【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修五)课时训练：2.3.1 数列前n项和与等差数列的前n项和

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【金版案】高中数必修五(人教A版)：2.4.1 同步辅导与检测课件

2．an＝a1·qn－1(a1·q≠0)(n∈N*) 金品质•高追求我们让你更放心！
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（2）写出下列数列的一个通项公式 ①2,4,8,16,32； ②1,5,25,125，…. 3．（1）等比中项的定义：____________________. （2）判断下列各组数是否有等比中项，若有求出其等比中项
的图象是分布在曲线 _y_＝__a_q1_·_q_x(_q_>_0_) 上的一些孤立的点．
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自测自评
1．等比数列{an}中，a1＝等比中项是( A )
，q＝2，则a4与a8的
A．±4
B．4
C．±
D.
2．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( B ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
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祝
您
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解析：∵b2＝－32－23423＝326.
∴b＝±287.
当 b＝287时，ab＝－322，∴a＝23. 由 bc＝－234232＝3210，b＝287，得 c＝2112887＝327.
同理金，品3当质b•＝高－追2求87时，我a＝们－让23你，更放心！
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数列
2．4 等比数列 2．4.1 等比数列的概念与通项公式
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2019年《金版学案》高二数学必修5(苏教版)练习：第2章2.3-2.3.2等比数列的通项公式

第2章数列2.3等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1. 下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2= ac,则a, b, c成等比数列；③2b= a+c,则a, b, c成等差数列；④任意两项都有等比中项.正确的有（）A. 0个B. 1个C . 2个D. 3个解析：公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有a, b, c都不为0才正确；④也需要看首项是正还是负.所以只有③正确.答案：B2. 在等比数列｛a*｝中，a i = 8, a4= 64,则a3等于（）A. 16B. 16 或—16C. 32 D . 32 或—32解析：因为a4= a“q3= 8 q3= 64,所以q3= 8, q= 2. 所以a3= a1q2= 8X 22= 32.答案：C3. 等比数列x, 3x+ 3, 6x+ 6,…的第四项等于（）A24 B. 0 C. 12 D. 24解析：由(3x + 3)2= x(6x + 6)? x=—3(x= —1 舍去).该数列为—3, —6,—12,—24,…答案：A4. ｛a n｝是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为()①｛a2｝也是等比数列；②｛ca n｝(c z0)也是等比数列；③??也是等比数列；④｛In a n｝也是等比数列.L.a nJA. 4个B. 3个C . 2个D. 1个解析：考查等比数列定义，其中①②③为真.答案：B5. 已知等差数列｛a n｝的公差为3,若a1, a3, a4成等比数列，则a2等于()A . 9B . 3 C. —3 D. —9解析：a1 = a2—3, a3 = a2+ 3, a4= a2 + 3x 2 = a2 + 6,由于a1, a3, a4成等比数列，贝y a = a“a4,所以(a2 + 3)2= (a2 —3)(a2 + 6)，解得a2 = —9.答案：D二、填空题6 .等差数列｛a n｝的首项为a1 = 1, a1, a2, a§成等比数列，则d=解析：因为a1, a2, a5成等比数列. 所以a2 = a“a5，即(a“ + d)2= a^ + 4d).所以(1 + d)2= 1+4d・所以d= 0或d=2.答案：0或27.在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是_____________ .解析：由条件得，768= 6X q7,解得q= 2.所以a6= 6 X 25= 192.答案：佃28 .某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的____________ 倍.解析：设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为a n,则a n+1 = a n + a n • 25% = 1.25a n.则也=1.25•则数列｛a n｝是公式q= 1.25的等比数列.a n贝U a10= a1q9= 1.259m.所以a10= 1.259.a1答案：1.259三、解答题9. 在等比数列｛a n｝中：1(1) 已知a3 + a6= 36, a4+ a7 = 18, a n= 2，求n；(2) a5 = 8, a7 = 2, a n>0 ,求a n.解：(1)法一：因为a3 + a6=36, a°+ a?= 18.所以a1q2+ a1q5= 36,①a“q3+ a“q6= 18,②② 1 1 1①得q=；,所以；a1 + 3；a1 = 36,所以a“ = 128,10. 已知｛a n ｝是首项为19,公差为一2的等差数列，S n 为｛a n ｝的前 n 项和.(1) 求通项公式a n 及S n ；(2) 设｛b n — a n ｝是首项为1,公比为3的等比数列，求数列｛b n ｝的通项公式.解：⑴因为｛a n ｝是首项为19,公差为—2的等差数列,所以 a n =佃一2(n — 1) = — 2n + 21,即 a n = — 2n + 21,即 S n = — n 2 + 20n.而 a n =a i q 1, 所以；=128X 所以n =9. 法二：因为 a 4+ a 7 = a 3q + a 6q = (a 3 + a 6)q, 所以 a 4 + a 7 18 1 古一 3、 q = a 3 + a 6 = 36=2,而比 + a 6= a 3(1 + q )・所以a 3+ a 6 36 “ a 3 = 3 == 32. 3 1+q 3 1+1 因为 1 MF 3 a n = a 3q n —3,所以；=32 勺•所以 n = 9.(2)因为 a 51又a n >0，所以q = 2. n (n —1)(—2) = — n 2 + 20n ,⑵因为｛b n —a n｝是首项为1,公比为3的等比数列，所以b n —a*n—1即bi = 3n—1+ a n= 3n—1—2n+ 21.B级能力提升一、选择题11. 已知｛a n｝是等比数列，且a n>0, a2a4 + 2a3a5 + a4a6 = 25,那么a3+ a5的值等于（）A. 5B. 10C. 15D. 20解析：a2a4 = a2, a4“ = a5，故得何 + a5)2= 25,又a n>0,所以a3 + a5= 5.答案：A12. 设｛a n｝是由正数组成的等比数列，且a5 • a6= 81,则I OM + Iog3a2+…+ log3a10的值是()A. 5B. 10C. 20D. 40解析：I OM + 1。

