动态规划 装载 逆推
动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
动态规划算法的实现及其应用
动态规划算法的实现及其应用动态规划，英文缩写为 DP，是一种算法设计技术，通常用于求解最优化问题。
动态规划是解决一类特殊问题的有效方法。
它通过将原问题转化为若干个子问题的方式，逐个求解这些子问题，最终得到原问题的解。
这种方式具有很强的适用性，能够解决很多实际问题。
动态规划的实现动态规划算法的实现基本上可以分为以下两个步骤：1. 确定状态：将原问题转化为若干个子问题，定义合适的状态量来表示子问题。
状态的定义应该满足无后效性，即状态一旦确定，之后的状态转移不会再受之前的状态影响。
2. 确定状态转移方程：定义状态转移方程，通过状态之间的转移来逐步求解原问题。
状态转移方程可以通过一些简单的规律得到，也可以通过数学方法进行求解。
动态规划的应用动态规划算法有很多应用，下面列举一些常见的应用场景。
1. 最长公共子序列问题：给定两个字符串，求出它们的最长公共子序列，即在两个字符串中都出现的、长度最长的子序列。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为在两个字符串的某段位置上的最长公共子序列的长度，状态转移方程比较简单。
2. 背包问题：有一个容量为 V 的背包和 n 种物品，每种物品的重量为 wi，价值为 vi，现在要用这些物品装满背包，使得背包中所装物品的总价值最大。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为在前 i 件物品中，体积为 j 的情况下能获得的最大价值，状态转移方程也比较简单。
3. 最短路问题：给定一个带权图，求出其中从起点到终点的最短路径。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为从起点到某个点的最短路径，状态转移方程可以通过分阶段来进行求解。
4. 求解最大子段和问题：给定一个序列，求出其中连续子段的和的最大值。
这个问题也可以用动态规划算法求解，状态可以定义为以某个位置为结尾的最大子段和，状态转移方程与之前的问题类似。
动态规划算法虽然能够解决很多问题，但是它也存在一些限制。
动态规划算法的计算复杂度较高，需要占用大量的内存空间。
动态规划解决最优化问题的高效算法
动态规划解决最优化问题的高效算法动态规划是一种高效解决最优化问题的算法。
它通过将问题划分为多个子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
本文将介绍动态规划算法的原理和应用。
一、动态规划的原理动态规划的基本思想是将原问题拆解为多个子问题，然后通过递推公式求解子问题的最优解，最后得到原问题的最优解。
其核心是利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
动态规划的求解过程分为三个步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为多个子问题，并定义子问题的状态。
2. 确定递推关系：确定子问题之间的递推关系，即子问题之间的重叠性质。
3. 求解最优解：使用递推公式从子问题的最优解中求解原问题的最优解。
二、动态规划的应用动态规划广泛应用于最优化问题的求解，包括线性规划、背包问题、最长公共子序列等。
下面以背包问题为例，介绍动态规划的应用过程。
背包问题是指在给定容量的背包和一组具有重量和价值的物品中，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
动态规划可以通过以下步骤求解背包问题：1. 定义子问题：定义子问题的状态为背包容量和可选择的物品数量。
2. 确定递推关系：通过递推公式将子问题和原问题联系起来，递推公式为dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j的背包中的最大价值，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
3. 求解最优解：通过递推公式，计算dp[i][j]的值，最后得到背包问题的最大价值。
三、动态规划算法的优势动态规划算法在解决最优化问题时具有以下优势：1. 高效性：动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，避免了重复计算，从而提高了求解效率。
2. 最优性：动态规划算法可以保证求解出的最优解是全局最优解。
3. 可行性：动态规划算法使用递推公式进行求解，因此可以确保求解过程是可行的。
综上所述，动态规划是一种高效解决最优化问题的算法。
4种常见的动态规划模型
例谈四种常见的动态规划模型动态规划是解决多阶段决策最优化问题的一种思想方法，本文主要结合一些例题，把一些常见的动态规划模型，进行归纳总结。
（一）、背包模型可用动态规划解决的背包问题，主要有01背包和完全背包。
对于背包的类型，这边就做个简单的描述：n个物品要放到一个背包里，背包有个总容量m，每个物品都有一个体积w[i]和价值v[i]，问如何装这些物品,使得背包里放的物品价值最大。
