椭圆及其性质

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椭圆的基本性质

椭圆的基本性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些特定的性质。

在本文中，我们将介绍椭圆的基本概念以及与它相关的一些重要性质。

1. 椭圆的定义与特点椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆的形状可以用离心率来描述，当离心率小于1时，椭圆更加接近于一个圆形；当离心率等于1时，椭圆退化为一个特殊的圆；当离心率大于1时，椭圆的形状变得更加扁平。

2. 椭圆的中心与轴椭圆的中心是指位于椭圆的中心点，它同时也是椭圆的两个轴（主轴和次轴）的交点。

主轴是通过椭圆的中心，并且与椭圆的两个焦点重合的直线段；次轴是与主轴垂直，并通过椭圆的中心的直线段。

主轴的长度称为椭圆的长轴，次轴的长度称为椭圆的短轴。

3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是椭圆上到两个固定点的距离之和等于常数的点，它们位于椭圆的主轴上，并且与椭圆的中心对称。

准线是与主轴平行，并且通过椭圆的焦点的直线段。

4. 椭圆的半长轴与半短轴椭圆的半长轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条主轴上的一个顶点的距离，长度记为a。

半短轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条次轴上的一个顶点的距离，长度记为b。

椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b之间存在着如下关系：e = √(1 - b^2/a^2)。

5. 椭圆的周长与面积椭圆的周长可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：C =4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分，是一个与椭圆离心率有关的特殊函数。

椭圆的面积可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：S = πab。

6. 椭圆的离心率与轨道的形状离心率可以帮助我们描述椭圆的形状，离心率越小，椭圆越接近于完美的圆形；离心率越大，椭圆越扁平。

在天文学中，行星的轨道通常是椭圆，其中太阳位于椭圆的一个焦点上。

例如，地球的轨道就是一个离心率接近于0.017的椭圆。

通过以上对椭圆的基本性质的介绍，我们对椭圆有了更深入的了解。

椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是在平面上的一个几何图形，它的形状类似于一个椭圆形的椭圆。

椭圆由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。

椭圆的定义可以通过以下方式来描述：给定两个不重合的点F1和F2，以及一个正常数a，椭圆是平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于2a的所有点P的集合。

椭圆有许多有趣的性质。

首先，椭圆是一个闭合图形，它的形状在两个焦点F1和F2之间变化。

其次，椭圆的中点O是焦点F1和F2之间的中点，并且椭圆的长轴是连接这两个焦点的线段。

长轴的长度为2a，其中a为椭圆的半长径。

椭圆的短轴是与长轴垂直且通过中点O的线段，其长度为2b，其中b为椭圆的半短径。

椭圆的长轴和短轴之间的关系可以通过以下公式表示：长轴的长度的平方等于短轴的长度的平方加上焦距的长度的平方。

椭圆的形状也可以由离心率来描述。

离心率是一个衡量椭圆形状的参数，表示焦点之间的距离与半长径之间的比值。

离心率小于1的椭圆形状更加圆形，而离心率等于1的椭圆是一个特殊的圆，离心率大于1的椭圆形状更加扁平。

除了这些基本的定义和性质之外，椭圆还有许多其他的性质。

例如，椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这被称为椭圆的焦点性质。

椭圆还具有对称性，即关于长轴和短轴都有对称性。

椭圆还可以通过旋转的方式来得到新的椭圆，这被称为椭圆的旋转性质。

总结起来，椭圆是平面上的一个几何图形，由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。

椭圆具有闭合性、中点、长轴和短轴、离心率等基本性质。

此外，椭圆还有焦点性质、对称性和旋转性质等其他有趣的性质。

通过研究椭圆的定义和性质，我们可以更深入地理解和应用椭圆在数学和物理等领域中的重要性。

数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)_知识点总结

数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）_知识点总结
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。

椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。

2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。

3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。

4、焦距：。

5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。

利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。

椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。

(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。

椭圆知识点与性质大全

椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内,到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆,其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点,定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义. ２、椭圆的简单性质３、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径,且[],PF a c a c ∈-+,特别地,若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+,20||PF a ex =-，其中ce a=. 4、通径过椭圆()222210x y a b a b +=>>焦点F 作垂直于长轴的直线,交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径,且22b AB a=.P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点,称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形，其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形，其周长为:24ABF C a ∆=,面积为212y y c S ABF -=∆.７、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上；若2200221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200221x y a b+<，则P 在椭圆内．8、直线与椭圆的位置关系直线:0l Ax By C ++=，椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>；l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=;l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<．9、焦点三角形外角平分线的性质(＊）点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点， M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交椭圆()222210x y a b a b +=>>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E 为CD 的中点，则2122b k k a=-.11、中点弦的斜率()()000,0M x y y ≠为椭圆()222210x y a b a b +=>>内的一点，直线l 过M 与椭圆交于,A B 两点,且AM BM =，则直线l 的斜率2020ABb x k a y =-.12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值若A 、B 为椭圆C :()222210x y a b a b+=>>上的两个动点,O 为坐标原点,且OA OB ⊥.则2211||||OA OB +=定值2211ab+．【典型例题】例1、直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点,则m 的取值范围是____＿__＿__．【变式1】已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围＿_________. 【变式2】椭圆12222=-++m x m y 的两个焦点坐标分别为___＿＿_____.【变式1】已知圆()11:221=++y x O ,圆()91:222=+-y x O ,动圆M 分别与圆1O 相外切，与圆2O 相内切.求动圆圆心M 所在的曲线的方程.【变式２】已知ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -,ABC ∆的周长为1８，则顶点C 的轨迹方程为__________.【变式３】已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆的圆心P 的轨迹方程.例3、若P 是椭圆13422=+y x 上的点，1F 和2F 是焦点，则（1)21PF PF ⋅的取值范围为____＿＿___＿. (2）12PF PF ⋅的取值范围为__________.(3）2212PF PF +的取值范围为__＿__＿＿_＿_.【变式１】点(,)P x y 是椭圆22194x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是1PF 的中点,且12PF =,O 为坐标原点,则OM =_______.【变式２】点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且20F M MP ⋅=,则动点M 的轨迹方程为__＿__＿__．例４、已知椭圆2212516x y +=内有一点()2,1A ,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求PA PF +的最大值与最小值____＿_____．【变式】若椭圆171622=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ,过点1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,则B AF 2∆的周长为＿＿____＿__＿．例5、12,F F 是椭圆221x y +=的焦点，点P 为其上动点,且1260F PF ∠=︒,则12F PF ∆的面积是＿_____＿_＿＿.【变式】焦点在轴x 上的椭圆方程为2221(0)x y a a +=>,1F 、2F 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点B ，使得122F BF π∠=，那么实数a 的取值范围是____＿___．例6、已知椭圆2212x y +=，（1)求过点1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，且被P 平分的弦所在的直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;（3)过(21)A ，引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.（4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.例7、已知椭圆13422=+y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．例8、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. （1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．例9、已知定点()2,0A -，动点B 是圆64)2(:22=+-y x F （F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交BF于P .(１）求动点P 的轨迹方程；（２)直线13+=x y 交P 点的轨迹于,M N 两点，若P 点的轨迹上存在点C ，使,OC m ON OM ⋅=+求实数m的值；例10、已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ),过点(),0A a -,()0,B b 的直线倾斜角为6π,原点到该直线的距离为23．(１）求椭圆的方程;（2)斜率大于零的直线过()1,0D -与椭圆交于E ,F 两点,若DF ED 2=,求直线EF 的方程;（3)是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ,Q 两点,以PQ 为直径的圆过点(1,0)D -?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．例１1、若AB是经过椭圆2212516x y+=中心的一条弦点,12,F F分别为椭圆的左、右焦点，求1F AB∆的面积的最大值.【变式1】已知直线l与椭圆2213xy+=交于A B、两点，坐标原点O到直线l的距离为2,求AOB∆的面积的最大值.【变式3】已知定点)0,(a A 和椭圆8222=+y x 上的动点),(y x P（1）若2=a 且223||=PA ，计算点P 的坐标; （２）若30<<a 且||PA 的最小值为１,求实数a 的值.【变式4】如图，椭圆的中心在原点,()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点,直线(0)y kx k =>交线段AB 于点D ，交椭圆于,E F 两点.(1)若6ED DF =,求直线的斜率k ；D(2)求四边形AFBE 的面积S 的最大值．【变式５】椭圆()222104x y b b +=>的一个焦点是()1,0F - (1）求椭圆的方程;(2）已知点P 是椭圆上的任意一点,定点M 为x 轴正半轴上的一点,若PM 的最小值为85，求定点M 的坐标； (3)若过原点O 作互相垂直两条直线，交椭圆分别于,A C 与,B D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.【变式6】在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点()),的距离之和为４，设点P的轨迹为曲线C，直E-，且与曲线C交于,A B两点．线l过点(1,0)（１)求曲线C的方程;(2)以AB为直径的圆能否通过坐标原点？若能通过,求此时直线l的方程，若不能，说明理由.∆的面积是否存在最大值?若存在，求出面积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，请说明理由．（3）AOB例12、已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为４. (1）求椭圆C 的方程；(２)已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问,是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈,MA MB ⋅为定值,若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【变式1】过椭圆22182x y +=长轴上某一点(),0S s (不含端点）作直线l （不与x 轴重合)交椭圆于,M N 两点,若点(),0T t 满足：8OS OT ⋅=，求证:MTS NTS ∠=∠.【变式２】已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上，长轴长为４，且点⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．（１)求椭圆C 的方程；(２)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量()2,1d =的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：22PA PB +为定值．【变式3】如图，A 为椭圆()2222+10x y a b a b =>>上的一个动点，弦,AB AC．当AC x ⊥轴时，恰好123AF AF =(1）求ca的值（２）若111AF F B λ=,222AF F C λ=，试判断12λλ+是否为定值?若是，求出定值;若不是,说明理由.【变式4】线段,A B 分别在x 轴,y 轴上滑动，且3AB =,M 为线段AB 上的一点,且1AM =，M 随,A B 的滑动而运动（１）求动点M 的轨迹方程E ;(2）过N 的直线交曲线E 于,C D 两点，交y 轴于P ,1PC CN λ=,2PD DN λ=，试判断12λλ+是否为定值?若是，求出定值；若不是,说明理由.2F 1F【变式5】如图,已知椭圆C ：22221x y a b+=，其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ,过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y轴分别交于,D E 两点,且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列.(１）求椭圆C 的方程；（2）记△1GF D 的面积为1S ，△OED （O 为原点)的面积为2S .试问:是否存在直线AB ，使得12S S =?说明理由.xyO A B1F D GE2F【变式6】已知椭圆C 的方程为22212x y a +=(0)a >,其焦点在x 轴上，点Q 为椭圆上一点. (1)求该椭圆的标准方程;（2)设动点P 00(,)x y 满足2OP OM ON =+，其中M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON的斜率之积为12-,求证:22002x y +为定值；（3)在(2)的条件下探究:是否存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.例１3、椭圆的一个顶点(0,1)A -，焦点在x 轴上,右焦点到直线0x y -+的距离为3.(1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同两点,M N ，当AM AN =时，求实数m 的取值范围.【变式1】已知A 、B 、C 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三点，其中()A ,BC 过椭圆的中心,且0AC BC ⋅=，2BC AC =.(1)求椭圆的方程;(２）过点()0,M t 的直线l （斜率存在时)与椭圆交于两点,P Q ,设D 为椭圆与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =.求实数t 的取值范围.。

