湖南省永州市2016年高考数学三模试卷(理科) Word版含解析

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2016年全国3卷高考理科数学真题及详细解析(解析版,学生版,精校版,新课标Ⅲ卷)

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

湖南省永州市2016届高三下学期第三次模拟考试理数试题解析(解析版)含解斩

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,2,3A B ==,则()UC A B =（ )A ．{}2B ．{}3C ．{}2,3D ．{}2,3,4 【答案】D 【解析】试题分析:依题意，{}3,4UCA =,则()U C AB ={}2,3,4,故选D.考点：集合的基本运算。

2。

设复数满足11z i z+=-，则的虚部为( ）A ．i -B ．C ．D ．1- 【答案】C考点：1、复数的四则运算;2、复数的概念.3。

下列函数中,在其定义域内是奇函数且是增函数的是（）A ．2xy = B ．2xy =C ．22xx y -=- D ．22xx y -=-【答案】D 【解析】试题分析：对于A ．2xy =为非奇非偶函数，故A 错误;对于B ．2xy =为偶函数,故B 错误；对于C ．22xx y -=-为奇函数但递减，故C 错误;对于D ．22xx y -=-为奇函数且是增函数，适合题意，故选D 。

1111］考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.4.袋中有大小完全相同的个红球和个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A ， “摸得的两球同色"为亊件B ,则概率()|P B A 为（）A ．14B ．12C ．13D ．34【答案】A 【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==，()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===,故选A 。

考点:条件概率。

5。

等差数列{}na 中，362,5aa ==,则数列{}2n a 的前项和等于（ )A ．15B ．31C ．63D ．127 【答案】B考点：1、数列的通项公式；2、数列求和。

6.若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,且函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点，则()f x 的最小正周期为（ )A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】试题分析：依题意,0326x ππ+==为函数()f x 的一条对称轴，且函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点，则06426T πππ-≤≤-,即2433T ππ≤≤，根据选项可得，函数()f x 的最小正周期为π，故选B 。

【VIP专享】2016届湖南省永州市高考一模试卷(理科)数学(解析版)

2015年湖南省永州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=1+2i，则z的模为（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的模的求法求解即可．【解答】解：复数z=1+2i，则z的模为： =．故选：D．【点评】本题考查复数的模的求法．是基础题．2．已知集合A={y|y=x2+2，x∈R}，B={y|y=4﹣x，x∈R}，则A∩B=（）A．{3，6}B．{﹣2，1}C．{y|y≥2}D．R【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可．【解答】解：A={y|y=x2+2，x∈R}={y|y≥2}，B={y|y=4﹣x，x∈R}=R，则A∩B={y|y≥2}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．cosxdx=（）A．0B．1C．2D．3【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】直接利用定积分的运算法则求法求解即可．【解答】解： cosxdx=sinx=1﹣0=1．故选：B．【点评】本题考查定积分的运算，基本知识的考查．4．命题“∀x∈[﹣2，1]，x2﹣a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．a≥4B．a≥1C．a≤4D．a≤1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若命题“∀x∈[﹣2，1]，x2﹣a≤0”为真命题，则a≥（x2）max=4，则a≥1是a≥4的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题中，真命题是（）A．l∥m⇒α⊥βB．α⊥β⇒l∥m C．l⊥m⇒α∥βD．l⊥m⇒α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．【解答】解：∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故A为真命题．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，又∵m⊂β，∴l与m可能平行也可能相交，也可能异面，故B 为假命题．若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，又由m⊂β，则α与β可能平行，可能相交，位置不确定，故C为假命题；若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，又由m⊂β，则α与β可能平行，可能相交，位置不确定，故D为假命题故选A【点评】本题主要考查显现，线面，面面位置关系的判断，属于概念题．6．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．7．定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）A．4B．3C．2D．﹣1【考点】程序框图．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值，由已知计算出a，b的值，代入可得答案．【解答】解：由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值∵a==1，b==2∴S=2×（1+1）=4故选A【点评】本题考查的知识点是程序框图，特殊角的三角函数，其中根据已知的程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．8．一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，三种视图如下所示，则这张桌子上碟子的个数为（）A．11B．12C．13D．14【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可得答案．【解答】解：由俯视图可得：碟子共有3摞，由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：故这张桌子上碟子的个数为3+4+5=12个，故选：B【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，分析出每摞碟子的个数是解答的关键．9．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作出直线y=x+2，过A作直线y=x+2的对称点C，2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．【解答】解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．【点评】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档题．10．定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的综合应用．【分析】连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【解答】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选：D．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属基础题．二、填空题（本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，满分10分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）．11．极坐标系中，圆ρ2+2ρsinθ=3的圆心到直线ρsinθ+ρcosθ﹣1=0的距离是．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：圆ρ2+2ρsinθ=3化为x2+y2+2y=3，配方为x2+（y+1）2=4，可得圆心C（0，﹣1）．直线ρsinθ+ρcosθ﹣1=0化为x+y﹣1=0，∴圆心到直线ρsinθ+ρcosθ﹣1=0的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．　12．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过点A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段DE的长度为　2　．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】立体几何．【分析】连接BE，OC，OC∩BE=F，证明四边形EFCD是矩形，△OBC是等边三角形，即可得出结论．【解答】解：连接BE，OC，OC∩BE=F，则OC⊥l，∵AD⊥l，∴AD∥OC，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，∵AD⊥l，∴l∥BE，∴四边形EFCD是矩形，∴DE=CF，∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC是等边三角形，∴CF=2，∴DE=2，故答案为：2．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．若a，b，c∈R+，且，则a+b+2c的最小值为　16　．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】a，b，c∈R+，且，可得a+b+2c=（a+b+2c），展开利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b，c∈R+，且，∴a+b+2c=（a+b+2c）=6++++++≥6+2+2+2=16，当且仅当a=b=c=4时取等号．∴a+b+2c的最小值为16．故答案为：16．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．（二）、必做题（共3小题，每小题5分）14．已知函数f（x）=ln（﹣x）+2，则f（lg3）+f（lg）=　4　．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（﹣x）+f（x）=+4=4，即可得出．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=+4=ln1+4=4，∴f（lg3）+f（lg）=f（lg3）+f（﹣lg3）=4．故答案为：4．【点评】本题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质，属于基础题．15．设实数x，y满足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1），若∥，则实数m的最小值为　﹣2　．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据向量平行的等价条件得到即m=2x﹣y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数m=2x﹣y的最小值．【解答】解：∵向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1），若∥，∴，即m=﹣2x+y，由m=﹣2x+y，得y=2x+m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x+m，由平移可知当直线y=2x+m，经过点B时，直线y=2x+m的截距最小，此时m取得最小值，由，解得，即B（2，2）．将B（2，2）坐标代入m=﹣2x+y得z=﹣4+2=﹣2，即目标函数m=﹣2x+y的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．若x0是函数f（x）=2x﹣x﹣3的零点，则[x0]（表示不超过x0的最大整数）的值为　﹣3或2　．【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】可以看作y=2x与g（x）=3+x交点问题，画出图象判断，利用零点存在性定理，f（﹣3）•f（﹣2）=×（﹣1）＜0，f（2）•f（3）=（﹣1）（2）=﹣2＜0，得出x0∈（﹣3，﹣2）或x0∈（2，3），在判断即可．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣x﹣3的零点，∴可以看作y=2x与g（x）=3+x交点问题．画出图象判断，利用零点存在性定理∵f（﹣3）•f（﹣2）=×（﹣1）＜0，f（2）•f（3）=（﹣1）（2）=﹣2＜0，∴x0∈（﹣3，﹣2）或x0∈（2，3），∴[x0]的值为﹣3或2，故答案为；﹣3或2【点评】本题考查了函数的图象的运用，零点的存在性定理，属于中档题，关键是估计区间．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b+c）（a﹣b+c）=3ac．（I）求B（Ⅱ）若f（x）=﹣sinωx﹣2sin2的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π，求f（A）的值域．【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】解三角形．【分析】（1）根据已知等式求得cosB，进而求得B．（2）利用二倍角公式对函数解析式进行化简，根据函数的周期求得ω，得到函数解析式，根据A的范围确定f（A）的范围．【解答】解：（1）（a+b+c）（a﹣b+c）=3ac．∴=，∴cosB=，B=．（2）f（x）=﹣sinωx﹣2sin2=﹣sinωx﹣2•=2cos（ωx+），由题意知函数f（x）的周期为4π，∴ω==，∴f（x）=2cos（+），∴f（A）=2cos（+），∵0＜A＜，∴＜+＜，∴0＜cos（+）＜，∴0＜f（A）＜，∴f（A）的值域为（0，）．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生综合运用三角函数知识的能力．18．2014年9月4日国务院新闻办公室举行《关于深化考试招生制度改革的实施意见》情况发布会，宣告新的高考制度改革正式拉开帷幕．该《实施意见》提出了“两依据、一参考”，其中一个依据是高考成绩，另一个依据是高中学业水平考试成绩．强调了把高中学业水平考试作为考察学生学业完成情况的一个重要方式．近日，某调研机构在某地区对“在这种情况下学生的课业负担是否会加重？”这一问题随机选择3600人进行问卷调查．调查结果统计如下：会不会不知道在校学生2100120y社会人士600x z已知在全体被调查者中随机抽取一人，抽到持“不会”意见的人的概率为0.05．（Ⅰ）求x和y+z的值；（Ⅱ）在持“不会”意见的被调查者中，用分层抽样的方法抽取6个人，然后把他们随机分成两组，每组3人，进行深入交流，求第一组中社会人士人数ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设事件A表示从全体被调查者中随机抽取一人，则，由此能求出x和y+z的值．（Ⅱ）依题意，用分层抽样的方法从持“不会”意见的被调查者中抽取6个人，则在此6人中，在校学生4人，社会人士2人，第一组中社会人士人数ξ的所有可能值为：0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出第一组中社会人士人数ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示从全体被调查者中随机抽取一人，则，∴x=60∴y+z=3600﹣2100﹣600﹣180=720（Ⅱ）依题意，用分层抽样的方法从持“不会”意见的被调查者中抽取6个人，则在此6人中，在校学生4人，社会人士2人，则把他们平均分成两组的所有可能的情况总数为：则第一组中社会人士人数ξ的所有可能值为：0，1，2．∴，，，∴随机变量ξ的分布列为ξ012p∴随机变量ξ的期望值为．【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．19．如图甲，在平面四边形PABC中，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，∠PCB=105°，现将四边形PABC沿AC折起，使平面PAC⊥平面ABC（如图乙），D，E分别是棱PB和PC的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由已知得PA⊥AC，PA⊥平面ABC，从而PA⊥BC，又由图甲知BC⊥BA，由此能证明BC⊥平面PAB．（Ⅱ）法一：以点B为坐标原点，分别以射线BA，BC为x，y轴，以垂直平面ABC向上方向为z轴，利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴，利用向量法能求出二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面ABC，并交于AC，PA⊥AC，有PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又由图甲知BC⊥BA，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB；…（Ⅱ）解法一：如图所示，以点B为坐标原点，分别以射线BA，BC为x，y轴，以垂直平面ABC向上方向为z轴，PA=2，则BC=1，BA=，A（，0，0），P（，0，2），C（0，1，0），D（，0，1），E（，，1），…，，设平面ADE的法向量为，则，，y=0，令x=2，则，，…平面ABC的法向量，．…故所求二面角的余弦值为．…解法二：如图所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴，PA=2，则BC=1，BA=，A（0，0，0），P（0，0，2），B（，，0），C（2，0，0），D（，，1），E（1，0，1），…，，设平面ADE的法向量为，则，，令x=1，则z=﹣1，，故，…平面ABC的法向量，．…故所求锐二面角的余弦值为．…【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．如图，椭圆Γ：，动直线l1：x=x1（﹣2＜x＜0），点A1，A2分别为椭圆Γ的左、右顶点，l1与椭圆Γ相交于A，B两点（点A在第二象限）．（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动直线l2：x=x2（﹣2＜x＜2，x1≠x2）与椭圆Γ相交于C，D两点，△OAB与△OCD的面积相等．证明：|OA|2+|OD|2为定值．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出直线A1A的方程、直线A2B的方程，联立，结合点A（x1，y1）在椭圆Γ上，即可求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设C（x2，y2），由△OAB与△OCD的面积相等，得，结合点A，C均在椭圆上，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），又A1（﹣2，0），A2（2，0），则直线A1A的方程为：①直线A2B的方程为：②由①②得：③由点A（x1，y1）在椭圆Γ上，故可得，∴，代入③得：（Ⅱ）证明：设C（x2，y2），由△OAB与△OCD的面积相等，得，因为点A，C均在椭圆上，∴由x1≠x2，所以．∴，∴|OA|2+|OD|2=7为定值【点评】本题考查椭圆方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．21．正项等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a1+a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设（n∈N*），若a∈[0，2]，求数列{b n}的最小项．【考点】数列与不等式的综合；数列的函数特性；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过a2，S2，a3成等差，求出q．推出通项公式即可．（Ⅱ）方法一：通过，利用二次函数的对称轴，讨论a的值，通过函数的单调性求出函数的最值，得到数列的最小项．方法二：通过b n+1﹣b n比较大小，判断函数的单调性，讨论a的值，通过函数的单调性求出函数的最值，得到数列的最小项．【解答】解：（Ⅰ）由a2，S2，a3成等差，有2S2=a2+a3，2（a1+a2）=a2+a3，a3=2a1+a2， =2a1+a1q，q2﹣q﹣2=0，q=﹣1，q=2，由a n＞0，q=2．故．（Ⅱ）方法一：，令，则=4t2+（a﹣4）t+a+1，对称轴，①当0≤a＜1时，对称轴＞，数列{b n}单调递增，最小项为；②当a=1时，对称轴=，恰好位于与的中间，则b1=b2，故n＞1时，数列{b n}单调递增，最小项为；③当1＜a≤2时，对称轴，位于与之间而靠近于，故n＞1时，数列{b n}单调递增，b1＞b2，最小项为．方法二：由=，则，==，由，①当，得，函数单调递增，即a＜f（1）=1，b n+1﹣b n＞0，数列{b n}单调递增，最小项为；②当a=1时，b2﹣b1=0，n＞1，，b n+1﹣b n＞0，故n＞1时，数列{b n}单调递增，最小项为；③由，求得，则当时，，，，b1＞b2，n＞1，，得b n+1﹣b n＞0，故n＞1时，数列{b n}单调递增，最小项为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，老师的函数特征，数列与不等式相结合，求解数列的最小值，考查分析问题解决问题的能力．22．已知函数f（x）=lnx﹣ax2，a为常数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1、x2，试证明：x1x2＞e．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，函数的导数，通过a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，求出极值点，然后通过导数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）设x1＞x2，求出，利用分析法证明x1x2＞e，转化为证明：（x1＞x2＞0），通过令，则t＞1，构造设（t＞1），利用函数的导数求解函数的最小值利用单调性证明即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），，…当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；…当a＞0时，由f'（x）=0，得，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…（Ⅱ）证明：设x1＞x2，∵，，∴，，则，欲证明x1x2＞e，即证lnx1+lnx2＞1，因为，∴即证，∴原命题等价于证明，即证：（x1＞x2＞0），令，则t＞1，设（t＞1），∴，∴g（t）在（1，+∞）单调递增，又因为g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，∴，所以x1x2＞e．…【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最小值以及函数的单调性的应用，构造法分析法证明不等式，考查分析问题解决问题的能力．。

