2019-2020学年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课后练习新人教A版必修1.doc

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高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例训练(教师版) 新人教A版必修1

【金版新学案】高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例训练（教师版）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．某商店某种商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售商品的月利润最高，应将该商品每件定价为( )A ．70元B ．65元C ．60元D ．55元解析：设该商品每件单价提高x 元，销售该商品的月利润为y 元，则y ＝(10＋x )(500－10x )＝－10x 2＋400x ＋5 000＝－10(x －20)2＋9 000∴当x ＝20时，y max ＝9 000，此时每件定价为50＋20＝70元，故选A.答案： A2．以每秒a 米的速度从地面垂直向上发射子弹，t 秒后的高度x 米可由x ＝at －4.9t2确定，已知5秒后子弹高245米，问子弹保持245米以上(含245米)高度共有( )A ．4秒B ．5秒C ．6秒D ．7秒解析：已知x ＝at －4.9t 2，由条件t ＝5秒时，x ＝245米，得a ＝73.5，所以x ＝73.5t－4.9t 2.子弹保持在245米以上(含245米)，即x ≥245，所以73.5t －4.9t 2≥245.解得5≤t ≤10.因此，子弹保持在245米以上的高度有5秒．答案： B3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ， 1≤x <10，x ∈N *2x ＋10， 10≤x <100，x ∈N*1.5x x ≥100，x ∈N *其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130解析：令y ＝60，若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25人．答案： C4．“红豆生南国，春来发几枝？”右图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( )A ．y ＝t 3B ．y ＝log 2tC ．y ＝2tD ．y ＝2t 2解析：符合指数函数模型，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝0.5a ＋b 1.5＝0.25a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2，∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件．答案： 1.756．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．解析：方案甲：x ＝3时，y ＝10，方案乙：x ＝3时，y ＝8，∵10.2－10<10.2－8∴方案甲拟合较好．答案： A三、解答题(每小题10分，共20分)7．随着我国加入WTO ，某企业决定从甲、乙两种畅销产品中选择一种进行投资生产打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)，其中年固定成本与生产件数无关，a 为常数，且4≤a ≤8，另外年销售乙产品x 件时需上交0.05x 2万美元的特12系式；(2)分别写出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何决定投资可获得大利润？解析：由题意，(1)y 1＝(10－a )x －30,0≤x ≤200，x ∈N ，y 2＝－0.05x 2＋10x －50,0≤x ≤120，x ∈N .(2)∵y 1在[0,200]上是增函数，∴y 1max ＝200(10－a )－30＝1 970－200a .∵y 2＝－0.05(x －100)2＋450，∴当x ＝100时，y 2max ＝450.(3)设1 970－200a ＝450，得a ＝7.6.∴当4≤a ＜7.6时，投资甲产品，当a ＝7.6时，投资甲、乙两种产品都可以，当7.6＜a ≤8时，投资乙产品．8．溶液酸碱度是通过pH 刻画的．pH 的计算公式为pH ＝－lg[H ＋]，其中[H ＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．(1)根据对数函数性质及上述pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H ＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.解析： (1)根据对数的运算性质，有pH ＝－lg[H ＋]＝lg[H ＋]－1.在(0，＋∞)上，随着[H ＋]的增大，[H ＋]－1减小，从而lg[H ＋]－1减小，即pH 减小．所以，随着[H＋]的增大，pH减小．(2)当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg[H＋]＝－lg10－7＝7，所以纯净水的pH是7，酸碱度为中性．尖子生题库☆☆☆9．(10分)据调查，某地区300万从事传统农业的农民，人均年收入6 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x>0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为6 000a元(a≥2)．(1)在建立加工企业后，要使从事传统农业的所有农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民年总收入，试求x的取值范围．(2)在(1)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这300万农民的人均年收入达到最大．解析：(1)由题意，得(300－x)×6 000×(1＋x%)≥300×6 000，即x2－200x≤0，解得0≤x≤200.又x>0，故x∈(0,200]．(2)设这300万农民的人均年收入为y元，则y＝1300×((300－x)×6 000×(1＋x%)＋6 000ax) ＝－0.2x2＋20(a＋2)x＋6 000.∵a≥2，∴－20a＋22×－0.2＝50(a＋2)≥200，∴y＝－0.2x2＋20(a＋2)x＋6 000在(0,200]上是增函数，当x＝200时，y max＝6 000＋4 000a(万元)．即有200万人进企业工作，100万农民从事传统农业，能使这300万农民的人均年收入达到最大．。

2019-2020年高中数学第3章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课时作业新人教A版必修