椭圆及其几何性质课件-高三数学一轮复习

B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l
与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C
的离心率为( A )
A．13
B．12
C．23
D．34
[解析] 设点 M(－c，y0)，OE 的中点为 N，则直线 AM 的斜率 k＝a－y0 c，从而直线 AM 的方程为 y＝a－y0 c(x＋a)，令 x＝0，得点 E 的纵坐标 yE＝aa－y0c.同理，OE 的中点 N 的纵坐标 yN＝aa＋y0c. 因为 2yN＝yE，所以a＋2 c＝a－1 c，即 2a－2c＝a＋c，所以 e＝ac＝13.故选 A．
(2)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上有一点 A，它关于原点的对称点为 B，点 F
为椭圆的右焦点，且 AF⊥BF.设∠ABF＝α，且 α∈1π2，π6，则该椭圆的离心率 e 的取值范围为( A )
A．
3－1，
6
3
B．[ 3－1，1)
C．
46，
6
3
D．0，
6
3
[解析] 如图所示，设椭圆的左焦点为 F′，连接 AF′，BF′，则四边形 AFBF′
为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos
α，∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝sin
1 α＋cos
α＝
2sin1α＋π4.∵α∈1π2，π6，∴α＋π4∈π3，51π2，
∴sinα＋π4∈ 23，
2＋ 4
6，∴
2sinα＋π4∈ 26，1＋2

椭圆的相关知识点

椭圆的相关知识点第一篇：椭圆的基本概念和性质1.椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长（长轴）的点的轨迹，长轴的中点为圆心，短轴为长轴的一半。

2.椭圆的方程椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为长半轴和短半轴的长度。

椭圆的一般方程为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，式中 A、B、C、D、E、F 均为常数。

3.椭圆的对称性椭圆有四个轴线：长轴和短轴，以及两个对称轴线（分别为横向和纵向）。

椭圆具有关于两个轴线的对称性，关于圆心对称。

4.椭圆的几何性质椭圆的周长公式为 $l=4aE(e)$，面积公式为 $S=\piab$。

其中，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 为椭圆的离心率，$E(e)$ 为第一类的椭圆积分（椭圆弧长度）。

椭圆的内切圆为其一条边界切线上的圆，其直径长度为短轴的长度，而斜切和垂直切的切线则分别过长轴的端点和中点。

椭圆的离心率决定了其形状的扁瘤程度，离心率越小则椭圆越接近于圆形，越大则越接近于扁平的形状。

5.椭圆的应用椭圆在数学、物理、工程、生物学和地球科学等领域中有广泛的应用。

例如，它们可以用于描述球形天体的轨道、电子轨道、反射镜的形状、ATM 窗口的形状、荷载分布、地球的椭球形等等。

第二篇：椭圆的参数方程、焦点坐标和切线方程1.椭圆的参数方程对于椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，我们可以将其表示为参数方程：$$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$\theta$ 为参数，表示$\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角。

2.椭圆的焦点坐标椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴上，与圆心的距离为 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分别为长轴和短轴的长度。

