2017届河北省武邑中学高三上学期第一次调研考试数学(理)试题
河北武邑中学2017届高三上学期期中考试理科数学试题 Word版含答案
理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}{}2,|20,,1,0,1,2U z A x x x x Z B ==--<∈=-，则图中阴影部分所表示的集合等于（ ）A ．{}12-，B ．{}1-，0C ．{}0，1D ．{}12， （2）设1z i =-（i 是虚数单位），若复数22z z+在复平面内对应的向量为OZ ，则向量OZ 的模是（ ）A ．1B ．．．2（3）已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ∀∈-+=，且0x ≥时，()x f x e m =+（m 为常数），则()ln 5f -的值为（ ） A ．4 B ．-4 C ．6 D ．-6（4）如图，在空间四边形(),,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（ ）A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGHB ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形 D ．若,,,EFGH 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形（5）已知正项数列{}n a 中，()2221211111,2,22,n n n n n n a a a a a n b a a -++===+≥=+，，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是（ ） A ．．C ．D ．3（6）如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（ ）A．(8π+ B．(9π+ C．(10π+ D．(8π+（7）已知实数,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，记z ax y =-（其中0a >）的最小值为()f a ．若()35f a ≥，则实数a 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（8）在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE等于（ ） A ．16 B ．29 C ．1318 D ．13（9）曲线()221f x x =-、直线2x =、3x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．ln 2 B ．ln 3 C ．2ln 2 D ．3ln2（10）已知边长为的菱形ABCD 中，060A ∠=，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120°，此时点,,,ABCD 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π （11）已知函数()f x 满足()14f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()f x kx =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．44ln 4,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]4ln 4,ln 4-- C ．4,ln 4e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．4,ln 4e⎛⎤-- ⎥⎝⎦（12）已知函数()()()0f x x ωϕω=+>的图像关于直线2x π=对称且()31,8f f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω可取数值的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ．（13）命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．（14）已知cos 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． （15）已知定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意的12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+成立．若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则12a b+的最小值为___________．（16）已知函数()()023x f x f e x '=-++，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x xy e=上，则PQ 的最小值为____________． 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立． （1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． （18）（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++．（1）求角A ；（2）若a =，求b c +的取值范围． （19）（本小题满分12分）在如图所示的三棱锥111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,,ABC D E 分别是11,BC A B 的中点．（1）求证：//DE 平面11ACC A ；（2）若01,,60AB BC AB BC ACB ⊥=∠=，求直线BC 与平面1AB C 所成角的正切值． （20）（本小题满分12分） 已知函数(),0x f x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆为正三角形，,,AB AD AC CD PC ⊥⊥==，平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）点E 在棱PC 上，试确定点E 的位置，使得PD ⊥平面ABE ； （2）求二面角A PD C --的余弦值． （22）（本小题满分12分）已知()[)sin cos ,0,f x x x x =-∈+∞．（1）证明：()2sin 12x x f x -≥-；（2）证明：当1a ≥时，()2ax f x e ≤-．参考答案一、选择题二、填空题13. ( 14． 13± 15．9 16 三、解答题 17．解：（1）在324n n a S =+中令1n =得18a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因为对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立，所以11324n n a S ++=+，所以()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．．．．．．．．．．．10分18．解：（1）根据正弦定理可得1b ca c a b+=++，即()()()()b a b c a c a b a c +++=++，即222b c a bc +-=，根据余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=．．．．．．6分 （2）根据正弦定理8sin sin sin b c aB C A===，所以8sin ,c 8sinC b B ==，．．．．．．．．．．．．．．．7分又23B C π+=，所以218sin 8sin 8sin sin 32b c B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭318sin cos 226B B B B B π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，．．．．．．．．．．．．9分因为203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以6B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即b c +的取值范围是(．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（1）取AB 的中点F ，连接,DF EF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 在ABC ∆中，因为,D F 分别为,BC AB 的中点，所以//,DF AC DF ⊄平面11,ACC A AC ⊂平面11ACC A ， 所以//DF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 在矩形11ABB A 中，因为,F E 分别为11,A B AB 的中点，所以1//,EF AA EF ⊄平面 111,ACC A AA ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．4分 因为DF EF F = ，所以平面//DEF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BC BB ⊥，又1,AB BC AB BB B ⊥= ，所以BC ⊥平面11ABB A ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 因为11,AB BC BB BB ==，所以11AB CB =， 又0160ACB ∠=，所以1AB C ∆为正三角形，所以1AB AC ===，所以1BB AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分取1AB 的中点O ，连接,BO CO ，所以11,AB BO AB CO ⊥⊥，所以1AB ⊥平面BCO ， 所以平面1AB C ⊥平面BCO ，点B 在平面1AB C 上的射影在CO 上， 所以BCO ∠即为直线BC 与平面1AB C 所成角．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分在Rt BCO ∆中，BO AB ==，所以tan BO BCO BC ∠==．．．．．．．．12分 （若用空间向量处理，请相应给分）20．解：（1）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()x f x e a '=-， 令()0f x '>，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是()ln ,a +∞；令()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(),ln a -∞，函数()f x 在ln x a =处取极小值，()()()ln ln ln ln a g a f x f a e a a a a a ===-=-极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ()()11ln ln g a a a '=-+=-，当01a <<时，()()0,g a g a '>在()0,1上单调递增；当1a >时，()()0,g a g a '<在()1,+∞上单调递减，所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点，也是最大值点，所以()()max 11g a g ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）当0x ≤时，0,0xa e ax >-≥恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即x e a x≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()()()()221,0,,xx x x e x e e x e h x x h x x x x--'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201e f f a f e e e =<≤=-， 即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：∵PC ==，∴PA AC ⊥；又∵PAC ABCD PAC ABCD AC ⊥⎧⎨=⎩平面平面平面平面，∴PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥，以A 为坐标原点，射线,,AB AD AP 分别为,,z x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设2PA =，则()()()2,0,0,,0,0,2B C D P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．2分 （1）()2,0,020AB PD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故PD AB ⊥；设AE AP PC λ=+ ，若AE PD ⊥，则0AE PD = ，即0AP PD PC PD λ+=，即480λ-+=，即12λ=，即当E 为PC 的中点时，AE PD ⊥， 则PD ⊥平面ABE ，所以当E 为PC 的中点时PD ⊥平面ABE ．．．．．．．．．．．．6分 （2）设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =，()2,2PC PD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则0n PC = 且0n PD =，即20x z -=20y z -=，令y =，则2,1z x ==，则()2n =，再取平面PAD 的一个法向量为()1,0,0m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分则cos ,n m n m n m == ， 故二面角A PD C --．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）不等式()2sin 12x x f x -≥-，即不等式2cos 12x x ≥-．．．．．．．．．．1分设()2cos 12x g x x =+-，则()[)sin ,0,g x x x x '=-+∈+∞．．．．．．．．．．．．．．2分 再次构造函数()sin h x x x =-+，则()cos 10h x x '=-+≥在[)0,x ∈+∞时恒成立，所以函数()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，所以()0g x '≥在[)0,+∞上恒成立，所以函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以2cos 102x x +-≥，所以2cos 12x x ≥-，即()2sin 12x x f x -≥-成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）的解析可知，当[)0,x ∈+∞时，sin x x ≤且2cos 12x x ≥-，所以()2sin cos 12x f x x x x ⎛⎫=-≤-- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 当2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭对[)0,x ∈+∞恒成立时，不等式()2ax f x e ≤-恒成立， 不等式2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭，即不等式2102ax x e x ---≥对[)0,x ∈+∞恒成立．．．．．．．．．．．．8分构造函数()212xx M x e x =---，则()1x M x e x '=--，令()1x m x e x =--， 则()1x m x e '=-，当[)0,x ∈+∞时，()0m x '≥，故()m x 在[)0,+∞上单调递增， 所以()()00m x m ≥=，故()0M x '≥，即()M x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00M x M ≥=， 故2102xx e x ---≥恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故当1a ≥时，2211022axx x x e x e x ---≥---≥， 即当1a ≥时，不等式()2ax f x e ≤- 恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
河北省武邑中学2017-2018学年高三上学期第一次调研考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|0log 2A x x =<<，{}|32,xB y y x R ==+∈，则AB =（ ）A ．()1,4B ．()2,4C ．()1,2D ．()1,+∞2.设全集U R =，{}(2)|21x x A x -=<，{}|ln(1)B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}|12x x ≤<B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x ≥3.函数20.4log (34)y x x =-++的值域是（ ） A ．(]0,2-B ．[)2,-+∞C ．(],2-∞-D ．[)2,+∞4.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图象为（ ）5.函数22lg2x y x x -=+的图象（ ） A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线1x =对称D ．关于y 轴对称6.幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调递增区间是（ ） A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．(),-∞+∞D ．(),0-∞7.若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，2(log 3)a f =，4(log 5)b f =，32(2)c f =，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则函数()()1g x f x =+的零点的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足10'()xf x -≤，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +> B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +<D ．(0)(2)2(1)f f f +≥10.已知函数(2),2,()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11.若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．(0,1)D ．()1,+∞12.设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间(]1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)(7,)9+∞ B ．1(,1)(1,3)9C ．11(,)(3,7)95D ．11(,)(5,3)73第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合{}2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B 的真子集的个数为 ．14.已知函数1()xf x e =，则函数()f x 与直线y x =-平行的切线方程为 ． 15.