这类型的题目，状态表示为：f[j]表示背包容量不超过j时能够装的最大价值，则状态转移方程为：f[j]:=max{f[j-w[i]]+v[i]},边界：f[0]:=0;简单的程序框架为：beginreadln(m,n);for i:=1to n do readln(w[i],v[i]);f[0]:=0;for i:=1to m dofor j:=1to n dobeginif i>=w[j]then t:=f[i-w[j]]+v[j];if t>f[i]then f[i]:=t;end;writeln(f[m]);end.这类型的题目应用挺广的（noip1996提高组第4题，noip2001普及组装箱问题，noip2005普及组采药等），下面一个例子，也是背包模型的简单转化。
货币系统(money)【问题描述】母牛们不但创建了他们自己的政府而且选择了建立了自己的货币系统。
他们对货币的数值感到好奇。
传统地，一个货币系统是由1，5，10，20或25，50，100的单位面值组成的。
母牛想知道用货币系统中的货币来构造一个确定的面值，有多少种不同的方法。
使用一个货币系统{1,2,5,10,..}产生18单位面值的一些可能的方法是:18×1,9×2,8×2+2×1,3×5+2+1等等其它。
写一个程序来计算有多少种方法用给定的货币系统来构造一个确定的面值。
【输入格式】货币系统中货币的种类数目是v(1≤v≤25)；要构造的面值是n(1≤n≤10,000)；第1行:二个整数，v和n；第2..v+1行：可用的货币v个整数(每行一个)。
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划(生产和存储问题)
动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。
二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。
通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。
阶段变量一般用k=1.2….n.表示。
1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。
它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。
通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。
描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。
变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。
用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。
n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。
基于动态规划的逆运动学求解研究
基于动态规划的逆运动学求解研究随着机器人技术的发展，机器人在工业生产和日常生活中的应用越来越广泛，逆运动学求解问题也日益受到关注。
逆运动学求解是指根据末端执行器的位置、方向和姿态等参数，计算机自动求解使机器人末端执行器达到目标位置的关节角度和转动方向的过程。
其中，基于动态规划的逆运动学求解方法因为求解速度快，可扩展性好等优点，逐渐成为热门研究领域。
一、逆运动学求解的难点逆运动学求解问题存在着以下难点：1.多解性问题由于机器人关节数目多、柔性度高、各关节受限等因素，使得机器人在执行任务过程中一般存在多个解，这就给逆运动学求解问题增加了一定难度。
2.计算量大逆运动学的求解需要进行复杂的计算，尤其在机器人拥有大量关节和复杂结构时，导致计算量更加巨大。
3.求解时间长由于机器人需要从起始位置调整到目标位置，需要多次迭代求解，而且通常情况下，求解时间往往较长，这给机器人的实时性带来了挑战。
二、基于动态规划的逆运动学求解方法基于以上逆运动学求解难点，研究人员开始探索更加高效、快速的求解方法。
其中，基于动态规划的逆运动学求解方法被认为是一种很有效的解决方法。
动态规划是一种优化算法，将原始问题划分成子问题，通过保存每个子问题的最优解来求解原始问题。
在逆运动学求解中，将求解过程拆分成若干步，求解每一步的最优解，最终得到整个逆运动学的解。
1. 基本思路假设机器人机械臂上各个关节都可以360度旋转，则末端执行器从起始位置到目标位置可以经过若干离散点，将这些离散点视为机器人运动的一个路径。
通过求解在每一离散点时机器人关节的角度，就能求得整个运动过程中机器人关节的角度。
首先，将整个路径分为若干个子路径，计算出每个子路径的连续运动。
对于每个子路径，通过动态规划方法从子路径的出发点到终点逐层求解。
构建动规状态方程：怎么从一个状态转移到另一个状态？通过给出从a到b的运动方式是第i段还是第j段，就可以将问题分解为从子状态（到a处时段的i）出发转移到子状态（从b出发时段的j）的问题了。
3.动态规划——背包问题20ok
答案
（1）阶段k=1,2,3.（即：将三种货物视为三个阶段） （2）状态变量Sk （即：每阶段可装载货物空间或重量wk） （3）决策变量Xk （即：每阶段第j种货物装载件数） （4）状态转移方程：Sk+1=Sk – Wk*Xk
答案
（1）阶段k=1,2,3.（即：将三种货物视为三个阶段） （2）状态变量Sk （即：每阶段可装载货物空间或重量wk） （3）决策变量Xk （即：每阶段第j种货物装载件数） （4）状态转移方程：Sk+1=Sk – Wk*Xk （5）过程指标函数：Vk= v（k）*x（k）+V（k+1）
65+90=155
f1 2
x1
0+150
130+30=160
160
2
X1=2, X2=0，X3=1 装货总价值最大为160.
