2013年高中数学教学精品课件：空间向量的坐标运算表示
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课件1：1.3.2 空间向量运算的坐标表示
[探究问题] 1．已知 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段 AB 的中点 P 的坐标是多少？ [提示] Px1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2.
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
1.3空间向量及其运算的坐标表示课件
坐标符号
Ⅰ
y
Ⅴ
Ⅲ
Ⅳ
(-,-,+)
Ⅶ
(-,-,-)
(+,-,+)
Ⅷ
(+,-,-)
7
例题讲解
例1.
z
C
D
A
B
C y
O
x
解: (1) D(0,0, 2), C(0, 4,0), A(3,0, 2), B(3, 4, 2)
A
B
例题讲解
例1.
8
巩固练习
练习1（课本P18练习T1）
9
2
1.3.2空间向量运算的
这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
坐标平面：Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面
z
OA xi y j z j
A
k
i
x
O
j
y
记作A(x,y,z)，其中x叫做点A
的横坐标，y叫做点A的纵坐
标，z叫做点A的竖坐标.
4
巩固练习
在空间直角坐标系中作出下列各点
(1)A（1,4,1）
(2)B（2,-2,-1）
（4）数量积：a ;
a1b1 a2b2 a3b3
;
学习新知
二、空间向量的坐标与其端点坐标的关系
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线
(3)C（-1,-3,3）；
z
C(-1,-3,3)
•
(-1,-3,0)
C1
•
(2,-2,0)
B1
O
1
•
Ⅰ
y
Ⅴ
Ⅲ
Ⅳ
(-,-,+)
Ⅶ
(-,-,-)
(+,-,+)
Ⅷ
(+,-,-)
7
例题讲解
例1.
z
C
D
A
B
C y
O
x
解: (1) D(0,0, 2), C(0, 4,0), A(3,0, 2), B(3, 4, 2)
A
B
例题讲解
例1.
8
巩固练习
练习1（课本P18练习T1）
9
2
1.3.2空间向量运算的
这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
坐标平面：Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面
z
OA xi y j z j
A
k
i
x
O
j
y
记作A(x,y,z)，其中x叫做点A
的横坐标，y叫做点A的纵坐
标，z叫做点A的竖坐标.
4
巩固练习
在空间直角坐标系中作出下列各点
(1)A（1,4,1）
(2)B（2,-2,-1）
（4）数量积：a ;
a1b1 a2b2 a3b3
;
学习新知
二、空间向量的坐标与其端点坐标的关系
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线
(3)C（-1,-3,3）；
z
C(-1,-3,3)
•
(-1,-3,0)
C1
•
(2,-2,0)
B1
O
1
•
空间向量运算的坐标表示ppt课件
1
1
则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为( ，1， ).
2
2
于是AM =
1
(
2
− 1)2 +(1
1
2
− 0) +(
2
− 0)2 =
6
.
2
练习巩固
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M为BC1 的中点，E1 ，F1 分别在
1
4
1
4
棱A1 B1 ，C1 D1 上，B1 E1 = A1 B1 ，D1 F1 = C1 D1 .
(2): (2)·(－)
Ԧ
＝－2(Ԧ · )＝－2 × (－7)＝14；
(＋)·(
Ԧ
－)＝(2，－2,2)
Ԧ
· (2,0，－6)＝2 × 2－2 × 0＋2 × (－6)＝－8.
练习巩固
变式1-1.已知a ＝(−3，2，5)，b ＝(1，5 , −1)，求：
(1)Ԧ +
(2)6Ԧ
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
练习巩固
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
i
O
j
x
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .
1
则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为( ，1， ).
2
2
于是AM =
1
(
2
− 1)2 +(1
1
2
− 0) +(
2
− 0)2 =
6
.
2
练习巩固
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M为BC1 的中点，E1 ，F1 分别在
1
4
1
4
棱A1 B1 ，C1 D1 上，B1 E1 = A1 B1 ，D1 F1 = C1 D1 .
(2): (2)·(－)
Ԧ
＝－2(Ԧ · )＝－2 × (－7)＝14；
(＋)·(
Ԧ
－)＝(2，－2,2)
Ԧ
· (2,0，－6)＝2 × 2－2 × 0＋2 × (－6)＝－8.
