中考几何专题复习-路径最值系列-AP+nBP类加权线段和最值综述

中考专题复习初中几何五大最值模型(双线段最值,含参数最值,代数最值,单线段最值)

中考最值问题中考最值问题是中考当中的热门，同时也是难点，其有种考察方式，下面我来一一叙述。

一．最简单的双线段相加减最值（将军饮马）（1）在直线l上找一点p使得PA+PB最小异侧解：连接AB即可，两点之间线段最短（2）在直线l上找一点p使得PA+PB最小同侧解：过点B作关于l的对称点B’,连接AB'即可。

利用l垂直平分BB’，PB=PB’，故两点之间线段最短即可求解（3）在直线l上找一点p使得|PA-PB|最大同侧解：连接AB并延长即可，利用三角形三边关系，任意两边之差小于第三边(4)在直线l上找一点p使得|PA-PB|最大异侧解：同理，过点B作关于直线l的对称点B’，连接AB'并延长即可。

（5）在直线l上找一点p使得|PA-PB|最小解：作AB的垂直平分线交直线l于p点，由于PA=PB，所以最小值为0（6）在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小．解：作两次对称，两点之间，线段最短．（7）在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．解：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短．（8）在OA，OB上求作点M，N，(1)使PM＋MN最小．(2)使PN＋MN最小．解：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．题目：二：比较难的单线段最值问题1.垂线段最短2.三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三遍3.圆外一点到圆上距离的最值问题设圆外一点到圆心的距离为d，圆的半径为r最小值为：d-r最大值为：d+r4.圆中，弦是最大的直径题目：1.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF,(1)求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如限定P，Q分别在BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.解：当点Q与点C重合时，如图2，点E离A点最近，由①知，此时AE=1cm.当点P与点A重合时，如图3.点E离A点最远，此时，四边形ABQE是正方形.AE=AB=3cm∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.此题用到了极限的思想。

中考数学总复习——线段最值

线段最值线段最值问题是指在一定的条件下，求线段长度的最大值或最小值.求线段最值问题的基本方法有：1.轴对称模型，本讲主要涉及轴对称在四边形中的应用；2.线段运动问题.1、轴对称模型【练习1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．【练习2】如图，在锐角三角形ABC中，BC=,∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是___.【练习3】如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角△ACD 和△BCE,则DE 的最小值为________.M NA BCD【练习4】如图，当四边形PABN的周长最小时，a=_______.【练习5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为_________.2、线段运动问题【练习1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（）A ．222B ．52C ．62D ．6【练习2】已知平行四边形ABCD 中，AC=10，BD=8，则AD 的取值范围是__________.【练习3】如图，将两张长为8cm,宽为2cm的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时菱形的周长有最小值8cm,那么菱形周长的最大值是___________cm.【练习4】如图，∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1,运动过程中，点D到点O的最大距离为( )AD.152MNOACD【练习5】如图，C为线段上BD一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC、EC, 已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时, AC+CE的值最小？(3)根据(2)的最小值.。

2024年中考数学专题复习定值与最值问题

定值与最值问题1、平面几何最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

线段最值问题的解决通常方法：应用几何性质．①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．基本类型有：将军饮马、选址造桥、线段之差的最大值，隐圆最值，瓜豆原理，胡不归最值，阿氏圆等。