2019-2020年高中数学第3章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课时作业新人教A版必修课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．1．几种常见的函数模型(1)一次函数：y＝______________________(2)二次函数：y＝______________________(3)指数函数：y＝______________________(4)对数函数：y＝______________________(5)幂函数：y＝________________________(6)指数型函数：y＝pq x＋r(7)分段函数2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________________；(3)________________；(4)________________；(5)______；(6)__________________________．一、选择题1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：A．2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A ．310元 B ．300元 C ．290元 D ．280元3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )5．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A.332cm 2 B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 26．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y (头)与时间x (年)的关系可以近似地由关系式y ＝a log 2(x ＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．三、解答题10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q (单位为：元/10 kg)与上市时间t (单位：天)的数据情况如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t，Q ＝a log b t ；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．能力提升12y ＝ax ＋b 或y ＝a x ＋b (a ，b 为常数，且a >0)来模拟这种电脑元件的月产量y 千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．13．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？1．函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 2．函数拟合与预测的一般步骤：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．3．2.2 函数模型的应用实例知识梳理1．(1)kx ＋b (k ≠0) (2)ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (3)a x(a >0且a ≠1)(4)log a x (a >0且a ≠1) (5)x α(α∈R ) 2.(1)收集数据 (2)画散点图 (3)选择函数模型(4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解释实际问题作业设计1．A [由表中数据观察可得细菌数y 与时间x 的关系式为 y ＝300·2x (x ∈Z )．当x ＝－2时，y ＝300×2－2＝3004＝75.]2．B [由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.] 3．A [设某商品价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，即减少7.84%.] 4．A [由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画，故选A.]5．D [设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm.∴S ＝34(x 3)2＋34(4－x 3)2＝318(x －6)2＋23≥2 3.]6．A [由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180.∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.] 7．2 250解析设每台彩电的原价为x 元，则x (1＋40%)×0.8－x ＝270，解得x ＝2 250(元)． 8．400解析由题意，x ＝1时y ＝100，代入求得a ＝100,2000年年底时，x ＝15，代入得y ＝400.9．2ln 2 1 024解析当t ＝0.5时，y ＝2， ∴2＝，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.10．解设每床每夜租金为10＋2n (n ∈N )，则租出的床位为 100－10n (n ∈N 且n <10)租金f (n )＝(10＋2n )(100－10n )＝20[－(n －52)2＋2254]，其中n ∈N 且n <10.所以，当n ＝2或n ＝3时，租金最多，若n ＝2，则租出床位100－20＝80(张)；若n ＝3，则租出床位100－30＝70(张)；综合考虑，n 应当取3，即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．11．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t，Q ＝a log b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得：⎩⎪⎨⎪⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10 kg)． 12．解将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)．∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x＋48. 当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；当x ＝3时，对于y ＝2x＋48有y ＝56. 由于56与53.9的误差较大， ∴选y ＝ax ＋b 较好．13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n.令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24，，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年． 2019-2020年高中数学第3章函数的应用章末检测A 新人教A 版必修一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数y ＝1＋1x的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．02．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 3．某企业xx 年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业xx 年度产值的月平均增长率为( )A .PP －1 B .11P －1C .11PD .P －1114．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④5．如图1，直角梯形OABC 中，AB∥OC，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l∶x＝t 截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ，则函数S ＝f(t)的图象大致为图中的( )图16．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －a c －b xB ．y ＝c －a b －c xC ．y ＝c －b c －a xD ．y ＝b －c c －ax7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( ) (下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44， 66＝1.38) A ．38% B ．41% C ．44% D ．73%8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R(Q)＝4Q －1200Q 2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)( )A ．250 300B ．200 300C ．250 350D ．200 3509则x 、y ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数11．用二分法判断方程2x 3＋3x －3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875,0.6253＝0.244 14)( )A ．0.25B ．0.375C ．0.635D ．0.82512．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．19B ．20C ．21D ．22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用二分法研究函数f(x)＝x 3＋2x －1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．14．若函数f(x)＝a x－x －a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________． 15．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为________________万元．16．函数f(x)＝x 2－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1 200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x 的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.477 1)19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝ka t(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．(1)写出服药后y关于t的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3，(1)求f(x)的解析式；(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f2(x)在区间[0,9]上零点的个数．21．(12分)截止到xx 年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y 亿．(1)求y 与x 的函数关系式y ＝f(x)； (2)求函数y ＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)章末检测(A )1．B [由1＋1x ＝0，得1x＝－1，∴x ＝－1.]2．B [由题意x 0为方程x 3＝(12)x －2的根，令f (x )＝x 3－22－x，∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴x 0∈(1,2)．]3．B [设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11，∴x ＝11P －1.]4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．] 5．C [解析式为S ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ·2t t 12×1×2＋t －t＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2t 2t －t∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －a b －cx .] 7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ，则p (1＋x )6＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.]8．A [L (Q )＝4Q －1200Q 2－Q －200＝－1200(Q －300)2＋250，故总利润L (Q )的最大值是250万元，这时产品的生产数量为300.]9．B [∵x ＝0时，b x无意义，∴D 不成立．由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快， ∴A 不成立． ∵C 是偶函数，∴x ＝±1的值应该相等，故C 不成立．对于B ，当x ＝0时，y ＝1， ∴a ＋1＝1，a ＝0；当x ＝1时，y ＝b ＝2.02，经验证它与各数据比较接近．] 10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]11．C [令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，∴方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内， ∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]12．C [操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8，∴n ≥21.]13．(0,0.5) 0.25解析根据函数零点的存在性定理． ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点，即0＋0.52＝0.25.14．(1，＋∞)解析函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.15．a (1－b %)n解析第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2；故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n. 16．(0,1]解析设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.17．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1 200－x ) ＝－5x ＋12 000，0≤x ≤1 200. (2)∵1 200×65%≤x ≤1 200×85%，解得780≤x ≤1 020，而y ＝－5x ＋12 000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1 020＋12 000≤y ≤－5×780＋12 000. 即6 900≤y ≤8 100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]．18．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x ，x ∈N *.(2)依题意：y ≤13a ，即：a ·0.9x ≤a 3，0.9x≤13＝，得x ≥log 0.913＝－lg 32lg 3－1≈－0.477 10.954 2－1≈10.42.答通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．19．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8t ， 0≤t <1，8222t， t ≥1.(2)令82·(22)t≥2，解得t ≤5. ∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药． (3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)．故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克． 20．解 (1)令f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝22a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1(x ∈R )．(2)∵g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg (x ＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，g (9)＝－1＋lg 102＝1>0，∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个． 21．解 (1)xx 年底人口数：13.56亿．经过1年，xx 年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)．经过2年，xx 年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1%＝13.56×(1＋1%)2(亿)．经过3年，xx 年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿)．∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x 年后人口数为13.56×(1＋1%)x(亿)．∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x. (2)理论上指数函数定义域为R . ∵此问题以年作为时间单位．∴此函数的定义域是{x |x ∈N *}．(3)y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x. ∵1＋1%>1,13.56>0，∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．22．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02·(x －100)＝62－x50；当x ≥550时，P ＝51.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0<x ≤10062－x50， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N )．(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤10022x －x250， 100<x <550，11x ，x ≥550(x ∈N )．当x ＝500时，L ＝6 000；当x ＝1 000时，L ＝11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．。

