专题十一次函数与二次函数的实际应用
一次函数 二次函数
一次函数与二次函数一次函数和二次函数是初等数学中最基本的函数类型，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将对一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及应用进行详细的介绍。
一、一次函数1. 定义：一次函数是指形如y = ax + b（a≠0）的函数，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数又称为线性函数。
2. 性质：（1）一次函数的图像是一条直线，且斜率为a，截距为b。
（2）当a>0时，一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当a<0时，一次函数的图像从左到右呈下降趋势。
（3）当a>0且b>0时，一次函数的图像在第一象限；当a>0且b<0时，一次函数的图像在第四象限；当a<0且b>0时，一次函数的图像在第二象限；当a<0且b<0时，一次函数的图像在第三象限。
3. 图像：一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以通过公式y = ax + b计算得出。
4. 应用：一次函数在实际生活中有很多应用，例如速度与时间的关系、距离与时间的关系、价格与数量的关系等。
二、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax² + bx + c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
二次函数又称为抛物线函数。
2. 性质：（1）二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），对称轴为x = -b/2a。
（2）当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
（3）当Δ= b² - 4ac > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ= b² - 4ac = 0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ= b² - 4ac < 0时，二次函数没有实根。
3. 图像：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标、对称轴和判别式可以通过公式y = ax² + bx + c计算得出。
二次函数和一次函数的解法
二次函数和一次函数的解法在数学中，二次函数和一次函数是基础的函数类型，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数和一次函数的解法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、二次函数的解法二次函数是指函数形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
解二次函数的方法有多种，下面我们将介绍两种常用的解法：因式分解法和公式法。
1. 因式分解法当二次函数为完全平方形式时，可以通过因式分解的方法来求解。
完全平方形式的二次函数为f(x) = a(x - p)² + q，其中a、p、q都是常数。
步骤如下：（1）将二次函数化简为完全平方形式；（2）利用因式分解将完全平方形式的二次函数转化为乘积形式；（3）令乘积等于0，求解出x的值。
举例说明：求解二次函数f(x) = 2x² + 12x + 18的解。
（1）将二次函数化简为完全平方形式：f(x) = 2(x² + 6x) + 18；（2）利用因式分解将完全平方形式的二次函数转化为乘积形式：f(x) = 2(x + 3)² + 9；（3）令乘积等于0，求解x的值：2(x + 3)² + 9 = 0，解得x = -3。
2. 公式法当二次函数无法通过因式分解得到解的时候，可以使用求根公式来求解。
步骤如下：（1）根据二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，分别确定a、b、c的值；（2）使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，求解出x的值。
举例说明：求解二次函数f(x) = x² + 2x + 1的解。
（1）确定二次函数的参数：a = 1，b = 2，c = 1；（2）使用求根公式求解x的值：x = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * 1)) / (2 * 1)= (-2 ± √(4 - 4)) / 2= (-2 ± √0) / 2= -1。
二次函数和一次函数的关系
二次函数和一次函数的关系函数是数学中的一个重要概念，描述了数值之间的关系。
二次函数和一次函数是常见的函数类型，它们之间存在着一定的关系。
本文将探讨二次函数和一次函数的关系，以及它们在数学和实际生活中的应用。
一、二次函数的定义和特点二次函数是指函数的表达式中含有二次项的函数，一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口方向由a的正负决定，开口向上时a>0，开口向下时a<0。
特点：1. 二次函数的对称轴垂直于y轴，表达式为x = -b/2a。
2. 二次函数的顶点即抛物线的最值点，当a>0时为最小值，当a<0时为最大值。
3. 二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。
二、一次函数的定义和特点一次函数是指函数的表达式中只含有一次项，形式为f(x) = kx + d，其中k 和 d为常数，k表示直线的斜率，d表示直线的截距。
特点：1. 一次函数的图像为一条直线。
2. 直线的斜率k表示了直线的倾斜程度，斜率大于0表示向上倾斜，斜率小于0表示向下倾斜，斜率为0时表示水平直线。
3. 直线的截距d表示了直线与y轴的交点，也就是当x=0时的函数值。
三、二次函数和一次函数的关系在二次函数和一次函数之间存在着紧密的关系。
实际上，当二次函数的a=0时，二次函数退化为一次函数。
具体而言，当a=0且b≠0，二次函数f(x) = bx + c退化为一次函数；当a=0，b=0，c≠0时，f(x) = c成为常数函数；当a=b=0时，f(x)为零函数。
另外，二次函数和一次函数在实际应用中也有联系。
例如，在物理学中，抛物线运动的轨迹可以用二次函数来描述；而直线运动可以用一次函数来描述。
在经济学中，成本和收益等关系也可以通过二次函数和一次函数来进行建模和分析。
四、二次函数和一次函数在实际生活中的应用举例1. 投射运动：当我们抛出一个物体时，物体的轨迹是一个抛物线，可以用二次函数来描述。
一次函数与二次函数的综合应用题
一次函数与二次函数的综合应用题一、引言在数学中，一次函数和二次函数是我们经常遇到的两种函数类型。
一次函数以y = ax + b的形式呈现，其中a和b是常数，而x是自变量。
二次函数则以y = ax^2 + bx + c的形式表达，其中a、b和c都是常数，而x依然是自变量。
本文将基于一次函数和二次函数，介绍它们在实际问题中的综合应用。
二、一次函数的综合应用1. 直线的运动一次函数可以应用于描述直线的运动情况。
假设有一个小车匀速地沿直线前进，设x表示时间（单位：秒），y表示小车距离起点的距离（单位：米），小车的速度为v（单位：米/秒）。
则可以建立起以下一次函数表示小车的位置：y = vx通过该函数，我们可以轻松计算在不同时间点小车的位置，并预测未来的移动情况。
2. 商品价格和销量的关系一次函数还可以应用于描述商品价格和销量之间的关系。
假设某商品的售价为p（单位：元），销量为s（单位：件），根据市场调研，得到以下一次函数表达式：s = -ap + b通过该函数，我们可以研究价格对销量的影响，并进行销售策略的调整。
三、二次函数的综合应用1. 抛体运动二次函数常用于描述抛体在空中的轨迹。
假设有一个物体以初速度v0竖直向上抛出，设x表示时间（单位：秒），y表示物体的高度（单位：米），加速度为g（单位：米/秒^2）。
