★2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练第九章平面解析几何课时跟踪训练48 Word版含解析

合集下载

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练53 Word版含解析

课时跟踪训练(五十三)[基础巩固]一、选择题1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1,0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则F A →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－810＝－45.故选D.[答案] D2．(2017·北京东城期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于3，∴2(k 2＋2)k 2＝3.解得k ＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.[答案] B3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝4xC ．y 2＝±8xD ．y 2＝8x [解析] ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，∴直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4.∵直线l 与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选C. [答案] C4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OF A ，所以∠NFM ＝90°.故选B.[答案] B5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若F A →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析] 由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵F A →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66，∴|AB |＝(1＋3)2＋(26＋66)2＝20.故选A.[答案] A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝()A．2 B．3 C. 2 D. 3[解析]如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在△NHM中，|NM|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝ 2.故选C.[答案] C7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为__________．[解析]曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，，∴由抛物线的准线与半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－p2圆相切得2＋p＝3，解得p＝2.2[答案] 2二、填空题8．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2p sin 2α＝2×2sin 245°＝8.[答案] 89．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P ( 1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝P A →，则|AF |＋2|BF |＝________.[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (1,0)，∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，P A →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝P A →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)，∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF |＋2|BF |＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15. [答案] 15三、解答题10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，|PF |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．[解] (1)由抛物线定义可知，|PF |＝2＋p 2＝3，∴p ＝2，∴抛物线C的方程为y 2＝4x .(2)由y 2＝4x ，得F (1,0)，∴过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33(x －1)．联立y 2＝4x ，消去x 得y 2－43y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4.∴S △OAB ＝S △OAF ＋S △OFB ＝12|y 1－y 2|＝12×48＋16＝4.[能力提升]11．(2017·辽宁沈阳二中期中)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝|MF |＋|NF |，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1.线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)．由抛物线的定义，得n ＝|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝x M ＋x N ＋2＝2x 0＋2.因为线段MN 的垂直平分线方程为y －y 0＝－1k (x－x 0)，令y ＝0，得x ＝ky 0＋x 0，即a ＝ky 0＋x 0.由点差法可得ky 0＝2，所以x 0＝a －2，所以2a －n ＝2x 0＋4－(2x 0＋2)＝2.故选A.[答案] A12．(2017·北京昌平期末)已知△ABC 的三个顶点均在抛物线y 2＝x 上，边AC 的中线BM ∥x 轴，|BM |＝2，则△ABC 的面积为________．[解析] 根据题意设A (a 2，a )，B (b 2，b )，C (c 2，c )，不妨设a >c .∵M 为边AC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋c 22，a ＋c 2. 又∵BM ∥x 轴，∴b ＝a ＋c 2.∴|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－(a ＋c )24＝2， ∴(a －c )2＝8，∴a －c ＝2 2.作AH ⊥BM 交BM 的延长线于H ，故S △ABC ＝2S △ABM ＝2×12|BM |·|AN |＝2|a －b |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a ＋c 2＝a －c ＝2 2. [答案] 2 213．(2017·福建厦门期中)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)若l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．[解] (1)∵直线l 的斜率为1且过点F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.Δ>0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，联立⎩⎨⎧ x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ky －4＝0，Δ>0.设A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →＝－3是一个定值．14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．[解] (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝±3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[延伸拓展]已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．[解] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧ x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2. ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。

2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练50 Word版含解析

课时跟踪训练(五十)[基础巩固]一、选择题1．(2017·辽宁师大附中期中)过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12[解析] 由过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆的方程，化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，∴P 的横坐标为－4k 212k 21＋1，P 的纵坐标为k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1＋2＝2k 12k 21＋1，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，∴直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，∴k 1k 2＝－12.故选D.[答案] D2．如图，F (c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，A ，B 为椭圆的上、下顶点，P 为直线AF 与椭圆的交点，则直线PB 的斜率k PB ＝( )A.c a 2B.b a 2C.b ＋c a 2D.bca 2[解析] 直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，把y ＝－b c x ＋b 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2c x ＝0，∴x P ＝2a 2ca 2＋c 2，y P ＝c 2b －a 2b a 2＋c2，∴k PB ＝c 2b －a 2ba 2＋c 2＋b 2a 2ca 2＋c 2＝bca 2. [答案] D3．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B ．－12 C ．－14 D ．－2[解析] 解法一：设AB 的中点为G ，由椭圆与平行四边形的对称性知O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减是(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2，整理得x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.又G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B.解法二：设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D (－x 2，－y 2)．则直线AD 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝x 1＋x 2＋2t x 1＋x 2＝1＋2tx 1＋x 2.联立⎩⎨⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2－4＝0，消去y 得3x 2＋4tx ＋2t 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－4t3，∴k 2＝1＋2t －43t ＝－12.故选B.[答案] B 二、解答题4．(2017·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 与圆M ：x 2＋(y －3)2＝4的公共弦长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切并交椭圆C 于另一点B ，求OA →·OB →的值．[解] (1)∵椭圆C 与圆M 的公共弦长为4，∴椭圆C 经过点(±2,3)，∴4a 2＋9b 2＝1，又c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝16，b 2＝12，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)已知右顶点A (4,0)，∵直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，∴|4k |1＋k2＝85，∴9k 2＝1，∴k ＝±13.联立y ＝±13(x－4)与x 216＋y 212＝1，消去y ，得31x 2－32x －368＝0.设B (x 0，y 0)，则由根与系数的关系得4x 0＝－36831，∴OA →·OB →＝4x 0＝－36831.5．(2017·吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在正实数t ，使直线x －y ＋t ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，∴a ＝ 2.∵2c ＝2，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，化简得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0.①由①知x 1＋x 2＝－4t 3，∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2t ＝2t3. ∵线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 32＝56，解得t ＝62(负值舍去)，故存在t ＝62满足题意．6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．[解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＝192k 2＋96>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12. 所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.[能力提升]7．(2017·河南考前预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点是F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求|AF 2|·|F 2B |的取值范围．[解] (1)因为椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝12，2c ＝2，解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为F 2(1,0)，所以①当直线l 的斜率不存在时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则|AF 2|·|F 2B |＝94. ②当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2. 所以|AF 2|＝(x 1－1)2＋y 21＝1＋k 2·|x 1－1|，所以|AF 2|·|F 2B |＝(1＋k 2)·|x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1|＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－93＋4k 2＝(1＋k 2)·93＋4k2＝94⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋13＋4k 2. 当k 2＝0时，|AF 2|·|F 2B |取最大值3，所以|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤94，3.由①②知|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤94，3.8．(2018·河北百校联盟期中)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3＋x 4＝－4n3，x 3·x 4＝2n 2－63.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积 S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.9．设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，其离心率为22.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？ [解] (1)因为椭圆M 的离心率为22，所以4－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，得b 2＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交． ②过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y 22＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0.因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0，解得k <－142或k >142.综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交． 10．(2017·广东惠州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为－12，求斜率k 的值；②已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，求证：MA →·MB →为定值． [解] (1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2，又c a ＝63，12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53，则椭圆方程为x 25＋3y 25＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋3y25＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，∴Δ＝48k 2＋20>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，∵AB 中点的横坐标为－12， ∴－3k 23k 2＋1＝－1，解得k ＝±33.②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1，∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73，y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6k 23k 2＋1＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝49(定值)．。

