概率统计课件2.5随机变量的函数的分布

归纳 一般，若X 是离散型 随机变量，X 的概率函数为
X
Pk
x1 x2
p1 p2
xn
pn
则 Y g( X ) 的概率函数为：
Y g( x1 ) g( x2 ) Pk p1 p2
g( xn ) pn
注意：如果 g( xk ) 中有一些是相同的，把它们作适 当并项即可.
2015-6-8
三. 连续型随机变量的函数的分布
如果分布函数在相邻区间的交界点上不可微， 则求导得到的密度函数在交界点上没有意义， 此时相应的积分区间应为开区间。 但对连续型随机变量而言，对积分区间是否包 含端点未作严格区分。 2015-6-8
例4. 设随机变量 X ~ N ( , 2 )
求：Y=a+bX 的概率密度 解：
X ~ N (, 2 )
则称 y为 x 的函数,记为 y = g (x).
本节的任务: 根据X的分布求出Y的分布, 或由
( x1 , x2 ,, xn ) 的分布，求出
y f ( x1 , x2 ,, xn ) 的分布.
（这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的） 2015-6-8
二. 离散型随机变量的函数的分布 若 X是离散型随机变量, 则 Y =g (X)也是一个离 散型随机变量，则： g (X)的分布可由 X 的分布直接求出. 例1. 已知 X 的概率分布为:
2015-6-8
f X ( h( y )) ( h( y )) fY ( y ) 0
y
其它
综合以上两式得 Y g ( X ) 的概率密度为：
f X ( h( y )) h( y ) y fY ( y ) 0 其它 注： ▲ 若在 X 的可能取值范围内， y=g(x) 是分段严格
P (Y 9) P(( X 2)2 9) P ( X 2 3 )
1 P ( X 5) 9 P ( X 1) 不存在
X 3 4 5
1 Pk 12 2 9 1 9
2015-6-8
但考虑到： yi ( xi 2) 中有相等的概率，根 据概率的加法定理可将其对应的概率相加：
2
1 2 1 P (Y 4) 12 9 36 1 1 1 P (Y 1) 12 6 4
所以得： Y ( X 2) 分布律为：
2
X 0 1 2
Pk
1 12 1 6 1 3
X 3 4 5
Pk
1 12 2 9 1 9
Y
Pk
1 3
0
1 4
1
1 36
4
9
1 9
2015-6-8
1 1 y 2 fY ( y ) 4 0
0 y4 其它
(3) 现若设连续型随机变量X的密度函数为 f X ( x ) 则 Y X 2 的分布函数为:
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) P( y X y )
FX ( y ) FX ( y )
2015-6-8
将 FY ( y) 对 y 求导数 , 得 y x 2 的概率密度 . 1 [ f X ( y ) f X ( y )] y 0 fY ( y ) 2 y 0 y0
注：从上述例子中可以看到，在求 P(Y≤y) 的过程中，
关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出 X，从 而得到与 {g(X) ≤ y } 等价的 X 的不等式 . 例如： 用 { y X

