-学年高一上学期数学课件(北师大版必修一)第二章 函数2.1
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2.2.1函数概念课件-高一上学期数学北师大版
；
（3）当 a ≠ – 1 时，a + 1 ≠ 0，∴ f (a + 1) = a 1
1
.
a 1学习目标Fra bibliotek新课讲授
课堂总结
例 3 ：已知函数 y = f (x) 的定义域 [0，3]，求函数 y = f (3 + 2x) 的定义域. 解：令 u = 3 + 2x，那么 y = f (3 + 2x) 可以表示为 y = f (u)， ∵ y = f (x) 的定义域 [0，3]，∴ y = f (u) 的定义域也为[0，3]， 即 u = 3 + 2x∈[0，3]， ∴ 0 ≤ 3 + 2x ≤ 3 ⇒ 3 x 0
将 a 代入解析式，得： f (a) a 3 1 ；
a2
将 a – 1 代入解析式，得： f (a 1) a 1 3 1 a 2 1 .
a 1 2
a 1
方法小结：当 x = a 时，函数 f (x) 的函数值用 f (a) 表示.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1. 已知函数 f (x) = x 1 ，求： x
新课讲授
课堂总结
练一练 2. 已知函数 y = f (x) 的定义域是 [1，2]，求函数 y = f (x + 1) 的定义域．
解：∵ y = f (x) 的定义域是 [1，2]， ∴ 在 y = f (x + 1)中，x + 1∈ [1，2]， 即 1 ≤ x + 1 ≤ 2，解得 0 ≤ x ≤ 1， ∴ 函数 y = f (x + 1) 的定义域是 [0，1]．
（1） f (x) 的定义域；（2） f ( – 1)，f (2) 的值；（3）当 a ≠ – 1 时， f (a + 1) 的值.
北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-1《函数概念》课件PPT
(2)求g(f(2)),求f(g(x));
1
=4,求x.
(())
(3)若
1
1
解:(1)f(2)=1+2 = 3,g(2)=22+2=6.
1
1
19
1
1+()
(2)g(f(2))=g 3 = 3 2+2= 9 , f(g(x))=
(3)
1
=x2+3=4,即x2=1,得x=±1.
(())
1
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
变式训练
求函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
+ 的定义域.
2 + 3 ≥ 0,
3
解:要使函数有意义,需ቐ 2− > 0, 解得-2≤x<2,且x≠0,
≠ 0,
所以函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
3
+ 的定义域为 ቚ− 2 ≤ < 2,且 ≠ 0 .
+ 2 ≠ 0,
≠ −2,
即ቊ
解得x<0,且x≠-2.
||− ≠ 0,
|| ≠ ,
1
=4,求x.
(())
(3)若
1
1
解:(1)f(2)=1+2 = 3,g(2)=22+2=6.
1
1
19
1
1+()
(2)g(f(2))=g 3 = 3 2+2= 9 , f(g(x))=
(3)
1
=x2+3=4,即x2=1,得x=±1.
(())
1
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
变式训练
求函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
+ 的定义域.
2 + 3 ≥ 0,
3
解:要使函数有意义,需ቐ 2− > 0, 解得-2≤x<2,且x≠0,
≠ 0,
所以函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
3
+ 的定义域为 ቚ− 2 ≤ < 2,且 ≠ 0 .
+ 2 ≠ 0,
≠ −2,
即ቊ
解得x<0,且x≠-2.
||− ≠ 0,
|| ≠ ,
北师大数学必修一第二章函数课件
2
4
5
3
6
A f:首都
中 俄 美 日
B
北京 莫斯科 华盛顿 东京
（2）
A
B
f:求平方
1
－1
1
2
－243－3 Nhomakorabea9
1、回忆初中学过的几种函数及其图像
函数 一次函数
解析式 y=kx+b(k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
图像 经过点(0,b),( b ,0)
k 的一条直线. 经过点 (0,0) , (1, k)
例1 国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和 对应的邮资如表.
信函质量 (m)/g
0<m≤20
20<m≤40
40<m≤60
60<m≤80
80<m≤100
邮资(M)/ 分
80
160
240
320
400
画出图像,并写出函数的解析式.
解:邮资是信函质量的函数. 函数的解析式为:
图像为: M/分
80, m (0,20], M 126400,,mm((2400,,4600]],,
的一条直线.
反比例函数
y k (k 0) x
位于一三象限(k>0)或二 四象限(k<0)的双曲线
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
抛物线
2.试画出函数 y=x-1的图像.
你能进一步画出 y=x-1(0≤x≤2)的图像吗?
y
3 2 1
-1 0 1 2 3 x -1
y
3.已知一次函数的图像如图所示,
3t, 30,
t∈[5,10) 20 t∈[10,20) 15
高中数学北师大版必修1课件第二章函数_40
由于时间t每取一个值,路程s有唯一确定的值与之对应,所以路程
是时间的函数.
2.函数的概念
给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于集合A中
任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应,那么就
把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B,或y=f(x),x∈A.