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2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S = ，则S T ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P I (A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+）∞U ∞(C) [3,+） (D)（0，2] [3,+）∞U ∞（2）若z=1+2i ，则41izz =-(A)1(B) -1(C) i(D)-i（3）已知向量 , 则ABC=1(2BA =u u v 1),2BC =u u u v ∠(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若，则 3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=(A) (B) (C) 1(D)642548251625（6）已知，，，则432a =344b =1325c =（A ）（B ）（C ）（D ）b a c <<a b c <<b c a <<c a b <<（7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6（8）在中，，BC 边上的高等于,则 ABC △π4B =13BC cos A =（A （B（C ）（D ）-- (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18+（B ） 54+（C ）90（D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是⊥（A ）4π （B ）（C ）6π92π（D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P22221(0)x y a b a b+=>>为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）（B ）（C ）（D ）13122334（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，2k m ≤中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有12,,,k a a a （A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为_____________.{x ‒y +1≥0x ‒2y ≪0x +2y ‒2≪0（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长y =sin x ‒3cos x y =sin x +3cos x 度得到。

(完整版),2016全国三卷理科数学高考真题及答案,推荐文档

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S= S ={x P(x- 2)(x- 3) ≥ 0}, T ={x I x > 0}，则S I T=(A) [2，3] (B)（- ∞，2] U [3,+ ∞）(C) [3,+ ∞）(D)（0，2] U [3,+ ∞）4i（2）若z=1+2i ，则=zz -1(A)1 (B) -1 (C) i (D)-iu u v12u u u v31（3）已知向量BA = ( , ) , BC = ( , ), 则∠ABC=2 2 2 2(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C，B 点表示四月的平均最低气温约为50C。

下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在00C 以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C 的月份有5 个（5）若tan=3 4(A)64254，则cos2 + 2 sin 2=(B)48253 1(C) 1 (D)1625（6）已知a = 23 ，b = 44 ，c = 253 ，则（A） b <a <c （B）a <b <c （C）b <c <a （D）c <a <b （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A）3（B）4（C）5（D）6{（8）在△ABC 中， B = π ，BC 边上的高等于 1BC ,则cos A =4 3（A ）3 1010（C ） - 10 （B ） 1010（D ）- 3 1010(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18 +36（B ） 54 +18 （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球，若AB ⊥ BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则 V 的最大值是 9（A ）4π（B ）（C ）6π2（D ）32 3x 2 + y 2=> >（11）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C ：a 2b 21(a b0) 的左焦点，A ，B 分别为 C 的左，右顶点.P为 C 上一点，且 PF ⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 112 3 （A ）（B ）（C ）（D ）3 234（12）定义“规范 01 数列”{a n }如下：{a n }共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k ≤ 2m ，a 1 , a 2 , , a k 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m =4，则不同的“规范 01 数列”共有（A ）18 个（B ）16 个（C ）14 个（D ）12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分x ‒ y + 1 ≥ 0 x ‒ 2y ≪ 0（13）若 x ，y 满足约束条件 x + 2y ‒ 2 ≪ 0 则 z=x+y 的最大值为 . （14）函数y = sin x ‒ 3cos x 的图像可由函数y = sin x + 3cos x 的图像至少向右平移个单位长度得到。

