广东省普宁市华侨中学高二数学上学期期末考试试题文

普宁侨中2018届高二级第一学期期末考试试卷·文科数学注意事项：1、答题前，考生务必将自己的考号、班别、姓名写在答卷密封线内。

2、答案填写在答卷上，必须在指定区域内、用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )A ． 2 B. 3 C ．4 D. 52. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤+1011y x x y x ，则目标函数2-=x y z 的取值范围为（ ） A ．[]3,3- B ．[]2,2- C ．[]1,1- D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,323.在等差数列{}n a 中，,3321=++a a a 165302928=++a a a ,则此数列前30项和等于（ ）A ．810B ．840C ．870D ．900 4．已知12001,cos 1M dx N xdx x π==+⎰⎰， 由程序框图输出的S 为( )A ． 1B ．0 C ． 2πD ．2ln5、1717sin()cos()44ππ---的值是（A ）（B ）（C ）0 （D ）26. 定义在R 上的函数()f x 错误！未找到引用源。

满足(6)()f x f x +=，当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+； 当13x -≤<时,()f x x =.则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++= （ ）俯视图A ．335B ．1678C ． 336D ．20157.. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．10cm 3B ．20cm 3C ．30cm 3D ．40 cm38.下列命题中正确的个数是（ ）①过异面直线a,b 外一点P 有且只有一个平面与a,b 都平行； ②异面直线a,b 在平面α内的射影相互垂直则a⊥b；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④直线a,b 分别在平面α，β内，且a⊥b 则α⊥β； A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．等比数列{}n a 的各项均为正数，且299a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 510．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4 C．a ≤2D ．0<a ≤311．已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为()f x ' ，当x ≠0时，()f x '＋f (x )x>0， 若a ＝11(22f ，b ＝－2f (－2)，c ＝ln 12f (－ln 2)，则下列关于a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ． c >b >aD ．b >a >c12、已知函数f （x ）及其导数f ′（x ），若存在x 0，使得f （x 0）＝f ′（x 0），则称x 0 是f （x ）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（ ）①f （x ）＝x 2，②f （x ）＝e －x，③f （x ）＝ln x ， ④f （x ）＝tan x ，⑤f （x ）＝x ＋1xA ． 2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知|a |＝1，||＝2，与的夹角为60，则a ＋b 在a 上的投影为14．定义运算a b ad bc c d =-，设函数sin ()cos xy f x x==，将函数y =f （x ）向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到图象关于y 轴对称，则m 的最小值是______________15 .设函数2()ln(1f x x x =-+,若()11f a =,则()f a -=_______16．已知函数()1ax f x e x =--，(0≠a ).若对一切0)(,≥∈x f R x 恒成立，则a 的取值集合为 . 三、解答题（70分） 17.（12分）如图，,A B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>，直线AB 的斜率为12-．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交与点,M N ，与椭圆相交于,C D ．证明：OCM ∆的面积等于ODN ∆的面积；18.（12分）在ABC △中， A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，已知2A π≠，且13sin cos sin 23sin 2A B b A C +=. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若23A π=，求ABC △周长的最大值.19.（本小题满分12分）如图（1），在平行四边形11ABB A 中，1160 4 2ABB AB AA ∠=︒==，，，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点，现把平行四边形11AA C C 沿1CC 折起，如图（2）所示，连结1111 B C B A B A ，，.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =，求二面角11C AB A --的余弦值.20．（本小题满分12分）设()()21x f x xlnx ax a a e =++--，2a ≥-．（1)若0a =，求()f x 的单调区间；（2)讨论()f x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的极值点个数21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）．P（Ⅰ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||AB =m 值． （Ⅱ）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围22.（10分）选修4—5：不等式选讲已知函数() f x x a a =-∈R ，. （Ⅰ）当1a =时，求()11f x x ≥++的解集；（Ⅱ）若不等式()30f x x +≤的解集包含{}1x x ≤-，求a 的取值范围.普宁侨中2018届高二级第一学期期末考试试卷·文科数学参考答案13. 2 14. 56π15. 9- 16.{}117.（1）解：依题意，得12b a ⎧=⎪=，解得2,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）证明：由于//l AB ，设直线l 的方程为12y x m=-+，将其代入2214x y +=，消去y ，整理得2224440x mx m -+-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，所以()2212212163210222m m x x m x x m ⎧∆=-->⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩证法一：记OCM ∆的面积是1,S ODN ∆的面积是2S ，由()()2,0,0,m M m N ，则121212112222S S m y m x y x =⇔⨯⨯=⨯⨯⇔=，因为122x x m +=，所以111212222y x m x m x ⎛⎫=⨯-+=-+= ⎪⎝⎭，从而12S S =；证法二：记OCM ∆的面积是1S ，ODN ∆的面积是2S ，则12S S MC ND =⇔=⇔线段,CD MN 的中点重合因为122x x m +=，所以12121211,22222x x y y x x m m m +++==-+=， 故线段CD 的中点为1,2m m ⎛⎫⎪⎝⎭，因为()()2,0,0,M m N m ，所以线段MN 的中点坐标亦为1,2m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而12S S =．