2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业(十三)抛物线及其标准方程新人教B版选修2_1

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高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业13 抛物线及其标准方程(含解析)新人教A版高二选修2-1

课时作业13 抛物线及其标准方程[基础巩固]一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A．y2＝－4x B．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )A.18B．－18C．8 D．－83．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A．圆 B．椭圆C．直线 D．抛物线4．抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是( )A．4 B．8C．16 D．325．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p ＋y2p＝1的一个焦点，则p＝( )A．2 B．3C．4 D．8二、填空题6．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．7．抛物线y2＝12x上一点M的横坐标是3，纵坐标大于0，则点M到焦点的距离是________．8．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA＝________m.三、解答题9．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线的方程．10．平面上一动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．[能力提升]11．已知定点A(1,1)和直线l：x＋y－2＝0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为( )A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线12．若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是________．13．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．14．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB 的宽度恰好是拱高OD的4倍．设拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值．课时作业13 抛物线及其标准方程1．解析：设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.答案：C2．解析：抛物线y＝ax2的标准方程是x2＝1ay，则其准线方程为y＝－14a＝2，所以a ＝－18.答案：B3．解析：如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．答案：D4．解析：因为横坐标为6的点到焦点的距离是10，所以该点到准线的距离为10，抛物线的准线方程为x＝－p2，所以6＋p2＝10，所以p＝8.答案：B5．解析：∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，∴由已知得椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点为p2，0.∴3p－p＝p24，又p＞0，∴p＝8.答案：D6．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，p＝2，准线方程为x＝－p2＝－1.答案：2 x＝－17．解析：y2＝12x中，2p＝12，p＝6，焦点坐标是F(3,0)．方法一将x＝3代入y2＝12x中，得y2＝36，又M的纵坐标大于0，则y＝6，所以M(3,6)，则|MF|＝3－32＋0－62＝6.方法二由焦半径公式知|MF|＝3＋p2＝3＋3＝6.答案：68．解析：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p•(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，因为点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0即y0＝－165，所以OA的长为5－165＝1.8(m)．即管柱OA的长为1.8 m.答案：1.89．解析：∵点M到对称轴的距离为6，且抛物线的对称轴为x轴，∴可设点M的坐标为(x,6)．又∵点M到准线的距离为10，∴62＝2px，x＋p2＝10，解得x＝9，p＝2或x＝1，p＝18.故当点M的横坐标为9时，抛物线的方程为y2＝4x；当点M的横坐标为1时，抛物线的方程为y2＝36x.10．解析：方法一设点P的坐标为(x，y)，则有x－12＋y2＝|x|＋1.两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.即y2＝4x x≥0，0x＜0，故动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．方法二由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y 轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．11．解析：因为点A(1,1)在直线l：x＋y－2＝0上，所以到定点A的距离和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是过定点A且与直线l：x＋y－2＝0垂直的直线．答案：D12．解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知点A到焦点F的距离等于点A 到准线的距离，即|AF|＝x1＋p2＝x1＋12.同理|BF|＝x2＋p2＝x2＋12.故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝5，即x1＋x2＝4，得x1＋x22＝2.故线段AB的中点的横坐标是2.答案：213．解析：由抛物线定义，得焦点为F－p2，0，准线为x＝p2，由题意设M到准线的距离为|MN|，则|MN|＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10，所以p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y0)代入y2＝－4x，解得y0＝±6，所以M(－9,6)或M(－9，－6)．14．解析：以拱顶O为原点，拱高DO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，易知点B的坐标为a2，－a4.由点B在抛物线上，得a22＝－2p•－a4，∴p＝a2，∴抛物线方程是x2＝－ay.设点E(0.8，y0)为此抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，得(0.8)2＝－ay0，∴y0＝－0.64a，∴点E到拱底AB的距离h＝a4－|y0|＝a4－0.64am，令h＞3，即a4－0.64a＞3，解得a＞12＋154.242或a＜12－154.242(舍去)，∴能使卡车安全通过的a的最小整数值为13.。

[推荐学习]高中数学第2章圆锥曲线与方程 13抛物线及其标准方程课时作业新人教A版选修2-1

即0＜p≤ 时，连接AF交抛物线于点M，
此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|min＝5， 2＋42＝25，
－＝±3⇒p＝1或p＝13(舍去)．
故抛物线方程为y2＝2x.
综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.
14．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1距离之和的最小值；
课时作业(十三) 抛物线及其标准方程
A组基础巩固
1．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为( )
A．1 B．2C．4 D．8
解析：由y2＝4x得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴焦点到准线的距离为2.
答案：B
2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16xB．y2＝12x
C．y2＝－20xD．y2＝20x
解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)，
则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)．
∴ ＝4，p＝8.∴所求方程为y2＝16x.
答案：A
3．已知动点M(x，y)的坐标满足＝|x＋2|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线 D．以上均不对
解析：设F(2,0)，l：x＝－2，则M到F的距离为，M到直线l：x＝－2的距离为|x＋2|，又＝|x＋2|，所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点，l：x＝－2为准线的抛物线．
解析：由已知得B点的纵坐标为1，横坐标为，即B ，将其代入y2＝2px(p＞0)得1＝2p× ，解得p＝，则B点到抛物线准线的距离为＋＝ p＝ .
答案：
10．动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程作业1 北师大版选修1-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.2.1 抛物线及其标准方程[基础达标]1.已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)，则它的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选D.p 2＝2，∴p ＝4，焦点在y 轴负半轴上，故其标准方程为x 2＝－8y . 2.抛物线x 2＝8y 的准线方程为( )A ．y ＝－2B ．x ＝－2C ．y ＝－4D ．x ＝－4解析：选A.其焦点为(0，2)，故准线方程为y ＝－2.3.点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以P 为圆心，以|PF |为半径的圆与准线l ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．位置由F 确定解析：选B.圆心P 到准线l 的距离等于|PF |，∴相切．4.如图，南北方向的公路L ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 北偏东60 °方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路L 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A ，B 修建公路的费用都为a 万元/km ，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )A ．(2＋3)a 万元B ．(23＋1)a 万元C ．5a 万元D ．6a 万元解析：选C.依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线L 的距离即可．∵B 地在A 地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3 km ，∴B 到直线L 的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a 万元，故选C.5.一个动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(2，0)D ．(4，0)解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x ＋2＝0的距离等于到焦点F (2，0)的距离，∴动圆必过定点(2，0)．6.经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为________．解析：设抛物线的标准方程为y 2＝2px 或x 2＝－2py ，把P (4，－2)分别代入得(－2)2＝8p 或16＝－2p ×(－2)；∴p ＝12或p ＝4，故对应的标准方程为y 2＝x 和x 2＝－8y . 答案：y 2＝x 或x 2＝－8y7.已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________．解析：圆方程可化为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，由题意知1＝p 2，∴p ＝2.答案：28.过点A (0，2)且和抛物线C ：y 2＝6x 相切的直线l 方程为________．解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝0，与抛物线C 相切；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y －2＝kx ，与y 2＝6x 联立，消去x 得y －2＝k 6y 2，即ky 2－6y ＋12＝0，由题意可知k ≠0，Δ＝(－6)2－48k ＝0，∴k ＝34，∴y －2＝34x . 即为3x －4y ＋8＝0.答案：x ＝0或3x －4y ＋8＝09.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程．解：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.因为M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎨⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.所以所求的抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.10.一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为(a 2，－a 4)，由点B 在抛物线上，∴(a 2)2＝－2p ·(－a4)，p ＝a 2，∴抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a. ∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a>3. 解得a >12.21，∵a 取整数，∴a 的最小整数值为13. [能力提升]1.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42，∴x 0＝32，∴y 20＝42x 0＝42×32＝24，∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3. 2.从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．解析：∵抛物线方程为y 2＝4x ，则准线方程为x ＝－1.令P 点坐标为P (x 0，y 0)，由图可知，|PM |＝x 0＋1＝5.∴x 0＝4.把x 0＝4代入y 2＝4x ，解得y 0＝±4，∴△MPF 的面积为12|PM |×|y 0|＝12×5×4＝10. 答案：103.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．解：∵(－2)2<8×4，∴点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，由抛物线的定义可知：|PF |＋|PA |＝|PQ |＋|PA |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|PA |取得最小值，即为|AB |.∵A (－2，4)，∴不妨设|PF |＋|PA |的值最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y得y 0＝12，故使|PF |＋|PA |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(－2，12)． 4．已知点A (3，2)，点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程；(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，∴p ＝1，2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x .(2)如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0，2)代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2)．。