则可以建立起以下二次函数表示物体的高度：y = -0.5gt^2 + v0t通过该函数，可以计算物体在不同时间点的高度，并分析物体的抛体运动规律。
2. 二次方程的解析二次函数也可以用于解决实际问题中的二次方程。
一个经典的例子是求解一个矩形地块的最大面积。
假设矩形地块的长度为x米，宽度为y米，已知周长为p米。
可以建立以下方程：2x + 2y = p根据周长的限制条件，我们可以得出以下表达式：x = (p-2y)/2，进而得到矩形地块的面积表达式：A = xy = (p-2y)y通过求解该二次函数的极值，即可得到矩形地块的最大面积。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数一、介绍在数学中，函数是一个基本的概念，常见的有线性函数（一次函数）和二次函数。
本文将介绍二次函数与一次函数的性质、图像特征以及它们在实际中的应用。
二、一次函数一次函数又称线性函数，其数学表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了线的倾斜方向和变化速率，截距决定了线与y轴的交点。
三、二次函数二次函数是一种具有二次项的函数，其数学表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
其中，a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；顶点（最值点）则对应抛物线图像的最低或最高点。
四、性质比较1. 斜率和倾斜性：一次函数的斜率始终保持不变，代表了函数的变化速率，而二次函数的斜率则会随着x的变化而变化，代表了变化的加速度。
2. 对称性：一次函数在图像上没有对称轴，而二次函数的图像关于一个垂直于x轴的直线具有对称性。
3. 极值点：一次函数不存在极值点，而二次函数的极值点对应横坐标为顶点的坐标，是函数的最低点（若开口向上）或最高点（若开口向下）。
五、图像特征1. 一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。
2. 二次函数的图像是一个抛物线，开口方向和变化速率由系数a的正负决定。
3. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，横坐标对应了抛物线的轴对称线。
六、应用举例1. 一次函数的应用：- 物体的直线运动问题：通过相关数据计算速度、位移等。
- 成本与产量的关系：用来计算单位产量的成本。
- 单位价格与需求量的关系：计算价格对需求的弹性。
- 薪酬计算：根据工作时间确定工资。
2. 二次函数的应用：- 抛物线的弧线问题：如计算喷泉水柱的最远射程或高空抛物体的落地点。
- 汽车制动距离：计算汽车刹车时的停车距离。
- 投影问题：确定抛出物的落地点。
一次函数和二次函数综合应用
一次函数的奇偶 性：一次函数为 奇函数当且仅当 函数的图像关于 原点对称，即满 足f(-x)=-f(x)。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0 二次函数的对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 二次函数的开口方向由系数a决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下 二次函数的最值出现在其顶点处，即f(-b/2a)
掌握基础知识：理解函数的概念、性质和图像，是提高解题能力的基础。 练习经典题型：通过练习经典题型，熟悉各种题型的特点和解题方法，提高解题的熟练度和速度。 归纳解题思路：对于不同类型的题目，归纳总结出相应的解题思路，形成自己的解题方法体系。
善于总结经验：在解题过程中，不断总结经验，发现自己的不足之处，及时调整学习方法，提高解题能力。
实际案例：一次函数和二次函数在 实际生产和生活中的应用实例
一次函数和二次函数的概 念和性质
一次函数和二次函数的图 像和性质
一次函数和二次函数的应 用题
一次函数和二次函数在数 学竞赛中的常见题型
PART FOUR
速度、时间、路程 问题
利润、成本、售价 问题
几何、面积问题
抛物线、最值问题
理解题意：仔细 阅读题目，明确 已知条件和未知 量。
大值
二次函数与x轴 交点个数由判别 式Δ决定，Δ>0 时有两个交点， Δ=0时有一个交 点，Δ<0时没有
交点
PART THREE
一次函数的应用：计算银行利息、 预测股票走势等
综合应用：解决实际问题，如最优 化问题、线性规划问题等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
二次函数的应用：计算物体运动轨 迹、解决抛物线问题等
二次函数和一次函数的应用
二次函数和一次函数的应用二次函数和一次函数是高中数学中的重要内容，也是实际生活中广泛应用的数学概念。
本文将重点探讨二次函数和一次函数在实际问题中的应用，并通过实例详细说明其应用方式和意义。
一、二次函数的应用二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a≠0，其图像为抛物线。
二次函数在现实生活中的应用非常广泛，涉及到多个领域。
1. 抛物线运动二次函数最典型的应用之一就是描述抛物线运动。
例如，一个抛出的物体在空中运动的轨迹就可以用二次函数来描述。
具体来说，假设抛物线的顶点为(x₀, y₀)，则可以得到二次函数的标准式为y=a(x-x₀)²+y₀。
这个公式能够帮助我们确定抛物线的形状、方向和顶点位置，从而更好地理解和分析抛物线运动。
2. 自由落体自由落体是物体只受重力作用下自由下落的运动方式。
当一个物体从高处自由落下时，其下落的距离可以用二次函数来描述。
通过测量物体下落过程中的时间和距离，我们可以建立二次函数模型，从而预测未来的位置，并计算出物体达到地面所需的时间。
3. 优化问题在实际问题中，我们经常需要寻找最优解。
例如，在生产成本与销售利润之间寻找平衡点，寻找某个函数的最大值或最小值等。
这些问题往往可以转化为二次函数的优化问题。
通过求解二次函数的极值点，我们可以找到问题的最优解。
二、一次函数的应用一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其在实际生活中的应用也非常广泛。
1. 直线运动一次函数经常用于描述物体的直线运动。
例如，在汽车行驶过程中，行驶的距离与所用的时间之间的关系可以用一次函数来描述。
通过观察和测量物体的运动情况，我们可以建立一次函数模型，从而预测未来的位置和时间。
2. 费用和收益在商业领域，一次函数可以用于描述企业的成本和收入之间的关系。
例如，某企业的生产成本可以表示为y=kx+b，其中x为生产数量，y为成本。
通过分析一次函数模型，我们可以找到成本与生产数量的关系，从而进行成本控制和利润分析。
一次函数与二次函数
一次函数与二次函数一次函数与二次函数是高中数学中常见的重要概念。
它们在实际生活和各个领域中有广泛的应用。
本文将介绍一次函数和二次函数的定义、特点以及它们的应用。
一、一次函数一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a≠0。
一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。
一次函数的特点如下：1. 斜率：斜率代表了函数图像上的每一单位自变量变化所对应的因变量的变化。
斜率为正时，函数图像上升，斜率为负时，函数图像下降。
斜率为0时，函数图像水平。
2. 截距：截距表示了直线与纵轴的交点在纵轴上的坐标。
当x=0时，f(x)=b，即截距为b。
3. 变化趋势：一次函数的图像是一条直线，其变化趋势是线性的，即斜率不变。
当斜率为正时，函数图像上升；当斜率为负时，函数图像下降。
一次函数有许多实际应用，如直线运动问题、成本问题等。
例如，在直线运动问题中，一次函数可以描述物体的位置随时间的变化。
在成本问题中，一次函数可以描述成本与生产量的关系。
二、二次函数二次函数的定义为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或开口向下的抛物线。
二次函数的特点如下：1. 零点：二次函数的图像与x轴的交点称为零点。
根据一元二次方程的求解方法，可以求得二次函数的零点。
2. 极值点：二次函数的图像的最高点或最低点称为极值点。