此时,x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,集合{f(x)|x∈A}叫作
{x|x<a}
(-∞,a)
名师点拨无穷大“∞”是一个符号,不是一个具体的数.因此不能将
[1,+∞)写成[1,+∞].
【做一做3】 将下列集合用区间表示出来,并在数轴上表示区间.
(1){x|x≥1};(2){x|x<1或x≥2};(3){x|2≤x≤8,且x≠5}.
解:(1)[1,+∞);
(2)(-∞,1)∪[2,+∞);
方法二(换元法):令 u=-x2-2x+3,则 y= . 由u≥0 得 x∈[-3,1],
因为 u=-x2-2x+3 的图像的对称轴方程 x=-1 在[-3,1]内,
所以当 x=-1 时,umax=4,所以 0≤u≤4,故 0≤y≤2.
所以所求函数的值域为[0,2].
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四 易错辨析
∴y≥1,即函数 y= + 1 的值域为[1,+∞).
题型一
题型二
题型三
题型四
(3)函数的定义域为 R.
∵y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,
∴该函数的值域为[2,+∞).
(4)设 t= 2-1, 则x=
是时间的函数.
2.函数的概念
给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于集合A中
任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应,那么就
把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B,或y=f(x),x∈A.
此时,x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,集合{f(x)|x∈A}叫作
{x|x<a}
(-∞,a)
名师点拨无穷大“∞”是一个符号,不是一个具体的数.因此不能将
[1,+∞)写成[1,+∞].
【做一做3】 将下列集合用区间表示出来,并在数轴上表示区间.
(1){x|x≥1};(2){x|x<1或x≥2};(3){x|2≤x≤8,且x≠5}.
解:(1)[1,+∞);
(2)(-∞,1)∪[2,+∞);
方法二(换元法):令 u=-x2-2x+3,则 y= . 由u≥0 得 x∈[-3,1],
因为 u=-x2-2x+3 的图像的对称轴方程 x=-1 在[-3,1]内,
所以当 x=-1 时,umax=4,所以 0≤u≤4,故 0≤y≤2.
所以所求函数的值域为[0,2].
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四 易错辨析
∴y≥1,即函数 y= + 1 的值域为[1,+∞).
题型一
题型二
题型三
题型四
(3)函数的定义域为 R.
∵y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,
∴该函数的值域为[2,+∞).
(4)设 t= 2-1, 则x=
北师大版高中数学必修1第二章《函数的表示法》教学课件
已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式. 【错解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.
【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面的解法，似乎 是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那 么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数.但是f(x)＝x2－4的定义域不是 全体实数.
2.2 函数的表示法
1.两个函数相同是指它们的 定义域 相同，且 对应关系 完全一致.
2.在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的
f(x)与之对应.这可概述为： 存在性 和 唯一性 .
3. f (x)
2x 3
7x
的定义域为
3 2
,7
1.函数的表示法
列表法 用 表格 的形式表示两个变量之间 函数 关系的方法 图象法 用 图象 把两个变量间的 函数 关系表示出来的方法
一个函数的 对应关系 可以用自变量的 解析表达式 (简 解析法
称 解析式 )表示出来的方法
2.分段函数 在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着 不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.
母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关 系，此即为所求函数解析式.但在利用这种方法时要注意自变量的取值范围的 变化情况，否则就得不到正确的表达式.
(3)中解法称为待定系数法，我们只要清楚所求函数解析式的类型，便可设 出其函数解析式，只要想法确定其系数即可求出结果.
1.求下列函数的解析式：
－x＋2 (1)求 f(f(f(5)))的值； (2)若 f(a)＝－1，求 a 的值.
