北京市海淀区教师进修实验学校高一数学第二学期期中数学试卷(含答案)
北京市海淀区教师进修附属实验学校2019~2020学年高一第二学期期中考试数学试题(原卷版)
帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。
高一数学期中试卷
一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
1.下列各角中，与 角终边相同的角是（）
A. B. C. D.
2.下列各式化简后的结果为 的是（）
A. B.
C. D.
3.若角 的终边经过点 ，且 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
4.设向量 ， ，则 夹角等于（）
A. B. C. D.
5. 的值等于（）
A. B. C. D.
6. ， ， 的大小关系是（）
A. B.
C. D.
7.如果先将函数 图象向左平移 个单位长度，再将所得图象向上平移 个单位长度，那么最后所得图象对应的函数解析式为（）
A. B.
C. D.
8.使 成立的 的一个变化区间是（）
A. B. C. D.
9.已知函数 的部分图象如图所示，那么函数 的解析式可以是（）
感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。
感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。
北京市海淀区2024届高三下学期期中练习(一模)数学试题(解析版)
海淀区2023—2024学年第二学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U A =ð（）A.(2,1)--B.[2,1]--C.(2,1){2}-- D.[2,1){2}-- 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，所以[2,1){2}U A =-- ð.故选：D2.若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是()A.1i --B.1i +C.1i -+D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z 即可求解结果．【详解】解：复数z 满足i 1i z =+，所以()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--．所以z 的共轭复数是1i +．故选：B ．3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求出1a 和d 的关系，代入0m S =计算可得m 的值.【详解】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去）故选：B.4.已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】将||2a b +=两边同时平方，将条件带入计算即可.【详解】由已知||2,2a b ==，所以()22224222cos ,44a b a b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：C.5.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为（）A.2214x y -= B.2212x y -= C.2212y x -= D.2214y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a b =，c =，再结合222+=a b c ，求出,a b ，即可求出结果.【详解】由题知c =，根据题意，由双曲线的定义知2a b =，又222+=a b c ，所以255a =，得到221,4a b ==，所以双曲线的方程为2214y x -=，故选：D.6.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A .7.已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B 【解析】【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.8.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（）A.sin cos tan ααα-≤B.sin cos tan ααα-≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>【答案】C 【解析】【分析】对A 、B ：举出反例即可得；对C 、D ：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin 0α<、cos 0α<，tan 0α>，对A ：当sin 0α-→时，cos 1α→-，则sin cos 1αα-→，tan 0α→，此时sin cos tan ααα->，故A 错误；对B ：当5π4α=时，1sin cos sinc 5π5π5π0tan 44os 4αα-=-=<=，故B 错误；对C 、D ：22sin sin cos cos cos tan cos ααααααα⋅=⋅=⋅，由1cos 0α-<<，故()2cos 0,1α∈，则2cos tan tan ααα⋅<，即sin cos tan ααα⋅<，故C 正确，D 错误.故选：C.9.函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A.[0,2]B.[3,0][3,4)-C.(5,0][2,4)-D.(4,0][2,3)- 【答案】D 【解析】【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，112111221112A A A A OA ==….若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.【详解】由题意可知，114cm OA =，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在11OA 方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离依次为：1114,2,222482⨯⨯⨯ ，则31353842155722244+⨯++⨯=+>+=，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在11OA 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即1311432164316841+281142282331144++⎛⎫⎛⎫++++++≈+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，综合可得培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为8cm ，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在11OA 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知ln 2ab=，则22ln ln a b -=_______.【答案】4【解析】【分析】直接利于对数的运算性质求解.【详解】因为ln2ab=，所以22222ln ln ln ln 2ln 4a a a a b b b b ⎛⎫-==== ⎪⎝⎭.故答案为：4.12.已知22:(1)3C x y -+= ，线段AB 是过点(2,1)的弦，则AB 的最小值为_______.【答案】2【解析】【分析】借助直径与弦AB 垂直时，AB 有最小，计算即可得.【详解】由22(21)123-+=<，故点(2,1)在圆的内部，且该圆圆心为()1,0设圆心到直线AB 的距离为d ，由垂径定理可得2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即AB =，故当d 取最大值时，AB 有最小值，又max d ==故2AB =≥=.故答案为：2.13.若443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则0a =_______；13024a a a a a +=++_______.【答案】①.16②.4041-【解析】【分析】借助赋值法，分别令0x =、1x =、=1x -计算即可得.【详解】令0x =，可得40(02)a -=，即40216a ==，令1x =，可得443210(12)a a a a a -=++++，即()44321011a a a a a ++++=-=，令=1x -，可得443210(12)a a a a a --=-+-+，即()443210381a a a a a -+-+=-=，则()()()4321043210420218182a a a a a a a a a a a a a +++++-+-+=++=+=，即42082412a a a ++==，则()42103114140a a a a a =-++==-+-，故130244041a a a a a +=-++.故答案为：16；4041-.14.已知函数π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________；函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为_______.【答案】①.1-②.π(,0)4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数表达式，代入即可求出5π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的函数值，根据条件，先求出使()0f x =的一个取值π4x =-，再证明π(,0)4-是()f x 的一个对称中心即可.【详解】因为π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以55ππππsin()sin(214444f ⎛⎫=+⨯=- ⎪⎝⎭，因为()f x 定义域为R ，当π4x =-时，ππππ()sin sin()04442f ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，下证π(,0)4-是()f x 的一个对称中心，在π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上任取点()00,P x y ，其关于π(,0)4-对称的点为00π(,)2P x y '---，又00000000ππππππ()sin sin 2()sin()sin(π2)sin()sin(2)224244f x x x x x x x y ⎛⎫--=--+--=----=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为π(,0)4-，故答案为：1-；π(,0)4-（答案不唯一）15.已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -=-=kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x +=或242k x -=（负值舍去），则20122k x ++=>=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x =或242k x +=（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则22211711744242412222k t x ⎫⎛⎫---⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===>=-，即212k x =>-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，sin cos 2b C B c =.（1）求B ∠；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sin 2B B +=，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中π6B =及条件，由余弦定理得到22126c b c +-=，再结合4b c +=，即可求出2c =，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【小问1详解】因为sin cos 2b C B c =，由正弦定理可得sin sin cos 2sin B C C B C =，又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，得到sin 2B B +=，即π2sin(23B +=，所以πsin()13B +=，又因为(0,π)B ∈，所以2ππ3B +=，得到π6B =.【小问2详解】由（1）知π6B =，所以2223cos 22a cb B ac +-==，又a =，得到22126c b c +-=①，又4b c +=，得到4b c =-代入①式，得到2c =，所以ABC 的面积为11πsin 2sin 226ABC S ac B ==⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC M //为BP 的中点，//AM 平面CDP .（1）求证：2BC AD =；（2）若,1PA AB AB AP AD CD ⊥====，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P ABCD -存在且唯一确定.（i ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（ⅱ）设平面CDP ⋂平面BAP l =，求二面角C l B --的余弦值.条件①：BP DP =；条件②：AB PC ⊥；条件③：CBM CPM ∠=∠.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）77【解析】【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；（2）（i ）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.【小问1详解】取PC 的中点N ，连接,MN ND ，因为M 为BP 的中点，所以1,//2MN BC MN BC =，因为//AD BC ，所以//AD MN ，所以,,,M N D A 四点共面，因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =，AM ⊂平面MNDA ，所以//AM DN ，所以四边形AMND 为平行四边形，所以MN AD =，所以2BC AD =；【小问2详解】（i ）取BC 的中点E ，连接,AE AC ，由（1）知2BC AD =，所以EC AD =，因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以1,EC AD AE CD ===，因为1AB CD ==，所以112AE BC ==，所以90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，选条件①：BP DP =，因为1,AB AD PA PA ===，所以PAB 与PAD 全等，所以PAB PAD ∠=∠，因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=o ，所以90PAD ∠= ，即AP AD ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ；（ⅱ）由（i ）知AP ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AP AC ⊥，因为,1PA AB AP ⊥=，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,1,0,,,22P C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,12222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z = ,则0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102213022x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令x =，则1,y z =-=，于是1,n =-，因为AC 为平面PAB 的法向量,且7cos ,7AC n AC n AC n ⋅===-⋅,所以二面角C l B --的余弦值为77.选条件③：CBM CPM ∠=∠，(i)因为CBM CPM ∠=∠，所以CB CP =，因为1,AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC △全等，所以90∠=∠= PAC BAC ，即PA AC ⊥，因为PA AB ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i ）可得AB AC ⊥，又PA AB ⊥，PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，即AB PC ⊥是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90100x ≤≤4108090x ≤<3a 7080x ≤<2b 6070x ≤<123060x ≤<02（1）当35a =时，（i ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X 为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X 的数学期望()E X ；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y .若根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立，直接写出a 的最小值.【答案】（1）（i ）0.45；（ⅱ）589；（2）7.【解析】【分析】（1）（i ）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X 的所有可能值，由（i ）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.（2）求出1Y 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值2Y 的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.【小问1详解】当35a =时，（i ）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545+=，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100=，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109=+，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29，X 的所有可能值为6，7，8，7749(6)9981P X ==⨯=，7228(7)29981P X ==⨯⨯=，224(8)9981P X ==⨯=，所以X 的数学期望4928458()6788181819E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由表知，10232100a b ++++=，则65b a =-，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，则1Y 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y ，要12Y Y ≤恒成立，当且仅当2min ()69Y ≥，显然2Y 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此2min 1683()108070(65)602302]10010a Y a a +=⨯++-+⨯+⨯=，则6836910a+≥，解得7a ≥，所以根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立的a 的最小值是7.19.已知椭圆22:G x my m +=的离心率为12,,2A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（1）求m 的值及点F 的坐标；（2）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M .比较2MP 与12MA MA ⋅的大小.【答案】（1）2m =，()1,0F （2）122MA A MP M <⋅【解析】【分析】（1）借助离心率计算即可得；（2）设()00,P x y ，表示出M 与Q 点坐标后，可得2MP 、12MA MA ⋅，借助作差法计算即可得.【小问1详解】由22:G x my m +=，即22:1x G y m+=，由题意可得1m >，故2=，解得2m =，故22:12x G y +=1=，故()1,0F ；【小问2详解】设()00,P x y ，00,0x y ≠，0x <<，有220012x y +=，由PF FQ ⊥，则有()()001210Q x y y -⋅-+⋅=，即01Q x y y -=，由0PQ k ≠，故有0002Q My y y x x x -=--，即有()()()2000000000200000022211M Q y x y x y x x x x x x y y x y y y ---=-=-=------()200320000022000012222422x x x x x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=-=---()()32320000002200000002222242222x x x x x x x x x x x x x ----+=-==---，由22:12x G y +=可得()1A、)2A ，则22222222000000022200002444441322x x MP x y x y x x x x x ⎛⎫=-+=-++=-++-=-+ ⎪⎝⎭，1220002242MA MA x x x ⎛⋅==- ⎝，则222001222004432122x x MP MA MA x x -⋅=-+-+=-，由0x <<，故20102x -<，即212MP MA MA <⋅.20.已知函数12()ea x f x x -=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞（2）1a ≥-【解析】【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222ee e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【小问1详解】易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+.【小问2详解】令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.21.已知：()2*12:,,,2,m Q a a a m m ≥∈N为有穷正整数数列，其最大项的值为m ，且当0,1,,1k m =- 时，均有(1)km i km j a a i j m ++≠≤<≤.设00b =，对于{0,1,,1}t m ∈- ，定义{}1min ,t t n b n n b a t +=>>，其中，min M 表示数集M 中最小的数.（1）若:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，写出13,b b 的值；（2）若存在Q 满足：12311b b b ++=，求m 的最小值；（3）当2024m =时，证明：对所有2023,20240Q b ≤.【答案】（1）11b =，36b =（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义逐个计算出1b 、2b 、3b 即可得；（2）当3m =时，可得12310b b b ++≤，故4m ≥，找到4m =时符合要求的数列Q 即可得；（3）结合题意，分两段证明，先证10122024b ≤，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，再证得2024k C b k ≤，即可得证,【小问1详解】由:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，00b =，则{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，故23b =，则{}3min 3,2n b n n a =>>，故36b =；【小问2详解】由题意可知，3m ≥，当3m =时，由1n a ≥，{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，由题意可得123a a a ≠≠，故2a 、3a 总有一个大于1，即22b =或23b =，{}32min ,2n b n n b a =>>，由456a a a ≠≠，故4a 、5a 、6a 总有一个大于2，故36b ≤，故当3m =时，12310b b b ++≤，不符，故4m ≥，当4m =时，取数列:4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4Q ，有11b =，23b =，37b =，即12311b b b ++=，符合要求，故m 的最小值为4；【小问3详解】因为{}11min ,,0,1,,2023t n b nn b a t t +=>>= ∣，所以11,0,1,,2023i b b t +>= ，(i)若12024t b +≤，则当1t n b +<时，至少以下情况之一成立：①n a t ≤，这样的n 至少有t 个，②存在,i i t b n ≤=，这样的n 至多有t 个，所以小于1t b +的n 至多有2t 个，所以1121t b t t t +≤++=+，令212024t +≤，解得11012t +≤，所以10122024b ≤，(ii)对*k ∈N ，若12024t t b k b +≤<，且()1202420241t l k b k ++<≤+，因为{}1min ,t l t l n b nn b a t l +++=>>+∣，所以当()12024,t l n k b ++∈时，至少以下情况之一成立：①n a t l ≤+，这样的n 至多有t l +个；②存在,i t i i l <≤+且i b n =，这样的n 至多有l 个，所以120241202421t l b k t l l k t l ++≤++++=+++，令212024t l ++≤，解得20232t l -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即202512t t l +⎡⎤++≤⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，所以当12024t t b k b +≤<时，()2025220241t b k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤+；综上所述，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则2024k C b k ≤，依次可得：2345671518,1771,1898,1961,1993,2009C C C C C C ======，89102017,2021,2023C C C ===，所以202320241020240b ≤⨯=.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。
2019-2020【提分必做】北京市海淀教师进修学校附属实验学校2016-2017学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2016-2017学年度第二学期期中练习高一数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.1.数列中，，，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明数列是等差数列，再求.【详解】∵数列中，，, ∴数列是首项为，公差为的等差数列．∴，故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的判定和等差数列的通项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.2.设，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，选项A错误；当时，选项B错误；当时，选项C错误；∵函数在上单调递增，∴当时，．本题选择D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．3.3.在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用余弦定理求.【详解】由余弦定理可得．故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 余弦定理由三种形式：,,.4.4.已知锐角的面积为，，，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用求得C的大小.【详解】．解得，又因为为锐角三角形，，所以，故答案为：【点睛】（1）本题主要考查三角形的面积公式，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 三角形的面积公式：①（分别表示的高）；②.5.5.在等比数列中，，则公比q的值为A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】略视频6.6.如果等差数列中，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用等差中项的性质先求，。
详解：，故选C点睛：等差数列的性质：若，则。
