江苏省南通中学2018届高三上学期开学考试数学试题(附答案)

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江苏省南通如皋市2018届高三上学期第一次联考数学试卷

2017～2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题（理科）一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．设集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∩B )＝ ▲ ． 2．函数()f x 的定义域为 ▲ ．3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|2a －b|的值为 ▲ ． 4．若指数函数()f x 的图象过点()24-，，则不等式()()52f x f x +-<的解集为 ▲ ． 5．已知函数()()23020x x x f x f x x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩，≥，，，则()9f -= ▲ ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos 3cos a B c b A =-，则cos A ＝▲ ．7．已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为 ▲ ． 8．已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()02，上是单调增函数，则实数a 的取值范围为▲ ．1≥a9．已知函数()()()sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的周期为4，将函数f (x )的图象向右平移13个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y ＝f (x )在[]01，上的值域为 ▲ ． 10．已知函数()1e ex x f x =-，其中e 为自然对数的底数，则不等式()()2240f x f x -+-<的解集为 ▲ ．11．如图，在四边形ABCD 中，AB AD ⋅＝5，BD ＝4，O 为BD 的中点，且AO ＝3OC，则CB CD ⋅ ＝ ▲ ．12．已知函数()()2342ln 2f x x a x x =++-在区间()12，上存在最值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数()21ln 152128x x xf x m x mx x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-++⎪⎩，，，≤，若()()g x f x m =-有BADOC（第11题图）三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14．在△ABC 中，若1tan A ，2tan C ，1tan B成等差数列，则cos C 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，设向量()sin cos m x x = ，，)12n =，．（1）若m ∥n，求x 的值；（2）若35m n ⋅= ，求()πsin 12x -的值．16．已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中k ∈R ．（1）当3k =时，求函数()f x 在[]05，上的值域；（2）若函数()f x 在[]12，上的最小值为3，求实数k 的取值范围．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c －b ＝2b cos A ．（1）求证：A ＝2B ；（2）若cos B ＝34，c ＝5，求△ABC 的面积．18．如图，矩形ABCD 是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB ＝503米，AD ＝100米．现拟在直角三角形OMN 内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O 为AD 的中点，OM ⊥ON ，点M 在AB 上，点N 在CD 上），将破旧的道路AM 重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM 成本为每米500元，设∠OMA ＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f (θ)．（1）求f (θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tan θ为何值时，总费用 f (θ)最小？19．已知二次函数()f x 为偶函数且图象经过原点，其导函数()'f x 的图象过点()12，．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()()'g x f x f x m =+-，其中m 为常数，求函数()g x 的最小值．OABCDMNθ（第18题图）20．设函数()1ln 1f x a x x=+-．（1）当2a =时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当102a <<时，求证：对任意()1+2x ∈∞，，都有()1e x aa x ++<．2017～2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题（理科）参考答案一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．{}14， 2．(0 3．2 4．45．2 6．137．2 8．[)1+∞，9．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 10．()32-， 11．3- 12．()95--， 13．(714⎤⎥⎦， 14．13二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）因为()sin cos m x x = ，，)12n =，，且m ∥n ，所以1sin cos 2x x ⋅=tan x ．……………………………………4分又π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以π3x =．……………………………………………………………………6分（2）因为()sin cos m x x = ，，)12n =，，且35m n ⋅= ，13cos 25x x +=，即()π3sin 65x +=．……………………………8分令π6x θ=+，则π6x θ=-，且3sin 5θ=，因为π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故ππ62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以4cos 5θ=．……………………………………11分所以()()()ππππππsin sin sin sin cos cos sin 12612444x θθθθ-=--=-=-3455=-=．………………………………14分 16．解：（1）由题意可知，不等式222x mx m x k --<+的解集为()26-，，即不等式()22120x m x m k -+--<的解集为()26-，，所以方程()22120x m x m k -+--=的两个实根分别为2-，6，根据一元二次方程根与系数的关系，可得2261262m m k -+=+⎧⎪⎨-⨯=--⎪⎩，，解得36m k =⎧⎨=-⎩，．……………………………………………………………………6分（2）由题意可知，对任意[)1x ∈+∞，，恒有2220x mx m -->，即对任意[)1x ∈+∞，，恒有()()20x m x m +->，所以121m m -<⎧⎨<⎩，，解得112m -<<．………………………………………………………………14分 16．解：（1）当3=k 时，196)(23++-=x x x x f ，)3)(1(39123)(2'--=+-=x x x x x f ，令0)('=x f 得3,121==x x ，列表：由上表知，函数()f x 的值域为]21,1[．……………………………………6分（2）))(1(33)1(33)(2'k x x k x k x x f --=++-=，① 当1≤k 时，0)('],2,1[≥∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递增，所以313)1(231)1()(min =+++-==k k f x f ，即35=k （舍）． …………………………………………………8分② 当2≥k 时，0)('],2,1[≤∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递减，所以3123)1(68)2()(min =+⋅++-==k k f x f ，符合题意．…………………………………………………10分③ 当21<<k 时,当),1[k x ∈时，0)('<x f )(x f 区间在),1[k 单调递减；当]2,(k x ∈时，0)('>x f )(x f 区间在]2,(k 单调递增．所以3)2()()(min =<=f k f x f ，不符合题意．综上所述：实数k 取值范围为2≥k ． (14)分17．解：（1）由c －b ＝2b cos A 及正弦定理sin sin b cB C=可得， sin sin 2sin cos C B B A -=，（*）……………………………2分()sin πsin 2sin cos A B B B A ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，所以sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A +-=，整理得sin cos cos sin sin A B A B B -=，即()sin sin A B B -=，…………………………………………………………4分又A ，B 是△ABC 的内角，所以()0πB ∈，，()0πA B -∈，，所以A B B -=或πA B B -+=（舍去），即A ＝2B ．………………………………………………………………………6分（2）由cos B ＝34及()0πB ∈，可知，sin B == 由A ＝2B 可知，()2231cos cos 22cos 12148A B B ==-=⨯-=，3sin sin 22sin cos 24A B B B ===⨯=．由（*）可得，1sin sin 2sin cos 28C B B A =+=+=10分在△ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =5=，解得4b =，所以△ABC的面积11sin 4522S bc A ==⨯⨯=14分18．解：（1）据题意，在Rt∆OAM 中，OA ＝50，∠OMA ＝θ，所以AM ＝50tan θ，OM ＝50sin θ．据平面几何知识可知∠DON ＝θ．在Rt∆ODN 中，OD ＝50，∠DON ＝θ，所以ON ＝50cos θ．所以f (θ)＝20500OMN S AM ∆⋅+⋅＝1505050205002sin cos tan θθθ⨯⨯⨯+⨯＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+．………………………………………6分据题意，当点M 与点B 重合时，θ取最小值π6；当点N 与点C 重合时，θ取最大值π3，所以ππ63θ≤≤．所以f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+，其定义域为ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．………………8分（2）由（1）可知，f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+，ππ63θ≤≤． ()'f θ＝()()2222220cos sin sin cos 25000sin sin cos θθθθθθθ⎡⎤----⎢⎥⋅+⎢⎥⎣⎦＝()2222sin cos 125000sin sin cos θθθθθ⎡⎤-⎢⎥⋅-⎢⎥⎣⎦＝()222sin 2cos 25000sin cos θθθθ-⋅，令()'f θ＝0，得0tan θ0ππ63θ⎡⎤∈⎢⎥，，列表：所以当tan θ= f (θ)取最小值………………………………………16分法二：f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+＝()22sin cos 125000sin cos tan θθθθθ+⋅+＝()1125000tan tan tan θθθ⋅++＝()225000tan 25000tan θθ⋅+⨯≥，………13分当且仅当2tan tan θθ=，即tan θ= ………………15分所以当tan θ= f (θ)最小，可节约投入成本．……………16分 19．解：（1）因为二次函数()f x 经过原点，可设()()20f x ax bx a =+≠，又因为()f x 为偶函数，所以对任意实数x ∈R ，都有()()f x f x -=，即()()22a x b x ax bx -+-=+，所以20bx =对任意实数x ∈R 都成立，故0b =．所以()2f x ax =，()'2f x ax =，又因为导函数()'f x 的图象过点()12，，所以212a ⨯=，解得1a =．所以()2f x x =．…………………………………………………5分（2）据题意，()()()2'2g x f x f x m x x m =+-=+-，即()222222m x x m x g x m x x m x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩，，，≥，① 若12m<-，即2m <-．当2m x <时，()()22211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()2m -∞，上单调递减；当2m x ≥时，()()22211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在()12m -，上单调递减，在()1-+∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()11g m -=--．……………………………………8分 ② 若112m-≤≤，即22m -≤≤．当2m x <时，()()211g x x m =-+-，故()g x 在()2m -∞，上单调递减；当2mx ≥时，()()211g x x m =+--，故()g x 在()2m +∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()224m mg =． ……………………………………11分③ 若12m>，即2m >．当2m x <时，()()22211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()1-∞，上单调递减，在()12m，上单调递增；当2m x ≥时，()()22211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在()2m +∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()11g m =-． ……………………………………14分综上所述，当2m <-时，()g x 的最小值为1m --；当22m -≤≤时，()g x 的最小值为24m ；当2m >时，()g x 的最小值为1m -．…………………………16分20．解：（1）当2a =时，()12ln 1f x x x =+-，()112ln1101f =+-=， ()221'f x x x =-，()221'1111f =-=，所以函数()f x 在点()10，处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． ……………………………………………………………4分（2）()1ln 1f x a x x=+-，定义域为()0+∞，， ()2211'a ax f x x x x-=-=． ① 当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减；② 当0a >时，令()'0f x =，得1x =．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在()10a ，上单调递减，在()1a+∞，上单调递增．………………………………………9分（3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在()10a ，上单调递减，显然，12a>，故()()1120a ⊆，，，所以函数()f x 在()12，上单调递减，\ 对任意()1+2x ∈∞，，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以()()11a f f x+<，即()1ln 1101a a x x ++-<+，所以()ln 1a a a x x a +<+，即()1ln 1a x x a +<+，所以()()ln 11a x a x++<，即()ln 11x a a x ++<，所以()1e x aa x ++<．……………………………………………………………16分。

南通市第三中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

南通市第三中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）N ，则输出的S的值是（）1．在下面程序框图中，输入44A．251B．253C．255D．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.2．某几何体的三视图如图所示，则此几何体不可能是（）A． B ． C． D．3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

ABC D4． ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++为零向量，且||||OA AB =，则CA 在BC 方向上的投影为（）A ．-3 B． C ．3 D5．已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（）.A ．),3[]1,2(+∞--B ．),3()1,35(+∞-- C ．),3[]1,35[+∞-- D ．),3()1,2(+∞--6．若()()()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩,则()5f 的值为（） A ．10 B ．11 C.12 D ．137．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（） A．（，1，1） B ．（﹣1，﹣3，2） C．（﹣，，﹣1） D．（，﹣3，﹣2）8．已知，则tan2α=（）A． B．C．D．9．设集合,,则( )ABC D10．已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧a x －1，x ≤1log a1x ＋1，x ＞1（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝（） A ．－14B ．－12C ．－34D ．－5411．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n =，则35a a +等于（）A ．259B ．2516C ．6116D ．3115二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-SS ，则2016S 的值等于 .【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.14．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．15．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 16．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由块木块堆成．三、解答题（本大共6小题，共70分。

江苏省南通市2018年中考数学真题试题(含答案)(1)