湖南省四县(市区)2016届高三3月联考数学(理)试题 Word版含解析

2016年湖南省四县（市区）高考数学一模试卷（理科）一.选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣B．C．﹣D．3．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件4．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34135．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．66．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BFB．三棱锥A﹣BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．面直线AE、BF所成的角为定值7．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m、n对应的值为（）A．B．C．D．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f（0）等于（）A．B．C．D．9．已知集合A﹣{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219，则I（a）=129，D（a）=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．49510．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有（）A．11 B．12 C．20 D．2111．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．12．对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C 上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y=，（其中e为自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为（）A．B．C．D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=，g（x）=f（x）+ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a=．14．已知抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为．15．若x，y满足，且z=2x+y的最大值为4，则k的值为．16．已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ=．三.解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=4S n﹣1（n∈N*）（1）证明：a n+2﹣a n=4．（2）求数列{a n}的通项公式．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．（Ⅰ）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？19．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X ，求X 的分布列．20．已知椭圆C ：的离心率为，点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由． 21．已知函数f （x ）=a x +x 2﹣xlna （a ＞0，a ≠1）．（Ⅰ）求函数f （x ）单调区间；（Ⅱ）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4一1：几何证明选讲]22．如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明：（Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD •DE=2PB 2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：（θ为参数）上的点到直线l：ρcos（θ﹣）=k的距离为d．①当k=3时，求d的最大值；②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．2016年湖南省四县（市区）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z===，∴z﹣|z|=﹣=+i对应的点所在的象限为第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．2．cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知表达式，通过同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：cos（﹣φ）=，且|φ|＜，所以sinφ=﹣，φ，cosφ==，tanφ==．故选：C．【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．3．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用．4．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．5．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：将圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C关于直线2ax+by+6=0对称，∴直线2ax+by+6=0过圆心，将x=﹣1，y=2代入直线方程得：﹣2a+2b+6=0，即a=b+3，∵点（a，b）与圆心的距离d=，∴点（a，b）向圆C所作切线长l====≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，最小值为4．故选C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，勾股定理，以及圆的切线方程的应用，其中得出a与b的关系式是本题的突破点．6．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BFB．三棱锥A﹣BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．面直线AE、BF所成的角为定值【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】在A中，由AC⊥BD，AC⊥BB1，得AC⊥平面BDD1B1，从而AC⊥BF；在B中，A到平面BEF的距离不变，△BEF的面积不变，从而三棱锥A﹣BEF的体积为定值；在C 中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在D中，异面直线AE、BF所成的角不为定值．【解答】解：在A中，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，∴AC⊥BD，AC⊥BB1，∵BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BDD1B1，∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正确；在B中，∵AC⊥平面BDD1B1，∴A到平面BEF的距离不变，∵EF=，B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故B正确；在C中，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；在D中，异面直线AE、BF所成的角不为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m、n对应的值为（）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量减法及数乘的几何意义可以得出，，这样便可以求出，这样根据，并进行向量的数乘运算便得到，由平面向量基本定理即可建立关于m，n的二元一次方程组，从而可以解出m，n．【解答】解：根据条件，=；==；∴，，；∵；∴；∴；解得．故选：A．【点评】考查向量的加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f（0）等于（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数图象可得A，T，由周期公式可得ω，又（，0）点在函数图象上，可得：sin（+φ）=0，又|φ|＜，从而可得φ，即可求得f（0）的值．【解答】解：由函数图象可得：A=1，T=4（﹣）=π，由周期公式可得：ω==2，又（，0）点在函数图象上，可得：sin（+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，从而可得：φ=，故有：f（0）=sin（2×0+）=sin=，故选：A．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．9．已知集合A﹣{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219，则I（a）=129，D（a）=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．495【考点】程序框图．【专题】计算题；转化思想；试验法；算法和程序框图．【分析】利用验证法判断求解即可．【解答】解：A，如果输出b的值为792，则a=792，I（a）=279，D（a）=972，b=D（a）﹣I（a）=972﹣279=693，不满足题意．B，如果输出b的值为693，则a=693，I（a）=369，D（a）=963，b=D（a）﹣I（a）=963﹣369=594，不满足题意．C，如果输出b的值为594，则a=594，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）﹣I（a）=954﹣459=495，不满足题意．D，如果输出b的值为495，则a=495，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）﹣I（a）=954﹣459=495，满足题意．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，用验证法求解是解题的关键，属于基础题．10．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有（）A．11 B．12 C．20 D．21【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；分类讨论；分析法；排列组合．【分析】设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4﹣1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8﹣1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选：D．【点评】本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】规律型．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．故选：C．【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键．比较基础．12．对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C 上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y=，（其中e为自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为（）A．B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，当x≤0时，曲线y=与直线y=k1x无限接近，考虑渐近线，求出k1=﹣3；当x＞0时，设出切点，求出切线的斜率，列出方程，求出切点（1，2），即得k2=2，再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”．【解答】解：画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为y=k1x，y=k2x，当x≤0时，曲线y=与直线y=k1x无限接近，即为双曲线的渐近线，故k1=﹣3；当x＞0时，y′=e x﹣1+xe x﹣1，设切点为（m，n），则n=k2m，n=me m﹣1+1，k2=e m﹣1+me m﹣1，即有m2e m﹣1=1，由x2e x﹣1（x＞0）为增函数，且x=1成立，故m=1，k2=2，由两直线的夹角公式得，tanθ=||=1，故曲线C相对于点O的“确界角”为．故选：B．【点评】本题考查新定义“确界角”及应用，考查导数的应用：求切线，双曲线的性质：渐近线，属于中档题．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=，g（x）=f（x）+ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a=﹣．【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】依题意，可求得g（x）=，依题意，g（﹣1）=g（1）即可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）+ax=，∵g（x）=为偶函数，∴g（﹣1）=g（1），即﹣a﹣1=1+a﹣1=a，∴2a=﹣1，∴a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，求得g（x）的解析式后，利用特值法g（﹣1）=g（1）是解决问题的关键，属于中档题．14．已知抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先假设出直线AB的方程为y=﹣x+b，然后代入到抛物线方程中消去y得到两根之和、两根之积，再由x1x2=﹣可求出b的值从而确定直线AB的方程，再设AB的中点坐标M，根据A，B，M坐标之间的关系可得M的坐标，然后代入到直线y=x+m求出m的值．【解答】解：设直线AB的方程为y=﹣x+b，代入y=2x2得2x2+x﹣b=0，∴x1+x2=﹣，x1x2==﹣．∴b=1，即AB的方程为y=﹣x+1．设AB的中点为M（x0，y0），则x0==﹣，代入y0=﹣x0+1，得y0=．又M（﹣，）在y=x+m上，∴=﹣+m．∴m=．【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系问题，解决该题的关键是充分利用对称条件．属中档题15．若x，y满足，且z=2x+y的最大值为4，则k的值为﹣．【考点】简单线性规划．【专题】综合题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），即可求解k值．【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，如图示：直线kx﹣y+3=0过定点（0，3），∵z=2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4，由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），同时B也在直线kx﹣y+3=0上，代入直线得2k+3=0，即k=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．16．已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP 和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）的值．【解答】解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）=cos∠xOP•cos∠xOQ﹣sin∠xOP•sin∠xOQ==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．三.解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=4S n﹣1（n∈N*）（1）证明：a n+2﹣a n=4．（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由a n a n+1=4S n ﹣1，可得当n ≥2时，a n ﹣1a n =4S n ﹣1﹣1，a n ≠0，两式相减可得a n+1﹣a n ﹣1=4；（2）由（1）可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别为等差数列，进而得出数列{a n }的通项公式．【解答】（1）证明：∵a n a n+1=4S n ﹣1，∴当n ≥2时，a n ﹣1a n =4S n ﹣1﹣1，a n a n+1﹣a n ﹣1a n+1=4a n ， ∵a n ≠0，∴a n+1﹣a n ﹣1=4，（2）解：当n=1时，a 1a 2=4a 1﹣1， ∵a 1=1，解得a 2=3，由a n+1﹣a n ﹣1=4，可知数列{a n }的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为4，首项分别为1，3．∴当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a n =a 2k ﹣1=1+4（k ﹣1）=4k ﹣3=2n ﹣1；当n=2k （k ∈N *）时，a n =a 2k =3+4（k ﹣1）=2n ﹣1． ∴a n =2n ﹣1．【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=1，AD=，点F 是PB 的中点，点E 在棱BC 上移动．（Ⅰ）当E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）当BE 为何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45°？【考点】直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行．由线面平行的判定定理可以证出结论．用线面平行的判定定理证明时要注意把条件写全．（Ⅱ）建立空间坐标系设点E（x，1，0），求出用E的坐标表示的平面PDE的法向量，由线面角的向量表示公式建立方程求出E的坐标．【解答】解：（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC．又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC．（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），D（，0，0），设BE=x（0≤x≤），则E（x，1，0），设平面PDE的法向量为=（p，q，1），由，得，令p=1，则=（1，﹣x，）．而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°，所以sin45°===，解得BE=x=或BE=x=＞（舍）．故BE=时，PA与平面PDE所成角为45°．【点评】考查用向量证明立体几何中的问题，此类题的做题步骤一般是先建立坐标系，设出坐标，用线的方向向量的内积为0证线线垂直，线面垂直，用线的方向向量与面的法向量的垂直证面面平行，两者的共线证明线面垂直．此处为一规律性较强的题，要注意梳理清楚思路．19．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；散点图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）由已知能求出小王这8天“健步走”步数的平均数．（II）X的各种取值可能为800，840，880，920，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【解答】（本小题满分13分）解：（I）小王这8天“健步走”步数的平均数为：（千步）．…..（II）X的各种取值可能为800，840，880，920．，，，，X的分布列为：…..【点评】本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1•k2为定值即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得，a2=b2+c2，…又因为点在椭圆C上，所以，…解得a=2，b=1，，所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r＞0）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．…由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1．…由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，…则．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，，…设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以=，…将m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值．…当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足．综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值．…【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f （﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（a x﹣1）lna，h'（x）=2+a x ln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…（Ⅱ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：所以f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…因为，令，因为，所以在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即，函数在a∈（0，1）上是减函数，解得．综上可知，所求a的取值范围为．…【点评】本题考查了基本函数导数公式，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4一1：几何证明选讲]22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【专题】选作题；立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：（θ为参数）上的点到直线l：ρcos（θ﹣）=k的距离为d．①当k=3时，求d的最大值；②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】方程思想；数形结合法；坐标系和参数方程．【分析】①当k=3时，可化l的方程为x+y﹣6=0，由点到直线的距离公式和三角函数的最值可得；②分别化为普通方程x2+y2=2，x+y﹣k=0，由直线l与圆C相交可得圆心O到直线l的距离d＜，解关于k的不等式可得．【解答】解：①当k=3时，l：ρcos（θ﹣）=3，可得l：ρcosθcos+ρsinθsin=3，整理得l：x+y﹣6=0，则d==∴当sin（θ+）=﹣1时，d max==4；②消去cosθ可将圆C的参数方程化为普通方程x2+y2=2，直线l的极坐标方程化为普通方程x+y﹣k=0，∵直线l与圆C相交，∴圆心O到直线l的距离d＜，即＜，解得﹣2＜k＜2．【点评】本题考查参数方程和极坐标方程，涉及点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）若不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，故3x2﹣6x﹣9=0时，x2+mx+n=0，进而由韦达定理得到答案；（2）运用重要不等式a+b≥2，结合累加法和三个数的完全平方公式，即可得证．。