【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版必修五配套课件：2.1.1数列

4 4 4 4 (3)使各项分子都为 4，变为2，－5，8，－11，„，再给分 4 4 4 4 母分别加 1，又变为3，－6，9，－12，„，所以数列的一个通项公式为 an＝(－1)
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n＋1
4 · . 3n－1
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数列通项公式的简单应用
数列{an}的通项公式是 an＝(－1)
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【解析】由数列的定义，观察数列中的项随序号变化的情况求解．
【答案】 (1) (2) (3) (4)
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写数列的通项公式
写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： (1)1,3,5,7，„； 2 4 6 8 (2)－3，－15，－35，－63，„； (3)2,5,10,17，„；
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1 1 1 1 (4)－2，3，－4，5，„； (5)3,33,333,3 333，„； (6)－1,0，－1,0，„.
【思路探究】数列的每一项与其项数间有什么关系？你能找出一条规律并写出通项公式吗？【自主解答】 (1)这个数列的前 4 项 1,3,5,7 都是序号的 2 倍减去 1，因此它的一个通项公式是 an＝2n－1.
n
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(5)联想特殊数列 9,99,999，„的通项公式为 an＝10n－1，于 3 n 1 n 是该数列的一个通项公式为 an＝9(10 －1)，即 an＝3(10 －1)．

《金版新学案》高一(人教A版)第二章数学练习：2.1.2指数函数及其性质(第2课时指数函数及其性质的应用)

1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0}【解析】因为N ＝{x|2－1<2x ＋1<22，x ∈Z }，又函数y ＝2x 在R 上为增函数， ∴N ＝{x|－1<x ＋1<2，x ∈Z } ＝{x|－2<x<1，x ∈Z }＝{－1,0}． ∴M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．故选B.【答案】 B2．设14<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a【解析】由已知及函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫14x是R 上的减函数，得0<a<b<1.由y ＝a x (0<a<1)的单调性及a<b ，得a b <a a . 由0<a<b<1知0<ab <1.∵⎝⎛⎭⎪⎪⎫a b a <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b 0＝1.∴a a <b a.故选C.也可采用特殊值法，如取a ＝13，b ＝12. 【答案】 C3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.【解析】解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝12.【答案】 124．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．【解析】对u ＝－x 2＋ax －1＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a 22＋a 24－1，增区间为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，a 2， ∴y 的增区间为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，a 2，由题意知3≤a 2，∴a ≥6.∴a 的取值范围是a ≥6.一、选择题(每小题5分，共20分) 1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44， y 3＝(12)－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2. 【答案】 D2．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫142a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫1，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12【解析】函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫14x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a>12.故选A. 【答案】 A3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)【解析】因为f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，因为函数f(x)＝3x －1在[1，＋∞)上是增函数，所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故选B.【答案】 B4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)【解析】根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a 应满足⎩⎨⎧1－2a>01－2a<1，解得⎩⎨⎧a<12a>0，即a ∈(0，12)．故选A. 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.【解析】依题意，对一切x ∈R ，都有f(x)＝f(－x)，∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ，∴(a －1a )(e x －1e x )＝0. ∴a －1a ＝0，即a 2＝1. 又a>0，∴a ＝1. 【答案】 16．下列空格中填“>、<或＝”． (1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.【解析】 (1)考察指数函数y ＝1.5x . 因为1.5>1，所以y ＝1.5x 在R 上是单调增函数．又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数y ＝0.5x .因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 在R 上是单调减函数．又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【答案】 <，<三、解答题(每小题10分，共20分)7．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a <⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－2x (a>0且a ≠1)．【解析】原不等式可以化为a2x －1>a 12，因为函数y ＝a x (a>0且a ≠1)当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数，所以当a>1时，由2x －1>12，解得x>34；当0<a<1时，由2x －1<12，解得x<34. 综上可知：当a>1时，x>34；当0<a<1时，x<34.8．已知a>0且a ≠1，讨论f(x)＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．【解析】设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋174，则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，u 是增函数．又当a>1时，y ＝a u 是增函数，当0<a<1时，y ＝a u 是减函数，所以当a>1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，32上是增函数．当0<a<1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，32上是减函数．9．(10分)已知函数f(x)＝3x ＋3－x. (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．【解析】 (1)f(－x)＝3－x ＋3－(－x)＝3－x ＋3x＝f(x)且x ∈R ，∴函数f(x)＝3x ＋3－x是偶函数．(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．现证明如下：设0≤x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋3－x 1－3x 2－2－x 2＝3x 1－3x 2＋13x 1－13x 2＝3x 1－3x 2＋3x 2－3x 13x 13x 2＝(3x 2－3x 1)·1－3x 1＋x 23x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴3x 2>3x 1，3x 1＋x 2>1， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数在[0，＋∞)上单调递增，即函数的单调增区间为[0，＋∞)．。