椭圆及其性质

§8.5椭圆及其性质学习目标1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝ca(0<e<1) a，b，c的关系a2＝b2＋c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大，12F PF S △最大．(2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|.(3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2.(5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 教材改编题1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 D解析依椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.2．若椭圆C ：x 24＋y 23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )A ．3B ．2＋ 3C ．2 D.3＋1答案 A解析由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3.3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则C 的方程可以为________．答案 x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以c a ＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，则b 2a 2＝34.题型一椭圆的定义及其应用例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．答案433解析由题意知，c ＝a 2－4. 又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－ 2|F 1P |·|PF 2|cos 60°＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163，∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin 60°＝12×163×32 ＝433. 延伸探究若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积．解 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4) ＝4a 2－16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4.教师备选1．△ABC 的两个顶点为A (－3,0)，B (3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 216＝1(y ≠0) B.y 225＋x 216＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 答案 A解析由题知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故C 的轨迹为以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.所以方程为x 225＋y 216＝1. 又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752答案 C解析由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|，解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积 S ＝12×22×72×22＝72. 思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 答案 D解析设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ，圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切，与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切．所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r . |MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，由椭圆的定义，M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆．则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48，动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)(2022·武汉调研)设椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF 周长的最大值为( ) A ．4＋ 5 B ．6 C ．25＋2 D ．8 答案 D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|，当A ，B ，F 1三点共线时， |AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0，当A ，B ，F 1三点不共线时， |AB |－|BF 1|－|AF 1|<0，所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8. 题型二椭圆的标准方程命题点1 定义法例2 已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a . ∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a . 又|AF 2|＝2|F 2B |， ∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a . 又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1,0)，AF 2—→＝2F 2B —→， ∴B ⎝⎛⎭⎫32，－b 2. 将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.命题点2 待定系数法例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．答案 x 29＋y 23＝1解析设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.教师备选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 22＝1 答案 A 解析如图，由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ，所以4a ＝8，a ＝2，又离心率为12，所以c ＝1，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点为(2,0)，离心率为22，则此椭圆的方程为________．答案 x 28＋y 24＝1解析椭圆的右焦点为(2,0)，所以m 2－n 2＝4，e ＝22＝2m，所以m ＝22，代入m 2－n 2＝4，得n 2＝4，所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可．跟踪训练2 (1)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( ) A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1 答案 C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25，所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8，所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5，所以b ＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 C解析如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义，得|AF 1|＝2a －32.①在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝⎛⎭⎫322＋22.② 由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.题型三椭圆的几何性质命题点1 离心率例4 (1)(2022·湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为( )A.55B.12C.33D.22答案 A解析过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34x －b ，即34x －y －b ＝0，F (c ，0)，由点到直线距离公式，得c ＝⎪⎪⎪⎪34c －b ⎝⎛⎭⎫342＋1，即c 2＝－32bc ＋b 2，即(2c －b )(c ＋2b )＝0，则2c －b ＝0，b ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2，解得c a ＝55.(2)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎣⎡⎭⎫22，1C.⎝⎛⎦⎤0，32 D.⎣⎡⎭⎫32，1答案 B解析若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则以原点为圆心，F 1F 2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c ≥b ，即c 2≥b 2，所以2c 2≥a 2，即e 2≥12，又e <1，所以e ∈⎣⎡⎭⎫22，1.思维升华求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca 求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e . 命题点2 与椭圆有关的范围(最值)例5 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 D解析设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以12×2cb ＝1，故bc ＝1，故2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)．(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．答案 4解析由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 设P 点的坐标为(x 0，y 0)，所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1,0)，A (2,0)，所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.教师备选1．(多选)嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，则下列选项中正确的有( )A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3 988公里C ．两焦点坐标约为(±150,0)D ．离心率约为75994答案 AD解析设该椭圆的长半轴长为a ，半焦距长为c .依题意可得月球半径约为12×3 476＝1 738， a －c ＝100＋1 738＝1 838，a ＋c ＝400＋1 738＝2 138，所以2a ＝1 838＋2 138＝3 976，a ＝1 988，c ＝2 138－1 988＝150,2c ＝300，椭圆的离心率约为e ＝c a ＝1501 988＝75994，可得结论A ，D 正确，B 错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 错误．2．(2022·太原模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)．设P (x ，y )(－2≤x ≤2)．则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；(2)利用函数，尤其是二次函数；(3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟踪训练3 (1)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22D.2＋1答案 A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝c a＝2－1.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (c ，0)，上顶点为A (0，b )，直线x ＝a 2c上存在一点P 满足(FP →＋F A →)·AP →＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎣⎡⎭⎫22，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，1 D.⎝⎛⎦⎤0，22答案 C解析取AP 的中点Q ，则FQ →＝12(FP →＋F A →)，所以(FP →＋F A →)·AP →＝2FQ →·AP →＝0，所以FQ ⊥AP ，所以△AFP 为等腰三角形，即|F A |＝|FP |，且|F A |＝b 2＋c 2＝a .因为点P 在直线x ＝a 2c 上，所以|FP |≥a 2c －c ，即a ≥a 2c －c ，所以a c ≥a 2c 2－1，所以e 2＋e －1≥0，解得e ≥5－12或e ≤－5－12.又0＜e ＜1，故5－12≤e ＜1.课时精练1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为() A.x 29＋y 2＝1 B.y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1 D.x 29＋y 25＝1答案 D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.24答案 C解析依题意可知，c ＝b ，又a ＝b 2＋c 2＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22. 3．椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1—→·PF 2—→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2]答案 C解析设F 1为左焦点，则由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，∴PF 1—→＝(－1－x ，－y )，PF 2—→＝(1－x ，－y )，则PF 1—→·PF 2—→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]． 4．设e 是椭圆x 24＋y 2k＝1的离心率，且e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,3)B.⎝⎛⎭⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞D ．(0,2) 答案 C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k<1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k 4<1，解得0<k <3. 5．(多选)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1 C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q 的周长为4 3答案 ACD解析由已知得，2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3.∴椭圆方程为x 2＋y 23＝1，如图．∴|PQ |＝2b 2a ＝23＝233， △PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.6．(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是( )A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．若PF 1—→＝F 1Q —→，则椭圆C 的长轴长为5＋17答案 ACD解析由题意可知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |，又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以b ＞1,2b ＞2，所以B 错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0，化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)，解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52(舍去)，则椭圆C 的离心率e ＝c a ＜13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12，所以C 正确；由PF 1—→＝F 1Q —→可得，F 1为PQ 的中点，而P (1,1)，F 1(－1,0)，所以Q (－3，－1)，|QF 1|＋|QF 2|＝(－3＋1)2＋(－1－0)2＋(－3－1)2＋(－1－0)2＝5＋17＝2a ，所以D 正确． 7．如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________．答案 12解析由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，2a ＝22sin 60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－34＝12. 8．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．答案 8解析根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8.9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以12F PF S △＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的方程．解 (1)由题意得，A (－a ，0)，EF 2：x ＋y ＝c ，因为A 到直线EF 2的距离为62b ，即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)，所以2c 2＋ac －a 2＝0，因为离心率e ＝c a ，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍)，所以椭圆C 的离心率为12. (2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，① 因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，则12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，所以|PF 1||PF 2|＝4，又⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝(2c )2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.11．(多选)(2022·大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是( )A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453答案 CD解析由椭圆方程知a ＝4，b ＝3，c ＝7，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误；当P 在椭圆上、下顶点时，cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2最大值小于π2，B 错误；若P (x ′，y ′)，则1PA k ＝y ′x ′＋4， 2PA k ＝y ′x ′－4，有12·PA PA k k ＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)，即有12·PA PA k k ＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27，即2c ·|y ′|2＝27，故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 正确． 12．(多选)2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是( )A ．飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案 ABD解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B 正确；a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误；根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．13．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22B.⎝⎛⎦⎤0，33C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1 答案 D解析设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，m ，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2得|PF 2|＝|F 1F 2|，即⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ，得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 14．(2021·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．若过F 1的直线和圆⎝⎛⎭⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．答案 255 55解析设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝⎛⎭⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ，所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255.因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e(0<e <1)，得e ＝55.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．答案 [1,4]解析由已知得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32， ∴12(a －c )b ＝2－32， ∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1， ∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2| ＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2| ＝2a |PF 1|(2a －|PF 1|) ＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]． 16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23. 又因为|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)，所以c a ≥12，所以e ≥12. 又因为0<e <1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60° ＝12×43b 2×32＝33b 2，所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。

