2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用直线和圆典型习题提数学素养(7页)

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2020新高考文科数学二轮培优直线与圆考点考向考题点拨(19页)

2020新高考文科数学二轮培优直线与圆考点考向考题点拨「考情研析」 1.考查直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题． 2.考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题.核心知识回顾1.直线的斜率直线过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，则斜率k ＝□01y 2－y 1x 2－x 1＝□02tan α. 2．直线的两种位置关系3．三种距离公式(1)两点间的距离：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝□01 (2)点到直线的距离：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝□02(3)两平行线的距离：若直线l 1，l 2的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C2＝0(C 1≠C 2)，则两平行线的距离d ＝034．圆的方程(1)标准方程：□01(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)一般方程：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是□02D 2＋E 2－4F >0，其中圆心是□03⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝0425．直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r .6．两圆的位置关系设圆O 1的半径为r 1，圆O 2的半径为r 2.热点考向探究考向1 直线的方程及应用例1 (1)(2019·天津九校联考)“m ＝2”是“直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析若直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行，则m 2＝4，m ＝±2，当m ＝2时，直线l 1：2x ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋2y －3＝0，两直线重合，舍去，所以“直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行”等价于“m ＝－2”，所以“m ＝2”是“直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行”的既不充分也不必要条件．故选D ．(2)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1 答案 D解析 ①当a ＝0时，y ＝2不符合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D ．(3)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案 B解析因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0，故选B ．(1)在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件．(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．1．(2019·湘赣十四校高三联考)若cos θ＝45，sin θ＝－35，则角θ的终边所在的直线方程为( )A ．3x －4y ＝0B ．4x ＋3y ＝0C ．3x ＋4y ＝0D ．4x －3y ＝0答案 C解析因为cos θ＝45，sin θ＝－35，所以tanθ＝sinθcosθ＝－34，因此角θ的终边所在的直线斜率为－34.故选C ．2．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A(3，2)，B(a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2 答案 B解析由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，即k AB ＝2－(－1)3－a＝1，∴a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b ＝1(b ≠0)，∴b ＝－2(经检验满足题意)，∴a ＋b ＝－2，故选B ．3．直线x cosα＋y ＋b ＝0(α，b ∈R )的倾斜角的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 ∵直线的斜率k ＝－cos α，α∈R ，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 考向2 圆的方程及应用例2 (1)(2019·成都市高三二诊)已知a ∈R 且为常数，圆C ：x 2＋2x ＋y 2－2ay ＝0，过圆C 内一点(1,2)的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，当弦AB 最短时，直线l 的方程为2x －y ＝0，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析圆C ：x 2＋2x ＋y 2－2ay ＝0化简为(x ＋1)2＋(y －a )2＝a 2＋1，圆心坐标为C (－1，a )，半径为a 2＋1.如图，由题意可得，当弦AB 最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x －y ＝0垂直．则a －2－1－1＝－12，即a ＝3.故选B ． (2)与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2答案 D解析由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.(3)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．不存在答案 A解析由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．设过点P (2，0)的直线为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线AB 的距离d ＝|2k |1＋k 2，因为S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝sin ∠AOB ，所以当∠AOB ＝π2时，S △AOB 取最大值，此时圆心O 到直线AB 的距离为1，由|2k |1＋k 2＝1得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去，故直线l 的倾斜角为150°.(1)求圆的方程就是求出圆心坐标和圆的半径，一般是根据已知条件写出方程即可．(2)方程Ax 2＋By 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(AB ≠0)表示圆的充要条件是A ＝B 且D 2＋E 2－4AF >0.1．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析设P (x ，y )，则由|P A |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|2＝2<2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个，选C ．2．(2019·宜宾市高三第二次诊断)过直线3x －4y －14＝0上一点P 作圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝9的切线，切点分别为A ，B ，则当四边形P ACB 面积最小时，直线AB 的方程是( )A ．4x －3y ＋2＝0B ．3x －4y ＋2＝0C ．3x －4y －2＝0D ．4x －3y －2＝0 答案 B解析根据题意，圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝9的圆心C 为(－1,2)，半径r ＝3；点P 为直线3x －4y －14＝0上一点，P A ，PB 为圆C 的切线，则P A ⊥CA ，PB ⊥CB ，则有|P A |＝|PB |＝|PC |2－r 2＝ |PC |2－9，则S 四边形P ACB ＝2S △PCA ＝2×12×|CA |×|P A |＝3|PC |2－9，则当|PC |取得最小值时，四边形P ACB 面积最小，此时CP 与直线3x －4y －14＝0垂直，且|CP |＝ |3×(－1)－4×2－14|32＋(－4)2＝5，则C 到直线AB 的距离d ＝95，又由CP ⊥AB ，则直线AB 与直线3x －4y －14＝0平行，设直线AB 的方程为3x －4y －m ＝0，则d ＝|3×(－1)－4×2－m |32＋(－4)2＝95，解得m ＝－2或－20(舍去)，则直线AB 的方程为3x －4y ＋2＝0.故选B ．3．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 (x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)，其关于y ＝33x 对称的点为(x ，y )，则⎩⎨⎧ y 2＝33·2＋x 2，y x －2·33＝－1，解得x ＝1，y ＝3，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，故选D ．考向3 直线与圆、圆与圆的位置关系例3 (1)(2019·东北三省高三第二次模拟)圆x 2－4x ＋y 2＝0与圆x 2＋y 2＋4x＋3＝0的公切线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 D解析 x 2－4x ＋y 2＝0⇒(x －2)2＋y 2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为 2.x 2＋y 2＋4x ＋3＝0⇒(x ＋2)2＋y 2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1.圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D ．(2)一条光线从点(1，－1)射出，经y 轴反射后与圆(x －2)2＋y 2＝1相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 答案 C解析由题意可知，反射光线必过(－1，－1)点，设反射光线斜率为k ，则反射光线为kx －y ＋k －1＝0，由题意可知|2k ＋k －1|1＋k2<1，∴0<k <34.∴入射光线所在直线的斜率取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.故选C ． (3)已知直线l ：ax ＋by ＋1＝0是圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的对称轴，且直线l 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0答案 D解析 x 2＋y 2－6y ＋5＝0化为标准方程x 2＋(y －3)2＝4，其圆心为(0,3)，因为直线l ：ax ＋by ＋1＝0是圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的对称轴，故3b ＋1＝0，得b ＝－13，又直线l 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，故－a b ＝1，所以a ＝13，故直线l 的方程为13x －13y ＋1＝0，即x －y ＋3＝0，选D ．(1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据圆的几何性质求解．(2)直线与圆相交涉及弦长问题时，主要依据弦长的一半、弦心距、半径的关系求解．(3)经过圆内一点，垂直于过这点的半径的弦最短．1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 A解析由题意知，点P 在以原点O (0,0)为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在圆C 上，所以只要两个圆有交点即可．圆心C (3,4)到O (0,0)的距离为5，所以|m －2|≤5≤m ＋2，解得3≤m ≤7，即m 的最大值为7.故选A ．2．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则k ＝( )A ．±33B ．±3C ．33D ． 3答案 A解析圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心坐标为(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，∵直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，∴由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322，即4＝4k 2k 2＋1＋3，解得k ＝±33.故选A ．3．(2019·朝阳区高三第一次模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx －2，若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线l 1，l 2，使得l 1⊥l 2，则实数k 的取值范围是( )A ．[0,2－3)∪(2＋3，＋∞)B ．[2－3，2＋3]C．(－∞，0)D．[0，＋∞)答案 D解析圆心C(2,0)，半径r＝2，设P(x，y)，因为两切线l1⊥l2，如右图，P A⊥PB，由切线性质定理，知P A⊥AC，PB⊥BC，|P A|＝|PB|，所以四边形P ACB 为正方形，所以|PC|＝2，则有(x－2)2＋y2＝4，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．直线l：y＝kx－2过定点(0，－2)，直线方程即kx－y－2＝0，只要直线l与P点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d＝|2k－2|k2＋1≤2，解得k≥0，即实数k的取值范围是[0，＋∞)．故选D．真题押题『真题模拟』1．(2019·厦门模拟)“C＝2”是“点(1，3)到直线x＋3y＋C＝0的距离为3”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若点(1，3)到直线x＋3y＋C＝0的距离为3，则有|1＋3＋C|12＋(3)2＝3，解得C＝2或C＝－10，故“C＝2”是“点(1，3)到直线x＋3y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，选B．