当抛物线开口向上时，最低点为极小值点；当抛物线开口向下时，最高点为极大值点。
3. 对称轴：二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称。
对称轴的方程为x = -b/2a。
4. 变化趋势：二次函数的图像是一个平滑的曲线，变化趋势会向上或向下。
二次函数有许多实际应用，如弓箭的抛物线轨迹、天文学中的天体运动等。
例如，在弓箭的抛物线轨迹问题中，二次函数可以描述弓箭的轨迹；在天文学中的天体运动问题中，二次函数可以描述行星或彗星的轨迹。
专题十一次函数与二次函数的实际应用
专题十 一次函数与二次函数的实际应用(时间：40分钟 分值：50分)1．(6分)(2015嘉兴中考)小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程y(米)和所经过的时间x(分)之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：(1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？(2)小敏几点几分返回到家？解：(1)速度为300010＝300(米/分)，逗留时间为30分钟；(2)设返回家时，y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(40，3000)，(45，2000)代入得⎩⎪⎨⎪⎧3000＝40k ＋b ，2000＝45k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－200，b ＝11000，∴函数解析式为y ＝－200x ＋11000，当y ＝0时，x ＝55，∴返回到家的时间为8：55.2．(9分)(2015麒麟区三中模拟)为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1∶1.5∶2.下图折线表示实行阶梯水价后每月水费y(元)与用水量x m 3之间的函数关系．其中线段AB 表示第二级阶梯时y 与x 之间的函数关系．(1)写出点B 的实际意义；(2)求线段AB 所在直线的表达式；(3)某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？解：(1)图中B 点的实际意义表示当用水25m 3时，所交水费为90元；(2)设第一阶梯用水的单价为x 元/m 3，则第二阶梯用水单价为1.5x 元/m 3，设A(a ，45)，则⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝45ax ＋1.5x （25－a ）＝90，解得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15x ＝3，∴A(15，45)，B(25，90)，设线段AB 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧45＝15k ＋b 90＝25k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝92b ＝－452，∴线段AB 所在直线的表达式为y ＝92x －452；(3)设该户5月份用水量为x m 3(x ＞90)，由第(2)问知第二阶梯水的单价为4.5元/m 3，第三阶梯水的单价为6元/m 3，则根据题意得90＋6(x －25)＝102，解得，x ＝27，答：该用户5月份用水量为27m 3. 3．(9分)(2015衢州中考)高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y(千米)与乘车时间t(小时)的关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？(2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？(3)若乐乐要提前18分钟到达游乐园，那么私家车的速度必须达到多少千米/小时？解：(1)v ＝2402－1＝240.答：高铁的平均速度是每小时240千米；(2)设颖颖乘高铁段y ＝kt ＋b ，当t ＝1时，y ＝0，当t ＝2时，y ＝240，得：⎩⎪⎨⎪⎧0＝k ＋b 240＝2k ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝240b ＝－240，故把t ＝1.5代入y ＝240t －240，得y ＝120，设乐乐乘私家车段y ＝at ，当t ＝1.5，y ＝120，得a ＝80，∴y ＝80t ，当t ＝2，y ＝160，216－160＝56(千米)，∴乐乐距离游乐园还有56千米；(3)把y ＝216代入y ＝80t ，得t ＝2.7，2.7－1860＝2.4(小时)，2162.4＝90(千米/时)．∴乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到90千米/小时．4．(6分)(2015自贡中考)观察下表：(1)第3格的“特征多项式”为__12x ＋9y __，第4格的“特征多项式”为__16x ＋16y __，第n 格的“特征多项式”为__4nx ＋n 2y(n 为正整数)__．(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，①求x ，y 的值；②在此条件下，第n 格的特征是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n 值，若没有，说明理由．解：(2)①依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝－108x ＋4y ＝－16，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝2.②设最小值为W ，则依题意得：W ＝4nx ＋n 2y ＝－12n ＋2n 2＝2(n －3)2－18，答：有最小值为－18，相应的n 值为3.5．(10分)(2015世纪金源师大附中模拟)为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元. 根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元. 如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？解：(1)y ＝700－20(x －45)＝－20x ＋1600；(2)P ＝(x －40)(－20x ＋1600)＝－20x 2＋2400x －64000＝－20(x －60)2＋8000.∵x ≥45，a ＝－20＜0，∴当x ＝60时，P 最大值＝8000(元)．即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润最大，最大利润为8000元；(3)由题意，得－20(x －60)2＋8000＝6000.解这个方程，得x 1＝50，x 2＝70.∵抛物线P ＝－20(x －60)2＋8000的开口向下，∴当50≤x ≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元．又∵x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在y ＝－20x ＋1600中，k ＝－20＜0，∴y 随x 的增大而减小．∴当x ＝58时，y 最小值＝－20×58＋1600＝440.即超市每天至少销售粽子440盒．6．(10分)(2015南京中考)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝k 1x ＋b 1.因为y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－0.2，b 1＝60.这个一次函数的表达式为y 1＝－0.2x ＋60(0≤x ≤90)；(3)设y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝k 2x ＋b 2.因为y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－0.6，b 2＝120.这个一次函数的表达式为y 2＝－0.6x ＋120(0≤x ≤130)．设产量为x kg 时，获得的利润为W 元．当0≤x ≤90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2250.所以，当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2250.当90≤x ≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2535.当x ＝90时，W ＝－0.6×(90－65)2＋2535＝2160.由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，所以90≤x ≤130时，W ≤2160.因此，当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大利润是2250元．。