【金版案】高中数必修5(苏教版)：2.3.1 同步辅导与检测课件

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数列
2．3 等比数列 2．3.1 等比数列的概念及通项公式
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传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，国王决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行．在棋盘的第1个格子里放 1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4 个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了．”区区小数，几粒麦子，这有何难，“来人．”国王令人如数付给西塔．
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主要性质(设an＝a1qn－1，a1、q≠0)
(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列．
an＝a4·qn－4＝16·12n－4，令 16·12n－4＝12，∴12n－4＝312＝125，
∴n－4＝5，n＝9.
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◆数学•必修5•(配苏教版)◆ 等差数列与等比数列的综合应用
三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果
它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．
(2)an＝am·qn－m(m、n∈N*)．
(3)当m＋n＝p＋q(m、n、q、p∈N*)时，有am·an＝ap·aq.
(4)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比

【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版必修五配套课件：1.1.2余弦定理

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3．利用上述方法，能否推导出用 b，c，A 表示 a? 【提示】能．a2＝b2＋c2－2bccos A.
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文字三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减语言去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
【思路探究】 (1)中已知角 C 是已知边 a、b 的夹角，可以直接用余弦定理求边 c 吗？其他元素如何求？ (2)中已知角 B 是已知边 b 的对角，可以用正弦定理求解吗？解的情况唯一吗？用余弦定理行吗？
6＋ 2 【自主解答】 (1)法一 cos 15° ＝cos(45° －30° )＝ 4 ， 6－ 2 sin 15° ＝sin(45° －30° )＝ 4 .
a2＋b2－c2 2ab cos C＝
，， .
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已知两边一角解三角形
在三角形 ABC 中，根据下列条件解三角形． (1)a＝2，b＝2 2，∠C＝15° ； (2)a＝ 3，b＝ 2，∠B＝45° .
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又因为∠A＝60° ，所以∠B＋∠C＝180° －∠A＝120° ，即∠B＝∠C＝60° ，故△ABC 为等边三角形．
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1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，一般有两条思考路线：(1)利用边的关系判断：利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方以及代数恒等变换得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用角的关系判断：利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A＋∠B ＋∠C＝π 这个结论．

【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修一)课时训练：1.1.3 集合的基本运算

数学·必修1(人教A版)1.1.3集合的基本运算►基础达标1．若集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝()A．{3} B．{0} C．{0,2} D．{0,3}答案：B2．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3} ，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}答案：D3．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，所以A⊆{1,3,5}且A中至少有一个元素为5，从而A中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．答案：D4．设全集U ＝{}1，2，3，4，5，集合M ＝{}1，4，N ＝{}1，3，5，则N ∩()∁U M ＝( )A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5}解析：∁U M ＝{}2，3，5，N ＝{}1，3，5，则N ∩()∁U M ＝{}1，3，5∩{}2，3，5＝{}3，5.答案：C 5．设集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是2的倍数}，则M ∩N ＝( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8}解析：因为N ＝{x |x 是2的倍数}＝{…，0,2,4,6，8，…}，故M ∩N ＝{}2，4，8，选C.答案：C6．设集合M ＝{x |0＜x ＜1}，N ＝{x |－2＜x ＜2}，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ∩N ＝M C ．M ∪N ＝M D ．M ∪N ＝R解析：画数轴表示集合：∴M ∩N ＝M . 答案：B►巩固提高7．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是( )A ．1个B ．3个C ．4个D ．8个解析：A ＝{1,2}，A ∪B ＝{1,2,3}，则集合B 中必有元素3，即此题可转化为求集合A ＝{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有22＝4个，故选择答案C.答案：C8．下列各式中，正确的是( ) A ．2⊆{x |x ≤2}B ．{x |y ＝x ＋1}＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}C ．{x |x ＝4k ±1，k ∈Z}≠{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}D ．{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z}＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z}答案：D9．已知A ＝{2,5}，B ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，A ∪B ＝A ，A ∩B ＝{5}，求p 、q 的值．分析：由A ∪B ＝A 知B ⊆A .又A ∩B ＝{5}，可判断出B 中的元素，解出p 、q .解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 又A ∩B ＝{5}，且A ＝{2,5}， ∴5∈B ，且2∈/B ，∴B ＝{5}．即⎩⎪⎨⎪⎧ 25＋5p ＋q ＝0，p 2－4q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－10，q ＝25.10．设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值．解析：∵∁U A ＝{5}，∴5∈U ，且5∉A . ∴a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2，或a ＝－4. 当a ＝2时，|2a －1|＝3≠5，这时A ＝{3,2}，U ＝{2,3,5}．满足∁U A ＝{5}适合题意，∴a ＝2.当a ＝－4时，|2a －1|＝9，这时A ＝{9,2}，U ＝{2,3,5}，A U . ∴a ＝－4不合题意，舍去．综上可知：a ＝2.1．求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．2．集合并、交、补运算有下列运算特征：(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(2)A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(3)A∩B⊆(A∪B)；(3)A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B.1.1.4 集合的综合问题。

【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版必修五配套课件：1.2-第2课时角度问题

图 1－2－17
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【解】 BAC＝120° ，由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB· AC· cos 120° ＝2 800， ∴BC＝20 7， AB BC 由正弦定理得，＝， sin∠ACB sin∠BAC 21 AB ∴sin∠ACB＝BCsin∠BAC＝ 7 2 7 由∠BAC＝120° ，知∠ACB 为锐角，则 cos∠ACB＝ 7 .
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2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于 90° 的水平角，如南偏西 60° ，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 60° .
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俯角、仰角与坡角
仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图 1－2－15，仰角为 ∠1 ，俯角为 ∠2 .
图 1－2－18
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【解】如图，设缉私艇 t 小时后在 D 处追上走私船，则 BD＝10t n mile，CD＝10 3t n mile. ∵∠BAC＝45° ＋75° ＝120° ， ∴在△ABC 中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB· AC· cos∠BAC ＝( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2×cos 120° ＝6， ∴BC＝ 6. AC· sin ∠BAC 2sin 120° 2 由正弦定理得 sin ∠ABC＝＝＝2， BC 6 ∴∠ABC＝45° ， ∴BC 为东西走向，∴∠CBD＝120° 。

