倍角公式

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三角函数的倍角公式与半角公式

三角函数的倍角公式与半角公式一、三角函数的倍角公式：1.正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ推导过程：利用正弦函数的定义sinθ = y/r和余弦函数的定义cosθ = x/r，将x和y用θ表示，得到：sin(θ) = (2y)/2r = (2y)/2(r)cos(θ) = (x)/r将上述两个函数代入sin(2θ) = 2sinθcosθ中，得到：sin(2θ) = 2(x)/2r * (2y)/2(r)= 2xy/4r^2= xy/2r^2根据直角三角形中的三角关系式x^2 + y^2 = r^2，可得y =sqrt(r^2 - x^2)，代入上述式子得到：sin(2θ) = x * sqrt(r^2 - x^2) / 2r^2由于θ是任意角度，所以x的范围是[-r, r)，故将x/r用sinθ表示，得到：sin(2θ) = sinθ * sqrt(1 - sin^2θ)= sinθ * cosθ故得到了正弦函数的倍角公式sin(2θ) = 2sinθcosθ。

2.余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - si n^2θ推导过程：由余弦函数定义cosθ = x/r和正弦函数定义sinθ = y/r，得到：cos(θ) = x/rsin(θ) = (y)/r将上述两个函数代入cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ中，得到：cos(2θ) = (x/r)^2 - ((y)/r)^2=x^2/r^2-y^2/r^2根据直角三角形中的三角关系式x^2+y^2=r^2，代入上述式子得到：cos(2θ) = (x^2 - r^2 + x^2) / r^2=(2x^2-r^2)/r^2由于θ是任意角度，所以x的范围是[-r, r)，故将x/r用sinθ表示，得到：cos(2θ) = (2(1 - sin^2θ) - r^2) / r^2= 2(1 - sin^2θ)/ r^2 - r^2 / r^2从而可得：cos(2θ) = 2cos^2θ - 1或者cos(2θ) = 1 - 2sin^2θ故得到了余弦函数的倍角公式cos(2θ) = 2cos^2θ - 1 = 1 -2sin^2θ。

倍角公式的推导

倍角公式的推导倍角公式是数学中的一个重要公式，它可以用来求解角的倍数。

倍角公式可以分为三种类型：正弦函数的倍角公式、余弦函数的倍角公式和正切函数的倍角公式。

首先，我们推导正弦函数的倍角公式：设角A的正弦是sinA，角2A的正弦是sin2A。

根据三角恒等式，我们有：sin2A = 2sinAcosA这是正弦函数的倍角公式之一。

如果我们用正弦函数的二倍角公式来代替cosA，我们可以得到：sin2A = 2sinA(1 - sin^2A)这是正弦函数的倍角公式之二。

接下来，我们推导余弦函数的倍角公式：设角A的余弦是cosA，角2A的余弦是cos2A。

根据三角恒等式，我们有：cos2A = cos^2A - sin^2A这是余弦函数的倍角公式之一。

如果我们用余弦函数的三倍角公式来代替cos^2A，我们可以得到：cos2A = 1 - 2sin^2A这是余弦函数的倍角公式之二。

最后，我们推导正切函数的倍角公式：设角A的正切是tanA，角2A的正切是tan2A。

根据三角恒等式，我们有：tan2A = (2tanA)/(1 - tan^2A)这是正切函数的倍角公式。

以上就是倍角公式的推导。

通过倍角公式，我们可以求解角的倍数，使得计算过程更加简单和高效。

在实际应用中，倍角公式经常用于求解复杂的三角函数问题，如求解三角方程、证明等。

总结起来，倍角公式的推导涉及到三角恒等式的运用，通过巧妙地代换和变形，可以得到正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式。

熟练掌握倍角公式的推导和应用，有助于提高在解决三角函数相关问题时的计算效率和准确性。

12.2 倍角公式

1 2sin2 ,
tan
2
2 tan 1 tan2
.
倍角公式的运用（正用、逆用、活用）
作业：
必做作业：
P11练习12-4第4题 P11练习12-4第6题
选做作业： P11练习12-4第1题（2）（4）（6）
24
2
3.公式可变形或逆用：
1 sin 2 (sin cos )2 1 cos 2 2cos2 1 cos 2 2sin2 cos2 1 cos 2
2 sin2 1 cos 2
2
4.公式的应用：求值、化简与证明。
练习
课本P11练习12-4第1题（1）（3）（5）提示：涉及到公式的逆运用。课本P11练习12-4第2题（1）（3）提示：涉及到公式的灵活运用。
应用
例1 已知 sin 5 , ( , 3 ), 求 sin 2,cos 2, tan 2 的值。
13
2
解：因为 sin 5 ，且 ( , 3 ) ，所以
13
2
cos 1 sin2 1 ( 5 )2 12 , 13 13
因此
sin 2 2sin cos 2( 5 )(12) 120 , 13 13 169
12.2 倍角公式
复习回顾
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
sin( ) sin cos cos sin
tan( ) tan tan . 1 tan tan
T
新知学习
在公式 S ,C ,T 中，令β=α，即可得到二倍角的正弦、余弦和正切公式。
sin 2 Leabharlann 2sin cos,cos 2 cos2 sin2
2 cos2 1