2020年高考数学(理)之解析几何高频考点04 椭圆及其性质附解析

解析几何04 椭圆及其性质一、具体目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．能处理与椭圆有关的问题.二、知识概述：1. 椭圆方程的第一定义：一个动点到两个定点的距离为一个常数（大于两定点之间的距离）则动点的轨迹就是椭圆.几何表示：()121222PF PF a a F F +=>.当()121222PF PF a a F F +=<无轨迹；当()121222=PF PF a a F F +=，以12,F F 为端点的线段.⑴①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x 轴上：()222210x y a b a b +=>>.中心在原点，焦点在轴上：()222210y x a b a b+=>>.②一般方程：()2210,0Ax By A B +=>>.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于02πθ<<）.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长. ③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：()01c e e a=<<.⑦焦点半径：i. 设为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，为左、右焦点，则 y 12222=+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2221,2b a c c F F -==c a x 2±=c a y 2±=),(00y x P 21,F F 【考点讲解】⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆()222210x y a b b a+=>>上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：()210000a PF e x a ex x c ⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭()220000a PF e x ex a x c ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率是，方程是大于0的参数，0a b >>的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.（6）椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 对称轴：坐标轴对称中心：原点 A (－a,0)，A (a,0) A (0，－a )，A (0，a ) ),(00y x P 21,F F →)sin ,cos (θθb a N ),(2222a b c a b d -=),(2ab c )(22b a c a c e -==tt b y a x (2222=+ace =12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb a PF PF 221=+2cot 2θ⋅b ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF1.【2019年高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n nn +-⋅⋅⋅=，解得2n =． 22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得【真题分析】223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【答案】B2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质.因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y pp +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【答案】D3.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质.椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3【解析】本题主要考查椭圆的方程及离心率.由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ．【答案】C5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F∠=︒，则C的离心率为（）A．312-B．23-C．312-D．31-【解析】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质.在12F PF△中，122190,60F PF PF F∠=∠=︒o，设2PF m=，则12122,c F F m PF===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m=+=，则212c cea a====，故选D．【答案】D6.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为3的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．14【解析】因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以212||2||PF F F c==，由AP的斜率为6可得2tan6PAF∠=，所以2sin PAF∠=，2cos PAF∠=，由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠，所以2225sin()3ca c PAF==+-∠，所以4a c=，14e=，故选D．【答案】D7.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B是椭圆C：2213x ym+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．(0,1][9,)+∞U B．[9,)+∞U C．(0,1][4,)+∞U D．[4,)+∞U【解析】本题考查的是以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题时要利用条件确定ba,的关系，要借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba，简化求解过程. 当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60a b ≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，故选A ．【答案】A8.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用.方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==9.【2019年高考全国Ⅲ卷】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【答案】(10.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【解析】本题主要考查利用椭圆的性质来求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，① 222x y c +=，② 22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥当4b =，a ≥存在满足条件的点P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞．【答案】（11；（2）4b =，a的取值范围为)+∞.11.【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =.所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t . 因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.12．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【解析】主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识. （1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P py k x k -=-．在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-．由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±．所以，直线PB的斜率为5或5-．【答案】（1）22154x y +=；（2）230或230-． 13.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题.（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-．由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ u k =+，221||uk k PG +=，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖．设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．1.【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是（）A B C ．23 D ．59【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==，故选B ．【答案】B2.【2017年高考全国Ⅲ】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A B C D ．13【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，【模拟考场】直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ．【答案】A3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 【解析】根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】 A4.【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤，当且仅当5m =时取最大值．【答案】55.【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =．1 26.【2016北京理】已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：BM AN ⋅为定值.【分析】（I）根据离心率为2，即2=c a ，△OAB 的面积为1，即121=ab ，椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（II ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.【解析】（I ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N .所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.7.已知点M 是圆心为E的圆(2216x y ++=上的动点，点)F，线段MF 的垂直平分线交EM于点P .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）矩形ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切，设矩形ABCD 的面积为S ，求S 的取值范围.【分析】1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设AB 的方程为1y k x m =+， CD 的方程为1y k x m =-，直线AB 与CD 间的距离为1d =，直线BC 与AD 间的距离为2d =，S =S 的范围.【解析】（1)依题PM PF =，所以4PE PF PE PM ME +=+== (为定值)，EF =>所以点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，其中24,2a c ==所以P 点轨迹C 的方程是2214x y += (2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得8S =；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设AB 的方程为1y k x m =+， BC 的方程为2y k x n =+，则CD 的方程为1y k x m =-， AD 的方程为2y k x n =-，其中121k k ⋅=-，直线AB 与CD 间的距离为1d ==，同理直线BC 与AD 间的距离为2d ==()12*S d d =⋅=L2222211111{ 21044x y k x k mx m y k x m+=⎛⎫⇒+++-= ⎪⎝⎭=+，因为直线AB 与椭圆相切，所以221410k m ∆=+-=，所以2141m k =+，同理2241n k =+，所以 S ===44==212112k k +≥ (当且仅当11k =±时，不等式取等号），所以4S <≤810S <≤，由①②可知， 810S ≤≤.【答案】(1) 2214x y +=;(2) 810S ≤≤.。

有关椭圆的所有知识点

有关椭圆的所有知识点
1. 椭圆的定义：椭圆是一种特殊的抛物线，它是二维平面上的曲线，其中两条轴的长度不相等，椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
2. 椭圆的性质：
（1）椭圆的对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的中心点是两个对称轴的交点；
（3）椭圆的长轴和短轴的长度分别为a和b，椭圆的面积为S=πab；
（4）椭圆的边界是一个抛物线，称为椭圆弧，可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，
y=b\sin t$$
3. 椭圆的标准方程：
（1）椭圆的标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（2）椭圆的中心在原点时，标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（3）椭圆的中心在(h,k)处时，标准方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$$
4. 椭圆的对称性：
（1）椭圆是一种具有对称性的曲线，其对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，y=b\sin t$$
（3）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
5. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是椭圆的一个重要参数，它可以表示椭圆的形状，它的定义是：椭圆的离心率等于椭圆的长轴与短轴之比，即：$$e=\frac{a-b}{a}$$。

椭圆及其性质知识点题型总结

椭圆及其性质知识点题型总结研究必备精品知识点——椭圆椭圆是平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a（2a＞F1F2）的动点P的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a}，其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

另一种定义是平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|PF/e< d}，其中e为离心率（e=1为抛物线；e＞1为双曲线；e＜1为椭圆）。

利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线。

椭圆有两种标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）；焦点F1（-c，0），F2（c，0）。

其中c²=a²-b²（一个直角三角形）；（2）焦点在y轴上，中心在原点：x²/b²+y²/a²=1（a＞b＞0）；焦点F1（0，-c），F2（0，c）。

其中c²=a²-b²。

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，c²=a²-b²并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax²+By²=1（A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

椭圆的参数方程是：焦点在x轴，x=acosθ，y=bsinθ。

椭圆的一般方程是：Ax+By=1（A＞0，B＞0）。

椭圆有以下性质：对于焦点在x轴上，中心在原点，x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）有以下性质：①范围：|x|≤a，|y|≤b；②对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；③顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b（a半长轴长，b半短轴长）；④椭圆的准线方程：对于x²/a²+y²/b²=1，左准线过另一个焦点。

椭圆十大性质

椭圆十大性质椭圆十大性质（一）任意相等，（二）中心对称轴是对称中心，（三）面积关系。

这里的“面积”指的是内接正六边形的面积，正六边形是特殊的等腰梯形，所以“正六边形的面积”是中心对称面积。

如果不相等，就违背了性质1：若两个角互补则它们的和大于180°。

（二）中心对称轴是对称中心，即它有一条对称轴。

这就好像“长方体”一样，四条棱的交点叫做中心，所以把中心定为原点。

当然，长方体的中心还有垂直于各条棱的线段与之相连，构成中心对称图形，另外还有中心点。

在同一平面内，若两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形也关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。

对称轴既不是直线也不是虚线，它是一条线段。

证明：设，，则得到。

这是任意的，当然可以是别的数。

这样就把椭圆的性质1和性质2证明完了。

但要注意，性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半。

在平面内，若两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形也关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。

椭圆的中心对称图形是由关于一条直线对称的两个部分组成的，其中对称轴是过椭圆两焦点的直线，另一部分是由关于该直线对称的两个椭圆组成的。

（四）单调有界不可能发生在椭圆上，我们先从长方形和正方形的性质来看：首先必须知道正方形面积的公式： s=a^2，而且s^2≥s，另外正方形的性质：正方形的中心是对称中心，关于边中点连线垂直平分对角线的直线垂直平分对角线；边中点连线平行对角线；有三条边平行，则此三角形全等。

根据上面的论述可得：面积≥边长（ a=b），长方形面积=长×宽，长方形的中心是对称中心，关于边中点连线垂直平分对角线的直线垂直平分对角线。

我们再从椭圆的性质来看：椭圆面积的公式： s=a^2，已经知道a^2≥s，根据性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半。

所以：1、性质1：，且a=b。

性质2：，且s=a^2；2、性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半；3、若s=s^2，那么面积也应该等于a^2，只不过s^2≥s，因为：，所以s=a^2。

椭圆知识点总结归纳

椭圆知识点总结归纳一、椭圆的定义和基本概念椭圆可以通过平面上的一个固定点F（称为焦点）和一条固定线段2a（称为主轴）上的所有点P的路径定义为椭圆。

具体而言，椭圆的定义如下：给定平面内的一条固定线段2a，再给定一个固定点F（焦点），点S（焦点）到线段上所有的点P的距离之和等于一个常数2a。

即|PF1| + |PF2| = 2a。

一个椭圆可以有很多不同的特点和性质，其中一些重要的概念包括椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率等，这些概念对于理解和分析椭圆的性质和特点非常重要。

椭圆上的点P满足以下条件：|PF1| + |PF2| = 2a，其中F1和F2为椭圆的两个焦点，2a为椭圆的长轴的长度。

椭圆也具有一个参数e，叫做离心率，满足e=c/a，其中c为焦距。

二、椭圆的标准方程和参数方程椭圆的标准方程是椭圆上的所有点（x，y）满足以下条件的方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆的参数方程是另一种表示椭圆的方式，通常用参数方程表示的椭圆更容易进行计算和分析。

三、椭圆的性质和特点1. 椭圆的离心率是一个重要的性质，它决定了椭圆的形状。

离心率e的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个点；当e=1时，椭圆退化为一条线段。

2. 椭圆的长轴和短轴的长度分别为2a和2b，其中a>b。

3. 椭圆的焦点和两个顶点都在椭圆的长轴上。

4. 椭圆上的任意点P到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度2a。

5. 椭圆上的对称轴是椭圆的长轴和短轴，对称中心是椭圆的中心。

6. 椭圆与坐标轴的交点分别为（±a, 0）和（0, ±b）。

7. 椭圆上的点P（x，y）与主轴和副轴之间的关系满足x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