江苏省南通市2018年中考数学真题试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1的值是A ．4B ．2C ．±2D ．﹣2 2．下列计算中，正确的是A ．B ．C ．D ．3在实数范围内有意义，则的取值范围是A ．x ≥3B ．x ＜3C ．x ≤3D ．x ＞3 4．函数y ＝﹣x 的图象与函数y ＝x ＋1的图象的交点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．下列说法中，正确的是A ．—个游戏中奖的概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖B ．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C ．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8D ．若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小 6．篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分．某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．如图，AB∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ，再分别以E 、F 为圆心，大于EF 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．若∠ACD＝110°，则∠CMA 的度数为A ．30°B ．35° C．70° D ．45°235a a a ⋅=238()a a =325a a a +=842a a a ÷=x 110128．—个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm29．如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x(s)，y＝PC2，则y关于x的函数的图像大致为A B C D10．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M、N，则MN的长为A B C第7题第9题第10题二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）11．“辽宁舰”最大排水量为67500吨，将67500用科学记数法表示为．12．分解因式：＝．13．正n边形的一个内角为135°，则n＝．14．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是．15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝3，AB＝5，OD⊥BC于点D，则32π3π52π5π1-3222a ab ab-+OD 的长为．16．下面是“作一个角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是．17．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点O 是BC 中点，将△ABC 绕点O 旋转得△A′B′C′，则在旋转过程中点A 、C′两点间的最大距离是．第15题第17题18．在平面直角坐标系xOy 中，过点A(3，0)作垂直于x 轴的直线AB ，直线y ＝﹣x ＋b 与双曲线交于点P(，)，Q(，)，与直线AB 交于点R(，)，若＞＞时，则b 的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分10分）（1；（2）解方程：．20．（本题满分8分）30︒1y x =1x 1y 2x 2y 3x 3y 1y 2y 3y 01122013()3tan 303--+--+︒11322xx x -=---解不等式组，并写出x 的所有整数解．21．（本题满分8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注．某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为度；（2）请补全条形统计图；（3）若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数． 22．（本题满分8分）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；（2）随机抽取一张牌不放回‧‧‧，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率． 23．（本题满分8分）如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶12千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离（结果保留根号）．3(21)4213212x x x x ⎧--≤⎪⎪⎨+⎪>-⎪⎩①②24．（本题满分8分）如图，□ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC 延长线于点F ．（1）求证：CF ＝AB ；（2）连接BD 、BF ，当∠BCD ＝90°时，求证：BD ＝BF ．25．（本题满分8分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h ，两车之间的距离为y km ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为 km /h ，快车的速度为 km /h ；（2）解释图中点C 的实际意义，并求出点C 的坐标；（3）求当x 为多少时，两车之间的距离为500 km ．26．（本题满分12分）如图，△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝cm ，BC ＝，，点P 以1 cm/s 的速度从点B 出发沿边BA→AC 运动到点C 停止，运动时间为t s ，点Q 是线段BP 的中点．（1）若CP⊥AB 时，求t 的值；（2）若△BCQ 是直角三角形时，求t 的值；（3）设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 的关系式，并写出t 的取值范围．27．（本题满分12分）已知，正方形ABCD ，A(0，﹣4)，B(1，﹣4)，C(1，﹣5)，D(0，﹣5)，抛物线y ＝x 2＋mx ﹣2m ﹣4(m 为常数)，顶点为M ．（1）抛物线经过定点坐标是，顶点M 的坐标（用m 的代数式表示）是；（2）若抛物线y ＝x 2＋mx ﹣2m ﹣4(m 为常数)与正方形ABCD 的边有交点，求m 的取值范围；（3）若∠ABM ＝45°时，求m 的值．28．（本题满分14分）如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上（不与点A 、B 重合）的任一点，点C 、D 为⊙O 上的两点.若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD 为直径AB 的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若的长为，求“回旋角”∠CPD 的度数；（3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为AP 的长．CD 134π24+参考答案二、填空题三、解答题 19．（1）6；（2）无解．20．，整数解为﹣1，0，1，2．21．（1）60，90；（2）补全条形统计图，并标数据10；（3）800人．22．（1）；（2）．23．．24．（1）先证△ABE≌△FCE，再证CF ＝AB ；534x -≤<3412（2）由（1）判断出C 为DF 的中点，再结合∠BCD＝90°，得到BC 垂直平分DF ，从而BD ＝BF ．25．（1）80，120；（2）C 的实际意义是快车到达乙地，点C 坐标为(6，480)；（3）当x 为或时，两车之间的距离为500 km ．26．（1）2；（2）4或6＋﹣（3）．27．（1）(2，0)，(，)；（2）；（3）．28．（1）是；（2）45°；（3）3或23．1110254,0666t t S t ≤≤⎧⎪=⎨++<≤+⎪⎩2m -21244m m ---112m ≤≤5m =-5-祝福语祝你考试成功!。

【学期】江苏省南通如皋市2018届高三上学期第一次联考数学试卷Word版含答案

【关键字】学期2017～2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题（理科）一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝▲．2．函数的定义域为▲ ．3．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|－b|的值为▲．4．若指数函数的图象过点，则不等式的解集为▲ ．5．已知函数则▲ ．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cosA＝▲ ．7．已知函数的零点在区间内，则正整数的值为▲ ．8．已知函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围为▲ ．9．已知函数的周期为4，将函数f(x)的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y＝f(x)在上的值域为▲ ．10．已知函数，其中为自然对数的底数，则不等式的解集为▲ ．11．如图，在四边形ABCD中，＝5，BD＝4，O为BD的中点，且＝，则＝▲ ．12．已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是▲ ．13．已知函数若有三个零点，则实数m的取值范围是▲ ．14．在△ABC中，若，，成等差数列，则cosC的最小值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，设向量，．（1）若∥，求x的值；（2）若，求的值．16．已知函数，其中．（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c－b＝2bcosA．（1）求证：A＝2B；（2）若cosB＝，c＝5，求△ABC的面积．18．如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB＝米，AD＝．现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O为AD的中点，OM⊥ON，点M在AB上，点N在CD上），将破旧的道路AM重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设∠OMA＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ)．（1）求f(θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tanθ为何值时，总费用f(θ)最小？19．已知二次函数为偶函数且图象经过原点，其导函数的图象过点．（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中m为常数，求函数的最小值．20．设函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求证：对任意，都有．2017～2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题（理科）参考答案一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．2．3．2 4．45．2 6．7．2 8．9．10．11．12．13．14．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）因为，，且∥，所以，即．……………………………………4分又，所以．……………………………………………………………………6分（2）因为，，且，所以，即．……………………………8分令π6x θ=+，则π6x θ=-，且3sin 5θ=，因为π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故ππ62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以4cos 5θ=．……………………………………11分所以()()()ππππππsin sin sin sin cos cos sin 12612444x θθθθ-=--=-=-3455==．………………………………14分 16．解：（1）由题意可知，不等式222x mx m x k --<+的解集为()26-，，即不等式()22120x m x m k -+--<的解集为()26-，，所以方程()22120x m x m k -+--=的两个实根分别为2-，6，根据一元二次方程根与系数的关系，可得2261262m m k -+=+⎧⎪⎨-⨯=--⎪⎩，，解得36m k =⎧⎨=-⎩，．……………………………………………………………………6分（2）由题意可知，对任意[)1x ∈+∞，，恒有2220x mx m -->，即对任意[)1x ∈+∞，，恒有()()20x m x m +->，所以121m m -<⎧⎨<⎩，，解得112m -<<．………………………………………………………………14分 16．解：（1）当3=k 时，196)(23++-=x x x x f ，)3)(1(39123)(2'--=+-=x x x x x f ，令0)('=x f 得3,121==x x ，列表：由上表知，函数()f x 的值域为]21,1[．……………………………………6分（2）))(1(33)1(33)(2'k x x k x k x x f --=++-=，① 当1≤k 时，0)('],2,1[≥∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递增，所以313)1(231)1()(min =+++-==k k f x f ，即35=k （舍）． …………………………………………………8分② 当2≥k 时，0)('],2,1[≤∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递减，所以3123)1(68)2()(min =+⋅++-==k k f x f ，符合题意．…………………………………………………10分③ 当21<<k 时,当),1[k x ∈时，0)('<x f )(x f 区间在),1[k 单调递减；当]2,(k x ∈时，0)('>x f )(x f 区间在]2,(k 单调递增．所以3)2()()(min =<=f k f x f ，不符合题意．综上所述：实数k 取值范围为2≥k ． (14)分17．解：（1）由c －b ＝2b cos A 及正弦定理sin sin b cB C=可得， sin sin 2sin cos C B B A -=，（*）……………………………2分 ()sin πsin 2sin cos A B B B A ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，所以sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A +-=，整理得sin cos cos sin sin A B A B B -=，即()sin sin A B B -=，…………………………………………………………4分又A ，B 是△ABC 的内角，所以()0πB ∈，，()0πA B -∈，，所以A B B -=或πA B B -+=（舍去），即A ＝2B ．………………………………………………………………………6分（2）由cos B ＝34及()0πB ∈，可知，sin B ==．由A ＝2B 可知，()2231cos cos22cos 12148A B B ==-=⨯-=，3sin sin 22sin cos 24A B B B ===⨯=由（*）可得，1sin sin 2sin cos 28C B B A =+=10分在△ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C =55=，解得4b =，所以△ABC的面积11sin 4522S bc A ==⨯⨯=． (14)分18．解：（1）据题意，在Rt∆OAM 中，OA ＝50，∠OMA ＝θ，所以AM ＝50tan θ，OM ＝50sin θ．据平面几何知识可知∠DON ＝θ．在Rt∆ODN 中，OD ＝50，∠DON ＝θ，所以ON ＝50cos θ．所以f (θ)＝20500OMN S AM ∆⋅+⋅＝1505050205002sin cos tan θθθ⨯⨯⨯+⨯＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+．………………………………………6分据题意，当点M 与点B 重合时，θ取最小值π6；当点N 与点C 重合时，θ取最大值π3，所以ππ63θ≤≤．所以f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+，其定义域为ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．………………8分（2）由（1）可知，f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+，ππ63θ≤≤． ()'f θ＝()()2222220cos sin sin cos 25000sin sin cos θθθθθθθ⎡⎤----⎢⎥⋅+⎢⎥⎣⎦＝()2222sin cos 125000sin sin cos θθθθθ⎡⎤-⎢⎥⋅-⎢⎥⎣⎦＝()222sin 2cos 25000sin cos θθθθ-⋅，令()'f θ＝0，得0tan θ=0ππ63θ⎡⎤∈⎢⎥，，列表：所以当tan θ= f (θ)取最小值，可节约投入成本． (16)分法二：f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+＝()22sin cos 125000sin cos tan θθθθθ+⋅+ ＝()1125000tan tan tan θθθ⋅++＝()225000tan 25000tan θθ⋅+⨯=≥，…………13分当且仅当2tan tan θθ=，即tan θ= …………………………15分所以当tan θ= f (θ)最小，可节约投入成本．…………………16分19．解：（1）因为二次函数()f x 经过原点，可设()()20f x ax bx a =+≠，又因为()f x 为偶函数，所以对任意实数x ∈R ，都有()()f x f x -=，即()()22a x b x ax bx -+-=+，所以20bx =对任意实数x ∈R 都成立，故0b =．所以()2f x ax =，()'2f x ax =，又因为导函数()'f x 的图象过点()12，，所以212a ⨯=，解得1a =．所以()2f x x =． (5)分（2）据题意，()()()2'2g x f x f x m x x m =+-=+-，即()222222m x x m x g x m x x m x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩，，，≥，① 若12m<-，即2m <-．当2m x <时，()()22211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()2m-∞，上单调递减；当2m x ≥时，()()22211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在()12m -，上单调递减，在()1-+∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()11g m -=--．……………………………………8分 ② 若112m-≤≤，即22m -≤≤．当2m x <时，()()211g x x m =-+-，故()g x 在()2m-∞，上单调递减；当2m x ≥时，()()211g x x m =+--，故()g x 在()2m+∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()224m mg =． ……………………………………11分③ 若12m>，即2m >．当2mx <时，()()22211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()1-∞，上单调递减，在()12m，上单调递增；当2m x ≥时，()()22211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在()2m+∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()11g m =-． ……………………………………14分综上所述，当2m <-时，()g x 的最小值为1m --；当22m -≤≤时，()g x 的最小值为24m ；当2m >时，()g x 的最小值为1m -．…………………………16分20．解：（1）当2a =时，()12ln 1f x x x =+-，()112ln1101f =+-=， ()221'f x x x =-，()221'1111f =-=，所以函数()f x 在点()10，处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． ……………………………………………………………4分（2）()1ln 1f x a x x=+-，定义域为()0+∞，， ()2211'a ax f x x x x-=-=． ① 当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ② 当0a >时，令()'0f x =，得1x=．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在()10a ，上单调递减，在()1a+∞，上单调递增． (9)分（3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在()10a，上单调递减，显然，12a >，故()()1120a⊆，，，所以函数()f x 在()12，上单调递减，对任意()1+2x ∈∞，，都有01a x <<，所以112ax<+<．所以()()11af f x+<，即()1ln 1101a a a x x++-<+，所以()ln 1a a a x x a +<+，即()1ln 1a x x a+<+，所以()()ln 11ax a x++<，即()ln 11x aa x ++<，所以()1e x aax++<．……………………………………………………………16分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