2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业十四抛物线的简单几何性质新人教B版选修2_

(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，那么x1＋x2＝2＋ .
由抛物线的概念可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋＞4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
2．设抛物线y2＝8x的核心为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，若是直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：由抛物线的概念得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°，△PAF是等边三角形，
∴|PF|＝|AF|＝＝8.
解析：如图，由抛物线概念知，
P到其准线的距离d1等于P到核心F的距离|PF|，
则d1＋d2的最小值确实是P，F，R(设PR⊥l)三点在同一直线上时的特殊情形，
即为点F(1,0)到直线l的距离FN的长，故d1＋d2＝＝3 .
14．已知直线l通过抛物线y2＝4x的核心F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)假设|AF|＝4，求点A的坐标；
与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，现在|AB|＝4，
因此，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
解析：设点Q的坐标为 .
由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，
即y ＋ 2≥a2，
整理，得y (y ＋16－8a)≥0.
∵y ≥0，∴y ＋16－8a≥0.
即a≤2＋恒成立．
而2＋的最小值为2.
∴a≤2.
答案：(－∞，2]
9．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的核心，A为抛物线上一点，假设 · ＝－4，求点A的坐标．

高中数学选修2-1第二章第13课时同步练习第二章圆锥曲线与方程(复习)(A)

第二章圆锥曲线与方程（复习A ）1、过点（2，4）作直线，与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线有（） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条2、双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（）A 、)0,(-∞B 、（1，+∞）C 、),1()0,(+∞⋃-∞D 、),1()1,(+∞⋃--∞3、已知（4，2）是直线l 被椭圆193622=+y x 截得的线段的中点，则l 的方程是（） A 、x-2y=0 B 、x+2y-4=0 C 、2x+3y+4=0 D 、x+2y-8=0 4、抛物线x y 412=关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是（）A 、（1，0）B 、（0，1）C 、（0，161）D 、（0,161）5、对于抛物线C ：y 2=4x ，我们称满足0204x y <的点M （00,y x ）在抛物线的内部。

若M （00,y x ）在抛物线的内部，则直线)(2:00x x y y l +=与C （） A 、恰有一个公共点 B 、恰有两个公共点C 、可能有一个公共点，也可能有两个公共点D 、没有公共点6、直线y=x+3与曲线14||92=-y y x 的交点个数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、37、与直线2x-y+4=0平行的抛物线y= x 2的切线方程是 ( )A 、2x -y+3=0B 、2x -y -3=0C 、2x-y+1=0D 、2x-y-1=08、如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是（） A 、(134, +∞) B 、（- ∞,134） C 、（- ∞,-134） D 、（-134 ,134） 9、若焦点是（0，25±）的椭圆截直线3x-y-2=0所得弦的中点的横坐标为1/2，则椭圆的方程是 . 10、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .11、如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点, 点P(1,2), A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)均在直线上. (Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程；(Ⅱ)当PA 与PB 的斜率存在且倾角互补时,求21y y +的值及直线AB 的斜率.12、设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：（Ⅰ）动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）||的最小值与最大值.参考答案1、B （注意点在曲线上）2、C （利用数形结合）3、D （利用“点差法”求斜率）4、C5、D （直线l 过定点（0,0x -），斜率为2）6、B （先分类讨论去掉绝对值，再利用数形结合）7、D8、C9、利用“点差法”可求得1752522=+y x 10、x+y-4=0 11、解(Ⅰ)由已知条件,可设抛物线的方程为.22px y = ∵点P(1,2)在抛物线上,∴,1222⋅=p 得p =2.故所求抛物线的方程是,42x y =准线方程是x=--1. (Ⅱ) 设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB , ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴.PB PA k k -= 由A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在抛物线上,得,4121x y = ①,4222x y = ② ∴,14121412222211--=--y y y y∴ ),2(221+-=+y y ∴.421-=+y y由①-②得直线AB 的斜率).(144421211212x x y y x x y y k AB ≠-=-=+=--=12、（Ⅰ）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解.将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④①②.142222=+y x ⑤. ④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以 .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧. 当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x （Ⅱ）解：由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x故当41=x ，||取得最小值，最小值为61;41-=x 当时，||取得最大值，最大值为.621。

