高二数学第二章章末总结 -学生版

合集下载

22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--第二章直线和圆的方程章末总结

第二章直线和圆的方程章末总结体系构建题型整合题型1 直线的倾斜角与斜率例1已知直线l 过P(−2,−1) ，且与以A(−4,2) ，B(1,3) 为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围为 . 答案： (−∞,−32]∪[43,+∞)解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示，由已知得直线PA 的斜率k PA =−32 ，直线PB 的斜率k PB =43 ，由图可知，当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90∘ ，故斜率的取值范围是[43,+∞) ；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 时，它的倾斜角由90∘ 增大到PA 的倾斜角，故斜率的变化范围是(−∞,−32] .综上可知，直线l 的斜率的取值范围是(−∞,−32]∪[43,+∞) . 方法归纳求直线的倾斜角与斜率的注意点：（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断倾斜角的取值范围.（2）当直线的倾斜角α∈[0,π2) 时，随着α 的增大，直线的斜率k 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(π2,π) 时，随着α 的增大，直线的斜率k 为负值且逐渐变大. 迁移应用1.（2021四川绵阳南山中学高二期中）经过点P(0,−1) 作直线l ，若直线l 与以A(1,−2) ，B(2,1) 为端点的线段AB 相交，则l 的倾斜角的取值范围是( )A.[0,π4] B.[π4,3 π4]C.[3 π4,π)D.[0,π4]∪[3 π4,π) 答案：D解析：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α ，由题意知k PA =−1−(−2)0−1=−1 ，k PB =−1−10−2=1 ，由图可知，−1≤k ≤1 ，所以0≤α≤π4或3 π4≤α＜π .题型2 直线的方程及其应用例2（2021重庆十八中高二期中）已知点A(−1,0) 和点B 关于直线l ：x +y −1=0 对称.（1）若直线l 1 过点B ，且使得点A 到直线l 1 的距离最大，求直线l 1 的方程；（2）若直线l 2 过点A ，且与直线l 交于点C ，△ABC 的面积为2，求直线l 2 的方程. 答案：（1）设点B(m,n) ，则{−1+m 2+n2−1=0,n m+1=1, 解得{m =1,n =2,所以点A(−1,0) 关于直线l ：x +y −1=0 对称的点B 的坐标为(1,2).若直线l 1 过点B ，且使得点A 到直线l 1 的距离最大，则直线l 1 与过点A ，B 的直线垂直，所以直线l 1 的斜率k =−1kAB=−1 ，故直线l 1 的方程为y −2=−(x −1) ，即x +y −3=0 .（2）|AB|=√(2−0)2+(1+1)2=2√2 ，因为△ABC 的面积为2，所以△ABC 的AB 边上的高ℎ=2√2=√2 ，又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB 的距离为√2 . 易知直线AB 的方程为y =x +1 ，设C(a,b) ，则√2=√2 ，即b =a −1 或b =a +3 ，又b =1−a ，解得{a =1,b =0或{a =−1,b =2,则直线l 2 的方程为y =0 或x =−1 . 方法归纳求直线方程的两种方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.（2）待定系数法：设出含有参数的直线方程，由已知条件求出参数的值，即可得到所求直线方程. 迁移应用2.（2021安徽宿州十三所重点中学高二期中）已知直线l ：2x +3y +6=0 . （1）求经过点P(2,−1) 且与直线l 平行的直线的方程；（2）求与直线l 垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3的直线方程. 答案：（1）由题意可设所求直线的方程为2x +3y +λ=0(λ≠6) .把点P(2,−1) 代入得4−3+λ=0 ，即λ=−1 ，故所求直线的方程为2x +3y −1=0 . （2）由题意可设所求直线的方程为3x −2y +m =0 . 令y =0 ，则x =−m3 ；令x =0 ，则y =m2 . 由题意知，12⋅|−m3|⋅|m2|=3 ，解得m =±6 ，故所求直线的方程为3x −2y −6=0 或3x −2y +6=0 .题型3 与圆有关的最值问题例3已知M(m,n) 为圆C ：x 2+y 2−4x −14y +45=0 上任意一点. （1）求n−3m+2的最大值和最小值；（2）求m 2+n 2 的最大值和最小值.答案：（1）由题意知圆C 的圆心为C(2,7) ，半径r =2√2 .记点Q(−2,3) ， ∵n−3m+2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y −3=k(x +2) ，即kx −y +2k +3=0 ，∵ 直线MQ 与圆C 有公共点， ∴√k 2+1≤2√2 ，解得2−√3≤k ≤2+√3 ，∴n−3的最大值为2+√3，最小值为2−√3 .m+2（2）设μ=(m−0)2+(n−0)2，则该式等价于点M(m,n)与原点的距离的平方，∴μmax=(√(2−0)2+(7−0)2+r)2，=(√53+2√2)2=61+4√106μmin=(√(2−0)2+(7−0)2−r)2，=(√53−2√2)2=61−4√106∴m2+n2的最大值为61+4√106，最小值为61−4√106 .方法归纳（1）求x−a型的最大值和最小值可转化为求过点(x,y)和(a,b)的直线斜率的最大值y−b和最小值；（2）求(x−a)2+(y−b)2型的最大值和最小值可转化为求(x,y)与(a,b)的距离的最大值和最小值的平方.迁移应用3.（2021四川宜宾叙州二中高二月考）已知点(x,y)满足x2+y2=1，则x+y的取值范围是( )A.[−√2,√2]B.[−1,1]C.[1,√2]D.(1,√2]答案：A解析：设x+y=b，则圆心(0,0)到直线x+y=b的距离小于或等于半径，≤1，即√12+12解得−√2≤b≤√2，故−√2≤x+y≤√2.题型4 直线与圆的综合问题例4（2021浙江湖州高二期中）如图，已知圆O:x2+y2=1，点P(t,4)为直线y=4上一点，过点P作圆O的切线，切点分别为M，N.（1）已知t=1，求切线方程；（2）直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；（3）当t＞1时，两条切线分别交y轴于点A，B，连接OM，ON，记四边形PMON的面积为S1，三角形PAB的面积为S2，求S1⋅S2的最小值.答案：（1）当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1，符合题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=k(x−1)，即kx−y−k+4=0.由d =r 得√k 2+1=1 ，解得k =158，所以切线方程为y =158x +178.综上，切线方程为x =1 或y =158x +178.（2）由题意得M ，N 在以点P 为圆心，切线长PM 为半径的圆上，则圆P ：(x −t)2+(y −4)2=t 2+15 ，联立得{(x −t)2+(y −4)2=t 2+15,x 2+y 2=1,化简得tx +4y −1=0 ，则{x =0,4y −1=0, 解得{x =0,y =14,所以直线MN 过定点(0,14) .（3）连接PO ，易知S 1=2S △PMO =2×12|PM|⋅|OM|=√t 2+15 ，设l PM :y −4=k 1(x −t) ，l PN :y −4=k 2(x −t) ，则A(0,4−k 1t) ，B(0,4−k 2t) ，∴|AB|=|k 1−k 2|t ，∴S △PAB =12|AB|⋅t =12|k 1−k 2|⋅t 2 . 过点P 作圆O 的切线方程记为y −4=k(x −t) ，即kx −y −kt +4=0 ，由d =r 得√k 2+1=1 ，整理得(t 2−1)k 2−8tk +15=0, 则该方程的两根为k 1 ，k 2 ，所以k 1+k 2=8tt 2−1 ，k 1⋅k 2=15t 2−1 ，则|k 1−k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=2√t 2+15t 2−1，所以S 2=√t 2+15⋅t 2t 2−1，则S 1⋅S 2=t 2(t 2+15)t 2−1(t >1) ，令m =t 2−1 ，则S 1⋅S 2=(m+1)(m+16)m=m +16m+17≥2√m ⋅16m+17=25 ，当且仅当m =4 ，即t =√5 时，等号成立，所以(S 1⋅S 2)min =25 . 