第十讲边缘分布与独立性

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边缘分布随机变量的相互独立性

P0 x 1,0 y 1 (x, y)dxdy ( x, y)A

1
dx
16e2x3ydy (1 e2 )(1 e3 )
0
0
② 边缘密度函数分别为

X (x)
(x, y)dy

当
x0
时
X (x)
6e2x3ydy 2e2x
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
1
x2 y2
e 2 dy

1
x2 y2
e 2 sin x sin ydy
2
2

1
x2

e 2
1
y2
e 2 dy
2
2
1 x2
y2
e 2 sin x e 2 sin ydy
2

1
x2

e2
2
所以， X ~ N 0,1

a
a xb
0 otherwise
同理
1
f
y
(

边缘分布与独立分布

离散型随机变量的边缘分布律
X,Y的边缘分布律
pX(xi ) pij P{X xi }, i 1,2, , j 1
pY(yi ) pij P{Y y j }, j 1,2, , i1
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为
FX ( x) F ( x,)
pij ,
§2.8边缘分布与独立分布
1、边缘分布
问题 :已知( X ,Y )的分布,如何确定X ,Y的分布?
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x}, P{X x} P{X x,Y } F( x,) FX ( x)
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义设F ( x, y)为随机变量( X ,Y )的分布函数, 则 F( x, y) P{X x,Y y} 令 y , 称
xi x j1
FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
例1 已知下列分布律求其边缘分布律.
YX
0
1
0 16
12
49
49
12
9
1 49
49
连续型随机变量的边缘分布
定义对于连续型随机变量( X ,Y ), 设它的概率
密度为 f (x, y),由于
联合分布
边缘分布
例题
例1
设( X ,Y ) ~
p(
x,
y)
e
y
,
0,
0 x y, 其它.
求 (1) pX ( x); (2) P{ X Y 1}.
2.随机变量的独立性
随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.两随机变量独立的定义是：

边际分布与随机变量的独立性

(3) X 与Y是独立的其本质是：
对任意实数a, b, c, d，有
P{a X b, c Y d } P{a X b}P{c Y d }.
(4) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
例3.2.6
(X, Y) 的联合分布列为:
问 X与Y 是否独立？解: 边际分布列分别为: X 0 1
例3.2.4
设二维随机变量( X , Y )在区域
G {( x, y) | 0 x 1, x 2 y x}
上服从均匀分布，求边缘概率密度f X ( x)，fY ( y)
不难得到( X , Y )的概率密度解：
6, f ( x, y ) 0, 0 x 1, x 2 y x, 其它.
所有计算结果列表如下：
( X,Y )关于Y
的边缘分布律
( X,Y )关于X
的边缘分布律
X 和Y的边缘分布律可由( X , Y )的分布律确定
Y
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
例3.2.2
已知(X,Y)的分布律为
X 1 0
求X、Y的边缘分布律。解
X Y 1 0
p i·
1
0 p· j
解
f X ( x ) f ( x , y )dy
由于
( y 1 )2 2 ( x 1 )( y 2 ) [ y 2 x 1 ]2 2 ( x 1 )

22
1 2
2
1
12
于是
f X ( x)
1 2 1 2 1
F (,) lim F ( x, y ) A B C 1 x 2 2 y F (,) A B C 0

边缘分布与独立性

PX xi
18 38 38 18
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.
联合分布与边缘分布的关系
XY 0 1 2 3
PY y j
13 0 18 38 0 38 0
0 18 68 28
PX xi
18 38 38 18
由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
下面我们介绍两个常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y) G
0, 其它
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
P X xi P X xi ,Y y j pij pi.
j1
j1
i 1,2,
X
xi
j 1
X xi ,Y y j
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
P Y y j P X xi ,Y y j pij p. j
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P(X xi ,Y y j) pij, i, j 1,2,
y x
R2
1

《概率论》课程PPT：边缘分布及随机变量的相互独立性

F(x, y) FX (x) FY ( y)
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0

10条件分布与独立性

f (x,y)=fX(x)fY(y).
特别地,令x = μ1,y = μ2, 由上述等式得到
1
1,
2 1 2 1 2 2 1 2
从而ρ = 0.
综上所述, 得到以下的重要结论: 定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与 Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0.
讲评随机变量的独立性往往由实际问题
PX≤ x Y y为随机变量X在条件Y= y下的条件
分布函数, 记作 FX Y ( x y).
即
x f (x, y)
FX Y ( x y)
dx. fY ( y)
则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的
条件分布函数.
而 f (x, y) 称为在给定条件
fY ( y)
Y= y下X的条件概率密度,
L
f (x1, x2,L , xn)dx2dx3L dxn,
(3.5)
fX1,X2 (x1, x2)
L
f (x1, x2,L , xn)dx3dx4L dxn.
(3.6)
定义2 若对于所有的实数x1,x2,…, xn有
F(x1, x2,L , xn) FX1 (x1)FX 2 (x2)L FXn (xn) (3.7) ，
随机变量的独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B 是相互独立的,当且仅当它们满足条件 P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.
设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},{Y≤y}为两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立, 相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).

