不定积分习题库

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不定积分习题

第一节不定积分的概念与性质例题：计算下列不定积分：1．dx x ⎰22．dx x⎰13．设曲线通过点()2,1，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 4．dx x ⎰31 5．dx xx ⎰1 6．()dx xx 52-⎰ 7．dx x x ⎰28．()dx xx ⎰-231 9．()dx x e x⎰-cos 3 10．dx e xx ⎰2 11．dx x ⎰2tan12．dx x⎰2sin213．dx x x ⎰2cos 2sin 12214．dx x x x ⎰+++132224 15．dx x x x ⎰--12224 习题：1．利用求导运算验证下列等式：（1）C x x dx x +++=+⎰)1ln(1122（2）C xx dx x x+-=-⎰111222（3）C x x dx x x x +++=++⎰11arctan )1)(1(22 （4）C x x dx x ++=⎰sec tan ln sec （5）C x x x dx x x ++=⎰cos sin cos（6）C x x dx x e x+-=⎰)cos (sin 21sin 2．求下列不定积分（1）dx x⎰31（2）dx x x ⎰（3）⎰xdx （4）dx x x ⎰32（5）⎰xx dx2（6）dx x mn ⎰（7）dx x ⎰35 （8）dx x x ⎰+-)23(2（9）⎰ghdx 2（g 是常数）（10）()dx x⎰+221（11）()()d x x x ⎰-+113 （12）⎰xx dx 2（13）dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32 （14）dx x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+221213 （15）dx xe e xx⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1 （16）dx e xx ⎰3 （17）dx xxx ⎰⋅-⋅32532 （18）()dx x x x ⎰-tan sec sec （19）dx x ⎰2cos2（20）⎰+x dx 2cos 1 （21）dx x x x ⎰-sin cos 2cos （22）dx xx x⎰22sin cos 2cos （23）dx x ⎰2cot （24）()dx ⎰θ+θθsec tan cos（25）dx x x ⎰+122 （26）dx x x x ⎰++123234 3．一曲线通过点()3,2e ，且任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．4．证明函数)12arcsin(-x 、)21arccos(x -和x x-1arctan 2都是21xx -的原函数．第二节换元积分法例题求下列不定积分1、dx x ⎰2cos 2 2、dx x ⎰+2313、dx x x ⎰+32)2( 4、dx xe x ⎰225、dx x x ⎰-21 6、dx x a ⎰+2217、dx x a ⎰-221 8、dx x a ⎰-2219、dx x x ⎰+)ln 21(1 10、dx xe x⎰311、dx x ⎰3sin 12、dx x x ⎰52cos sin13、dx x ⎰tan 14、dx x ⎰2cos15、dx x x ⎰42cos sin 16、dx x ⎰6sec17、dx x x ⎰35sec tan 18、dx x ⎰csc19、dx x ⎰sec 20、dx x x ⎰sin 3cos 21、dx x a ⎰-22 22、dx ax ⎰+22123、dx a x ⎰-221 24、dx x x a ⎰-422 25、⎰+942x dx 26、⎰-+21xx dx27、()dx x xx ⎰+-22322练习1、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：（1）=dx )(ax d ；（2）=dx )37(-x d ；（3）=xdx )(2x d ；（4）=xdx )5(2x d ；（5）=xdx )1(2x d -；（6）=dx x 3 )43(2-x d ；（7）=dx e x 2 )(2xe d （8）dx e x 2-= )1(2x e d -+（9）=dx 23sin )23(cos x d （10）=xdx )ln 5(x d （11）=xdx)ln 53(x d -（12）=+21x dx )3(arctan x d （13）=-21xdx)arcsin 1(x d -（14）=-21x xdx )1(2x d -2、求下列不定积分（1）dt e t⎰5 （2）dx x ⎰-3)23(（3）⎰-x dx 21 （4）⎰-332x dx（5）dx e ax bx⎰-)(sin （6）dt tt ⎰sin（7）dx xex ⎰-2（8）dx x x ⎰)cos(2（9）dx xx⎰-232 （10）dx x x ⎰-4313 （11）dxx x x ⎰+++5212 （12）dt t t ⎰ϕ+ωϕ+ω)sin()(cos 2 （13）dx x x ⎰3cos sin （14）dx x x xx ⎰-+3cos sin cos sin（15）dx x x ⎰⋅210sec tan （16）⎰x x x dxln ln ln（17）⎰-221)(arcsin xx dx（18）dx xx ⎰-2arccos 2110（19）⎰+⋅+2211tan x xdxx （20）dx x x x ⎰+)1(arctan （21）dx x x x⎰+2)ln (ln 1 （22）⎰x x dx cos sin （23）dx xx x ⎰sin cos tan ln （24）dx x ⎰3cos （25）dt t ⎰ϕ+ω)(cos 2（26）dx x x ⎰3cos 2sin（27）dx x x ⎰2cos cos （28）dx x x ⎰7sin 5sin（29）dx x x ⎰sec tan 3（30）⎰-+x x e e dx（31）dx xx⎰--2491 （32）dx x x ⎰+239 （33）⎰-122x dx （34）⎰-+)2)(1(x x dx（35）dx x x x ⎰--22 （36）⎰-222xa dx x（37）⎰-12x x dx （38）⎰+32)1(x dx（39）dx x x ⎰-92 （40）⎰+xdx 21 （41）⎰-+211xdx （42）⎰-+21xx dx（43）dx x x x ⎰++-3212 （44）dx x x ⎰++223)1(1第三节分部积分法例题求下列不定积分1、dx x x ⎰cos2、dx xe x⎰3、dx x x ⎰ln4、dx x ⎰arccos5、dx x x ⎰arctan6、dx x e x⎰sin7、dx x ⎰3sec 8、dx e x⎰练习求下列不定积分（1）⎰xdx x sin （2）dx x ⎰ln（3）dx x ⎰arcsin （4）dx xe x⎰-（5）dx x x ⎰ln 2（6）dx x e x ⎰-cos（7）dx x ex⎰-2sin 2 （8）dx x x ⎰2cos（9）dx x x ⎰arctan 2 （10）dx x x ⎰2tan（11）dx x x ⎰cos 2（12）dt te t ⎰-2（13）dx x ⎰2ln （14）dx x x x ⎰cos sin（15）dx x x ⎰2cos 22 （16）dx x x ⎰-)1ln( （17）dx x x ⎰-2sin )1(2（18）dx xx⎰23ln（19）dx e x ⎰3（20）dx x ⎰ln cos（21）dx x ⎰2)(arcsin （22）dx x e x ⎰2sin（23）dx x x ⎰2ln （24）dx ex ⎰+93其他有关有理函数与无理函数的不定积分计算问题：例题：1、dx x x x ⎰+-+6512 2、dx x x x x ⎰++++)1)(12(223、dx x x x ⎰---)1)(1(32 4、dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1 5、dx x x ⎰-16、⎰++321x dx 7、dx x x x ⎰+11练习：（1）dx x x ⎰+33（2）dx x x x ⎰-+-103322 （3）dx x x x ⎰+-+5212 （4）⎰+)1(2x x dx（5）dx x ⎰+133 （6）dx x x x ⎰-++)1()1(122 （7）⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx（8）dx xx x x ⎰--+3458 （9）⎰++))(1(22x x x dx（10）dx x ⎰-114（11）⎰+++)1)(1(22x x x dx （12）dx x x ⎰++)1()1(22（13）dx x x x ⎰++--222)1(2（14）⎰+x dx 2sin 3 （15）⎰+x dx cos 3 （16）⎰+x dxsin 2 （17）⎰++x x dx cos sin 1 （18）⎰+-5cos sin 2x x dx（19）⎰++311x dx（20）dx x x ⎰+-11)(3（21）dx x x ⎰++-+1111 （22）⎰+4x x dx （23）x dx x x ⎰+-11 （24）⎰-+342)1()1(x x dx本章复习题计算下列不定积分：1、⎰-x dx cos 452、⎰+942x x dx 3、dx x x ⎰+2)43(4、dx x ⎰4sin5、⎰-942x dx 6、dx x x ⎰++52127、dx x ⎰+9228、dx x ⎰-2329、dx x e x⎰cos 210、dx x x ⎰2arcsin11、⎰+22)9(x dx 12、⎰x dx 3sin 13、dx x e x ⎰-3sin 214、dx x x ⎰5sin 3sin 15、dx x ⎰3ln 16、dx xx ⎰-117、dx x ⎰+22)1(118、dx x x ⎰-11219、dx x x ⎰+2)32(20、dx x ⎰6cos 21、dx x x⎰-22222、dx x ⎰+cos 52123、⎰-122x x dx24、dx x x ⎰+-1125、dx x x x ⎰--+125226、⎰-+21x x xdx27、dx x x ⎰+2442528、⎰--x x e e dx 29、dx x x⎰-3)1(30、dx x a x ⎰-66231、dx x x x ⎰++sin cos 1 32、dx x x ⎰ln ln33、dx x x x ⎰+4sin 1cos sin 34、dx x ⎰4tan 35、⎰+)4(6x x dx 36、dx x a x a ⎰-+37、⎰+)1(x x dx 38、dx x x ⎰2cos 39、⎰+xedx 140、⎰-122x xdx41、⎰+)1(24x x dx 42、dx x x ⎰sin 43、dx x ⎰+)1ln(244、dx x x ⎰32cos sin 45、dx x ⎰arctan46、dx x x ⎰+sin cos 147、dx x x ⎰+283)1(48、dx x x x ⎰++234811 49、⎰-416x dx 50、dx x x ⎰+sin 1sin 51、dx x x x ⎰++cos 1sin 52、dx xx x x e x ⎰-23sin cos sin cos 53、dx x x x x⎰+)(3354、⎰+2)1(x e dx 55、dx e e e e x x x x ⎰+-+124356、dx e xe x x⎰+2)1( 57、dx x x ⎰++)1(ln 2258、⎰+32)1(ln x x 59、dx x x ⎰-arcsin 1260、dx xx x ⎰-231arccos61、dx x x ⎰+sin 1cot 62、⎰x x dx cos sin 363、⎰+x x dxsin )cos 2(64、dx x x x x ⎰+cos sin cos sin65、dx x x ⎰-)1(12。