2、立体几何最值问题：展开平面图形，根据平面几何最值问题方法去做！3、代数最值问题：无非就是根据完全平方公式或者二次函数的知识去求解！例1．如图，A、B两个机离线l的距离分别是3米，5米，CD＝6米，若由l上一点分别向A，B连线，最短为()A．11米B．10米C．9米D．8米1．如图Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED、EB，则△BDE周长的最小值为()A．2 5 B．2 3 C．25＋2 D．23＋22．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB 的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为__ ．3．直线l1、l2交于点O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从点P到l2上一点Q，再回到点B，求作P、Q两点，使四边形APQB周长最小．4．A、B是位于河流两旁的两个村庄，要在这条宽度为d的河上建一条垂直的桥，使得从A村到B村的距离之和最短．试着画出桥应该建在何处？例2．如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到点D的最短距离是（）A．6 B．8 C．403D．2451．如图，点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（21-，21-）C ．（22，22-）D ．（22-，22-） 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （﹣4，0）、B （0，4），⊙O 的半径为1，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为_________．例3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点P 、M 、N 分别为对角线BD 及边BC ，CD 上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__ ．1．如图，∠ABC ＝45°，BC ＝42，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，M 、N 分别是BD 和BC 上的动点(M 与B ，D 两点不重合，N 与B ，C 两点不重合)，则CM ＋MN 的最小值为__ ．2．如图，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一定点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA ，OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值为__ ．例4．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于．1．如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A ．1(,0)2B ．(1,0)C ．3(,0)2D ．5(,0)22．点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP *OQ = ．例5．在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC =2．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是_________．1．如图, △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于E 、F ，则EF 的最小值为．2．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF =90°，则EF 的最小值是_____________．例6．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+1．如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A ．13cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm2．如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm ．第1题第2题例7．求二次三项式2x 2x +3的最小值．1．求代数式﹣2x 2+3x +5的最大值．例9．如果P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点且PE ⊥DB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则PE ＋PF ＝__ __．1．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定2．如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动．点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t =2秒时PQ =52．（1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E ,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F ,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值．1．如图，在正方形ABCD 中，G 是正方形内一点，AD =4，P 是BC 的中点，且BG =BP ，则DG +12GC 的最小值是__________．（提示：考虑用相似转化，系数需要化成相同）。

初中数学几何最值专题

初中数学几何最值专题初中数学中，几何最值问题是一个常见的专题。

以下是一些常见的几何最值问题的类型和解决方法：一、两点之间线段最短原理：两点之间线段最短。

应用：在解决几何最值问题时，常常需要利用这个原理来找到两个点之间的最短路径。

例如，在一个矩形中，从一个顶点到另一个顶点的最短路径是通过矩形的对角线。

二、三角形三边关系原理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用这个原理来判断三角形的形状和大小。

例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，第三边长为c，则c的取值范围是|a-b|<c<a+b。

当c取最小值时，三角形为直角三角形；当c取最大值时，三角形为等腰三角形。

三、利用对称性求最值原理：利用对称性可以简化问题，找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用对称性来找到最值。

例如，在一个圆内，从一个点到一个定直线的距离的最值可以通过作该点关于定直线的对称点来找到。

同样地，在一个矩形内，从一个点到一个定点的距离的最值也可以通过作该点关于矩形中心的对称点来找到。

四、利用旋转和平移求最值原理：利用旋转和平移可以改变图形的位置和方向，从而找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用旋转和平移来找到最值。

例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，夹角为θ，则可以通过旋转和平移将三角形转化为直角三角形，从而找到第三边长的最值。

五、利用相似性和全等性求最值原理：利用相似性和全等性可以将复杂问题转化为简单问题，从而找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用相似性和全等性来找到最值。