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练48 Word版含解析

课时跟踪训练(四十八)[基础巩固]一、选择题1．(2017·东北三省四市二模)直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30 B.532 C ．4 2 D ．3 3[解析] 由题知，题中圆的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝10，则圆心到直线的距离d ＝|1－9＋3|12＋(－3)2＝102，所以弦长为2r 2－d 2＝210－104＝30.[答案] A2．(2017·沈阳市高三质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0[解析] 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，|－1＋3k |＝1＋k 2，解得k ＝0或k ＝3，故选D.[答案] D3．(2017·河南省洛阳市高三第一次统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]依题意，注意到|AB|＝2＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于22，即有1k2＋1＝22，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝2”的充分不必要条件，选A.[答案] A4．(2017·陕西省高三质检)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax －2y＋2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为()A．49π B．36π C．7π D．6π[解析]圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，因此圆心C(a,1)到直线y＝ax的距离为|a2－1|a2＋1＝32a2－1，解得a2＝7，所以圆C的面积为π(a2－1)2＝6π，选D.[答案] D5．(2018·河北省定兴三中月考)圆O：x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x －6y＋40＝0的公共弦长为()A. 5B. 6 C．2 5 D．2 6[解析]由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0.又圆心O(0,0)到公共弦所在直线2x＋y－15＝0的距离为|－15| 22＋12＝35，则两圆的公共弦长为250－(35)2＝2 5.故选C.[答案] C6．(2017·宁夏银川九中五模)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( ) A.22 B. 2 C. 6 D ．2 6[解析] 圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12，所以直线m 被圆C 所截得的弦长为22－12＝ 6.故选C.[答案] C二、填空题7．(2017·四川新津中学月考)若点P (1,1)为圆C ：(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__________．[解析] 圆心为C (3,0)，直线PC 的斜率k PC ＝－12，则弦MN 所在直线的斜率k ＝2，则弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案] 2x －y －1＝08．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝__________.[解析]圆C1和圆C2的标准方程分别为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y－m)2＝4，圆心分别为C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径分别为3和2.当两圆外切时，(m＋1)2＋(m＋2)2＝5，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－59．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．[解析]直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过定点(2，－1)，当点(2，－1)为圆和直线的切点时，圆的半径最大，此时r＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.[答案](x－1)2＋y2＝2三、解答题10．直线l的方程为mx－y＋m＋2＝0(m∈R)，圆O的方程为x2＋y2＝9.(1)证明：不论m取何值，l与圆都相交；(2)求l被圆截得的线段长的最小值．[解](1)证明：证法一：圆心O到l的距离为d＝|m＋2|1＋m2，圆O的半径长为3.若l 与圆相交，则有|m ＋2|1＋m 2<3⇔(m ＋2)2<9(1＋m 2)⇔8m 2－4m ＋5>0⇔8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －142＋92>0，显然8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －142＋92>0(对任意的m )总成立， ∴|m ＋2|1＋m 2<3总成立，∴不论m 取何值，l 与圆都相交．证法二：把l 的方程变为y －2＝m (x ＋1)，∴不论m 取何值l 总过点A (－1,2)．∵A 在圆O 的内部，∴不论m 取何值，l 与圆都相交．(2)结合图形易见，当l ⊥OA 时，l 被圆截得的线段长最小，∵OA ＝12＋22＝5，∴l 被圆截得的线段长的最小值为29－(5)2＝4.[能力提升]11．(2017·福建宁德市一模)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，则圆C 中以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－a 4为中点的弦的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，所以直线3x －ay －11＝0过圆心C (1，－2)，所以3＋2a －11＝0，解得a ＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－a 4＝(1，－1)．又点(1，－1)与圆心C (1，－2)之间的距离d ＝(1－1)2＋(－1＋2)2＝1，圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的半径r ＝5，所以圆C 中以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－a 4为中点的弦的长为2r 2－d 2＝2×5－1＝4.故选D.[答案] D12．(2017·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y 2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 [解析] 因为点P 是直线x 4＋y 2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为P A ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝(4－2m )2＋m 24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝(4－2m )2＋m 24，① 又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎨⎧ －4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B. [答案] B13．(2017·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.[解析] 由题意，直线l 的斜率存在，设过点M (1,1)的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.因为直线l 与圆(x ＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝|－k －2＋1－k |k 2＋1＝5，整理得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.又直线l 与直线ax ＋y －1＝0垂直，所以－2a ＝－1，解得a ＝12.[答案] 1214．(2017·江苏四市联考)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM→＝2MA →，则直线l 的方程为____________________．[解析] 解法一：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与x 2＋y 2＝5联立，消去x 并整理可得(m 2＋1)y 2＋2my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)，y 1＋y 2＝－2m m 2＋1，① y 1y 2＝－4m 2＋1.② 因为BM →＝2MA →，所以－y 2＝2y 1，③联立①②③，可得m 2＝1，又点A 在第一象限，所以y 1>0，则m ＝1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0.解法二：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，即x －my －1＝0，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋m 2. 又BM →＝2MA →，且|OM |＝1，圆x 2＋y 2＝5的半径r ＝5，所以r 2－d 2＋|OM |2－d 2＝2(r 2－d 2－|OM |2－d 2)，即3|OM |2－d 2＝r 2－d 2，所以9⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－11＋m 2＝5－11＋m 2，解得m 2＝1，又点A 在第一象限，所以m ＝1，故直线l 的方程为x －y －1＝0.[答案] x －y －1＝015．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.[解] (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.16．(2018·河北衡水中学五调)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)．(1)若l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．[解] (1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1，符合题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵直线l 与圆C 相切，∴圆心(3,4)到直线l 的距离等于半径，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，故直线l 的方程为y ＝34(x －1)，即3x －4y －3＝0.第11页共11页综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)∵直线与圆相交于两点，∴直线的斜率一定存在且不为0.设直线方程为kx －y －k ＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝|2k －4|1＋k 2.∵S △CPQ ＝12d ×24－d 2＝d ·4－d 2＝4d 2－d 4＝－(d 2－2)2＋4，∴当d ＝2时，S △CPQ 取得最大值2.∴d ＝|2k －4|1＋k 2＝2，解得k ＝1或k ＝7.故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.[延伸拓展](2017·江苏南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．[解析] 由题意知，圆心M (－a －3,2a )．因为圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，易知当Q 为线段OM 与圆M 的交点，PQ 与圆O 相切于点P 时，∠OQP 最大，且|OP |＝1，所以|OM |＝|OQ |＋|MQ |≤3，所以(a ＋3)2＋4a 2≤9，解得－65≤a ≤0.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－65，0。