二次函数和一次函数的应用解法
二次函数和一次函数的应用解法二次函数和一次函数在数学中有着广泛的应用，可以解决许多实际问题。
本文将分别介绍二次函数和一次函数的基本概念，并通过示例说明它们的应用解法。
一、二次函数的应用解法二次函数是一个一元二次方程，其表达式形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在现实世界中的应用广泛，例如物体运动的抛物线轨迹、距离和时间的关系等。
1. 求解二次函数的顶点二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，可以用来确定函数的最值、对称轴等信息。
要求解二次函数的顶点坐标，可以使用以下公式：x = -b / (2a)y = f(x) = ax^2 + bx + c例子：考虑函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们可以通过求解顶点坐标来分析该函数的性质。
首先，根据公式计算出x = -4 / (2*2) = -1，将该值代入函数得到y =2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1。
因此，函数f(x)的顶点坐标为(-1, -1)。
2. 求解二次函数的零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，也就是函数取0的值的解。
可以使用因式分解或配方法来求解二次函数的零点。
例子：考虑函数f(x) = x^2 - 5x + 6，我们可以通过求解零点来找到函数的根。
首先，将函数进行因式分解得到f(x) = (x-2)(x-3)。
由此可知函数的零点为x=2和x=3。
二、一次函数的应用解法一次函数是一个一次方程，其表达式形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
一次函数在现实世界中的应用非常普遍，例如直线运动的速度、收入与支出的关系等。
1. 求解一次函数的斜率一次函数的斜率描述了函数在平面上的倾斜程度。
可以使用以下公式来求解一次函数的斜率：斜率k = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)其中，(x1, f(x1))和(x2, f(x2))为函数上两个不同点的坐标。
一次函数和二次函数及函数的应用
一次函数和二次函数及函数的应用*知识要点：一、一次函数1．一次函数的意义：一般地，如果y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)，那么y 叫做x的一次函数．这里应注意k≠0这一条件，当k=0时，y=b就不是一次函数了．一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是直线，其中ｋ叫做该直线的斜率，ｂ叫做该直线在ｙ轴上的截距。
一次函数又叫做线性函数。
2．正比例函数的意义：一般地，如果y=kx(k是常数，且k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．判断两个变量是否正比例函数，有两种方法：（1）先把一个变量用含另一个变量的解析式表示，然后对照是否是kx的形式；（2）看两个变量的比值是否是一个不等于零的常数．3．正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．4．一次函数的图象、性质．（1）函数值的改变量(y2-y1)与自变量(x2-x1)的比值等于常数k，k的大小表示直线与x轴的倾斜程度。
（2）当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数。
（4）直线y=kx+b与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，b）。
5．一次函数y=kx+b（k、b是常数且k≠0）中的k、b的符号很重要．由k 的符号决定函数值y随自变量x的变化如何变化；b的符号决定函数图象与y轴交点在正半轴还是负半轴上．6．求正比例函数和一次函数的解析式的方法是待定系数法．其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程（或方程组）；③解方程（或方程组），得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入所说的函数解析式中．二、二次函数1．如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．二次函数y = ax2，y = a (x－h)2，y = a (x－h)2+k，y = ax2+bx+c（各式中，a≠0）到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y = a (x－h)2+k的图象；当h>0,k<0时将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y = a (x－h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y = a (x－h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y = a (x－h)2+k的图象；因此，研究抛物线 y = ax2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y = a (x－h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是．3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数．若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．4．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与坐标轴的交点：（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；（2）当△=b2－4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1、x 2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x2－x1|==．当△=0．图象与x轴只有一个交点，即；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0（a<0），则当x=时，ymin(max)=．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）．（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x－h)2+k（a≠0）．（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x－x1)(x－x2)（a≠0）．。
一次函数与一元二次方程的实际应用