18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分12分. 解法一：（Ⅰ）因为13sin cos sin 23sin 2A B b A C+=，A B C π++=，所以()3sin cos sin cos 3sin A B b A A A B +=+，即3sin cos sin cos 3sin cos 3cos sin A B b A A A B A B +=+， 即sin cos 3cos sin b A A A B =.因为2A π≠，所以cos 0A ≠，故sin 3sin b A B =， 由正弦定理得3ab b =， 所以3a =.（Ⅱ）在ABC △中，2 33A a π==，，由正弦定理得，sin sin b cB C ==，所以 b B c C ==，，所以b c B C +=+)sin sin B C =+sin sin 3B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦1sin 2B B ⎫=+⎪⎪⎭3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为03B π<<，所以2333B πππ<+<.所以当32B ππ+=时，即6B π=时，sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1.故当6B π=时，ABC △周长取得最大值3+解法二：（Ⅰ）由13sin cos sin 23sin 2A B b A C+=，得3sin cos sin cos 3sin A B b A A C +=， 由正弦定理，得3cos cos 3a B ab A c +=，由余弦定理，得2222223322a c b b c a a ab cac bc +-+-⋅+⋅=，整理得()()22230bc a a +--=，因为2A π≠，所以2220b c a +-≠，所以3a =. （Ⅱ）在ABC △中，2 33A a π==，，由余弦定理得，229b c bc =++.因为()()()222222324b c b c bc b c bc b c b c +⎛⎫++=+≥+-=+ ⎪⎝⎭，所以()2394b c +≤，即()212b c +≤，所以b c +≤，当且仅当b c ==时，等号成立.故当b c ==ABC △周长取得最大值3+19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理认证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分12分. 证明：（Ⅰ）由已知可得，四边形11ACC A 均为边长为2的菱形， 且11160ACC B C C ∠=∠=︒.在图（1）中，取1CC 中点O ，连结11 AO B O AC ，，，故1ACC △是等边三角形， 所以1AO CC ⊥， 同理可得11B O CC ⊥， 又因为1AOB O O =，所以11CC AOB ⊥平面，又因为11AB AOB ⊂平面，所以11AB CC ⊥.（Ⅱ）由已知得，11 OA OB AB ===，， 所以22211OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，如图（2），分别以11 OB OC OA ，，为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得())(10 1 0 0 0 0 0 C B A -，，，，，，，，(10 2 A ，.设平面1CAB 的法向量()111 m x y z =，，，(1 3 0 AB =，，，(0 1 AC =-，，，由100AB m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111100y =--=⎪⎩， 令11x=，得11z =，1y =，所以平面1CAB 的一个法向量()1 1m =，，.设平面11AA B 的法向量()222 n x y z =，，，(1 3 0 AB =，，，()10 2 0AA =，，，由1100AB n AA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222020y ==⎪⎩，令21x =，得21z =，2y 0=， 所以平面11AA B 的一个法向量为()1 0 1n =，，.于是cos m n m n m n ⋅<>===，因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为.20．解：（1）当0=a 时：xe x x xf )1ln ()(-=，（0>x ） 故x e x x x x f )1ln 1(ln )('-++=xe x x )1(ln +=当1=x 时：0)('=x f ，当1>x 时：0)('>x f ，当1<x 时：0)('<x f ．故)(x f 的减区间为：)1,0(，增区间为),1(+∞（2）xe a ax x x x xf )ln (ln )(2'+++=令=)(x g 2ln ln a ax x x x +++，故显然0)1(''=g ，又当1<x 时：0)(''<x g ．当1>x 时：0)(''>x g ．故=min ')(x g a g +=2)1('， 2-≥a ，02)()(min ''≥+=≥∴a x g x g ． 故)(x g 在区间注意到：当+∞→x 时，)(x g +∞→，故)(x g 在的符号决定．或1≥a 时：)(x g 在区间上无零点，即)(x f 无极值点．时：)(x g 在区间上有唯一零点，即)(x f 有唯一极值点．或1≥a 时：)(x f 在时：)(x f 在21． 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：0422=-+x y x 直线l 的直角坐标方程为：m x y -=∴圆心到直线l 的距离（弦心距）,22)214(222=-=d 圆心(2,0)到直线m x y -=的距离为 ：1|2|222|02|=-⇒=--m m ∴1=m 或3=m 5分（Ⅱ）曲线C 的方程可化为222)4x y -+=（，其参数方程为 22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数）(),M x y 为曲线C 上任意一点，2)4x y πθ+=++x y ∴+的取值范围是[2-+22.选修4-5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类与整合思想等，满分10分.解法一：（Ⅰ）1a =时，原不等式可化为111x x --+≥，当1x <-时，原不等式可化为()()111x x -++≥，即21≥，此时， 不等式的解集为{}1x x <-.当11x -≤<时，原不等式化为()()111x x ---+≥，即12x ≤-. 此时，不等式的解集为112x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭.当1x ≥时，原不等式化为()()111x x --+≥，即21-≥，此时，不等式的解集为∅. 综上，原不等式的解集为12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）不等式()30f x x +≤的解集包含{}1x x ≤-， 等价于30x a x -+≤对( 1]x ∈-∞-，恒成立， 即3x a x -≤-对( 1]x ∈-∞-，恒成立，所以33x x a x ≤-≤-，即42x a x ≤≤-对( 1]x ∈-∞-，恒成立， 故a 的取值范围为[]4 2-，.解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为()f x x a =-，所以不等式()30f x x +≤可化为30x a x -+≤，当x a ≥时，不等式化为30x a x -+≤，解得4ax ≤；当x a <时，不等式化为30a x x -+≤，解得2ax ≤-.故当0a ≥时，原不等式的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭， 由于不等式30x a x -+≤的解集包含{}1x x ≤-， 所以12a -≥-，解得02a ≤≤.当0a <时，原不等式的解集为4a x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭， 由于不等式30x a x -+≤的解集包含{}1x x ≤-， 所以14a ≥-，解得40a -≤<.综上，a 的取值范围为[]4 2-，.。