高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业17 2.4.1 抛物线及其标准方程(含解析)新人教A版高

课时作业17 抛物线及其标准方程时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知定点F 和定直线l ，点F 不在直线l 上，动圆M 过点F 且与直线l 相切，则动圆圆心M 的轨迹是( C )A ．射线B ．直线C ．抛物线D ．椭圆解析：因为动圆M 过点F ，且动圆M 与直线l 相切，所以圆心M 到直线l 的距离等于圆的半径|MF |，即动点M 到定点F 的距离等于它到定直线l 的距离，且定点F 不在定直线l 上，所以由抛物线的定义，可知圆心M 的轨迹是抛物线．2．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( C ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆解析：方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M 的轨迹是抛物线．故选C.3．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( D ) A ．(1,0) B ．(0，14)C ．(14，0)D ．(0，18)解析：抛物线方程为x 2＝12y ，可知焦点在y 轴上，且p 2＝18，所以焦点坐标是(0，18)．故选D.4．抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( B ) A.12B.32 C ．1 D. 3解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为32.5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( B ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.6．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵a 2＝6，b 2＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2，即椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，p ＝4.7．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( C )A.34B ．1 C.54D.74解析：如图所示，设E 为AB 的中点，过A ，B ，E 作准线l ：x ＝－14的垂线，垂足分别为C ，D ，G .根据抛物线的定义，知|AC |＋|BD |＝|AF |＋|BF |＝3.根据梯形中位线定理，得线段AB 的中点到y 轴的距离为12(|AC |＋|BD |)－14＝32－14＝54.8．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值X 围是( C )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据已知只要|FM |>4即可，根据抛物线的定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值X 围是(2，＋∞)．二、填空题9．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝2；准线方程为x ＝－1.解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.10．已知抛物线C ：4x ＋ay 2＝0恰好经过圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.解析：圆M 的圆心为(1,2)，代入4x ＋ay 2＝0得a ＝－1，将抛物线C 的方程化为标准方程得y 2＝4x ，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.11．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝6.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F (0，p2)，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A (－12＋p 22，－p2)，B (12＋p 22，－p 2)，所以|AB |＝12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p12＋p 2＝32，解得p ＝6. 三、解答题12．根据下列条件写出抛物线的标准方程． (1)准线方程是y ＝3； (2)过点P (－22，4)； (3)焦点到准线的距离为 2.解：(1)由准线方程为y ＝3知抛物线的焦点在y 轴负半轴上，且p2＝3，则p ＝6，故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y .(2)∵点P (－22，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由42＝－2p ×(－22)，解得p ＝22；若抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，则由(－22)2＝2p ×4，解得p ＝1.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－42x 或x 2＝2y .(3)由焦点到准线的距离为2，得p ＝2，故所求抛物线的标准方程为y 2＝22x ，或y 2＝－22x ，或x 2＝22y ，或x 2＝－22y .13．已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)． (1)求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标；(2)求点P 到点B (12，2)的距离与到直线x ＝－12的距离之和的最小值．解：(1)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴点A 在抛物线内部．过点P 作PQ 垂直抛物线的准线l ：x ＝－12于点Q ，由抛物线的定义，知|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PQ |，当P ，A ，Q 三点共线时，|P A |＋|PQ |的值最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时点P 的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2， ∴点P 的坐标为(2,2)．(2)设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d .显然点B (12，2)在抛物线的外部．由抛物线的定义，得|PB |＋d ＝|PB |＋|PF |≥|BF |，当B ，P ，F 三点共线(P 在线段BF 上)时取等号．又|BF |＝(12－12)2＋(2－0)2＝2， ∴所求最小值为2.——能力提升类——14．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( C )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：因为抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，所以焦点F (p2，0)，设M (x ，y )，由抛物线的性质，知|MF |＝x ＋p 2＝5，得x ＝5－p2.因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心的横坐标为52，由已知，得圆的半径也为52，故该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心的纵坐标为2，则点M 的纵坐标为4，即M (5－p2，4)，代入抛物线方程，得p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试判断|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|是否成等差数列．解：由抛物线的定义知，|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，所以x 1＝|FP 1|－p 2，x 2＝|FP 2|－p2，x 3＝|FP 3|－p2，又2x 2＝x 1＋x 3，所以2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 故|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列．。

学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业抛物线的简单几何性质含解析新人教A版选修_

课时作业14 抛物线的简单几何性质[根底稳固]一、选择题1．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．8B ．10C ．6D ．42．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3 3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，那么直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π64．假设直线y ＝2x ＋p 2与抛物线x 2＝2py (p ＞0)相交于A ，B 两点，那么|AB |等于( ) A ．5p B ．10pC ．11pD ．12p5．点P 在抛物线x 2＝4y 上，那么当点P 到点Q (1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(2,1)B ．(－2,1)C ．－1，14D ．1，14二、填空题6．点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，那么直线AF 的斜率为________．7．抛物线y 2＝12x ，那么弦长为定值1的焦点弦有________条． 8．A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上一点，那么|AB |的最小值为________．三、解答题9．直线x －2y －1＝0被焦点在y 轴上，顶点在原点的抛物线截得的弦长为15，求此抛物线的方程．10．等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝x 上，O 为坐标原点，顶点A 到抛物线的焦点F 的距离等于134，求△AOB 的面积． [能力提升]11．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，那么FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．812．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．假设|FQ |＝2，那么直线l 的斜率等于________．13．抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)假设|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)假设AP →＝3PB →，求|AB |.14．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P到定点M 0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．课时作业14 抛物线的简单几何性质1．解析：根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离，所以|AB|＝x1＋x2＋p ＝6＋2＝8.答案：A2．解析：设抛物线y ＝－x2上一点为(m ，－m2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为 |4m －3m2－8|5＝－3m －232－2035，故当m ＝23时，取得最小值，为43.答案：A3．解析：设P(x1，y1)，由题意得F(1,0)，所以|PF|＝x1＋1＝4⇒x1＝3，所以y1＝23，所以A(－1,23)，所以kAF ＝23－0－1－1＝－3，所以倾斜角为2π3.答案：B4．解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px －p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝4p ，∴y1＋y2＝9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p ＝10p.答案：B5．解析：根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，所以点P 到点Q(1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和最小，只需点P 到点Q(1,2)的距离与点P 到准线的距离之和最小，过点Q(1,2)作准线的垂线，交抛物线于点P ，此时距离之和最小，点P 的坐标为1，14.答案：D6．解析：由抛物线定义得：xA ＋1＝5，xA ＝4，又点A 位于第一象限，因此yA ＝4，从而kAF ＝4－04－1＝43.答案：437．解析：因为通径的长2p 为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a ，假设a ＞2p ，那么焦点弦存在两条；假设a ＝2p ，那么焦点弦存在一条；假设a ＜2p ，那么焦点弦不存在．由y2＝12x 知p ＝14，那么通径长2p ＝12，因为1＞12，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．答案：28．解析：设点B(x ，y)，那么x ＝y2≥0，所以|AB|＝x －22＋y2＝x －22＋x ＝x2－3x ＋4＝x －322＋74.所以当x ＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min ＝72.答案：729．解析：设抛物线方程为x2＝ay(a ≠0)，。