例如，在两个相似的三角形中，已知其中一个三角形的三边长分别为a、b、c，则可以通过相似性找到另一个三角形的三边长的最值。

同样地，在两个全等的图形中，可以通过全等性找到它们之间的最短距离或最大面积等。

中考考试数学几何最值专题

几何中的最值问题几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理 • 一般处理方法：常用定理：1两点之间，线段最短（已知两个定点时）2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）4、圆外一点P 与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P 最近的点即为P 到圆的最近 FA+PB 最小，需转化，使点在线异侧 |PA-P B| 最大，距离，离P最远的点即为P到圆的最远距离第6题图类型一线段和最小值1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 _______ cm.第1题图第2题图 2. 如图，点P 是/ AOB^ —定点，点MN 分别在边OAOB 上运动，若/ AOB 45°, 0P 3伍, 则厶PMN 周长的最小值为 ___ . ___3. 如图，正方形 ABCD 勺边长是4，/ DAC 勺平分线交DC 于点E ,若点P, Q 分别是AD 和AE 上的动点，贝U DQPQ 的最小值为 .5.如图，当四边形 PABN 勺周长最小时，a = __________ . 6. 在平面直角坐标系中，矩形 OACB 勺顶点0在坐标原点，顶点 A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3, O 酔4, D 为边OB 的中点.若E 、F 为边OA 上的两个动点，且 EF =2, 当四边形CDEF 勺周长最小时，则点 F 的坐标为 —.4. 第4题图如图，在菱形 ABCDK AB=2, 意一点，贝U PK +QK 的最小值为/ A =120°,点P 、Q K 分别为线段 BC CD BD 上的任第3题图第5题图变式加深：1、如图，正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动,在运动过程中，点B到原点0的最大距离为（）A.门」B.二JC. J .D. j2、如图，/ MON=90，矩形ABCD勺顶点A、B分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2, BC=1,运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______________3、如图，E、F是正方形ABCD勺边AD上的两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G,连接BE交AG与点H。

中考数学线段最值问题专题

中考数学线段最值问题专题
线段最值是几何考察的难点，对于几何技巧的运用简直是太完美了。

所以在中考命题中，最值问题可以说是屡见不鲜的。

一、线段的最值同题
常考问题：由动点、折叠、旋等产生的単线段最大值、最小值问题（线段和差的量値问题：“将军饮马问题”“胡不归一阿氏圆问题”）
常用方法：
•1.两点之间线段最短
•2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
•3.垂线段最短
•4.函数的增战性与最值
二、将军饮马
路径最短、线段最小、线段差最大、周长最小等一系列最值同题。

三、胡不归、阿氏圆
已知定点A,B,要求找一点P,使aPA+PB的住最小a为大于0且不为1的系数）点P在直线（或射线、线段）上时，一般为胡不归问题；点P在圆（或圆弧）上时，一般为阿氏圆问题。