倍角公式和半角公式的推导和应用

倍角公式和半角公式的推导和应用倍角公式和半角公式是数学中常见的公式，它们在解决三角函数问题和几何问题中起着重要的作用。

本文将对倍角公式和半角公式进行推导，并探讨其在实际问题中的应用。

一、倍角公式的推导和应用1. 正弦倍角公式的推导在三角函数中，正弦函数的倍角公式可以通过欧拉公式得出。

欧拉公式是一个重要的数学公式，表达为：e^ix = cos(x) + isin(x)其中，e是自然对数的底，i称为虚数单位，满足i^2 = -1。

我们可以通过欧拉公式将sin(x)表示成e的形式：sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)因此，sin(2x)可以表示为：sin(2x) = (e^(2ix) - e^(-2ix)) / (2i)再利用欧拉公式化简上式，得到：sin(2x) = 2isin(x)cos(x)2. 余弦倍角公式的推导余弦函数的倍角公式可以通过sin(2x)的推导得出。

我们已经推导出了sin(2x)的表达式，可以通过将其代入三角函数等式cos^2(x) + sin^2(x) = 1，得到：cos^2(x) + (2isin(x)cos(x))^2 = 1化简上式，得到：cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 4sin^2(x)cos^2(x)进一步化简，得到：cos^2(x) - sin^2(x) = (1 - 2sin^2(x))(1 - 2cos^2(x))利用三角函数关系cos^2(x) = 1 - sin^2(x)，化简上式，得到：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1倍角公式可以应用到很多问题中，例如求解三角方程、计算三角函数值等。

通过利用倍角公式，我们可以将原问题化简为更简单的形式，从而更易解决。

二、半角公式的推导和应用1. 正弦半角公式的推导正弦函数的半角公式可以通过倍角公式推导得出。

我们已经推导出了sin(2x)的表达式，将其中的2x替换为x，得到：sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2)进一步化简上式，得到：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/2]2. 余弦半角公式的推导余弦函数的半角公式可以通过倍角公式推导得出。

三角函数倍角公式

三角函数倍角公式常用的三角函数倍角公式包括正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式。

1.正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ当角θ的值已知时，可以通过正弦函数的倍角公式求得sin(2θ)的值，进而求得2θ的值。

例题1：已知sin(θ) = 3/5，求sin(2θ)的值。

解：利用正弦函数的倍角公式，得到：sin(2θ) = 2sinθcosθ由已知条件sin(θ) = 3/5，可以求得cos(θ)的值：cos(θ) = √(1 - sin²(θ)) = √(1 - (3/5)²) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5代入公式，得到：sin(2θ) = 2(3/5)(4/5) = 24/25所以，sin(2θ) = 24/252.余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ当角θ的值已知时，可以通过余弦函数的倍角公式求得cos(2θ)的值，进而求得2θ的值。

例题2：已知cos(θ) = -3/5，求cos(2θ)的值。

解：利用余弦函数的倍角公式，得到：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ由已知条件cos(θ) = -3/5，可以求得sin(θ)的值：sin(θ) = √(1 - cos²(θ)) = √(1 - (-3/5)²) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5代入公式，得到：cos(2θ) = (-3/5)² - (4/5)² = 9/25 - 16/25 = -7/25所以，cos(2θ) = -7/253.正切函数的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)当角θ的值已知时，可以通过正切函数的倍角公式求得tan(2θ)的值，进而求得2θ的值。

例题3：已知tan(θ) = 3/4，求tan(2θ)的值。

三角函数的倍角与半角公式

三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中一个非常重要的概念，常用于计算角度和边长之间的关系。

