高中数学(人教b版)必修1导学案2.1.3《函数的单调性》缺答案

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数学人教B版必修1学案预习导航 2.1.3函数的单调性 Word版含解析

预习导航．函数单调性的概念一般地，设函数＝()的定义域为，区间⊆.如果取区间中的任意两个值，，改变量Δ＝－＞，则当Δ＝()－()＞时，就称函数＝()在区间上是增函数，如图()所示．图()当Δ＝()－()＜时，就称函数＝()在区间上是，如图()所示．减函数图()如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性(区间称为单调区间)．思考若把增、减函数定义中的“任意，”改为“存在，”可以吗？提示：不可以，如图：虽然Δ＝－(－)＞，Δ＝()－(－)＞，但()在[－]上并不是单调函数．因此“任意”两字不能忽视，更不能用“特殊”取代．为了方便也可将定义改为：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当≠时，总有＞(＜)，那么就说函数()在区间上是增(减)函数．思考“函数＝在区间(－∞，)∪(，＋∞)上是减函数”是否正确？提示：不正确，函数＝的单调区间不能取并集，应写为(－∞，)，(，＋∞)或(－∞，)和(，＋∞)．思考“函数()的单调增(减)区间是”与“函数()在区间上是增(减)函数”是否相同？提示：不相同．函数()的单调增(减)区间是，这一说法意味着除之外，函数()再无其他单调增(减)区间．函数()在区间上是增(减)函数，则意味着区间是函数()的单调增(减)区间的子区间，即除区间外，函数()还可能有其他的单调增(减)区间．．判断函数单调性的步骤利用定义证明函数()在给定的区间上的单调性的一般步骤：∈()任取，，且Δ＝－＞；()作差：Δ＝；()－() ()变形(通常所用的方法有：因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等)；()定号(即判断Δ的正负)；()下结论(即指出函数()在给定的区间上的)．单调性。

数学人教B版必修1学案课堂导学 2.1.3函数的单调性 Word版含解析

课堂导学三点剖析一、单调性的判断与证明【例】证明函数()在()上是减函数.思路分析：证明的关键是对Δ进行变形,尽量变形成几个简单因式积或几个平方和的形式. 证明：设＜＜＜,则Δ＞,∴Δ()()()()()().∵＜＜＜,则·＜,∴()＜().∴()在()上是减函数.温馨提示()也可以证明()的单调增区间是（∞］,［∞）,单调减区间是［）,（］,最好记住.()可引申为()(＞)在区间（,］上单调递减;在区间(∞)上单调递增.二、函数单调性的应用【例】已知函数()对任意∈,总有()()(),且当>时，()<().()判断并证明()在上的单调性；（）求()在[]上的最大值和最小值.思路分析：对于()()()的应用，若是求为某一具体数值时()的值，则采用赋值方法.解：()令,得();令，得()().在上任取>,则Δ>,Δ()()()()().∵>,∴>.又∵>时，()<,∴()<，即()()<.∴Δ<.由定义可知()在上为单调递减函数.（）∵()在上是减函数,∴()在[]上也是减函数.∴()最大，()最小.()()()()()()×().∴()()，即()在[]上的最大值为，最小值为.温馨提示无论给出的函数式子多么复杂，只要是证明单调性，就必用“定义法”，只要是比较自变量的大小，就必用单调性定义的逆命题.这就是解题思路.在正确的思路指导下，必能攻无不克，战无不胜.三、带有参数的函数的单调性【例】已知函数()∈［］,求实数的范围,使()在［］上是单调函数.思路分析：根据二次函数的对称轴的位置确定单调性.解：()(),图象的对称轴为.∵()在［］上是单调函数,∴≤或≥,即≤或≥.温馨提示高考对单调函数的考查主要结合后面几节内容进行考查,主要考查单调函数的定义,题型以选择题和解答题为主.各个击破类题演练证明函数()在上是增函数.证明：任取<,则>,即Δ>.Δ()()()()()()()[()],∵()>,∴()()>,即Δ>.∴()在上是增函数.变式提升已知函数()在(∞)上为增函数且()<(>),试判断函数()在(∞)上的单调性并证明.解析：()在(∞)上为减函数.下面给出证明：任取、∈(∞)且Δ>,∵Δ()(),∵()在(∞)上为增函数且Δ>,∴Δ()()>,即()>().∴()()<.而()<()<,∴()()>.∴()()<,即Δ<.又Δ>,∴()在(∞)上为减函数.类题演练设函数()(>>)，求()的单调区间，并证明()在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取<,则Δ>.。

人教B版高中数学必修一教案 2.1.3 函数的单调性[ 高考]