2019秋金版学案高中数学必修5(人教A版)练习：2.3第2课时等差数列的前n项和(习题课)含解析

a6＋ a7＞ 0，
所以
所以
a1＋a13＜0，
a7＜ 0，
所以 a6＞0.又由 (1)知 d＜0.
所以数列前 6 项为正，从第 7 项起为负．
所以数列前 6 项和最大．
10．一个等差数列的前 10 项之和为 100，前 100 项之和为 10，求前 110 项之和．
n（ n－1）
解：法一设等差数列 {an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝ na1＋
1
＝
480.
所以 an＋ 1＝S 奇－ S 偶＝512－ 480＝ 32.
答案： C
2．等差数列 {an}的公差 d＝ 21且 S100＝145，则 a1＋ a3＋ a5＋…＋ a99 的值为 (
)
A．52.5
B． 72.5
C． 60
D． 85
答案： C
3．设
Sn 是等差数列
{an}的前
n
项和，若
1
099－ 109× 100
11 ＝－
110.
故此数列的前 110 项之和为－ 110.
法二数列 S10，S20－ S10， S30－S20， …， S100－ S90， S110－ S100 为等差数列，设公
10× 9 差为 d′，则 10S10＋ 2 × d′＝ S100＝ 10，
因为 S10＝100，代入上式得 d′＝－ 22，所以 S110－ S100＝ S10＋(11－ 1)×d′＝100＋ 10× (－22)＝－ 120，
解析：设等差数列
{an} 的首项为
a1，公差为
d，由
得 a5＋ a9＝－ 2，
2a1＋12d＝－ 2，
a1＝－ 13，

【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版必修五配套课件：3.2-第2课时均值不等式的应用

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教学教法分析
课
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第 2 课时均值不等式的应用
主
导
学
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易错易误辨析
当堂双基达标
课后知能检测
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●三维目标 1．知识与技能巩固均值不等式的简单应用． 2．过程与方法能灵活构造均值不等式求最值成立的三个条件． 3．情感、态度与价值观通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
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【错因分析】在 x＋y≥2 xy中等号成立的条件为 x＝y，在1x＋4y≥ 4xy中等号成立的条件为1x＝4y，即 y＝4x，要使两个等号同时成立，必有 x＝y＝0，这与题设矛盾．
【防范措施】在运用均值不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是一个题目中多次使用均值不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误．
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本例中，若把“8x＋1y＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求8x＋1y的最小值．
【解】 ∵x，y∈R＋， ∴8x＋1y＝(x＋2y)8x＋1y ＝8＋16xy＋xy＋2＝10＋16xy＋xy≥10＋2 16＝18.
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1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察、学会变形．

【金版学案】高中数学人教版必修五练习：第三章章末复习课(含答案解析)

第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m ＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B ＞0时，①Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；②Ax ＋By ＋C ＜0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点) (1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．专题一不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； (2)若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －a.2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ； (2)若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞bd.3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n 或n a ＞nb. 4．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b .[例1] 已知a ＞0，b ＞0，且a≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．解：因为⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b)＝a 2b －b ＋b2a －a ＝ a 2－b 2b ＋b 2－a 2a＝(a 2－b 2)⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，因为a ＞0，b ＞0，且a≠b ，所以(a －b)2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0，所以⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b)＞0，即a 2b ＋b2a ＞a ＋b.归纳升华不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． (4)分子分母有理化． (5)利用中间量．[变式训练] (1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x(8－3x)的最大值； (2)设函数f(x)＝x ＋2x ＋1，x ∈[x ＋∞)，求函数f(x)的最小值．解：(1)因为0＜x ＜2，所以0＜3x ＜6，8－3x ＞0，所以y ＝x(8－3x)＝13×3x ·(8－3x)≤13⎝⎛⎭⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，所以当x ＝43时，y ＝x(8－3x)有最大值为163.(2)f(x)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，因为x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0，所以x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f(x)取最小值．此时f(x)min ＝22－1.专题二一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解流程如下：一化——化二次项系数为正数．二判——判断对应方程的根．三求——求对应方程的根．四画——画出对应函数的图象．五解集——根据图象写出不等式的解集． [例2] (1)解不等式：－1＜x 2＋2x －1≤2； (2)解不等式a （x －1）x －2＞1(a≠1)．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x(x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤ x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为a （x －1）x －2－1＞0，即(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0(*)， ①当a ＞1时， (*)式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0，而a －2a －1－2＝－a a －1＜0，所以a －2a －1＜2，此时x ＞2或x ＜a －2a －1.②当a ＜1时，(*)式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0，而2－a －2a －1＝a a －1，若0＜a ＜1，则a －2a －1＞2，此时2＜x ＜a －2a －1；若a ＝0，则(x －2)2＜0，此时无解；若a ＜0，则a －2a －1＜2，此时a －2a －1＜x ＜2.综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜a －2a －1；当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2.归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a(x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1＞x 2、x 1＝x 2，x 1＜x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练] 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1－a)＋f(1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：因为f(x)的定义域为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，所以⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a≠0，所以0＜a ＜2，①原不等式变形为f(1－a)＜－f(1－a 2)．由于f(x)为奇函数，有－f(1－a 2)＝f(a 2－1)，所以f(1－a)＜f(a 2－1)．又f(x)在(－1，1)上是减函数，所以1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1，所以a 的取值范围是(0，1)．专题三简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少. [例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A ，1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？解：(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤14.x ＋3y≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝⎛⎭⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品 245 t ，B 产品 225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15.归纳升华解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案．[变式训练] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB 中点M ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 答案：A专题四成立问题(恒成立、恰成立等)[例4] 若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a 的取值范围．解：设f(x)＝|x －4|＋|x －3|，依题意f(x)的最小值小于a.又f(x)＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x≤4)．故f(x)的最小值为1，所以a ＞0.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．归纳升华1．(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＞A 成立，则等价于在区间D 上的f(x)max＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＜B 成立，则等价于在区间D 上的f(x)min ＜B.2．(1)若不等式f(x)＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＞A 的解集为D ； (2)若不等式f(x)＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＜B 的解集为D. [变式训练] 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解：由y≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，所以Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，所以Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a≤－8或a≥0. 综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8，0}．。

