数学压轴题函数面积问题(三)2013中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一) 例1直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：①当3BQ BA =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ ==．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°．在Rt △BGH 中，sin 1∠=cos 1∠=①当3BQ BA=时，BQ =．在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k y x=的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x =的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得34,22.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得12k=，1 b=．因此直线AB的函数解析式为112y x=+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x=+与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：①如图3，当EA EFAO FP=时，255=．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF=时，255=．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12yx=-，直线AB为172y x=-．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP也不可能相似．图52013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2）梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=．当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ．因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4 考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B′(6，0)，可得A B′＝45．如图2，由AM//CN，可得''''B N B CB M B A=，即2845=．解得'5B C=．所以35AC=．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．①如图3，当''AB B CAC B D=时，535=，解得'3B D=．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B DAC B C=时，355=，解得5'3B D=．此时OD＝133，点D的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---xx x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xxx，得0=x．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为221-=xy．设点D的横坐标为m)41(<<m，那么点D的坐标为)22521,(2-+-mmm，点E的坐标为)221,(-mm．所以)221()22521(2---+-=mmmDE mm2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆mmSDACmm42+-=4)2(2+--=m．当2=m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．图5 图6第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ．由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=．例6如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D 可以在射线BA 上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D 可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE 为腰”和“DE 为底边”，可以体验到，△DEF 为等腰三角形．1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310 AHAB=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以AB ACDB EC=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以DE AEBC AC=，MN ANBC AC=，即|3|53DE x-=，1|3|253xMN-=．因此5|3|3xDE-=，圆心距5|6|6xMN-=．图2 图3 图4 在⊙M中，115226Mr BD y x===，在⊙N中，1122Nr CE x==．①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-．如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=．当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==；当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ．所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==．即22bt t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =． ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一) 例1如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M 是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”，拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备．2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 5．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7, 4,3y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.xy=⎧⎨=⎩所以点A的坐标是(3，4)．令70y x=-+=，得7x=．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8APR ACP PORCORAS S S S=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t-⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t-+=．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况．此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二) 例3如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP 与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N 在AB 的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒．在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-．(Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x”的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．思路点拨1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m =，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+，那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G 在OC 上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2”，可以看到，EF ＝2，GO ＝1．拖动点P 在AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG 可以成为等腰三角形．。

2023-2024学年湖北省武汉市江岸区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-2024学年湖北省武汉市江岸区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 一元二次方程2356x x -+=化为一般形式()200ax bx c a ++=≠后，a ，b ，c 的值可以是（）A. 5a =-，3b =-，6c =B. 3a =-，5b =，6c =-C. 3a =-，5b =，6c =D. 5a =，3b =-，6c =-【答案】D 【解析】【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把方程的变形为一般形式即可．【详解】解：一元二次方程2356x x -+=的一般形式为：25360x x --=，故5a =，3b =-，6c =-，故选：D ．2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 绿色饮品B. 绿色食品C. 有机食品D. 速冻食品【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案．【详解】解：A 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形的判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形.3. 一元二次方程27460x x -+=的根的情况为（）A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 无实数根 D. 只有一个实数根【答案】C 【解析】【分析】根据判别式判断一元二次方程根的情况，能够熟练运用根的判别式是解决本题的关键．【详解】根据根的判别式可知，()244761520∆=--⨯⨯=-<，故方程无实根，故选：C ．4. 如图，A 、D 是O 上的两点，BC 是直径，AD BC ⊥，若32D ∠=︒，则ACD ∠的度数为（）A. 116︒B. 128︒C. 122︒D. 126︒【答案】A 【解析】【分析】利用垂径定理得出 AC DC=，通过同弧或等弧所对圆周角相等可得32CAD D ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可求解．【详解】解：∵AD BC ⊥，BC 是直径，∴ AC DC=，∴32CAD D ∠=∠=︒，∵180CAD D ACD ∠+∠+∠=︒，∴116ACD ∠=︒，故选：A ．【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和同弧或等弧所对圆周角相等的应用．5. 设a ，b 是方程220230x x +-=的两个实数根，则b ab a -+的值为（）A. 1 B. 1- C. 2022D. 2023【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记“若12x x 、是方程一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根，则1212b ca x x x x a+=-=，．”是解题关键．【详解】解：∵a，b 是方程220230x x +-=的两个不相等的实数根，∴1a b +=-，2023ab =-，∴()12023120232022b ab a -+=---=-+=，故选：C ．