方法归纳解决平面几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决；二是将曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、判别式法、函数单调性法以及基本不等式法求解. 迁移应用4.已知圆O:x 2+y 2=2 ，直线l:y =kx −2 .（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB =π2 ，求k 的值；（2）若k=12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试问：直线CD是否过定点？请说明理由.答案：（1）根据题意，圆O的圆心为O(0,0)，半径r=√2，若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且∠AOB=π2，则点O到l的距离d=√22r=1，所以√k2+1=1，解得k=±√3.（2）由题意可知O、P、C、D四点在以OP为直径的圆上，设P(t,12t−2)，则以OP为直径的圆的方程为x(x−t)+y(y−12t+2)=0，即x2+y2−tx−(12t−2)y=0，又C、D在圆O：x2+y2=2上，即直线CD为两个圆的公共弦所在的直线，则直线CD的方程为tx+(12t−2)y−2=0，即(x+y2)t−2(y+1)=0，令{x+y2=0,y+1=0,可得{x=12,y=−1,即直线CD过定点(12,−1).题型5 直线与圆的方程的应用例5 （2021江苏南京田家炳高级中学高二检测）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45∘方向且距O岛40√2千米处，B岛在O 岛的正东方向且距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点.（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30∘方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45∘方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由. 答案：（1）由题意得A(40,40)、B(20,0)，设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，则{F=0,402+402+40D+40E+F=0,202+20D+F=0,解得D=−20，E=−60，F=0，所以圆C的方程为x2+y2−20x−60y=0. （2）由题意得D(−20,−20√3)，且该船的航线所在的直线l的斜率为1，故该船的航线为直线l：x−y+20−20√3=0，由（1）知圆心为C(10,30) ，半径r =10√10 ，因为圆心C 到直线l 的距离d =√3|√12+12=10√6<10√10 ，所以该船有触礁的危险.方法归纳直线与圆的方程的应用，一般先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示点，把直线和圆看成满足某种条件的点的集合或轨迹，再用直线和圆上的点的坐标(x,y) 满足的方程表示直线和圆，通过研究方程，解决实际问题. 迁移应用5.树林的边界是直线l （如图CD 所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l 的垂线AC 上的点A 和点B 处，|AB|=|BC|=a （a 为正常数），若兔子沿AD 方向以速度2μ 向树林逃跑，同时狼沿BM(M ∈AD) 方向以速度μ 进行追击（μ 为正常数），如果狼到达M 处的时间不多于兔子到达M 处的时间，那么狼就会吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积S(a) ；（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC) 的取值范围. 答案：（1）如图，建立平面直角坐标系，则A(0,2a) ，B(0,a) ，设M(x,y) ，由|BM|μ≤|AM|2μ得x 2+(y −2a 3)2≤4a 29，∴M 在以(0,2a3) 为圆心，2a3 为半径的圆上及其内部， ∴S(a)=4a 29π .（2）设l AD :y =kx +2a(k ≠0) ，由兔子要想不被狼吃掉得|2a−2a3|√1+k 22a3 ，解得k ∈(−√3,0)∪(0,√3) ， ∴0<∠ADC <π3 ，∴θ∈(π6,π2) .高考链接1.（2020课标Ⅰ文，6，5分）已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解析：根据题意，将圆的方程化为(x−3)2+y2=9，所以圆心为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，弦长最短，此时|CP|=√(3−1)2+(0−2)2=2√2，所以弦长的最小值为2√9−|CP|2=2.2.（2020北京，5，4分）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )A.4B.5C.6D.7答案：A解析：设圆心为C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|≥|OM|−1=√32+42−1=4，所以|OC|≥4，当且仅当C是线段OM与圆M的交点时取等号，故选A.3.（2020课标Ⅱ理，5，5分）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为( )A.√55B.2√55C.3√55D.4√55答案：B解析：由题意可知该圆的圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，所以圆的标准方程为(x−a)2+(y−a)2=a2. 由题意可得(2−a)2+(1−a)2=a2，整理得a2−6a+5=0，解得a=1或a=5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，则圆心(1,1)到直线2x−y−3=0的距离d1=√5=2√55，圆心(5,5)到直线2x−y−3=0的距离d2=√5=2√55，所以圆心到直线2x −y −3=0 的距离为2√55.4.（2020天津，12，5分）已知直线x −√3y +8=0 和圆x 2+y 2=r 2(r ＞0) 相交于A ，B 两点.若|AB|=6 ，则r 的值为 . 答案： 5解析：圆心(0,0)到直线x −√3y +8=0 的距离d =√1+3=4 ，由|AB|=2√r 2−d 2 可得6=2√r 2−42 ，解得r =5 .5.（2018江苏，12，5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y =2x 上在第一象限内的点，B(5,0) ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则点A 的横坐标为 . 答案：3解析：设A(a,2a)(a ＞0) ，则由圆心C 为AB 的中点得C(a+52,a) ，易得圆C ：(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0 ，与y =2x 联立解得点D 的横坐标为x D =1 ，所以D(1,2) .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−a,−2a) ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a+52,2−a) ，由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 得(5−a)(1−a+52)+(−2a)⋅(2−a)=0 ，整理得a 2−2a −3=0 ，解得a =3 或a =−1 （舍去）.6.（2019浙江，12，6分）已知圆C 的圆心坐标是(0,m) ，半径长是r .若直线2x −y +3=0 与圆C 相切于点A(−2,−1) ，则m = ，r = . 答案：-2; √5解析：由题意可知k AC =−12⇒ 直线AC 的方程为y +1=−12(x +2) ，把(0,m) 代入得m =−2 .此时r =|AC|=√4+1=√5 .。