2019_2020学年高中数学第三章 3.2.2函数模型的应用实例课后篇巩固提升(含解析)新人教A版必修1

3.2.2函数模型的应用实例课后篇巩固提升基础巩固1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点,∴甲先到达终点.2.下列函数中,随着x的增长,函数值增长最快的是()A.y=50B.y=1 000xln xC.y=0.4×2x-1D.y=11 000(图略),观察可知指数函数模型的函数值增长最快.3.用长度为24 m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3 mB.4 mC.5 mD.6 m=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-x m,则矩形场地长为24-4x22(x-3)2+18,即当x=3 m时,矩形面积最大.4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是() A.升高7.84% B.降低7.84%C.降低9.5%D.不增不减a,四年后的价格为a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.921 6a.∴(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即比原来降低7.84%.5.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.0.002 5v 2-0.175v+4.27=0.002 5(v 2-70v )+4.27 =0.002 5[(v-35)2-352]+4.27 =0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h 时,耗油量最少.6.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg 2≈0.30,lg 3≈0.48).n 小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n. 根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有n lg 34=n (lg 3-2lg 2)≤lg 23=lg 2-lg 3, 将已知数据代入,得n (0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n ≥32,故至少要经过2小时才能开车.7.一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是 .0时到3时,2个进水口的进水量为9,故①正确;由排水速度知②正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故③不正确.8.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比.(1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中的流量速率为400 cm 3/s,求该气体通过半径为r cm 的管道时,其流量速率R 的解析式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量速率.由题意,得R=kr 4(k 是大于0的常数).(2)由r=3 cm,R=400 cm 3/s,得k ·34=400, 解得k=40081,所以函数解析式为R=40081r 4. (3)因为R=40081r 4,所以当r=5 cm 时,R=40081×54≈3 086(cm 3/s), 即该气体的流量速率约为3 086 cm 3/s .9.如图所示,已知边长为8 m 的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m .为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ,使点P 在边DE 上.(1)设MP=x m,PN=y m,将y 表示成x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM 面积的最大值.如图所示,延长NP 交AF 于点Q ,则PQ=8-y ,EQ=x-4. 在△EDF 中,xxxx =xxxx ,∴x -48-x =42.∴y=-12x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM 的面积为S , 则S=xy=x (10-x 2)=-12(x-10)2+50.又x ∈[4,8],所以当x=8时,S 取最大值48.所以当MP=8 m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48 m2.10.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(18)x-x(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数:当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数), 又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t>0.1时,函数解析式为y=(18)x-x,而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=(18)0.1-x,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=(18)x-0.1.综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y={10x,0≤x≤0.1, (18)x-0.1,x>0.1.(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=18.当t>0.1时,由(18)x-0.1≤18,得t-0.1≥1,解得t≥1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.能力提升1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=a log2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到()A.300只B.400只C.600只D.700只x=1,y=100代入y=a log 2(x+1)得,100=a log 2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log 2(7+1)=300.2.某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨的价格为每吨Q 元,已知P=1000+5x+110x 2,Q=a+xx ,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有( ) A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45 C.a=-30,b=45D.a=-45,b=-30x 吨产品全部卖出所获利润为y 元,则y=xQ-P=x (x +x x )−(1 000+5x +110x 2) =(1x -110)x 2+(a-5)x-1 000,其中x ∈(0,+∞).由题意知当x=150时,y 取最大值,此时Q=40.∴{-x -52(1x -110)=150,x +150x=40,整理得{x =35-300x ,x =40-150x , 解得{x =45,x =-30.3.如图,点P 在边长为1的正方形边上运动,设M 是CD 的中点,则当P 沿A-B-C-M 运动时,点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y=f (x )的图象大致是( ),当0<x ≤1时,S △APM =12×1×x=12x ;当1<x ≤2时,S △APM =S 梯形ABCM -S △ABP -S △PCM=12×(1+12)×1-12×1×(x-1)-12×12×(2-x )=-14x+34;当2<x ≤52时,S △APM =S 梯形ABCM -S 梯形ABCP=12×(1+12)×1-12×(1+x-2)×1 =34−12x+12=-12x+54.∴y=f (x )={ 12x (0<x ≤1),-14x +34(1<x ≤2),-12x +54(2<x ≤52).再结合题图知应选A.4.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)y 万吨,n 表示从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400×(1+50%)n=400×32n,当y=4 000时,有32n=10,两边取对数可得n (lg 3-lg 2)=1,∴n (0.477 1-0.301 0)=1,0.176 1n=1,解得n ≈6,∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.5.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度(x )和震级(y )的模拟函数关系可以选用y=a lg x+b (其中a ,b 为常数).利用散点图可知a 的值等于 .(取lg 2≈0.3进行计算)x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.所以{5.0=x lg(1.6×1019)+x ,5.2=x lg(3.2×1019)+x , ①②②-①,得0.2=a lg3.2×10191.6×1019,0.2=a lg 2.所以a=0.2lg2=0.20.3=23.6.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q 1万元和Q 2万元,它们与投入的资金x 万元的关系是Q 1=15x ,Q 2=35√x .今年有3万元资金投入使用,则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润?x 万元,则对乙种商品投资(3-x )万元,总利润为y 万元,则Q 1=15x ,Q 2=35√3-x .所以y=15x+35√3-x (0≤x ≤3). 令t=√3-x (0≤t ≤√3),则x=3-t 2, 所以y=15(3-t 2)+35t=-15t-322+2120. 当t=32时,y max =2120=1.05(万元), 这时x=34=0.75(万元), 所以3-x=2.25(万元).由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润为1.05万元.7.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资A 类产品的收益与投资额成正比(f 1(x )=k 1x ),投资B 类产品的收益与投资额的算术平方根成正比(f 2(x )=k 2√x ).已知投资16万元时,A ,B 两类产品的收益分别为2万元和4万元.(1)分别写出A ,B 两类产品的收益与投资额的函数关系式.(2)该家庭有32万元资金,全部用于理财投资A ,B 两类产品,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益(f (x )=f 1(x )+f 2(x )),其最大收益是多少万元?由题意得,f 1(16)=16k 1=2,解得k 1=18,由f 2(16)=4k 2=4,解得k 2=1.∴f 1(x )=18x ,x ∈[0,+∞),f 2(x )=√x ,x ∈[0,+∞).(2)设投资B 类产品x 万元, 则投资A 类产品为(32-x )万元, 则f (x )=18(32-x )+√x =4-18x+√x .∵f (x )=-18(√x -4)2+6, ∴当x=16时,f (x )max =6.答:投资A ,B 两类产品各16万元时,能使资金获得最大收益,最大收益为6万元.8.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m 2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m 2,凤眼莲覆盖面积y (单位:m 2)与月份x (单位:月)的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=p x 12+q (p>0)可供选择. (1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)先判断两个函数y=ka x(k>0,a>1),y=p x 12+q (p>0)在(0,+∞)上的单调性,说明函数模型y=ka x (k>0,a>1)适合要求,然后列出方程组,求解析式.(2)利用x=0时,y=323×32=323,即元旦放入凤眼莲的面积是323 m 2,列出不等式转化求解.两个函数y=ka x(k>0,a>1),y=p x 12+q (p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x 的增加,函数y=ka x (k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=p x 12+q (p>0)的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快, 所以函数模型y=ka x(k>0,a>1)适合要求. 由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36, 所以{xx 2=24,xx 3=36,解得{x =323,x =32,所以该函数模型的解析式是y=323×32x(x ∈N *).(2)x=0时,y=323×32=323,所以元旦放入凤眼莲的面积是323m 2.由323×32x>10×323,得32x>10,所以x>lo g 3210=lg10lg 32=1lg3-lg2.因为1lg3-lg2≈10.477 1-0.301 0≈5.7,所以x≥6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.。