此环节为创设情境。用学生存在的实际问题入手，更能抓住学生的注意力，激起学生的学习热情。抓住这一点，我设计了这节课的引例，切合实际，让学生有种亲切感，第二，再给出一个天气变化问题，图象有上升有下降，从两个实际问题入手，再过渡到数学问题中的一次函数二次函数问题，从而引出课题，函数的单调性。
在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性

教学过程设计与分析
1.教学基本流程
2
提出问题：大家刚刚进入高中，突然感觉内容多，时间紧了，那么该怎样更有效的学习呢？怎么更有效地分配我们的时间呢？
多与我们息息相关的天气问题
例2.如图，两图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，试写出函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调递增区间．

人教B版高中数学必修一函数的单调性教案(1)(1)

2.1.3 函数的单调性教案教学目标：理解函数的单调性教学重点：函数单调性的概念和判定教学过程：1、过对函数x y 2=、x y 3-=、xy 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2、阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念例题讲解：例1．如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，及在每一单调区间上，)(x f y =是增函数还是减函数。

解：函数)(x f y =的单调区间有[)[)[)[3,3,1,1,2,2,5---其中)(x f y =在区间[)2,5-， [)3,1上是减函数，在区间[)[]5,3,1,2-上是增函数。

注意：1 单调区间的书写2 各单调区间之间的关系以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？例2。

证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数。

证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且21x x <，则 021<-=∆x x x ，03)(3)23()23()()(212121<∆=-=+-+=-=∆x x x x x x f x f y所以，23)(+=x x f 在R 上是增函数。

例3．函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．解当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a aa--⎧⎨⎪⎩⎪若a ＜0时，无解．∴a 的取值范围是0≤a ≤1．例4．证明函数xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数。

证明：设21,x x 是),0(+∞上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x2112212111)()(x x x x x x x f x f y -=-=-=∆ 由),0(,21+∞∈x x ，得021>x x ，且012>∆-=-x x x于是0>∆y 所以，xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数。

高中数学 2.1.3 函数的单调性教学设计新人教B版必修1

函数的单调性教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示X作用。

二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点三、教学目标1．知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；2.过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感、态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．四、教学重点、难点教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性教学难点：归纳并抽象函数单调性定义；用定义判断单调性的基本步骤五、学法与教法学法：〔1〕合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题〔2〕自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动〔3〕探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知〔如例题的处理〕。

教学用具：电脑、多媒体。

教法：整堂课围绕“一切为了学生发展〞的教学原那么突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。

〔1〕新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。

〔2〕理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得函数单调性的定义。

高中数学 2.1.3函数的单调性教学设计新人教B版必修1

函数的单调性（教学设计）一、教材分析：《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。

在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

二、学情分析：按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。

依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。

所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。

在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。

三、教学目标依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为：1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

高中数学人教B版必修一学案：2.1.3 单调性

2.13函数的单调性（2）高一数学必修1第二章2.1.3第2课时学案一．学习目标：1.进一步理解函数单调性及其几何意义，掌握用图像和定义判断证明函数单调性的方法步骤，通过实例体会用定义证明函数单调性的严谨性，提高应用知识解决问题的能力。

2.理解简单复合函数单调性的判断方法。

3.通过实例，体会函数单调性的一些简单应用。

二．自主学习1.关于单调性有下列说法：2(1)()2221+ B.C .f x x x x=∞∞-+∞∞函数在（-,+)上是增函数；（2）函数f(x)=x 在（-,1）上是减函数，在（1，）上是增函数；（3）函数f(x)=在其定义域上是减函数；（4）函数y=5不具有单调性.其中，正确的说法是( )A.（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（1）（2）（4） D.（1）（2）2.判断下列函数的单调性：21;21x x --+（1）y=（2）y=x三．合作探究（典例分析）型一.由单调性判断函数值的大小21.()82,(1),(0),(4)____________.f x x x f f f =+---例已知函数则的大小关系是 751()(1),()()22f x f f f 练习（）是（0,2）上的增函数，函数图象关于直线x=2对称，则与按大小顺序排列为_____________.（2）设函数)(x f 在),(+∞-∞上为减函数，则 ( ))2()(.a f a f A > )()(.2a f a f B < )()(.2a f a a f C <+ )()1(.2a f a f D <+型二.利用函数单调性由函数值递推自变量的大小2()-f x m 例已知在定义域（2,2）上是减函数，且f(m-1)-f(1-2m)>0,求的取值范围.()f x 练习：函数在R 上为增函数，且f(2m)>f(-m+9),则实数m 的取值范围是________.型三.利用函数单调性解不等式求参数范围23()2(1)2-4]f x x a x a =+-+∞例已知函数在区间（，上是减函数，求实数的取值范围。