一次函数与一元二次方程的实际应用一次函数和一元二次方程是数学中常见的数学概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将探讨一次函数和一元二次方程的实际应用，并分析其在不同领域中的具体应用案例。
一、一次函数的实际应用一次函数（线性函数）的一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。
一次函数可以用来表达一些简单的线性关系，例如速度和时间、温度和时间等。
1. 金融领域：一次函数在金融领域中的应用非常广泛。
例如，银行的年利率计算中就使用了一次函数。
假设某银行的年利率是 5%，那么在一个存款周期（一年）内，存款金额 y 就是存款本金 x 乘以 1.05。
这个关系可以用一次函数形式表示为 y = 1.05x。
2. 经济领域：一次函数可以用来分析经济中的供求关系。
就业市场中，一个公司的雇员数量 y 可以表示为公司销售收入 x 的函数。
如果假设公司的销售收入每增加 100 万元，就需要雇佣 10 名雇员，那么这个关系可以用一次函数表示为 y = 0.1x。
这个函数可以帮助企业预测未来的人力资源需求。
3. 工程领域：一次函数在工程中也有广泛的应用。
例如，架设电线杆的成本可能与所用的原材料长度成正比。
假设每米原材料的成本为100 元，那么架设一根长度为 x 米的电线杆所需的成本 y 可以用一次函数表达为 y = 100x。
二、一元二次方程的实际应用一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
一元二次方程的实际应用非常广泛，例如经济学、物理学、工程学等领域。
1. 抛物线轨迹：抛物线是一元二次方程的图像，它在物理学中有着广泛的应用。
例如，一个抛体在自由落体运动中的轨迹可以用一元二次方程来描述。
假设一个物体从高度 H 抛掷，并以速度 V 抛出，那么物体的运动轨迹可以用一元二次方程 h = -g/2t^2 + Vt + H 来描述，其中g 是重力加速度， t 是时间， h 是物体的高度。
二次函数与一次函数的比较与应用
二次函数与一次函数的比较与应用在数学中，二次函数和一次函数是常见的函数类型。
它们在代数、几何以及实际问题中都有广泛的应用。
本文将对二次函数和一次函数进行比较，并探讨它们的应用领域。
一、二次函数的定义与性质二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的形状。
二次函数的最高次项是二次项，因此它所对应的方程的解可以是两个实数、一对共轭复数或者无实数解。
二次函数有以下几个重要的性质：1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；2. 领头项系数：a的绝对值决定了抛物线的开口程度，即抛物线的平缓程度；3. 对称轴：抛物线的对称轴是一个与y轴平行的直线，其方程可以通过求解二次函数关于x的轴对称点来得到；4. 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解二次方程来确定；5. 最值：当抛物线开口向上时，最小值存在；当抛物线开口向下时，最大值存在。
二、一次函数的定义与性质一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，且k≠0。
一次函数的图像是一条直线，它在坐标平面上呈线性关系，斜率k决定了直线的倾斜方向和程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
一次函数有以下几个重要的性质：1. 倾斜方向：当k>0时，直线向上倾斜；当k<0时，直线向下倾斜；2. 截距：b决定了直线与y轴的交点，即在x=0时，y的值为b；3. 零点：一次函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解一次方程来确定。
三、二次函数与一次函数的比较二次函数与一次函数在数学上有很多相似之处，同时也有一些明显的不同点。
首先，它们的定义式不同。
二次函数的方程中含有二次项，而一次函数的方程则不含有二次项。
其次，二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的形状，而一次函数的图像是一条直线。
另外，二次函数与一次函数在解析几何中的表示也有所不同。
一次函数与二次函数的比较与应用
一次函数与二次函数的比较与应用一、引言在数学中，一次函数和二次函数是常见的代数函数类型。
它们在数学应用和实际问题中起着重要的作用。
本文将比较一次函数和二次函数，并探讨它们的应用领域。
二、一次函数概述一次函数又称为一次方程，其一般形式为y = ax + b，其中a和b为常数，且a不为0。
一次函数的图像为一条直线，斜率为a，截距为b。
一次函数的特点包括线性增长，通常用来表示一元线性关系。
三、二次函数概述二次函数是一个关于变量的二次方程，一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为0。
二次函数的图像为一个抛物线，开口方向取决于a的正负，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的特点包括非线性增长和拥有极值点。
四、一次函数与二次函数的比较1. 增长速度一次函数的增长速度是恒定的，斜率决定了该函数的斜率的大小。
二次函数的增长速度是非恒定的，由于存在平方项，二次函数在x轴两侧的增长速度不同。
2. 极值点一次函数没有极值点。
二次函数的抛物线在开口方向上具有一个极小值或极大值点，称为顶点。
3. 函数图像一次函数的图像是一条直线，直线的特点是方向和斜率。
二次函数的图像是一个抛物线，抛物线的特点是开口方向、顶点位置和对称轴等。
4. 解析式一次函数的解析式只有两个常数项a和b，可以通过求解方程得到函数的值。
二次函数的解析式有三个常数项a、b和c，通常可通过配方法、求解方程或顶点法来获得函数的值。
五、一次函数与二次函数的应用1. 经济学一次函数和二次函数在经济学中的应用非常广泛。
例如，成本函数、利润函数、需求函数等可以使用一次函数或二次函数来进行建模和分析。
2. 物理学在物理学中，一次函数和二次函数可以用来描述各种物理量之间的关系。
例如，速度和时间之间的关系可以由一次函数表示，而自由落体高度和时间之间的关系可以由二次函数表示。
3. 工程学在工程学中，一次函数和二次函数常用于建模和解决实际问题。
一次函数、二次函数的实际应用
专题跟踪突破11 一次函数、二次函数的实际应用1．(导学号：01262169)(2016·潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1 100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x ≤100，由50x －1 100＞0，解得x ＞22，又∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元(2)设每辆车的净收入为y 元，当0＜x ≤100时，y 1＝50x －1 100，∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1 100＝3 900；当x ＞100时，y 2＝(50－x －1005)x －1 100＝－15x 2＋70x －1 100＝－15(x －175)2＋5 025，当x ＝175时，y 2的最大值为5 025，5 025＞3 900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5 025元2．(导学号：01262170)(2016·黑龙江)甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，两车离开A 城的距离y 与t 的对应关系如图所示：(1)A ，B 两城之间距离是多少千米？ (2)求乙车出发多长时间追上甲车？(3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．解：(1)由图象可知A ，B 两城之间距离是300千米(2)设乙车出发x 小时追上甲车．由图象可知，甲的速度＝3005＝60千米/小时．乙的速度＝3003＝100千米/小时．