练习巩固
变式1-1.已知a ＝(−3，2，5)，b ＝(1，5 , −1)，求：
(1)Ԧ +
(2)6Ԧ
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
练习巩固
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
i
O
j
x
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
空间向量运算的坐标表示ppt课件
新知探究
1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
＋
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
＋＝_______________________
减法
－
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
－＝_______________________
数乘
λ
(λa1，λa2，λa3)
λ＝______________，λ∈R
数量积
·
a1b1＋a2b2＋a3b3
·＝________________
下面我们来证明空间向量的
的坐标表示：
设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则
a=a1i+a2 j+a3k ,
b=b1i+b2 j+b3k
∴a ∙ b=（a1i+a2 j+a3k） ∙ （b1i+b2 j+b3k）
∵i∙i=j∙ j=k∙ k=1
i∙j=j∙ k=k∙ i=0
∴a∙b=a1b1+a2b2+a3b3
2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有
①b1，b2，b3≠0时，∥⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)⇔
②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
【练习7 】点P(1,3,5)关于点M(2,﹣1,﹣4)的对称点的坐标是__________.
8.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，
G在棱CD上，且CG＝ CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
高中数学教学课件：空间向量的坐标运算表
向量的向量积坐标运算实例
总结词
向量积等于一个新向量的模等于原两向 量的模与它们夹角的正弦值的乘积，其 方向垂直于两向量所确定的平面。
VS
详细描述
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1},z_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{CD} = (x_{2},y_{2},z_{2})$，则它们的向量积 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{CD}$的坐标计 算公式为$(x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}, x_{1}z_{2} - x_{2}z_{1}, y_{1}z_{2} y_{2}z_{1})$。
负向量乘法
当两个向量垂直时，它们的数 量积为0；当一个向量垂直于另
一个非零向量时，它们的数量 积为负数。
03
空间向量的向量积
向量积的定义
向量积的定义
向量积是一个向量运算，其结果 为一个向量，记作a × b，其中a 和b是给定的两个向量。
定义公式
假设向量a和b的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则向量积a × b的坐标为(y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2)。
数学公式
a·b=|a||b|cosθ。
数量积的几何意义
投影定理
一个向量在另一个向量上的投影长度等于该向量与另一个向量的 数量积。
角度定理
两个向量的夹角等于一个向量在另一个向量上的投影长度与该向 量的模长之比。
数量积的运算性质
交换律
a·b=b·a。
2013年最新高中数学教学精品课件：空间向量的坐标运算表示
→
→
5分
→
所以|C1G|＝
→
17 . 4
1 1 1 1 3 － ＋－ ×(－1)＝ ， 又EF·C1G＝ ×0＋ × 2 2 4 2 8
→
→
EF·C1G 3 → → 51 |EF|＝ ，所以 cos〈EF，C1G〉＝ ＝ . 2 17 → → |EF||C1G|
→
→
→
51 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 . 17
9分
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(3)因为
1 1 7 1 F ， ，0、H0， ， ， 8 2 2 2
→ 1 3 1 所以FH＝(－ ， ， )， 2 8 2
所以|FH|＝
→
1 2 3 2 1 2 － ＋ ＋ ＝ 2 8 2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解
如图所示， 建立空间直角坐标系 D－xyz，
1 1 1 D 为坐标原点，则有 E(0，0， )、F( ， ， 2 2 2 0)、C(0，1，0)、C1(0，1，1)、B1(1，1，1)、 3 G(0， ，0). 4 (1)证明 1 － )， 2
B1C＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)．
可得到方程(组)，进而求参数的值．若 a＝(x1，y1，z1)，当 x1 y1 z1 b＝(x2，y2，z2)中的每个坐标都非零时，a∥ b⇔ ＝ ＝ ， x2 y2 z2 这一充要条件应用起来较为方便．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式2】 已知空间三点 A(－2，0，2)、B(－1，1，2)、C(－3，0，
x＝0， x＝0， ∴y＝4 5， 或y＝－4 5， z＝2 5， z＝－2 5， ∴x＝(0，4 5，2 5)或(0，－4 5，－2 5)．
相关主题
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题型三 夹角与距离的计算
【例3】 (12 分)在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 D1D、BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题： (1)求证：EF⊥B1C； (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值； (3)求 FH 的长．
∴x＝5，y＝12，z＝0，则点 P 的坐标为(5，12，0)．
规律方法 求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在
原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同，不在原点
时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．
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【变式1】 已知向量a＝(1，－2，4)，求同时满足以下三个条
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题型二 向量的平行与垂直
【例2】 设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k；
[思路探索] 可先求出ka＋b，a－3b，再根据向量平行与 垂直的条件列方程求解即可． 解 ka＋b＝(k－2，5k＋3，－k＋5)． a－3b＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5) ＝(7，－4，－16)． (1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，
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名师点睛
1．关于空间直角坐标系的建立 建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确 定原点和各坐标轴，同时，使尽可能多的点在坐标轴上或 坐标平面内，这样可以较为方便的写出点的坐标．
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解 如图所示，建立空间直角坐标系 D－xyz，
D 为坐标原点，则有 E(0，0，12)、F(12，12，
0)、C(0，1，0)、C1(0，1，1)、B1(1，1，1)、
G(0，34，0).