2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】

思考2常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.

(易错题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)

一、选择题1．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点.若4FA FB =，则k =（）A ．45B C ．23D 2．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（）A ．54 B ．45C ．43D ．343．设直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且只有4条，则p 的取值范围是（）A ．B ．(1,3)C ．(0,3)D ．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分5．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（）A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（）A ．2B ．52C ．3D ．728．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（） A ．3B ．102C ．5D ．109．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（）A ．2B ．83C ．5D ．16310．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2623⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．22223⎛ ⎝⎭D ．332,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（） A ．(2,2)B ．2)C ．[2,2]D ．2)12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（） A ．)2,+∞B ．)2,⎡+∞⎣C ．(2D ．(2⎤⎦二、填空题13．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．14．已知椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，椭圆外一点(0,)(1)P t t >，直线PF 交椭圆于A 、B 两点，过P 作椭圆C 的切线，切点为E ，若23||4||||PE PA PB =⋅，则t =____________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线C 的渐近线上一点，120PF PF ⋅=，若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线C 的离心率为___________.16．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.17．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线与直线1x =-所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为________.18．已知P 为椭圆22143x y +=上一点，1F 、2F 是焦点，1260F PF ∠=︒，则12F PF S =△______．19．对抛物线C ：24x y =，有下列命题：①设直线l ：1y kx =+，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线l ：1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.20．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为______．三、解答题21．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．22．已知抛物线()2:20C y px p =>过点()4,4-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于不同两点A 、B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，离心率为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点,Q P ，与椭圆分别交于点,M N ，各点均不重合且满足,PM MQ PN NQ λμ==．若4λμ+=-，证明：直线l 恒过定点．24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.25．已知抛物线24C y x =：的交点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（1）当直线l 的倾斜角为135°时，求AB（2）若过点P （1,2）的直线m 与抛物线C 相切，且直线//m 直线l ，求直线l 的方程 26．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且|AF |＝3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由4FA FB =可得出124y y =，代入韦达定理求出正数m 的值，即可求得k 的值.【详解】设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，整理得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m .由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由4FA FB =得()12242x x +=+，即124my my =，124y y ∴=，12258y y y m ∴+==，可得285m y =，则22122844165m y y y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 0m >，解得54m =，因此，145k m ==. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.2．D解析：D 【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则可得切线,GP GQ 的方程，即可得到直线PQ 的方程，进而可求出点点,M N 的坐标，再结椭圆方程可求出2231OMON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=，因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=，所以3344(,0),(0,)M N x y ，因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题3．B解析：B 【分析】根据l 有且只有4条，易知直线l 的斜率不存在时，有两条，得到直线l 斜率存在时，有两条，根据N 是线段AB 的中点，利用点差法得到0ky p =，再根据直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，得到0012y x k=--，结合得到02x p =-，2203y p =-再根据点N 在抛物线内部求解. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，因为l 有且只有4条，当直线l的斜率不存在时，有两条，即2=±x 所以直线l 斜率存在时，有两条，因为AB 在抛物线上，所以21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212122y y p x x -=-，因为N 是线段AB 的中点，所以1202y y y +=，所以12121202y y p pk x x y y y -===-+，即0ky p =，因为直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，所以0012y x k=--，即002x ky p -=-=-，所以02x p =-，代入抛物线22y px =，得()222y p p =-，因为点N 在抛物线内部，所以()2022y p p <-，因为点N 在圆上，所以2200(2)3x y -+=，即2203p y +=，所以2203y p =-，所以()220322y p p p =-<-，即2430p p -+<，解得13p <<，故选：B 【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．4．D解析：D 【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等，所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线．【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离，因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等，所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线，故选：D ．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.5．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解. 【详解】由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭，()()()2222212416111k BC k x x k k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<，当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤，所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.6．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．7．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．8．B解析：B 【分析】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到22200=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双曲线方程联立，可得答案. 【详解】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ． 4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨-=-⎩，00433m c x n y =-⎧⎨=-⎩．以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=，即22200=+c x y ①，点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()2200224331---=c x y a b ③．②-③整理得()()2000222--=-c x x c y a b ，将22200=-y c x 代入，整理得()22220223-=c a x c，于是()22222200233-=-=b a c y c x c ，最后将20x ，20y 代入双曲线方程，整理得22410c a =，所以2e ==．故选：B. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.9．D解析：D 【分析】由题意作出MD 垂直于准线l ，然后得2PM MD =，得30∠=︒DPM ，写出直线方程，联立方程组，得关于y 的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算. 【详解】如图，过点M 做MD 垂直于准线l ，由抛物线定义得MF MD =，因为PF FM =，所以2PM MD =，所以30∠=︒DPM ，则直线MN方程为1)x y =-，联立21)4x y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x 得，231030y y -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，所以121210,13y y y y +==，得121016||2233MN y y =++=+=. 故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．B解析：B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos 2sin a c c ＝＋αα，得到离心率关于α的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 24c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<，124πα<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭e 的取值范围是2⎛ ⎝⎭，故选B . 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到22cos 2sin a c c ＝＋αα,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得1k <<，所以实数k 的取值范围为，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围．【详解】设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>．又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝，当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 14．【分析】设交点由两点得直线方程由直线方程与椭圆方程联立消去后应用韦达定理得可计算代入在上半椭圆用函数解析式表示出上半椭圆并求导数设切点为求出切线方程切点坐标可用表示从而求得代入已知等式后求得值【详解解析：2【分析】设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由两点得直线PF 方程，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，可计算PA PB ，代入1212,x x x x +，P 在上半椭圆，用函数解析式表示出上半椭圆，并求导数，设切点为11(,)x y ，求出切线方程，切点坐标可用t 表示，从而求得2PE ，代入已知等式后求得t 值．