高中数学必修5全册学案(整理含答案)

高中数学必修5全册学案（整理含答案）1.1.1 正弦定理(1)【学习目标】1．通过对直角三角形边角间数量关系的研究,发现正弦定理.2．能够利用向量方法证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类解三角形的简单问题. 【重点难点】1．重点:正弦定理的发现,证明及其简单应用. 2．难点:正弦定理的应用. 【学习过程】一、自主学习：任务1:在直角三角形中三角形的边与角之间有什么数量关系呢?__________________________________________________.任务2:在问题1中发现的关系式对一般的三角形是否成立呢? 正弦定理:_________________________. 二、合作探究归纳展示探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a ，AC=b ，AB=c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则sin sin a bA B=，同理可得sin sin c bC B=，从而sin sin a bA B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你推试导. 三、讨论交流点拨提升在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sin sin a bA B =sin c C =．（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c bC B =，sin a A =sin c C．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆==中，求和．四、学能展示课堂闯关知识拓展sin sin a b A B =2sin cR C ==，其中2R 为外接圆直径1. 在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是（）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（）. A. A B > B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，3:2:1sin :sin :sin =C B A ，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中， A 60=︒，asin sin sin a b cA B C ++++= ．五、学后反思 1. 正弦定理：sin sin a bA B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．【课后作业】1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．1.1.1 正弦定理(2)【学习目标】 1.正弦定理及其拓展.2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数.3.三角形面积公式. 【重点难点】重点:正弦定理的应用. 难点:正弦定理的应用. 【学习过程】一、自主学习：任务1: 正弦定理:_____ ______________ ____.任务2: 正弦定理的变形公式：_________________________.二、合作探究归纳展示问题 1.在ABC ∆中,已知040,28,20===A b a ,求B (精确到01)和c (保留两个有效数字)问题 2.如图课本2-7(1)所示,在ABC Rt ∆中,斜边AB 是ABC ∆外接圆的直径(设ABC Rt ∆外接圆的半径为R )因此R CcB b A a 2sin sin sin ===.这个结论对于任意三角形(课本图2-7(2),图2-7(3))是否成立?问题3.在ABC Rt ∆中,090=C ,则ABC ∆的面积ab S 21=.对于任意ABC ∆,已知b a ,及C ,则ABC ∆的面积C ab S sin 21=成立吗?三、讨论交流点拨提升例1.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知2=a ,3=b ,045=A ,求角B .小结:在ABC ∆中,已知b a ,和A 时求角B 的各种情况:(1)角A 为锐角: ①若A b a sin =,则一解. ②若b a A b <<sin ,则两解. ③若b a ≥,则一解(2)角A 为直角b a >,则一解. (3)角A 为钝角b a >,则一解.例2在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知2,32,300===b c A ,求ABC ∆的面积.四、学能展示课堂闯关知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．ABC ∆的面积C ab S sin 21==________=______________ 1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定 4. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状．五、学后反思小结:在ABC ∆中,已知b a ,和A 时求角B 的各种情况:（1）.角A 为锐角: ①若A b a sin =,则一解. ②若b a A b <<sin ,则两解. ③若b a ≥,则一解(2).角A 为直角b a >,则一解. (3).角A 为钝角b a >,则一解.ABC ∆的面积C ab S sin 21==________=______________【课后作业】1. 在∆ABC 中， a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．1.1.2 余弦定理(1)【学习目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．【重点难点】1．重点:余弦定理的证明及其应用. 2．难点:理解余弦定理的作用及其适用范围. 【学习过程】一、自主学习：问题:在三角形中,已知两角及一边,或已知两边和其中一边的对角,可以利用正弦定理求其他的边和角.那么,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边呢?已知三条边,又怎么求出它的三个角呢?余弦定理：2a =____________求角公式：=A cos ____________2b = ____________=B cos ____________2c =_____________ =C cos ____________二、合作探究归纳展示探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC = ，∴AC AC •=同理可得： 2222cos a b c bc A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？ca b C从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=，，．三、讨论交流点拨提升（1）若C=90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．例1. 在△ABC 中，已知a =b =，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cosC ＝910，则BC ＝_______．例2. 在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．四、学能展示课堂闯关知识拓展在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角；若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角．1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（）.2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60 B．75 C．120 D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A x<x＜5C． 2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222b ac ab+-=，则∠C等于五、学后反思1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边【课后作业】1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中， AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC⋅的值．1.1.2 余弦定理(2)【学习目标】1. 利用余弦定理求三角形的边长.2. 利用余弦定理的变形公式求三角形的内角. 【重点难点】灵活运用余弦定理求三角形边长和内角【学习过程】一、自主学习：任务1:余弦定理：2a =____________2b = ____________ 2c =_____________任务2:求角公式：=A cos ____________=B cos ____________ =C cos ____________二、合作探究归纳展示1. 已知在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°2. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定3. 在△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝4:5:6，则cosB ＝．4. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状三、讨论交流点拨提升例1. 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =,试判断该三角形的形状.分析：题目中有B A sin ,sin ，很容易想到________定理，之后再利用______定理建立关系.例 2. 在ABC ∆中，已知角C B A ,,所对的三边长分别为c b a ,,，且2=a ，41cos ,3==B c 。