8. 椭圆的周长和面积分别为π(a+b)和πab。

9. 椭圆是一种闭合曲线，不同于抛物线和双曲线，它没有渐近线。

四、椭圆的相关定理和公式1. 椭圆上的点P(x，y)与焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。

椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质引言椭圆是几何学中常见的曲线，具有许多有趣和重要的性质。

在本文档中，我们将讨论椭圆的一些基本几何性质，包括定义、形状、焦点和直径等方面。

通过了解这些性质，我们将更好地理解椭圆的特点及其在现实世界中的应用。

定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于到一定长度（称为主轴长度）的定点（称为短轴长度）的距离。

换句话说，椭圆是一个点对的加权平均轨迹，并且总距离恒定。

形状椭圆的形状由其焦点之间的距离和主轴的长度确定。

较大的焦点之间的距离，或较短的主轴长度，将导致一个更扁平的椭圆，而较小的焦点之间的距离，或较长的主轴长度，将导致一个更靠近圆形的椭圆。

焦点和直径椭圆的定义中提到了焦点，它们在椭圆的构造中起着重要的作用。

对于任何给定的椭圆，焦点的数量是固定的，通常为两个。

这些焦点位于椭圆的主轴上，并且距离椭圆中心的距离等于椭圆的短轴长度。

椭圆的直径是经过椭圆中心的任意两点之间的线段。

一个有趣的性质是，椭圆的任何直径都会通过椭圆的两个焦点之一。

这个性质与其他几何形状，如圆或矩形不同，因此是椭圆独特的特点之一。

离心率离心率是一个用来度量椭圆形状的参数。

它定义为椭圆的焦距之间的比值与主轴的长度的比值。

离心率越接近零，椭圆的形状越接近于圆形；离心率越接近于一，椭圆的形状越扁平。

离心率是椭圆形状的一个重要特征，它对于许多应用领域具有重要意义，比如天文学中行星轨道的研究，或物理学中的电子轨道模型等。

弦在椭圆中，一条弦是连接椭圆上任意两点的线段。

一个有趣的性质是，通过椭圆上两个给定点的弦的长度之和是恒定的。

这个性质可以通过椭圆的定义和三角形的性质进行证明。

弦的垂直性质椭圆还具有一个有趣的性质，即通过椭圆上两个给定点的弦和通过这两个点的切线之间的夹角是直角。

这个性质称为弦的垂直性质，它对于椭圆的建模和分析非常有用。

总结椭圆作为几何学中的重要曲线，在许多领域都具有广泛的应用。

通过了解椭圆的基本几何性质，我们可以更好地理解和应用椭圆，从而在实际问题中得到更准确和有意义的结果。

椭圆的判定与性质

椭圆的判定与性质
椭圆是数学中重要的几何概念之一，它具有独特的性质和特点。

本文将讨论椭圆的判定方法以及其基本性质。

椭圆的判定方法
要判定一个图形是否为椭圆，可以使用以下两种方法：
1. 长轴和短轴判定法：如果一个图形的长轴和短轴长度是确定的，并且这两个轴之间的距离不变，那么这个图形就是一个椭圆。