2分
(1)证明 E→F＝(12，12，0)－(0，0，12)＝(12，12，
－12)，
B→1C＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)．
所以E→F·B→1C＝12×(－1)＋12×0＋－12×(－1)＝0，
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活页规范训练
所以E→F⊥B→1C，即 EF⊥B1C.
5分
(2)因为C→1G＝0，34，0－(0，1，1)＝0，－14，－1，
所以|C→1G|＝
17 4.
又E→F·C→1G＝12×0＋12×－14＋－12×(－1)＝38，
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活页规范训练
【变式2】 已知空间三点 A(－2，0，2)、B(－1，1，2)、C(－3，0，
4)．
设 a＝A→B，b＝A→C.
(1)设|c|＝3，c∥B→C，求 c；
(2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k.
解 (1)∵B→C＝(－2，－1，2)且 c∥B→C，
2．向量坐标的确定 (1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两 端点的坐标，然后用表示这个向量的有向线段的终点坐标 减去起点坐标即得一个向量在空间直角坐标系中的坐标；
课前探究学习
ห้องสมุดไป่ตู้
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标； (3)给出条件求向量的问题，可先设出向量的坐标，然后 通过建立方程组，解方程组求其坐标． 3．空间向量在几何中的应用 有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中 线线、线面的平行与垂直，利用向量长度公式夹角公式求 两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算 即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．
∴设 c＝λB→C＝(－2λ，－λ，2λ)．
∴c＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3.
解得 λ＝±1.
∴c＝(－2，－1，2)或 c＝(2，1，－2)．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)∵a＝A→B＝(1，1，0)，b＝A→C＝(－1，0，2)，
∴ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 解得 k＝2 或 k＝－52.
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题型一 空间向量的坐标运算
【例1】 已知 O 为坐标原点，A、B、C 三点的坐标分别是(2， －1，2)、(4，5，－1)、(－2，2，3)．求点 P 的坐标，使： (1)O→P＝12(A→B－A→C); (2)A→P＝12(A→B－A→C)． [思路探索] 先求A→B、A→C的坐标，再利用运算性质求O→P、A→P.
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所以k－7 2＝5k－＋43＝－－k＋165，解得 k＝－13. (2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)， 所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，
解得 k＝1306. 规律方法 已知向量平行或垂直时，利用坐标应满足的条件 可得到方程(组)，进而求参数的值．若 a＝(x1，y1，z1)，当 b＝(x2，y2，z2)中的每个坐标都非零时，a∥b⇔xx21＝yy12＝zz12， 这一充要条件应用起来较为方便．
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解 A→B＝(2，6，－3)，A→C＝(－4，3，1)．
(1)O→P＝12(6，3，－4)＝(3，32，－2)，
则点 P 的坐标为(3，32，－2)．
(2)设 P 为(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵12(A→B－A→C)＝A→P＝(3，32，－2)，
件的向量x；①a·x＝0; ②|x|＝10; ③x与向量b＝(1，0，0)
垂直．
解 设 x＝(x，y，z)，由三个条件知xx－ 2＋2yy2＋＋4zz2＝＝100，0， x＝0，
x＝0， x＝0， ∴y＝4 5，或y＝－4 5，
z＝2 5， z＝－2 5，
∴x＝(0，4 5，2 5)或(0，－4 5，－2 5)．