2025届江苏省南通市南通中学九年级数学第一学期开学达标检测模拟试题【含答案】

2025届江苏省南通市南通中学九年级数学第一学期开学达标检测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为（）A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－52，0)D ．(－32，0)2、（4分）一次统计八（2）班若干名学生每分跳绳次数的频数分布直方图的次数（结果精确到个位）是（）A ．数据不全无法计算B ．103C ．104D ．1053、（4分）把分式3x y xy中的x 、y 的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的一半4、（4分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（）A ．2B ．32C ．217D ．22175、（4分）下列x 的值中，是不等式x +1＞5的解的是()A ．﹣2B ．0C ．4D ．66、（4分）某园林队原计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比原计划提前3小时完成任务,若每人每小时绿化的面积相同，求每人每小时绿化的面积。

若设每人每小时绿化的面积为x 平方米，根据题意下面所列方程正确的是（）A ．()1801803662x x-=+B ．()1801803626x x-=+C ．()1801802636x x -=-D ．()1801803626x x+=+7、（4分）如果把分式2xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（）A ．扩大为原来的4倍B ．扩大为原来的2倍C ．不变D ．缩小为原来的12倍8、（4分）如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是()A ．0a ≤B ．3a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≥二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知一组数据﹣3、3，﹣2、1、3、0、4、x 的平均数是1，则众数是_____．10、（4分）若一组数据6，x ，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是__________．11、（4分）点P （m -1，2m +3）关于y 轴对称的点在第一象限，则m 的取值范围是_______．12、（4分）从A ，B 两题中任选一题作答：A .如图，在ΔABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交与点M ，N ，作直线MN 交AB 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 。

江苏省南通大学附属中学2018学年高一上学期中考试数学试卷含答案

南通大学附属中学2018-2018学年度第一学期中考试高一数学（满分：160分考试时间：120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1. {}=++∈x x x x 则,2,232．2．函数25y ++=x x 的定义域为 . 3．已知函数1)12()(2-++=x a ax x f 是偶函数，则实数a = ．4．已知A ={1,2,3,4}，B ={1,2}，若B C A =U ，则满足条件的集合C 有个.5．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(log )(3x x x x f x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡)91(f f 的值是．6．已知集合{}22A y y x x ==--，{B x y ==，则B A ⋂= ．7. 函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=31-1的值域是．8. 若函数2(1)23f x x x +=--，则()f x 的解析式为9． 11)(+-=x x x f 函数的单调递增区间是 .区间[]21,x x 的长度为12x x -.已知函数xy 4=的定义域为[]b a ,，值域为[]41，，则区间[]b a ,长度的最大值与最小值之差为 ___________ .已知函数log (3)(0,1)a y x a a =+>≠的图象过定点A ，若点A 也在函数()3xf x b =+的图象上，则3(log 2)f = ．12. 已知函数2()21f x kx kx =++在[]23-，上的最大值为5，则k 的值为___________. 13．已知函数()f x 是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间[0,5]是减函数，若(23)()f a f a +<，则实数a 的取值范围是 _．14. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=.2,4,2,-)(2x mx x mx x x f 若存在R x x ∈21,且21x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则实数m 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设全集为实数集R ，{37}A x x =≤<，1|284x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭{}C x x a =<. （1）求()R C A B U （2）若φ≠⋂C A ，求a 的取值范围.16．（本小题满分14分）（1）已知11223a a-+=，求22111a a a a --+++-的值。

2018-2019学年江苏省南通市通州区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2018-2019学年江苏省南通市通州区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}，则A∩B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）已知向量＝（a，2），＝（1，1+a），若，则实数a的值为（）A．﹣B．2或﹣1C．﹣2或1D．﹣23．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝3x﹣1，则f（﹣2）等于（）A．﹣8B．8C．D．．4．（5分）执行如图的程序框图，如果输出a的值大于100，那么判断框内的条件为（）A．k＜5？B．k≥5？C．k＜6？D．k≥6？5．（5分）已知a＝21.2，b＝（）﹣0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）“k＝0”是“直线y＝kx﹣1与圆x2+y2＝1相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．24B．28C．D．8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至OD．在旋转的过程中，记∠AOP为x，OP所经过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为f（x）．对于函数f（x）给出以下4个结论：①；②函数f（x）在为减函数；③f（x）+f（π﹣x）＝4；④f（x）的图象关于直线对称．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数i（1+i）的虚部为．10．（5分）若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a＝．11．（5分）已知x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值等于．12．（5分）若锐角△ABC的面积为，且AB＝5，AC＝8，则BC等于．13．（5分）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于．14．（5分）已知函数若函数y＝f（x）﹣k有且只有一个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知数列{a n}的前4项依次成公比为q的等比数列，从第3项开始依次成等差数列，且a1＝8，a4＝﹣1．（Ⅰ）求q及a5的值；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．17．（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价为5元的概率；（Ⅱ）在土桥出站口随机调查了n名下车的乘客，将在八通线各站上车情况统计如下表：求a，b，c，n的值，并计算这n名乘客乘车平均消费金额；（Ⅲ）某人从四惠站上车乘坐八通线到土桥站，中途任选一站出站一次，之后再从该站乘车．若想两次乘车花费总金额最少，可以选择中途哪站下车？（写出一个即可）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，E，F分别为BC，A1B1的中点．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣EFB1的体积；（Ⅲ）在线段A1E上是否存在一点M，使直线MF与平面BB1C1C没有公共点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．20．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）是R上的单调递增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数对任意的实数x1（x1≠0），存在唯一的实数x2（x2≠x1），使得t'（x1）＝t'（x2）成立，求a的值．2018-2019学年江苏省南通市通州区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：B．2．【解答】解：根据题意，向量＝（a，2），＝（1，1+a），若，则有a（a+1）＝2，解可得a＝﹣2或1；故选：C．3．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝3x﹣1；∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣（32﹣1）＝﹣8．故选：A．4．【解答】解：由题意，模拟程序的运算，可得k＝1，a＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a＝6，k＝3满足判断框内的条件，执行循环体，a＝33，k＝5满足判断框内的条件，执行循环体，a＝170，k＝7此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为170．则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k＜6？故选：C．5．【解答】解：∵a＝21.2＞2，b＝（）﹣0.8＝20.8＜21＝2，c＝log54＜log55＝1，∴c＜b＜a．故选：A．6．【解答】解：若直线y＝kx﹣1与圆x2+y2＝1相切，则圆心（0，0）到直线kx﹣y﹣1＝0的距离d＝1，即d＝＝1，得1+k2＝1，得k2＝0，k＝0，即“k＝0”是“直线y＝kx﹣1与圆x2+y2＝1相切”的充要条件，故选：C．7．【解答】解：根据三视图知，该几何体是下部为正方体，上部为正四棱锥的组合体，画出直观图如图所示；则该几何体的表面积是S＝5S正方形ABCD+4S△P AB＝5×22+4××2×＝20+4．故选：C．8．【解答】解：当0≤x≤arctan2时，f（x）＝tan x；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）＝S矩形OABE﹣S△OME＝2﹣EM•OE＝2﹣；当x＝时，f（x）＝2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）＝2﹣，当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）＝4﹣×1×tan（π﹣x）＝4+tan x．于是可得：①f（）＝tan＝，正确；②当＜x≤π﹣arctan2时，由f（x）＝2﹣，为增函数．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）＝4+tan x，为增函数，因此不正确．③∀x∈[0，π]，由函数f（x）的解析式和图形，利用对称性可得：f（x）+f（π﹣x）＝4，因此正确；④∀x∈[0，π]，f（x）的图象关于点A（，2）对称，故④不正确．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：复数i（1+i）＝﹣1+i．复数的虚部为：1．故答案为：1．10．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+ay＝0，点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得：＝1，解得a＝．故答案为：．11．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x+y，得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象知当直线经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最小，此时z最小，由，得，即A（1，1），此时z＝1+1＝2，故答案为：2．12．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB＝5，AC＝8，所以，所以sin A＝，所以A＝60°，所以cos A＝，所以BC＝＝7．故答案为：7．13．【解答】解：设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知c＝5，则a2+b2＝25，则三角形的面积S＝ab，∵25＝a2+b2≥2ab，∴ab≤，则三角形的面积S＝ab≤＝，即这个直角三角形面积的最大值等于，故答案为：．14．【解答】解：由数y＝f（x）﹣k有且只有一个零点，等价为数y＝f（x）﹣k＝0，即f（x）＝k有且只有一个根，即函数f（x）与y＝k，只有一个交点，作出函数f（x）的图象如图：∵f（2）＝，log22＝1，∴要使函数f（x）与y＝k，只有一个交点，则，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】解：（Ⅰ）＝＝．所以f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．当，即时，f（x）取得最大值1；当，即时，f（x）取得最小值．16．【解答】解：（Ⅰ）因为数列{a n}的前4项依次成等比数列，所以a4＝a1•q3，即﹣1＝8•q3，所以q＝﹣，从而a3＝a1•q2＝2，因为数列{a n}从第3项开始各项依次为等差数列，设公差为d，所以d＝a4﹣a3＝﹣3，从而a5＝a4+d＝﹣4，所以q＝﹣，a5＝﹣4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a2＝a1q＝﹣4．当n＝1时，S1＝a1＝8，当n＝2时，S2＝a1+a2＝4，当n≥3时，S n＝a1+a2+（n﹣2）a3﹣3×＝﹣n2+n﹣9，此式对n＝2也成立．综上所述，．17．【解答】解：（Ӏ）记两站间票价5元为事件A．在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为n＝＝78个，事件A中基本事件数为15个．所以两站间票价为5元的概率P（A）＝＝．…（4分）（Ⅱ）由表格数据知a+b＝1﹣0.2＝0.8，所以，即n＝50．所以，，c＝50﹣（15+25）＝10…（8分）记n名乘客乘车平均消费金额为，则…（10分）（Ⅲ）双桥，通州北苑．（写出一个即可）…（13分）18．【解答】证明：（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为△ABC为等边三角形，E为BC中点，所以AE⊥BC．………………………………………………（1分）又AA1⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以AA1⊥AE．因为BB1∥AA1，所以BB1⊥AE．……………………………………（2分）因为BC∩BB1＝B，BC⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，所以AE⊥平面BB1C1C．………………………………………………（3分）所以平面ABC⊥平面BB1C1C．………………………………………（4分）解：（Ⅱ）＝，………………（5分）取B1C1的中点D，连结DE，则DE∥BB1，DE＝BB1QUOTE，所以DE⊥平面A1B1C1，DE＝3．………………（6分）又F是A 1B1的中点，所以C1F⊥A1B1，．…………………………………（7分）所以＝＝＝，即三棱锥C1﹣EFB1的体积为．………………（9分）（Ⅲ）在线段A1E上存在一点M，满足题意．理由如下：取A1E中点M，连结MF．………………（10分）因为F是A1B1的中点，所以MF是△A1B1E的中位线，所以MF∥B1E．………………………………………………………………（11分）因为MF⊄平面BB1C1C，B1E⊂平面BB1C1C，所以MF∥平面BB1C1C，………………………………………………（12分）即直线MF与平面BB1C1C没有公共点．………………………………………………（13分）此时．………………………………………………………………（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．所以由题意得…………………………………………（3分）解得a2＝3．所以椭圆C的方程为+y2＝1．…………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），………………………………（5分）由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．………………………………（7分）令△＝36m2﹣48m2+48＞0，得﹣2＜m＜2．………………………………（8分），．…………………………………………（9分）因为△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，所以NP平行于x轴．…………………………………………（10分）过M做NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点．设点Q的坐标为（x Q，y Q），则．………………………（12分）由方程组，解得m2+2m+1＝0，解得m＝﹣1．……………（13分）而m＝﹣1∈（﹣2，2），所以直线l的方程为y＝x﹣1．………………………………………………（14分）20．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，，所以f′（x）＝e x﹣x﹣1，f′（0）＝0，f（0）＝1．所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y＝1．…………………………………（3分）（Ⅱ）因为f（x）在R上为单调递增函数，所以f′（x）＝e x﹣x﹣a≥0恒成立，即f′（x）的最小值f'（x）min≥0．令g（x）＝f′（x）＝e x﹣x﹣a，则g′（x）＝e x﹣1．在（﹣∞，0），g′（x）＜0，f'（x）单调递减；在（0，+∞），g′（x）＞0，f'（x）单调递增．所以f'（x）min＝f（0）＝1﹣a．所以1﹣a≥0，即a≤1．所以若f（x）是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．……………………（7分）（Ⅲ）当x＜0时，t'（x）＝3x2﹣2（a2﹣a+1）x+5，因为3＞0，，所以t'（x）在（﹣∞，0）单调递减，且t'（x）＞5；当x＞0时，t'（x）＝f'（x）＝e x﹣x﹣a，由（Ⅱ）知t'（x）在（0，+∞）递增，且t'（x）＞1﹣a．若对任意的实数x1，存在唯一的实数x2（x2≠x1），使得t'（x1）＝t'（x2）成立，则（ⅰ）当x1＜0时，x2＞0．所以1﹣a≤5，即a≥﹣4；（ⅱ）当x1＞0时，x2＜0．所以1﹣a≥5，即a≤﹣4．综合（ⅰ）（ⅱ）可得a＝﹣4．……………………………………………………（13分）。