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练48

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练51 Word版含解析

课时跟踪训练(五十一)[基础巩固]一、选择题1．(2017·江西九江一模)若双曲线mx 2＋2y 2＝2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为( )A ．2 5 B. 5 C ．2 3 D. 3[解析] 双曲线方程为y 2－x 2－2m＝1，∴－2m ＝4，∴m ＝－12，双曲线的焦距为25，故选A.[答案] A2．(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 依题意得，双曲线的离心率e ＝1＋1a 2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，选C.[答案] C3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32[解析] 解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴；又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D. 解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP →＝(1,0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF ||AP |＝12×3×1＝32.故选D.[答案] D4．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y23＝1[解析] 由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，ba ＝tan60°＝3，又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.[答案] D5．(2018·广东六校联盟联考)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[解析] 依题意，得F 1(－5,0)，F 2(5,0)，|F 1F 2|＝10. ∵3|PF 1|＝4|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝43x . 由双曲线的性质知43x －x ＝2，解得x ＝6. ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴△PF 1F 2的面积＝12×8×6＝24.故选C. [答案] C6．(2016·天津卷)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1[解析] 根据对称性，不妨设点A 在第一象限，其坐标为(x ，y )，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4·b 2，则xy ＝16b 2＋4·b 2＝b 2⇒b2＝12.故所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选D.[答案] D 二、填空题7．若双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，焦距为10，则该双曲线的方程为__________．[解析] 设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，焦距2c ＝10，c 2＝25，当λ>0时，x 2λ－y 2λ4＝1，λ＋λ4＝25，∴λ＝20；当λ<0时，y 2－λ4－x 2－λ＝1，－λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ4＝25，∴λ＝－20.故该双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. [答案] x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝18．(2018·银川第二中学月考)若以双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点和点P (1，2)为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于__________．[解析] 设双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意，k PF 1·k PF 2＝21＋c ·21－c ＝－1，∴c 2＝3，b 2＝1，∴b ＝1.[答案] 19．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．[解析] 双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin60°＝ab c ，即3b 2＝abc ，所以e ＝23＝233. [答案] 233 三、解答题10．如图，已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求：(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程．[解] (1)∵∠PF 2F 1＝90°，∠PF 1F 2＝30°.在Rt △PF 2F 1中，|PF 1|＝|F 1F 2|cos ∠PF 1F 2＝2c cos30°＝43c 3，|PF 2|＝12|PF 1|＝23c 3，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即233c ＝2a ，ca ＝3， ∴e ＝ca ＝ 3.(2)对于双曲线，有c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝ c 2－a 2.∴b a ＝c 2－a 2a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3－1＝ 2.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .[能力提升]11．(2017·广东佛山一中段考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D ，且|CD |＝|CF 2|，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 2[解析] ∵过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且|CD |＝|CF 2|，∴|DF 1|＝2a ，由题意，切线的斜率为a b ，切线方程为y ＝ab (x ＋c )，与y ＝－b a x 垂直，∴2a ＝b ，∴c ＝a 2＋b 2＝5a ，∴e ＝c a ＝5，故选B.[答案] B12．(2017·吉林长春市二模)已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( )A ．32B ．16C ．8D ．4[解析] 双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率为52，设F 2(c,0)，双曲线C 2一条渐近线方程为y ＝ba x ，可得|F 2M |＝bc a 2＋b2＝b ，即有|OM |＝c 2－b 2＝a ，由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，且c a ＝52，解得a ＝8，b ＝4，c ＝45，即有双曲线的实轴长为16，故选B. [答案] B13．(2017·江西上饶一模)已知双曲线方程为x 2m 2＋4－y 2b 2＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，62B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫62，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫1，62D.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞ [解析] 由题意，2b 2a ＝2，a ≥2， ∴b ＝a ， ∴e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋1a ≤62，∵e >1， ∴1<e ≤62. [答案] A14．(2018·山东日照模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其右顶点是A ，若双曲线C 右支上存在两点B ，D ，使△ABD 为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．[解析] 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，要使△ABD 为正三角形，则只需过右顶点A ，且斜率为33的直线与双曲线有两个不同的交点，即只需该直线的斜率大于渐近线y ＝b a x 的斜率．∴33>b a ，∴b <33a .即b 2<13a 2，则c 2<a 2＋13a 2，即c <233a ，则e <233，又e >1，所以1<e <233.[答案] 1<e <23315．(2017·云南省高三统一检测)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于A ，B 两点，与双曲线M 的两条渐近线交于C ，D 两点．若|AB |＝35|CD |，则双曲线M 的离心率是________．[解析] 设双曲线的右焦点为F (c,0)，易知，|AB |＝2b 2a .该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，当x ＝c 时，y ＝±bc a ，所以|CD |＝2bca .由|AB |＝35|CD |，得2b 2a ＝35×2bc a ，即b ＝35c ，所以a ＝c 2－b 2＝45c ，所以e＝c a ＝54.[答案] 5416．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，O 为坐标原点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．[解] (1)由题意知a ＝2 3.∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，右焦点的坐标为(c,0)，∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a2＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线的方程y ＝33x －2代入双曲线的方程x 212－y 23＝1，得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12，∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[延伸拓展]1．(2017·福州市高三质量检测)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是双曲线E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△P AF 2的内切圆与AF 2相切于点Q .若|AQ |＝3，则双曲线E 的离心率是( )A ．2 3 B. 5 C. 3 D. 2 [解析]如图所示，设△P AF 2的内切圆与PF 2相切于点M .依题意知，|AF 1|＝|AF 2|，根据双曲线的定义，以及P 是双曲线E 右支上一点，得2a ＝|PF 1|－|PF 2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF 1|＝|AF 1|＋|P A |＝|AF 1|＋(|PM |＋|AQ |)，|PF 2|＝|PM |＋|MF 2|＝|PM |＋|QF 2|＝|PM |＋(|AF 2|－|AQ |)．所以2a ＝2|AQ |＝23，即a ＝ 3.因为|F 1F 2|＝6，所以c ＝3，所以双曲线E 的离心率是e ＝c a ＝33＝3，故选C. [答案] C2．(2017·武汉武昌区高三三调)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF →与FB →反向，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B. 3 C. 5 D.52[解析] 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b a ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan2α＝AB OA ，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理，得d ＝14m ，∴－tan2α＝－2tan α1－tan 2α＝AB OA ＝m 34m＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a ＝ 5.故选C. [答案] C。

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练48

课时跟踪训练(四十八)[基础巩固]一、选择题1．(2017·东北三省四市二模)直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( )A. B. C ．4 D ．33053223[解析]　由题知，题中圆的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝，则10圆心到直线的距离d ＝＝，所以弦长为2＝2|1－9＋3|12＋(－3)2102r 2－d 2＝.10－10430[答案]　A2．(2017·沈阳市高三质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋)和圆3C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. C.或0 D.或03333[解析]　因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝＝1，|－1＋k |＝，解得k ＝0或k ＝，故选|－1＋3k |1＋k 231＋k 23D.[答案]　D3．(2017·河南省洛阳市高三第一次统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝”的( )2A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]　依题意，注意到|AB |＝＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O2到直线l 的距离等于，即有＝，k ＝±1.因此，“k ＝1”是221k 2＋122“|AB |＝”的充分不必要条件，选A.2[答案]　A4．(2017·陕西省高三质检)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则圆C 的面积为( )A ．49πB ．36πC ．7πD ．6π[解析]　圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，因此圆心C (a,1)到直线y ＝ax 的距离为＝，解得a 2＝7，所以|a 2－1|a 2＋132a 2－1圆C 的面积为π()2＝6π，选D.a 2－1[答案]　D5．(2018·河北省定兴三中月考)圆O ：x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( )A. B. C ．2 D ．25656[解析]　由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为2x ＋y －15＝0.又圆心O (0,0)到公共弦所在直线2x ＋y －15＝0的距离为＝3，则两圆的公共弦长为2＝2.故选C.|－15|22＋12550－(35)25[答案]　C6．(2017·宁夏银川九中五模)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A. B. C. D ．222266[解析]　圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，为半径的圆．由题意可得，直线2l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝＝，所以|－2－2＋3|212直线m 被圆C 所截得的弦长为2＝.故选C.2－126[答案]　C二、填空题7．(2017·四川新津中学月考)若点P (1,1)为圆C ：(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__________．[解析]　圆心为C (3,0)，直线PC 的斜率k PC ＝－，则弦MN 所12在直线的斜率k ＝2，则弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案]　2x －y －1＝08．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝__________.[解析]　圆C 1和圆C 2的标准方程分别为(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为3和2.＝5，解得(m ＋1)2＋(m ＋2)2m ＝2或m ＝－5.[答案]　2或－59．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．[解析]　直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过定点(2，－1)，当点(2，－1)为圆和直线的切点时，圆的半径最大，此时r ＝＝，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.(1－2)2＋(0＋1)22[答案]　(x －1)2＋y 2＝2三、解答题10．直线l 的方程为mx －y ＋m ＋2＝0(m ∈R )，圆O 的方程为x 2＋y 2＝9.(1)证明：不论m 取何值，l 与圆都相交；(2)求l 被圆截得的线段长的最小值．[解]　(1)证明：证法一：圆心O 到l 的距离为d ＝，圆|m ＋2|1＋m 2O 的半径长为3.若l 与圆相交，则有<3⇔(m ＋2)2<9(1＋m 2)|m ＋2|1＋m 2⇔8m 2－4m ＋5>0⇔82＋>0，(m －14)92显然82＋>0(对任意的m )总成立，(m －14)92<3总成立，|m ＋2|1＋m 2∴不论m 取何值，l 与圆都相交．证法二：把l 的方程变为y －2＝m (x ＋1)，∴不论m 取何值l 总过点A (－1,2)．∵A 在圆O 的内部，∴不论m 取何值，l与圆都相交．(2)结合图形易见，当l ⊥OA 时，l 被圆截得的线段长最小，∵OA ＝＝，∴l 被圆截得的线段长的最小值为212＋225＝4.9－(5)2[能力提升]11．(2017·福建宁德市一模)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，则圆C 中以为中点的弦的长为( )(a 4，－a4)A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析]　因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，所以直线3x －ay －11＝0过圆心C (1，－2)，所以3＋2a －11＝0，解得a ＝4，所以＝(1，－1)．又点(1，－1)(a 4，－a4)与圆心C (1，－2)之间的距离d ＝＝1，圆(1－1)2＋(－1＋2)2C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的半径r ＝，5所以圆C 中以为中点的弦的长为(a 4，－a 4)2＝2×＝4.故选D.r 2－d 25－112．(2017·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线＋x 4＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，y 2则直线AB 经过定点( )A. B.(12，14)(14，12)C.D.(34，0)(0，34)[解析]　因为点P 是直线＋＝1上的一动点，所以设x 4y 2P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是，且半径的平方r 2＝(2－m ，m 2)，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋2＝(4－2m )2＋m 24(y －m 2)，①(4－2m )2＋m 24又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由Error!得Error!所以直线AB 过定点.故选B.(14，12)13．(2017·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.[解析]　由题意，直线l 的斜率存在，设过点M (1,1)的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.因为直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝＝，整理得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.又直线l 与直|－k －2＋1－k |k 2＋15线ax ＋y －1＝0垂直，所以－2a ＝－1，解得a ＝.12[答案]　1214．(2017·江苏四市联考)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且＝2，则直线l 的方程为____________________．BM → MA → [解析]　解法一：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与x 2＋y 2＝5联立，消去x 并整理可得(m 2＋1)y 2＋2my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(1－x 2，－y 2)，＝(x 1－1，y 1)，BM → MA → y 1＋y 2＝－，①2mm 2＋1y 1y 2＝－.②4m 2＋1因为＝2，所以－y 2＝2y 1，③BM → MA →联立①②③，可得m 2＝1，又点A 在第一象限，所以y 1>0，则m ＝1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0.解法二：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，即x －my －1＝0，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝.11＋m 2又＝2，且|OM |＝1，圆x 2＋y 2＝5的半径r ＝，BM → MA → 5＋＝2(－)，即3r 2－d 2|OM |2－d 2r 2－d 2|OM |2－d 2＝，|OM |2－d 2r 2－d 2所以9＝5－，解得m 2＝1，(1－11＋m 2)11＋m 2又点A 在第一象限，所以m ＝1，故直线l 的方程为x －y －1＝0.[答案]　x －y －1＝015．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若·＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.OM → ON → [解]　(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以<1.|2k －3＋1|1＋k 2解得<k <.4－734＋73所以k 的取值范围为.(4－73，4＋73)(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.4(1＋k )1＋k 271＋k 2·＝x 1x 2＋y 1y 2OM → ON → ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝＋8.4k (1＋k )1＋k 2由题设可得＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为4k (1＋k )1＋k 2y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.16．(2018·河北衡水中学五调)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)．(1)若l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．[解]　(1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1，符合题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵直线l 与圆C 相切，∴圆心(3,4)到直线l 的距离等于半径，即＝2，解得k ＝，|3k －4－k |k 2＋134故直线l 的方程为y ＝(x －1)，即3x －4y －3＝0.34综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)∵直线与圆相交于两点，∴直线的斜率一定存在且不为0.设直线方程为kx －y －k ＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝.∵S △CPQ ＝d ×2＝d ·＝＝|2k －4|1＋k 2124－d 24－d 24d 2－d 4，∴当d ＝时，S △CPQ 取得最大值2.－(d 2－2)2＋42∴d ＝＝，解得k ＝1或k ＝7.|2k －4|1＋k 22故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.[延伸拓展](2017·江苏南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．[解析]　由题意知，圆心M (－a －3,2a )．因为圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，易知当Q 为线段OM 与圆M 的交点，PQ 与圆O 相切于点P 时，∠OQP 最大，且|OP |＝1，所以|OM |＝|OQ |＋|MQ |≤3，所以(a ＋3)2＋4a 2≤9，解得－≤a ≤0.65[答案]　[－65，0]。