数学人教B版必修1学案课前导引 2.1.3函数的单调性 Word版含解析

函数的单调性
课前导引
情景导入
观察下面各个函数的图象可以看出:随着自变量的增大,函数图象有时上升,有时下降,对应的函数值也随之增大或减小.如何更加准确地描述出函数的这一特殊性质呢?这就是本节我们研究的课题.
知识预览
.一般地,设函数()的定义域为,区间.如果取区间中任意两个值\,
当改变量Δ＞时,有Δ()()大于,那么就称函数()在区间上是增函数;
当改变量Δ＞时,有Δ()()小于,那么就称函数()在区间上是减函数.
.如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间上具有单调性,区间称为单调区间.
.证明单调性的步骤:①设<;②判断()与()的大小.
.函数的单调性。

(人教B版)必修一名师精品：2.1.3《函数的单调性》教案设计(含答案)

示范教案整体设计教学分析在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容．实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出．而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高．给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了．由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．三维目标1．函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力．3．能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：函数的单调性．教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850～1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵．经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准．他经过对自己的测试，得到了一些数据．观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数．当自变量(时间间隔t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)．从左向右看，图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图象)学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如下图所示．遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律．随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆．教师提示、点拨，并引出本节课题．思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌．按这个变化趋势，2019年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确)，教师：提示、点拨，并引出本节课题．推进新课新知探究提出问题①如下图所示的函数y＝x，y＝x2，y＝－x2的图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？②函数图象上任意点P(x，y)的坐标有什么意义？③如何理解图象是上升的？④对于函数y＝x2，列出x，y的对应值表(如下表)．完成下表并体会图象在y轴右侧上升．x…－4－3－201234…f(x)……＝x2⑤在数学上规定：函数y＝x2在区间0，＋∞上是增函数.谁能给出增函数的定义？⑥增函数的几何意义是什么？⑦类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？⑧函数y＝f x在区间D上具有单调性，说明了函数y＝f x在区间D上的图象有什么变化趋势？讨论结果：①函数y ＝x 的图象，从左向右看是上升的；函数y ＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；函数y ＝－x 2的图象在y 轴左侧是上升的，在y 轴右侧是下降的．②函数图象上任意点P 的坐标(x ，y)的意义：横坐标x 是自变量的取值，纵坐标y 是自变量为x 时对应的函数值的大小．③按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大．也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大．④在区间(0，＋∞)上，任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，那么就有y 1＜y 2，也就是有f(x 1)＜f(x 2)．这样可以体会用数学符号来刻画图象上升．⑤在函数y ＝f(x)的图象上任取两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，记Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＝y 2－y 1.Δx 表示自变量x 的改变量，Δy 表示因变量y 的改变量，其中“Δ”为希腊字母，读作“delta”．一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为A ，区间M ⊆A.如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＞0时，就称函数y ＝f(x)在区间M 上是增函数．如下图(1)所示．⑥从左向右看，图象是上升的．⑦在函数y ＝f(x)的图象上任取两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，记Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＝y 2－y 1.Δx 表示自变量x 的改变量，Δy 表示因变量y 的改变量，其中“Δ”为希腊字母，读作“delta”．一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为A ，区间M ⊆A.如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＜0时，就称函数y ＝f(x)在区间M 上是减函数，如下图(2)所示．几何意义：从左向右看，图象是下降的．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性．(区间M 称为单调区间)⑧函数y ＝f(x)在区间D 上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图象是上升(下降)的．应用示例思路1例1说出函数f(x)＝1x的单调区间，并指明在该区间上的单调性．活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图象得单调区间．解：(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f(x)＝1x都是单调递减的．点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性．图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题．如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性．函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性．图象法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图象；第二步，观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.活动：教师提示利用函数单调性的几何意义．学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数．的单调区间是[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．其中函数上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数.例2证明函数f(x)＝2x ＋1，在(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是任意两个不相等的实数，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＝2x 2＋1－(2x 1＋1)＝2(x 2－x 1)＝2Δx ＞0，所以函数f(x)＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性．定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2；第二步，比．较f(x 1)和f(x 2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再．归纳结论．定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”，因此简称为“去比赛．．．”.变式训练证明函数f(x)＝1x＋2在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．证明：设x 1，x 2是(－∞，0)内的任意两个不相等的负实数，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＝1x 2＋2－1x 1－2＝x 1－x 2x 1x 2. 因为x 1－x 2＝－Δx ＜0，x 1x 2＞0，所以Δy ＜0.因此f(x)＝1x＋2在区间(－∞，0)上是减函数．同理，对区间(0，＋∞)内的任意两个不相等的正实数x 1，x 2，且x 1＜x 2，同样有Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＜0.所以f(x)＝1x＋2在区间(0，＋∞)上也是减函数．思路2例1 (1)画出函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的图象；(2)证明函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3在区间(－∞，1]上是增函数；(3)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的图象如下图所示．(2)设x 1、x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2，则有f(x 1)－f(x 2)＝(－x 21＋2x 1＋3)－(－x 22＋2x 2＋3)＝(x 22－x 21)＋2(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(2－x 1－x 2)．