2．(2019·山东省高三第一次大联考)已知直线l：x－3y＝0与圆C：x2＋(y －1)2＝1相交于O，A两点，O为坐标原点，则△COA的面积为()A．34B．32C． 3 D．2 3答案 A解析由题意，直线l ，圆C 均过原点，△COA 为等腰三角形，且|CO |＝|CA |＝1，∠OCA ＝60°，所以S △COA ＝12|CO |·|CA |·sin ∠OCA ＝12×12×32＝34.故选A ．3．(2019·唐山市第一中学高三下学期冲刺(一))过点P (－1，－1)且不垂直于y 轴的直线l 与圆M ：x 2＋y 2－2x －3＝0交于A ，B 两点，点C 在圆M 上，若△ABC 是正三角形，则直线l 的斜率是( )A ．34B ．32C ．23D ．43答案 D解析根据题意得，圆M ：x 2＋y 2－2x －3＝0即(x －1)2＋y 2＝4，圆心M 为(1,0)，半径r ＝2，设正三角形ABC 的高为h ，由题意知M 为正三角形ABC 的中心，∴M 到直线l 的距离d ＝13h ，又h ＝32|AB |，即d ＝36|AB |，∴由垂径定理可得|AB |24＋d 2＝r 2＝4，可得|AB |＝23，∴d ＝1，由题意知设直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －1＝0，则有|2k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝43或0(舍去)．故选D ．4．(2019·合肥市高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0,1)，(0,3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx (k >0)关于y 轴对称，则k 的最小值为( )A ．233B ． 3C ．2 3D ．4 3 答案 D解析∵圆C经过(0,1)，(0,3)，∴圆心在(0,1)，(0,3)的垂直平分线y＝2上，又∵圆C与x轴正半轴相切，∴圆的半径为2.设圆心坐标为(x0,2)，x0>0，由x20＋(2－3)2＝4，得x0＝3，∴圆心坐标为(3，2)，设OM的斜率为k0，因为k>0，所以k0<0，当k0最大时k最小，设OM：y＝k0x(k0<0)，由图可知当y＝k0x与圆相切时k0最大，此时|3k0－2|1＋k20＝2，解得k0＝－43，此时k＝43，即k的最小值为43，故选D．5．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，则|AB|＝(－2－0)2＋(－1－3)2＝25，|AC|＝(－2－0)2＋(－1－m)2＝4＋(m＋1)2，BC＝|m－3|.∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2.因此r＝|AC|＝4＋(－2＋1)2＝ 5.『金版押题』6．由直线y＝3x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)引切线，若切线长的最小值为3，则r的值为()A ．2B ． 3C ． 2D ．1答案 D 解析从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心(3，0)到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心(3，0)到直线y ＝3x ＋1的距离为|(3)2＋1－0|(3)2＋(－1)2＝2，切线长的最小值为22－r 2＝3，解得r ＝1或r ＝－1(舍去)，选D ．7．已知P 是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形P ACB 的最小面积为2，则k 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．12答案 B解析 S 四边形P ACB ＝|P A |·|AC |＝|P A |＝|CP |2－|CA |2＝|CP |2－1，可知当|CP |最小，即CP ⊥l 时，其面积最小，由最小面积|CP |2－1＝2得|CP |min ＝5，由点到直线的距离公式得|CP |min ＝51＋k2＝5，因为k >0，所以k ＝2.选B ．配套作业一、选择题1．与直线3x －2y ＋7＝0关于y 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋2y ＋7＝0B ．3x ＋2y －7＝0C ．2x －3y ＋7＝0D ．3x －2y －7＝0 答案 B解析由题知，与直线3x －2y ＋7＝0关于y 轴对称的直线方程是3(－x )－2y ＋7＝0，即3x ＋2y －7＝0，故选B ．2．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1710B ．175C ．8D ．2答案 D 解析 ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 3．已知直线l 经过圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为5，则直线l 的方程为( )A ．x ＋2y ＋5＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋3＝0答案 C解析圆心C (1,2)，故k OC ＝2，|OC |＝5，所以l ⊥OC ，k l ＝－12，直线l的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选C ．4．(2019·芜湖市四校高二上学期期末联考)圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点P 到点Q (2,3)的距离的最小值为( )A ．2B ．1C ．3D ．4 答案 B解析圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点P 到点Q (2,3)的距离的最小值为圆心到点Q (2,3)的距离减去半径．∵圆x 2＋(y －3)2＝1的圆心坐标为C (0,3)，半径为r ＝1，∴|CQ |－r ＝2－1＝1，∴圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点P 到点Q (2,3)的距离的最小值为1.故选B ．5．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2－2mx ＋m 2≤4}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋2x －2my ≤8－m 2}，若A ∩B ＝A ，则实数m 的范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．[0,1]D ．(0,1) 答案 A解析设A ，B 表示的两圆的圆心分别为C 1，C 2，由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，则圆(x －m )2＋y 2＝4与圆(x ＋1)2＋(y －m )2＝9的关系是内切或内含，则|C 1C 2|＝(m ＋1)2＋m 2≤3－2，得m 2＋m ≤0，即－1≤m ≤0.6．已知点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k <233C ．－233<k <0D ．－233<k <233答案 D解析若x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示一个圆，则k 2＋4－4k 2＝4－3k 2>0，即－233<k <233.若过点P 所作圆的切线有两条，则点P 在圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y＋k 2＝0外．将P (1,2)代入，得k 2＋k ＋9>0.∵k 2＋k ＋9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＋354>0恒成立，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233. 7．(2019·内江、眉山等六市高三第二次诊断)若直线x －my ＋m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(－1,0)D ．(－2,0) 答案 D解析圆与直线联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，x －my ＋m ＝0，整理得(1＋m 2)y 2－2m ·(m ＋1)y ＋m 2＋2m ＝0.∵直线与圆相交且有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，Δ＝4m 2(m ＋1)2－4(m 2＋2m )·(m 2＋1)＝－8m >0，得m <0.∵圆(x －1)2＋y 2＝1上的点都在y 轴右侧及原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限．∴y 1y 2＝m 2＋2m 1＋m 2<0，解得－2<m <0，故选D ．8．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 是x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A．52－4 B．17－1C．6－2 2 D．17答案 A解析圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.则|PM|＋|PN|的最小值为52－4.9．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设p：0<r≤3，q：圆上至多有两个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于q，圆(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上至多有两个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，又圆心(1,0)到直线的距离d＝|1－3×0＋3|2＝2，则r<2＋1＝3，所以0<r<3，又p：0<r≤3，所以p是q的必要不充分条件，故选B．10．(2019·柳州市高三3月模拟)圆x2＋y2－4x＋3＝0关于直线y＝33x对称的圆的方程是()A ．(x －3)2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －3)2＝1答案 D解析由题意得，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0即为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(2,0)，半径为1.设圆心(2,0)关于直线y ＝33x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3， ∴所求圆的圆心坐标为(1，3)，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1.故选D ．11．(2019·山东师范大学附属中学高三第四次模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有OA →·OB→≥－2，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，22)C ．[2，＋∞)D ．[3，22)答案 B解析根据题意得，圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径r ＝2，设圆心到直线x ＋y －k ＝0的距离为d ，若直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，则d ＝|k |1＋1＝k 2<2，则有k <2 2. 设OA→与OB →的夹角即∠AOB ＝θ，若OA →·OB →≥－2，即|OA |·|OB |·cos θ≥－2，变形可得cos θ≥－12，则θ≤2π3.当θ＝2π3时，d ＝1，若θ≤2π3，则d ＝k 2≥1，解得k ≥2，则k 的取值范围为[2，22)．故选B ．二、填空题12．已知圆M ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．答案 x ＋3y ＝0解析 ∵圆M ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，∴圆心M 的坐标为(－1，－3)，∴k OM ＝0＋30＋1＝3，∴此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线的斜率k ＝－13，∴该弦所在的直线方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0. 13．已知P (2,0)为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2my ＋m 2－7＝0(m >0)内一点，过点P 的直线AB 交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 面积的最大值为4，则正实数m 的取值范围为________．答案 3≤m ＜7解析圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋m )2＝8，则圆心坐标为(1，－m )，半径r ＝22，S △ABC ＝12r 2sin ∠ACB ＝4sin ∠ACB ，当∠ACB ＝90°时，△ABC 的面积取得最大值4，此时△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝2r ＝4，则点C 到直线AB 的距离等于2，故2≤PC <22，即2≤1＋m 2<22，∴4≤1＋m 2<8，即3≤m 2<7，∵m >0，∴3≤m <7.14．(2019·宜宾市高三第二次诊断)已知直线l 1：3x ＋y －6＝0与圆心为M (0,1)，半径为5的圆相交于A ，B 两点，另一直线l 2：2kx ＋2y －3k －3＝0与圆M 交于C ，D 两点，则AB 的中点坐标为________，四边形ACBD 面积的最大值为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 5 2 解析以M (0,1)为圆心，半径为5的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋(y －1)2＝5，解得A (2,0)，B (1,3)，∴AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.直线l 2：2kx ＋2y －3k －3＝0恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，要使四边形的面积最大，只需直线l 2过圆心即可，即CD 为直径，此时AB 垂直CD ，|AB |＝(2－1)2＋(0－3)2＝10，∴四边形ACBD 面积的最大值为S ＝12·|AB |·|CD |＝12×10×25＝5 2.。