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练49

课时跟踪训练(四十九)[基础巩固]一、选择题1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1D.x 28＋y 24＝1[解析] 因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4，故选D.[答案] D2．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[解析] c 2＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两条曲线的焦距相等．[答案] D3．(2018·河南开封开学考试)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y 22k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k >2，故0<k <1，故选D.[答案] D4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2][解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C.[答案] C5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. [答案] B6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1D.x 245＋y 225＝1[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°.在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案] x 24＋y 23＝18．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．[解析] 由x 216＋y 24＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．∵圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上， ∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，设圆的圆心为(x,0)，则x 2＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52，所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. ②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，同理可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝254 9．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案] 22 三、解答题10．(2017·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标． [解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223. 于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)．代入椭圆方程，消去y ，可得 5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0.所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22.[能力提升]11．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13[解析] 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.故选C.[答案] C12．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋14，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1 [解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1.[答案] D13．(2017·江苏镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ，n 为常数，m >n >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝________.[解析] 由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .[答案] 2n －m14．(2018·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．[解析] 设⊙O 与PF 1切于点M ，连接PF 2，OM .因为M 为PF 1的中点，所以OM 綊12PF 2，得|PF 2|＝2b ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －2b ，|MF 1|＝a －b .在Rt △OMF 1中，由|OM |2＋|MF 1|2＝|OF 1|2，得b 2＋(a －b )2＝c 2.所以b 2＋(a －b )2＝a 2－b 2，得a ＝32b ，c ＝52b ，所以e ＝c a ＝53.[答案] 5315．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.16．(2017·贵州遵义模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即tan∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e＝12.(2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a 2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b4a2，解得y 0＝b 2a .∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a ＝4，即b 2＝4a ，由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎪⎨⎪⎧2(x 1＋c )＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b 2＝1，将b 2＝4a 代入得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1，解得a ＝7，b ＝27.[延伸拓展]1．(2017·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.2613 B.22613 C.21313 D.41313[解析] 设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧ y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知|P A |＋|PB |的最小值等于|A 1B |＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝|AB ||P A |＋|PB |＝4|P A |＋|PB |的最大值为22613. [答案] B2．(2017·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．[解析] ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3. [答案] 43。

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练45

课时跟踪训练(四十五)[基础巩固]一、选择题1．(2017·山东烟台一模)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 直线l 的倾斜角α>π4，则直线l 的斜率k ＝tan α>1或k <0；又直线l 的斜率k >1，则tan α>1，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴p 是q 的必要不充分条件．[答案] B2．给出下列说法：①经过点(1,0)的直线都可以表示为y ＝k (x －1)；②经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线的方程都可以表示为y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③在坐标轴上截距相等的直线的斜率一定是－1；④直线方程的一般式可以表示平面上的任意直线．其中错误说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 直线x ＝1经过点(1,0)，但不可以表示为y ＝k (x －1)，①错误；若过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线垂直于坐标轴，则直线方程不可以表示为y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2，②错误；经过原点的所有直线在坐标轴上的截距都相等，但这样的直线的斜率不一定是－1，③错误；直线方程的一般式可以表示平面上的任意直线，④正确．所以错误的结论有3个．[答案] C3．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( ) A ．3x －5y ＋10＝0 B ．3x －4y ＋8＝0 C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0[解析] 设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.[答案] D4．(2017·佛山质检)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1[解析] 由题意得a ＋2＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1. [答案] D5．已知直线l 1的方程是y ＝ax ＋b ，l 2的方程是y ＝bx －a (ab ≠0，a ≠b )，则下列各示意图中，正确的是( )[解析] 对于A ，由直线l 1可得到a >0，b >0，由直线l 2可得到a <0，b <0，矛盾，排除A ；对于B ，由直线l 1可得到a >0，b <0，由直线l 2可得到a <0，b >0，矛盾，排除B ；对于C ，由直线l 1可得到a <0，b >0，由直线l 2可得到a <0，b <0，矛盾，排除C ，故选D.[答案] D6．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0[解析] 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.[答案] B 二、填空题7．经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数的直线方程是________．[解析] 设直线在x 轴上的截距为a ，当a ＝0时，直线的斜率k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0. 当a ≠0时，则直线的斜率为1，此时，直线方程为y －2＝x ＋5即x －y ＋7＝0.综上所述，所求直线的方程为x －y ＋7＝0或2x ＋5y ＝0. [答案] x －y ＋7＝0或2x ＋5y ＝08．过点(3,0)且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程为________．[解析] 设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α，则tan α＝12. ∴所求直线的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43.故直线方程为y －0＝43(x －3)，即4x －3y －12＝0.[答案] 4x －3y －12＝09．(2017·岳阳二模)若点A (a ，b )(a >0，b >0)在直线2x ＋y －1＝0上，则1a ＋2b 的最小值为________．[解析] 由已知得2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋2＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b ＝8，故1a ＋2b 的最小值为8，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝12时取等号．[答案] 8 三、解答题10．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程．[解] (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为 y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，即6x －8y －13＝0. (2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0.[能力提升]11．(2018·广东揭阳期中)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4 B ．－4≤k ≤34 C ．k ≥34或k ≤－14D ．－34≤k ≤4[解析] 如图所示，过点B (－3，－2)，P (1,1)的直线斜率为 k 1＝1－(－2)1－(－3)＝34.过点A (2，－3)，P (1,1)的直线斜率为 k 2＝1－(－3)1－2＝－4.从图中可以看出，过点P (1,1)的直线与线段AB 有公共点可看作直线绕点P (1,1)从PB 旋转至P A 的过程，∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞∪(－∞，－4]． [答案] A12．点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，那么2x ＋4y的最小值是( )A ．2 2B ．4 2C ．16D ．不存在[解析] 由点A (3,0)，B (1,1)可得直线方程为x ＋2y －3＝0，∴x ＝3－2y .∵2x ＋4y ＝23－2y ＋22y ≥2 23－2y ·22y ＝28＝42，当且仅当23－2y＝22y，即y ＝34时，取“＝”号．∴2x ＋4y 的最小值为4 2. [答案] B13．若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．[解析] 数形结合．在同一坐标系内画出函数y ＝kx ，y ＝|x －1|的图象如图所示，显然k ≥1或k ＝0时满足题意．[答案] k ≥1或k ＝014．若直线l ：(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0不经过第二象限，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1. [答案] (－∞，－1]15．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(3)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎨⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.。