答案
（1）阶段k=1,2,3.（即：将三种货物视为三个阶段） （2）状态变量Sk （即：每阶段可装载货物空间或重量wk） （3）决策变量Xk （即：每阶段第j种货物装载件数） （4）状态转移方程：Sk+1=Sk – Wk*Xk （5）过程指标函数：Vk= v（k）*x（k）+V（k+1） （6）最优指标函数： opt V= f （k）=max{v（k）*x（k）+ f（k+1）}
当k=3时，S3=W3={0,1,2,3,4,5}，f3=max{v3*X3 + f4}，f4= 0 （因为第三种货物单位重量为1，总承载重量5，最多五件）
X3 S3
f3=max{v3*X3 + f4}
F3*
4 5
X3*
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5
动态规划算法
动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。
它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。
即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。
动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。
2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。
3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。
5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。
动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。
它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。
总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。
动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。
它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。
下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。
其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。
解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。
然后通过递推关系来计算出最终的结果。
3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。
解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。
4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。
以上是一些常见的动态规划问题解法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。
车辆路径规划问题的逆优化方法
逆优化方法的主要类型
梯度下降法
通过计算目标函数的梯度，寻找最优解。
共轭梯度法
结合梯度下降法和牛顿法的优点，提高搜索 效率。
牛顿法
通过构造海森矩阵，求解目标函数的极值点 。
遗传算法
通过模拟生物进化过程，寻找最优解。
逆优化方法的应用领域
通过可视化的方式展示逆优化算 法与其他算法的实验结果，便于
直观地比较不同算法的性能。
实验结果的讨论与解释
逆优化算法的优势
分析逆优化算法在解决车辆路径规划问题上的优势，如更短的路 径、更少的车辆使用等。
逆优化算法的局限性
讨论逆优化算法在解决车辆路径规划问题上的局限性，如对数据依 赖性强、计算复杂度高等。
车辆路径规划问题的逆优化方法
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contents
目录
• 车辆路径规划问题概述 • 逆优化方法的基本理论 • 车辆路径规划问题的逆优化算法 • 车辆路径规划问题逆优化算法的实验结果
与分析 • 车辆路径规划问题逆优化算法的未来研究
方向 • 总结与展望
01 车辆路径规划问题概述
车辆路径规划问题的定义
01
02
03
经典的VRP问题
采用精确算法进行求解， 如动态规划、分支定界等 。
扩展的VRP问题
考虑更多的实际需求和约 束条件，如多车型VRP、 带时间窗的VRP等。
启发式算法
采用近似算法进行求解， 如遗传算法、模拟退火算 法等。
车辆路径规划问题的应用领域
物流配送
寻找最优的配送路线，降 低运输成本和提高配送效 率。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
动态规划问题
动态规划问题动态规划（Dynamic Programming）是一种通过拆分问题为较小子问题来解决复杂问题的算法思想。
在计算机科学中，动态规划经常被用于最优化问题。
动态规划的基本思想动态规划通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。
重叠子问题意味着问题可以被分解为多个重叠子问题，而最优子结构意味着问题的最优解可以通过子问题的最优解来计算。
动态规划的基本思想是将大问题分解为小问题，并依次求解小问题的最优解，然后将这些最优解组合起来得到大问题的最优解。
在动态规划的过程中，通常会使用表格或数组来保存子问题的计算结果，以便在下一次遇到相同子问题时直接查表得出最优解。
动态规划的应用动态规划广泛应用于诸如优化、序列匹配、最短路径等领域。
以下是一些典型应用场景：•背包问题：给定一个背包容量和一组物品，每个物品有自己的价值和重量，求解如何在不超过背包容量的情况下使得装入背包的物品价值最大化。