2019-2020年高中数学3.2.2函数模型的应用实例课时作业(含解析)新人教A版必修1

2019-2020年高中数学322函数模型的应用实例课时作业（含解析）新人教A版必修［学业水平层次］、选择题1.下图给出了红豆生长时间用下列哪个函数模型拟合最好？t（月）与枝数y（枝）的散点图；那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系,图3-2-7A.指数函数：y = 2t3 C.幕函数：y = t B.对数函数：y = log 2t2D.二次函数：y = 2t【解析】结合图象的变化趋势可以看出，红豆生长时间与枝数的关系大约成指数函数关系，故选 A.【答案】A2•某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图知，营销人员没有销售量时的收入是（）3-2-8所示，由图中给出的信息可图3-2-8A. 310 元B. 300 元 C . 290 元 D. 280 元【解析】设函数解析式为y = kx + b （ 2 0）,函数图象过点(1 , 800) , (2 , 1 300), 则 k + b = 800， 2k + b = 1 300 ,••• y = 500x + 300,当 x = 0 时,y = 300.•••营销人员没有销售量时的收入是 300元.【答案】 B3. 某种细胞在正常培养过程中，时刻 t （单位：分）与细胞数n （单位：个）的部分数据如下表:根据表中数据，推测繁殖到 1 000个细胞时的时刻t 最接近于（）A. 200B. 220 C . 240 D. 260 解得k = 500,b = 300,【解析】由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n=2£,令n= 1 000,则2気=1 000,而210= 1 024,所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t最接近200分钟，故答案应选A.【答案】A4. 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y= f（x）的图象大致是（）【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a ,由题意可得ax = a (1 + 0.104) y ，故y = log i.io4X (x > 1).函数为对数函数，所以函数y = f (x )的图象大致为 D 中图象，故选 D.【答案】 D二、填空题 3 5. (xx •徐州高一检测)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过 1%则至少要清洗的次数是4 _______ (lg2 〜0.301 0). 【解析】设至少要洗x 次，贝U 1 -3 <為，1••• x > — 疋3.322，所以需4次.【答案】 46•甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如下图3-2-9表示甲从家出发到乙同学家经过的路程 y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是 10 min ，那么y = f (x )的解析式为_________A B D图 3-2-10【解析】由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线, y = f (x ) 1 捋(0w x w 30), 2 (30v x v 40), .lo x — 2 (40W x w 60). 厶(0w x w 30), 15 【答案】y = f (x ) = 2 ( 30 v x v 40), 上x — 2 (4g x w 60).7. （xx •宿迁高一检测）如图3-2-10所示，在矩形 ABCD 中, 已知 AB= 13, BC= 3，在 ABCD CB 上分别截取AE AH CG CF 且 AE= AH= CG= CF = x ，贝U x = 时，四边形EFGH 勺面积最大，最大面积为可用待定系数【解析】设四边形EFGH 勺面积为S,贝U71 2 inS = 13X 3- 2片+ 2 (13-x )( 3-X ) 12 2 =-2X + 16x = — 2( x -4) + 32, x € (0 , 3]. 因为S =- 2(x -4)2+ 32在(0 , 3]上是增函数, 所以当x = 3时，S 有最大值为30.【答案】 3 30三、解答题& （xx •茂名高一检测）“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间•假设“学习曲线”符合函数2 N （B 为常数），N （单位：字）表示某一英文词汇量水平，t （单位：天）表示达到这一英文词汇量所需要的学习时间.⑴ 已知某人练习达到 40个词汇量时需要10天，求该人的学习曲线解析式.（2）他学习几天能掌握 160个词汇量？（3）如果他学习时间大于 30天，他的词汇量情况如何？5log 【解】 (1)把 t = 10, N= 40 代入 t = 5log 解得B = 10. ⑵当 N = 160 时，t = 5log 2160 = 5log 216= 20(天).2 ，得 10= 5logBN> 0). 所以 t = 5log 2⑶当t > 30 时，5log 2 > 30,解得N> 640.所以学习时间大于30天，他的词汇量大于640个.9 •某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图3-2-11所示的曲线.(1) 写出服药后y与t之间的函数关系式y= f(t);(2) 进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病的有效时间.【解】⑴由题图得，当t € [0 , 1]时，函数的解析式为y= kt，将M l , 4)代入得k = 4,「. y= 4t.又当t € (1 , )时，函数的解析式为y= 2 -a将点(3 , 1)代入得a= 3,「. y= 2(2) 由 f (t ) >0.25 ,解得t w 5. •••服药一次治疗疾病的有效时间为 1 15 5 — = 4亦个小时.［能力提升层次］1. （XX •湖北高考）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶•与以上事件吻合得最好的图象是（）综上有y =f ⑴J ，伍丿(O w t w 1),-3,(t > 1)【解析】距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选 C.【答案】C"4x, 1 < x v 10, x € N, 2•某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=*2x+ 10, 10W x v 100, x€ N,其中，x代表拟录用〔1.5 x, x> 100, x € N,人数，y代表面试人数，若面试人数为60,则该公司拟录用人数为（）A. 15B. 40C. 25D. 130【解析】若4x = 60,贝U x= 15> 10,不合题意；若2x + 10= 60,贝U x= 25，满足题意；若 1.5 x= 60，则x = 40v 100，不合题意•故拟录用25人.【答案】C3. （xx •温州高一检测）:强度（J）19 °6.4 X 104.5 X 10193.2 X 10191.6 X 1019震级（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用y= a lg x+ b（其中a, b为常数）•禾U用散点图可知a的值等于________ .（取lg 2 = 0.3进行计算）【解析】由记录的部分数据可知19x= 1.6 X 10 时，y= 5.0 , x= 3.2 X 1019时，y= 5.2.19所以 5.0 = a lg (1.6 X 10 ) + b①5. 2 = a lg (3.2 X 10 ) + b②3.2 X 1019②一①得0.2 = a lg 1 6 X 1019, 0.2 = a lg 2.0.2 0.2 2所以a= =——=一.lg 2 0.3 32 【答案】34•设在海拔x m处大气压强是y Pa, y与x之间的函数关系式是y =C e kx，其中C, k是常量•已知某地某日在海平面的大气压强为1.01 x 105Pa, 1 000m高空的大气压强为0.90 x 105Pa,求600m高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.5 5 kx【解】将x = 0, y = 1.01 x 10 , x = 1 000 , y = 0.90 x 10 分别代入y = C e，得〕 5 k • 0 51.01 x 10 = C e , C= 1.01 x 10,p.90 x 105= C e1 000 k,即'0.90 x 105= Q1 000 k.