2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用课件：专题五第1讲直线与圆

三种距离公式
[知识整合]
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离： |AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.
第九页，编辑于星期日：一点三十三分。
(2)点到直线的距离：d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|(其中点为(x0，y0)，直线方程为 Ax＋By＋C ＝0)． (3)两平行直线间的距离：d＝ |CA2－2＋CB1|2(其中两平行直线的方程分别为 l1：Ax＋By＋ C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
离为 1，则 a＝( )
A．－43
B．－34
C. 3
D．2
解析：选 A.由圆的方程可知圆心(1，4)．由点到直线的距离公式可得|a×1a＋2＋4－1 1|＝
1，解得 a＝－43，故选 A.
第三页，编辑于星期日：一点三十三分。
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＋2y－3＝0 交于 A，B 两点，则|AB|
为
l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，所以
l1
与
l2
的距离
d＝6－223＝8
3
2 .
第十三页，编辑于星期日：一点三十三分。
3．若直线 l1：y＝kx－k＋2 与直线 l2 关于点(2，1)对称，则直线 l2 过定点( )
A．(3，1)
B．(3，0)
C．(0，1)
D．(2，1)
解析：选 B.因为 y＝kx－k＋2＝k(x－1)＋2，所以 l1：y＝kx－k＋2 过定点(1，2)．设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x，y)，则21＋＋22 yx＝＝12，，得xy＝＝03，，所以直线 l2 过定点(3，0)．故选 B.