7.7.在中，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形【答案】D【解析】【分析】先化简得，，即得三角形的形状.【详解】因为，所以，由于，所以，，所以为直角三角形，故答案为：【点睛】本题主要考查和角的正弦公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.8.8.已知数列，，，具有性质对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列，，具有性质；②数列，，，具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列，，具有性质，则．其中真命题有（）A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ②④【答案】B【解析】【分析】利用定义对每一个选项逐一判断真假.【详解】①数列、、中，，，都不是该数列中的数，故：①不正确．②数列、、、，和两数中都是该数列中的项，并且是该数列中的项，所以数列、、、具有性质，故②正确．③若数列具有性质，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，∵，，而不是该数列中的项，∴是该数列中的项，∴，故③正确．④∵数列、、具有性质，，∴与至少有一个是该数列中的项，①若是该数列中的一项，则，∴，易知不是该数列的项，∴，∴．②若是该数列中的一项，则或或，（）若，同①．（）若，则，与矛盾．（）若，则．综上，，故④正确．综上，其中真命题有②③④．故答案为：【点睛】本题主要考查新定义，考查学生理解掌握新定义并利用新定义解题的能力.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9.9.不等式的解是__________．【答案】或【解析】【分析】先转化为整式不等式，再解不等式得解.【详解】不等式等价于，解得或，故不等式的解集为：或．故答案为：或【点睛】(1)本题主要考查分式不等式的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 分式不等式的解法:把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集.解分式不等式一定要考虑定义域.10.10.等比数列中，，那么的值是__________．【答案】【解析】【分析】利用等比数列的性质化简，再代入即得解.【详解】∵是等比差数列，且，∴．故答案为：-32【点睛】（1）本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算能力.(2) 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.11.11.若，则的最小值是__________．【答案】【解析】∵，∴。
北京市海淀区高一数学下学期期中试题(扫描版)
海淀区高一年级第二学期期中练习数 学参考答案及评分标准 2014.4一、 选择题.二、填空题.10.12, 3-- 11. 1, 45- 12. ①②③ 13. 5274,1614. 11123I 0)))43234U U （）或1 (II)(0,(,(,说明：12题如果填写两个选项给2分，只填一个选项不给分； 其余两空题目都是每个空2分. 三、解答题15.解: ( I ) 2()cos 24222f ππ=++= …………………….2分. ( II ) 因为22()sin 2sin cos cos cos2f x x x x x x =+++所以 ()1sin 2cos2f x x x =++ …………………….4分所以π())14f x x =++ …………………….6分所以()f x 的最小正周期为 2π2π=π||2T ϖ== …………………….8分 （Ⅲ）令πππ2π22π242k x k -≤+≤+ 所以3ππππ88k x k -≤≤+ 所以()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k k -+∈Z （）, …………………….10分16.解: ( I )解法一：设{}n a 的公差为d , 因为112n n a a n ++=+， 所以有1223112122a a a a ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩ ，两式相减得到，21d =，即12d = ………………….2分 代入得到112a =………………….4分 所以11+1)222n na n =-⋅=（ ………………….6分解法二：设{}n a 的公差为d ,则1+1),n a a n d =-⋅（ 11+,n a a n d +=⋅ ………………….2分所以111221)22n n a a a n d dn a d ++=+-⋅=+-（ 所以有1122=2dn a d n +-+对*n ∈N 成立， 所以有12=112=2d a d ⎧⎪⎨-⎪⎩，解得11=21=2d a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ………………….4分 所以11+1)222n na n =-⋅=（ ………………….6分 (II) 因为1(),2n n a a S n += 所以(1)4n n nS += ………………….9分（Ⅲ）因为13,,m m a a a 成等比数列，所以213()=m m a a a ………………….10分即213422m m=⋅………………….11分 解得3,m =0m =(舍掉）所以3m = ………………….12分17. 解: ( I ) 由正弦定理sin sin a bA B=得到sin sin a B b A = ………………….2分 所以有sin cos a B a B = ………………….3分 所以sin cos B B =,即tan 1B = ………………….4分因为0,)B ∈π（, 所以π4B ∠= ………………….5分 （II ）在ACE ∆中，根据余弦定理222=2cos CE AC AE AC AE CAE +-⋅∠ ………………….7分得到222π=424cos4CE +-⋅⋅（化简得CE ………………….8分 在ACE ∆中，sin sin ACE CAEAE CE∠∠= ………………….9分化简得到sin =5ACE ∠ ………………….10分因为π2ACE CAP ∠+∠=，所以cos sin 5CAP ACE ∠=∠=所以在Rt ACP ∆中，cos AC CAP AP ∠=代入得到AP = ……………….12分18解: (I) 3a 可能取的值 3,3,1,1-- ………………….2分 (II) 存在 ………………….3分这个数列的前6项可以为 1,2,1,212---，， （或者取1,23,210---，，，） ………………….5分 （Ⅲ）1210|...|a a a +++的最小值为1 ………………….6分 解法一：因为111,|||1|n n a a a +==+,所以n a ∈Z ，且所有的奇数项都为奇数，偶数项为偶数 因此1210,,...,a a a 中一定有5个奇数，5个偶数，所以1210|...|a a a +++一定是奇数，所以1210|...|1a a a +++≥令这10项分别为1,2,1,2121212----，，，，，，（或者为 1,2,3,2101234----，，，，，，，或者为1234,3,21012----，，，，，，，） 则有1210|...|=1a a a +++ ………………….10分 解法二：因为111,|||1|n n a a a +==+,所以n a ∈Z ，且所有的奇数项都为奇数，偶数项为偶数 又因为221()(1)n n a a +=+ 所以221()()12n n n a a a +--= 所以有2211101012a a a --= 22109912a a a --= ......2232212a a a --= 2221112a a a --=把上面的10个式子相加，得到221111210102(...)a a a a a --=+++ 所以有21210111|...||11|2a a a a +++=- 因为离11最近的奇数的平方是 9，所以有12101|...||911|=12a a a +++≥- 令这10项分别为1,2,1,2121212----，，，，，，（或者为 1,2,3,2101234----，，，，，，，或者为1234,3,21012----，，，，，，，） 则有1210|...|=1a a a +++ ………………….10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京市海淀区高一下学期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限. sin100,cos 0()20P ︒︒A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得，即可得到答案.0cos 200< 【详解】， ()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-< ∴点位于第四象限．()sin100,cos 200P ︒︒故选：D ．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2．在中，“是“”的( )ABC A sin A 4A π=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断．【详解】在中，或，ABC A sin A =4A π=34π∴在中，“是“”的必要不充分条件，ABC A sin A =4A π=故选：B ．3．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） πA ．B ． πcos 2()2y x =+sin y x =C ． D ．tan y x =cos3y x =【答案】B【分析】化简并判断的奇偶性，判断A ；利用图像可判断B ；根据函数奇偶性判断πcos 2(2y x =+C ；根据函数的最小正周期可判断D.【详解】对于A ，为奇函数，不符合题意；πcos(2sin 22y x x =+=-对于B ，作出的图象如图：sin y x =可知函数最小正周期为，且为偶函数，符合题意； sin y x =π对于C ，为奇函数，不符合题意； tan y x =对于D ，的最小正周期为，不符合题意， cos3y x =2π3故选：B4．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ） 53πA ．4B ．1CD ．2【答案】D【分析】利用扇形的面积公式：，即可求解. 212S R α=⋅【详解】圆心角为，设扇形的半径为， 51506πα==R ， 2215152326S R R ππα=⋅⇒=⨯解得. 2R =故选：D【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.5．已知，则的值为（ ）1tan 3α=-2cos sin cos ααα-+A ． B ．C ．D ．3-34-43-34【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，1tan 3α=-得. 2cos 2232sin cos 1tan 3αααα---===-++故选：A.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系.属于容易题. 6．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（ ）()sin 2f x x =6π()g x A ．B ．()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论． 【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，()sin 2f x x =6π可得.()sin 2()sin(263g x x x ππ=-=-故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.7．已知向量，，，则向量与的夹角为（）2a = 1b = 2a b -= a bA ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】将平方，求得，再根据向量的夹角公式即可求得答案.2a b -= a b ⋅【详解】由题意向量，，，2a = 1b =2a b -= 则，即， 2212a b -= 224412a b a b +-⋅=所以，44412,1a b a b +-⋅=∴⋅=-故，而， 1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==-⋅0,180a b ≤≤故，,120a b 〈〉=故选：C8．如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最8m12min 2m 低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系P ()h m ()min t 是A ．B ．8cos106h t π=+8cos103h t π=-+C ．D ．8sin 106h t π=-+8cos106h t π=-+【答案】D【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点h T A B ω代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.()0,2ϕh t 【详解】由题意可得，，，，，max 18h =min 2h =12T =max min 82h h A -∴==max min 102h hB +==，，当时，，得， 26T ππω==8sin 106t h πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0=t 8sin 102ϕ+=sin 1ϕ=-，可取，所以，故选D.sin 1ϕ=-2πϕ=-8sin 108cos 10626h t t πππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的解析式，基本步骤如下： ()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>（1）求、：，；A b ()()max min2f x f x A -=()()max min2f x f x b +=（2）求：根据题中信息得出最小正周期，可得出； ωT 2Tπω=（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.ϕϕ9．在中， ，，为线段的三等分点，则ABC A AB AC AB AC +=-4, 2AB AC =＝, E F BC ＝( ) AE AF ⋅A ．B ． 1094C ．D ．409569【答案】C【分析】根据题意得出⊥，建立平面直角坐标系，表示出、，求出数量积的AB AC AE AF AE AF ⋅值．【详解】中，||＝||， ABC A AB AC + AB AC -∴22， 2AB +AB ⋅22AC AC AB +=- AB ⋅2AC AC + ∴0，AB ⋅AC =∴⊥，AB AC 建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A （0，0），B （0，4），C （2，0），E （，），F （，），23834343∴（，），（，），AE = 2383AF = 4343∴+．AE 2433AF ⋅=⨯3398440⨯=故选：C10．已知动点，，O 为坐标原点，则当时，下列说法正确()111,cos P x x ()222,cos P x x 1211x x -≤≤≤的是（ ）A ．有最小值1B ．有最小值，且最小值小于11OP 1OPC ．恒成立D ．存在，使得120OP OP ⋅≥1x 2x 122OP OP ⋅≥【答案】A【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合三角函数的性质，代入计算即可得到结果.【详解】由题意知，当时， 1211x x -≤≤≤()22222111111cos 1sin OP f x x x x x ==+=+- ，()()11111sin sin x x x x =++-因为函数为偶函数，所以只考虑的情形即可， ()1f x 101x ≤≤又因为，所以，11sin 0x x ≥≥()()()111111sin sin 1f x x x x x =++-≥即有最小值1，所以A 正确，B 错误； 1OP 又因为，121212cos cos OP OP x x x x ⋅=+当时，，所以C 错误； 12ππ,22x x =-=2212ππππcos cos 04224OP OP ⎛⎫⋅=-+-=-< ⎪⎝⎭ 又因为，，但与不可能同时为，121x x ≤12cos cos 1x x ≤2x 2cos x 1而，所以，所以D 错误； 1211x x -≤≤≤121212cos cos 2OP OP x x x x ⋅=+<故选:A二、填空题11．______． sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=【答案】/0.5 12【分析】用诱导公式变形后由两角和的正弦公式计算．【详解】， 1sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302︒︒-︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故答案为：．1212．已知角的终边与单位圆交于点，则________．α3,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭sin tan αα⋅【答案】1615-【分析】根据题意，由条件可得，再由三角函数的定义即可得到结果. 21625y =【详解】由题意可得，，则，22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭21625y =由三角函数的定义可得. 216sin tan 331555y y y αα⋅=⋅==-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 1615-13．若实数，满足方程组，则的一个值是________．αβ1cos cos sin sin αβαβ+=⎧⎨=⎩β【答案】（答案不唯一） π3【分析】结合题意利用同角三角函数的平方关系可求得，即可求得答案. 1cos 2β=【详解】由可得，1cos cos sin sin αβαβ+=⎧⎨=⎩cos cos 1sin sin αβαβ=-⎧⎨=⎩故，即得， 2222sin cos sin (cos 1)1ααββ+=+-=1cos 2β=故的一个值可以取， βπ3故答案为：（答案不唯一） π314．已知，，，则________304παβ∈，（，）3sin()5αβ+=-12sin()413πβ-=cos()4πα-=【答案】3365【分析】由诱导公式将化为，再由，根据两角差的cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭正弦公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，，304παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，302παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，442πππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又，，所以，，()3sin 5αβ+=-12sin 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭32，παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭042ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以，，所以()4cos 5αβ+=-5cos 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()()3541cos sin sin cos cos sin 4444451351sin πππππαααββαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+--=+--+-=-⨯--⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为3365【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，熟记两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求解，属于常考题型.三、双空题15．已知函数，任取，定义集合： ()πsin2x f x =t ∈R，点，满足(){t A y y f x ==()(),P t f t ()(),Q x f x PQ ≤设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则 t M t m t A ()t t h t M m =-（1）函数的最大值是______； ()h t （2）函数的单调递增区间为______． ()h t 【答案】2()21,2k k k Z -∈，【解析】作出函数的图象，分当点P 在A 点时，当点P 在曲线上从A 接近B 时，当点P 在()f x B 点时，当点P 在曲线上从B 接近C 时，当点P 在C 点时，当点P 在曲线上从C 接近D 时，当点P 在D 点时，当点P 在曲线上从D 接近E 时，分析的值和变化，从而得出的,t t M m ()t t h t M m =-值和变化，可得答案.【详解】函数，函数的最小正周期为T=4，点P (),Q ()，如图()πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,sin 2t t ⎛⎫⎪⎝⎭π,sin 2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所示：当点P 在A 点时，点Q 在曲线OAB 上，,； 1,0t t M m ==()1t t h t M m =-=当点P 在曲线上从A 接近B 时，减小，所以逐渐增大； 1,t t M m =()t t h t M m =-当点P 在B 点时，,，1,1t t M m ==-()2t t h t M m =-=当点P 在曲线上从B 接近C 时，减小，所以逐渐减小； 1,t t m M =-()t t h t M m =-当点P 在C 点时，，；0,1t t M m ==-()1t t h t M m =-=当点P 在曲线上从C 接近D 时，增大，所以逐渐增大； 1,t t m M =-()t t h t M m =-当点P 在D 点时，，；1,1t t M m ==-()2t t h t M m =-=当点P 在曲线上从D 接近E 时，增大,逐渐减小，1,t t M m =()t t h t M m =-依次类推，得函数的最大值是， 的单调递增区间为， ()h t 2()h t ()21,2k k k Z -∈，故答案为：2；.()21,2k k k Z -∈，【点睛】本题考查正弦函数的周期性，最值，单调性，关键在于理解题目所给的条件，属于较难题.四、解答题16．已知函数． 2()cos sin 1f x x x =+-(1)当时，求函数的值； π6x =()y f x =(2)求不等式的解集． ()0f x ≥【答案】(1)14(2)[2π,2ππ],Z k k k +∈【分析】（1）利用同角三角函数关系式化简可得，代入求值可得答案；211()(sin 24f x x =--+（2）利用（1）中结论，由不等式可得，结合正弦函数性质即可求得答案. ()0f x ≥0sin 1x ≤≤【详解】（1）由题意可得22()cos sin 1sin sin f x x x x x =+-=-+，211(sin )24x =--+故当时，； π6x =24π6111()(sin 24f x =--+=（2）由可得，()0f x ≥211111(sin )0,sin 24222x x --+≥∴-≤-≤即，故, 0sin 1x ≤≤2π2ππ,Z k x k k ≤≤+∈故不等式的解集为.()0f x ≥[2π,2ππ],Z k k k +∈17．在平面直角坐标系中,已知三点为坐标原点， ()()()1,0,,2,2,,,A B t C t t O -∈R (1)若是为直角的直角三角形，求的值；ABC A B ∠t (2)若四边形是平行四边形，求的最小值. ABCD OD【答案】(1) 1t =【分析】（1）利用向量垂直解得即可；0AB BC ⋅=（2）由题意得，求得的坐标，利用模长公式即可得出结论.AD BC =D ()1,2D t t --【详解】（1）由题意得，()()()1,2,3,1,2,2AB t AC BC t t =+==--u u u r u u u r u u u r若，则，即，90B Ð=°0AB BC ⋅=()()()12220t t t +-+-=解得或，2t =1t =当，则，不合题意；2t =0BC =u u u r r当，则，符合题意； 1t =()1,1BC =-u u u r综上所述：.1t =（2）设点的坐标为，可得，D (),x y ()1,AD x y =+若四边形是平行四边形，则，ABCD ()2,2AD BC t t ==--u u u r u u u r所以，则，即，122x ty t +=-⎧⎨=-⎩12x t y t =-⎧⎨=-⎩()1,2D t t --可得， ()1,2OD t t =--u u u r则OD ===u u u r所以当时，取得最小值. 32t =OD18．已知函数，．π()sin 14f x x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭x ∈R (1)请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间；()f x (2)求函数在区间上的最值，及取得最值时x 的值．()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)若，都有恒成立，求实数m 的取值范围．12ππ,,44x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦12()()f f x x m -≤【答案】(1)；π())4f x x =-π3π[π,π+],Z 88k k k -∈(2)最大值为1，此时；最小值为，此时；π4x =π8x =-(3) [1)+∞【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式结合辅助角公式化简可得，结合正π()4f x x =-弦函数的单调性即可求得答案；（2）根据时，确定的范围，结合正弦函数的性质即可求得答案；ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦π24x -（3）由，都有恒成立，可得，结合（2）12ππ,,44x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦12()()f f x x m -≤max min ()()f m x f x -≤的结论，即可求得答案.【详解】（1）因为 π()sin 1cos )]14f x x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭ 22sin cos 2cos 1sin 2cos 2x x x x x =-+=-,π)4x =-令，则， πππ2π22π+,Z 242k x k k -≤-≤∈π3πππ+,Z 88k x k k -≤≤∈故函数的单调递增区间为.()f x π3π[π,π+],Z 88k k k -∈（2）当时，，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦4π3ππ2,44x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由于在单调递减，在单调递增， sin y x =,23ππ4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当，即时，,取得最小值 ππ242x -=-π8x =-πsin(2)14x -=-()f x 当时，； 4π234πx -=-()1f x =-当，即时，取得最大值； ππ244x -=π4x =()f x 1（3）若，都有恒成立， 12ππ,,44x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦12()()f f x x m -≤即，max min ()()f m x f x -≤由（2）可知max min ()1,()f x f x ==故，即实数m 的取值范围为.1m ≥+[1)+∞19．对于定义域R 上的函数，如果存在非零常数T ，对任意，都有成()f x x ∈R ()()f x T Tf x +=立，则称为“T 函数”．()f x (1)设函数，判断是否为“T 函数”，说明理由；()f x x =()f x (2)若函数（且）的图象与函数的图象有公共点，证明：为“T 函数”；()x g x a =0a >1a ≠y x =()g x (3)若函数为“T 函数”，求实数m 的取值范围．()cos h x mx =【答案】(1)不是“T 函数”，理由见解析；()f x x =(2)证明见解析(3)|π,Z}{m m k k =∈【分析】（1）根据“T 函数”的定义判断是否满足该定义，即可得结论；()f x x =（2）只需证明满足“T 函数”定义，即可得结论；()g x （3）根据函数为“T 函数”，可得恒成立，即可推得()cos h x mx =cos )c (os mx mT T mx +=，即可求得答案.cos ,sin 0mT T mT ==【详解】（1）若函数是“T 函数”，则对于，恒有,()f x x =x ∈R ()()f x T Tf x +=即恒成立，故恒成立，x T Tx +=()1T x T -=由于，上式不可能恒成立，x ∈R 故不是“T 函数”；()f x x =（2）证明：函数（且）的图象与函数的图象有公共点，显然， ()x g x a =0a >1a ≠y x =0x ≠即存在非零常数T ，使得，T a T =所以恒成立，()f x T +=()x T T x x a a a Ta Tf x +===故为“T 函数”.()x g x a =（3）若函数是“T 函数”，则,()cos h x mx =()()f x T Tf x +=即恒成立，())cos cos (m x T T mx +=故恒成立，cos )c (os mx mT T mx +=即恒成立，cos cos sin sin cos mx mT mx mT T mx -=即有，cos ,sin 0mT T mT ==故，1,π,Z T m k k =±=∈即实数m 的取值范围是.|π,Z}{m m k k =∈【点睛】关键点睛：本题是给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键就是要理解函数的新定义，明确其含义，依此去判断解决问题.。