高中北师大版数学课件必修一 第2章-2.1函数概念
【思路探究】 两个变量中的一个变量发生变化时， 根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一 个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．
【自主解答】 (1)温度计示数随冷却时间的变化而变 化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为 对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之 对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；
给定两个非空 数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对 于集合A中 任何一个数x，在集合B中都存在唯一 确定的数f(x) 与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数， 记作f：A→B或y＝ f(x) ，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫 作函数的定义域，集合 {f(x)|x∈A} 叫作函数的值域．习惯 上我们称y是x的函数．
生活中的变量关系
【问题导思】
世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而 具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系． 1．某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依 赖关系？是函数关系吗？ 【提示】 没有依赖关系．不是函数关系．
2 ． 储油罐的储油量 Q 与油面宽度 W 的关系是否具有依赖关 系？是函数关系吗？
●教学建议 函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学， 函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育 阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反 比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了 它们的图像、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学 习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数 (Ⅱ)是函数学习的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶 段．第三阶段是选修系列的导数及其应用的学习，这是函 数学习的进一步深化和提高．
【提示】 具有依赖关系，但不是函数关系．
高中数学北师大版必修1第二章《函数》复习 PPT课件 图文
章末复习课
网络构建
核心归纳
知识点一 对函数的进一步认识
(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学 模型．它的三要素是定义域、值域和对应关 系．函数的值域是由定义域和对应关系所确 定的．
(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则， 表示函数的定义域和值域时，要写成集合的 形式，也可用区间表示．
(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法 和列表法．在解决问题时，根据不同的需要， 选择恰当的方法表示函数是很重要的．
3．幂函数的奇偶性
令 α＝pq(其中 p，q 互质，p，q∈N*，q>1)．
p
(1)若 q 为奇数，则 y＝xq 的奇偶性取决于 p 是奇数还是偶
p
p
数．当 p 是奇数时，y＝xq 是奇函数；当 p 是偶数时，y＝xq
是偶函数．
p
(2)若 q 为偶数，则 p 必是奇数，此时 y＝xq 既不是奇函数，
察前三个图像，由于在第一象限内，函数值随 x 的增大而减
小，则幂指数 α 应小于零．其中第一个函数图像关于原点对
称，第二个函数图像关于 y 轴对称，而第三个函数的定义域
1
为(0，＋∞)，所以第一个图像对应 y＝x－3 ，第二个图像对
2
3
应 y＝x－3 ，第三个图像对应 y＝x－2 .后四个图像都通过(0,0)
D．12，2，－2，－12
解析 考查幂函数y＝xα的指数α与图像的关 系．①α>0时，当x>1时，指数大的图像在上 方，当0<x<1时，指数大的图像在下方．② α<0时，当x>1时，指数大的图像在上方，当 0<x<1时，指数大的图像在下方．故无论指 数正负，当x>1时，指数大的图像在上方， 当0<x<1时，指数大的图像在下方．由图像 知C1，C2的指数为正，排除A，C，x>1时， C1在C2上方，所以C1的指数大于C2的指 数．故选B．
网络构建
核心归纳
知识点一 对函数的进一步认识
(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学 模型．它的三要素是定义域、值域和对应关 系．函数的值域是由定义域和对应关系所确 定的．
(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则， 表示函数的定义域和值域时，要写成集合的 形式，也可用区间表示．
(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法 和列表法．在解决问题时，根据不同的需要， 选择恰当的方法表示函数是很重要的．
3．幂函数的奇偶性
令 α＝pq(其中 p，q 互质，p，q∈N*，q>1)．
p
(1)若 q 为奇数，则 y＝xq 的奇偶性取决于 p 是奇数还是偶
p
p
数．当 p 是奇数时，y＝xq 是奇函数；当 p 是偶数时，y＝xq
是偶函数．
p
(2)若 q 为偶数，则 p 必是奇数，此时 y＝xq 既不是奇函数，
察前三个图像，由于在第一象限内，函数值随 x 的增大而减
小，则幂指数 α 应小于零．其中第一个函数图像关于原点对
称，第二个函数图像关于 y 轴对称，而第三个函数的定义域
1
为(0，＋∞)，所以第一个图像对应 y＝x－3 ，第二个图像对
2
3
应 y＝x－3 ，第三个图像对应 y＝x－2 .后四个图像都通过(0,0)
D．12，2，－2，－12
解析 考查幂函数y＝xα的指数α与图像的关 系．①α>0时，当x>1时，指数大的图像在上 方，当0<x<1时，指数大的图像在下方．② α<0时，当x>1时，指数大的图像在上方，当 0<x<1时，指数大的图像在下方．故无论指 数正负，当x>1时，指数大的图像在上方， 当0<x<1时，指数大的图像在下方．由图像 知C1，C2的指数为正，排除A，C，x>1时， C1在C2上方，所以C1的指数大于C2的指 数．故选B．
高中数学北师大版必修1课件第二章函数2
∴f(-x)=-f(x)=x+1,∴当x<0时,f(x)=-x-1.
反思利用函数的奇偶性求函数的解析式的关键是利用奇偶函数
的关系式f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),但要注意求哪个区间的解析式就设
这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x(另一个已知区间上的解析
式中的变量),通过适当推导,求得所求区间上的解析式.
答案:B
反思幂函数的定义要求比较严格,系数为1,底数是x,α∈R.形如
y=axα(a≠1)等的函数都不是幂函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 如果幂函数y=(m2-3m+3)xm-2的图像不过原点,求
m的值.
解:由幂函数的定义,得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,
又图像不过原点,所以m-2≤0,解得m≤2.
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[-2,2]上是
减少的,若f(1-m)+f(-m)<0,求实数m的取值范围.
解:∵f(x)在[-2,2]上为奇函数,
∴原不等式可化为f(1-m)<f(m).
又f(x)在区间[-2,2]上是减少的,
-1 ≤ ≤ 3,
而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质,是“局部”性质.
【做一做4】 下列表示具有奇偶性的函数图像可能是(
答案:B
)
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一 幂函数的定义及应用
1
【例1】 在函数y= ,y=2x2,y=x2+x中,幂函数的个数为(
反思利用函数的奇偶性求函数的解析式的关键是利用奇偶函数
的关系式f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),但要注意求哪个区间的解析式就设
这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x(另一个已知区间上的解析
式中的变量),通过适当推导,求得所求区间上的解析式.