数学---江苏省南通市通州区2018届高三(上)学业水平测试试卷(1月份)(文)(解析版)

江苏省南通市通州区2018届高三（上）学业水平测试数学试卷（1月份）（文科）一.填空题1．已知复数z满足（1+i）z=2i，则复数z的模为．2．已知集合A={1，2}，B={a，a2+1}，若A∩B={1}，则实数a的值为．3．双曲线=1的焦距为．4．某射击运动员在五次射击中分别打出了10，x，10，7，9环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差为．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．将3个球随机放入编号为1，2的两个盒子里，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子里都有球的概率为．7．设a，b∈R，关于x的不等式组的解集为{x|1≤x≤4}，则a﹣b的值为．8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧面积为，则它的体积为．9．设等差数列{a n}的公差不为0，且2a1=a10，若a k是a1与a2k的等比中项，则实数k的值为．10．设函数f（x）=2cos（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若，f（π）=0，且f（x）的周期大于π，则φ的值为．11．若正实数a，b满足3a+b=2，则的最小值为．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+（y﹣3）2=a2（a＞0），点，B（1，0），C（3，2），若圆M上存在点P，使得∠BPC=90°，∠P AB=45°，则a的值为．13．定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（4﹣x）=f（x﹣4），当x∈[0，2]时，f（x）=x2+x，则函数g（x）=f（x）﹣|log2（x﹣1）|的零点个数为．14．已知向量，||=1，||≤2，||=3，对于任意的向量，都有|•|+|•|≤2，则•的最大值是．二.解答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，．（1）求角A的大小；（2）若三角形ABC的三个顶点都在单位圆上，且b2+c2=5，求边b，c的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，E为线段AD上一点，且AC⊥BE．（1）求证：平面PBE⊥平面P AC；（2）若∠PCD=90°，求证：CD∥平面PBE．17．如图，某小区内有两条互相垂直的道路l1与l2，平面直角坐标系xoy的第一象限有一块空地OAB，其边界OAB是函数y=f（x）的图象，前一段曲线OA是函数y=k图象的一部分，后一段AB是一条线段．测得A到l1的距离为8米，到l2的距离为16米，OB长为20米．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB（其中PQ，OB为两底边）．问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积．18．在平面直角坐标系xoy中，F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，过左焦点F1的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）若MF2与x轴垂直，且，求椭圆C的离心率；（2）设椭圆C的左项点为A，过点A与直线l平行的直线交椭圆C于点P，交y轴于点Q．求证：为定值．19．已知函数f（x）=e x+m（x+1），其中m∈R，e是自然对数的底数．（1）若直线y=2x+2是曲线y=f（x）的一条切线，求m的值；（2）讨论f（x））的单调性；（3）若f（x）在R上有两个零点，求m的取值范围．20．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且S n=．（1）求证：数列{S n2}为等差数列；（2）从数列{S n2}中抽出k个不同的项按一定次序组成新数列{b k}．①若b1≤3，且b1b2，b2b3，b3b1成等差数列，求b1+b2+b3的值；②是否存在偶数k，使得b1b2，b2b3，b3b4，…，b k﹣1b k，b k b1成等差数列？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】一.填空题1．【解析】由（1+i）z=2i，得．则复数z的模为：．故答案为：．2．0【解析】∵集合A={1，2}，B={a，a2+1}，A∩B={1}，∴a=1或a2+1=1，当a=1时，B={1，2}，A∩B={1，2}，不成立；当a2+1=1时，a=1，B={0，1}，A∩B={1}，成立．故实数a的值为0．故答案为：0．3．6【解析】双曲线=1，可得a=，b=，则c=3，双曲线的焦距为：2c=6．故答案为：6．4．【解析】五次射击中分别打出了10，x，10，7，9环，∴这组数据的平均数为×（10+x+10+7+9）=9，解得x=9；∴这组数据的方差是s2=×[2×（10﹣9）2+（7﹣9）2+2×（9﹣9）2]=．故答案为：．5．205【解析】模拟程序语言的运行过程，得：I=1，满足条件I＜100，执行循环体I=3，S=9满足条件I＜100，执行循环体I=5，S=13…满足条件I＜100，执行循环体I=99，S=201满足条件I＜100，执行循环体I=101，S=2×101+3=205此时，不满足条件I＜100，退出循环，输出S的值为205．故答案为：205．6．【解析】将3个球随机放入编号为1，2的两个盒子里，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子里都有球包含的基本事件个数m==6，∴每个盒子里都有球的概率p==．故答案为：．7．9【解析】根据题意，⇒⇒x2+bx+a≤0，若不等式组的解集为{x|1≤x≤4}，则x2+bx+a≤0的解集为{x|1≤x≤4}，则方程x2+bx+a=0的两个根为1、4，则有1+4=﹣b，即b=﹣5，1×4=a，即a=4，则a﹣b=9；故答案为：9．8．【解析】∵正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，侧面积为，取AC中点D，连结BD，过S作SO⊥底面ABC，交BD于O，则BD==，OD==，∴3S△SAC==2，解得SD=，∴SO===1，∴它的体积为==．故答案为：．9．4【解析】设等差数列{a n}的公差d不为0，且2a1=a10，可得2a1=a1+9d，即a1=9d，可得a n=a1+（n﹣1）d=（n+8）d，a k是a1与a2k的等比中项，可得a k2=a1a2k，即为（k+8）2d2=9d•（2k+8）d，可得k2﹣2k﹣8=0，解得k=4（﹣2舍去），故答案为：4．10．﹣【解析】∵f（x）=2cos（ωx+φ）的周期大于π，其中ω＞0，|φ|＜π，∴＞π，∴0＜ω＜2．∵=2cos（+φ），∴cos（+φ）=1，∴+φ=2nπ，n∈Z①，∵f（π）=2cos（ωπ+φ）=0，∴ωπ+φ=kπ+，k∈Z，即ωπ=kπ+﹣φ，②．∴×（kπ+﹣φ）+φ=2nπ，故有φ=﹣，令k=n=0，求得φ=﹣，故答案为：．11．7【解析】根据题意，若3a+b=2，则有3a+b+1=3，=3++=3+（3a+b+1）（+）=3+（6++）=5+（+）≥5+（2）=7；即的最小值为7；故答案为：7．12．【解析】根据题意，设P的坐标为（m，n），P在圆上，则有m2+（n﹣3）2=a2，①又由点，B（1，0），AB都在x轴上，若∠P AB=45°，则有K P A==1，变形可得n=m+，②，若∠BPC=90°，则BP⊥PC，则有K PB×K PC=﹣1，即，变形可得：n2﹣2n+m2﹣4m+3=0，③，联立①②③，解可得：a=，故答案为：．13．32【解析】∵定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（4﹣x）=f（x﹣4），∴R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数，且为R上的偶函数，根据周期性画出函数y=f（x）的图象和y=|log2（x﹣1）|的图象，如下：根据y=|log2（x﹣1）|的图象在（2，+∞）上单调递增函数，当x=65时，log264=6，∴当x＞65时，y=|log2（x﹣1）|的图象与函数y=f（x）无交点，结合图象可知有32个交点，故答案为：32．14．【解析】设向量=（1，0），=（3cosα，3sinα），则α∈[0，π]，∴•=3cosα；设x∈[0，π]，且α﹣x∈[0，π]，∴cos x+3cos（α﹣x）=cos x+3cosαcos x+3sinαsin x=（3cosα+1）cos x+3sinαsin x≤=，||+||≤2（cos＜，＞+3cos＜，＞）≤2≤2，解得cosα≤；∴≤；∴•的最大值是．故答案为：．二.解答题15．解：（1）∵．∴2×﹣cos2A+sin2A=，化简可得：sin（2A﹣）=，又∵△ABC是锐角三角形，∴﹣＜2A﹣＜，∴2A﹣=，可得A=.（2）由，可得：a=2sin A=，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，可得：3=b2+c2﹣bc，可得：bc=2，又因为b2+c2=5，解得：b=1，c=2，或b=2，c=1.16．证明：（1）∵P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴P A⊥BE，∵AC⊥BE，P A∩AC=A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴BE⊥平面P AC，∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面P AC．（2）∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵∠PCD=90°，∴PC⊥CD，∵P A∩PC=P，P A⊂平面P AC，PC⊂平面P AC，∴CD⊥平面P AC，∵AC⊂平面P AC，∴CD⊥AC，∵在平面ABCD内，AC⊥BE，∴CD∥BE，∵CD⊄平面PBE，BE⊂平面PBE，∴CD∥平面PBE．17．解：（1）把A（16，8）代入y=k，可得k=2，∵B（20，0），得直线AB：y=﹣2x+40，∴f（x）=，（2）设梯形的高为t米，则0＜t＜8，且P（，t），Q（20﹣t，t），∴PQ=20﹣t﹣t2，∴梯形的面积为S（t）=[（20﹣t﹣t2）+20]×t=﹣t3﹣t2+20t，由S′（t）=﹣t2﹣t+20=﹣（3t﹣20）（t+8），由S′（t）=0，解得t=，当S′（t）＞0时，即0＜t＜，函数S（t）单调递增，当S′（t）＜0时，即t＞，函数S（t）单调递减，当t=时，S（t）取得最大值，即为最大值为，答：梯形的高为米时，该社区活动中心的占地面积最大，且最大面积为平方米．18．解：（1）由题意M（c，），∵，∴=，得N（﹣，﹣），∵点N在椭圆上，∴+=1，解得e=，证明：（2）设M（x1，y1）N（x2，y2），直线MN的方程为y=k（x+c），（斜率显然存在），直线AQ的方程为y=k（x+a），由，得（a2k2+b2）x2+2a2k2cx+a2k2cx+a2k2c2﹣a2b2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|MN|=•=，由可得（a2k2+b2）x2+2a3k2x+a4k2﹣a2b2=0，∴﹣a•x p=，从而x p=，∴y p=k（+a）=，∴=（+a，）=（，），又Q（0，ka），∴=（a，ka），∴•=+=，∴=a．19．解：（1）设切点为（x0，y0），∵f′（x）=e x+m，∴切线的斜率k=e+m，∴切线方程为y﹣[+m（x0+1）]=（e+m）（x﹣x0），即y=（e+m）x+﹣x0+m，∵切线方程为y=2x+2，∴e+m=2，﹣x0+m=2，∴x0=0，∴x0=0，∴m=1；（2）f′（x）=e x+m，①当m≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，②当m＜0时，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣m），若f′（x）＞0，则x＞ln（﹣m），∴f（x）在（ln（﹣m），+∞）上为增函数，若f′（x）＜0，则x＜ln（﹣m），∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣m）上为减函数，（3）当m≥0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）至多只有一个零点，当﹣1≤m＜0时，0＜﹣m≤1，ln（﹣m）≤0，由（2）知，f（x）min=f（ln（﹣m））=m ln（﹣m）≥0，由于f（﹣1）=＞0，∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣m）上有一个零点，设t（x）=e x﹣（1+x+x2），则t′（x）=e x﹣（1+x），由（2）知，当m=﹣1时，t′（x）在（﹣∞，0）为减函数，在（0，+∞）上为增函数，∴t′（x）≥t′（0），∴t（x）在R上为增函数，∴当x＞0时，t（x）＞t（0）=0，即e x＞1+x+x2，∴f（﹣2m）=e﹣2m+m（﹣2m+1）＞[1+（﹣2m）+（﹣2m）2]+（﹣2m2+m）=1﹣m＞0，设h（x）=2x﹣ln x，x＞0，由h′（x）=2﹣=，知当0＜x＜时，h′（x）＜0，当x＞，h′（x）＞0，即h（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴h（x）≥h（）=1﹣ln，∴2x＞ln x在（0，+∞）上恒成立，∴﹣2m＞ln（﹣m），∴f（x）在（ln（﹣m），+∞）上有一个零点，∴当m＜﹣1时，f（x）在R上有2个零点，综上，若f（x）在R上有两个零点，则m的范围是（﹣∞，﹣1）．20．（1）证明：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n=，由a1=S1=（a1+），可得a1=1（负的舍去），可得2S n=S n﹣S n﹣1+，即有S n2﹣S n﹣12=1，则数列{S n2}为首项为1，公差为1的等差数列；（2）由（1）可得S n2=n，①b1b2，b2b3，b3b1成等差数列，可得2b2b3=b1b2+b3b1，即2=+，设b2＜b3，若b1=1，则2=+，无解；若b1=2，则1=+，b3显然不为1，b2≥3，b3≥4，则1=+≤+无解；若b1=3，则=+，b2显然不为1，b2≥2，所以=﹣≥﹣=，所以4≤b3≤6，容易得b2=2，b3=6适合，则b1+b2+b3=11；②若b1b2，b2b3，b3b4，…，b k﹣1b k，b k b1成等差数列，则2b2b3=b1b2+b3b4，2b3b4=b2b3+b4b5，…，2b k﹣1b k=b k﹣2b k﹣1+b k b1，所以2=+=+=…=+，（*）令c i=（i=1，2，…，k﹣2），则=c1c3c5…c k﹣1，所以（*）即为2=c1+=c2+=…=c k﹣2+c1c3c5…c k﹣3，若c1=1，则ci均为1，所以bi=bi+2，i=1，2，…，k﹣2，不合题意；若0＜c1＜1，则＞1，即0＜c2＜1，以此类推，可得0＜ci＜1，i=1，2，…，k﹣2，这与2=c k﹣2+c1c3c5…c k﹣3，矛盾；若c1＞1，可类似得到矛盾，综上可得，不存在偶数k，使得b1b2，b2b3，b3b4，…，b k﹣1b k，b k b1成等差数列．。