高二数学选修1、2章末

a → → 的坐标是 (x0 ， y0)，由AM ＝ λ AB 得 x0＋e ，y0 ＝
第二章
圆锥曲线与方程
a x0＝ (λ－1) e 所以， y0＝λa x2 y2 0 0 因为点 M 在椭圆上，所以a2＋b2＝1，
a (λ－1)2 e
第二章
圆锥曲线与方程
章末归纳总结
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数
的方法研究几何问题．本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质．
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
[例1]
已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个
人教 A 版数学
焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方
人教 A 版数学
点题型．
第二章
圆锥曲线与方程
人教 A 版数学
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)， ∴kAD·BD＝－1， k y1 y2 即 · ＝－1， x1－2 x2－2 ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 3(m2－4k2) 4(m2－3) 16mk 2 ＋ 2 ＋ 2＋4＝0， 3＋4k 3＋4k 3＋4k 7m2＋16mk＋4k2＝0， 2k 解得 m1＝－2k，m2＝－ 7 ，且满足 3＋4k2－m2>0.

高二数学选修课件：2章归纳总结

人教 B 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点和热点之一，以选择题、填空题为主．其次考查以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，这类问题以解答题为主，预测未来的高考会从以下几个方面
人教 B 版数学
来命题；
(1)运用双曲线的定义解决双曲线上的一点到焦点的距离、焦点弦(过焦点的弦)等有关问题，双曲线的定义仍将是今后考查的重点；
的方法，以及如何利用曲线的方程，讨论曲线的几何性
质． 4．学习这一章要注意学习如何利用运动、变化的观点思考问题，如何运用数学研究运动变化的现实世界，以提高分析问题和解决问题的能力．
第二章
圆锥曲线与方程
5．本章研究几何图形时，大量采用了坐标法，利用曲
线的方程讨论曲线的性质，解决几何问题．由于几何研究的对象是图形，而图形的直观性会帮助我们发现问题，启发我们的思路，找出解决问题的有效方法，所以在解本章题目时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，
人教 B 版数学
将形与数结合起来．
6．圆锥曲线在生产和日常生活中有许多重要的应用，为了解决与椭圆、双曲线、抛物线有关的实际问题，首先要把实际问题转化为数学问题，如何对实际问题进行数学抽象，如何通过选择适当的坐标系使问题变得简单．
第二章
圆锥曲线与方程
人教 B 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
第二章
圆锥曲线与方程
本章归纳总结
人教 B 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
人教 B 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
1．这一章导出了几种不同形式的椭圆、双曲线、抛 x2 y2 物线的方程，其中最重要的是它们的标准方程 2 ＋ 2 ＝ a b x2 y2 1(a>b>0)，a2－b2＝1(a>0，b>0)，y2＝2px(p>0)由这三种方程可以演变出其余的方程，学习时要熟悉并掌握这三种方程．

第二章直线和圆的方程(章末小结)高二数学(人教A版2019选择性)

方法归纳——5.与圆相关的最值问题
与圆相关的最值结论：
(3)如图，已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为|PM|＝d－r，距离的最大值为|PN|＝ d＋r(过圆心C作l 的垂线，垂足为P，CP与圆C交于点M，其反向延长线交圆C于
方法归纳——5.与圆相关的最值问题
有关圆的最值问题，还可利用数形结合求解． ①形如 k＝yx－－ba的最值问题可转化为求动直线斜率的最值问题； ②形如 t＝ax＋by 的最值问题转化为动直线截距的最值问题； ③形如(x－a)2＋(y－b)2 的最值问题转化为动点到定点(a，b)距离平方的最值问题．
过圆C1 : x2 y2 D1x E1 y F1 0和圆C2 : x2 y2 D2 x E2 y F2 0交点的圆系方程(但不包括圆C2 ).
R,方程x2 y2 Dx Ey F ( Ax By C) 0表示
过圆x2 y2 D1x E1y F1 0和直线Ax By C 0交点的圆系方程.
B A
O2 O1
OO2 1
两圆交点个数
几何法：圆心距d与R±r的
关系
代数法：联立两圆方程，消元所得方程解的个数(△的
正负)
0个
1个
2个
1个
0个
| O1O2 | R r | O1O2 | R r | R r || O1O2 | R r | O1O2 || R r | 0 | O1O2 || R r |
方法归纳——6.求轨迹方程
轨迹的定义：平面上一动点M,按照一定规则运动,形成的曲线叫做动点M的轨迹. 轨迹方程的定义：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满足的关系式. 若求“轨迹方程”，只需写出动点坐标x,y满足的关系式，注意x,y的取值范围；若求“轨迹”，则要先求出“轨迹方程”，再说明方程的轨迹图形，注意“补漏”和