•最长公共子序列：给定两个序列，求解这两个序列最长的公共子序列的长度。
•最短路径问题：求解两点之间的最短路径，例如Dijkstra算法和Floyd算法都是动态规划的应用。
•最长递增子序列：给定一个序列，求解其中一个递增子序列的最大长度。
•编辑距离问题：求解将一个字符串转换成另一个字符串的最小操作次数，包括删除、插入、替换操作。
•区间调度问题：给定一组活动的起止时间，求解在不重叠的情况下能参加的最多活动数量。
动态规划的问题特征动态规划问题通常具有以下特征：1.最优子结构：问题的最优解可以通过子问题的最优解来递推求解。
2.重叠子问题：问题可以被分解为多个重叠的子问题，这些子问题可以共享相同的解。
3.状态转移方程：问题可以通过状态之间的转移关系来描述，通常采用递推式或递归的方式定义状态转移方程。
4.基本案例：问题需要定义基本情况，也称为递归的终止条件。
动态规划的解题步骤解决动态规划问题通常需要遵循以下步骤：1.定义状态：明确问题的状态，通常需要定义一个状态数组或矩阵来表示问题的状态。
(完整版)动态规划问题常见解法
(完整版)动态规划问题常见解法动态规划问题常见解法一、背包问题1. 0/1背包问题0/1背包问题是动态规划中的经典问题，解决的是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索是一种自顶向下的解法，通过保存子问题的解来避免重复计算，提高效率。
动态规划是一种自底向上的解法，通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
2. 完全背包问题完全背包问题是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化，且每种物品可以选择任意个。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索和动态规划的思路和0/1背包问题相似，只是在状态转移方程上有所不同。
二、最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列，求它们之间最长的公共子序列的长度。
常见的解法有两种：递归和动态规划。
递归的思路是通过分别考虑两个序列末尾元素是否相等来进一步缩小问题规模，直至问题规模减小到边界情况。
动态规划的思路是通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
三、最短路径问题最短路径问题是指在加权有向图或无向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。
常见的解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是通过维护一个距离表，不断选择距离最短的顶点来更新距离表，直至找到目标顶点。
Bellman-Ford算法是通过进行多次松弛操作，逐步缩小问题规模，直至找到目标顶点或发现负权环。
总结：动态规划是一种解决最优化问题的常见方法，它通过分组子问题、定义状态、确定状态转移方程和填表格的方式，来得到整个问题的最优解。
在解决动态规划问题时，可以采用记忆化搜索或者动态规划的策略，具体选择哪种方法可以根据问题的特点和优化的需要来决定。
动态规划的逆推解法
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第七章 动态规划
主讲教师 贾玉花
主要内容
1 动态规划的基本概念
2 动态规划的基本方程
运 筹
3 动态规划的逆推解法
学
4 动态规划的应用
3 动态规划的逆推解法
f2 s2
max v 0x2 s2 2
s2, x2
* f3 (s3 )
max
x3 s3
x22 (s2
x2 )
x2*
2 3
s2
f2 s2
4 27
s23
式3
3 动态规划的逆推解法
第1阶段：
s2 s1 x1
v1s1, x1 x1
f2 s2
4 27
s23
4 27
s1
x1 3
max z x1x22x3
离散模型
动态规划模型
变量离散取值
连续模型
变量连续取值
3 动态规划的逆推解法
用逆推解法求解问题： 阶段k：按变量个数划分成3个阶段
状态变量sk：第k阶段到第3阶段剩余变量
max z x1x22x3
的和
s.t
xx1i
x2 0,
x3 c(c i 1,2,3
0)
决策变量：取问题中的变量xk为决策变量 决策允许集合：0≤xk≤sk 状态转移方程：sk+1=sk-xk
递推方程：fk(sk)=max{vk(sk,xk)×fk+1(sk+1)}
边界条件：f4(s4)=1
式1
3 动态规划的逆推解法
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，用于解决一类具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
动态规划通常通过将问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，从而得到原问题的最优解。
以下是动态规划问题常见的解法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是动态规划问题中的经典案例。
它的递推关系式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。
可以使用动态规划的思想来解决斐波那契数列问题，通过保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。
2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
背包问题包括 0/1 背包问题和完全背包问题。
0/1 背包问题中每个物品要么被选中放入背包，要么不选。