∵x 1、x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＜2.∴2－x 1－x 2＞0.∴f(x 1)－f(x 2)＜0.∴f(x 1)＜f(x 2)．∴函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3在区间(－∞，1]上是增函数．(3)函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的对称轴是直线x ＝1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m 的取值范围是(－∞，1]．点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用．讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内．判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明．第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图象来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论．函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一．因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性．函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.例2(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图象如下图所示，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？试加以证明．分析：(1)画出二次函数y＝x2－2x的图象，借助于图象解决；(2)类似于(1)；(3)根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；(4)归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明．解：(1)函数y＝x2－2x的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)；对称轴是直线x＝1；区间(－∞，1)和区间(1，＋∞)关于直线x＝1对称，而单调性相反．(2)函数y＝|x|的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)；对称轴是y轴即直线x＝0；区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)关于直线x＝0对称，而单调性相反．(3)函数y＝f(x)，x∈[－4,8]的图象如下图．函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x＝2对称，而单调性相反，区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x＝2对称，而单调性相反．(4)可以发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称单调区间内具有相反的单调性．证明如下：不妨设函数y＝f(x)在对称轴直线x＝m的右侧一个区间[a，b]上是增函数，区间[a，b]关于直线x＝m的对称区间是[2m－b,2m－a]．由于函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，则f(x)＝f(2m－x)．设2m－b≤x1＜x2≤2m－a，则b≥2m－x1＞2m－x2≥a，f(x1)－f(x2)＝f(2m－x1)－f(2m－x2)．又∵函数y＝f(x)在[a，b]上是增函数，∴f(2m－x1)－f(2m－x2)＞0.∴f(x1)－f(x2)＞0.∴f(x1)＞f(x2)．∴函数y＝f(x)在区间[2m－b,2m－a]上是减函数．∴当函数y＝f(x)在对称轴直线x＝m的右侧一个区间[a，b]上是增函数时，其在[a，b]关于直线x＝m的对称区间[2m－b,2m－a]上是减函数，即单调性相反．因此有结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性．点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论，这是我们认识世界发现问题的主要方法，这种方法的难点是猜想，突破路径是寻找共同的特征．本题作为结论记住，可以提高解题速度．图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征．这需要有细致的观察能力.变式训练知能训练1．利用图象法写出基本初等函数的单调性．解：①正比例函数：y ＝kx(k≠0)当k ＞0时，函数y ＝kx 在定义域R 上是增函数；当k ＜0时，函数y ＝kx 在定义域R 上是减函数．②反比例函数：y ＝k x(k≠0) 当k ＞0时，函数y ＝k x的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在单调递增区间；当k ＜0时，函数y ＝k x的单调递增区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在单调递减区间． ③一次函数：y ＝kx ＋b(k≠0)当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 在定义域R 上是增函数；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 在定义域R 上是减函数．④二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调递减区间是(－∞，－b 2a ]，单调递增区间是[－b 2a，＋∞)；当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调递减区间是[－b 2a，＋∞)，单调递增区间是(－∞，－b 2a]．点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度．2．已知函数y ＝kx ＋2在R 上是增函数，求实数k 的取值范围．答案：k ∈(0，＋∞)．3．二次函数f(x)＝x 2－2ax ＋m 在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，求实数a 的值．答案：a ＝2.4．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，若f(a ＋1)＜f(－4a ＋1)成立，则a 的取值范围是__________．解析：∵f(x)的定义域是(0，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，－4a ＋1>0. 解得－1＜a ＜14. ∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴a ＋1＞－4a ＋1.∴a ＞0.∴0＜a ＜14，即a 的取值范围是(0，14)．答案：(0，14) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式．解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式．拓展提升问题：1.画出函数y ＝1x的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？ (1)函数y ＝1x 是减函数；(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 2．对函数y ＝1x ，取x 1＝－1＜x 2＝2，则f(x 1)＝－1＜f(x 2)＝12，满足当x 1＜x 2时f(x 1)＜f(x 2)，说函数y ＝1x在定义域上是增函数对吗？为什么？ 3．通过上面两道题，你对函数的单调性定义有什么新的理解？解答：1.(1)是错误的，从左向右看，函数y ＝1x的图象不是下降的． (2)是错误的，函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上函数y ＝1x的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的． 2．不对．这个过程看似是定义法，实质上不是．定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替．3．函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性．点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y ＝f(x)在区间(a ，b)和(b ，c)上均是增(减)函数，那么在区间(a ，b)∪(b ，c)上的单调性不能确定．课堂小结本节学习了：①函数的单调性；②判断函数单调性的方法：定义法和图象法．作业课本本节练习B 1、2.设计感想“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”．本设计致力于展示概念是如何生成的．在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材．本节课采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔．备课资料判断下列说法是否正确：①已知f(x)＝2x，因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)是增函数． ②若函数f(x)满足f(2)＜f(3)，则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数．③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．④因为函数f (x)＝2x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f(x)＝2x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．活动：教师强调以下三点后，让学生判断．①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A 、B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增(或减)函数．答案：这四个判断都是错误的．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？。