直线和圆的方程章末重难点归纳总结-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

第2章直线和圆的方程章末重难点归纳总结重点一直线的倾斜角与斜率【例1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【解析】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-．由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C【例1-2】（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈； ①若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ①若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．【答案】①①①【解析】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于①中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以①错误；对于①中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以①错误.故答案为：①①①. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若经过()1,1A a a -+和()3,B a 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值可能为（） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】BCD 【解析】由题意得110132AB a a k a a+-==<----，即20a +>，所以2a >-，故选：BCD ．2．（2022·黑龙江黑河）直线l 经过点()1,1P -和以()()3,1,3,2M N -为端点的线段相交，直线l 斜率的取值范围是（） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【解析】13,22PM PN k k =-=，画出图象如下图所示，由图可知，直线l 的斜率k 满足PN k k ≥或PM k k ≤ 所以直线l 的斜率的取值范围是13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：D3．（2022·全国·高二课时练习）已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-【答案】A【解析】直线20x ay +-=过点()2,0C ，画出图象如下图所示，20212BC k -==--，10132AC k -==-，由于直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，当0a =时，直线2x =与线段AB 有公共点，不符合题意，当0a ≠时，直线20x ay +-=的斜率为1a -，根据图象可知1a-的取值范围是()()2,00,1-⋃，所以a 的取值范围是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A重点二直线的位置关系【例2-1】（2022·江西）已知条件p ：直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件q ：1a =，则p 是q 的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行，则221a a =+，故1a =或12a =-．当1a =时，()2110a x a y ++-=即为2+-1=0x y ，此时直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行；当12a =-时，()2110a x a y ++-=为111024x y +-=，即2-40x y +=，此时直线2x ＋y －4＝0与直线()2110a x a y ++-=重合，不符合，即1a =，故p 是q 的充要条件．故选：A ．【例2-2】．（2022·河南）已知直线1l ：()220a x ay -++=，2l ：()20x a y a +-+=，则“12l l ⊥”是“1a =-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1a =-时，1:32l y x =-+，211:33l y x =-，121313k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥；当12l l ⊥时，可得()()()()212210a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =，所以“12l l ⊥”是“1a =-”的必要不充分条件．故选：B ．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k ，则下列命题①若12//l l ，则斜率12k k =； ①若斜率12k k =，则12//l l ； ①若12//l l ，则倾斜角12a a =；①若倾斜角12a a =，则12//l l ；其中正确命题的个数是______．【答案】4【解析】因为1l 与2l 为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k . ①由于斜率都存在，若12//l l ，则12k k =，此命题正确；①因为两直线的斜率相等即斜率12k k =，得到倾斜角的正切值相等即12tan tan a a =，即可得到12a a =，所以12//l l ，此命题正确；①因为12//l l ，根据两直线平行，得到12a a =，此命题正确；①因为两直线的倾斜角12a a =，根据同位角相等，得到12//l l ，此命题正确；所以正确的命题个数是4．故答案为：4．2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（） A ．1a =- B ．1a = C ．1a =± D ．0a =【答案】A【解析】因为直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，易知0a =时，两直线垂直，所以l m ∥的充要条件是11a aa a=≠，即1a =-．故选：A ．3．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）（多选）若直线过点()1,2P 且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（） A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y ++=【答案】ABC【解析】A ：显然()1,2P 在10x y -+=上，且在x 、y 轴上的截距均为1，符合； B ：显然()1,2P 在30x y +-=上，且在x 、y 轴上的截距均为3，符合； C ：显然()1,2P 在20x y -=上，且在x 、y 轴上的截距均为0，符合； D ：()1,2P 不在10x y ++=上，不符合. 故选：ABC4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下述正确的是（） A ．直线l 的斜率可以等于0 B ．直线l 的斜率有可能不存在 C ．直线l 可能过点()2,1 D ．直线l 的横、纵截距可能相等【答案】BD【解析】因为直线:10l x my m -+-=，若0m =，则直线的斜率不存在，故B 正确；若0m ≠，则直线的斜率存在，且斜率1k m=，不可能为0，故A 错误；将点()2,1代入直线方程得2110m m -+-=≠，故C 错误；令1m =，则直线方程为0x y -=，横纵截距均为0，故D 正确．故选：BD5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若直线10ax y a +-+=与直线()230a x y a --+=垂直，则实数a 的值可能为（） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3【答案】AD【解析】由题意得(2)1(3)0a a -+⨯-=，即2230a a --=.解得1a =-或3a =．故选：AD ．6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，下列命题中正确的有（）A ．当3m =时，1l 与2l 重合B ．若12l l ∥，则0m =C ．1l 过定点(6,0)-D ．2l 一定不与坐标轴平行【答案】AC【解析】当3m =时，直线1:360l x y ++=，直线2:360l x y ++=，即两直线重合，故A 正确；当12l l ∥时，有(2)3m m -=且26(2)m m ≠-，解得1m =-，故B 错误；因为6060m -+⨯+=，所以直线1l 过定点(6,0)-，故C 正确；当2m =时，直线24:3l y =-与x 轴平行，故D 错误；故选：AC ．重点三直线与圆的位置关系【例3-1】（2022·全国·高二单元测试）已知直线1l ：122y x =+，直线2l 是直线1l 绕点()2,1P -逆时针旋转45︒得到的直线，则直线2l 的方程是（） A ．3yxB ．1533y x =+C ．37y x =-+D ．37y x =+【答案】D【解析】设直线1l 的倾斜角为θ，则1tan 2θ=，又直线2l 是直线1l 绕点()2,1P -逆时针旋转45︒得到的直线，所以直线2l 的倾斜角为45θ+︒，故直线2l 的斜率为()11tan tan 452tan 45311tan tan 45112θθθ++︒+︒===-⋅︒-⨯，故直线2l 的方程是()132y x -=+，即37y x =+，故选：D ．【例3-2】（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）过点4,2P 且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是（） A ．43190x y --= B ．43100x y +-= C ．34160x y --= D ．3480x y +-=【答案】B【解析】由题设，与直线3460x y -+=垂直的直线斜率为43-，且过4,2P ，所以42(4)3y x +=--，整理得43100x y +-=.故选：B【例3-3】（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=，则aba b+的最大值为（） A ．322+ B ．322-C 2 D ．