【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版必修五配套课件：2.2.2-第1课时等差数列的前n项和

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【自主解答】
(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；
当 n≥2 时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则 an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5 ＝4n－5. 此时若 n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故 an＝4n－5.
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●重点难点重点：等差数列前 n 项和公式的推导和应用．难点：公式推导的思路．本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入．通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点．
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3．我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法．你能用这种方法推得等差数列{an}的前 n 项和 Sn 吗？
【提示】 Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an－1＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1 ＋2d)＋„＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]， Sn＝an＋an－1＋an－2＋„＋a2＋a1 ＝ an ＋ (an － d) ＋ (an － 2d) ＋ „ ＋ [an － (n － 2)d] ＋ [an － (n － 1)d]， na1＋an费/馈/赠
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【思路探究】 (1)各车辆行驶的时间是否构成等差数列？(2) 最后一辆车行驶的时间是这个数列的第几项？ (3)所有车行驶的总时间该如何计算？

2019秋金版学案高中数学必修5(人教A版)练习：2.5第2课时等差等比数列的综合应用含解析

A 级基础巩固一、选择题1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C2．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)．即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，解得S 20＝－20或S 20＝30，又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150. 答案：A3．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1，1，2，…，则数列{c n }的前10项和为( )A ．978B ．557C ．467D ．979解析：由题意可得a 1＝1，设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，所以q 2－2q ＝0，因为q ≠0，所以q ＝2，所以d ＝－1，所以a n ＝2n －1，b n ＝(n －1)(－1)＝1－n ，所以c n ＝2n －1＋1－n ，设数列c n 的前n 项和为S n ，所以S 10＝978. 答案：A4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )A ．12B ．10C ．8D ．6解析：设该等比数列的项数为2n ，依题意得S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1， S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝q ·S 奇．因为S 偶＝2S 奇，所以q ＝2.又a n ＋a n ＋1＝a 1q n －1＋a 1q n ＝2n －1＋2n ＝3×2n －1＝24，所以2n －1＝8＝23，所以n －1＝3，解得n ＝4，所以2n ＝8.答案：C5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n－1D.14(3n－1) 解析：因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，当n ≥2时，有a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，所以当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，所以a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．因此a 21＋a 22＋…＋a 2n＝4（1－9n）1－9＝12(9n －1)．答案：B 二、填空题6．数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为正奇数，2n －1，n 为正偶数，则它的前n 项和S n ＝________．解析：易知数列{a n }的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．(1)当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项有n －12项，所以S n ＝1－4n ＋121－4＋（n －1）×32＋n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－12·4＝2n ＋1－13＋n 2－n 2；(2)当n 为偶数时，奇数项、偶数项各有n2项，所以S n ＝1－4n 21－4＋n 2×3＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－12×4＝2n －13＋n 2＋n 2.答案：⎩⎨⎧2n ＋1－13＋n 2－n2，n 为奇数，2n －13＋n 2＋n2，n 为偶数 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝40，S 20＝120，则S 30＝________．解析：由等比数列的性质，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等比数列，所以S 30－S 20＝（S 20－S 10）2S 10＝（120－40）240＝160，所以S 30＝280. 答案：2808．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝a －3n ＋1，则a 的值为________．解析：若数列{a n }是等比数列，则它的前n 项和公式为S n ＝A －Aq n ，其中A ＝a 11－q ，而此数列S n ＝a －3×3n ，故a ＝3. 答案：3 三、解答题9．已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝a n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式b n . 解：(1)由题意，得2a 2＝a 1＋a 3－1，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－1，整理得2q ＝q 2. 又q ≠0，解得q ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)当n ＝1时，b 1＝a 1＝1；当n ≥2时，nb n ＝a n －a n －1＝2n －2，即b n ＝2n －2n，所以b n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －2n ，n ≥2.10．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3.所以{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，所以1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.所以{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…)． (2)设数列{c n }的前n 项和为S n . 因为c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n －1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×（1－3n ）1－3＝2×（n ＋1）n2－n ＋3n －12＝n 2＋3n－12. 即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n －12.B 级能力提升1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n （1＋n ）2.由题意知，N >100，令n （1＋n ）2＞100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×（1＋29）2＋5＝440.答案：A2．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．解析：因为{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，所以q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2，所以a n ＝12(－2)n －1，所以|a n |＝2n －2，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12（1－2n ）1－2＝2n－12.答案：2n －123．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1，又T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（2n－1）2－1－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2所以T n ＝3n ·2n ＋2.。

【金版学案】高中数学人教版必修五练习：模块综合评价(一)(含答案解析)