6. 如图所示，OA 、OB 、OC 都是O 的半径（点B 在劣弧AC 上，不包括端点A 、C ），则下列关系一定成立的是（）A. 2AOB BOC ∠=∠B. 2AOB ACB ∠=∠C. 2AOB CAB ∠=∠D. 2AOB OCA∠=∠【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆周角定理，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”进行判断即可，能够熟练运用圆周角定理是解决本题的关键．【详解】解：根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半可知， AOB ∠为弧AB 所对的圆心角，弧AB 所对的圆周角为ACB ∠，的故2AOB ACB ∠=∠，故选：B ．7. 若点()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 在二次函数()215y x =++的图象上，则1y ，2y ，3y 大小关系是（）A. 123y y y << B. 132y y y << C. 213y y y << D.312y y y <<【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．【详解】解：点()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 在反比例函数()215y x =++的图象上，19y ∴=，26y =，321y =，213y y y ∴<<．故选：C ．8. 如图，Rt ACB △中，90C ∠=︒，7AC =，5BC =，点P 从点B 出发向终点C 以1个单位长度/s 移动，点Q 从点C 出发向终点A 以2个单位长度/s 移动，P 、Q 两点同时出发，一点先到达终点时P 、Q 两点同时停止，则（）秒后，PCQ △的面积等于4．A. 1B. 2C. 4D. 1或4【答案】A 【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，设t 秒后，PCQ △的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设t 秒后，PCQ △的面积等于4，由题意得：,2BP t CQ t ==，则5,CP t =-∵12PCQ CQ CP S =⋅△，∴()14252t t =⨯⨯-，整理得：2540t t -+=，解得：1214t t ==，（不合题意，舍去），即1秒后，PCQ △的面积等于4，故选：A ．9. 已知O 的半径2OA =，弦AB 、AC 的长分别是，则BOC ∠的度数为（）A. 30︒B. 120︒C. 30︒或150︒D. 30︒或120︒【答案】C 【解析】【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理逆定理及特殊角三角函数．分两种情况考虑，根据垂径定理及特殊角三角函数即可求解．【详解】解：当弦AB 、AC 在半径OA 的同侧时，如图，过O 作OD AB ⊥于D ，则12AD AB ==，2AOB AOD ∠=∠，∵sin AD AOD OA ==∠，∴60AOD ∠=︒，∴2120AOB AOD ∠=∠=︒；∵2228OA OC AC +==，∴=90AOC ∠︒，∴30BOC AOB AOC ∠︒=∠-∠=；当弦AB 、AC 在半径OA 的异侧时，如图，同理可求得120AOB ∠=︒，=90AOC ∠︒，则360150BOC AOB AOC ∠=︒-∠-∠=︒，即BOC ∠的度数为30︒或150︒；故选：C ．10. 已知抛物线2y x bx c =++（c 为常数）经过点()p m ,、()q m ,、()4,c ，当18q p ≤-<时，则m 的取值范围为（）A. 412c m c -≤<+B. 15124c m c -≤<+C. 12c m c <≤+ D. 324c m c -<+≤【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出4b =-，可得抛物线的对称轴为直线22bx =-=，再根据抛物线的对称性可得4p q +=，进而得到()424q p q q q -=--=-，再结合18q p ≤-<，可得()212164q ≤-<，然后根据()22424m q q c q c =-+=-+-，即可求解．【详解】解：当4x =时，164y b c c =++=，∴4b =-，∴抛物线的对称轴为直线22bx =-=，∴抛物线解析式为24y x x c =-+，∵抛物线2y x bx c =++（c 为常数）经过点()p m ,、()q m ,，∴22p q+=，即4p q +=，∴4p q =-，∴()424q p q q q -=--=-，又18q p ≤-<，∴1248q ≤-<，∴1242q ≤-<，∴()212164q ≤-<，∵()22424m q q c q c =-+=-+-，∴15124c m c -≤<+，故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 在平面直角坐标系中，点()3,5-关于x 轴对称的点的坐标为__________．【答案】(-3，-5)【解析】【分析】根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【详解】在平面直角坐标系中，点（−3，5）关于x 轴对称的点的坐标为（−3，−5），故答案为：（−3，−5）．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的变化规律．12. 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________．【答案】()213y x =-++【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线2y x =-向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：()21y x =-+．由“上加下减”的原则可知，将抛物线()21y x =-+向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：()213y x =-++．故答案为：()213y x =-++．