16【答案】B【解析】圆C ：222420170x y x y +---=，∴圆心(1,2)C ，直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=， ∴直线()100,0ax by a b +-=>>过圆心(1,2)C ，即()210,0a b a b +=>>， 11112()(2)3223a b b aa b ab a b a b a b+∴=+=++=++≥， (322)322223(223)(322)ab a b -∴≤=-+++-当且仅当2b a a b =，即22212b a ==，ab a b +的最大值为322- 故选：B【一隅三反】1（2022·云南曲靖·高二期末）（多选）已知圆22(1)(1)4x y -+-=与直线20x my m +--=，则（） A ．直线与圆必相交B ．直线与圆不一定相交C ．直线与圆相交所截的最短弦长为23D ．直线与圆可以相切【答案】AC【解析】由题意，圆22(1)(1)4x y -+-=的圆心()1,1C ，半径2r =，直线20x my m +--=变形得()210x m y -+-=，得直线过定点()21A ，， ①()()22211112CA =-+-<，①直线与圆必相交，故A 对，B 、D 错；由平面几何知识可知，当直线与过定点A 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为22223r CA -C 对；故选：AC ．2．（2022·全国·高二课时练习）方程()2y k x =-表示（） A ．通过点()2,0的所有直线B ．通过点()2,0且不垂直于y 轴的所有直线C ．通过点()2,0且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点()2,0且除去x 轴的所有直线【答案】C【解析】(2)y k x =-为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点()2,0．故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（） A ．直线l 的斜率可以等于0 B ．直线l 的斜率有可能不存在C ．直线l 可能过点()2,1D ．直线l 在x 轴、y 轴上的截距不可能相等【答案】B【解析】若0m =，则直线的斜率不存在，故B 正确；若0m ≠，直线的斜率存在，且斜率1k m=，不可能为0，故A 错误；将点(2,1)代入直线方程得：2110m m -+-=≠，故C 错误；令1m =，则直线方程为：0x y -=，横纵截距均为0，故D 错误.故选：B.重点四圆与圆的位置关系【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切，22(0)021a --+=+，所以a ＝－3或a ＝3； 22(0)021a --+=-，所以a ＝1或a ＝－1．当3a =时，圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切，所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的充分条件．当圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切时，3a =不一定成立，所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的不必要条件．所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的充分不必要条件．故选：A 【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:1C x y +=和222:540C x y x +-+=，则两圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【答案】C【解析】由题意，知圆1C 的圆心1(0,0)C ，半径1r =.圆2C 的方程可化为225924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则其圆心25,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径32R =.因为两圆的圆心距12531+22C C R r ===+，故两圆外切. 故选：C.2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆1O 的方程为()()224x a y b -+-=，圆2O 的方程为()2211x y b +-+=，其中a ，b ∈R ．那么这两个圆的位置关系可能为（）A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】ABD【解析】由题意可得圆心()1,O a b ，半径12r =，圆心()20,1O b -，半径21r =，则2121211O O a r r =+=-，所以两圆不可能内含．故选：ABD ．3．（2022·山东青岛·二模）（多选）已知22:60C x y x +-=，则下述正确的是（） A ．圆C 的半径3r =B ．点(1,22在圆C 的内部 C ．直线:330l x y +=与圆C 相切D ．圆()22:14C x y '++=与圆C 相交【答案】ACD【解析】由2260x y x +-=，得22(3)9x y -+=，则圆心(3,0)C ，半径13r =，所以A 正确，对于B ，因为点(1,2222(31)(022)233-+-=>，所以点(1,22在圆C 的外部，所以B 错误，对于C ，因为圆心(3,0)C 到直线:330l x y +=的距离为()12233313d r +===+，所以直线:330l x +=与圆C 相切，所以C 正确，对于D ，圆()22:14C x y '++=的圆心为(1,0)C '-，半径22r =，因为2(31)4CC '=+=，12124r r r r -<<+，所以圆()22:14C x y '++=与圆C 相交，所以D 正确，故选：ACD重点五切线问题【例5-1】（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线()10ax y a R -+=∈是圆22:124C x y 的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（） A 6B 10 C 14D ．32【答案】C【解析】由圆22:124C x y ，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆22:124C x y 的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上，所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ，所以()223332AC =-+=所以22218414AB AC =--故选：C【例5-2】．（2022·全国·高三专题练习）直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为25r b + 因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，22||=3+4PC ，圆的半径为3，所以224PQ PC r =-=，故选：B.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）设点()P a b ，为直线3y x =-上一点，则由该点向圆222430x y x y ++-+=所作的切线长的最小值是（） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题知3a b =+，圆化简为：22(1)(2)2x y ++-=，则圆心()12-，2 所以由点()a b ，向圆所作的切线长为：()()()()22221223122a b b b ++--=+++--()2224182116b b b ++++ 当1b =-时，切线长取得最小值4. 故选：C.2．（2022·河北邯郸·高二期末）已知圆22:4480C x y x y +---=，直线:280l x y -+=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为点A ，B ，圆C 的圆心为C ，当四边形PACB 的面积最小时，AB =（） A 25B 45C 65D 85【答案】D【解析】圆C 化为()()222216x y -+-=，①圆心为()2,2C ，半径为4.若使四边形PACB 的面积最小，则需使PAC △的面积最小，即PA 最小， ①22PC PA AC =+C 到直线l 的距离，2228255d ⨯=-+=此时25PC =2PA =， 111222AB PC PA AC ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭， ①85225AB =. 故选：D3．（2022·全国·高二专题练习）若直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ，则AB =（）A ．1B 2C 3D ．22【答案】C【解析】如下图所示，设直线l 交x 轴于点M ，由于直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ，则1AC l ⊥，2BC l ⊥，12//AC BC ∴，2122BC AC ==，1C ∴为2MC 的中点，A ∴为BM 的中点，1122MC C C ∴==，由勾股定理可得22113AB MA MC AC ==-=故选：C.4．（2022·广东）过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【解析】方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=. 故答案为：20x y +-=5．（2022·全国·高二课时练习）设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若23AB =l 的方程为___________. 【答案】0x =或34120x y +-=【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，此时23AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =，所以圆心C 到直线l 的距离2213211k k d k k -++++因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=. 综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=. 故答案为：0x =或34120x y +-=6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）过圆22:2O x y +=上一点P 作圆()()22:442C x y -+-=的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为___________.【答案】4【解析】由题意(4,4)C ，半径为2CQ2222PQ PC CQ PC =--224442CO =+22:2CO x y +=的半径为2r =min 42232PC = 所以2min (32)24PQ -=．故答案为：4．。