概率论与数理统计3.2 边缘分布与独立性

p·
j
p2 j . . . pij . . . p· j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个是次品，每次从袋中任意抽取一个，抽取两次，定义随机变量X、Y如下
1, 第一次抽取的产品是正品 X 0, 第一次抽取的产品是次品
1, 第二次抽取的产品是正品 Y 0, 第二次抽取的产品是次品
2 R2 x2 , R x R 2 R 0y R 2 fY ( y ) R 0, 其它
1 2 f (0, 0) , f X (0) fY (0) 2 R R
因此， X与Y不独立。
随机变量的独立性
如果二维随机变量(X,Y)满足, 对任意x,y, 有
P( X x, Y y ) P ( X x ) P (Y y ) 即 F ( x, y ) FX ( x) FY ( y )
则称X与Y相互独立 .
连续型离散型
f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
1y 1 2dx ,0 y0 1,x 1 2 dx , 0 y fY ( y ) f ( x, y )dx 其它 0, 其它 0, 2( y2 y1), 0 1y 1 2 , 0 y , 0, 其它其它 0,
对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取； (2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。
(1) 有放回抽取
Y XY 0 X 0 4 0 1
(2) 无放回抽取
pi· 2/5 3/5 1
X X Y
01
1
Y 0 0 X
01 1
1pi·
46 6 25 25 25 25 69 9 1 6 25 25 25 25

边缘分布律

边缘分布律摘要：边缘分布律是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述多维随机变量中各个维度的分布情况。

本文将介绍边缘分布律的定义、性质以及应用，并举例说明其在实际问题中的应用。

1. 引言在概率论和统计学中，边缘分布律是研究多维随机变量的重要工具。

多维随机变量是指具有两个或更多维度的随机变量。

通过研究各个维度上的分布情况，我们可以更好地理解随机变量之间的关系以及它们对整体随机过程的影响。

2. 边缘分布律的定义设有一个二维随机变量(X,Y)，其边缘分布函数分别为F(x)和G(y)。

那么X的边缘分布律可以定义为P(X=x)，表示随机变量X等于x的概率。

类似地，Y的边缘分布律可以定义为P(Y=y)。

边缘分布律可以通过边缘分布函数来推导得到。

3. 边缘分布律的性质边缘分布律具有以下性质：(1) 非负性：边缘分布律是非负的，即P(X=x)和P(Y=y)大于等于零。

(2) 归一性：边缘分布律的和等于1，即∑P(X=x)=1和∑P(Y=y)=1。

(3) 独立性：如果X和Y是相互独立的，那么X的边缘分布律和Y的边缘分布律也是相互独立的。

这些性质使得边缘分布律成为研究多维随机变量的重要工具，可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。

4. 边缘分布律的应用边缘分布律在实际问题中有广泛的应用。

在金融领域中，我们经常需要分析多个金融指标之间的关系，如股票价格与利率之间的关系。

通过计算这些指标的边缘分布律，可以更好地理解它们各自的走势以及它们之间的相关性。

另一个应用领域是医学研究。

我们经常需要研究多种因素对人体健康的影响，如饮食习惯、运动量和遗传因素等。

通过分析这些因素的边缘分布律，可以更好地理解它们对健康状况的影响程度，从而为制定健康政策和预防措施提供科学依据。

此外，边缘分布律还可以应用于气候模拟、经济预测等领域。

通过分析多个变量的边缘分布律，可以为决策者提供更准确的信息，从而做出更合理的决策。

5. 示例应用为了更好地理解边缘分布律的应用，我们举一个简单的例子。

2.4边缘分布与独立性

已知(X,Y)的分布函数为例1.已知已知的分布函数为
1 − e − x − xe − y −y −y F ( x, y ) = 1 − e − ye 0
求FX(x)与FY(y)。与
1 − e − x 解：FX (x)=F(x,+∞)= 0
0≤ x≤ y 0≤ y≤ x 其它
如果按中国人的相应参数代入上式，即可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式.
∫ 6dy = 6( x − x
2
) 0≤ x≤1
x2
4、随机变量的相互独立性、
定义称随机变量X 与 Y 独立，如果对任意实数称随机变量 X 独立， a<b,c<d， a<b,c<d，有 P{a<X≤b,c<Y≤d}=P{a<X≤b}P{c<Y≤ P{a<X≤b,c<Y≤d}=P{a<X≤b}P{c<Y≤d} 量X与Y独立。独立。定理：随机变量X 定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y)
身高 = 脚印长度× 6.876
算出罪犯的身高. 这个公式是如何推导出来的?
设一个人身高为 X ,脚印长度为 Y . 显然，两者之间是有统计关系的，故应作为二维随机变量 ( X , Y )来研究. 由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故由中心极限定理知 ( X , Y ) 可以近似看 2 2 成服从二维正态分布 N(u1,σ1 , u2,σ2 ; ρ).
j =1
∑
关于Y的边缘分布律为(X, Y)关于的边缘分布律。关于的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布律的性质。