若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，则k 的取值范围是 ．16.设函数10()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,，2()(1)x x g x f x e =-，则函数()g x 的递增区间是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A，函数()g x =的定义域为集合B ．（1）求AB ；（2）若{}|121C x m x m =-<<+，C B ⊆，求实数m 的取值范围．18.若二次函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c R ∈）满足(1)()41f x f x x +-=+，且(0)3f =．（1）求()f x 的解析式；（2）设()g x (2)x f =，求()g x 在[]3,0-的最大值与最小值．19.设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)． （1）确定a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．20.水库的储水量随时间而变化，现用t 表示事件，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为：21(1551)50,09()2404(9)(341)50,912.t t t e t v t t t t ⎧-+-+<≤⎪=⎨⎪--+<≤⎩（1）该水库的储水量小于50的时期称为枯水期，问：一年内那几个月份是枯水期？ （2）求一年内该水库的最大储水量．4.6计算．3e 的值为20计算）21.已知函数2()()x f x ax x e =+，其中e 是自然数的底数，a R ∈． （1）当0a <时，解不等式()0f x >；（2）若0a >，试判断()f x 在()1,1-上是否有最大或最小值，说明你的理由． 22.已知函数()(1)x f x x e -=+（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()'()x x xf x tf x e ϕ-=++，存在1x ，[]20,1x ∈，使得成立122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围．河北武邑中学2016—2017学年高三年级第一次调研考试数学试题（理科）答案一、选择题二、填空题13.15 14.10x y +-= 15.1a ≥或0a ≤ 16.(],0-∞，[]1,2 三、解答题17.解：（1）要使函数()f x 有意义，则220x x -->，解得2x >或1x <-，即{}|21A x x x =><-或．则2,13,213,m m m >-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得21m -<≤． 综上，1m ≤，即实数m 的取值范围是(],1-∞．18.解：（1）由(0)3f =，得3c =， ∴2()3f x ax bx =++． 又(1)()41f x f x x +-=+，∴22(1)(1)3(3)41a x b x ax bx x ++++-++=+， 即241ax a b x ++=+， ∴24,1,a a b =⎧⎨+=⎩∴2,1.a b =⎧⎨=-⎩∴2()23f x x x =-+．（2）2()(2)2223x x x g x f ==⋅-+， 令2xt =，1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，14t =时，max max ()()4g x h t ==． 19.解：（1）因为2()(5)6ln f x a x x =-+， 故6'()2(5)f x a x x=-+． 令1x =，得(1)16f a =，'(1)68f a =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为16(68)(1)y a a x -=--， 由点(0,6)在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =． （2）由（1）知，21()(5)6ln 2f x x x =-+（0x >）， 6'()5f x x x =-+(2)(3)x x x--=．令'()0f x =，解得12x =，23x =．当02x <<或3x >时，'()0f x >，故()f x 的递增区间是()0,2，()3,+∞； 当23x <<时，'()0f x <，故()f x 的递减区间是()2,3． 由此可知()f x 在2x =处取得极大值9(2)6ln 22f =+，在3x =处取得极小值(3)26ln 3f =+． 20.解：（1）当09t <≤时，21()(1551)5050240t v t t t e =-+-+<，即215510t t -+>．解得t >或t <从而0 5.2t <<≈． 当912t <≤时，()(9)(341)5050v t t t =--+<， 即(9)(341)0t t --<，解得4193t <<，所以912t <≤． 综上，0 5.2t <<或912t <≤，枯水期,1,2,3,4,5,10,11,12月． （2）由（1）知，水库的最大蓄水量只能在6-9月份．21'()(1336)240t v t t t e =-+-1(4)(9)240te t t =---， 令'()0v t =，解得9t =或4t =（舍）， 又当()6,9t ∈时，'()0v t >，()v t 递增； 当()9,10t ∈时，'()0v t <，()v t 递减． 所以，当9t =时，()v t 的最大值91(9)350150240v e =⨯⨯+=（亿立方米）， 故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．21.解：（1）因为0xe >，所以不等式()0f x >即为20ax x +>， 又因为0a <，所以不等式可化为1()0x x a+<， 所以不等式()0f x >的解集为1(0,)a-．（2）22'()(21)()(21)1x x xf x ax e ax x e ax a x e ⎡⎤=+++=+++⎣⎦，令2()(21)1g x ax a x =+++， 图象对称轴为2111122a x a a+=-=--<-． 因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()g x 在()1,1-内有零点，记为0x ， 在0(1,)x -上'()0g x <，()g x 递减，在0(,1)x 上'()0g x >，()g x 递增，()f x 在(1,1)-上有最小值，无最大值．22.解：（1）∵函数的定义域为R ，'()x xf x e=-， ∴当0x <时，'()0f x >；当0x >时，'()0f x <， ∴()f x 在(),0-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．（2）假设存在1x ，[]20,1x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，则[][]min max 2()()x x ϕϕ<． ∵2(1)1()()'()xxx t x x xf x tf x eeϕ-+-+=++=， ∴2(1)()(1)'()x xx t x t x t x x e e ϕ-+++--==-．①当1t ≥时，'()0x ϕ≤，()x ϕ在[]0,1上单调递减， 所以2(1)(0)ϕϕ<，就312et >->； ②0t ≤时，'()0x ϕ>，()x ϕ在[]0,1上单调递增， 所以2(0)(1)ϕϕ<，即320t e <-<；③01t <<时，在[)0,x t ∈，'()0x ϕ<，()x ϕ在[]0,t 上单调递减，在(],1x t ∈，'()0x ϕ>，()x ϕ在[],1t 上单调递增．所以{}2()max (0),(1)t ϕϕϕ<，即132max 1,3t t t e +-⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（*） 由（1）知，1()2t t g t e +=在[]0,1上单调递减，故4122tt e e +≤≤， 而233t e e e-<<，所以不等式（*）无解． 综上所述，存在(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞，使得成立．。
2017年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={x|x≥k}，B={x|＜1}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．123．在等差数列{a n}中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（）A．﹣5 B．C．D．4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．5．将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数为（）A．120 B．150 C．35 D．556．若不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，则实数t的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3]C．[2，3） D．（2，3）7．在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．8．如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（）A．B．64﹣16π C．D．9．如图：M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|x N ﹣x M|，则S（m）图象大致是（）A．B．C．D．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是（）A．﹣20 B．20 C．﹣540 D．54011．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆（x ﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8]D．[8，12]12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD'上运动，则异面直线CP与BA'所成的角θ的取值范围是．15．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{a n}（即项数是无穷项），我们定义S n（其中S n是数列{a n}的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=S n=，则循环小数0.的分数形式是．16．对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=sinx；③f（x）=；④f（x）=其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有（写出所有正确的序号）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．18．某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20．已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆C1交于A，B两点，且点A的坐标为，点P是椭圆C1上的任意一点，点Q满足，．（1）求椭圆C1的方程；（2）求点Q的轨迹方程；（3）当A，B，Q三点不共线时，求△ABQ面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a∈（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证e＞n!（n≥2，n∈N）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与CE的延长线交于点B，且AD=DE，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=2，BC=4时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．2017年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={x|x≥k}，B={x|＜1}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合A，B；再由A⊆B可求得实数k的取值范围．【解答】解：B={x|＜1}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），A={x|x≥k}=[k，+∞），又∵A⊆B，∴k＞2；故选C．2．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的实部与虚部相等，求解a即可．【解答】解：复数z===．由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，解得a=3．故选：A．3．在等差数列{a n}中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（）A．﹣5 B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组代入等差数列的通项公式可求．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=1，a8=2a6+a4，∴a1+d=1，a1+7d=2（a1+5d）+a1+3d联立解得a1=，d=﹣，∴a5=a1+4d=+4（﹣）=故选：B4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=a，再由离心率公式及a，b，c 的关系，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故选A．5．将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数为（）A．120 B．150 C．35 D．55【考点】计数原理的应用．【分析】6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，分两类，青岛安排3人，济南安排3人或青岛安排4人，济南安排2人，根据分类计数原理可得答案．【解答】解：6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，分两类，第一类，青岛安排3人，济南安排3人，有C63=20种，第二类，青岛安排4人，济南安排2人，有C64=15种，根据分类计数原理可得20+5=35种．故选：C．6．若不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，则实数t的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3]C．[2，3） D．（2，3）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出不等式|x﹣t|＜1的解集，再根据充分条件的定义，建立关于t 的不等式组，解之从而确定t的取值范围．【解答】解：不等式|x﹣t|＜1，则t﹣1＜x＜t+1，∵不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，∴，解得2≤t≤3故选：A7．在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分，面积为2+=∴满足y≥x2﹣1的概率是=．故选：D．8．如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（）A．B．64﹣16π C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，分别求出体积，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，由正方体的棱长为4，故正方体的体积为：4×4×4=64，圆锥的体积为：2×=，故这个几何体的体积为64﹣，故选：C．9．如图：M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|x N ﹣x M|，则S（m）图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】从已知条件及所给函数的图象出发，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故x N﹣x M=，则在一个周期内S=|x N﹣x M|=常数，只有C符合．【解答】解：由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故x N﹣x M=，则在一个周期内S=|x N﹣x M|=常数，只有C符合，故选：C．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是（）A．﹣20 B．20 C．﹣540 D．540【考点】程序框图．【分析】首先，根据程序框图的运算结果，得到参数b的值，然后根据二项式展开式，写出通项公式，然后，确定其展开式的常数项．【解答】解：根据程序框图，得初始值：a=1，b=1，第一次循环：b=3，a=2第二次循环：b=5，a=3，第三次循环：b=7，a=4第四次循环：b=9，a=5，∵a=5＞4，跳出循环，输出b=9，∴二项式（﹣）6的可以化为：，=T r+1=36﹣r（﹣1）r•x3﹣r令3﹣r=0，得r=3，∴展开式中的常数项是33••（﹣1）3=﹣540，故选：C．11．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆（x ﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8]D．[8，12]【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可得|AF|=x A+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈（2，6）∴6+x B∈（8，12）故选B．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g （m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件，可得出在方向上的投影为，从而求出投影的值．【解答】解：根据条件，在方向上的投影为：．故答案为：．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD'上运动，则异面直线CP与BA'所成的角θ的取值范围是．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由A'B∥D'C，得CP与A'B成角可化为CP与D'C成角，由此能求出异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围．【解答】解：∵A'B∥D'C，∴CP与A'B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD'C是正三角形可知当P与A重合时成角为，∵P不能与D'重合因为此时D'C与A'B平行而不是异面直线，∴．故答案为：．15．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{a n}（即项数是无穷项），我们定义S n（其中S n是数列{a n}的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=S n=，则循环小数0.的分数形式是．【考点】数列的极限．【分析】利用S=S n=，即可求出循环小数0.的分数形式．【解答】解：0.= + +…+==，故答案为：．16．对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=sinx；③f（x）=；④f（x）=其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有①③④（写出所有正确的序号）．【考点】函数恒成立问题．