重点高中数学竞赛知识点
数学竞赛知识点总结高中
数学竞赛知识点总结高中
一、函数的基本概念
1.1 函数的定义
函数是一种对应关系，将定义域中的元素映射到值域中的元素，通常用f(x)表示函数。
1.2 常见函数
常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1.3 函数的性质
函数的奇偶性、周期性等性质对于解题非常重要。
1.4 函数的图像
函数的图像对于理解函数的性质和解题都具有重要意义。
二、不等式
2.1 不等式的表示
不等式通常表示为a>b、a≥b、a
2.2 不等式的解法
解不等式通常通过分析不等式的性质、代数方法和图像法进行。
2.3 不等式的应用
不等式在优化问题、绝对值不等式、三角不等式等问题中常常出现。
三、集合与映射
3.1 集合的基本概念
集合是由各种对象的总体，通常用大写字母表示集合。
3.2 集合的运算
包括交集、并集、差集等。
3.3 映射的概念
映射是一种元素之间的对应关系，通常用f:A→B表示从集合A到集合B的映射。
三、多项式和方程
4.1 多项式的定义
多项式是由多个项的代数式，通常表示为P(x)。
4.2 多项式的运算
多项式包括加减乘除等基本运算。
4.3 多项式的因式分解
因式分解是将多项式表示为若干个不可约的因式乘积。
4.4 方程与不等式
方程和不等式是基于多项式的等式与不等式。
四、数列与数学归纳法
5.1 等差数列与等比数列
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
5.2 数学归纳法的基本思想
数学归纳法用于证明递推关系的性质。
五、排列与组合
6.1 排列的基本概念
排列是从n个元素中取出m个元素进行排列的方式。
高中数学竞赛知识点整理
高中数学竞赛知识点整理
一、代数知识
1.一元二次方程：
（1）一元二次方程的解法：
a、利用求根公式：解一元二次方程的根：
若ax2 + bx + c = 0，则x1 = (-b + √(b2 - 4ac))/2a，x2 = (-b -
√(b2 - 4ac))/2a
b、利用因式分解法：
将一元二次方程化为两个一元一次方程，求解。
2.一元一次方程：
（1）一元一次方程的解法：
a、利用移项法：把一元一次方程化为一元一次不等式，求解。
b、利用乘除法：将一元一次方程的系数化简，求解。
3.二元一次方程组：
（1）二元一次方程组的解法：
a、利用消元法：把二元一次方程组化为一元一次方程组，求解。
b、利用代入法：将一个方程的解代入另一个方程，求解。
4.不等式：
（1）一元一次不等式的解法：
a、利用移项法：将一元一次不等式化为一元一次方程，求解。
b、利用乘除法：将一元一次不等式的系数化简，求解。
二、几何知识
1.直线与圆：
（1）直线与圆的位置关系：
a、直线与圆有共点：直线与圆相切；
b、直线与圆无共点：直线与圆相交；
c、直线与圆有共线：直线与圆相离；
2.三角形：
（1）三角形的性质：
a、直角三角形：有两条直角边；
b、等腰三角形：有两条等长边；
c、等边三角形：三条边
高中数学竞赛常用知识汇集
4. 约数和定理
设σ(n) = d表示大于1的整数n的所有正约数的和, n的标准分解式为n = m pαi i , 则
d|n
i=1
σ(n)
=
m i=1
pαi i+1 − pi − 1
1.
∞
5. 在n!的标准分解式中, 质因数p的方幂为
r=1
n pr
. 其中记号[x]表示不超过x的最大整数.
5 公约数和公倍数
(1)若a1|b, a2|b, · · · , an|b, 则b称为a1, a2, · · · , an的公倍数. a1, a2, · · · , an的所有公倍数中最小的一个
称为a1, a2, · · · , an的最小公倍数. 记作[a1, a2, · · · , an].
(2)若a1, a2, · · · , an的标准分解式为a1 = m pαi i , a2 = m pβi i , · · · , an = m pδii , 其中pi为质数, αi, βi,
(2)若(a, b) = 1, 则(a ± b, a) = 1, (a ± b, ab) = 1.