高二数学必修2第二章异面直线成角(线线角)求解方法情况总结与例题

构造异面直线所成角的几种方法二、例题讲解例1已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N 的关系是（）．A．M=N B．M N C．M N D．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）a B．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）a D．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．图-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。

高二数学选择性必修1各章知识点总结

高二数学选择性必修1各章知识点总结第一章：函数与方程函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数一般用符号表示为f(x)或者y=f(x)。

函数的表示与性质函数可以通过定义域、值域、图像、表达式等方式来表示。

它的性质包括奇偶性、周期性、单调性等。

一次函数和二次函数一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数。

二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是常数。

指数函数和对数函数指数函数是指形如y=a^x的函数，其中a是常数。

对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a是常数。

第二章：三角函数及其应用三角函数的概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数等一系列与三角比有关的函数。

三角函数的图像与性质三角函数的图像包括正弦函数的图像、余弦函数的图像和正切函数的图像。

它们具有周期性、奇偶性和单调性等性质。

三角函数的特殊值三角函数在某些特殊角度的取值是固定的，比如sin 0°=0、cos 0°=1、tan 0°=0等。

三角函数的基本关系式三角函数之间存在一些基本关系式，如sin2θ+cos2θ=1、tanθ=sinθ/cosθ等。

第三章：数列与数学归纳法数列的概念数列是指按照一定规律排列的一组数，其中每个数都称为数列的项。

数列的通项公式数列的通项公式是指可以用一个公式表示数列中第n项的公式。

数列的等差数列与等比数列等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。

等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。

数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它包括基本步骤和归纳假设两部分。

第四章：平面解析几何坐标系与平面方程在平面解析几何中，我们可以使用直角坐标系来描述点、直线、圆等几何图形。

并且可以利用平面方程来表示这些几何图形。

直线的方程直线可以用斜截式、截距式、点斜式和一般式等形式的方程进行表示。

圆的方程圆可以用标准方程和一般方程进行表示。

苏版高二数学5第二章等差数列知识点

苏版高二数学5第二章等差数列知识点新学期的学习离不开知识点的积累，为此查字典数学网整理了数学必修5第二章等差数列知识点，希望帮助大家顺利开始新学期的学习。

概念等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。

通项公式为：an=a1+(n-1)*d。

首项a1=1，公差d=2。

前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

注意：以上n均属于正整数。

公式通项公式如果一个等差数列的首项为a1，公差为d，那么该等差数列第n项的表达式为：即补充：求和公式假设一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：S=(a1+an)n2即(首项+末项)项数2前n项和公式注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和)等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。

即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.推论一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d0)或一次函数(d=0，a10)，且常数项为0。

二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1) )，k{1,2,…,n}三.假设m，n，p，qN*，且m+n=p+q，那么有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)= (2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。

高二上学期数学第二章知识点

高二上学期数学第二章知识点在高二上学期的数学学习中，数学第二章的内容是我们需要重点掌握的。

该章节主要涵盖了函数与方程的相关知识，下面将逐一介绍其中的几个重要知识点。

一、函数及其表示方法1. 函数的定义：函数是一种映射关系，将一个集合的元素（自变量）对应到另一个集合的元素（因变量）。

2. 函数的表示方法：常用的表示方法有函数表达式、函数图像、函数关系式等。

3. 性质：函数可以是一对一的映射（每个自变量对应唯一的因变量）或多对一的映射（多个自变量对应同一个因变量）。

二、一次函数1. 定义：一次函数是最简单的一种函数，其函数表达式为y =kx + b，其中k和b为常数。

2. 斜率和截距：斜率k表示函数图像的倾斜程度，截距b表示函数与y轴的交点位置。

3. 性质：一次函数的图像为一条直线，其图像的斜率等于函数表达式中的系数k。

4. 直线方程：一次函数的函数表达式可以通过给定的两点坐标求得。

三、二次函数1. 定义：二次函数是一个含有二次项（x²）的函数，其函数表达式一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数且a≠0。

2. 抛物线性质：二次函数的图像为一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。

3. 零点和顶点：二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，顶点是抛物线的最高或最低点。

4. 求解方法：可以通过配方法、图像法和因式分解等方式求解二次方程。

四、指数函数1. 定义：指数函数是以底数为常数的数学函数，形式为y = a^x，其中a为底数。

2. 指数函数的性质：指数函数的图像与x轴交于点(0,1)，并且随着自变量x的增大，函数值呈现指数增长的趋势。

3. 对数函数：指数函数的反函数被称为对数函数，常用的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e（自然对数的底数）为底的自然对数函数。

五、幂函数1. 定义：幂函数是一种以自变量为指数的函数，形式为y = x^a，其中a为指数，可以是分数、小数或负数。

高二数学选修一第二章知识点梳理

高二数学选修一第二章知识点梳理第一节函数的概念和性质1. 函数的定义函数是一个数集到另一个数集的映射关系，通常表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是函数值或因变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