【分析】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论．【解答】解：函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[﹣1，1]，满足﹣1≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2﹣y2=1在第一象限的部分，其渐近线为y=x，满足x﹣1≤f（x）≤x，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．故满足题意的有①③④．故答案为①③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．【考点】简单线性规划；二倍角的余弦．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式化简，求出A，然后利用余弦定理求得BC的长；（2）利用三角形的面积相等用x，y表示d，然后利用线性规划知识求得d的取值范围．【解答】解：（1）∵cos2A+2sin2=1，∴1﹣2sin2A+2sin2=1，∴sinA=，即A=，∴3A=π，A=．由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=22+12﹣2×2×1×cos=3，∴BC=；（2）由（1）知，△ABC为以C为直角的直角三角形，如图，设P到AB的距离为m，由等积法可得：，得．∴，化目标函数为，由题意得：d在P与C点重合时最小，为；当直线过点B（0，）时d有最大值为．∴d的取值范围为[]．18．某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）众数：8.6；中位数：．（2）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=+．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B，P（ξ）=，（k=0，1，2，3）．即可得出．【解答】解：（1）众数：8.6；中位数：=8.75．（2）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=+=．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B，P（ξ）=，（k=0，1，2，3）．∴E（ξ）==0.75．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA ∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）∴cos＜，由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．20．已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆C1交于A，B两点，且点A的坐标为，点P是椭圆C1上的任意一点，点Q满足，．（1）求椭圆C1的方程；（2）求点Q的轨迹方程；（3）当A，B，Q三点不共线时，求△ABQ面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用双曲线的标准方程及其性质与椭圆的定义、标准方程及其性质即可得出．（2）利用椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、数量积运算性质可得点P坐标，代入椭圆C1方程即可得出．（3）点Q（x，y）到直线AB：的距离为．△ABQ的面积为=．利用基本不等式的性质可得最大值．再与椭圆的标准方程联立即可得出．【解答】解：（1）∵双曲线的顶点为，，∴椭圆C1两焦点分别为，．设椭圆C1方程为，∵椭圆C1过点，∴2a=|AF1|+|AF2|=4，得a=2．∴．∴椭圆C1的方程为．（2）设点Q（x，y），点P（x1，y1），由及椭圆C1关于原点对称可得，∴，，，．由，得，即．①同理，由，得．②①×②得．③由于点P在椭圆C1上，则，得，代入③式得．当时，有2x2+y2=5，当，则点或，此时点Q对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程2x2+y2=5，∴点Q的轨迹方程为2x2+y2=5．（3）点Q（x，y）到直线AB：的距离为．△ABQ的面积为=．而（当且仅当时等号成立），∴．当且仅当时，等号成立．由解得或，∴△ABQ的面积最大值为，此时，点Q的坐标为或．21．已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a∈（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证e＞n!（n≥2，n∈N）【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x）﹣，定义域解得x＞﹣2，f′（x）=﹣=，即有（﹣2，2）递减，（2，+∞）递增，故f（x）的极小值为f（2）=ln2﹣1，没有极大值．（2）f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0），x＞﹣，f′（x）=﹣=由于＜a＜1，则a（1﹣a）∈（0，），﹣＜﹣ax2﹣4（1﹣a）=0，解得x=±，f（x1）+f（x2）=ln[1+2]+ln[1﹣2]﹣﹣即f（x1）+f（x2）=ln[（1﹣2a）2]+=ln[（1﹣2a）2]+﹣2设t=2a﹣1，当＜a＜1，0＜t＜1，则设f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+﹣2，当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，g′（t）=﹣=＜0g（t）在0＜t＜1上递减，g（t）＞g（1）=0，即f（x1）+f（x2）＞f（0）=0恒成立，综上述f（x1）+f（x2）＞f（0）；（3）证明：当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，即有1＞ln2，2＞ln3，3＞ln4，…，n﹣1＞lnn，即有1+2+3+…+（n﹣1）＞ln2+ln3+ln4+…+lnn=ln（2×3×4×…×n）=ln（n!），则＞ln（n!），故e＞n!（n≥2，n∈N）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与CE的延长线交于点B，且AD=DE，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=2，BC=4时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据圆内接四边形的性质证出∠BDE=∠BCA且∠DBE=∠CBA，可得△BDE∽△BCA，从而得到AB：AC=BE：DE，结合AB=2AC、AD=DE可得BE=2AD；（II）根据切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，代入数据得到关于AD的方程，解之可得AD=．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ACED为圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，则．∵AB=2AC，∴BE=2DE，结合AD=DE，可得BE=2AD．（II）根据题意，AB=2AC=4，由切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•4，可得（4﹣AD）•4=2AD•4，解得AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把变形，得到ρ=ρcosθ+2，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；（Ⅱ）由（t为参数），消去t得到曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，把|M1M2|的最小值转化为M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），然后由点到直线的距离公式结合配方法求解．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M1M2|的最小值为．[选修4-5不等式选讲]24．已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式求最值，即可求a的值；（Ⅱ）作差，利用基本不等式证明结论．【解答】（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|∵对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，∴a=3；（Ⅱ）证明：2m+﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+，∵m＞n＞0，∴（m﹣n）+（m﹣n）+≥3=3，∴2m+﹣2n≥3，即2m+≥2n+a．2017年4月15日。
河北省武邑中学高三数学上学期第一次调研考试试题 文
河北省武邑中学2017届高三数学上学期第一次调研考试试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知函数log (2)a y ax =-在区间[]0,1上是x 的减函数，则a 的范围是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()0,2D ．()2,+∞2.已知01a <<，log log aa x =1log 52a y =，log log a a z =，则（ ） A ．x y z >> B ．z y x >> C ．y x z >> D ．z x y >>3.如图给出了一种植物生长时间t （月）与支数y （枝）之间的散点图．请你根据此判断这种植物生长的时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？（ ）A ．指数函数2t y =B ．对数函数2log y t =C ．幂函数3y t =D ．二次函数22y t = 4.若0.52a =，log 3b π=，22log sin5c π=，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>5.根据统计资料，我国能源生产自1992年以来发展很快，下面是我国能源生产总量（折合亿吨标准煤）的几个统计数据：1992年8.6亿吨，5年后的1997年10.4亿吨，10年后的2002年12.9亿吨．有关专家预测，到2007年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是依据下列哪一类函数作为数学模型进行预测的（ ）A ．一次函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数6.函数23x y -=的值域是（ ）A ．()0,+∞B ．(],0-∞C ．(]0,1D ．[)1,0-7.已知集合{}2|log ,1A y y x x ==>，1|(),12xB y y x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（ ）A ．1|02y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．{}|01y y << C ．1|12y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D ．∅8.已知122006log ()4a x x x ⋅=…，则222122006log log log a a a x x x +++…的值是（ ）A ．4B ．8C ．2D ．log 4a9.函数1lg 1y x =-的图象大致是（ ）10.已知(3)4,1,()log ,1,a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(),3-∞C ．3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．()1,311.已知集合{}2|log ,1A y y x x ==>，1|(),012x B y y x ⎧⎫==<<⎨⎬⎩⎭，则A B 为（ ）A ．1(0,)2 B ．1(,)2+∞ C ．1(,1)2 D ．()0,212.3()(2)()F x x x f x =-（0x ≠）是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x 为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数或偶函数D ．非奇非偶函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将23( 1.8)-，232，13(2)-由大到小排列为 ．14.已知函数2322()log 1x bx cf x x ++=+的值域为[]0,1，则b 与c 的和为 ．15.方程13313xx -+=+的解是 ．16.方程1139x -=的解是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，求xy 的值．18.试讨论函数1()log 1a xf x x +=-（0a >且1a ≠）在()1,+∞上的单调性，并予以证明．19.已知函数2322()log 1x bx cf x x ++=+的值域为[]0,1，求b 和c 的值．20.设124()lg 3x x af x ++=，且当(],1x ∈-∞时()f x 有意义，求实数a 的取值范围．21.解不等式log (25)log (1)a a x x ->-．22.设a ，b 为方程264=0x x -+的两根，且a b >．（1）证明：0a >，0b >；（2的值．河北武邑中学2016—2017学年高三年级第一次调研试题数学试题（文）答案一、选择题二、填空题 13.2213332( 1.8)(2)>->- 14.4或0 15.1- 16.1x =-三、解答题17.解：由已知得2(2)xy x y =-，即()(4)0x y x y --=，得x y =或4x y =， ∵0x >，0y >，20x y ->，∴20x y >>．∴x y =应舍去，∴4x y =，即4xy =．∴44xy ==．18.解：设11xu x +=-，任取211x x >>，则21211221212111(1)(1)(1)(1)11(1)(1)x x x x x x u u x x x x +++--+--=-=----12212()(1)(1)x x x x -=--，当1a >时，log a y x =是增函数，∴21log log a a u u <，即21()()f x f x <；当01a <<时，函数log a y x =是减函数，∴21log log a a u u >，即21()()f x f x >．综上可知，当1a >时，1()log 1a xf x x +=-在()1,+∞上为减函数；当01a <<时，1()log 1a xf x x +=-在(1,)+∞上为增函数．19.解：因为()f x 的值域为[]0,1， 即23220log 11x bx c x ++≤≤+，所以222221,1231x bx c x x bx c x ⎧++≥⎪⎪+⎨++⎪≤⎪+⎩即2210,30,x bx c x bx c ⎧++-≥⎪⎨-+-≥⎪⎩21224(1)0,4(3)0,b c b c ⎧∆=--≥⎪⎨∆=--≥⎪⎩当且仅当120,0∆=⎧⎨∆=⎩时，222011x bx c x ++≤≤+取等号． 解方程组可得2,2b c =⎧⎨=⎩或2,2.b c =-⎧⎨=⎩20．解：欲使(),1x ∈-∞时，()f x 有意义，需1240x xa ++>恒成立，也就是11()()24x x a ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦（1x ≤）恒成立． ∵11()()()24x x u x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦在(),1-∞上是增函数，∴当1x =时，[]max 3()4u x =-． 于是可知，当34a >-时，满足题意，即a 的取值范围为3(,)4-+∞．21.解：当1a >时，原不等式等价于250,10,251,x x x x ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得4x >．当01a <<时，原不等式等价于250,10,251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得542x <<．综上，当1a >时，原不等式的解集为{}|4x x >；当01a <<时，原不等式的解集为5|42x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．22.（1）证明：由题意得40ab =>，则a ，b 的符号相同．又60a b +=>，则0a >，0b >．（2）解：由（1）得0a b >>0>0>．又215====，==。
河北省武邑中学2017届高三上学期周考(11.20)数学理试题 Word版含答案
数学（理）周测第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}22A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为（ ）A ．[]12，B ．()12，C ．(12]，D ．[12)，2.已知i 是虚数单位，复数Z 的共轭复数与复平面内的点()21，对应，则复数12iZ-对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A φ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数且图象关于直线2x π=对称 B ．偶函数且图象关于点()0π，对称C.奇函数且图象关于点02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D ．偶函数且图象关于点02π⎛⎫⎪⎝⎭，对称5.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）A ．B ． C. D ．6.若正实数x ，y ，满足115x y x y+++=，则x y +的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C. 4 D ．5 7.方程()2ln 10x x+-=，()0x >的根存在的大致区间是（ ） A ．()01，B ．()12， C.()2e ， D ．()34， 8.若x ，y 满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩且2z ax y =+仅在点()10，处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．()12-，B ．()24-， C.(40]-， D ．()42-，9.已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上，满足20OA AB AC ++=（其中O 为坐标原点），又AB OA =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为（ ）A ．12 B ．1 C.1- D ．12- 10.如图，在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN AM ⊥，若AB =）A ．12π B．． 11.利若直角坐标平面内的两不同点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称。
河北省武邑中学高三数学上学期第一次调研考试试题 文
