2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。

2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。

在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求.二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a解析：－b <1x <a 等价于－b <1x <0或0<1x <a 等价于x <1b －或x >1a答案：D点评：注意不等式ba b a 11>⇔<和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。

例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，－x ≥ax ，∴a ≥－1，综上得11a -≤≤，即实数a 的取值范围是a ≤1，选B 。

2． 有关不等式的解法此类问题在高考中选择题，填空题及解答题中均有出现，并且这几年考查也为较为平凡， 要求掌握几种简单的不等式的解法，如分式不等式，高次不等式，无理不等式及含有绝对值的不等式的解法，特别要注意含参数不等式，这类问题经常一集合结合在一起出现在解答题中。

例4．（xx 年北京卷）已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是解析：集合{}|1A x x a =-≤={x | a －1≤x ≤a +1}，{}2540B x x x =-+≥={x | x ≥4或x ≤1 }．又A B =∅I ，∴ 1411a a +<⎧⎨->⎩，解得2<a <3，实数a 的取值范围是(2，3)。

答案：(2，3)点评：本题将绝对不等式，一元二次不等式的解法与集合的知识结合起来考查，属中档题 例5．（xx 年湖北卷）设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x <<Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤解析：先解两个不等式得{}02P x x =<<，}{13Q x x =<<。

由P Q -定义选Ｂ 答案：Ｂ点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。

此处的新定义一般称为两个集合的差。

注意点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解{}2|log 1P x x =<时出错。

例6．（xx 年江西卷）已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值；（2）解不等式()18f x >+． 解析：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 点评：本题在分段函数的背景下考查不等式的解法，巧妙地将连续结合在一起，近几年来这类以分段函数为背景下的命题很多，逐步形成了热点问题，很值得重视3．有关不等式的证明不等式的证明非常活跃，它可以和很多知识如函数、数列、三角、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到相关的技能、技巧，应注意加强逻辑推理能力的训练。

例7．（xx 年天津卷）已知数列{}n x 满足121x x ==并且11,(n n n n x xx x λλ+-=为非零参数，2,3,4,...).n =（I ）若1x 、3x 、5x 成等比数列，求参数λ的值；（II ）设01λ<<，常数*k N ∈且3,k ≥证明 *1212...().1k k k n k kn x x x n N x x x λλ++++++<∈- （I ）解：由已知121,x x ==且36335244345213243,,.x x x x x xx x x x x x x x x λλλλλλ=⇒==⇒==⇒= 若1x 、3x 、5x 成等比数列，则2315,x x x =即26.λλ=而0,λ≠解得 1.λ=±（II ）证明：设1,n n n x a x +=由已知，数列{}n a 是以211xx =为首项、λ为公比的等比数列，故11,n n n x x λ-+=则 1112....n k n k n k n n n k n k nx x x x x x x x +++-++-+-=(3)2312.....k k kn n k n k n λλλλ-++-+--== 因此，对任意*,n N ∈1212...k k n knx x x x x x ++++++(3)(3)(3)2222...k k k k k k k k kn λλλ---+++=+++ (3)(3)222(1)(...).1k k k k k nk k knkkλλλλλλλλ---=+++=-当3k ≥且01λ<<时，(3)201,011,k k nk λλ-<≤<-<所以*1212...().1kk k n k kn x x x n N x x x λλ++++++<∈- 点评：本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n 项和公式、等差数列前n 项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力4．有关不等式的综合问题例8．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)解析 ①设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h hh a V (h ＞0) 得 2121)1(31=⋅=++=hh h h h h V 而 所以V ≤61，当且仅当h =h1即h =1时取等号故当h =1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米评注 本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值注意 在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0例9．（xx 年全国卷I ）设函数()x xf x e e -=- （Ⅰ）证明：()f x 的导数'()2f x ≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围。

解析：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，当且仅当0x =时，等号成立，故()2f x '≥． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln x =此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．点评：本题将导数、均值不等式的应用、恒成立问题的解法交汇在一起考查，要求要有较强的运用数学知识解决问题的能力。