2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件：7.4.1 直线与圆及圆锥曲线

��-��
=
��+�� ,p-t=��+��,
所以 p-t=t,t=��2��,则 T 为原点 O.
-12-
4.圆锥曲线的弦长 (1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为yy0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为x=ty+a; (2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,
∴��1-��2
��1-��2
=
2�� 1+��2
=
��0,即
kAB=��0.
-15-
6.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切; 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和另一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和另一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线.
-18-
2.圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法
(1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最
值时与之相关的一些问题.
(2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条

2020年高考数学文科二轮复习考情分析与核心整合课件：6.1直线圆

且切点为 A(－2，－1)，所以0－m＋－12×2＝－1，所以 m＝－2，线 l1：3x＋2y＝3＋2m 和直线 l2：2x－3y＝2－3m，易得 l1⊥l2，得 S 四边形 ABCD＝12AC·BD.由题可知，l1，l2 过圆心 C，所以 AC＝BD＝2，所以 S 四边形 ABCD＝2，故选 B.
的距离
d＝
2a ＝4 5
5
5，
解得 a＝2，
所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3，
所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
【答案】 (1)(x－1)2＋y2＝4 (2)(x－2)2＋y2＝9
圆的方程的求法 (1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程； (2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．一般采用待定系数法.
[例 2] (1)[2019·北京卷]设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为________；
(2)[2016·天津卷]已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，
5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为455，则圆 C 的方程为______________________．
答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)[2019·河北衡水中学模拟]已知经过点 A(－2,0)和点 B(1,3a)
的直线 l1 与经过点 P(0，－1)和点 Q(a，－2a)的直线 l2 互相垂直，则实数 a 的值为( )
A．0
B．1
C．0 或 1 D．－1 或 1
【解析】 (1)由直线 ax＋2y＋2a＝0 和直线 3x＋(a－1)y－a＋7 ＝0 平行，知 a(a－1)＝2×3 且 a(7－a)≠3×2a，解得 a＝3 或 a＝－ 2.所以“a＝3”是“直线 ax＋2y＋2a＝0 和直线 3x＋(a－1)y－a＋7 ＝0 平行”的充分而不必要条件．故选 A.

2020届高考数学(文)二轮强化专题卷(9)直线与圆

（9）直线与圆1、若直线()(213)a x a y ＋＋－＝与直线1230))2((a x a y －＋＋＋＝互相垂直，则a 等于( ) A ．1 B ．－1C ．±1D ．－22、直线102nmx y +-=在y 轴上的截距是1-,0y --的倾斜角的2倍,则( )A.m =,2n = B.m =,2n =-C.m =,2n =-D.m =,2n = 3、已知点()()2,3,2,2A B ---，直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A.1k ≥或4k ≤-B.41k -≤≤C.1k <-D.14k -≤≤4、若点1,M a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,N b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在直线:1l x y +=上,则点1,P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,Q b c⎛⎫ ⎪⎝⎭和l 的关系是( ) A. P 和Q 都在l 上B. P 和Q 都不在l 上C. P 在l 上, Q 不在l 上D. P 不在l 上, Q 在l 上5、过点1(1,)A －与()11B －，且圆心在直线20x y +=－上的圆的方程为（） A ．()22()314x y ++=－ B ．22()(114)x y +=－－ C ．()22314()x y ++=－D ．()()22114x y +++=6、若倾斜角为60︒的直线l 与圆22:630C x y y +-+=交于,M N 两点，且30CMN ∠=︒，则直线l 的方程为（） A30y -++=30y -+-=B20y -++=20y -+=C0y -=0y -D10y -+10y -+=7、过圆22:4O x y +=外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B 若||AB =则PA PB ⋅= ( )A ．4B ．6C ．D ．8、直线3430x y -+=与圆221x y +=相交所截的弦长为( )A ．45 B ．85C ．2D ．39、要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm 和1cm 的两个外切圆，该矩形面积的最小值是（） A.36B.72C. 80D.10010、若圆224x y +=与圆()222600x y ay a ++-=>的公共弦的长为a =（） A.2B.12C.111、已知三角形的一个顶点1(4,)A -，它的两条角平分线所在直线的方程分别为11:0l x y --=和20:1l x -=，则BC 边所在直线的方程为 .12、已知圆()()22:1225C x y -+-=,直线()()():211740R l m x m y m m +++--=∈,则直线l 被圆 C 所截得的弦的长度最小值为__________13、若过点(P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长AB =____________.14、若直线20x y m -+=与圆224680x y x y +-++=相切，则实数m = ______ ． 15、已知圆22:2430++-+=C x y x y1.已知不过原点的直线l 与圆C 相切,且在x 轴,y 轴上的截距相等,求直线l 的方程2.求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程答案以及解析1答案及解析：答案：C 解析：2答案及解析：答案：B 解析：3答案及解析：答案：A解析：()()23122104m m m m m -------≤∴≥或1m ≤-直线l 的斜率k m =-，所以4k -≥或1k -≤-，即4k ≤-或1k ≥，选A ．4答案及解析：答案：A 解析：5答案及解析：答案：B 解析：6答案及解析：答案：A解析：设直线l y m -+=，由30CMN ∠=︒，且圆的半径r C 到直线l 的距离为32m d -==，解得3m =，故直线l 的方程为30y -++=或30y -+-.7答案及解析：答案：B解析：由题可知圆心()0,0O ，半径2r =．因为AB =，2OA OB ==，所以2π3AOB ∠=，又PA OA ⊥，PB OB ⊥，所以π3APB ∠=．在Rt PAO △中，1π26APO APB ∠=∠=，所以PA =．又PB PA ==所以πcos cos 3PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠== 6．故选B ．8答案及解析：答案：B解析：因为直线3430x y -+=与圆221x y +=,那么圆心()0,0,半径为1,圆心到直线的距离为35则利用勾股定理可知相交所截的弦长为85,选B9答案及解析：答案：B 解析：如图，作WG SC ⊥，则四边形WDCG 是矩形，∵两圆相切，∴145WS SC WD =+=+=， ∵=413SG SC GC -=-=， ∴4WG =，∴矩形QHBA 的长1449AB AD CD CB =++=++=，宽448BH =+=， ∴矩形纸片面积的最小值28972 cm =⨯=.10答案及解析：答案：C 解析：圆224x y +=的圆心为原点O ，半径2r =.将方程224x y +=与方程22260x y ay ++-=相减，得：弦所在直线方程为1y a=，所以22212a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0a >，所以1a =. 故选C.11答案及解析：答案：230x y -+=解析：A 不在这两条角平分线上，因此12 ,l l 是另两个角的角平分线，点A 关于直线1l 的对称点A ，点A 关于直线2l 的对称点2A 均在边BC 所在直线l 上. 设()111,A x y ,则有11111114411022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨+-⎪--=⎪⎩，解得1103x y =⎧⎨=⎩∴()10,3A ，同理设()222,A x y ，易求得()22,1A --.∴BC 边所在直线方程为230x y -+=.故填230x y -+=.12答案及解析：答案：解析：13答案及解析：解析：14答案及解析：答案：-3或-13解析：15答案及解析：答案：1.∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零,设直线方程为+=x y a∴圆心()1,2c∴1=-a或3=a所求切线方程为: 10++=x y或30+-=x y2.当直线斜率不存在时,直线即为y轴,此时,交点坐标为()()0,1,0,3线段长为2, 符合故直线0=x当直线斜率存在时,设直线方程为=y kx,即0-=kx y由已知得,圆心到直线的距离为13 14 =⇒=-k直线方程为34 =-y x综上,直线方程为30,4 ==-x y x解析：。