河北省武邑中学2017届高三数学上学期第一次调研考试试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知函数log (2)a y ax =-在区间[]0,1上是x 的减函数，则a 的范围是（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()0,2D ．()2,+∞2.已知01a <<，log 2log 3a a x =+，1log 52a y =，log 21log 3a a z =-，则（ ）A ．x y z >>B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>3.如图给出了一种植物生长时间t （月）与支数y （枝）之间的散点图．请你根据此判断这种植物生长的时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？（ ）A ．指数函数2ty = B ．对数函数2log y t = C ．幂函数3y t =D ．二次函数22y t =4.若0.52a =，log 3b π=，22log sin5c π=，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>5.根据统计资料，我国能源生产自1992年以来发展很快，下面是我国能源生产总量（折合亿吨标准煤）的几个统计数据：1992年8.6亿吨，5年后的1997年10.4亿吨，10年后的2002年12.9亿吨．有关专家预测，到2007年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是依据下列哪一类函数作为数学模型进行预测的（ ）A ．一次函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数 6.函数23x y -=的值域是（ ） A ．()0,+∞B ．(],0-∞C ．(]0,1D ．[)1,0-7.已知集合{}2|log ,1A y y x x ==>，1|(),12xB y y x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭，则A B I 等于（ ）A ．1|02y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．{}|01y y <<C ．1|12y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．∅8.已知122006log ()4a x x x ⋅=…，则222122006log log log a a a x x x +++…的值是（ ）A ．4B ．8C ．2D ．log 4a9.函数1lg1y x =-的图象大致是（ ）10.已知(3)4,1,()log ,1,aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(),3-∞C ．3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,311.已知集合{}2|log ,1A y y x x ==>，1|(),012xB y y x ⎧⎫==<<⎨⎬⎩⎭，则A B I 为（ ）A ．1(0,)2B ．1(,)2+∞C ．1(,1)2D ．()0,212.3()(2)()F x x x f x =-（0x ≠）是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x 为（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数或偶函数D ．非奇非偶函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.将23( 1.8)-，232，13(2)-由大到小排列为 ．14.已知函数2322()log 1x bx cf x x ++=+的值域为[]0,1，则b 与c 的和为 ．15.方程13313xx-+=+的解是 ． 16.方程1139x -=的解是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，求xy的值． 18.试讨论函数1()log 1axf x x +=-（0a >且1a ≠）在()1,+∞上的单调性，并予以证明． 19.已知函数2322()log 1x bx cf x x ++=+的值域为[]0,1，求b 和c 的值．20.设124()lg 3x x af x ++=，且当(],1x ∈-∞时()f x 有意义，求实数a 的取值范围．21.解不等式log (25)log (1)a a x x ->-．22.设a ，b 为方程264=0x x -+的两根，且a b >． （1）证明：0a >，0b >；（2的值．河北武邑中学2016—2017学年高三年级第一次调研试题数学试题（文）答案一、选择题二、填空题13.221 333 2( 1.8)(2)>->- 14.4或0 15.1- 16.1x=-三、解答题17.解：由已知得2(2)xy x y=-，即()(4)0x y x y--=，得x y=或4x y=，∵0x>，0y>，20x y->，∴20x y>>．∴x y=应舍去，∴4x y=，即4xy=．∴22log log44xy==．18.解：设11xux+=-，任取211x x>>，则21211221212111(1)(1)(1)(1)11(1)(1)x x x x x xu ux x x x+++--+--=-=----12212()(1)(1)x xx x-=--，当1a>时，logay x=是增函数，∴21log loga au u<，即21()()f x f x<；当01a<<时，函数logay x=是减函数，∴21log loga au u>，即21()()f x f x>．综上可知，当1a>时，1()log1axf xx+=-在()1,+∞上为减函数；当01a<<时，1()log1axf xx+=-在(1,)+∞上为增函数．19.解：因为()f x的值域为[]0,1，即23220log11x bx cx++≤≤+，所以222221,1231x bx cxx bx cx⎧++≥⎪⎪+⎨++⎪≤⎪+⎩即2210,30,x bx cx bx c⎧++-≥⎪⎨-+-≥⎪⎩21224(1)0,4(3)0,b c b c ⎧∆=--≥⎪⎨∆=--≥⎪⎩当且仅当120,0∆=⎧⎨∆=⎩时，222011x bx c x ++≤≤+取等号． 解方程组可得2,2b c =⎧⎨=⎩或2,2.b c =-⎧⎨=⎩20．解：欲使(),1x ∈-∞时，()f x 有意义，需1240x xa ++>恒成立，也就是11()()24xx a ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦（1x ≤）恒成立．∵11()()()24xx u x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦在(),1-∞上是增函数，∴当1x =时，[]max 3()4u x =-． 于是可知，当34a >-时，满足题意，即a 的取值范围为3(,)4-+∞． 21.解：当1a >时，原不等式等价于250,10,251,x x x x ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得4x >．当01a <<时，原不等式等价于250,10,251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得542x <<．综上，当1a >时，原不等式的解集为{}|4x x >； 当01a <<时，原不等式的解集为5|42x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 22.（1）证明：由题意得40ab =>，则a ，b 的符号相同． 又60a b +=>，则0a >，0b >．（2）解：由（1）得0a b >>0>0>．又215====，==。
2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学(理)试卷
2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学(理)试卷考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上1．已知集合3(1)|0x M x x ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭，{}2|13,N y y x x R ==-∈，则()R M N ð等于（ ）A ．∅B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x >D ．{}|10x x x <≤或 2．函数()(3)xf x x e =-的单调递减区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()0,3C ．()1,4D ．()2,+∞3．若log (2)a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()0,2 D ．[)2,+∞4．设函数()f x 对任意x ，y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(2)4f =，则(1)f -等于（ ）A ．2-B ．12C ．12-D ．25．在命题：①112x y -=的值域是()0,+∞；②y =的值域为[]0,1；③y x =[)3,-+∞；④y x =⎡⎣，其中错误的命题的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．函数244,1()43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数1,,()22(1),,x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩若0x A ∈，且[]0()f f x A ∈，则0x 的取值范围是（ ）A ．1(0,]4B ．11(,)42C ．11(,]42 D ．30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知()f x 是定义在R 上以2为周期的奇函数，当01x <<时，()lg f x x =，设6()5a f =，3()2b f =，5()2c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<9．已知函数2()lg(f x x x =+，若()f a M =，则()f a -等于（ ）A ．22a M - B ．22M a - C ．22M a - D ．22a M -10．产品生产件数x 与生产总成本y （万元）之间有函数关系20.16300y x x =-+，若每件产品成本平均不超过7万元，且每件产品用料6吨．现有库存原料30吨，旺季可进料900吨，旺季最高产量是（ ） A ．150件 B ．155件 C ．200件 D ．100件11．已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式应为（ ）A ．()ln xf x e x = B ．()ln(||)xf x ex -=C ．()ln(||)x f x e x =D ．||()ln(||)x f x e x = 12．若对正常数m 和任意实数x ，等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为2mB ．函数()f x 是奇函数，但不是周期函数C ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为4mD ．函数()f x 是偶函数，但不是周期函数13．函数y =的定义域是 ．14．函数()2xf x x=-，(0,2)(2,)x ∈+∞ 的值域是 ． 15．用{}min ,a b 表示a ，b 两数中的最小值，若函数{}()min ||,|2|f x x x =-的递增区间为 ．16．函数()f x 的定义域为A ，若1x ，2x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()21f x x =+（x R ∈）是单函数．下列命题： ①函数2()f x x =（x R ∈）是单函数；②若()f x 为单函数，1x ，2x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若f ：A B →为单函数，则对于任意b B ∈，A 中至多有一个元素与之对应； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）17．已知函数()2x f x =18．函数9()log (8)a f x x x=+-在[)1,+∞上是增函数，求a 的取值范围．19．已知函数()3xf x =，且(2)18f a +=，()34axxg x =-的定义域为区间[]-1,1．（1）求()g x 的解析式； （2）判断()g x 的单调性；（3）若方程()g x m =有解，求m 的取值范围．20．已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =（11x -≤≤）是奇函数．又已知()y f x =在[]0,1上是一次函数，在[]1,4上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-． （1）证明：(1)(4)0f f +=；（2）求()y f x =，[]1,4x ∈的解析式．21．某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB BC ⊥，//OA BC ，24AB BC OA km ===，曲线OC 是以点O 为顶点的且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问矩形的两边长分别为多少时使矩形工业园区的用地面积最大？22．已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-（0a >，1a ≠，t R ∈）． （1）当4t =，[]1,2x ∈且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值； （2）当01a <<，[]1,2x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案1．C 【解析】 试题分析：{}3(1)|00,1x M x x x x x ⎧⎫-=≥=<≥⎨⎬⎩⎭或，{}{}2|13,=1N y y x x R x x ==-∈≤，{}1R N x x ∴=>ð，{}()|1R M N x x ∴=> ð.故选C ．考点：集合运算． 2．A 【解析】试题分析：函数的导数()(2)x f x e x '=-，由()(2)0x f x e x '=-<得2x <，所以函数的单调递减区间为(,2)-∞.故选A ．考点：利用函数的导数判断函数的单调性． 3．B 【解析】试题分析：因为()f x 在[]0,1上是x 的减函数，所以(0)(1)f f >，即log 2log (2)a a a >-．∴120a a >⎧⎨->⎩，∴12a <<.故选B ． 考点：复合函数的单调性．【思路点睛】本题必须保证：①使log (2)a y ax =-有意义，即01,20a a ax >≠->且．②使log (2)a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数，由于所给函数可分解为log a y u =，2u ax =-，其中2u ax =-在0a >时为减函数，所以必须1a >；③[]0,1必须是log (2)a y ax =-定义域的子集．本题考查复合函数的单调性及学生的逻辑推理能力，属于中档题． 4．A 【解析】试题分析：∵函数()f x 对任意x ，y 满足()()()f x y f x f y +=+，∴令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，令1x y ==，则(2)(1)(1)4f f f =+=，∴(1)2f =，令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-，∴()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，∴(1)(1)2f f -=-=-.故选A ．考点：1、赋值；2、函数的奇偶性． 5．B【解析】试题分析：①∵101x ≠-，∴112x y -=的值域是()(0,1)1,+∞ ，不正确；②∵2011x ≤-≤，∴y =的值域为[]0,1，正确；③设0)t t =≥，则221133()24y x t t t =+-=+-在[)0,t ∈+∞是增函数，∴y x =的值域为[)3,-+∞，正确；④令cos (0)x ααπ=≤≤，则cos sin )4y x πααα=+=+=+，∴y x =+⎡⎣，正确.故选B ．考点：函数的值域． 6．B 【解析】试题分析：分别画出函数244,1()43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图象和函数2()log g x x =的图象，如图．由图知：它们的交点个数是3.故选B ．考点：函数图象． 7．B 【解析】试题分析：∵0x A ∈，即0102x ≤<，所以001()2f x x =+，011122x ≤+<，即01()12f x ≤<，即0()f x B ∈，所以[][]000()21()12ff x f x x A =-=-∈，即010122x ≤-<，解得：01142x <≤，又0102x ≤<，所以01142x <<．故选B ． 考点：1、元素与集合间的关系；2、分段函数． 8．D 【解析】试题分析：由题意可知()f x 在(1,2)上是增函数且()0f x >，所以630()()52f f <<，所以0a b <<；511()()lg 0222c f f ===<.故选D ．考点：函数的性质．9．A 【解析】试题分析：∵2()lg(f a a a M =+=，2lg(a M a ∴=-，∴22222()lg(lg(()2f a a a a a a M a a M -=+-=-=--=-.故选A ．考点：对数的运算性质． 10．D 【解析】试题分析：∵产品生产件数x 与生产总成本y （万元）之间有函数关系20.16300y x x =-+，∴若每件产品成本均不超过7万元，则20.163007y x x x =-+≤，即213030000x x -+≤，30100x ∴≤≤，又因为每件产品用料6吨，现有库存原料30吨，旺季可进料900吨，即产品产量最多生产155件，所以100x ≤.故选D ．考点：1、解一元二次不等式；2、函数应用． 11．C 【解析】试题分析：如图，因为函数定义域是{}0x x ≠，排除A 选项，当,()0x f x →-∞→，排除B ，根据函数图象不关于y 轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项D.故选C ． 考点：函数的性质．【方法点睛】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的不关于y 轴对称可排除选项D ，再根据函数定义域是{}0x x ≠，排除选项A ，利用极限思想可排除B ，即可得到所求．本题主要考查了识图能力，根据函数图象选择函数表达式以及函数的对称性、单调性和奇偶性等基本性质，考查数形结合的思想，属于基础题． 12．C 【解析】试题分析：∵1()()1()f x f x m f x ++=-，∴1()11(+m )11()(2)1()1()()11()f x f x f x f x mf x f x m f x f x+++-+===-+-+--， ∴11(4)()(2)()f x m f x f x m f x +=-=-=-+-，∴4T m =.故选C ．考点：函数的周期性．【思路点睛】本题利用已知1()()1()f x f x m f x ++=-和周期函数的定义()()(0)f x T f x T +==≠，对正常数m和任意实数x，1()11(+m)11()()1()1()()11()f x f x f x f x m m f x f x m f x f x +++-++===-+-+--，再由11(4)()(2)()f x m f x f x m f x +=-=-=-+-，可求得函数()f x 最小正周期．本题考查函数的周期性及逻辑推理能力，解题的关键是利用函数周期的定义，属于中档题． 13．(]1,2 【解析】试题分析：要使函数有意义，必须1210log (1)0x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，所以12x x >⎧⎨≤⎩.∴函数定义域为(]1,2.所以答案应填：(]1,2． 考点：函数的定义域． 14．(,1)(0,)-∞-+∞ 【解析】试题分析：2()=1+22x f x x x =---，∵(0,2)(2,x ∈+∞ ，∴当(0,2)x ∈时，2(0,2)x -∈，112(,),(1,)222x x ∈+∞∴∈+∞--，2()1+(0,)2f x x∴=-∈+∞-，∴当(2,)x ∈+∞时，2(x -∈-∞，12(,0),(,0)22x x∈-∞∴∈-∞--，2()1+(,1)2f x x∴=-∈-∞--，综上()(,1)(0,)f x ∈-∞-+∞ .所以答案应填：(,1)(0,)-∞-+∞ ．