高中数学第二章函数 21 函数 213 函数的单调性导学案新人教B版必修1 学案

2.1.3 函数的单调性【预习要点及要求】 1.函数单调性的概念；2.由函数图象写出函数单调区间；3.函数单调性的证明4.能运用函数的图象理解函数单调性和最值5.理解函数的单调性6.会证明函数的单调性【知识再现】1.22a b -=_____________2.=-33b a _____________ 3.=+33b a _____________ 【概念探究】阅读课本44页到例1的上方，完成下列问题1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________-2不看课本，能否写出函数单调性的定义？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3对区间的开闭有何要求？4如何理解定义中任意两个字？5一个函数不存在单调性，如何说明？6完成课后练习A 第1，2题【例题解析】阅读课本例1与例2，完成下列问题 1．不看课本你能否独立完成两个例题的证明（1）证明函数()21f x x =+在R 上是增函数（2）证明函数1()f x x=，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数2．根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最关键的地方是什么？3有的同学证明1()f x x=在(0,)+∞上是减函数时是这样证的，你是否认可其作法，为什么？证明：设120x x <<，则1211x x >，即12()()f x f x >，根据定义可得1()f x x =在(0,)+∞上是减函数4完成课后练习A 第3，4题，习题2-1A 第5题5证明：xx f 1)(=在),0(+∞和)0,(-∞上均为减函数，并说明)(x f 在整个定义域上是否为减函数？【典例讲解】例1．求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|例2．已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)例3．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．参考答案：例1.解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y ＝|x2＋2x－3|的图像由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．例2．解(1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)时为减函数．例3．证明：取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．【达标练习】1若函数bmxy+=在),(+∞-∞上是增函数，那么（）A.b>0B. b<0C.m>0D.m<02函数32)(2+-=mxxxf，当),2[+∞-∈x时是增函数，当]2,(--∞∈x时是减函数，则)1(f等于（）A.-3B.13C.7D.由m而定的常数3设函数)(xf在),(+∞-∞上为减函数，则 ( ))2()(.afafA>)()(.2afafB<)()(.2afaafC<+)()1(.2afafD<+4如果函数5)1()(2+--=xaxxf在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f的取值范围是__________________. 5已知)(xfy=在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-afaf则a的取值范围是_____________6证明函数xxxf1)(+=在)1,0(上是减函数【达标练习答案】1、C2、B3、D4、7)2(-≥f 5．210<<a 6．证明：任取)1,0(,21∈x x 且21x x <，则12x x x -=∆，)1)(()(11)()(212112212112112212x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f y --=-+-=--+=-=∆ )1,0(,21∈x x ∴0<∆y ∴xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.1.3 函数的单调性》

课题：函数的单调性
部性质；
错误!必须是对于区间D内的任意两个自变量1，2；当1<2时，总有
f 1<f
2
．
4．函数的单调性定义
如果函数=f在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数=f在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做=f的单调区间：
练习：1判断下列函数的单调性和单调区间
（1）f = 2
错误!在区间 ____________ 上，是 ________函数．（2）f = -24
错误!在区间 ____________ 上，是 ________函数．（3）f =a ^2bc
（4）错误!在区间 ____________ 上，
是 ________ 函数．
错误!在区间 ____________ 上，是 ________函数．
2如图是定义在区间[－5，5]上的函数=f，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
（三）质疑答辩，发展思维。

例1 ：证明函数f=2-3在R上是增函数
证明：根据单调性的定义，任取1，2∈R，且
因为
21
x x x
∆=->
2121
()()(23)(23) y f x f x x x
∆=-=---
注：1、课题字体：黑体小二加粗
2、栏目字体：仿宋四号加粗
3、内容字体：宋体小四。