由题意得(100－60)x ＝60，解得x ＝32小时(3)设y 甲＝kx ＋b ∴y 甲＝60x －300，设y 乙＝k ′x ＋b ′∴y 乙＝100x －600，∵两车相距20千米，∴y 甲－y 乙＝20或y 乙－y 甲＝20或y 甲＝20或y 甲＝280，即60x －300－(100x －600)＝20或100x －600－(60x －300)＝20或60x －300＝20或60x －300＝280，解得x ＝7或8或163或293，∵7－5＝2，8－5＝3，163－5＝13，293－5＝143，∴甲车出发2小时或3小时或13小时或143小时，两车相距20千米3．(导学号：01262171)(2016·黄石) 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标表示科技馆从8:30开门后经过的时间（分钟），纵坐标表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为，10:00之后来的游客较少可忽略不计.(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？解：（1），（2），15+30+（90-78）=57分钟所以，馆外游客最多等待57分钟4．(导学号：01262072)(2016·青岛)某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系：(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式；(3)若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？解：(1)由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y(个)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，不妨设y ＝kx ＋b ，则(280，300)，(279，302)满足函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧280k ＋b ＝300，279k ＋b ＝302，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝860，产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y ＝－2x ＋860(2)观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间存在反比例函数关系，不妨设Q ＝m y ，将Q ＝60，y ＝160代入得到m ＝9 600，此时Q ＝9 600y(3)当Q ＝30时，y ＝320，由(1)可知y ＝－2x ＋860，所以x ＝270，即销售单价为270元，由于30270＝19，∴成本占销售价的19(4)若y ≤400，则Q ≥9 600400，即Q ≥24，固定成本至少是24元，400≥－2x ＋860，解得x ≥230，即销售单价最低为230元5．(导学号：01262073)(2016·绍兴)有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m 时，透光面积最大值约为1.05 m 2. 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6 m ，利用图3，解答下列问题：(1)若AB 为1 m ，求此时窗户的透光面积？(2)与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．解：(1)由已知可得：AD ＝6－1－1－1－122＝54，则S ＝1×54＝54(m 2)(2)设AB ＝x m ，则AD ＝(3－74x) m ，∵3－74x>0，∴0<x<127，设窗户面积为S ，由已知得：S ＝AB ·AD ＝x(3－74x)＝－74x 2＋3x ＝－74(x －67)2＋97，当x ＝67 m 时，且x ＝67 m 在0<x<127的范围内，S 最大值＝97m 2>1.05 m 2，∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大。
二次函数与一次函数的比较与应用总结
二次函数与一次函数的比较与应用总结一、引言二次函数与一次函数是高中数学中的两个重要概念，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将对二次函数与一次函数进行比较，探讨它们的共性与差异，并总结它们在实际问题中的应用。
二、二次函数与一次函数的定义与特点1. 二次函数的定义与特点二次函数是指函数的表达式中含有 x 的二次项，并且系数不为零。
它的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由 a 的符号决定。
二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，对称轴为 x = -b/2a。
2. 一次函数的定义与特点一次函数是指函数的表达式中只含有x 的一次项，并且系数不为零。
它的一般形式为：f(x) = kx + b，其中 k、b 为常数，k ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为 k，截距为 b。
三、二次函数与一次函数的比较1. 共性二次函数与一次函数都是二次多项式函数，它们的表达形式都符合多项式函数的定义。
同时，它们的定义域和值域都是实数集合。
2. 差异（1）图像形态：二次函数的图像是一条抛物线，而一次函数的图像是一条直线。
（2）增减性：二次函数的增减性由二次项的系数 a 的正负确定，而一次函数的增减性由斜率 k 的正负确定。
（3）极值点与拐点：二次函数的顶点即为极值点，对称轴为拐点；而一次函数没有极值点和拐点。
（4）导数：二次函数的导数是一次函数，而一次函数的导数是常数。
四、二次函数与一次函数的应用总结1. 二次函数的应用（1）抛物线的运动轨迹：二次函数的图像是一条抛物线，它能够描述抛物线的运动轨迹，如抛物线的高度、落点等。
（2）最值问题：利用二次函数的顶点可以求解最值问题，如确定某个函数的最大值或最小值。
（3）优化问题：通过分析二次函数的拐点，可以解决一些优化问题，如确定函数的最优解。
2. 一次函数的应用（1）直线的运动轨迹：一次函数的图像是一条直线，它能够描述直线的运动轨迹，如车辆行进的速度、水平线的倾斜度等。
二次函数和一次函数的综合应用
二次函数和一次函数的综合应用二次函数和一次函数是数学中常见的函数类型，它们在实际问题的解决中具有广泛的应用。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一次函数的一般形式为y=mx+n。
在本文中，将探讨二次函数和一次函数的综合应用，并通过实际问题的例子，说明它们在现实生活中的应用价值。
1. 抛物线的模型应用二次函数可以用来建立抛物线的模型，抛物线在现实生活中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，当考虑抛体在空中自由落体运动时，可以使用二次函数来描述物体的运动轨迹。
另外，抛物线也可用于炮弹的射程计算、杆塔的线拉力计算等工程问题。
2. 二次方程的求解二次函数与二次方程密切相关，二次方程是二次函数的零点问题。
二次方程的求解是解决许多实际问题的基础。
例如，在物理学中，当考虑自由落体运动时，可以通过求解二次方程来计算物体的时间、速度等参数。
在经济学中，二次方程可以用来解决成本、收益、利润等问题。
在工程领域中，二次方程可以应用于建筑、设计、模拟等方面。
3. 直线与曲线的交点问题一次函数和二次函数之间的交点问题是实际生活中常见的问题。
例如，在经济学中，我们可以通过求解一次函数和二次函数的交点，来分析生产成本与产量之间的关系，或者评估销售利润和销售数量之间的关系。
在几何学中，我们可以通过求解二次函数与一次函数的交点，来解决线段和抛物线的交点问题。
4. 最优化问题二次函数和一次函数也常用于解决最优化问题。
例如，在经济学中，我们可以通过建立成本函数和收益函数来优化生产和经营决策。
