第一章 函数极限和连续习题课

( Δx = x − x0 , Δy =
Δx → 0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) )
+ − ⇔ f ( x0 ) = f ( x0 ) = f ( x0 )
⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , 当 x − x0 < δ 时 ,
有 f ( x ) − f ( x0 ) < ε
2. 函数间断点
⎛ 1 ⎞ b ∴ lim ⎜ 3 3 − 1 − a − ⎟ = 0. x →∞ x⎠ ⎝ x
故 − 1 − a = 0 , 所以a = −11 − x3
b = lim( 3 1 − x 3 + x )
x →∞
= lim
1 (1 − x 3 )2 − x 3 1 − x 3 + x 2
x → x0
"ε −δ "
[α = f ( x ) − A为无穷小]
− + ⇔ f ( x0 ) = f ( x0 )= A
⇔ ∀ { xn
n→∞ → x0 } ( xn ≠ x0 ) , xn ⎯⎯⎯
有 lim f ( xn ) = A
n→∞
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的性质 ;无穷小的比较 ; 常用等价无穷小:
x →∞
证明：令 lim f ( x ) = A , ∀ε > 0 , ∃ X > 0 , 当 x > X 时，
x →∞
有 A − ε < f ( x) < A + ε .
因为 f ( x ) ∈ C [− X , X ] , 据有界性定理，∃ M 1 > 0，
使 f ( x ) ≤ M1 ,
x ∈ [− X , X ].
a a (1 − cos x ) = 提示：f (0 ) = lim 2 x → 0− 2 x
−
2 f (0+ ) = lim ln ( b + x ) = ln b + x→0
a = 1 = ln b. 2
1 2 1 − cos x ~ x 2
ex − b 4. 设函数 f ( x ) = 有无穷间断点x = 0, ( x − a )( x − 1)
思考与练习
1. 设 f ( x ) = e , f [ϕ ( x )] = 1 − x , 且ϕ ( x ) ≥ 0 , 求ϕ ( x )
x2
及其定义域 .
解： ∵ f ( x ) = e ,∴ f (ϕ ( x )) = e
x2
ϕ2 ( x)
.
∵e
ϕ2( x)
= 1 − x ⇒ ϕ ( x ) = ln(1 − x ) , x ∈ ( −∞ , 0]
x
4. 两个重要极限：
5. 求极限的基本方法：
极限准则;参考极限;等价代换;换元法
6. 判断极限不存在的方法 : 特殊序列
例6. 求下列极限：
(1) lim (sin x + 1 − sin x )
x →+∞
1− x (2) lim x →1 sin π x
2
⎛ 1+ x ⎞ (3) lim ⎜ ⎟ x →0 1 − x ⎝ ⎠
1 x
1 x − 4 x
故原式 = 1
3. 计算 lim (1 + 2 + 3 ) .
x x x →+∞
1 x
解：令 f ( x ) = (1 + 2 + 3 )
x x
1 x
= 3[ ( ) + ( ) + 1 ]
1 x 3 2 x 3
sin x ~ x ; e x − 1 ~ x; tan x ~ x; 1 2 1 − cos x ~ x ; 2 ln(1 + x ) ~ x;
arctan x ~ x; arcsin x ~ x;
a x − 1 ~ x ln a ; (1 + x ) μ − 1 ~ μ x;
sin x 1⎞ ⎛ lim = 1, lim ⎜ 1 + ⎟ = e x→0 x →∞ x x⎠ ⎝
1 1 u−1 令 = ,即 x = , 代入上式得 1− x 1− u u 1 u − 1 2( u − 1) 即 f ( 1 ) + f ( x − 1 ) = 2( x − 1) f( )+ f ( )= , 1− x x x 1− u u u
1 1 联立解得：f ( x ) = x + + − 1. x 1− x
⎧ 3x + 1 , x < 1 , 求 f [ f ( x )] . 例1 设函数 f ( x ) = ⎨ x≥1 ⎩ x,
解:
3 f ( x) + 1 , ⎧ f [ f ( x)] = ⎨ ⎩ f ( x) ,
f ( x) < 1 f ( x) ≥ 1
x<0 3(3 x + 1) + 1
⎧9 x + 4 , x < 0 ⎪ = ⎨3 x + 1 , 0 ≤ x < 1 ⎪x , x≥1 ⎩
x
2. 函数的特性
有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 f : D → f ( D) 为单射, 反函数为其逆映射 −1 f : f ( D) → D 4. 复合函数 给定函数链 f : D1 → f ( D1 ) g : D → g ( D) ⊂ D1 则复合函数为 f g : D → f [ g ( D) ] 5. 基本初等函数和初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数.