(3)若(a, b) = 1, a|bc, 则a|c.
(4)若a|c, b|c, (a, b) = 1, 则ab|c.
(5)若(a, b) = 1, 则(b, ac) = (b, c).
高中数学竞赛公式定理大全
高中数学竞赛公式定理大全包括但不限于：
1. 集合运算的分配律与反演律（摩根律）、容斥原理、有限等集的性质。
2. 直线与方程：克莱姆法则、二维对称点坐标公式、二维投影点坐标公式、直线的参数方程、交轨法、定比分点公式。
3. 圆锥曲线：阿波罗尼斯圆、圆的直径式方程、曲线系、圆幂定理、调和点列、椭圆和双曲线的第二定义、各种切割线方程、特殊类型的双曲线、抛物线的各种几何性质、阿基米德三角形、齐次化方法、双根式、仿射变换、隐函数、蒙日圆、等角定理、二次锥面形成圆锥曲线的过程、极点与极线。
4. 立体几何：祖暅原理、用行列式求平面的法向量、三维对称点坐标公式、三维投影点坐标公式、直角四面体勾股定理、四面体余弦定理、三射线定理、三余弦定理、三面角余弦定理、三正弦定理、平行六面体的性质、立体几何中的正余弦定理。
5. 导数与极限：夹逼定理、洛必达法则、极限运算法则、常用极限、对数求导法则、隐函数求导、多个极值判定法、抽象函数的构造、对数平均不等式、指数平均不等式。
6. 数列：等差数列中，S奇=na中，例如S13=13a7；等差数列中，S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q；数列的终
极利器，特征根方程等。
7. 其他公式和定理：三角形垂心爆强定理；维维安尼定理；爆强思路；常用结论；爆强公式；函数y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减等。
高中数学竞赛讲义(常考知识点归纳汇总)
高中数学竞赛资料
一、高中数学竞赛大纲
全国高中数学联赛
全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试
全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：
1.平面几何
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数
周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*
3. 初等数论
同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题
圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。
高二数学竞赛考的知识点
高二数学竞赛考的知识点
高二数学竞赛是一项对学生数学能力的全面考核，并且考察的
知识点涵盖了高一和高二的数学课程内容。在这篇文章中，我们
将详细介绍高二数学竞赛考试中涉及的各个知识点。
1.函数与方程
函数与方程是高中数学的基础，也是竞赛中经常考察的内容。
其中包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数以及三角函
数等。考生需要理解各种函数的性质、图像特点，以及函数之间
的关系。此外，求解各种方程及不等式也是必备的技能。
2.数列与数列极限
数列是一种特殊的函数，是将自然数映射到实数的一种方式。
高二数学竞赛中经常涉及到数列的性质、递推公式、通项公式等。同时，数列极限也是重点考察的内容，包括数列的极限存在性、
极限计算、极限的性质等。
3.概率与统计
概率与统计是数学中的应用部分，也是高二数学竞赛中的重要
内容。其中包括事件的概率、条件概率、随机变量与概率分布以
及统计图表的分析等。考生需要掌握概率计算的方法和技巧，同
时能够灵活运用统计学的基本理论进行问题求解。
4.立体几何
立体几何是高中数学中的一大难点，也是高二数学竞赛中的考
点之一。重点包括立体图形的投影、表面积和体积的计算。此外，还需要理解立体几何中的一些定理和推理思路，并能够应用到复
杂的立体几何问题中。
5.平面向量
平面向量是高二数学竞赛中的重要知识点，也是数学与物理结
合的桥梁。平面向量包括向量的性质、向量的加法与减法、数量
积和向量积等。考生需要掌握向量的运算方法和性质，并能够运
用向量进行几何证明和问题求解。
6.三角函数与三角恒等式
三角函数与三角恒等式是高二数学中的重要内容，也是竞赛考
高中数学竞赛知识点
高中数学竞赛知识点
高中数学竞赛一直是让许多学生头疼的问题。它不仅要求我们掌握
基础的数学知识，还需要我们在限定的时间内迅速解决各种复杂的问题。然而，只要我们掌握了一些关键的数学竞赛知识点，我们就能够
在竞争中脱颖而出。
首先，让我们来看一下数列与数列极限的相关知识。数列是数学竞
赛中经常出现的一个概念，它指的是按照一定规律排列的一组数。我
们需要掌握数列的基本性质，包括递推公式、通项公式以及数列的求
和公式等。同时，了解数列的极限概念，包括收敛与发散，也是非常