通过研究二次函数的顶点来确定最大值或最小值。
在物理学中，最优化问题也广泛应用于动力学、力学等领域。
综上所述，二次函数和一次函数的综合应用非常重要，并在许多领域中发挥着重要的作用。
通过建立模型、求解方程、分析交点和解决最优化问题，我们可以利用二次函数和一次函数来解决现实生活中的实际问题。
这些方法不仅在学术研究中有重要意义，也对我们的日常生活产生了积极的影响。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数在数学中，函数是一种映射关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合的唯一元素。
一次函数和二次函数是常见的函数类型，在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将重点讨论二次函数与一次函数的性质、图像特征以及它们在现实生活中的应用。
一、一次函数一次函数又被称为线性函数，是最简单的函数类型之一。
一次函数的一般形式为 y = ax + b，其中 a 和 b 分别是常数，而 x 是自变量。
一次函数的图像是一条斜率为 a 的直线，直线的截距是 b。
1. 性质：- 一次函数的图像是直线，且不经过原点（除非 b = 0）。
- 一次函数的斜率确定了直线的倾斜程度，斜率为正表示函数图像向上倾斜，斜率为负表示函数图像向下倾斜，斜率为零表示函数图像平行于 x 轴。
- 当 a = 0 时，函数为常数函数，图像是一条水平直线，斜率为零。
2. 图像特征：一次函数的图像是一条直线，其特征可以通过斜率和截距来确定。
斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与 y 轴的交点位置。
3. 应用：一次函数在实际问题中有广泛的应用。
例如，物体的匀速直线运动可以用一次函数来描述，其中自变量是时间，函数值是物体的位置。
此外，一次函数还可用于经济学中的成本函数、收益函数等方面的建模。
二、二次函数二次函数是一种二次多项式函数，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，而 x 是自变量。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由 a 的正负决定。
1. 性质：- 二次函数的图像是抛物线，开口方向决定于 a 的正负。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
- 二次函数图像的顶点坐标是 (-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中 f(x) 是二次函数的表达式。
- 当 a = 0 时，函数不再是二次函数，而是一次函数。
2. 图像特征：二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向和顶点位置是函数的主要特征。
一次函数与二次函数
一次函数与二次函数一、引言在数学中，一次函数和二次函数是代数学中常见的函数类型。
它们在数学和实际应用中有着广泛的应用和重要性。
本文将分别介绍一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及实际应用，并着重探讨它们的区别和联系。
二、一次函数1. 定义一次函数又被称为线性函数，它的定义可以表示为：f(x) = ax + b其中，a和b为常数。
2. 性质（1）斜率和截距：一次函数的斜率用a表示，表示直线与x轴正向所成角的正切值。
截距用b表示，表示直线与y轴交点的纵坐标。
（2）图像：一次函数的图像是一条直线，斜率为正表示向上斜，斜率为负表示向下斜。
（3）特殊情况：当a为0时，一次函数化为常数函数f(x) = b，图像为水平直线。
3. 实际应用（1）经济学：一次函数可以用来描述市场需求曲线、供应曲线以及成本函数等经济学中的关系模型。
（2）物理学：一次函数可以用来描述匀速直线运动的位移、速度、加速度等物理量之间的关系。
三、二次函数1. 定义二次函数是指形如下式的函数：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数且a ≠ 0。
2. 性质（1）顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中，b为一次项系数，a为二次项系数，f表示函数。
（2）开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
（3）图像：二次函数的图像通常是一个抛物线。
3. 实际应用（1）物理学：二次函数可以用来描述自由落体运动的位置、速度等物理量之间的关系。
（2）金融学：二次函数可以用来模拟金融衍生品的价格变动曲线、风险管理模型等。
四、一次函数与二次函数的区别和联系1. 区别（1）定义：一次函数是一次多项式，二次函数是二次多项式。
（2）图像形状：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
（3）解的个数：一次函数的解只有一个，即一次方程的根；而二次函数可以有零个、一个或两个解，即二次方程的根。
二次函数和一次函数的高级应用
二次函数和一次函数的高级应用二次函数和一次函数是数学中常见的函数类型。
它们在现实世界中有广泛的应用，可以用来描述和解决各种问题。
本文将介绍二次函数和一次函数的高级应用，包括优化问题、最值问题、模型建立等方面。
一、优化问题优化问题是指在一定的条件下寻找函数取得最值的过程。
对于二次函数和一次函数，我们可以通过求导的方法来解决优化问题。
二次函数的优化问题可以由二次函数的顶点坐标来确定。
顶点的横坐标可以通过二次函数的对称轴公式计算得到，即x = -b/2a。
然后将横坐标代入二次函数中求出纵坐标即可得到顶点坐标。
在一定条件下，顶点即为二次函数的最值点。
一次函数的优化问题可以通过一次函数的增减性来确定。
若一次函数是递增的，则函数的最小值在定义域的最小值点处取到；若一次函数是递减的，则函数的最大值在定义域的最大值点处取到。
二、最值问题最值问题是指在一定的条件下寻找函数的最大值或最小值。
对于二次函数和一次函数，我们可以通过求导的方法来解决最值问题。
对于二次函数，我们可以先求导得到一次函数，然后通过一次函数的最值点来确定二次函数的最值。
根据一次函数的增减性，可以判断出二次函数的最值。
对于一次函数，我们可以根据一次函数是递增还是递减来确定最值。
若一次函数是递增的，则函数的最小值在定义域的最小值点处取到；若一次函数是递减的，则函数的最大值在定义域的最大值点处取到。
三、模型建立在现实生活中，二次函数和一次函数可以用来建立各种实际问题的模型。
通过分析问题中的关系，将问题用数学语言描述出来，然后通过一次函数或二次函数来求解问题。
例如，根据某商品的销售历史数据，我们可以利用二次函数来建立销售量与时间的关系模型。
通过拟合得到的二次函数，可以对未来的销售量进行预测，进而指导生产和销售活动。
另外，一次函数也可以应用于模型建立中。
例如，根据某地的人口增长数据，我们可以通过一次函数来建立人口增长与时间的关系模型，从而预测未来的人口数量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题十 一次函数与二次函数的实际应用
(时间：40分钟 分值：50分)
1．(6分)(2015嘉兴中考)小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程y(米)和所经过的时间x(分)之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？
(2)小敏几点几分返回到家？
解：(1)速度为300010
＝300(米/分)，逗留时间为30分钟；(2)设返回家时，y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(40，3000)，(45，2000)代入得⎩⎪⎨⎪⎧3000＝40k ＋b ，2000＝45k ＋b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－200，b ＝11000，∴函数解析式为y ＝－200x ＋11000，当y ＝0时，x ＝55，∴返回到家的时间为8：55.