线段最值问题专题方法

线段最值问题专题方法
线段最值问题？嘿，这可不是个小难题呢！那咱就来说说这线段最值问题的专题方法。

先讲讲步骤吧！你想想，就像在走迷宫一样，得有个方向。

第一步，确定动点轨迹，这可重要啦！要是不知道动点在哪瞎找，那可就像无头苍蝇一样，能找到最值才怪呢！第二步，根据不同的轨迹类型选择合适的方法。

如果是直线型轨迹，那就利用“垂线段最短”这个法宝；要是圆弧轨迹呢，那就得想到圆心和半径啦！
注意事项也不少呢！你可千万别小瞧了这些细节。

首先，一定要仔细分析题目条件，别漏看了任何一个关键信息。

其次，在计算的时候要认真仔细，一个小错误可能就会让你的结果谬以千里。

那这过程中的安全性和稳定性咋样呢？这么说吧，只要你按照正确的步骤来，就像走在平坦的大路上一样安全稳定。

可要是你乱来，那可就危险啦，说不定就会掉进陷阱里。

再说说应用场景和优势。

这线段最值问题在生活中的应用可多啦！比如在建筑设计中，要确定最短的布线路径；在物流运输中，要找到最短的运输路线。

优势嘛，那就是能帮你节省时间、成本，提高效率。

来个实际案例吧！比如说要在河边建一个水泵站，向两个村庄供水，问水泵站建在哪里才能使铺设的管道最短。

这不就是典型的线段最值问题嘛！通过分析，找到两个村庄关于河边的对称点，连接对称点和另一个村庄，与河边的交点就是水泵站的最佳位置。

这样一来，就可以大大节省铺设管道的成本。

咱这线段最值问题的专题方法就是这么厉害！只要你掌握了，就能在各种问题中如鱼得水。

赶紧去试试吧！。

中考专题复习之线段最值问题配套练习

中考复习之线段最值问题一.线段和最短基本原理：两点之间线段最短基本模型：PA+PB最短图形：两定点一定线，异侧原理：两点之间线段最短变式1：AP+BP最短.图形：两定点一定线，同侧方法：同侧变异侧（轴对称）口诀：动点在哪条线上动，哪条就是对称轴.变式2：CM+MN+NC最短CM+MN+ND+CD最短.图形特征：一或二定点两定线方法：做两次轴对称变式3：AM+MN+BN最短.图形：两动线一定线和最短，异侧方法：平移（平行四边形）变式4：AM+MN+BN最短.图形：两动线一定线和最短，同侧方法：先平移（平行四边形），再轴对称例1：如图3，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC 边上一点，求BE＋DE 的最小值．例2：如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2在BC、DE 上分别找一点M、N．求△AMN的周长最小值．例3：如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC上且CE＝1，长为2 的线段MN 在AC 上运动．求四边形BMNE周长最小值；例4：如图，正方形ABCD 的边长为2，M是BC中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，CD于点E，F，求EM+AF的最小值.例5：如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方形表面，从A出发，经过三个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，求AB长.二.单线段最短基本原理：垂线段最短基本模型：PA最短图形：动点在定线上动原理：点到直线的垂线段最短例6：如图，点A的坐标为（-1,0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，求点B 坐标例6：如图，已平行四边形OABC的顶点A,C分别在x=1和x=4上，O是坐标原点，求对角线OB长的最小值.例7：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC=2，O为AC 的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，求在点D的运动过程中，线段OE长的最小值.例8：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=2，以BC为直径的圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，求AP长的最小值.例9：如图，在等边△ABC中，AB=4，P是BC边上的动点，点P关于直线AB,AC的对称点分别为M,N，则线段MN长的取值范围QOA P 三.曲柄模型条件：如图，点P 是⊙O 外一个定点，点A 在⊙O 上运动.结论：当点A 运动到点C 的位置时， PA 的长最短.例10：在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，E 是射线CD 上的一个动点，把△BCE 沿BE 折叠，点C 的对应点为F ，求线段DF 长的最小值.例11：在正方形ABCD 中，AD=2，点E 从点D 出发向终点A运动，且始终保持DE=CF ，连接BE,AF 交于点P,求DP 长的最小值.例12：如图，在等腰Rt △ABC 中,∠BAC=90∘,AB=AC,BC=2,点D 是AC 边上一动点,连接BD,以AD 为直径的圆交BD 于点E,则线段CE 长度的最小值为多少？四.跟屁虫模型1.模型1：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是QOAPQOAP模型2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是模型3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是2.模型总结（为了便于区分动点P、Q，可称点P为主动点，点Q为从动点）．条件：（1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；（2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．（3）按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩变式1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是变式2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是例13：在边长为4的等边三角形ABC中，点M是高CH边上的一个动点，线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M运动过程中,求线段HN长度的最小值.例14：在平面直角坐标系中，已知点A （3,0），B是以点M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连接BO,设BO的中点为C,求线段AC长的最小值.例15：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=4，BC=3，D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在点D运动过程中，线段CM长的取值范围是五.综合训练：1.如图，在Rt△ABC中，AB ⊥BC,AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB= ∠PBC,求线段CP长的最小值.2. 如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1，5)和(4，0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，求C 的坐标.3.在平面直角坐标系中，已知A （0，1），B （3，-4），在x 轴上有一点P ，当PA PB 的值最大时，求点P 的坐标.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP ＋12BP 的最小值为( )5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，动点F 在边BC 上运动，连接AF ，过点C 作CD ⊥AF 于点D ，交AB 于点E ，则B 、D 两点之间距离的最小值为( )6. 如图，在等边△ABC 中，BF 是AC 边上中线，点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ADE ，连接EF ，当△AEF 周长最小时，∠CFE 的大小是( )7. 在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A(3，0)、B(33，0)、C(0，5)，点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD的长的最小值是()8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是()9. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边BC、CD的延长线上的动点，且CE＝DF，连接AE、BF，交于点G，连接DG，则DG的最小值为()10. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为()。