2. 焦点和准线判定法：如果一个图形上的每一点到两个焦点和
准线的距离之和是一个常数，那么这个图形就是一个椭圆。

椭圆的基本性质
椭圆具有以下基本性质：
1. 焦点与准线性质：在一个椭圆中，焦点到椭圆上任意一点的
距离之和是一个常数。

同时，椭圆上的每一点到准线的距离之差也
是一个常数。

2. 长轴和短轴性质：椭圆的长轴是两个焦点之间的距离，短轴
是两条准线之间的距离。

椭圆的长轴和短轴长度之和等于焦点到焦
点之间的距离。

3. 对称性质：椭圆具有两个对称轴，长轴和短轴。

椭圆关于这
两条对称轴对称。

4. 弦长定理：如果一个弦在椭圆上和准线上等分，并且其中一
半在长轴上，那么这个弦的长度等于长轴的一半。

5. 切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与该点连线的斜率的
乘积等于-1。

以上是椭圆的判定方法和基本性质的简单介绍。

椭圆是数学中
重要的几何形状，它的独特性质使它在各个领域中都有广泛的应用。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质1.椭圆的定义(1）第一定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距.(２）第二定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(０<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点Ｆ叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点F相应的准线,根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线.２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程ｘ2a2+y2b2=1(a>b>0)＼f（ｙ2,a2)＋＼f(x2，b2）=1(a>b>0）图形性质范围－ａ≤x≤a -ｂ≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 顶点A１(－a,0），Ａ2(a，0) A1(０,-a)，A2（０,a)B1(0,－ｂ),B２(0,ｂ）B1(－b,0)，B2（b,0) 焦点F1(-ｃ，0) Ｆ２(c,０) Ｆ1（0，-ｃ) F２(0,c）准线ｌ１:x=－错误!ｌ２：x=错误!ｌ1：y=-错误!ｌ2：y＝错误!轴长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为２b焦距F１Ｆ2=2c离心率ｅ=错误!,且ｅ∈（０,1)a,b,c的关系c2=a２-b2对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点１．(夯基释疑）判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)动点P到两定点A（－2，0),B(2,０）的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为２ａ+２c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距）.( )（3)椭圆的离心率ｅ越大，椭圆就越圆．( )(４)已知点F 为平面内的一个定点,直线l 为平面内的一条定直线．设ｄ为平面内一动点Ｐ到定直线l 的距离，若d =错误!｜ＰF |,则点P 的轨迹为椭圆．( )[解析] (１)错误,|P A |+|ＰB |=|A Ｂ|＝4，点P 的轨迹为线段AB ；（2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1+PF２=２a ，F 1F 2=２c ,故△PF 1Ｆ2的周长为2a ＋2c ；(３)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确,根据椭圆的第二定义.［答案］ (1)× （2）√ (3)× (4)√2．(教材习题改编）焦点在x 轴上的椭圆＼f(x 2,5）+错误!=1的离心率为错误!，则m ＝_＿______．[解析] 由题设知a 2=5,ｂ2=m ,c ２=５-ｍ，ｅ2＝错误!＝错误!=（错误!)2＝错误!,∴５-ｍ＝2，∴ｍ=３.[答案] 3３．椭圆的焦点坐标为(０，－6),(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为２0，则椭圆的标准方程为__＿__.[解析] 椭圆的焦点在ｙ轴上，且c ＝６,２a =２0，∴ａ=10,b 2=ａ２－c ２=６４,故椭圆方程为x 264＋y 210０＝1. [答案] 错误!+错误!＝1 4.(２０14·无锡质检)椭圆ｘ24＋＼f(y ２，3)＝１的左焦点为F ,直线x ＝ｍ与椭圆相交于点Ａ,Ｂ,当△F ＡB 的周长最大时,△F ＡB 的面积是______＿_.[解析] 直线ｘ＝m 过右焦点（1,0）时，△F AB 的周长最大,由椭圆定义知，其周长为４a ＝8, 此时，|AB ｜＝2×b 2a＝错误!＝3，∴S △F AB =错误!×2×3＝3.[答案] 3５.(201４·江西高考)过点M （１,1)作斜率为－错误!的直线与椭圆C ：错误!+错误!=1(a >ｂ>０）相交于A ,B 两点，若Ｍ是线段AB 的中点，则椭圆Ｃ的离心率等于＿_＿_____．[解析] 设A (x １，y 1),B (x 2，y 2),则错误!∴错误!＋错误!＝０,∴y 1-y 2ｘ１－x 2＝-ｂ2a2·＼f(x 1＋x 2,ｙ１+y 2). ∵y 1-y 2x 1-ｘ2=－＼f （1,2),x 1+x 2＝2，ｙ1＋y 2＝2，∴-b ２ａ2＝-错误!， ∴a 2＝2b 2.又∵b ２＝a 2－ｃ2，∴a ２=2(a 2-c 2），∴a ２=2c 2，∴＼f （c ，a )=错误!.[答案] 错误!考向1 椭圆的定义与标准方程【典例１】(1)(201４·全国大纲卷改编)已知椭圆C：错误!+错误!＝1（a>b＞０）的左、右焦点为Ｆ１、F２，离心率为＼ｆ(3,３),过F2的直线ｌ交C于A、B两点．若△AF１Ｂ的周长为４＼r(3),则C的方程为___＿____.(2)(20１4·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=－4,则该椭圆的方程为＿___＿___.[解析](1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝4错误!，∴a＝错误!.∵e＝错误!＝错误!,c２＋b2＝a2,∴c=1，b=错误!．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１.(2)∵椭圆的一条准线为ｘ=-4，∴焦点在x轴上且错误!=4，又2c=4,∴c=2，∴a２=8,b2＝4，∴该椭圆方程为错误!+错误!=１.[答案] (1）错误!＋错误!＝1 (２)错误!+错误!＝１,【规律方法】(1）一般地,解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决.（2）求椭圆的标准方程有两种方法①定义法:根据椭圆的定义，确定ａ２，b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax２＋Bｙ2=1(A>0，B＞0，A≠B).【变式训练1】(1)（20１３·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(１,0)，离心率等于＼ｆ(1,2),则C的方程是___＿___＿.(２）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!＋错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,Ｆ2,且｜Ｆ1F2|＝８，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点Ｆ1,则△ＡBＦ２的周长为___＿____．[解析] (1)右焦点F(１,０),则椭圆的焦点在ｘ轴上；c=１.又离心率为ca=＼f(1，2)，故a=2,b２＝a2-c2＝4－1＝３，故椭圆的方程为ｘ24+＼f(y２，3)=1.(2）∵a＞5,∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F１F２|＝8,∴c=4,∴a2＝２５＋ｃ2＝41，则a＝＼r(41). 由椭圆定义,|AF1|+|ＡF2|＝|ＢF2|＋|BＦ1|＝2a,∴△ABF2的周长为4a=441.[答案] (１)错误!+错误!＝１(２）4错误!考向2椭圆的几何性质【典例２】(1）（2013·江苏高考)在平面直角坐标系ｘOy中，椭圆Ｃ的标准方程为x2ａ２+ｙ2b2＝1(ａ>b＞０),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B．设原点到直线BF的距离为d1，Ｆ到ｌ的距离为d2,若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为_____＿__．（2)(2014·扬州质检)已知Ｆ1、F2是椭圆C的左、右焦点,点Ｐ在椭圆上,且满足|PＦ１|＝2|ＰF2|，∠PF１Ｆ2＝30°，则椭圆的离心率为___＿＿___．［解析］(１）依题意，d2=错误!-c=错误!.又ＢＦ=错误!=ａ,所以ｄ1=错误!．由已知可得错误!＝＼r(6)·＼f(bc,ａ）,所以＼ｒ（6)c２＝ab，即6ｃ4=a2（a2－ｃ２），整理可得a2=3c２,所以离心率ｅ=＼f(ｃ，ａ)＝＼f(3,3）.(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF２F1=1，即∠PF２F１=错误!，设｜PF2|＝1,则|ＰF1|=２，|F2F１|＝3,∴离心率ｅ=错误!=错误!. [答案］(1）错误!(2)错误!,【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF１|＋|PF2|=2a，得到a，c的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法：（１)求出a，ｃ,代入公式e=错误!；(2)只需要根据一个条件得到关于ａ,b，c的齐次式,结合ｂ2＝a2-c2转化为a，c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以ａ或a２转化为关于ｅ的方程(不等式),解方程（不等式)即可得e(e的取值范围)．【变式训练2】（1)(２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：错误!+错误!＝1(a>ｂ>0)的左、右焦点分别为F1,Ｆ２,P是C上的点，PF２⊥F1Ｆ2，∠PF1Ｆ２＝30°，则C的离心率为____＿___．(2)（２014·徐州一中抽测)已知F１、Ｆ２是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点,∠F１PF2=６0°.则椭圆离心率的范围为________.［解析］（1)如图,在Rｔ△PＦ1Ｆ2中,∠ＰF1F2＝3０°,∴｜ＰF1|=2|ＰF2|,且|ＰF２|＝错误!｜F1F2|，又|ＰF1|＋|PF2｜＝2a，∴｜PF２｜=＼f（2,3）a，于是|F1Ｆ２｜＝错误!a,因此离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.（２）法一:设椭圆方程为错误!+错误!＝1(a＞b>0)，｜PＦ1|＝m,｜PＦ2|=n,则ｍ＋n＝2ａ.在△PF1F２中,由余弦定理可知，4ｃ２=ｍ2＋n2－2ｍn cos 60°＝（ｍ＋ｎ）2－3mn=4a2－3mn≥4a2－3·错误!２＝4a２－3a2=ａ2(当且仅当ｍ=n时取等号)．∴错误!≥错误!，即e≥错误!.又０<e<1，∴e的取值范围是错误!.法二：如图所示,设Ｏ是椭圆的中心,A 是椭圆短轴上的一个顶点,由于∠F １ＰＦ2＝60°，则只需满足60°≤∠Ｆ1AF 2即可,又△F 1AF 2是等腰三角形，且｜ＡＦ1|＝|AF 2|，所以0°<∠F １Ｆ2A ≤６０°,所以１２≤cos ∠F 1Ｆ2A ＜1，又ｅ＝c ｏs ∠F 1Ｆ2A ,所以e 的取值范围是错误!．［答案] （1)错误! （2)错误! 课堂达标练习一、填空题1．在平面直角坐标系x Ｏy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F １，F 2在x 轴上，离心率为错误!.过Ｆ1的直线l 交Ｃ于A ，B 两点，且△AB Ｆ2的周长为16，那么椭圆C 的方程为__＿___＿＿.［解析］设椭圆方程为x 2a ２+＼f （ｙ2,b ２）=1（a >b >0)，由ｅ=错误!知错误!=错误!,故错误!=错误!.由于△AB Ｆ2的周长为|AB |+|ＢF 2|＋｜AF 2｜＝(|AF 1｜＋｜AF 2|)+(|BF １|+｜BF ２|)=4a =1６，故a =4.∴b 2＝８. ∴椭圆Ｃ的方程为错误!＋错误!=１．[答案］错误!＋错误!＝12.(2013·四川高考改编)从椭圆错误!＋错误!=1(ａ>b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，Ａ是椭圆与x 轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与y 轴正半轴的交点,且A Ｂ∥O Ｐ(O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是__＿＿＿＿__.[解析] 设P (-ｃ，ｙ0)代入椭圆方程求得ｙ０,从而求得k ＯP ,由ｋOP ＝k A Ｂ及ｅ＝＼f(c ，ａ)可得离心率e ．由题意设Ｐ(－c ,y ０)，将P (-c ,ｙ０)代入＼ｆ（x 2,ａ2)＋错误!=1,得错误!＋错误!=１，则ｙ错误!=b 2错误!＝b 2·错误!=错误!.∴y 0=错误!或y 0=-错误!(舍去),∴P 错误!，∴k OP ＝－错误!．∵Ａ(a,0），B (0，ｂ),∴k AB ＝b －00-ａ＝－错误!. 又∵AB ∥ＯP ，∴ｋAB =k OP ，∴-错误!＝-错误!,∴ｂ=ｃ.∴e ＝＼f(c,a )=＼f （c,b 2＋ｃ２）=错误!＝错误!. [答案] 错误!3.(20１4·辽宁高考）已知椭圆C :错误!＋错误!=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|ＡN |＋｜ＢN |＝＿__＿＿___.［解析] 椭圆错误!＋错误!=1中，a =3. 如图,设MN 的中点为D ,则|ＤF 1|+|D Ｆ２|=２a =６．∵D ，Ｆ１,F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN ｜＝2|ＤF 2|，｜ＡN ｜=2｜D Ｆ1|, ∴|ＡN |+|BN ｜=2(|DF 1|+｜D Ｆ2|)＝12．［答案] 124．（２01４·南京调研)如图,已知过椭圆错误!＋错误!＝1(a >b ＞0）的左顶点A (－a ，0)作直线ｌ交y 轴于点Ｐ,交椭圆于点Q ，若△AO Ｐ是等腰三角形,且错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为______＿_．[解析] ∵△AO Ｐ为等腰三角形,∴O Ａ=O Ｐ，故A (-a,0)，Ｐ(0,a ),又错误!=2错误!,∴Q 错误!,由Ｑ在椭圆上得错误!＋错误!=１，解得错误!=错误!. ∴e =错误!=错误!＝错误!. [答案] 错误!5.(2０14·南京质检)已知焦点在ｘ轴上的椭圆的离心率为错误!,且它的长轴长等于圆Ｃ:x ２+y 2-2x -1５=0的半径，则椭圆的标准方程是__＿___＿_.[解析] 由x 2＋y 2-2x －15＝0，知r ＝４=2a ⇒a =2．