考点：函数的值域． 15．[]0,1,[2,)+∞ 【解析】试题分析： 函数{}()min ||,|2|f x x x=-的图象如下图所示，故由图可得：函数{}()min ||,|2|f x x x =-的递增区间为[]0,1,[2,)+∞．所以答案应填：[]0,1,[2,)+∞.考点：分段函数的应用．【方法点睛】画出函数{}()min ||,|2|f x x x =-的图象，数形结合，可得答案．函数平移的规律：将函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a <）或向左（0a >）平移a 个单位得到函数()y f x a =+的图象；将函数()y f x =的图象沿y 轴向下（0b <）或向上（0b >）平移b 个单位得到函数()y f x b =+的图象.本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，属于中档题． 16．②③ 【解析】试题分析：∵若1x ，2x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．∴①函数2()f x x =不是单函数，∵(1)(1)f f -=，显然11-≠，∴函数2()f x x =（x R ∈）不是单函数；②∵若()f x 为单函数，1x ，2x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠，此命题是原命题的逆否命题，∴②正确；③∵f ：A B →为单函数，对于任意b B ∈，若12x x ∃≠，使得12()()f x f x b ==，则12x x =，与12x x ≠矛盾，∴③正确；④例如①函数2()f x x =在(0,)+∞上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．所以答案应填：②③．考点：函数新概念．【思路点睛】根据单函数的定义12()()f x f x =时总有12x x =，可知函数f ：A B →则对于任意b B ∈，A 中至多有一个元素与之对应而①④(1)(1)f f -=，显然11-≠，可知它不是单函数，②③都是，可得结果．理解单函数的概念是解本题的关键，单函数指的是一个自变量，只对应1个函数值，而单调函数，是随着自变量递增，函数值递增（或递减）.此题考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力,属于基础题． 17．(],2-∞，17(2,]4． 【解析】试题分析：函数的定义域就是使()2x f x =x 的取值集合，解指数不等式420x-≥即可；令t =，用换元法将函数()f x 转化成二次函数22117()4()24g t t t t =-++=--+，定义域为[)02，，结合图象即可求得值域．试题解析：∵420x-≥，∴24x≤，即2x ≤，∴函数定义域为(,2]-∞．t =，则242x t -=，224x t =-，02t ≤<，22117()()4()24f xg t t t t ==-++=--+，12t =时，()f x 取最大值174，2t =时取最小值()2g t =，∴函数值域为17(2,]4．考点：1、函数的定义域；2、函数值域．【方法点睛】求函数值域的常用方法有：基本函数法、配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等，无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域；求函数的定义域就是使函数的表达式有意义的自变量的取值集合，可根据函数解析式有意义列出不等式（组）解之即得函数定义域．本题主要考查定义域、值域的求法，先通过换元将函数转化为二次函数再配方求解．属于基础题． 18．[1,9)-． 【解析】试题分析：由于函数9()log (8)af x x x=+-在[)1,+∞上是增函数可知，（1）对任意的121x x ≤<，有12()()f x f x <；（2）当[)1,x ∈+∞时，80ax x+->成立． 试题解析：∵函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数， ∴对任意的121x x ≤<，有12()()f x f x <， 即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得121288a ax x x x +-<+-，即1212()(1)0a x x x x -+<， ∵120x x -<，∴1210a x x +>，121a x x >-，12a x x >-， ∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立，只要1a ≥； 又∵函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->，即9a <， 综上a 的取值范围为[1,9)-．考点：函数的单调性．19．（1）()24x x g x =-；（2）()g x 在[]1,1-上是减函数；（3）124m -≤≤． 【解析】 试题分析：（1）先利用已知条件函数()3x f x =，且(2)18f a +=得方程2318a +=，解得32a =，再代入()g x 即得()g x 的解析式；（2）求出()g x 的导数()g x '，再根据导数的符号判断()g x 的单调性；（3）将方程()g x m =有解转化为求函数()g x 的值域，根据()g x 在[]1,1-上是减函数，即得(1)()(1)g g x g ≤≤-，从而可得m 的取值范围．试题解析：（1）∵(2)18f a +=，即2318a +=，∴32a =，∴()24x x g x =-． （2）1()2ln 24ln 42ln 2(12)x x x x g x +'=-=-． ∵[]1,1x ∈-，∴[]121,2x +∈，∴1120x +-≤，又20x >，ln 20>，∴()0g x '≤（仅当1x =-时取“=”），∴()g x 在[]1,1-上是减函数． （3）由()24x x m g x ==-，得(1)(1)g m g ≤≤-， ∴124m -≤≤． 考点：1、利用导数判断函数的单调性；2、函数的值域；3、函数解析式．【方法点睛】求函数解析式的常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、代入法、构造方程组法、赋值法、递推法等．利用导数求函数的单调区间需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性．本题主要考查利用导数与函数单调之间的关系，考查逻辑思维能力，计算能力，属于基础题．20．（1）证明见解析；（2）2()2(2)5f x x =--（14x ≤≤）．【解析】试题分析：（1）先根据条件求出(4)f ，(1)f ，即得(1)(4)f f +；（2）采用待定系数法设出二次函数解析式即可．试题解析：（1）()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-，又∵()y f x =（11x -≤≤）是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0f f +=．（2）当[]1,4x ∈时，由题意可设2()(2)5f x a x =--（0a >），由(1)(4)0f f +=，得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，∴2()2(2)5f x x =--（14x ≤≤）．考点：1、函数的性质；2、函数解析式．21 【解析】 试题分析：以AO 所在直线为x 轴，O 为原点，建立直角坐标系，设出抛物线方程为2y ax =，用待定系数法求出a ，矩形在曲线段OC 上的顶点设为2(,)P x x ，则矩形两边长分别为2x +，24x -，建立矩形面积关于x 的函数，再利用导数求其最大值，从而得到相应的x 的值，进而求出矩形的长和宽． 试题解析：以AO 所在直线为x 轴，O 为原点，建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,4)， 设抛物线方程为2y ax =，则242a =⋅，∴1a =， ∴2y x =． 矩形在曲线段OC 上的顶点为2(,)P x x ，则矩形两边长分别为2x +，24x -． 矩形面积2()(2)(4)S x x x =+-32248x x x =--++（02x <<），2'()344(32)(2)S x x x x x =--+=--+，，()S x 递减，考点：1、函数的应用模型；2、利用导数求函数的最值．22．（1）4；（2）[)1,+∞．【解析】试题分析：（1）当4t =时，2(22)()()()log a x F x g x f x x+=-=，[]1,2x ∈，再令2(22)1()4(2)x h x x x x+==++，[]1,2x ∈，求出导数'()h x ，根据'()h x 的符号确定()h x 的单调性，再对a 分01a <<和1a >两种情况分别讨论求出参数a ；（2）将已知条件转化为log 2log (22)a a x x t ≥+-，再利用log (01)a y x a =<<22x t ≤+-，分离出t 得22t x ≥-，在构造函数()22u x x =-求其最小值即可．试题解析：（1）当4t =时，2(22)()()()log a x F x g x f x x+=-=，[]1,2x ∈． 令2(22)1()4(2)x h x x x x+==++，[]1,2x ∈， 21(1)(1)'()4(1)40x x h x x x-+=-=≥，()h x 为增函数，min ()16h x =，max ()18h x =，当01a <<时，log 182a =，1a =>舍去；当1a >时，log 162a =，4a =成立．（2）当01a <<，[]1,2x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立，22x t ≤+-，22t x ≥-，2117()22)48u x x =-+=-+， []1,2x ∈⎡⎣，min ()(1)1u x u ==，所以1t ≥． 考点：1、函数最值；2、恒成立问题．。
2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三(上)第一次调研数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（1，4）B．（2，4）C．（1，2）D．（1，+∞）2．（5分）设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}3．（5分）函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）4．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=x2lg的图象（）A．关于x轴对称 B．关于原点对称C．关于直线y=x对称 D．关于y轴对称6．（5分）幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0）7．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c 满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则函数g（x）=f（x）+1的零点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足≤0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）＞2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）10．（5分）已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）11．（5分）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，+∞）12．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）=f（2+x），且当x∈[0，2]时，f （x）=2x﹣2，若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（）∪（1，）C．（，）∪（，）D．（，）∪（，3）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知集合A={2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B的真子集的个数为．14．（5分）已知函数f（x）=，则函数f（x）与直线y=﹣x平行的切线方程为．15．（5分）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）上为单调函数，则k的取值范围是．16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=f（x﹣1），则函数g（x）的递增区间是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求A∩B；（2）若C={x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}，C⊆B，求实数m的取值范围．18．若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（2x），求g（x）在[﹣3，0]的最大值与最小值．19．设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．20．水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间（单位：月），以年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为v（t）=．（1）若该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i﹣1＜t≤i表示第i月份（i=1，2，…12），问一年内那几个月份是枯水期？（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e3=20计算）．21．已知函数f（x）=（ax2+x）e x，其中e是自然数的底数，a∈R．（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；（2）若a＞0，试判断f（x）在（﹣1，1）上是否有最大或最小值，说明你的理由．22．已知函数f（x）=（x+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x，存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016春•阜阳校级月考）已知集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（1，4）B．（2，4）C．（1，2）D．（1，+∞）【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：log21=0＜log2x＜2=log24，即1＜x＜4，∴A=（1，4），由B中y=3x+2＞2，得到B=（2，+∞），则A∩B=（2，4），故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•德宏州校级三模）设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【分析】由题意，2x（x﹣2）＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合．【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2；∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）；又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）；故选D．【点评】本题考查了学生的识图能力及集合的化简与运算，属于基础题．3．（5分）（2015•南开区一模）函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）【分析】先通过配方能够得到0，所以根据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域．【解答】解：；∴有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．【点评】配方的方法求二次函数的值域，对数函数的定义域，以及对数函数的图象，根据图象求函数的值域的方法．4．（5分）（2015秋•天津校级期中）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据当x≥0时，f（x）=ln（x+1）的图象经过点（0，0），且函数在（0，+∞）上缓慢增长．再根据此图象关于y轴对称，可得函数f（x）在R上的大致图象．【解答】解：先作出当x≥0时，f（x）=ln（x+1）的图象，显然图象经过点（0，0），且在（0，+∞）上缓慢增长．再把此图象关于y轴对称，可得函数f（x）在R上的大致图象，如图C所示，故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象特征，偶函数的性质，属于中档题．5．（5分）（2014秋•慈溪市期中）函数y=x2lg的图象（）A．关于x轴对称 B．关于原点对称C．关于直线y=x对称 D．关于y轴对称【分析】先判断出函数为奇函数，再根据奇函数的图象的性质得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2lg，∴其定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴f（﹣x）=x2lg=﹣x2lg=﹣f（x），∴函数为奇函数，∴函数的图象关于原点对称，故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．6．（5分）（2015春•兴庆区校级期末）幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0）【分析】利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的单调增区间．【解答】解：幂函数f（x）=xα的图象过点（2，），所以=2α，即α=﹣2，所以幂函数为f（x）=x﹣2它的单调递增区间是：（﹣∞，0]．故选D．【点评】本题考查求幂函数的解析式，幂函数的单调性，是基础题．7．（5分）（2016秋•保定校级月考）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】由偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，可得f（x）在{0，+∞）上单调递增，比较三个自变量的大小，可得答案．【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，∴f（x）在{0，+∞）上单调递增，∵2＞log23=log49＞log45，2＞2，∴f（log45）＜f（log23）＜f（2），∴b＜a＜c，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．8．（5分）（2016•韶关二模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则函数g （x）=f（x）+1的零点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数f（x）的解析式，利用函数零点的定义进行求解即可．【解答】解：若x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x，x＜0，当x≥0时，由g（x）=f（x）+1=0得x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，得x=1，当x＜0时，由g（x）=f（x）+1=0得﹣x2﹣2x+1=0，即（x2+2x﹣1=0．即（x﹣1）2=2，得x=1+（舍）或x=1﹣，故函数g（x）=f（x）+1的零点个数是2个，故选：B．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．9．