2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．如果是第三象限的角，那么（ ）θA ．B ．C ．D ．以上都不对sin 0θ>cos 0θ>tan 0θ>【答案】C【分析】根据象限角的符号特点即可判断.【详解】如果是第三象限的角，则，，，θsin 0θ<cos 0θ<tan 0θ>故选：C.2．下列函数是奇函数的是（ ）A ．B ．()1cos f x x=+()sin f x x x=+C ．D ．()cos f x x x=+()1sin f x x=+【答案】B【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.【详解】显然各项函数的定义域均为R ，，偶函数，A 不符合；()1cos()1cos ()f x x x f x -=+-=+=，奇函数，B 符合；()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，非奇非偶函数，C 不符合；()cos()cos ()f x x x x x f x -=-+-=-+≠±，非奇非偶函数，D 不符合.()1sin()1sin ()f x x x f x -=+-=-≠±故选：B3．已知角α的终边上一点，且，则m 等于（ ）(,1)P m m +3cos 5α=A ．B ．3C ．-3D ．37-37【答案】B【分析】由三角函数的定义计算即可.【详解】由三角函数的定义可得：.3cos 35m α==⇒=故选：B4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 3y x =A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度π4π4C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度π12π12【答案】D【分析】由题可得函数，再根据三角函数图象变换规律，即得．ππsin 3sin3412y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】由于函数，ππsin 3sin3412y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到函数的图sin3y x =π12πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭象.故选：D ．5．下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（ ）π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．B ．()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πcos 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()tan 2f x x=()12sin2f x x =【答案】A【分析】应用整体法，根据对应三角函数的性质判断区间单调性及其周期.【详解】由，各项函数单调性如下：π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，，故在上递增，且周期为π；()πsin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭[]2π,2πx ∈()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦由，，故在上不单调；()πcos 2sin 22f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭[]2π,2πx ∈()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦由定义域为，而不满足定义域；()tan 2f x x =ππ{|},Z24k x x k ≠+∈π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，，则在上递增，且周期为4π.()12sin2f x x =ππ,242x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A6．“”是“”的（ ）sin cos αα=cos 20α=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A ．sin cos αα=cos 20α=【解析】1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（ ）A ．2ω=B ．π3ϕ=C ．的图象关于直线对称()f x 13π12x =D ．的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称()f x π3【答案】D【分析】对于A 、B ：根据图像可得，，结合周期得，代入点，分析可得1A =π22T =2ω=π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭；对于C ：结合三角函数图象性质：在最值处取到对称轴，代入检验即可；对于D ：通过平π3ϕ=移可得，结合奇偶性分析判断．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】根据图象可得：1A =，则，即，A 正确；7πππ212122T =-=2ππT ω==2ω=∵的图象过点，则()()sin 2f x x ϕ=+π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ(sin()1126f ϕ=+=又∵，则ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ππ2π,633ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭∴，即，B 正确；ππ62ϕ+=π3ϕ=∴，则为最大值π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭13π13ππ5ππ(sin 2sin sin 11212322f ⎛⎫=⨯+=== ⎪⎝⎭∴的图象关于直线对称，C 正确；()f x 13π12x =的图象向右平移个单位长度得到不是奇函数，不关()f x π3ππππ()sin 2sin 23333y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦于原点对称，D 错误；故选：D ．8．已知点P 是边长为1的菱形内一动点（包括边界），，则的最大值为ABCD 60DAB ∠=︒AP AB ⋅（ ）A B ．C ．1D ．3234【答案】B【分析】根据题意，利用平面向量数量积的几何意义即可求解.【详解】解：在菱形中，因为边长为1，，所以，ABCD 60DAB ∠=︒AC =30BAC ∠=如图，过P 作PQ 垂直于AB 于Q ，过C 作CE 垂直于AB 于E ，因为点P 是边长为1的菱形内一动点（包括边界），ABCD所以由平面向量数量积的几何意义，有,cos AP AB AP AB PAB AB AQ ⋅=⋅⋅∠=⋅所以当点P 在C 点处时最大为，即最大，AQAEAP AB ⋅此时，3cos 12AP AB AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠==所以的最大值为，AP AB ⋅ 32故选：B.9．函数|在区间（，）内的图象是（ ）()tan sin tan sin f x x x x x=--+-π23π2A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分类讨论去绝对值符号，化简函数式结合正弦函数与正切函数的图象即可判定.【详解】当时，，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0sin x x <<∴，()tan sin tan sin 2tan f x x x x x x=--+-=-当时，，3ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0sin x x >>∴，()tan sin tan sin 2sin f x x x x x x=--+-=-由选项可判定B 选项图象正确.故选：B10．刘辉（约公元225-295年），魏晋期间的数学家.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章.割圆术的核心思想是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积.运用割圆术的思想得到的近似值为（ ）sin 6A ．B ．C ．D ．π180π90π60π30【答案】D【分析】利用割圆术的核心思想将圆平分60份，每份即近似一个小三角形，表示其面积即可建立方程求的近似值.sin 6【详解】利用割圆术的核心思想：将圆平分60份，每份即近似一个小三角形，该三角形面积与扇形面积近似，故，2216πsin 6πsin 6236030r r ⨯≈⇒≈故选：D二、填空题11．已知向量，，若向量与垂直，则________.()1,2a =-(),1b m =b am =【答案】2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【详解】解：向量，，向量与垂直，(1,2)a =- (,1)b m = a b，∴20a b m =-+=解得．2m =故答案为：．2【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量的数量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12．在△ABC 中，若，则△ABC 一定是__________三角形.（请填写锐角，sin cos 1cos sin A B A B =-直角，或钝角）【答案】直角【分析】利用和角正弦公式可得，结合三角形内角性质判断形状即可.sin()1A B +=【详解】由题设，则，又，sin cos cos sin 1A B A B +=sin()1A B +=0πA B <+<所以，即△ABC 一定是直角三角形.π2A B +=故答案为：直角三、双空题13．计算:=_________，=_________.i cos 70cos80sin 7080s n -2π4tan8π1tan 8-【答案】2【分析】利用和角余弦公式、二倍角正切公式化简，由特殊角函数值求值即可.【详解】由cos 70cos80sin 7080708015sin cos()os 0c =-=+= 由.2π4tan π82tan 2π41tan 8==-故答案为：，214．已知单位向量和的夹角为，则__________；则与的夹角的余弦值为a b π3a b +=2a b + a b+ ________.【答案】【分析】利用向量数量积的运算律求得、a + 2a 算律求夹角余弦值.【详解】由，则，222π212cos 133a b a a b b +=+⋅+=++= a + 而，则222π24444cos 173a b a a b b +=+⋅+=++=2a 由22()()23cos 22,2|||2|||||a b a b a b a b a b a b a b a b b a a b ⋅+⋅+====++++++++ 四、填空题15．对任意实数，定义运算，则关于函数的说法正确,a b {},max ,,aa ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩(){}max sin ,cos f x x x =的是__________.（填序号）①函数的值域为；()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当时，；()3π2π2πZ 2k x k k <<+∈()0f x <③是函数的一个周期；π()f x ④函数图像的对称轴为.()f x ()Z ππ4x k k =+∈【答案】①④【分析】把根据题意写成分段函数的形式，画出函数的部分图像，根据图像(){}max sin ,cos f x x x =即可判断值域、函数值的正负、周期性、对称轴.【详解】由题意得，函数，(){}π5πsin ,2π,2π44max sin ,cos ,Z3ππcos ,2π,2π44x x k k f x x x k x x k k ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦==∈⎨⎛⎫⎪∈-++ ⎪⎪⎝⎭⎩如图，作出函数在的图像.()f x []2π,4π-由图可知：函数为周期函数，最小正周期为，为其中一个周期.()f x 2π3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦-在内，3π5π,44⎡⎤⎢⎣⎦-①当时，函数有最大值，0x =()f x cos 01=当时，函数有最小值，5π4x =()fx 5πsin 4=所以函数的值域为正确；()fx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当时，，所以当时，错误；0πx <<()0f x >()3π2π2πZ 2k x k k <<+∈()0f x <③函数的最小正周期为，所以是函数的一个周期错误；()f x 2ππ()f x ④函数关于和对称，()f x ()2Z π4πx k k =+∈()2Z 5π4πx k k =+∈所以函数图像的对称轴为正确.()f x ()Z ππ4x k k =+∈故答案为：①④五、解答题16．已知的最小正周期为π.()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭(1)求ω的值；(2)求的单调递增区间；()f x (3)求在区间上的最大值.()f x 5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)2ω=(2)单调递增区间，ππ[π,π]63k k -++Z k ∈(3)2【分析】（1）由周期公式，即可求参数值；2ππT ω==（2）应用整体法，根据正弦函数的单调性求增区间；（3）首先求得，再由正弦函数性质求值域，即可得最大值.ππ2π2[,]663x -∈-【详解】（1）由，可得.2ππT ω==2ω=（2）由（1）知：，π()2sin(2)6f x x =-令，，则，，πππ2π22π262k x k -+≤-≤+Z k ∈ππππ63k x k -+≤≤+Z k ∈所以的单调递增区间，.()f x ππ[π,π]63k k -++Z k ∈（3）由题设，，故，ππ2π2[,]663x -∈-π1sin(2[,1]62x -∈-所以，故最大值为2.()[1,2]f x ∈-17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，.sin b C =π4B ∠=(1)求边c 的值；(2)若的面积为，求边b 的值.ABC 92【答案】(1)c【分析】（1）利用正弦定理解方程即可；（2）利用三角形的面积公式解得a ，再利用余弦定理可得b 的值.【详解】（1）由正弦定理，sin sin sin sin sin a b cb Cc BA B C ==⇒=所以；sin c B c c ==⇒=（2）由19sin 22ABC S ac B a =⋅=⇒=结合余弦定理可得：2222cos 15b a c ac B b =+-⋅=⇒=18．已知向量，.()cos ,sin a x x =()2cos ,b x x=(1)若，当时，求x 的值；[]0,πx ∈//a b(2)若.()f x a b=⋅ （i ）求的最小正周期；()f x （ii ）当时，可以取得2次最大值，求m 的取值范围.[]0,x m ∈()f x 【答案】(1)或π3x =π2x =(2)（i ）；（ii ）πT =7π6m ≥【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，应用倍角正余弦公式、辅助角公22sin cos x x x =式可得x 的值；πsin(2)3x -=（2）由向量数量积坐标表示，应用倍角正余弦、辅助角公式可得，()π2sin(2)16f x x =++（i ）由周期公式求最小正周期；（ii ）由题设，根据正弦函数性质列不等式求πππ2[,2]666x m +∈+参数范围.【详解】（1）由题设，22sin cos x x x =21)sin 2x x +=所以πsin 222sin(2)3x x x =-=πsin(23x -=由，故或，则或.ππ5π2[,333x -∈-ππ233x -=π2π233x -=π3x =π2x =（2）由，()2π2cos cos cos 2212sin(2)16f x x x x x x x =+=+=++（i ）的最小正周期；()f x 2ππ2T ==（ii ）由题设，可以取得2次最大值，πππ2[,2]666x m +∈+()f x所以，故.5ππ226m ≤+7π6m ≥19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.sin sin sin sin c b A Ba C B -+=+(1)求角C 的大小；(2)CD 为△ACB 的内角平分线，且CD 与直线AB 交于点D .（i ）求证:；AD ACBD BC =（ii ）若，，求CD 的长.2a =c =【答案】(1)2π3C =(2)（i ）证明见解析；（ii ）65CD =【分析】（1）由正弦边角关系得，应用余弦定理求C 的大小；222a b c ab +-=-（2）（i ）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；（ii）由正弦定理可得并表示出，应用sin A =cos A =AD AC kBD BC ==2AC k =余弦定理列方程求k ，最后求CD 的长.【详解】（1）由题设，则，故，c b a ba cb -+=+222c b a ab -=+222a b c ab +-=-所以，又，故.2221cos 22a b c C ab +-==-(0,π)C ∈2π3C =（2）（i ）由题设，若上的高为，ACD BCD ∠=∠AB h 又，11sin 22ACD S AC CD ACD AD h =⋅∠=⋅ ，11sin 22BCD S BC CD BCD BD h =⋅∠=⋅ 所以，即.11sin 2211sin 22ACDBCDAC CD ACD AD h S S BC CD BCDBD h⋅∠⋅==⋅∠⋅ AD AC BD BC=（ii ）由，则，又为锐角，故sin sin c a ACB A =∠sin sin a ACB A c ∠==A cos A =若，则，且，AD ACk BD BC ==2AC k =ADkBD =AD BD +=由余弦定理知：222cos 2AC AB BC A AC AB +-===⋅所以，可得或，241615(23)(25)0k k k k -+=--=32k=52k =当，则，，则；32k =3AC =<AD =sin sin AD CD ACD A =∠65CD =当，则，不合题设；52k =5AC =>2π3B ACB ∠>∠=综上，.65CD =20．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I （W/cm 2）.但在实际生活中，常用声音的声强级D （分贝dB ）来度量，为了描述声强级D （dB ）与声强I （W/cm 2）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据:组别1234567声强I （W/cm 2）10-112×10-113×10-114×10-1110-10①9×10-7声强级D （dB ）1013.0114.7716.022040②现有以下三种函数模型供选择:，，.D kl b =+2D a I c =⋅+lg D m I n =+(1)试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值（参考数据:；lg 30.477)≈(3)已知烟花的噪声分贝一般在，其声强为；鞭炮的噪声分贝一般在，其声强为(90,100)1I (100,110)；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在其声强为，试判断与的大小关系，并说2I (135,145)3I 13I I 22I 明理由.【答案】(1)，理由见解析，lg D m I n =+10lg 120D I =+(2)，810-59.54(3)，理由见解析2132I I I ⋅>【分析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果；（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①处的值；由已知可得时，10lg 12040I +=I 11310I -=⨯可得，进而可求出当时的值，进而求出②处的值；lg 30.477=7910I -=⨯D （3）设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知可得123,,D D D ，代入关系式，即可判断与的大小关系.1322D D D +>13I I 22I 【详解】（1）选择.lg D m I n =+由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是1110-同一个常数，所以不应该选择一次函数；同时当自变量增加量为时，函数值的增加量从变为，后又缩小为，函数值的增加1110- 3.01 1.76 1.25量越来越小，也不应该选择二次函数；故应选择.lg D m I n =+由已知可得，即，解得，111010lg1020lg10m n m n --⎧=+⎨=+⎩10112010m n m n =-+⎧⎨=-+⎩10120m n =⎧⎨=⎩所以解析式为.10lg 120D I =+（2）由（1）知，10lg 120D I =+令，可得，，故①处应填；10lg 12040I +=lg 8I =-810I -=810-又当时，，7910I -=⨯10lg 95020lg 350200.4775059.54D =+=+=⨯+=故②处应填.59.54（3）解：设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，123,,D D D 由已知，12390100,100110,135145D D D <<<<<<故有，1322D D D +>所以，()13210lg 12010lg 120210lg 120I I I +++>+因此，即，所以.132lg lg 2lg I I I +>()2132lg lg I I I ⋅>2132I I I ⋅>21．设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都()f x 21,a ⎡⎤⎣⎦1a >0T >[]1,x a ∈有，则称函数具有性质.()()f ax T f x =⋅()f x P (1)当时，判断函数和是否具有性质？（结论不要求证明）[]1,100x ∈2y x =cos y x π=P(2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式3a =()f x P []1,3x ∈()sin 6f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x >(3)已知函数具有性质，，且的图像是轴对称图形.若在上有最大值()f x P ()10f =()f x ()f x []1,a，且存在使得，求证：其对应的.()0A A >011,x a a a ⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦()0f x A =1T =【答案】(1)具有性质，不具有性质；2y x =P cos y x π=P (2)；(]6,9(3)证明见解析.【分析】（1）由函数具有性质判断即可；()f x P （2）若，函数具有性质，当时，，可确定的值，再利用性3a =()f x P []1,3x ∈()sin 6f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭T 质求出在上的解析式，按分段函数解不等式即可；P ()f x []3,9x ∈（3）根据函数具有性质，且函数图像是轴对称图形，在区间上有最大值，分()f x P []1,a()0A A >别讨论，时，函数的最值情况，得出矛盾，即可证明.01T <<1T >【详解】（1）解：函数具有性质；函数不具有性质；2y x =P cos y x π=P （2）解：若，函数具有性质，则存在常数，对任意，使得3a =()f x P 0T >[]1,3x ∈，又当时，()3()f x T f x =⋅[]1,3x ∈()sin 6f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭故当时，有，即，所以1x =()3(1)f T f =⋅sin 3sin 166T ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⋅⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2T =所以当时，，，[]1,3x ∈[]33,9x ∈()32sin 6f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭即时，[]3,9x ∈()2sin 18f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭故当时，不等式[]1,3x∈()f x>sin6xπ⎛⎫>⎪⎝⎭当时，不等式，又，[]3,9x∈()f x>π2sin18x⎛⎫>⎪⎝⎭πππ,1862x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故不等式解得：，即解集为：.69x<≤(]6,9（3）证明：已知函数具有性质，则存在常数，使得，都有，()f x P0T>[]1,x a∈()()f ax T f x=⋅所以，()22()(1)0f a Tf a T f===所以函数的图像端点为和()f x(1,0)2(,0)a由的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线：()f x212ax+=①若，因为时，01T<<[]1,x a∈()f x A≤所以对任意，有2,x a a⎡⎤∈⎣⎦()()xf x Tf TA Aa=≤<由基本不等式得，有1a>212aa+>所以对任意，有221,2ax a⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()f x A<根据图像的对称性，得对任意，有21,x a⎡⎤∈⎣⎦()f x A<这样与存在矛盾.()f x A=②若，由，得1T>011,x a aa⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦()00()f ax Tf x TA A==>又，由图像的对称性知，21ax a a≥+-200()(1)f ax f a ax=+-且，所以[]211,a ax a+-∈200(1)()f a ax f ax TA A+-==>这与在上有最大值矛盾.()f x[]1,a()0A A>综上：.1T=【点睛】本题是函数新定义问题，需要注意的是定义域与区间上函数所具有的性质，可以利用端点处函数值所具有的性质求解参数，与对称性和最值结合时，可以利用反证法，证明与矛盾，从而得证结论.。