人教B版高中数学必修一学案：2.1.3 函数的单调性

2.1.3.函数的单调性[学习目标].1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点.[知识链接]1.x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0；2.当x ＞2时，x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)＞0；3.函数y ＝ x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32. [预习导引]1.增函数与减函数一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A .如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量 Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数，当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为单调区间.要点一.函数单调性的判定与证明例1.求证：函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数. 证明.对于任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，Δx ＝x 2－x 1>0，有Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝1x 22－1x 21＝x 21－x 22x 21x 22＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 21x 22. ∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0.∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)>0.∴函数f (x )＝1x2在(－∞，0)上是增函数. 对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 22>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2).∴函数f (x )＝1x 2在(0，＋∞)上是减函数. 规律方法.利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号；(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.跟踪演练1.已知函数f (x )＝2－x x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数. 证明.任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). ∵x 2＞x 1＞－1，∴x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，因此f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.要点二.求函数的单调区间例2.画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间.解.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞).规律方法.1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确.2.函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.跟踪演练2.作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x ＞1.的图象，并指出函数的单调区间. 解.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x ＞1.的图象如图所示.由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).要点三.函数单调性的简单应用例3.已知函数f (x )＝x x －1，x ∈[2,5]. (1)判断该函数在区间[2,5]上的单调性，并给予证明；(2)求该函数在区间[2,5]上的最大值与最小值.解.(1)f (x )＝x x －1在区间[2,5]上是减函数.证明如下：任意取x 1，x 2∈[2,5]且x 1＜x 2，则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1. f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1). ∵2≤x 1＜x 2≤5，∴x 1－x 2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0.∴f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1).∴f (x )＝x x －1在区间[2,5]上是减函数. (2)由(1)可知f (x )＝x x －1在区间[2,5]上是递减的，故任意的x ∈[2,5]均有f (5)≤f (x )≤f (2)， ∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2， f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 规律方法.(1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法.(2)函数的最值与单调性的关系①若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b ). ②若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a ).跟踪演练3.已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则实数a 的取值范围为________.答案.(0，23) 解析.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a >2a －1，即a <23.② 由①②可知，0<a <23，即所求a 的取值范围是(0，23).1.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有(..) A.函数f (x )先增后减B.f (x )是R 上的增函数C.函数f (x )先减后增D.函数f (x )是R 上的减函数答案.B解析.由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数.2.函数y ＝x 2－6x 的减区间是(..)A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[3，＋∞)D.(－∞，3] 答案.D解析. y ＝x 2－6x ＝(x －3)2－9，故减区间为(－∞，3].3.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，若a ∈R ，则(..)A.f (a )>f (2a )B.f (a 2)<f (a )C.f (a ＋3)>f (a －2)D.f (6)>f (a )答案.C解析.因为函数f(x)是增函数，且a＋3>a－2，所以f(a＋3)>f(a－2).4.函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(..)A.(－∞，－3)B.(0，＋∞)C.(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案.C解析.因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3. 5.如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________.答案.[－1.5,3]和[5,6]解析.由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6].1.对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一个单调区间.(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2).(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.2.单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2∈D且x1<x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论.其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号.3.单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断.(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间.(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”.。

高中数学(人教b版)必修1导学案2.3《函数的应用(ⅰ)》缺答案

2.3 函数的应用（一）【预习达标】1．形如f（x）= 叫一次函数，当为增函数；当为减函数。

2．二次函数的解析式三种常见形式为；；。

3．f（x）=a x2+bx+c（a≠0），当a 0,其图象开口向，函数有最值,为；当a 0, 其图象开口向，函数有最值,为。

（当给定一区间的二次函数的最值问题怎样考虑？）4．f（x）=a x2+bx+c（a≠0）当a>0时,增区间为；减区间为．【典例解析】例１．《民共和国个人所得税法》十四条中有表：个人所得税税率表(工资/ 薪金所得使用)目前,上表中＂全月应纳税所得额＂是从工资薪金收入中减去８００元后的余额．如，某人月工资薪金收入１３２０元，减去８００元，应纳税所得额为５２０元，由税率表知其中５００元税率为５％，另２０元的税率为１０％，所以此人应纳个人所得税５００%1020%5⨯+⨯＝２７元．（１）请写出月工资薪金的个人所得税ｙ关于工资薪金收入ｘ（０＜ｘ≤１００００）的函数表达式；某人在某月交纳的个人所得税是１２０元，他那个月的工资薪金收入是多少？例２：渔场中鱼群的最大养殖量是ｍ吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。

已知鱼群的年增长量ｙ吨和实际养殖量ｘ吨与空闲率乘积成正比，比例系数为ｋ（ｋ＞０）．（１）写出ｙ关于ｘ的函数关系式，指出这个函数的定义域；（２）求鱼群年增长量的最大值；当鱼群的年增长量达到最大值时，求ｋ的取值范围．例３：某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为１万元／辆，出厂价为１．２万元／辆，年销量为1000。

为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为ｘ（０＜ｘ＜１＝，则出厂价相应的提高比例为０．７５ｘ，同时预计年销售量增加的比例为0.６，利润＝（出厂价－投入成本）年销售量。