2016届湖南省永州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)

湖南省永州市2016年高考数学三模试卷（理科）（解析版）一、选择题1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{2，3，4}2．设复数z满足=i，则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣13．下列函数中，在其定义域内是奇函数且是增函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2﹣x﹣2x D．y=2x﹣2﹣x4．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A，“摸得的两球同色”为事件B，则概率P（B|A）为（）A．B．C．D．5．等差数列{a n}中，a3=2，a6=5，则数列{}的前5项和等于（）A．15 B．31 C．63 D．1276．若函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），满足f（0）=f（），且函数在[0，]上有且只有一个零点，则f（x）的最小正周期为（）A．B．πC． D．2π7．当实数x，y满足不等式组，恒有ax+y≤3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）8．MOD（a．b）表示求a除以b的余数，若输入a=34，b=85，则输出的结果为（）A．0 B．17 C．21 D．349．已知三棱柱ABO﹣DCE的顶点A、B、C、D、E均在以顶点O为球心、半径为2的球面上，其中AB=2，则三棱柱的侧面积为（）A．2+2B．2+4C．4+4D．4+610．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣2，﹣1），C（6，﹣1），以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）A．x2+y2=1 B．x2+y2=4C．x2+y2=D．x2+y2=1或x2+y2=3711．一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣k（﹣），若x=1是函的f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣]∪{0}D．（﹣∞，﹣]∪{0，e}二、填空题13．二项式（2x2﹣）6展开式中，x﹣3项的系数为．14．已知向量与的夹角为，且||=1，|﹣|=1，则||=．15．在双曲线﹣=1（a，b＞0）中，若过双曲线左顶点A斜率为1的直线交右支于点B，点B在x轴上的射影恰好为双曲线的右焦点F，则该双曲线的离心率为．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n﹣1n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．三、解答题17．（12分）（2016永州三模）如图，已知∠BAC=，正△PMN的顶点M、N分别在射线AB、AC上运动，P在∠BAC的内部，MN=2，M、P、N按逆时针方向排列，设∠AMN=θ．（1）求AM（用θ表示）；（2）当θ为何值时PA最大，并求出最大值．18．（12分）（2016永州三模）正方形ABCD所在的平面与三角形ABE所在的平面交于AB，且DE⊥平面ABE，ED=AE=1．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求平面CEB与平面ADE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）（2016永州三模）2016年1月1日，我国实施“全面二孩”政策，中国社会科学院在某地（已婚男性约15000人）随机抽取了150名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下；（1）求这100名已婚男性的年龄平均值和样本方差s2（同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位）；（2）（Ⅰ）试估计该地愿意生育二孩的已婚男性人数；（Ⅱ）由直方图可以认为，愿意生育二孩的已婚男性的年龄ξ服从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似样本的平均值，δ2近似为样本的方差s2，试问：该地愿意生育二孩且处于较佳的生育年龄ξ（ξ∈（26，31））的总人数约为多少？（结果精确到个位）附：若ξ～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=0.9544．20．（12分）（2016永州三模）已知椭圆C： +=1（a＞0）的两条切线方程y=±（x﹣4），切点分别为A、B，且切线与x轴的交点为T．（1）求a的值；（2）过T的直线l与椭圆C交于M，N两点，与AB交于点D，求证： +为定值．21．（12分）（2016永州三模）已知函数f（x）=﹣lnx（a≠0，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在两个不相等的正数x1，x2，满足f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞2a．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016永州三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC∥BP，BM 切⊙O于B，BM交CP于M，且CM=MP．（1）求证：CP与⊙O相切；（2）已知CP与AB交于N，AB=2，CN=，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016永州三模）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为：（α为参数），M是圆C1上得动点，MN⊥x轴，垂足为N，P是线段MN的中点，点P的轨迹为曲线C2．（1）求C2的参数方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求△C1AB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016永州三模）已知x≥y＞0．（1）若xy=1，|x﹣1|+|y﹣1|≥1，求x的取值范围．（2）若x+y=1，证明：（﹣1）（﹣1）≥9．2016年湖南省永州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的定义与运算性质，进行化简与运算即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴C U A={3，4}，又B={2，3}，∴（C U A）∪B={2，3，4}．故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．2．设复数z满足=i，则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则答案可求．【解答】解：由=i，得1+z=i﹣iz，即（1+i）z=﹣1+i，∴，∴z的虚部为1．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．下列函数中，在其定义域内是奇函数且是增函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2﹣x﹣2x D．y=2x﹣2﹣x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数的奇偶性与单调性的定义，对选项中的函数进行判断即可．【解答】解：对于A，指数函数y=2x在其定义域上是非奇非偶函数，不符合题意；对于B，函数y=2|x|在其定义域是偶函数，不符合题意；对于C，函数y=2﹣x﹣2x是定义域上的奇函数，且是减函数，不符合题意；对于D，函数y=2x﹣2﹣x是定义域上的奇函数，且是增函数，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了基本初等函数的奇偶性与单调性的判断问题，是基础题目．4．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A，“摸得的两球同色”为事件B，则概率P（B|A）为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】求出事件A发生的概率，事件AB同时发生的概率，利用条件概率公式求得P（B|A）．【解答】解：由P（A）=，P（AB）==，由条件概率P（B|A）==，故答案为：A．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．5．等差数列{a n}中，a3=2，a6=5，则数列{}的前5项和等于（）A．15 B．31 C．63 D．127【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，a6=5，∴，解得d=1，a1=0．∴a n=n﹣1．∴=2n﹣1．则数列{}的前5项和S5==31．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），满足f（0）=f（），且函数在[0，]上有且只有一个零点，则f（x）的最小正周期为（）A．B．πC． D．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f（0）=f（），得出函数f（x）的一条对称轴x=；再根据题意得出﹣0≤≤﹣，结合题目中的选项求出f（x）的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），满足f（0）=f（），∴x==是函数f（x）的一条对称轴；又函数f（x）在[0，]上有且只有一个零点，∴﹣0≤≤﹣，即≤T≤，结合题目中的选项，得：f（x）的最小正周期为T=π．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的零点、对称轴与周期的应用问题，是基础题目．7．当实数x，y满足不等式组，恒有ax+y≤3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式满足的平面区域，由直线ax+y=3过定点M（0，3），且ax+y≤3恒成立，结合图形确定出a的范围即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，1），∵直线ax+y=3过定点M（0，3），∴要使对可行域内的所有点，都有ax+y≤3成立，则﹣a≥，即a≤1．故选：A．【点评】此题考查了简单线性规划，画出正确的图形是解本题的关键，是中档题．8．MOD（a．b）表示求a除以b的余数，若输入a=34，b=85，则输出的结果为（）A ．0B ．17C ．21D ．34【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，b ，m 的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出a 的值为17．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=34，b=85不满足条件a ＞b ，c=34，a=85，b=34m=MOD （85，34）=17，a=34，b=17不满足条件m=0，m=MOD （34，17）=0，a=17，b=0，满足条件m=0，退出循环，输出a 的值为17．故选：B ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a ，b ，m 的值是解题的关键，属于基础题．9．已知三棱柱ABO ﹣DCE 的顶点A 、B 、C 、D 、E 均在以顶点O 为球心、半径为2的球面上，其中AB=2，则三棱柱的侧面积为（）A ．2+2B ．2+4C ．4+4D ．4+6【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】连结OD ，OC ，则△OBC 与△OEC 都是边长为2的等边三角形，从而三棱柱的侧面积S=S 正方形ABCD +2S 四边形BCEO =S 正方形ABCD +4S △OBC ，由此能求出结果．【解答】解：如图，三棱柱ABO ﹣DCE 的顶点A 、B 、C 、D 、E 均在以顶点O 为球心、半径为2的球面上，AB=2，连结OD ，OC ，则△OBC 与△OEC 都是边长为2的等边三角形， ∴三棱柱的侧面积：S=S 正方形ABCD +2S 四边形BCEO =S 正方形ABCD +4S △OBC=2×2+4×（）=4+4．故选：C ．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，3），B （﹣2，﹣1），C （6，﹣1），以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（） A ．x 2+y 2=1 B ．x 2+y 2=4C ．x 2+y 2=D ．x 2+y 2=1或x 2+y 2=37【考点】圆的标准方程．【分析】由题意画出图形，结合以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，求出圆的半径，则圆的方程可求．【解答】解：如图，A （﹣2，3），C （6，﹣1），∴过A 、C 的直线方程为，化为一般式方程，x +2y ﹣4=0．点O 到直线x +2y ﹣4=0的距离d=，又OA=，OB=，OC=．∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为（0，﹣1）或（6，﹣1），∴圆的半径为1或，则圆的方程为x2+y2=1或x2+y2=37．故选：D．【点评】本题考查圆的标准方程，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得该几何体是四分之一圆锥和一个八分之一球的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由球体、椎体的积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，该几何体是四分之一圆锥和一个八分之一球的组合体，球的半径和圆锥的底面半径均为1，圆锥的高为1，∴几何体的体积V===，故选：B【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．12．已知函数f（x）=﹣k（﹣），若x=1是函的f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣]∪{0}D．（﹣∞，﹣]∪{0，e}【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由f（x）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【解答】解：∵函数f（x）=﹣k（﹣），x≠0，∴f′（x）=﹣k（﹣+）=，∵x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴xe x﹣k=0在（﹣∞，0），（0，+∞）无变号零点，令g（x）=xe x﹣k，g′（x）=e x（x+1），令g′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令g′（x）＜0，解得：x＜﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，0），（0，+∞）递增，g（x）的最小值为g（﹣1）=﹣﹣k≥0，解得：k≤﹣，又k=0时，f（x）=，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，∴f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，x=1是函的f（x）的唯一一个极值点，符合题意，综上所述，k（﹣∞，﹣]∪{0}．故选：C．【点评】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．二、填空题13．二项式（2x2﹣）6展开式中，x﹣3项的系数为﹣12．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令展开式中含x项的系数等于﹣3求出r的值，由此求出结果．【解答】解：二项式（2x2﹣）6展开式中，通项公式为T r+1=C6r（2x2）6﹣r（﹣）r=26﹣r（﹣1）r C6r x12﹣3r，令12﹣3r=﹣3，解得r=5，所以T5+1=2（﹣1）5×C65x﹣3=﹣12x﹣3，所以含x﹣3项的系数为﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查了二项式定理与通项公式的应用问题，是基础题目．