【详解】由题意(1,0)F -，直线AB 方程为00(1)t y x t tx t -=+=+--，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y tx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)4220t x t x t +++-=，2122412t x x t +=-+，21222212t x x t-=+， ∵,PA PB 同向，∴11221212(,)(,)()()PA PB PA PB x y t x y t x x y t y t =⋅=-⋅-=+--22211221222(1)(1)(,)(,)(1)21t t x tx x tx t x x t +-⋅=+=+，设11(,)E x y ，过E 点的切线方程为11()y y k x x -=-，1t >，切点E 在x轴上方，由y =2xy y '==-，∴112PE xk y =-，切线方程为1111()2x y y x x y -=--，化简得1122x x y y +=，直线过(0,)P t ，则122y t =，11y t =，由椭圆方程得21222x t=-， 222211221()2()PE x y t t t t=+-=-+-， ∵23||4||||PE PA PB =⋅，∴22222218(1)(1)32()21t t t t t t +-⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦，化简得223t =，∵1t >，∴t =故答案为：2．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交、相切问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算PA PB ，设切点坐标，用导数求出切线斜率，得切线方程，代入坐标(0,)t 可求得切点坐标（用t 表示），求出2PE ，再结合已知条件求出结果．15．【分析】作出图形设与圆相切于点分析出可求得的值进而可得出双曲线的离心率为即可得解【详解】如下图所示设与圆相切于点则则则为的中点则为的中点由直角三角形的性质可得因为为的中点则由于双曲线的两渐近线关于轴解析：2【分析】作出图形，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，分析出23POF π∠=，可求得ba的值，进而可得出双曲线C 的离心率为21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】如下图所示，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，则OE a =，120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，则2//OE PF ， O 为12F F 的中点，则E 为1PF 的中点，222PF OE a ∴==，由直角三角形的性质可得1OF OP =，因为E 为1PF 的中点，则1EOF POE ∠=∠，由于双曲线的两渐近线关于y 轴对称，可得21POF EOF ∠=∠，所以，12EOF POE POF ∠=∠=∠，则1223EOF POE POF POF π∠+∠+∠=∠=，所以，23POF π∠=，则tan 33b a π==，因此，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.16．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --，又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.17．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解1x =-时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可．【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，将1x =-代入b y x a =±中，解得by a=±，故12142ba =，故4b a=，故双曲线C 的离心率c e a ===．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.18．【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得再由三角形面积公式计算可得结果【详解】由已知得所以从而在中即①由椭圆的定义得即②由①②得所以故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义考查余弦定理的应用三角【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得124PF PF ⋅=，再由三角形面积公式计算可得结果. 【详解】由已知得2a =，b =1c ==，从而1222F F c ==，在12F PF △中，2221212122cos60F F PF PF PF PF ︒=+-⋅，即2212124PF PF PF PF =+-⋅，① 由椭圆的定义得124PF PF +=，即221212162PF PF PF PF +=+⋅，② 由①②得124PF PF ⋅=，所以12121sin 602F PF S PF PF ︒=⋅=△【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理的应用、三角形面积公式，对于焦点三角形面积问题，一是结合余弦定理和面积公式，二是利用椭圆定义可得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④ 【分析】①将抛物线与直线联立消去y ，利用根与系数关系求出12x x +，12x x ，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系，即可判断②的正误； ③将2x =代入24x y =，可得()2,1P 在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设1l 的方程为()12y k x -=-，将直线与抛物线联立消去y ，利用判别式即可求出k ，进而可求出直线1l 的倾斜角，即可判断④的正误. 【详解】①联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，设两交点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，所以由根与系数的关系得124x x k +=，124x x ⋅=-，故AB ==2444k =+≥，当0k =时，AB 取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知124x x k +=，则21212242y y kx kx k +=++=+，故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +，半径2222ABr k ==+，抛物线24x y =的准线方程为1y =-，故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=，所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将2x =代入24x y =，解得1y =，所以当1t =时，即()2,1P 在抛物线上，当直线的斜率不存在时，方程为2x =，此时只有一个交点()2,1，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件，所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误， ④因为抛物线的焦点为()0,1F ，又()2,1Q ，()2,R m ，所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在，设1l 的方程为()12y k x -=-，代入24x y =，可得24840x k k -+-=，由()2164840k k ∆=--=可得1k =，即直线1l 的倾斜角为45︒，因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直，所以一定平分RQF ∠，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．20．【分析】设左焦点为根据椭圆的定义有且O 是直角三角形斜边的中点所以离心率由角的范围可求得离心率的最大值【详解】因为关于原点对称所以B 也在椭圆上设左焦点为根据椭圆的定义：又因为所以O 是直角三角形斜边的中【分析】设左焦点为F '，根据椭圆的定义有，||||2AF BF a +=，且O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，离心率11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由角的范围可求得离心率的最大值. 【详解】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，又因为||BF AF '=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=,故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于,,a b c 的等式或不等式.三、解答题21．（1）22122y x -=；（2）8.【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可；（2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可. 【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b =⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=．由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=．所以，线段AB 的长是8．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 22．（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2215114x y -++=.【分析】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，再将直线2y x m =-+的方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆>可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，列出韦达定理，由线段AB 的中点的横坐标可求得m 的值，可求得线段AB 的中点坐标，利用弦长公式可求得AB ，进而可求得以线段AB 为直径的圆的方程. 【详解】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，可得()28416p =-=，解得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，联立224y x m y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得()224440x m x m -++=，由已知条件可得()22441632160m m m ∆=+-=+>，解得12m >-，因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得121x x m +=+，2124m x x =，由于AB 中点的横坐标为1，则1212x x m +=+=，解得1m =，1214x x ∴=，由弦长公式可得12AB x x =-===，所以，所求圆的圆心坐标为()1,1- 因此，以AB 为直径的圆的方程为()()2215114x y -++=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得122,2c c a ==，再由222b a c =-求出b 的值，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，从而得()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y =-=--=-=--，然后由,PM MQ PN NQ λμ==，可得()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120qp μμ--+-=，由此可知,λμ为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，所以有2244312q λμ+==--，可求出q 的值，从而可得答案【详解】（1）依题意，22,1c c =∴=．由12c a =，得2,a b =∴= 故椭圆方程为22143x y +=．（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y ∴=-=--=-=--．由PM MQ λ=，得()()M M M M x q x y p y λλ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，11M M q x p y λλλ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩．∵点M 在椭圆上，2211143q p λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴+=，整理得()222312244120qp λλ--+-=．同理，由PN NQ μ=可得()222312244120q p μμ--+-=．,λμ∴为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，2244312q λμ∴+==--． 22q ∴=．又0,q q >∴=∴直线l恒过定点Q ．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由,PM MQ PN NQ λμ==，得到()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120q p μμ--+-=，从而有,λμ为方程()222312244120qx x p --+-=的两不相等实数根，再利用根与系数的关系可得答案，考查数学转化思想，属于中档题24．（1）22143x y +=；（2）7. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为22214x y b+=，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得291414b +=，解得23b =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质课时作业新人教A版选修11