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。

2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。

3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。

不定积分专题试题

不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +2214、_____1)2(=--⎰xx dxC x +--1arctan 25、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx ee f x x C x +6、___sin cos 2222=+⎰xb x a dx C x a bab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x -8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx xxf C u F du u f ，则 C xF +-)1(二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+xeC 、3ln 3xe D 、3ln 3xe2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2= C 、t x sec = D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax a ln 1C 、x a +lnD 、2)ln 21x （4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334xB 、334x xC 、)(3222x x x + D 、)(322x x x +5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰A 、C x x +-tanB 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1三、计算题 1、⎰+)1(x x dxC x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx xx⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1C x x +-cot tan 7、dx ex ⎰-12 C x ex +---)112(128、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x++cos ln 2tan 210、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 4442412、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 213、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx ex ⎰+211C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2 四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x xx f不定积分练习题1基础题一．填空题 1.不定积分：⎰=_____x x dx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x)32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________ 8.=+⎰x d )x 1x ( ________ 9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ . 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（） c x 3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1 ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为（） (A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)，则⎰=dx )x 2(f （）(A) F(2x)+ C (B) F( 2 x )+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F( 2 x )+ C 5.设3()lnsin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（）。

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

不定积分练习题及答案

不定积分练习题一、选择题、填空题：1、 ((1—sin 2X)dx =2 -------------2、若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________3、sin (I n x)dx 二 __12、若 F '(x)工f(x), • '(x)工 f (x),则 f(x)dx= _______________________________________________ (A)F(x) (B) ：(x) (C) ：(x) - c (D)F(x)(x) c13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B)—[ f(x)dxp f(x)dxdx L(C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则：f(lnx)dx = _____________2已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_'x\!xF'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________; e 「dx=____ ;"f(x)f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ;10、若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ;(A)必有导函数(B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、5、 6、7、9、设 xf (x)dx =arcsin x c,贝Vx1 1(D) - In x c (A) — c (B) lnx c (C) -― cx x15、、* ■ dx =,x(1-x)1(A) -arcsin x c (B) arcsin . x c (C) 2arcsin(2x-1) c(D) arcsin(2x -1) c16、______________________________________________________ 若f (x)在［a,b］上的某原函数为零，则在［a,b］上必有_____________(A)f(x)的原函数恒等于零；(C)f(x)恒等于零；二、计算题:- w (28)设f (si n2x) ,求: (B)f(x)的不定积分恒等于零；(D) f (x)不恒等于零，但导函数f '(x)恒为零。

不定积分练习题

1、求下列不定积分1) dx ~^2 x3) (x 2)2dx5) 2 3x5 2x3xdx7) (2e x 3)dxx2、求下列不定积分（第一换元法）31) (3 2x) dx不定积分(A)2)4)6)8)dxx2. x2Jdxxcos2x .dx2 . 2cos xsin x(1 x xdxxdx32 3xx In xln(In x)4)5)dx6)dx cosxs in x27) xcos(x )dx 8) 3x31 x4dx9)sin x ,3 dxcos x10) —L X—dx<9 4x211)dx2x2 1312) cos xdx13) sin 2xcos3xdx 14)tan3 xsecxdx15)17)x32dx9 x16)10 2arccosx、1 x2dxc 23 cos x 4sin 218) arctan x dx7x(1 x)-dxx3、求下列不定积分（第二换元法）4、求下列不定积分（分部积分法）1) xSnxdx 2) arcs in xdx2 3) x In xdx2x・x 4) e sin dx21) 一dxx、1 x22) sin 一xdx3) ■^Ldx4) --dx,(ax0)5) 6)dx 1 .2x7)dxx d x28)dxdx5) x1 2 arctanxdx6) x2cosxdx7)In2 xdx 8)x2 cos2 - dx2 5、求下列不定积分(有理函数积分)1)3x . dxx 32)2x 3 」飞dxx2 3x 103)dxx(x21)(B)1、一曲线通过点(e2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

1 32、已知一个函数F(x)的导函数为----------- ，且当x 1时函数值为-------------------------------- ，试求此函数。

2 21 x 23、证明：若 f(x)dx F(x) c ,贝 U1f (ax b)dx F(ax b) c,(a 0)。

大学数学不定积分必看习题

x)
dx
=
x2
+
c
,则
f
(x)
=
；
∫ 3、若 f (x) = 1 x2 ，则 f ′( x2 )dx =
2
；
∫ 4、若 f (x +1) = x 2 + 3x + 5 ，则 f (x)dx =
∫ ∫ 5、如果
f ( x)dx = 1 + C,则
f (e− x ) dx =
x2
ex
6、 ∫
1 dx = 3x −1
dx
35、 ∫
arcsin x x(1 − x)
dx
∫ 37、
3 + 2 tan x cos2 x dx
∫ 39、 9 − x 2 dx
∫ 41、
1 dx
x2 1+ x2
12、
∫
(2
2 + x)
x
dx
∫ 14、
sin 2x dx
1 − cos2 x
16、
∫
arctan (1+ x)
x dx
x
18、 ∫
)。
（A） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 24
（C）
x2(1
−
1 ln
x) + c
42
二、填空题
（B） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 42
（D）
x2(1
−
1 ln
x) + c
24
∫ 1、设 f (x) 的一个原函数是 xe−x ,则 xf ′(x)dx =
2、 ∫
f
′(ln x

(整理)4不定积分习题与答案.