2. 函数的表示方法函数可以用公式、图像、表格和文字描述等方式进行表示。

其中，公式表示最常见，如f(x) = 2x + 1。

3. 函数的性质函数有奇偶性、单调性、周期性等性质。

例如，奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

第二节一次函数与二次函数1. 一次函数一次函数又称为线性函数，可表示为f(x) = ax + b，其中a和b 为常数。

一次函数的图像为一条直线，斜率a表征了直线的倾斜程度。

2. 二次函数二次函数可表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负。

第三节指数函数与对数函数1. 指数函数指数函数可表示为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的图像以底数为基准，增长或衰减速度取决于底数的大小。

2. 对数函数对数函数可表示为f(x) = logₐx，其中a为底数，x为真数。

对数函数与指数函数是互逆关系，即logₐaⁿ = n。

第四节三角函数1. 正弦函数、余弦函数和正切函数三角函数常用的有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。

它们的周期均为2π，具有周期性质。

2. 三角函数的性质三角函数具有周期性、奇偶性和单调性等性质。

例如，正弦函数和余弦函数是奇函数，正切函数是奇函数。

第五节极坐标与参数方程1. 极坐标系极坐标系使用极径和极角来表示平面上的点，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的角度。

2. 参数方程参数方程使用参数t表示自变量，以x和y关于t的函数形式来定义曲线上的点。

参数方程常用于描述非线性曲线。

高二数学各章知识点归纳总结

高二数学各章知识点归纳总结高二数学是学生在数学学科中的重要阶段，它涵盖了各种基础概念和重要知识点。

为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点，下面将对高二数学各章的知识进行归纳总结。

一、函数与方程1. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数可以用公式、图像和表格等形式来表示。

2. 一次函数与二次函数一次函数的形式为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。

二次函数的形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。

3. 指数与对数函数指数函数的形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。

对数函数是指数函数的逆运算，形式为y=logₐx，其中a为底数，x为真数。

4. 三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数是最常见的三角函数。

它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。

5. 方程的求解线性方程、二次方程、指数方程、对数方程和三角方程等的求解方法需要根据具体情况选择合适的方法，并注意正确运用等式性质和变形法则。

二、数列与数学归纳法1. 数列的基本概念数列是按一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。

数列可以是等差数列、等比数列或其他特殊数列。

2. 等差数列与等差数列求和公式等差数列的通项公式为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。

等差数列的前n项和公式为Sn=(2a₁+(n-1)d)n/2。

3. 等比数列与等比数列求和公式等比数列的通项公式为an=a₁q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比。

等比数列的前n项和公式为Sn=a₁(1-q^n)/(1-q)。

4. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，它分为基础步骤和归纳步骤。

基础步骤是验证当n=1时命题成立，归纳步骤是假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

三、平面向量1. 向量的基本概念与表示向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

向量的表示方法有坐标表示、数量表达和单位向量表示等。

高二数学第一第二章知识点总结

高二数学第一第二章知识点总结第一章：函数与方程函数是数学中一个基本的概念，也是数学建模的重要工具。

在高二数学课程中，我们学习了函数与方程的相关知识，包括函数的定义、性质、分类以及方程的解法等。

1. 函数的定义与性质- 函数可以看作是两个变量之间的一种对应关系，表示为y = f(x)。

- 函数的定义域是自变量x的取值范围，值域是因变量y的取值范围。

- 奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

- 单调递增函数满足x1 < x2时，f(x1) < f(x2)；单调递减函数满足x1 < x2时，f(x1) > f(x2)。

2. 基本函数- 幂函数：f(x) = ax^n，其中a为常数，n为整数。

- 指数函数：f(x) = a^x，其中a为常数且a > 0，a ≠ 1。

- 对数函数：f(x) = loga(x)，其中a为常数且a > 0，a ≠ 1。

- 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

3. 方程的解法- 一次方程：形如ax + b = 0的方程，解为x = -b/a。

- 二次方程：形如ax^2 + bx + c = 0的方程，解为x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

- 一元二次方程：形如ax^2 + bx + c = 0的方程，通过配方法、公式法等方式求解。

- 二元一次方程：形如{ ax + by = c{ dx + ey = f的方程组，可以通过消元法、代入法等方式求解。

第二章：向量与立体几何向量的概念与运算是高二数学中的重点内容之一，立体几何则是数学中的一个具体应用领域。

我们学习了向量的定义、性质、运算以及立体几何中的相关知识。

1. 向量的定义与性质- 向量表示为有方向的线段，用有向线段的箭头表示。

- 向量的模表示为|AB|，表示从起点A到终点B的长度。

- 平行向量具有相同或相反的方向，相等向量有相同的长度和方向。

高二数学第二章的重要知识点概括整理

高二数学第二章的重要知识点概括整理高二数学第二章的重要知识点概括1一、不等式的性质1.两个实数a与b之间的大小关系2.不等式的性质(4)(乘法单调性)3.绝对值不等式的性质(2)如果a>0，那么(3)|a?b|=|a|?|b|.(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.(6)|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.二、不等式的证明1.不等式证明的依据(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)2.不等式的证明方法(1)比较法：要证明a>b(a0(a-b<0)，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号.(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.三、解不等式1.解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.①解一元高次不等式;②解分式不等式;③解无理不等式;④解指数不等式;⑤解对数不等式;⑥解带绝对值的不等式;⑦解不等式组.2.解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质.(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.(3)注意代数式中未知数的取值范围.3.不等式的同解性高二数学第二章的重要知识点概括2一、随机事件主要掌握好(三四五)(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。

人教A选修2-211-12学年高二数学：第二章推理与证明章末归纳总结课件(人教A版选修2-2)