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．13. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么方程是_____．【答案】50+50(1+x)+50 (1+x)2=196【解析】【分析】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x ）万个，九月份生产零件50（1+x ）2万个，三个月之和即为总产量.【详解】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x ）万个，九月份生产零件50（1+x ）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为：50+50（1+x ）+50（1+x ）2=196．【点睛】本题考查一元二次方程应用中的增长率问题，需要注意第三季度产量是三个月之和.14. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到A BB '' ，此时点A '恰好在AB 边上，连结BB '，则A BB '' 的周长为________．【答案】3+3+【解析】【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理得到，22AB AC ==，BC =．再根据旋转的性质得到1AC A C '==，,2BC B C AB A B ACA BCB '''''====∠=∠，则可判断ACA ' 为等边三角形，从而得到BCB 'V 为等边三角形，可得到BB BC '==1A B '=，即可求解．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，∴30ABC ∠=︒，∵1AC =，∴22AB AC ==，∴BC ==∵将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到A BB '' ，此时点A '恰好在AB 边上，∴1AC A C '==，,2BC B C AB A B ACA BCB '''''====∠=∠，∵60A ∠=︒，∴ACA ' 为等边三角形，∴60ACA BCB ''∠=∠=︒，1AA AC '==，BCB 'V 为等边三角形，∴BB BC '==，1A B '=，∴A BB '' 的周长为213A B BB A B ''''++==．故答案为：3【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．15. 已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a >）经过()3,2A -、()9,2B 两点，下列四个结论：①一元二次方程220ax bx c ++-=的根为13x =-，29x =；②若点()15,C y 、)2Dy 在该抛物线上，则12y y <；③对于任意实数t ，总有293at a b bt -≥-；④对于a 的每一个确定值()0a >，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数）有根，则236p a ≥-．其中正确的结论是________（填写序号）【答案】①③④【解析】【详解】根据函数的解析式结合函数图象逐个分析，并判断每个选项的正误即可．【分析】解：∵()3,2A -、()9,2B 两点纵坐标相等，故当2y =时，39x =-或此时函数2y ax bx c =++变为22=0ax bx c ++-，故一元二次方程220ax bx c ++-=的根为13x =-，29x =成立，故①正确；由于()3,2A -、()9,2B 两点纵坐标相等，∴A，B 两点关于函数的对称轴对称，∴函数的对称轴为：3x =，∵0a >，∴函数的开口向上，故越靠近对称轴，函数的值越小，C 点离对称轴的距离为532-=，D 点离对称轴距离为3，∵23>，∴12y y >，故②错误；将293at a b bt -≥-变为；∵函数的对称轴为3x =，故当3x =时函数取最小值，将3x =代入函数解析式中得：93y a b c =++，故函数最小值为：93a b c ++，故293ax bx c a b c ++≥++，对于任意的实数t 都有：293at bt a b +≥+变形得293at a b bt -≥-，故③正确；∵32b a-=，则6b a =-，将()3,2A -、()9,2B 两点代入2y ax bx c =++中得：9328192a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩①②，3⨯+①②得，227c a =-，若一元二次方程2ax bx c p ++=则： 244b ac p a -≥，将227c a =-，6b a =-代入，化简得236p a ≥-，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题属于二次函数的综合题，能够熟练掌握二次函数的解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．能够熟练掌握二次函数的解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．16. 如图，已知ABC 是O 的内接三角形，O 的半径为2，将劣弧 AC 沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点D ．若60ACB ∠=︒，则弦AC 的长为________．【答案】【解析】【分析】设折叠后的 AC 所在圆的圆心为O '，连接O A '，O D '，OA ，OB ，过点O作OE AB ⊥于点E ，解直角三角形得出AB =O ' 与O 为等圆，得出OA O A '=，OB OD =，A O B A OD'∠=∠，证明AOB AO D ' ≌，得出AB AD ==A 作AH BC ⊥于H ，设BH HD x ==，则2CD x =，3CH x =，根据勾股定理得出()(222x +=，求出x 的值，即可得出答案．