答案:B
反思幂函数的定义要求比较严格,系数为1,底数是x,α∈R.形如
y=axα(a≠1)等的函数都不是幂函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 如果幂函数y=(m2-3m+3)xm-2的图像不过原点,求
m的值.
解:由幂函数的定义,得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,
又图像不过原点,所以m-2≤0,解得m≤2.
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[-2,2]上是
减少的,若f(1-m)+f(-m)<0,求实数m的取值范围.
解:∵f(x)在[-2,2]上为奇函数,
∴原不等式可化为f(1-m)<f(m).
又f(x)在区间[-2,2]上是减少的,
-1 ≤ ≤ 3,
而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质,是“局部”性质.
【做一做4】 下列表示具有奇偶性的函数图像可能是(
答案:B
)
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一 幂函数的定义及应用
1
【例1】 在函数y= ,y=2x2,y=x2+x中,幂函数的个数为(
-学年高一上学期数学课件(北师大版必修一)第二章 函数 2.2(一)
研一研· 问题探究、课堂更高效
小结
用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称
本 课 时 栏 目 开 关
为图像法．
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 5 一物体从静止开始下落，下落的距离 y(m)与下落时 间 x(s)之间近似地满足关系式 y＝4.9x2.这个关系式是否为 函数关系？为什么？
答 是函数关系，因为对任意一个物体下落时间 x，通过这
本 课 时 栏 目 开 关
填一填· 知识要点、记下疑难点
本 课 称为列表法． 时 图像 把两个变量间的函数关系表示出来的方法， 栏 2． 图像法： 用_____ 目 开 称为图像法． 关
表格 的形式表示两个变量之间函数关系的方法， 1． 列表法： 用______
解析表达式 3．解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的 ___________ 解析式 表示出来，这种方法称为解析法． (简称_________)
本 课 时 栏 目 开 关
答 能够找出．作直线 t＝t0，直线 t＝t0 与图像交点的纵坐标 就是相应时刻的气温．
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 4 么？
答
时刻 t0 与气温 θ 构成的关系是函数关系吗？为什
本 课 时 栏 目 开 关
是函数关系， 因为由时刻及气温构成的集合是两个数集，
并且对于每一个时刻都有唯一的气温与之对应，符合函数的 概念．
答 解析法、图像法、列表法．
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 2
估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策
的依据．从人口统计年鉴中可以查得我国从 1949 年至 1999 年人口数据资料如表所示． 表中的两组数据能构成函
数关系吗？为什么？ 本 课 时 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 栏 目 人口 开 关 数/百 542 603 672 705 807 909 975 1 035 1 107 1 177 1 246
北师大版高中数学课件必修第1册第二章 函数
解析
由函数的定义可知，函数的定义域和值域为非空的数集．
2.1 函数的概念
刷基础
2．已知函数 y＝f(x)，则函数图象与直线 x＝a 的交点( D )
A．有 1 个
B．有 2 个
C．有无数个
D．至多有一个
解析
根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量 x 都有唯一的函数值与之对应，故选 D.
2.1 函数的概念
A．(1，＋∞) C．(－2，1)∪(1，＋∞)
解析
B．(－2，＋∞) D．R
1 的定义域为( C ) x＋2
x－1≠0， x＋2≠0，
1 由已知得 x＋2≥0，解得 x>－2 且 x≠1，所以 f(x)的定义域为(－2，1)∪(1，＋∞)，故选 C.
2.1 函数的概念
刷基础
f（2x＋1）
5．[陕西西安长安一中 2022 高一期中]已知函数 y＝f(x)的定义域为[－2，3]，则函数 y＝
§1 生活中的变量关系
刷易错
解析
(1)阴影部分的面积为 S＝50＋80＋90＋70＋60＝350，阴影部分的面积表示汽车在这 5 个小时内行驶的总 路程为 350 km.由于对于时间 t 的每一个取值，都有唯一的面积的值与之对应，因此面积与时间构成函数关 系． (2)根据图象可得，s＝80(t－1)＋a＋50.
解析
水平线段表明小明离家的距离始终是 300 m，然后离家的最远距离达到 500 m，故选 B.
§1 生活中的变量关系
刷基础
8．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压，使之成为一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻 压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为( B )
解析
圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．
由函数的定义可知，函数的定义域和值域为非空的数集．
2.1 函数的概念
刷基础
2．已知函数 y＝f(x)，则函数图象与直线 x＝a 的交点( D )
A．有 1 个
B．有 2 个
C．有无数个
D．至多有一个
解析
根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量 x 都有唯一的函数值与之对应，故选 D.
2.1 函数的概念
A．(1，＋∞) C．(－2，1)∪(1，＋∞)
解析
B．(－2，＋∞) D．R
1 的定义域为( C ) x＋2
x－1≠0， x＋2≠0，
1 由已知得 x＋2≥0，解得 x>－2 且 x≠1，所以 f(x)的定义域为(－2，1)∪(1，＋∞)，故选 C.