将C= 1.01 x 105代入0.90 x 105= C e1 000k，得0. 90x 105= 1.01 x 10 5e1 000k，即0.9 = 1.01e 1 000k.两边取以e为底的对数（自然对数），得k = 丄In¥^ — 1.15 x 10 -4,1 000 1.01 '所以y = 1.01 x 105x e —1.15 x 10_4x.将x = 600 代入，得y= 1.01 x 10 x e —1.15 x 10 x 600~0.943 x 10.答：在600m高空的大气压强约为0.943 x 10 5Pa.2019-2020年高中数学322函数模型的应用实例课时跟踪检测新一、选择题 1 •一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m 倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是（）C.12 m- 1D.1\m- 12.某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4 000辆次，存车费为：电动自行车 0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车存车 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则y 与 x 的函数关系式为（）A. y = 0.2 x (0 W x W 4 000)B. y = 0.5 x (0 W x w 4 000)C. y =- 0.1 x +1 200(0 w x W4 000)D. y = 0.1 x + 1 200(0 w x w 4 000)3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）（1）这几年生活水平逐年得到提高；（2）生活费收入指数增长最快的一年是 xx 年；（3）生活价格指数上涨速度最快的一年是 xx 年；（4）虽然xx 年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善. A. 1C. 34. 一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么（）A. 人可在7秒内追上汽车B. 人可在10秒内追上汽车C. 人追不上汽车，其间距最少为 5米 A.—11 B.— 12 25米时，交通灯由D. 人追不上汽车，其间距最少为 7米行程超过2千米，超过部分按 3元/千米收费（不足1千米按1千米计价）；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算（不足1千米按1千米计价）.陈5.某城市出租汽车的收费标准是:起步价为6元，行程不超过 2千米者均按此价收费;先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是()A. [5,6) B . (5,6]C. [6,7) D . (6,7]二、填空题6•在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v = 2 000 • ln(1 + m •当燃料质量是火箭质量的________ 倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.7.一水池有2个进水口，1个出水口，两个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.其中一定正确的论断序号是_____________________ .&某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产•已知1该生产线连续生产n年的累计产量为f(n) = q n(n +1)(2 n+ 1)吨，但如果年产量超过150吨, 将会给环境造成危害•为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________ 年.三、解答题9•某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为 3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，末租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元, 未租出的车每月需要维护费40元.(1) 当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2) 当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？10.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为 3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x, 3x吨.⑴求y关于x的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费.答案课时跟踪检测(二十四)1. 选D设每月的产量增长率为x, 1月份产量为a,则a(1 + x)11= ma所以1 + x= 1^m即x= 1$v 1.2. 选C 由题意得y = 0.3(4 000 —x) + 0.2x =- 0.1 x + 1 200.3•选C由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在xx〜xx年最陡；故(2)正确；“生活价格指数”在xx〜xx年最平缓，故(3)不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故⑷正确.一 1 24. 选D设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s = q t，车与人的间距d= (s + 25)—1 2 1 26t = 2t —6t + 25 = 2(t —6) + 7,当t = 6时，d取得最小值为乙故选D.5. 选B 若按x千米(x€ Z)计价，则6+ (x —2) X 3+ 2X 3= 24,得x=6.故实际行程应属于区间(5,6].6. 解析：当v= 12 000 时，2 000 • ln(1 + 初=12 000 ,M M 6•••In(1 + 讣=6,「. m= e —1.答案：e6—17. 解析：从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口，故③不正确.答案：①②1&解析：由题意知，第一年产量为a i = 2x1 x 2x 3= 3；以后各年产量分别为a n=f(n)1 12 * 人 2 /口—f(n —1) =，n(n + 1)(2 n + 1) —^n^n —1)(2 n —1) = 3n(n € N)，令3n w 150 ,得K n w5 2? 1w n w7故生产期限最长为7年.答案：79. 解：(1)租金增加了900 元，900-60= 15,所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆.(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100 —x)辆.租赁公司的月收益为y元，y= (3 000 + 60x)(100 —x) —160 • (100 —x) —40x,其中x€ [0,100] , x € N,整理，得y = —60x2+ 3 120x + 284 0002=—60(x—26) + 324 560 ,当x = 26 时，y= 324 560 ,即最大月收益为324 560元.此时，月租金为 3 000 + 60X 26= 4 560(元).10. 解：(1)当甲用户的用水量不超过4吨，即5x W4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即：y= (5x+ 3x) x 1.80 = 14.4 x;同理可得4 4当V XW；时，y = 20.4 x — 4.8 ;5 3「 4 「当x>3时，y = 24x—9.6.0W x W 4,••• y= 20.4 x —4.8 ,L_24x—9.6 ,314.4 x，(2)由于y= f(x)在各段区间上均单调递增, 所以当x € |0, 4时，y w f <26.40 ; 当x € 5, 3 时，y w f 3 <26.40 ；当x € 4,+s 时，令24x—9.6 = 26.40，得x= 1.5. 2 丿•••甲用户用水量为5x= 7.5（吨），付费y1 =4X 1.80 + 3.5 X 3.00 = 17.70（元）.乙用户用水量为3x = 4.5（吨），付费y2= 4X 1.80 + 0.5 X 3.00 = 8.70（元）.。