（5分）（2014秋•龙南县校级期末）对于R上可导的任意函数f（x），若满足≤0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）＞2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）【分析】由≤0，通过对x分类讨论：当x≥1时，f′（x）＞0；当x≤1时，f′（x）＜0，即可得到单调性，利用单调性即可得出．【解答】解：由≤0，可知：当x≥1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x≤1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴f（0）＞f（1），f（2）＞f（1），∴f（0）+f（2）＞2f（1）．故选C．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．10．（5分）（2015•吉林校级模拟）已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则函数f（x）在R上为减函数，∵函数f（x）=，故，解得：a∈（﹣∞，]，故选：B．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．11．（5分）（2015•山东）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，+∞）【分析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．【解答】解：∵f（x）=是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）即整理可得，∴1﹣a•2x=a﹣2x∴a=1，∴f（x）=∵f（x））=＞3∴﹣3=＞0，整理可得，，∴1＜2x＜2解可得，0＜x＜1故选：C【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题．12．（5分）（2013•昆明模拟）设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）=f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣2，若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（）∪（1，）C．（，）∪（，）D．（，）∪（，3）【分析】由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），推出函数f（x）是以4为最小正周期的函数，结合题意画出在区间（﹣1，9）内函数f（x）和y=log a（x+1）的图象，注意对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，结合图象即可得到a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x）∴f（x+4）=f（x），则函数f（x）是以4为最小正周期的函数，∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣2，f（x）是定义在R上的偶函数，∴当x∈[﹣2，0]时，f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，结合题意画出函数f（x）在x∈（﹣1，9]上的图象与函数y=log a（x+1）的图象，①若0＜a＜1，要使f（x）与y=log a（x+1）的图象，恰有3个交点，则，即，解得即a∈（，），②若a＞1，要使f（x）与y=log a（x+1）的图象，恰有3个交点，则，即解得，即a∈（，），综上a的取值范围是（，）∪（，）故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，同时考查数形结合的数学思想方法，以及对底数a的讨论．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016秋•衡水校级月考）已知集合A={2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B的真子集的个数为15．【分析】求出A∪B，从而求出其真子集的个数即可．【解答】解：集合A={2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B={2，3，4，5}，其真子集的个数是：24﹣1=15，故答案为：15．【点评】本题考查了集合的运算，考查真子集问题，是一道基础题．14．（5分）（2016秋•衡水校级月考）已知函数f（x）=，则函数f（x）与直线y=﹣x平行的切线方程为x+y﹣1=0．【分析】本题属于利用导数求曲线上某点处的切线方程，属于基础题型．首先求出f'（x）后，切线方程与直线y=﹣x平行，从而令，可求出切点．【解答】解：对函数f（x）=求导：；∵函数f（x）与直线y=﹣x平行；∴；∴x=0；从而得到当x=0时，则f（0）=1；点（0，1）满足f（x）曲线方程，则切线方程为：y﹣f（0）=﹣1×（x﹣0）⇒x+y﹣1=0故答案为：x+y﹣1=0【点评】本题属于利用导数求曲线上某点处的切线方程，属于基础题型，也是高考常考题型之一，考生应当熟练掌握．15．（5分）（2016秋•衡水校级月考）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）上为单调函数，则k的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．【分析】求出函数的导数，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立，解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立，或f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立，∴k≥或k≤，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1或k≤0∴k的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞），故答案为：（﹣∞，0]∪[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．16．（5分）（2016秋•衡水校级月考）设函数f（x）=，g（x）=f（x﹣1），则函数g（x）的递增区间是（﹣∞，0]，[1，2] ．【分析】由f（x）的解析式求得f（x﹣1）的解析式，得到g（x）的解析式，分段求出函数的导函数，得到函数的单调性，画出简图得答案．【解答】解：由数f（x）=，得f（x﹣1）=，∴g（x）=f（x﹣1）=，当x≥1时，g′（x）=，当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=＜0，又g（0）=0，g（2）=，作出g（x）的图象如图：∴函数g（x）的递增区间是：（﹣∞，0]，[1，2]．故答案为：（﹣∞，0]，[1，2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（2014秋•宜城市校级期中）设函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求A∩B；（2）若C={x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}，C⊆B，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用函数的定义域求法，求得集合A，B利用集合的基本运算进行求解即可．（2）讨论C为空集和非空时，满足条件C⊆B时成立的等价条件即可．【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义，则x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，即A={x|x＞2或x＜﹣1}，要使g（x）有意义，则3﹣|x|≥0，解得﹣3≤x≤3，即B={x|﹣3≤x≤3}，∴A∩B={x|x＞2或x＜﹣1}∩x|﹣3≤x≤3}={x|﹣3≤x＜﹣1或2＜x≤3}．（2）若C=∅，即m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2时，满足条件C⊆B．若C≠∅，即m＞﹣2时，要使C⊆B成立，则，解得﹣2＜m≤1．综上：m≤1．即实数m的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题．18．（2016秋•衡水校级月考）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（2x），求g（x）在[﹣3，0]的最大值与最小值．【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数的解析式，（2）利用换元法和函数的性质即可求出最值．【解答】解：（1）由f（0）=3，得c=3，∴f（x）=ax2+bx+3．又f（x+1）﹣f（x）=4x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=4x+1，即2ax+a+b=4x+1，∴∴∴f（x）=2x2﹣x+3．（2）g（x）=f（2x）=2•22x﹣2x+3，令2x=t，，∴h（t）=2t2﹣t+3，时，g（x）max=h（t）max=h（1）=2﹣1+3=4，g（x）min=h（t）min=h（）=﹣+3=．【点评】本题考查了二次函数的性质和函数最值的问题，考查了学生的计算能力，属于中档题．19．（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．20．（2011•江苏模拟）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间（单位：月），以年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为v（t）=．（1）若该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i﹣1＜t≤i表示第i月份（i=1，2，…12），问一年内那几个月份是枯水期？（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e3=20计算）．【分析】（1）对t分段讨论，分别令v（t）＜0，解不等式求出t的范围即得到枯水期对应的月份．（2）据（1）判断出最大值所在的可能月份，求出v（t）的导数，求出导函数大于0和小于0的t的范围即函数的单调区间，求出最值．【解答】解：（1）当0＜t≤9时，v（t）=（﹣t2+15t﹣51）e t+50＜50，即t2﹣15t+51＞0，解得t＞或t＜，从而0＜t＜≈5.2．当9＜t≤12时，v（t）=4（t﹣9）（3t﹣41）+50＜50，即（t﹣9）（3t﹣41）＜0，解得9＜t＜，所以9＜t≤12．综上，0＜t＜5.2或9＜t≤12，枯水期为1，2，3，4，5，10，11，12月．（2）由（1）知，水库的最大蓄水量只能在6～9月份．v′（t）=（﹣t2+13t﹣36）e t=﹣e t（t﹣1）（t﹣9），令v′（t）=0，解得t=9或t=4（舍去），又当t∈（6，9）时，v′（t）＞0；当t∈（9，10）时，v′（t）＜0．所以，当t=9时，v（t）的最大值v（9）=×3×e9+50=150（亿立方米），故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．【点评】解决分段函数的有关问题，有关分段研究，再将求出的结果求并集；解决实际问题，要注意最后将数学问题还原到实际问题．21．（2016秋•衡水校级月考）已知函数f（x）=（ax2+x）e x，其中e是自然数的底数，a∈R．（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；（2）若a＞0，试判断f（x）在（﹣1，1）上是否有最大或最小值，说明你的理由．【分析】（1）问题可化为，解出即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出函数的最值即可．【解答】解：（1）因为e x＞0，所以不等式f（x）＞0，即为ax2+x＞0，又因为a＜0，所以不等式可化为，所以不等式f（x）＞0的解集为．（2）f'（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x）e x=[ax2+（2a+1）x+1]e x，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，图象对称轴为．因为g（﹣1）•g（0）=﹣a＜0，所以g（x）在（﹣1，1）内有零点，记为x0，在（﹣1，x0）上g'（x）＜0，g（x）递减，在（x0，1）上g'（x）＞0，g（x）递增，∴f（x）在（﹣1，1）上有最小值，无最大值．【点评】本题考查了解不等式问题，考查导数的应用以及函数的单调性、最值问题，是一道中档题．22．（2015•哈尔滨校级模拟）已知函数f（x）=（x+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x，存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出，得当x＜0时，f'（x）＞0，当x＞0时，f'（x）＜0．从而有f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．（Ⅱ）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．∴，分别讨论①当t≥1时，②当t≤0时，③当0＜t＜1时的情况，从而求出t的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，，∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．∴f（x）增区间为（﹣∞，0），减区间为（0，+∞）．（Ⅱ）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．∵，∴φ′（x）==﹣，①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即；②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3﹣2e＜0；③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增所以2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即﹣﹣（*）由（Ⅰ）知，在[0，1]上单调递减，故，而，所以不等式（*）无解综上所述，存在，使得命题成立．【点评】本题考察了函数的单调性，参数的求法，导数的应用，是一道综合题．2016年11月7日。
河北省武邑2017届高考一模考试数学试题(理)含答案
河北省武邑2017届高三下学期一模考试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|M x y ==，(){}2|log 2N x y x ==-，则()R C MN =（ ）A ．[)1,2B ．()[),12,-∞+∞ C ．[]0,1 D ．()[),02,-∞+∞2.设复数z 满足()1|1|i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i - CD3.下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．2y x =- C ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．|sin |y x =4. sin 2xdx ππ⎰的值为（ ）A ．2π B ．π C ．12D ．1 5.若变量,x y 满足不等式组21y x y x y a ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，且3z x y =-的最大值为7，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．7 C. -1 D ．-76.甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ）A ． 144种B ．180种 C. 288种 D ．360种 7.在Rt ABC ∆中，90A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,()0,0AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时，AD 的值为( ) A ．72 B ． 3 C. 52 D ．1258.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为17,14，则输出的a =( )A ． 4B ．3 C. 2 D ．19.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ）A ．2448π+B ．2490π++ 4848π+ D ．2466π++ 10.在区间[],ππ-内随机取两个数分别记为,a b ,则函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率（ ） A ．18π-B ．14π-C.34 D ．4π11.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C y px p =>交于点,,O A B ,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为（ ）A ．32B C. D12.定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足，()()()1f b f a f x b a-'=-，()()()2f b f a f x b a -'=-则称函数()f x 是[],a b 上的“中值函数”.已知函数()321132f x x x m =-+是[]0,m 上的“中值函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知角a 的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线()4300x y x -=≤上,则cos sin a a -= ．14.8x y ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答） 15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8......,该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()222132243354a aa a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅()2201520172016a a a +-=．16.已知()42,4,a x x a x f x x x a x ⎧⎛⎫-+< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≥⎪⎩①当1a =时，()3f x =,则x = . 当1a ≤-时，若()3f x =有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a =___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 中，11a =其前n 项和为n S ，且满足()21n n S n a =+，()n N *∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围.18. 某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间(]0,50内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按(]0,10，(]10,20，(]20,30，(]30,40，(]40,50分组，整理如下图：(1)写出频率分布直方图（图乙）中a 的值：记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售的方差分别为21S ，22S ，试比较21S 与22S 的大小（只需写出结论）；(2)从甲种酸奶机日销量在区间(]0,20的数据样本中抽取3个，记在(]0,10内的数据个数为X ，求X 的分布列；(3)估计1200个日销售量数据中，数据在区间(]0,10中的个数.