(江苏专用)高三数学一轮总复习第九章平面解析几何课时跟踪检测理

（江苏专用）高三数学一轮总复习第九章平面解析几何课时跟踪检测理第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式[小题体验]1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．解析：因为tan 60°＝3，所以该直线的斜率为 3.答案： 32．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是________．解析：因为直线的斜率k＝tan 45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y－1＝x－0，即y＝x＋1.答案：y＝x＋13．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x＝0，则l在y轴的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a＝1＋2a，解得a＝1或a＝－2.答案：1或－24．已知a≠0，直线ax＋my－5m＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________．解析：因为直线ax＋my－5m＝0过点(－2,1)，所以－2a＋m－5m ＝0，得a＝－2m，所以直线方程为－2mx＋my－5m＝0.又a≠0，所以m≠0，所以直线方程－2mx＋my－5m＝0可化为－2x＋y－5＝0，即y ＝2x＋5，故此直线的斜率为2.答案：21．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B .[小题纠偏]1．下列有关直线l ：x ＋my －1＝0的说法：①直线l 的斜率为－m ；②直线l 的斜率为－1m ；③直线l 过定点(0,1)；④直线l 过定点(1,0)．其中正确的说法是________(填序号)．解析：直线l ：x ＋my －1＝0可变为my ＝－(x －1)．当m ≠0时，直线l 的方程又可变为y ＝－1m (x －1)，其斜率为－1m ，过定点(1,0)；当m ＝0时，直线l 的方程又可变为x ＝1，其斜率不存在，过点(1,0)．所以①②不正确，④正确．又将点(0,1)代入直线方程得m －1＝0，故只有当m ＝1时直线才会过点(0,1)，即③不正确．答案：④2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点．设x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．直线x ＝π3的倾斜角等于________．解析：直线x ＝π3，知倾斜角为π2.答案：π22．(2019·南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；②平行于x 轴的直线的倾斜角为0°或180°；③若直线过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)，则该直线的斜率为y 1－y 2x 1－x 2. 其中正确说法的个数为________．解析：若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在，所以①不正确．直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，所以平行于x 轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°，所以②不正确．当x 1＝x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率不存在；当x 1≠x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率才为y 1－y 2x 1－x 2，所以③不正确．答案：03．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32， k P A ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点．∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12 [谨记通法]求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．(2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二直线方程重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.[由题悟法]直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为______________．解析：①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0考点三直线方程的综合应用常考常新型考点——多角探明[命题分析]直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数几何意义相结合的问题；(3)与圆相结合求直线方程问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2019·福建高考改编)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于________．解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故a ＋b 的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．(2019·苏州模拟)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)，∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0.答案：3x ＋y －3－1＝0[方法归纳]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________．解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 答案：5π62．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33. 答案：333．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝04．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π ∴－3≤k <0或33≤k ≤1.答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限．解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －C B .∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－C B >0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k 的取值范围是________．解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 2．(2019·南京学情调研)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 3．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________．解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．答案：(2，－1)4．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝05．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于________．解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.答案：36．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．答案：(2，－2)7．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)，即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝08．(2019·盐城调研)若直线l ：x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2a b ＝22(当且仅当ba＝2ab 时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2.答案：3＋2 29．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵直线l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，解得a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：由题意知M (3,2)，所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k . ∴3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.10．过点A (1,4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b )，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l ：y －4＝k (x －1)，由于k <0，则a ＝1－4k ，b ＝4－k .∴a ＋b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －k ≥5＋4＝9. 当且仅当k ＝－2时，取“＝”．故得l 的方程为y ＝－2x ＋6. 法二：设l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由于l 经过点A (1,4)，∴1a ＋4b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a ≥9，当且仅当4a b ＝ba 时，即b ＝2a 时，取“＝”，即a ＝3，b ＝6. ∴所求直线 l 的方程为x 3＋y6＝1，即y ＝－2x ＋6. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xe x ＋12＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ·1e x＝2当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时取等号，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0， ∴k >0. 故S ＝12|OA ||OB | ＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.第二节两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 121．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是________．解析：由题意可知k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.答案：－82．已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92.又直线x －y－2＝0上的点Q (2,0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，95，故所求直线(即PQ ′)的方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52，即7x ＋y ＋22＝0.答案：7x ＋y ＋22＝03．与直线y ＝－3x ＋1平行，且在x 轴上的截距为－3的直线l 的方程为________．解析：由题意，知直线l 的斜率为－3，且在x 轴上的截距为－3，所以直线l 的方程为y －0＝－3[x －(－3)]，即3x ＋y ＋9＝0 .答案：3x ＋y ＋9＝01．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.答案：充要2．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或1考点一两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·金陵中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于________．解析：由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2. 答案：－22．(2019·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．(2019·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)， ∴a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． ∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0，③由题意，知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b .则12×4a ×4b ＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]由一般式确定两直线位置关系的方法l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2019·苏州检测)已知三条直线2x －y －3＝0,4x －3y －5＝0和ax ＋y －3a ＋1＝0相交于同一点P .(1)求点P 的坐标和a 的值；(2)求过点(－2,3)且与点P 的距离为25的直线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，4x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．将点P 的坐标(2,1)代入直线ax ＋y －3a ＋1＝0，可得a ＝2.(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.点P 到直线l 的距离d ＝|2k －1＋2k ＋3|k 2＋1＝25，解得k ＝2，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0.考点三对称问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称；(4)对称问题的应用．[题点全练]角度一：点关于点的对称问题1．(2019·苏北四市调研)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 的坐标为________．解析：设M (x ，y )，则⎩⎨⎧3＋x 2＝1，2＋y 2＝4，∴x ＝－1，y ＝6，∴M (－1,6)．答案：(－1,6)角度二：点关于线的对称问题 2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. 答案：A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧ x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.答案：x －2y ＋3＝0角度四：对称问题的应用4．(2019·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0[方法归纳]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解． (2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎨⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________.解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2，故由条件得k ＝12.答案：122．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案：－13或－793．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：因为直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0，解得m ＝8，故直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行直线间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：24．(2019·宿迁模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y－3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·苏州二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝________.解析：由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a≠5－3a 8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)．答案：－72．(2019·南京一中检测)P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的任意一点，则PQ 的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，根据平面几何的知识，得PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取一点(4,0)，此点到另一直线6x ＋8y ＋5＝0的距离为|6×4＋8×0＋5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.答案：29103．(2019·苏北四市调研)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0，解得a ＝1.答案：14．(2019·天一中学检测)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是________．解析：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1) 为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝05．已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________．解析：因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 6．(2019·无锡调研)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝07. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________________．解析：由|P A |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且P A 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线P A ，PB 关于直线x ＝3对称，直线P A 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：x ＋y －7＝08．(2019·江苏五星级学校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为 y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0. 10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线P A 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线P A 的斜率k P A ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5. 故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________．解析：依题意得|a －b |＝a ＋b 2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c ≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，12.答案：22，122．(2019·徐州一中检测)已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使PM ＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：设点M 到所给直线的距离为d ，①d ＝|5＋1|12＋－12＝32>4，故直线上不存在点P 到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|－32＋42＝4，所以直线上存在一点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d＝|2×5＋1|22＋－12＝1155>4，故直线上不存在点P ，使之到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③.答案：②③3．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2. 第三节圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系：(1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2.(2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2.(3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.[小题体验]1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________．解析：由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)2．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________．解析：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.答案：x 2＋y 2－10y ＝03．(教材习题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝254．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4.即a 2＜1，故－1＜a ＜1.答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏]1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________．解析：由(4m )2＋4－4×5m ＞0，得m ＜14或m ＞1.答案：m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14∪(1，＋∞) 2．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心位于第________象限．解析：因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r 的圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )＝－3a 2－12a >0，即a (a ＋4)<0，所以－4<a <0.又该圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a ，显然圆心位于第四象限．答案：四考点一圆的方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)(2019·镇江调研)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有2－12＋b －02＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.答案：(x －2)2＋(y ±3)2＝42．(2019·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213. 答案：213[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)建立目标函数求最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2019·苏州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y x 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以y x 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题。