第四章不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2x dx２）⎰x x dx 2 ３）dx x ⎰-2)2( ４）dx x x ⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dx x x x 32532 ６）dx xx x⎰22sin cos 2cos ７）dx x e x)32(⎰+８）dx x x x)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰x x dx sin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx xx ⎰-4313 ９）dx xx⎰3cos sin 10）dx x x ⎰--2491 11）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰xdx x sec tan 315) dx x x ⎰+239 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 31 17)dx xx ⎰-2arccos 2110 18)dx x x x ⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+x dx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ⎰ ２）⎰xdx arcsin ３）⎰xdx x ln 2 ４）dx xex⎰-2sin 2５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰xdx x cos 2７）⎰xdx 2ln ８）dx x x 2cos 22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx x x ⎰+33２）⎰-++dx x x x 1033223）⎰+)1(2x x dx（Ｂ）１、一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

不定积分练习题

不定积分练习题(一)1.不定积分：⎰=_____xxdx 22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x )11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x )32(⎰+=_______6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________8.=+⎰x d )x 1 x ( ________9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果x e -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = .12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin x x dx +=⎰ . 15. 222()a x dx +=⎰ . 16. 3(1x x dx -+=⎰ .1、，则设x d x1I 4⎰= I =（）c x3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、222222的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( ) ()arcsin ()arctan A x B x x1 x 1 ln2 1)C (+- x 1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cosπ的一个原函数为（） (A) x 2 sin2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)，则⎰=dx )x 2(f （）(A) F(2x)+ C (B) F(2 x )+ C (C) C )x 2(F 2 1+ (D) 2F(2 x )+ C 5.设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（）A. cot 4xB. cot 4x -C. 3cos 4xD. 3cot 4x6. 若()f x 为可导、可积函数，则（）A. ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ B. ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰C. ()()f x dx f x '=⎰D. ()()df x f x =⎰7. 设C F(x) dx )x (f +=⎰ ，则 =⎰dx )cosx ( f sinx （）(A)C )sinx ( F + (B) C )sinx ( F +- (C) C )cosx ( F +- (D) sin x ( cosx ) C F + 8.设()F x 是()f x 在(),-∞+∞上的一个原函数,且()F x 为奇函数,则()f x 是 ( ) A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．不能确定9.已知()f x 的一个原函数为cos x ,()g x 的一个原函数为2x ,则()f g x ⎡⎤⎣⎦的一个原函数为 ( ) A ．2x B ． 2cos x C ． 2cos x D ．cos x 10.设2x e -是()f x 的一个原函数,则()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆ ( )A ．22x e -B ．-28x e -C ．22x e --D ．24x e - 11. 21(),()1f x f x x=-设则的一个原函数为 ()arcsin ()arctan 1111()ln ()ln 2121A x B x x x C D x x -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭不定积分练习题(二)1.=⎰x d x tan 2__________．2.x d 1x1x 3x 3224⎰+++＝． 3.⎰+)x 1 ( x dx2 = ______________________________．4. dx e 1 1x ⎰-+= 5.=⎰dx x 2cos x12 ．6.设 )x (f 的一个原函数 xx sin 为，则 =⎰dx )x (f ．7.设 )x (f 的一个原函数为 ln x ，则⎰+dx )x 21(f ______________．8.设)x (f 的一个原函数为 lnx , 则=')x (f _______________． 9.，的一个原函数为若x ln x )x (f =)x (f 则______ _______．1. =+-=⎰I x d 1e1e I xx ，则设（） c )1e ( ln )B ( c )1e ( ln )A (x x +++- c x )1e ( ln 2)C (x +-+ c )1e ( ln x 3x )D (x ++-　2. 设f(x)的一个原函数是F(x) ，则⎰+dx )b ax (f ＝（） (A) F(ax ＋b)＋c (B) aF(ax+b)+c (C)b ax )b ax (F +++c (D)a 1F(ax+b)+c3. =-+=⎰⎰dx )x 1 ( f x c x sin dx )x (f 2，则若（）(A)c )x 1 ( sin 22+- (B)c )x 1 ( sin 22+--(C) c )x 1 ( sin 2 12+- (D) c )x 1 ( sin2 12+-- 4.不定积分：21( 1 ) cos d sinx x x +=⎰ （） (A) C x sin 1x +-(B) Cx sin 1x ++ (C) C x sin 1x sin +-(D) Cx sin 1x sin ++ 5. 不定积分：⎰=x x de e sin （）(A) C e cos x + (B) C e cos x +- (C) C e arccosx + (D) C e arccos x +- 6. 不定积分：⎰+e 1 dxx＝（） (A)c e 1 ln x ++）（ (B) c e 1 ln x++-）（ (C) ce 1 e ln x x ++ (D)c e 1 1 ln x ++ 7. 设x 2 tan k )x (f = 的一个原函数是) x 2 cos ( ln32 ，则常数 =k （）(A) 3 2 - (B) 3 2 (C) 34 - (D) 3 41.⎰++dx )1x 2sin( )1x 2(cos 2求．2.求不定积分 4(1)xdx x +⎰．3.求不定积分dx)x 1( x3⎰-．不定积分练习题(三)1. 2x xe dx -=⎰( ).(a) x e c -+, (b)212x e c -+, (c)212x e c --+, (d) 2x e c --+.2. 2x e dx ⎰=( )(a) 2x e c +, (b) 212x e c +, (c) 2x e , (d) 212x e .3. 221(2)dx x =+⎰( )(a) arctan 2x c +, (b) arctan 2x , (c) arcsin 2x , (d) arcsin 2x c +. 4. 22sec 2xdx =⎰( )(a)tan 2x c +, (b) tan 2x , (c) tan x , (d) tan x c +.5.(1)n x dx +=⎰ .6. cos(34)x dx +=⎰ .7.= . 8. x e dx -=⎰ .9.1sin 2xdx ⎰= . 10.(2)x x dx -=⎰ . 11.2= . 12.12dx x =-⎰. 不定积分练习题(四)1. 设()xf x e -=,则()ln f x dx x'⎰=( )A ． 1x -c + B ． ln x c -+ C ． 1c x+ D ． ln x c + 2. 若()f x 的一个原函数为2ln x ,则()x f x dx '=⎰( )A ．2ln ln x x c -+B ．22ln ln x x c ++C ．22ln ln x x c -+D ．2ln ln x x c ++ 3. 设()()ln 1ln f x x x '=+,则()f x =( )A ．22xx xe c ++ B ．()212xx x e c -++ C ．22xx xe c -+ D ．()212xx x e c --+4. 2cos xdx x=⎰( ) A ． tan ln cos x x x c -+ B ． tan ln cos x x x c ++ C ． tan ln sin x x x c -+ D ． tan ln sin x x x c ++ 5. ()2211dx x x=+⎰ ( )A ．1arctan x c x ++ B ． 1arctan x c x -+ C ． 1arctan x c x --+ D ．1arctan x c x-++6. ,I I ==设则( )()arcsin;()arcsin n ()arcsin ;()arcsin x xA a cB a c a ax xC a cD ca a -- 7. ,I I ==设则( )22();()arctan ;(().A cB cC cD c -++8. ,x xdxI I e e-==+⎰设则( ) ()()arctan ;()arctan ;()x x x xxxA e e cB e cC e cD e e c ----+++++9.10(23),I x dx I =-=⎰设则( )991111()10(23);()20(23);11()(23);()(23).2211A x c B x c C x c D x c -+-+-+-+ 10. I I ==设则( ) ()2ln(1.(2ln(1.(2ln(1.()2ln(1.A cB cC cD c -+++-+11.1d ,1x xe I x I e -==+⎰设则( ) ()ln(1)()ln(1);()2ln(1);()2ln(1).x x xxA e cB e cC e x cD x e c -++++-+-++12. sin cos d ,I x x x I ==⎰设则( )2211()sin ;()cos ;2211()cos 2;()cos 244A x cB x cC x cD x c-+++-+ 13.求下列不定积分：dxx ⎰-3)23( ⎰-dxx32dx3dt tt ⎰sin⎰)ln(ln ln x x x dx ⎰x x dx sin cos ⎰-+x x e e dxdx x x )cos(2⎰ dx x x ⎰-4313 dx x x⎰3cos sin dx x x ⎰--2491 ⎰-122x dx dx x ⎰3cos ⎰xdx x 3cos 2sin ⎰xdx x sec tan 3dx x x ⎰+239 dx x x ⎰+22sin 4cos 31 dx x x⎰-2arccos 2110 dx x x x ⎰+)1(arctan dx xx ⎰+211 dxx ⎰sin ⎰+32)1(x dx⎰+x21dx inxdx xs ⎰ ⎰xdxarcsin⎰xdxx ln 2dx x e x⎰-2sin 2⎰xdx arctan x 2 ⎰xdx x cos 2 ⎰xdx 2ln dx x x 2cos 22⎰ ⎰-++dx x x x 103322 ⎰+)1(2x x dx⎰+dx xx211arctandx x ⎰-2sin 1 dx xa x x ⎰-2 ⎰+dx x xe x232arctan )1( ⎰+x x dx sin 2)2sin( ⎰-dx e xe x x1dx e e x x ⎰2arctan dx x x x x ⎰+cos sin cos sin 14. 设)(x f 的一个原函数为xxsin ，求⎰'dx x f x )(。