又
f X ( x)
1 2
e

( x )2 2 2
ya y a bx x h( y ) b 1 且 h( y ) b
Y a bX
所以由定理可知 Y=a+bX的概率密度为：
2015-6-8
fY ( y )
1 e 2 b
1
ya )2 b (
当 y 时
y时
FY ( y) P(Y y) 0
FY ( y) P(Y y) 1
y 时 FY ( y) P(Y y)
2015-6-8
P ( g( X ) y ) P ( X h( y ))
写出反函数
FX [h ( y )]
代入
y/2 d ( e ) y/2 y/2 f ( e ) , 0 e 1 X fY ( y ) dy 0, 其它 1 y/2 y0 得： f ( y ) e 即Y 服从参数为 2 Y 1/2的指数分布. 0 其它
X ,a 时Y ~ N (0,1)
1
例5. 设随机变量 X 在 (0, 1)上服从均匀分布
求: Y= - 2 lnX 的概率密度.
解：因为在区间 (0, 1)上，函数 lnx < 0
2 y 0 x 于是 y 在区间 (0, 1)上单调下降，有反函数
故: y = - 2lnx > 0
从而得 Y 2 X 的分布律为:
3
Y
Pk
10
20
1 3
2 3Βιβλιοθήκη X Pk5 1 310 2 3
2015-6-8
例2. 已知 X 的概率分布为:
X
Pk
0
1 12
1
1 6
2
1 3
3
1 12
4
2 9
5
1 9
求: Y ( X 2)2 的概率分布(分布律) 解: X的取值 x1 0,, x6 5
g( x ) 0 或 g( x ) 0 , 并且有：
2015-6-8
min( g(a ), g(b)), max( g(a ), g(b))
▲ 若 y=g(x) 在 x 取值范围内不单调，则此定理不 能直接应用，此时可通过求y=g(x)的分布函数。
然后对分布函数求导数得y=g(x)的密度函数。
y y FY ( y) FX ( y ) FX ( y ) 0 2 2 当 y 4 时有: 0 FY ( y ) 1 y0 y 于是求得其分布函数为: FY ( y ) 0 y4 2 y4 1
2015-6-8
(2) 又因为密度函数是分布函数的导函数， 故将 FY ( y ) 对 y 求导即得 Y X 2 的概率密度为：
2015-6-8
P (Y 1) P(( X 2) 1) P ( X 2 1 )
2
1 X 0 1 2 P ( X 3) 12 1 1 1 P k 1 12 6 3 P ( X 1) 6 1 2 P (Y 0) P(( X 2) 0) P ( X 2 0) 3
x h ( y) e y / 2
由前述定理得:
y/2 ) y / 2 d (e ) f X (e fY ( y ) dy 0
注意取 绝对值
0e 其它
y/2
1
2015-6-8
已知 X 在 (0,1)上服从均匀分布，所以有：
1, 0 x 1 f X ( x) 其它 0,
[证]: 设 g( x ) 0 , 此时 g ( x ) 在 (, ) 严格单调 递增，它的反函数 h( y ) 存在, 且在 ( , ) 严格单调递增，可导。
10 . 先求 Y g ( X ) 的分布函数 F Y ( y)
y g( x ) 在( , )取值.
Y的取值 y1 4, y2 1, y3 0, y4 1, y5 4, y6 9
并且: P (Y 4) P(( X 2)2 4) P ( X 2 2)
2 P ( X 4) 9 P ( X 0) 1 12
2 2
[ y ( a b )] 1 1 2 2b2 e b 2

1 2 b
e [ y (a b )]
2 2b2
得到： Y a bX ~ N (a b , b ),
2 2
结论：正态分布的线性函数仍服从正态分布。
特别： 当 b 2015-6-8
例3. 设 X 服从区间 ( 0, 2 ) 上的均匀分布.
求：Y X 的概率密度 X 的取值在 (0, 2)内 Y 的取值在 (0,4) 内 解:
2
(1) 为求 Y 的概率密度,先求出 Y 的分布函数
这是关键一步
X 服从 (0, 2)上的均匀分布
0 x 2 其它
1 f X ( x) 2 0
0 x FX ( x ) 2 1
x0 0 x 2 x2
2015-6-8
从而当 y 0 时有: FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) P( y X y )
FX ( y ) FX ( y ) 0
当 0 y 4 时有:
第五节 随机变量函数的分布
问题的提出
离散型随机变量的函数的分布
连续型随机变量的函数的分布
问题的提出 在很多实际问题中，需要研究随机变量间存在的函 数关系，也就是研究他们在概率分布上的关系.
例如： 已知圆轴截面直径 d 的分布，
求截面面积 A= 的分布.
d2
4
2015-6-8
又例如： 已知 t = t0 时刻噪声电压 V 的分布
分布律
5 10 1 2 3 3 求: Y 2 X 的概率分布(分布律).
X Pk
2015-6-8
解: X的可能取值为 x1 5, x2 10 Y的可能取值为 y1 10, y2 20
1 并且: P (Y 10) P ( 2 X 10) P ( X 5) 3 2 P (Y 20) P ( 2 X 20) P( X 10)