在三角函数的学习过程中，倍角与半角公式被广泛地应用。

本文将介绍三角函数的倍角与半角公式，并且详细阐述其应用。

一、正弦函数的倍角与半角公式正弦函数表示一个角的对边与斜边之间的比值，常用符号为sin。

正弦函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)其中，θ为任意角。

正弦函数的倍角公式表明，一个角的正弦值可以由该角的两倍角的正弦、余弦函数的乘积来表示。

2. 半角公式sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中，θ为任意角。

正弦函数的半角公式表明，一个角的半角的正弦值可以通过该角的余弦值来计算。

二、余弦函数的倍角与半角公式余弦函数表示一个角的邻边与斜边之间的比值，常用符号为cos。

余弦函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)其中，θ为任意角。

余弦函数的倍角公式表明，一个角的余弦值可以通过其本身的余弦值和正弦值的平方差来计算。

2. 半角公式cos(θ/2) = ±√[(1 +cosθ)/2]其中，θ为任意角。

余弦函数的半角公式表明，一个角的半角的余弦值可以通过该角的余弦值来计算。

三、正切函数的倍角与半角公式正切函数表示一个角的正弦与余弦之间的比值，常用符号为tan。

正切函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))其中，θ为任意角，且tan(θ) ≠ ±1。

正切函数的倍角公式表示，一个角的正切值可以通过该角的两倍角的正切值计算得出。

2. 半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]其中，θ为任意角，且cos(θ) ≠ -1。

正切函数的半角公式表示，一个角的半角的正切值可以通过该角的余弦值计算得出。

倍角公式

倍角公式现列出公式如下:sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。

包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tana · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]其他sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6 )七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^ 4+7*tanA^6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^ 4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2 +126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20* sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2 +1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45 *tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)N倍角公式根据棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ)为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c考虑n为正整数的情形：cos(nθ)+ i sin(nθ)= (c+ i s)^n= C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ...+C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 +C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ...=>比较两边的实部与虚部实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 +C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ...i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ...对所有的自然数n，1. cos(nθ)：公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。

倍角公式

半倍角公式
倍角公式二倍角公式
倍角公式三倍角公式
倍角公式其他公式
倍角公式其余倍角公式倍角公式四倍角公式
倍角公式五倍角公式
倍角公式六倍角公式
倍角公式七倍角公式
倍角公式n倍角公式
根据棣美弗定理，
考虑n为正整数的情形：
（左括号为当r取偶数时的展开项，右括号为当r取奇数时的展开项）根据复数相等的定义，我们得到：
和
上面两个公式可化为：
倍角公式特殊公式
1.
证明：
利用和差化积公式
左边
=右边
证毕
2.
证明：
利用复变函数
的定义，用二项式定理将
展开
因为
是实数，所以上式左右两边同取实部，考虑到余弦函数的奇偶性
将上式中的θ用π/2-θ替换，调用
化简整理即得
证毕
注：以上二式也可以看作，的傅里叶展开式。

倍角公式半角公式

半角公式是三角函数中的重要公式，用于求解角度为某一半角的三角函数值。具体地，对于任意角α，其半角公式包括cos(α/2)和sin(α/2)的表达式。其中，cos(α/2)等于正负根号下[(1+cosα)/2]，而象限来决定。除了半角公式，文档还介绍了与之相关的基本题型和解题步骤。例如，在求解cos20°cos40°cos80°的值时，可以利用三角函数的倍角公式和半角公式进行化简和计算。另外，对于形如y=a sin 2x+b sinx cosx+c cos2x的三角函数表达式，也可以通过套用半角公式和其他三角恒等变换进行化简，最终得到y=Asin(x+φ)+B的形式，从而方便求解其最小正周期等性质。这些解题步骤和技巧在三角函数的学习和应用中具有重要的作用。

倍角公式变形

倍角公式变形倍角公式变形，是高等数学的重要知识之一。

倍角公式变形是指将某一公式利用相关的变换，变换成对应的倍角公式。

例如，若原公式为sin x + cos x 1，则倍角公式变形后可变换为2sin xcos x 1，其中sin xcos x 为倍角公式。

倍角公式变形有许多种，本文将进行详细介绍。

首先，最常见的倍角公式变形是称为“双自变量的倍角变换”。

这种变换源于一类带有两个角变量的公式，该公式有如下形式：A（sin x + cos x）+ B（sin x - cos x），其中A、B为不同的常量。

该公式的变形步骤如下：1.将两边的sin xcos x两个倍角公式变换，即将 sin x为 sin 2x，cos x为cos 2x；2.将变换后的公式化简，由此得出A（2sin xcos x）+ B（sin 2x - cos 2x）；3.将 sin 2xcos 2x两个倍角公式变换，即将 sin 2x为2sin xcos x 与- sin xcos x加，cos 2x为2cos2 x 与- sin2 x加；4.化简最终的公式，即A（2sin xcos x）+ B（2sin xcos x - 2sin2 xcos2 x），该公式就是倍角公式变形的结果。