2019届高三文数一轮复习课时跟踪训练：第9章平面解析几何课时跟踪训练53

课时追踪训练 (五十三 )[ 基础稳固 ]一、选择题． (2017 ·广东汕头质检 ) 已知抛物线： 2＝4x 的焦点为 F ，直线 y ＝2x －4 1 C y与 C 交于 A ，B 两点，则 cos ∠AFB ＝()4334A. 5B. 5 C ．－ 5 D．－5 [ 分析]∵抛物线： 2＝4x 的焦点为 F ，∴点 F 的坐标为 (1,0)．又∵直线C y→＝ y ＝2x －4 与 C 交于 A ，B 两点， ∴A ，B 两点坐标分别为 (1，－2)，(4,4)，则FA→ → → －8FA ·FB 4(0，－ 2)，FB ＝(3,4)，∴ cos ∠ AFB ＝ → →＝ 10＝－ 5.应选 D. |FA||FB|[答案 ] D． ·北京东城期末 ) 过抛物线 2 ＝4x 的焦点作一条直线与抛物线订交于 2 (2017 yA ，B 两点，它们的横坐标之和等于 3，则这样的直线 ()A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无量多条D ．不存在[分析 ] 过抛物线 y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线订交于 A ，B 两点，若直线 AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不切合题意．设直线 AB 的斜率为 k ，则直线 AB 的方程为 y ＝k(x －1)，代入抛物线方程 y 2＝4x ，得 k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于 3，∴ 2 k 2＋2 ＝3.解得 k ＝±2，∴符 k 2合题意的直线有且仅有两条．应选B.[答案 ] B．湖·南长沙调研 ) 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2＝ax(a ≠0)的焦点 F ， 3 (2017且和 y 轴交于点 A ，若△ OAF(O 为坐标原点 )的面积为 4，则抛物线的方程为 ()A ．y 2＝±4xB ．y 2＝4x ． 2＝±8x D ．y 2＝8xC y2＝≠ 的焦点 F 的坐标为 a，0 ，∴直线 l 的方程为 [分析 ] ∵抛物线 y ax(a 0) 4＝－ a l 与 y 轴的交点为，－ a ，∴△ OAF 的面积为 1 a a ＝4， ∵直线2 · y 2 x 4 .A 0 2 4 2 解得 a ＝±8.∴抛物线的方程为 y 2＝±8x ，应选 C.[答案] C．·河南三门峡灵宝期末 ) 已知抛物线方程为 y 2＝2px(p>0)，过该抛物 4 (2017线焦点 F 且不与 x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点 A ，点 B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于 M ，N 两点，那么∠ MFN 必是 ()A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[分析 ] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知 |NB|＝|BF|.因此△ BNF 是等腰三角形．由于 BN ∥OF ，因此 NF 均分∠ OFB.同理 MF 均分∠ OFA ，因此∠ NFM ＝90°.应选 B.[答案 ] B． ·黑龙江七台河期末 ) 已知抛物线： 2＝－ 8x 的焦点为 F ，直线 l ： 5 (2017 C y＝，点是上的一动点，直线与抛物线的一个交点为若 → →Al AF C B. FA ＝－ 3FB ，x 1 则|AB|＝()A ．20B ．16C ．10D ．5[ 分析 ] 由抛物线： 2＝－ 8x ，得 F(－2,0)．设 A(1，a)，B(m ，n)，且 n 2 C y→ →＝－ 8m.∵FA ＝－ 3FB ，∴ 1＋2＝－ 3(m ＋2)，解得 m ＝－ 3，∴ n ＝±2 6.∵a ＝－ 3n ，∴ a ＝ ±6 6，∴|AB|＝1＋3 2＋ 2 6＋6 6 2＝20.应选 A.[答案 ]A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2 的焦点为F ，准线为l ，M在l上，线段MF与抛物线交于N 点，若 |MN|＝2|NF|，则 |MF |＝()A ．2B ．3C. 2D. 3[分析 ]如图，过 N 作准线的垂线 NH ，垂足为 H.依据抛物线的定义可知 |NH|＝|NF|，在△ NHM 中， |NM|＝ 2|NH|，则∠NMH ＝45°.在△ MFK 中，∠ FMK ＝45°，因此 |MF|＝ 2|FK|.而|FK|＝1.因此 |MF|＝ 2.应选 C.[答案 ] C．已知抛物线 y 2＝2px(p>0)的准线与曲线 x 2＋y 2－4x －5＝0 相切，则 p 的7值为 __________．[ 分析 ] 曲线的标准方程为－ 2) 2＋y 2＝9，其表示圆心为 (2,0)，半径为 3 的 (x 圆，又抛物线的准线方程为 x ＝－ p ，∴由抛物线的准线与圆相切得 2＋p＝3，22解得 p ＝2.[答案 ] 2二、填空题． (2018 ·武汉模拟抛物线 2＝4x 的焦点为 F ，倾斜角等于 45°的直线过 F 8 ) y交该抛物线于 A ，B 两点，则 |AB|＝__________.[ 分析 ] 由抛物线焦点弦的性质，得＝ 2p ＝ 2×2 ＝8. 22|AB| sin α sin 45°[答案 ] 89．(2017 ·黑龙江绥化期末 )设抛物线 y 2＝16x 的焦点为 F ，经过点 P( 1,0)的→ →直线 l 与抛物线交于 A ，B 两点，且 2BP ＝PA ，则 |AF|＋2|BF|＝________.[分析 ] 设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．∵ P(1,0)，→ →∴BP ＝(1－x 2，－ y 2)，PA ＝(x 1－1，y 1)．→ →∵2BP ＝PA ，∴ 2(1－x 2，－ y 2)＝(x 1－1，y 1)，∴x 1＋2x 2＝3，－ 2y 2＝y 1.将 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)代入抛物线方程 y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－ 2y 2＝y 1，∴ 4x 2＝x 1.1又∵ x 1＋2x 2＝3，解得 x 2＝2，x 1＝2.1∴ |AF|＋2|BF|＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2× 2＋4 ＝15.[答案 ] 15三、解答题． ·河北沧州百校结盟 ) 已知抛物线： 2＝2px(p>0)的焦点为 F ，抛 10 (2017C y物线上一点 P 的横坐标为 2，|PF|＝3.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 F 且倾斜角为 30°的直线交抛物线 C 于 A ，B 两点， O 为坐标原点，求△ OAB 的面积．p[解 ] (1)由抛物线定义可知， |PF|＝2＋2＝3，∴ p ＝2，∴抛物线C 的方程为 y 2＝4x.(2) 由 2 ＝4x ，得 F(1,0)，∴过点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y ＝ 3 －y3 (x1)．联立 y 2＝4x ，消去 x 得 y 2－43y －4＝0.设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝4 3，y 1y 2＝－ 4.11 ∴S △ OAB ＝S △ OAF ＋S △OFB ＝2|y 1－y 2|＝2× 48＋16＝4.[能力提高 ]11．(2017 ·辽宁沈阳二中期中 )抛物线 C ：y 2＝4x 的焦点为 F ，斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 M ，N 两点．若线段 MN 的垂直均分线与x 轴交点的横坐标为 a(a>0)，n ＝|MF|＋|NF|，则 2a －n ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5[分析 ] 由题意得 F(1,0)，准线方程为 x ＝－ 1.线段 MN 的中点坐标为 (x 0，y 0) ．由抛物线的定义，得＝＋＝ x M ＋1＋ x ＋1＝x ＋x ＋2＝2x ＋2.n |MF | |NF| N MN由于线段 MN 的垂直均分线方程为 y －y ＝－ 1 －，令＝，得＝＋x ，k (x x 0)y 0 x ky 00 即 a ＝ky 0＋x 0.由点差法可得 ky 0＝2，因此 x 0＝a －2，因此 2a －n ＝2x 0＋ 4－(2x 0＋ 2)＝2.应选 A.[答案 ] A． ·北京昌平期末 ) 已知△ ABC 的三个极点均在抛物线 2＝x 上，边 12 (2017 yAC 的中线 BM ∥x 轴， |BM|＝2，则△ ABC 的面积为 ________．[分析 ] 依据题意设 A(a 2，a)，B(b 2，b)，C(c 2，c)，不如设 a>c.∵M 为边AC 的中点，∴ Ma2＋c 2＋2，a 2 c.a ＋ c又∵ BM ∥x 轴，∴ b ＝ 2.2 2 22 2 ∴|BM|＝a＋c －b2＝ a ＋c － a ＋c＝2，224∴(a －c)2＝8，∴ a －c ＝2 2.作 AH ⊥BM 交 BM 的延长线于 H ，故 S △ABC ＝2S △ABM＝2×1· ＝－2|BM| |AN|2|aa ＋cb|＝2 a －2＝a －c ＝2 2.[答案] 2 2． ·福建厦门期中 ) 设抛物线： 2＝4x ，F 为 C 的焦点，过点 F 的直 13 (2017C y线 l 与 C 订交于 A ，B 两点．(1)若 l 的斜率为 1，求 |AB|的大小；→ →(2)求证： OA ·OB 是一个定值．[解 ] (1)∵直线 l 的斜率为 1 且过点 F(1,0)，∴直线 l 的方程为 y ＝x －1.设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立 y ＝x －1，消去 y 得 x 2－6x ＋1＝0.y 2＝ 4x ， >0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴ |AB|＝x 1＋x 2＋p ＝8.证明：设直线的方程为＝＋，联立 x ＝ky ＋1，(2) l 消去 x 得 y 2－4kyx ky 1 y 2＝4x ，－ 4＝0， >0.设 A ＝(x 1，y 1)，B ＝ (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－ 4，→ →OA ＝(x 1，y 1)，OB ＝(x 2，y 2)．→ →∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝ k 2y 1y 2＋k(y 1＋ y 2)＋1＋y 1y 2＝－ 4k 2＋4k 2＋1－4＝－ 3.→ →∴OA ·OB ＝－ 3 是一个定值．14．已知抛物线 y 2＝2px(p>0)，过点 C(－2,0)的直线 l 交抛物线于 A 、B 两→ →点，坐标原点为 O ，OA ·OB ＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程．[解 ] (1)设 l ：x ＝ my －2，代入 y 2＝2px ，得 y2－2pmy＋4p＝0.(*)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y21y22则 y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则 x1x2＝4p2＝4.→→由于 OA·OB＝12，因此 x1x2＋y1y2＝12，即 4＋4p＝12，得 p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.(2)(1)中 (*) 式可化为 y2－4my＋8＝0，y1＋y2＝4m，y1y2＝8.设 AB 的中点为 M，则|AB|＝2x M＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又|AB|＝1＋m2|y1－y2|＝ 1＋m2 16m2－32 ，②由①②得 (1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得 m2＝3，m＝± 3.因此直线 l 的方程为 x＋3y＋2＝0 或 x－3y＋2＝0.[延长拓展 ]已知过点 A(－4,0)的动直线 l 与抛物线 G：x2＝2py(p>0)订交于 B、C 两点．当→→直线 l 的斜率是1时， AC＝4AB2 .(1)求抛物线 G 的方程；(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围．[解 ] (1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线 l 的斜率是1时，21l 的方程为 y＝2(x＋4)，即 x＝2y－4.由x2＝2py，得 2y2－(8＋p)y＋8＝0，x＝2y－4y1y2＝4，①∴8＋py1＋y2＝2.②→→又∵ AC＝4AB，∴ y2＝4y1，③由①②③及 p>0 得： y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线 G 的方程为 x2＝4y.(2)设 l ：y＝k(x＋4)，BC 的中点坐标为 (x0，y0)，x2＝4y，得 x2－ 4kx－16k＝0，④由y＝k x＋4∴x0＝x C＋x B＝ 2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.2∴线段 BC 的中垂线方程为y－2k2－4k＝－1k(x－ 2k)，∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为： b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，关于方程④，由＝16k2＋64k>0 得： k>0 或k<－4.∴b∈(2，＋∞)．。