2.1 函数的概念
刷基础
f（2x＋1）
5．[陕西西安长安一中 2022 高一期中]已知函数 y＝f(x)的定义域为[－2，3]，则函数 y＝
§1 生活中的变量关系
刷易错
解析
(1)阴影部分的面积为 S＝50＋80＋90＋70＋60＝350，阴影部分的面积表示汽车在这 5 个小时内行驶的总 路程为 350 km.由于对于时间 t 的每一个取值，都有唯一的面积的值与之对应，因此面积与时间构成函数关 系． (2)根据图象可得，s＝80(t－1)＋a＋50.
解析
水平线段表明小明离家的距离始终是 300 m，然后离家的最远距离达到 500 m，故选 B.
§1 生活中的变量关系
刷基础
8．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压，使之成为一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻 压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为( B )
解析
圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．
2.2.1函数概念课件高一上学期数学北师大版
x
对于每一个x的取值,都有唯一确定的y值和它对应.
提出问题
1. 某班级学号为1～6的学生参加数学测试的成绩如下表所示, 你能说出该班学生数学成绩情况吗？
学号 1
2
3
4
5
6
成绩 80 75 79 80 98 80
学号：A={1,2,3,4,5,6} , 成绩：B={80,75,79,98}, 按照表格，存在对应, 对于数集A中的每一个学号， 在数集B中都有唯一确定的成绩和它对应.
非负的实数的集合; （4）若f (x) [g(x)]0,定义域为不等式g(x) 0的解集.
思考
对于函数
y=
1
x
,指出函数的定义域和值域.
y 1 的定义域是{x | x 0}; x
值域是{y | y 0};
其中y=
1
x
,
对于集合A（定义域）
中的每一个数 x ,在集合B中都有
唯一确定的数 y 和它对应.
个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应.
⑶值域是全体函数值组成的集合， 集合B不一定是值域，值域是集合B的子集.
⑷函数的概念强调了数与数之间的对应关系，
且对应关系指的是对应的结果，而不是对应
的过程.
y
1, 1,
x 0,与y x 是同一函数.
x0
x
函数的三要素 定义域、对应关系、值域.
（1）定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围. 如y x 的定义域为{x | x 0}. x 如涉及实际问题，函数的定义域还必须使得
把对应关系f 称为定义在集合A上的一个函数,记作 y f x, x A.
其中集合A称为函数的定义域，
x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值， 集合{ f (x)|x A}称为函数的值域. 思考：集合B与函数值域的关系？ { f (x)|x A} B
对于每一个x的取值,都有唯一确定的y值和它对应.
提出问题
1. 某班级学号为1～6的学生参加数学测试的成绩如下表所示, 你能说出该班学生数学成绩情况吗？
学号 1
2
3
4
5
6
成绩 80 75 79 80 98 80
学号：A={1,2,3,4,5,6} , 成绩：B={80,75,79,98}, 按照表格，存在对应, 对于数集A中的每一个学号， 在数集B中都有唯一确定的成绩和它对应.
非负的实数的集合; （4）若f (x) [g(x)]0,定义域为不等式g(x) 0的解集.
思考
对于函数
y=
1
x
,指出函数的定义域和值域.
y 1 的定义域是{x | x 0}; x
值域是{y | y 0};
其中y=
1
x
,
对于集合A（定义域）
中的每一个数 x ,在集合B中都有
唯一确定的数 y 和它对应.
个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应.
⑶值域是全体函数值组成的集合， 集合B不一定是值域，值域是集合B的子集.
⑷函数的概念强调了数与数之间的对应关系，
且对应关系指的是对应的结果，而不是对应
的过程.
y
1, 1,
x 0,与y x 是同一函数.
x0
x
函数的三要素 定义域、对应关系、值域.
（1）定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围. 如y x 的定义域为{x | x 0}. x 如涉及实际问题，函数的定义域还必须使得
把对应关系f 称为定义在集合A上的一个函数,记作 y f x, x A.
其中集合A称为函数的定义域，
x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值， 集合{ f (x)|x A}称为函数的值域. 思考：集合B与函数值域的关系？ { f (x)|x A} B
新教材高中数学第二章函数2函数 函数概念第1课时函数概念一课件北师大版必修第一册
域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y＝f(x)的图象的是
()
C
[分析] (1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在 集合B中有唯一元素与之对应进行判断．
(2)当对应关系用图象表示时,怎样判断是否为函数关系．
[解析] (1)对于 A 项，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任 x∈A， y 值不唯一，故不符合．对于 B 项，符合函数的定义．对于 C 项，2∈A， 但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于 D 项，－1∈A， 但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合．
(2)记法：y＝ f(x),x∈A．
(3)定义域：x的取值范围A；值域：与x的值对应的y值叫作函数值,即 集合_____{_f_(_x_)|_x∈__A__}．
思考1：(1)对于函数f：A→B,值域一定是集合B吗？为什么？ (2)对应关系f必须是一个解析式的形式吗？为什么？ (3)f(x)的含义是什么？ 提示：(1)不一定．值域是集合B的子集,即{f(x)|x∈A}⊆B． (2)不一定．可以是数表,也可以是图象． (3)集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数．
[解析] 要使函数 y＝ 7＋6x－x2有意义，应满足 7＋6x－x2≥0， ∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0， ∴－1≤x≤7， ∴函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是[－1，7]．
4．已知f(x)＝2－1 x，g(x)＝－x2＋2． (1)求 f(3)，g(3)的值； (2)求 f[g(2)]的值； (3)求 f[g(x)]的解析式． [解析] (1)f(3)＝2－1 3＝－1，g(3)＝－32＋2＝－7． (2)f[g(2)]＝2－1g(2)＝2－(－122＋2)＝41． (3)f[g(x)]＝2－1g(x)＝2＋x12－2＝x12．
新版高中数学北师大版必修1课件：第二章函数 2.2.2.1
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
目标导航
Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
(2)∵函数的定义域为(0,3], ∴这个函数的图像是抛物线y=-2x2+4x+1在(0,3]上的部分,如下图.