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值： （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,1.（1）求椭圆E 的方程； （2）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.21.设函数()()2ln 11f x x ax x =-+++，()()21x g x x e ax =-+，a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程；（2）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （3）证明()()f x g x ≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为cos 4p πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标. 23.选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|3|||2x x m m +++≥的解集为R . （1）求m 的最大值；（2）已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=,求222234a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值.试卷答案一、选择题1-5:BDDDA 6-10:CCDDB 11、12：CB二、填空题13.1514.70 15.1 16. 4，116-三、解答题17.解：（1）()21n n S n a =+，()1122n n S n a ++=+∴，()121n n a n a +=+∴，11n na a n n+=+∴， 11111n n a a a n n -==⋅⋅⋅==-∴()n a n nN *=∈∴. （2）23n n b n λ=-，()()()21213132321n n n n n b b n n n λλλ++-=-+--=⋅-+，数列{}n b 为递增数列，()23210nn λ⋅-+>∴，即2321n n λ⋅<+.令2321nn c n ⋅=+，则112321631232323n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+， {}n c ∴为递增数列，12c λ<=∴，即λ的取值范围为(),2-∞.18.解（1）由图（乙）知，()100.020.030.0250.0151a ++++=解得0.01a =，2212s s >.（2）X 的所有可能取值1，2，3.则()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===， 其分布列如下：(1)由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2345620++++=个，其中有4个数据在区间(]0,10内，又因为分层抽样共抽取了1200560%=⨯个数据， 乙种酸奶的数据共抽取602040-=个，由（I ）知，乙种酸奶的日销量数据在(]0,10内的频率为0.1, 故乙种酸奶的日常销量数据在区间(]0,10内有400.14⨯=个. 故抽取的60个数据，共有448+=个数据在区间(]0,10内. 所以，在1200个数据中，在区间(]0,10内的数据有160个.19.（1）因为四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥.又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC.（2）设AC BD O =.因为60BAD ∠=,2PA AB ==.所以1BO =，AO CO ==以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,P ，()0,A ，()1,0,0B ，()C 所以，()2PB =-，()AC =.设PB 与AC 所成角为θ，则cos ||||||2PB AC PB AC θ⋅===.（3）由（2）知()BC =-，设()()0,0P t >.则()1,BP t =-，设平面PBC 的法向量(),y,z m x =，则0,0BC m BP m ⋅=⋅=，所以0x x tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令y =，则3x =，6z t =，所以6m t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.同理，平面PDC 的法向量63,3,n t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以0m n ⋅=，即23660t -+=，解得t =所以PA 20.解：（1）设椭圆的半焦距为c .因为点()0,1在椭圆E 上，所以1b =.故221a c +=.又因为c e a ==c =，2a =.所以椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,C x y ，线段AC 中点为()00,y M x . 联立12y x m =+ 和22440x y +-=，得：222220x mx m ++-=.由()()2222422840m m m ∆=--=->，可得m <<.所以122x x m +=-，21222x x m =-. 所以AC 中点为1,2M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.弦长AC =又直线l 与x 轴的交点()2,0N m -，所以MN =.所以222221542BN BM MN AC MN =+=+=.所以B 、N . 21.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()1,+∞，()()2211x ax a f x x -+'=-.当1a =时，()2426f a '=+=，()2437f a =+=.所以函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程为()762y x -=-. 即65y x =-.（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()()2x g x x e a '=+. ①当0a =时，函数()()1x g x x e =-只有一个零点； ②当0a >，因为20x e a +>，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>. 所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增. 又()01g =-，()1g a =，因为0x <，所以10x -<，1x e <所以()11x e x x ->-，所以()21g x ax x >+-取0x 00x <且()00g x >所以()()010g g <，()()000g x g <.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.③当0a <时，由()()20x g x x e a '=+=，得0x =，或()12x n a =-. )i 当12a <-，则()120n a ->.当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.)ii 当12a =-，则()120n a -=，()g x 在(),-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.若12a >-，则()120n a -≤.当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到当0x <，0a <时，()()210x g x x e ax =-+<，()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.综上，a 的取值范围是()0,+∞.（Ⅲ）证明：()()()()1111x g x f x x e n x x -=-----.设()()()1111x h x x e n x x =-----，其定义域为()1,+∞，则证明()0h x ≥即可.因为()111t x x x h x xe x e x x ⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭，取311X e -=+，则()()1310x t h x x e e =-<，且()20t h >.又因为()()()21101tt x h x x e x =++>-，所以函数()t h x 在()1,+∞上单增.所以()0t h x =有唯一的实根()01,2x ∈，且0011x e x =-. 当01x x <<时，()0t h x <；当0x x >时，()0t h x >. 所以函数()h x 的最小值为()0h x .所以()()()()00000001111110x h x h x x e n x x x x ≥=-----=+--=. 所以()()f x g x ≤.22.解：（1）1C 的普通方程为2213y x +=，2C 的直角坐标方程为60x y +-=.（2）由题意，可设点P的直角坐标为()cos αα，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()36d παα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭.当且仅当()23k k Z παπ=+∈时，PQ取得最小值，最小值为P 的直角坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23.解：（1）因为()()333x x m x x m m +++≥+-+=-， 当3x m -≤≤-或3m x -≤≤-时取等号， 令32m m -≥所以32m m -≥或32m m -≤-. 解得3m ≤-或1m ≤， m ∴的最大值为1.（2）1a b c ++=.由柯西不等式，()()22221112341234a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭，2221223413a b c ++≥∴，等号当且仅当234a b c ==，且1a b c ++=时成立.即当且仅当613a =，413b =，313c =时，2222342a b c ++的最小值为1213.。
2017届河北省武邑中学高三上学期周考(理)试题(解析版)
2017届河北省武邑中学高三上学期周考（理）试题一、选择题1．已知集合}25|{-<∈=x R x A ，}4,3,2,1{=B ，则B A C R )(等于（ ）A ．}4,3,2,1{B ．}4,3,2{C ．}4,3{D ．}4{ 【答案】D【解析】试题分析：因}25|{-<∈=x R x A ,故}25|{-≥∈=x R x A C R ,所以}4{)(=B A C R ,故应选D.【考点】集合的运算.2．若非空集合}5312|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{≤≤=x x B ，则能使B A ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．}91|{≤≤a aB ．}96|{≤≤a aC ．}9|{≥a aD ．∅ 【答案】B【解析】试题分析：由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤-≥+53122253312a a a a ,解之得96≤≤a ,故能使B A ⊆成立的所有的值构成的集合为}96|{≤≤a a ,故应选B. 【考点】子集的概念及不等式的解法. 3．函数)1)(111(log 5.0>+-+=x x x y 的值域为（ ） A ．]2,(--∞ B ．),2[+∞- C ．]2,(-∞ D ．),2[+∞ 【答案】A【解析】试题分析：因4222111111=+≥+-+-=+-+x x x x (当且仅当11=-x ,即2=x 时取等号),故4log )111(log 5.05.0≤+-+=x x y ,即2-≤y ,故应选A. 【考点】基本不等式和对数函数的性质.4．已知2211)11(x x x x f +-=+-，则)(x f 的解析式可取为（ ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x +D ．21xx+-【答案】C【解析】试题分析：令t x x =+-11,则t tx +-=11,所以2222212)1()1()1()1()(tt t t t t t f +=-++--+=,故函数)(x f 的解析式为212)(x xx f +=,故应选C. 【考点】函数的概念及换元法的运用.5．设集合R A =，集合=B 正实数集，则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是（ ） A ．||:x y x f =→ B ．x y x f =→: C ．x y x f -=→3:D ．|)|1(log :2x y x f +=→【答案】C【解析】试题分析：对于答案A ，B 和D ，定义域中的0都无对应,故都不是映射,故应选C.【考点】映射的概念和理解.6．已知函数432--=x x y 的定义域是],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ）A ．]4,0(B ．]4,23[ C ．]3,23[ D ．),23[+∞ 【答案】C【解析】试题分析：因二次函数432--=x x y 的对称轴为23=x ,且0=x 时,函数值4-=y ,当23=x 时,425-=y ,因此当3=x 时, 4-=y .故当323≤≤m ,故应选C.【考点】二次函数的图象和性质. 7．函数)1(log 221-=x y 的定义域是（ ）A ．]2,1()1,2[ --B ．)2,1()1,3( --C ．]2,1()1,2[ --D ．)2,1()1,2( -- 【答案】A【解析】试题分析：由0)1(log 221≥-x 可得1102≤-<x ,即212≤<x ,解之得12-<≤-x 或21≤<x ,故应选A.【考点】对数函数的单调性及运用.8．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（ ）A ．]10,0[]2,( --∞B ．]1,0[]2,( --∞C ．]10,1[]2,( --∞D ．]10,1[]0,2[ - 【答案】A【解析】试题分析：结合函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f 的图象可知:当1<x 时,1)0()2(==-f f ；当1≥x 时,1)10(=f 且函数)(x f y =是单调递减的,故当2-≤x 或100≤≤x 时,不等式1)(≥x f 恒成立.故应选A.【考点】函数的图象和性质及运用. 9．下列函数值域是),0(+∞的是（ ）A ．1512-=-x y B ．xy 21)21(-= C ．1)21(-=x y D ．x y 21-=【答案】B【解析】试题分析：因答案A 中的值域中可以取负数,故不正确;答案C 和D 中的值域中的y 可以取得0,故不正确,故应选B. 【考点】函数的值域及确定方法.10．设⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=0,10,)()(2x a x x x a x x f ，若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A ．]2,1[- B ．]0,1[- C ．]2,1[ D ．]2,0[ 【答案】A【解析】试题分析：因为2)0(a f =,即最小值为2m i n )(a x f =.而当0>x 时,a a xx +≥++21(当且仅当1=x 时取等号),故由题设可得22a a ≥+,解之得21≤≤-a ,故应选A.【考点】函数的最值及求法.【易错点晴】分段函数是高中数学中重要的内容和考点.涉及到分段函数的问题较多,常见的有分段函数的定义域、值域、解析式、最大小值、方程、不等式等问题.解答这类问题时,一定要搞清分段函数的对应形式及约束条件,然后依据题设条件解决所要解决的问题.解答本题时要先求出函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=0,10,)()(2x a x x x a x x f 的最小值,即)0(f 的值为2min )(a x f =.然后再建立不等式22a a ≥+,求出实数a 的取值范围是21≤≤-a .11．存在正数x 使1)(2<-a x x 成立，则a 的取值范围是（ ）A ．),(+∞-∞B ．),2(+∞-C ．),0(+∞D ．),1(+∞- 【答案】D【解析】试题分析：由题设可得x a x )21(<-,即xx a )21(->,令)0()21()(>-=x x x h x ,因0>x ,且函数x x x h )21()(-=是单调递增的,故1)(->x h ,则1->a ,故应选D.【考点】函数方程思想的灵活运用.【易错点晴】函数方程思想是高中数学中重要的内容和考点.所谓函数方程思想就是函数问题常常运用方程的思路求解;而方程(不等式)问题常常运用函数思想求解.解答本题时要充分利用题设条件,先将不等式问题中的参数a 分离出来,得到即xx a )21(->,再令函数)0()21()(>-=x x x h x ,进而将问题转化为求函数)0()21()(>-=x x x h x的最小值问题.因0>x ,容易验证函数xx x h )21()(-=是单调递增的,故1)(->x h ,则1->a ,从而获得答案.12．已知函数12)(-=x x f ，21)(x x g -=，构造函数)(x F ，定义如下：当)(|)(|x g x f ≥时，|)(|)(x f x F =，当)(|)(|x g x f <时，)()(x g x F -=，那么)(x F （ ）A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值1-，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最小值，也无最大值 【答案】B【解析】试题分析：画出函数)(x F y =的图象如下图,结合图象可以看出该函数的最小值为1-,无最大值,故应选B.【考点】函数的图象和性质.【易错点晴】函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先求出函数)(x F y =的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<---≤-=1,1211,11,21)(2x x x x x F x x .再依据题设条件和分类整合思想画出)(x F y =的图象如图,结合图象可以看出,函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<---≤-=1,1211,11,21)(2x x x x x F x x 的最小值为1-,但无最大值.二、填空题 13．若2}{1，}5,4,3,2,1{⊆A ，则满足这一关系的集合A 的个数为 .【答案】7【解析】试题分析：集合A 中一定含元素2,1,因此问题转化为求集合}5,4,3{=M 的非空子集的个数问题.因集合的所有子集的个数是823=,故非空子集的个数为718=-,应填7.【考点】子集个数的计算．14．66522-++-=x x x x y 的值域是 .【答案】1|{≠y y 且}51-≠y【解析】试题分析：因)3)(2()3)(2(66522+---=-++-=x x x x x x x x y ,故当2≠x 时, 33+-=x x y ,则1≠y ；当2=x 时, 513232-=+-=y ,应填1|{≠y y 且}51-≠y . 【考点】分式函数的值域及求法．【易错点晴】分式函数的值域问题一直是高中数学中重要难点问题.这类问题的求解要依据题设条件,具体问题具体分析.一般来说,当函数的解析式为dcx bax y ++=时,其值域为}|{ca y y ≠；当函数的解析式为e dx cx b ax y +++=2时,可取分母将其整理成一元二次方程的形式,再运用判别式建立不等式求解.本题中的解析式是edx cx fbx ax y ++++=22,通过因式分解,发现当2≠x , 此时33+-=x x y ,则1≠y ；当2=x 时, 51-=y ,由此可得答案1|{≠y y 且}51-≠y .15．