模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞b ，则下列正确的是( )A ．a 2＞ b 2B ．ac ＞ bcC ．ac 2＞ bc 2D ．a －c ＞ b －c解析：A 选项不正确，因为若a ＝0，b ＝－1，则不成立；B 选项不正确，c ≤0时不成立；C 选项不正确，c ＝0时不成立；D 选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案：D2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．30°解析：因为A ＝60°，a ＝43，b ＝42，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝bsin A a ＝42×3243＝22. 因为a ＞b ，所以A ＞B ，所以B ＝45°.答案：C3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，若a n ＝2 017，则n ＝( )A ．667B ．668C ．669D ．673解析：因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2.因为a n ＝2 017，所以n ＝673.答案：D4．若集合M ＝{x|x 2＞4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x ＋1＞0，则M∩N ＝( ) A ．{x|x ＜－2} B ．{x|2＜x ＜3}C ．{x|x ＜－2或x ＞3}D ．{x|x ＞3} 解析：由x 2＞4，得x ＜－2或x ＞2，所以M ＝{x|x 2＞4}＝{x|x ＜－2或x ＞2}．又3－x x ＋1＞0，得－1＜x ＜3，所以N ＝{x|－1＜x ＜3}；所以M∩N ＝{x|x ＜－2或x ＞2}∩{x|－1＜x ＜3}＝{x|2＜x ＜3}．答案：B5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( )A ．16B ．32C ．48D ．64解析：由等比数列的性质可得，a 1·a 9＝a 25＝16.因为a n ＞0，所以a 5＝4，所以a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D.答案：D6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若acos B ＝bcos A ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：因为a sin A ＝b sin B＝2R ，即a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，所以acos B ＝bcos A 变形得：sin Acos B ＝sin Bcos A ，整理得：sin Acos B －cos Asin B ＝sin(A －B)＝0.又A 和B 都为三角形的内角，所以A －B ＝0，即A ＝B ，则△ABC 为等腰三角形．答案：A7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≤2，y ≤3，x ＋y≥1，则S ＝2x ＋y －1的最大值为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：作出不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过图中点(2，3)时取得最大值6.答案：A8．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90解析：因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 24＝a 3a 7，即(a 1＋3d)2＝(a 1＋2d)(a 1＋6d)，整理得2a 1＋3d ＝0.①又因为S 8＝8a 1＋562d ＝32，整理得2a 1＋7d ＝8.②由①②联立，解得d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60，故选C. 答案：C9．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都有P n P n ＋1＝(1，2)，则{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝⎛⎭⎫n －43 B ．n ⎝⎛⎭⎫n －34 C ．n ⎝⎛⎭⎫n －23 D ．n ⎝⎛⎭⎫n －12 解析：因为P n P n ＋1＝(1，2)，(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)，a n ＋1－a n ＝2，公差为d ＝2.所以a 1＋2(a 1＋2)＝3，3a 1＋1＝0，a 1＝－13，所以S n ＝n ⎝⎛⎭⎫－13＋n （n －1）2·2 所以S n ＝n ⎝⎛⎭⎫n －43. 答案：A10．已知{a n }为等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P(3，a 2)，Q(4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14解析：S 5＝5a 1＋5×42d ＝55，所以d ＝－2. 所以a 2＝15－2＝13，a 4＝13－6＝9，所以P(3，13)，Q(4，9)，所以K PQ ＝9－134－3＝－4. 答案：C11．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6 解析：因为x ＋3y ＝5xy ，所以15y ＋35x＝1. 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y)·1＝(3x ＋4y)·⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．答案：C 12．已知向量a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z)，且a ⊥b.若x ，y 满足不等式|x|＋|y|≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[－2，3]C ．[－3，2]D ．[－3，3]解析：因为a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z)，且a ⊥b ，所以a·b ＝2(x ＋z)＋3(y －z)＝0，即2x ＋3y －z ＝0.又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，所以当2x ＋3y －z ＝0过点B(0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A(0，1)时，z max ＝3.所以z ∈[－3，3]．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝________．解析：由sin 2A ＝2sin Acos A ＞0，可知A 是锐角，所以sin A ＋cos A ＞0，又(sin A ＋cosA)2＝1＋sin 2A ＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 答案：15314．已知a ＜b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b|的最小值为________．解析：因为ab ＝50＞0，所以a 与b 同号，若二者均为正数，则|a ＋2b|≥22ab ＝20，只有a ＝2b 时等式成立，所以a ＝10，b ＝5(不合题意，舍去)．若二者均为负数，则－a ＞0，－b ＞0，|a ＋2b|＝－(a ＋2b)≥22ab ＝20，只有a ＝2b 时等式成立，所以a ＝－10，b ＝－5符合题意．所以最小值为 20.答案：2015．已知点A(4，1)，B(7，5)，C(0，4)，则△ABC 中的∠BAC 的大小是________．解析： AB →＝(3，4)，AC →＝(－4，3)，因为AB →·AC →＝3×(－4)＋4×3＝0，所以AB →⊥AC →，即∠BAC ＝90°.答案：90°16．在△ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三内角，a 、b 、c 是三内角对应的三边，已知b 2＋c 2－a 2＝bc ，sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则角B 的大小为________．解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc ⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.再由sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ⇒a 2＋b 2＝c 2，所以C ＝90°，所以B ＝30°.答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的公差d 不为零，首项a 1＝2且前n 项和为S n .(1)当S 9＝36时，在数列{a n }中找一项a m (m ∈N *)，使得a 3，a 9，a m 成为等比数列，求m 的值；(2)当a 3＝6时，若自然数n 1，n 2，…，n k ，…满足3＜n 1＜n 2＜…n k ＜…，并且a 1，a 3，an 1，…，an k ，…是等比数列，求n k .