②描点:把表格中的点(x,f(x))一一在坐标系中描出来; ③连线:用光滑的线把这些点连接起来.
名师点拨1.画函数图像时要注意函数的定义域. 2.常见函数图像的画法:一次函数的图像,描出与坐标轴的交点, 连线即得;二次函数的图像,描出与x轴的交点、y轴的交点、顶点, 同时画出对称轴作参照,然后用平滑的曲线连接.
【例 5】
已知函数
f(x)=
������2 ������2-9
,
������
������
= ������ − 3, ℎ ������
= ������3+������3,
则������(������)������(������) + ℎ(������) =
.
错解:∵函数
f(x)=
������2 ������2-9
目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
正解: 由
������2-9 ≠ 0, ������ + 3 ≠ 0,
得x≠±3,
又函数
f(x)=
������2 ������2-9
,
������(������)
高中数学北师大版必修一《2.1 函数的概念》课件
2023/9/15
3
1 1234
149 112233
123456 123
单击A此乘处2编B 辑母版A标平题方B样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
－
• 三级
• 四级
• 五级
－
A求倒数B
－
2023/9/15
(1)
(2)
(3) 4
单击此处给编定辑两母个版非标空题数样集式A和B,如果按
• 单击此照处某编辑个母对版文应本关样系式 f ,对于A中的任何一
• 二•级个三级数x, 在集合B中都存在唯独肯定的
数•
四级
f• (五x级)
与之对应,
那么就把这个对应
f 叫做从A到B的一个函数.
通常记作: f:A→B 或 y= f (x) x∈A.
其中,x叫做自变量, y 叫做函数值.
2023/9/15
5
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处习编惯辑母上版文我本们样式仍称y是x的函数
2023/9/15
114
单击此处编辑母版标题样式
2.求下列函数的值域
• 单击此处编辑母(版1)文y 本 样2x式1, x {1,2,3,4,5} • 二级 • 三级 • 四级 (2)y x 1 • 五级
(3)y x2 4x 6, x R
(4)y x2 4x 6, x [1,5)
2023/9/15
• 二级
• 三级1.用集合的观点描写函数的定义 • 四级 2•.函五级数定义域、值域的概念
3.区间的表示
2023/9/15
117
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
P • 二级 • 三级
北师大版2017高中数学(必修一)第2章 2.1函数概念PPT课件
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫_______ 自变量 ，_______ 集合A 叫作函数y＝
f(x)的定义域． 在函数y＝f(x)，x∈A中，集合__________ {f(x)|x∈A} 叫作函数的值域.
2.区间的概念 (1)一般区间的表示(a，b为实数，且a<b)
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} 名称 闭区间 开区间 符号
『规律总结』 检验两个变量之间是否具有函数关系的 方法 (1)定义域和对应法则是否给出； (2)根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一 个值，是否都能确定唯一的函数值y.
〔跟踪练习 1〕 导学号 00814209 下列式子不能表示函数 y＝f(x)的是( A ) A．x＝y2＋1 C．x－2y＝6
[解析] y＝f(x)表示y是x的函数．
[－5,5] ， 值 域 为 3 ． 函 数 f(x) 的 图 像 如 图 所 示 ， 则 f(x) 的 定 义 域 为 _________ [－2,3] _________. 导学号 00814206
[解析] 由图像可以看出，函数y＝f(x)的自变量x的取值 范围是－5≤x≤5，因变量y的取值范围是－2≤y≤3，∴f(x)的定 义域为[－5,5]，值域为[－2,3]．
x－1 g(x)＝ 1－x
x≥1 x<1；
(4)f(n)＝2n－1 与 g(n)＝2n＋1(n∈Z)； (5)f(x)＝x2－2x 与 g(t)＝t2－2t.