江苏省南通中学2024-2025学年高三上学期7月暑假测试数学试题

江苏省南通中学2024-2025学年高三上学期7月暑假测试数学试题一、单选题1．已知集合{}11,124xA xB xx ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣，则()B A ⋃=R ð（） A ．{}2x x ≥∣ B ．{}2xx ≤∣ C ．{1}xx >∣ D ．R2．已知x ∈R ，则“2320x x -+≤”是“2311x x -≤-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．若命题“0x ∃>，4x m x+<”是真命题，则m 可能等于（） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知0x >，0y >，且21x y +=，则22x yxy +的最小值为（）A ．172B ．1C ．4D ．45．若方程()()0x a x b x ---=两根为c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的根是（） A ．1x a =，2x b = B ．1x a =-，2x b =-C ．1=x c ，2x d =D ．1x c =-，2x d =-6．某圆台的上、下底面半径分别为r 、R ，且3R r =圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()2cos f x x x =-，则ln22⎛⎫ ⎪⎝⎭f ，ln33⎛⎫- ⎪⎝⎭f ，ln55⎛⎫- ⎪⎝⎭f 的大小关系为（） A ．ln5ln3ln2532⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f fB ．ln2ln5ln3253⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f C ．ln5ln2ln3523⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f fD ．ln3ln5ln2352⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f8．已知120,,a x x >分别是函数()e xf x x a =-与()ln xg x a x=--的零点，则1212e a x x x -的最大值为（）A ．2B ．22e C ．24e D ．28e二、多选题9．已知0,0a b >>，且1a b +=，则（） A ．ab 的最小值是14B ．222a b +最小值为23C D ．12a a b+的最小值是110．关于x 的方程221x k x x x x-=--的解集中只含有一个元素，则k 的值可能是（） A ．0B ．1-C ．1D ．311．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]0.6180=，[]2.7183-=-，通常把[]y x =，x ∈R 叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian ）函数．下列说法正确的是（）A ．x ∀∈R ，[]x x ⎡⎤=⎣⎦B ．,x y ∃∈R ，[][][]x y x y -<-C ．,x y ∀∈R ，若[][]1x y =+，则2x y -<D ．n +∃∈N ，使[][][][]2222log 1log 2log 3log 90n +++⋅⋅⋅+=成立三、填空题12．已知直角三角形的三边长之和为1，则该三角形面积的最大值为. 13．不等式13|12|x -≥的解集为．14．设函数()()()ln f x x a x b =++，若()0f x ≥恒成立，则22a b +的最小值为.四、解答题15．设R U =，已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-． (1)当4B ∈时，求实数m 的范围；(2)设:p x A ∈；:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的范围．16．已知一次函数()f x 过定点()0,1. (1)若()13f =，求不等式()4f x x≤解集. (2)已知不等式()4f x x ⋅>的解集是(),b a ，求2+a b 的最小值. 17．二次函数()f x 最小值为2，且关于1x =对称，又()03f =. （1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]22-,上，()y f x =的图象恒在21y x m =-++图象的上方，试确定实数m 的取值范围；（3）求函数()f x 在区间[]1,t t -上的最小值()g t .18．某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产x 台，需另投入生产成本()R x 万元.当年产量不足25台时，()23R x x kx =+；当年产量不小于25台时()3200202133010R x x x =+-+，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. (1)求k 的值；(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量x （台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 19．已知函数()ln f x x ax =-+11()aa R x--∈. (1)当12a ≤时,讨论()f x 的单调性； (2)设2()24g x x bx =-+，当14a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在2[1,2]x ∈使12()()f x g x ≥,求实数b 取值范围.。

江苏省南通中学等差数列试题及答案

一、等差数列选择题1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（） A ．2B ．43C ．4D ．4-2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-44．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（）A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列5．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（）A ．350B ．351C ．674D ．6756．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（） A ．21B ．20C ．19D ．19或207．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11B ．12C ．23D ．248．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n -=，则55a b =（） A ．3415B ．2310C ．317D ．62279．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）A ．6-B ．2-C ．1-D ．010．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（） A ．32B ．7059C ．7159D ．8511．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403812．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（） A ．103B ．107C ．109D ．10513．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 14．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（）A ．24B ．23C ．17D ．1615．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >D ．70S <，且80S <17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（） A ．6B ．7C ．8D ．1018．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A ．15B ．30C ．3D ．6419．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．320．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（） A ．24B ．36C ．48D ．64二、多选题21．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 22．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 23．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =25．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d > B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S26．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列27．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（） A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 28．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <29．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=，解得343a a +=. 故选：B. 3．A 【详解】由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.4．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 5．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.6．B 【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+，解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 7．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 8．D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=，()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D 9．A 【分析】转化条件为122527n n a an n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--，又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 10．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-，故选：C ． 11．B【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 12．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 13．B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1n n a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅，所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立，所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 14．A 【分析】由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值【详解】解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=，故选：A. 15．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 16．A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A . 17．D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由542S S =，248a a +=，得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩，即{1132024a d a d +-+=，解得：{123a d =-=，51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选：D. 18．A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==，所以12a 的值是15，故选：A 19．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 20．B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B二、多选题21．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}2n中，()()22221112234nn n n n a a ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断. 22．ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-，则()11122xf x x x-'=-=--，所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=，所以()112f x << ，即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 23．AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.24．BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=，故选：BC 25．BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案．【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 26．ABD 【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =，所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212nn n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 27．ACD 【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n nN ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6nn N上单调递增，1na 在7nn N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0nS <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 28．BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=，那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为()()116168916802a a S a a +==+=，所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型. 29．ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确；因为()1191910191902a a S a+⨯===，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题. 30．ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确；()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确； 190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

2018届江苏省南通市启东中学高三上期初数学试卷答案解析与点睛(13页)