2.3.2 抛物线的简单几何性质1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( C )(A)直线与抛物线有一个公共点(B)直线与抛物线有两个公共点(C)直线与抛物线有一个或两个公共点(D)直线与抛物线可能没有公共点解析:因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.故选C.2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( B )(A)8 (B)16 (C)32 (D)64解析:由题可知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.故选B.3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( C )(A)|FP1|+|FP2|=|FP3|(B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2(C)|FP1|+|FP3|=2|FP2|(D)|FP1|·|FP3|=|FP2|2解析:由焦半径公式,知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+.因为2x2=x1+x3,所以2(x2+)=(x1+)+(x3+),即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.故选C.4.(2018·临川高二月考)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )(A)(B)(C)(D)3解析:设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.故选A.5.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k等于( D )(A)(B)1 (C)(D)2解析:由题知P(1,2),2=k.故选D.6.(2018·郑州高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1等于( A )(A)90° (B)45° (C)60° (D)120°解析: 如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以∠AA1F=∠AFA1,又∠AA1F=∠A1FO,所以∠AFA1=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.故∠A1FB1=90°.故选A.7.(2018·兰州高二检测)在抛物线y2=16x内,过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是.解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-2),①由消去x得ky2-16y+16(1-2k)=0,所以y1+y2==2(y1,y2分别是A,B的纵坐标),所以k=8.代入①得y=8x-15.答案:y=8x-158.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.解: 如图,依题意可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,即x1+x2+p=8.①又A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,由消去y得x2-3px+=0.所以x1+x2=3p,②将②代入①,得p=2.所以所求的抛物线标准方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.【能力提升】9.(2017·高安市校级高二月考)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m等于( B )(A)(B)(C)(D)0解析:由可得8x2-20x+8=0,解得x=2或x=,则A(2,2),B(,-),点M(-1,m),由·=0,可得(3,2-m)·(,--m)=0.化简得2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.10.(2018·宜春高二月考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( B )(A)2 (B)3 (C)(D)解析:设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),直线AB的方程为x=ty+m,与抛物线y2=x联立得y2-ty-m=0,故ab=-m,由·=2得a2b2+ab=2,故ab=-2或ab=1(舍去),所以m=2,所以△ABO的面积等于m|a-b|=|a-b|=|a+|,△AFO的面积等于×|a|=,所以△ABO与△AFO的面积之和为|a+|+=|a|+||≥2=3.当且仅当|a|=时,等号成立.故选B.11.(2018·云南质检)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是.解析:设点Q的坐标为(,y0),由|PQ|≥|a|,得+(-a)2≥a2,整理得(+16-8a)≥0,因为≥0,所以+16-8a≥0,即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2,所以a≤2.答案:(-∞,2]12. (2018·湖南六校联考)如图所示,已知点M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,直线AM,BM 的斜率互为相反数,且与抛物线另交于A,B两个不同的点.(1)求点M到其准线的距离;(2)求证:直线AB的斜率为定值.(1)解:因为M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,所以32=4a,a=,所以M(,3).因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以点M到其准线的距离为-(-1)=.(2)证明:由题知直线MA,MB的斜率存在且不为0,设直线MA的方程为y-3=k(x-),由得y2-y+-9=0.所以y A+3=,所以y A=-3.因为直线AM,BM的斜率互为相反数,所以直线BM的方程为y-3=-k(x-).同理可得y B=-3.(只需将y A=-3中的k换为-k)所以k AB=====-.所以直线AB的斜率为定值-.【探究创新】13.(2018·枣庄高二月考)设点P在圆C:x2+(y-6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|PQ|的最小值为.解析:设Q(x,y),其中x2=4y.又圆心C(0,6),则|QC|===(y≥0).当y=4时,|QC|min=2,所以|PQ|min=|QC|min-r=2-=.答案:。