2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题2【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题2一、单选题1．若，则（ ）1i z =+z =A ．0B．1C D ．2【答案】C【分析】根据复数的模的公式即可求解.【详解】1i =+∴== ，z z 故选：C.2．已知复数（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）12i1i z +=+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】利用复数的运算法则进行化简，求出共轭复数，根据复数的几何意义进行求解.【详解】复数，则，即其在复平面内对应的点为，()()()()12i 1i 12i 3i1i 1i 1i 2z +-++===++-3i2z -=31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D ．3．若，，则等于（ ）()2,2OA =()1,1OB =-AB A ．B ．C ．D ．()13，--()2,3-()1,2-()2,3-【答案】A【分析】由平面向量的坐标表示即可得出答案．【详解】由，，()2,2OA =()1,1OB =-则．()()()1,12,21,3AB OB OA =-=--=--故选：A ．4．已知向量，，若，则（ ）()2,1a =(),2b x =-a b ∥a b += A ．B ．()2,1--()2,1C ．D ．()3,1-()3,1-【答案】A【分析】先根据向量平行的运算规则计算x ，再根据向量的加法法则求解.【详解】 ， ， ；2//,,421x a b x -∴==- ()1,2b =-- ()2,1a b +=-- 故选：A.5．如图所示，在中，点是线段上靠近A 的三等分点，点是线段的中点， 则ABC D AC E AB （ ）DE =A ．B ． 1136BA BC--1163BA BC--C ．D ． 5163BA BC--5163BA BC-+【答案】B【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】.()111111323263DE DA AE CA AB CB BA BA BA BC=+=+=+-=--故选：B 6．已知，且为第一象限角，则（ ）3sin 5α=αcos α=A ．B ．C ．D ．4545-3434-【答案】A【分析】根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出．【详解】因为为第一象限角，，所以．α3sin 5α=4cos 5α=故选：A ．7．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．a b ()2,0a = 1b = 2a b +A B ．C ．4D ．12【答案】B 【分析】利用转化即可22a a= 【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，()2,0a = ||2a = a b ||1=b所以，所以1cos 602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯= 2a b +=== 故选：B8．设的内角，，所对的边分别为，，，若，则ABC A B C a b c 22cos sin sin cos a A B b A B =的形状为（ ）ABC A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等边三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化简整理得到，进而得到，可得或sin 2sin 2A B =cos()sin()0A B A B +-=A B =，即可确定三角形形状．π2A B +=【详解】已知等式利用正弦定理化简得：，22cos cos ba A ab B =整理得：，即，cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =，即，2sin cos 2sin cos A A B B ∴=sin 2sin 2A B =，sin[()()]sin[()()]A B A B A B A B ∴++-=+--sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()A B A B A B A B A B A B A B A B ∴+-++-=+--+-，cos()sin()0A B A B ∴+-=，，0πA B <+< ππA B -<-<则或，即为等腰三角形或直角三角形．A B =π2A B +=ABC 故选：C ．9．已知，则（ ）π3cos 45x ⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 2x =A ．B ．C ．D ．1825-1825725-725【答案】C【分析】运用余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.【详解】因为，π3cos 45x ⎛⎫-=⎪⎝⎭所以，22πππ37sin 2cos 2cos 22cos 121224525x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C10．设点A ，B ，C 不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的AB AC AB AC BC+>A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|+|>|||+|>|-|AB AC BC ⇔AB AC AB AC|+|2>|-|2•>0与⇔AB AC AB ACAB ⇔AC AB ⇔AC的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.AB AC AB AC BC【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.11．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教AB )151m M B M D A 堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高C 15︒60︒A C 30︒度为（）sin15⎛︒ ⎝=A ．B ．C ．D ．20m30m【答案】D【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.【详解】()1sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 302︒=︒-︒=︒︒-︒︒==由题意知：∠CAM ＝45°，∠AMC ＝105°，所以∠ACM ＝30°，在Rt △ABM 中，AM ＝，sin ABAMB ∠=在△ACM 中，由正弦定理得＝，sin AM ACM ∠sin CMCAM ∠所以CM ＝，·sin sin AM CAMACM ∠∠60=在Rt △DCM 中，CD ＝CM ·sin ∠AMD ＝60故选：D.12．在边长为2的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值ABCD M BC E AB EC EM ⋅范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[]0,4[]2,6[]0,3[]2,4【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，求出取值范(),0,02E m m ≤≤()222EC EM m ⋅=-+ 围.【详解】以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则，设，()()2,2,2,1C M (),0,02E m m ≤≤则，()()()22,22,122EC EM m m m ⋅=-⋅-=-+ 因为，所以，02m ≤≤022m ≤-≤.()[]2222,6EC EM m ⋅=-+∈ 故选：B二、填空题13．若复数，则复数的虚部为_________．2i 1z =+z 【答案】2【分析】根据复数的相关概念，即可求得答案.【详解】由题意复数，故复数的虚部为2，2i 112i z =+=+z故答案为：214．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则_____.,a b ⋅=ab 【答案】3【分析】设出互相垂直的两个单位向量，根据向量的加法表示出，利用数量积的运算律求解即,a b可【详解】设网格中方向向右，向上的单位向量分别为，且，12,e e →→12e e →→⊥则,,13a e →→=12b e e →→→=+所以，11222113333a e e e e e eb →→→→→→⎛⎫=⋅=+⋅= ⎪+⋅⎝⎭ 故答案为：315．已知角的终边经过点，则______α(2,3)P -sin α=【答案】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．sin α【详解】角的终边经过点，则，，，α(2,3)P -2x ==3y-=y sin r α∴==故答案为【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．16．已知平面向量满足夹角的大小为__________.,a b 2,1,a a b a b =⋅=+= ,a b 【答案】π3【分析】将两边平方，代入已知条件可得，再根据向量的夹角公式求解即可.a + 1b = 【详解】解：因为，a + 所以，2227a a b b +⋅+=因为，2,1a a b =⋅= 所以，1b = 所以，1cos ,2a b a b a b ⋅<>==⋅又，[],0,πa b <>∈所以.π,3a b <>=故答案为：π317．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，()sin()f x A x ωϕ=+,,A ωϕ0,0A ω>>()f x [,62ππ且，则的最小正周期为_________.2()()()236f f f πππ==-()f x 【答案】π【详解】由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得，故答案为.π【解析】函数的对称性、周期性，属于中档题.三、解答题18．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若，，求：ABC c =1b =120C =(1)角B ；(2)的面积S .ABC 【答案】(1)30B =.【分析】(1)正弦定理求解；(2)根据面积公式求解.【详解】（1）由正弦定理，得，sin sin b cB C =sin 1sin 2b C B c ==因为在中，且，所以.ABC b c <120C = 30B =（2）因为，180A B C ++=所以.1801203030A =--=所以1sin 2S bc A ==19．已知．()23cos 3cos 2f x x x x =-+(1)求的单调递增区间；()f x (2)若，求的最大值和最小值．0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)32-【分析】（1）对化简得，则，，解出()f x ()π23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π232k x k -+≤-≤+Z k ∈即可；（2）由范围有，结合正弦函数的最值即可得到答案.x ππ2π2333x -≤-≤【详解】（1）依题意得：，()()233π2cos 1cos22223f x x x x x x ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭由，，ππ2π22π232k x k π-+≤-≤+Z k ∈得，()5Z 1212k x k k ππππ-+≤≤+∈所以的单调递增区间为．()f x ()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，，()π23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2π2333x -≤-≤则当，即时，ππ232x -=5π12x =max ()f x =当，即时，，ππ233x -=-0x =min 3()2f x =-所以在．()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦32-20．已知.(1,0),(2,1)a b ==(1)若,且、、三点共线,求的值.2,AB a b BC a mb =-=+A B C m (2)当实数为何值时,与垂直?k ka b - 2a b +【答案】(1)12-(2)125【分析】（1）根据题意，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；A B C ABBC m （2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，，()()0,1,12,AB BC m m =-=+且、、三点共线，则可得，A B C AB BC λ=即，解得()0121m m λλ⎧=+⎨-=⎩12m =-（2）由题意可得，，()()2,1,25,2ka b k a b -=--+=因为与垂直，则可得ka b - 2a b + ()()52210k -+⨯-=解得125k =21．在中，，．ABC 2cos c b B =23C π=（1）求；B ∠（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，ABC 求边上中线的长．BC 条件①：；c =条件②：的周长为ABC 4+条件③：ABC 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．6π【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1），则由正弦定理可得，2cos c b B = sin 2sin cos C B B =，，，，2sin 2sin 3B π∴==23C π= 0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得；23B π∴=6B π=（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，sin sin c C b B===与矛盾，故这样的不存在；c =ABC 若选择②：由（1）可得，6A π=设的外接圆半径为，ABCR 则由正弦定理可得，2sin6a b R Rπ===，22sin 3c R π==则周长24a b c R ++==+解得，则2R =2,a c==由余弦定理可得边上的中线的长度为：BC；=若选择③：由（1）可得，即，6A π=a b =则，解得211sin 22ABC Sab C a === a =则由余弦定理可得边上的中线的长度为：BC==。
北京市海淀区教师进修附属实验学校2021-2022高一数学下学期期中试题(含解析)
北京市海淀区教师进修附属实验学校2021-2022高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1.下列各角中，与60︒角终边相同的角是（ ） A. 60-︒ B. 300-︒C. 240︒D. 480︒【答案】B 【解析】 【分析】利用终边相同的角的公式判断分析得解.【详解】由题得60︒角在第一象限，60-︒角在第四象限，240︒角在第三象限，480360120︒=+，所以480︒角在第二象限，30036060-︒=-+，所以300-︒角在第一象限，与60︒角终边相同.故选：B【点睛】本题主要考查终边相同的角的公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.下列各式化简后的结果为cos x 的是（ ） A sin 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭B. ()sin x π+C. sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. ()sin x π-【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简判断即得解. 【详解】A. sin cos 2x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以选项A 错误； B. ()sin sin x x π+=-，所以选项B 错误；C. sin cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以选项C 正确； D. ()sin sin x x π-=，所以选项D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.若角α的终边经过点(),3P m -，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ） A. 5 B. 4C. 4-D. 5-【答案】C 【解析】 【分析】解方程45-检验即得解. 【详解】由题得4cos 45m α=-∴=±. 经检验4m =不满足方程45-，所以舍去. 故4m =-. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4.设向量0,2a ，3,1b ，则,a b 的夹角等于（ ）A.3π B.6πC.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的夹角公式求解即可.【详解】由题得22||2,||312,2a b a b ==+==.所以21cos ,,,2223a b a b π<>==∴<>=⨯. 所以,a b 的夹角等于3π. 故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.sin35cos 25cos35sin 25︒︒+︒的值等于（ ）A.14B.12C.2【答案】D 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式化简求值得解.【详解】由题得3sin 35cos 25cos35sin 25sin(3525)sin 60︒︒+︒=︒+==. 故选：D【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.()tan 40-︒，tan38︒，tan56︒大小关系是（ ）A. ()tan 40tan38tan56-︒>︒>︒B. ()tan56tan38tan 40︒>︒>-︒C. ()tan38tan 40tan56︒>-︒>︒D. ()tan56tan 40tan38︒>-︒>︒【答案】B 【解析】 【分析】先化简()tan 40tan 400-︒=-<，再利用函数的单调性比较tan38︒和tan56︒的大小即得解.【详解】由题得()tan 40tan 400-︒=-<，因为函数tan y α=在()0,90单调递增， 所以0tan38<︒<tan56︒. 故得()tan56tan38tan 40︒>︒>-︒. 故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式和正切函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.如果先将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，那么最后所得图象对应的函数解析式为（ ） A. sin 21y x =+ B. cos 21y x =+ C. sin 214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D. sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象的平移变换分析解答即得解.【详解】先将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()sin(2)42y x x ππ=+=+cos2x =，再将所得图象向上平移1个单位长度得到cos 2+1y x =.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8.使sin cos x x >成立的x 的一个变化区间是（ ） A. 3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭B. 3,04π⎛⎫-⎪⎝⎭C. ,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先化简已知得sin()04x π->，再解不等式即得解.【详解】由题得sin cos sin cos 0,2sin()0,sin()044x x x x x x ππ>∴->∴->∴->，.所以522,.22,.444k x k k Z k x k k Z ππππππππ<-<+∈∴+<<+∈ 当1k =-时，73.44x ππ-<<-因为373(,),444ππππ⎛⎫--⊂ ⎪⎝⎭--. 故选：A【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()()sin f x A x ωφ=+的部分图象如图所示，那么函数()f x 的解析式可以是（ ）A. ()sin 28f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()228f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()224f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭D. ()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由图象可求其周期T ，从而可求得ω，由()sin()f x A x ωϕ=+的最值可求A ，再根据3()8f π=ϕ，解析式可得．【详解】由图象得A =，52882T πππ=-=，2||T ππω==，2(0)ωω∴=>，∴())f x x ϕ=+，由题得3()8f π=333sin()1,2,.8442k k Z ππϕπϕπϕπ⨯++=∴+=+∈当0k =时，4πϕ=-.所以()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭.故选：C ．【点睛】本题考查由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，难点是对ϕ的确定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10.已知函数()1cos 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，如果存在实数12,x x ，使得对任意的实数x ，都有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值为（ ）A4πB.2π C. πD. 2π【答案】D 【解析】 【分析】先根据12()()()f x f x f x 对任意实数x 成立，进而可得到1x 、2x 是函数()f x 对应的最大、最小值的x ，得到12||x x -一定是2T 的奇数倍，然后求出函数()cos(f x =)24x π+的最小正周期，根据12||22Tx x n n π-=⨯=可求出求出最小值． 【详解】12()()()f x f x f x ，1x ∴、2x 是函数()f x 对应的最大、最小值的x ，故12||x x -一定是2T的奇数倍. 因为函数()cos(f x =)24x π+的最小正周期2412T ππ==12||(21)42(0,)2Tx x n n n n Z ππ∴-=+⨯=+≥∈ 12||x x ∴-的最小值为2π.故选：D【点睛】本题主要考查正弦函数的最值，考查基础知识的简单应用．高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化基础知识的夯实． 二、填空题 11.已知sin 2α=，[]0,2απ∈，则α=______. 【答案】4π或34π 【解析】 【分析】确定α在第一和第二象限，再写出方程的解.【详解】因为sin 0α=>，[]0,2απ∈， 所以α在第一和第二象限，所以4πα=或34π.故答案为：4π或34π【点睛】本题主要考查三角函数的象限符号和特殊角的三角函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12.已知扇形的半径为9，圆心角为120︒，则扇形的弧长为______，面积为______. 【答案】 (1). 6π (2). 27π 【解析】 【分析】直接利用扇形弧长和面积公式计算得解. 【详解】由题得扇形的弧长296,3l ππ=⨯=扇形面积169272S ππ=⨯⨯=. 故答案为：(1). 6π (2). 27π.【点睛】本题主要考查扇形的弧长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.13.若向量,a b 满足1a =，2b =，2a b -=，则a b ⋅=______. 【答案】12【解析】 【分析】把2a b -=两边平方化简即得解. 【详解】因为2a b -=，所以221+24,1424,2a b a b a b a b -=∴+-=∴=. 故答案为：12【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数()()cos[6]1,2,...,126y A x B x π=-+=来表示.已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为______℃. 【答案】20.5 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，求出,A B ，求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系，将10x =代入求出10月份的平均气温值．【详解】据题意得28A B =+，18A B =-+ 解得5A =，23B = 所以235cos[(6)]6y x π=+-令10x =得2235cos[(106)]235cos20.563y ππ=+-=+=. 故答案为：20.5【点睛】本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析式，根据解析式求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15.若函数()f x （()f x 值不恒为常数）满足以下两个条件： ①()f x 为偶函数；②对于任意的x ∈R ，都有33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则其解析式可以是()f x =______.（写出一个满足条件的解析式即可） 【答案】cos3y x =等（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题得函数的图象关于直线3x π=对称，是偶函数，根据函数的性质写出满足题意的函数.【详解】因为对于任意的x ∈R ，都有33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数的图象关于直线3x π=对称.又由于函数为偶函数，所以函数的解析式可以为()cos3f x x =.因为()cos(3)cos3()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数. 令3,.3k x k k Z x ππ=∈∴=，所以函数()f x 的图象关于直线3x π=对称.故答案为：cos3y x =等（答案不唯一）【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 三、解答题 16.已知1tan 2α=，且α为第三象限角. （Ⅰ）求sin 2cos sin cos αααα+-的值；（Ⅱ）求cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（Ⅰ）-5（Ⅱ）【解析】 【分析】 （Ⅰ）化简sin 2cos tan 2sin cos tan 1αααααα++=--，再代入已知得解；（Ⅱ）先根据已知求出sin α=cos α=，再代入cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭即得解.【详解】解：（Ⅰ）因为1tan 2α=， sin 2cos tan 2sin cos tan 1αααααα++=--，所以12sin 2cos 251sin cos12αααα++==--- （Ⅱ）由1tan 2α=，得cos 2sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 5α=，注意到α为第三象限角，可得sin α=，cos α=.所以cos cos cos sin sin 444πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭==. 【点睛】本题主要考查同角的商数关系和平方关系，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17.已知向量()3,a k =，()0,1b =-，()1,3c =.（Ⅰ）若a c ⊥，求k 的值；（Ⅱ）当1k =时，a b λ-与c 共线，求λ的值； （Ⅲ）若3m b =，且m 与c 的夹角为150︒，求2m c +.【答案】（Ⅰ）1k =-.（Ⅱ）2λ=.（Ⅲ）2m c +=【解析】【分析】 （Ⅰ）由0a c ⋅=得方程即得解；（Ⅱ）先求出()3,1a b λλ-=+()10λ+=，解方程即得解. （Ⅲ）先求出3m =，3m c ⋅=-，即得2m c +.【详解】解：（Ⅰ）∵a c ⊥，∴0a c ⋅=.0=，∴1k =-.（Ⅱ）当1k =时，()())3,10,1a b λλλ-=--=+.a b λ-与c 共线()10λ+=.所以2λ=. （Ⅲ）∵1b =，2c =，∴33m b ==.∵m 与c 的夹角为150︒，∴cos1503m c m c ⋅=︒=-.∴()222222427m c m c m m c c +=+=+⋅+=. ∴27m c +=.【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量平行的坐标表示，考查平面向量的数量积及运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()11sin 2cos 2222f x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）最小正周期为π.单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（Ⅱ）3π【解析】【分析】（Ⅰ）化简已知得()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）先求出522666x m πππ-≤-≤-，由题得262m ππ-≥，解不等式即得解.【详解】解：（Ⅰ）()111cos 22sin 222262f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. 因为sin y x =的单调递减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈所以令3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈解得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈因此()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 由题意知3x m π-≤≤.所以522666x m πππ-≤-≤-. 要使得()f x 在,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭在,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以262m ππ-≥，即3m π≥. 所以m 的最小值为3π. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知集合{}123,,,,n A a a a a =，其中i a ∈R ，1i n ≤≤，2n >．()l A 表示(1)i j a a i j n +≤<≤中所有不同值的个数．（1）设集合{}2,4,6,8P =，{}2,4,8,16Q =，分别求()l P 和()l Q ．（2）若集合{}2,4,8,,2n A =，求证：(1)()2n n l A -=． （3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()5l P =，()6l Q =；（2）见解析；（3）23n -.【解析】【详解】试题分析：（1）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l （P ）和l （Q ）； （2）先由a i +a j （1≤i＜j≤n）最多有()21C 2n n n -=个值，可得()()12n n l A -≤，；再利用定义推得所有a i +a j （1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．（3）l （A ）存在最小值，设123n a a a a <<<<，所以1213121n n n n a a a a a a a a a a -+++<<+<<<<+．由此即可证明l （A ）的最小值2n-3． 试题解析：（1）由246+=，268+=，2810+=，4610+=，4812+=，6814+=得()5l P =， 由246+=，2810+=，21618+=，4812+=，41620+=，81624+=得()6l Q =． （2）证明：∵(1)i j a a i j n +≤<≤最多有()21C 2n n n -=个值，∴()()12n n l A -≤， 又集合{}2,4,8,,2n A =，任取i j a a +，(1,1)k l a a i j n k l n +≤<≤≤<≤， 当j l ≠时，不妨设j l <，则22j i i j j l k l a a a a a a ++<=≤<+，即i j k l a a a a +≠+，当j l =，i k ≠时，i j k l a a a a +≠+，∴当且仅当i k =，j l =时，i j l k a a a a +=+，即所有(1)i j a a i j n +≤<≤的值两两不同，∴()()12n n l A -=． （3）()l A 存在最小值，且最小值为23n -，不妨设123n a a a a <<<<，可得1213121n n n n a a a a a a a a a a -+<+<<+<+<<+， ∴(1)i j a a i j n +≤<≤中至少有23n -个不同的数，即()23l A n ≥-，取{}1,2,3A n =，则{}3,4,5,21i j a a n +∈-，即i j a a +的不同值共有23n -个， 故()l A 的最小值为23n -．。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