2018届江苏省南通市启东中学高三上期初数学试卷数学试题一、填空题1.已知集合223|}0{,A x x xx Z =<-∈﹣，集合{}|0B x x =>，则集合A B =I _____. 【答案】{}1,2 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】求解不等式2230x x --<可得：13x -<<，结合题意可得：{}0,1,2A =，利用交集的定义可得：{}1,2A B =I . 故答案为：{}1,2.【点睛】本题主要考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.从1,2,3,4,5共五个数字中,任取两个数字,取出数字之和为偶数的概率是_______ 【答案】25【解析】【详解】任取两个数字的可能为：25C 种，这个数为偶数的种数为：2232C C + ，结合古典概型公式可得，所求概率为：22322525C C p C +== . 3.函数()ln f x x x =-的单调递增区间为_______. 【答案】【解析】函数有意义，则：0x > ，且：()1'1f x x=- ，由()'0f x > 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为()0,1，故答案为()0,1.4.若函数R ，则m 的取值范围是；【答案】［0，4］【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一一一一恒成立，所以0{0m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.5.若()22lg x xf x a -=+是奇函数，则实数a =_____________．【答案】110【解析】试题分析：依题意可得()0022lg 1lg 0f a a -=+=+=,1lg 1,10a a ∴=-∴=．考点：奇函数．6.已知cos()63πθ-=，则25cos()sin ()66ππθθ+--=__________．【答案】23-- 【解析】由题意可知25ππcos θsin θ66⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=πcos θ6⎛⎫-- ⎪⎝⎭+2π cos θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭-1=23，填23-． 7.若直线y kx =与函数2xy e =的图像内相切，则实数k 的值为__________．【答案】2e 【解析】设切点为(x 0,y 0)，则002xy e =一一y ′=(2e x )′=2e x ，∴切线斜率02x k e =一又点(x 0,y 0)在直线上，代入方程得y 0=kx 0一即00022x x ex e =⨯一解得x 0=1一一k =2e .点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.8.已知()1122sin 22x x x xxf x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ，则M m +=_____. 【答案】4 【解析】【分析】首先将函数整理化简得sin ()222x x x f x -=++，设()sin 22x xxg x -=+，判断函数()g x 为奇函数，从而可得()g x 的最大值与最小值，且互为相反，进而可求出()f x 的最大值与最小值之和.【详解】()11222sin 22sin sin ()2222222x x x x x x x x x xx x x f x -+----++++===++++，设()sin 22x xxg x -=+，则()()sin 22xxxg x g x --=-=-+，即()g x 为奇函数，可设()g x 最大值为t ，则最小值为t -，可得2M t =+，2m t =-+，即有4M m +=. 故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性应用，考查了分析能力与计算能力，属于基础题.9.设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的_________条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）【答案】充要【解析】试题分析:设函数,因为,所以函数是上的单调递减的函数,故当时,,即,也即ln ln a b a b ->-,所以“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的充分条件；反之,若ln ln a b a b ->-,即,则,而以函数是上的单调递减函数,故,即“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的必要条件.故应填答案充要.考点：充分必要条件的判定．【易错点晴】充分必要条件是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查充分必要条件的判定和对数函数等有关知识的灵活运用.求解时先依据充分必要条件判定方法和定义构造函数,运用导数的知识得到函数是上的单调递减函数,然后分别推断条件其充分性和必要性,从而将问题进行等价转化,从而使得问题巧妙获解. 10.设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则()1f '＝__________．【答案】2 【解析】试题分析：令x t e =，()ln (0)f t t t t =+>，所以()ln ,(0)f x x x x =+>，1()1+f x x='，()12f '=，所以答案应填：2．考点：导数的运算．11.已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则cosC =__________．【答案】4【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以456OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r，则2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，即28(2cos 1)1C -=-，解得cos 4C =. 12.二次函数()f x 满足()()33f x f x -=+，又()f x 是[]03，上的增函数，且()()0f a f ≥，那么实数a 的取值范围是____________一【答案】[]06，【解析】二次函数()f x 满足()()33f x f x -=+得函数的对称轴为3，又()f x 是[]03，上的增函数，所以函数是开口向下得二次函数，因为()()0f a f ≥，又(0)(6)f f =，所以[0,6]a ∈一故答案为[]0,6.13.已知函数()xf x e =，将函数()f x 的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象，函数6(1)2,5()42,5xe x x h x e x --+≤⎧=⎨+>⎩，若对任意的[3,]x λ∈一3λ>），都有()()h x g x ≥，则实数λ的最大值为__________．【答案】9ln 22+ 【解析】由()xf x e =的图象向右平移3个单位后得到3x e -再向上平移2个单位，可得()32x eg x -+=当[]3,x λ∈（3λ>）时，()g x 为增函数， ()()32max g x g e λλ-∴==+函数()()612,542,5xe x x h x ex -⎧-+≤=⎨+>⎩当[]3,5x ∈时，()()12h x e x =-+是增函数，此时53λ≥> ()()322min h x h e ==+则3222e e λ-+≤+ 解得24ln λ≤+53λ≥>Q∴实数λ的最大值为24ln +当()5x ∈-∞，时，()642xh x e -=+是减函数，此时5λ<()2?42h x e ∴<<+则322e λ-+≤ 解得λ∈∅综上可得：实数λ的最大值为24ln +点睛：本题中根据()f x 平移后求解()g x ，从而得到了[]3,x λ∈（3λ>）时，()g x 为增函数，()g λ为最大值，()()612,542,5xe x x h x ex -⎧-+≤=⎨+>⎩，对于任意的[]3,5x ∈和5λ<进行讨论()h x 的最小值，根据()()min max h x g x ≥，即可求得实数λ的最大值．14.已知函数()()sin coscos 262x x f x A x πθ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭（其中A 为常数，(),0θπ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<；②312x x π-<；③()()()123f x f x f x ==，则θ的值为 . 【答案】23π- 【解析】试题分析：因为()()()13sin coscos sin sin 26223x x f x A x A x x ππθθ⎛⎫⎛⎫=+--=+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当()1sin sin 023A x x πθ⎛⎫+-+≠ ⎪⎝⎭时，()y f x =的周期为2π，由123x x x <<及()()()123f x f x f x ==得312x x π-≥与312x x π-<矛盾，所以()1sin sin 023A x x πθ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为(),0θπ∈-，故23πθ=-考点：三角函数的图像和性质【名师点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属中档题.解题的关键在于正确化简已知函数解析式，正确理解已知条件在解题中的作用，对学生思维有较高要求二、计算题15.已知命题[]2:2,4,220p x x x a ∀∈--≤恒成立，命题()2:1q f x x ax =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．【答案】(][),14,-∞⋃+∞．【解析】试题分析：根据函数恒成立问题，求出p 为真时的a 的范围，根据二次函数的性质求出q 为真时的a 的范围，从而判断出p 、q 一真一假时的a 的范围即可,最后求两范围的并集即可．试题解析：若p 为真命题，则4a ≥，若q 为真命题，则1a ≤由题意知p 、q 一真一假，当p 真q 假时，4a ≥；当p 假q 真时，1a ≤，所以a 的取值范围为(][),14,-∞⋃+∞．考点：复合命题的真假．16.设事件A 表示“关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实根”，其中a ，b 为实常数.（Ⅰ）若a 为区间[0，5]上的整数值随机数，b 为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若a 为区间[0，5]上的均匀随机数，b 为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）23;（Ⅱ）35. 【解析】试题分析：(1)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得满足题意的概率值为23一 (2)利用题意画出概率空间，结合几何概型公式可得满足题意的概率值为35.试题解析：（Ⅰ）当a ∈{0，1，2，3，4，5}，b ∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程. 若事件A 发生，则a 2－4b 2≥0，即|a |≥2|b |. 又a ≥0， b ≥0，所以a ≥2b .从而数对（a ，b ）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值.所以P （A ）=122183=. （Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={(a ，b)|0≤a ≤5，0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为A={(a ，b)|0≤a ≤5，0≤b ≤2，a ≥2b }. 在平面直角坐标系中画出区域A 、D ，如图，其中区域D 为矩形，其面积S （D ）=5×2=10，区域A 为直角梯形，其面积S （A ）=15262+⨯=. 所以P （A ）=()()63105S A S D ==. 17.已知(cos ,sin )a αα=v，(cos ,sin )b ββ=v ，0βαπ<<<.（1）若a b -=vv a b ⊥v v ；（2）设(0,1)c =v ，若a b c +=v v v ，求,αβ的值.【答案】（1）证明略；（2）56πα=，6πβ=．【解析】试题分析：（1）把a b -=r r 2222a a b b -⋅+=r r r r ，由于22221a b a b ====r r r r ，所以0a b ⋅=r r .从而证得a b ⊥rr；（2）由a b c +=rrr可得cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+=，由0βαπ<<<得0αβπ<-<，整理得1sin sin 2αβ==，结合范围即可求得,αβ的值. 试题解析：（1）证明：由题意得22a b -=r r ，即()22222a b a a b b -=-⋅+=rr r r r r ，又因22221a b a b ====r r r r所以222a b -⋅=r r ，即0a b ⋅=rr .故a b ⊥rr. （2）因()()cos cos ,sin sin 0,1a b αβαβ+=++=rr ，所以cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+= 由此得cos cos()απβ=-，由0βπ<<得0αβπ<-<，又0απ<<故απβ=-代入1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以5,66ππαβ==. 考点：平面向量垂直关系的证明及已知三角函数值求角.18.已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数． (1)求()f x 的表达式；(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．【答案】（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2x x -<<- 【解析】【分析】(1)根据指数函数定义得到，2331a a -+=检验得到答案. (2) ()22x x F x -=-，判断(),()F x F x -关系得到答案. (3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠， ∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =；（2）由（1）得()22xxF x -=-， ∴()22xx F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数；（3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增，即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1{|2}2x x -<<-．【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45︒方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则曲线符合函数9)y x x =+剟模型，设PM x =，修建两条道路PM ，PN 的总造价为()f x 万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求()f x 解析式；（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价．【答案】（1）232()5()(19)f x x x x =+剟；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元．【解析】【分析】（1）求出P 的坐标，直线OB 的方程，点P 到直线0x y -=的距离，即可求()f x 解析式；（2）利用导数的方法最低造价．【详解】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为9)y x x =+剟，所以点P坐标为(,x x ，直线OB 的方程为0x y -=，则点P 到直线0x y -=2|(||4x x x -=，又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为22432()5405()(19)f x x x x x x =+=+g 剟．（2）因为22432()5405()(19)f x x x x x x=+=+g 剟，所以333645(64)()5(1)x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为232(4)5(4)304f =+=．答：（1）两条道路PM ，PN 总造价()f x 为232()5()(19)f x x x x=+剟；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．的20.已知0,1a a >≠，函数()()21,ln x f x a g x x x a =-=-+. （1）若1a >，证明：函数()()()h x f x g x =-在区间()0,∞+上是单调增函数；（2）求函数()()()h x f x g x =-在区间[]1,1-上的最大值；（3）若函数()F x 的图像过原点，且()F x 的导数()()F x g x '=，当103a e >时，函数()F x 过点(1,)A m 的切线至少有2条，求实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）当1a >时,最大值为()11ln h a a-=+；当01a <<时,最大值为()11ln h a a-=+（3）43 【解析】【分析】（1）由题()()()21ln x h x f x g x a x x a =-=-+-,利用导函数求单调区间即可；（2）利用导数可以推导得到()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值,作差可得()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭,设()12ln ,0G a a a a a =-->,再次利用导数推导()G a 的单调性,进而得到[]1,1-上的最大值；（3）由题可得()3211ln 32F x x x a =-+,设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入可得32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,则将原命题等价为关于0x 的方程至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,进而利用导函数判断()x ϕ的单调性,从而求解即可【详解】（1）证明：()()()21ln x h x f x g x a x x a =-=-+-,则()()1ln 2x h x a a x '=-+, 1,a >∴Q 当0x >时,10,ln 0x a a ->>,∴()0h x '>,即此时函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数.（2）由（1）知,当1a >时,函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,当0x <时,10x a -<,则()1ln 0x a a -<,()0h x '∴<,则()h x 在区间(),0-∞上是单调减函数；同理,当01a <<时,()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,在区间(),0-∞上是单调减函数；即当0a >,且1a ≠时,()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值，()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭Q , ∴令()12ln ,0G a a a a a=-->, 则()22121110G a a a a ⎛⎫'=+-=-≥ ⎪⎝⎭, ∴()12ln G a a a a=--在()0,∞+上为增函数, ()1112ln10G =--=Q ,∴当1a >时,()0G a >,即()()11h h >-,此时最大值为()1ln h a a =-；当01a <<时,()0G a <,即()()11h h ->,此时最大值为()11ln h a a-=+. （3）Q ()()2g ln F x x x x a '==-+, ∴()3211ln 32F x x x a c =-++, Q ()F x 的图像过原点,()00F ∴=,即0c =,则()3211ln 32F x x x a =-+, 设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入得()()3220000011ln x ln 132m x x a x a x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭, 即32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（※）, 则原命题等价为关于0x 的方程（※）至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, 则()()()()222ln ln 12ln x x a x a x x a ϕ'=-++=--,令()0x ϕ'=,12ln 1,2a x x ∴==, 103ln 5,123a a e >∴>>Q , 当(),1x ∈-∞和ln ,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭时,()0x ϕ'>,此时函数()x ϕ为增函数；当ln 1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0x ϕ'<,此时函数()x ϕ减函数, ∴()x ϕ的极大值为()211111ln ln ln 3223a a a ϕ=--+=-, ()x ϕ的极小值为322321111111ln ln ln 1ln ln ln ln 212422244a a a a a a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设ln t a =,则103t >,则原命题等价为321111ln ln ln 24423a a m a ≤≤-+-,即32111124423t m t t ≤≤-+-对103t >恒成立, ∴由1123m t ≤-得43m ≤ 设()3211244s t t t =-+,则()2111118224s t t t t t ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭, 令()0s t '=,则10t =,24t =,当10,43t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0s t '>；当()4t ,∈+∞时,()0s t '<, ,即()s t 在10,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()4,+∞上单调递减, ()s t ∴的最大值为()443s =,∴43m ≥, 故43m =, 综上所述,当103a e >时,函数()F x 过点()1,A m 的切线至少有2条,此时实数m 的值为43【点睛】本题考查利用导函数证明函数的单调性,考查利用导函数求最值,考查导数的几何意义的应用,考查运算能力,考查分类讨论思想和转化思想.。