完全背包问题中每个物品可以被选中多次放入背包。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解背包问题。
3. 最长递增子序列最长递增子序列是一个常见的子序列问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素按照顺序递增。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以有效地求解最长递增子序列问题。
4. 最长公共子序列最长公共子序列是一个经典的字符串问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解最长公共子序列问题。
5. 矩阵链乘法矩阵链乘法是一个求解最优括号化问题的经典案例，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定多个矩阵的大小，需要找到一个最优的计算顺序，使得计算乘积的次数最少。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解矩阵链乘法问题。
以上是动态规划问题的常见解法，通过使用动态规划的思想和方法，可以解决这些问题，并求得最优解。
动态规划的逆推解法
第七章 动态规划主要内容2动态规划的基本概念运筹学13动态规划的应用4动态规划的基本方程动态规划的逆推解法3动态规划的逆推解法动态规划模型离散模型变量离散取值变量连续取值连续模型3动态规划的逆推解法用逆推解法求解问题：⎩⎨⎧=≥>=++=3,2,1,0)0(.max 3213221i x c c x x x t s x x x z i 阶段k ：按变量个数划分成3个阶段状态变量s k ：第k 阶段到第3阶段剩余变量的和决策变量：取问题中的变量x k 为决策变量决策允许集合：0≤x k ≤s k 状态转移方程：s k+1=s k -x k递推方程：f k (s k )=max {v k (s k ,x k )×f k+1(s k+1)}边界条件：f 4(s 4)=1式13动态规划的逆推解法⎩⎨⎧=≥>=++=3,2,1,0)0(.max 3213221i x c c x x x t s xx x z i 第3阶段：()(){}()3443,333333333max )(*max s x s f x s v s f s x s x =====3*3s x =33x s =()3333,x x s v =1)(44=s f 式23动态规划的逆推解法⎩⎨⎧=≥>=++=3,2,1,0)0(.max 3213221i x c c x x x t s x x x z i 第2阶段：()(){}())(max )(*max 2222332,202233222x s x s f x s v s f s x s x -===≤≤2*232s x =()22222,xx s v =22333)(x s s s f -==223x s s -=()3222274s s f =式33动态规划的逆推解法⎩⎨⎧=≥>=++=3,2,1,0)0(.max 3213221i x c c x x x t s x x x z i 第1阶段：()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==≤≤≤≤31110221,1011)(274max )(*max 11111x s x s f x s v s f s x s x 1*141s x =()1111,x x s v =112x s s -=()()3113222274274x s s s f -==()4111641s s f =式43动态规划的逆推解法计算结果汇总：状态转移方程最优指标函数最优解第3阶段第2阶段第1阶段3*3sx=()333ssf=()4111641ssf=()3222274ssf=2*232sx=1*141sx=223xss-=112xss-=cs=1按计算顺序反推，得各阶段最优决策和最优值。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态 规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推 和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一 个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则 称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而 就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略 不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在 预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段 数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外， 也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许 有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索 的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪 费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以 后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地 表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免 了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是 非常实用的.