北京市2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷含答案
北京2023—2024学年度第二学期期中检测高一数学测试卷（答案在最后）班级：______姓名：______注意事项：1.本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α的值为（）A.2- B.2C.12-D.12【答案】A 【解析】【分析】直接由三角函数定义求解即可.【详解】由三角函数定义可知2tan 21y x α-===-.故选：A.2.sin300︒的值为（）A.12B.12-C.32D.【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式二将sin 300︒化简为sin120︒-，计算即可.【详解】由诱导公式二，得sin 300sin(180120)sin1202︒︒︒︒=+=-=-.故选：D.3.在ABC 中，若2a =，b =，30A =︒，则B 等于（）A.30︒B.30︒或150︒C.60︒D.60︒或120︒【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即233sin sin sin 3022b B A a ==⋅︒=，又由a b <，且0180B ︒<<︒，所以60B =︒或120B =︒，故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A.2- B.1- C.0D.1【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量,a b满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B5.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（）A.()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，可得()sin 2(sin(2)63g x x x ππ=-=-.故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.6.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到tan tan A B =，由此得到A B =，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.已知向量m 和n都是非零向量，则“0m n > ”是“,m n 为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先由0m n >及向量夹角范围[]0,π推断充分性，再由数量积定义以及“,m n为锐角”即可推断必要性.【详解】因为0m n > ，向量m 和n都是非零向量，则由·cos ,m n m n m n = 得cos ,0m n >，所以由向量夹角范围为[]0,π，得“,0m n = ”或“,m n为锐角”；反之，若,m n 为锐角，则·cos ,0m n m n m n m n ==>，故“0m n >”是“,m n为锐角”的必要不充分条件.故选：B .8.函数()cos cos 2f x x x =-是A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2C.奇函数，且最大值为98 D.偶函数，且最大值为98【答案】D 【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.9.底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为36°的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得cos 216︒的值是（）A.458+B. C.358+-D.1254-【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件求出cos 72︒，再根据二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得出答案.【详解】解：如图，ABC 为一个黄金三角形，其中,36AB AC BAC =∠=︒，D 为BC 的中点，根据题意可知12BC AB -=，则112cos 4BCBD B AB AB-===，即1cos 724︒=，又2cos 722cos 361︒=︒-，则212cos 3614-︒-=，解得1cos364+︒=，所以()1cos 216cos 18036cos364︒=︒+︒=-︒=-.故选：B.10.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2-B.32-C.43-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，2y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分.11.若一个扇形的圆心角为2弧度，半径为2cm ，则这个扇形的弧长是______cm.【答案】4【解析】【分析】由扇形弧长公式l R α=即可求解.【详解】由扇形弧长公式得这个扇形的弧长是224l R α==⨯=.故答案为：4.12.正方形ABCD 的边长为2，点P 为BC 边中点，则PB PD=______.【答案】1-【解析】【分析】先由题意读出PB PC =- ，PB CD ⊥ ，且1PB PC == 即可求解PB PD.【详解】由题可得PB PC =- ，PB CD ⊥，且1PB PC == ，所以()2····1PB PD PB PC CD PB PC PB CD PB =+=+=-=- .故答案为：1-.13.若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin(66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】【分析】根据,A B 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.14.已知()πsin cos 3f ⎛⎫α=α+α ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______；若()2f α=且[]0,πα∈，则α的取值为______.【答案】①.4②.0，π6，π【解析】【分析】先化简()f α，接着将π3x =代入()f α即可求解；令()32f α=结合[]0,πα∈即可求出α的取值.【详解】由题()2π1sin cos sin cos 322f αααααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()1313sin 21cos 2244234πααα⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，故π1sin 2323344f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()2f α=，即1sin 22342πα⎛⎫++=⎪⎝⎭，sin 232πα⎛⎫⇒+=⎪⎝⎭，2233k ππ⇒α+=+π或()222Z 33k k ππαπ+=+∈，即k απ=或()Z 6k k παπ=+∈，又[]0,πα∈，所以π0,,π6α=.故答案为：4；π0π6α=，15.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，设()()g x f x =，给出以下四个结论：①函数()g x 的最小正周期是3π；②函数()g x 在区间75,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③函数()g x 的图象过点0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；④直线1318x π=为函数()g x 的图象的一条对称轴．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】①②④【解析】【分析】根据函数()f x 图象求出()sin(3)6f x x π=-，结合三角函数的性质进而求出函数()sin(3)6g x x π=-的零点，作出()g x 图象，利用数形结合的思想依次判断结论即可.【详解】由图象得，2223491863T T T πππππω=-=⇒=⇒==，又函数()f x 图象过点2(1)9π，，所以2322926k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=-，由2πϕ<，得6πϕ=-，所以()sin(3)6f x x π=-，所以()()sin(3)6g x f x x π==-，令36183k x k x ππππ-=⇒=+，所以函数()g x 的零点有571318181818ππππ-，，，，作出图象，如图，由图象可得，()g x 的最小正周期为3π，故①正确；函数()g x 在710[]1818ππ，上单调递增，即()g x 在75(189ππ，上单调递增，故②正确；令0x =，得1()sin()62g x π=-=，即函数图象过点1()20，，故③错误；由函数图象知直线1318x π=是()g x 图象的一条对称轴，故④正确.故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5α=.（1）求sin 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）求2costan 24απα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）210-；（2）7910.【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，（2）根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出.【详解】（1）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos 5α==.所以sin cos )4210πααα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.（2）因为3sin 5α=，4cos 5α=，所以sin 3tan cos 4ααα==.所以21cos 1tan 79costan 2421tan 10απαααα++⎛⎫++=+= ⎪-⎝⎭.17.已知平面向量a ，b满足4a = ，8b = ，2π,3a b = .（1）求a b；（2）求2a b -；（3）当实数k 为何值时，()()a kb ka b +⊥-.【答案】（1）16-（2）（3）32-±【解析】【分析】（1）由数量积定义即可求解.（2）根据模长公式结合数量积运算律即可求解.（3）根据向量的运算律以及垂直关系的向量表示即可求解.【小问1详解】由题2π1··cos481632a b a b ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）16a b =-，所以28a b -==.【小问3详解】因为()()a kb ka b +⊥-，所以()()()()2222·1·16161640a kb ka b ka k a b kb k k k +-=+--=---= ，整理得2310k k +-=，解得32k -±=.18.在ABC 中，sin 2C C =．（1）求C ∠；（2）若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】（1）6π（2）6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为()0,C π∈，则sin 0C >，由已知可得2sin cos C C C =，可得3cos 2C =，因此，6C π=.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得22232cos 483626122c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，c ∴=，所以，ABC 的周长为6a b c ++=+.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.（1）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求()cos αβ+的值；（2）若32AB =，求·OAOB 的值.【答案】（1）6365-（2）18-【解析】【分析】（1）先由题意求出点A 、B 的坐标，进而由三角函数定义以及两角和余弦公式即可求解.（2）根据已知用余弦定理求出向量夹角，再结合数量积定义公式即可求解.【小问1详解】由题点A 、B 在单位圆上，且分别在第一象限和第二象限.故由点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，得34,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，512,1313B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3sin ,cos ,si 43125551n s 3co 1,α=α=β=β=-，所以()3541263cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为32AB =，所以222114cos 228OA OB AB AOB OA OB -+-∠===-⋅，所以1·cos 8OA OB OA OB AOB =∠=- .20.设函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭.（1）若()02f =-，求ϕ的值；（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求ω，ϕ的值.条件①：π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.【答案】（1）π3ϕ=-（2）答案见解析【解析】【分析】（1）直接用两角和的正弦公式化简，然后代入0x =计算即可；（2）选择①，函数()f x 不存在；选择②，根据π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2π=13f ⎛⎫⎪⎝⎭计算即可；选择③，根据π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2π=13f ⎛⎫⎪⎝⎭计算即可.【小问1详解】因为()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，所以()()sin f x x ωϕ=+.由()302f =-，得3sin 2ϕ=-.又因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-；【小问2详解】选择条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭，因为()()sin f x x ωϕ=+，所以ππsin 33f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不可能；选择条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()()sin f x x ωϕ=+，所以()f x 的最小值为1-，最大值为1，又因为()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2π=13f ⎛⎫⎪⎝⎭，所以由三角函数的性质得2πππ233T =+=，故2πT =.因为0ω>，所以2π1Tω==，()()sin f x x ϕ=+.由πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()π=2π6k k ϕ-∈Z .又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-.选择条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，因为()()sin f x x ωϕ=+，所以()f x 的最小值为1-，最大值为1.由题意得π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以由三角函数的性质得2πππ233T =+=，故2πT =.因为0ω>，所以2π1Tω==，()()sin f x x ϕ=+.由πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()π=2π6k k ϕ-∈Z .又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-.21.若点()00,x y 在函数()f x 的图象上，且满足()000y f y ⋅≥，则称0x 是()f x 的ζ点．函数()f x 的所有ζ点构成的集合称为()f x 的ζ集．（1）判断43π是否是函数()tan f x x =的ζ点，并说明理由；（2）若函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ，求ω的最大值；（3）若定义域为R 的连续函数()f x 的ζ集D 满足D R Ü，求证：(){}0x f x =≠∅．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）π；（3）见解析【解析】【分析】（1）直接求出0y =()00f y <，即可得到()000y f y ⋅<，即可得到结论；（2）先说明ωπ≤，若ωπ>，则2T <，由题设得到2T ≥，推出矛盾即可证得；再说明ω的值可以等于π，令0ϕ=，利用三角函数的值域加以证明即可；（3）由题设知，必存在0x ∈R ，使得()()000f x f y ⋅<，结合零点存在定理说明函数()f x 必存在零点，即可证明.【小问1详解】43π不是函数()tan f x x =的ζ点，理由如下：设043x π=，则04tan3y π==，()0f y =，因为2ππ<<，所以()0tan 0f y =<，所以()000y f y ⋅<，所以43π不是函数()tan f x x =的ζ点；【小问2详解】先证明ωπ≤，若ωπ>，则函数()f x 的最小正周期22T πω=<，因为函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ，所以对0x ∀∈R ，0x 是()f x 的ζ点，令()00y f x =，则()000y f y ⋅≥，因为函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的值域为[]1,1-，所以当[]00,1y ∈时，必有()00f y ≥，即()()sin 0f x x ωϕ=+≥对于[]0,1x ∈恒成立，所以102T≥-，即()f x 的最小正周期2T ≥，与2T <矛盾；再证明ω的值可以等于π，令()sin f x x π=，对0x ∀∈R ，当()[]000,1y f x =∈时，()[]00,1f y ∈，()000y f y ⋅≥；当()[]001,0y f x =∈-时，()[]01,0f y ∈-，()000y f y ⋅≥，所以0x 是()f x 的ζ点，即函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ；综上所述，ω的最大值是π；【小问3详解】因为函数()f x 的ζ集D 满足D R Ü，所以存在0x ∈R ，使得()00y f x =且()000y f y ⋅<，即()()000f x f y ⋅<，因为若00x y =，则()()()()20000f x f y f y ⋅=≥，所以00x y ≠，因为函数()f x 的图象是连续不断的，不妨设00x y <，由零点存在定理知，必存在()100,x x y ∈使得()10f x =，所以()f x 存在零点，即(){}0x f x =≠∅.【点睛】本题的第二小问关键点在于先假设ωπ>，利用周期推出矛盾，进而证得ωπ≤，再利用三角函数的值域说明ω的值可以等于π即可；第三小问的关键点在于得到存在0x ∈R ，使得()()000f x f y ⋅<，结合零点存在定理即可证明.。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
北京市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）（答案在最后）1.若复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限．故选：B .2.已知向量(2,1)a = ，(4,)b x = ，且a b∥，则x 的值为（）A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ，(4,)b x =，且a b∥，240x ∴-=，即2x =．故选：B ．3.在三角形ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0120A ∠=，2a =，3b =，则B ＝（）A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于0120A ∠=为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：21sin sin1203sin 2B B =⇒=，选D.考点：解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题知，如图，PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=，故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选：A5.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+，故选：A.6.已知非零向量a ，b，则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ，则a b b -=，a b b -= ，所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若a b b -= ，则220a a b -⋅=，()20a a b ⋅-= ，当()1,0a = ，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()20,1a b -= ，()20a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠.所以，“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件，故选：B.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos a B c =，则ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，再由()C A B π=-+，可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，从而可得in 0()s A B -=，进而可得结论【详解】解：因为2cos a B c =，所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦，所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为A B ππ-<-<，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：B8.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=，则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义，sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=，所以a b b a⨯=⨯正确；()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ，所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯，故B错误；C 、sin 0a b a b θ⨯== ，则0,θπ=，所以//a b 正确；D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ，所以()a b a b ⨯=-⨯正确．故选B ．点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A 、C 、D 都是正确的，所以错误的就是B ．9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点Q ，使BQ AC ∥B.不存在点Q ，使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ，使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项，根据异面直线的定义可以判断；B 选项，容易发现1,A Q 重合时符合题意；C 选项，利用线面垂直得到线面垂直；D 选项，先找出平面1PCC 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项，由于BQ ⋂平面ABCB =，B AC ∉，AC ⊂平面ABC ，则,BQ AC 一定异面，A 选项错误；B 选项，根据直三棱柱性质，1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1BB BC ⊥，又AB BC ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面11ABB A ，故BC ⊥平面11ABB A ，又1BA ⊂平面11ABB A ，故1BC BA ⊥，显然11BC B C ∥，即111B C BA ⊥，故1,A Q 重合时，11BQ B C ⊥，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ⊥，B 选项已经分析过，BC ⊥平面11ABB A ，由1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB BC ⊥，又1BC BA B ⋂=，1,BC BA ⊂平面1BCA ，故1AB ⊥平面1BCA ，又BQ ⊂平面1BCA ，则1BQ AB ⊥必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ⊥，垂足为N ，根据1BB ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，故1BB BN ⊥，显然11BB CC ∥，故1BN CC ⊥，由BN CM ⊥，1CC CM C = ，1,CC CM ⊂平面1CMPC ，故BN ⊥平面1CMPC ，若BQ 平面1PCC ，则BQ BN ⊥，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B = ，1,BQ BB ⊂平面1BQOB ，故BN ⊥平面1BQOB ，由于1B O ⊂平面1BQOB ，故1BN B O ⊥，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ⊥，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题（每题5分，共30分）11.已知复数i(1i)z =+，则z =________；||z =________．【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，则1i z =--，||z ==.故答案为：1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ，(2,1)b =- ，则2a b += ________；向量a 在b上的投影向量的坐标为________．【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：(1,1)a =-r，(2,1)b =-，则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-；()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-，||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为：363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为：(0,1)-；63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF，DF，则AF BC ⊥，DF BC ⊥，即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC中，sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为：13.14.已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，则cos ,OA OB <>=___________；若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可；②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA = ，(,0)OB m =，所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===；②(1,2)AB m =-- ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.