2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题及答案解析(10页)

2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.5.(2019天津河北区高三二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P(2,1),且短轴长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与椭圆C交于另一点B.设O为坐标原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为,求k的值.参考答案专题突破练24直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).已知圆M的方程为x2+y2=r2,由题意得r==2,所以圆M的方程为x2+y2=4.由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)略.2.(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2.所以圆C1和C2相交.(2)解将圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d==3,故两圆的公共弦长为2-=2.3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=--.从而--,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.5.解(1)由题意得解得∴椭圆C的方程为=1.(2)直线AB与直线OP平行,证明如下:由题意知,直线PA的斜率存在且不为零.PA,PA'关于l:x=2对称,则直线PA与PA'斜率互为相反数.设直线PA:y-1=k(x-2),PB:y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得(4k2+1)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0, -∴2x1=--.∴x1=--.同理,x2=-.∴x1-x2=-.∵y1=k(x1-2)+1,y2=-k(x2-2)+1,∴y1-y2=k(x1+x2)-4k=-.∵A在第四象限,∴k≠0 且A不在直线OP上,∴k AB=-.-又k OP=,∴k AB=k OP.故直线AB与直线OP平行.6.解(1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=,即F2(,0),故c=.因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(在椭圆上,故有=1.联立方程组解得所以椭圆方程为=1.(2)因为直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD的中点,所以QM与直线l2垂直.又因为直线l1与直线l2垂直,所以QM与直线l1平行.所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离.即点M到直线AB的距离为d=.设点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组解得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ=b2-4ac=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,由韦达定理可得--则|x1-x2|=----.所以AB=|x1-x2|=.所以△MAB的面积为.所以.即·|k|=,两边同时平方,化简得,28k4-47k2-18=0,解得k2=2或k2=-(舍).故k=±.此时l2:y=±x+1.圆心Q到l2的距离h=-<1成立.综上所述,k=±.。