1 1 由 an＋ <an＋1＋＝c 得 an<α an an 10 当 2<c< 时，an<α≤3 3 10 c> 3 时，α>3，且 1≤an<α， 1 1 于是 α－an＋1＝a α(α－an)≤3(α－an)， n 1 α－an＋1≤3n(α－1) α－1 当 n>log3 时，α－an＋1≤α－3，an＋1≥3. α－3 10 10 因此 c> 3 不合要求，所以 c 的取值范围为2， 3 .
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为 “归纳基础”(或称特殊性)．第二步解决的是延续性(又称传递性)问题．运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点： 1．两个步骤缺一不可． 2．第二步中，证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程里，必须利用“归纳假设”即必须用上 “当n＝k时结论正确”这一结论．
－
4 的等比数列，
4n 1 1 2 1 n－1 bn＋3＝－3×4 ，即 bn＝－ 3 －3.
(2)a1＝1，a2＝c－1，由 a2>a1 得 c>2 用数学归纳法证明：当 c>2 时，an<an＋1 1 ①当 n＝1，a2＝c－a >a1，命题成立； 1 ②设当 n＝k 时，ak<ak＋1，则当 n＝k＋1 时，ak＋2 1 ＝c－ >c－a ＝ak＋1， ak＋1 k 故由①②知当 c>2 时，an<an＋1 c＋ c2－4 当 c>2 时，令 α＝， 2 1
[例 3]
若定义在区间 D 上函数 f(x)对于 D 上的几个
1 值 x1 ， x2 ， „ ， xn 总满足 n [f(x1) ＋ f(x2) ＋ „ ＋

高二数学选修一a第二章知识点

高二数学选修一a第二章知识点第一节函数的概念和性质函数是数学中一种重要的关系，它描述了两个数集之间的对应关系。

在数学中，函数是一种将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中唯一元素的规则。

函数可以用不同的表示方法来表达，比如解析式、图像、数据表等。

函数的性质主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

1. 定义域：函数所能接受的输入值的集合，通常用符号表示为D(f)。

函数的定义域决定了函数在哪些数值上有定义。

2. 值域：函数所有可能的输出值的集合，通常用符号表示为R(f)。

值域决定了函数的取值范围。

3. 单调性：函数在定义域内的增减趋势。

单调递增表示函数在定义域内随着自变量的增加，函数值递增；单调递减表示函数在定义域内随着自变量的增加，函数值递减。

4. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像关于y轴或原点的对称性。

如果函数满足f(x) = f(-x)，则函数为偶函数；如果函数满足f(x) = -f(-x)，则函数为奇函数。

5. 周期性：函数在一定区间内以某个常数为周期重复出现。

第二节一元二次函数一元二次函数是一种二次多项式函数，通常表示为f(x) = ax^2+ bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

1. 基本形式：一元二次函数的基本形式为f(x) = x^2，即当a=1，b=0，c=0时。

2. 图像特征：一元二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 零点与判别式：一元二次函数的零点即方程f(x) = ax^2 + bx+ c = 0的解。

判别式Δ = b^2 - 4ac可以判断一元二次方程的解的情况。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程没有实根。

4. 顶点与对称轴：一元二次函数的顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))，对称轴为直线x = -b/2a。

高二数学必修一二章知识点

高二数学必修一二章知识点在高中数学的学习过程中，必修一和必修二的知识点构成了数学基础中的核心部分，对于学生理解后续更高级的数学概念和解决复杂数学问题至关重要。

以下是对高二数学必修一和必修二章知识点的详细解析。

# 必修一知识点概览1. 集合论基础集合是数学中最基本的概念之一，必修一首先介绍了集合的表示方法、子集、并集、交集以及补集等基本概念。

这些概念是后续学习函数、方程等更复杂数学概念的基础。

2. 函数函数是描述变量之间关系的数学工具。

在必修一中，学生将学习到函数的定义、性质（如单调性、奇偶性）、定义域和值域、反函数以及复合函数等重要概念。

3. 导数与微分导数是研究函数局部变化率的重要工具。

学生将学习到导数的定义、求导法则、高阶导数、微分的概念以及导数在实际问题中的应用。

4. 基本初等函数初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

这些函数在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。

5. 三角函数三角函数是数学中的一个重要分支，必修一中将学习到正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义、性质、图像以及它们之间的关系。

6. 解析几何解析几何部分介绍了如何在平面直角坐标系中表示点、线、圆等几何对象，并研究它们的性质和相互关系。

# 必修二知识点概览1. 向量代数向量是描述空间中方向和大小的数学工具。

必修二中，学生将学习到向量的加法、减法、数乘、点积、叉积以及向量在几何和物理问题中的应用。

2. 矩阵与线性变换矩阵是线性代数的基础，用于表示线性变换。

学生将学习到矩阵的运算、矩阵的秩、逆矩阵、特征值和特征向量等概念。

3. 行列式行列式是矩阵的一个重要特征值，用于判断矩阵的可逆性以及求解线性方程组。

4. 空间解析几何空间解析几何是解析几何在三维空间的推广，涉及空间中的点、线、面以及它们之间的关系。

5. 数列与级数数列是按照一定规律排列的数的集合，级数是数列的和。

学生将学习到等差数列、等比数列、收敛级数和发散级数等概念。

第二章平面解析几何章末总结提升课件高二上学期数学人教B版选择性

知,原点到直线 y=-x-2 的距离是最短距离,C 错误.
设点 A(1,5)到准线 l:y=-1 的距离为 d,P 到准线 l:y=-1 的距离为 d1,则
2 + (-1)2 + (-1)2 + (-5)2 =|PF|+|PA|=d1+|PA|≥d=5+1=6,D 正确.
故选 ABD.
角度2.离心率问题
= -11,
整理得 8 + 6 + = -100,解得 = 3,
= -30,
3- = -36,
故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
角度2.求轨迹的方程
求轨迹的方程时多数先通过数形结合的方法判断所求曲线是否满足圆锥
曲线的定义,如果满足可用定义法求解,如果无法判断可用直接法求解,注
因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.①
又因为PQ垂直于直线x+y=2,
-1
所以 =1,即
- 1
x-y+y1-x1=0.②
联立①②解得
3

2
1

2
1 =
1 =
+
+
1
-1,
2
3
-1.④
2
③
又点 Q 在双曲线 x2-y2=1 上,所以12 − 12 =1.⑤
将③④代入⑤,得动点P的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0.
专题二
圆锥曲线的性质
角度1.圆锥曲线中的最值与范围问题
【例3】已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).