[思路分析] 对于根式、分式、绝对值式，要先化简再 判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立．当两个 函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同 一函数．
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本 课 时 栏 目 开 关
2.1 函数概念
【学习要求】 1．通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量与变量之间的相互 关系；
本 2．知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系； 课 时 3．了解两变量之间有函数关系具备的条件； 栏 目 4．理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，会求某些函数的定 开 义域． 关
本 课 时 栏 目 开 关
问题 1 在“导引 2”的变量中哪些变量之间存在着依赖关系？
答 储油量 v 与油面高度 h 存在着依赖关系，储油量 v 与油面宽 度 w 也存在着依赖关系．
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 2
在“导引 2”的变量间依赖关系中哪些是函数关
系？哪些不是函数关系？为什么？
答 储油量 v 与油面高度 h 之间的关系是函数关系， 因为对于 油面高度 h 的每一个取值，都有唯一的储油量 v 与之对应，所 以是函数关系；储油量 v 与油面宽度 w 的关系不是函数关系， 因为对于油面宽度 w 的一个值可以有两种油面高度和它对应， 于是可以有两种储油量 v 与它对应，所以不是函数关系．
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 2 像吗？
答
你能利用表中的数据画出总里程关于年份的函数图
本 课 时 栏 目 开 关
问题 3
高速公路上我们还会联想到行驶的汽车，自然会想
到时间与路程、速度之间的函数关系，除此之外还有什么 变量是函数关系？
答 汽车的速度与耗油量也是时间的函数．
研一研· 问题探究、课堂更高效
小结 并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．
本 课 时 栏 目 开 关
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 3
日期与星期之间存在怎样的依赖关系？这种依赖关
系是函数关系吗？如果是，指出自变量和因变量．
答 是函数关系；自变量是日期，因变量是星期．
本 课 时 栏 目 开 关
总里程 2 141 3 422 4 771 8 733 11 605 16 314 19 453
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 1
答
表格里有几个变量？谁随着谁的变化而变化？谁是
本 课 时 栏 目 பைடு நூலகம் 关
因变量谁是自变量？它们之间的关系是什么关系？
有两种类型的数据：年份和总里程；总里程数随着年份 的变化而变化，量程数可以看成是因变量，年份看成自变量， 从而它们的关系是函数关系．
填一填· 知识要点、记下疑难点
3．区间的概念：设 a， b 是两个实数，而且 a<b，我们规定：
闭区间 ，记作[a，b]；(2){x|a<x<b}叫作 (1){x|a≤x≤b}叫作 _________
_________ 开区间 ，记作(a，b)；(3){x|a≤x<b}叫作______________ 左闭右开区间 ，
本 课 时 栏 目 开 关
研一研· 问题探究、课堂更高效
探究点一 导引 1
高速公路上的函数关系
我国自 1988 年开始建设高速公路， 全国高速公路通车总里
程，于 1998 年底，位居世界第八；1999 年底，位居世界第四； 2000 年底，位居世界第三；2001 年底，超过了加拿大，跃居世界 第二位(如表)． 表 年份 总里程 年份 1988～2001 年全国高速公路总里程单位：km 1988 147 1995 1989 271 1996 1990 522 1997 1991 574 1998 1992 652 1999 1993 1 145 2000 1994 1 603 2001
问题 4
从以上里程与年份之间函数关系的呈现形式上看，
本 课 时 栏 目 开 关
两个变量的函数关系可以用哪些方法表示？
答 可以用列表法，图像法．
研一研· 问题探究、课堂更高效
导引 2 如图是某高速公路加油站的图片， 加油站常用圆柱体储 油罐储存汽油．储油罐的长度 d、截面半径 r 是常量；油面高 度 h、油面宽度 w、储油量 v 是变量．
【学法指导】 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学 模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应 关系在刻画函数概念中的作用，感受学习函数的必要性及重要性.
填一填· 知识要点、记下疑难点
1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关
本 课 时 才称它们之间有函数关系． 栏 目 2．函数的概念：给定两个_________ 非空数集 A 和 B，如果按照某个对 开 关 应关系 f，对于集合 A 中任何一个数 x，在集合 B 中都存在
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题情境：初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然 这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质．对 于 y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它， 就不好解释， 显得牵强． 但如果用集合与对应的观点来解释， 就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函 数概念的再认识，就很有必要．
函数 关系， 系的两个变量都有______ 只有满足对于其中一个变量 唯一确定 的值与之对应时， 的每一个值， 另一个变量都有___________
唯一确定 的数 f(x)与之对应，那么就把___________ 对应关系f 叫作 __________ y＝f(x)，x∈A 定义在集合 A 上的函数， 记作 f： A→B， 或_______________. 定义域 ，集合 此时，x 叫作自变量，集合 A 叫作函数的_________ {f(x)|x∈A} 叫作函数的值域． ____________ 习惯上我们称 y 是 x 的函数．
本 课 时 栏 目 开 关
左开右闭区间 记作[a， b)； (4){ x| a < x≤b} 叫作_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 记作(a， b]． 实 (－∞，＋∞) ， 数集 R 可用区间表示为____________ 把满足 x≥a， x>a， x≤b， [a，＋∞)，(a，＋∞)， x<b 的实数 x 的集合分别表示为____________________ (－∞，b]，(－∞，b) ____________________.