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练47含解析

课时跟踪训练(四十七)[基础巩固]一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4[解析] AB 的中点坐标为(0,0)，|AB |＝ [1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.[答案] A2．(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 [解析] 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎨⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.[答案] D 3．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2[解析] 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.[答案] A4．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)[解析] 曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2.[答案] D5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1[解析] 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.[答案] A6．(2017·福建厦门4月联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.[答案] B二、填空题7．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为__________．[解析] 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2. [答案] 28．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值为________．[解析] 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.故y －1x －2的最大值为33. [答案] 339．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________．[解析] 圆心是AB 的垂直平分线和2x －y －7＝0的交点，则圆心为E (2，－3)，r ＝|EA |＝4＋1＝5，则圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2＝5.[答案] (x －2)2＋(y ＋3)2＝5三、解答题10．(2017·江西南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．[解] (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－x＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.[能力提升]11．(2017·大连统考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x －3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17[解析]两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min＝52－(1＋3)＝52－4.[答案] A12．(2018·山西运城模拟)已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是() A．3－ 2 B．3＋ 2C．3－22 D.3－22[解析]l AB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝|3|2＝32，∴AB边上的高的最小值为32－1.∴S△min＝12×(22)×⎝⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.∴选A.[答案] A13．(2017·广州市高三综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y 的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是__________________．[解析]抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2. [答案] x 2＋(y －1)2＝214．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．[解析] 本题考查平面向量数量积及其应用，圆的方程的应用及圆与圆的相交．解法一：设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20可得，(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点．又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，(x ＋6)2＋(y －3)2＝65，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－5，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，易知－52≤x ≤1.解法二：设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20，可得(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即x 2＋12x ＋y 2－6y ≤20，由于点P 在圆x 2＋y 2＝50上，故12x －6y ＋30≤0，即2x －y ＋5≤0，∴点P 为圆x 2＋y 2＝50上且满足2x －y ＋5≤0的点，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)．同解法一，可得N (1,7)，M (－5，－5)，易知－52≤x ≤1.[答案] [－52，1]15．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．[解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为12×4105×4105＝165.16．(2017·吉林省实验中学模拟)已知圆M 过C (1，－1)，D (－1,1)两点，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．[解] (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12(|AM |·|P A |＋|BM |·|PB |)．又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |2＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为2|PM |2－4＝2 5.[延伸拓展]1．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是__________．[解析] 由k 2＋4－4(k 2－15)>0，得－833<k <833.由题意可知，点(1,2)在圆的外部，所以1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0，得k <－3或k >2.所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，833. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，833 2．(2017·山西运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为________．[解析] 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.[答案] (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练49