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2019-2020学年高中数学322函数模型的应用实例课时作业新人教A版必修1知识点及角度难易度及题号基础中档稍难已知函数模型3、6810自建函数模型1、2、5、711函数模型的拟合9、412 A. 3 m B. 4 mC. 5 mD. 6 m解析：设隔墙的长为x m,矩形面积为S,则24 —4xS= x •2—=x(12 —2x)2 2=—2x + 12x= —2(x—3) + 18, (0< x<6)所以当x = 3时，S有最大值为18.答案：A4.今有一组实验数据如下表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.047.51218.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是()A. u= log 2tB. u= 2 —2t2— 1C. u = ~D. u= 2t —2解析：由散点图可知，图象不是直线，排除D图象不符合对数函数的图象特征，排除t 3当t = 3 时，2 —2= 2 —2= 6,而由表格知当t = 3时，U = 4.04，故模型U = 宁能较好地体现这些数据关系.故选2厂=4，A ；C.⑵ 当一条鲑鱼静止时，即 v = 0(m/s).答案：C5•从盛满20升纯酒精的容器里倒出 1升，然后用水加满，再倒出 1升混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系为 ___________ •解析：第一次倒完后，y = 19； + 宀19 192 第一次倒元后，y = 19X 20= 20^；6. 将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出 100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为 _____________ 元.解析：设销售单价应涨x 元，则实际销售单价为(10 + x )元，此时日销售量为(100 — 10x )个，每个商品的利润为(10 + x ) — 8= 2+ x (元)， •••总利润 y = (2 + x )(100 — 10x )2=—10x + 80x + 2002 *=—10(x — 4) + 360(0 v x v 10,且 x € N).•••当x = 4时y 有最大值，此时单价为 14元. 答案：14 7.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速1 Q可以表示为函数 v = - log 3^00，单位是m/s ，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.(1) 当一条鲑鱼的耗氧量是 2 700个单位时，它的游速是多少? (2) 计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.第三次倒完后,319 19 19y= 19X 20X 20= 27；第x 次倒完后,x19y = x -1 =答案：y = 20X1 2 700 3解：(1)由题意得v =彳。