计算下列不定积分

习题3-11．计算下列不定积分.(1)5x dx ⎰; (2) 2x dx ⎰; (3) 1x e dx +⎰; (4)()cos sin x x dx -⎰;(5)221dx x +⎰; (6); (7) (xedx ⎰;(8)2211sin cos dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (9) 21x +; (10) 23324x xxdx +⎰. 2.已知曲线()y f x =过点(0,0)且在点(x,y)处的切线斜率为231k x =+,求该曲线方程. 3.已知某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且通过点(e,2),试求此曲线方程.习题3-21. 计算下列不定积分.(1)()921x dx -⎰; (2) ; (3); (4)21xdx x +⎰; (5)2ln xdx x ⎰; (6)θ; (7)2x xe dx -⎰; (8)x x dx e e -+⎰.2.求下列不定积分.(1)2; (2) ;(3)(4)2e⎰;3. 求下列不定积分. (1) 6x xe dx -⎰; (2)()ln ln x dx x ⎰; (3) arctan xdx ⎰;(4)2ln xdx ⎰; (5) 3sec xdx ⎰; (6) 2sin x e xdx ⎰; 4.求下列不定积分.(1); (2) ()()21f x dx f x '+⎰;(3); (4) ⎰.5.一物体由静止开始作直线运动,在 t 秒时的速度为32/t m 秒,问:(1) 3秒后物体离开出发点的距离是多少?(2) 需要多长时间走完1000米？6．在平面上有一运动着的质点，如果它在 x 轴方向和y 轴方向的分速度分别为5sin x u t =和2cos y u t =,且0|5t x ==,0|0t y ==,求:(1) 时间为t 时,质点所在的位置; (2) 运动的轨迹方程.习题3-31．利用定积分的定义证明badx b a =-⎰.2.用定积分的几何意义求下列定积分的值. (1)()1021x dx +⎰;(2) 0⎰; (3)sin xdx ππ-⎰.3.不计算积分,比较下列各组内定积分的大小. (1)1xdx ⎰,12x dx ⎰; (2)1xe dx ⎰,21x edx ⎰.4.利用定积分的性质估计下列积分值的范围. (1) ()314x x dx -⎰; (2)22xxe dx -⎰.习题3-41. 求下列函数的导数. (1) ()0F x =⎰: (2) ()sin cot xxF x xdx -=⎰.2. 求下列函数的极限.(1) 11sin lim1cos xx tdtxππ→+⎰;(2) 02limx x →⎰.3. 计算下列定积分. (1)21x xe dx ⎰; (2)cos 44x dx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (3)1ln 2ex dx x⎰; (4) 120100dxx +⎰; (5)420tan cos xdx xπ⎰;(6)41dx ⎰. 4.设()21x f x x +≤⎧⎪=⎨⎪⎩ 当x 1时,1 当x>1时,2求()20f x dx ⎰.5. 一汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度1.8a =-2/米秒刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过多少距离?1. 计算下列定积分.(1)1-⎰;(2) 1⎰; (3)⎰;(4)1;(5)94⎰; (6) ()12121dxx -+⎰;(7)(222x --⎰.2.计算下列定积分. (1) 2130x x e dx ⎰; (2)31ln xdx ⎰; (3)20cos x e xdx π⎰.(4)()1sin ln ex dx ⎰.3. 设()f x 在[],a b 上连续,证明()()bbaaf a b x dx f x dx +-=⎰⎰.4.设函数()f x 以T 为周期,试证明()()0a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰ (a 为常数).5.试证明()()()baxf x dx bf b f b '''=--⎡⎤⎣⎦⎰()()af a f a '-⎡⎤⎣⎦.1．求下列平面图形的面积。

4不定积分习题与答案

第四章不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2x dx ２）⎰x x dx 2３）dx x ⎰-2)2( ４）dx x x ⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dx xxx 32532 ６）dx x x x ⎰22sin cos 2cos ７）dx x e x)32(⎰+８）dx x x x)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰x x dx sin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx xx ⎰-4313 ９）dx x x ⎰3cos sin 10）dx x x⎰--249111）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos 13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰xdx x sec tan 315) dx x x ⎰+239 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 31 17)dx x x ⎰-2arccos 2110 18)dx x x x ⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+xdx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ⎰ ２）⎰xdx arcsin３）⎰xdx x ln 2４）dx x e x ⎰-2sin 2５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰xdx x cos 2７）⎰xdx 2ln ８）dx x x 2cos 22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx x x ⎰+33２）⎰-++dx x x x 1033223）⎰+)1(2x x dx（Ｂ）１、一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