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第13讲直线与圆练习2

第13讲直线与圆[考情分析] 本讲内容主要以考查求直线和圆的方程，直线与圆和圆与圆的位置关系等问题为主，其中含参数问题为命题的热点，一般以选择、填空的形式出现，难度不大．热点题型分析热点1 直线方程1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，其中k 为直线斜率，(x 0，y 0)为直线上一点； (2)斜截式：y ＝kx ＋b ，其中k 为直线斜率，b 为直线纵截距； (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；其中(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为直线上两点； (4)截距式：x a ＋y b＝1，其中a 为直线的横截距，b 为直线的纵截距； (5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0，其中A 2＋B 2≠0. 2.直线平行与垂直的判定若两直线方程为l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．3.三种距离公式(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离：|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12；(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(3)两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为：d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.1.下列有关直线的四个命题中，真命题为( ) A.直线的斜率为tan α，则其倾斜角为αB.经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示C.经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示D.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交答案 C解析对于A ，如tan225°＝1可以看作是一直线斜率，但是225°并不为直线倾斜角；对于B ，当直线垂直于x 轴时，不能用点斜式写直线方程；对于D ，当两直线方程组成的方程组有无穷多个解时，两条直线重合，并不是相交的关系；对于C ，当x 1≠x 2时，其直线斜率为kP 1P 2＝y 1－y 2x 1－x 2，则由点斜式可得方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1，也满足(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)，故C 正确.2.已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A.－4 B ．－2 C ．0 D ．2 答案 B解析由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，即k AB ＝2－－13－a ＝1，所以a ＝0；由l 1∥l 2知－2b＝1，则b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.故选B.1.与直线的斜率和倾斜角有关的问题，往往容易忽略倾斜角的取值范围．如第1题，不关注范围就容易错选A 选项．因此解题时要关注斜率和倾角的函数关系(特别是倾角的范围)，即k ＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π；求范围的问题时，要结合正切函数图象具体问题具体分析.2.在求直线方程时要合理选择方程形式，特别是要考虑当直线斜率不存在时，是否满足条件．如第1题，未考虑此情况，就容易错选B 选项．因此要注意几种直线方程形式的局限性，即点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直；截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3.在研究两直线位置关系问题中不要忽视斜率不存在的情况．如第2题，先求出a ＝0即l 1的斜率存在，否则需要考虑b ＝0的情况；其中解两条直线平行的问题时，求出相应参数值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况；利用平行线间距离公式计算距离时，要注意两条直线方程中x 与y 的系数是否一致.热点2 圆的方程求圆的方程的两种方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而利用圆的标准方程求出圆的方程；(2)待定系数法：先设出圆的方程，再列出满足条件的方程(组)求出各系数，进而求出圆的方程，此种方法多以设圆的一般方程求解．1.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为__________________．答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析解法一：所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a )．又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6， ∵圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即2a －322＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 解法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝a －b －322＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① ∵所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0. ③联立①②③，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.2.(2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析因为a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则a 2＝a ＋2，所以a ＝－1或2.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，其中D 2＋E 2－4F ＝1＋4－10＝－5<0，所以该方程不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心为(－2，－4)，半径为5.1.确定圆方程时可以采取两种方法：一是如第1题解法一利用圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径即可；二是解法二利用待定系数法，此法常设圆的一般方程求解．2.分析二元二次方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，如果忽略其成立的条件第2题容易得出两个结论．因此解题时可以直接判断D2＋E2－4AF>0是否成立；也可以配方后判断方程的右侧是否大于0.热点3 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系(1)几何法(d－r法)：即圆心到直线的距离d与圆半径r进行比较，d<r⇔直线与圆相交；d＝r⇔直线与圆相切；d>r⇔直线与圆相离；(2)判别式法：设直线l：Ax＋By＋C＝0…①，圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r2…②，由①与②组成方程组M，消去x(或y)后的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆相交；Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ<0⇔直线与圆相离．2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别是R，r(R>r)；圆心距为d；两圆方程联立的方程组为M，则两圆的位置关系如下：1.(2018·全国卷Ⅱ)过抛物线y 2＝4x 上的点P 作圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0的切线PA 和PB ，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为( )A. 5B. 6C.7 D ．2 2 答案 C解析如图所示，四边形PACB 由两个全等的直角三角形PAC 和PBC 构成，因此当PC 长度最小时，四边形PACB 面积取得最小值．由于P 在抛物线y 2＝4x 上，设P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 24，y ，∵x 2＋y 2－6x ＋8＝0，整理得(x －3)2＋y 2＝1， ∴C 点坐标为(3,0)，所以|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 24－32＋y 2＝y 416－12y 2＋9，由于y ∈R ，所以当y ＝±2时，|PC |min ＝2 2.又圆C 的半径为1，此时|PA |＝7，所以四边形PACB 面积的最小值为7.故选C.2.(2019·石家庄模拟)设圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( )A.4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2 答案 C解析因为圆C 1，C 2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a ，a )，则|a |＝a －42＋a －12，解得a ＝5＋22或a ＝5－22，可取C 1(5＋22，5＋22)，C 2(5－22，5－22)，故|C 1C 2|＝422＋422＝8.故选C.3.(2019·浙江高考)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________.答案－25解析根据题意画出图形，可知A (－2，－1)，C (0，m )，B (0,3)，则|AB |＝－2－02＋－1－32＝25， |AC |＝－2－02＋－1－m2＝4＋m ＋12，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ， ∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2. 即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋－2＋12＝ 5.1.讨论直线与圆、圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．2.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上的点距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上点与另一圆上点的距离最值问题，可以转化为两圆心之间的距离问题.热点4 交汇题型直线与圆的问题，很多时候常常需要借助代数坐标化，将动态问题转变为函数问题，因此圆的相关知识，常与向量、不等式、三角函数、概率等问题交汇考查，凸显坐标法与数形结合三位一体的命题理念，有效地考查解析几何的基本思想．交汇点一与向量交汇典例1 (2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A.3 B ．2 2 C. 5 D ．2解析建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.答案 A平面向量与圆的交汇是解析几何的一个热点内容，在高考中一直是考查的重点．解题时一方面要能够正确分析向量表达式，将它们转化为图形中的相应位置关系；另一方面还要善于运用向量的运算来解决问题.(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 [－52，1]解析解法一：因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52)．因为A (－12,0)，B (0,6)，所以PA →＝(－12－x ，－50－x 2)或PA →＝(－12－x ，50－x 2)，PB →＝(－x,6－50－x 2)或PB →＝(－x,6＋50－x 2)．因为PA →·PB →≤20，先取P (x, 50－x 2)进行计算，所以(－12－x )(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，即2x ＋5≤ 50－x 2.当2x ＋5≤0，即x ≤－52时，上式恒成立；当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2，解得－5≤x ≤1，即－52≤x ≤1.故x ≤1.同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．解法二：设P (x ，y )，则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y )．∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1.又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1].交汇点二与不等式交汇典例2 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，若点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分，则1a ＋1b的最小值为________．解析圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，则直线l 与圆C 相离，设圆心到直线的距离为d ，则d －r ＝1，可得|9＋16＋m |9＋16＝6，解得m ＝－55或m ＝5(舍去)．因为点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分，所以3a ＋4b ＝55，a >0，b >0.则1a ＋1b ＝155⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (3a ＋4b )＝155⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋4b a ＋3a b≥155⎝⎛⎭⎪⎫7＋24b a ·3a b ＝7＋4355，当且仅当a ＝－55＋11033，b ＝55－5532时取等号．答案7＋4355一般来说，处理直线与圆的位置关系，常利用圆心到直线的距离与半径大小的关系构造不等式；或是运用图形(象)明显(或挖掘隐含)的几何性质与特征，转化为与之等价的代数不等式，通过解不等式(组)求出相应的范围与最值问题.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是( )A.4 B ．817 C ．