重要的。在竞赛中，我们会遇到一些关于数列的难题，只有熟悉了数
列的性质，才能够迅速解决问题。
其次，代数方程也是高中数学竞赛的重要内容之一。代数方程是指
含有未知数的等式，我们需要运用代数方程的解题方法来解决各种复
杂的问题。在解代数方程的过程中，我们需要注意方程的整数解、有
理根与无理根等基本概念。同时，熟悉一些有用的代数恒等式，如二
项式定理、配方法和因式分解等，也可以帮助我们在数学竞赛中事半
功倍。
另外，概率与统计也是高中数学竞赛的重要考点。掌握概率与统计
的基本概念，包括事件的概率、条件概率、随机变量、概率分布等，
是解决概率与统计问题的关键。在竞赛中，我们常常需要运用概率与
统计的知识来解决一些实际问题，如抛硬币、掷骰子、抽样等。只有
熟悉了这些知识点，我们才能够快速准确地解答各种概率与统计问题。
最后，解析几何也是高中数学竞赛的重要内容。解析几何是指运用
代数方法研究几何问题的一种数学方法。了解解析几何的基本概念，
如直线方程、平面方程、圆方程以及二次曲线方程等，可以帮助我们
高中数学竞赛知识点总结
高中数学竞赛知识点总结
高中数学竞赛涉及的知识点非常广泛，以下是一份简要的知识点总结：
1. 数论基础：包括整除、余数、最大公约数、最小公倍数等。
2. 代数：包括方程组、不等式、函数、数列等。
3. 平面几何：包括三角形、四边形、圆、相似形、解析几何等。
4. 立体几何：包括球、长方体、四面体等。
5. 平面解析几何：包括直线、二次曲线、极坐标等。
6. 组合数学：包括排列、组合、二项式定理、组合恒等式等。
7. 图论：包括图的性质、欧拉路径、哈密顿路径等。
8. 概率与统计：包括概率、期望、方差等。
9. 初等数论：包括同余、费马小定理、中国剩余定理等。
10. 数学逻辑与问题解决：包括逻辑推理、集合论、问题解决策略等。
以上仅为基础知识点，竞赛中还可能涉及更深层次的知识和技巧。如果想要深入学习，建议查阅数学竞赛的相关教材或咨询专业教师。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料
一、高中数学竞赛大纲
全国高中数学联赛
全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试
全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：
1.平面几何
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数
周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*
3. 初等数论
同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题
圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。
最新高中数学竞赛全套精品讲义
竞赛讲座01－奇数和偶数
整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.
关于奇数和偶数，有下面的性质：
（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；
（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；
（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；
（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；
（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.
以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.
1.代数式中的奇偶问题
例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？
□+□=□，□-□=□，
□×□＝□□÷□＝□.
解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.
例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组
是整数，那么
（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.
（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数
分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）
例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.