【详解】解：设折叠后的 AC 所在圆的圆心为O '，连接O A '，O D '，OA ，OB ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，如图所示：∵OE AB ⊥，∴12AE BE AB ==，∵60ACB ∠=︒，∴2120A OD A C B '∠=∠=︒，2120AOB ACB ∠=∠=︒，∴1602AOE BOE AOB ∠=∠=∠=︒，∴sin 602AE AO =⨯︒==，∴AB =又∵O ' 与O 为等圆，∴OA O A '=，OB OD =，A O B A OD'∠=∠，∴AOB AO D ' ≌，∴AB AD ==过A 作AH BC ⊥于H ，设BH HD x ==，则2CD x =，3CH x =，∵60ACB ∠=︒，∴在Rt ACH中，tan 603AH CH x =⨯︒==，361cos 602CH x AC x ===︒，∵222AH BH AB +=，∴()(222x +=，解得：x =，∴AC =．【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合，根据勾股定理建立方程．三、解答题（共8小题）17. 解方程：22530x x ++=．【答案】11x =-，232x =-【解析】【分析】利用公式法求解可得．【详解】解：22530x x ++=2a =，5b =，3c =，∴2542310∆=-⨯⨯=>，∴514x -±==，∴11x =-，232x =-．【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程；根据系数特点选择适当的方法是解题的关键．18. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？【答案】应邀请7个球队参加比赛．【解析】【分析】设邀请x 个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解．【详解】设邀请x 个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x-1=21，即()x x 12-=21，∴x 2-x-42=0，∴x=7或x=-6（不合题意，舍去）．答：应邀请7个球队参加比赛．【点睛】此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．19. 已知函数224y x x =-++．（1）该函数的对称轴为________，顶点为________；（2）当x ________时，y 随x 增大而减小；（3）当03x <<时，函数值y 的取值范围是________．【答案】（1）1x =，()1,5（2）1≥（3）15y <£【解析】【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，再根据“二次函数()()20=-+≠y a x h k a 的对称轴为直线x h =，顶点坐标为(),h k ”即可求解；（2）根据二次函数的增减性，即可求解；（3）根据二次函数()()20=-+≠y a x h k a 的性质可得当1x =时，函数有最大值，最大值为5，再分别求出0x =，3x =时的函数值，即可求解．【小问1详解】解：224y x x =-++()215x =--+，∴该函数的对称轴为直线1x =，顶点为()1,5；故答案为：1x =，()1,5【小问2详解】解：∵10-<，∴抛物线开口向下，∴当1x ≥时，y 随x 增大而减小；故答案为：1≥小问3详解】解：∵抛物线开口向下，顶点为()1,5，∴当1x =时，函数有最大值，最大值为5，当0x =时，4y =，当3x =时，9641y =-++=，∴当03x <<时，函数值y 的取值范围是15y <£．故答案为：15y <£20. 如图，AB 是O 的直径，AC 是弦， BDCD =，DE AB ⊥于点E ，连接DO ．（1）求证：AC DO ∥；（2）若CD =DE AE 的长．【【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理以及平行线的判定：（1）连接AD ，证明12DAB DAC CAB ∠=∠=∠，再由圆周角定理得CAB DOB ∠=∠，从而可得结论；（2）连接DB ，由勾股定理得出1EB =以及圆的半径，从而可得结论．【小问1详解】连接AD ，如图，∵ CDBD =，∴12DAB DAC CAB ∠=∠=∠，又12DAB DOB ∠=∠，∴CAB DOB ∠=∠，∴AC DO ∥，【小问2详解】连接DB ，∵ CD BD =，CD =∴CD BD ==又DE DE AB ⊥，∴在Rt DBE 中，222DB DE EB =+，∴1EB =，设OE x =，则1OB OD AO x ===+Rt DOE △中，222DE OE OD +=，222(1)x x +=+∴2x OE ==，13AO x =+=，∴325AE AO OE =+=+=21. 如图网格是由边长为1个单位长度的小正方形组成，每个小正方形的顶点叫做格点，点A 、B 、C 、O 都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，点A 对应点E ，点B 对应点F ．（1）在图1中，将线段AB 向右平移3个单位长度，画出平移后的线段EF ，再将线段BC 绕点F 顺时针旋转90︒，画出对应线段B C ''；（2）在图2中，先作点A 关于点O 对称点Q ，再过点O 作直线分别交AB 、AC 于点M 、N ，使得MO NO =．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据点的平移和线段绕点旋转，然后连接即可求解；（2）根据中心对称的性质即可作图．【小问1详解】如图，根据平移和旋转的性质，找到对应点，然后连接即可；∴EF ，B C ''即为所求；【小问2详解】的如图，根据网格作图特点，∵O 为AQ 中点，AC MQ ∥，∴OA OQ =，OAN OQM ∠=∠，∵AON QOM ∠=∠，∴AON QOM ≌，∴MO NO=∴点M ，N ，Q 即为所求．22. 某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x 天的成本y （元/件）与x （天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z （件）与x （天）满足关系式10z x =+．（1）第5天，该商家获得的利润是________元；第40天，该商家获得的利润是________元；（2）设第x 天该商家出售该产品的利润为w 元．①求w 与x 之间函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有________天？