2 D.81717答案 D解析由题意知直线ax ＋by ＋1＝0过圆心(－4，－1)，即4a ＋b ＝1.由基本不等式可知ab ≤14·⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝116，当且仅当4a ＝b ＝12时等号成立，即直线方程为18x ＋12y ＋1＝0，所以原点到直线的距离为d ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝81717.故选D.交汇点三与概率交汇典例3 (2019·太原市一模)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝k (x ＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.1B.2－2C.3－3D.2－3 解析因为当直线l 与圆相离时，圆心(0,0)到直线kx －y ＋2k ＝0的距离大于半径，所以|2k |k 2＋1>1，即k >33或k <－33.所以概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋12＝3－33.故选C.答案 C与直线和圆“交汇”的概率问题一般要先画出满足条件的几何图形，一方面根据直线与圆、圆与圆的位置关系构建不等关系，利用几何概型公式进行计算；二是利用条件确定符合条件的参数取值，利用古典概型公式或几何概型公式进行计算.将一个骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为p 1，相交的概率为p 2，则点P (p 1，p 2)与直线l 2：x ＋2y ＝2的位置关系是( )A.P 在直线l 2上B ．P 在直线l 2的下方C.P 在直线l 2的上方 D ．无法确定答案 B解析易知当且仅当a b ≠12时两条直线相交，而a b ＝12的情况有三种：a ＝1，b ＝2(此时两条直线重合)；a ＝2，b ＝4(此时两直线平行)；a ＝3，b ＝6(此时两直线平行)．而抛掷两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交的概率p 2＝1－336＝1112，两条直线平行的概率p 1＝236＝118，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫118，1112，易判断该点在直线l 2：x ＋2y ＝2的下方．故选B.真题自检感悟1.(2019·北京高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 为直线x ＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l 相切，∴圆心到l 的距离为圆的半径， ∴r ＝2.∴圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.2.(2019·天津高考)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)相切，则a 的值为________．答案 34解析把圆的参数方程化为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r ＝2.又直线方程为ax －y ＋2＝0，且直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|2a －1＋2|a 2＋－12＝2，所以a ＝34.3.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．答案 3解析根据已知作图(如图)，因为AB 为圆C 的直径，所以∠ADB ＝90°.又因为AB →·CD →＝0，C 是AB 中点，所以△ADB 是等腰直角三角形．设直线AB 的倾斜角为α，所以α＝∠AOB ＋∠OAB ，则tan α＝tan(∠AOB ＋∠OAB )＝tan ∠AOB ＋tan ∠OAB 1－tan ∠AOB ·tan∠OAB ＝2＋11－2×1＝－3，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －5，y ＝2x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3.4.(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．答案 6解析解法一：根据题意作出图形，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝x ＋22＋y 2，cos θ＝|A Q →||A P →|＝x ＋2x ＋22＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.解法二：如解法一图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．即AO →·AP →的最大值为6.专题作业一、选择题1.过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A.x ＝2 B ．y ＝1 C ．x ＝1 D ．y ＝2答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.故选A.2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3 答案 D解析直线方程为y ＝3x ，圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，则圆心(0,2)到直线的距离d ＝|3×0－2|32＋－12＝1.由垂径定理知，所求弦长为222－12＝2 3.故选D. 3.已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A.150° B．135° C．120° D．不存在答案 A解析由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝2 2－2k21＋k2，所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k 2×2 2－2k21＋k2 ≤2k 2＋2－2k221＋k2＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去，故直线l 的倾斜角为150°.故选A.4.已知直线l 过定点(0,1)，则“直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝4相切”是“直线l 的斜率为34”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝0，此时与圆(x －2)2＋y 2＝4相切；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋1，因为与圆相切，所以有|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，所以“直线l 的斜率为34”能推出“直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝4相切”满足必要性，而“直线l 与圆相切”推不出“l 的斜率为34”，所以不满足充分性．故选B. 5.(2019·潍坊模拟)直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，则“m ＝－1或m ＝－7”是“l 1∥l 2”的( )A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由题意，当直线l 1∥l 2时，满足3＋m 2＝45＋m ≠5－3m 8，解得m ＝－7，所以“m ＝－1或m ＝－7”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件．故选B.6.(2019·贵州黔东南州联考)在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( )A.相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定答案 A解析因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝0.故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax＋by ＋c ＝0相切．故选A.7.(2019·长春二模)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝3x 对称的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y －1)2＝4 B.(x －2)2＋(y －2)2＝4 C.x 2＋(y －2)2＝4 D.(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 (x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)，设其关于直线y ＝33x 对称的点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2＝33·2＋m 2，n m －2·33＝－1，解得m ＝1，n ＝3，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.8.(2019·兰州一模)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，322 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332 D.⎝⎛⎭⎪⎫332，32 答案 D解析由题意知，若使圆C 上存在点P (x ，y )，使得∠APB ＝90°，则圆C 与以原点为圆心，AB 为直径的圆有交点，即t －1≤|OC |≤t ＋1即1≤t ≤3，当t ＝3时，两圆内切且t >1，所以O ，C ，P 三点共线，即k OC ＝k OP ＝33，则OP 所在直线的倾斜角为30°.所以x ＝3cos30°＝332，y ＝3sin30°＝32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32.故选D.9.(2019·河南洛阳二模)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A.102B.10 C ．5 D ．10 答案 D解析由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，因为过定点P 的直线与过定点Q 的直线垂直，所以M 位于以PQ 为直径的圆上．因为|PQ |＝1＋9＝10，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10.故选D.10.(2019·哈尔滨第三中学三模)一条光线从点(1，－1)射出，经y 轴反射后与圆(x －2)2＋y 2＝1相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 答案 C解析由题意知，反射光线必经过(－1，－1)点，设反射光线的斜率为k ，则反射光线为kx －y ＋k －1＝0，由题意知|2k ＋k －1|1＋k 2<1，所以0<k <34，因此入射光线所在直线的斜率取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.故选C.11.已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，若直线y ＝kx ＋4上总存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是( )A.k ≤－43B ．k ≤－43或k ≥1C.k ≤－43或k ≥0D ．k ≥1答案 C解析如图，设切点为A ，B ，连接AC ，BC ，PC ，由∠APB ＝∠PAC ＝∠PBC ＝90°及PA ＝PB 知，四边形PACB 为正方形，故|PC |＝2＋2＝2.若直线y ＝kx ＋4上总存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线y ＝kx ＋4的距离小于或等于2，即|－k －2＋4|k 2＋1≤2，解得k ≤－43或k ≥0.故选C.12.(2019·南昌二模)若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A.a ≤－4B ．－4≤a ≤6 C.a ≤－4或a ≥6D ．a ≥6答案 D解析因为P (x ，y )是圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点，则x ＝1＋cos θ，y ＝1＋sin θ.所以|3x－4y －9|＝|3cos θ－4sin θ－10|＝|5sin(θ＋φ)－10|⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝－34.因为5sin(θ＋φ)－10<0，所以|3x －4y －9|＝－3x ＋4y ＋9，所以若|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则3x －4y ＋a ≥0.因此圆心到直线3x －4y ＋a ＝0的距离大于或等于1，且a >0，所以|a －1|5≥1解得a ≥6.故选D.二、填空题13.过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．答案 2x －4y ＋3＝0解析易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小．因为点C 的坐标为(1,0)，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l 的斜率为k ＝－1k CM ＝12，所以其方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 14.已知直线ax －2by ＝2(a >0，b >0)过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋1b的最小值为________．答案 4解析圆心为(2，－1)，代入直线方程有2a ＋2b ＝2即a ＋b ＝1，则有1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故答案为4.15.若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．答案 4解析 ∵⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5. 又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍，∴|AB |＝2×5×25＝4. 16.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点________．答案 (1,2)解析因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝9－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0，即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0，得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1,2).。