江苏省南通市通州区2018届高三(上)学业水平测试数学试卷(1月份)(文)(解析版)

江苏省南通中学2018届高三(上)开学数学试卷(含解析)

2017-2018学年江苏省南通中学高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分、不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上、）1、已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=、2、命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”否定是、3、设复数z满足（z﹣1）i=﹣1+i，其中i是虚数单位，则复数z模是、4、执行如图所示流程图，则输出k值为、5、一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月产量（单位：辆）如表：按类用分层抽样方法在这个月生产轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆、则z值为、6、已知，则=、7、设函数f（x）为定义在R上奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=、8、在棱长为2正方体内随机取一点，取到点到正方体中心距离大于1概率、9、已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a取值范围是、10、如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1中点，则三棱锥M﹣AB1C体积是、11、已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）左焦点，点E是该双曲线右顶点，过F且垂直于x轴直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线离心率e取值范围是、12、已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则最小值为、13、已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同零点，则实数m取值范围是、14、已知，是非零不共线向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c最小值为、二、解答题：（本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分、请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）15、如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB、（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC、16、已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且、（1）求cos2α值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β、17、如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O仰角和立柱底部B俯角均为、设S眼睛到地面距离为米、（1）求摄影爱好者到立柱水平距离和立柱高度；（2）立柱顶端有一长2米彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在平面内旋转、摄影爱好者有一视角范围为镜头，在彩杆转动任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由、18、已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处切线斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上最小值为﹣，求f（x）在该区间上最大值、19、已知椭圆=1（a＞b＞0）右焦点为F2（1，0），点H（2，）在（I）求椭圆方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q周长是定值、20、设数列{a n}是各项均为正数等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48、（1）求数列{a n}通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ取值范围、II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分、请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）21、已知矩阵A=，若A=，求矩阵A特征值、22、在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB长、23、某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱、（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队互动指数为2a，求观众与乐队互动指数之和X概率分布及数24、已知函数f （x ）=2x ﹣3x 2，设数列{a n }满足：a 1=，a n +1=f （a n ）（1）求证：对任意n ∈N *，都有0＜a n ＜；（2）求证： ++…+≥4n +1﹣4、2017-2018学年江苏省南通中学高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分、不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上、）1、已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3} 、【考点】1E：交集及其运算、【分析】根据集合基本运算即可得到结论、【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}2、命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”否定是∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1、【考点】2J：命题否定、【分析】运用特称命题否定为全称命题，以及量词和不等号变化，即可得到所求命题否定、【解答】解：由特称命题否定为全称命题，可得命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”否定是∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1、故答案为：∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1、3、设复数z满足（z﹣1）i=﹣1+i，其中i是虚数单位，则复数z模是、【考点】A5：复数代数形式乘除运算；A3：复数相等充要条件、【分析】先求出z代数形式，再求模计算、【解答】解：由（z﹣1）i=﹣1+i，得z=+1=i+1+1=2+i所以|z|=故答案为：4、执行如图所示流程图，则输出k值为4、【考点】EF：程序框图、【分析】按照程序框图流程写出前几次循环结果，并判断每一次得到结果是否满足判断框中条件，直到满足条件，执行输出、【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环条件，k=2，S=2，不满足退出循环条件，k=3，S=6，不满足退出循环条件，k=4，S=15，满足退出循环条件，故输出k值为4、故答案为：45、一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月产量（单位：辆）如表：按类用分层抽样方法在这个月生产轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆、则z值为400、【考点】B3：分层抽样方法、【分析】由题意可得，解得z值即可、【解答】解：由题意可得，解得z=400，故答案为：400、6、已知，则=、【考点】GR：两角和与差正切函数；GG：同角三角函数间基本关系、【分析】根据α范围，以及cosα值，利用同角三角函数间基本关系求出sinα值，进而确定出tanα值，所求式子利用两角和与差正切函数公式及特殊角三角函数值化简，计算即可得到结果、【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα=，则tan（﹣α）===、故答案为：7、设函数f（x）为定义在R上奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=﹣3、【考点】3L：函数奇偶性性质、【分析】由奇函数性质得f（0）=0，代入解析式求出b值，利用函数奇偶性将f （﹣1）转化为f（﹣1）=﹣f（1），然后直接代入解析式即可、【解答】解：∵函数f（x）为定义在R上奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1，则当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2+2﹣1）=﹣3，故答案为：﹣3、8、在棱长为2正方体内随机取一点，取到点到正方体中心距离大于1概率1﹣、【考点】CF：几何概型、【分析】本题利用几何概型求解、只须求出满足：OQ≥1几何体体积，再将求得体积值与整个正方体体积求比值即得、【解答】解：取到点到正方体中心距离小于等于1构成几何体体积为：×13=，∴点到正方体中心距离大于1几何体体积为：v=V正方体﹣=8﹣取到点到正方体中心距离大于1概率：P==1﹣、故答案为：1﹣、9、已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a取值范围是（0，] 、【考点】3E：函数单调性判断与证明、【分析】根据已知条件可知函数f（x）在R上单调递减，所以对于a x，0＜a＜1；对于（a﹣3）x+4a，a＜3，又a x＞1，所以（a﹣3）x+4a最大值满足小于等于1，而（a﹣3）x+4a对于x≥0时最大值为4a，所以4a≤1，所以得到，和前面0＜a＜1a取值求交集即得a取值范围、【解答】解：∵对任意x1≠x2，都有＜0成立；∴f（x1）﹣f（x2）与x1﹣x2异号，即x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）；∴函数f（x）在R上是减函数；∴x＜0时，f（x）=a x，0＜a＜1；x≥0时，f（x）=（a﹣3）x+4a，a﹣3＜0，a＜3，又a x＞1，（a﹣3）x+4a）max=4a ≤1，∴；又0＜a＜1，∴0＜a≤；∴a取值范围是、故答案为：、10、如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1中点，则三棱锥M﹣AB1C体积是、【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台体积、【分析】由，利用等积法能求出三棱锥M﹣AB1C体积、【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各条棱长均为2，且M为A1C1中点，==2，∴S△AMCMB1⊥平面AMC，且B1M==，∴====、故答案为：、11、已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）左焦点，点E是该双曲线右顶点，过F且垂直于x轴直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线离心率e取值范围是（1，2）、【考点】KC：双曲线简单性质、【分析】利用双曲线对称性及锐角三角形∠AEF＜45°得到AF＜EF，求出A坐标；求出AF，EF得到关于a，b，c不等式，求出离心率范围、【解答】解：∵△ABE是锐角三角形∴∠AEB为锐角∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF＜45°∴AF＜EF∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0）所以A（）所以AF=，EF=a+c∴即c2﹣ac﹣2a2＜0解得双曲线离心率范围是（1，2）故答案为（1，2）12、已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则最小值为3、【考点】6A：函数单调性与导数关系、【分析】由题意得f'（x）=ax2+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b2﹣4ac≤0，将此代入，将式子进行放缩，以为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式模型使问题得到解决、【解答】解：由题意f'（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b2﹣4ac ≤0、∴≥令，≥≥3、（当且仅当t=4，即b=c=4a时取“=”）故答案为：313、已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同零点，则实数m取值范围是（，1] 、【考点】54：根存在性及根个数判断、【分析】作出函数y=g（g（x））图象，即可确定实数k取值范围、【解答】解：当x＜0时，g（x）=﹣x+1＞0，此时g（g（x））=（﹣x+1）2﹣1=x2﹣2x当0≤x＜1时，g（x）=x2﹣1＜0，此时g（g（x））=﹣（x2﹣1）+1=﹣x2+2当x≥1时，g（x）=x2﹣1≥0，此时g（g（x））=（x2﹣1）2﹣1=x4﹣2x2，函数y=g（g（x））=、函数y=g（g（x））图象如下：结合图象可得若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同零点，则实数m取值范围是（，1]故答案为：（]14、已知，是非零不共线向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c最小值为、【考点】9R：平面向量数量积运算、【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量数量积几何意义可得KC为∠AKB平分线，由角平分线性质定理可得==r，可得K轨迹为圆，求得圆直径与AB关系，即可得到所求最值、【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB平分线，由角平分线性质定理可得==r，即有K轨迹为圆心在AB上圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c最小值为、故答案为：、二、解答题：（本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分、请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）15、如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB、（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC、【考点】LW：直线与平面垂直判定；LS：直线与平面平行判定、【分析】（1）由AB∥CD，且CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1，由线面平行判定定理即可证明AB∥平面D1DCC1；（2）证明AB1⊥平面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，利用四边形ABB1A1为菱形即可；【解答】证明：（1）∵AB∥CD，CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1；∴AB∥平面D1DCC1；…（2）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形，∵AA1=AB，∴四边形ABB1A1为菱形，∴AB1⊥A1B，∵AB1⊥BC，A1B∩BC=B，∴AB1⊥平面A1BC，…16、已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且、（1）求cos2α值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β、【考点】9T：数量积判断两个平面向量垂直关系、【分析】（1）由已知得=2cosα﹣sinα=0，从而sin2α+cos2α=5cos2α=1，进而cos2α=，由此能求出cos2α、（2）由cos2α=，，得cosα=，sinα==，由sin（α﹣β）=，且，得sinβ=2cos，由此能求出β值、【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