14．已知向量与的夹角为，且||=1，|﹣|=1，则||=1或2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件可以得到，从而对两边平方即可得出，这样解该方程即可求出的值．【解答】解：根据条件，；∴==1，∴；解得．故答案为：1或2．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，对等式两边平方从而求的方法，以及一元二次方程的解法．15．在双曲线﹣=1（a，b＞0）中，若过双曲线左顶点A斜率为1的直线交右支于点B，点B在x轴上的射影恰好为双曲线的右焦点F，则该双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），令x=c，代入双曲线的方程，可得B的坐标，由两点的斜率公式，化简整理，结合a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），令x=c，可得y=±b=±，即有B（c，），由直线AB的斜率为1，可得：=1，即有b2=a（c+a），又b2=c2﹣a2=（c﹣a）（c+a），即有c﹣a=a，即c=2a，e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用两点的直线的斜率公式和基本量的关系，考查运算能力，属于中档题．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n﹣1n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（﹣3，1）．【考点】数列的求和．，可得a n=（﹣1）n﹣1【分析】S n=（﹣1）n﹣1n，可得：a1=S1=1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1（2n﹣1），对n分类讨论，利用（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，即可解出．【解答】解：∵S n=（﹣1）n﹣1n，∴a1=S1=1．=（﹣1）n﹣1n﹣（﹣1）n﹣2（n﹣1）=（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1时也成立，∴a n=（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n为偶数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[（2n+1）﹣p][﹣（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n﹣1）＜p＜2n+1，可得﹣3＜p＜5．当n为奇数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[﹣（2n+1）﹣p][（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n+1）＜p＜2n﹣1，可得﹣3＜p＜1．∴，解得﹣3＜p＜1．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016永州三模）如图，已知∠BAC=，正△PMN的顶点M、N分别在射线AB、AC上运动，P在∠BAC的内部，MN=2，M、P、N按逆时针方向排列，设∠AMN=θ．（1）求AM（用θ表示）；（2）当θ为何值时PA最大，并求出最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）在△AMN中，由正弦定理可得：=，代入化简即可得出．（II）在△AMP中，由余弦定理可得：AP2=AM2+22﹣4AMcos∠AMP，代入化简整理即可得出．【解答】解：（1）在△AMN中，由正弦定理可得：=，∴AM==．（II）在△AMP中，由余弦定理可得：AP2=AM2+22﹣4AMcos∠AMP=+4﹣=+4﹣=+=﹣，θ∈．当且仅当=，即θ=时，|AP|max=2．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016永州三模）正方形ABCD所在的平面与三角形ABE所在的平面交于AB，且DE⊥平面ABE，ED=AE=1．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求平面CEB与平面ADE所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出DE⊥AB，AD⊥AB，从而AB⊥平面ADE，由此能证明平面ABCD ⊥平面ADE．（2）以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，以过A点垂直平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面CEB与平面ADE成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵DE⊥平面ABE，AB⊂平面ABE，∴DE⊥AB，又四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，∵DE与AD相交，∴AB⊥平面ADE，∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．解：（2）由（1）知AB⊥AE，以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，以过A点垂直平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，∵ED=AE=1，∴AD=，E（0，1，0），B（，0，0），D（0，1，1），==（，0，0），C（，1，1），=（），=（），设面BEC的法向量=（x，y，z），则，即，令x=，得=（），面ADE的一个法向量为=（1，0，0），cos＜＞===，∴平面CEB与平面ADE成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2016永州三模）2016年1月1日，我国实施“全面二孩”政策，中国社会科学院在某地（已婚男性约15000人）随机抽取了150名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下；（1）求这100名已婚男性的年龄平均值和样本方差s2（同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位）；（2）（Ⅰ）试估计该地愿意生育二孩的已婚男性人数；（Ⅱ）由直方图可以认为，愿意生育二孩的已婚男性的年龄ξ服从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似样本的平均值，δ2近似为样本的方差s2，试问：该地愿意生育二孩且处于较佳的生育年龄ξ（ξ∈（26，31））的总人数约为多少？（结果精确到个位）附：若ξ～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；简单随机抽样．【分析】（1）由频率分布直方图能求出这100名已婚男性的年龄平均值和样本方差s2．（2）（Ⅰ）该地愿意生育二孩的已婚男性人数为15000×=10000人（Ⅱ）由（1）知，且ξ～N（36，25），即可求出P（26＜ξ＜31）= [P（26＜ξ＜46）﹣P （31＜ξ＜41）]=0.1359，问题得以解决．【解答】解：（1）100名已婚男性的年龄平均值和样本方差s2分别为=24×0.04+28×0.08+32×0.16+36×0.44+40×0.16+44×0.1+48×0.02=35.92≈36，s2=（﹣12）2×0.04+（﹣8）2×0.08+（﹣4）2×0.16+02×0.44+42×0.16+82×0.1+122×0.02≈25，（2）（Ⅰ），该地愿意生育二孩的已婚男性人数为15000×=10000人，（Ⅱ）由（1）知，标准差s=5，且ξ～N（36，25），∴P（31＜ξ＜41）=0.6826，P（26＜ξ＜46）=0.9544，∴P（26＜ξ＜31）= [P（26＜ξ＜46）﹣P（31＜ξ＜41）]=0.1359，∴该地愿意生育二孩且处于较佳的生育年龄ξ（ξ∈（26，31））的总人数约为10000×0.1359=1359人．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．20．（12分）（2016永州三模）已知椭圆C： +=1（a＞0）的两条切线方程y=±（x﹣4），切点分别为A、B，且切线与x轴的交点为T．（1）求a的值；（2）过T的直线l与椭圆C交于M，N两点，与AB交于点D，求证： +为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）联立，得（3+）x2﹣2a2x+a2=0，直线与椭圆相切，利用的判别式能求出a．（2）T（4，0），设直线l的方程为x=my+4，联立，消去x，得（3m2+4）y2+24my+4m2+36=0，由此利用韦达定理、相似形性质，结合已知条件能证明+为定值．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞0）的两条切线方程y=±（x﹣4），∴联立，消去y并化简，得（3+）x2﹣2a2x+a2=0，∵直线与椭圆相切，∴△=4a4﹣4（3+）a2=3a4﹣12a2=0，由a＞0，解得a=2．证明：（2）由（1）得T（4，0），不妨设直线l的方程为x=my+4，由题意得m≠0，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去x，得（3m2+4）y2+24my+4m2+36=0，由根与系数的关系，得，，又切点的横坐标应满足方程（3+）x2﹣2a2x+a2=0，即4x2﹣8x+4=0，即x A=x B=1，∴直线AB的方程为x=1．当直线l与x轴重合时，|TD|=3，|TM|=2，|TN|=6，∴+=为定值；当直线l与x轴不重合时，m≠0，则点D（1，﹣），根据相似形，得==，==，∴+==（y1，y2同号）==2为定值．∴+为定值2．【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式和为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线与椭圆相切、韦达定理的合理运用．21．（12分）（2016永州三模）已知函数f（x）=﹣lnx（a≠0，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在两个不相等的正数x1，x2，满足f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞2a．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）得到a＞0符合题意，不妨设x1＜x2，问题转化为证f（x2）＞f（2a﹣x1）即可，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，当a＞0时，x≥a，f′（x）≥0，0＜x＜a，f′（x）＜0，当a＜0时，x＞0，f′（x）＜0，故a＞0时：f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减；（2）证明：由（1）得：a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减，不合题意；a＞0时：f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，若存在两个不相等的正数x1，x2，满足f（x1）=f（x2），不妨设x1＜x2，则有x1∈（0，a），x2∈（a，+∞），要证x1+x2＞2a，即证x2＞2a﹣x1，而x2＞a，2a﹣x1＞a，故只需证f（x2）＞f（2a﹣x1）即可，函数F（x）=f（x）﹣f（2a﹣x）的定义域是（0，2a），F（x）=f（x）﹣f（2a﹣x）=﹣lnx﹣+ln（2a﹣x），F′（x）=≤0，当且仅当x=a“=”成立，F（x）在（0，2a）递减，而F（a）=0，∴x∈（0，a）时，F（x）=f（x）﹣f（2a﹣x）＞0，x∈（a，2a）时，F（x）=f（x）﹣f（2a﹣x）＜0，故x1∈（0，a），有f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，从而x1+x2＞2a．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016永州三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC∥BP，BM 切⊙O于B，BM交CP于M，且CM=MP．（1）求证：CP与⊙O相切；（2）已知CP与AB交于N，AB=2，CN=，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）连接BC，OC，证明△OCM≌△OBM，可得∠OCM=90°，即可证明CP与⊙O相切；（2）由切割线定理可得：CN2=NANB，求出NA，利用△ACB∽△CBP求AC的长．【解答】（1）证明：连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC∥BP，∴∠CBP=90°，∵CM=MP，∴MC=MB，∵OC=OB，OM=OM，∴△OCM≌△OBM，∴∠OCM=90°，∴CP与⊙O相切；（2）解：由切割线定理可得：CN2=NANB，∵AB=2，CN=，∴3=NA（NA+2），∴NA=1，∵AC∥BP，∴==．设AC=x，则BP=3x．∵△ACB∽△CBP，∴=，∴BC=x．在△ACB中，AB2=AC2+BC2，∴4=x2+3x2，∴x=1，∴AC=1．【点评】本题考查直线与圆相切，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016永州三模）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为：（α为参数），M是圆C1上得动点，MN⊥x轴，垂足为N，P是线段MN的中点，点P的轨迹为曲线C2．（1）求C2的参数方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求△C1AB的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）设P（x，y），则M（x，2y），由点M在C1上，可得，化简即可得出C2的参数方程．（2）圆C1的参数方程为：（α为参数），化为普通方程，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．C2的参数方程为（α为参数），化为普通方程，同理可得极坐标方程．射线与C1的交点A的极径ρ1=．射线与C2的交点B的极径ρ2=，可得|AB|=|ρ1﹣ρ2|，又C1到BA的距离d=．即可得出=|BA|d．【解答】解：（1）设P（x，y），则M（x，2y），∵点M在C1上，∴，即．∴C2的参数方程为（α为参数）．（2）圆C1的参数方程为：（α为参数），化为普通方程：x2+（y﹣2）2=4，展开为：x2+y2﹣4y=0．可得极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．C2的参数方程为（α为参数），化为普通方程： +（y﹣1）2=1，展开为：x2+4y2﹣8y+3=0，可得极坐标方程：ρ2（1+3sin2θ）﹣8ρsinθ=0．即ρ（1+3sin2θ）=8sinθ．射线与C1的交点A的极径ρ1==2．射线与C2的交点B的极径ρ2==．∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=，又C1到BA的距离d==．∴=|BA|d==．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、直线与曲线的交点、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016永州三模）已知x≥y＞0．（1）若xy=1，|x﹣1|+|y﹣1|≥1，求x的取值范围．（2）若x+y=1，证明：（﹣1）（﹣1）≥9．【考点】不等式的证明．【分析】（1）由条件可得x≥1，0＜y≤1，原不等式|x﹣1|+|y﹣1|≥1化为x2﹣x﹣1≥0，即可得到x的范围；（2）由条件将原不等式左边化为=+1，运用均值不等式即可得证．【解答】解：（1）由x≥y＞0，xy=1，可得x≥1，0＜y≤1，不等式|x﹣1|+|y﹣1|≥1化为x﹣1+1﹣y≥1，即为y≤x﹣1，由y=，可得x2﹣x﹣1≥0，解得x≥或x≤，由x≥1，可得x的取值范围是[，+∞）；（2）由x+y=1，1＞x≥y＞0，可得（﹣1）（﹣1）====+1≥+1=8+1=9．即有原不等式成立．【点评】本题考查不等式的解法和不等式的证明，注意运用二次不等式的解法和均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