201432边缘分布条件分布及其独立性

+∞
∑ pij ,
j =1
i = 1,2,L
p⋅ j = P {Y = y j } = ∑ pij ,
i =1
+∞
j = 1,2,L
+∞
边缘分布函数为: FX ( x ) = F ( x ,+∞ ) =
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X
p⋅ j 13 24 11 24
Y
0
1
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例.设(X,Y)的密度函数为 2 1 x + xy 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 f ( x, y) = 3 其它 0 求：(1)(X,Y)的边缘分布密度函数; ( 2) P {Y < X }. 解 (1) f X ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy
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2. 离散型随机变量的边缘分布函数与边缘分布律若二维随机变量( X ,Y )的分布律为 : P { X = xi ,Y = y j } = pij 则关于X的边缘分布律为: pi ⋅ = P { X = xi } = 关于Y的边缘分布律为:
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x
+∞
y
+∞
关于Y的边缘概率密度为: d +∞ fY ( y ) = FY ( y ) = ∫ f ( x , y )dx −∞ dy ex1.设X取值0,1,2; Y取值0,1的二维随机变量(X,Y)的概率分布为 1 1 1 P (0, j ) = ( j = 0,1); P (1,0) = ; P (1,1) = ; 4 6 8 1 1 P ( 2,0) = ; P ( 2,1) = , 求边缘分布. 8 12 解: 将关于X与Y的联合概率分布列表如下：

边缘分布与独立性45页PPT

60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞罗
56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿
边缘分布与独立性
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。—— 毕达哥拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。 ——格老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。— —洛克
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地

3.2,3.4边缘分布及独立性

相互独立的充分必要条件是：对 (X ,所Y)有可能
的取值 ( x有i , y j )
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j} ,
即对所有的 (i, j)
pij pi p j
例2 设 ( X 的,Y联) 合分布律为
X Y 1 0 1
1 1 12 1 6 1 12
2 1 24 1 12 1 24
3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数
为F(x,y) FX ( x) P{X x} P{X x,Y }＝F ( x,)
FY ( y) P{Y y} P{ X ,Y y}＝F (, y)
将以上 FX和( x) 称F维Y (二y)维随机变量
f (x, y) fX (x) fY ( y) .
即对任何 x,都y 成立
1
21 2
1
2
exp{
2(1
1
2
)
[(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2]}
1 2
2
1
( x1 )2
e 212
1
( y2 )2
e 2
2 2
2 1
2 2
特别取 x 1, y 2 上式化为：
4 1 8 14 18
证明X与 Y分布 3
1 4
p1•
p•1
1 11
p12
6
3
2
p1•
p•2
类似可以验证：
对所有的 (i, j) pij pi p j 成立，所以 X与 Y分布相互立。
例3 已知
X Y 1 0 1
0 1/ 4 0 1/ 4

10-3 边缘分布与独立性

( X , Y )的分布律为：
P( X m, Y n) p 2 q n2 , q 1 p, n 2,3,, m 1, 2,n 1.
X 的边缘分布律为：P( X m)
n m 1

P( X m, Y n)
n m 1

p 2 q n2 pq m1 , m 1, 2,
x
同理：
f ( x, t )dx dt FY ( y) F (, y)
y

y

fY (t )dt
例1：对一群体的吸烟及健康状况进行调查，引入随机变量 0, 健康 0, 不吸烟 X 和Y 如下：X 1, 一般 , Y 10, 一天吸烟不多于15支 2, 不健康 20, 一天吸烟多于15支根据调查结果,得 X , Y 的如下的联合概率分布：
第三节边缘分布与随机变量的独立性
一、边缘分布二、条件分布三、独立性
一、边缘分布二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 F ( x, y), 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 F 记为：FX ( x)， Y ( y)，称为边缘分布函数。
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y)
X Y y1 x1 p11 x2 p21 … xi pi1
P Y y j
…
y2 … yj p12 … p 1j p22 … p 2j … pi2 … p ij
… P X x
i
p· 1
p· 2
… … p.j
… … … … … …
p1· p2·

…
…
pi · 1 …

二维边缘分布和相互独立性

6 xy 2 , 0 x 1, 0 y 1 又如例 2 中： f x, y 别处 0,
2 x, fX x 0
X 与 Y 相互独立。
0 x 1
别处
3 y 2 , fY y 0
0 y 1
别处
8 xy, 0 y x 1 又如例 3 中： f x, y 别处 0,
fX x

f x, y dy

当
当
x 0 或 x 1 时，f X x
f x, y dy 0 dy 0

0 x 1
时， f X
0
x f x, y dy
1 2 0 1
实际意义
在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述判别法当公式运用. 补充说明在X与Y是相互独立的前提下，由联合分布可求边缘分布；由边缘分布也可求联合分布！
F ( x, y) FX ( x) FY ( y)
例如：
P

0 1 P
问 , 为何值时，与相互独立？
解：
1 6
1 9
1 18
1 3

0 1 6 1 3 1 2
2 1 9
4 1 18
P 1 3 2 3
1 1 1 9 3 9

1 9

1 18
这时可验证与相互独立。
2 9 1 1 1 18 3 18 1 9
X x, Y
FY y P y PX , Y y F , y Y