已知集合}1|),{(=+=y x y x M ，映射N M f →:，在f 作用下点),(y x 的象是)2,2(y x ，则集合=N .【答案】}0,0,2|),{(>>=y x xy y x 【解析】试题分析：因yx yx+=⋅222且1=+y x ,故222=⋅yx ,应填}0,0,2|),{(>>=y x xy y x .【考点】映射的概念及运用．16．定义“符号函数”⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn )(x x x x x f ，则不等式x x x sgn )2(2->+的解集是 . 【答案】),5(+∞-【解析】试题分析：当0>x 时,1sgn =x ,原不等式可化为22->+x x ,故0>x ；当0=x 时,0sgn =x ,原不等式可化为12>+x ,即1->x ,故0=x ；当0<x 时,1sgn -=x ,原不等式可化为1)2(2-->+x x ,因0<x ,则02<-x ,故142<-x ,即5||<x ,所以05<<-x .综上原不等式的解集为05|{<<-x x 或0=x 或}0>x ,故应填),5(+∞-.【考点】符号函数的性质及不等式的解法．【易错点晴】分类整合思想是高中数学中的四大数学思想之一,分类时既要按需分类,又要不重不漏,分类后还要及时进行整合.解答本题时依据题设中新定义的“符号函数”将不等式中的x sgn 按0,0,0x x x >=<分三类进行分类，然后再解得到的三个不等式组成的不等式组，最后还要将所求得的三个不等式组的解集整合到一起,得到原不等式组的解集.三、解答题17．已知全集}23{123x x x S --=，，，|}12|{1,A -=x ，如果}0{A C S =，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，说明理由.【答案】存在1-=x 或2=x .【解析】试题分析：借助题设条件和补集的定义,运用分析推证的方法进行求解. 试题解析：∵}0{=A C S ，∴S ∈0且A ∉0，即0223=--x x x ，解得,2,1,0321=-==x x x 当0=x 时，1|12|=-x ，为A 中元素；当1-=x 时，S x ∈=-3|12|；当2=x 时，S x ∈=-3|12|，这样的实数x 存在，是1-=x 或2=x .【考点】补集的概念及有关知识的综合运用．18．已知函数)(x f 定义域为)2,0(，求下列函数的定义域： （1）23)(2+x f ；（2）)2(log 1)(212x x f y -+=.【答案】(1))2,0()0,2( -；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件解202<<x 即可获解；(2)借助题设条件建立不等式组求解. 试题解析：（1）由202<<x ，得22<<-x 且0≠x ，所以)(2x f 的定义域为)2,0()0,2( -.(2)由（1），解⎪⎩⎪⎨⎧>≠<<-0)2(log 02221x x x ，且得21<<x .∴所求定义域为.【考点】函数的定义域和对数函数的图象及有关知识的综合运用．19．求下列函数的值域： （1）562---=x x y ；（2）x x y -+=14；（3）)21(12122>-+-=x x x x y . 【答案】(1)[]0,2；(2)(],5-∞；(3)),212[+∞+. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用换元转换法求解；(2)借助题设条件运用换元法转化为二次函数的问题求解；(3)运用基本不等式求解. 试题解析：(1)设)0(562≥---=u x x u ，则原函数可化为u y =，又∵44)3(5622≤++-=---=x x x u ，∴40≤≤u .故20≤≤u ，所以562---=x x y 的值域为]2,0[.（2）换元法：设01≥-=x t ，则21t x -=，∴原函数可化为)0(5)2(4122≥+--=+-=t t t t y ，∴5≤y ，∴原函数值域为]5,(-∞.(3) 21212121121121)12(12122+-+-=-+=-+-=-+-=x x x x x x x x x x y ，∵21>x ，∴021>-x ，∴22121)21(2212121=--≥-+-x x x x ，当且仅当212121-=-x x 时，即221+=x 时等号成立. ∴212+≥y ，∴原函数的值域为),212[+∞+.【考点】换元法、二次函数、基本不等式和转化与化归的数学思想及有关知识的综合运用．【易错点晴】函数的值域的求解方法一直是困扰学生的知识点和高中数学中的难点.函数值域的求解方法虽然较多,但是当然也要依据问题的特征具体问题具体分析.本题的几个问题的求解中分别运用转化化归法、换元法、基本不等式法等数学思想和方法.第一题转化为求函数)0(562≥---=u x x u 的值域；第二题则运用换元法将问题转化为求二次函数)0(5)2(4122≥+--=+-=t t t t y 的值域问题；第三题先将分式进行等价变形,创造出基本不等式的运用情境,进而运用基本不等式求出函数的最小值212+,从而求出函数的值域为),212[+∞+. 20．已知函数)1lg()1lg()(++-=x x x f 的定义域为A ，函数)16(log )(22x x g -=的值域为B ，求B A 、B A . 【答案】(]1,4，R .【解析】试题分析：借助题设条件运用对数函数的定义建立不等式求出集合B A ,,再求B A 、B A 即可获解.试题解析：由题意可得,01>-x ，01>+x ，解得1>x ，∴),1(+∞=A ，由02>x ，得161602<-<x ，∵12>，对数函数为增函数，∴416log )16(log 222=<-x ，∴]4,(-∞=B ，∴]4,1(=B A ，R B A = .【考点】对数函数的定义及一元一次不等式的解法及有关知识的综合运用．21．B A 、两城相距100km ，在两城之间距A 城x （km ）处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离（km ）的平方与供电量（亿度）之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度.（1）求x 的取值范围；（2）把月供电总费用y 表示成x 的函数；（3）核电站建在A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 【答案】(1)9010≤≤x ；(2)250005002152+-=x x y ；(3)当3100=x 时，350000min =y . 【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立不等式求解；(2)借助题设条件建立等式即可；(3)运用二次函数的知识求解. 试题解析：（1）x 的取值范围是9010≤≤x ；（2）25000500215)100(255222+-=-+=x x x x y ； （3）350000)3100(2152+-==x y ，所以当3100=x 时，350000min =y ，故核电站建在距A 城3100km 处，能使供电总费用y 最少.【考点】二次函数的图象和性质及有关知识的综合运用．22．已知集合}2|),{(2++==mx x y y x A ，}20,1|),{(≤≤+==x x y y x B ，如果∅≠B A ，求实数m 的取值范围.【答案】]1,(--∞.【解析】试题分析：借助题设条件运用转化化归的数学思想将其化归为方程有解的问题求解.试题解析：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得01)1(2=+-+x m x ① ∵∅≠B A ，∴方程①在区间]2,0[上至少有一个实数解. 首先，由04)1(2≥--=∆m ，得3≥m 或1-≤m .当3≥m 时，由0)1(21<--=+m x x 及121=x x 知，方程①只有负根，不符合要求； 当1-≤m 时，由0)1(21>--=+m x x 及0121>=x x 知，方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间]1,0(内，从而方程①至少有一个根在区间]2,0(内. 综上所述，所求m 的取值范围为]1,(--∞.【考点】二次函数与二次方程的关系及有关知识的综合运用．【易错点晴】数学思想是解答数学问题的灵魂和钥匙,常用的数学思想有函数方程、化归转化、分类整合、数形结合四大数学思想.本题在解答时需要运用和涉及的数学思想有化归转化、函数方程和分类整合三大数学思想和方法.求解时先将集合问题转化为方程01)1(2=+-+x m x 在区间]2,0[至少有一个实数根,然后再运用分类整合思想对3≥m 和1-≤m 进行分类验证和推理,从而求得实数的取值范围是]1,(--∞.。
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数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|0log 2A x x =<<，{}|32,xB y y x R ==+∈，则A B = （ ）A ．()1,4B ．()2,4C ．()1,2D ．()1,+∞2.设全集U R =，{}(2)|21x x A x -=<，{}|ln(1)B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}|12x x ≤<B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x ≥3.函数20.4log (34)y x x =-++的值域是（ ） A ．(]0,2-B ．[)2,-+∞C ．(],2-∞-D ．[)2,+∞4.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图象为（ ）5.函数22lg2x y x x -=+的图象（ ） A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线1x =对称D ．关于y 轴对称6.幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调递增区间是（ ） A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．(),-∞+∞D ．(),0-∞7.若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，2(log 3)a f =，4(log 5)b f =，32(2)c f =，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则函数()()1g x f x =+的零点的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足10'()xf x -≤，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +> B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +<D ．(0)(2)2(1)f f f +≥10.已知函数(2),2,()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11.若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．(0,1)D ．()1,+∞12.设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间(]1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A．1(0,))9+∞B．1(,1)9C．11(,)95D．11(,)73第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合{}2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B 的真子集的个数为 ． 14.已知函数1()xf x e =，则函数()f x 与直线y x =-平行的切线方程为 ． 15.若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，则k 的取值范围是 ．16.设函数10()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,，2()(1)x x g x f x e =-，则函数()g x 的递增区间是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A，函数()g x =的定义域为集合B ．（1）求A B ；（2）若{}|121C x m x m =-<<+，C B ⊆，求实数m 的取值范围．18.若二次函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c R ∈）满足(1)()41f x f x x +-=+，且(0)3f =．（1）求()f x 的解析式；（2）设()g x (2)x f =，求()g x 在[]3,0-的最大值与最小值．19.设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)． （1）确定a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．20.水库的储水量随时间而变化，现用t 表示事件，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为：21(1551)50,09()2404(9)(341)50,912.t t t e t v t t t t ⎧-+-+<≤⎪=⎨⎪--+<≤⎩（1）该水库的储水量小于50的时期称为枯水期，问：一年内那几个月份是枯水期？ （2）求一年内该水库的最大储水量．4.6计算．3e 的值为20计算）21.已知函数2()()x f x ax x e =+，其中e 是自然数的底数，a R ∈． （1）当0a <时，解不等式()0f x >；（2）若0a >，试判断()f x 在()1,1-上是否有最大或最小值，说明你的理由． 22.已知函数()(1)x f x x e -=+（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()'()x x xf x tf x e ϕ-=++，存在1x ，[]20,1x ∈，使得成立122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围．河北武邑中学2016—2017学年高三年级第一次调研考试数学试题（理科）答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BABCADBBADCC二、填空题13.15 14.10x y +-= 15.1a ≥或0a ≤ 16.(],0-∞，[]1,2 三、解答题17.解：（1）要使函数()f x 有意义，则220x x -->，解得2x >或1x <-，即{}|21A x x x =><-或．则2,13,213,m m m >-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得21m -<≤． 综上，1m ≤，即实数m 的取值范围是(],1-∞．18.解：（1）由(0)3f =，得3c =， ∴2()3f x ax bx =++． 又(1)()41f x f x x +-=+，∴22(1)(1)3(3)41a x b x ax bx x ++++-++=+， 即241ax a b x ++=+， ∴24,1,a a b =⎧⎨+=⎩∴2,1.a b =⎧⎨=-⎩∴2()23f x x x =-+．（2）2()(2)2223x x x g x f ==⋅-+， 令2xt =，1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，14t =时，max max ()()4g x h t ==． 19.解：（1）因为2()(5)6ln f x a x x =-+， 故6'()2(5)f x a x x=-+． 令1x =，得(1)16f a =，'(1)68f a =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为16(68)(1)y a a x -=--， 由点(0,6)在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =． （2）由（1）知，21()(5)6ln 2f x x x =-+（0x >）， 6'()5f x x x =-+(2)(3)x x x--=．令'()0f x =，解得12x =，23x =．当02x <<或3x >时，'()0f x >，故()f x 的递增区间是()0,2，()3,+∞； 当23x <<时，'()0f x <，故()f x 的递减区间是()2,3． 由此可知()f x 在2x =处取得极大值9(2)6ln 22f =+，在3x =处取得极小值(3)26ln 3f =+． 20.解：（1）当09t <≤时，21()(1551)5050240t v t t t e =-+-+<，即215510t t -+>．解得t >或t <从而0 5.2t <<≈． 当912t <≤时，()(9)(341)5050v t t t =--+<， 即(9)(341)0t t --<，解得4193t <<，所以912t <≤． 综上，0 5.2t <<或912t <≤，枯水期,1,2,3,4,5,10,11,12月． （2）由（1）知，水库的最大蓄水量只能在6-9月份．21'()(1336)240t v t t t e =-+-1(4)(9)240te t t =---， 令'()0v t =，解得9t =或4t =（舍）， 又当()6,9t ∈时，'()0v t >，()v t 递增； 当()9,10t ∈时，'()0v t <，()v t 递减． 所以，当9t =时，()v t 的最大值91(9)350150240v e =⨯⨯+=（亿立方米）， 故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．21.解：（1）因为0xe >，所以不等式()0f x >即为20ax x +>， 又因为0a <，所以不等式可化为1()0x x a+<， 所以不等式()0f x >的解集为1(0,)a-．（2）22'()(21)()(21)1x x xf x ax e ax x e ax a x e ⎡⎤=+++=+++⎣⎦，令2()(21)1g x ax a x =+++， 图象对称轴为2111122a x a a+=-=--<-． 因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()g x 在()1,1-内有零点，记为0x ， 在0(1,)x -上'()0g x <，()g x 递减，在0(,1)x 上'()0g x >，()g x 递增，()f x 在(1,1)-上有最小值，无最大值．22.解：（1）∵函数的定义域为R ，'()x xf x e=-， ∴当0x <时，'()0f x >；当0x >时，'()0f x <， ∴()f x 在(),0-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．（2）假设存在1x ，[]20,1x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，则[][]min max 2()()x x ϕϕ<． ∵2(1)1()()'()xxx t x x xf x tf x eeϕ-+-+=++=， ∴2(1)()(1)'()x xx t x t x t x x e e ϕ-+++--==-．①当1t ≥时，'()0x ϕ≤，()x ϕ在[]0,1上单调递减， 所以2(1)(0)ϕϕ<，就312et >->； ②0t ≤时，'()0x ϕ>，()x ϕ在[]0,1上单调递增， 所以2(0)(1)ϕϕ<，即320t e <-<；③01t <<时，在[)0,x t ∈，'()0x ϕ<，()x ϕ在[]0,t 上单调递减，在(],1x t ∈，'()0x ϕ>，()x ϕ在[],1t 上单调递增．所以{}2()max (0),(1)t ϕϕϕ<，即132max 1,3t t t e +-⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（*） 由（1）知，1()2t t g t e +=在[]0,1上单调递减，故4122tt e e +≤≤， 而233t e e e-<<，所以不等式（*）无解． 综上所述，存在(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞ ，使得命题成立．。