不定积分练习题11042

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2x dx２）⎰x x dx 2３）dx x ⎰-2)2( ４）dx xx ⎰+221５）⎰⋅-⋅dx x x x 32532 ６）dx xx x⎰22sin cos 2cos７）dx x e x)32(⎰+８）dx x x x)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰xx dxsin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx x x ⎰-4313 ９）dx xx⎰3cos sin 10）dx x x ⎰--2491 11）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰xdx x sec tan 315) dx x x ⎰+239 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 3117)dx xx ⎰-2arccos 2110 18)dx x x x ⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+xdx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ⎰ ２）⎰xdx arcsin３）⎰xdx x ln 2４）dx xe x⎰-2sin 2５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰xdx x cos 2７）⎰xdx 2ln ８）dx x x 2cos 22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx x x ⎰+33２）⎰-++dx x x x 1033223）⎰+)1(2x x dx（Ｂ）１、一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

不定积分-习题

2 cos 2 x
2
(e x 1 e x tan x)dx
2 cos 2 x
2
2
[(e xd(tan x) tan x de x ]
2
2
d(e x tan x ) 2
e x tan x C . 2
例3 求 x 1 dx.
x2 x2 1
解令x 1 ,
t
(倒代换)
原式
1 t2
3
4、1 arctan x 2
1x 21 x2
C；
5、 1 1 x 2 arcsin x C ； xx
6、 x 2 1 arcsin 1 C ；
x
x
7、 e x arctan(e x ) C ；
8、 1
x3
arccos x
1 (1
3
x2 )2
1
1 x2 C；
3
9
3
9、 x 4 1 ln(1 x 4 ) ln( x 4 2) C ； 44
10、 x arccos x 1 ln 1 x 2 C .
1 x2
2
三、 f ( x)dx
1 x 2 ln(1 x 2 ) 1 [ x 2 ln(1 x 2 )] C ,
2
2
( x 2 4 x 1)e x 1 C ,
x 0. x0
四、 f ( x) x [(a b)sin(ln x) (b a)cos(ln x)] C . 2
1 x
dx ;
3、 ln( x 1 x2 ) 5 dx; 1 x2
5、 1
dx ; 1 x2
7、
dx ;
e x (1 e2 x )
9、
x11dx ;

不定积分练习题

不定积分练习题1. 计算下列不定积分：∫(x^3 + 2x^2 - 5x + 1)dx。

2. 求不定积分：∫(3/x^2)dx。

3. 计算不定积分：∫(1/(1+x^2))dx。

4. 求下列函数的原函数：∫(sin(x) + cos(x))dx。

5. 计算不定积分：∫(1/√(1-x^2))dx。

6. 求下列函数的原函数：∫(x^2 * e^x)dx。

7. 计算不定积分：∫(1/(1-x))dx。

8. 求不定积分：∫(1/(1+x^2)^2)dx。

9. 计算不定积分：∫(tan(x))dx。

10. 求下列函数的原函数：∫(x * sin(x))dx。

11. 计算不定积分：∫(1/(1+√x))dx。

12. 求不定积分：∫(1/(1-x^2)^3)dx。

13. 计算不定积分：∫((1-x^2)^(1/2))dx。

14. 求不定积分：∫((1+x)^(-1/2))dx。

15. 计算不定积分：∫(1/(1+x^4))dx。

16. 求下列函数的原函数：∫(x^4 * e^(-x))dx。

17. 计算不定积分：∫(1/(x^2 * (1+x)))dx。

18. 求不定积分：∫((1-x)^(1/3))dx。

19. 计算不定积分：∫(1/(1+x^3))dx。

20. 求下列函数的原函数：∫(x * ln(x))dx。

21. 计算不定积分：∫(1/(1-x^3))dx。

22. 求不定积分：∫(1/(1+x^6))dx。

23. 计算不定积分：∫(1/(1-x^4))dx。

24. 求不定积分：∫(1/(1+x^10))dx。

25. 计算不定积分：∫(1/(1-x^6))dx。

(完整版)不定积分练习题

第四章不定积分学习提要及练习题本章主要介绍求不定积分方法具体方法：一、第一换元法，解题关键是凑微分，一定要熟悉微分公式。

二、第二换元法，这类变换的目的是去根号,常见类型有⎰-dx x a f )(22 令t a x sin = （t t 22cos sin 1=- ) ⎰+dx x a f )(22 令t a x tan = （x x 22sec tan 1=+ ） ⎰-dx a x f )(22 令t a x sec = （x x 22tan 1sec =- )dx x x f m n ),(⎰ 令k t x =，k 是m n ,的最小公倍数。

三、分部积分法，典型类型有 Ⅰ ⎰dx e x x n ，令n x u =,dv dx e x = ⎰xdx x n cos 令n x u =，dv xdx =cos ⎰xdx xn sin 令n x u =，dv xdx =sin Ⅱ ⎰xdx x n ln 令u x =ln ，dv dx x n = ⎰xdx x n arcsin 令u x =arcsin ，dv dx x n = ⎰xdx xn arctan 令u x =arctan ，dv dx x n = Ⅲ ⎰bxdx e axsin ，⎰bxdx e ax cos ,这一类积分v u ,任意选择。

但要做两次分部积分，两次积分注意v u ,函数类型要一致.四、有理函数积分。

了解有理函数的拆分方法，掌握分母是x 的二次多项式的积分.不定积分练习1。

dx e x x ⎰+ln 32 2。

dx x x ⎰-32)3( 3.⎰dx e e x x sin 4.⎰+)ln 2(2x x dx 5.⎰+dx x x 241 6.⎰-dx xa 221 7.⎰--dx e e x x 113 8。

dx x x x ⎰-)1(2 9。

⎰-+x x e e dx 10。

⎰+dx x x 52)1( 11.⎰++x x dx 1 12.⎰-++-dx xx x 422111 13.⎰-+322x x dx 14.⎰+dx x x 13 15。

高等数学不定积分(习题)