（直接填写结果）【答案】（1）450，1000（2）①()805003080203050z z x w z x z x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，第30天利润最大，最大利润1200元； 8【解析】【分析】（1）求出BC 的解析式，即可；（2）①先求出w 与x之间的函数关系式，结合一次函数与二次函数的性质，即可求解；②的利用每件利润乘以总销量等于总利润，进而求出二次函数最值即可．【小问1详解】解：根据题意得：第5天，该商家获得的利润是()()8050510450-⨯+=元；设BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()()30,50,50,70B C 代入得：30505070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：120k b =⎧⎨=⎩，∴20y x =+，当40x =时，60y =，即第40天时该产品的成本是60元/件，利润为：()()806040101000-+=元；故答案为：450；1000【小问2详解】解：①根据题意得：()805003080203050z z x w z x z x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩化简得230300030506003050x x w x x x +≤≤⎧=⎨-++<≤⎩当030x ≤≤时，30300w x =+，∵300k =>，∴w 随x 增大而增大，当30x =时，max 30303001200w =⨯+=，当3050x <≤时，250600w x x =-++，∵10a =-<开口向下，∴对称轴()502521x =-=⨯-，3050x <≤时，w 随x 增大而减小，又x 为整数，∴31x =时，2max 3150316001189w =-+⨯+=，∵11891200<，∴max 1200w =，此时30x =，即第30天利润最大，最大利润1200元，②230300030506003050x x w x x x +≤≤⎧=⎨-++<≤⎩当030x ≤≤时，303001125w x =+≥30825x ≥27.5≥x 又030x ≤≤且x 为整数∴2830,28x x ≤≤=或29或30当3050x <≤时，2506001125x x -++≥2505250x x -+≤令2505250x x -+=()()15350x x --=∴115x =，235x =∴1535x ≤≤又3050x <≤∴3035x <≤且x 为整数，∴31x =或32或33或34或35综上所述，第28，29，30，31，32，33，34，35天共计8天利润不低于1125元，故答案为：8【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润等于一件的利润乘以销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23. （1）【问题背景】如图1，在ABC 中，AB AC =，2BAC α∠=，D ，E 为BC 边上的点，且DAE α∠=，ACE △绕点A 顺时针旋转2α得到ABF △，连接DF ，直接写出DF 与DE 的数量关系：________；（2）【类比探究】如图2，在ABC 中，60CAB ∠=︒，AB AC =，D 、E 均为BC 边上的点，且30DAE ∠=︒，2BD =，32EC =，求DE 的长；（3）【拓展应用】如图3，E 是正方形ABCD 内一点，90AEB ∠=︒，F 是BC 边上一点，且45EDF ∠=︒，若2AB =，请直接写出当DE 取最小值时CF =________．【答案】（1）DF DE =；（2（3）23【解析】【详解】解：（1）∵2,,BAC DAE αα∠=∠=∴2,BAD CAE BAC DAE ααα∠+∠=∠-∠=-=由旋转得，,AF AE =,BAF CAE ∠=∠∴,BAF BAD α∠+∠=即,DAF α∠=∴,DAF DAE ∠=∠在ADE V 和ADF △中，AE AFDAE DAFAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ,ADE ADF ≌∴DE DF =；（2）∵60CAB ∠=︒，AB AC =，∴ABC是等边三角形，∴60CAB B ACB ∠=∠=∠=︒，AB AC BC ==，将ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACF △，连接EF ，如图2，则AF AD =，2FC BD ==，60ACF B Ð=Ð=°，CAF BAD ∠=∠.∵60CAB ∠=︒，30DAE ∠=︒，∴30CAE BAD ∠+∠=︒，∴30EAF CAE CAF CAE BAD DAE ∠=∠+∠=∠+∠==∠︒.∵AE AE =，∴()SAS EAF EAD △≌△，∴EF DE =，过点F 作FG BC ⊥，交BC 的延长线于点G ，∵6060120ECF ACE ACF ︒︒∠=∠+∠=+=︒，∴60FCG ∠=︒，∴30CFG ∠=︒，∴112122CG FC ==⨯=，∴35122EG EC CG =+=+=，∴FG ===，DE EF ====（3）将CDF 绕点D 顺时针旋转90︒，得到ADG △，取AB 的中点O ，连接OD ，OE ，OF ，则112OA OB AB ===.如图3，∵DE OD OE ≥-，∴DE 取最小值时，点E 在OD 上，如图4所示：由旋转的性质得DF DG =，CDF ADG ∠=∠，∵45EDF ∠=︒，∴904545CDF ADE ∠+∠-︒=︒=︒，∴45ODG ADO ADG ADO CDF ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴ODF ODG ∠=∠，在ODF △和ODG 中，DF DG ODF ODGOD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ODF ODG △≌△，∴OF OG =.设CF x =，则1OF OG OA AG x ==+=+，2BF BC CF AB CF x =-=-=-，在Rt OBF △中，222(2)1(1)x x -+=+，解得23x =，∴当DE 取最小值时CF 的长为23.