湖南省高考数学模拟试卷(三)理(含解析)

2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，925．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．27．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B．C．D．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是（用数字作答）14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）= ．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值．【解答】解：由（2+ai）（a﹣2i）=8，得4a+（a2﹣4）i=8，∴，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，∴“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，92【考点】茎叶图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为S n的表达式，配方即可求得答案．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣9，a2+a8=2a1+8d=﹣18+8d=﹣2，解得d=2，所以，S n=﹣9n+=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，故当n=5时，S n取得最小值，故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．2【考点】循环结构．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环k的值，当k=5时，大于4，计算输出S的值为，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得S=sin=，输出S的值为．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结果的程序框图，模拟执行程序正确得到k的值是解题的关键，属于基础题．7．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函数y=sin（2x+φ）（φ）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+φ）=0， +φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1﹣=，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据三角形重心的性质得到，可得．由已知向量等式移项化简，可得=，根据平面向量基本定理得到，从而可得a=b=c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D【点评】本题给出三角形中的向量等式，求角A的大小，着重考查了三角形重心的性质、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M 坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合隐含条件求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在Rt△BMN中，∵BM=AB=2a，∠MBN=60°，∴|BN|=a，，故点M的坐标为M（2a，），代入双曲线方程得a2=b2，即c2=2a2，∴．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是10 （用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；二项式定理．【分析】由展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r即可得出．【解答】解：展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r=2，∴（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）= ﹣．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；分类法．【分析】由函数f（x）=且f（a）=﹣3，求出a值，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴当a≤1时，2a﹣2﹣2=﹣3，无解；当a＞1时，﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣2﹣2=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，方程思想，难度中档．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 1 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x数形结合可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（4，﹣1）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：2×4﹣3=1，故答案为：1．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（0，+∞）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：由题意令g（x）=，则=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是单调递减函数，∵y=f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜e x等价为＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式及余弦定理化简已知等式可得，解得：sinA+2cosA=2，又sin2A+cos2A=1，从而解方程组即可得解．（Ⅱ）由tanC=2，可得sinC，cosC的值，可得，从而由正弦定理即可解得．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由题意可得：，…所以解得：sinA+2cosA=2，又因为sin2A+cos2A=1，解方程组可得．…（Ⅱ）∵tanC=2，C为三角形的内角，∴易得，…∴…∴．…【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，同角三角函数关系式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，由此利用等可能事件概率计算公式能求出其中只有一个优秀成绩的概率．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，∴其中只有一个优秀成绩的概率p==．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）==，∴X的分布列为：EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，从而PB⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PBC．②取PB中点M，连结RM，SM，由已知推导出平面PAD∥平面SMR，由此能证明RS∥平面PAD．（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）①证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面APB，又PB⊂平面APB，∴PB⊥AD，∵PD⊥PB，AD∩PD=D，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．②证明：取PB中点M，连结RM，SM，∵R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，∵RS⊂平面SMR，∴RS∥平面PAD．（Ⅱ）解：由已知得，解得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（），D（0，﹣，1），C（0，，2），∴，， =（0，，2），设平面PDQ的法向量，则，取y=2，得，设平面PCQ的法向量，则，取b=4，得=（0，4，﹣3），设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，f（x）≤f（1）=0，合题意．故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），∴＜2（﹣1）．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为： +x2=1．…（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx﹣1由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…∵切点A在第一象限．∴k=1…∵l∥l1∴设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，解得．设B（x1，y1），C（x2，y2），则，．…又直线l交y轴于D（0，m）∴…=当，即时，．…所以，所求直线l的方程为．…【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB 的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△CO B和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（Ⅱ）解：设OA=1，AD=x，则AB=2，AE=x+3，由AB2=AD•AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．。

2016年湖南省永州市高考数学预测卷(理科)(一)