解： ∵ 1 1 2 f (sin x + + x −1 )= sin 2 sin x sin x 1 2 ) −3 = (sin x + sin x
∴
f ( x ) = x − 3.
2
二、 连续与间断
1. 函数连续的等价形式
x → x0
lim f ( x ) = f ( x0 ) ⇔ lim Δy = 0
(1 + x )
3 2
1 ⇒k= 6
练习
(1 + x )sin x 1. 求 f ( x ) = 的间断点并判断其类型。 x ( x + 1)( x − 1)
(1 + x )sin x 1 lim 解： = sin1. x → −1 x ( x + 1)( x − 1) 2
x = –1 为第一类可去间断点
x≥8 ⎧ x − 3, 2. 已知 f ( x ) = ⎨ ，求 f (5) . ⎩ f [ f ( x + 5)], x < 8
解：f (5) = f [ f (10)] = f (10 − 3) = f (7) = f [ f (12)]
= f (12 − 3) = f (9) = 6
1 3. 设 f (sin x + ) = csc 2 x − cos 2 x , 求 f ( x ) . sin x
1
∞
ln (1 + 12−xx ) ~
2x 1− x
=e
x → x0
x →0
x 2x lim ( cos ⋅ ) sin x 1− x
= e2
提示：若 lim u( x ) = 0 , lim v ( x ) = ∞ , 则有
x → x0
x → x0
lim [ 1 + u( x ) =e
x → x0
一、 函数
1. 函数的概念 定义: 设 D ⊂ R , 函数为特殊的映射:
f :D 定义域
f ( D) ⊂ R 值域
其中 f ( D) = { y y = f ( x) , x ∈ D} 图形: C = { ( x , y ) y = f ( x) , x ∈ D} ( 一般为曲线 )
o
D
y
y = f ( x)
x →∞ 3
=0
例8. 确定当x → 0时， x + x 为x的几阶无穷小.
3 2
解：设其为x的k阶无穷小
x2 + x lim =C ≠0 k x →0 x
3
2 x2 + x x + x 3 因为 lim = lim 3k k 0 x →0 x → x x 3
= lim x
3 x→0
1 −3k 2
有可去间断点x = 1, 求a , b.
解： ∵ x = 0为无穷间断点，故
( x − a )( x − 1) a ex − b = =0 lim = ∞ ⇒ lim x x→0 e −b 1− b x → 0 ( x − a )( x − 1) ⇒a =0,b≠1 ex − b ∵ x = 1为可去间断点， ∴ lim 存在. x →1 x ( x − 1)
− t ( t + 2) = lim t → 0 sin π ( t + 1)
t ( t + 2) = lim t → 0 sin π t
2 t ( t + 2) = . = lim t →0 π πt
⎛ 1+ x ⎞ (3) lim ⎜ ⎟ x →0 1 − x ⎝ ⎠
cot x
2 x cot x = lim(1 + ) x →0 1− x
1 x
解:
⎛ 2+e ⎛ 2 e − + e− sin x ⎞ sin x ⎞ = 1 lim ⎜ ⎟ = lim ⎜ − + ⎟ 4 + + ⎟ x →0 ⎜ e + 1 x →0 ⎜ ⎟ x x x + 1 e ⎝ ⎠ ⎝ ⎠