（１）写出本年度预计的年利润ｙ与投入成本增加的比例ｘ的关系式；为使本年度的年利润比上年有说增加，问投入成本增加的比例ｘ应在什么范围？【当堂练习】１．某种电热水器的水箱盛满水时２００升，加热到一定温度即可浴用，浴用前，已知每分钟放水３４升，在放水的同时按910毫升／秒２的匀加速自动注水（即分钟自动注水22t 升）当水箱内的水达到最小值时，放水过程自动停止．现假定每人洗浴用量为６５升，则该热水器一次至多可供多少人洗浴（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．６２．拟定从甲地到乙地通话ｍ分钟的电话费由ｆ（ｍ）＝１．０６（０．５［ｍ］＋１）（元）决定，其中ｍ＞０，［ｍ］是大于或等于ｍ的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为５．５分钟的电话费为（）Ａ．3.71元Ｂ．3.97元Ｃ．4.24元Ｄ．4.77元３．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得ｎ次测量分别得到123,,,...,n a a a a ，某ｎ个数据，我们规定所测物理量的＂最佳近似值＂ａ是这样一个量：ａ与其它近似值相比较，与各数据的差的平方和最小，依次规定，从123,,,...,n a a a a 推出的ａ＝．４．甲乙两地相距ｓ千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ｃ千。

数学人教B版必修1学案学习导航 2.1.3函数的单调性 Word版含解析

函数的单调性自主整理函数的单调性()一般地,设函数()的定义域为,区间.如果取区间内的任意两个值,则当改变量Δ>时,有Δ()()>,那么就称函数()在区间上是增函数,如图.图当改变量Δ>时,有Δ()()<,那么就称函数()在区间上是减函数,如图.图如果函数()在某个区间上是增函数或是减函数,就说函数()在这一区间上具有单调性(区间叫做()的单调区间).注意:①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;②在考虑函数单调区间时,若端点处有意义,包括不包括端点均可.()判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数()在给定的区间上的单调性的一般步骤:①任取∈,且Δ>;②作差Δ()();③变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分母有理化、通分等);④定号(即判断Δ的正负);⑤下结论(即指出函数()在给定的区间上的单调性).()在公共定义域内:增函数()增函数()是增函数;减函数()减函数()是减函数;增函数()减函数()是增函数;减函数()增函数()是减函数.高手笔记.有的函数在整个定义域内具有单调性:有的函数在定义域的某个子集上具有单调性;但也有的函数没有单调区间,或者它的定义域上根本没有单调区间..函数单调性定义中的、有三个特征:一是同属一个单调区间;二是任意性,即“任意”取、,“任意”二字决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;三是有大小,通常规定<.三者缺一不可..利用函数的单调性的定义比较大小,一方面是正向应用,即若()在给定的区间上是增函数,当<时()<(),或当>时()>();另一方面是逆向应用,即若()在给定的区间上是增函数,当()<()时<,或当()>()时>.当()是减函数时类同..利用函数单调性判断函数的最大(小)值:如果函数()在区间[]上单调递减,在区间[]上单调递增则函数()在处有最小值()..记忆口诀:增函数,减函数,函数作差要记住;正号增,负号减,增减函数很简单;往上增,往下减,增减趋势正相反.名师解惑.对于函数单调性的理解应注意什么?剖析:对于函数单调性的理解,要注意以下几点:()函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,可以是整个定义域,也可以是定义域的某个区间.()函数()在给定区间上的单调性,反映了函数()在这个区间上函数值的总体变化趋势,是函数在这个区间上的整体性质.()函数的单调性是对于某个区间而言的,所以要受到区间的限制.如果函数在某个区间上是单调的,那么在这个区间的子集上也是单调的;但是如果函数在某几个区间上具有相同的单调性,在这几个区间的并集上则不一定具有单调性..判断或证明函数在某区间上的单调性一定要用定义吗？函数单调性的判定方法主要有哪些呢?剖析:()一般来说,证明或判断函数的单调性,严格地说必须用增、减函数定义,其步骤是:设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判符号→定结论.但对于求解选择、填空之类的不要求解过程的问题,能结合图象快速指出单调区间,当然也是可行的.但根据函数图象判断函数单调性,必须按照作函数图象的步骤准确画出函数图象,特别要弄清楚由上升到下降和由下降到上升的关键点的横坐标,才能写出其单调区间,如果一个函数有两个单调递增区间,应写成(∞),［∞)或(∞)和［∞)等形式,但不能写成(∞)∪［∞)的形式.()判断函数单调性的方法是本节的重点,常用的方法有:①定义法:利用定义严格判断.②图象法:根据函数图象直观判断.③直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.多了解几点结论,对于直接判断函数的单调性更有好处,如:函数()与函数()的单调性相反;当()恒为负时,函数与()的单调性相反;在公共区间内,增函数增函数增函数,增函数减函数增函数等.()与()(≠),当>时,增减性相同,当<时,增减性相反..如何求函数在某闭区间上的最值?剖析:如果函数()在闭区间［］上具有单调性,那么它在这个区间上必取得最大值和最小值.即当()在［］上递增时()();当()在［］上递减时()().如果函数()在给定的闭区间［］上不具有单调性,那么也就没有上述确定的结论了,那就要具体问题具体分析了.讲练互动【例题】求函数的单调区间,以及在每一个区间上的单调性.分析：本题考查单调区间的判定,在解题时应用数形结合思想,通过图象寻找单调区间.。