第五章不定积分第一节不定积分的概念与性质习题5-11、求下列不定积分(1)C xC x dx x x dx +-=++-==+--⎰⎰213332113.(2) C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰312525272125. (3)C xx C xdx x xxdx+-=++-==+--⎰⎰32125125252.(4)C x C x dx x dx x x x +=++==+⎰⎰81518787158187.(5)C h C hdh h hdh +=++-==+--⎰⎰21212121212121.(6)C xn m mC mn x dx x dx x mn m mn mn mn++=++==++⎰⎰11.(7) C x C x dx x dx x +=++⋅==+⎰⎰5144414555.(8) C x x x dx x x +++=++⎰2233)23(232.(9) C x x x dx x x dx x ++-=+-=-⎰⎰352422325)12()1(.(10) C x x x dx x x dx x +++=++=+⎰⎰423)44()2(2322.(11) C x x dx x x dx x x +-=-=-⎰⎰23252123252)3()3(.(12) C x x x x dx x x x dx x x ++++=+++=++⎰⎰2523323212352323)1()1)(1(.(13) C tt t dt t t dt t t +-+=++=+⎰⎰-1||ln 2)21()1(222. (14)C x x dx x xdx xx ++=+=+⎰⎰-232121322)()1(.(15)C x x dx xdx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰arctan )111(11)1(122222.(16)C x x dx xx dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan 2)123(1233322224. (17)C x x dx xx ++=-++⎰arcsin 5arctan 3)1513(22.C x x x dx x x x dx x x x +++=++=++⎰⎰-32613383167353322913683)3(3.(19)C x e dx xe x x +-=-⎰||ln 32)32(.(20)C x e dx x e dx xe e x xx x++=+=+⎰⎰--2)()1(21.(21)C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰5ln 15)5ln()5()5(5.(22)C x dx dx xx x x x +⋅-+=⋅+=⋅+⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 52])32(52[32532.(23)C x xdx x x dx x x x x x x dx +--=+-=+-+=+⎰⎰⎰-arctan 1)11()1()1()1(22222222.(24)C x e dx e dx e e x x x x ++=+=--⎰⎰)1(112.(25)C x x dx x x x dx x x x ++=+=+⎰⎰sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(26)C x x dx x dx x ++=+=⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 2.(27)C x x dx x x dx xx xx dx x x x ++=-=+-=+⎰⎰⎰cos sin )sin (cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22.(28)C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=-=⎰⎰⎰tan cot )sec (csc cos sin sin cos cos sin 2cos 22222222.C x dx x dx x dx x +==+=+⎰⎰⎰tan 21cos 12122cos 11212cos 112.(30)C x x dx x xdx +--=-=⎰⎰cot )1(csc cot 22.2、一曲线通过点)3,(2e ,且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求曲线的方程.解：设所求曲线为)(x f y =,依题意有xy 1=',于是 C x xdxx f y +===⎰ln )( 因曲线通过点)3,(2e ,有 C C e +=+=2ln 32,得1=C , 从而所求曲线为1ln +=x y .3、已知某产品产量的变化率是时间t 的函数b at t f +=)((b a ,为常数),设此产品的产量为函数)(t P ,且0)0(=P ,求)(t P . 解：已知b at t f dtdP+==)(,有 C bt t adt b at dt t f t P ++=+==⎰⎰22)()()(,因0)0(=P ,有0=C ,于是bt t at P +=22)(.习题5-21、求下列不定积分 (1)C e x d e dx e xx x +==⎰⎰55551)5(51.(2)C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(.C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|23|ln 2123)23(2123.(4)C x x d x xdx+--=---=-⎰⎰-32313)32(21)32()32(3132.(5)C t t d t dt tt +-==⎰⎰cos 2sin 2sin .(6)C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 51sin 21sin .(7)C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰22221)(212. (8)C x x d x x xdx+--=---=-⎰⎰-2221223231)32()32(6132.(9)C x x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)1ln(431)1(431344443.(10)C x x xd xdx x +==⎰⎰9828tan 91tan tan sec tan . (11)C x x x d x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan )(tan cos sin cos cos sin 2.(12)C t t d t dt t t ++-=++=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (13)C xx xd x xdx +=-=⎰⎰-455cos 41)(cos cos cos sin .C x x x d x xdx +-=-=⎰⎰323sin 31sin sin )sin 1(cos . (15)C t t dt t dt t ++-=+-=+⎰⎰)(2sin 412)](2cos 1[21)(sin 2ϕωωϕωϕω.(16)C t t t d t tdt t +-=-=⎰⎰sec sec 31sec )1(sec sec tan 323.(17)C x x dx x x xdx x +-=-=⎰⎰5cos 101cos 21)sin 5(sin 213cos 2sin .(18)C x x dx x x dx xx ++=+=⎰⎰2sin 23sin 31)2cos 23(cos 212cos cos .(19)C x x dx x x xdx x +-=-=⎰⎰12sin 2414sin 81)12cos 4(cos 218sin 4sin . (20)C x x x x d x x dx xx xx ++-=++-=+-⎰⎰-32313)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin cos sin cos sin . (21)⎰⎰⎰--⋅--⋅=-+222249)49(2141)32(1)32(3123491x x d x x d dx x x C x x +--=2494132arcsin 21.(22)C x x x x d xdx dx x x x x dx x x ++-=++-=+-+=+⎰⎰⎰⎰)]1ln([211)1(211122222323.C x x x x d x dx ++-=-=-⎰⎰1313ln 3211)3()3(311322.(24)C x x x dx x dx x x dx +++=+-+=++⎰⎰⎰21ln 21)2)(1(.(25)222221)1(1tan 2111tan xx d x dx x xx +++=++⎰⎰C x x d x ++-=++=⎰|1cos |ln 11tan 222.(26)x d x x d x xdx x x x arctan arctan 2)(1arctan 2)1(arctan 2⎰⎰⎰=+=+ C x +=2)(arctan .(27)C x d dx xxxx +-=-=-⎰⎰10ln 10arccos 10110arccos arccos 2arccos .(28)C xx d x x dx x +-==-⎰⎰-arcsin 1arcsin )(arcsin 1)(arcsin 1222. (29)⎰⎰⎰=⋅=xx xd dx x x x x dx x x x tan )(tan tan ln cos sin cos tan ln cos sin tan ln 2 C x x xd +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(30)C x x x x x x d dx x x x +-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln ()ln (ln 122.(31)dt t dt tt t x dx x tx ⎰⎰⎰-=-⋅====-=)2cos 1(24sin 12cos 2sin 4422sin 222t t t C t t +-=+-=cos sin 222sin 2C x xx +--=2422arcsin 2.(32)C x C t dt dt t t tt x x dx tx +=+==-====-⎰⎰⎰=1arccos 1sec sec tan sec 12sec 2.(33)C t tdt dt t tx dxtx +======+⎰⎰⎰=sin cos sec sec )1(32tan 32 C x x C t tt++=++=11tan 1cos sin 22.(34)⎰⎰⎰⎰-======-=dt t tdt tdt t tt dx x x t x )1(sec 2tan 2sec tan 2sec 2tan 2422sec 22 C xx C t t C t t +--=+--=+-=2arccos 2421sec 22tan 222.(35)⎰⎰⎰⎰⎰-=+-=+====-+=2cos 21cos 1cos 1cos 112sin 2t dtt t dt dt t tdt x dxtx C t t t C t t t t C t t ++-=+-=+-=cos 1sin 2cos 22cos2sin 22tan 2 C xxx +-+-=211arcsin .(36)dt tt tt t t t t tdt x x dxtx ⎰⎰⎰+-++=+====-+=cos sin sin cos cos sin 21cos sin cos 1sin 2C t t t t t t t d dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121cos sin )cos (sin 2121 C x x x +-++=|1|ln 21arcsin 212.(37)C t t t dtdt dt t t t tdt x dx x t t x ++-=+-=+-+=+====+⎰⎰⎰⎰⎰==)1ln(1111121222C x x ++-=)21ln(2.(38)dt t t t t tdt t x dx x t t x ⎰⎰⎰+++-+=+====+++=-=11)1()(313112211333C t t t t dt dt dt t +++-=++-=⎰⎰⎰|1|ln 3323)1(32C x x x +++++-+=|11|ln 313)1(233332.(39)dt t t t t tdt t t dx x x x t t x ⎰⎰⎰++--+=⋅+-====++-++=-=122222111111211212|1|ln 44)122(2C t t t dt t t +++-=++-=⎰C x x x +++++-=)11ln(414, 其中, 11C C +=.(40)dt t t t t dt tt t x x dx x t t x ⎰⎰⎰++--+=+====+==11144223444C t t t dt t t +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42C x x x +++-=)1ln(44244.(41)dt t t t dt t t t t t dx x x x xxt ttt x ⎰⎰⎰+--=+-⋅⋅⋅-+=======+-+-=-+=+-=)1)(1(4)1()2(21111122222221111211222C t t t dt t t +++-⋅=+--⋅-=⎰arctan 211ln 212)1111(21422 C x xxx x x ++-+-++--+=11arctan 21111ln.42)⎰⎰+--=-+3234211)1()1()1(x x x dx x x dx⎰⎰--+=---+-⋅-=======+-=--=-+=23232323321111211)1()1(6)1(]1)11[()3(23333t t tdtt t t t dt t x x t tt t x C x x C t t dt t tdt +-+-=+-===⎰⎰32311232323226.2、用指定的换元法求下列不定积分 (1)C x C t dt t t tdt t x x dx t x +=+======-⎰⎰⎰=arcsin 222cos sin cos sin 2)1(2sin .(2)⎰⎰⎰⎰=====++=++-=tdt t tdtx dxx x dx t x sec sec sec 1)1(2221tan 22C x x x C t t +++++=++=|122|ln |tan sec |ln 2.(3)⎰⎰⎰⎰======--=-+=tdt ttdtt x dxx x dxtx sec tan 2sec tan 24)2(4sec 2222C t t C t t ++=+++=|tan 2sec 2|ln 2ln |tan sec |ln C x x x +-+-=|42|ln 2.(4)C t dt dt t t x dx x xdxt x +======-=-⎰⎰⎰⎰=2121cos cos 211211sin 4242C x +=2arcsin 21.习题5-31、求下列不定积分C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .(2)C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln .(3)⎰⎰⎰-+=-=dx xx x x x xd x x xdx 21arccos arccos arccos arccos .C x x x +--=21arccos .其中:C x C x x x d dx x x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰22222112211)1(211.(4)C x e C e xe x d e xe xde dx xe x x x x x x x ++-=+--=+-=-=-------⎰⎰⎰)1(.(5)⎰⎰⎰⎰-=-==dx x x x x d x x x xdx xdx x 34444341ln 41ln 41ln 41ln 41ln C x x x +-=44161ln 41. (6)C x x x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰3cos 93sin 33sin 33sin 33sin 33cos .(7)⎰⎰⎰⎰⎰-=-=xdx x xd xdx xdx x xdx x tan sec tan 22C x x x x xdx xdx x x +-+=--=⎰⎰221|cos |ln tan tan tan .(8)⎰⎰⎰+-=-=2222cos cos cos sin xdx x x x d x xdx xC x x x x x +++-=cos 2sin 2cos 2.其中:C x x x xdx x x x xd xdx ++=-==⎰⎰⎰cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2.(9)⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x arctan 31arctan 31arctan 31arctan 3332.C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223. 其中:C x x dx x x dx xx x d x 3)1ln(2121111211arctan 22222233-+-=+-+=+=⎰⎰⎰. (10)⎰⎰⎰-==x xd xdx x xdx x x 2cos 412sin 21cos sin C x x x dx x x x ++-=+-=⎰2sin 812cos 412cos 412cos 41.(11)C x x x x xdx x xdx dx x x +++=+=⎰⎰⎰cos 21sin 2141cos 21212cos 22. 其中:C x x x xdx x x x xd xdx x 2cos sin sin sin sin cos ++=-==⎰⎰⎰.(12)I x x x d x xdx x 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222++-=+-=+⎰⎰ C x x x x x ++++-=2cos 412sin 212cos )1(212C x x x x +++-=2sin 212cos )21(212.其中:⎰⎰⎰==+=)2(2cos )2(212cos 2)1(2cos 2x xd x xdx x x xd IC x x x 2]2cos 2sin 2[21++=.(13))1ln(21)1ln(21)1ln(21)1ln(222+-+=+=+⎰⎰⎰x d x x x dx x dx x x C x x x x x ++-+-+=)1ln(212141)1ln(2122 C x x x x ++-+-=2141)1ln()1(2122. 其中:x d x x x x x d x x x d x ⎰⎰⎰++--+=+=+1111)1ln(222C x x x x d x x 2)1ln(21)111(2-++-=++-=⎰.(14)x d x x x x xd dx x x 22222ln 1ln 1)1(ln ln ⎰⎰⎰+-=-=C x x x C x x x x x +++-=+---=)2ln 2(ln 12ln 2ln 122.其中:⎰⎰⎰⎰+-=-==x d x x x x xd dx x x x d x ln 12ln 2)1(ln 2ln 2ln 122C xx x dx x x x +--=+-=⎰2ln 212ln 22.(15)⎰⎰⎰-=======tdt t t t t d t dx x xt sin 2sin sin )(arcsin 22arcsin 2C t t t t t C t t t t t +--+=+-+=sin 2sin 12sin sin 2cos 2sin 222)1(C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.(16)⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅-=======tt t t t t x t tx x tde e t dt te e t de t dt e t dx e 632333322223331C t t e C e te e t dt e te e t t t t t t t t ++-=++-=+-=⎰)22(3663663222C x x e x ++-=)22(33323.(17)⎰⎰⎰-==xdx e x e x d e xdx e xx x x sin sin sin cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e x d e x e x x x x x cos cos sin cos sin ,∴C x x e xdx e x x ++=⎰)cos (sin 21sin .(18)I e xdx e dx e xdx e x x x x 21212cos 2121cos 2+-=+=----⎰⎰⎰ C x e x e e x x x +-+-=---2cos 1012sin 5121.:x xd e x e x d e I xx x ⎰⎰---+==2sin 212sin 212sin 21 x d e x e x x 2cos 412sin 21⎰---= x xd e x e x e x x x ⎰-----=2cos 412cos 412sin 21, ∴C x e x e I x x 22cos 41542sin 2154+⋅-⋅=--.2、利用指定的变量代换求下列不定积分 (1)C t t e t td e dx x tte x t++======⎰⎰=)cos (sin 21cos )cos(ln )17( C x x x ++=)]cos(ln )[sin(ln 21.(2)⎰⎰⎰-=======tdt t t t t d t dx x tx cos 2cos cos )(arccos 22cos 2⎰⎰+-=-=tdt t t t t t td t t sin 2sin 2cos sin 2cos 22C t t t t t C t t t t t +---=+--=cos 2cos 12cos cos 2sin 2cos 222 C x x x x x +---=2arccos 12)(arccos 22.习题5-41、求下列不定积分(1) x d x x x x x x x d x x ⎰⎰+-++--+=+288442222233 C x x x x x d x x x ++-+-=+-+-=⎰|2|ln 8431)2842(232.(2)x d x x x x d x x x ⎰⎰-++=-++)2)(5(13103132C x x x d x x +-++=-++=⎰|2|ln |5|ln 2)2152(. 其中: )2)(5(5225)2)(5(13-+++-=-++=-++x x BBx A Ax x B x A x x x , 有 3=+B A , 152=+-B A ,得1,2==B A .(3) x d xx x x x x x x x d x x x x ⎰⎰--++-+-=--+3242534588 x d x x x x x x d x x x x x x x ⎰⎰--+-++=-+-+++=]13148[])1)(1(8[222C x x x x x +--+-++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123. 其中: )1)(1()()()1(11)1)(1(82222-+++-+-=-+++=-+-+x x x x x C x x B x A x C x B x A x x x x x ,有 1=++C B A ,1=+-C B ,8-=-A ,得3,4,8-=-==C B A .(4)x d x x x x x d x x x x d x ⎰⎰⎰+++-+-=+-+=+)12142()1)(1(616223 ⎰⎰⎰⎰⎰+++--++-+--=+++-+--=12)23()21()21(343)21(]43)21[(1243)21(3)21(222222x dx x x d x x d x dx x d x xC x x x +++-⋅++--=|1|ln 22321arctan 2313]43)21ln[(2C x x x x +++-++--=|1|ln 2312arctan 32)1ln(2.其中: )1)(1()1()(11)1)(1(62222-++-++++=+++-+=+-+x x x x x C B x B A Ax x C x x B Ax x x x , 有 0=+C A ,0=-+C B A ,6=+C B ,得2,4,2==-=C B A .5)x d x x x x d x x x ⎰⎰+++-=++-)111()1)(1(122C x x x dx x x d ++++-=++++-=⎰⎰|1|ln )1ln(2111)1(21222.其中: )1)(1()1()(11)1)(1(12222-++++++=++++=++-x x x x C B x B A Ax x C x B Ax x x x , 有 0=+C A ,1-=+B A ,1=+C B ,得1,0,1==-=C B A .(6)x d x x x x d x x x ⎰⎰-⋅++⋅++-=-++]11211121)1(1[)1()1(1222 C x x C x x x +-++=+-++++=|1|ln 2111|1|ln 21|1|ln 21112 其中: 11)1()1()1(1222-++++=-++x Cx B x A x x x)1()1()12()1()1(222-++++-+-=x x x x C x B x A ,有 1=+C B ,02=+C A ,1=+--C B A ,得21,21,1==-=C B A . (7)x d x x x x x x dx ⎰⎰+++-+=+++)312211()3)(2)(1(2C x x x ++++-+=|3|ln |2|ln 2|1|ln .其中: 321)3)(2)(1(2+++++=+++x Cx B x A x x x)3)(2)(1()23()34()65(222+++++++++++=x x x x x C x x B x x A ,有 0=++C B A ,0345=++C B A ,2236=++C B A , 得1,2,1=-==C B A .(8)⎰⎰+---+++=+dx x x x x x x x dx )122122(421224⎰+----++++=dx x x x x x x )122)22(122)22((8222 ⎰⎰+-+--++++=12)12(8212)12(822222x x x x d x x x x d dx x x ]21)21(121)21(1[4122+-++++⎰ )12ln(82)12ln(8222+--++=x x x x C x x +-⋅++⋅+2121arctan 211412121arctan21141C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(421212ln 8222. 其中: 121211224+-+++++=+x x DCx x x B Ax x )12)(12(222222223223+-+++++++++-++-=x x x x DDx Dx Cx Cx Cx B Bx Bx Ax Ax Ax ,有 0=+C A , 022=+++-D C B A ,022=++-D C B A ,1=+D B , 得21,42,21,42=-===D C B A .。