动态规划ppt.doc
C2），从C1到T只有一条路，f4(C1)=d(C1,T)=9.2, 4(C1)=T同理f4(C2)=d(C2,T)=11, 4(C2)=T
2)当k=3时：S3的取值为B1、B2、B3，从B1出发到T有两条路，一条是经过C1到T，另一条是经过C2到T，显然
状态转移方程在不同的问题中有不同的具体表现形式，在例l中，状态转移方程表示为：Sk+1=Uk(sk)。
（6）阶段指标
阶段效益是衡量系统阶段决策结果的一种数量指标，记为：Vk(Sk,,Uk)
表示系统在第k阶段处于状态Sk做出决策uk时所获得的阶段效益。这里的阶段效益在不同的实际问题中有不同的意义。在例l中它表示两个中转站的距离，如V2(B2,U2(B2)=C2)=d(B2,C2)=7表示从中转站B2走到中转站C2之间的距离为7。更一般地有Vk(Sk,Uk(sk))=d(Sk,Uk(sk))。
f2(A1)= = =23.4, 2(A1)=B2
同理f2(A2)= = =18.1, 2(A2)=B3
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。
动态规划最优化原理：“作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。”简单地说就是一个最优策略的子策略也是最优的。
理解动态规划算法的基本原理
理解动态规划算法的基本原理动态规划算法是一种常用的优化算法，它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的解来求解原问题。
动态规划算法的基本原理是将问题划分为多个阶段，并且每个阶段的最优解都是由前面阶段的最优解推导而来的。
通过存储子问题的解，动态规划算法可以避免重复计算，从而提高算法的效率。
动态规划算法的基本思想可以用一个简单的例子来说明。
假设有一条走廊，长度为n步。
每次可以走1步或者2步。
问有多少种不同的方式可以走到走廊的尽头。
我们可以将问题划分为n个阶段，每个阶段表示走到走廊的第i步。
假设f(i)表示走到第i步的方式数目。
那么，我们可以得到动态规划的递推关系式：f(i) = f(i-1) + f(i-2)其中，f(0) = 1，f(1) = 1。
这是因为走到第0步和第1步只有一种方式，即不走和走1步。
根据递推关系式，我们可以从前面的阶段的最优解推导出当前阶段的最优解。
通过动态规划算法，我们可以通过自底向上的方式求解问题。
我们可以从第0步开始，依次计算每个阶段的最优解，直到求解出第n步的最优解。
在计算每个阶段的最优解时，我们可以利用已经计算过的子问题的解，从而避免重复计算。
动态规划算法的时间复杂度通常是O(n)，其中n是问题的规模。
这是因为我们需要计算每个阶段的最优解，而每个阶段的计算只需要常数时间。
另外，动态规划算法的空间复杂度也是O(n)，因为我们需要存储每个阶段的最优解。
除了自底向上的方式，动态规划算法还可以通过自顶向下的方式求解问题。
这种方式通常称为记忆化搜索。
在记忆化搜索中，我们首先计算第n步的最优解，然后递归地计算前面阶段的最优解。
通过存储已经计算过的子问题的解，我们可以避免重复计算，从而提高算法的效率。
动态规划算法在实际应用中有着广泛的应用。
它可以用来求解最短路径问题、背包问题、序列比对问题等。
通过合理地定义子问题和递推关系式，我们可以将很多复杂的问题转化为动态规划问题，并利用动态规划算法求解。
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{
if(x[i]==1)
{
printf("%5d",i);
weight+=w[i];
}
}
printf("\n");
printf("背包中装入的重量");
for(int i=1;i<=n;i++)
m[i]=new int[c+1];
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=c;j++)
m[i][j]=0;
Knapsack(w,c,n,m,x);
int i=0;
int weight=0;
printf("装入背包的物件序号: ");
#include <stdio.h> ;//函数有缺陷，只能装载整数倍的货物。。。。。。。。
void Knapsack(int *w,int c,int n,int **m,int *x)
{
for(int j=0;j<=w[n];j++)m[n][j]=0;//j代表剩余的物品重量，C为装载总重量，为数组的宽度
int w[4]={-1,1,4,4};
int x[4]={0};
int **m=new int *[n+1];//动态定义一个二维数组M[所有要装载的物品数目和][总装载重量]
for(int i=0;i<=n;i++)//M[I][J] 是 还可装载的 I I+1 ...一直到所有要装载的物品数目和 剩余重量J时 所能够的最佳方案
for(int j=w[n];j<=c;j++)m[n][j]=w[n];J小于W[N]的重量 则不选 为0，J大于W[N]得重量，则选 最佳为W[N]
for(int i=n-1;i>=1;i--)
{
for(int j=0;j<=c;j++)
{
if(j>=w[i]&&m[i+1][j]<=m[i+1][j-w[i]]+w[i])
{
m[i][j]=m[i+1][j-w[i]]+w[i];
x[i]=1;
}
else
Hale Waihona Puke { m[i][j]=m[i+1][j];
x[i]=0;
}
}
}
}
void main()
{
int n=3,c=5;
{
if(x[i]==1)
printf("%5d",w[i]);
}
printf("\n");
printf("总重为：");
printf("%d",weight);
}