课时跟踪训练(四十九)[基础巩固]一、选择题1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为()A.x216＋y212＝1 B.x212＋y28＝1C.x212＋y24＝1 D.x28＋y24＝1[解析]因为焦距为4，所以c＝2，离心率e＝ca＝2a＝22，∴a＝22，b2＝a2－c2＝4，故选D.[答案] D2．曲线x225＋y29＝1与曲线x225－k＋y29－k＝1(k<9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等[解析]c2＝25－k－(9－k)＝16，所以c＝4，所以两条曲线的焦距相等．[答案] D3．(2018·河南开封开学考试)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(0,2)C．(1，＋∞) D．(0,1)[解析] ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y22k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k >2，故0<k <1，故选D.[答案] D4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2][解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x22∈[0,1]，故选C.[答案] C5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. [答案] B6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1D.x 245＋y 225＝1[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°.在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y23＝1.[答案] x 24＋y 23＝18．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．[解析] 由x 216＋y 24＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．∵圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上， ∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，设圆的圆心为(x,0)，则x 2＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52，所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. ②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，同理可得圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝2549．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案] 22 三、解答题10．(2017·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标． [解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223. 于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)．代入椭圆方程，消去y ，可得 5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0.所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22.[能力提升]11．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13[解析] 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.故选C.[答案] C12．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋14，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1.[答案] D13．(2017·江苏镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ，n 为常数，m >n >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝________.[解析] 由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .[答案] 2n －m14．(2018·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．[解析] 设⊙O 与PF 1切于点M ，连接PF 2，OM .因为M 为PF 1的中点，所以OM 綊12PF 2，得|PF 2|＝2b ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －2b ，|MF 1|＝a －b .在Rt △OMF 1中，由|OM |2＋|MF 1|2＝|OF 1|2，得b 2＋(a －b )2＝c 2.所以b 2＋(a －b )2＝a 2－b 2，得a ＝32b ，c ＝52b ，所以e ＝c a ＝53.[答案] 5315．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率． (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.16．(2017·贵州遵义模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c . 当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即tan∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e ＝12.(2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a 2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b 4a 2，解得y 0＝b 2a .∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a ＝4，即b 2＝4a ，由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎨⎧ 2(x 1＋c )＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b 2＝1，将b 2＝4a 代入得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1，解得a ＝7，b ＝27.[延伸拓展]1．(2017·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C的离心率的最大值为()A.2613 B.22613 C.21313 D.41313[解析]设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y1x1＋2＝－1，y12＝x1－22＋3，解得x1＝－3，y1＝1，易知|P A|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝26，因此椭圆C的离心率e＝|AB||P A|＋|PB|＝4|P A|＋|PB|的最大值为22613.[答案] B2．(2017·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．[解析]∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.[答案]43。

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章平面解析几何课时跟踪训练50 Word版含解析

课时跟踪训练(五十)【基础巩固]一、选择题1、(2017·辽宁师大附中期中)过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1,P 2两点,线段P 1P 2的中点为P ,设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( )A 、2B 、－2 C.12 D 、－12【解析] 由过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2),代入椭圆的方程,化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0,设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),∴x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1,∴P 的横坐标为－4k 212k 21＋1,P 的纵坐标为k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1＋2＝2k 12k 21＋1,即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1,∴直线OP 的斜率k 2＝－12k 1,∴k 1k 2＝－12.故选D.【答案] D2、如图,F (c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点,A ,B 为椭圆的上、下顶点,P 为直线AF 与椭圆的交点,则直线PB 的斜率k PB ＝( )A.c a 2B.b a 2C.b ＋c a 2D.bca 2【解析] 直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1,把y ＝－b c x ＋b 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1,得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2c x ＝0,∴x P ＝2a 2ca 2＋c 2,y P ＝c 2b －a 2b a 2＋c2,∴k PB ＝c 2b －a 2ba 2＋c 2＋b 2a 2ca 2＋c 2＝bca 2. 【答案] D3、(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1,直线AB 的斜率k 1＝1,则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B 、－12 C 、－14 D 、－2【解析] 解法一：设AB 的中点为G ,由椭圆与平行四边形的对称性知O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点,则GO ∥AD .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减是(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2,整理得x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1,即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.又G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22,所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12, 即k 2＝－12,故选B.解法二：设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),利用椭圆与平行四边形的对称性可得D (－x 2,－y 2)、则直线AD 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝x 1＋x 2＋2t x 1＋x 2＝1＋2t x 1＋x 2.联立⎩⎨⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2－4＝0，消去y 得3x 2＋4tx ＋2t 2－4＝0,则x 1＋x 2＝－4t3,∴k 2＝1＋2t －43t ＝－12.故选B.【答案] B 二、解答题4、(2017·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12,且椭圆C 与圆M ：x 2＋(y －3)2＝4的公共弦长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点,过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切并交椭圆C 于另一点B ,求OA →·OB →的值、【解] (1)∵椭圆C 与圆M 的公共弦长为4,∴椭圆C 经过点(±2,3),∴4a 2＋9b 2＝1,又c a ＝12,a 2＝b 2＋c 2,解得a 2＝16,b 2＝12,∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)已知右顶点A (4,0),∵直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切,设直线l 的方程为y ＝k (x －4),∴|4k |1＋k2＝85,∴9k 2＝1,∴k ＝±13.联立y ＝±13(x －4)与x 216＋y 212＝1,消去y ,得31x 2－32x －368＝0.设B (x 0,y 0),则由根与系数的关系得4x 0＝－36831,∴OA →·OB →＝4x 0＝－36831.5、(2017·吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上任意一点,且|PF 1|＋|PF 2|＝22,它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程、(2)是否存在正实数t ,使直线x －y ＋t ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上？若存在,求出t 的值；若不存在,请说明理由、【解] (1)∵F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P 是椭圆上任意一点,且|PF 1|＋|PF 2|＝22,∴a ＝ 2.∵2c ＝2,∴c ＝1,∴b ＝a 2－c 2＝1,∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，化简得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0.①由①知x 1＋x 2＝－4t 3,∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2t ＝2t3. ∵线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 32＝56,解得t ＝62(负值舍去), 故存在t ＝62满足题意、6、已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为2,离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1),且与椭圆C 交于A ,B 两点,若AM →＝2MB →,求直线l 的方程、【解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0,b >0),因为c ＝1,c a ＝12,所以a ＝2,b ＝3,所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y ＝kx ＋1,则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0,且Δ＝192k 2＋96>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2,得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2,解得k 2＝14,k ＝±12. 所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1,即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.【能力提升]7、(2017·河南考前预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点是F 1,F 2,且|F 1F 2|＝2,离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ,B 两点,求|AF 2|·|F 2B |的取值范围、【解] (1)因为椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝12，2c ＝2，解得a ＝2,b ＝ 3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为F 2(1,0),所以①当直线l 的斜率不存在时,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32,则|AF 2|·|F 2B |＝94. ②当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程可设为y ＝k (x －1)、由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y ,得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(*)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程(*)的两个根,所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2,x 1x 2＝4k 2－123＋4k2. 所以|AF 2|＝(x 1－1)2＋y 21＝1＋k 2·|x 1－1|, |F 2B |＝(x 2－1)2＋y 22＝1＋k 2·|x 2－1|,所以|AF 2|·|F 2B |＝(1＋k 2)·|x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1|＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－93＋4k 2＝(1＋k 2)·93＋4k2＝94⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋13＋4k 2. 当k 2＝0时,|AF 2|·|F 2B |取最大值3,所以|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤94，3.由①②知|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤94，3.8、(2018·河北百校联盟期中)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ,D 为M 上两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值、【解] (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),则x 21a 2＋y 21b 2＝1,x 22a 2＋y 22b 2＝1,y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0,y 1＋y 2＝2y 0,y 0x 0＝12,所以a 2＝2b 2.又由题意知,M 的右焦点为(3,0),故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6,b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3, 设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)、由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3＋x 4＝－4n3,x 3·x 4＝2n 2－63. 因为直线CD 的斜率为1, 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知,四边形ACBD 的面积 S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时,S 取得最大值,最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.9、设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0),其离心率为22.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 过点P (0,4),则直线l 何时与椭圆M 相交？【解] (1)因为椭圆M 的离心率为22, 所以4－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222,得b 2＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时,直线l 与椭圆M 相交、 ②过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时,可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y 22＝1，消去y ,得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0.因为直线l 与椭圆M 相交,所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0, 解得k <－142或k >142.综上,当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫142，＋∞时,直线l 与椭圆M 相交、10、(2017·广东惠州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A ,B 两点、①若线段AB 中点的横坐标为－12,求斜率k 的值；②已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0,求证：MA →·MB →为定值、【解] (1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2,又c a ＝63,12×b ×2c ＝523,解得a 2＝5,b 2＝53,则椭圆方程为x 25＋3y 25＝1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)、①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋3y 25＝1,得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0,∴Δ＝48k 2＋20>0,x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1, ∵AB 中点的横坐标为－12,∴－3k 23k 2＋1＝－1,解得k ＝±33. ②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1,x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1,∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73，y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2 ＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6k 23k 2＋1＋499＋k 2 ＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2 ＝49(定值)、。

★2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练第九章 平面解析几何 课时跟踪训练48 Word版含解析

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练53 Word版含解析

2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练50 Word版含解析

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练48 Word版含解析

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练48

高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练51 Word版含解析

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练48

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练49

与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练45

(江苏专用)高三数学一轮总复习 第九章 平面解析几何课时跟踪检测 理