故答案为：5；515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+，C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中，22AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE V 翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．①BM 是定值；②一定存在某个位置，使1CE DA ⊥；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使1MB A DE 平面∥．【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ，结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ，结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则1MF DA ∥，BF DE ，11122MF A D ==，FB DE ==由等角定理知，1π4A DE MFB ∠=∠=，所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=，所以52MB =是定值，故①正确；对于④，由①知，1MF DA ∥，BF DE ，又FB 、MF ⊄平面1A DE ，1DA 、DE ⊂平面1A DE ，所以//FB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，又FB MF F = ，FB 、MF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故④正确，对于②，连接EC ，如图所示，当1A C =时，因为11A E =，CE =22211A C A E CE =+，所以1A E CE ⊥，因为矩形ABCD 中，D E C E ==，2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A E DE E ⋂=，1A E 、DE ⊂平面1A DE ，所以CE ⊥平面1A DE ，又1A D ⊂平面1A DE ，所以1CE DA ⊥，故②正确；对于③，假设③正确，即在某个位置，使1DE A C ⊥，又因为矩形ABCD 中，D E C E ==2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A C EC C ⋂=，1AC 、EC ⊂平面1A EC ，所以DE ⊥平面1A EC ，又1A E ⊂平面1A EC ，所以1DE A E ⊥，这与1π4DEA ∠=矛盾，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，故③错误．故答案为：①②④.三、解答题（每题14分，共70分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线证得EF PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）由线面垂直性质可得PD CD ⊥，结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ，F 分别是AB ，PB 的中点，所以EF PA ∥，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ；【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，CD AD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，由（1）知，EF PA ∥，所以EF CD ⊥．18.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x =【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈，所以由函数图象性质知，当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =．19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =．（1）求证：平面//BAF 平面CDE ；（2）求证：平面EAC ⊥平面EBD ；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13BM BD =，证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果；（2）根据条件得到AC ⊥平面EBD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ，AF ⊄面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//AF 平面CDE ，同理，//AB 平面CDE ，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，DE ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC DE ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面EBD ，AC ∴⊥平面EBD ，AC ⊂ 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时，//AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ∥，则MN 平行且等于13BD ，//AF DE ，3DE AF =，∴AF 平行且等于MN ，∴AMNF 是平行四边形，//AM FN ∴，AM ⊄ 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =.（Ⅰ）若π3A ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）π3B ∠=，（2）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =，再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =，所以为等边三角形．所以π3B ∠=（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=，又sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析：（Ⅰ）方法一：因为2sin sin sin ,A B C =且，所以2a bc =．又因为π3A ∠=，所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-．所以2()0b c -=．所以b c =．因为π3A ∠=，所以为等边三角形．所以π3B ∠=．方法二：因为πA BC ++=，所以sin sin()C A B =+．因为2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以2ππsin sin()sin 33B B +=．所以13sin cos sin )224B B B +=．所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=．所以12cos 2122B B -=．所以πsin(2)16B -=．因为(0,π)B ∈，所以ππ112(,π)666B -∈-．所以ππ262B -=，即π3B ∠=．（Ⅱ）因为2sin sin sin ,A B C =1bc =，且，所以21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．所以sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．考点：三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，则称X 具有性质P ．（1）判断{}1,1,2-是否具有性质P ；（2）若2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，求x 的值；（3）若X 具有性质P ，求证：1X ∈且当1n x >时，11x =．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x = ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =∈ ，()2,a s t Y =∈ ，由120a a ⋅= ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X ∈，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x = ，又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =- 时，由120a a ⋅= ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =- 时，由120a a ⋅= ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =- 时，由120a a ⋅= ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.【小问3详解】证明：取()111,a x x Y =∈ ，设()2,a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅= ，所以()100s t x s t +=⇒+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X ∈，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,n b x x = ，并设()2,b p q = ，满足120b b ⋅= ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。
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海淀区高一年级第二学期期中练习数 学 2015.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.cos45cos15sin 45sin15-=A． BC ．12-D ．122. 已知1tan 3α=，则tan2α=A.34B.38C.1D.12 3. 下列等式中恒成立的是AA. ππ1sin cos()cos sin()662αααα+-+=-B.π1tan tan(+)41tan ααα-=+ C. πsin()sin cos 4ααα+=+ D.sin cos sin ααα=4.若数列{}n a 满足212n n a -=，则A. 数列{}n a 不是等比数列B. 数列{}n a 是公比为4的等比数列C. 数列{}n a 是公比为2的等比数列D. 数列{}n a 是公比为12的等比数列 5.在△ABC 中，∠BA. 45° 6.1135(2n -+++++-A.21n -B. 7. 已知△ABC A ．310C ．358.已知钝角．．三角形ABC 公差d 的取值范围是 A.02d << B. 1sin10-= A ．2 B ．10.已知数列{}n a A.C.二、填空题：本大题共6小题， 每小题3分，共18分.11.若等差数列{}n a 的通项公式12n a n =-，则其公差d =_______.12.在△ABC 中，∠B ＝60°，a ＝2，c ＝3，则b =_________. 13.若等比数列{}n a 中，122,6a a ==，则12n a a a +++=_________.14.已知数列{}n a 满足1112n n a a --=（2,n n ≥∈N ），且313a =，则1a =___________,数列{}n a 的通项公式为___________.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若A B >，给出下列四个结论： ①a b >；②sin sin A B >；③cos cos A B <；④tan tan A B >. 其中所有正确结论的序号是_______________.16.已知数列{}n a 满足1n n a a n -+=（2,n n ≥∈N ），且11a =-，则10a =___________,其前21k -*()k ∈N 项和21k S -=_______________.三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）已知等差数列{}n a 满足39a =-，公差3d =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和n S 是否存在最小值？若存在，求出n S 的最小值及此时n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题共12分）已知函数2()2cos (1tan )f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]4上的值域.19. （本小题共11分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n a S =-()*n ∈N . （Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅲ）若数列{}n b 满足22n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题共10分）如图所示，在山顶P 点已测得三点A ，B ，C 的俯角分别为,,αβγ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出,,AD EB BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤.解1：步骤1：还需要直接测量的线段为 步骤2：计算线段 计算步骤：步骤3：计算线段 计算步骤：步骤4：计算线段 计算步骤：海淀区高一年级第二学期期中练习答案数 学 2015.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.DAABA ACCDB二、填空题：本大题共6小题， 每小题3分，共18分.11.2- 13.31n - 14.1-，123n - 15.①②③ 16. 7，22k - 说明：两空的题目第一空1分，第二空2分；第15题对一个一分，有错误选支0分三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，且39a =-，公差3d =，所以由192a d-=+可得115a =-，-----------------------------------------------------------------1分所以数列{}n a 的通项公式为153(1)n a n =-+-，即318n a n =-.-------------------------3分 （Ⅱ）法1：由等差数列求和公式可得(1)1532n n n S n -=-+⨯--------------------------5分 即223311121(11)[()]2224n S n n n =-=-- ----------------------------------------------------6分所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. -------------------------------------------------9分法2：因为318n a n =-，所以，当6n <时，0n a <；当6n =时，0n a =；当6n >时，0n a >，即当16n <<时，1n n S S -<；当6n =时，1n n S S -=；当6n >时，1n n S S ->，--------6分所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. --------------------------------------------------9分18.（本小题共12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z .-------------------------------------2分（Ⅱ）因为2()2cos (1tan )f x x x =+22cos 2sin cos x x x =+-------------------------------------------------------4分 1cos2sin2x x =++------------------------------------------------------------8分π1)4x =+-----------------------------------------------------------10分因为π[0,]4x ∈，所以ππ3π2[,]444x +∈，--------------------------------------------------------11分所以()f x 在区间π[0,]4上的值域为[2,1+.------------------------------------------------12分19. （本小题共11分）解：（Ⅰ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124a S =-，即1124a a =-，-------------------1分 解得14a =-.----------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124,1,n n a S n n --=->∈N ，--------------------------3分 所以1122,1,n n n n a a S S n n ---=->∈N ，即122,1,n n n a a a n n --=>∈N ，----------------4分 整理得12,1,n n a a n n -=>∈N ， --------------------------------------5分 因为140a =-≠， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列.----------------------------------------------------------6分 （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得数列{}n a 是以4-为首项且公比为2的等比数列，所以11422n n n a -+=-⨯=-， ----------------------------------------------------------------7分 所以212222n n n b a n n +=+=-+，---------------------------------------------------------------8分所以数列{}n b 的前n 项和n T 是一个等比数列与等差数列的前n 项和的和-----------------9分 由等比数列和等差数列的前n 项和公式可得8(14)(22)142n n n n T --+=+-----------------------------------------------------------11分28(41)3n n n =+-⨯-.20. （本小题共10分） 解1：ACγαβ步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD EB BC -------------------------------------------2分 步骤2：计算线段PC 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；---------------3分由正弦定理可得sin sin BC PCBPC PBC =∠∠， --------------------------------5分 整理可得sin sin()BC PC ββγ=-； ---------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AC 的长.计算步骤：在PAC ∆中，PAC α∠=，πAPC αγ∠=--，由正弦定理sin sin AC PCAPC PAC =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PC AC αγα+=； -----------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.sin sin()sin sin()BC DE AC AD EB BC AD EB BC βαγαβγ+=---=----.-----------10分解2：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD BE BC --------------------------------------------2分 步骤2：计算线段PB 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；----------------3分由正弦定理可得sin sin BC PBBPC PCB =∠∠， ---------------------------------5分 整理可得sin sin()BC PB γβγ=-；-----------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AB 的长.计算步骤：在PAB ∆中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--，由正弦定理sin sin AB PBAPB PAB =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PB AB αβα+=；------------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.。
2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题1【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题1一、单选题1．若角的终边经过点，则（ ）α()2,3P -tan α=A ．B ．C ．D ．23-2332-32【答案】C【分析】由正切三角函数的定义可得答案.【详解】因为角的终边经过点，所以.α()2,3P -3tan 2y x α==-故选：C.2．（ ）cos72cos12sin 72sin12+=A ．B ．C ．D 12-12【答案】B【分析】利用两角和差余弦公式直接求解即可.【详解】.()1cos 72cos12sin 72sin12cos 7212cos 602+=-==故选：B.3．若，则点位于（ ）2απ<<π(cos ,sin )Q ααA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】由角在第二象限知，余弦小于零，正弦大于零，因此对点来说横坐标小于零纵坐标大于零，故可以确定点位于第二象限【详解】 2απ<<πcos <0sin 0αα∴>，∴点在第二象限.Q 故选:.B 【点睛】本题考查三角函数值的符号,难度容易.4．若正方形的边长为（ ）ABCD CA BA ⋅=A ．8B ．C ．4D ．8-4-【答案】A【分析】将向量用表示，再根据数量积运算律即可得解.AC ,AB AD【详解】.()28AD CA BA AC AB AB AB AB AD AB ++⋅⋅===⋅=⋅故选：A.5．设，且，则（ ）(),αππ∈-1cos 2α=-α=A ．或B ．或C ．或D ．或23π-23π3π-3π3π-23π23π-3π【答案】A【解析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】因为，且，(),αππ∈-1cos 2α=-则或.23πα=-23π故选：A【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6．若圆的半径为6cm ，则圆心角为的扇形面积是（ ）18πA ．B ．C ．D ．2cm 2π2cm π23cm 2π22cmπ【答案】B【解析】直接利用扇形面积计算公式即可得出．【详解】因为圆的半径为6cm ，圆心角为，18π所以扇形的面积为： ，()222c 11622m 18S R παπ==⨯⨯=故选：B.7．如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（ ）(2,1)a = ()1,3b = A ．B ．3b a=//a bC ．与的夹角为D ．在a b 30a b【答案】D【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.【详解】对于A ，，则，A 错误；a ===3b a≠对于B ，，则不平行，B 错误；2311⨯≠⨯,a b对于C ，，又，则，C 错误；cos ,a b a b a b⋅===⋅,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦,45a b = 对于D ，在上的投影向量的模为D 正确.a ba b b⋅==故选：D.8．下列关于函数的说法错误的是（ ）tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．最小正周期是πB ．函数的定义域为,6x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．图象关于点成中心对称,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．在区间上单调递增5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据正切函数的周期公式、定义域、对称中心、单调性可判断出答案.【详解】由正切函数的最小正周期公式可得函数的最小正周期为，故A 正tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1T ππ==确；由，，得，，32x k πππ+≠+Z k ∈6x k ππ≠+Z k ∈所以函数的定义域为，故B 正确；,6x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭由，，得，，，32k x ππ+=Z k ∈23k x ππ=-Z k ∈令，得，故函数的图象不关于点成中心对称，故C 不正233k πππ-=43k =Z ∉tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭确；当时，，因为在上单调递增，566x ππ-<<232x πππ-<+<tan y x =(,)22ππ-所以函数在区间上单调递增，故D 正确.tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭故选：C9．如图，AB 为半圆的直径，点C 为的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若AB ，则的取值范围是（ ）2AB =AC MB+A ．B ．[]1,3⎤⎦C ．D ．⎡⎣【答案】D【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出02MB ≤≤ ()22AC MB AC MB+=+=，从而可求出答案.()211MB ++【详解】因为点C 为的中点，， AB 2AB =4CAB π∠=所以()22222AC MB AC MB AC MB AC MB +=+=++⋅ ，()22222cos 22114AC MB AC MB MB MB MB π=++⋅=++=++ 因为点M 为线段AB 上的一点，所以，所以，02MB ≤≤()221110MB ≤++≤所以的取值范围是,AC MB + 故选：D.10．如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最8m 12min 2m 低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系P ()h m ()min t是A ．B ．8cos106h t π=+8cos 103h t π=-+C ．D ．8sin106h t π=-+8cos106h t π=-+【答案】D【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点h T A B ω代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.()0,2ϕh t 【详解】由题意可得，，，，，max 18h =min2h =12T =max min 82h h A -∴==max min 102h hB +==，，当时，，得，26T ππω==8sin 106t h πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0=t 8sin 102ϕ+=sin 1ϕ=-，可取，所以，故选D.sin 1ϕ=-2πϕ=-8sin 108cos 10626h t t πππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的解析式，基本步骤如下：()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>（1）求、：，；A b ()()max min2f x f x A -=()()max min2f x f x b +=（2）求：根据题中信息得出最小正周期，可得出；ωT 2T πω=（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.ϕϕ二、填空题11． =_________________．sin 600︒【答案】【分析】利用诱导公式，即可求解.【详解】()()sin 600sin 360240sin 240sin 18060sin 60=+==+=-=故答案为：三、双空题12．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则a b c______；______.()a b c -⋅=a b ⋅=【答案】23【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标系，所以，，，()2,1a =()2,1b =-()0,1c =所以，，.