2016年湖南省永州市高考数学预测卷（理科）（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共7小题，共35.0分)1.一袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为C71+C31C41=19种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为C82=28，故所求概率为，故选：D．根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题．2.已知等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，定义映射f（a1，a2，a3，a4）=b1-b2+b3-b4，则f（2，0，1，6）等于（）A.-3B.3C.9D.2016【答案】A【解析】解：由x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，得f（2，0，1，6）=x4+2x3+x+6=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，在等式两边分别取x=-2，得b1-b2+b3-b4=-3．故选：A．在已知等式中分别以2，0，1，6替换a1，a2，a3，a4，得到x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，取x=-2求得b1-b2+b3-b4，则答案可求．本题考查映射的概念，关键是对题意的理解，是中档题．3.某多面体是一个四棱锥被一平面截去一部分后得到，它的三视图如图所示，此多面体的体积是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】解：根据三视图得，该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P-ABCD所得的几何体，且PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=3、AB=AD=2，E是PC的中点，则EF=PA=，∴截取的部分为三棱锥E-BCD的体积为：V三棱锥E-BCD==1，∴多面体的体积V=V四棱锥P-ABCD-V三棱锥E-BCD==3，故选：B．根据三视图画出几何体，由三视图求出几何元素的长度，由分割法和锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g （x）的图象．若对满足|f（x1）-g（x2）|=4的x1、x2，有|x1-x2|的最小值为，则φ=（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x-φ）+]=2sin（2x+-2φ）的图象，故f（x）、g（x）的最小正周期都是T=π．若对满足|f（x1）-g（x2）|=4的x1、x2，有|x1-x2|min=-φ=-φ=，则φ=，故选：A．由题意可得|x1-x2|的最小值为-φ=，由此求得φ的值．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，判断|x1-x2|的最小值为-φ，是解题的关键，属于中档题．5.四面体ABCD中，AB⊥BC，AD⊥面ABC，AD=，AB=3，BC=4，此四面体的外接球的表面积为（）A.28πB.32πC.36πD.48π【答案】B【解析】解：由题意，由AB⊥BC，AB=3，BC=4，可得△ABC外接圆的半径为，∵AD⊥平面ABC，AD=，∴四面体ABCD的外接球的半径为DC==2，∴球O的表面积为4π×8=32π．故选：B．由正弦定理可得△ABC外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体ABCD的外接球的半径，即可求出球O的表面积．本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球的半径是关键．6.已知函数f（x）=，＜，，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）-k n x的零点个数恰好为2n+1个，则k12+k22+…+k n2=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数g（x）=f（x）-k n x的零点个数可化为函数f（x）与y=k n x的图象的交点的个数；作函数f（x）与y=k n x的图象如下，，∵关于x的函数g（x）=f（x）-k n x的零点个数恰好为2n+1个，∴y=k n x的图象与y=的图象相切，∴=，∴x=，∴k n===，∴k n2==（-），∴k12+k22+…+k n2=（1-）+（-）+（-）+…+（-）=（1-）=，故选C．函数g（x）=f（x）-k n x的零点个数可化为函数f（x）与y=k n x的图象的交点的个数；作函数f（x）与y=k n x的图象，结合图象可得y=k n x的图象与y=的图象相切，从而可得=，从而解得k n==，从而可得k n2=（-），从而利用裂项求和法解得．本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了数列的性质与应用及裂项求和法的应用．7.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线-=1相交于A，B两点，如果抛物线的焦点F总在以AB为直径的圆的内部，则双曲线的离心率取值范围是（）A.（3，+∞）B.（1，3）C.（2，+∞）D.（1，）【答案】A【解析】解：抛物线y2=8x，则其准线方程为x=-2，焦点f（2，0），∴焦点到准线的距离为p=4，将准线方程为x=-2代入双曲线方程得y=±，∴以AB为直径的圆的半径为r=，∵抛物线的焦点F总在以AB为直径的圆的内部，∴＞4，，∴＞解得0＜a＜∴e===＞=3，∴e＞3，故选：A．先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据抛物线的焦点F总在以AB为直径的圆的内部得到＞4，求出a的范围，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率范围可得．本题主要考查了抛物线和双曲线的简单性质．解题的关键是通过其性质求出a的范围，属于中档题．二、填空题(本大题共2小题，共10.0分)8.三棱锥P-ABC，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=，此三棱锥的内切球的半径为______ ．【答案】【解析】解：由题意，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，球心为O，则由等体积V B-PAC=V O-PAB+V O-PAC+V O-ABC可得=3×+，∴r=．故答案为：．利用三棱锥P-ABC的内切球的球心，将三棱锥分割成4个三棱锥，利用等体积，即可求得结论．本题考查三棱锥P-ABC的内切球，考查学生分析转化问题的能力，正确求体积是关键．9.我国古代数学名著《九章算术》中有一问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”问相逢时大鼠穿墙______ 尺．【答案】3【解析】解：因为前两天大小老鼠共穿1+2+1+0.5=4.5尺，所以第三天需要穿5-4.5=0.5尺就可以碰面．第三天大老鼠穿4尺，小老鼠穿尺，设大老鼠打了x尺，小老鼠则打了（0.5-x）尺，所以x÷4=（0.5-x）÷，所以x=，所以三天总的来说：大老鼠打了1+2+=3（尺），故答案为：3．因为大老鼠第一天挖1尺，小老鼠第一天也挖1尺，则第二天大老鼠挖2尺，小老鼠挖0.5尺，所以前两天大小老鼠共穿1+2+1+0.5=4.5尺，第三天需要穿0.5尺．第三天大老鼠穿4尺，小老鼠穿尺，此时设大老鼠打了x尺，小老鼠则打了（0.5-x）尺根据打洞时间相等：x÷4=（0.5-x）÷，由此求出x的值，进而求出两只老鼠打通洞各挖的米数．关键是根据题意得出第三天需要穿0.5尺就利用碰面，再根据打洞时间相等：列出方程x÷4=（0.5-x）÷进行解答．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)10.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．【答案】解：（1）在△CDE中，CD=∠=，解得CD=1，在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，S△ACE=∠=°=；（2）设CD=a，在△ACE中，∠=∠，CE=°°=（）a，在△CED中，∠=∠，sin∠CDE=∠==-1，则cos∠DAB=cos（∠CDE-90°）=sin∠CDE=-1．【解析】（1）运用余弦定理，解出CD=1，再解直角三角形ADB，得到AE=1，再由面积公式，即可得到△ACE的面积；（2）在△ACE和△CDE中，分别运用正弦定理，求出CE，及sin∠CDE，再由诱导公式，即可得到∠DAB的余弦值．本题考查解三角形的运用，考查正弦定理和余弦定理，及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．11.如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=1，SD=．（Ⅰ）求证：CD⊥SD；（Ⅱ）求SB与面SCD成的线面角的正弦值．【答案】证明：（I）取AB的中点E，连结SE，DE．∵CD∥AB，CD==BE，BC⊥CD，∴四边形BCDE是矩形，∴CD⊥DE．∵SA=SB，E是AB的中点，∴SE⊥AB．∴SE⊥CD．又DE，SE⊂平面SDE，DE∩SE=E，∴CD⊥平面SDE，∵SD⊂平面SDE，∴CD⊥SD．（II）∵△SAB是边长为2的等边三角形，∴BE=1，SE=，∵四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=2，∴SE2+DE2=SD2，∴SE⊥DE，∴SE⊥平面ABCD．以E为原点，以ED，EB，ES为坐标轴建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示：则S（0，0，），B（0，1，0），C（2，1，0），D（2，0，0）．∴=（0，1，-），=（0，-1，0），=（2，0，-）．设平面SCD的法向量为=（x，y，z），则，．∴，令z=2，得=（，0，2），∴=-2，||=，||=2，∴cos＜＞==-，∴SB与面SCD成的线面角的正弦值为．【解析】（I）取AB的中点E，连结SE，DE，则四边形BCDE是矩形，于是CD⊥DE，由等边三角形得SE⊥AB，故SE⊥CD，于是CD⊥平面SDE，得出CD⊥SD；（II）利用勾股定理的逆定理可证SE⊥DE，故而SE⊥平面BCDE，以E为原点建立空间直角坐标系，求出和平面SCD的法向量，则|cos＜，＞|即为所求．本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．12.某省去年高三100000名考生英语成绩服从正态公布N（85，225），现随机抽取50名考生的成绩，发现全部介于[30，150]之间，将成绩按如下方式分成6组：第一组[30，50），第二组[50，70），…第6组[130，150]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）估算该50名考生成绩的众数和中位数．（Ⅱ）求这50名考生成绩在[110，150]内的人中分数在130分以上的人数．（Ⅲ）从这50名考生成绩在[110，150]的人中任意抽取2人，该2人成绩排名（从高到后）在全省前130名的人数记为X．求X的数学期望（参考数据：若X～N（u，δ2）则P（u-δ＜X≤u+δ）=0.6826P（u-2δ＜X≤u+2δ）=0.9544P（u-3δ＜X≤u+3δ）=0.9974）【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知该50名考生成绩的众数为：=80，中位数为：70+=83.75．（Ⅱ）由频率分布直方图知后两组频率为：（0.006+0.004）×20=0.2，人数为0.2×50=10，则成绩在[110，150]的人数为10人，P（85-3×15＜x＜85+3×15）=0.9974，∴P（x≥130）==0.0013．∴0.0013×105=130人，则该省前功尽弃30名的成绩在130分以上，∴该50人中，130分以上的有0.08×50=4人．∴这50名考生成绩在[110，150]内的人130分以上的人数有4人．（Ⅲ）∵从这50名考生成绩在[110，150]的人中任意抽取2人，该2人成绩排名（从高到后）在全省前130名的人数记为X，∴X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：E（X）=+2×=．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出该50名考生成绩的众数和中位数．（Ⅱ）由频率分布直方图求出后两组频率及人数，从而成绩在[110，150]的人数为10人，P（x≥130）=0.0013．由此能求出这50名考生成绩在[110，150]内的人130分以上的人数．（Ⅲ）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．本题考查频率分布直方图的应用，考查正态分布的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．13.已知点P（2，0），抛物线y2=4x，过P作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于A，B，C，D四点，且M，N分别是线段AB，CD的中点．（Ⅰ）若k1•k2=-1，求△PMN的面积的最小值；（Ⅱ）若k1+k2=1，求证：直线MN过定点．【答案】解：（Ⅰ）∵k1•k2=-1，∴两直线互相垂直，设AB：x=my+2，则CD：x=-y+2，x=my+2代入y2=4x，得y2-4my-8=0，则y1+y2=4m，y1y2=-8，∴M（2m2+2，2m）．同理N（+2，-），∴|PM|=2|m|•，|PN|=•，∴S△PMN=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4，当且仅当m=±1时取等号，∴△PMN面积的最小值为4；（Ⅱ）证明：由题意知，k1+k2=1，不妨设AB的斜率k1=k，则CD的斜率k2=1-k，所以AB的直线方程是：y=k（x-2），CD的直线方程是y=（1-k）（x-2），设A（x1′，y1′），B（x2′，y2′），由得，k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，则x1′+x2′=4+，x1′x2′=m2，所以y1′+y2′=k（x1′-2）+k（x2′-2）=k（4+）-4k=，因为M是AB的中点，所以点M（2+，），同理可得，点N（2+，），所以直线MN的方程是：y-=（x-2-），化简得，y=（k-k2）（x-2）+2，令x=2，得y=2，所以直线MN过定点（2，2）．【解析】（Ⅰ）若k1•k2=-1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN 面积的最小值；（Ⅱ）不妨设AB的斜率k1=k，求出CD的斜率k2=1-k，利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，利用点斜式方程求出直线MN的方程，化简后求出直线过的定点坐标．本题主要考查抛物线的几何性质，直线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．14.已知函数f（x）=e x（sinx+-ax2），其中a∈R．（1）如果a=0，当x∈[0，π]时，求f（x）的取值范围；（2）如果≤a≤1，求证：对任意的x∈[0，+∞），恒有f（x）＜0．【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=e x（sinx-），则f′（x）=e x（sinx-）+e x cosx=e x（sinx-+cosx），∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜，∴sinx+cosx-＜0，故f′（x）＜0，则f（x）在R上单调递减，∴f（x）max=f（0）=-，f（x）min=f（π）=-，∴f（x）∈[-，-]；（2）证明：当x≥0时，y=e x≥1，要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx-ax2+-＜0．设g（a）=sinx-ax2+-=（-x2+）a+sinx-，看作以a为变量的一次函数，要使sinx-ax2+-＜0，则＜＜，即＜，＜，，∵sinx＜x2+恒成立，∴ 恒成立，对于，令h（x）=sinx-x2-，则h′（x）=cosx-2x，设x=t时，h′（x）=0，即cost-2t=0．∴t=＜，sint＜sin=，∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，则当x=t时，函数h（x）取得最大值，h（t）=sint-t2-=sint-（）2-=sint--=sin2t+sint-1=（+1）2-2≤（）2-2＜0，故式成立，综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【解析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．（2）对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0转化为证明对任意的x∈[0，+∞），sinx-ax2+-＜0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．本题主要考查函数单调性与导数的应用，求函数的导数，构造函数，利用导数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．15.如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【答案】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【解析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线（α为参数）．曲线C2（φ为参数）．以点O为原点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l，曲线C1，曲线C2的极坐标方程；（2）射线θ=与曲线C1交于O、A两点，与曲线C2交于O、B两点，射线θ=与直线l交于点C，求△CAB的面积．【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程：x+y=4，化为极坐标方程：ρcosθ+ρsinθ=4．曲线（α为参数），化为普通方程：（x-1）2+y2=1，展开为x2+y2-2x=0，化为极坐标方程：ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．曲线C2（φ为参数），化为普通方程：（x-2）2+y2=4，展开为x2+y2-4x=0，化为极坐标方程：ρ2-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（2）射线θ=即直线y=x（x≥0），联立，解得A，．联立，解得B，．∴|AB|=．射线θ=即直线（x≤0）．联立，解得C，．点C到直线y=x的距离d==6+2．∴S△ABC=|AB|d==3+．【解析】（1）首先将参数方程化为普通方程，再利用及其ρ2=x2+y2即可化为极坐标方程．（2）把射线方程分别与曲线C1，C2的方程联立解得点A，B的坐标，可得|AB|，再求出点C到直线AB的距离，利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了直角坐标化为极坐标及其极坐标方程的方法、直线与圆相交问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.设函数f（x）=|x+|+|x-a|（a≠0）．（1）证明：f（x）≥2；（2）如果a＞0且f（3）＜6，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明：∵f（x）=|x+|+|x-a|≥|（x+）-（x-a）|=|a+|=|a|+||≥2，故f（x）≥2成立．（2）解：f（3）＜6，即|3+|+|3-a|＜6，当a＞时，可得3++|a-3|＜6，即|a-3|＜3-，即-3＜a-3＜3-，可得＞＞＜，求得＜a＜3+．a=时，可得|3+3|+|3-|＜6不成立，故a≠．0＜a＜时，可得|a-3|＜3-不成立，即a∈∅．综上可得，＜a＜3+．【解析】（1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）≥|a|+||，再利用基本不等式证得|a|+||≥2，从而证得结论．（2）f（3）＜6，即|3+|+|3-a|＜6，再分类讨论求得a的范围，综合可得结论．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