分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都
高中数学竞赛基本知识集锦
高中数学竞赛基本知识集锦
一、三角函数 常用公式
由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式
2cos 12
sin
α
α
-±
= 2
cos 12
cos
α
α
+±
= α
α
ααααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
tan
+=-=+-±
=
积化和差
()()[]βαβαβα-++=sin sin 2
1
cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 2
1
sin cos ()()[]βαβαβα-++=
cos cos 2
1
cos cos ()()[]βαβαβα--+-
=cos cos 2
1
sin sin 和差化积
2
cos 2
sin 2sin sin β
αβ
αβα-+=+
2sin
2cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=-
2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-+=+
2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=-
万能公式
α
α
α2tan 1tan 22sin +=
αα
α22tan 1tan 12cos +-=
α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
三倍角公式
()()
αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()
αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3
二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容(共4页)
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全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。
二、代数
1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
初高中数学竞赛知识点
初高中数学竞赛知识点
参加初高中数学竞赛，需要掌握以下知识点：
初中数学竞赛知识点主要包括：
1. 整数和有理数的加减乘除运算，包括带分数和小数的转化。
2. 基本的代数知识，比如方程、不等式的解法，多项式的基本运算与因式分解。
3. 平面几何的基础知识，包括角度大小、面积计算、相似、共圆等概念。
4. 空间几何的基础知识，包括立体图形名称及其特征，立体图形的表面积和体积的计算，平行截面定理等。
5. 数列和函数的基础知识，包括等差数列、等比数列、递推式、函数的定义、一次函数、二次函数等基本属性。
6. 统计与概率知识，包括频率分布及其表示，概率的基本概念、事件、概率的计算方法等。
高中数学竞赛知识点主要包括：
1. 三角函数：例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等。
2. 数列与极限：理解数列的概念，掌握数列的通项公式，会用极限的知识求解数列问题。
3. 向量：理解向量的概念，掌握向量的加法、数乘和向量的数量积运算，理解向量的几何意义。
4. 数学归纳法：理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法的应用。
5. 复数：理解复数的概念，掌握复数的四则运算，理解复数的几何意义。
6. 导数与微积分：掌握导数的概念及几何意义，理解微积分的基本概念及运算。
7. 排列组合与概率：理解排列组合的概念，掌握概率的基本计算方法。
8. 平面几何：掌握各种平面图形的性质和定理，如三角形、四边形、圆等图形的性质和定理。
9. 解析几何：掌握解析几何的基本概念和性质，如直线的方程，圆的方程等。
10. 立体几何：理解三维空间中的点、线、面的关系，掌握三维图形的性质
高中数学竞赛大纲的内容和知识点
高中数学竞赛大纲应该掌握的内容和知识点
1.集合（set）
1.1集合的阶，集合之间的关系。
1.2集合的分划
1.3子集，子集族
1.4容斥原理
2.函数（function）
2.1函数的定义域、值域
2.2函数的性质
2.2.1单调性
2.2.2奇偶性
2.2.3周期性
2.2.4凹凸性
2.2.5连续性
2.2.6可导性
2.2.7有界性
2.2.8收敛性
2.3初等函数
2.3.1一次、二次、三次函数
2.3.2幂函数
2.3.3双勾函数
2.3.4指数、对数函数
2.4函数的迭代
2.5函数方程
3.三角函数（trigonometric function）3.1三角函数图像与性质
3.2三角函数运算
3.3三角恒等式、不等式、最值
3.4正弦、余弦定理
3.5反三角函数
3.6三角方程
4.向量（vector）
4.1向量的运算
4.2向量的坐标表示，数量积
5.数列（sequence）
5.1数列通项公式求解
5.1.1换元法
5.1.2特征根法5.1.3不动点法，迭代法
5.1.4数学归纳法，递归法
6．不等式（inequality）
6.1解不等式
6.2重要不等式
6.2.1均值不等式
6.2.2柯西不等式
6.2.3排序不等式
6.2.4契比雪夫不等式
6.2.5赫尔德不等式
6.2.6权方和不等式
6.2.7幂平均不等式
6.2.8琴生不等式
6.2.9 Schur不等式
6.2.10嵌入不等式
6.2.11卡尔松不等式
6.3证明不等式的常用方法
6.3.1利用重要不等式
6.3.2调整法
6.3.3归纳法
6.3.4切线法
6.3.5展开法
6.3.6局部法
6.3.7反证法
高中数学竞赛知识点提纲
高中数学竞赛知识点提纲
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set）1.1集.合的阶，集.合之间的关系。1.2集.合的分划1.3子集，子集族
1.4容斥原理
1.5极端原理
1.6抽屉原理
2. 函数（function）
2.1函数的基本概念
2.1.1映射
2.1.1.1单射
2.1.1.2满射
2.1.1.3一一映射（双射）
2.1.2函数的定义域、值域
2.2函数的性质
2.2.1对称性
2.2.2单调性
2.2.3奇偶性
2.2.4周期性
2.2.5凹凸性
2.2.6连续性
2.2.7可导性
2.2.8有界性
2.2.9收敛性
2.3初等函数
2.3.1一次、二次、三次函数
2.3.2幂函数
2.3.3双勾函数
2.3.4指数、对数函数
2.4函数的迭代
2.5函数方程
3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算
3.3三角恒等式、不等式、最值
3.4正弦、余弦定理
3.5反三角函数
3.6三角方程
4. 向量（vector）4.1向量的运算
4.2向量的坐标表示，数量积
5. 数列（sequence）
5.1数列通项公式求解
5.1.1换元法
5.1.2特征根法
5.1.3不动点法
5.1.4迭代法
5.1.5数学归纳法
5.1.6代换法
5.1.7待定系数法
5.1.8阶差法
5.2数列求和
5.2.1裂项相消法
5.2.2错位相减法
5.2.3倒序相加法
5.2.4分组分解法
5.2.5归纳猜想法
6．不等式（inequality）
6.1解不等式
6.2重要不等式
6.2.1均值不等式
6.2.2柯西不等式
6.2.3排序不等式
高中数学竞赛基本知识集锦
高中数学竞赛基本知识集锦
一、三角函数 常用公式
由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式
2cos 12
sin
α
α
-±
= 2
cos 12
cos
α
α
+±
= α
α
ααααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
tan
+=-=+-±
=
积化和差
()()[]βαβαβα-++=
sin sin 21
cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21
sin cos
()()[]βαβαβα-++=cos cos 21
cos cos
()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2
1
sin sin
和差化积
2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+
2sin
2cos 2sin sin β
αβαβα-+=- 2cos
2cos 2cos cos β
αβαβα-+=+ 2
sin
2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=- 万能公式
α
αα2
tan 1tan 22sin +=
α
α
α2
2tan 1tan 12cos +-= α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
三倍角公式
()()
αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()
αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3
二、某些特殊角的三角函数值
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重点高中数学竞赛知识点
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
数学
均值不等式
被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
一般形式
设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即
。
特例
⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）
⑵对非负实数a,b，有，即
⑶对非负实数a,b，有
⑷对实数a,b，有
⑸对非负实数a,b，有
⑹对实数a,b，有
⑺对实数a,b,c，有
⑻对非负数a,b，有
⑼对非负数a,b,c，有
在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：
当n=2时，上式即：
当且仅当时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。
排序不等式
基本形式：
排序不等式的证明
要证
只需证
根据基本不等式
只需证
∴原结论正确
棣莫弗定理
设两个复数（用三角形式表示），则：
复数乘方公式：.
圆排列
定义
从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相
同。
计算公式
n个不同元素的m-圆排列个数N为：
特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。
费马小定理
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
组合恒等式
组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。
基本的组合恒等式
nC(k,n)=kC(k-1,n-1)
C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)
∑C(i,n)=2^n
∑[(-1)^i]*C(i,n)=0
C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）
C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)
C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n)
韦达定理
逆定理
如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程
的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5]
推广定理
韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。
定理：
设（i=1、2、3、……n）是方程：
的n个根，记k为整数），则有：。[ 实系数方程虚根成对定理：
实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。
无穷递降法
无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：
假设方程有解，并设X为最小的解。
从X推出一个更小的解Y。
从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。
孙子定理
又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设
是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数：方程组的通解
形式：
在模的意义下，方程组只有一个解：
同余
同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:
1)a≡a(mod d)
2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)
如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
4)a+b≡x+m （mod d）
其中a≡x (mod d)，b≡m(mod d)
5)a-b≡x-m (mod d)
其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)
6)a*b≡x*m (mod d )
其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)
7）a≡b（mod d）则a-b整除d
欧拉函数
φ函数的值通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。(注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互
素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数
φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
若n为质数则φ(n)=n-1。
格点
定义
数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(lattice point)或整点。
性质
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。）设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，
则根据皮克公式有S=a+b/2-1。
4，格点正多边形只能是正方形。
5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
三面角
定义
三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作∠O-ABC。
特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。
三面角的补三面角：由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。
性质
1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。
2、三面角的三个二面角的和大于180°，小于540°。
三面角相关定理
设三面角∠O-ABC的三个面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所对的二面角依次为∠OC，∠OA，∠OB。