()0,2a b -=()2a b c -⋅= ()22113a b ⋅=⨯+⨯-=故答案为：；23四、填空题13．已知，，与的夹角为______.4a =3b = a + a b 【答案】2π3【分析】根据向量的数量积概念及运算律，即可求出结果.【详解】，所以，所以()222222242313a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅+=6a b ⋅=- .又，所以.61cos 432θ⋅-===-⨯ a b a b 0πθ≤≤2π3θ=故答案为：2π3五、双空题14．已知函数，那么函数的最小正周期是_____：若函数在()()sin 2()2f x x πϕϕ=+<()f x ()f x 上具有单调性，且，则________.5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦526f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕ=【答案】π3π-【解析】（1）利用周期公式求解即可.（2）对代入化简可求出的正切值，写出表达式，根据范围确定的值.526f fππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕϕ【详解】（1）22T ππ==（2）由可得，利用诱导公式化简可得526f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5sin sin 3ππϕϕ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，展开得，sin sin 3πϕϕ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭1sin sin 2ϕϕϕ=tan ϕ∴=，又，()3k k Z πϕπ∴=-+∈2πϕ< 3ϕπ∴=-【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧2T πω=ωϕ图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令或)，即可求出，否则需要代入0x 00x ωϕ+=0x ωϕπ+=ϕ点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对的符号或ωϕ,A ω对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.ϕ六、填空题15．正的边长为，中心为点，过的动直线与边、分别相交于点、，ABC 1O O l AB AC M N ，，，，给出下列四个结论：AM AB λ=AN AC μ= BD DC = 0λμ≠①；1133AO AB AC=+②若，则；2AN NC = 14AD NC ⋅=-③不是定值，与直线的位置有关；11λμ+l ④的最小值为.AM AN ⋅29其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【分析】对于①：根据等边三角形得性质结合平面向量得线性运算可得，1122AD AB AC=+ ，运算判断；对于②：根据题意可得，代入结合数量积的定义和运算律处理23AO AD=13NC AC = 运算；对于③：根据三点共线结论可判断③；利用③中的结论以及平面向量数量积的运算性质、基本不等式求出的最小值，可判断④.AM AN ⋅【详解】因为为的中点，则，D BC ()1111122222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC=+=+=+-=+因为为正的中心，则，①正确；O ABC 221111332233AO AD AB AC AB AC⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭若，则，，2AN NC = 13NC AC = 211cos 122AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯=所以，，②错误；2111111223664AD NC AB AC AC AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为、、三点共线，设，即，M O N ()MO tMN t =∈R()AO AM t AN AM-=- 所以，，()1AO t AM t AN=-+ 因为，11113333AO AB AC AM AN=+=+ λμ因为、不共线，则，所以，，所以，，③错误；AM AN11313t t λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩111133t t λμ+=-+=113λμ+=因为过的动直线与边、分别相交于点、，，，O l AB AC M N AM AB λ=AN AC μ= 所以，，，由基本不等式可得，01λ<≤01μ<≤113=+≥λμ49λμ≥当且仅当时，等号成立，23λμ==，π12cos 329AM AN λAB μAC λμAB AC λμAB AC λμ⋅=⋅=⋅=⋅=≥当且仅当时，等号成立，故的最小值为，④正确.23λμ==AM AN ⋅ 29故答案为：①④.七、解答题16．已知.()()()()3πsin πcos 4πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)若是第三象限角，且，求的值.α()2sin π5α-=()f α【答案】(1)()αcos αf =-【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）先利用诱导公式求出，再根据平方关系求出即可得解.sin αcos α【详解】（1）()()()()3πsin πcos 4πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭；()sin cos sin cos sin sin αααααα-==-（2），则,()2sin πsin 5αα-=-=2sin 5α=-因为是第三象限角，所以，αcos α==所以.()cos f αα=-=17．已知，且5sin 13α=,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求的值；tan α(2).【答案】(1)512-(2)1713-【分析】（1）根据同角三角函数平方和商数关系直接求解即可；（2）利用二倍角余弦公式和两角和差的正弦公式直接求解即可.【详解】（1），，，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ cos 0α∴<12cos 13α∴==-.5sin 513tan 12cos 1213ααα∴===--（2），225119cos 212sin12169169αα=-=-⨯=，5127sin cos cos sin 444131313πππααα⎛⎫⎫+=+=-=-⎪⎪⎝⎭⎭.1191716971313==--18．已知向量，.()1,1a =()2,3b =- (1)求向量，的夹角的余弦值；a b(2)求；2a b-(3)当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？k 2kab -a b + 【答案】(1)(3)，反向2k =-【分析】（1）根据数量积的坐标表示求出，，，再由夹角公式计算可得；a b ⋅ ab （2）求出的坐标，即可求出其模；2a b -（3）求出的坐标表示，再利用共线向量的坐标表示求解作答.2ka b - 【详解】（1）因为，，()1,1a =()2,3b =-所以，()21131 a b⋅=⨯+⨯-=-b==所以cos,a ba ba b⋅===⋅（2）因为，，所以，()1,1a=()2,3b=-()()()21,122,33,7a b-=--=-所以a-=（3）依题意，，由（1）知，2(,)(4,6)(4,6)ka b k k k k-=--=-+(3,2)a b+=-由，解得，3(6)(2)(4)0k k+---=2k=-于是当时，与共线，且，即有与方向相反，2k=-2ka b-a b+22()ka b a b-=-+2ka b-a b+所以当时，与共线，并且它们反向共线.2k=-2ka b-a b+19．已知.())33cos cos2f x x x x=-+(1)求的周期和单调递增区间；()f x(2)若，求的最大值和最小值.π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x【答案】(1)，单调递增区间为πT=()π5ππ,πZ1212k k k⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)32-【分析】（1）对化简得，则，，()f x()π23f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭πππ2π22π232k x k-+≤-≤+Zk∈，解出即可；2ππ2T==（2）由范围有，结合正弦函数的最值即可得到答案.xππ2π2333x-≤-≤【详解】（1）依题意得：，()()233π2cos1cos22223f x x x x x x⎛⎫=--=-=-⎪⎝⎭则，2ππ2T==由，，ππ2π22π232k x kπ-+≤-≤+Zk∈得，()π5πππZ1212k x k k-+≤≤+∈所以的单调递增区间为．()f x()π5ππ,πZ1212k k k⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，，()π23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ2π2333x -≤-≤则当，即时，ππ232x -=5π12x =max ()f x =当，即时，，233x -=-ππ0x =min 3()2f x =-所以在．()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦32-20．如图所示，B ，C 两点是函数图象上相邻的两个最高点，()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><且B 点的横坐标为，点为函数图象与x 轴的一个交点．12π,03D π⎛⎫⎪⎝⎭()f x（I ）求的值；,ωϕ（II ）函数的图像可以看作由的图像如何变换得到；()sin()f x A x ωϕ=+sin =y A x （III ）若BD ⊥CD ，求A 的值．【答案】（I ），；（II ）见解析；（III ）.2ω=3πϕ=A =【分析】（I ）根据图象可得周期及最高点的横坐标，可求的值.,ωϕ（II ）根据两个解析式的特征可得两者之间的平移关系.（III ）根据可得关于的方程，求解后可得的值.BD CD ⊥A A 【详解】（I ）由图象可得，故，故.43124T πππ=-=T π=22πωπ==又最高点的横坐标为，故，解得，12π22,122k k Zππϕπ⨯+=+∈2,3k k Zπϕπ=+∈而，故.ϕπ<3πϕ=（II ）由（I ）得，()sin(23f x A x π=+该函数的图象可以由先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，sin =y A x 12得到的图象，再把该函数的图象向左平移单位，sin 2y A x =6π从而可得的图象.()sin(23f x A x π=+（III ）由题设可得，13,,,1212B A C A ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，，,4DB A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 3,4DC A π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 因为，故即，故.BD CD ⊥0BD CD ⋅=22316A π=A =21．定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴(,)OM a b →=()sin cos f x a x b x =+()sin cos f x a x b x =+向量”为，其中O 为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(,)OM a b →=（I ）设函数，求证：；()2sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x S ∈（II ）记向量的相伴函数为，当且时，求的值；(1,2)ON →=()g x ()2g x =0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x （III ）将（I ）中函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标()f x 3π不变）得到的图像．已知，问在的图像上是否存在一点，使得()h x ()()3,3,3,11A B -()y h x =P ．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．AP BP →→⊥P 【答案】（I ）证明见解析；（II ）；（III ）存在，.45()0,2P 【分析】（I ）利用正弦的和角公式展开，再结合定义即可证明；（II ）由题知，进而根据题意得，，解方程即()sin 2cos g x x x=+sin 2cos 2x x +=22sin cos 1x x +=可得答案；（III ）由三角平移变换得，再假设存在，并设，进而得方程1()2cos 2h x x=1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而分析得当且仅当是时等号成立，即可得答案.2212cos 7252x x⎛⎫-=- ⎪⎝⎭0x =【详解】解：（I ）因为，1()2sin 2cos cos 62f x x x x x x π⎫⎛⎫=--=--=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以根据“相伴函数”与“相伴向量”的定义得是“相伴向量”的“相伴函数”，()fx ()OM →=因为记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．所以()f x S∈（II ）因为向量的相伴函数为，所以，(1,2)ON →=()g x ()sin 2cos g x x x=+因为当且，()2g x =0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，，sin 2cos 2x x +=22sin cos 1x x +=联立方程解得4sin 5x =（III ）由函数图像向右平移得，再把横坐标伸()2sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3π2sin 2cos 63x x y ππ⎛⎫---= ⎪⎝⎭=长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像，1()2cos 2h x x=所以1()2cos 2h x x=假设的图像上是否存在一点，使得，则设，()y h x =P AP BP →→⊥1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，()()3,3,3,11A B -所以，113,2cos 33,2cos 122,1AP B x x x P x →→⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，即，()()11332cos 32cos 11022x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2212cos 7252x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭因为，所以，11cos 12x -≤≤192cos 752x -≤-≤-所以，[]212cos 725,492x ⎛⎫-∈⎪⎝⎭另一方面，(]225,25x -∈-∞所以方程成立，当且仅当是时等号成立，此时，2212cos 7252x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭0x =()0,2P的图像上是否存在一点，使得.()y h x =()0,2P AP BP →→⊥【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，正弦的和角公式，向量垂直的坐标表示等，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，正确理解“相伴函数”与“相伴向量”的定义，结合三角函数的知识求解.。
北京市海淀区年高一下期中练习数学试卷及答案(必备优质)
海淀区高一年级第二学期期中练习数 学 2015.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.cos45cos15sin 45sin15-=A． BC ．12-D ．122. 已知1tan 3α=，则tan2α=A.34B.38C.1D.12 3. 下列等式中恒成立的是AA. ππ1sin cos()cos sin()662αααα+-+=-B.π1tan tan(+)41tan ααα-=+C. πsin()sin cos 4ααα+=+ D.sin cos sin ααα=4.若数列{}n a 满足212n n a -=，则A. 数列{}n a 不是等比数列B. 数列{}n a 是公比为4的等比数列C. 数列{}n a 是公比为2的等比数列D. 数列{}n a 是公比为1的等比数列 5.在△ABC 中，∠B A. 45° 6.1135(2n -+++++-A.21n -B. 7. 已知△ABC A ．310C ．358.已知钝角．．三角形ABC 差数列的公差d A.02d << B. 1sin10= A ．2 B ．10.已知数列{}n a A.C.二、填空题：本大题共611.若等差数列{}n a n 12.在△ABC 中，∠B ＝60°，a ＝2，c ＝3，则b =_________.13.若等比数列{}n a 中，122,6a a ==，则12n a a a +++=_________.14.已知数列{}n a 满足1112n n a a --=（2,n n ≥∈N ），且313a =，则1a =___________,数列{}n a 的通项公式为___________.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若A B >，给出下列四个结论： ①a b >；②sin sin A B >；③cos cos A B <；④tan tan A B >. 其中所有正确结论的序号是_______________.16.已知数列{}n a 满足1n n a a n -+=（2,n n ≥∈N ），且11a =-，则10a =___________,其前21k -*()k ∈N 项和21k S -=_______________.三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）已知等差数列{}n a 满足39a =-，公差3d =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和n S 是否存在最小值？若存在，求出n S 的最小值及此时n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题共12分）已知函数2()2cos (1tan )f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]4上的值域.19. （本小题共11分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n a S =-()*n ∈N . （Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅲ）若数列{}n b 满足22n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题共10分）如图所示，在山顶P 点已测得三点A ，B ，C 的俯角分别为,,αβγ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出,,AD EB BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤.解1：步骤1：还需要直接测量的线段为A γαβ步骤2：计算线段 计算步骤：步骤3：计算线段 计算步骤：步骤4：计算线段 计算步骤：海淀区高一年级第二学期期中练习答案数 学 2015.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.DAABA ACCDB二、填空题：本大题共6小题， 每小题3分，共18分.11.2- 13.31n - 14.1-，123n - 15.①②③ 16. 7，22k - 说明：两空的题目第一空1分，第二空2分；第15题对一个一分，有错误选支0分三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分） 解：（Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，且39a =-，公差3d =，所以由192a d -=+可得115a =-，-----------------------------------------------------------------1分所以数列{}n a 的通项公式为153(1)n a n =-+-，即318n a n =-.-------------------------3分（Ⅱ）法1：由等差数列求和公式可得(1)1532n n n S n -=-+⨯--------------------------5分 即223311121(11)[()]2224n S n n n =-=------------------------------------------------------6分 所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. -------------------------------------------------9分 法2：因为318n a n =-，所以，当6n <时，0n a <；当6n =时，0n a =；当6n >时，0n a >，即当16n <<时，1n n S S -<；当6n =时，1n n S S -=；当6n >时，1n n S S ->，--------6分 所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. --------------------------------------------------9分 18.（本小题共12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z .-------------------------------------2分（Ⅱ）因为2()2cos (1tan )f x x x =+22cos 2sin cos x x x =+-------------------------------------------------------4分1cos2sin2x x =++------------------------------------------------------------8分π1)4x=+-----------------------------------------------------------10分因为π[0,]4x∈，所以ππ3π2[,]444x+∈，--------------------------------------------------------11分所以()f x在区间π[0,]4上的值域为[2,1+.------------------------------------------------12分19.（本小题共11分）解：（Ⅰ）由24n na S=-()*n∈N可得1124a S=-，即1124a a=-，-------------------1分解得14a=-. ----------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）由24n na S=-()*n∈N可得1124,1,n na S n n--=->∈N，--------------------------3分所以1122,1,n n n na a S S n n---=->∈N，即122,1,n n na a a n n--=>∈N，----------------4分整理得12,1n na a n n-=>∈N，--------------------------------------5分因为140a=-≠，所以数列{}n a是公比为2的等比数列.----------------------------------------------------------6分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得数列{}n a是以4-为首项且公比为2的等比数列，所以11422n nna-+=-⨯=-，----------------------------------------------------------------7分所以212222nn nb a n n+=+=-+，---------------------------------------------------------------8分所以数列{}n b的前n项和n T是一个等比数列与等差数列的前n项和的和-----------------9分由等比数列和等差数列的前n项和公式可得8(14)(22)142nnn nT--+=+-----------------------------------------------------------11分28(41)3nn n=+-⨯-.20.（本小题共10分）解1：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD EB BC-------------------------------------------2分步骤2：计算线段PC的长.计算步骤：在PBC∆中BPCβγ∠=-，π,PBC PCBβγ∠=-∠=；---------------3分由正弦定理可得sin sinBC PCBPC PBC=∠∠， --------------------------------5分整理可得sinsin()BCPCββγ=-；---------------------------------------------------6分Aγαβ步骤3：计算线段AC 的长.计算步骤：在PAC ∆中，PAC α∠=，πAPC αγ∠=--，由正弦定理sin sin AC PCAPC PAC =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PC AC αγα+=； -----------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.sin sin()sin sin()BC DE AC AD EB BC AD EB BC βαγαβγ+=---=----.-----------10分解2：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD BE BC --------------------------------------------2分步骤2：计算线段PB 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；----------------3分由正弦定理可得sin sin BC PBBPC PCB=∠∠， ---------------------------------5分 整理可得s ins i n(BC PB γβγ=-；-----------------------------------------------------6分 步骤3：计算线段AB 的长.计算步骤：在PAB ∆中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--，由正弦定理sin sin AB PBAPB PAB =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PB AB αβα+=；------------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.。