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学习资料收集于网络，仅供参考1 1)1、求下列不定积分 1) dx 3) (x _2)2dx 5) 7)第四章不定积分xx23-52 ,dx3x (2ex 3)dx x2、求下列不定积分（第一换元法） 1)(3 _2x)3dx 3 5 7)xcos(x 2)dx9)sin x cos xdx11)2x2-113) sin 2xcos3xdx15)—X102arccosx17)—x3、求下列不定积分（第二换元法）dxx d x 2(A)2)4)6)8)dx2「 X2dx1 xcos2xJ 2 i2dx cos xsin x2)dx32 -3x4)dxx In xln(In x)6)8)dx x . x e e10) . ------------ 2dx 丁9 —4x 2 12)cos 3 xdx14) tan 3 xsecxdx16)3cos 2x 4sin218)册喻'dx *x(1+x)■2) sin - xdx-dx x学习资料收集于网络，仅供参考2x4)------------- dx, (a 0)、a - x4、求下列不定积分(分部积分法) 1) xSnxdx 2) arcs in xdx3)x 2 In xdx 4)_2x .x , e sin dx25) x 2 arcta nxdx 6) x 2cosxdx7)In 2xdx8)2 2xx cos dx25、求下列不定积分(有理函数积分)3,dx3)x(x 2 1)(B)1、一曲线通过点(e 2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,线的方程。