又e =＼ｆ(c,a )=＼ｆ(１，2)，c =1，则ｂ2=a ２－c 2=３.因此椭圆的标准方程为＼f （x 2,4）＋错误!=1. [答案］错误!＋错误!=1６．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C :x 2a ２+y 2ｂ2＝１(a >b >０)的左焦点为Ｆ,椭圆C 与过原点的直线相交于Ａ，B 两点,连接AF ,B Ｆ.若|AB ｜＝1０，|B Ｆ|=8，cos ∠AB Ｆ＝＼f(４,5），则椭圆Ｃ的离心率为__＿___＿___.[解析] 在△ABF 中,由余弦定理得，|AF |2=|ＡB |2+｜BF |2－２|A Ｂ|·|BF |c ｏs ∠ABF ，∴|ＡＦ|2＝100+64－128=3６，∴|AF |＝６，从而｜AB |2＝|AF |２＋|BF |2，则AF ⊥ＢF . ∴c =|ＯF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性,设F ′为右焦点，则|BF ′|=|ＡF ｜=６, ∴2ａ＝｜B Ｆ|＋|BF ′｜=14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝错误!=错误!．［答案] 错误! 7.已知F 1，F 2是椭圆C :ｘ2a 2＋＼ｆ(y 2，b ２)＝1（a ＞b >0）的两个焦点,P 为椭圆Ｃ上的一点，且＼ｏ(ＰF １，→）⊥错误!.若△PF 1F 2的面积为９，则b ＝__＿_＿＿_＿．[解析］由定义，｜PF 1|+｜ＰF 2｜＝２ａ，且错误!⊥错误!, ∴|P Ｆ1｜2＋|ＰF 2|2＝|F 1F ２|２＝４c 2，∴(|ＰF 1|＋|P Ｆ2｜)２-２｜PF 1|｜PF ２｜=4c ２，∴2|ＰF １|｜PF 2|＝4a 2-4c 2＝４b ２,∴|PF 1｜|PF ２|＝2b 2. ∴Ｓ△PF 1F 2＝＼f （1,2)｜PF 1｜|PF 2|=1２×2b 2＝9，因此b =3. [答案] ３8．(２0１3·大纲全国卷改编）已知F １(-1,０)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于ｘ轴的直线交Ｃ于A ，B 两点,且|AB ｜＝３,则C 的方程为___＿＿_＿_.［解析］依题意,设椭圆Ｃ：错误!＋错误!=1(a ＞ｂ>0)．过点F ２(1,０）且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长｜AB |＝3, ∴点Ａ错误!必在椭圆上, ∴错误!＋错误!=1.① 又由c =1,得１+b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2=4.故所求椭圆C 的方程为ｘ２4＋＼f （y 2,3)=1． [答案］＼f(x 2,4)+错误!＝1二、解答题９．(2014·镇江质检)已知椭圆C １：错误!+y 2＝1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程;（２）设Ｏ为坐标原点，点Ａ，B 分别在椭圆Ｃ1和C 2上,错误!=2错误!,求直线ＡB 的方程．[解] （1）设椭圆C 2的方程为错误!＋错误!=１(a >2), 其离心率为错误!, 故错误!＝错误!，解得a ＝4.故椭圆Ｃ2的方程为＼f(y ２,１6）＋错误!=1.(2)法一:A ，B 两点的坐标分别记为(x A ,ｙA )，(x Ｂ,ｙB )，由错误!＝2错误!及(1)知，O 、Ａ、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线A Ｂ的方程为y =kx . 将ｙ=ｋx 代入错误!＋y 2＝1中，得（１+4ｋ2）ｘ2=4，所以ｘ错误!＝错误!. 将y =kx 代入＼ｆ（y 2,1６)＋错误!＝1中,得（４＋k 2)x 2＝16，所以x 错误!=错误!. 又由错误!＝2错误!,得x 错误!＝4x 错误!，即错误!=错误!, 解得k =±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－ｘ. 法二:A ,Ｂ两点的坐标分别记为（ｘＡ，y A ),(x B ,ｙB )，由错误!=2错误!及(1)知,O 、Ａ、Ｂ三点共线且点A 、B 不在y 轴上,因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入＼f(ｘ2,４）＋y 2=1中，得（1+4k 2)x 2=４,所以ｘ２，A =４１＋4ｋ2. 由错误!＝2错误!，得x错误!＝错误!，y 错误!=错误!.将x2B,y错误!代入错误!＋错误!=1中,得错误!=１，即４＋k2＝１+4ｋ２，解得k＝±1.故直线AB的方程为y=x或ｙ＝-x.1０.(2０14·安徽高考）设F1,Ｆ2分别是椭圆E：＼ｆ(ｘ2,a2)+错误!=1(ａ>b＞0)的左、右焦点，过点Ｆ1的直线交椭圆E于A,B两点，|AF１｜=3|F１B|．(1）若|AB|=4，△AＢＦ2的周长为１6,求|AF2|;(2）若ｃos∠AF２B＝错误!，求椭圆Ｅ的离心率.[解]（1）由｜ＡF１|=3｜F1Ｂ|,｜ＡB|=4，得|ＡF1|＝3,|F１Ｂ|=1.因为△ＡBＦ2的周长为16，所以由椭圆定义可得４a=1６，|AF１|＋|ＡF2|=2ａ=8.故|AＦ2|＝２a－|AF1|=8－3＝5．(2)设|F1B|＝k,则k>0且｜ＡF1|=3k,|ＡＢ｜=4ｋ．由椭圆定义可得|AF2|＝２a-3k,|ＢＦ2｜=2a-k.在△ABＦ２中,由余弦定理可得|AＢ｜２=|AF2｜２+｜BF2｜２－2｜ＡＦ2|·|BF２|ｃos∠ＡＦ2Ｂ，即(４ｋ)2＝(2a-3k)2+(２a-ｋ）2－＼f(6,5）(２ａ－３k)·（2a-k)，化简可得(a+k)(a-３ｋ)＝0.而a+k>0，故ａ＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|=５k．因此|BF2｜2=|F２Ａ|2＋|AＢ｜２，可得F１A⊥F２A，故△AF1Ｆ2为等腰直角三角形．从而ｃ=＼f（＼r(2),2)a,所以椭圆E的离心率e=错误!=错误!.椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1）第一定义：平面内与两个定点Ｆ1,F２的距离之和等于（大于|F1F２|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个叫做椭圆的焦点,两个的距离叫做焦距.(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数( <e<)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点Ｆ相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!=1（a＞ｂ>0)错误!+错误!=1(ａ>b>0)图形性质范围≤x≤≤ｙ≤≤x≤≤y≤顶点A1( ）, A2( ) A1(), A2（）B1( )，Ｂ2( ) B１（),B2（）焦点F1() F2() F1（)F2()准线l1:x＝-a2c l2:x＝＼f(a2,c) l1：y＝－错误!l２:ｙ=错误!轴长轴Ａ1A2的长为短轴B1B2的长为长轴A1Ａ2的长为短轴B1B2的长为焦距F1F２=离心率e＝＼f(c,a），且e∈a,b,c的关系c２=对称性对称轴：对称中心:1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)动点Ｐ到两定点Ａ(-2，0)，B(2,0)的距离之和为４,则点P的轨迹是椭圆．（)(2)椭圆上一点Ｐ与两焦点Ｆ1，F2构成△ＰＦ1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)．()(３)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．（)(4)已知点F为平面内的一个定点，直线ｌ为平面内的一条定直线.设d为平面内一动点P到定直线l的距离,若d＝错误!|PＦ｜，则点P的轨迹为椭圆．（)2.(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆错误!+错误!＝1的离心率为错误!,则m＝_＿______.3.椭圆的焦点坐标为(0,-6),（０，６)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20,则椭圆的标准方程为_____. 4．（201４·无锡质检)椭圆错误!+错误!=1的左焦点为F，直线ｘ=m与椭圆相交于点A，Ｂ，当△F AB的周长最大时，△F AB的面积是_＿___＿_＿．5.(2０１4·江西高考）过点M(1,１)作斜率为－１２的直线与椭圆C：错误!+错误!＝1(a>b>0)相交于A,Ｂ两点,若Ｍ是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于____＿___.考向1 椭圆的定义与标准方程【典例１】(1）(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：＼f(ｘ2，a２)＋错误!＝1(a>ｂ>0）的左、右焦点为F1、F２,离心率为错误!，过F2的直线l交C于Ａ、B两点．若△ＡF１Ｂ的周长为4错误!,则Ｃ的方程为______＿_.(２)（2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为４,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为_＿__＿__＿.【规律方法】（1）一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义,确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出ａ，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２+Ｂｙ2＝1(Ａ>0，B>０,A≠Ｂ)．【变式训练1】(1)（２013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0),离心率等于＼f(1,2)，则Ｃ的方程是＿_______.（2）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!+错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,Ｆ２，且｜F１Ｆ2|＝8，弦AＢ（椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△AＢF2的周长为＿_＿____＿.考向２椭圆的几何性质【典例２】（１）(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xＯｙ中，椭圆Ｃ的标准方程为错误!＋错误!＝１(a>b>0),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线ＢF的距离为ｄ1，F到l的距离为d2，若ｄ2=６d1,则椭圆Ｃ的离心率为＿___＿_＿_．（2)(２014·扬州质检)已知Ｆ1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足｜PF１|＝2|PＦ2|，∠PF1F２＝３0°,则椭圆的离心率为________.【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|ＰF1|＋|PF2|=2a，得到a,c的关系．2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围），常见有两种方法:(1)求出a，c,代入公式e＝错误!;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b，c的齐次式，结合b２＝a２-ｃ2转化为ａ,ｃ的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或ａ２转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围).【变式训练2】（1）（２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：x2a2＋错误!=1(ａ＞b>0)的左、右焦点分别为Ｆ1,F2，P是Ｃ上的点,PF2⊥F1Ｆ２，∠ＰＦ1Ｆ２=30°,则C的离心率为＿__＿__＿＿．（2)(2０14·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，Ｐ为椭圆上一点，∠F１ＰF2=60°.则椭圆离心率的范围为＿_______．课堂达标练习一、填空题１.在平面直角坐标系x Ｏy 中，椭圆Ｃ的中心为原点,焦点Ｆ1，F 2在ｘ轴上，离心率为＼f(＼ｒ(2)，２).过F 1的直线ｌ交C 于A ，B 两点，且△ＡBF 2的周长为1６，那么椭圆Ｃ的方程为_＿_＿____．2.（２0１3·四川高考改编）从椭圆错误!＋错误!＝1(ａ>b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点Ｆ1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且ＡB ∥OP (Ｏ是坐标原点),则该椭圆的离心率是______＿＿．３．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋错误!=１,点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在Ｃ上,则|ＡN |＋|B Ｎ｜=_____＿__.4.(2014·南京调研）如图,已知过椭圆错误!+错误!＝1(a >ｂ>0)的左顶点A （-a,０)作直线ｌ交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△ＡOP 是等腰三角形，且错误!＝2错误!,则椭圆的离心率为___＿____.5.(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为＼f(1，2），且它的长轴长等于圆C ：x 2+y 2－2x -15=0的半径，则椭圆的标准方程是＿__＿____.６．（2013·辽宁高考改编)已知椭圆Ｃ:错误!+错误!＝１(a >ｂ＞0）的左焦点为Ｆ,椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接ＡF ,ＢF .若|ＡB |=10,|BF |=8,cos ∠ABF ＝错误!,则椭圆C 的离心率为__＿_______．７.已知F １,Ｆ2是椭圆C ：错误!+错误!＝１(a >b >0）的两个焦点，Ｐ为椭圆Ｃ上的一点,且错误!⊥错误!.若△P Ｆ1Ｆ2的面积为9，则b =_＿______.8.（2013·大纲全国卷改编)已知F 1(-1,0)，F 2(１,0)是椭圆C 的两个焦点,过F ２且垂直于ｘ轴的直线交C 于Ａ，B 两点,且｜A Ｂ|=3，则C 的方程为___＿＿_＿_.二、解答题9.（2０14·镇江质检)已知椭圆C １:x 24＋y 2=1，椭圆Ｃ２以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率．（１）求椭圆C ２的方程;(2)设O 为坐标原点,点A ,Ｂ分别在椭圆C １和C 2上，错误!=2错误!,求直线AB 的方程．1０.(２014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E:错误!＋错误!＝１(ａ>b>0)的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆Ｅ于A,B两点，|AＦ1|=3|F1Ｂ|．(1)若|ＡB|=4，△ABＦ2的周长为16，求|ＡF2|;(２）若cos∠AＦ2B=错误!，求椭圆E的离心率.。