2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知α∈，且sin α＝，则tan α＝( ),2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭35A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】B【详解】由sin α＝，α∈ 得cos α所以tan α＝35,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4,5sin 3.cos 4σσ=-故答案为B ．2．已知向量，.若，则实数的值为（ ）(),1a t =()1,2b =a b ⊥ t A ．－2B ．2C ．D ．12-12【答案】A【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出的值.t 【详解】解：∵向量，，若，则，()1a t =，()1,2b =a b ⊥ 20a b t ⋅=+=∴实数，2t =-故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题.3．如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则αOx O P P 35的值为（ ）sin()2πα+A ．B ．C ．D ．35-3545-45【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．sin()2πα+【详解】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，所以αOx O P P 35 则； 故选：B ．3cos 5α=sin()3cos 52παα==+【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（ ）a b c，，()a b c -⋅=A ．B ．4C ．2D ．4-8-【答案】A【分析】将，，平移至同一个起点并构建直角坐标系，写出相关向量的坐标，再应用向量数a b c量积的坐标表示求.()a b c -⋅ 【详解】将，，平移至同一个起点位置，如下图点位置，建立直角坐标系，a b c O xOy则，所以.(2,2),(2,0),(1,2)a b c →===-- ()(0,2)(1,2)4a b c -⋅=⋅--=-故选：A5．已知向量，，满足，，且，则（ ）a b 1a = ()2,1b =- 2a b -= a b ⋅= A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】求出的模，利用即可求出的值.b 2a b -= a b ⋅ 【详解】由题意，，，且，1a = ()2,1b =-2a b -==，2a -== 解得：，1a b ⋅= 故选：C.6．设函数，若对任意的实数x 都成立，则ω的一个可取值()πsin((0)6f x x k ωω=-+>()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭为（ ）A ．B ．C ．D ．4578【答案】D【分析】由对任意的实数x 都成立得，即有，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ππsin 136ω⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭πππ2π,362m m ω⋅-=+∈Z求解即可【详解】∵对任意的实数x 都成立，故，则，故()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ππsin()136ω⋅-=πππ2π,362m m ω⋅-=+∈Z ，故当时，一个可能取值为8.26,m m ω=+∈Z 1m =故选：D7．已知为所在平面内一点，，则（ ）P ABC 2BC CP =A ．B ．1322AP AB AC=-+1233AP AB AC=+C ．D ．3122AP AB AC=-2133AP AB AC=+ 【答案】A【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+-，1322AB AC=-+故选：A.8．设，则“是第一象限角”是“”的 R α∈αsin cos 1αα+>A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】充分性：若是第一象限角，则,,可得αsin 0,cos 0αα>>()2cos 12cos 1sin sin αααα+=+>，必要性：若，不是第三象限角，sin cos 1αα+>sin cos 1αα+>α，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“()2cos 12cos 1sin sin αααα+=+>sin cos 0αα>αα”的充分必要条件，故选C.sin cos 1αα+>【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试p q.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可,p q q p ⇒⇒利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.9．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移（）个单位长()sin y A x ωϕ=+t 0t >度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的最小值（ ）()y f x =()y f x =tA ．B ．C ．D ．π12π6π4π3【答案】B【分析】结合函数图像求出函数的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定的值()sin y A x ωϕ=+t 【详解】解：如图设函数的部分图像与轴的交点为，()sin y A x ωϕ=+x ,,A B C由图可知，所以，,62f a f aππ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以点与点关于点对称，,6a π⎛⎫- ⎪⎝⎭,2a π⎛⎫- ⎪⎝⎭A 设，则，解得，(,0)A A x 262Ax ππ-+=6A x π=因为将函数函数的图像向左平移（）个单位长度，得到函数的图像，()sin y A x ωϕ=+t 0t >()y f x =且图像关于原点对称，所以平移后的函数为奇函数，即相当于把的图像与轴最近的交()y f x =(0)0f =()sin y A x ωϕ=+x 点平移到坐标原点即，由图可知此点为，,06A π⎛⎫⎪⎝⎭所以，6t π=故选：B10．函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象()f x 2sin y x =()f xA ．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位12π3B ．每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位2π6C ．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）π62D ．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）π312【答案】C 【详解】根据函数的图象，设可得()f x f x Asin x ωϕ=+（）（），12222236A ，，．πππωω=⋅=-∴=再根据五点法作图可得2022633f x sin x πππϕϕ⨯+=∴=-=-，，（）（），故可以把函数的图象先向左平移个单位，得到()f x 6π222233y sin x sin xππ=+-=（）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到 函数的图象，2y sinx =故选C ．二、填空题11．已知，，若，则实数的值为______．()1,2a =- ()2,b x =- a b ∥ x 【答案】4【分析】根据向量平行的坐标表示：即可求解.12210a b x y x y ⇔-=∥【详解】因为，所以，解之得：.12210a b x y x y ⇔-=∥()()1220x ⨯--⨯-=4x =故答案为：4.12．在平行四边形中，已知向量，，则__．ABCD (1,2)AB = (2,3)AD = AC = 【答案】(3,5)【解析】根据向量加法的平行四边形法则知，利用向量的坐标运算即可.AC AB AD =+【详解】因为在平行四边形中，ABCD 所以，AC AB AD =+又因为，，(1,2)AB =(2,3)AD = 所以，AC =(2,3)(1,2)(3,5)=+故答案为：(3,5)【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量的坐标运算，属于容易题.13．已知向量，，则向量，夹角的大小为______.(1,2)a = (3,1)b = a b【答案】4π【分析】直接利用，即可能求出向量与的夹角大小.cos ,a b a b a b⋅=⋅a b【详解】∵平面向量，，()1,2a =()3,1b =∴，cos ,a b a b a b⋅===⋅ 又∵，∴，0,a b π≤≤,4a b π= ∴向量与的夹角为，故答案为．a b4π4π【点睛】本题考查两向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用，是基础题．14．直线与函数的图象交于M ，N （不与坐标原点O 重合）两点，点y kx =ππtan 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭A 的坐标为，则___．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭()AM AN AO +⋅=【答案】2π2【分析】根据向量加法的平行四边形法则以及向量的数量积，即可求解.【详解】解：如图所示，根据向量加法的平行四边形法则以及向量的数量积，得，()22π222AM AN AO AO AO AO +⋅=⋅==故答案为：2π215．已知函数，曲线与直线()2sin()(0)f x x ωϕω=+>()y f x =y =间的距离为，则的所有可能值为__________．6πω【答案】2或10【解析】令或，2sin()x ωϕ+=2,3x k k Zπωϕπ+=+∈22,3x k k Z πωϕπ+=+∈根据存在相邻两个交点间的距离为，得到或，即可求解，得到答6π2136x x wππ-==21536x x w ππ-==案.【详解】由题意，函数，曲线与直线()2sin()(0)f x x ωϕω=+>()y f x =y =令2sin()x ωϕ+=sin()x ωϕ+=解得或，2,3x k k Zπωϕπ+=+∈22,3x k k Z πωϕπ+=+∈由题意存在相邻两个交点间的距离为，结合正弦函数的图象与性质，6π可得，令，可得，解得.2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈0k =2136x x w ππ-==2w =或，令，可得，解得.21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈0k =21536x x w ππ-==10w =故答案为：或.210【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.三、解答题16．函数.()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；()f x （2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所()f x 需的数值，再画图）；xπ26x -y（3）求函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值.()f x π2,π123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x 【答案】（1）单调递增区间是，；最小正周期；（2）填表见解析；作图πππ,k π63k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z π见解析；（3）最大值为2，最小值为－1，时取得最小值，时取得最大值.2π3x =()f x π3x =()f x 【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数的单调递增区间和最小正周期；()f x （2）列表，描点、连线，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；()f x （3）求出时函数的最大值和最小值，以及对应的值.π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x x 【详解】解：（1）函数，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，；πππ2π22π262k x k -+≤-≤+k ∈Z解得，；π2π2π22π33k x k -+≤≤+k ∈Z 即，；ππππ63k x k -+≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递增区间是，；()f x πππ,k π63k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 最小正周期；2ππ2T ==（2）填写表格如下；xπ12π37π125π613π124π3π26x -π2π3π22π5π2y020－202用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图为；()f x（3）时，，，π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π7π20.66x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以函数在上取得最大值为2，最小值为－1，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2,π123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦且时取得最小值，时取得最大值.2π3x =()f x π3x =()f x 【点睛】本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图，本题要掌握基础函数的性质以及整体法的应用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题.17．已知函数()1πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的单调递减区间及对称轴方程；()f x (2)设是函数图像的对称轴，求的值；()x m m =∈R ()y f x =sin 4m (3)把函数的图像向左平移个单位，与的图像重合，直接写出一个的值：()f x ϕ()f x ϕ(4)把函数的图像向左平移个单位，所得函数为偶函数，直接写出的最小值；()f x ϕϕ(5)当时，函数的取值范围为，直接写出t 的最小值；[]0,x t ∈()f x []1,1-(6)已知函数在上是一个中心对称图形，直接写出一个符合题意的t 的值：()f x []0,t (7)设函数，直接写出函数在上的单调递减区间.()()()πcos 2sin πf x x g x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+()g x []0,2π【答案】(1)单调递减区间为.；对称轴方程为()π7π+4π,4π,Z 33k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()π+2πZ3x k k =∈(2)sin 4m =(3)4π(4)π3(5)7π3(6)8π3(7)和π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭()2π,π【分析】函数，由正弦函数的图像和性质，依次解决各小题中的单调区间、对()1πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭称轴、值域、奇偶性、图像平移等问题.【详解】（1）由，解得，()π1π3π+2π2πZ 2232k x k k ≤+≤+∈()π7π+4π4πZ 33k x k k ≤≤+∈所以的单调递减区间为.()f x ()π7π+4π,4π,Z 33k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦由，解得，所以的对称轴方程为；1ππ+π232x k +=()π+2πZ 3x k k =∈()f x ()π+2πZ 3x k k =∈（2）由（1）知，()π+2πZ 3m k k =∈πsin 44πsin +8πsin 33k m ⎛⎫=- =⎪=⎝⎭（3）函数最小正周期为，所以的一个值可以是；2π4π12T ==ϕ4π（4）把函数的图像向左平移个单位，所得函数，由()f x ϕ()1π11πsin +=sin +23223y x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ϕϕ函数为偶函数，，，的最小值为；1ππ=+π232k +ϕπ+2π3k =ϕϕπ3（5）当时，，函数的取值范围为，，，t []0,x t ∈1πππ,23323t x ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x []1,1-23π3π2t +≥π37t ≥的最小值为；7π3（6）时，，已知函数在上是一个中心对称图形，[]0,x t ∈1πππ,23323t x ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x []0,t 时符合条件，此时；33π5π=2t+8π3t =（7）设函数，由（1）中结论和，函数()()()()()()πcos sin 2sin πsin f x x f x x g x f x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭===+-sin 0x ≠在上的单调递减区间为和.()g x []0,2ππ,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭()2π,π18．已知函数，（）．()2sin 3cos 3f x x x =++x ∈R (1)判断函数的奇偶性并说明理由；()f x (2)求的最小值并指出函数取得最小值时x 的值；()f x (3)直接写出函数在上的零点．()f x []0,2π【答案】(1)是偶函数，理由见解析.()f x (2)时，取得最小值为0.()π2πx k k =+∈Z ()f x (3)π【分析】（1）判断与的关系即可.()f x -()f x （2）可转化为关于的二次函数求最值.cos x （3）先求出的值，再结合定义域可得的零点.cos x ()f x【详解】（1）解：的定义域为，()f x R 因为，()22sin ()3cos()3sin 3cos 3()f x x x x x f x -=-+-+=++=所以是偶函数.()f x （2）解：()22sin 3cos 31cos 3cos 3f x x x x x =++=-++，22325cos 3cos 4(cos 24x x x =-++=--+因为，所以当即时，1cos 1x -≤≤cos 1x =-()π2πx k k =+∈Z 取得最小值为0.()f x （3）函数在上的零点为.()f x []0,2ππ19．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的成立，()f x R 0T ≠()()f x Tf x T =+x ∈R 则称函数是函数．()f x Ω(1)判断函数，是否是函数，不必说明理由；()F x x =()sin πh x x =Ω(2)若函数是函数，且是偶函数，求证：函数是周期函数；()f x Ω()f x ()f x (3)若函数是函数．求实数的取值范围；()sin f x kx =Ωk (4)定义域为的函数同时满足以下三条性质：R ()g x ①存在，使得；0R x ∈()00g x ≠②对于任意，有．x ∈R ()()29g x g x +=③不是单调函数，但是它图像连续不断，()f x 写出满足上述三个性质的一个函数，则 ．（不必说明理由）()g x ()g x =【答案】(1)不是函数，是函数()F x x =Ω()sin πh x x =Ω(2)证明见解析(3){}|π,Z k k t t =∈(4)（答案不唯一）()3sin 2πx g x x =【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）根据函数的定义、偶函数的性质及周期函数的定义证明即可；Ω（3）依题意可得对任意的成立，即可得到、sin sin cos cos sin kx T kx kT T kx kT =+x ∈R 1cos kT T =，从而得解；sin 0kT =（4）根据所给性质找到符合题意的函数解析式，再一一验证即可.【详解】（1）函数不是函数，是函数，()F x x =Ω()sin πh x x =Ω证明：假设函数是函数，()F x x =Ω则，即对任意的成立，()()F x TF x T =+()x T x T =+x ∈R 令得，所以，这与相矛盾，故假设不成立，0x =20T =0T =0T ≠所以函数不是函数；()F x x =Ω因为当时，，1T =-()()sin[π(1)]sin(ππ)sin(ππ)sin πTh x T x x x x h x +=--=--=-==根据定义可知是函数.()sin πh x x =Ω（2）因为函数是函数，()f x Ω所以存在常数，使得对任意的成立，0T ≠()()f x Tf x T =+x ∈R 所以，()()f x Tf x T -=-+又为偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=所以 ，()()Tf x T Tf x T -+=+因为，所以，0T ≠()()f x T f x T -+=+又为偶函数，所以，()f x ()()f x T f x T -+=-所以，()()f x T f x T -=+所以，()(2)f x f x T =+因为，所以是周期为的周期函数.0T ≠()f x 2T （3）因为函数是函数，()sin f x kx =Ω所以存在常数，使得对任意的成立，0T ≠()()f x Tf x T =+x ∈R 即，()()sin sin sin kx T k x T T kx kT =+=+即对任意的成立，sin sin cos cos sin kx T kx kT T kx kT =+x ∈R 所以，因为，则，cos 1sin 0T kT T kT =⎧⎨=⎩0T ≠1cos sin 0kT T kT ⎧=⎪⎨⎪=⎩又，所以，即，22sin cos 1kT kT +=11T =±1T =±此时，，πk t =Z t ∈即实数的取值范围是.k {}|π,Z k k t t =∈（4）令．()3sin 2πx g x x =因为，故满足①；114401π3sin 342g ⎛⎫== ⎝⎭≠⎪又，故满足②；()()()()22223sin 2π23sin 2π4π3sin 2π93sin 2π9x x x x g x x x x x g x ++++=+=+==⨯=因为在定义域上不单调且最小正周期为，sin 2πy x =1函数在，上单调递增，且函数值为正数，在，上单调递减，且函1,4k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈13,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭Z k ∈数值为负数，在定义域上单调递增且函数值为正数，3x y =所以在定义域上不单调，显然函数是连续函数，故满足③；()3sin 2πx g x x =故答案为：（答案不唯一）．()3sin 2πx g x x=【点睛】关键点睛：本题是给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键就是要理解函数的新定义，明确其含义，依此去判断解决问题.。
2020-2021学年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试卷及答案
绝密★启用前2020-2021学年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角a 的终边经过点()2,3P -，则tana =A.23-B.23C.32-D.322.已知向量()1,2a =，则lA.3C.53.MB BA BO OM -++=A.ABB.BAC.MBD.BM4.在△ABC 中，A 为钝角，则点(),P cosA tanBA.在第一象限B 、在第二象限C.在第三象限D.在第四象限5.下列函数中，周期为π且在区间2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增的是 A.cos 2y x = B.sin 2y x =C.1cos2y x =D.1sin2y x = 6.对函数sin y x =的图像分别作以下变换：①向左平移4π个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)； ②向左平移12π个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变) ③将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)，再向左平移4π个单位 ④将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)，再向左平移12π个单位 其中能得到函数sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的是 A.①③B.②③C.①④D.②④7.如图，已知向量a ，b ，c ，d ，e 的起点相同，则c d e +-=A.-bB.bC.6a b -+D.6a b -8.已知函数()()2sin 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的图像如图所示，则ω的值为A.2B.1C.12D.149.“sin cos αβ=”是“()22k k Z παβπ+=+∈”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.已知函数()()31f x x =-。
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进修实验高 2022 届
18. （本小题 13 分）已知函数 f (x) = 3 sin 2x − 1 cos 2x + 1 ．
C． y = sin(2x + ) +1 4
D． y = sin(2x − ) +1 4
8. 使 sin x cos x 成立的 x 的一个变化区间是（ ）
A. (− − ) 4
B. (− , 0) 4
C. (− , ) 44
D. ( , ) 22
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进修实验高 2022 届
20200428
2
2
2
（Ⅰ）求 f (x) 的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若 f (x) 在区间 [− π , m] 上的最大值为 3 ，求 m 的最小值．
3
2
20200428
19. （ 本 题 10 分 ） 已 知 集 合 A = a1, a2 , a3,...an ， 其 中 i N+，1 i n, n 2 ， l(A)表示ai + a j (1 i j n) 中所有不同值的个数.
（Ⅰ）设集合 P = {2,4,6,8},Q = 2,4,8,16 ,分别求 l ( P)和l (Q) ；
（Ⅱ）若集合 A = 2,4,8,...,2n , 求证： l ( A) = n(n −1) ； 2
（Ⅲ） l ( A) 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
4
北京市海淀区教师进修实验学校
9. 已知函数 f (x) = Asin(x + ) 的部分图象如图所示，那么函数 f (x) 的解析式可以是
（）
A. f (x) = sin(2x + π) 8
B. f (x) = 2 sin(2x − π) 8
C. f (x) = 2 sin( 2x − ) 4
D. f (x) = 2 sin(2x + π) 4
10．已知函数
f
(x)
=
cos( 1 2
x
+
) 4
，如果存在实数
x1, x2
，使得对任意的实数
x
，都有
f (x1 ) f (x) f (x2 ) ，则 x1 − x2 的最小值为
A． 4
B． 2
C．
D． 2
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．）
11. 已知 sin = 2 ， [0,2 ] ，则 = ___________． 2
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20200428
高一数学期中试卷
试卷满分 100 分 时间 90 分钟 一、 选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项．)
1．下列各角中，与 60°角终边相同的角是（ ）
A. -60°
知扇形的半径为 9，圆心角为 120°，则扇形的弧长为
，面积为
．
13. 若向量 a, b 满足| a |= 1，| b |= 2 ，| a − b |= 2 ，则 a b = __________.
14.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数
y = Acos[ (x − 6)] + B ( x = 1, 2, ,12 ）来表示．已知 6 月份的月平均气温最高，为 6
C. tan 38 tan(−40 ) tan 56
D. tan 56 tan(−40 ) tan 38
7．如果先将函数 y = sin 2x 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象向上平移 1 个单 4
位长度，那么最后所得图象对应的函数解析式为
A． y = sin 2x +1
B． y = cos 2x +1
2
进修实验高 2022 届
三、解答题（本大题共 4 小题，共 50 分．）
16.（本小题 13 分）已知 tan = ，且 为第三象限角. 2
（Ⅰ）求 sin + 2 cos 的值； sin − cos
（Ⅱ）求 cos( − ) 的值. 4
20200428
17.（本小题 14 分）已知向量 a = ( 3, k) ， b = (0, −1) ， c = (1, 3) .
28 C ，12 月份的月平均气温最低，为18 C ，则10 月份的平均气温为
C．
15. 若函数 f (x) （ f (x) 值不恒为常数）满足以下两个条件：
① f (x) 为偶函数；
② 对于任意的 x R ，都有 f ( − x) = f ( + x) .
3
3
则其解析式可以是 f (x) = ________.（写出一个满足条件的解析式即可）
11. 或 3 ； 44
14. 20.5
12. 6 ； 27
13. 1 2
15. y = cos3x 等（答案不唯一）
三、解答题（本大题共 4 小题，共 50 分．）
16.解：（Ⅰ）因为 tan = 1 ， 2
A.
B.
C.
3
6
3
5. sin 35 cos 25 + cos 35 sin 25 的值等于
D. −5 D.
6
A. 1
B. 1
C. 2
4
2
2
6. tan(−40 ) ， tan 38 ， tan 56 的大小关系是（ ）
D. 3 2
A. tan(−40 ) tan 38 tan 56
B. tan 56 tan 38 tan(−40 )
D. 480°
2. 下列各式化简后的结果为 cos x 的是（
）
A. sin(x − ) 2
B. sin( + x)
C. sin(x + ) 2
D. sin( − x)
3.若角 的终边经过点 P(m, −3) ，且 cos = − 4 ，则 m 的值为
5
A. 5
B. 4
C. −4
4. 设向量 a (0, 2), b ( 3,1) ，则 a, b 的夹角等于（ ）
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高一数学期中练习答案
试卷满分 100 分 时间 90 分钟
一、 选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．)
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
B
C
C
A
D
B
B
A
C
D
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．）