解：(1)数列{a n }的公差d≠0，a 1＝2，S 9＝36，所以36＝9×2＋12×9×8d ，所以d ＝12，所以a 3＝3，a 9＝6. 由a 3，a 9，a m 成等比数列，则a 29＝a 3·a m ，得a m ＝12，又12＝2＋(m －1)·12，所以m ＝21.(2)因为{a n }是等差数列，a 1＝2，a 3＝6，所以a n ＝2n.又a 1，a 3，an 1成等比数列，所以公比q ＝3.所以an k ＝a 1·q k ＋1＝2·3k ＋1. 又an k 是等差数列中的项，所以an k ＝2n k ，所以2n k ＝2·3k ＋1，所以n k ＝3k ＋1(k ∈N *)． 18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得：d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4a －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n.显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n[2＋（4n －2）]2＝2n 2. 令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41.综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题满分12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?解：(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －⎣⎡⎦⎤6x ＋x （x －1）2·2－50， (0＜x≤10，x ∈N)，即y ＝－x 2＋20x －50，(0＜x≤10，x ∈N)，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋52，而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出．所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y －＝1x [y ＋(25－x)]＝1x(－x 2＋19x －25)＝ 19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－2 x·25x ＝9，当且仅当x ＝5时取得等号．即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．20．(本小题满分12分)实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a ，b)对应的区域的面积；(2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．解：方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f(x)＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A(－3，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B(－2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C(－1，0)，所以在下图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．(1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12·|BC|·h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)． (2)b －2a －1的几何意义是点(a ，b)和点D(1，2)连线的斜率．因为k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1，由图可知k AD ＜b －2a －1＜k CD ，所以14＜b －2a －1＜1，即b －2a －1∈⎝⎛⎭⎫14，1. (3)因为(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b)与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a －1)2＋(b －2)2∈(8，17)．21．(本小题满分12分)已知x ，f （x ）2，3(x≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n ＞0)中，a 1＝3 ，此数列的前n 项的和S n (n ∈N *)对所有大于1的正整数n 都有S n ＝f(S n －1)．(1)求数列{a n }的第n ＋1项；(2)若b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n . 解：因为x ，f （x ）2，3(x≥0)成等差数列，所以f （x ）2×2＝x ＋ 3. 所以f(x)＝(x ＋3)2.因为S n ＝f(S n －1)(n≥2)，所以S n ＝f(S n －1)＝(S n －1＋3)2.所以S n ＝S n －1＋3，S n －S n －1＝ 3.所以{S n }是以3为公差的等差数列．因为a 1＝3，所以S 1＝a 1＝3. 所以S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n.所以S n ＝3n 2(n ∈N *)．所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3.(2)因为数列b n 是1a n ＋1，1a n 的等比中项，所以(b n )2＝1a n ＋1·1a n，所以b n ＝1a n ＋1a n ＝13（2n ＋1）·3（2n －1）＝ 118⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝118⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋ ⎝⎛⎭⎫13－15⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝ 118⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 9（2n ＋1）. 22．(本小题满分12分)规定：max(a ，b ，c)与min(a ，b ，c)分别表示a ，b ，c 中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，试证：(1)max(a ，b ，c )≥49f(1)； (2)min(a ，b ，c )≤14f(1)．证明：由题意知a ，b ，c ＞0，f(1)＝a ＋b ＋c ，Δ＝b 2－4ac≥0.(1)若b≥49f(1)，结论显然成立；下面证明当b ＜49f(1)时，结论也成立．记f(1)＝a ＋b ＋c ＝d ，由b 2－4ac≥0，可知ac≤b 24＜481d 2，而a ＋c ＝d －b ＞59d ，所以a 2＋481d 2≥a 2＋ac ＝a(a ＋c)＞59ad ，即⎝⎛⎭⎫a －19d ⎝⎛⎭⎫a －49d ＞0，解得a ＜19d 或a ＞49d.若a ＜19d ，则a ＋c ＞59d ，c ＞49d. 因此，必有a ＞49f(1)或b ＞49f(1)或c ＞49f(1)，于是max(a ，b ，c)＞49f(1)． (2)若a≤14f(1)，结论显然成立；下面证明当a ＞14f(1)时，结论也成立．因为b ＋c ＝d －a ＜34d 且b 2≥4ac ＞cd ，所以c ＋cd ＜c ＋b ＜34d ，整理为⎝⎛⎭⎫c ＋32d ⎝⎛⎭⎫c －12d ＜0，解得c ＜14d. 因此，必有a≤14f(1)或c ＜14f(1)，于是min(a ，b ，c )≤14f(1)．。

【金版案】高中数必修五(人教A版)：3.3.3 同步辅导与检测课件

的取值范围是( )
4x＋3y≤12.
则
x＋2y＋3 x＋1
A．[1,5] C．[2,10]
B．[2,6] D．[3,11]
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解析：x＋x＋2y＋1 3＝1＋2·yx＋＋11，令yx＋＋11＝k，
则k表示两点P(x，y)和A(－1，－1)连线的斜率．不等式组所表示的平面区域如图所示：
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基础梳理
1．用图解法求目标函数的最大最小值．
当x、y满足不等式组
|x－1|≤1 y≥0
时，目标函数t＝x＋y
的最大值是( D )
y≤x＋1
A．1
B．2
C．3
D．5
2．确定在某点取最优解的条件．
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B．(0,1] D．[1，＋∞)
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解析： xx－＞y0＋，1≤0，所表示的可行域如下图所示，
y 而 x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，过
点O与直线AB平行的直线l的斜率为1，
l绕点O逆时针转动必与AB相交，直线OB的倾角为90°，
得点 B 的坐标是：53，－23，因此，
zmin＝53＋3×－23＝－13.
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用线性规划解应用题
某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？