且、∴=2cosα﹣sinα=0，∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，∴cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣、（2）∵cos2α=，，∴cosα=，sinα==，∵sin（α﹣β）=，且，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴2cosβ﹣sinβ=，∴sinβ=2cos，∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2﹣=0，解得cosβ=或cosβ=﹣（舍），∵，∴β=、17、如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O仰角和立柱底部B俯角均为、设S眼睛到地面距离为米、（1）求摄影爱好者到立柱水平距离和立柱高度；（2）立柱顶端有一长2米彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在平面内旋转、摄影爱好者有一视角范围为镜头，在彩杆转动任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由、【考点】HU：解三角形实际应用、【分析】（1）作SC垂直OB于C，通过求解三角形求解立柱高即可、（2）连结SM，SN、设SN=a，SM=b、推出cos∠SOM=﹣cos∠SON，利用余弦定理求解即可、【解答】解：（1）如图，作SC垂直OB于C，则∠CSB=，∠ASB=、又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA=3，即摄影爱好者到立柱水平距离为3米、由SC=3，∠CSO=，在Rt△SCO中，可求得OC=、因为BC=SA=，故OB=2，即立柱高为2米、（2）如图，连结SM，SN、设SN=a，SM=b、由（1）知SO=2，在△SOM和△SON中，cos∠SOM=﹣cos∠SON，即=﹣，可得a2+b2=26、在△MSN中，cos∠MSN==≥=＞，当且仅当a=b时，等号成立、又∠MSN∈（0，π），则0＜∠MSN＜、故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面、18、已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处切线斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上最小值为﹣，求f（x）在该区间上最大值、【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中应用、【分析】（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处导数值等于切线斜率为﹣6，即可求实数a；（Ⅱ）通过a=1，利用导函数为0，判断导数符号，即可求f （x ）极值；（Ⅲ）当0＜a ＜2时，利用导函数单调性，通过f （x ）在[1，4]上最小值为﹣，即可求出a ，然后求f （x ）在该区间上最大值、【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为f′（x ）=﹣x 2+x +2a ，曲线y=f （x ）在点P （2，f （2））处切线斜率k=f′（2）=2a ﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣依题意：2a ﹣2=﹣6，a=﹣2、﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）当a=1时，，f′（x ）=﹣x 2+x +2=﹣（x +1）（x ﹣2）﹣﹣﹣﹣所以，f （x ）极大值为，f （x ）极小值为、﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ）令f′（x ）=0，得，，f （x ）在（﹣∞，x1），（x 2，+∞）上单调递减，在（x 1，x 2）上单调递增，当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f （x ）在[1，4]上最大值为f （x 2），f （4）＜f （1），所以f （x ）在[1，4]上最小值为，解得：a=1，x 2=2、故f （x ）在[1，4]上最大值为、﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19、已知椭圆=1（a ＞b ＞0）右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上、（I）求椭圆方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q周长是定值、【考点】K4：椭圆简单性质、【分析】（I）利用椭圆定义及其性质即可得出；（II）方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用两点之间距离公式与，可得，再利用切线性质可得|PM|=，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；方法2：设P（x1，y1），Q（x2，y2），设PQ方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），与椭圆方程联立可得根与系数关系，利用弦长公式可得|PQ，利用PQ与圆x2+y2=8相切性质可得，得到，利用两点之间距离公式可得，同理可得，即可证明、【解答】（I）解：根据已知，椭圆左右焦点为分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，∵在椭圆上，∴，∴a=3，b2=a2﹣c2=8，椭圆方程是；（II）证明：方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，在圆中，M是切点，∴，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q周长是定值6、方法2：设PQ方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴===，∵PQ与圆x2+y2=8相切，∴，即，∴，∵，∵0＜x1＜3，∴，同理，∴，因此△PF2Q周长是定值6、斜率不存在时也成立、故△PF2Q周长是定值6、20、设数列{a n}是各项均为正数等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48、（1）求数列{a n}通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ取值范围、【考点】8M：等差数列与等比数列综合；8K：数列与不等式综合、【分析】（1）由题意和等比数列性质先求出a3，由等比数列通项公式、前n项和定义求出公比q，代入等比数列通项公式化简即可；（2）由充要条件定义分别证明充分性、必要性，顺序分类讨论后分别利用等差数列性质和a n进行证明；（3）由（1）化简a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6后，两边同乘以2再作差求出b n，注意验证n=1是否成立代入，利用作差判断数列{}单调性，再求出符合条件λ范围、【解答】解：（1）设等比数列{a n}公比是q，∵数列{a n}是各项均为正数等比数列，∴，解得a3=8，又∵S5﹣S3=48，∴，解得q=2，∴；…4分（2）（ⅰ）必要性：设5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2•5a k=a m+a l，则10•2k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，∴，∴、…6分②若2a m=5a k+a l，则2•2m=5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l=5a k+a m，同理也不成立，综合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立、…8分（ⅱ）充分性：设m=k+1，l=k+3，则5a k，a m，a l这三项为5a k，a k+1，a k+3，即5a k，2a k，8a k，调整顺序后易知2a k，5a k，8a k成等差数列，所以充分性也成立、综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立、…10分（3）因为，即，①∴当n≥2时，，②则②式两边同乘以2，得，③∴①﹣③，得2b n=4n﹣2，即b n=2n﹣1（n≥2），又当n=1时，，即b1=1，适合b n=2n﹣1（n≥2），∴b n=2n﹣1、…14分∴，∴，∴n=2时，，即；∴n≥3时，，此时单调递减，又，，，，∴、…16分II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分、请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）21、已知矩阵A=，若A=，求矩阵A特征值、【考点】OV：特征值与特征向量计算、【分析】由矩阵乘法首先求得实数a，b值，然后求解矩阵特征值即可、【解答】解：因为，所以，解得a=2，d=1，所以矩阵A特征多项式为：，令f（λ）=0解得矩阵A特征值为λ=4或﹣1、22、在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB长、【考点】QH：参数方程化成普通方程、【分析】先把方程化为普通方程，再联立，利用弦长公式，即可求线段AB长、【解答】解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）普通方程分别为x﹣y=﹣，y2=8x，联立可得x2﹣5x+=0，∴|AB|==4、23、某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱、（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队互动指数为2a，求观众与乐队互动指数之和X概率分布及数学期望、【考点】CH：离散型随机变量期望与方差、【分析】（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A，则事件 A 对立事件为：“没有1 首原创新曲被演唱”、可得P（A）=1﹣P（）、（2）设随机变量x 表示被演唱原创新曲首数，则x 所有可能值为0，1，2，3、依题意，X=ax+2a（4﹣x）=8a﹣ax，故X 所有可能值依次为8a，7a，6a，5a、利用超几何分布列计算公式即可得出、【解答】解：（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A，则事件A 对立事件为：“没有 1 首原创新曲被演唱”、所以P（A）=1﹣P（）=1﹣=、答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲概率为、（2）设随机变量x 表示被演唱原创新曲首数，则x 所有可能值为0，1，2，3、依题意，X=ax+2a（4﹣x）=8a﹣ax，故X 所有可能值依次为8a，7a，6a，5a、则P（X=8a）=P（x=0）==、P（X=7a）=P（x=1）==、P（X=6a）=P（x=2）==、P（X=5a）=P（x=3）==、、从而X 概率分布为：所以X 数学期望E（X）=8a×+7a×+6a×+5a×=a、=f（a n）24、已知函数f（x）=2x﹣3x2，设数列{a n}满足：a1=，a n+1（1）求证：对任意n∈N*，都有0＜a n＜；（2）求证： ++…+≥4n+1﹣4、【考点】8E ：数列求和；8K ：数列与不等式综合、【分析】（1）由已知可得：a n +1=2a n ﹣3=﹣3+≤、可得a n ＜、作差==3a n （3a n ﹣2），由a n ＜（n ∈N *），可得：a n +1与a n 同号，因此a n ＞0，（2）由0＜a n ＜，a n +1=2a n ﹣3，可得a n +1﹣a n ==a n （1﹣3a n ）＞0，因此数列{a n }单调递增、n ＞1时，，可得＞4，=＞＞…＞，即可证明、【解答】证明：（1）∵a n +1=f （a n ），函数f （x ）=2x ﹣3x 2，∴a n +1=2a n ﹣3=﹣3+≤、若a n +1=，则a n =，可得a 1=，与已知a 1=矛盾，因此等号不成立、∴a n ＜、===3a n（3a n ﹣2），由a n ＜（n ∈N *），可得a n +1，3a n ﹣2＜0，因此a n +1与a n 同号，a 1=＞0， ∴a n ＞0，综上可得：对任意n ∈N *，都有0＜a n ＜、（2）∵0＜a n ＜，a n +1=2a n ﹣3，∴a n +1﹣a n ==a n （1﹣3a n ）＞0，∴a n +1＞a n ，∴数列{a n }单调递增、∴n ＞1时，，∴＞4，∴==＞＞＞…＞=4n+1，∴++…+≥3（4+42+…+4n）=3×=4n+1﹣4、∴++…+≥4n+1﹣4、。

江苏省南通中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

江苏省南通中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）A B D ．342．函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（）A ．a ≤0B ．0＜a ＜C ．＜a ＜1D ．a ≤0或a ＞13．已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]4．已知角的终边经过点()3P x ，()0x <且cos x θ=，则等于（）A ．1-B ．13- C ．3- D ．5．已知，，那么夹角的余弦值（）A ．B ．C ．﹣2D ．﹣6．执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A ．5B ．4C ．3D ．27．给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（）1111]A ．10B ．51C ．20D ．30 9．复数121ii-+在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设i是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z=2（+i ），则z=（）A ．﹣1﹣iB ．1+iC ．﹣1+iD ．1﹣i11．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为21时，则输入的值为（）A ．2B ．1-C ．1-或2D ．1-或1012．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知数列{}n a 中，11a =，函数3212()3432n n a f x x x a x -=-+-+在1x =处取得极值，则n a =_________.14．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos sin 12ααπ-的值为．15．函数的最小值为_________.16．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=，则sin （α+）= ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

高三数学-2018高三数学模拟试卷南通中学精品

∵ A 点在 SR 上，∴ 4b=(x1+x2)a－ x1x2 ① 对 y
∴抛物线上 S． R 处的切线方程为
12
1
x 求导得： y′＝ x
4
2
y 1 x12
1 x1( x
x1 ) 即 4 y
2
2 x1x x1
②
4
2
y
1
x
2 2
4
1 x2 ( x
x2 ) 即 4 y
2 x2 x
2
x2
③
2
联立②、③得
9． C
10． A
11． B 12． C
2a b
13．
|2a b |
14． a>0，b<0 ， c<0，d=0
12
15．
5
16． 2027
[ 解析 ] ：注意到： 12 1,32 9, ,43 2 1849,452 2025
故前 2018 项共删去 22 个数，又因为 2018 与 2026 间还有一个需要删去的项是 2018+22+1=2027 三、解答题
12．某工厂投入 98 万元购买一套设备，第一年的维修费用 12 万元，以后每年增加 4 万元，每年可
收入 50 万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前
5 年的平均年利润最多；
③前 10 年总利润最多；④第 11 年是亏损的；⑤ 10 年后每年虽有盈利但与前 10 年比年利润有
所减少．（总利润 =总收入－投入资金－总维修费）其中真命题是
（ 1）求： a2 a4 a6 a8 a10 a12 a14 a16 ；
（ 2）若 Sn a1 a2 a3
an 21