2020中考几何线段最值问题总结无答案

数学历史名题与中考数学命题（一）——线段最值问题总结【讲座提纲】应群主纪老师的邀请，进行这次的讲座，对于中考数学我其实是外行，因为我主要是教高中数学，初中数学我平时也会偶尔关注一下，对于特等老师们的执着、专业、无私，我是从心里佩服的，他们才是中考数学解题命题专家，他们的讲座给与我很大的启发，学到了很多。

但是我这个外行为什么还进行这次讲座呢？一是在群里学到了很多大神的妙招，我也应该为草根群出自己一份力，提供个人的一些浅薄的想法；二是通过这次讲座跟各位老师学习和交流，提高自己的解题水平；三是通过自己的一些想法，抛砖引玉，希望群里其他真正厉害的高手出来为群里老师们进行指导，形成草根群更加浓厚的学术交流氛围。

在此特别感谢群主和各位群友在草根群一直对我的指导和帮助，谢谢大家！数学历史名题是各文明古国灿烂文化的结晶，有的是数学大师的伟大数学思想的光辉杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。

我们通过数学名题，学习和欣赏数学大师们的别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论的基础上，启迪我们的思维、开阔我们探索问题的思路、提高解决问题的能力、丰富我们的解题经验。

数学文化现在越来越受到大家的重视，2017 年高考考纲正式加入数学文化的内容，中考数学试题中更是很多数学试题是根据数学名题改编或者简化或者直接引用而成，本讲座主要在于探索一些中考几何真题的文化价值和命题背景。

本讲座主要涉及的名题背景有“将军饮马问题”、“阿波罗尼斯圆与胡不归问题”将研究其解法和背景，结合中考真题进行讲解分析，期待引起大家对数学名题的关注和研究！线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面，这些问题有大家熟知的“将军饮马问题”及其引申，也有近几年非常热火的“胡不归问题”与“阿波罗尼斯圆问题”，很多老师对它们有所了解，但是却缺乏这方面的总结整理，甚至有“知其然不知其所以然”，因此很有必要对它们作一个梳理，这里我尽可能讲清楚这些问题的来龙去脉，历史渊源，归纳其解法，掌握其思想，对中考数学命题背景作一些浅显的探讨，由于本人水平有限，准备时间仓，可能整理得不够完整，甚至出现错误，望各位批评指正，感激不尽！一将军饮马问题：问题起源：亚历山大城有一位精通物理和数学的学者海伦，一天一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题，军官每天从军营出发先到河边饮马，然后再去河的同侧帐篷休息，应该怎么走最省时？海伦利用光学性质很快就得到了解答，我们知道光在同一种介质里面是沿直线传播的，也就是说是沿最短路径行进的，但是当光从一点射出后不是直线射向另一点，而是经过平面镜反射到另一点的时候，光依旧会沿最短的路径进行。

中考数学线段最值问题常见的解题方法及步骤.doc

中考数学线段最值问题常见的解题方法及
步骤
类型一、运用“两点之间线段最短”模型
类型二、运用“垂线段最短”模型
类型三、建立函数模型探究
运动问题中的一些量是有关联的，运动中总隐含有常量和变量，可以通过函数来捕捉运动中的各个量，建立函数模型来准确刻画量与量之间的关系．
“模型思想”新课程标准新增的核心概念，“模型思想”作为核心概念之一，第一次以“基本数学思想”的身份出现．这意味着“建立数学模型”这一意识和要求被明显强化，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容、考查紧密关联。