【分析】（1）先证明,DAF DAE α∠=∠=根据SAS 证明ADE ADF V V ≌可得DF DE =；（2）先证ABC 是等边三角形，得60CAB B ACB ∠=∠=∠=︒，AB AC BC ==，将ABD △绕点A 逆时针旋转60︒，得到ACF △，连接EF ，再证()SAS EAF EAD ≌ ，得EF DE =，过点F 作FG BC ⊥，交BC 的延长线于点G ，然后由含30︒角的直角三角形的性质得1CG =，则52=EG ，即可解决问题；（3）将CDF 绕点D 顺时针旋转90︒，得到ADG △，取AB 的中点O ，连接OD 、OE 、OF ，则112OA OB AB ===，由DE OD OE ≥-，得DE 取最小值时，点E 在OD 上，再由旋转的性质得DF DG =，CDF ADG ∠=∠，然后证()SAS ODF ODG △≌△，得OF OG =，设CF 的长为x ，则1OF OG x ==+，2BF x =-，在Rt OB F 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；正方形的内角为90︒，对边相等；根据SAS 证明三角形全等；全等三角形对应边相等，30︒角所对直角边等于的一半．24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x mx =+-经过点()3,0A ，点C 是抛物线的顶点，连接AC ．（1）求抛物线的函数解析式及顶点C 的坐标；（2）设直线()0y kx k k =-≠与抛物线相交于P 、Q 两点（点P 在点Q 的左侧且点Q 在第四象限），当直线PQ 与直线AC 相交所成的一个角为45︒时，求点Q 的坐标；（3）如图2，作直线AP ，AG 分别交y 轴正、负半轴于点M 、N ，交抛物线于点P 、G ，设点M 、N 的纵坐标分别为m 、n ，且3=-mn ，求证：直线PG 经过一个定点．【答案】（1）2=23y x x --，顶点()1,4C -（2）Q 点坐标为()2,3-（3）见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再利用抛物线的顶点坐标公式即可求解；（2）先求得直线PQ 过定点()1,0，再构造一线三等角，证明()AAS CAH ARG ≌△△，求得()1,2R -，再求得:31RC y x =--，根据平行线性质求得:33l y x =-+，联立即可求解；（3）设AP ：()()30y k x k =-≠，AG ：()()30y k x k =-'≠'，表示出M 、N 的坐标，由3m n ⋅=-，得到13k k '⋅=-，联立，根据根与系数的关系，求得1P x k =-，1G x k ='-，设PG ：()0y ax b a =+≠，联立，根据根与系数的关系，求得2P G x x a +=+，3P G x x b ⋅=--，据此求得13kk '=-，进一步计算即可求解．【小问1详解】解：∵23y x bx =+-经过点()3,0A ，∴9330b +-=，3=6b -，2b =-，∴抛物线解析式：2=23y x x --，对称轴212x -=-=，1x =时212134y =-⨯-=-，∴顶点()1,4C -，综上所述，抛物线解析式2=23y x x --，顶点()1,4C -；【小问2详解】解：∵()1y kx k k x =-=-，∴当10x -=，即1x =时，0y =，∴PQ 过定点()1,0，过A 作AR AC ⊥，AR AC =，连RC ，的过M 作l RC ∥交抛物线于P ，Q ，过A 作GH y ∥轴，过R 作RG GH ⊥于G ，过C 作CH GH ⊥于H ，∵90AHC RGA RAC ∠=∠=∠=︒，∴90CAH RAG ARG ∠=︒-∠=∠，∴()AAS CAH ARG ≌△△，∴4RG AH ==，2CH GA ==，∴()1,2R -，又()1,4C -，设直线RC 的解析式为y mx n =+，∴24m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，解得31m n =-⎧⎨=-⎩，∴:31RC y x =--，∵l RC ∥，∴设直线l 的解析式为3y x n '=-+，把()1,0代入得03n '=-+，解得3n '=，∴:33l y x =-+，联立23323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩，解得13x =-，22x =，又P Q x x <，∴2Q x =，()2,3Q -，∴Q 点坐标为()2,3-；【小问3详解】解：设AP ：()()30y k x k =-≠，AG ：()()30y k x k =-'≠'，∴()0,3M k -，()0,3N k -'，∵3m n ⋅=-，∴()()333k k '-⋅-=-，∴13k k '⋅=-，联立：2323y kx k y x x =-⎧⎨=--⎩，∴()22330x k x k -++-=，∴2A P x x k +=+，∴1P x k =-，同理：1G x k ='-，设PG ：()0y ax b a =+≠，联立：223y ax b y x x =+⎧⎨=--⎩，∴()2230x a x b -+--=，∴2P G x x a +=+，3P G x x b ⋅=--，∴112k k a -+-=+'，()()113k k b --=--'，∴4k k a +'=+，()13kk k k b -++=-'-'，∴kk a b '=-，∵13kk '=-，∴13b a =+，∴()11133y ax a a x =++=++，∴定点11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质是解题的关键．。

江汉区2013~2014学年度第一学期期中考试九年级数学试题_word版)

江汉区2013~2014学年度第一学期期中考试九年级数学试题第卷选择题，共30分一、选择题共10小题，每小题3分，共30分 1 化简2)4(−的结果为 A 2B 4C 4D ±4 2 如图若点A 、B 、C 在同一直线且AC ∶BC 3∶2 则AB ∶BC A 2∶1B 5∶3C 5∶2D 3∶13 如图点A 、B 、C 、D 、O 都在方纸的点将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转得到△COD 则旋转的角度可以为 A 30°B 45°C 90°D 135°4 用配方法解一元二次方程x 2 4x 5的过程中配方正确的是 A (x 2)2 1B (x 2)2 1C (x 2)2 9D (x 2)2 95 如图 ⊙O 的直径AB 弦CD 交于点E ∠ABD 58° 则BCD 的度数为A 32°B 58°C 64°D 116°6 式子3+x 有意则x 的取值范围是 A x 3B x 3C x 3D x 37 已知关于x 的一元二次方程x 2 2x a 0有两个相等的实数根则a 