2018版高中数学人教B版必修一学案第二单元 2.1.3 函数的单调性 Word版含答案

．函数的单调性
学习目标.理解函数单调区间、单调性等概念.会划分函数的单调区间，判断单调性.会用定义证明函数的单调性．
知识点一函数的单调性
思考画出函数()＝、()＝的图象，并指出()＝、()＝的图象的升降情况如何？
梳理.设函数＝()的定义域为，区间⊆，如果取区间中的两个值，，改变量，则当时，就称函数＝()在区间上是增函数，如图()；当时，就称函数＝()在区间上是减函数，如图()．
．如果函数＝()在某个区间上是增函数或是减函数，就说＝()在这个区间上具有(区间称为单调区间)．
特别提醒：函数单调性定义的理解
()任意性，即“任意取，”，不能取两个特殊值．
()，有大小，通常规定Δ＝－＞.
()，同属于定义域的某个子区间．
知识点二函数的单调区间
思考我们已经知道()＝的减区间为(－∞，]，()＝的减区间为(－∞，)，这两个减区间能不能交换？
梳理一般地，有下列常识：
()函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的，即单调区间是定义域内的某个子区间．
()函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域，则只能开．
()单调区间⊆定义域.
()遵循最简原则，单调区间应尽可能大．。

高中数学人教B版必修一2.1.3《函数的单调性》word教案2

学科：数学
课题：2.1.3函数的单调性2
教学目标（三维融通表述）：
通过实例，学生巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；通过讲解学生初步了解复合函数单调性的判断方法.会求复合函数的单调区间.明确复合函数单调区间方法和步骤.
教学难点：复合函数单调性的判定
3.如何证明函数单调性
5．复合函数单调性的判断：对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
例1、判断并证明函数的单调性.
例2、已知函数在上递增，那么的取值范围是.
例3、求函数的单调区间。
任务三：闯关训练
1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
2．函数的单调减区间是
3．函数，上的单调性是
4．已知函数在上递减，那么的取值范围是____
复习回顾
学生共同理解复合函数单调性的判定
与老师共同探讨解题
学生尝试解决问题，或讨论完成题目
教学过程
教学环节
问题与任务
时间
教师活动
学生活动
复习
新课讲解
典型例题分析
巩固提高
复习单调性及判定
引导学生理解复合函数单调性的判定
会用定义证明单调性，会判定复合函数的单调性
熟练运用定义证明单调性，强化对复合函数单调性的理解
3分钟
8分钟
18分钟
14分钟
引导学生复习
1.什么是增函数；减函数.
2.什么是单调性，单调区间.
4．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

高中数学 2.1.3 函数的单调性导学案新人教B版必修1

辽宁省葫芦岛市第八高级中学高中数学 2.1.3 函数的单调性导学案（无答案）新人教B版必修1【学习目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。

学习重点：函数的单调性及其几何意义。

学习难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

预习案一．预习内容1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x ________ ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间M A.如果取区间M 中的任意两个自变量x 1，x 2，（1）当x 1<x 2时，都有f(x 1) f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是函数（2）当x 1<x 2时，都有f(x 1) f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是函数二．预习自测以下是NBA 球星姚明四个赛季的平均分，篮板数据表：表中数据和图中连线是为了体现什么？探究案一．仔细阅读教材，回答下面的问题1：增函数、减函数是如何定义的？2：增函数和减函数的图象有什么特征？3：什么是函数的单调性？什么是单调函数？4：函数的单调性是对整个定义域而言的吗？二．例题讲解例1.证明函数f(x)=2x+1在（—∞，+∞）上是增函数例2.证明函数f(x)=x1在区间（—∞，0）和（0，+∞）上是减函数？例3.已知函数f(x)=x 2+2(m —1)x+2在(]4,∞-上单调递减，则m 的取值范围是？三．拓展问题1．如图，定义在区间[—5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每单调区间上，它是增函数还是减函数？ [方法指导]利用单调性定义判断。