2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件：7.3 直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练

5
−
�� 2 10
=0,整理,得
y2=2x2,解得
y=± 2x.故选 C.
关闭
C
解-析5-
答案
一、选择题二、填空题
2.(2019 甘肃兰州高考一诊)若双曲线��22 − ��22=1(a>0,b>0)的实轴长为 4,离心率为 3,则其虚轴长为( )
-4,
�� = -6,
关闭
圆A 心为(-4,-6),半径 r'=1,其方程为(x+4)2+(y+6)2=1.故选 A.
解-析8-
答案
一、选择题二、填空题
5.已知椭圆 C:��22 + ��22=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( )
A.8 2
B.4 2
C.2 2
D.4 3 6
关闭
根据题意,若双曲线��
2 2
−
��
2
2=1(a>0,b>0)的实轴长为
4,即
2a=4,则
a=2.又由双曲线的离心率为 3,则 e=�� = 3,则 c=2 3.则
b= ��2-��2=2 2.则该双曲线的虚轴长 2b=4 2.故选 B. 关闭
3+5
关闭
D
解-1析2-
答案
一、选择题二、填空题
9.已知抛物线y2=4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B(点A在x轴下方),点A1与点A关于x轴对称,若直线AB的斜率为1,则直线A1B的斜率为( )

高考二轮复习文科数学课件考点突破练11直线与圆

2(答案不唯一,只要在集合(-2 5,0)∪(0,2 5)内即可)
值为______________________________________________________.
解析：圆 x2+(y-4)2=25 的圆心为(0,4),半径 r1=5,圆(x-a)2+y2=1 的圆心为
(a,0),半径 r2=1,因为两圆相交,所以|r1-r2|< 2 + 42 <r1+r2,即 16<a2+16<36,解
考点突破练11
直线与圆
一、选择题
1.已知点P(1,2),则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时,实数a=( B )
A.1
1
B.-4
1
C.4
D. 5
解析： ∵直线恒过定点 A(0,4),∴当 PA 与直线垂直时,点 P 到直线的距离取
4-2
得最大值.∵kPA=0-1=-2,∴直线
2ax+y-4=0
3π
的倾斜角为 .故选
4
D.
π
2
,得 asin

k=- =-1,故直线

8.一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上的最短
路径长为( C )
A.5
B.4
C. 41-2
D. 29-2
解析：由题意,圆 C 的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=4,所以圆 C 的圆心坐标为
A.2
B.6
C.8
D.10
解析：如图,以圆O的圆心O为原点,以∠BAC的平分线所在直线为x轴建立
平面直角坐标系,连接OB,OC.

2020高考数学课标二轮：专题能力训练直线与圆含解析

(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,
从而7-y0=5+y0,解得y0=1.
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为 =2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
∴S△ABP= ·|AB|·d'= d',∴2≤S△ABP≤6.
4.已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,函数f(x)=asinx+bcosx+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值是()
A.1B.2C. +1D.3
答案:B
解析:由题意知φ(a,b)= +1,且a,b满足a2+b2-4a+3=0,即点(a,b)在圆C:(a-2)2+b2=1上,圆C的圆心为(2,0),半径为1, 表示圆C上的动点(a,b)到原点的距离,最小值为1,所以φ(a,b)的最小值为2.故选B.
(1)证明由题设知,圆C的方程为(x-t)2+ =t2+ ,化简,得x2-2tx+y2- y=0.当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或 ,则B ,故S△AOB= |OA|·|OB|= |2t|· =4为定值.
(2)解∵|OM|=|ON|,∴原点O在MN的中垂线上.
设MN的中点为H,则CH⊥MN,
所以k的取值范围为 .
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.

2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件：7.1 直线、圆、圆锥曲线小题专项练

60°=
3,即
3≥
��
3,解得 0<m≤1;当 m>3 时,椭圆 C 的焦点在 y 轴
上,要使椭圆 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°,则�� ≥tan 60°= 3,
即 �� ≥
3
3,解得 m≥9,综上 m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选 A.
2 2
.
∴0<e≤
6.故椭圆 C 的离心率的取值范围为
3
0, 6
3
.故选 A. 关闭
解-1析3-
答案
一、选择题二、填空题
11.(2019四川宜宾高三第三次诊断性考试)已知双曲线
��2 ��2
−
��3��2=1
因的好为与左双双、曲曲右线线焦��的点22 −两分��3条别2=渐为1 近的F1,左线F2、分,以右别它焦切的点于一分A个,别B焦两为点点F为,1则(-圆c四,0心边),F,半形2(c径F,01为A),F双a2的B曲的圆线面恰的关闭渐积近为线( 方程)为 y=± 3x,即其中一条渐近线方程为 3x-ay=0.以它的一 A.3 B.4 C.5�� D.6
D.6±2 3
关闭
由∠MPN=π3,可得∠MCN=2∠MPN=23π.在△MCN 中,CM=CN=2, ∠CMN=∠CNM=π6,可得点 C(3,- 3)到直线 MN,即直线
l:x- 3y-a=0 的距离为 2sinπ6=1.所以|3- 3×1(+- 33)-��|=1,解得 a=4 或 8.
为(a,0)(a>0),所以
(��-0)2 + (0-2)2=4-a,解得 a=32,故圆心为

2020高考数学冲刺直线和圆

直线和圆的方程知识点总结精华考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。

理解圆的参数方程． §07. 直线和圆的方程知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800πααπποο≤≤.注：①当ο90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当ο90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当ο90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++=.注：两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P-+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =定比分点坐标分式。