2．(9分)(2015麒麟区三中模拟)为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1∶1.5∶2.下图折线表示实行阶梯水价后每月水费y(元)与用水量x m 3之间的函数关系．其中线段AB 表示第二级阶梯时y 与x 之间的函数关系．
(1)写出点B 的实际意义；
(2)求线段AB 所在直线的表达式；
(3)某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？
解：(1)图中B 点的实际意义表示当用水25m 3时，所交水费为90元；(2)设第一阶梯用水的单价为x 元/m 3，则
第二阶梯用水单价为1.5x 元/m 3，设A(a ，45)，则⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝45ax ＋1.5x （25－a ）＝90，解得，⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝15x ＝3，∴A(15，45)，B(25，90)，设线段AB 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧45＝15k ＋b 90＝25k ＋b ，解得⎩
⎨⎧k ＝92b ＝－452
，∴线段AB 所在直线的表达式为y ＝92x －452
；(3)设该户5月份用水量为x m 3(x ＞90)，由第(2)问知第二阶梯水的单价为4.5元/m 3，第三阶梯水的单价为6元/m 3，则根据题意得90＋6(x －25)＝102，解得，x ＝27，答：该用户5月份用水量为27m 3. 3．(9分)(2015衢州中考)高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y(千米)与乘车时间t(小时)的关系如图所示．
请结合图象解决下面问题：
(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？
(2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？
(3)若乐乐要提前18分钟到达游乐园，那么私家车的速度必须达到多少千米/小时？
解：(1)v ＝2402－1
＝240.答：高铁的平均速度是每小时240千米；(2)设颖颖乘高铁段y ＝kt ＋b ，当t ＝1时，y ＝0，当t ＝2时，y ＝240，得：⎩⎪⎨⎪⎧0＝k ＋b 240＝2k ＋b ，解得：⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝240b ＝－240，故把t ＝1.5代入y ＝240t －240，得y ＝120，设乐乐乘私家车段y ＝at ，当t ＝1.5，y ＝120，得a ＝80，∴y ＝80t ，当t ＝2，y ＝160，216－160＝56(千米)，∴乐乐距离游
乐园还有56千米；(3)把y ＝216代入y ＝80t ，得t ＝2.7，2.7－1860＝2.4(小时)，2162.4
＝90(千米/时)．∴乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到90千米/小时．
4．(6分)(2015自贡中考)观察下表：
(1)第3格的“特征多项式”为__12x ＋9y __，第4格的“特征多项式”为__16x ＋16y __，第n 格的“特征多项式”为__4nx ＋n 2y(n 为正整数)__．
(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，
①求x ，y 的值；
②在此条件下，第n 格的特征是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n 值，若没有，说明理由．
解：(2)①依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝－108x ＋4y ＝－16，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝2
.②设最小值为W ，则依题意得：W ＝4nx ＋n 2y ＝－12n ＋2n 2＝2(n －3)2－18，答：有最小值为－18，相应的n 值为3.
5．(10分)(2015世纪金源师大附中模拟)为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元. 根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？
(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元. 如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
解：(1)y ＝700－20(x －45)＝－20x ＋1600；(2)P ＝(x －40)(－20x ＋1600)＝－20x 2＋2400x －64000＝－20(x －60)2＋8000.∵x ≥45，a ＝－20＜0，∴当x ＝60时，P 最大值＝8000(元)．即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润最大，最大利润为8000元；(3)由题意，得－20(x －60)2＋8000＝6000.解这个方程，得x 1＝50，x 2＝70.∵抛物线P ＝－20(x －60)2＋8000的开口向下，∴当50≤x ≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元．又∵x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在y ＝－20x ＋1600中，k ＝－20＜0，∴y 随x 的增大而减小．∴当x ＝58时，y 最小值＝－20×58＋1600＝440.即超市每天至少销售粽子440盒．
6．(10分)(2015南京中考)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg )之间的函数关系．
(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义；
(2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；
(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为
42元；(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝k 1x ＋b 1.因为y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，
42)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42.解方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧k 1＝－0.2，b 1＝60.这个一次函数的表达式为y 1＝－0.2x ＋60(0≤x ≤90)；(3)设y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝k 2x ＋b 2.因为y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝120，130k 2＋b 2
＝42.解方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧k 2＝－0.6，b 2＝120.这个一次函数的表达式为y 2＝－0.6x ＋120(0≤x ≤130)．设产量为x kg 时，获得的利润为W 元．当0≤x ≤90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2250.所以，当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2250.当90≤x ≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2535.当x ＝90时，W ＝－0.6×(90－65)2＋2535＝2160.由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，所以90≤x ≤130时，W ≤2160.因此，当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大利润是2250元．。