2019-2020学年高中数学第三章函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例学案(含解析)新人教版必修1

3.2.2 函数模型的应用实例学习目标①了解函数拟合的基本思想,学会建立拟合函数模型解决实际问题;②借助信息技术,利用数据画出函数图象,从拟合简单的一次函数模型入手,掌握多角度观察函数图象的技能,探究出各种合适的拟合函数模型.在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想;③体验探究的乐趣,了解函数是描述变化规律的基本数学模型,培养学生分析、解决问题的能力.合作学习一、设计问题,创设情境大家已看到在课本第三章的章头图中,说的是有名的“澳大利亚的人兔大战”.859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,到1890年,新南威尔士州的兔子数量据估计就有3600万只.到1926年,全澳洲的兔子数量已经增长到了创纪录的100亿只.可爱的兔子变得可恶起来,100亿只兔子吃掉了相当于10亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛、羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.与之相应,图中话道出了其中的意蕴:对于一个种群的数量,如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下,那么它将呈指数增长;但在有限制的环境中,种群数量一般符合对数增长模型.前面我们学习过两种函数模型的应用,分别是利用给定函数模型解决实际问题、建立确定性的函数模型解决问题,那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下,又该如何解决实际问题呢?二、自主探索,尝试解决问题1:一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应的图象.再次探索:(1)将图中的阴影部分隐去,得到的图象有什么意义?(2)图中每一个矩形的面积的意义是什么?(3)汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系?它们关于时间的函数图象又有何关系?三、信息交流,揭示规律通过前面的分析例题,进行总结归纳.利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法:(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系;(2)利用待定系数法,确定具体函数模型;(3)对所确定的函数模型进行适当的评价;(4)根据实际问题对模型进行适当的修正.四、运用规律,解决问题我校不同身高的男、女同学的体重平均值如下表:(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映我校学生体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高的学生体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常.请同学们归纳解决问题的基本过程:五、变式训练,深化提高一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减.(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)六、限时训练,巩固提高请同学们在8分钟之内完成以下5个小题,比一比谁做的最快最好.1.已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=0.1x2-11x+3000,每台产品的售价为25万元,则生产者为获得最大利润,产量x应定为( )A.55台B.120台C.150台D.180台2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y={4x ,1≤x <10,x ∈N *,2x +10,10≤x <100,x ∈N *,1.5,x ≥100,x ∈N *.其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )A.15B.40C.25D.1303.某产品成本为a 元,在今后m 年内,计划使成本平均每年比上一年降低p %,则成本y 与经过的年数x 的函数关系式为( )A.y=a ·(1-p %)m (m ∈N *)B.y=a ·(1-m ·p %)x (x ∈N *且x ≤m )C.y=a ·(1-p %)x (x ∈N *且x ≤m ) D.y=a ·(1-p %)x x,(x ∈N *,且x ≤m )4.把长为12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,那么这两个正方形面积之和的最小值是 .5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=12·log 3x100,单位是m/s,其中O 表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少? (2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.七、反思小结,观点提炼 1.课堂作业课本P 104练习第1,2题;P 106练习第1,2题.2.以小组中1人总结,3人倾听的方式,对本课内容进行自主小结.参考答案二、自主探索,尝试解决问题1:(1)S=360,阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km .(2)s={50x +2004,0≤x <1,80(x -1)+2054,1≤x <2,90(x -2)+2134,2≤x <3,75(x -3)+2224,3≤x <4,65(x -4)+2299,4≤x ≤5.函数图象如图(2)略四、运用规律,解决问题问题(1)的探究①通过学生自主活动分析数据,发现本题只给出了通过测量得到的数据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机,画出它们的散点图.教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近,从而选择这个函数模型.由图可发现指数型函数y=a·b x的图象可能与散点图的吻合较好,可选之.③教师再问:如何确定拟合函数模型中a,b值.④教师把学生每4人分成一小组合作探究,求出拟合函数模型中a,b的值,然后画出图形,得到的拟合函数效果如何?⑤教师下去巡视后,请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解.组1:选取(168,61.4),(172,66.2)两组数据,用计算器算出a=2.6,b=1.019.这样得到函数模型为y=2.6×1.019x,画出这个函数的图象与散点图.我们发现,函数y=2.6×1.019x不能很好地反映我校学生身高与体重关系.组2:选取(154,46.5),(168,61.4)两组数据,用计算器算出a=2.2,b=1.02.这样得出函数模型为y=2.2×1.02x,画出这个函数的图象与散点图.我们发现,散点图上的点基本上或大多数接近函数y=2.2×1.02x的图象,所以函数y=2.2×1.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系.(2)如一男生身高175cm,体重80kg,他的计算如下:将x=175代入y=2.2×1.02x ,得y=2.2×1.02175≈70.4. 由于80÷70.4≈1.136<1.2. 所以,该男生体重正常. 五、变式训练,深化提高解:(1)最初的质量为500g .经过1年后,ω=500(1-10%)=500×0.91;经过2年后,ω=500×0.9(1-10%)=500×0.92;由此推知,t 年后,ω=500×0.9t.(2)解方程500×0.9t =250,则0.9t=0.5, 所以t=lg0.5lg0.9=-lg22lg3-1≈6.6(年), 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年. 六、限时训练,巩固提高 1.D 2.C 3.C 4.92cm 25.解:(1)由题意得v=12log 32700100=32(m/s). (2)当一条鱼静止时,即v=0(m/s), 则0=12log 3x100, 解得O=100.所以当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是32m/s,当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100.。