的值是 A 1B 1C41D 41−8 如图 ABCD 是正方形 P 是BC 边一点 E 是DC 边一点列条件中能得到△ABP △ECP 相似的是 A ∠APB ∠EPCB ∠APE 90°C BP CP CE ∶DE 1∶3D BP BC CE DE9 如图是由白色正边形和黑色正边形镶嵌而成的一组有规律的图案则第6个图案中黑色正角形的个数是 A 20B 22C 24D 2610 如图在正方形网有6个斜角形 △ABC △BCD △BDE △BFG △FGH △EFK 其中 ~ 中角形相似的角形共有A 2个B 3个C 4个D 5个第卷非选择题，共90分二、填空题共6小题，每小题3分，共18分11 已知点A(a 1) B(5 1)是关于原点O 的对点则a _______ 12 若方程x 2 3x 1 0的两根为x 1、x 2 则x 1 x 2 _______13 已知关于x 的一元二次方程(m 2)x 2 3x m 2 2 0有一根为零则m 的值为______ 14 如图直线a ∥b AF ∶FB 3∶5 BC ∶CD 3∶1 则AE ∶EC _______15 如图 △ABC 为⊙O 的内接角形 ∠A 60° 直径DE ∥BC AB 、AC 分别于DE 相交于点F 、G 若⊙O 的半径为2 则线段FG 的最大值为_______16 已知O 为正方形ABCD 的中心以AB 为斜边作Rt △ABE 连OA 、OE 若AE 2 OE 23 则正方形ABCD 的面为_______ 三、解答题共9小题，共72分 17 解方程 x 2 5x 3 018 计算 2)6324(31648÷−+−19 如图 A 、B 、C 、D 是⊙O 的四点且A BCD 求证 △ABC ≌△DCB20 美化城市改善人们的居住环境已成为城市建设的一重要内容某市城区近几来通过拆迁旧植草树修建园等措施使城区绿地面断增加如图示(1) 根据图中提供的信息回答列问题 2001 的绿地面为_______(2) 为满足城市发展的需要计划到2003 使城区绿地总面达到72.6 试求今明两绿地面的均增长率21 如图在面直角坐标系中四边形ABCD的四个点都在由边长为单位1的小正方形组成的8×8的网的点 E(1 0)(1) 将四边形ABCD沿y轴翻折画出翻折后对的四边形A1B1C1D1(2) 将四边形ABCD以点E位旋转中心旋转180°得到四边形A2B2C2D2(3) 若将四边形A1B1C1D1绕某一点可以得到四边形A2B2C2D2 请直接写出旋转中心的坐标22 如图 △ABC是等边角形点D、E分别在BC、AC 且BD CE AD BE相交于点F(1) 求证 △ABD≌△BCE(2) 若CD 3 AD 4 求EF的长23 如图要设计一个等腰梯形的花坛花坛 120米 180米相距80米在两腰中点连线虚线处有一条横向甬道之间有两条纵向甬道各甬道的宽度相等设甬道的宽为x米(1) 用含x的式子表示横向甬道的面用写出x的取值范围(2) 根据设计的要求甬道的宽能超过6米如果修建甬道的总费用万元甬道的宽度成正比例关系比例系数是5.7 花坛其余部分的绿化费用为方米0.02万元那当甬道的宽度为多少米时建花坛的总费用为239万元24 如图在矩形ABCD 中 E 为AD 的中点 EF ⊥EC 交AB 于F 连接FC AB AE (1) 求证 △AEF ∽△DCE(2) AEF EFC 是否相似若相似证明你的结论若相似请说明理由 (3) 设若△AEF ∽△BCF 则k _______ 请直接写出结果25 已知如图1 直线y x 2 x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B 双曲线xk y =交于第一象限内的点P 且S △PBO 1 点C 点B 关于x 轴对 (1) 求k 的值(2) 如图2 N 为x 轴正半轴一点过A 、P 、N 的圆直线AC 交于点Q Q M ⊥x 轴于M 求MN 的长(3) 如图3 D 为线段AO 一动点连BD 将线段BD 绕点D 时针旋转90° B 点的对点为E 直线CE x 轴交于F 求EFDO的值。

2013-2014江岸区九年级(上)期中数学试卷

2013-2014学年度第一学期期中考试九年级数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分） 1．计算—4的结果是（）A ． 2B ．－4C ．—2D ．±2 2．二次根式a 21−中，字母a 的取值范围是（） A ．a ＜21 B ．a ≤21 C ．a ＞21 D ．a ≥21 3．若—3是方程x 2+ax=0的一个根，则另一个根是（） A ．3 B ．－3 C ．0 D ．94．如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，C 是优弧AB 上一点，则∠C 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5.已知关于x 的一元二次方程222()0x R r x d −++=有两个相等实根，其中R 、r 分别为⊙O 1、⊙O 2半径，d 为两圆的圆心距，则⊙O 1与⊙O 2位置关系是（） A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切6某经济技术开发区今年一月份工业产值达到50亿元，第一季度总产值为175亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x ，根据题意列方程为（）A ．()1751502=+x B ．()175150502=++xC ．()()1751501502=+++x x D ．()()175150150502=++++x x7．下列四张扑克牌的牌面，不是．．中心对称图形的是（）A. B. C. D.8．如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是CO BA9．已知，两同心圆，半径分别为5和4，△ABC 内接于大圆，∠ACB = 30°，则AB 与小圆位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断10．边长分别为6、8、10的三角形的内心与外心之间的距离为（）AB ．2 CD二、填空题（每小题3分，共18分）112)2(−＝点（2，3）关于原点的对称点的坐标是_的整数部分 _12写一个以2，-5为根的二次项系数为1的一元二次方程 13如图，PA 、PB 分别切O ⊙于点A 、B ，若P=70°∠，则C ∠的大小为14辰辰接到一条短信息，信息内容是：你只要将新接到的短信转发给其它n 个人，即可获得50元话费，辰辰照做了。