2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课时作业新人教A版选修1_1

2.3.1 抛物线及其标准方程【基础巩固】1.若A是定直线l外一定点,则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为( D )(A)直线 (B)椭圆 (C)线段 (D)抛物线解析:因为圆过点A,所以圆心到A的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点A是定直线l外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.故选D.2.如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2,那么它的焦点坐标为( B )(A)(1,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(-1,0)解析:因为准线方程为x=-2=-,所以焦点为(,0),即(2,0).故选B.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( D )(A)y=-3x2 (B)y2=9x(C)y2=-9x或y=3x2(D)y=-3x2或y2=9x解析:由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=my,将(1,-3)代入得m=-,所以方程为y=-3x2.故选D.4.(2018·南昌高二月考)已知P(8,a)在抛物线y2=4px上,且P到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( B )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:根据题意可知,P点到准线的距离为8+p=10,可得p=2,所以焦点到准线的距离为2p=4,选B.5.(2017·海南高二期中)过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是( D )(A)y2=12x (B)y2=-12x(C)x2=-12y (D)x2=12y解析:由已知条件知动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.故选D.6.(2016·泉州南安三中期中)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )(A)(B)3 (C)(D)解析:依题设P在抛物线准线的投影为P′,抛物线的焦点为F,则F(,0),依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|==.故选A.7. (2018·贵阳高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系(图略),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,解得x=±.所以水面宽为2米.答案:28.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m值;(2)求抛物线的焦点和准线方程.解:(1)因为点(-3,m)在y轴左侧,抛物线焦点在x轴上,所以抛物线开口向左.设方程为y2=-2px(p>0),因为M到焦点的距离为5,所以3+=5,所以p=4.所以抛物线的方程为y2=-8x.把点M(-3,m)代入抛物线方程得m2=24.所以m=±2.(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为x=2.【能力提升】9.(2018·杭州高二质检)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于( C )(A)(B)(C)3 (D)2解析:过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C.10.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值为( D )(A)12 (B)24 (C)16 (D)32解析:当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由得y1=-4,y2=4,所以+=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),由得ky2-4y-16k=0,所以y1+y2=,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,综上可知,+≥32.所以+的最小值为32.故选D.11.(2018·成都诊断)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为.解析:如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,即=,即m+n的最小值为-1.答案:-112.(2017·孝感高二期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线是直线l:x=-2,焦点是F.(1)求抛物线C的方程;(2)若l与x轴交于点A,点M在抛物线C上,且M到焦点F的距离为8,求△AFM的面积S.解:(1)由已知得-=-2,所以p=4,所以抛物线C的方程是y2=8x.(2)由已知得A(-2,0),F(2,0),所以|AF|=4,设抛物线上的点M(x0,y0),由抛物线的定义知|MF|=x0+=x0+2=8,所以x0=6,代入y2=8x,得=8×6=48,所以|y0|=4,所以S=|AF||y0|=×4×4=8.【探究创新】13.(2018·沈阳高二质检)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是.解析:抛物线焦点F(1,0),由题意0<a<1,且∠AFB=90°并被x轴平分,所以点(-1,2)在双曲线上,得-=1,即b2==c2-a2,即c2=+a2=,所以e2===1+, 因为0<a<1,所以e2>5,故e>.答案:(,+∞)。

高中数学选修2-1第二章第13课时同步练习第二章圆锥曲线与方程(复习)(B)

第二章圆锥曲线与方程（复习）（B ）1、已知抛物线x y 42=，过焦点F 的弦AB 被焦点分成长为m 与n 的两部分，求n m 11+ 等于（）A 、1B 、2C 、3D 、42、直线2-=kx y 交抛物线x y 82=于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则AB 为（）A 、 15B 、 154C 、 152D 、 423、过双曲线068222=+--x y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若4=AB ，则这样的直线有（）A 、4条B 、3条C 、2条D 、1条、4、抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的倾斜角为α，则弦长AB 为（）A 、α2sin 2pB 、α2cos 2p C 、αsin p D 、αcos p 5、曲线122--=x x y 与x 轴相交，则两交点间的距离为（）A 、8B 、0C 、7D 、16、过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2（c,0）,则△ABF 2的最大面积为（）A 、b 2B 、abC 、acD 、bc7、双曲线1322=-y x 的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2作倾斜角为1500的直线交双曲线于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为（）A 、6B 、5C 、333+D 、3+233 8、已知抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为a(a ≥2p)，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离为 .9、过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为4π的弦，则|AB|=10、抛物线y 2=x 上到直线x-2y+4=0的距离最小的点是11、已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.12、设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0)(0,(2>c c F ，且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直.（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设L 是相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与L 相交于点Q. 若32||||22-=PF QF ，求直线PF 2的方程.参考答案1、A （利用特值法）2、C （根据韦达定理和弦长公式）3、B （利用数形结合法）4、A （利用焦点弦长公式和韦达定理）5、A （利用数形结合）6、D7、C 6、2p a - 9、7192 10、（1，1） 11、解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y 即.0=--k y kx 因为点M 到直线AP 的距离为1,∵,112=+-k kmk 即221111k k k m +=+=-.∵],3,33[∈k ∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332. ∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+-- (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b b y x 由),0,1(),0,12(A M +得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1。

高中数学《抛物线及其标准方程》(导学案)

第二章圆锥曲线与方程 2.3.1抛物线及其标准方程一、学习目标1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2．会求简单的抛物线的方程．【重点、难点】1．抛物线的定义及其标准方程的求法．(重点)2．抛物线定义及方程的应用．(难点) 二、学习过程【复习旧知】在初中，我们学习过了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线例如：（1）24y x =，（2）24y x =-的图象（自己画出函数图像）【导入新课】 1.抛物线的定义探究1观察抛物线的作图过程，探究抛物线的定义：抛物线的定义： 2.抛物线的标准方程要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系.探究2 设焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程. 推导过程：我们把方程22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程是2p x =-。

在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：【典型例题】【例1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(－2,0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2,3)；【例2】如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．【例3】 (12分)一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．【变式拓展】1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．2.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )．A.172B ．2C. 5D.923.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？三、总结反思1．抛物线定义的理解(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M ；一个定点F 即抛物线的焦点；一条定直线l 即抛物线的准线；一个定值即点M 与点F 的距离和它到直线l 的距离之比等于1.(2)在抛物线的定义中，定点F 不能在直线l 上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线．如到点F (1,0)与到直线l ：x ＋y －1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x －y －1＝0，轨迹为过点F 且与直线l 垂直的一条直线．2．抛物线标准方程的特点四种抛物线及其标准方程的共同特点是：(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于2p 4＝p2.抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点决定于一次项，开口决定于正负号，即标准方程中，如果含的是x 的一次项，则焦点就在x 轴上，并且焦点的横坐标为p 2(或－p2)，相应的准线是x ＝－p 2(或x ＝p2)，如果含的是y 的一次项，有类似的结论.四、随堂检测1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为(0，116)C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为(0，116)2．焦点在直线x ＝1上的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝2x B ．x 2＝4y C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x3．若抛物线y 2＝ax 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的左焦点重合，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－8D ．44．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则点P 坐标为( )5.已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2。

2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业六曲线与方程新人教B版选修2_1

又M为AB的中点，因此即
将其代入y0＝2x ＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1，
即y＝4x2.
答案：y＝4x2
8．已知点A(a,2)既是曲线y＝mx2上的点，也是直线x－y＝0上的一点，那么m＝________，a＝________.
解析：由题意知，∴a＝2，m＝ .
答案： 2
9．设P为曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，那么点M的轨迹方程是________．
A．x2＋y2＝3
B．x2＋2xy＝1(x≠±1)
C．y＝
D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：设P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1，
∴ ＋＝－1，
整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)．
答案：B
4．“点M在曲线y2＝4x上”是点M的坐标知足方程y＝－2 的( )
A．充分没必要要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
∴ ＝(x＋1,0)，＝(2，－y)．
＝(x－1，y)，＝(－2，y)．
由 · ＝ · ，得2(x＋1)＋0·(－y)＝－2(x－1)＋y2，整理得y2＝4x.
即动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
15．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，假设向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1)
D．x2＋y2＝2(x≠± )
解析：设动点M(x，y)，
则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．由 · ＝0，
得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，
即x2＋y2＝1.应选A.
答案：A