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2016年高考数学理科真题试卷及答案(word版)

2016年普通高等学校招生考试真题试卷数学（理科）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ）=PA ．+PB ． S=4лR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=PA ．+PB ．球的体积公式1+2+…+n 2)1(+n n V=334R π 12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径 13+23++n 3=4)1(22+n n 第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．[)+∞∈=,0,)(3x x x f B ．[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f C ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f x D ．),0(,1)(+∞∈=x xx f 2．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ＜-1B ．a ≤1C ． a ＜1D ．a ≥14．若a 为实数，iai212++＝-2i ，则a 等于 A ．2 B ．—2 C ．22 D ．—225．若}{8222<≤Z ∈=-x x A ，{}1log R 2>∈=x x B ，则)(C R B A ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 6．函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ， ①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数； ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是A ．0B ．1C ．2D ．37．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A ．15-B ．154- C ．122- D ．12-8．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．)33arccos(-B ．)36arccos(-C ．)31arccos(- D ．)41arccos(- 9．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a br a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+10．以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率)(σμξ<-P 等于 A ．)(σμφ+-)(σμφ-B ．)1()1(--φφC ．)1(σμφ-D ．)(2σμφ+ 11．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2016年高考全国Ⅲ理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合，则（）()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=>S T =（A ）（B ）（C ）（D ）[]2,3(][),23,-∞+∞ [)3,+∞(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由解得或，，所以，故选()()230x x --≥3x ≥2x ≤{}23S x x ∴=≤≥或{}023S T x x x =<≤≥ 或D ．【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若，则（）i 12z =+4i1zz =-（A ）1 （B ）（C ）（D ）1-i i -【答案】C【解析】，故选C ．4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多i 项式的乘法相类似，只是在结果中把换成．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减2i 1-法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量，，则（）1(2BA =u u v 1)2BC =u u u v ABC ∠=（A ）（B ）（C ）（D ）30︒45︒60︒120︒【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A ．cos BA BC ABC BA BC⋅∠=== 30ABC ∠=︒【点评】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值a b ·cos a b a b θ或θa b 范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，因此，0180θ︒≤≤︒|a ·cos a ba bθ=·0a b a b ⇔⊥ 或利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为A ，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（）15C ︒B 5C ︒（A ）各月的平均最低气温都在以上（B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 0C ︒（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于的月份有5个20C ︒【答案】D【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A 正确；由图0C ︒0C ︒可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均7.5C ︒7.5C ︒温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，5C ︒C 正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．20C ︒【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若，则（）3tan4α=2cos2sin2αα+=（A）（B）（C）1 （D）642548251625【答案】A【解析】由，得或，所以，3tan4α=34sin,cos55αα==34sin,cos55αα=-=-2161264cos2sin24252525αα+=+⨯=故选A．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知，，，则（）432a=254b=1325c=（A）（B）（C）（D）b a c<<a b c<<b c a<<c a b<<【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．422335244a b==>=1223332554c a==>=b a c<<【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的46a b==或（）n=（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】第一循环，得；第二循环，得；2,4,6,6,1a b a s n=====2,6,4,10,2a b a s n=-====第三循环，得；第四循环，得2,4,6,16,3a b a s n=====；2,6,4,2016,4a b a s n=-===>=退出循环，输出，故选B．4n=【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在中，，边上的高等于，则 ( )ABCDπ4B=BC13BC cos A=（A（B（C）（D）--【答案】C【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，BC AD3BC AD=AC==AB=知，故选C．222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90 （D）8118+54+【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积B．2362332354S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，111ABC A B C -V AB BC ⊥，，，则的最大值是（）6AB =8BC =13AA =V （A ）（B ）（C ）（D ）4π92π6π323π【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半V R 径取得最大值，此时球的体积为，故选B ．32334439(3322R πππ==【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分O F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B 别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于C P C PF x ⊥A l PF M y 点．若直线经过的中点，则的离心率为（）E BM OE C （A ）（B ）（C ）（D ）13122334【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由l ()y k x a =+x c =-0x =()FM k a c =-OE ka=~OBE ∆，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A ．CBM ∆12OE OB FM BC=()2ka ak a c a c=-+13c a =1e 3=【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立,a c e 的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．,,a b c ba e e （12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为{}n a {}n a 2m m m 1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“规范01数列”共有（2k m ≤12,,,k a a a 4m =）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：，故选C ．10a =81a =011101101111001101011001110100110101100101010101【点评】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

(精校版)2016年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(含答案)

绝密★启用前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞）（2）若z=1+2i ，则41izz =-（） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量13(,)2BA =uu v ,31(,),2BC =uu u v 则∠ABC=（） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是（）学.科.网(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，254b =，1325c =，则（）（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b <<（7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （）（A 310 （B 10 （C ）10- （D ）310- (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，学.科.网则该多面体的表面积为（）（A ）185+（B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，学科&网A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。