2019-2020年高中数学 3.2函数模型及应用同步辅导新人教A版必修1

2019-2020年高中数学 3.2函数模型及应用同步辅导新人教A版必修1学点：探究与梳理自主探究:探究问题１：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜千克，需要支付元，把表示为的函数；（2）正方形的边长为，面积为，把表为的函数；（3）某保护区有1个单位面积的湿地，由于保护区的努力湿地每年以5%的增长率增长，经过年后湿地的面积为，把表示为的函数.①分别用表格、图象表示上述函数；②指出它们属于哪种函数模型；③比较它们的增长差异；④另外还有哪几种函数模型；探究问题２：某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲每张球台每小时5元，乙按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元，小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙租一张球台开展活动小时的收费为元，试求和.探究问题３：某市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长，已知2000年为第一年，前4年年产量（万件）如下表表示：（1）画出2000～2003年该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之。

（2）xx年（即）因受到某外国对我国该产量反倾销的影响，年产量将减少30%，试根据所建立的函数模型，确定xx年的年产量应该约为多少？重点把握１．研究实际问题时，常需要施以以下一系列过程。

（1）阅读理解，认真审题，分析出已知什么，求什么，涉及到哪些知识。

（2）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题。

（3）运用所学知识研究函数问题，得到函数问题的解。

（4）将函数问题的解翻译成实际问题的解，从而解决实际问题。

２.解题时要分辨清楚量变的本质，以防出错.例如. 某企业的产品成本，前两年每年递增20%，经过引进先进的技术设备，并实施科学管理，后两年的产品成本每年递减20%，则该企业的产品现在的成本与原来相比（）A ．不增不减B ．约增8%C ．约减5%D ．约减8% 分析：此题容易误选A,认为增加与减少比率相同，从而使结果不变,实际应是22(120%)(120%)8%a a a+--≈-现在的成本-原来成本＝原来的成本，故应选D. ３．解答实际问题时要注意其实际意义.例如.某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A ．45.606B ．45.6C ．46.8D ．46.806分析：设甲地销售辆，则乙地销售辆.总利润当时，获得最大利润45.606万元.该解答中不为整数，在实际问题中是不可能的，因此当时，获得最大利润万元.故选B题例：解析与点拨例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间（分）与通话费（元）的关系如图所示.（1）分别求出通话费与通话时间之间的函数关系式；（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.解析：（1）由图象可设，把点分别代入得（2）令即则当时，，两种卡收费一致；当时，，即使民卡便宜；当时，，即如意卡便宜；点拨：函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求，本题运用了待定系数法求函数解析式，然后利用函数解析式解决实际问题。

2019-2020人教A版数学必修1 第3章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例

3.2.2函数模型的应用实例1．常用函数模型思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？[提示]利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()AC．指数函数模型D．对数函数模型A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.]2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到() A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1)得，100＝a log2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是() A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)D ．y ＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)D [由题意知，变速车存车数为(2 000－x )辆次，则总收入y ＝0.5x ＋(2 000－x )×0.8＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)．]4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．7 [设二次函数y ＝a (x －6)2＋11，又过点(4，7)，所以a ＝－1，即y ＝－(x －6)2＋11.解y ≥0，得6－11≤x ≤6＋11，所以有营运利润的时间为211.又6<211<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12th ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？[解] 先设定半衰期h ，由题意知 40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h，即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解之，得h ＝10，故原式可化简为T －24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，当T ＝32时，代入上式，得 32－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10＝864＝18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴t ＝30. 因此，需要30 min ，可降温到32 ℃.已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．1.某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为： P ＝⎩⎨⎧t ＋20（0<t <25）－t ＋100（25≤t ≤30）.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？[解] 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800（0<t <25），t 2－140t ＋4 000（25≤t ≤30）.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900，所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900，所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)．结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大.畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域． (2)求羊群年增长量的最大值．思路点拨：畜养率―→空闲率―→y 与x 之间的函数关系――→单调性求最值[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m ，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m (0<x <m )．(2)对原二次函数配方，得y ＝－km (x 2－mx )＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4，即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4.自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？提示：不一定．2．对于收集的一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x n ，y n )我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．【例3】某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：(1)画出2015～(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？思路点拨：描点――――→依散点图选模――――→待定系数法求模――→误差验模→用模[解] (1)画出散点图，如图所示． (2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝1.5，b ＝2.5， ∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1， f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．函数拟合与预测的一般步骤是： (1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y ＝a ·b x 得： ⎩⎨⎧7.9＝a ·b 70，47.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x 得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．1.思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． ( ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． ( ) (3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数A [由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝0.957 6x100 B ．y ＝(0.957 6)100x C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.957 6100xD ．y ＝1－0.042 4x100A [由题意可知y ＝(95.76%)x 100，即y ＝0.957 6x100.]4．已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50 km/h 的速度返回A 地．(1)把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象． [解] (1)①汽车由A 地到B 地行驶t h 所走的距离s ＝60t (0≤t ≤2.5)． ②汽车在B 地停留1小时，则汽车到A 地的距离s ＝150(2.5＜t ≤3.5)． ③由B 地返回A 地，则汽车到A 地的距离s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t (3.5＜t ≤6.5)．综上，s ＝⎩⎨⎧60t （0≤t ≤2.5），150（2.5＜t ≤3.5），325－50t （3.5＜t ≤6.5），它的图象如图(1)所示．(1) (2)(2)速度v (km/h)与时间t (h)的函数关系式是v ＝⎩⎨⎧60（0≤t ≤2.5），0（2.5＜t ≤3.5），－50（3.5＜t ≤6.5），它的图象如图(2)所示．。