椭圆常用结论及其推导过程

椭圆常用结论及其推导过程椭圆是一个非常重要的几何学概念，具有许多重要的结论和性质。

在这篇文章中，我们将介绍椭圆的常用结论及其推导过程。

一、椭圆的定义及基本性质1.椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。

2.椭圆的基本性质：(1)椭圆是一个封闭曲线，具有对称性；(2)椭圆的两个焦点F1和F2与椭圆的中心O在一条直线上；(3)椭圆的长轴与短轴相交于中心，长度分别为2a和2b（a>b>0）；(4)椭圆的离心率e满足0<e<1二、椭圆的焦点、半长轴和半短轴的平方和证明1.定理：椭圆焦点到定点连线与定点切线的夹角为直角。

证明：设定点F1、F2和椭圆上的点M。

由于FM的长度等于椭圆的长轴，且角FMF1和角FMF2均为直角，所以角MF1F2为直角。

对于切线MF1和MF2，它们垂直于线段F1F2，所以MF1与MF2的夹角为直角。

2.定理：椭圆焦点到定点连线的长度平方和等于长轴的平方。

证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，长轴的长度为2a，椭圆上的任意一点为P。

根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a。

将等式两边平方化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²。

根据焦点与点P连线与切线夹角为直角的性质，可以得到(PF1)²+(PF2)²=(PM)²，其中PM为点P到椭圆的切线的距离。

根据切线的性质，可以得到(PM)²=(PA)²+(PM-A)²，其中A是椭圆上与点P相切的点。

代入上式，化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²，即(PA)²+(PM-A)²+2(PA)(PM-A)=(2a)²。

经过化简，得到(PA+PM-A)²=(2a)²，即2(PA)(PM-A)=0。

椭圆几何性质知识点总结

椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

即PF1+PF2=2a。

其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。

椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。

椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。

2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。

椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。

离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。

一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。

其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。

4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。

5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。

c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。

d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。

6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。

7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。

标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。

8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。

因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。

椭圆性质大全(92条-含证明)

椭圆的92条性质及证明1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b +=+;(2)L =17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k-≤+. 26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bxayα=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||PA P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a M N O P a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a mb n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a-≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-. 57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=. 60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a +≤+≤+.61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb -（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a bx y e e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是 22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min2()(||||)a b a y b x PA PB a-+⋅=. 73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>. 91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122abS S +=.92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

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设 P(x，y)，则FP＝(x－2，y)，OP＝(x，y)，所以
FP·OP ＝x (x－2)＋y2＝x2＋y2－2x＝2x－3． …………………………10 分
学海无涯
因为(x－2)2＋y2＝1，所以(x－2)2≤1，即－1≤x－2≤1，得 1≤x≤3．所以－1≤2x－3≤3，
即FP·OP 的取值范围为[－1，3]．………………………………………………………14
|PF2|＝r2，∠F1PF2＝ )
【基础自测】 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于 .
2.若椭圆 x2 y2 =1 的离心率为 1 ，则实数 m= .
2m
2
学海无涯
3 设椭圆 x2 + y2 =1(m＞0,n＞0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同，离心率为 1 ，则此
(5) 椭圆的参数方程为． 4
．焦点三角形应注意以下关系：
(1) 定义：r1＋r2＝2a
(2) 余弦定理： r12＋ r 22－2r r1 c2 os ＝(2c) 2
(3)
面in
＝
1 2
·2c|
y0 |(其中 P( x0,0y )为椭圆上一点，|PF |1 ＝r ，1
学海无涯
4 经过椭圆 x2 +y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45°的直线 l,交椭圆于 A、B 两点，设 O 为
2
坐标原点，则 OA · OB 等于 .
解 (Ⅰ)设椭圆 E 的标准方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且 m≠n)．………………2
分
因为
A(1，2
5
5)，B(－2，
55)在椭圆
m2 n2
2

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