所以，我们要深刻体会模型思想，了解数学模型的“形成—建立—求解”全过程，在过程中体会和掌握数学中常用的、重要的基本模型．。

初中数学线段最值问题解题技巧

初中数学线段最值问题解题技巧【最新版2篇】目录（篇1）1.线段最值问题的基本概念和类型2.利用垂线段最短解决线段最值问题3.线段最值问题在生活中的应用4.解题技巧和方法总结正文（篇1）初中数学线段最值问题是数学学科中的一个重要内容，它涉及到解析几何、代数方程、数学建模等多个方面，而解决线段最值问题也是初中数学教学中的一个重要环节。

目录（篇2）1.线段最值问题的基本概念和分类2.垂线段最短的定理及证明3.垂线段最短定理在求线段最值问题中的应用4.求线段最值问题的其他解题技巧正文（篇2）初中数学线段最值问题解题技巧一、线段最值问题的基本概念和分类线段最值问题是初中数学中的一个重要题型，主要涉及求解线段的长度问题。

线段最值问题可以分为两类：一类是求线段的最大值，另一类是求线段的最小值。

在解决这类问题时，需要掌握一些基本的几何知识和数学技巧。

二、垂线段最短的定理及证明在解决线段最值问题时，经常会用到垂线段最短的定理。

这个定理的表述如下：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

为了证明这个定理，我们可以作点 P 关于直线 AB 的对称点 P"，并连接 CP"和 DP"。

然后，通过证明 CP=CP"，DP=DP"，我们可以得出 PP"是所有线段中最短的。

具体证明过程如下：作点 P 关于直线 AB 的对称点 P"，连接 CP"，DP"。

易知 CP=CP"，DP=DP"。

根据连点之间线段最短可得，PP"≤CP"，PP"≤DP"。

所以，PP"是所有线段中最短的。

三、垂线段最短定理在求线段最值问题中的应用1.求线段最值问题中的应用在求线段最值问题时，我们可以利用垂线段最短的定理来解决。

下面通过一个例子来说明：如图，ABC 是等边三角形，边长为 6，点 E 是对称轴 AD 上一点，将点 E 绕点 C 逆时针旋转 60 得到点 F。

数学人教版八年级上册中考几何复习专题——线段最值问题

N M E B C
（4）在BD上找一点M，使AM+BM+CM最小，求出最小值.
AHale Waihona Puke DBC• 如图，在正方形ABCD中，AB=4 （1）P为平面内一点，BP=2，求AP的最大值和最小值。
A D
B
C
（2）P为正方形内一点， ∠ BAP= ∠ CBP，求DP的最小值。
A D
P B C
（3）M为AB中点，N为BC上一动点，将△ BMN 沿MN翻折，P为点B的对应点，求DP的最小值。
中考几何复习专题 ——线段最值问题
陈颖
“线段和”最小值基本模型
B
A
(1)A、B为直线同侧两定点，在直线上找一点P，使PA+PB 最小。
B
A P
三角形两边之和大于第三边
B'
“线段差”最大值基本模型
B
A
(2)A、B为直线同侧两定点，在直线上找一点P，使 │PA—PB │最大。
B
A
三角形两边之差小于第三边
A D
M
P
B
N
C
造桥选址问题
• A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路程最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
B
“费马点”练习
•
小
结
线段之和（差）的问题往往是借助图形变换将各条线段串联起来，在特殊的情况——共线时取得最值。
P
• 如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E为AB 上一点，BE=1 （1）在BD上找一点M，使EM+AM最小，求出最小值.
A D
E B C

几何中的最值问题：中考数学最短路径与最大面积

几何中的最值问题：中考数学最短路径与最大面积在几何学中，最值问题是重要的一类问题，其中最短路径和最大面积问题在中考数学中较为常见。

通过研究这些问题，我们可以更好地理解数学中的优化问题和几何学中的应用。

一、最短路径问题在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以用勾股定理求解，但是，如果我们要从一个点出发，通过多个点，最终到达另一个点，该如何求解最短路径呢？这就需要用到最短路径问题中的“迪杰斯特拉算法”。