另外，还有一类叫“单自变量的倍角变换”。

这类公式有如下形式：A（sin x）+ B（cos x），其中A、B为不同的常量。

由于只有一个角变量，该公式的倍角公式变形过程较为简单。

首先，将公式中的sin xcos x倍角公式变换，即：sin x = 2sin xcos x， cos x = 2cos2x - sin2 x。

后，将变换后的公式化简，由此得出A（2sin xcos x）+ B（2cos2 x - sin2 x），最终获得倍角公式变形的结果。

以上就是倍角公式变形的介绍，从本文中可以看出，变换倍角公式的步骤并不复杂，只需要通过认真分析公式，然后采用相应的步骤即可获得最终的结果。

三角倍角半角公式汇总

三角倍角半角公式汇总三角倍角半角公式是在三角函数中常用的一组公式，用于计算角度的倍角和半角。

这些公式在解决三角函数相关问题时具有很大的实用价值。

下面将对三角倍角半角公式进行汇总，并进行详细的介绍。

一、正弦函数的倍角和半角公式1. 正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ这个公式表示，正弦函数的平方可以表示为正弦函数和余弦函数的乘积的两倍。

这个公式在解决正弦函数的倍角问题时非常有用。

2. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)这个公式表示，正弦函数的半角可以表示为余弦函数的差的平方根除以2。

需要注意的是，由于正弦函数是奇函数，所以半角公式中的正负号可以根据具体问题的情况来确定。

二、余弦函数的倍角和半角公式1. 余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示，余弦函数的平方可以表示为余弦函数的平方减去正弦函数的平方，也可以表示为2倍余弦函数的平方减去1，还可以表示为1减去2倍正弦函数的平方。

这些形式在解决余弦函数的倍角问题时都可以使用。

2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)这个公式表示，余弦函数的半角可以表示为余弦函数的和的平方根除以2。

与正弦函数的半角公式类似，由于余弦函数是偶函数，所以半角公式中的正负号可以根据具体问题的情况来确定。

三、正切函数的倍角和半角公式1. 正切函数的倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)这个公式表示，正切函数的平方可以表示为2倍正切函数除以1减去正切函数的平方。

这个公式在解决正切函数的倍角问题时非常有用。

2. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这个公式表示，正切函数的半角可以表示为余弦函数的差的平方根除以余弦函数的和。

三角函数倍角

三角函数倍角三角函数倍角是高中数学中非常重要的一个知识点。

在学习三角函数的过程中，我们经常会遇到需要用到倍角公式的情况。

因此，掌握三角函数倍角的概念和公式对于学好三角函数非常重要。

一、三角函数倍角的概念所谓三角函数的倍角，就是将原角的角度翻倍后，得到的新角所对应的三角函数值。

比如，对于一个角θ，如果我们将它的角度倍增，得到的新角度就是2θ。

此时，我们可以计算出新角度所对应的正弦、余弦、正切等三角函数的值，这些值便是原角的倍角值。

二、三角函数倍角的公式三角函数的倍角公式可以归纳为以下三条：1. 正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ2. 余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ即cos2θ = 2cos^2θ - 13. 正切函数的倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)其中，θ为原角度，2θ为新角度。

以上公式是三角函数倍角公式中最为常用的公式。

当然，还有其他一些与三角函数倍角相关的公式，比如半角公式、和差公式等，但其中涉及到的内容相对比较复杂，需要我们进一步深入学习。

三、三角函数倍角的应用1. 圆的面积公式中常用到正弦函数的倍角公式；2. 一些三角函数的特殊值往往是由倍角公式推导得来的，例如√2/2即sin45°；3. 在计算复杂三角函数式子时，倍角公式可以把角度转化为更简单的形式，这样计算就更加方便。

总之，三角函数倍角是三角函数中非常重要的一个知识点，掌握了这个知识点，可以更好地理解和运用三角函数。

我们在学习三角函数的时候，应该多加练习、多做题，不断提高自己的技能水平。

三角函数倍角公式

3.2.1 倍角公式明目标、知重点 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用.1.倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2.倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos α，sin 2α2cos α＝sin α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α；(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.例1 已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值.反思与感悟解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系式及诱导公式是常用方法.跟踪训练1 求值：(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；(2)tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1).探究点二余弦的二倍角公式的变形形式及应用思考余弦的二倍角公式是否有其他变形？例2 求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ.例3 在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan(2A ＋2B )的值.反思与感悟解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式，“凑角法”是解决此类三角问题的常用技巧.跟踪训练3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值.1.cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54 D.1＋342.sin 4π12－cos 4π12等于( )A.－12B.－32C.12D.323.tan 7.5°1－tan 27.5°＝ . 4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 .[呈重点、现规律]1.对“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N *). 2.二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.一、基础过关1.若sin α2＝33，则cos α等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.232.3－sin 70°2－cos 210°的值是( ) A.12 B.22 C.2 D.323.函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π，1 B.π，2 C.2π，1 D.2π，24.若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A.3 B.－3 C.－2 D.－125.已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259C.－459D.－259 6.2sin 222.5°－1＝ . 7.已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值.二、能力提升8.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )9.函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为 .10.已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝ .11.(1)已知π<α<32π，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α； (2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°).三、探究与拓展13.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值.。