2.1 函数概念
【学习要求】 1．通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量与变量之间的相互 关系；
本 2．知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系； 课 时 3．了解两变量之间有函数关系具备的条件； 栏 目 4．理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，会求某些函数的定 开 义域． 关
本 课 时 栏 目 开 关
问题 1 在“导引 2”的变量中哪些变量之间存在着依赖关系？
答 储油量 v 与油面高度 h 存在着依赖关系，储油量 v 与油面宽 度 w 也存在着依赖关系．
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问题 2
在“导引 2”的变量间依赖关系中哪些是函数关
系？哪些不是函数关系？为什么？
答 储油量 v 与油面高度 h 之间的关系是函数关系， 因为对于 油面高度 h 的每一个取值，都有唯一的储油量 v 与之对应，所 以是函数关系；储油量 v 与油面宽度 w 的关系不是函数关系， 因为对于油面宽度 w 的一个值可以有两种油面高度和它对应， 于是可以有两种储油量 v 与它对应，所以不是函数关系．
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问题 2 像吗？
答
你能利用表中的数据画出总里程关于年份的函数图
本 课 时 栏 目 开 关
问题 3
高速公路上我们还会联想到行驶的汽车，自然会想
到时间与路程、速度之间的函数关系，除此之外还有什么 变量是函数关系？
答 汽车的速度与耗油量也是时间的函数．
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小结 并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．
本 课 时 栏 目 开 关
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问题 3
日期与星期之间存在怎样的依赖关系？这种依赖关
系是函数关系吗？如果是，指出自变量和因变量．
答 是函数关系；自变量是日期，因变量是星期．
本 课 时 栏 目 开 关
总里程 2 141 3 422 4 771 8 733 11 605 16 314 19 453
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问题 1
答
表格里有几个变量？谁随着谁的变化而变化？谁是
本 课 时 栏 目 பைடு நூலகம் 关
因变量谁是自变量？它们之间的关系是什么关系？
有两种类型的数据：年份和总里程；总里程数随着年份 的变化而变化，量程数可以看成是因变量，年份看成自变量， 从而它们的关系是函数关系．
填一填· 知识要点、记下疑难点
3．区间的概念：设 a， b 是两个实数，而且 a<b，我们规定：
闭区间 ，记作[a，b]；(2){x|a<x<b}叫作 (1){x|a≤x≤b}叫作 _________
_________ 开区间 ，记作(a，b)；(3){x|a≤x<b}叫作______________ 左闭右开区间 ，
本 课 时 栏 目 开 关
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探究点一 导引 1
高速公路上的函数关系
我国自 1988 年开始建设高速公路， 全国高速公路通车总里
程，于 1998 年底，位居世界第八；1999 年底，位居世界第四； 2000 年底，位居世界第三；2001 年底，超过了加拿大，跃居世界 第二位(如表)． 表 年份 总里程 年份 1988～2001 年全国高速公路总里程单位：km 1988 147 1995 1989 271 1996 1990 522 1997 1991 574 1998 1992 652 1999 1993 1 145 2000 1994 1 603 2001
问题 4
从以上里程与年份之间函数关系的呈现形式上看，
本 课 时 栏 目 开 关
两个变量的函数关系可以用哪些方法表示？
答 可以用列表法，图像法．
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导引 2 如图是某高速公路加油站的图片， 加油站常用圆柱体储 油罐储存汽油．储油罐的长度 d、截面半径 r 是常量；油面高 度 h、油面宽度 w、储油量 v 是变量．
【学法指导】 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学 模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应 关系在刻画函数概念中的作用，感受学习函数的必要性及重要性.
填一填· 知识要点、记下疑难点
1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关
本 课 时 才称它们之间有函数关系． 栏 目 2．函数的概念：给定两个_________ 非空数集 A 和 B，如果按照某个对 开 关 应关系 f，对于集合 A 中任何一个数 x，在集合 B 中都存在
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题情境：初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然 这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质．对 于 y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它， 就不好解释， 显得牵强． 但如果用集合与对应的观点来解释， 就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函 数概念的再认识，就很有必要．
函数 关系， 系的两个变量都有______ 只有满足对于其中一个变量 唯一确定 的值与之对应时， 的每一个值， 另一个变量都有___________
唯一确定 的数 f(x)与之对应，那么就把___________ 对应关系f 叫作 __________ y＝f(x)，x∈A 定义在集合 A 上的函数， 记作 f： A→B， 或_______________. 定义域 ，集合 此时，x 叫作自变量，集合 A 叫作函数的_________ {f(x)|x∈A} 叫作函数的值域． ____________ 习惯上我们称 y 是 x 的函数．
本 课 时 栏 目 开 关
左开右闭区间 记作[a， b)； (4){ x| a < x≤b} 叫作_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 记作(a， b]． 实 (－∞，＋∞) ， 数集 R 可用区间表示为____________ 把满足 x≥a， x>a， x≤b， [a，＋∞)，(a，＋∞)， x<b 的实数 x 的集合分别表示为____________________ (－∞，b]，(－∞，b) ____________________.