迪杰斯特拉算法是求解单源最短路径的有效算法，它的基本思想是：在图中选定一个源点，然后考虑从该点出发到其他各点的最短路径。

将所有点分成两部分：已确定最短路径的点集合S和未确定最短路径的点集合V-S。

从已确定集合S到未确定集合V-S的边中选择一条权值最小的边，加入到已确定的集合中。

例如，我们要从点A到点D，并且需要通过点B和点C，求解它们之间的最短路径。

首先，我们从起点A开始，标记距离该点的距离为0，其他点的距离为无穷大。

然后，我们选择距离起点最近的点B，并将从A到B的距离标记为4。

接着，我们计算通过点B是否可以到达点C和点D，并分别标记其距离为9和8。

此时，已确定的集合S中包含了点A和点B，未确定集合V-S中包含了点C和点D。

我们再从V-S中找到距离两点最短的边，加入到S中，继续更新可达点的距离，直到所有点的距离都被确定为止。

二、最大面积问题最大面积问题是求解一个给定形状的图形中的最大面积。

在几何学中，一个图形的面积通常可以表示为底边长度和高的函数，因此，我们只需要求解函数的最大值，即可找到最大面积。

例如，当我们要求解一个三角形的最大面积时，应该如何做呢？我们可以利用三角形面积公式S=1/2×底边长度×高，将高看做三角形底边的函数，例如，高为h时，底边长度为a。

然后，我们对该函数求导，令导数为0，即可得到该函数的最大值。

最后，将该最大值代入原函数中，即可求出最大面积。

类似地，我们可以求解其他图形的最大面积，例如长方形、正方形和圆形。

初中数学几何最值终极大招，助你破解加权线段最值之谜

初中数学几何最值终极大招，助你破解加权线段最值之谜之前的文章对初中数学几何最值问题提供了五种解决方法，它们基本可以解决同学们遇到的最值问题。

但近几年，出现了另外一种形如mAP+nAB的最值问题，运用之前的方法，根本没办法解决，难倒了绝大多数的同学，我把它归纳为加权线段之和的最值。

我们先来看一下问题吧。

加权线段之和如图所示，A，B是两个定点，P点以某种轨迹运动，一个人以V1的速度走到P，然后以V2的速度走到B，求这个人所用的最短时间。

这个问题乍一看，好像是将军饮马模型，但将军饮马模型只是这个问题的一个特例。

当V1=V2，P点在一条直线上运动时，实际上还是求AP+PB的长度，它就是将军饮马模型，但当V1不等于V2时，即使P 点还在一条直线上运动，它成了求mAP+nBP的长度，使用将军饮马模型怎么也求不出来。

这个问题，因为加上了速度这一维度，使难度提高了许多，就好比牛顿经典力学遇上了相对论才能解决的问题。

在初中阶段，根据P点运动的轨迹，这个问题主要分为两类。

一个是P点在一条直线上运动，对于这种问题的解决，使用的是胡不归模型。

一个是P点在一个圆上运动，对于这种问题的解决，使用的是阿氏圆模型。

胡不归模型首先，我们来看一下胡不归模型。

有两个定点A和B，一个动点P在AC上运动，AP段的速度是V1，PB段的速度是V2，求走完AP+BP的最短时间。

它的解决思路是把两个速度作统一化处理，就是把以一个速度V1所完成的路程S1，转化成以另一个速度V2以相同速度所完成的路程S3，这样以V2速度完成的路程S3就可以和以V2速度完成的路程S3进行合并了。

说的有点绕，具体到图中就很明白了，在图中，就是把V1完成的路程AP'转化成V2完成的路程P'D'，这样它们的速度一样，所以去求P'B+P'D'的最小值。

根据垂线段最短，过B作垂线交于P，就是所求的点。

下面我们来具体学习一下解题过程。