2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业十五直线与抛物线的位置关系新人教B版选修2

∴总有＋＝ .
11．已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，那么点P到直线l的最短距离为________，现在点P的坐标为________．
解析：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，那么点P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝＝，现在x0＝，因此点P的坐标为 .
∴x1＋x2＝ p.又k＝tanθ＝，
代入|AB|＝x1＋x2＋p，得：|AB|＝ ·p＋p＝ .
当AB斜率不存在时也成立．
(2)由抛物线的概念，知：
|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋，
∴ ＋＝＋
当AB的斜率不存在时，x1＝x2＝，
＋＝＋＝＋＝ .
当AB的斜率存在时
＋＝＝＝＝ .
B组能力提升
10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的核心F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，假设线段AB的长为8，那么p＝________.
解析：∵F ，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.
答案：2
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析：设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，
即切线方程为2x－y－1＝0.
答案：D
5．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，假设线段AB中点的横坐标为2，那么|AB|等于( )
∴k∈(－2,0)．
14．已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的核心弦，F为抛物线核心，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程作业2 北师大版选修1-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.2.1 抛物线及其标准方程[A.基础达标]1．已知点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以P 为圆心，以|PF |为半径的圆与准线l ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．位置由F 确定解析：选B.圆心P 到准线l 的距离等于|PF |，所以相切．2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是6，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4解析：选B.由抛物线定义知：P 到焦点的距离等于P 到准线的距离，故P 到焦点距离＝6－(－2)＝8.3．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )解析：选D.a 2x 2＋b 2y 2＝1其标准方程为x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为a >b >0，所以1a 2<1b2，表示焦点在y 轴上的椭圆；ax ＋by 2＝0其标准方程为y 2＝－abx ，表示焦点在x 的负半轴的抛物线．4．一个动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(2，0)D ．(4，0)解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x ＋2＝0的距离等于到焦点F (2，0)的距离，所以动圆必过定点(2，0)．5．当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝32y 或y 2＝－12xB ．x 2＝－32y 或y 2＝12xC ．y 2＝32x 或x 2＝－12yD ．y 2＝－32x 或x 2＝12y解析：选C.该直线可化为(2x －4)a ＋(3x ＋y ＋2)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，3x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－8，故该直线恒过定点P (2，－8)，经验证C 符合要求．6．准线方程为x ＝－1的抛物线的标准方程为________．解析：由题意可设该抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其准线为x ＝－p2＝－1，得p＝2.故该抛物线的标准方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x7．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，设A 的坐标为(y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，由OA →·AF →＝－4得y 40＋12y 20－64＝0，即y 0＝±2，所以点A 的坐标为(1，2)或(1，－2)．答案：(1，2)或(1，－2)8．设抛物线y 2＝2x 的准线为l ，P 为抛物线上的动点，定点A (2，3)，则|AP |与点P 到准线l 的距离之和的最小值为________．解析：设该抛物线的焦点为F ，连接AF 交抛物线于点P 0，由抛物线定义可知P 到准线l 的距离等于|PF |，故|AP |与点P 到l 距离之和＝|AP |＋|PF |≥|AP 0|＋|P 0F |＝|AF |＝（2－12）2＋32＝352.答案：3529．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程．解：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.因为M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎨⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6. 所以所求的抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 10．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，由点B 在抛物线上，所以(a2)2＝－2p ·(－a 4)，p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a.所以点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a>3.解得a >12.21，因为a 取整数，所以a 的最小整数值为13.[B.能力提升]1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．4B ．2C ．1D ．8解析：选C.如图，F (14，0)，过A 作AA ′⊥准线l ，所以|AF |＝|AA ′|，所以54x 0＝x 0＋p2＝x 0＋14，所以x 0＝1. 2．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)π D.54π解析：选A.因为∠AOB ＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.3．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过点P 作直线l 的垂线PM ，垂足为M ，已知△PFM 为等边三角形，则△PFM 的面积为________．解析：设l 与x 轴交于点A ，则|AF |＝p ，因为∠AFM ＝60°，所以|MF |＝2|AF |＝2p ，所以S △PFM ＝34(2p )2＝3p 2.答案：3p 24．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为________．解析：设(0，2)为点A ，因为|MF |＝5，所以M (5－p 2，10p －p 2)，由题意可得：AM →·AF→＝0，AM →＝(5－p 2，10p －p 2－2)，AF →＝(p 2，－2)，AM →·AF →＝(5－p 2)·p 2＋(10p －p 2－2)(－2)＝0，得p ＝2或p ＝8，故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .答案：y 2＝4x 或y 2＝16x5．过抛物线焦点F 的直线交该抛物线于P 、Q 两点，弦PQ 的垂直平分线交抛物线的对称轴于R 点．求证：|FR |＝12|PQ |.证明：建立直角坐标系，如图所示．设R 点坐标为(x ，0)，P 点坐标为(x 1，y 1)，Q 点坐标为(x 2，y 2)，所以|FR |＝x －p2.由题设，知|RP |＝|RQ |，即(x －x 1)2＋y 21＝(x －x 2)2＋y 22，①因为y 22＝2px 2，y 21＝2px 1，代入方程①，得(x －x 1)2－(x －x 2)2＝2p (x 2－x 1)．因为x 1≠x 2，所以x ＝x 1＋x 22＋p .所以|FR |＝x 1＋x 22＋p2，|PQ |＝|PF |＋|FQ |＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)＝(x 1＋x 2)＋p ，所以|FR |＝12|PQ |.6．(选做题)已知点A (3，2)，点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程；(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1，2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x .(2)存在M .理由如下：由题意得A (3，2)在抛物线内部，如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0，2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2，2)．。

2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业(十三)抛物线及其标准方程新人教B版选修2_1

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 课时作业13 抛物线及其标准方程(含解析)新人教A版高二选修2-1

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