132、已知一个函数F (x)的导函数为 ----------- ，且当X = 1时函数值为，试求此函数。

U1—X 223、证明：若f (x)dx 二 F (x) • c ，贝U1f (ax b)dx F (ax b) c,(a = 0)。

asin x4、设f (x)的一个原函数为，求xf (x)dx 。

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习题3-11．计算下列不定积分.(1)5x dx ⎰; (2) 2x dx ⎰; (3) 1x e dx +⎰; (4)()cos sin x x dx -⎰;(5)221dx x +⎰; (6); (7) (xedx +⎰;(8)2211sin cos dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (9) 21x +; (10) 23324x xxdx +⎰. 2.已知曲线()y f x =过点(0,0)且在点(x,y)处的切线斜率为231k x =+,求该曲线方程. 3.已知某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且通过点(e,2),试求此曲线方程.习题3-21. 计算下列不定积分.(1)()921x dx -⎰; (2) ; (3); (4)21xdx x +⎰; (5)2ln xdx x ⎰; (6)θ; (7)2x xe dx -⎰; (8)x x dx e e -+⎰.2.求下列不定积分.(1)2; (2) ;(3)(4)2e⎰;3. 求下列不定积分. (1) 6x xe dx -⎰; (2)()ln ln x dx x ⎰; (3) arctan xdx ⎰;(4)2ln xdx ⎰; (5) 3sec xdx ⎰; (6) 2sin x e xdx ⎰; 4.求下列不定积分.(1); (2) ()()21f x dx f x '+⎰;(3); (4) ⎰.5.一物体由静止开始作直线运动,在 t 秒时的速度为32/t m 秒,问:(1) 3秒后物体离开出发点的距离是多少?(2) 需要多长时间走完1000米？6．在平面上有一运动着的质点，如果它在 x 轴方向和y 轴方向的分速度分别为5sin x u t =和2cos y u t =,且0|5t x ==,0|0t y ==,求:(1) 时间为t 时,质点所在的位置; (2) 运动的轨迹方程.习题3-31．利用定积分的定义证明badx b a =-⎰.2.用定积分的几何意义求下列定积分的值. (1)()1021x dx +⎰;(2) 0⎰; (3)sin xdx ππ-⎰.3.不计算积分,比较下列各组内定积分的大小. (1)1xdx ⎰,12x dx ⎰; (2)1xe dx ⎰,21x edx ⎰.4.利用定积分的性质估计下列积分值的范围. (1) ()314x x dx -⎰; (2)22xxe dx -⎰.习题3-41. 求下列函数的导数. (1) ()0F x =⎰: (2) ()sin cot xxF x xdx -=⎰.2. 求下列函数的极限.(1) 11sin lim1cos xx tdtxππ→+⎰;(2) 02limx x →⎰.3. 计算下列定积分. (1)21x xe dx ⎰; (2)cos 44x dx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (3)1ln 2ex dx x⎰; (4) 120100dxx +⎰; (5)420tan cos xdx xπ⎰;(6)41dx ⎰. 4.设()21x f x x +≤⎧⎪=⎨⎪⎩ 当x 1时,1 当x>1时,2求()20f x dx ⎰.5. 一汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度1.8a =-2/米秒刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过多少距离?1. 计算下列定积分.(1)1-⎰;(2) 1⎰; (3)⎰;(4)1;(5)94⎰; (6) ()12121dxx -+⎰;(7)(222x --⎰.2.计算下列定积分. (1) 2130x x e dx ⎰; (2)31ln xdx ⎰; (3)20cos x e xdx π⎰.(4)()1sin ln ex dx ⎰.3. 设()f x 在[],a b 上连续,证明()()bbaaf a b x dx f x dx +-=⎰⎰.4.设函数()f x 以T 为周期,试证明()()0a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰ (a 为常数).5.试证明()()()baxf x dx bf b f b '''=--⎡⎤⎣⎦⎰()()af a f a '-⎡⎤⎣⎦.1．求下列平面图形的面积。

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